Mef

Mtodo dos Elementos Finitos2014/15

(www2.dec.fct.unl.pt/seccoes/S_Estruturas/Elementos_finitos)

Corneliu Cismaiu

Departamento de Engenharia CivilFaculdade de Cincias e Tecnologia

Universidade Nova de Lisboa

[email protected]

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Mtodo dos Elementos Finitos 2014/15

Programa

Apresentao

Introduo: Mecnica computacional; Mtodos dediscretizao; MEF; Problemas fsicos/Modelos Matemticos

Introduo ao MEF: Modelos matemticos discretos;Modelos matemticos contnuos: Formulao diferencial,Formulao em resduos ponderados, Diferenas finitas

Mtodo dos Elementos Finitos: Sistema governativo;Mtodo dos deslocamentos; Tipos de elementos finitos:elemento de barra, elemento plano; Uso de programas deelementos finitos (GiD + Calsef); Erros na anlise;Convergncia da soluo

Aplicaes: Barras, estado plano de tenso, lajes

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Bibliografia

[1] K. J. Bathe. Finite element procedures. Prentice-Hall, 1996.(COTA: TA347.BAT)

[2] O. C. Zienkiewicz and R. L. Taylor and J. Z. Zhu. The finite element method. Volume 1: ItsBasis and Fundamentals. Butterworth-Heinemann, 2005.(COTA: TA640.2.ZIE)

[3] J. N. Reddy. An Introduction to the Finite Element Method. McGraw Hill, 1993.(COTA: TA347.RED)

[4] A. F. M. Azevedo. Mtodo dos elementos finitos. FEUP, 2003.(http://www.alvaroazevedo.com/publications/books/Livro_MEF_AA_1ed)

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Avaliao de Conhecimentos - contnua sem exame ou trabalho final

Havero ao longo do perodo lectivo trabalhos de grupo (2 elementos) aos quais ser atribudaclassificao. Ao fim do semestre, os alunos sero convocados para realizar uma prova oral emque tero de defender estes trabalhos, ao fim de obter a sua classificao final.

ainda exigido que o nmero de faltas no justificadas s aulas no exceda um tero do nmerototal de aulas leccionadas respectiva turma. O no cumprimento desta condio implica areprovao na disciplina.

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Estrutura dos trabalhosDeve seguir a estrutura de uma artigo cientfico: Ttulo; Autor(es); Resumo; Palavras-chave;Contedo (introduo, desenvolvimento e concluso); Referncias bibliogrficas.

Assim NO!

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Programa de clculo automtico

CompassFEM-8.0.2R1

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Introduo reas da Mecnica

Mecnica terica - Estuda as Leis Fundamentais e os Princpios daMecnica

Mecnica aplicada - Transfere o conhecimento terico construo demodelos matemticos de fenmenos fsicos da rea de cinciae da engenharia

Mecnica computacional - Resolve problemas especficos atravs dasimulao utilizando mtodos numricos implementados emcomputadores digitais

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Introduo reas da Mecnica

Mecnica computacional - procura solues a dados problemas

Mecnica aplicada - procura os problemas que admitem dadas solues

Mecnica terica - prova a existncia de problemas e solues

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reas da Mecnica Mecnica computacional

Nano-mecnica e Micro-mecnica - Fenmenos a escala molecular eatmica - concepo de novos materiais e demicro-dispositivos

Mecnica dos meios contnuos - Estudo de corpos a escala macroscpicautilizando modelos contnuos em que a micro-estrutura esthomogeneizada

Mecnica dos slidos e das estruturasMecnica dos fluidosMecnica dos sistemas multi-fsicos

Sistemas funcionais - Estudo de mecanismos estruturais, mecnicos,bio-mecnicos, etc.

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Mecnica computacional Mtodos dediscretizao

Converter um modelo matemtico contnuo num modelo discreto com umnmero limitado de graus de liberdade.

Mtodo dos Elementos Finitos (Finite Element Method)

Mtodo dos Elementos de Fronteira (Boundary Element Method)

Mtodo das Diferenas Finitas (Finite Difference Method)

Mtodo dos Volumes Finitos (Finite Volume Method)

Mtodo Espectral (Spectral Method)

Mtodo sem Malha (Mesh-Free Method)

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Mtodos de discretizao Mtodo dosElementos Finitos

Formulao do MEF

DeslocamentosEsforos

Mista - u e no domnio, ou u na fronteiraHbrida - u ou no domnio, ou u na fronteira

Soluo do MEF

RigidezFlexibilidade

Mista

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Mtodos de discretizao Mtodo dosElementos Finitos

Obter a soluo de um problema de engenharia utilizando o MEF significaessencialmente construir e resolver um sistema governativo de equaesalgbricas.

Desenvolvimento dos computadores digitais

MEF eficiente e confivel

Grande desenvolvimento do MEF para aplicaes prticas de engenharia

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Mtodo dos Elementos Finitos Histria

Origem do MEF - trs grupos de investigao nas reas de:

Matemtica Aplicada - R. Courant (1952, 1953)

Fsica - J. L. Synge (1957)

Engenharia - J. H. Argyris e S. Kelsey (1954, 1955)

Contribuies muito significativas na rea de engenharia - J. H. Argyris, S. Kelsey, M. J. Turner,R. W. Clough, H. C. Martin, L. J. Topp, O. C. Zienkiewicz, Y. K. Cheung.

Clough, R. W. The Finite Element Method in Plane Stress Analysis, Proceedings, Second ASCEConference on Electronic Computation, Pittsburg, PA, pp. 345-378, Sept. 1960.

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Anlise por Elementos Finitos

Interpretaao dos resultadosProblema fsico

Modelo matemticoGovernado por equaes diferenciais

geometriacinemtica

lei do materialcarregamento

condies de fronteiraetc.

Premissas sobre:

Refinamento da malha,parmetros da soluo, etc.

Soluo em Elementos FinitosEscolha:

tipo de elementos finitosdensidade da malha

parmetros da soluo

Representao:carregamento

condies de fronteira

Avaliao da precisaoda soluo em

elementos finitos domodelo matemtico

Aperfeioamento da concepoOptimizao estrutural

Refinamento da anlise

Aperfeioamentodo modelo matemtico

Alterao do problemafsico

Soluo em Elementos Finitos do Modelo Matemtico

A anlise por elementos finitos resolve o modelo matemtico.

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Modelos matemticos

Propriedades do modelo matemtico:

Eficcia - permite a obteno da soluo com a preciso desejada aum custo mnimo

Confiabilidade - produz uma soluo que se sabe ser contida dentro deuma margem de erro escolhida a priori

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Problemas fsicos/Modelos matemticos

Problema fsico

pinos 2 cm

1000 N

10 cm 28 cm

6 cm 2 cm

4 cm

4 cm

8 cm

2 cm

2 cm

E = 2 107 N/cm2 = 0.3 t = 0.4 cm

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Modelo matemtico - Teoria de viga

F

L

h

F = 1000 N

L = 28 cm A =5

6A

h = 6 cm t = 0.4 cm

Mmx = F L = 28000 Ncm

mx =FL3

3EI+

FL

GA 0.053 cm

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Modelo matemtico - Estado plano de tenso

Mmx = 29448 Ncm mx = 0.070 cm

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Mestado plano tenso MvigaMestado plano tenso

100 5%

estado plano tenso vigaestado plano tenso

100 24%

O modelo matemtico viga confivel para uma predio do momento flectormximo com um erro no superior a 5% e do deslocamento mximo comuma preciso de apenas 25% quando comparados com a soluo obtida numaanlise elstica linear em estado plano de tenso. Tambm eficiente, tendoem conta o esforo computacional necessrio.

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Modelo matemtico - Estado plano de tenso

Deformada e o campo das tenses tangencias

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Anlise por Elementos Finitos

- A escolha do modelo matemtico deve ser em concordncia com a soluo queser prevista.

- O modelo matemtico mais eficiente o que fornece uma resposta confivel como mnimo esforo computacional.

- Uma soluo em elementos finitos pode resolver com a preciso desejada apenaso modelo matemtico escolhido, podendo prever apenas os fenmeno contidos nomodelo.

