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Fundações sob acções dinâmicas no topo - 1 Fundações sob acções “dinâmicas” no topo Jaime A. Santos Mestrado em Geotecnia para Engenharia Civil Fundações

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Fundações sob acções dinâmicas no topo - 1

Fundações sob acções “dinâmicas” no topo

Jaime A. Santos

Mestrado em Geotecnia para Engenharia Civil

Fundações

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Fundações sob acções dinâmicas no topo - 2

Dinâmica de Fundações

O estudo do desempenho de uma fundação sob acções dinâmicas* envolve três (3+1) tarefas fundamentais:

1. Caracterização das acções.

2. Avaliação do comportamento cíclico dos materiais envolvidos.

3. Desenvolvimento e aplicação de métodos que consideram o efeito das forças de inércia induzidas nas massas.

4. Observação (se possível) do comportamento real do sistema solo-fundação-superestrutura.

Obs: *Em rigor deveria utilizar o termo acções cíclicas

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Fundações sob acções dinâmicas no topo - 3

Fundações sob acções “dinâmicas” no topo

Fo=moroω2

Focos(ωt)

Fosen(ωt)

ωt

ω ro

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Fundações sob acções dinâmicas no topo - 4

Fundações sob acções “dinâmicas” no topo

Na verificação do desempenho há que ter em atenção os seguintes pontos:

1) As amplitudes de vibração da fundação e da estrutura não podem ser excessivos.

2) As tensões e as deformações induzidas em estruturas vizinhas e infra-estruturas devem ser reduzidas.

3) Evitar a acumulação de deformações permanentes devido ao fenómeno da “vibro-compactação” em camadas de solos arenosos soltos.

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Fundações sob acções dinâmicas no topo - 5

Fundações sob acções “dinâmicas” no topo

O dimensionamento envolve as etapas seguintes:

1. Estimar as cargas “dinâmicas” (geralmente essa informação é obtida a partir do fabricante do equipamento a instalar).

2. Estabelecer o perfil geotécnico através de uma caracterização adequada envolvendo ensaios de campo e ensaios laboratoriais.

3. Concepção da solução (tipo e dimensões numa 1ª aproximação).

4. Determinar a amplitude de vibração do sistema solo-fundação devido às cargas obtidas em 1).

5. Comparar a frequência versus amplitude do ponto 4) com os valores limites geralmente aceites na prática (ou impostos pelo fabricante).

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Fundações sob acções dinâmicas no topo - 6

Valores limites para os movimentos verticais

Valores limites da ordemda centésima do centímetro

ou inferior

e portanto,

bem inferiores aos valores admissíveishabitualmente considerados

para as acções estáticas

Richart (1962)

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Fundações sob acções dinâmicas no topo - 7

6) Repetir os pontos 3, 4 e 5 até se obter um desempenho (teórico) satisfatório.

7) Efectuar estudos de sensibilidade variando os parâmetros do modelo.

8) Observar o comportamento real do sistema solo-fundação-estrutura e comparar com o comportamento estimado em 4).

9) Prever, mesmo em fase de projecto, medidas correctivas caso o desempenho real não for satisfatório (alteração da localização, das massas, do tipo de fundação, da área de contacto solo-fundação; reforço do solo, etc.

Fundações sob acções “dinâmicas” no topo

Em estruturas importantes o dimensionamento terá que envolver ainda mais duas etapas durante/pós-construção:

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Fundações sob acções dinâmicas no topo - 8

q

bolb

o de

tens

ões:

z % B

y % B

B

Deformações induzidas

By5.2

yBmáx 5.2

1)1( νενγ +=+=

Para B=1m ; y=10-4m

!105 5−×≈máxγ

Modelo visco-elástico linearParâmetro fundamental: G0 ou VS

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Fundações sob acções dinâmicas no topo - 9

a) Modos desacoplados - 3 e 6b) Modos acoplados - 1 e 5c) Modos acoplados - 2 e 4

Análises elásticas expeditas:

Fundação rígida - graus de liberdade

3 x Translação + 3 x Rotação

Movimento lateral de “deslizamento” 1) e 2)Movimento lateral de “derrubamento” 4) e 5)Movimento vertical 3)Movimento de Torção 6)

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Fundações sob acções dinâmicas no topo - 10

Equilíbrio dinâmico

)()()( tFtumtP zzz =+ &&

)()( tuKtP zzz =

)()()( tFtumtuK zzzz =+ &&

Excitação harmónica:

tizz ePtP ω=)(

tizz eutu ω=)(

desfasados

Excitação vertical

complexasamplitudessãouP zz ,

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Fundações sob acções dinâmicas no topo - 11

Números complexos (revisões)

Re

Im

X

θ

X1

X2 21 XiXX +=

θθ coscos XiXX += θieXX =

22

21 XXX +=

1

2

XXarctg=θ

Amplitude

Ângulo de fase

Forma trigonométrica ou polar Forma exponencial complexa

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Fundações sob acções dinâmicas no topo - 12

Operações com números complexos (revisões)

θθθ seniei += cos

θθθ senie i −=− cos

2cos

θθθ

ii ee −+=

ieesen

ii

2

θθθ

−−=

)db(i)ca()idc()iba( +++=+++

)db(i)ca()idc()iba( −+−=+−+)(

21212121 θθθθ += iii eAAeAeA

)(

2

1

2

1 21

2

1θθ

θ

θ−= i

i

ie

AA

eAeA

( ) pippi eAAe θθ =

Transformações Operações

dxduee

dxd uu =

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Fundações sob acções dinâmicas no topo - 13

Equilíbrio dinâmico

zdz

z

zz CiK

uPK ω+==

Função de impedância dinâmica:

)()()( tFtumtuK zzzz =+ && )()( tuitu zz ω=&

)()( tutu z2

z ω−=&&( ) )()()( tFtumtuCiK zzzzdz =++ &&ω

)()()()( tFtuKtuCtum zzdzzzz =++ &&&

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Fundações sob acções dinâmicas no topo - 14

)()()()( tFtuKtuCtum zzdzzzz =++ &&&

Kzd

uz(t)

Fz(t)

m

Cz

Impedância dinâmica

( ){ } zzzdz FuCimK =+− ωω 2

zdz

zz

CimKFu

ωω +−=

)( 2

2222 )( zdz

zz

CmK

Fuωω +−

=

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Fundações sob acções dinâmicas no topo - 15

)()()( ωωωω CiKK d +=

{ } "")(Re)( 2a

d mKKK ωωω ±==)(ωK

ω

{ })(Re ωK

{ })(Im ωKestáticarigidezaéK

acopladafictíciamassaaéma

!negativosvaloresexibirpodeK d )(ω

)()( ωω kKKou d ×=

Impedância dinâmica

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Fundações sob acções dinâmicas no topo - 16

)()()( ωωωω CiKK d +=

{ }ω

ωω )(Im)( KC =

)(ωK

ω

{ })(Re ωK { })(Im ωK

Impedância dinâmica

O amortecimento deve-se à contribuição de dois factores:- efeito da radiação;- amortecimento interno.

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Fundações sob acções dinâmicas no topo - 17

)/( Vxtixx euu ±= ωPropagação 1-D em meio infinito:

x

C=AρV

tuVAuiVAu

ViMA

xuMAAF x

xxx

∂∂===

∂∂== )()( ρωρωσ

Impedância dinâmica

ρMV =

O meio semi-infinito do lado direito pode ser substituído por um amortecedor viscoso, caracterizado pela constante C

Amortecimento por radiação:

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Fundações sob acções dinâmicas no topo - 18

Cenários de estudoTabelas 1 a 6:

Fundação superficial:1. em meio elástico semi-

infinito;2. embebida no terreno;3. em meio limitado inferior-

mente por estrato rígido;4. embebida num meio

limitado inferiormente por estrato rígido;

5. em meio com rigidez variável em profundidade.

6. Fundação profunda.

Gazetas (1991)

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Fundações sob acções dinâmicas no topo - 19

Tabela 1 - Rigidez dinâmica e coeficientes do amortecedor para fundação superficial em meio elástico, homogéneo e semi-infinito

SLa V1

43V)(

.νπ −

=

βω

dtotal K2CC +=

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Fundações sob acções dinâmicas no topo - 20

Gráficos da Tabela 1

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Fundações sob acções dinâmicas no topo - 21

Efeito de acoplamento

CG

Fy(t)

Py(t)

Mx(t)

Tx(t)

CG

O

CGδy

δy- θx zCG

θx

y y

y

x

z

zCG

mδy..

δy CG

)()()( tFtmtP yyy =+ δ&&

)()()()( tMtIztPtT xxxCGyx =+− θ&&

Condições de equilíbrio (CG):

(convenção: sinal + para o sentido anti-horário)

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Fundações sob acções dinâmicas no topo - 22

tiyy ePtP ω=)(

tixx eTtT ω=)(

tiyy eFtF ω=)(

tixx eMtM ω=)(

Acções harmónicas

tiyy et ωδδ =)(

tixx et ωθθ =)(

Resposta

CGxyy zt θδδ −=)(*

tixx et ωθθ =)(

Ao nível da base da fundação:

Efeito de acoplamento

CG

δy

CG//

θx//

zCG

y

z

δy- θx zCG

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Fundações sob acções dinâmicas no topo - 23

=

)()(*

tTtP

KKKK

x

y

x

y

rxyrx

yrxy

θδ

)()()( tFtmtP yyy =+ δ&&

)()()()( tMtIztPtT xxxCGyx =+− θ&&

Combinando com as duas condições de equilíbrio anteriores:

Resulta um sistema (2x2) cujas incógnitas são: xy e θδ

Solução do problema

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Fundações sob acções dinâmicas no topo - 24

Critérios práticos para selecção dos parâmetros:

)(ωK

ω

{ })(Re ωK { })(Im ωK

Os valores de Kd e Cdevem ser escolhidos em função da frequência ω

)()()( ωωωω CiKK d +=

)()( ωω kKK d ×=

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Fundações sob acções dinâmicas no topo - 25

Critérios práticos para selecção dos parâmetros

Em rigor, o cálculo completo superestrutura+(fundação+solo) deveria ser feito no domínio da frequência, em que o sistema (fundação+solo) é modelado através de molas com rigidez complexa.

Porém, na prática corrente o cálculo é feito simplificadamente no domínio do tempo considerando rigidez e amortecimento constante (sobreposição modal ou método de integração no tempo).

Os parâmetros devem ser escolhidos tendo em atenção as frequências dominantes da acção e da própria estrutura.

Para o caso dos sismos, as frequências interessadas não ultrapassam em geral 10Hz.

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Fundações sob acções dinâmicas no topo - 26

Exemplos de acelerogramas

-1 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2

0 0,2 0,4 0,6 0,8

1

a (g

)

0 5 10 15 20 t (s)

Kobe-JMA (1995)

0

0,0005

0,001

0,0015

0,002

0,0025

0,003

0,0035

|A| (

g·s)

0 2 4 6 8 10 f (Hz)

Kobe-JMA (1995)

-0,1

-0,05

0

0,05

0,1

a (g

)

0 5 10 15 20 t (s)

Faial (1998)

0

0,0005

0,001

0,0015

0,002

0,0025

|A| (

g·s)

0 2 4 6 8 10 f (Hz)

Faial (1998)

Sismos: f ≤ 10Hz Acelerograma Espectro de Fourier

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Fundações sob acções dinâmicas no topo - 27

Critérios práticos para selecção dos parâmetros

Caso se proceda a um cálculo simplificado no domínio do tempo deve-se considerar de uma forma “artificial” o efeito da frequência.

Define-se uma massa fictícia acoplada à fundação cujo valor é dado por:

{ }2a

KKmω

ω −= )(Re

De igual forma define-se um amortecimento equivalente da fundação definido por (efeito da radiação):

{ }ω

ω)(Im KC =