Médias Aritmética e Geométrica

7/17/2019 Médias Aritmética e Geométrica

http://slidepdf.com/reader/full/medias-aritmetica-e-geometrica 1/10

M�dulos Did�ticos

Matem�tica - Ensino Fundamental

MÓDULO DIDÁTICO DE MATEMÁTICA

Médias aritmética e geométrica Autor(es!Francisco Dutenhefner Jorge SabatucciMário Jorge Dias CarneiroMichel Spira

M"dulo # - Médias aritmética e geométricaNeste módulo vamos estudar as médias aritmética e geométrica. s pré!re"uisitos para a sua leituras#o habilidades aritméticas e algébricas básicas$ resolu%#o de e"ua%&es de primeiro grau$ o conceito dera'(es "uadradas e n!ésimas em geral$ bem como habilidades com desigualdades elementares. )araacompanhar a parte geométrica s#o necessários conhecimentos de semelhan%a de tri*ngulos$ oteorema de )itágoras e propriedades elementares de circunfer+ncias.,ste módulo consiste de "uatro se%&es. Na primeira$ estudamos as médias aritmética e geométrica dedois n-meros. Na segunda$ abordamos essas duas médias do ponto de vista geométrico. Na terceirase%#o$ generali(amos as médias para o caso de mais de dois n-meros$ e na "uarta estudaremosbrevemente o conceito de média ponderada.

o final do módulo$ espera!se "ue voc+ tenha se familiari(ado com as propriedades básicas das médiasaritmética e geométrica$ bem como com suas interpreta%&es geométricas. $% As médias aritmética e geométrica de dois n&meros a e b

Se/am a e b dois n-meros reais "uais"uer. 0amos e1plorar dois problemas interessantes2 'rolema $%$ char um n-mero m tal "ue a$ m e b este/am em progress#o aritmética$ nesta ordem.'rolema $%) Achar um n-mero g tal "ue a$ g e b este/am em progress#o geométrica$ nesta ordem.

Come%amos pelo problema 3.3. Se a$ m e b est#o em progress#o aritmética ent#o .

4sto é o mesmo "ue $ e da'

problema 3.5 á tratado de modo id+ntico. Se a$ m e b est#o em progress#o geométrica

ent#o $ donde e ent#o

desde "ue . N#o custa verificar nossas respostas. s n-meros a$ m e b est#o realmente em progress#o aritmética$pois

C64D ,M2 $*+,+),,.MD4F4CD ,M2 $*+,+),,.



Do mesmo modo$ a$ g e b est#o em progress#o geométrica$ pois

s n-meros m e g s#o conhecidos como média aritméticade a e b e média geométrica de a e b$

respectivamente7 notamos "ue para "ue g e1ista devemos ter . n-mero g também éconhecido como média proporcional entre a e b7 esta terminologia é bastante ra(oável se pensarmos na

e"ua%#o . E/erc0cio $%$ média aritmética de dois n-meros é 8$9 e um dos n-meros é 5. :ual é o outro n-mero; E/erc0cio $%) média geométrica de dois n-meros é 5 e um dos n-meros é <$9. :ual é o outron-mero; E/erc0cio $% Mostre "ue$ na reta numérica$ m ée"=idistantea e b >conforme a figura?.

0amos agora observar as e1press&es e . Note "ue a segunda é bastanteparecida com a primeira7 a semelhan%a fica ainda mais clara se elas forem escritas como

. ideia é "ue trocando @ @ por @ @ e m por g $ a primeirae1press#o se transforma na segunda$ e vice!versa. Neste caso$ vamos di(er "ue a segunda e1press#oé o análogo multiplicativo da primeira e$ reciprocamente$ "ue a primeira é o análogo aditivoda segunda7em particular$ di(emos "ue g é o análogo multiplicativo de m. 0amos usar também esta terminologia

"uando os s'mbolos envolvidos forem @ ! @ e @ @7 por e1emplo$ a e1press#o >"ue podemos

escrever como ? é o análogo multiplicativo de . partir de agora vamos es"uecer "ue m e g foram determinados como respostas aos problemas 3.3 e

3.5 e vamos pensar neles apenas a partir de suas e1press&es e .