- A confiabilidade do modelo matemtico tem a ver com a avaliao da precisoda soluo quando comparada com a soluo obtida com um modelo matemticomuito mais complexo.

Na prtica refinamento (p ou/e h) e experincia em engenharia

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Desastres de Engenharia provocados por erroscomputacionais

Ateno! Os erros computacionais em situaes da vida real podem sairmuito caro. . .

On February 25, 1991, during the Gulf War, an AmericanPatriot Missile battery in Dharan, Saudi Arabia, failed totrack and intercept an incoming Iraqi Scud missile. The Scudstruck an American Army barracks, killing 28 soldiers andinjuring around 100 other people.The Patriot Missile failure,is ultimately attributable to poor handling of rounding errors.

Excerpted from the report of the General Accounting office GAO/IMTEC-92-26

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The explosion of the Ariane 5 rocket just after lift-off on its maiden voyage off French Guiana,on June 4, 1996, was ultimately the consequence of simple overflow.

Excerpted from the report of the Inquiry Board ARIANE 5. Flight 501 Failure

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The sinking of the Sleipner A offshore platform in Grandsfjorden near Stavanger, Norway, onAugust 23, 1991, resulted in a loss of about 700 million dollars. The post accident investigationtraced the error to inacurrate finite element approximation using the popular finite elementprogram NASTRAN.

Excerpted from SINTEF, Civil and Environmental Engineering

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Introduo ao MEF

Anlise de um problema de engenharia:

Idealizao do problema

Formulao do modelo matemtico

Modelos discretos com massa concentradaModelos contnuos

Resoluo do modelo matemtico

Interpretao dos resultados

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Introduo ao MEF Modelos matemticosdiscretos

O problema pode ser descrito com a preciso desejada por intermdio de umnmero finito (pequeno) de variveis.

Idealizao do problema

Equilbrio dos elementos

Assemblagem dos elementos

Clculo da resposta

Tipo de problemas: estacionrios, de propagao, valores e vectores prprios.

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Modelos matemticos discretos Problemasestacionrios

Sistema de molas elsticas - solicitao esttica

k1

k4

k5

R2

R3R1

u1 u2 u3

k2

k3

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Equaes de equilbrio dos elementos

u1

k1 F1(1)

k1 0 00 0 00 0 0

u1u2u3

=

F(1)100

u2

F1(2)

F2(2)k2

u1

k2 k2 0k2 k2 00 0 0

u1u2u3

=

F(2)1

F(2)20

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u2

F1(3)

F2(3)k3

u1

k3 k3 0k3 k3 00 0 0

u1u2u3

=

F(3)1

F(3)20

u3

F1(4)

F3(4)k4

u1

k4 0 k40 0 0

k4 0 k4

u1u2u3

=

F(4)10

F(4)3

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u3

F2(5)

F(5)k5

u2

3

0 0 00 k5 k50 k5 k5

u1u2u3

=

0

F(5)2

F(5)3

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F(1)1 + F

(2)1 + F

(3)1 + F

(4)1 = R1

F(2)2 + F

(3)2 + F

(5)2 = R2

F(4)3 + F

(5)3 = R3

k1 + k2 + k3 + k4 (k2 + k3) k4(k2 + k4) k2 + k3 + k5 k5

k4 k5 k4 + k5

u1u2u3

=

R1R2R3

K u = R

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Modelos matemticos discretos Problemas depropagao

Sistema de molas elsticas - solicitao dinmica

k1

k4

k5

u1 u2 u3

R (t)2

R (t)3R (t)1

k2

m3m2m1

k3

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Modelos matemticos discretos Problemas depropagao


F(1)1 + F

(2)1 + F

(3)1 + F

(4)1 = R1(t)m1u1

F(2)2 + F

(3)2 + F

(5)2 = R2(t)m2u2

F(4)3 + F

(5)3 = R3(t)m3u3

Mu + K u = R(t) onde M =

m1 0 00 m2 00 0 m3

Condies iniciais:u(t = 0) = u0 u(t = 0) = u0

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Modelos matemticos discretos Problemas devalores e vectores prprios

Sistema de molas elsticas - vibraes livres

k1

k4

k5

u1 u2 u3

k2

m3m2m1

k3

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Modelos matemticos discretos Problemas devalores e vectores prprios

u = sin(t )

M u + K u = 0

2M sin(t ) + K sin(t ) = 0

K = 2M

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Modelos matemticos discretos

Exemplos de anlises utilizando o mtodo dos elementos aplicados (AppliedElement Method)

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Natureza das solues

Sistema discreto e condies de carregamento

r2k = kL

2r1

k = kL2

L L

P

F

2F

m/2m

kbarra rgida barra rgidaA BC

Td

tTd

F = sin

t t

F P

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Natureza das solues

ku 2

mu1kL

2

kL2

kL2

P

F

2u

2F

1u

2

mu2

cos cos 1 sin u1L

sin u2 u1L

Mdt.B = P(u2 u1) + ku2L+mu2

2L FL+ kL2 u2 u1

L= 0

MA = Pu2 + ku22L+mu2

22L F2L 2FL+mu1L+ kL2

u1

L= 0

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Natureza das solues

m 0

0m

2

u1

u2

+

(

5k +2P

L

)

(

2k +P

L

)

(

2k +P

L

) (

2k +2P

L

)

u1

u2

=

2F

F

Mu + Ku = F

Frequncia prprias do sistema

(K 2M)u = 0

1,2 =

k

m

9

2+ 2

P

kL

33

4+ 8

P

kL+ 2

P2

k2L2T1,2 =

2

1,2

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Natureza das solues

Frequncias prprias do sistema

1

(k/m)1/2

2

(k/m)1/2

P/(kL) 0

1

2

3

4

5

6

7

2 0 2 4 6 8 10

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Natureza das solues

Anlise esttica vs. Anlise dinmica

u2, anlise dinmica

u1, anlise dinmica

u1, anlise esttica

u2, anlise esttica

t/Td

m = 1k = 1L = 1P = 1

T = 4 Td 10.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

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Natureza das solues


m = 1k = 1L = 1P = 1

u1, anlise esttica

u1, anlise dinmica

u2, anlise esttica

u2, anlise dinmica

T = (T + T )/2d 1 2 t/Td 0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

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Natureza das solues


m = 1k = 1L = 1P = 1

t/Td

u2, anlise esttica

u1, anlise esttica

u2, anlise dinmicau1, anlise dinmica

T = T /4d 2 0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

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Natureza das solues

Analisando as frequncias prprias do sistema,

1,2 =

k

m

9

2+ 2

P

kL

33

4+ 8

P

kL+ 2

P2

k2L2

observa-se que

1 = 0 Pcr = 2kL o sistema torna-se instvel

importante:

Verificar se o sistema pode tornar-se instvel

Decidir se a anlise dever ser esttica ou dinmica, linear ou no-linear

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Introduo ao MEFModelos matemticos contnuos

O problema pode ser descrito por intermdio de um conjunto de equaesdiferenciais que so vlidas no domnio dos elementos.

Juntam-se as condies de fronteira e as condies iniciais (para anlisedinmica).

Formulao diferencial

Formulao variacional

Formulaes em resduos ponderados

Diferenas finitas

MEF

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Modelos matemticos contnuosFormulao diferencial

Procura-se a soluo analtica de uma equao diferencial de tipo:

A(x , y)2u

x2+ 2B(x , y)

2u

xy+ C(x , y)

2u

y2=

(

x , y , u,u

x,u

y

)

sujeita a determinadas condies de fronteira e condies iniciais.

