Medidas em geometria

Ponto da situação: Julho • 5 • 2008

O que vimos este ano

• Dedekind, Números irracionais

• Pedro M M

• os cortes de Dedekind

O que vimos este ano

• Dedekind, Números irracionais

• Pedro M M

• os cortes de Dedekind

• introdução dos irracionais

• recta real (conexão geometria-números)

O que vimos este ano

• Lebesgue, La mesure des grandeurs

• Manuela e Florinda

• medidas de comprimento

• área e volume (ainda por ver)

•

O que vimos este ano

• Lebesgue, La mesure des grandeurs

• Manuela e Florinda

• medidas de comprimento

• área e volume (ainda por ver)

• número (desde os naturais aos reais)

como medida de segmentos

• representação decimal dessas medidas

O que vimos este ano

• Boltianski, Hilbert’s Third Problem

• Eduardo

• conceito elementar de área

• introdução axiomática da área

• inclui área do rect = a.b

• todo o polígono é quadrável

• dois polígonos equivalentes (igual área) são equidecomponíveis

• exemplos

O que vimos este ano

• Boltianski, Hilbert’s Third Problem

• Eduardo

• conceito elementar de área

• introdução axiomática da área

• inclui área do rect = a.b

• todo o polígono é quadrável

• dois polígonos equivalentes (igual área) são equidecomponíveis

• exemplos

• introdução muito completa

O que vimos este ano

• David Gay, Geometry by Discovery

• Nuno

• comprimento, área, volume

• apresentação das ferramentas:

• fórmulas, decomposições, aproximações

• circunferência: perímetro e área, estudo muito completo

• volume: pirâmide triangular e esfera, soma de fatias, Arquimedes

O que vimos este ano

• David Gay, Geometry by Discovery

• Nuno

• comprimento, área, volume

• apresentação das ferramentas:

• fórmulas, decomposições, aproximações

• circunferência: perímetro e área, estudo muito completo

• volume: pirâmide triangular e esfera, soma de fatias, Arquimedes

• óptimos elementos para trabalhar e completar

O que faltou ver melhor

• Univ. de Berkeley, Polygon dissection gallery

O que faltou ver melhor

• Univ. de Berkeley, Polygon dissection gallery

Em conclusão...:

• O que vimos, se melhor explorado e discutido e estendido, é um índice bem completo das questões principais, no entanto:

• diz respeito principalmente à formação de professores inicial e contínua e não

•

Em conclusão...:

• O que vimos, se melhor explorado e discutido e estendido, é um índice bem completo das questões principais, no entanto:

• diz respeito principalmente à formação de professores inical e contínua e não

• à didáctica das medidas em geometria, sobre a qual pouco avançámos.

• Mesmo o site de Berkeley, que pode dar bos ideias para o ensino, está claramente feito para alunos futuros professores e actuais professores e não para utilização directa no ensino dos primeiros anos, por exemplo.

Em conclusão...:

• Portanto, eu diria que falta (mais de) metade do trabalho

que um grupo de trabalho de uma associação de

professores devia fazer sobre este tema...

• e que portanto temos que decidir:

Em conclusão...:

• Portanto, eu diria que falta (mais de) metade do trabalho

que um grupo de trabalho de uma associação de

professores devia fazer sobre este tema...

• e que portanto temos que decidir:

• Queremos levar isto até ao fim ou ficar por aqui?

Se for para continuar...:

• Haveria trabalho a fazer

• a nível interno do GTG

•

Se for para continuar...:

• Haveria trabalho a fazer

• a nível interno do GTG

• e, a certa altura, alguma acção externa

A nível interno do GTG:

Investigar

1. Quais são as práticas reais actuais, no ensino básico (talvez dividindo em duas partes; primeiros anos (1º e 2º ciclos) e 3º ciclo), relativamente às medidas em geometria

• entrevistas (profs, formadores, ESES) e estudo de documentação (itens..., manuais, outros textos)

•

A nível interno do GTG:

Investigar

1. Quais são as práticas reais actuais, no ensino básico (talvez dividindo em duas partes; primeiros anos (1º e 2º ciclos) e 3º ciclo), relativamente às medidas em geometria

• entrevistas (profs, formadores, ESES) e estudo de documentação (itens..., manuais, outros textos)

2. Qual é a proposta subjacente nos novos programas?

A nível interno do GTG:

Investigar

3. O que se faz por esse mundo?

• Normas e manuais americanos

• Espanha (Pedro?...)