E/erc0cio $%1 Calcule m e g para e . 6epita para outros valores de a e b "ue voc+escolher. )are "uando voc+ achar "ue o e1erc'cio n#o é muito interessante >n#o vai demorar muito?. s e1press&es de m e g também podem ser obtidas a partir das seguintes perguntas2

Pergunta 1.1: conhecida a soma $ "uanto deveriam valer a e b se eles fossem iguais;

Pergunta 1.2: conhecido o produto $ "uanto deveriam valer a e b se eles fossem iguais; E/erc0cio $%# che as respostas a essas duas perguntas e verifi"ue "ue elas s#o$respectivamente$ m eg .)odemos entender as respostas das perguntas 3.3 e 3.5 do seguinte modo2

A @média@ de duas parcelas "ue contribuem para uma soma é a média aritmética das parcelas. conceito a"ui é @média [email protected] @média@ de dois fatores contribuem para um produto é a média geométrica dos fatores. conceito a"ui é @média multiplicativa@. E/erc0cio $%2 Bm ret*ngulo tem lados de medidas a e b. che o lado de um "uadrado "ue tenhaa? o mesmo per'metro do ret*ngulo.b? a mesma área do ret*ngulo 'rolema $% Um livro teve seu preço aumentado em R$1000 em um ano e em mais R$!000 no anoseguinte. "ual #oi o aumento médio do preço pergunta é @"ual deveria ter sido o aumento constante nesses dois anos para "ue o aumento totalfosse o mesmo;@ >compare com a pergunta 3.3?.

aumento total do pre%o do livro foi de . Suponhamos "ue o aumentoconstante se/a % reais por ano7 o aumento total seria ent#o . emos ent#o a



e"ua%#o $ donde . ,m outras palavras$o aumento médio é a média aritmética dos aumentos anuais >fa(endo a conta$

obtemos ?. estrutura desse problema é fácil de ver. emos duas parcelas >os aumentos 63<$<< e 6E<$<<? "ue

contribu'ram aditivamente para uma soma >o aumento total 63<<$<<?. resposta ao problema é amédia aritmética das parcelas >o aumento médio 69<$<<?. 'rolema $%1 Um livro teve seu preço aumentado em 10& em um ano e em mais !0& no anoseguinte. "ual #oi o aumento percentual médio do preço

resposta @apressada@ é $ mas ela está errada. )ara ver isto$ basta supor "ueo l ivro custava originalmente 63<<$<<. primeiro aumento elevou seu pre%o

para e o segundo para .)or outro lado$ um aumento anual de 9< elevaria seu pre%o no primeiro ano para 639<$<< e nosegundo para 6559$<<.G3H0amos reformular a pergunta para entender melhor o "ue está acontecendo. )ara isto$ vamos pensar

em @aumento de 3<@ como @multiplica%#o do pre%o pelo fator de aumento 3$3@$ e analogamente paraos outros aumentos. Nesse caso$ a pergunta passa a ser @por "ual fator constante o pre%o do livrodeveria ser multiplicado a cada ano para "ue$ ao final$ o aumento total fosse o mesmo;@ >compare coma pergunta 3.5?.Digamos "ue o pre%o original do livro fosse p reais. Depois do primeiro aumento$ o pre%o do livro subiu

para e$ depois do segundo aumento$ para . Se o fator de

aumento anual nestes dois anos fosse constante e igual a $ o pre%o teria subido

para . btemos ent#o $ ou

se/a$ . ,m outras palavras$ o fator de aumento médio é a média geométrica dosfatores de aumento anuais >fa(endo a conta$ determinamos "ue % é apro1imadamente II$?. estrutura desse problema é a mesma do problema anterior$ do ponto de vista multiplicativo. emos

dois fatores >os fatores de aumento 3$3 e 3$E? "ue contribu'ram multiplicativamente para um produto >ofator de aumento total ?. resposta ao problema é a média geométrica dos fatores >o fator de

aumento médio ?.)reste bastante aten%#o aos comentários feitos sobre a estrutura das solu%&es ao final de cada um dosdois problemas anteriores. ,sses comentários mostram "ue$ em geral$ os problemas "ue envolvem asmédias aritmética e geométrica seguem um padr#o definido$ e1plicitado nas perguntas 3.3 e 3.5. Dessemodo$ e levando em conta nossa ideia de "ue g é o análogo multiplicativo de m$ podemos di(er >demodo bastante informalK? "ue o problema 3.I é o análogo multiplicativo do problema 3.8.Como voc+ /á deve ter notado$ e1erc'cios do tipo @calcule m e g @ para valores numéricos de a e b n#ot+m muita gra%a. No restante deste módulo$ vamos nos preocupar n#o com valores numéricosespec'ficos$ mas sim com as propriedades de m e g para valores arbitrários de a e b.

E/erc0cio $%2 Calcule m e g "uando 'i( e 'ii( .

resultado desse -ltimo e1erc'cio mostra "ue m e g n#o s#o muito interessantes os casos

e . )ara uniformi(ar nossa e1posi%#o e nos concentrar nos casos de interesse$ vamos a partir de

agora supor "ue $ salvo men%#o e1pl'cita em contrário7 o>a? leitor>a? deve perguntar!se$ de

ve( em "uando$ o "ue aconteceria se ou . No caso de m$ pode!se também perguntar o"ue aconteceria se aparecesse algum valor negativo para a eLou b.

0amos pensar um pouco mais em m e g . Como $ temos $ ou

se/a$ . ogo

$

e mostramos "ue . embrando por um momento de nossa motiva%#o original >conformeproblema 3.3?$ isso n#o é surpresa7 se a$ m e b est#o em progress#o aritmética nessa ordem$ é claro"ue m está entre a e b. novidade a"ui é "ue mostramos esse fato diretamente a partir da defini%#o

http://crv.educacao.mg.gov.br/sistema_crv/index.aspx?ID_OBJETO=104110&tipo=ob&cp=B53C97&cb=&n1=&n2=M%EF%BF%BDdulos%20Did%EF%BF%BDticos&n3=Ensino%20Fundamental&n4=Matem%EF%BF%BDtica&b=s#_ftn1

http://crv.educacao.mg.gov.br/sistema_crv/index.aspx?ID_OBJETO=104110&tipo=ob&cp=B53C97&cb=&n1=&n2=M%EF%BF%BDdulos%20Did%EF%BF%BDticos&n3=Ensino%20Fundamental&n4=Matem%EF%BF%BDtica&b=s#_ftn1



algébrica de m.

Do mesmo modo$ temos >lembre!se "ue supomos a e bpositivos?$donde

$

e acabamos de mostrar "ue . 0ale a"ui um comentário análogo ao feito no final doparágrafo anterior.)odemos agora oferecer uma e1plica%#o >ra(oável$ esperamos? para o termo @média@7 ele tra( mentea ideia de @no meio@ ou @entre@$ "ue é o "ue acabamos de mostrar para m e g com rela%#o a a e b.0amos agora perguntar @"ual é o maior2 g ou m@. ,ssa pergunta$ como formulada$ n#o é boa$ pois

pode acontecer "ue 7 de fato$ voc+ /á viu no e1erc'cio 3.5 "ue isso acontece "uando .

)or outro lado$ se ent#o temos sempre . ,ssa é uma desigualdade muito importante emMatemática$ "ue vamos agora demonstrar.

)ara come%ar$ notamos "ue como temos ou$ o "ue é o mesmo$ .

Como o "uadrado de "ual"uer n-mero n#o nulo é maior "ue <$ segue "ue .

,1pandindo essa -ltima e1press#o$ obtemos e da'

ou se/a$ mostramos "ue . embrando "ue m e g est#o entre a e b$ podemos resumir nossasconclus&es como segue2

Fato $ %$ Se ent#o .,ste é um fato "ue admite uma bela interpreta%#o geométrica$ "ue veremos na se%#o 5.0amos supor agora "ue alguém nos di( "ue a média aritmética de dois n-meros a e b é m$ sem

nenhuma outra informa%#o sobre a e b$ nem mesmo se . "ue podemos di(er sobre a e b;Bma possibilidade é "ue ambos se/am iguais a m. 0amos pensar ent#o no caso em "ue pelo menos um

deles$ digamos a$ é diferente de m$ e suponhamos "ue 7 podemos ent#o afirmar "ue .De fato$ temos e nossa afirmativa segue. cabamos de mostrar o seguinte fato2 Fato $%) Se m é a média aritmética de dois n-meros ent#o vale uma >e só uma? das afirmativas aseguir2A ,sses n-meros s#o ambos iguais a m.A Bm dos n-meros é menor "ue m e o outro é maior "ue m.,m outras palavras$ se m é a média aritmética de dois n-meros ent#o n#o é poss'vel "ue essesn-meros se/am ambos maiores ou ambos menores "ue m.

0amos prosseguir um pouco nessa linha de ideias. Suponhamos e consideremos as

diferen%as e . emos

,sta e1press#o nos di( "ue . ogo e t+m o mesmo valor absoluto7 um deles é positivo >o @e1cesso@? e o outro negativo >a @falta@?. Desse modo$ a e1press#o @oe1cesso compensa a falta@$ habitualmente usada em te1tos sobre médias$ nada mais é "ue uma

maneira colo"uial de se referir a . Com um pe"ueno abuso de linguagem$

podemos incluir a possibilidade nessa e1press#o$ pensando "ue nesse caso tanto o e1cesso"uanto a falta s#o iguais a <.

)ara e1emplificar$ se/am e 7 a"ui temos . ,nt#o e

como esperado$ temos .)ara a média geométrica temos o seguinte análogo do Fato 3.5. Fato $% Se g é a média geométrica de dois n-meros ent#o vale uma >e só uma? das afirmativas a

seguir2



A ,sses n-meros s#o ambos iguais a .

A Bm dos n-meros é menor "ue e o outro é maior "ue . "ui também temos comentários análogos aos feitos após o fato 5. Notamos$ em particular$ as

conse"u+ncias da e1press#o $ "ue é o análogo multiplicativo da

e1press#o . ,la nos mostra "ue ou ou ent#o "ue um dos

n-meros e é maior "ue 3$ o outro sendo menor "ue 3. ,sses n-meros s#o os análogosmultiplicativos do e1cesso e da falta "ue analisamos no caso da média aritmética7 vemos assim "uea"ui a e1press#o @o e1cesso cancela a falta@ também fa( sentido$ se interpretada do ponto de vistamultiplicativo.0amos agora discutir o significado numérico de m. ,m outras palavras$ "ueremos responder pergunta2@conhecido m$ o "ue podemos di(er sobre a e b;@. Já fi(emos algo nesta dire%#o no Fato 3.5$ bem

como nos comentários sobre @o e1cesso cancela a falta@. 4nfeli(mente$ dispondo apenas de m$ n#o hámais muito o "ue falar7 pares de n-meros bastante diferentes podem ter a mesma média aritmética. )or e1emplo$ os pares de n-meros >9<$9<?$ >IO$95?$ >I<$<?$ >5<$3<<?$ >5$ EO? e >3$EE? t+m todos a mesmamédia aritmética 9<.,m outras palavras$ e1press&es como @o salário médio dos dois diretores da firma é 63<<<$<<@ deveser tratada com cuidado. ,la n#o "uer di(er "ue ambos os diretores ganham e1atamente 63<<<$<<$nem "ue ambos ganham mais ou menos este valor. udo o "ue podemos tirar dessa afirmativa é o "ueenunciamos no fato 3.52 ou ambos ganham 63<<<$<< ou um deles ganha mais "ue 63<<<$<<$en"uanto o outro ganha menos. P poss'vel$ por e1emplo$ "ue um deles ganhe 69<<$<< e ou outro639<<$<<.,m resumo$ o problema é "ue$ conhecendo apenas m$ n#o sabemos o "uanto a e b ficam distantesdem. 4sso torna imposs'vel fa(er alguma estimativa mais precisa de a e b. E/erc0cio $%3 Discuta o significado numérico de g $ nos moldes do "ue acabamos de fa(er.)ara terminar esta se%#o$ um e1erc'cio para os "ue n#o t+m medo de logaritmos e e1ponenciais.

E/erc0cio $%. Se/am a e b n-meros n#o negativos e m e g suas médias aritmética e geométrica$respectivamente.

a? Mostre "ue é a média aritmética de e >a base 3< foi escolhidaarbitrariamente7 "ual"uer outra leva ao mesmo resultado?.

b? Mostre "ue é a média geométrica de e >a base 5 foi escolhida arbitrariamente7"ual"uer outra leva ao mesmo resultado?. )% Inter4reta56es geométricas das médias aritmética e geométricaNesta se%#o vamos mostrar como interpretar geometricamente as médias aritmética e geométrica dedois n-meros a e b. Come%amos com uma simples constru%#o geométrica da média aritmética.

'rolema )%$ )a #igura temos e * é o ponto médio de A+. "ual é o comprimentode A*

Como o comprimento de A, é e * é o pontomédio de A,$ segue imediatamente

"ue . interpreta%#o de m proposta no e1erc'cio 3.8 aparece no problema a seguir. 'rolema )%) Um ret-ngulo R tem lados a e b e um uadrado " tem o mesmo per/metro do ret-ngulo."ual é o lado de "

per'metro de R é Se é o lado de " ent#o o per'metro de " é . Da



e"ua%#o tiramos $ ou se/a$ . proveitamos para @arrematar@ o e1erc'cio 3.8. 'rolema )% Um ret-ngulo R tem lados a e b e um uadrado " tem a mesma área do ret-ngulo. "ual é o lado de "

área de R é . Se é o lado de "$ a área de " é . Da e"ua%#o tiramos $

ou se/a$ .Falta uma constru%#o geométrica para g $ "ue providenciamos a seguir.

'rolema %) )a #igura ao lado temos e . ponto * é o ponto médio do segmento A+ e a perpendicular a A+ em , intercepta o semic/rculo de di-metro A+ no ponto P. "ual é ocomprimento de P,

*ngulo é reto$ pois é inscrito na

semicircunfer+ncia. ogo econclu'mos "ue os tri*ngulos A,P e P,+ s#o

semelhantes >e1pli"ue?. emos ent#o 7

logo $ ou

se/a$ . figura desse -ltimo problema nos dá bem mais "ue uma constru%#o de g 7 ela também fornece uma

demonstra%#o geométrica do Fato 3.3$ isto é$ de "ue "uando ent#o >note "ue

a figura foi feita supondo ?. Como $ temos . lém disso

$ pois ambos s#o raios da circunfer+ncia7 e finalmente temos $ pois *P é ahipotenusa >e logo o maior lado? do tri*ngulo *P,. ,m resumo$ mostramos "ue .Substituindo as e1press&es para *A e P,$ obtemos

ou se/a$ . fato é evidente na figura. Falta apenas mostrar "ue $ ou se/a$

"ue 7 dei1amos isto como um e1erc'cio de geometria para o>a? leitor>a?. 0ale a penaentender bem este problema$ "ue ilustra uma linda cone1#o entre geometria e álgebra.

bservamos "ue a figura foi feita para o caso . Se ent#o , coincidiria com * e

ter'amos . 4sso mostra "ue a igualdade ocorre apenas "uando .

'rolema )% Por um ponto ) e%terior a uma circun#erncia traçase uma secante ue corta a

circun#erncia nos pontos eQ bem como a tangente ). 3abendo ue e ual é ocomprimento de )Bm conhecido teorema de geometria di( "ue os

*ngulos e $ assinalados na figura$ s#o iguais.ogo os tri*ngulos P4A e P4, s#o semelhantes$ pois além

destes dois *ngulos iguais eles t+m o *ngulo em

comum. emos ent#o $ donde

tiramos $ ou se/a$ .

E/erc0cio )%$ A #igura mostra duas circun#erncias decentros A e , e di-metros a e b respectivamente. 5las s6o



tangentes entre si e ambas tangenciam uma mesma reta como ilustrado. *ostre ue

e .

% Médias aritmética e geométrica em geral

0amos agora definir as médias aritmética e geométrica para dois ou mais n-meros. Se éuma lista de n-meros reais$ sua média aritméticaé

Se nenhum dos n-meros é negativo$ sua média geométricaé

Nossos velhos amigos m e g da Se%#o 3 s#o apenas casos particulares desta defini%#o7 de

fato$ e .

'rolema %$ +alcular e .Qasta usar as defini%&es2

e . utra ve($ vemos "ue apenas ficar calculando médias n#o tem grande interesse. Como na Se%#o 3$vamos nos preocupar em comentar o "ue elas "uerem di(er e investigar algumas de suas aplica%&es7grande parte do "ue fi(emos na"uela se%#o se aplica a"ui$ de modo "ue seremos um pouco mais

breves.

Como antes$ e s#o respostas s perguntas a seguir2

Pergunta 7.1: conhecendo a soma dos n-meros $ "ual deveria ser seu valor comum seeles fossem todos iguais;

Pergunta 7.2: conhecendo o produto dos n-meros $ "ual deveria ser seu valor comum seeles fossem todos iguais;

E/erc0cio %$ Mostre "ue e s#o realmente as respostas sperguntas 8.3 e 8.5$ respectivamente.Como na Se%#o 3$ podemos escrever2A @média@ das parcelas "ue contribuem para uma soma é a média aritmética dessas parcelas. conceito a"ui é @média [email protected] @média@ dos fatores contribuem para um produto é a média geométrica desses fatores. conceito a"ui é @média multiplicativa@.

inda como na Se%#o 3$ podemos pensar em como o análogo multiplicativo

de . E/erc0cio %) preço de um livro teve aumentos anuais sucessivos de R$1000 R$2000 R$8000 eR$7000. "ual #oi o aumento médio do preço nesses uatro anos E/erc0cio %) preço de um livro teve aumentos percentuais anuais sucessivos de 10& 20& 80& e70&. "ual #oi o aumento percentual médio do preço nesses uatro anos

s comentários sobre o significado da média aritmética da Se%#o 3 se aplicam a"ui. Consideremos$ por e1emplo$ a e1press#o @o salário médio dos empregados de uma empresa é 69<<<$<<@. 4sto "uer di(er



"ue se a empresa tem n empregados e a soma de seus salários é 3$ ent#o . Comointerpretar este n-mero; Certamente ele n#o nos permite afirmar "ue todos os empregados ganham69<<<$<<7 por e1emplo$ a empresa poderia ter 9 empregados$ um deles ganhando 653<<<$<< e osoutros "uatro 63<<<$<< cada um7 de fato$

.0emos "ue$ mesmo conhecendo a média$ n#o podemos afirmar "ue todos os empregados ganhamapro1imadamente o mesmo salário. Note "ue$ neste e1emplo$ isso é devido ao fato de "ue um dossalários é muito alto em compara%#o com a média e os outros s#o pe"uenos$ também em compara%#ocom a média. Bma observa%#o simples$ também ilustrada por esse e1emplo$ é "ue a média de umcon/unto de n-meros pode ser diferente de todos os n-meros do con/unto.0amos agora verificar "ue @os e1cessos compensam as faltas@ para a média aritmética. )ara simplificar$

escrevemos . )ara cada um dos n-meros $ seu e1cesso ou falta é dado

por . soma desses e1cessos e faltas é ent#o

E/erc0cio % 0erifi"ue a e1press#o acima para uma lista de seis n-meros "uais"uer. E/erc0cio %1 Fa%a uma pe"uena e1posi%#o sobre a e1press#o @os e1cessos compensam as faltas@ nocaso da média geométrica.

0imos acima "ue $ onde . considera%#o dessa e1press#o nos permite tirar algumas conclus&es sobre m$ análogas "uelas daSe%#o 3. 0amos enunciar algumas dessas conclus&es.

Fato %$ Suponhamos "ue a lista de n-meros este/a em ordem crescente e "ue essesn-meros n#o se/am todos iguais. ,nt#o

primeira e a terceira desigualdades n#o s#o dif'ceis de /ustificar$ e fa(er isto fica para o>a? leitor>a?.Justificar a desigualdade entre as médias aritmética e geométrica$ no entanto$ é bastante dif'cil e n#oserá feita nesse módulo.

Fato %) Se m é a média aritmética de uma lista de n-meros ent#o vale uma >e só uma?das afirmativas a seguir2A odos os n-meros da lista s#o iguais a m.A )elo menos um dos n-meros da lista é menor "ue m e pelo menos um é maior "ue m.,$ para terminar$ enunciamos o fato análogo para g .

Fato % Se g é a média geométrica de uma lista de n-meros ent#o vale uma >e só uma?das afirmativas a seguir2

A odos os n-meros da lista s#o iguais a g .A )elo menos um dos n-meros da lista é menor "ue g e pelo menos um é maior "ue g .>a? leitor>a? n#o deve ter dificuldades em /ustificar os fatos 8.5 e 8.8. 1% A média 4onderadaConsideremos o seguinte problema. 'rolema 1%$ "ual é a média dos n9meros 111177

Qasta calcular $ e fim7 nada de novo. Só fi(emos isso para "ue voc+ preste

aten%#o ao fato de "ue a resposta pode ser escrita como $ "ue pode ser @e1plicada@

assim2A o numerador corresponde ao fato de "ue nossa lista de n-meros tinha I n-meros iguais a 3 eoutros 5 n-meros iguais a 87



A o denominador é $ "ue é a "uantidade de n-meros na lista.

Mais geralmente$ dada uma lista de n-meros$ di(emos

"ue o peso de nessa lista é $ o peso de é e assim por diante7 note "ue @peso@ nada maisé "ue um sinRnimo para @o n-mero de ve(es "ue aparece na lista@. Definimos ent#o a média ponderada

dos n9meros com os pesos pela e1press#o

Com essas defini%&es$ o enunciado do problema I.3 pode ser reescrito como @calcule a médiaponderada dos n-meros 3 e 8 com pesos I e 5$ respectivamente@ . E/erc0cio 1%$ Calcule a média ponderada dos n-meros 3$ 5$ 8$ I e 9 com pesos $ 5$ I$ 5 e I$respectivamente.Como voc+ deve ter notado$ n#o há grande diferen%a entre as médias aritmética e ponderada. :uandotemos uma lista de n-meros e informa%#o sobre o peso com "ue esses n-meros aparecem$ a

e1press#o da média ponderada é -til apenas por ser mais rápida para escrever e calcular. No entanto$ amédia aritmética aparece naturalmente em problemas como o "ue vamos resolver. 'rolema 1%) meninas e 2 meninos comeram biscoitos. As meninas comeram em média com 2 biscoitos e os meninos 8 biscoitos. "ual #oi o consumo médio de biscoitosP tentador oferecer a resposta 8$9$ "ue é média aritmética das médias 5 e 9 do enunciado7 o racioc'nioa"ui é algo como @a média geral é a média das médias@. No entanto$ esta resposta está errada$ pois se

pessoas comem em média 8$9 biscoitos cada uma ent#o elas comer#o um total debiscoitos. Mas este n#o é o total de biscoitos comido. De fato$ como as meninas comeram em média 5

biscoitos$ elas comeram um total de biscoitos7 do mesmo modo os meninos comeram

biscoitos. consumo real de biscoitos foi ent#o de biscoitos$ ou se/a$ 3O biscoitos.

consumo médio real é fácil de calcular. Como temos pessoas entre meninos e meninas e

foram consumidos biscoitos$ vemos "ue foram consumidos$ em média$

biscoitos por pessoa.btemos assim a resposta ao nosso problema como a média ponderada das médias7 os pesos dasmédias v+m do n-mero de pessoas em cada grupo$ no caso$ as meninas e os meninos. E/erc0cio 1%) tabela ao lado mostra a distribui%#o das idades dos alunos de uma turma. :ual é aidade média dos alunos desta turma; E/erc0cio 1% ,m uma sala de aula e1istem 35 meninos e 3O meninas. Sabe!se "ue a altura médiadesses meninos é 3$9m e "ue a altura média das meninas é 3$9Om. Determine a altura média dosalunos dessa sala de aula.0amos agora descobrir a origem do erro cometido no in'cio da solu%#o do problema I.3. )ara isso$reescrevemos a e1press#o da média das médias2

Idade 7o de alunos

3I

39 E

3 35

3 O



.0emos assim "ue o racioc'nio errado leva ao cálculo da média ponderada dos n-meros 5 e 9 compesos 8 e 8$ e n#o com pesos I e 5$ como o problema e1igia.

E/erc0cio 1%1 ,1pli"ue por"ue a média ponderada de uma lista de n-meros com pesosiguais é igual média aritmética desses n-meros.

G3H ,ste é um erro comum$ ocasionado por n#o perceber "ue o segundo aumento incide n#o sobre opre%o original do livro$ mas sim sobre o resultado do primeiro aumento. 4sso deve ficar claro$ por e1emplo$ na e1press#o para o pre%o final do livro.

M"dulo Did8tico! Médias aritmética e geométricaCurr0culo 98sico Comum - Matem8tica - Ensino FundamentalAutor(es! Francisco Duten:e;ner< =orge >aatucci< M8rio =orge Dias Carneiro e Mic:el >4iraCentro de ?e;er@ncia irtual do 'ro;essor - >EE-MB + mar5o ),,.

http://crv.educacao.mg.gov.br/sistema_crv/index.aspx?ID_OBJETO=104110&tipo=ob&cp=B53C97&cb=&n1=&n2=M%EF%BF%BDdulos%20Did%EF%BF%BDticos&n3=Ensino%20Fundamental&n4=Matem%EF%BF%BDtica&b=s#_ftnref1

http://crv.educacao.mg.gov.br/sistema_crv/index.aspx?ID_OBJETO=104110&tipo=ob&cp=B53C97&cb=&n1=&n2=M%EF%BF%BDdulos%20Did%EF%BF%BDticos&n3=Ensino%20Fundamental&n4=Matem%EF%BF%BDtica&b=s#_ftnref1

Médias Aritmética e Geométrica

Documents

Transcript of Médias Aritmética e Geométrica