B2 AC

< 0 . . . eq. diferencial elptica (Eq. Laplace)= 0 . . . eq. diferencial parablica (Eq. do calor)> 0 . . . eq. diferencial hiperblica (Eq. das ondas)

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2 2

22

100 cm 80 cm

y

R = 100 N

A B C

A = 1 cmA = (1+y/40) cm

u, x

d

dx

(

EAdu

dx

)

= 0 u|x=0 = 0 EAdu

dx

x=L

= R

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2 2

22

100 cm 80 cm

y

R = 100 N

A B C

A = 1 cmA = (1+y/40) cm

u, x

Para 0 x 100 :E

d2u

dx2= 0 u(x) = C0 + C1x

E

u(0) =C0

E= 0 C0 = 0

u(x) =C1x

E

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2 2

22

100 cm 80 cm

y

R = 100 N

A B C

A = 1 cmA = (1+y/40) cm

u, x

Para 100 x 180 :

Ed

dx

[(

1+x 100

40

)2du

dx

]

= 0 u(x) = C2E(x 60) +

C3

E

E

(

1+x 100

40

)2du

dx

x=180

=C2

1600= 100 C2 = 160000

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2 2

22

100 cm 80 cm

y

R = 100 N

A B C

A = 1 cmA = (1+y/40) cm

u, x

O deslocamento e a extenso devem ser contnuos no x = 100 :

u|x=100 100C1

E= 4000

E+

C3

E

du

dx

x=100

C1E

=100

E

{

C1 = 100C3 = 14000

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u(x) =

100x

E. . . 0 x 100

14000

E 160000

E(x 60) . . . 100 x 180

(x) = Edu

dx=

100 . . . 0 x 100

160000

(x 60)2 . . . 100 x 180

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Formulao diferencial

2 2

22

100 cm 80 cm

y

R = 100 N

A B C

A = 1 cmA = (1+y/40) cm

u, x

25 50 75 100 125 150 175

20

40

60

80

100

120

100E

Factor de escala:

u(x)

x

25

E

50 75 100 125 150 175

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

du(x)

dx

x

Factor de escala: 100

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Modelos matemticos contnuosFormulao em resduos ponderados

2 2

22

100 cm 80 cm

y

R = 100 N

A B C

A = 1 cmA = (1+y/40) cm

u, x

d

dx

(

EAdu

dx

)

= 0 u|x=0 = 0 EAdu

dx

x=L

= R

u =n

i=1

ai fi

fi - funes de forma linearmente independentes

ai - pesos a ser determinados

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Modelos matemticos contnuosFormulao em resduos ponderadosDefine-se o resduo

=d

dx

[

EAd

dx

(n

i=1

ai fi

)]

Soluo exacta = 0

Resduos ponderados - determinar ai de tal modo que 0Mtodo Galerkin

D

fi dD = 0; i = 1, 2, . . . , n

Mtodo dos mnimos quadrados

ai

D

2 dD = 0; i = 1, 2, . . . , n

Mtodo da colocao

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Sejau(x) = a1x + a2x

2 f1 = x e f2 = x2

Utilizando o mtodo do Galerkin,

L

0fi

d

dx

(

EAdu

dx

)

dx = 0

Integrando por partes (Teorema da Divergncia),

F (x) = u(x) v(x) dF = (uv + uv )dx b

a(uv + uv )dx = [uv ]ba

b

auv dx =

b

auv dx + [uv ]ba

L

0

(

EAdu

dx

)dfi

dxdx +

[

EAdu

dxfi

]L

0

= 0

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L

0

(

EAdu

dx

)dfi

dxdx = Rfi |x=L i = 1, 2

100

0(a1+2a2x) dx+

180

100

[

1+x100

40

]2

(a1+2a2x) dx =100 180

E

100

0(a1+2a2x)2x dx+

180

100

[

1+x100

40

]2

(a1+2a2x)2x dx =100 1802

E

1340

3115600

115600102227200

3

{a1a2

}

=

18000

E

3240000

E

a1 =128.596

E

a2 =0.341171

E

MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 56 / 183

Formulao em resduos ponderados

2 2

22

100 cm 80 cm

y

R = 100 N

A B C

A = 1 cmA = (1+y/40) cm

u, x

25 50 75 100 125 150 175

20

40

60

80

100

120

100E

Factor de escala:

u(x)

x

Galerkin

soluo analtica

25 50 75 100 125 150 175

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2 du(x)

dx


x

Galerkin

soluo analtica E

MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 57 / 183

Modelos matemticos contnuosDiferenas finitas

dw

dx

i

wi+1 wi12h

1 1

d2w

dx2

i

wi+1 2wi + wi1h2

1 12

d3w

dx3

i

wi+2 2wi+1 + 2wi1 wi22h3

2 21 1

d4w

dx4

i

wi+2 4wi+1 + 6wi 4wi1 + wi2h4

4 41 16

MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 58 / 183


Operador de Laplace ou Laplaciano

2w = 2w

x2+

2w

y2

2wi,i

4wi,j + wi+1,j + wi,j+1 + wi1,j + wi,j1h2

41

1

1

1

MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 59 / 183


Operador biharmnico

4w = 2(2)w = 4w

x4+

4w

y4+ 2

4w

x2y2

4wi,i

[20wi,j 8(wi+1,j + wi1,j + wi,j+1 + wi,j1)

+2(wi+1,j+1 + wi1,j+1 + wi1,j1 + wi+1,j1)

+wi+2,j + wi2,j + wi,j+2 + wi,j2]/h4

208

8

8

8 11

1

1

22

2 2

MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 60 / 183


2 2

22

100 cm 80 cm

y

R = 100 N

A B C

A = 1 cmA = (1+y/40) cm

h h

n1 n+1

u, x

n0 i1 i i+1

MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 61 / 183


d

dx

(

EAdu

dx

)

= 0 E(

dA

dx

du

dx+ A

d2u

dx2

)

= 0

u(0) = 0 EAdu

dx

x=L

= R

E

[(Ai+1 Ai1

2h

)(ui+1 ui1

2h

)

+ Aiui+1 2ui + ui1

h2

]

= 0

u0 = 0 EAnun+1 un1

2h= R

MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 62 / 183


h = 20 cm n = 9 {

A0 . . .A5 = 1

A6 . . .A10 =(

1+ (i5)h40

)2

Para i = 1 . . . 9

(Ai+1 + 4Ai Ai1)ui+1 8Aiui + (Ai+1 + 4Ai + Ai1)ui1 = 0

Condies de fronteira

u0 = 0 u10 u8 =2Rh

EA9

MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 63 / 183


8 44 8 4

4 8 44 8 4

2.75 8 5.256 18 12

12 32 2020 50 30

72 72

u1u2u3u4u5u6u7u8u9

=

00000000F9

F9 = 56000

3E

MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 64 / 183


u =

24.747549.494974.242498.9899123.737136.7

143.182147.071149.663

100

E

du

dx=

1.237371.237371.237371.237370.9427610.4861110.2592590.1620370.111111

100

E

MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 65 / 183

Diferenas finitas

2 2

22

100 cm 80 cm

y

R = 100 N

A B C

A = 1 cmA = (1+y/40) cm

u, x

25 50 75 100 125 150 175

20

40

60

80

100

120

140

100E

Factor de escala:

u(x)

x

soluo analtica

diferenas finitas

25 50 75 100 125 150 175

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2 du(x)

dx


soluo analtica

diferenas finitas

E

MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 66 / 183

Modelos matemticos contnuos

Diferenas finitas

/* Exemplo de programao em Maxima (1/3) */

R:100; /* Fora aplicada */

E: 1; /* Mdulo de elasticidade */

h:20; /* Dimenso da malha */

Np:round(180/h); /* Nmero de pontos */

/* Inicializao da rea da seco nos pontos da malha */

for i:0 thru Np+1 step 1 do

if i*h


Diferenas finitas


/* Inicializao do rhs */

for i:1 thru Np-1 step 1 do rhs[i]:0;

rhs[Np]:-2*R*h/E/a[Np]*(a[Np+1]+4*a[Np]-a[Np-1]);

RHS: makelist(rhs[i],i,1,Np);

/* Soluo em deslocamentos */

load ("lapack"); /* Soluo alternativa sem LAPACK */

U:dgesv(MAT,RHS); /* U:first(linsolve_by_lu(MAT,RHS,floatfield) */

sol[Np+1,1]: 2*100*h/E/a[Np]+U[Np-1][1];

sol[0,1]: 0;

for i:1 thru Np step 1 do sol[i,1] : U[i][1];

/* Soluo em extenso */

for i:1 thru Np step 1 do sol[i,2] : (sol[i+1,1]-sol[i-1,1])/2/h;

/* Soluo em deslocamentos e extenso */

SOL: genmatrix(sol,Np,2);

MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 68 / 183


Diferenas finitas


/* Plotar deslocamentos */

xvals: makelist(i, i, 0, Np);

uvals: makelist(sol[i,1], i, 0, Np);

plot2d([discrete, xvals, uvals], [style, points]);

/* Plotar extenso */

x1vals: makelist(i, i, 1, Np);

duvals: makelist(sol[i,2], i, 1, Np);

plot2d([discrete, x1vals, duvals], [style, points]);

MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 69 / 183

Mtodo dos elementos finitos

u

f

f buk

uk+1uk+2

F

elemento finito m

ponto nodal j

j

Conhecendo a geometria do corpo, as cargas aplicadas, as condies de apoio e a lei domaterial,

Detemine os deslocamentos e as respectivas extenses e tenses.

MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 70 / 183


MEF formulao em deslocamentos obtida pelo PTV

VT dV =

VuT f b dV +

uT f d +

i

u iTF i

Tenses em equilbrio com as cargas aplicadasDeformaes virtuais correspondentes aos deslocamentos virtuais u

As tenses que equilibram as cargas aplicadas assumam-se conhecidas

As deformaes virtuais so obtidas derivando o vector dos deslocamentos virtuais u

Os deslocamentos virtuais u devem representar um campo continuo, diferencivel.

MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 71 / 183


Quando a equao do PTV est satisfeita para qualquer deslocamento virtual u, com as tenses obtidas a partir de um campo de deslocamentos continuo u que satisfaz as condies de fronteiracinemticas, ficam automaticamente satisfeitas as equaes:

Equilbrio - a equao do PTV uma equao de equilbrio

Compatibilidade - o campo de deslocamentos u continuo e satisfaz as condies de fronteira

Constitutivas - as tenses foram calculadas utilizando as relaes constitutivas a partir dasdeformaes que foram obtidas a partir dos deslocamentos u

MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 72 / 183

Mtodo dos elementos finitosSistema governativo

u

f

f buk

uk+1uk+2

F

elemento finito m

ponto nodal j

j

Deslocamentos

u(m)(x , y , z) = H(m)(x , y , z)U

UT = {u1 u2 . . . un}

H(m) - matriz de interpolao dosdeslocamentos

Deformaes(m)(x , y , z) = E (m)(x , y , z)U

E (m) - matriz de ligao entre as deformaes e os deslocamentos

MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 73 / 183


E (m) = DH(m)

Para o caso 3D, em coordenadas Cartesianas:

D =

/x 0 00 /y 00 0 /z

/y /x 00 /z /y

/z 0 /x

MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 74 / 183


Tenses

(m)(x , y , z) = k(m) (m)(x , y , z)

k(m) - matriz de elasticidadePara o caso 3D, em coordenadas Cartesianas:

k(m) =E

(1+ )(1 2)

1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 00 0 0 1 2 0 00 0 0 0 1 2 00 0 0 0 0 1 2

MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 75 / 183


VT dV =

VuT f b dV +

uT f d +

i

u iTF i

m

V (m)(m)T

(m)

dV (m) =

m

V (m)u(m)T f b(m) dV (m)+

m

(m)

u(m)T f (m) d(m) +

i

u iTF i

Para eficincia podem ser utilizados sistemas de coordenadas diferentes para cada elemento finito.

Admitindo u(m)(x , y , z) = H(m)(x , y , z) U (m)(x , y , z) = E (m)(x , y , z) U

MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 76 / 183


Resulta

UT

m

V (m)E (m)TkE (m) dV (m)U = U

T

m

V (m)H(m)T f b(m) dV (m)+

UT

m

(m)

H(m)T f (m) d(m) + U

TF

K

m

V (m)E (m)TkE (m) dV (m)

K (m)

- matriz de rigidez global

FB

m

V (m)H(m)T f b(m) dV (m)

F(m)B

- vector das foras de massa

MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 77 / 183


F

m

(m)

H(m)T f (m) d(m)

F(m)

vector das foras distribudas

F - vector das foras concentradas aplicadas nos ns dos elementos

P FB + F + F vector das cargas aplicadas

K U = P equao de equilbrio

O sistema governativo obtm-se juntando equao de equilbrio as condies de fronteira:[K e i

eTi 0

]{U

}

=

{P

u}

MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 78 / 183

Mtodo dos elementos finitosExemplo - Mtodo dos deslocamentos

u1

u2u3 u4

u5u6 u7

u8u9

P

L L

p

EI, EA2EI, 4EA

1 2

Dados numricos:

EI = 103 kNm2 EA = 0.1EI L = 1 m p = 0.01 kN/m P = 1 kN

MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 79 / 183


u1

u2

u3

u4

u5

u6

Anlise de Estruturas I a matriz de rigidez de uma barra bi-encastrada dada por:

Ke=

EAL

0 0 EAL

0 0

0 12EIL3

6EI

L20 12EI

L36EI

L2

0 6EIL2

4EIL

0 6EIL2

2EIL

EAL

0 0 EAL

0 0

0 12EIL3

6EI

L20 12EI

L3

6EI

L2

0 6EIL2

2EIL

0 6EIL2

4EIL

MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 80 / 183


Elemento 1 u1

u2u3 u4

u5u6

1

K (1) =

EAL

0 0 EAL

0 0 0 0 00 12EI

L36EIL2

0 12EIL3

6EIL2

0 0 00 6EI

L24EIL

0 6EIL2

2EIL

0 0 0EA

L0 0 EA

L0 0 0 0 0

0 12EIL3

6EIL2

0 12EIL3

6EIL2

0 0 00 6EI

L22EIL

0 6EIL2

4EIL

0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0

MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 81 / 183


Elemento 2 u4

u5u6 u7

u8u9

2

K (2) =

0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 4EA

L0 0 4EA

L0 0

0 0 0 0 24EIL3

12EIL2

0 24EIL3

12EIL2

0 0 0 0 12EIL2

8EIL

0 12EIL2

4EIL

0 0 0 4EAL

0 0 4EAL

0 00 0 0 0 24EI

L3 12EI

L20 24EI

L3 12EI

L2

0 0 0 0 12EIL2

4EIL

0 12EIL2

8EIL

MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 82 / 183


A matriz de rigidez global dada por

K =2

i=1

K (i)

K=

EAL

0 0 EAL

0 0 0 0 0

0 12EIL3

6EI

L20 12EI

L36EI

L20 0 0

0 6EIL2

4EIL

0 6EIL2

2EIL

0 0 0

EAL

0 0 5EAL

0 0 4EAL

0 0

0 12EIL3

6EI

L20 36EI

L36EI

L20 24EI

L312EI

L2

0 6EIL2

2EIL

0 6EIL2

12EIL

0 12EIL2

4EIL

0 0 0 4EAL

0 0 4EAL

0 0

0 0 0 0 24EIL3

12EI

L20 24EI

L3

12EI

L2

0 0 0 0 12EIL2

4EIL

0 12EIL2

8EIL

MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 83 / 183


O vector das foras aplicadas

PT ={

0 P 0 0 pL/2 pL2/12 0 pL/2 pL2/12}

u1

u2u3 u4

u5u6

1

P

u4

u5u6 u7

u8u9

2pL /12 pL /122

2

pL/2 pL/2p

MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 84 / 183


As condies de fronteira u (u7 = u8 = u9 = 0) so impostas utilizando amatriz e1

eT1 =

0 0 0 0 0 0 1 0 00 0 0 0 0 0 0 1 00 0 0 0 0 0 0 0 1

uT =

{

0 0 0}

MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 85 / 183


Sistema governativo

EAL

0 0 -EAL

0 0 0 0 0 0 0 0

0 12EIL3

6EI

L20 - 12EI

L36EI

L20 0 0 0 0 0

0 6EIL2

4EIL

0 - 6EIL2

2EIL

0 0 0 0 0 0

-EAL

0 0 5EAL

0 0 - 4EAL

0 0 0 0 0

0 - 12EIL3

- 6EIL2

0 36EIL3

6EI

L20 - 24EI

L312EI

L20 0 0

0 6EIL2

2EIL

0 6EIL2

12EIL

0 - 12EIL2

4EIL

0 0 0

0 0 0 - 4EAL

0 0 4EAL

0 0 -1 0 0

0 0 0 0 - 24EIL3

- 12EIL2

0 24EIL3

- 12EIL2

0 -1 0

0 0 0 0 12EIL2

4EIL

0 - 12EIL2

8EIL

0 0 -1

0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0

u1u2u2u4u5u6u7u8u9789

=

0-P00

- pL2

- pL2

12

0

- pL2

pL2

12

000

MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 86 / 183


U =

0

7pL4

48EI

3PL3

2EIpL3

12EI+ 5PL

2

4EI0

pL4

16EI

5PL3

12EIpL3

12EI+ 3PL

2

4EI000

U =

0.000000.001500.001250.00000

0.000420.000750.000000.000000.00000

[m]

=

0pL + P

pL2

2 2PL

=

0.0001.010

2.005

[kN][kN][kNm]

MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 87 / 183


1 kN0.01kN/m

1.010 kN

2.005 kNm

1 m 1 m

0.42 mm

1.5 mm0.00075 rad

0.00125 rad

MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 88 / 183

Mtodo dos elementos finitosTipos de elementos finitos

Barras e vigas

Estado plano de tenso/deformao

Estado axissimtrico

Cascas e lajes

Elementos tri-dimensionais

MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 89 / 183

Elemento de barra com 2 ns

2 2

22

3

100 cm 80 cm

A B C

A = 1 cmA = (1+y/40) cm

R = 100 N

y

uu1 u2

UT = {u1 u2 u3}

u1 u2

1 cm2

1 cm2

x100

u2

1 cm2

u3

x80

9 cm2

MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 90 / 183

Mtodo dos elementos finitosElemento de barra com 2 ns

Elemento finito 1

u1 u2

1 cm2

1 cm2

x100

k(1) = E

A(1) = 1 cm2

u(1)(x) = H(1)U u(1)(0) = u1 u(1)(100) = u2

H(1) ={(

1 x100

) x

1000}

E (1) = DH(1) =

{(

1100

)1

1000

}

MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 91 / 183


K (1) =

V (1)E (1)Tk(1)E (1) dV (1)

K (1) = E

100

0

1100

1

100

0

{

1100

1

1000

}

dx

K (1) =E

100

1 1 01 1 00 0 0

MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 92 / 183


Elemento finito 2

u2

1 cm2

u3

x80

9 cm2

k(2) = E

A(2) =(

1+x

40

)2cm2

u(2)(x) = H(2)U

u(2)(0) = u2

u(2)(80) = u3

H(2) ={

0(

1 x80

) x

80

}

E (2) = DH(2) =

{

0

(

180

)1

80

}

MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 93 / 183


K (2) =

V (2)E (2)Tk(2)E (2) dV (2)

K (2) = E

80

0

0

180

1

80

{

0 180

1

80

}(

1+x

40

)2dx

K (2) =13E

240

0 0 00 1 10 1 1

MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 94 / 183


A matriz de rigidez global

K =2

i=1

K (i) =E

240

2.4 2.4 02.4 15.4 130 13 13


P =

00

100

Condies de fronteirau1 = e

T1 U = 0

MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 95 / 183


Sistema governativo[

K e1eT1 0

]{U

}

=

{P

u}

E/100 E/100 0 1E/100 77E/1200 13E/240 0

0 13E/240 13E/240 01 0 0 0

u1u2u3

=

00

1000

Resulta

u1 = 0 u2 =10000

Eu3 =

154000

13E

= 100 . . . a reaco no apoio

MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 96 / 183


(m) = k(m)(m) = k(m)E (m)U

(1) = E

{1/100 1/100 0

}

010000/E

154000/(13E)

= 100

(2) = E

{0 1/80 1/80

}

010000/E

154000/(13E)

= 23.07

MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 97 / 183

Elemento de barra com 2 ns

2 2

22

100 cm 80 cm

y

R = 100 N

A B C

A = 1 cmA = (1+y/40) cm

u, x

25 50 75 100 125 150 175

20

40

60

80

100

120

100E

Factor de escala:

u(x)

x

soluo analtica

MEF

25 50 75 100 125 150 175

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0du(x)

dx


soluo analtica

x

MEF

MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 98 / 183

Mtodo dos elementos finitosElemento plano com 3 ns

u1u2

u3

1

2

3

x

yu4

u6

u5

u =

{

u(x , y)v(x , y)

}

= H U

UT = { u1 u2 u3 u4 u5 u6 }

MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 99 / 183


{

u(x , y) = 1 + 2x + 3yv(x , y) = 1 + 2x + 3y

u =

{

u(x , y)v(x , y)

}

=

=

[

1 x y 0 0 00 0 0 1 x y

]

T = { 1 2 3 1 2 3 }

MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 100 / 183


Explicitando para todos os pontos nodais,

1 x1 y1 0 0 01 x2 y2 0 0 01 x3 y3 0 0 00 0 0 1 x1 y10 0 0 1 x2 y20 0 0 1 x3 y3

123123

=

u1u2u3u4u5u6

A = U = A1 U

Masu = = A1 U = H U H = A1

MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 101 / 183


1

2

3

4

1

2

3

4

5

4 cm

4 cm

P P

t = 0.1 cm

MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 102 / 183


Elemento 1

u1

u2

u3

u6

u7

u81 3

1

2

y

x

A(1) =

1 0 0 0 0 01 2 2 0 0 01 0 4 0 0 00 0 0 1 0 00 0 0 1 2 20 0 0 1 0 4

. . . u1

. . . u3

. . . u2

. . . u6

. . . u8

. . . u7

(1) =

[1 x y 0 0 00 0 0 1 x y

]

MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 103 / 183


H(1) = (1)[

A(1)]1

H(1) =

4 x y4

x

2

x + y4

0 0 0

0 0 04 x y

4

x

2

x + y4

D =

x0

0

y

y

x

MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 104 / 183


E (1) = DH(1) =

1/4 1/2 1/4 0 0 00 0 0 1/4 0 1/4

1/4 0 1/4 1/4 1/2 1/4

K (1) =

A(1)E (1)TkE (1) tdA(1)

Admitindo estado plano de tenso,

k =E

1 2

1 0 1 00 0 (1 )/2

MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 105 / 183


K (1) = E (1)TkE (1)t

A(1)dA(1)

Dados os pontos (xi , yi ), i = 0, . . . ,N, com x0 = xN e y0 = yN , a rea do polgono plano definidopor estes pontos pode ser calculada (teorema de Green) pela seguinte frmula:

A =1

2

N1

i=0

(xiyi+1 xi+1yi )

No caso particular de um tringulo de vertices (a, b), (c, d) e (e, f ), a rea dada por:

A =1

2

1 1 1a c eb d f

=1

2[(cf ed) + (eb af ) + (ad cb)]

MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 106 / 183


Resultando, para = 0.25,

K (1) = E

11/300 4/75 1/60 1/60 1/50 1/3004/75 8/75 4/75 1/75 0 1/751/60 4/75 11/300 1/300 1/50 1/601/60 1/75 1/300 11/300 1/50 1/601/50 0 1/50 1/50 1/25 1/501/300 1/75 1/60 1/60 1/50 11/300

MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 107 / 183


Elemento 2

u3

u7

u8

u2

2

u10u5

3

2 5

x

y

A(2) =

1 0 4 0 0 01 2 2 0 0 01 4 4 0 0 00 0 0 1 0 40 0 0 1 2 20 0 0 1 4 4

. . . u2

. . . u3

. . . u5

. . . u7

. . . u8. . . u10

(2) =

[1 x y 0 0 00 0 0 1 x y

]

MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 108 / 183


H(2) = (2)[

A(2)]1

H(2) =

x + y4

4 y2

4+ x + y4

0 0 0

0 0 0x + y

4

4 y2

4+ x + y4

E (2) = DH(2) =

1/4 0 1/4 0 0 00 0 0 1/4 1/2 1/4

1/4 1/2 1/4 1/4 0 1/4

MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 109 / 183


K (2) =

A(2)E (2)TkE (2) tdA(2)

K (2) = E

11/300 1/50 1/60 1/60 1/75 1/3001/50 1/25 1/50 1/50 0 1/501/60 1/50 11/300 1/300 1/75 1/601/60 1/50 1/300 11/300 4/75 1/601/75 0 1/75 4/75 8/75 4/751/300 1/50 1/60 1/60 4/75 11/300

MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 110 / 183


Elemento 3

u3

u8

u10u5

u9

u4

3

x

y

5

4

3

A(3) =

1 2 2 0 0 01 4 0 0 0 01 4 4 0 0 00 0 0 1 2 20 0 0 1 4 00 0 0 1 4 4

. . . u3

. . . u4

. . . u5

. . . u8

. . . u9. . . u10

(3) =

[1 x y 0 0 00 0 0 1 x y

]

MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 111 / 183


H(3) = (3)[

A(3)]1

H(3) =

4 x2

x y4

4+ x + y4

0 0 0

0 0 04 x2

x y4

4+ x + y4

E (3) = DH(3) =

1/2 1/4 1/4 0 0 00 0 0 0 1/4 1/40 1/4 1/4 1/2 1/4 1/4

MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 112 / 183


K (3) =

A(3)E (3)TkE (3) tdA(3)

K (3) = E

8/75 4/75 4/75 0 1/75 1/754/75 11/300 1/60 1/50 1/60 1/3004/75 1/60 11/300 1/50 1/300 1/60

0 1/50 1/50 1/25 1/50 1/501/75 1/60 1/300 1/50 11/300 1/601/75 1/300 1/60 1/50 1/60 11/300

MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 113 / 183


Elemento 4

u3

u8

u9

u4u1

u6 4

3

4

y

x1

A(4) =

1 0 0 0 0 01 4 0 0 0 01 2 2 0 0 00 0 0 1 0 00 0 0 1 4 00 0 0 1 2 2

. . . u1

. . . u4

. . . u3

. . . u6

. . . u9

. . . u8

(4) =

[1 x y 0 0 00 0 0 1 x y

]

MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 114 / 183


H(4) = (4)[

A(4)]1

H(4) =

4 x y4

x y4

y

20 0 0

0 0 04 x y

4

x y4

y

2

E (4) = DH(4) =

1/4 1/4 0 0 0 00 0 0 1/4 1/4 1/2

1/4 1/4 1/2 1/4 1/4 0

MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 115 / 183


K (4) =

A(4)E (4)TkE (4) tdA(4)

K (4) = E

11/300 1/60 1/50 1/60 1/300 1/751/60 11/300 1/50 1/300 1/60 1/751/50 1/50 1/25 1/50 1/50 01/60 1/300 1/50 11/300 1/60 4/75

1/300 1/60 1/50 1/60 11/300 4/751/75 1/75 0 4/75 4/75 8/75

MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 116 / 183



K =4

i=1

K (i) =

E

11150

160

- 11150

- 160

0 130

1300

- 130

- 1300

0160

11150

- 11150

0 - 160

- 1300

- 130

130

0 1300

- 11150

- 11150

2275

- 11150

- 11150

- 130

130

0 130

- 130

- 160

0 - 11150

11150

160

1300

0 130

- 130

- 1300

0 - 160

- 11150

160

11150

0 - 1300

- 130

1300

130

130

- 1300

- 130

1300

0 11150

- 160

- 11150

160

01

300- 130

130

0 - 1300

- 160

11150

- 11150

0 160

- 130

130

0 130

- 130

- 11150

- 11150

2275

- 11150

- 11150

1300

0 130

130

1300

160

0 11150

11150

160

0 1300

130

1300

130

0 160

11150

160

11150

MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 117 / 183



PT ={

0 0 0 0 0 0 0 0 0 P}

As condies de fronteira u (u1 = u2 = u6 = u7 = 0) so impostas utilizando a matriz e1

eT1 =

1 0 0 0 0 0 0 0 0 00 1 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 1 0 0 0 00 0 0 0 0 0 1 0 0 0

uT ={

0 0 0 0}

MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 118 / 183


O sistema governativo dado por

[K e1

eT1 0

]{U

}

=

{P

u}

resultando

UT ={

0 0 - 75116

- 217251392

261251392

0 0 - 27516

- 499251392

- 675251392

} P

E

T =

{1 1 55

873287

}P

MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 119 / 183


P

0.63P

0.37PP

P

48.51P/E

MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 120 / 183


O campo das tenses dado por

(m) = k(m)E (m)U

(1)=

- 10P29

- 5P58

- 55P16

(2)=

65P16

- 3505P1392

- 165P58

(3)=

10P29

- 535P174

- 25P16

(4)=

- 65P16

- 895P1392

- 125P58

MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 121 / 183


4P 3P 2P 1P 0 1P 2P 3P 4P

xyyx

4.063P

0.345P0.345P

4.063P

2.518P 2.845P

0.643P 2.155P

0.086P 3.075P 1.563P3.438P

MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 122 / 183


u1u2

u3

u61

2

4

x

yu5 3

8u

4u u7

u =

{

u(x , y)v(x , y)

}

= H U

UT = { u1 u2 u3 u4 u5 u6 u7 u8 }

MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 123 / 183


{

u(x , y) = 1 + 2x + 3y + 4xyv(x , y) = 1 + 2x + 3y + 4xy

u =

{

u(x , y)v(x , y)

}

=

=

[

1 x y xy 0 0 0 00 0 0 0 1 x y xy

]

T = { 1 2 3 4 1 2 3 4 }

MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 124 / 183


Explicitando para todos os pontos nodais,

1 x1 y1 x1y1 0 0 0 01 x2 y2 x2y2 0 0 0 01 x3 y3 x3y3 0 0 0 01 x4 y4 x4y4 0 0 0 00 0 0 0 1 x1 y1 x1y10 0 0 0 1 x2 y2 x2y20 0 0 0 1 x3 y3 x3y30 0 0 0 1 x4 y4 x4y4

12341234

=

u1u2u3u4u5u6u7u8

A = U = A1 UMas

u = = A1 U = H U H = A1

MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 125 / 183


1

4

2

3

4 cm

4 cm

P P

t = 0.1 cm

MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 126 / 183


Elemento 1

u1u2

u4 u3

u5u6

1

u7u8

1 2

34

x

y

A =

1 0 0 0 0 0 0 01 4 0 0 0 0 0 01 4 4 16 0 0 0 01 0 4 0 0 0 0 00 0 0 0 1 0 0 00 0 0 0 1 4 0 00 0 0 0 1 4 4 160 0 0 0 1 0 4 0

. . . u1

. . . u2

. . . u3

. . . u4

. . . u5

. . . u6

. . . u7

. . . u8

=

[1 x y xy 0 0 0 00 0 0 0 1 x y xy

]

MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 127 / 183


H = [A]1

H =

[

1- x+y4

+ xy16

x4- xy16

xy16

y4- xy16

0 0 0 0

0 0 0 0 1- x+y4

+ xy16

x4- xy16

xy16

y4- xy16

]

D =

x0

0

y

y

x

MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 128 / 183


E = DH =

y416

4y16

y16

y16

0 0 0 00 0 0 0 x4

16 x

16x16

4x16

x416

x16

x16

4x16

y416

4y16

y16

y16

K =

AETkE tdA

Admitindo estado plano de tenso,

k =E

1 2

1 0 1 00 0 (1 )/2

MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 129 / 183


Admitindo = 0.25, resulta, por exemplo, para o elemento K11 da matriz de rigidez,

K11 =E

10

A

176 24x 64y + 3x2 + 8y21920

dA

Como neste caso particular o domnio do elemento rectangular,

K11 =E

10

4

0

4

0

176 24x 64y + 3x2 + 8y21920

dx dy =11E

225

Nos programas de elementos finitos, a integrao analtica costuma ser substituda por umaintegrao numrica, utilizando o Mtodo de Gauss-Legendre.

MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 130 / 183

Elemento plano com 4 nsMtodo de Gauss-Legendre

Mtodo de Gauss-Legendre para a integrao numrica consiste em aproximar o integral atravsde um somatrio.

Para o caso uni-dimensional, 1

1f (x) dx

n

i=1

wi f (xi )

onde xi so as coordenadas dos pontos de integrao e wi os pesos associados. A regra deintegrao de Gauss de n pontos permite integrar exactamente polinmios de grau inferior ouigual a 2n 1.

MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 131 / 183


Pontos de integrao e pesos no intervalo [1, 1]n xi wi1 0.00000 00000 00000 2.00000 00000 000002 0.57735 02691 89626 1.00000 00000 000003 0.77459 66692 41483 0.55555 55555 55555

0.00000 00000 00000 0.88888 88888 88888

MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 132 / 183


Para o caso bi-dimensional,

1

1

1

1f (x , y) dx dy

n

i=1

wi

1

1f (xi , y) dy

n

i=1

m

j=1

wiwj f (xi , yj )

x=0.577...

y=0.577...

y=0.577...

x=0.577...

y

x

Integrao no domnio quadrilateral (x , y [1, 1]) com 2 2 pontos, exacta para umpolinmio de grau 3:

1x y

x2 xy y2

x3 x2y xy2 y3

MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 133 / 183

Elemento plano com 4 nsMapeamento isoparamtrico

Quando o domnio de integrao no definido entre -1 e 1 (ou, para o caso 2D, no rectangular), habitual proceder a um mapeamento isoparamtrico.

1D, x s [1, 1]

f (x) dx =

1

1f [x(s)]J ds

2D, x , y s, t [1, 1]

f (x , y) dx dy =

1

1

1

1f [x(s, t), y(s, t)]J ds dt

onde J (Jacobiano) o determinanto da matriz da transformao (matriz Jacobiano)

MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 134 / 183

Mtodo de Gauss-LegendreMapeamento isoparamtrico

x

y

s

t

2

34

1

3 (1,1)4 (1,1)

2 (1,1)1 (1,1)

Funes de forma:N1 = (1 s)(1 t)/4 N2 = (1+ s)(1 t)/4

N3 = (1+ s)(1+ t)/4 N4 = (1 s)(1+ t)/4

MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 135 / 183

Mtodo de Gauss-LegendreMapeamento isoparamtrico

As coordenadas x e y podem exprimir-se em funo ao s e t,

x =

4

i=1

Nixi y =

4

i=1

Niyi

A matriz da transformao (matriz Jacobiano) define-se como

J =

x

s

y

s

x

t

y

t

MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 136 / 183

Mapeamento isoparamtricoExemplo 1D

x1 x2

x s

1 1Funes de forma:

N1 = (1 s)/2 N2 = (1+ s)/2

Mapeamento isoparamtrico:

x =2

i=1

Nixi =x1 + x2 + s(x2 x1)

2

Jacobiano

J = det(J) =x

s=

x2 x12

Por exemplo, 7

3x3 dx =

1

1

[3+ 7+ s(7 3)

2

]3 7 32

ds = 580

MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 137 / 183


1 2

3

4

x

y

s

t

(1,1) (1,1)

(1,1)(1,1)

Coordenadas dos ns:

x1 = 0, y1 = 0 x2 = 1, y2 = 0 x3 = 2, y3 = 2 x4 = 0, y4 = 1

Funes de forma:N1 = (1 s)(1 t)/4 N2 = (1+ s)(1 t)/4

N3 = (1+ s)(1+ t)/4 N4 = (1 s)(1+ t)/4

MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 138 / 183


Mapeamento isoparamtrico:

x =4

i=1

Nixi = (1+ s)(3+ t)/4 y =4

i=1

Niyi = (3+ s)(1+ t)/4

Matriz Jacobiano:

J = det(J) = det

[(3+ t)/4 (1+ t)/4(1+ s)/4 (3+ s)/4

]

=4+ s + t

8

Por exemplo,

x3 dx dy =

1

1

1

1

[(1+ s)(3+ t)

4

]3 4+ s + t

8ds dt =

23

10

MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 139 / 183


Regressando,

K11 =E

10

4

0

4

0

176 24x 64y + 3x2 + 8y21920

dx dy

Sendo o as coordenadas do domnio de integrao,

(0, 0) (4, 0) (4, 4) (0, 4)

do mapeamento isoparamtrico resulta:

x =4

i=1

Nixi = 2(1+ s) y =4

i=1

Niyi = 2(1+ t)

J = det

[2 00 2

]

= 4

MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 140 / 183


Com,f (x , y) = (176 24x 64y + 3x2 + 8y2)/1920 4

0

4

0f (x , y)dx dy =

1

1

1

1g(s, t)ds dt

ondeg(s, t) = f [x(s, t), y(s, t)]J

Utilizando a regra de integrao de Gauss com 2 2 pontos,

I =

1

1

1

1g(s, t)ds dt

2

i=1

2

j=1

wiwjg(si , ti )

coms1,2 = t1,2 = 1/

3 e w1,2 = 1

MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 141 / 183


Resulta

I = g

(13,13

)

+ g

(13,

13

)

+ g

(13,13

)

+ g

(13,

13

)

=22

45

E o termo da matriz de rigidez,

K11 =E

10

22

45=

11E

225

MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 142 / 183



K = E

11225

13450

11450

1225

160

1300

160

1300

13450

11225

1225

11450

1300

160

1300

160

11450

1225

11225

13450

160

1300

160

1300

1225

11450

13450

11225

1300

160

1300

160

160

1300

160

1300

11225

1225

11450

13450

1300

160

1300

160

1225

11225

13450

11450

160

1300

160

1300

11450

13450

11225

1225

1300

160

1300

160

13450

11450

1225

11225


PT ={

0 0 0 0 0 0 P 0}

MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 143 / 183


As condies de fronteira u (u1 = u4 = u5 = u8 = 0) so impostas utilizando a matriz e1

eT1 =

1 0 0 0 0 0 0 00 0 0 1 0 0 0 00 0 0 0 1 0 0 00 0 0 0 0 0 0 1

uT ={

0 0 0 0}

MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 144 / 183


O sistema governativo dado por

[K e1

eT1 0

]{U

}

=

{P

u}

resultando

UT ={

0 - 276751474

326251474

0 0 - 28550737

- 38450737

0} P

E

T =

{1 1 45

672267

}P

MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 145 / 183


P

P

0.67P

0.33P

P

52.17P/E

MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 146 / 183


O campo das tenses dado por = kEU

T =

{15(246+11x134y)

73715(123+88x67y)

14745(2284+603x198y)

2948

}

x y xy

0 1 2 3 40

1

2

3

4

0 1 2 3 40

1

2

3

4

0 1 2 3 40

1

2

3

4

MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 147 / 183

Mtodo dos elementos finitosProgramas de elementos finitos

IFER - Internet Finite Element Resources

Domnio pblico

Cdigo includo (Freeware): mais de 70 programas: ADVENTURE(ADVanced ENgineering analysis Tool for Ultra large REalworld), FELT, OpenSees (Open System for EarthquakeEngineering Simulation), . . .

Cdigo no includo (Shareware): mais de 30 programas: CADRE, IMAGINE(Integrated Modelling and Analysis in Geotechnics),PlastFEM, . . .

Programas comerciais : mais de 120 programas: ABAQUS, Adina, Algor, ANSYS, COSMOS,DIANA, PLAXIS, SAP2000, . . .

MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 148 / 183

Mtodo dos elementos finitosGiD + Calsef

GiD - pr/ps-processador grfico, incluindo um gerador de malha, que pode serutilizado em conjunto com uma grande variedade de programas de anlisenumrica.

AnliseComputacional

(CALSEF)

Definio da geometriaDefinio das cargas e das condies de fronteira

Definio dos materiaisGerao da malha

(GiD)

Visualizao dosresultados

(GiD)

Calsef - cdigo (elementos finitos) para a anlise de slidos (2D e 3D), lajes e cascas.

International Center for Numerical Methods in Engineering

MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 149 / 183

GiD + CalsefExemplo de aplicao

4 cm

4 cm

P

t = 0.1 cm

= 0.25

E = 1

P = 1

Definir o tipo do problema: Estado plano

MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 150 / 183

GiD + CalsefExemplo de aplicaoEscolher um ttulo para o problema, escolher o estado plano de tenso, no considerar o pesoprprio, etc.

MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 151 / 183


Verificar as propriedades dos materiais e as unidades do problema.

MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 152 / 183


A janela das coordenadas facilita a introduo dos ns.

MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 153 / 183


Definir a geometria da estrutura: pontos e linhas.

MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 154 / 183


Definir a geometria da estrutura : superfcies.

MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 155 / 183


Definir as condies de fronteira: deslocamentos impostos, apoios elsticos e cargas aplicadas.

MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 156 / 183


Definir os deslocamentos impostos.

MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 157 / 183


Definir as cargas aplicadas.

MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 158 / 183

GiD + CalsefExemplo de aplicaoDefinir um novo material com as propriedades desejadas.

MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 159 / 183


Atribuir o material aos elementos geomtricos.

MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 160 / 183


Definir o tipo de elementos finitos a utilizar.

MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 161 / 183


Gerar a malha de elementos finitos.

MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 162 / 183

GiD + CalsefExemplo de aplicaoComear a anlise.

MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 163 / 183

GiD + CalsefExemplo de aplicaoEntrar na fase de ps-processamento.

MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 164 / 183


Campo de deslocamentos

MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 165 / 183


Campo de tensesx y xy

MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 166 / 183

Mtodo dos elementos finitosFontes de erros na anlise

Discretizao - Funes de interpolao da geometria e da soluo

Integrao numrica - Clculo dos elementos das matrizes utilizando mtodos numricosde integrao

Relaes constitutivas - Uso de modelos de material com comportamento no-linear

Soluo das eq. de equilbrio dinmico - Integrao numrica em tempo e/ousobreposio modal

Soluo do sistema governativo por mtodos iterativos - Gauss-Seidel, mtodo dosgradientes conjugados, Newton-Raphson, . . .

Arredondamentos - Preciso da mquina

MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 167 / 183

Fontes de erros na anliseDistoro da malha

a

L L

p

L

a/L [m] 0.00 0.25 0.5 0.75 1.00/0 1.000 0.897 0.749 0.644 0.551

Na prtica, sendo usadas malhas com nmero relativamente reduzido de elementos e sendo poucohabitual fazer estudos extensos sobre a convergncia da soluo, recomenda-se o uso de malhasno-distorcidas e/ou de elementos poucos sensveis a distoro.

MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 168 / 183

Mtodo dos elementos finitosConvergncia da soluo

A convergncia da soluo numrica implica que, com o refinamento da malha, todas as condiescinemticas, estticas e constitutivas contidas no modelo matemtico utilizado ficam satisfeitas.

Quando os elementos finitos so completos (as funes de aproximao dos deslocamentos podemrepresentar deslocamentos de corpo rgido) e tanto os elementos como a malha so compatveis(deslocamentos contnuos) a convergncia fica monotnica.

Quando possvel, recomenda-se o uso da energia de deformao como grandeza para o estudo daconvergncia da soluo.

U = 12

V

T dV = = 1

2UTKU

MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 169 / 183

Mtodo dos elementos finitosConvergncia da soluo

6L

L p

A

Elem.(g.d.l.) 12 (28) 46 (76) 188 (246) 836 (950) 352 (1550)

Av 0.288 0.631 0.874 0.970 1.000

Ax 0.000 1.802 1.366 1.025 1.000

Ay -0.859 0.248 0.657 0.977 1.000

Axy 2.066 1.802 1.366 1.025 1.000

elementos triangulares com 6 ns

MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 170 / 183

Trabalhos prticos

Trabalho No1: Barras

Trabalho No2: Estado plano de tenso

Trabalho No3: Singularidades

Trabalho No4: Lajes

MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 171 / 183


Considere a bara de homognea de seco varivel representada, sujeita s condies de fronteirae ao carregamento indicado. Determine os deslocamentos axiais e o esforo normal ao longo dabarra utilizando uma formulao:

diferencial (soluo analtica);

em resduos ponderados (o mtodo de Galerkin);

diferenas finitas;

elementos finitos (elementos de barra com 2 ns).

Compare e comente as solues obtidas.

MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 172 / 183


22A = (3y/40) cm22A = (1+x/50) cm

R = 100 N

A B C

yx

80 cm100 cm

u

MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 173 / 183


Estime os deslocamentos e o estado de tenso dos pontos A, B, C , D, E e F da consolacurta representada sujeita a uma carga concentrada P na extremidade. Considere uma espessuraconstante t = 0.1 m, um mdulo de elasticidade constante e um coeficiente de Poisson = 0.3.Admite o estado plano de tenso e utilize:

uma malha de elementos finitos triangulares com 3 ns;

uma malha de elementos finitos rectangulares com 4 ns;

Apresente a deformada da estrutura para os dois casos considerados. Compare e comente assolues obtidas.

MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 174 / 183


3 m5 m

A B

F

E

D

C

1 m

3 m

2 m

P

MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 175 / 183


Considere as seguintes placas planas homogneas, de espessura e mdulo de elasticidadeconstantes, unitrios e coeficiente de Poisson = 0.1, sujeitas ao carregamento indicado.Admitindo o estado plano de tenso, utilize os programas Gid + Calsef para estudar, em cada umdos casos, a convergncia da soluo. Apresente as malhas de elementos finitos utilizadas. Emseguida, analise cada uma das placas utilizando a melhor malha para deteminar:

o estado de tenso no ponto P;

a distribuio de tenses normais e tangenciais ao longo da fronteira esttica e cinemticada placa;

o campo de deslocamentos.

MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 176 / 183


P0.1

0.1

q=1

1

1

1

1

Q=1

1P0.3

1.51.5

MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 177 / 183

Trabalho No4: Lajes

O comportamento estrutural das lajes depende dos seguintes factores:

- tipo de apoios e cargas (condies de fronteira)

- relao entre os vos (condiciona a direco de flexo dominante)

- comportamento mecnico do material

- relao da espessura com o menor dos vos (condiciona o tipo do modelo de anlise)

lajes finas (Kirchhoff) - espessura/vo 1/5 (1/10), deslocamentotransversal mximo/espessura 1/5 (1/10)lajes espessas (Reissner-Mindlin)

MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 178 / 183

Trabalho No4: Lajes

Hipteses simplificativas:

- linearidade fsica - material com comportamento elstico linear

- linearidade geomtrica - pequenos deslocamentos e pequenas deformaes

- homogeneidade e isotropia do material

Admita-se ainda que:

- fibras rectas normais ao plano mdio da laje permanecem rectas aps a deformao

- fibras rectas normais ao plano mdio da laje so inextensveis

- fibras rectas normais ao plano mdio da laje permanecem rectas aps a deformao eperpendiculares ao plano mdio - Kirchhoff

MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 179 / 183

Trabalho No4: Lajes

Laje de Kirchhoff

4w(x , y) = q(x , y)Df

Df =Eh3

12(1 2)

Df - rigidez flexo do elemento de laje

(x,y)x

(x,y)y

x

y

z

w(x,y)

Campos de deslocamentos

vy

vx

vx

vy

mx

mx

mxy

mxy

mxy

my

mxy

my

x

y

Campos de esforos

MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 180 / 183

Trabalho No4: Lajes

Considere a seguinte laje em beto armado, simplesmente apoiada nos pilares e nas paredesresistentes representadas. Admitindo que o nico carregamento o peso prprio, apresente:

- o campo dos deslocamentos;

- os campos dos esforos (Mx , My , Mxy , Vx , Vy );

- os diagramas de momentos segundo as linhas de corte AA, BB e EE .

Repita a anlise admitindo na anlise que a seco transversal dos pilares e das paredes desprezvel. Compare e comente os resultados obtidos nas duas anlises.

MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 181 / 183

Trabalho No4: Lajes

1.00 6.00 6.00 6.00 1.00

P2(.40 x .40)

P3(.60 x .40)

P5(.60 x .40)

P7(.60 x .40)

P10(.60 x .40)

P9(.40 x .60)

P8(.40 x .60)

P6(.40 x .60)

P4(.40 x .60)

P1(.40 x .40)

.40.40 3.80

2.60

.40

.40

1.00

3.00

6.00

0.60

3.60

.405.

00.2

0

5.00

.20

e=0.22 m

A

B

D E F G

C C

B

A

D E F G

Beto Armado (Unidades: N,m,rad)

Carga = peso especfico = 25000Poisson = 0.2Mdulo de elasticidade = 3.00E10

MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 182 / 183

Anexo: FAQ - Maxima

MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 183 / 183

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