• Outros países

• As medidas em geometria na história da

matemática: Arquimedes, as quadraturas, os indivisíveis

•

A nível interno do GTG:

Investigar

3. O que se faz por esse mundo?

• Normas e manuais americanos

• Espanha (Pedro?...)

• Outros países

• As medidas em geometria na história da

matemática: Arquimedes, as quadraturas, os indivisíveis

4. O que existe na Internet? Pesquisar sistematicamente...

A nível interno do GTG:

• alguns exemplos:

• http://www.curriculumsupport.education.nsw.gov.au/primary/mathematics/k6/programming/program_support/prog_support/prog_support/area/docs/area.pdf

• http://mathforum.org/library/topics/measurement/branch.html

• http://mathforum.org/varnelle/krods.html

• http://illuminations.nctm.org/LessonDetail.aspx?id=L720

A nível interno do GTG:

Reflectir

• Para podermos reflectir sobre o que vamos investigar, e mesmo para investigar seriamente,

temos que partir com uma ideia qualquer...

•

A nível interno do GTG:

Reflectir

• Para podermos reflectir sobre o que vamos investigar, e mesmo para investigar seriamente,

temos que partir com uma ideia qualquer...

• devíamos, nos próximos tempos, pensar todos

no que imaginamos poderia ser um ensino das medidas em geometria ao longo de toda a escolaridade obrigatória

A nível interno do GTG:

Partir com uma ideia qualquer...

• Primeiros anos (1º e 2º ciclos)

• os números a considerar são os naturais, inteiros e racionais (admitimos que os reais apenas aparecem no 3º ciclo)

• comprimento, área (porção da mesa, do plano, ..., ocupada), volume (espaço ocupado) (portanto não necessariamente associada a um número, mais à Euclides)

A nível interno do GTG:

Partir com uma ideia qualquer...

• Primeiros anos (1º e 2º ciclos)

• inicialmente, a exploração das medidas tem a ver fundamentalmente com comparações (mais comprido, maior área, menor volume)

• utilização permanente de materiais manipuláveis (cuisenaire, geoplano, tangram) e applets

• http://mathforum.org/varnelle/krods3.html

A nível interno do GTG:

Partir com uma ideia qualquer...

• Primeiros anos (1º e 2º ciclos)

• utilização dos métodos experimentais de Arquimedes para comparações e também dos indivisiveis (Cavalieri e outros)

• arroz, água, ...

• geoplano, papel quadriculado, área do rectângulo (unidade de área, unidade de área/100, ...)

• dissecções (Berkeley para os pequeninos...)

A nível interno do GTG:

Partir com uma ideia qualquer...

• Primeiros anos (3º ciclo)

• números irracionais

• a diagonal do quadrado é incomensurável com o lado (dobragens, Conway) e dem.

√2≠a/b

• dízimas, periódicas, não periódicas

• aproximação dos irracionais por racionais...

A nível interno do GTG:

Partir com uma ideia qualquer...

• Primeiros anos (3º ciclo)

• a fórmula da área do rectângulo serve para os irracionais (dogma?)

• número π (experimental... dízima

infinita...o teu nome está no π (Ciência Viva), etc ...

• espiral de Arquimedes e rectificação da circunferência GSP

• área da circunferência GSP

A nível interno do GTG:

Partir com uma ideia qualquer...

• Primeiros anos (3º ciclo)

• mais dissecções

• mais experiências com volumes (Arquimedes)

• área da ciclóide por indivisíveis

• outras áreas e volumes (elipse, elipsóide, toro, etc...)

A nível interno do GTG:

Partir com uma ideia qualquer...

• Secundário

• assentar ideias (área de uma figura qualquer existe?, Boltianski), propriedades da área, polígonos são sempre quadráveis... equidecomposição... etc.

• pré-história do cálculo, primeiras ideias de integral e de derivada, ...

• fractais ........

Acção externa:

• Preparação de um texto GTG com uma

proposta sobre a didáctica das medidas em geometria

•

Acção externa:

• Preparação de um texto GTG com uma

proposta sobre a didáctica das medidas em geometria

• Seminário de um dia para discussão desse texto com professores convidados: autores de manuais, de brochuras, de programas...

•

Acção externa:

• Preparação de um texto GTG com uma

proposta sobre a didáctica das medidas em geometria

• Seminário de um dia para discussão desse texto com professores convidados: autores de manuais, de brochuras, de programas...

• Publicação do texto revisto, introduzindo alterações tomadas em consideração e aceites pelo GTG