Medianas e Estatísticas de Ordem

Marcela Quispe Cruzmqc@cin.ufpe.br

Medianas e Estatísticas de Ordem

o Problema da Seleção consiste em que dado um conjunto A de n números distintos e um número i, 1 <= i <= n, determinar qual é o i-ésimo menor elemento de A.

São casos particulares do problema da seleção: O mínimo, o primeiro O máximo, o ultimo A mediana de um conjunto, onde i = 1, i = n e i = n/2,

respectivamente. Par Impar

Um algoritmo para o problema da seleção deve de alguma forma obter informação, ainda que parcial, sobre a ordem dos elementos do conjunto.

Quantas comparações são necessárias para determinar ambos o mínimo e o máximo?Para determinar o mínimo n-1 comparações são necessárias. O mesmo é certo para o máximo. Por tanto, o numero deve ser 2n-2 para determinar ambos.

De fato somente 3 comparações são necessárias para encontrar ambos o mínimo e o máximo

compara o menor com min y o maior com max

Seleção em tempo linear esperado Entrada: vetor A de números reais, os índices p e r que

delimitam inicio e fim do subvetor onde seria feita a seleção e i, o índice do elemento procurado no vetor ordenado.

Saída: o i-ésimo menor elemento do vetor A.

RANDOMIZED-SELECT(A, p, r, i)1 if p = r2 then return A[p]3 q ← RANDOMIZED-PARTITION(A, p, r)4 k ← q - p + 15 if i = k6 then return A[q]7 elseif i < k8 then return RANDOMIZED-SELECT(A, p, q - 1, i)9 else return RANDOMIZED-SELECT(A, q + 1, r, i - k)

o valor pivô é a resposta

k de elementos no subarray A[p..q]

PARTITION(A,p,r) 1 x = A[ r ] .................................2 i = p - 1 .................................. 3 for j = p to r - 1 .........................4 do if A[ j ] <= x .........................5 then i = i + 1 .........................6 trocar A[ i ] com A[ j ] ..........7 trocar A[ i+1] com A[ r ] ..............8 return i + 1 ...... ......... .............

RAMDOMIZED-PARTITION(A,p,r)1 i = RAMDOM (p,r)2 exchange A[p] <-> A[i]3 return PARTITION(A,p,r)

escolhe um i, p <= i <= r

e usamos A[i] como pivot

Total: ( r – p ) e <= { 6 ( r – p ) + 6 } ou seja lineal na longitude do array A[p..r]

Ex. de PARTITION

Necessitamos mostrar que n é suficientemente grande, esta expressão é no maior cn/4-c/2-an ≥ 0

Se assumimos que T(n)=O(1) paran<2c/(c-4a), temos T(n) = O(n). Nós concluímos que qualquer ordem estatísticoe no particular a mediana pode ser determinar em promedio em tempo lineal

Seleção em tempo linear pior caso

1. Dividir os n elementos do arranjo de entrada em piso(n/5) grupos de 5 elementos cada e no máximo 1 grupo com menos de 5 elementos. O(n)

2. Encontrar a mediana dos teto(n/5) grupos, usando primeiro a ordenação por inserção dos elementos do grupo para em seguida, escolher a mediana dos grupos. O(n)

3. Usar o SELECT recursivamente para encontrar a mediana x das teto(n/5) medianas encontradas. T(n/5)

4. Particionar o arranjo de entrada em torno da mediana de medianas x. Seja k uma unidade maior que o número de elementos no lado de baixo da partição, de forma que x seja o k-ésimo menor elemento e existam n – k elementos no alto da partição. O(n)

5. Se i == k, retorne k. Caso contrário, usar o SELECT recursivamente para encontrar o i-ésimo menor elemento no lado baixo da partição, se i <= k, ou então o (i – k)-ésimo menor elemento no lado alto da partição, se i > k. T( max( q - p, r - q ) )

O algoritmo de seleção com tempo de execução O(n) no pior caso seleciona o elemento desejado particionando recursivamente o arranjo de entrada. Essa partição deve garantir uma boa divisão desse arranjo. O algoritmo SELECT determina o i-ésimo menor elemento de um arranjo de entrada com n > 1 elementos, executando 5 etapas:

pelo menos 1/2 dos teto(n/5) medianasno step 2 são maiores que x, ignorando o grupo no qual x pertence e o grupo que tem quantidade menor que 5 elementos si 5 não divide n exatamente

Logo o número de elementos maiores que x é pelo menos

Assumindo que T(n) é não-decrescente isso implica que o tempo usado pelo step 5 é não maiorQue T( 7n/10 + 6 )

Assumindo que a entrada com n<=140 usa tempo O(1).

Permita que a seja tal que os step 1,3,4 necessitem tempo não maior que an vezes.Assuma que T(n) é não decrementavel. Logo

provaremos por induçao que T(n)<=cn, para todo n>0.Escolhendo c bastante grande que

Pela Hipotesis de Indução

ou

Posto que n >= 140 temos que n/(n-70)<2 por tanto isto seria verdadeiro para c >= 20a e logo temos demonstrado que T(20)<=cn para todo n >= 140 e: