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Mestrado em Geotecnia para Engenharia Civil

Disciplina de Fundações

Apontamentos sobre

Dinâmica de Fundações

Prof. Jaime Santos (IST)

Outubro de 2002

LABORATÓRIO NACIONAL DE ENGENHARIA CIVIL

Capítulo 1 Fundações sob acções dinâmicas no topo

1-1

CAPÍTULO 1

FUNDAÇÕES SOB ACÇÕES DINÂMICAS NO TOPO

1.1 - Generalidades

A resposta de uma fundação quando sujeita a acções “dinâmicas” depende de múltiplos factores

nomeadamente: a natureza e as características mecânicas do terreno, a geometria dos elementos

envolvidos, a rigidez da fundação e da superestrutura e ainda a natureza da própria excitação.

A excitação pode ser provocada por diversas origens: movimento do terreno de fundação

induzido pela chegada das ondas geradas por um sismo, explosão adjacente, passagem de

veículos; ou pode ser resultante de forças dinâmicas impostas directamente à fundação por

máquinas, veículos em movimento na superestrutura, etc.

Neste capítulo aborda-se o problema das fundações sob acções dinâmicas impostas no topo. O

ponto chave do problema consiste na avaliação da rigidez dinâmica da fundação - traduzida por

funções complexas, designadas genericamente por funções de impedância dinâmica. Estas

funções descrevem a rigidez e a capacidade de dissipação de energia do sistema solo-fundação.

Para efeitos de engenharia, recorre-se muitas vezes a modelos simplificados em que o sistema

solo-fundação é modelado através de elementos simples tipo mola e amortecedor. Estes

elementos são caracterizados por coeficientes que podem ser calculados através de soluções

algébricas aproximadas, resultantes do trabalho de investigação de diversos autores.

No final deste capítulo, apresenta-se uma compilação das soluções existentes para um conjunto

vasto de situações de cálculo. De referir, que a aplicabilidade destas soluções não se limita apenas

ao caso das fundações de máquinas sob acções harmónicas, pois também podem ser utilizadas

para o estudo de fundações sob acções sísmicas.


1-2

Estruturasensível

Figura 1.1 - Interacção dinâmica solo-fundação

Re

Im

X

�

Figura 1.2 - Representação gráfica de um número complexo

1.2 - Fundações superficiais sujeitas a acções dinâmicas no topo

1.2.1 - Generalidades

A Figura 1.1 ilustra a situação típica de uma fundação rígida sob acções “dinâmicas” de uma

máquina. As acções dinâmicas devem-se à massa m0 que roda com excentricidade a umar0

frequência . As forças e momentos que se transmitem à fundação são do tipoT'2B f

ou utilizando a notação exponencial complexa.F(t)'m0 r0T2 cos(Tt) F(t)'m0 r0T

2 e iTt

Como se verá mais adiante, o recurso à notação exponencial complexa permite facilitar o

tratamento matemático das equações. Convém assim, apresentar uma revisão sumária do conceito

do número complexo. A constante complexa pode ser representada por um vector como mostraX

a Figura 1.2.


1-3

O vector representado em coordenadas cartesianas apresenta uma parte real e uma parteimaginária (notação trigonométrica):

X ' X1% i X2 em que X1 ' |X|cosθ ; X2 ' |X|senθ ; |X| ' X 21%X

22 (1.1)

ou, em alternativa, pode-se recorrer à notação exponencial definida pela amplitude e pelo|X|

ângulo de fase medido no sentido anti-horário em relação ao eixo Real:θ

X ' |X|cosθ % i |X|senθ ' |X|e iθ (1.2)

Analisando a expressão anterior é fácil de perceber que a multiplicação de um vector pelaconstante complexa tem como efeito provocar uma rotação de 90º no sentido anti-horário. Dei

modo semelhante se multiplicar um vector por este sofrerá uma rotação de 90º no sentido&i

horário.

As equações anteriores podem ser utilizadas para obter a relação entre as funções trigonométricase as funções exponenciais:

cosθ '12

(e iθ%e &iθ ) (1.3)

senθ ' &i2

(e iθ&e &iθ ) (1.4)

Retomando a Figura 1.1, as ondas geradas no contacto solo-fundação propagam-se em todas asdirecções no depósito de solo. Quando as ondas atingem zonas de transição entre camadasdiferentes sofrem reflexões e refracções, bem como parte da energia se transforma em ondassuperficiais. Grande parte da energia é dissipada desta forma, enquanto que apenas uma pequenaporção se dissipa por amortecimento interno do solo, por razões que se expõem mais adiante.

A fundação experimenta movimentos harmónicos do tipo , ou utilizando au ' u0 cos(ωt%n)

notação exponencial complexa , em que representa a amplitude do movimentou ' u0ei (ωt%n) u0

e o ângulo de fase. Ambos os valores dependem da frequência de excitação, ou seja,n

e .u0 ' u0(ω) n ' n(ω)

Um dos aspectos fundamentais a ter em conta no dimensionamento, tem a ver com o controlodos movimentos da fundação. Estes movimentos deverão ser limitados a valores relativamentereduzidos de modo a não danificar nem pôr em risco a funcionalidade da maquinaria e tambémde não causar problemas aos operários ou às pessoas em edifícios próximos. A Figura 1.3 mostrauma proposta típica que pode servir de elemento de orientação para a selecção dos limites decomportamento aceitável para uma fundação. Na prática, tem sido mais frequente a aplicação decritérios baseados na amplitude das velocidades (Moura Esteves, 1993).


1-4

Frequência (Hz)

Am

pli

tude

de

vib

raçã

o(c

m)

Limite de segurança para máquinas

fundaçõesde

máquinas

Causa problemas às pessoas

Figura 1.3 - Valores limite da amplitude de vibração, Richart (1962)

É de realçar, que estes limites (amplitude dos deslocamentos verticais em função da frequência

de vibração) tomam valores típicos da ordem da centésima do centímetro, ou seja, bem inferiores

aos assentamentos admissíveis para as acções estáticas que tipicamente são da ordem de alguns

centímetros.

Para se ter uma ideia das deformações induzidas, admite-se que a fundação está apoiada num

meio elástico contínuo e determina-se a deformação normal média na direcção e no sentido do

carregamento de acordo com a expressão aproximada seguinte:

g . y2.5B

(1.5)

sendo o deslocamento vertical e a largura da fundação.y B

Na direcção ortogonal como a deformação normal é igual a , deduz-se então que a distorção&< g

máxima é igual a:(máx

(máx ' (1%<) g '1%<2.5B

y (1.6)

Considere-se agora uma fundação superficial com 1m de largura, sujeita a uma amplitude de

vibração vertical da ordem da centésima do centímetro (10-4 m). A distorção máxima

correspondente será da ordem de 5×10-5.

A conclusão que se pode tirar de imediato é a de que as deformações induzidas no solo são

bastante pequenas, pelo que o modelo visco-elástico linear pode ser utilizado para modelar

adequadamente o comportamento do solo. A caracterização do solo de fundação deverá

contemplar ensaios in situ ou de laboratório adequados para o domínio das muito pequenas a


1-5

12

45

6

3

Figura 1.4 - Graus de liberdade de uma fundação rígida

pequenas deformações. Para estes níveis de deformação, o amortecimento interno do solo é

muito reduzido tomando, em geral, valores inferiores a 2%. O módulo de distorção inicial (ou

máximo) do solo constitui o parâmetro fundamental para a análise do problema.

1.2.2 - Fundação superficial sujeita a acção harmónica vertical no topo

As fundações de máquinas são geralmente constituídas por elementos de betão armado de elevada

rigidez, cujos movimentos dependem exclusivamente da deformabilidade do terreno de fundação.

Assim, como qualquer corpo rígido, a fundação exibe seis graus de liberdade - três de translação

e três de rotação segundo os eixos x, y e z (Figura 1.4). Para situações correntes, os movimentos

de vibração vertical e de torção segundo o eixo z (movimentos 3 e 6) podem ser considerados

independentes e desacoplados em relação aos restantes movimentos, enquanto que os

movimentos 1 e 5 ou 2 e 4 estão acoplados devido à inércia da fundação e, por isso, devem ser

estudados conjuntamente.

Para ilustrar os principais conceitos toma-se como referência a situação do movimento vertical.

Considera-se, então, o exemplo da fundação rígida representada na Figura 1.5, onde actua uma

carga vertical centrada Fz(t).

A questão reside na determinação do deslocamento vertical uz(t). Analisa-se, em primeiro lugar,

separadamente o movimento de dois conjuntos: o bloco rígido (representando a fundação) e o

terreno. Se se admitir que a fundação está sempre em contacto com o terreno, o deslocamento da

fundação terá que ser necessariamente igual ao deslocamento do solo, pelo que por equilíbrio:

Pz(t) % muz(t) ' Fz(t) (1.7)


1-6

m

Força de inércia

Força de reacção

Força de acção noterreno de fundação

Força aplicada

Figura 1.5 - Equilíbrio dinâmico do sistema

Assumindo, por hipótese, que o solo se comporta como um material visco-elástico linear, a acção

-reacção ao nível do contacto fundação-solo será proporcional ao deslocamento vertical, isto é:

Pz(t) ' Kz uz(t) (1.8)

em que é a impedância dinâmica para o movimento vertical.Kz

Combinando as equações (1.7) e (1.8) obtém-se:

muz(t) % Kzuz(t) ' Fz(t) (1.9)

Para uma excitação tipo harmónica , a solução correspondente é bemFz(t) ' Fz cos(Tt )

conhecida da teoria dos osciladores de um grau de liberdade. Note-se que, a acção-reacção ePz(t)

o deslocamento são funções harmónicas com frequência , mas desfasadas no tempouz(t) T

devido ao amortecimento do sistema.

Pz(t) ' Pzcos(Tt%") (1.10)

uz(t) ' uzcos(Tt%"%n) (1.11)

ou

uz(t) ' u1 cos(Tt%") & u2 sen(Tt%") (1.12)


1-7

O deslocamento resulta assim da combinação de duas harmónicas simples, onde a amplitude uz(t) uz

e o ângulo de fase estão relacionadas com as duas componentes, uma em fase e outra n u1 u2

com 90º de desfasamento,:

uz ' u 21 %u 2

2 ; tgn 'u2

u1

(1.13)

O recurso à notação exponencial permite um tratamento matemático bastante mais expedito. As

equações anteriores (1.10) e (1.11) podem ser reescritas sob a forma seguinte:

Pz(t) ' Pzei(Tt%") ' Pze

iTt (1.14)

uz(t) ' uzei(Tt%"%n) ' uze

iTt (1.15)

sendo e números complexos, cujo módulo é igual às amplitudes e .Pz uz Pz uz

A função de impedância dinâmica , que é definida como sendo a relação entre a força eKz Pz(t)

o deslocamento , será assim uma função complexa definida por:uz(t)

Kz 'Pz(t)

uz(t)'

Pz

uz

' K dz % iTCz (1.16)

onde e são funções reais dependentes da frequência de excitação K dz Cz T

1.2.3 - Significado físico das funções e K dz Cz

Viu-se então, que a rigidez dinâmica do sistema solo-fundação pode ser caracterizada pela função

complexa . A parte real traduz a rididez dinâmica da fundação e o facto de depender daKz

frequência deve-se apenas à massa existente do sistema, uma vez que se pode assumir para o solo

o comportamento histerético, isto é, independente da frequência. A parte complexa deve-se ao

amortecimento do sistema e tem duas componentes: uma devida ao efeito de radiação das ondas

geradas ao nível da interfase solo-fundação e uma outra resultante do amortecimento interno do

solo. A Figura 1.6 mostra o modelo físico que representa a fundação.

Combinando as equações (1.9) e (1.16) e atendendo a que:

0uz(t) ' iTuz(t) e uz(t) ' &T2 uz(t) (1.17)

obtém-se:

muz(t) % Cz 0uz(t) % K dz uz(t) ' Fz(t) (1.18)

{(K dz &mT2) % iTCz} uz ' Fz (1.19)

Note-se agora, que a equação anterior traduz exactamente a equação de equilíbrio dinâmico de

um oscilador de um grau de liberdade com massa m, rigidez da mola e coeficiente doK dz


1-8

Kzd

uz(t)

Fz(t)

m

Cz

Figura 1.6 - Modelo físico solo-fundação

amortecedor . De referir novamente, que os coeficientes e dependem da frequênciaCz K dz Cz

de excitação , podendo até exibir valores de negativos (a excitação e o movimento daT K dz

fundação em oposição de fase).

Para uma determinada frequência de vibração , a solução do problema, isto é, o deslocamentoT

vertical é igual a:

uz 'Fz

(K dz &mT

2) % iTCz(1.20)

cuja amplitude de vibração é dada por:

|uz| 'Fz

(K dz &mT

2) 2 % T2C 2z

(1.21)

1.2.4 - Generalização do conceito de impedância dinâmica

A definição de impedância dinâmica para o movimento vertical pode ser agora generalizado para

os outros movimentos: .K dx , K d

rx , K dry , K d

t e K dy

Assim, genericamente define-se para cada tipo de movimento uma função de impedância

dinâmica dependente da frequência de excitação:

K(T) ' K d(T)% iTC(T) (1.22)

Estas funções foram objecto de intensa investigação por diversos autores, recorrendo a métodos

analíticos e semi-analíticos para situações particulares com geometria mais simples. Para casos

mais complexos: fundações superficiais embebidas no terreno, fundações por estacas e fundações

em terrenos com rigidez variável em profundidade torna-se necessário recorrer a métodos

numéricos.


1-9

Em alternativa aos métodos matemáticos mais rigorosos existem formulações aproximadas

constituídas por equações algébricas de ajustamento e gráficos adimensionais que podem ser

aplicadas com grande facilidade, para efeitos práticos de dimensionamento. Esta informação

compilada por Gazetas (1991) cobre um conjunto muito vasto de situações para diferentes tipos

de perfil do terreno e de geometria da fundação.

Apresentam-se, no final deste capítulo, as tabelas 1 a 5 resultantes do trabalho de compilação

daquele autor.

A tabela 1 refere-se a fundações superficiais, sem embebimento, apoiadas num meio visco-

elástico, homogéneo e semi-infinito.

A tabela 2 refere-se a fundações superficiais embebidas num meio visco-elástico, homogéneo e

semi-infinito.

A tabela 3 refere-se a fundações superficiais, sem embebimento, apoiadas num meio visco-

elástico, homogéneo e limitado inferiormente por um estrato rígido.

A tabela 4 refere-se a fundações superficiais embebidas num meio visco-elástico, homogéneo e

limitado inferiormente por um estrato rígido.

A tabela 5 refere-se a fundações superficiais, sem embebimento, apoiadas num meio não

homogéneo em que o módulo de distorção varia com a profundidade de acordo com a equaçãoG

seguinte:

G ' Go (1%".) n com . ' z/B (1.23)

sendo o módulo de distorção à superfície, a profundidade e a largura da fundação Go z B

Por último, a tabela 6 refere-se às estacas flexíveis. Considera-se que apenas a parte superior da

estaca sofre deslocamentos apreciáveis, pelo que a solução do problema não depende do

comprimento total da estaca. A estaca será flexível se o seu comprimento for superior ao

comprimento crítico lc, o qual depende das características da estaca e do próprio terreno de

fundação. O comprimento crítico lc pode ser calculado recorrendo às equações da tabela 6 e toma

valores típicos da ordem de 5 a 10 diâmetros. A tabela 6 fornece ainda as equações necessárias

para o cálculo das impedâncias laterais: (impedância horizontal para a situação deKHH

translação pura), (impedância de rotação para a situação de rotação pura) e (termoKMM KMH

cruzado da matriz de rigidez dinâmica).


1-10

As tabelas 1 a 6 permitem calcular:

- a rigidez dinâmica , como sendo igual ao produto da rigidez estática peloK d ' K d(ω) K

coeficiente de rigidez dinâmica , isto é:k (ω)

K d ' K × k (ω) (1.24)

- o coeficiente de amortecimento por radiação . Este coeficiente não incluiu oC ' C (ω)

amortecimento histerético do solo , com excepção das expressões da tabela 6 referentes àsβ

estacas. Para incorporar o amortecimento histerético do solo (equações das tabelas 1 a 5), bastasimplesmente considerar uma parcela adicional para o cálculo do amortecimento total:

C (total) ' C (radiação) % 2K d

ωβ (1.25)

1.2.5 - Efeitos de acoplamento

A Figura 1.7 esquematiza o caso típico de uma fundação rígida parcialmente embebida noterreno, com dois planos verticais de simetria e , cuja intersecção define o eixo de simetriaxz yz

. Em planta a área da fundação dispõe também de dois eixos de simetria e . Nestasz x y

condições, os movimentos de vibração vertical e de torção segundo o eixo são tratadosz

separadamente, visto que não há acoplamento com os outros movimentos.

Por outro lado, os movimentos de translação (movimentos horizontais) e de rotação estãoacoplados devido à inércia do bloco e pelo facto de o centro de gravidade se localizar acima doplano de fundação. De facto, quando o bloco experimenta um deslocamento horizontal a forçaδy

de inércia que actua no centro de gravidade produz um momento na base de fundação em tornodo eixo . O mesmo se passa em relação ao efeito de acoplamento entre a translação segundo x x

e a rotação em torno do eixo .y

Para estudar este efeito de acoplamento considera-se então a situação da Figura 1.7, em que afundação está sujeita às acções harmónicas e no centro de gravidade do bloco.Fy(t) Mx(t)

As condições de equilíbrio dinâmico conduzem às equações seguintes:

m δy(t) % Py(t) ' Fy(t) (1.26)

Tx(t) & Py(t)zCG % Ix θx(t) ' Mx(t) (1.27)

em que: é a massa total da fundação rígida; é o momento de inércia de massa segundo um eixom Ix

horizontal passando pelo ponto CG; e são, respectivamente, as reacções do terreno,Py(t) Tx(t)

em termos de força horizontal e momento referentes ao centro da base da fundação (ponto O).


1-11

CG

Fy(t)

Py(t)

Mx(t)

Tx(t)

CG

O

CG�

y

�y- �

xz

CG

�x

y y

y

x

z

zCG

m�y

..

�y CG

Figura 1.7 - Acoplamento translação-rotação

As acções harmónicas escritas sob a forma exponencial são dadas por:

Fy(t) ' Fy e iTt (1.28)

Mx(t) ' Mx e iTt (1.29)

em que as amplitudes e podem ser constantes reais ou imaginárias. A frequência Fy Mx T

depende obviamente da natureza da excitação. Note-se que as equações anteriores não implicam

que as duas componentes da excitação (força horizontal e momento) estejam em fase, visto que

o “verdadeiro” ângulo de fase pode estar mascarado nas amplitudes complexas.

Em movimento harmónio, a resposta pode ser escrita sob a forma:

*y(t) ' *y ' *y e iTt ; 2x(t) ' 2x ' 2x e iTt (1.30)

Py(t) ' Py e iTt ; Tx(t) ' Tx e iTt (1.31)

Note-se que o deslocamento refere-se ao centro de gravidade do bloco (ponto CG). Ao nível*y

da base, as reacções relacionam-se com o deslocamento e com a rotação*(y ' *y& 2x zCG

, através da matriz de rigidez dinâmica:2(x ' 2x


1-12

Ky Kyrx

Kyrx Krx

*(y

2x

'

Py(t)

Tx(t)(1.32)

Substituindo agora o resultado da equação (1.32) nas equações de equilíbrio dinâmico (1.26) e

(1.27) resulta assim um sistema de (2×2) cujas incógnitas são e :*y 2x

*y ' (B22 Fy & B12 Mx ) / N (1.33)

2x ' (B11 Mx & B12 Fy ) / N (1.34)

em que,

B11 ' Ky(T) & mT2 (1.35)

B12 ' Kyrx(T) & Ky(T) zCG (1.36)

B22 ' Krx(T) & IxT2 % Ky(T) z 2

CG & 2 Kyrx zCG (1.37)

N ' B11 B22 & B 212 (1.38)


1-13

Cenários de estudo - Tabelas 1 a 6


1-14

Tab

ela

1-

Rig

idez

din

âmic

ae

coef

icie

nte

sdo

amort

eced

or

par

afu

ndaç

ãosu

per

fici

alem

mei

oel

ásti

co,hom

ogén

eoe

sem

i-in

finit

o


1-15

Gráficos da Tabela 1


1-16

Tab

ela

2-

Rig

idez

din

âmic

ae

coef

icie

nte

sd

oam

ort

eced

or

par

afu

nd

ação

sup

erfi

cial

emb

ebid

aem

mei

oel

ásti

co,

ho

mo

gén

eoe

sem

i-in

fin

ito


1-17


1-18



1-19

Tab

ela

3-

Rig

idez

din

âmic

ae

coef

icie

nte

sd

oam

ort

eced

or

par

afu

nd

ação

sup

erfi

cial

emm

eio

elás

tico

eh

om

og

éneo

lim

itad

oin

feri

orm

ente

po

ru

mes

trat

orí

gid

o


1-20



1-21

Tab

ela

4-

Rig

idez

din

âmic

ae

coef

icie

nte

sd

oam

ort

eced

or

par

afu

nd

ação

sup

erfi

cial

emb

ebid

aem

mei

oel

ásti

coe

ho

mo

gén

eoli

mit

ado

infe

rio

rmen

tep

or

um

estr

ato

ríg

ido


1-22

Tab

ela

5-

Rig

idez

din

âmic

ae

coef

icie

nte

sd

oam

ort

eced

or

par

afu

nd

ação

sup

erfi

cial

emm

eio

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tico

não

ho

mo

gén

eo


1-23


1-24



1-25

Tab

ela

6-

Rig

idez

din

âmic

ae

coef

icie

nte

sdo

amort

eced

or

par

aes

taca

sfl

exív

eis


1-26

Capítulo 2 Estacas sob acções sísmicas

2-1

CAPÍTULO 2

ESTACAS SOB ACÇÕES SÍSMICAS

2.1 - Generalidades

A interacção solo-estaca-superestrutura sob acções sísmicas é um problema complexo que tem

despertado bastante interesse no domínio da investigação nas últimas décadas. A informação

existente acerca de danos ocorridos em estacas durante os últimos sismos de grande intensidade

é relativamente escassa, dada as óbvias dificuldades e os custos envolvidos para a sua detecção.

Novak (1991) refere a ocorrência de danos em estacas nos sismos de Alaska em 1964, da cidade

do México em 1985 e de Loma Prieta em 1989 e destaca o trabalho de inspecção levado a cabo

por Mizuno (1987).

Mizuno (1987) efectuou um levantamento de 28 casos de danos em estacas, provocados pelas

acções símicas, que ocorreram no Japão no período entre 1923 e 1983. Aquele autor concluiu

que muitos dos danos (e ruínas de edificações) foram devidos às elevadas forças de inércia e

momentos que provocaram a rotura estrutural das estacas (no topo) por corte ou por flexão

(Figura 2.1), ou a rotura por derrubamento e arrancamento do sistema solo-estacas-maciço de

encabeçamento. Roturas provocadas por liquefacção do terreno de fundação também

constituiram um dos cenários mais frequentes naquele estudo (Figura 2.2).

Porém, em muitos dos casos investigados detectou-se que a localização da zona afectada da

estaca estava demasiadamente profunda para que pudesse ser imputada às forças de inércia

actuantes no topo, e que também seria improvável a ocorrência de liquefacção. Estas zonas

danificadas estavam na realidade associadas à presença de descontinuidades com variação brusca

das características mecânicas do terreno estratificado. Assim, ele concluiu que durante a

ocorrência de um sismo, o terreno envolvente impõe curvaturas elevadas que podem conduzir à

rotura estrutural da estaca (Figura 2.3).


2-2

Figura 2.2 - Colapso da ponte provocado pela liquefacção do solo (Niigata 1964)

Figura 2.1 - Colapso do terminal fluvial devido à rotura por corte das fundações (Kobe 1995)


2-3

Aterros

Argila moleou

solo com potencialrisco de liquefacção

Substratoresistente

deslocamento lateraldo terreno devido à passagem

das ondas sísmicas

Figura 2.3 - Mecanismo de rotura devido ao efeito de interacção cinemática solo-estacas

Este tipo de mecanismo de rotura não tem recebido a atenção devida na comunidade

técnico-científica geotécnica e estrutural (Santos e Gomes Correia, 1999). Na prática corrente de

dimensionamento, este problema é habitualmente ignorado e o dimensionamento estrutural das

estacas de fundação baseia-se unicamente nas forças de inércia provenientes da superestrutura.

Na realidade, durante a actuação de um simo, os esforços nas estacas são devidos, por um lado,

às forças de inércia da superestrutura (interacção com a superestrutura) e, por outro, pelo

movimento do solo envolvente (interacção cinemática). Diversos modelos teóricos foram

desenvolvidos contemplando, em geral, os dois efeitos separadamente. Refere-se o trabalho

importante de Novak (1991) ao apresentar uma síntese dos diferentes modelos recentemente

desenvolvidos.

As observações de Mizuno (1987) apontaram claramente para a necessidade de uma reavaliação

do procedimento a adoptar ao nível de dimensionamento para a verificação da segurança das

estacas sob acções horizontais em zonas sísmicas.

A importância da consideração do efeito de interacção cinemática é reconhecida nos

regulamentos mais recentes: AASHTO (1983), JSCE (1988), AFPS (1990) e Eurocódigo

EC8 (1994). A nível nacional não existe de momento nenhuma regulamentação que aborde este

problema.

Segundo o EC8-Parte 5 as estacas devem ser dimensionadas para resistir ao efeito de dois tipos

de acções devidos aos sismos:

• "as forças de inércia provenientes da superestrutura;

• as forças cinemáticas provocadas pelo movimento do solo envolvente aquando da passagem

das ondas sísmicas.


2-4

Os momentos flectores devidos à interacção cinemática devem ser calculados quando se reunir

duas ou mais das condições seguintes:

• terreno pertencente à classe C ou pior e constituído por uma alternância de camadas com

contraste significativo de rigidez. A classe C incluiu os depósitos de solo incoerente solto, com

ou sem camadas intercalares de solo coesivo, caracterizados por valores de vs abaixo de

200m/s nos primeiros 20m de profundidade;

• local da obra pertencente a uma zona de sismicidade moderada a elevada (com aceleração

de pico efectiva em terreno firme ou rochoso superior a 0.1g);

• superestrutura pertencente à classe de importância I e II. A classe I incluiu os edifícios cuja

integridade durante os sismos é de particular importância para a protecção civil, tais como:

os hospitais, quartéis de bombeiros, centrais de energia, etc..). A classe II incluiu os edifícios

cuja integridade é também importante garantir-se durante os sismos face às consequências

graves que podem decorrer do colapso: escolas e lugares de culto e reunião.

As estacas devem ser dimensionadas para resistirem no domínio elástico. Quando isso não for

possível, devem-se considerar as seguintes zonas potenciais de plastificação da estaca:

• uma zona até à profundidade de 2d contada a partir da base do maciço de encabeçamento;

• zonas a ±2d de qualquer interface entre duas camadas com contraste significativo de rigidez

(relação entre os módulos de distorção superior a 6).

Estas zonas potenciais de plastificação deverão ser dimensionadas para serem dúcteis através

da colocação de uma armadura transversal de confinamento adequada.

Em situações onde possam ocorrer fenónemos de liquefacção, a utilização de estacas como

medida de trasferência das cargas verticais deverá ser encarada com cautela, devido às elevadas

forças induzidas nas estacas como consequência da perda da resistência lateral dos estratos com

potencial risco de liquefacção, e ainda às inevitáveis incertezas associadas à posição e à

espessura destes estratos."

No recente sismo de Hyogoken-Nambu em 1995, Mizuno (1996) identificou mais de 30 casos

de danos em estacas de betão pré-fabricadas, estacas de betão moldadas "in situ" e estacas

metálicas. Os danos ocorreram em zonas de aterro conquistadas ao mar, em colinas e em zonas

onde se registaram maiores abalos sísmicos. De acordo com o levantamento realizado, aquele

autor classificou as causas externas que provocaram danos (em estacas) em 4 grupos:

• movimento de zonas de aterro (em locais montanhosos);

• forças de inércia provenientes da superestrutura;

• movimento do solo devido à liquefacção (Figura 2.4);

• movimento do solo sem liquefacção.


2-5

Figura 2.4 - Rotura devido ao efeito de interacção cinemática solo-estacas (Kobe 1995)

Aquele autor cita ainda um caso interessante onde foram detectados danos em estacas de betão

moldadas "in situ", mesmo antes da construção do edifício. Este caso ocorreu na cidade de Kobe

numa zona sem liquefacção e constitui uma situação exemplar para ilustrar a importância do

efeito de interacção cinemática solo-estaca.

Este problema complexo de interacção cinemática não tem recebido a atenção devida e

encontra-se muito menos bem estudada do que o efeito das forças de inércia actuantes no topo

das estacas.

Far-se-á numa primeira parte deste capítulo uma descrição sumária dos métodos de resolução do

problema de equilíbrio dinâmico, com particular detalhe nos métodos baseados na sobreposição

modal.

Na segunda parte far-se-á uma análise de alguns modelos simplificados que consideram o solo

envolvente (campo livre) como um meio homogéneo elástico e que recorrem à técnica de análise

por espectro de resposta para a determinação dos deslocamentos horizontais do campo livre.

A terceira parte deste capítulo contempla uma descrição dos modelos dinâmicos mais rigorosos

dando particular ênfase ao modelo BDWF cujas potencialidades serão demonstradas, através de

comparações com análises tridimensionais.


2-6

2.2 - Breves considerações acerca dos métodos de resolução do problema de

equilíbrio dinâmico

2.2.1 - Generalidades

A análise rigorosa do problema de interacção cinemática solo-estaca levanta dificuldades

acrescidas dados o seu carácter tridimensional e a dificuldade em modelar adequadamente as

condições de radiação nas fronteiras. Acresce ainda, a necessidade de considerar o

comportamento não linear do solo.

Em rigor, o comportamento não linear do solo obriga a realização de análises incrementais no

domínio do tempo e a consequente definição explícita do comportamento histerético do solo,

através de modelos constitutivos visco-elastoplásticos (Prevost, 1993), que exigem um grande

número de parâmetros de cálculo e potentes meios computacionais.

Por estas razões, é habitual recorrer-se ao método linear equivalente para simular de forma

aproximada, o comportamento não linear do solo. A não linearidade é simulada à custa da

consideração de valores secantes ou equivalentes da rigidez e do amortecimento histerético do

solo, em função do nível de deformação. O método é assim iterativo, procurando em cada análise

compatibilizar as propriedades do solo com o nível de deformação. Este método apresenta

obviamente a limitação de não poder determinar as deformações plásticas irreversívies do solo

dado o carácter elástico que está implícito neste método de análise.

Na análise do problema de equilíbrio dinâmico linear, é mais usual recorrer-se ao amortecimento

viscoso do que ao amortecimento histerético, dada as vantagens que aquele tipo de amortecimento

proporciona em termos computacionais.

A aplicação do método dos elementos finitos, para o problema de equilíbrio dinâmico num

sistema com amortecimento viscoso, conduz, após o processo de discretização e de espalhamento

topológico das matrizes elementares, a um sistema de equações diferenciais que é expresso sob

a forma geral seguinte:

[M] {u(t)} % [C] {0u(t)} % [K] {u(t)} ' {F(t)} (2.1)

em que:

[M] ' matriz de massa{u(t)} ' vector de acelerações[C] ' matriz de amortecimento viscoso{0u(t)} ' vector de velocidades[K] ' matriz de rigidez{u(t)} ' vector de deslocamentos{F(t)} ' vector de forças aplicadas


2-7

As técnicas habitualmente utilizadas para a resolução deste problema dividem-se em dois grupos

(Bathe e Wilson, 1976):

• métodos de integração directa, no domínio do tempo;

• métodos de sobreposição modal, no domínio do tempo ou da frequência.

Nos métodos de integração directa o equilíbrio dinâmico é verificado passo a passo para

intervalos de tempo discretos. Assim, em cada instante de tempo, o problema de equilíbrio

dinâmico pode ser resolvido recorrendo às técnicas habitualmente utilizadas para as análises

estáticas, bastando acrescentar as parcelas adicionais devido às forças de inércia e de

amortecimeto. Como o equilíbrio é apenas verificado em instantes de tempo discretos torna-se

necessário escolher formas de variação dos deslocamentos, das velocidades e das acelerações ao

longo do intervalo de tempo de integração. A diferença essencial entre os diversos métodos de

integração directa reside pois naquelas formas de variação. Estes métodos apresentam a

vantagem de permitirem introduzir, com toda a generalidade, as leis de comportamento não linear

dos materiais. Porém, quando a duração da solicitação for relativamente longa, estes métodos

apresentam a desvantagem de envolverem um grande volume de cálculos, dado que o sistema

de equações diferenciais tem que ser resolvido repetidamente para um grande número de vezes.

No segundo grupo de métodos, admite-se a linearidade do sistema e propõe-se uma transformação

do sistema de equações diferenciais numa outra forma de resolução mais eficiente. Esta

transformação é efectuada com base no bem conhecido método de sobreposição modal que pode

ser aplicado, quer no domínio do tempo, quer no domínio da frequência. Descreve-se, a seguir,

com maior detalhe a sua aplicação para dois tipos de análise:

• análise no domínio do tempo considerando amortecimento viscoso;

• análise no domínio da frequência considerando amortecimento histerético.

2.2.2 - Análise modal no domínio do tempo admitindo amortecimento viscoso

Na análise no domínio do tempo, o método de sobreposição modal consiste na realização prévia

de uma transformação dos deslocamentos nodais {u(t)} para os deslocamentos generalizados

{x(t)} através de uma matriz modal [M]:

{u(t)} ' [M] {x(t)} (2.2)

Introduzindo a equação (2.2) em (2.1) e multiplicando, ambos os membros desta equação, à

esquerda por [M]T obtém-se:

[M]T[M][M]{x(t)} % [M]T[C] [M]{0x(t)} % [M]T[K] [M]{x(t)} ' [M]T{F(t)} (2.3)


2-8

NTi [C]Nj ' Ci*ij ' 2Ti>i*ij com i , j'1,2...m (2.9)

O objectivo desta transformação é obter um novo sistema com matrizes de menor largura de

banda que as originais. Para tal, escolhem-se para os deslocamentos generalizados as amplitudes

dos modos de vibração do sistema, resumindo-se assim ao problema da determinação de valores

e vectores próprios:

{[K] & T2 [M]}{N} ' 0 (2.4)

O problema inicial é transformado para o espaço modal com m modos de vibração associados aos

respectivos valores próprios Ti2, e vectores próprios Ni, com i=1,2...m. Os vectores próprios Ni

representam configurações de deformadas ou modos de vibração, os quais justapostos em coluna

formam a referida matriz modal [M].

Uma das vantagens da análise modal reside no facto de permitir obter uma solução bastante

próxima da exacta considerando apenas os modos de vibração com frequências mais baixas.

Após aplicação das devidas condições de ortonormalização mostra-se que (Clough e Penzien,

1975):

[M]T[K] [M] ' [S] (2.5)

[M]T[M][M] ' [I] (2.6)

em que [S] é uma matriz diagonal constituída pelos valores próprios ou frequências próprias

elevadas ao quadrado:

Sij ' T2i *ij com i , j'1,2...m (2.7)

e [I] é a matriz de identidade.

Assim, o sistema original (2.1) transforma-se em:

[I]{x(t)} % [M]T[C] [M]{0x(t)} % [S]{x(t)} ' [M]T{F(t)} ' {f(t)} (2.8)

O método de sobreposição modal torna-se particularmente eficiente caso a matriz de

amortecimento seja igualmente ortogonalizável pelos modos de vibração verificando a condição

seguinte:

em que >i representa o coeficiente de amortecimento modal.


2-9

Assim, o problema inicial da resolução de um sistema de n graus de liberdade pode ser reduzido

à sobreposição das soluções de n sistemas de um grau de liberdade:

xi(t) % 2Ti>i 0xi(t) % T2i xi(t) ' fi(t) com i'1,2...n (2.10)

Após o desacoplamento, a solução para cada uma das equações independentes pode ser obtida

recorrendo às técnicas utilizadas na análise de resposta de sistemas de um grau de liberdade.

Se bem que a acção dos sismos pode ser modelada como uma excitação periódica procendo à

decomposição em série de Fourier, em que a resposta do sistema resume-se a uma sobreposição

de harmónicas, o procedimento habitual e mais eficiente consiste em aplicar o conceito de

integral de Duhamel, em que a resposta do sistema é resultante da convolução, no domínio do

tempo, da acção e da função resposta ao impulso instantâneo unitário (Clough e Penzien, 1975).

A aplicação do conceito de integral de Duhamel permite a obtenção da resposta para cada um dos

modos de vibração de uma forma eficiente recorrendo às técnicas habituais de integração

numérica.

2.2.3 - Análise modal no domínio da frequência admitindo amortecimento

histerético

Para o caso do amortecimento histerético, torna-se conveniente que o problema seja resolvido no

domínio da frequência.

Para o caso da solicitação harmónica, o amortecimento histerético do solo pode ser implementado

de uma forma eficiente, aplicando o princípio da correspondência que conduz à consideração dos

módulos elásticos complexos do solo.

A aplicação do método dos elementos finitos, para o problema de equilíbrio dinâmico linear com

amortecimento histerético, conduz agora a um sistema de equações lineares complexas que é

expresso sob a forma geral seguinte:

{[K (] & T2 [M]}{u(T)} ' {F(T)} (2.11)

ou em alternativa,

{[K] % i [C] & T2 [M]}{u(T)} ' {F(T)} (2.12)


2-10

em que:

[K (] ' matriz de rigidez complexaT ' frequência de vibraçãoi ' unidade imaginária

[C] ' matriz de amortecimento histerético{u(T)} ' vector de deslocamentos{F(T)} ' vector de forças aplicadas

Para o caso da acção dos sismos o vector {F(T)} é como sabido dado por:

{F(T)} ' & [M] Ub(T) (2.13)

em que Üb(T) representa a amplitude das acelerações impostas na fronteira.

Esta abordagem no domínio da frequência implica uma transformação prévia do registo das

acelerações no domínio do tempo Üb(t) para a correspondente transformada de Fourier Üb(T) no

domínio da frequência. Após a resolução no domínio da frequência a solução homóloga no

domínio do tempo é obtida mediante a transformada inversa de Fourier. Este técnica de resolução

será objecto de maior desenvolvimento no capítulo seguinte.

A aplicação do método de sobreposição modal faz-se de forma semelhante recorrendo aos

deslocamentos generalizados, agora definidos do domínio da frequência:

{u(T)} ' [M] {x(T)} (2.14)

Introduzindo a equação (2.14) em (2.12) e multiplicando, ambos os membros desta equação, à

esquerda por [M]T obtém-se:

[M]T{[K] % i [C] & T2 [M]}[M]{x(T)} ' [M]T{F(T)} ' {f(T)} (2.15)

Atendendo às já referidas condições de ortonormalização, o sistema original (2.12) transforma-se

finalmente em:

{[S] % i [M]T[C][M] & T2 [I]}{x(T)} ' {f(T)} (2.16)

De referir, que os modos de vibração são ortogonais em relação a qualquer matriz que seja uma

combinação linear da matriz de massa e de rigidez. Assim, como a matriz [C] resulta do

espalhamento topológico das matrizes de amortecimento elementares [C](e)=[K](e)×i2>(e), ela só

será ortogonalizável pelos modos de vibração, caso todos os elementos tenham o mesmo


2-11

coeficiente de amortecimento histerético. Quando isto não acontecer, a matriz de amortecimento

histerético não será ortogonalizável pelos modos de vibração, pelo que não ocorrerá o total

desacoplamento do sistema de equações iniciais. Nesta situação, o problema simplifica-se apenas,

no sentido da sua transformação num sistema reduzido de m (modos) de equações.

2.2.4 - Tipo de amortecimento a considerar

Em face do exposto, concluiu-se que em regime linear o método de sobreposição modal revela-se

mais adequado para resolver sistemas com um grande número de graus de liberdade e sujeitos a

acções relativamente prolongadas, tal como acontece com os sismos.

A consideração de amortecimento viscoso permite evitar o recurso a variáveis complexas e, para

certos casos particulares, o problema de equilíbrio dinâmico pode ser resolvido de uma forma

muito eficiente, devido ao total desacoplamento do sistema de equações iniciais, tal como descrito

anteriormente.

Porém, a natureza histerética do amortecimento do solo da forma como é ele entendido no

modelo de Kelvin-Voight acaba por esvanecer, passando-se a definir coeficientes de

amortecimento (modal) para cada modo de vibração.

Assim, a aplicação deste tipo de análise modal para o estudo de problemas de interacção

solo-estrutura deverá ser feita de forma calculosa, no sentido de seleccionar valores adequados

de amortecimento modal, que conduzam a uma dissipação de energia equivalente ao

amortecimento histerético do solo, como se procurará analisar mais adiante.

2.3 - Modelos simplificados de interacção cinemática solo-estaca

Nos modelos simplificados a análise do efeito de interacção cinemática solo-estaca é dividida em

duas partes:

• determinação da resposta sísmica do campo livre com base numa análise espectral;

• determinação dos esforços induzidos na estaca aplicando um determinado modelo simplificado

de interacção.

Integram-se neste grupo os modelos propostos por Soulomiac (1986) e Mineiro (1988), que são

descritos a seguir.


2-12

(máx(x) 'H

v 2s

jn

D(K,n)an

Kancos(anxH

)%sen(anxH

) San (2.17)

K an tg(an) ' 1 (2.18)

D(K ,n) '2

Ka 2n cos(an)%an (1%K )sen(an)

(2.19)

2.3.1 - Resposta sísmica de camadas de terrreno

Ambraseys (1960) citado por Mineiro (1988) deduziu a a solução analítica que governa o

comportamento em corte simples, de uma camada de terreno com a superfície uniformemente

carregada e sujeita à acção sísmica na sua base rígida.

H , �

Substrato rígido

Camada rígidah ,m m�

x

z

Camada elástica

Figura 2.5 - Resposta sísmica de uma camada elástica

A solução geral do problema em termos de distorções máximas ao longo da camada elástica, em

função do espectro de aceleração da perturbação sísmica aplicada na base, é a indicada naequação

seguinte:

em que:

H = espessura da camada deformável

vs = velocidade de propagação das ondas de corte

K = hm(m/H(

hm = espessura da camada rígida

(m = peso volúmico da camada rígida

( = peso volúmico da camada elástica

n = número de ordem do modo de vibração

San = valor da aceleração espectral tomado em função da frequência e do coeficiente de

amortecimento

D(K,n) e an = coeficientes adimensionais dados por:


2-13

u(z) ' mz

0

(máx(z)dz (2.20)

u(z) 'H

vsa1

2

D(K , a1) Sa1 k1 sena1z

H& k2 cos

a1z

H% k2

(2.21)

k1 ' Ka1 cos(a1) % sen(a1) (2.22)

k2 ' Ka1 sen(a1) & cos(a1) (2.23)

u(z) 'H

vsa1

2

D1 sen(B2

zH

) Sa1(2.26)

u(z) ' uo senB2

zH

ou u(x) ' uo cosB2

xH

(2.27)

Segundo Mineiro (1988) a contribuição dos modos altos (n>1) é pequena, podendo do ponto de

vista prático considerar apenas a contribuição do modo fundamental para o cálculo da distorção

e do deslocamento.

O deslocamento horizontal relativo do solo, u, a uma determinada altura, z, da base obtém-se

fazendo a integração das distorções ou seja:

Expressando o valor de (máx da equação (2.17) em função da coordenada z e substituindo na

equação (2.20) obtém-se, então, após algumas manipulações matemáticas, o valor do

deslocamento, considerando apenas a contribuição do primeiro modo de vibração:

em que:

Para o caso particular de não haver camada rígida no topo da camada elástica a expressão (2.17)

anterior simplica-se para:

(máx(x) 'H

v 2s

D1

a1

sena1x

HSa1 (2.24)

em que D1 e a1 tomam os valores de 4/B e B/2, respectivamente.

Atendendo ainda a que sen(a1x/H) = cos(a1z/H) a expressão anterior pode, também, ser escrita

em função da coordenada z:

(máx(z) 'H

v 2s

D1

a1

cosa1z

HSa1 (2.25)

O deslocamento horizontal relativo do solo, u, a uma determinada altura, z, é dado por:


2-14

uo 'H

vsa1

2

D1 Sa1(2.28)

T '4Hvs

(2.29)

em que uo é o deslocamento relativo no topo da camada dado por:

O período fundamental, T, da camada elástica toma para este caso particular o valor de:

2.3.2 - Modelo de interacção proposto por Soulomiac (1986)

Nalgumas situações particulares, quando as estacas são de pequeno a médio diâmetro ou quando

a rigidez da massa de solo em movimento for relativamente elevada, pode-se admitir que a estaca

acompanha o movimento do solo, sofrendo os mesmos deslocamentos do campo livre

(Soulomiac, 1986).

Como se viu na secção anterior, a deformada do terreno considerando apenas o 1º modo de

vibração segue uma lei sinusoidal descrevendo 1/4 de uma sinusoide. Assim sendo, a 1ª e a 2ª

derivada da função deslocamentos anulam-se, respectivamente, no topo (ponto máximo) e na base

(ponto de inflexão).

Considera-se agora que a estaca é suficientemente flexível e tem a rotação impedida ao nível da

sua cabeça. Segundo aquele autor, a consideração da deformada a) indicada na Figura 2.6 parece,

do ponto de vista prático, pouco realista uma vez que se gerariam esforços de flexão muito

elevados e incomportáveis na zona de ligação da estaca ao substrato rígido. Deste modo, ele

propôs que se admitisse a condição de rotação livre (rótula) na base, seguindo a estaca a mesma

deformada sinusoidal correspondente ao campo livre.

Substrato rígido

a) base encastrada b) rótula na base

� = 0o

deslocamentos docampo livre

(1º modo de vibração)

Figura 2.6 - Deformada da estaca


2-15

p(x) ' po cosB2

xH

(2.30)

T(x) '2HB

po senB2

xH

(2.31)

M(x) '2HB

2po cos

B2

xH

'2HB

2p(x) (2.32)

EpIpd 4y(x)

dx 4' p(x) Y EpIp

B2H

4u(x) ' p(x) (2.33)

M(x) 'B

2H

2EpIp u(x) (2.34)

Mmáx 'B

2H

2EpIp uo (2.35)

Tmáx 'B

2H

3EpIp uo (2.36)

Admitindo que as tensões horizontais no solo se podem obter a partir dos deslocamentos através

de uma constante de proporcionalidade, a estaca fica assim sob a acção de um diagrama de

tensões com andamento sinusoidal e valor máximo, po, à superfície, isto é:

O esforço transverso, T, à profundidade x obtém-se integrando a equação anterior:

e seguindo a mesma via de procedimento, obtém-se o momento flector, M:

Por outro lado, introduz-se a equação diferencial de equilíbrio da estaca e admite-se que a estaca

acompanha os mesmos deslocamentos do campo livre, ou seja, y(x)=u(x):

Eliminando agora p(x) nas equações (2.32) e (2.33), obtém-se o valor do momento flector em

função do deslocamento:

O diagrama de momentos flectores segue exactamente o mesmo andamento sinusoidal do campo

livre de deslocamentos (Figura 2.7). Indica-se, seguidamente, as duas relações úteis que

exprimem os valores máximos do momento flector (no topo) e do esforço transverso (na base)

em função do deslocamento à superfície:


2-16

Mo '3EpIp

H 2uo (2.37)

Deslocamentou

Tensãop

Esforço transversoT

Momento flectorM

Figura 2.7 - Diagramas de esforços

2.3.3 - Modelo de interacção proposto por Mineiro (1988)

Para avaliar a capacidade resistente das estacas ao deslocamento sísmico horizontal

Mineiro (1988) propôs um modelo de interacção simplificado que considera o seguinte:

• a estaca e o solo têm comportamento elástico;

• o solo é modelado por molas (meio discreto do tipo Winkler) ou como um meio contínuo;

• as estacas são, primeiramente, supostas articuladas na base e na cabeça e calcula-se

simplificadamente o valor da rotação da cabeça, dividindo o deslocamento sísmico à

superfície pela altura da camada;

• o efeito de interacção solo-estaca-maciço traduz-se, seguidamente, em aplicar à cabeça da

estaca, inicialmente suposta como livre, um momento que anule o valor da rotação

calculado no ponto anterior, tendo em atenção a interacção com o terreno.

Chama-se a atenção, pela particular importância de se ter em conta o andamento real da

deformada do terreno quando se pretende estimar os esforços da estaca devido ao efeito de

interacção. O modelo simplificado proposto por Mineiro (1988) considera apenas uma condição

de compatibilidade à cabeça da estaca podendo conduzir, nalgumas situações, a resultados

incorrectos. Deste modo, aquele autor propôs recentemente que seja adoptada uma das

modelações sugeridas pelo EC8 (versão de 1985) e que consiste em desprezar este tipo de

interacção calculando o momento de encastramento da cabeça da estaca com base na expressão

seguinte (Mineiro, 2000):

Para efeitos de comparação, considere-se o exemplo de cálculo de uma estaca com 1.00m de

diâmetro (EpIp=490873kNm2) embebida num camada elástica com Es.k=50000 kPa , H=20m e

uo=0.0246m.


2-17

Mo '3EpIp

H 2uo ' 90.6kNm (2.38)

2livre 'uo

H(2.39)

8 '

4 k4EpIp

' 0.399m &1 e 8L ' 8.0 > 3.0 (2.40)

2o '4Mo8

3

k(2.41)

Mo 'k

483×

uo

H' 242.0kNm (2.42)

Mo 'B

2H

2EpIp uo ' 74.5kNm (2.43)

• Não considerando o efeito de interacção (EC8, 1985; Mineiro, 2000):

• Modelo simplificado proposto por Mineiro (1988):

A rotação da cabeça da estaca, 2o , devido a um momento concentrado aplicado, Mo , pode ser

calculado com base na solução analítica das estacas flexíveis (Santos, 1993), dado que:

O valor do momento de encastramento devido ao efeito de interacção, será igual ao valor de Mo

aplicado que conduza a um valor de 2o igual a 2livre , ou seja:

• Modelo considerando que a estaca acompanha o deslocamento do solo (Soulomiac, 1986)

Nestas condições aplica-se a expressão (2.35) apresentada anteriormente:

Estes resultados mostram claramente como os diversos modelos podem conduzir a resultados

bem diferentes. O modelo que não considera o efeito de interacção e o modelo de

Soulomiac (1986) conduzem a resultados relativamente próximos, pois é fácil de deduzir que a

relação entre eles é de .3/(B2/4) . 1.2


2-18

2.3.4 - Modelo elástico contínuo tridimensional

2.3.4.1 - Teste de validação do modelo proposto por Soulomiac (1986)

Para verificar a validade do modelo proposto por Soulomiac (1986), torna-se necessário efectuar

análises tridimensionais, recorrendo ao método dos elementos finitos considerando o solo como

um meio contínuo.

A solução do problema foi obtida recorrendo a programas de análise dinâmica disponíveis no

DECivil do IST (ABAQUS e SAP-90). Efectuou-se uma análise modal, tendo-se imposto na base

da camada elástica uma aceleração espectral unitária actuando na direcção longitudinal da malha.

Salienta-se que, houve a preocupação de estender a malha (Figura 2.9) a uma distância

consideravelmente superior ao diâmetro da estaca (60 vezes), de modo a atingir-se dois

objectivos:

• a massa de solo envolvente seja muito superior à massa da estaca;

• o erro cometido devido à truncatura da malha nas fronteiras laterais seja praticamente

desprezável.

H = 20 m

Substrato rígido

2 r = 1.0 mo

Estaca

Solo envolvente

E = 10 GPa

= 0.2�p

p{

{E = 50 MPa

= 0.49

= 20 kN/m

�

�

s

s

s

3

rotação nula

rótula

Figura 2.8 - Cenário de estudo

PORMENOR(Ampliado 8 vezes)

Estaca

Solo envolvente

Figura 2.9 - Malha de elementos finitos

Nos nós situados nas fronteiras laterais libertou-se apenas o deslocamento segundo a direcção de

actuação do sismo e impôs-se a condição de igualdade de deslocamentos para os nós situados à

mesma profundidade.

Mostram-se, na Figura 2.10, para o 1º modo de vibração, o andamento qualitativo dos

deslocamentos e dos esforços obtidos ao longo do fuste da estaca.


2-19

Diagrama de momentos flectores

Diagrama de momentos flectores

Deformada

Diagrama de esforços transversos

Figura 2.10 - Deformada e diagrama de esforços

É interessante comparar os resultados obtidos pelo programa de cálculo automático com os da

aplicação da formulação analítica proposta por Soulomiac (1986). Esta comparação é apresentada

no Quadro 2.1, onde se pode constatar que a concordânica dos resultados é excelente e deve-se

essencialmente a dois factos:

• as condições de fronteira admitidas para o topo e a base da estaca estão em consonância com

o andamento sinusoidal do campo livre;

• para os parâmetros arbitrados no cenário de estudo a rigidez da massa de solo em movimento

é muito superior à rigidez da estaca isolada.

Quadro 2.1 - Comparação de resultados

M.E.F. Formulação analítica

yo=uo (m) 0.0258 0.0246

Mo (kNm) 72.5 74.5

T (s) 0.89 0.87

2.3.4.2 - Estudo paramétrico

O ponto anterior mostrou a necessidade de efectuar um estudo paramétrico mais alargado com

vista à definição do domínio de validade da formulação analítica, a qual pressupõe que a estaca

acompanha o movimento do campo livre, sofrendo os mesmos deslocamentos.

Para tal, efectuaram-se no total um conjunto de 27 cálculos correspondentes à combinação de três

valores diferentes do diâmetro (d), da espessura da camada (H) e do módulo de deformabilidade

do solo (Es):


2-20

Quadro 2.2 - Parâmetros utilizados no estudo paramétrico

• d=0.5, 1.0 e 1.5m

• H=5, 10 e 20m

• Es=5000kPa ((=16kN/m3), 10000kPa ((=17kN/m3) e 20000kPa ((=18kN/m3)

• <s=0.49 para todas as situações

• aceleração espectral unitária no substrato rígido

• condições de fronteira da estaca: rotulada na base e impedida de rodar à cabeça

Mostram-se na Figura 2.11 os valores da relação yo/uo , isto é, da relação entre o deslocamento

horizontal da cabeça da estaca e o deslocamento horizontal do solo em campo livre. Verifica-se

que nalgumas situações, há uma redução muito significativa do deslocamento, não sendo de facto

correcto admitir que a estaca acompanha os mesmos deslocamentos do campo livre.

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0.5 1 1.5

Diâmetro da estaca (m)

y/

uo

o

H=5m,E =5000kPas

H=5m,E =10000kPas

H=5m,E =20000kPas

H=10m,E =5000kPas

H=10m,E =10000kPas

H=10m,E =20000kPas

H=20m,E =5000kPas

H=20m,E =10000kPas

H=20m,E =20000kPas

Figura 2.11 - Relação yo/uo à cabeça da estaca

Na realidade, quando a rigidez da estaca for relativamente elevada, ela opõe-se ao movimento da

massa de solo reduzindo o deslocamento horizontal y do solo na zona envolvente. Na Figura 2.12

mostram-se os valores da relação y/uo à superfície obtidos para um dos casos analisados, em que

o efeito de interacção é particulamente mais notório (Es=5000kPa, H=5m, d=1.5m). Os valores

indicados nos eixos coordenados representam os afastamentos relativos normalizados em relação

ao diâmetro da estaca (sa/d e sb/d).


2-21

s /da

s/d b

s /da

s/d b

Figura 2.12 - y/uo à superfície para Es=5000kPa, H=5m e d=1.5m

As isolinhas descrevem figuras com configuração aproximada de uma elipse com o eixo maior

segundo a direcção do movimento do solo, conforme mostra o pormenor à direita na Figura 2.12.

Para as zonas mais afastadas da estaca, as isolinhas obtidas descrevem trajectórias mais

irregulares devido por um lado ao efeito das fronteiras laterais e por outro à menor

pormenorização da malha de elementos finitos. Para o caso particular representado nesta figura

pode-se verificar ainda que o efeito de interacção solo-estaca na direcção do movimento do solo

é particularmente importante na zona envolvente até o afastamento de 5 diâmetros decrescendo

depois lentamente a sua importância.

As Figuras 2.13 , 2.14 e 2.15 seguintes mostram a comparação dos valores obtidos dos momentos

flectores na cabeça da estaca, Mo,com os que se obtêm por aplicação da formulação analítica

(expressão 2.35).

0

2000

4000

6000

8000

10000

0.5 1 1.5


E =5000kPa,y =us o o E =5000kPa,H=5ms

E =5000kPa,H=10ms E =5000kPa,H=20ms

M(k

Nm

)o

Figura 2.13 - Mo versus diâmetro da estaca para Es=5000kPa


2-22

0

1000

2000

3000

4000

5000

0.5 1 1.5


M(k

Nm

)o


E =10000kPa,H=10ms E =10000kPa,H=20ms


0

500

1000

1500

2000

2500

3000

0.5 1 1.5



E =20000kPa,H=10ms E =20000kPa,H=20ms

M(k

Nm

)o


A análise destes resultados mostram, efectivamente, que a formulação analítica constitui um

limite superior, quer para os deslocamentos, quer para os momentos flectores gerados à cabeça

das estacas. Este conjunto de resultados levanta de imediato duas questões pertinentes:

Q1)qual o domínio de validade da formulação analítica?

Q2)quando se verifica uma redução substancial do deslocamento devido ao efeito de

interacção quais as alterações a introduzir na formulação analítica?

Para responder à primeira questão, recorda-se que para o estudo do comportamento de estacas

flexíveis sob acções horizontais estáticas embebidas num meio discreto com módulo de reacção


2-23

constante em profundidade, é habitual tornar as soluções adimensionais em função do coeficiente

de rigidez relativa 8. Deste modo, tendo em conta a natureza do modelo utilizado, definiu-se um

novo coeficiente de rigidez relativa semelhante dado por:

7 '

4 Es

4EpIp

(2.44)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

�L

y/

uo

o

H=5m,E =5000kPas

H=5m,E =10000kPas

H=5m,E =20000kPas

H=10m,E =5000kPas

H=10m,E =10000kPas

H=10m,E =20000kPas

H=20m,E =5000kPas

H=20m,E =10000kPas

H=20m,E =20000kPas

Figura 2.16 - yo/uo à cabeça da estaca versus 7777L

A Figura 2.16 mostra os valores da relação yo/uo à cabeça da estaca em função do parâmetro

adimensional 7L para todos os 27 casos analisados. Verifica-se, curiosamente, que a estaca exibe

comportamento flexível para valores de 7L superiores a 3, limite este coincidente com o que se

obteve para as estacas sujeitas a acções horizontais estáticas aplicadas à cabeça (Santos, 1993).

Assim, quando o parâmetro 7L for superior a 3 a estaca acompanha o deslocamento do solo

tomando os mesmos deslocamentos do campo livre podendo estimar os deslocamentos e os

esforços com base na formulação analítica apresentada anteriormente.

Quanto à segunda questão, e retomando os resultados indicados nas Figuras 2.13, 2.14 e 2.15

torna-se necessário investigar qual a redução do momento flector devido ao efeito de interacção

solo-estaca.

Para tal, considera-se supostamente que a deformada da estaca continua a descrever um quarto

de uma sinusóide, ou seja, que os deslocamentos em profundidade são afectados pelo mesmo

factor de redução yo/uo. Se assim for, o momento flector à cabeça da estaca poderá ser estimado

igualmente pela expressão (2.35) bastando considerar para uo o deslocamento da cabeça da estaca


2-24

yo tendo em conta o efeito de interacção. Nestas condições, a redução do momento flector será

igual à redução do deslocamento devido ao efeito de interacção.

Representam-se na Figura 2.17 os valores de yo/uo em função de Mo/Muo em que Muo é calculado

com base na equação (2.35) considerando uo=yo. A análise desta figura evidencia uma boa

correlação entre as duas variavéis validando assim a hipótese considerada.

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

H=5m,E =5000kPas H=10m,E =5000kPas H=20m,E =5000kPas



y/

uo

o

M / Mo uo

Figura 2.17 - yo/uo versus Mo/Muo

2.3.5 - Modelo discreto

Em alternativa ao modelo contínuo acabado de descrever, poder-se-á recorrer ao modelo discreto

do tipo Winkler. Admitam-se então conhecidos os deslocamentos horizontais do solo (campo

livre) e que as forças de inércia e de amortecimento ao longo do fuste da estaca podem ser

desprezadas. Nestas condições, as condições de equilíbrio e de compatibilidade conduzem à

equação seguinte:

EpIpd 4y

dx 4& k(u&y) ' 0 (2.45)

a qual é equivalente a:

EpIpd 4y

dx 4% ky ' ku (2.46)

ou seja, o efeito dos deslocamentos impostos é equivalente à actuação das forças exteriores ku.

A resolução da equação anterior pode ser feita via analítica para casos particulares simples, ou

via numérica (programa de cálculo ESTSISMO desenvolvido no IST, o qual permite introduzir


2-25

de uma forma simples distribuições de deslocamentos do campo livre do tipo linear, sinusoidal

ou genérica).

Os 27 casos analisados anteriormente utilizando o modelo elástico contínuo foram reanalisados

utilizando agora o modelo discreto e adoptando para o módulo de reacção um valor igual ao

módulo de deformabilidade do solo, ou seja, k=Es. O campo de deslocamentos, u, foi obtido a

partir da solução analítica exacta existente para o caso particular do meio homogéneo elástico.

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

y/

u(m

od

elo

dis

cret

o)

oo

y / u (modelo contínuo)o o




Figura 2.18 - Modelo discreto versus modelo contínuo. Comparação dodeslocamento à cabeça da estaca

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1




M/

M(m

od

elo

dis

cret

o)

ou

o

M / M (modelo contínuo)o uo

Figura 2.19 - Modelo discreto versus modelo contínuo. Comparação domomento flector à cabeça da estaca


2-26

As Figuras 2.18 e 2.19 mostram que para as estacas rígidas o modelo discreto conduz a resultados

mais conservativos comparativamente com o modelo contínuo enquanto que para as estacas

flexíveis inverte-se a tendência dos valores. De qualquer modo, a discrepância de resultados é,

em geral, inferior a 10%, validando assim a utilização do modelo discreto com k=Es, o qual é

muito mais expedito do que o modelo contínuo.

Aliás, cita-se o trabalho de Reis et al. (1989), em que aqueles autores descreveram a utilização

deste tipo de modelo discreto para o dimensiomento das estacas de fundação da nova ponte de

Alcácer do Sal.

2.4 - Modelos rigorosos de interacção cinemática solo-estaca

Em rigor, o efeito de interacção cinemática solo-estaca deve ser analisado recorrendo a análises

dinâmicas tridimensionais aplicando o método dos elementos finitos ou em alternativa, utilizando

formulações mistas com elementos de fronteira para a modelação do solo envolvente.

A utilização do método dos elementos finitos levanta algumas dificuldades, aliás bem conhecidas

da literatura, dada a sua dificuldade em modelar fronteiras infinitas e de assegurar as adequadas

condições de radiação nas fronteiras laterais e na base (Novak, 1991). É de destacar, neste

domínio, as formulações por elementos finitos especiais recentemente propostas por Wolf e

Song (1996).

Os primeiros trabalhos com estudos mais rigorosos acerca do comportamento de estacas sob

acções dinâmicas basearam-se em formulações por elementos de fronteira, admitindo o solo como

um material elástico e isótropo com amortecimento histerético linear. Todos estes trabalhos se

baseiam na utilização de funções de Green que relacionam o campo de deslocamentos no interior

do solo com as tensões actuantes na interface solo-estaca. Várias abordagens diferentes foram

apresentadas consoante o tipo de carregamento admitido para cada troço elementar da estaca

variando desde cargas pontuais, cargas distribuídas em linha ou em disco e finalmente cargas

cilíndricas.

A aplicação da função de Green para todos os troços elementares ao longo do fuste da estaca

permite obter a matriz de flexibilidade dinâmica do solo envolvente. A inversão desta matriz

conduz à matriz de rigidez dinâmica do solo a qual combinada com a matriz de rigidez da estaca

permite obter finalmente a matriz de rigidez global do sistema solo-estaca. Para a modelação da

estaca, recorre-se habitualmente a elementos finitos de barra. Destacam-se, no domínio do estudo

do efeito de interacção cinemática solo-estaca, os trabalhos de Kaynia (1982), Kaynia e

Kausel (1991), Mammon e Banerjee (1990) e Ke Fan et al. (1991).


2-27

Estes estudos mais rigorosos, embora escassos, têm permitido compreender melhor a

complexidade do problema de interacção cinemática solo-estaca e abriram caminho para o

desenvolvimento de métodos mais expeditos calibrados com base nos resultados obtidos a partir

dos métodos mais rigorosos.

Wolf (1994) propôs um modelo físico simples em que o solo é idealizado por um cone truncado.

Cada um dos graus de liberdade do modelo é tratado de forma desacoplada ou isolada conduzindo

às respectivas funções de Green para o modelo aproximado. Assim, o modelo de cone pode ser

considerado como uma formulação simplificada unidimensional por elementos de fronteira, com

potencialidades de aplicação prática no domínio da dinâmica.

Surgem ainda nesta linha dos métodos expeditos, estudos baseados no modelo discreto de

Winkler adaptado agora às acções dinâmicas. O primeiro trabalho baseado neste modelo foi

apresentado por Flores-Berrones e Whitman (1982) para o estudo do problema de interacção

cinemática solo-estaca, quando o sistema é solicitado por uma acção harmónica na base. O solo

foi admitido como uma camada elástica homogénea assente sobre substrato rígido e sem

amortecimento.

Posteriormente, o modelo foi sujeito a sucessivos melhoramentos, destacando-se os estudos

levados a cabo por Gazetas e seus colaboradores (Makris e Gazetas,1992; Kavvadas e Gazetas,

1993; Nikolaou e Gazetas, 1997). Foram introduzidos adequadamente no modelo os

amortecimentos histerético e por radiação do solo, a possibilidade de incorporar camadas de solo

com diferentes características, o efeito de grupo entre estacas e ainda a extensão para o domínio

do tempo utilizando a técnica bem conhecida da transformada discreta de Fourier. Este modelo

é conhecido na literatura pelas suas iniciais em inglês: BDWF ("beam on dynamic Winkler

foundation").

Para o estudo de interacção cinemática solo-estaca a desenvolver neste trabalho aplicou-se este

último modelo tendo em conta as suas óbvias vantagens em termos de tempo de cálculo quando

comparado com os modelos mais rigorosos. Os estudos comparativos de resultados mostram que

mesmo em condições extremas as diferenças são inferiores a 15%, o que viabiliza perfeitamente

a sua utilização prática. No presente trabalho, o referido modelo é ainda melhorado incorporando

o comportamento não linear do solo.

Proceder-se-á, seguidamente, a uma descrição pormenorizada deste modelo com a apresentação

de alguns resultados de comparação com modelos tridimensionais mais rigorosos para sua

validação.


2-28

2.4.1 - Modelo BDWF (Beam on Dynamic Winkler Foundation) para estaca

isolada

2.4.1.1 - Descrição do modelo. Soluções analíticas

No modelo BDWF aplicado ao estudo de interacção cinemática solo-estaca, o solo que resiste ao

movimento lateral da estaca é modelado através de um conjunto de molas, k(x), e de

amortecedores, c(x) com características dependentes da frequência de excitação. O movimento

do solo (campo livre) é obtido através da teoria de propagação das ondas sísmicas (Figura 2.20).

Figura 2.20 - Modelo BDWF

Considera-se então em primeiro lugar o caso particular simples de uma estaca embebida numa

camada elástica homogénea assente sobre substrato rígido, onde é aplicada uma acção harmónica

na base de amplitude ub, como mostra a Figura 2.21 seguinte:

Substrato rígido

� = 0o

U =u eb b

i t�

H

uy

u

y

z

y

deslocamentodo solo

deslocamentoda estaca

x

Figura 2.21 - Modelo de Flores-Berrones (1982)


2-29

EpIpM4y

Mx 4% m

M2y

Mt 2% c

M(y&u)Mt

% k(y&u) ' 0 (2.47)

y ' y(z,t) ' y(z)e iTt (2.48)

y(z) ' A % Bcos(az) % Csen(az) , com a 'Tvs

(2.49)

Este problema foi investigado de forma pioneira por Flores-Berrones e Whitman (1982), embora

tendo aqueles autores desprezado o efeito do amortecimento.

O amortecimento do solo pode ser introduzido de uma forma simples na equação de equilíbrio

dinâmico que é dada por:

em que:

EpIp = módulo de flexão da estaca

y = deslocamento relativo da estaca em relação ao substrato

x = profundidade

m = massa da estaca por unidade de comprimento

t = tempo

c = coeficiente do amortecedor

k = módulo de reacção do solo

y = deslocamento absoluto da estaca

u = deslocamento absoluto do solo

A resposta da estaca apoiada neste conjunto de molas e de amortecedores e excitada nestes pontos

de apoio pela acção do movimento do campo livre é obtida resolvendo a equação de equilíbrio

dinâmico (2.47) tendo em conta as condições de fronteira nos extremos da estaca. Admite-se

desprezável o efeito do amortecimento da própria estaca.

Em regime de vibração permanente, Flores-Berrones e Whitman (1982) admitiram uma solução

aproximada para a equação (2.47) do tipo:

em que

Aqueles autores determinaram as constantes A, B e C e obtiveram a solução aproximada do

problema não considerando o efeito do amortecimento do solo, o que limita a sua aplicação

prática.

Assim, e seguindo a mesma linha de investigação daqueles autores, apresenta-se no Anexo do

Capítulo 8 a dedução da solução aproximada, mas incluindo agora o efeito do amortecimento do

solo.


2-30

y ' {' [cos(az)% tg(aH)sen(az)]}ub e iTt (2.50)

' 'k% i cT

EpIp a 4%k&mT2% i cT (2.51)

y(x) ' e8cx [C1 cos(8cx)%C2 sen(8cx) ] % e

&8cx [C3 cos(8cx)%C4 sen(8cx) ] % 'ubcos(ax)cos(aH)

(2.52)

8c '

4k&mT2% i cT

4EpIp

(2.53)

0 1 0 &1

&1 1 &1 &1

e8cHcos(8cH) e

8cHsen(8cH) e&8cHcos(8cH) e

&8cHsen(8cH)

&e8cHcos(8cH) e

8cHsen(8cH) e&8cHcos(8cH) &e

&8cHsen(8cH)

C1

C2

C3

C4

'

' a 2

282ccos(aH)

0

1&'

' a 2

282c

(2.54)

Demonstra-se que o deslocamento absoluto da estaca pode ser expresso pela equação seguinte:

em que,

e o valor de a é calculado com base na expressão (2.49) mas considerando a velocidade complexa

das ondas de corte.

Salienta-se que, esta solução aproximada apresenta a 1ª derivada nula à superfície, ou seja, está

implícita a condição de rotação nula à cabeça da estaca.

Ainda para o caso particular em análise existe solução analítica exacta cuja dedução é apresentada

no Anexo do Capítulo 8. A solução exacta em termos de deslocamentos absolutos é traduzida

pela equação seguinte:

em que,

As constanstes C1, C2, C3 e C4 são determinadas tendo em conta as condições de fronteira nos

extremos da estaca. Tomando para o deslocamento da base uma amplitude unitária (ub=1), é-se

conduzido a um sistema de (4x4) cujas incógnitas são as constantes que se pretendem determinar

(ver Anexo do Capítulo 8):

• estaca com cabeça livre


2-31

1 1 &1 1

&1 1 &1 &1

e8cHcos(8cH) e

8cHsen(8cH) e&8cHcos(8cH) e

&8cHsen(8cH)

&e8cHcos(8cH) e

8cHsen(8cH) e&8cHcos(8cH) &e

&8cHsen(8cH)

C1

C2

C3

C4

'

0

0

1&'

'a 2

282c

(2.55)

c(x) . cm(x) % cr(x) (2.56)

cm(x) '2k(x)>T

(2.57)

• estaca com cabeça impedida de rodar

Uma vez determinadas as constantes, os esforços (momento flector e esforço transverso) ao longo

do fuste da estaca podem ser obtidos sem dificuldade a partir da derivação da função de

deslocamentos.

Salienta-se, ainda que, ao estabelecer uma comparação directa entre as equações (2.50) e (2.52),

concluiu-se que a solução aproximada proposta por Flores-Berrones e Whitman não é mais do

que a solução particular do problema, que como se verá mais adiante, é em muitas situações

praticamente dominante.

2.4.1.2 - Amortecimento histerético do solo e amortecimento por radiação

Um dos pontos chave do modelo BDWF tem a ver com a adequada modelação do amortecimento

que é composto por duas componentes, uma de natureza histerética do solo, cm, e outra devida

ao efeito de radiação, cr :

Admitindo para o solo um amortecimento do tipo histerético o coeficiente cm é dado

simplesmente por:

Quanto à avaliação do amortecimento por radiação, vários modelos baseados na teoria de

propagação das ondas (unidimensionais, bidimensionais e tridimensionais) foram apresentados

por diferentes autores.

O modelo unidimensional proposto por Berger et al. (1977) aplica a analogia com a teoria de

propagação unidimensional das ondas numa barra com comprimento semi-infinito . Com base

nesta teoria, o amortecedor com coeficiente c=DvA absorve a energia de uma onda propagando-se


2-32

cr ' 2bDs vs 1%vp

vs

(2.58)

com velocidade v num meio com massa volúmica D e área tranversal A. Tentando aplicar para

o caso das estacas, Berger et al. (1977) consideraram que numa secção horizontal da estaca se

gerariam apenas ondas de compressão-extensão P na direcção do movimento da estaca e ondas

de corte S na direcção ortogonal. Considerando para a estaca um largura efectiva b, aqueles

autores propuseram que o coeficiente do amortecedor, cr (considerando apenas o efeito da

radiação) fosse estimado pela expressão seguinte:

Este modelo simplificado apresenta duas desvantagens importantes que limita de certa forma a

sua aplicação prática. Primeiro, o facto de limitar a propagação das ondas em zonas restritas de

secção constante e largura b, dá-se origem a amortecedores cujas características não dependem

da frequência de excitação. Por outro lado a consideração da velocidade vp em zonas de

compressão-extensão torna a equação proposta extremamente sensível ao valor do coeficiente de

Poisson <s, tendendo para valor infinito quando <s toma o valor de 0.5.

Um outro modelo bidimensional em estado plano de deformação foi utilizado por Novak et al.

(1978). Obtiveram a solução dinâmica rigorosa para uma excitação horizontal numa barra rígida

de secção circular e comprimento infinito embebida num meio viscoelástico infinito. Os

resultados obtidos por este modelo mostraram que ao contrário do que sucedia anteriormente com

o modelo unidimensional, o coeficiente cr decrescia com o aumento da frequência de excitação.

Posterioremente Roesset (1980), baseando-se numa formulação tridimensional pelo método dos

elementos finitos, tentou relacionar, ao nível local, a reacção do solo com o respectivo

deslocamento com o objectivo de deduzir os coeficientes das molas e dos amortecedores.

Com base nestes estudos anteriores, Gazetas e Dobry (1984a e 1984b) propuseram então um

modelo simplificado que pode ser considerado como o modelo de Berker melhorado em estado

plano de deformação. Este modelo baseia-se na hipótese de considerar a propagação de ondas

de compressão-extensão em dois quadrantes na direcção do movimento da estaca e a propagação

de ondas de corte nos dois restantes quadrantes ortogonais (Figura 2.22). Admitindo que só

existe deformações no plano horizontal, assumiram que as ondas de corte se propagariam com

a velocidade, vs ,e as ondas de compressão-extensão se propagariam com uma velocidade

aparente vc próxima da velocidade de Lysmer, vLa, a qual é habitualmente utilizada para o estudo

de fundações superficiais sujeitas a acções dinâmicas. A utilização da velocidade vLa em vez da

velicidade vp ultrapassa uma das limitações apontadas ao modelo de Berker, quanto à sua

sensibilidade relativamente ao valor do coeficiente de Poisson.


2-33

cr ' 2dDs vs 1%vc

vs

5/4a &1/4

o (2.59)

ao 'Tdvs

(2.60)

vc . vLa '3.4vs

B (1&<)(2.61)

vc . vs (2.62)

Secção transversal (planta)

vLavLa

vs

vs

Estaca sujeita a acções dinâmicas

�z=0

Figura 2.22 - Modelo de radiação 2-D (Gazetas e Dobry, 1984a)

O coeficiente do amortecedor é assim obtido somando as contribuições dos quatro quadrantes e

a expressão proposta por Gazetas e Dobry (1984a, 1984b) para estacas circulares é a seguinte:

em que,

e

Para zonas próximas da superfície (x<2.5d) onde o efeito tridimensional se faz sentir devido à

aproximação a uma fronteira livre os autores Kavvadas e Gazetas (1993) propuseram que se

adoptasse:


2-34

k(x) . * Es(x) (2.63)

No entanto, estudos de sensibilidade efectuados neste trabalho permitiram constatar que os

resultados não são praticamente afectados por esta correcção na zona superficial, pelo que este

efeito não foi considerado nas análises de interacção cinemática solo-estaca que se vão apresentar.

Mostra-se na Figura 2.23, extraída de Gazetas e Dobry (1984a), a comparação dos diferentes

modelos para dois valores do coeficiente de Poisson (<=0.25 e <=0.40), evidenciando um relativo

bom ajustamento dos resultados do modelo de Gazetas e Dobry (1984) com os de modelos mais

rigorosos.

Figura 2.23 - Valores de cr para diferentes modelos

2.4.1.3 - Módulo de reacção das molas

Gazetas e seus colaboradores (Makris e Gazetas,1992; Kavvadas e Gazetas,1993) baseando-se

em resultados mais rigorosos obtidos pelo método dos elementos finitos (3-D) concluem que o

módulo de reacção das molas, k(x), se poderia considerar independente da frequência de

excitação e proporcional ao módulo de deformabilidade do solo:

Tratando-se de um modelo discreto que pretende simular a resposta duma estaca embebida num

meio contínuo é natural que este parâmetro * dependa da rigidez relativa solo-estaca tal como

acontece para as acções estáticas.


2-35

k(x) . 2.1 Es(x) , para estacas com cabeça livre (2.64)

k(x) . 1.2 Es(x) , para estacas com rotação impedida à cabeça (2.65)

yub

' fxH

,TT1

,Ep

Es

,Hd

, <s , > ,Dp

Ds

(2.66)

Aqueles autores levaram a cabo um conjunto importante de estudos paramétricos, quer para

estacas com cabeça livre, quer para estacas com rotação impedida à cabeça, em meio homogéneo

e em meios estratificados constituídos por duas camadas com características diferentes. Destes

estudos concluiram que os deslocamentos da estaca são pouco sensíveis ao valor de *.

Contrariamente, os esforços máximos na estaca exibem alguma sensibilidade ao valor de * mas

apenas para frequências próximas da frequência fundamental do terreno.

O ajustamento dos resultados para excitações com frequência igual à frequência fundamental do

terreno para casos de meio homogéneo e casos em que o meio é composto por dois estratos

diferentes levou a que Makris e Gazetas (1992) e Makris (1994) propusessem a adopção dos

seguintes valores de *:

e

Convém salientar, que a adopção destes valores não implica um grande prejuízo na precisão dos

resultados, uma vez que a acção sísmica não se trata de uma solicitação harmónica simples com

frequência igual à frequência fundamental do terreno.

2.4.2 - Aplicação do modelo BDWF ao estudo do efeito de interacção

cinemática solo-estaca num meio homogéneo

2.4.2.1 - Variáveis adimensionais

A solução analítica exacta apresentada anteriormente para o caso particular do meio elástico

homogéneo permite identificar de forma clara quais as variáveis independentes que intervêm no

problema de interacção cinemática solo-estaca e por outro lado ainda exprimir a solução sob a

forma de variáveis adimensionais.

No que respeita aos deslocamentos, os termos da equação geral (2.52) podem ser expressos em

função de sete variavéis independentes:


2-36

k ' 1.2Es % Es (2.67)

icT ' i (cm % cr) em que:

icmT ' i2.4Es> % Es f(>)

icrT ' iEs

1%3.4

B(1&<s)

5/4

2 (1%<s)TT1

B2

dH

3/4

% Es fTT1

,dH

, <s

(2.68)

mT2 'B3

13

Es

2(1%<s)TT1

2 dH

2 Dp

Ds

% Es fTT1

,Hd

, <s ,Dp

Ds

(2.69)

Ep Ip a 4 'B5

1024Es

Ep

Es

TT1

4 dH

4 1

(1%i2>)2% Es f

TT1

,Ep

Es

,Hd

, > (2.70)

' 'k% i cT

EpIp a 4%k&mT2% i cT' f

TT1

,Ep

Es

,Hd

, <s , > ,Dp

Ds(2.71)

ax 'B2

xH

TT1

1

1%2i>% f

xH

,TT1

, > (2.72)

8c x ' x4

k&mT2% i cT4Ep Ip

'xH

4k&mT2% i cT

4Ep Ip

H 4

' fxH

,TT1

,Ep

Es

,Hd

, <s , > ,Dp

Ds

(2.73)

Aliás, após algumas manipulações algébricas faz-se notar que para uma estaca com rotação

impedida ao nível da cabeça:

O parâmetro ' não depende explicitamente de Es, podendo ser expresso em função das variáveis

independentes atrás mencionadas:

As restantes variáveis que faltam analisar são:


2-37

M

Dp d 4T2' f

xH

,TT1

,Ep

Es

,Hd

, <s , > ,Dp

Ds(2.74)

V

Dp d 3T2' f

xH

,TT1

,Ep

Es

,Hd

, <s , > ,Dp

Ds(2.75)

De forma análoga é possível exprimir os momentos flectores (M) e os esforços transveros (V) sob

a forma adimensional em função das variáveis independentes:

Note-se que se tomou para a base um deslocamento de amplitude unitária. Os esforços expressos

nas duas equações anteriores representam assim valores adimensionais para excitações

harmónicas com aceleração unitária na base.

Uma vez conhecidas quais as variavéis independentes que controlam o efeito de interacção

cinemática solo-estaca é possível agora compreender melhor o problema analisando a influência

isolada das diferentes variáveis. Discute-se então, seguidamente, a influência dos parâmetros

mais importantes: a frequência da excitação, o amortecimento e a rigidez relativa solo-estaca.

2.4.2.2 - Efeito da frequência

Sendo um problema de natureza dinâmica, a frequência da excitação e mais concretamente a sua

aproximação em relação às frequências próprias de vibração do terreno, caracterizado pela relação

T/T1 é, sem dúvida, um dos parâmetros mais importantes. O movimento do campo livre é como

já referido anteriormente, dominado essencialmente pelo modo de vibração fundamental do

terreno sendo o efeito dos modos mais altos praticamente desprezável. Porém, para estes modos

mais altos a estaca não consegue acompanhar a forma irregular da deformada do solo podendo

conduzir assim a esforços de interacção não desprezáveis.

A Figura 2.24 ilustra o andamento do parâmetro Iu em função da frequência podendo identificar

claramente a existência de três zonas distintas em termos de comportamento da estaca:

• uma zona de baixas frequências em que a estaca consegue acompanhar o movimento do solo

caracterizado por comprimentos de onda elevados. O parâmetro Iu toma valores próximos

da unidade;

• uma zona de frequências intermédias em que se assiste a um decréscimo rápido do parâmetro

Iu devido à dificuldade da estaca conseguir acompanhar o andamento ondulatório da

deformada do terreno.


2-38

• uma zona de altas frequências em que se verifica uma flutuação dos valores de Iu. Neste

domínio, o crescente efeito do andamento ondulatório da deformada do solo é

contrabalançado pelo efeito da redução da amplitude do movimento do solo.

Iu

��

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

E =1000Ep s Ep=5000Es E =10000Ep s

E =20000Ep s solução exacta

H/d=20 , =5% ,

�s=0.4 ; s=0.7 p

Figura 2.24 - Meio homogéneo: H/d=20, ξ=5%, νξ=5%, νξ=5%, νξ=5%, νs=0.4, ρρρρs/ρρρρp=0.7. Solução aproximada versus solução exacta

Esta mesma Figura 2.24 apresenta ainda a comparação dos resultados obtidos pela solução

analítica exacta e pela solução analítica aproximada descritos anteriormente. Nota-se uma boa

concordância das duas soluções no domínio das baixas e intermédias frequências. Para

frequências mais elevadas a solução particular diverge da solução exacta (representada com linhas

a cheio) indicando que a parcela correspondente à solução homogénea não pode ser desprezada

nestas situações.

Mostra-se a seguir, a título ilustrativo, na Figura 2.25 a distribuição dos esforços para frequências

de excitação iguais às três primeiras frequências próprias da camada elástica e com as

características indicadas. Sendo variáveis complexas, indicam-se a parte real, a parte imaginária

e o valor absoluto dos esforços normalizados.


2-39

H/d=20 , =5% , �s=0.4

Ep/Es=1000 , s=0.7 p

��

10

15

0

5

10

15

20

-80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80

Re(M)/ d��p

4 2

0

5

10

15

20

-40 -20 0 20 40

Re(V)/ d��p

3 2

Pro

f.re

lati

va

x/H

Pro

f.re

lati

va

x/H

0

5

10

15

20

-1400 -1000 -600 -200 200 600

0

5

10

15

20

-200 -100 0 100 200

Pro

f.re

lati

va

x/H

Pro

f.re

lati

va

x/H

Im(M)/ d��p

4 2Im(V)/ d��p

3 2

0

5

10

15

20

0 200 400 600 800 1000 1200 1400

0

5

20

0 50 100 150 200

Pro

f.re

lati

va

x/H

Pro

f.re

lati

va

x/H

|M|/ d��p

4 2|V|/ d��p

3 2

Figura 2.25 - Meio homogéneo: H/d=20, ξ=5%, νξ=5%, νξ=5%, νξ=5%, νs=0.4, Ep/Es=1000, ρρρρs/ρρρρp=0.7.Diagramas de esforços

Para este caso particular, verifica-se uma maior contribuição dos modos altos nos esforços

transversos do que nos momentos flectores. Fica igualmente bem ilustrado, que para estes modos

mais altos a estaca não consegue acompanhar a forma irregular da deformada do solo podendo

conduzir assim a esforços de interacção não desprezáveis.


2-40

2.4.2.3 - Efeito do coeficiente de amortecimento

Antes de analisar o efeito do amortecimento, salienta-se que para a grande maioria das situações

práticas, excluindo apenas as estacas rígidas sujeitas a frequências intermédias a elevadas, a

solução particular do problema é praticamente dominante (Figura 2.26).

0

5

10

0 1 2 3 4 5 6

solução exacta solução particular

|y|/ub

H/d=10 , =10% ,

�s=0.4 Ep /Es=10000 ,

s=0.7 p

Pro

f.re

lati

va

x/H

Figura 2.26 - Meio homogéneo: ωωωω=ωωωω1, H/d=10, ξ=10%, νξ=10%, νξ=10%, νξ=10%, νs=0.4,Ep/Es=10000, ρρρρs/ρρρρp=0.7. Solução particular versus solução exacta

Isto quer dizer, que o problema de interacção cinemática é particularmente condicionado pelos

deslocamentos do campo livre. Assim sendo, os esforços de interacção na estaca serão afectados

pelo amortecimento essencialmente pela forma como este parâmetro afecta os deslocamentos do

campo livre.

Mostram-se nas Figuras 2.27 e 2.28 os valores máximos dos esforços Mo (no topo) e Vb (na base)

em função da frequência para dois níveis de amortecimento.


2-41

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

0 2 4 6 8 10

� � ��

��

�pd� �

|M |o

H/d=20 , �s=0.4

Ep/Es=5000 , s=0.7 p

Figura 2.27 - Meio homogéneo: H/d=20, ννννs=0.4, Ep/Es=5000, ρρρρs/ρρρρp=0.7.|Mo| versus ωωωω/ωωωω1

��

0

100

200

300

400

500

0 2 4 6 8 10

� � ��

�pd� �

|V |b

H/d=20 , �s=0.4

Ep/Es=5000 , s=0.7 p

Figura 2.28 - Meio homogéneo: H/d=20, ννννs=0.4, Ep/Es=5000, ρρρρs/ρρρρp=0.7.|Vb| versus ωωωω/ωωωω1

A análise destas figuras permite concluir que as curvas têm andamento semelhante verificando-se

uma relação de aproximadamente dois entre os valores de pico das curvas, valor esse que coincide

com a relação dos factores de amplificação dinâmica dos deslocamentos do campo livre.


2-42

2.4.2.4 - Efeito da rigidez relativa

À partida como os esforços actuantes na estaca são proporcionais ao módulo de flexão EpIp seria

de esperar que os esforços de interacção crescessem com a relação Ep/Es. Para as estacas com

comportamento flexível (relação H/d elevada) e no domínio das baixas frequências (T#T1), o

parâmetro Iu toma valores próximos da unidade, isto é, a estaca acompanha praticamente o

movimento do campo livre, e os esforços variam, neste caso, linearmente com a relação Ep/Es.

Para estacas mais rígidas e no domínio das médias a altas frequências a estaca não consegue

acompanhar os deslocamentos do campo livre traduzindo-se por valores mais baixos do

parâmetro Iu. Nestas situações, verifica-se então uma redução dos deslocamentos e dos esforços

adimensionais da estaca.

A influência das quatro principais variáveis acabadas de descrever (ω/ω1, ξ, Ep/Es, H/d) fica bem

ilustrada nas Figuras 2.29 e 2.30 seguintes.

=5%;H/d=10 =5%;H/d=20 =5%;H/d=40

=10%;H/d=10 =10%;H/d=20 =10%;H/d=40

E /Ep s

0

5000

10000

15000

20000

25000

0 5000 10000 15000 20000

�s=0.4 , s=0.7 p ,

��

Ep/Es

�pd� �

|M |o

�pd� �

|M |o

0

2000

4000

6000

8000

0 5000 10000 15000 20000

�s=0.4 , s=0.7 p ,

��

Figura 2.29 - Meio homogéneo:Valores de |Mo|

=5%;H/d=10 =5%;H/d=20 =5%;H/d=40

=10%;H/d=10 =10%;H/d=20 =10%;H/d=40

�p

3d �

|V |b

Ep/Es

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

0 5000 10000 15000 20000

�s=0.4 , s=0.7 p ,

��

�p

3d �

|V |b

0

200

400

600

800

1000

0 5000 10000 15000 20000

�s=0.4 , s=0.7 p ,

��

Ep/Es

Figura 2.30 - Meio homogéneo: Valores de |Vb|


2-43

2.4.3 - Modelo BDWF. Efeito de grupo

Ao contrário, daquilo que sucede com as acções estáticas ou dinâmicas aplicadas ao nível do topo

das estacas, em que o efeito de interacção é importante e deve ser devidamente contemplado nas

análises, mostra-se como o efeito de grupo é praticamente desprezável no problema de interacção

cinemática estaca-solo-estaca.

Para analisar o efeito do grupo Makris e Gazetas (1992) propuseram um método geral aproximado

que envolve a consideração de três etapas de cálculo (Figura 2.31):

1) calcula-se a deformada da estaca 1 (considerando-a como isolada) devida ao efeito de

interacção cinemática solo-estaca;

2) calcula-se a diferença entre os deslocamentos da estaca e os deslocamentos do campo livre:

)u(x)=y(x)-u(x); esta diferença gera ondas ao longo do fuste da estaca e considera-se

simplificadamente, que elas se propagam apenas no plano horizontal; assim no local da

estaca 2 se esta não estivesse presente, a chegada das ondas atenuadas produziriam um

deslocamento lateral do solo )us(x);

3) a solução final considerando o efeito de grupo obtém-se sobrepondo os deslocamentos da

estaca isolada e os deslocamentos de interacção adicionais devidos a )us(x).

Estaca 1

y(x)

u(x)

x

�u(x)Estaca 2

� � �u (x)= (r, )s �u(x)

Figura 2.31 - Método proposto por Makris e Gazetas (1992) para analisar o efeitode grupo para estacas sujeitas a acções dinâmicas


2-44

y(x) • ub'cos(ax)cos(aH)

(2.76)

)u(x) ' ub ('&1)cos(ax)cos(aH)

(2.77)

)us( r ,2 ,x ) ' R( r ,2 ) )u(x) (2.78)

R( r ,2 ) ' R( r ,0)cos22 % R( r ,B2

)sen 22 (2.79)

R( r ,0) 'ro

re&>TrVLa e

&iTrVLa (2.80)

R( r ,B2

) 'ro

re&>TrVs e

&iTrVs (2.81)

)u21(x) ' R(r,2)ub' ('&1)cos(ax)cos(aH)

(2.82)

Considera-se o caso do meio elástico homogéneo, contemplando apenas o efeito da propagação

vertical das ondas de corte. Viu-se, anteriormente, através do modelo BDWF que a solução

particular do problema (em termos de deslocamentos) é praticamente dominante pelo que a

expressão geral (2.52) pode ser simplificada conduzindo a:

donde,

Esta diferença de deslocamentos origina o aparecimento de novas ondas que se vão propagar a

partir da estaca 1 de raio ro até à estaca 2 situada a uma distância r. Este campo de ondas

difractadas pode ser descrito através de funções de atenuação propostas por Dobry e Gazetas

(1988). Seguindo a metodologia proposta por aqueles autores, o valor de )us pode ser obtido pela

expressão simplificada seguinte:

em que:

O factor 1//r representa a redução da amplitude devido ao amortecimento geométrico ou

amortecimento por radiação. O primeiro termo exponencial representa o amortecimento

histerético do solo (>) enquanto que o outro termo exponencial descreve a propagação radial da

onda com velocidade VLa para 2=0 e velocidade Vs para 2=B/2.

Os deslocamentos adicionais na estaca receptora 2, u21, obtêm-se resolvendo a equação de

equilíbrio dinâmico impondo o campo de deslocamentos )us(x). Considerando novamente apenas

a solução particular tem-se:


2-45

"21(x) 'u21(x)

y(x)' R(r,2) ('&1) (2.83)

O factor de interacção dinâmico "21 para o efeito de interacção cinemática solo-estaca será assim

dado por:

À semelhança das acções estáticas no topo, o efeito de grupo para qualquer arranjo de estacas

poderá ser analisado recorrendo aos factores de interacção.

A Figura 2.32 ilustra para um caso particular com as características indicadas a variação das

partes real e imaginária do factor de interacção em função da frequência normalizada T/T1.

Na Figura 2.33 pretende-se ilustrar a influência do espaçamento no valor do factor de interacção.

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

H/d=20 , =5% , �s=0.4

Ep/Es=1000 , s=0.7 p

s/d=3

Parte real Parte imaginária Valor absoluto

�

��

21

Figura 2.32 - Factor de interacção dinâmico. Partes real e imaginária

� ��

��

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

s/d=3 s/d=6 s/d=10

H/d=20 , =5% , �s=0.4

Ep/Es=1000 , s=0.7 p

21

Figura 2.33 - Factores de interacção dinâmicos para diferentes espaçamentos


2-46

8H '

4 k4Ep Ip

'Hd

4 1.2Es

4EpB64

' 204

1.2

4×1000×B64

' 5.6(2.84)

"DF ' 0.6Dc

Ep

Gc

17

ro

s(1%cos2R) '

' 0.6Dc

Ep

Es

×2(1%<s)

1%0.75<s

17 d

2s(1%cos2R) ' 0.599 > 0.5

pelo que após correcção,

"DF ' 1&(4×0.599)&1 ' 0.582

(2.85)

A análise destas figuras permite evidenciar aspectos importantes do efeito de grupo na interacção

cinemática solo-estaca:

• enquanto que para as acções estáticas os factores de interacção são valores reais e tomam

sempre valores positivos e inferiores à unidade, para as acções dinâmicas as partes real e

imaginária dos factores de interacção flutuam em função da frequência podendo tomar

valores positivos ou negativos. Os valores negativos corrrespondem a ondas originadas da

estaca 1 e que chegam à estaca receptora 2 com oposição de fase induzindo por isso valores

de u21 com sinal exactamente contrário aos deslocamentos y(x) da própria estaca 2

(considerada como isolada). Como consequência, a rigidez de um grupo de estacas sob

acções dinâmicas poderá nalgumas situações ser até superior à soma das rigidezes de cada

uma das estacas individualmente;

• para condições iguais de espaçamento e de rigidez relativa os factores de interacção estáticos

são maiores do que os correspondentes valores dinâmicos. Para o exemplo particular

indicado na Figura 2.32 as estacas exibem comportamento flexível relativamente às cargas

estáticas uma vez que o parâmetro 8H é maior que 3.0 (vide Capítulo 6):

podendo aplicar a equação proposta por Randolph (1981), conduzindo para o factor de

interacção estático o valor de:

e faz-se notar que, para as acções dinâmicas os valores do factor de interacção são

consideravelmente menores não ultrapassando 0.2 mesmo para frequências até 5 vezes a

frequência fundamental do terreno (Figura 2.33);

• para frequências inferiores a 3 vezes a frequência fundamental do terreno, os factores de

interacção dinâmicos tomam valores muito baixos (<0.05), conforme mostra a Figura 2.33.


2-47

Como os esforços de interacção na estaca são condicionados essencialmente pelo conteúdo

de frequências do sismo na gama entre o 1º e o 2º modo de vibração do terreno (vide Figuras

2.27 e 2.28), pode-se concluir deste modo, que em termos práticos, o efeito de grupo pode

ser desprezado no problema de interacção cinemática solo-estaca. Aliás, Ke Fan et al. (1991)

baseando-se numa formulação rigorosa por elementos de fronteira estudaram a variação do

parâmetro Iu para diversos tipos de distribuição de estacas (isolada, 1x2, 1x3, 1x4, 1x6, 1x9,

2x2, 4x4, 6x6) e apontaram exactamente que o efeito de grupo é desprezável no problema

de interacção cinemática solo-estaca em meio homogéneo, mesmo para estacas relativamente

próximas com espaçamento igual a 3 diâmetros.

Makris e Gazetas (1992) chamaram no entanto a atenção, para o caso dos meios estratificados

constituídos por camadas com grande contraste de rigidez. Nesta situação, é de esperar que a

estaca não consiga acompanhar os deslocamentos do campo livre sobretudo no domínio das

médias a altas frequências contribuindo assim para esta gama de frequências uma maior evidência

do efeito de grupo estaca-solo-estaca.

Porém, conforme já referido anteriormente, a resposta da estaca não é condicionada por esta faixa

de frequências mais elevadas. No domínio das baixas frequências o efeito de grupo (no problema

de interacção cinemática solo-estaca) é igualmente desprezável mesmo em terreno estratificado

constituído por camadas com grande contraste de rigidez. Este facto é demonstrado através de

um caso de estudo apresentado por Kaynia (1997) e que será objecto de maior detalhe no capítulo

seguinte.

2.4.4 - Modelação tridimensional pelo método dos elementos finitos

2.4.4.1 - Tipos de amortecimento

Para efeitos de validação do modelo BDWF, optou-se por estudar o efeito de interacção

cinemática solo-estaca recorrendo à análise modal 3-D admitindo amortecimento viscoso,

atendendo às suas vantagens no que respeita à sua eficiência de cálculo. Por outro lado,

pretendeu-se também de certa forma calibrar este tipo de análise, para o estudo de problemas de

interacção solo-estrutura. Esta contribuição revela-se de particular interesse prático, uma vez que

a grande maioria dos programas de análise dinâmica se baseiam ou dispõem de rotinas para este

tipo de análise modal.

Considere-se então, que se pretende estudar o efeito de interacção cinemática para o seguinte

cenário:


2-48

µ ' µ'G '2>GT

(2.86)

D '1

cosT H

vs (1%2i>)(2.87)

• estaca isolada embebida numa camada homogénea com extensão lateral infinita e assente

sobre substrato rígido;

• excitação harmónica simples na base;

• comportamento viscoelástico linear do solo.

A aplicação da análise modal para o estudo deste problema levanta fundamentalmente duas

questões:

Q1) qual o tipo de amortecimento modal a considerar de forma a conduzir a uma dissipação de

energia equivalente ao amortecimento histerético do solo?

Q2) como modelar adequadamente as condições de radiação nas fronteiras?

Para responder à questão Q1, torna-se necessário analisar a resposta de uma camada elástica sob

a acção de uma excitação harmónica na sua base rígida, para vários tipos de amortecimento.

Note-se que a resposta do sistema solo-estaca é condicionada fundamentalmente pelos

deslocamentos do campo livre.

O desenvolvimento teórico bem como a dedução das equações que descrevem a resposta da

camada é apresentada em pormenor no Anexo do Capítulo 8. Apresenta-se apenas, a seguir, um

resumo das principais equações que permitem determinar o factor de amplificação dinâmica D

no topo da camada, para vários tipos de amortecimento:

i1) Amortecimento histerético do solo (>)

Neste caso o coeficiente de viscosidade decresce proporcionalmente com a frequência de

excitação T, isto é:

O factor de amplificação dinâmica é dado por:

i2) Amortecimento com coeficiente de viscosidade constante

Para esta situação pode-se aplicar a solução exacta do Anexo do Capítulo 8 ou recorrer à solução

com desenvolvimento em série correspondente à sobreposição definindo diferentes coeficientes

de amortecimento (modal) para cada um dos modos de vibração do sistema.


2-49

u(H,t) '4B

ub jn

i'1

±$2

n

1&$2n

2% 2>n$n

2

1&$2n sen(Tt)&2>n$n cos(Tt)

(2n&1)(2.88)

D ' D1 2% D2 2 (2.89)

D1 ' 1 %4B j

n

i'1±

$2n

1&$2n

2% 2>n$n

2

1&$2n

(2n&1)(2.90)

D2 '4B j

n

i'1±

$2n

1&$2n

2% 2>n$n

2&

2>n$n

(2n&1)(2.91)

É possível demonstrar-se que o deslocamento relativo no topo da camada é expresso pela equação

seguinte (Santos, 1999):

em que:

ub = amplitude do deslocamento na base da camada

$n = T/Tn

Tn = frequência própria do modo n

>n = coeficiente de amortecimento modal

Os termos de ordem ímpar e de ordem par desta série tomam respectivamente, o sinal positivo

e negativo.

O factor de amplificação dinâmica é obtido calculando a relação entre a amplitude do

deslocamento absoluto no topo e na base da camada. Para isso, agrupam-se os termos em seno

e coseno e após eliminação da variável ub obtém-se:

em que:

Estas equações permitem determinar a resposta da camada para diferentes tipos de amortecimento

modal. Analisam-se, a seguir, quatro tipos de amortecimento modal:

m1) amortecimento modal constante;

m2) amortecimento tipo Rayleigh;

m3) coeficiente de viscosidade constante (correspondente à situação em que a matriz de

amortecimento é proporcional à matriz de rigidez);

m4) matriz de amortecimento proporcional à matriz de massa.


2-50

µ' '2>Tn

(2.92)

[C] ' [M]jp&1

k'0

ak{[M]&1 [K]}k (2.93)

[C] ' a0 [M] % a1 [K] (2.94)

Cn ' a0 Mn % a1 Kn ' 2>nTnMn Y >n 'a0

2Tn

%a1Tn

2(2.95)

m1) amortecimento modal constante

Este caso corresponde a considerar >n=> para todos os modos de vibração. O coeficiente de

viscosidade descresce proporcionalmente com as frequências próprias de vibração e não com a

frequência da excitação tal como sucede no amortecimento histerético, ou seja:

m2) amortecimento tipo Rayleigh

Viu-se anteriormente, que na análise modal o desacoplamento do sistema de equações

diferenciais inicial é possível desde que a matriz de amortecimento seja igualmente

ortogonalizável pelos modos de vibração verificando a condição (2.9) anterior.

Referiu-se também, que os modos de vibração são ortogonais em relação a qualquer matriz que

seja uma combinação linear da matriz de massa e de rigidez. Para o caso mais geral, é possível

demonstrar matematicamente, que aquela condição é verificada por qualquer matriz de

amortecimento obtida a partir da série de Caughey:

em que ak são coeficientes a determinar resolvendo um sistema de equações (pxp) admitindo que

são conhecidos os coeficientes de amortecimento ξk, k=1,2,...p.

O amortecimento Rayleigh habitualmente utilizado em análises dinâmicas constitui um caso

particular da anterior em que se considera apenas os dois primeiros termos da série, isto é:

donde,

As constantes a0 e a1 podem ser determinadas se forem conhecidos os valores do coeficiente de

amortecimento para dois modos de vibração m e n quaisquer:


2-51

>m

>n

'

12Tm

Tm

2

12Tn

Tn

2

a0

a1

(2.96)

a0 '53> T1

a1 '13>T1

(2.97)

µ' '53>T1

T2n

%13>T1

(2.98)

>n

>'

56

T1

Tn

%16

Tn

T1

(2.99)

µ' '2>T1

(2.100)

>n

>'Tn

T1

(2.101)

Se se efectuar o ajustamento ao amortecimento histerético para o 1º e o 3º modo de vibração,

considera-se então >1=>3=> para T1 e T3=5T1, respectivamente. Nestas condições mostra-se que:

o coeficiente µ' é dado por:

e

m3) coeficiente de viscosidade constante (correspondente à situação em que a matriz de

amortecimento é proporcional à matriz de rigidez)

Faz-se notar que esta situação constitui um caso particular do amortecimento tipo Rayleigh em

que a0=0 e a1=µ'. Efectuando o ajustamento ao amortecimento histerético para o 1º modo de

vibração tem-se:

e

donde se conclui que o amortecimento modal cresce com o número de ordem do modo de

vibração variando proporcionalmente com a relação Tn/T1.


2-52

a0 ' 2>T1 (2.102)

µ' '2>T1

T2n

(2.103)

>n

>'T1

Tn

(2.104)

m4) matriz de amortecimento propocional à matriz de massa

Constitui o outro caso particular do amortecimento tipo Rayleigh em que a1=0. Efectuando a

ajustamento ao amortecimento histerético para o 1º modo de vibração obtém-se:

e

neste caso, o amortecimento modal decresce com o número de ordem do modo de vibração,

conduzindo a valores de >n praticamente nulos para os modos altos. Este caso foi eliminado nas

análises subsequentes.

Apresenta-se na Figura 2.34 a comparação dos valores de >n/> para diferentes tipos de

amortecimento modal.

��n �

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1 3 5 7 9

Rayleigh a =c , a =00 1

te

��

n

n constante a =0 , a =0 1 cte

Figura 2.34 - Valores de >>>>n/>>>> para diferentes tipos de amortecimento modal


2-53

Ilustra-se então a seguir, nas Figuras 2.35,2.36 e 2.37 a comparação dos factores de amplificação

dinâmica D, obtidos para os diferentes tipos de amortecimento e correspondentes aos casos com

>=5, 10 e 20%, respectivamente. Para tal, aplicaram-se as equações (2.89), (2.90) e (2.91)

considerando os primeiros 21 termos da série.

0

2

4

6

8

10

12

14

D

0 5 10 15 20

��

(histerético) n constante

� constante Rayleigh

� �

Figura 2.35 - Valores de D para diferentes tipos de amortecimento. >>>>=5%

0

1

2

3

4

5

6

7

D

0 5 10 15 20

��

��





2-54

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

D

0 5 10 15 20

��

��




Estes resultados mostram claramente o seguinte:

C todos os tipos de amortecimento conduzem a resultados próximos para frequências inferiores

a duas vezes a frequência fundamental do sistema;

C o caso com coeficiente de amortecimento modal constante é aquele que mais se aproxima do

amortecimento histerético do solo;

C o amortecimeto tipo Rayleigh conduz a resultados sobrestimados sobretudo para frequências

próximas à do 2º modo de vibração e a tendência inverte-se para frequências superiores à do

3º modo; no entanto, o ajustamento geral pode-se considerar igualmente aceitável,

constituindo um tipo de amortecimento com particular interesse em meios estratificados, em

que se torna difícil a escolha de valores adequados para o amortecimento modal, uma vez que

o nível de amortecimento varia ao longo do perfil do terreno;

C o caso com coeficiente de viscosidade constante conduz a resultados subestimados para grande

parte do espectro das frequências pelo que deve ser evitada a sua utilização prática.

2.4.4.2 - Fronteiras laterais

Conforme já referido anteriormente, o problema da radiação nas fronteiras laterais pode ser

resolvido de forma rigorosa recorrendo quer ao método dos elementos de fronteira, quer ao

método dos elementos finitos, aplicando neste último caso formulações especiais recentemente

propostas por Wolf e Song (1996).


2-55

Para o estudo de interacção cinemática solo-estaca que se pretende efectuar, o problema

complexo das fronteiras laterais pode ser resolvido de forma aproximada, extendendo a malha

de elementos finitos na direcção da excitação e procedendo à truncagem nas fronteiras laterais

colocando apenas apoios móveis. A análise anterior do comportamento cinemático da estaca

isolada ou em grupo mostra efectivamente, que durante a actuação dos sismos não se geram ondas

difractadas de intensidade importante, devido ao efeito de interacção solo-estaca. Sendo assim,

mesmo considerando fronteiras laterais opacas mas suficientemente afastadas das estacas, o erro

que se comete não será certamente significativo, justificando assim a opção tomada.

Porém, alerta-se que esta truncagem origina outro tipo de problema importante quando se

pretende aplicar a análise modal, pelo facto de conduzir ao aparecimento de modos de vibração

espúrios. Aliás, este problema foi igualmente apontado por Mineiro (1988), tendo verificado para

um caso analisado, três modos intermédios com factores de participação nulos entre o 1º e o 2º

modo de vibração da camada. Este problema reduz assim gravemente a eficiência da análise

modal, uma vez que se torna necessário extrair um grande número de frequências e poderá

também conduzir a resultados finais menos precisos.

Uma análise mais detalhada deste modos espúrios, permitiu concluir que correspodem a

configurações de deformada com distribuição simétrica dos deslocamentos relativamente ao plano

de simetria vertical (que passa pelo eixo da estaca) perpendicular à direcção de actuação da

excitação.

Esta constatação, sugeriu uma forma expedita de solucionar o problema que consiste em impôr

uma condição de igualdade de deslocamentos (horizontais) entre pontos situados à mesma

profundidade e simetricamente em relação àquele plano de simetria.

Campo livre - zona não perturbada

Zona perturbada pela difracção das ondas

10d

Direcção de actuação da excitação

Figura 2.38 - Zona perturbada pela presença da estaca


2-56

Por outro lado, atendendo ainda aos valores dos factores de interacção apresentados

anteriormente, considerou-se que para zonas situadas a uma distância superior a 10 diâmetros da

estaca, se poderia considerar como zona não afectada com deslocamentos iguais às do campo

livre. Assim, impôs-se uma condição de igualdade de deslocamentos (horizontais) no interior da

zona não perturbada, como se pretende ilustrar na Figura 2.38.

Acrescenta-se ainda, que se considerou apenas o efeito da propagação unidimensional das ondas

de corte. Para tal, libertaram-se apenas os deslocamentos horizontais segundo a direcção da

excitação.

2.4.4.3 - Apresentação dos resultados da análise modal 3-D. Validação do

modelo BDWF

Apresentam-se, a seguir, os resultados obtidos da análise modal 3-D e efectua-se uma análise

comparativa com a formulação rigorosa utilizada por Ke Fan et al. (1991). Estes autores aplicaram

a formulação por elementos de fronteira originalmente proposta por Kaynia (1982), e

apresentaram apenas a solução em termos do parâmetro Iu para vários cenários de cálculo.

Aproveita-se ainda para comparar estes resultados com os que se obtêm por aplicação do modelo

BDWF, para a sua validação.

O cenário de cálculo considerado na análise modal foi o seguinte:

• estaca com rotação impedida ao nível da cabeça;

• camada elástica homogénea sobre sustrato rígido;

• solicitações harmónicas na base, apenas numa só direcção;

• considerou-se apenas o efeito da propagação vertical das ondas de corte;

• admtiu-se apenas a contribuição dos 5 primeiros modos de vibração;

• H/d=20, >=5%, <s=0.4, Ds/Dp=0.7 e Ep/Es=1000.

A Figura 2.39 mostra a configuração da deformada obtida para os três primeiros modos de

vibração. Para a obtenção destes resultados recorreram-se a programas de análise dinâmica

disponíveis no DECivil, utilizando a mesma malha de elementos finitos e a mesma forma de

modelação da estaca referida anteriormente no ponto 8.3.4. Esta figura mostra que a estaca

acompanha o andamento geral da deformada do campo livre, notando-se apenas uma redução da

sua amplitude sobretudo nos modos mais altos.

A Figura 2.40 mostra os valores de Iu em função da frequência normalizada T/T1 para as

diferentes formulações. Verifica-se que existe um ajustamento quase perfeito entre os resultados

da análise modal 3-D e os apresentados por Ke Fan et al. (1991). O model BDWF sobrestima os

valores de Iu sobretudo no domínio das altas frequências.


2-57

1º modo de vibração



Figura 2.39 - Configuração da deformada para os três primeiros modos de vibração

Iu

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

BDWF Ke Fan et al.(1991) 3-D (MEF)

H/d=20 , =5% , �s=0.4

Ep/Es=1000 , s=0.7 p

��

Figura 2.40 - Valores de Iu em função de TTTT/TTTT1. Ep/Es=1000


2-58

Na Figura 2.41 seguinte comparam-se os valores de Iu para a relação Ep/Es=10000. Constata-se

que para esta situação há um melhor ajustamento entre os resultados do modelo BDWF com a

formulação rigorosa utilizada por Ke Fan et al. (1991).

Iu

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

BDWF Ke Fan et al.(1991)

H/d=20 , =5% , �s=0.4

Ep/Es=10000 , s=0.7 p

��

Figura 2.41 - Valores de Iu em função de TTTT/TTTT1. Ep/Es=10000

Outra comparação importante, prende-se com o momento flector máximo Mo na cabeça da estaca.

Comparam-se na Figura 2.42 os valores normalizados de Mo obtidos da análise modal 3-D com

os que se obtêm por aplicação do modelo BDWF. Verifica-se, efectivamente, um excelente

ajustamento dos resultados.

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

BDWF 3-D(MEF)

H/d=20 , =5% , �s=0.4

Ep/Es=1000 , s=0.7 p

��

��pd� �

|M |o

Figura 2.42 - Momento normalizado em função de TTTT/TTTT1. Ep/Es=1000


2-59

S(T) 'Vo(T)

yo(T)'

kc

8c

'k & mT2 % i cT

4k & mT2 % i cT

4EpIp

(2.105)

ao 'Tdvs

(2.106)

S(T) ' Kt [k(ao)% i ao c(ao) ] (2.107)

2.5 - Considerações finais acerca do modelo BDWF

A análise global dos resultados comparativos anteriores, permite evidenciar claramente as

potencialidades do modelo BDWF. Embora, tratando-se de um modelo discreto, consegue

modelar de forma adequada o problema de interacção cinemática solo-estaca, com um bom

ajustamento aos modelos dinâmicos mais rigorosos, mesmo para as frequências mais elevadas.

Salienta-se ainda, que o modelo BDWF pode ser utilizado para modelar o comportamento de

estacas sob acções dinâmicas na sua cabeça. Embora este assunto esteja fora dos objectivos

principais deste trabalho, far-se-á apenas uma breve ilustração das potencialidades do modelo

para aquele tipo de solicitação.

Considere-se então o cenário de cálculo analisado por Kaynia (1982) recorrendo à formulação

rigorosa por elementos de fronteira com as características seguintes:

• estaca embebida num meio elástico semi-infinito com amortecimento histerético >=5%, sujeita

a uma força horizontal harmónica no topo;

• relação dos módulos Ep/Es=1000;

• relação comprimento-diâmetro L/d=15;

• relação entre massas volúmicas Dp/Ds=1.43;

• coeficiente de Poisson <s=0.4.

Admitindo para a estaca o comportamento flexível, e estabelecendo a semelhança às acções

estáticas aplicadas no topo (vide Anexo do Capítulo 6), a rigidez transversal complexa da estaca

será expressa por:

É habitual decompor a rigidez transversal nas suas partes real e imaginária e exprimi-las em

função da variável, ao, definida por:

Para tornar a solução adimensional é usual ainda dividir a rigidez dinâmica pelo seu respectivo

valor estático, isto é:


2-60

A comparação dos resultados é apresentada na Figura 2.43 seguinte:

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0

1

2

3

4

5

6

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

BDWF a) BDWF b) Kaynia e Kausel(1982)

k(a o

)

c(a o

)

ao

Figura 2.43 -Coeficientes de rigidez dinâmica

Salienta-se que, para este tipo de carregamento dinâmico, o efeito da correcção dos amortecedores

na zona superficial não é desprezável. Assim, analisaram-se duas situações extremas para o

modelo BDWF:

a) com vc=vLa ao longo do fuste da estaca;

b) com vc=vs ao longo do fuste da estaca.

Como se pode constatar da Figura 2.43, há um bom ajustamento geral dos resultados, e a solução

de Kaynia (1982) situa-se entre as duas soluções extremas a) e b) do modelo BDWF. Se tivesse

sido considerada a correcção apenas na zona superficial até à profundidade de 2.5d, tal como

sugerido por Kavvadas e Gazetas (1993), o ajustamento seria ainda melhor.

Acrescenta-se ainda, que para valores de ao inferiores à unidade o produto do comprimento da

estaca pela parte real do coeficiente complexo 8c é maior que 3, justificando assim a escolha da

solução para estacas flexíveis.

O efeito de grupo para este tipo de carregamento dinâmico pode também ser simulado à custa de

factores de interacção dinâmicos (Makris e Gazetas, 1992).

Foram evidenciadas neste capítulo, as potencialidades de aplicação do modelo BDWF para o

estudo do comportamento de estacas, quer para as acções dinâmicas provenientes da

superestrutura, quer para as forças cinemáticas provocadas pelo movimento do solo envolvente.

Assim, a sua implementação num programa geral de análise estrutural, permitirá analisar de uma

forma mais correcta o problema complexo de interacção solo-estaca-superestrutura durante a

acção dos sismos.

Capítulo 3 Interacção cinemática solo-estaca. Modelo BDWF

3-1

CAPÍTULO 3

INTERACÇÃO CINEMÁTICA SOLO-ESTACA.

MODELO BDWF

3.1 - Generalidades

No capítulo anterior, apresentou-se uma descrição detalhada do modelo BDWF tendo-se ilustrado

alguns resultados do estudo do efeito de interaçcão cinemática para o caso do meio homogéneo

sob acções harmónicas na base.

A sua generalização para situações mais complexas, nomeadamente: terreno constituído por

camadas horizontais com diferentes características, consideração do comportamento não linear

do solo bem como a sua transformação para análises no domínio do tempo é discutida em

pormenor neste capítulo. O modelo de interacção cinemática desenvolvido no IST (Santos, 1999)

resulta da combinação do modelo BDWF com um modelo de propagação unidimensional da

acção sísmica. A solução do problema para estas situações gerais só é possível obter-se por via

numérica.

No que respeita ao comportamento não linear do solo, recorre-se ao tradicional método linear

equivalente aplicando as curvas não lineares G/G0-( e >-(.

Na primeira parte deste capítulo efectua-se uma descrição sumária do método de resolução

numérica desenvolvido.

A segunda parte deste capítulo é reservada para estudos paramétricos efectuados no domínio da

frequência e no domínio do tempo. Será analisado um caso de estudo típico de uma estaca

atravessando uma baixa aluvionar onde um cenário geotécnico mais realista, contemplando a

estratificação do terreno e o comportamento não linear do solo, é devidamente considerado nas

análises.


3-2

EpIpM4y

Mx 4% (k&mT2% i cT) y ' (k% i cT) u (3.1)

mxe%1

xe

EpIpM2v

Mx 2

M2y

Mx 2dx % m

xe%1

xe

(k&mT2% i cT) v ydx '

mxe%1

xe

(k% i cT) u vdx % Q1vxe% Q2

MvMx xe

% Q3vxe%1% Q4

MvMx xe%1

(3.2)

3.2 - Implementação do modelo BDWF num programa de elementos finitos

3.2.1 - Descrição sumária do método numérico de resolução no domínio da

frequência

Assumindo para o solo um amortecimento do tipo histerético torna-se conveniente que o

problema seja resolvido no domínio da frequência. A equação de equilíbrio dinâmico, formulada

em termos de deslocamentos absolutos, em regime de vibração harmónica permanente é a

seguinte (Santos, 1999):

Para a resolução deste problema aplicou-se o método dos elementos finitos formulado em termos

de deslocamentos. O domínio S que representa neste caso particular a estaca, é dividido num

conjunto de N subdomínios ou elementos finitos Se de linha com dois pontos nodais, definidos

pelas suas coordenadas, ou seja, Se0[xe,xe+1].

A aplicação do princípio dos trabalhos virtuais ao elemento Se , habitualmente designado também

como formulação variacional ou fraca do problema de valores na fronteira em estudo, conduz à

equação integral seguinte (Reddy, 1985):

em que:

v = função de teste da classe C2(Se) (duas vezes diferenciável em ordem a x no domínio Se)

Qj = forças generalizadas aplicadas nos pontos nodais (j=1,2..4)

Admitindo como incógnitas os deslocamentos generalizados dos pontos nodais dk(e) (k=1,2..4),

escolhem-se funções de interpolação que permitem obter o campo aproximado de deslocamentos

no interior de cada elemento em função destas incógnitas.

A aplicação do método de Galerkin, que constitui um caso particular do método dos resíduos

pesados, conduz à solução aproximada seguinte:


3-3

y (e)' j

ng'4

k'1

d (e)k N (e)

k (3.3)

em que:

ng = número de graus de liberdade do elemento

dk = deslocamentos nodais generalizados

Nk = funções de interpolação

Considerando para a função de teste v=Nj e introduzindo a aproximação (3.3) na equação

variacional ou fraca (3.2) é-se conduzido então à equação de equilíbrio dinâmico aproximada do

elemento:

[K](e) & [M](e)T2 % i [C(T)](e) {d(T)}(e) ' {F(T)}(e) (3.4)

em que:

K (e)jk ' m

xe%1

xe

EpIp

M2Nj(e)

Mx 2

M2Nk(e)

Mx 2% k N(e)

j N(e)k dx matriz de rigidez elementar (3.5)

M (e)jk ' m

xe%1

xe

m N(e)j N

(e)k dx matriz de massa elementar (3.6)

C (e)jk (T) ' m

xe%1

xe

c T N(e)j N

(e)k dx matriz de amortecimento elementar

(contando com o amortecimento histerético dosolo e o amortecimento por radiação lateral)

(3.7)

F (e)j (T) ' m

xe%1

xe

(k% i cT) u N(e)j dx % Q (e)

j matriz das forças nodais generalizadas (3.8)

Na equação (3.8) anterior a primeira parcela é devida aos deslocamentos do campo livre e a

segunda parcela corresponde às forças generalizadas aplicadas nos pontos nodais, que para este

caso particular não existem.


3-4

u(x) ' (Am e iax % Bm e &iax) (3.11)

Salienta-se ainda, que a equação de equilíbrio dinâmico elementar (3.4) pode ser escrita sob uma

forma mais condensada considerando, para o efeito, uma matriz de rigidez dinâmica (complexa)

que inclua o efeito da massa e do amortecimento:

[K (](e) {d(T)}(e) ' {F(T)}(e) (3.9)

em que:

K ((e)jk ' m

xe%1

xe

EpIp

M2Nj(e)

Mx 2

M2Nk(e)

Mx 2% (k & mT2 % i cT) N(e)

j N(e)k dx (3.10)

Quanto aos parâmetros intervenientes no efeito de interacção cinemática considerou-se que no

domínio Se se pudesse admitir o seguinte:

• Ep e Ip são constantes

• m é constante

• k é constante

• c é função da frequência T

• u é função da frequência T e da coordenada x

Faz-se notar ainda, que a equação variacional (3.2) obriga a que as funções de interpolação e as

suas derivadas até à ordem três sejam contínuas e que satisfaçam as condições de fronteira

essenciais nos pontos nodais de cada elemento. Isto leva à adopção de funções de interpolação

polinomiais do terceiro grau, vulgarmente conhecidos por polinómios cúbicos de Hermite, Hj(x)

com j=1,2..4. Nos termos da matriz de rigidez complexa os parâmetros intervenientes não

dependem da coordenada x e o resultado da integração das funções de interpolação pode ser

encontrado em (Reddy, 1985).

No que respeita às forças generalizadas, estas foram obtidas a partir da equação (3.8) efectuando

as respectivas integrações no referencial local x0[0,L] em que L é o comprimento do elemento.

Para o caso de se aplicar a teoria de propagação unidimensional das ondas de corte a amplitude

dos deslocamentos do campo livre no domínio Se pode ser obtida pela equação seguinte:

A descrição mais pormenorizada sobre o modelo utilizado para a determinação dos

deslocamentos do campo livre será apresentada no ponto seguinte.


3-5

As equações de equilíbrio dinâmico elementar (3.4) ou (3.9) são gerais e válidas para qualquer

elemento finito pertencente ao domínio S discretizado. Respeitando as condições de

compatibilidade nos pontos nodais de ligação entre elementos torna-se possível agrupar os

sistemas de equações do conjunto de elementos que formam o domínio S, os quais conjuntamente

com as condições de fronteira, formam um sistema de equações lineares, reescritas em termos dos

deslocamentos globais generalizados d(T). As equações (3.4) e (3.9) transformam-se,

respectivamente em:

[K] & [M]T2 % i [C(T)] {d(T)} ' {F(T)} (3.12)

e

[K (] {d(T)} ' {F(T)} (3.13)

em que:

[K] ' matriz de rigidez global[M] ' matriz de massa global[C(T)] ' matriz de amortecimento global{d(T)} ' vector de deslocamentos globais generalizados{F(T)} ' vector de forças globais generalizadas[K (] ' matriz de rigidez complexa global

(3.14)

Para a resolução do problema de equilíbrio dinâmico linear expresso pela equação (3.12) não se

revelou vantajoso a aplicação do método de sobreposição modal face ao reduzido número de

graus de liberdade do sistema em análise.

3.2.2 - Modelação da resposta do campo livre

No modelo BDWF a resposta do campo livre, em termos de deslocamentos horizontais u(x), pode

ser obtida, com toda a generalidade, recorrendo a análises tridimensionais. No entanto, a solução

é consideravelmente simplificada no caso unidimensional. Na análise unidimensional admite-se

que:

• a resposta da camada é essencialmente condicionada pela propagação vertical das ondas de

corte;

• todas as camadas são horizontais e com extensão lateral infinita.

Embora, constitua um modelo teórico simplificado, a experiência mostra que métodos baseados

nestes pressupostos têm conduzido a resultados que se ajustam bem à resposta do terreno em

muitos casos reais relatados na bibliografia. Assim, optou-se por adoptar um modelo de

propagação unidimensional para o terreno seguindo uma formulação semelhante àquela adoptada

por Schnabel et al. (1972) no programa de cálculo SHAKE, largamente difundido na área da


3-6

u m(x) ' (Am eiamx

% Bm e&iamx

) e iTt em que am 'Tvsc

(3.15)

Jm(x) ' i am G (

m (Am eiamx

& Bm e&iamx

) em que G (

m' Gm(1%2i>m) (3.16)

um(x'hm) ' um%1(x'0) Y Am eiamhm % Bm e

&iamhm ' Am%1 % Bm%1 (3.17)

dinâmica dos solos, e que foi utilizado para os testes de verificação do programa de cálculo

desenvolvido.

Analisa-se, então, o efeito da propagação vertical das ondas de corte num sistema constituído por

N camadas com extensão lateral infinita, conforme ilustra a Figura 3.1. Em cada camada m

considera-se o solo homogéneo e isotrópico com comportamento viscoelástico, caracterizado pela

espessura hm, massa volúmica Dm, módulo de distorção Gm e coeficiente de amortecimento

histerético >m.

Propagação verticaldas ondas de corte

h ,m G , ,m m m� �

x1camada 1

camada m

camada m+1

camada N

.

.

.

.

.

.

xm

xn

xN

h ,m+1 G , ,m+1 m+1 m+1� �

h ,1 G , ,1 1 1��

h ,N G , ,N N N� �

A1 B1

Am Bm

Am+1 Bm+1

AN BN

Figura 3.1 - Propagação vertical das ondas de corte

Recorrendo à notação complexa, a solução geral para uma determinada camada m, em termos de

deslocamentos absolutos, é dada por:

pelo que a tensão de corte é igual a:

Num sistema estratificado as condições de continuidade em termos de deslocamentos e de tensões

de corte na interface de transição entre duas camadas consecutivas m e m+1 são expressas pelas

equações seguintes:


3-7

Jm(x'hm) ' Jm%1(x'0) Y

Y i am G (

m (Am eiamhm & Bm e

&i amhm) ' i am%1 G (

m%1 (Am%1 & Bm%1)(3.18)

Am%1 '12

Am(1%"m)eiamhm %

12

Bm(1&"m)e&iamhm (3.19)

Bm%1 '12

Am(1&"m)eiamhm %

12

Bm(1%"m)e&iamhm (3.20)

"m 'amG (

m

am%1G(

m%1

'DmG (

m

Dm%1G(

m%1

'DmGm(1%2i>m)

Dm%1Gm%1(1%2i>m%1)(3.21)

AN ' fAN(T) A1 (3.22)

BN ' fBN(T) A1 (3.23)

Estas duas condições permitem estabelecer as equações de recorrência que relacionam as

amplitudes das ondas incidente e reflectida entre duas camadas consecutivas:

em que:

À superfície, como se trata de uma fronteira livre, sabe-se que A1=B1. Aplicando sucessivamente

as equações de recorrência até ao topo de uma determinada camada N tem-se:

em que fAN(T) e fBN

(T) são as denominadas funções de transferência.

Se o movimento sísmico for conhecido nesta camada N, o valor de A1 poderá ser determinado

bem como a resposta do sistema nas restantes camadas.

No que respeita às condições de radiação na fronteira inferior, pode-se considerar duas situações

extremas:

• substrato rígido, em que as ondas que atingem a fronteira inferior são totalmente reflectidas;

• meio viscoelástico semi-infinito em que a amplitude da onda incidente proveniente do espaço

semi-infinito não é afectado pelas camadas sobrejacentes uma vez que a onda reflectida é

totalmente absorvida pelo espaço semi-infinito.

Estas duas situações foram ambas contempladas no programa de cálculo CINEMAT

desenvolvido no IST.


3-8

3.3 - Caso de estudo para terreno estratificado constituído por duas camadas

3.3.1 - Caso apresentado por Kaynia (1997). Validação do método numérico

desenvolvido

Apresenta-se neste ponto o estudo elaborado por Kaynia (1997) que servirá não só para validar

o modelo BDWF mas também para evidenciar alguns aspectos do efeito de interacção

estrutura-solo-estaca.

Aquele autor analisou o efeito de interacção estrutura-solo-estaca num sistema estratificado

constituído por uma camada superficial com espessura HA sobrejacente a um meio viscoelástico

semi-infinito. A superestrutura foi modelada como um oscilador de um grau de liberdade ligado

a um maciço de encabeçamento rígido apoiado em 9 estacas distribuídas em malha quadrangular

(Figura 3.2).

H

HA

21s

A

B

Figura 3.2 - Cenário estudado por Kaynia (1997)

Os cálculos foram efectuados no domínio da frequência para acções harmónicas em regime de

vibração permanente recorrendo ao método dos elementos de fronteira. Aquele autor realizou

um estudo paramétrico variando a frequência própria da estrutura e apresentou as seguintes

conclusões:

• para excitações com frequência próxima à frequência fundamental da estrutura o efeito das

forças de inércia dominam os esforços nas estacas;

• fora desta gama de frequências, o efeito de interacção cinemática pode contribuir

significativamente para os esforços nas estacas, principalmente na zona de transição entre

camadas;

• para o caso de ausência de massa para a superestrutura os esforços obtidos foram muito

semelhantes para todas as estacas mostrando efectivamente, que o efeito de grupo pode ser


3-9

desprezado na análise do efeito de interacção cinemática solo-estaca, facto este já comentado

no Capítulo 2.

Para validar o modelo BDWF e o programa de cálculo automático desenvolvido apresenta-se a

confrontação dos resultados para um dos cenários apresentados no trabalho de Kaynia (1997).

O cenário estudado apresenta as características seguintes:

• Superestrutura:

Sem massa

• Terreno:

Ds = 1.8 g/cm3 ; > = 0.05 ; <s = 0.4

vs = 90 m/s (camada A)

vs = 200 m/s (camada B: meio viscoelástico semi-infinito)

HA = 3 m

• Estacas:

Dp = 2.4 g/cm3 ; >p = 0 ; <s = 0.2

Ep = 20 GPa (Ep/Es = 100 e 500 para as camadas A e B, respectivamente)

vs = 200 m/s (camada B: meio viscoelástico semi-infinito)

H = 15 m

d = 0.75 (H/d=20) ; s = 3.75 m (s/d=5)

• Acção:

Excitação harmónica simples com frequência igual a 0.5 Hz, considerando apenas a propagação

vertical das ondas de corte e impondo uma aceleração unitária (1 m/s2) à superfície do terreno.

A

B

�=0

Meio semi-infinito B

a) base livreb) deslocamento relativo nulo

Figura 3.3 - Discretização do problema


3-10

Para o modelo BDWF considerou-se para a base da estaca duas situações de fronteira:

a) base livre, e portanto com esforços nulos;

b) base restringida, impondo que o deslocamento da estaca seja igual ao deslocamento do campo

livre.

Restringiu-se a rotação da cabeça da estaca e o sistem solo-estaca foi discretizado em troços de

0.5m, conforme mostra a Figura 3.3.

A confrontação dos momentos flectores e dos esforços transversos é apresentada nas Figuras 3.4

e 3.5, respectivamente.

|M| (kNm)

0

5

10

15

Pro

fund

idad

e (m

)

0 5 10 15 20 25 30

BDWF a) BDWF b) Kaynia (1997)

Figura 3.4 - Cenário analisado por Kaynia (1997). Momentos flectores

|V| (kN)

0

5

10

15

Pro

fund

idad

e (m

)

0 5 10 15 20

BDWF a) BDWF b) Kaynia (1997)

Figura 3.5 - Cenário analisado por Kaynia (1997). Esforços transversos


3-11

A análise destas figuras permite evidenciar novamente as potencialidades do modelo BDWF

mostrando efectivamente uma boa concordância de resultados, exceptuando os valores do

segundo pico das curvas de distribuição dos esforços. Mostra também que, as condições de

fronteira na base pouco afectam o valor dos momentos flectores e em termos de esforços

tranversos a situação b) conduziu a resultados muito próximos àqueles apresentados por

Kaynia (1997). Deste modo, se for lícito admitir uma aderência perfeita entre a base da estaca

e o solo, a situação b) é aquela que se deve considerar no modelo BDWF.

3.3.2 - Estudo paramétrico no domínio da frequência

O efeito de interacção cinemática solo-estaca é particularmente importante em duas situações:

• quando o solo apresenta fracas características mecânicas com a possibilidade de ocorrerem

efeitos de amplificação local importantes;

• quando o terreno é constituído por camadas com contraste significativo de rigidez.

Para ilustrar bem estas situações apresenta-se seguidamente o estudo para um cenário em que o

terreno é constituído por duas camadas limitado inferiormente pelo substrato rígido. Efectuou-se

um estudo paramétrico alargado considerando as seguintes características:

• cabeça da estaca impedida de rodar

• base da estaca com deslocamento igual à do campo livre(base restringida); base livre

• Ds = 0.7 Dp

• > = 10%

• <s = 0.4

• H1 = 0.15H ; 0.30H ; 0.50H (H1=espessura da camada superior; H=espessura total)

• G2 = G1 ; 4G1 ; 8G1 ; 16G1 ; G1=4G2 (G1, G2=módulos de distorção das camadas 1 e 2)

• Ep/E1 = 5000

• H/d = 20

• excitação harmónica simples na base

Os resultados foram obtidos por aplicação do programa CINEMAT e resumem-se nas Figuras

3.6 a 3.29. Apresentam-se os diagramas de esforços da estaca para a situação em que o sistema

solo-estaca é sujeito a uma excitação com frequência T igual à frequência fundamental T1 do

terreno. Para o caso do meio homogéneo mostra-se ainda a variação do momento flector máximo

(que ocorre ao nível da cabeça) e do esforço transverso máximo em função da frequência de

excitação, onde são comparados com os valores obtidos pela formulação analítica exacta descrita

no Capítulo 2. Na situação de base restringida o esforço transverso máximo, |V|, ocorre na base

da estaca (Figura 3.9) enquanto que quando se considera a base livre a secção de esforço

transverso máximo ocorre a uma profundidade de cerca de 0.7H (Figura 3.21) .


3-12

Base restringida

• Meio homogéneo: Valores máximos dos esforços em função de T/T1

_________

ρpd4ω2

ω/ω1

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

0 2 4 6 8 10

Solução analítica Programa CINEMAT

H/d=20 , ξ=10% , νs=0.4Ep/Es=5000 , ρs=0.7ρp

Base restringida|Mo|

Figura 3.6 - |Mo| versus TTTT/TTTT1

_________

ρpd3ω2

ω/ω1

0

50

100

150

200

250

300

0 2 4 6 8 10


|V|

H/d=20 , ξ=10% , νs=0.4Ep/Es=5000 , ρs=0.7ρp

Base restringida

Figura 3.7 - |V| versus TTTT/TTTT1

0

5

10

15

20

Pro

f. r

elat

iva

x/d

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500

Programa CINEMAT Solução analítica

|M|/ρpd4ω2

Figura 3.8 - Distribuição de |M| para TTTT=TTTT1

0

5

10

15

20

Pro

f. r

elat

iva

x/d

0 50 100 150 200 250


|V|/ρpd3ω2

Figura 3.9 - Distribuição de |V| para TTTT=TTTT1

Meio estratificado com H1=0.15H

|M|/ρpd4ω2

0

5

10

15

20

Pro

f. r

elat

iva

x/d

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500

G2=4G1 G2=16G1

Meio homogéneo(G1)

H1=0.15H


|V|/ρpd3ω2

0

5

10

15

20

Pro

f. r

elat

iva

x/d

0 50 100 150 200 250

G2=4G1 G2=16G1

Meio homogéneo(G1)

H1=0.15H



3-13


|M|/ρpd4ω2

0

5

10

15

20

Pro

f. r

elat

iva

x/d

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500

G2=4G1 G2=8G1

G2=16G1 Meio homogéneo(G1)

H1=0.30H


|V|/ρpd3ω2

0

5

10

15

20

Pro

f. r

elat

iva

x/d

0 100 200 300 400 500 600 700

G2=4G1 G2=8G1


H1=0.30H



|M|/ρpd4ω2

0

5

10

15

20

Pro

f. r

elat

iva

x/d

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500

G2=4G1 G2=8G1


H1=0.50H


|V|/ρpd3ω2

0

5

10

15

20

Pro

f. r

elat

iva

x/d

0 200 400 600 800 1000

G2=4G1 G2=8G1


H1=0.50H


Meio estratificado com G1=4G2

|M|/ρpd4ω2

0

5

10

15

20

Pro

f. r

elat

iva

x/d

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000

H1=0.15H H1=0.30H

H1=0.5H Meio homogéneo(G2)

G1=4G2


|V|/ρpd3ω2

0

5

10

15

20

Pro

f. r

elat

iva

x/d

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600

H1=0.15H H1=0.30H


G1=4G2



3-14

Base da estaca livre

• Meio homogéneo: Valores máximos dos esforços em função de T/T1

_________

ρpd4ω2

ω/ω1

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

0 2 4 6 8 10


H/d=20 , ξ=10% , νs=0.4Ep/Es=5000 , ρs=0.7ρp

Base livre|Mo|

Figura 3.18 - |Mo| versus TTTT/TTTT1

_________

ρpd3ω2

ω/ω1

0

50

100

150

200

250

300

0 2 4 6 8 10


H/d=20 , ξ=10% , νs=0.4Ep/Es=5000 , ρs=0.7ρp

Base livre|V|

Figura 3.19 - |V| versus TTTT/TTTT1

0

5

10

15

20

Pro

f. r

elat

iva

x/d

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500


|M|/ρpd4ω2


0

5

10

15

20

Pro

f. r

elat

iva

x/d

0 50 100 150 200 250 300


|V|/ρpd3ω2



|M|/ρpd4ω2

0

5

10

15

20

Pro

f. r

elat

iva

x/d

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500

G2=4G1 G2=16G1

Meio homogéneo(G1)

H1=0.15H


|V|/ρpd3ω2

0

5

10

15

20

Pro

f. r

elat

iva

x/d

0 50 100 150 200 250 300

G2=4G1 G2=16G1

Meio homogéneo(G1)

H1=0.15H



3-15


|M|/ρpd4ω2

0

5

10

15

20

Pro

f. r

elat

iva

x/d

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500

G2=4G1 G2=8G1


H1=0.30H


|V|/ρpd3ω2

0

5

10

15

20

Pro

f. r

elat

iva

x/d

0 100 200 300 400 500 600 700

G2=4G1 G2=8G1


H1=0.30H



|M|/ρpd4ω2

0

5

10

15

20

Pro

f. r

elat

iva

x/d

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500

G2=4G1 G2=8G1


H1=0.50H


|V|/ρpd3ω2

0

5

10

15

20

Pro

f. r

elat

iva

x/d

0 200 400 600 800 1000

G2=4G1 G2=8G1


H1=0.50H


Meio estratificado com G1=4G2

|M|/ρpd4ω2

0

5

10

15

20

Pro

f. r

elat

iva

x/d

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000

H1=0.15H H1=0.30H


G1=4G2


|V|/ρpd3ω2

0

5

10

15

20

Pro

f. r

elat

iva

x/d

0 200 400 600 800 1000 1200

H1=0.15H H1=0.30H


G1=4G2



3-16

A análise dos resultados das Figuras 3.6 a 3.29 permite tirar as conclusões seguintes:

• para o caso do meio homogéneo constata-se que:

- existe uma concordância quase perfeita entre os resultados numéricos obtidos pelo programa

CINEMAT e os valores exactos obtidos pela solução analítica (Figuras 3.6 a 3.9 e 3.18 a

3.21);

- a condição de fronteira na base da estaca não afecta praticamente o valor do momento flector

máximo na cabeça da estaca (Figuras 3.6 e 3.18); já em termos de esforços transversos

verificam-se algumas diferenças para frequências superiores a T1 (Figuras 3.7 e 3.19);

• para o caso em que a camada superior exibe menor rigidez (G1<G2) verifica-se que:

- os esforços de interacção tornam-se cada vez mais importantes com o aumento da espessura

da camada superficial H1;

- para H1=0.5H os momentos flectores na zona de transição entre camadas atingem valores

importantes quando G2>8G1 (próximos dos valores máximos que ocorrem no topo da estaca

para a situação de meio homogéneo, Figuras 3.14 e 3.26);

- os esforços transversos são significativamente maiores do que os do caso do meio homogéneo

(cerca de 3 a 4 vezes, Figuras 3.15 e 3.27);

• para o caso em que a camada superior apresenta maior rigidez (G1=4G2) constata-se que:

- para H1=0.5H os momentos flectores na zona de transição entre camadas atingem valores

próximos dos valores máximos que ocorrem no topo da estaca para a situação de meio

homogéneo (Figuras 3.16 e 3.28);

- em termos de esforços transversos, o acréscimo dos valores, comparativamente com a

situação de meio homogéneo é bastante menos notária não ultrapassando os 50%, mesmo para

a situação mais desfavorável analisada com H1=0.5H (Figuras 3.17 e 3.29).


3-17

y(t) '1

2B m4

&4

H(T)A(T) e &iTt dT (3.26)

3.4 - Análise no domínio do tempo. Método linear equivalente

A natureza histerética do amortecimento conduziu à consideração de uma rigidez complexa para

o solo. Por conseguinte, a discretização geométrica das equações de equilíbrio dinâmico que

governam a interacção cinemática solo-estaca conduz igualmente a um sistema de equações

complexas.

Numa abordagem determinística do problema a acção sísmica é caracterizada habitualmente

através de histórias de aceleração impostas na fronteira basal. Atendendo à linearidade do

sistema em apreço o problema no domínio do tempo é transposto e resolvido no domínio da

frequência. Este método vulgarmente designado por método de resposta complexa no domínio

da frequência recorre à bem conhecida técnica de transformada de Fourier.

Considera-se então um processo físico descrito no domínio do tempo por uma variável a(t) em

função do tempo t, ou no domínio da frequência em que o mesmo processo é caracterizado pela

amplitude A(T) em função da frequência angular T. As equações de transformada directa e

inversa de Fourier são expressas respectivamente por:

A(T) ' m4

&4

a(t) e iTt dt (3.24)

e

a(t) '1

2B m4

&4

A(T) e &iTt dT (3.25)

em que f(t) e A(T) poderão ser ambas funções complexas.

No modelo BDWF a acção sísmica é considerada como uma acção determinística sem

variabilidade espacial e considera-se apenas a componente horizontal do movimento do solo. A

resolução do problema obriga à transformação prévia da acção sísmica para o domínio da

frequência pela transformada directa de Fourier. A resposta do sistema é então calculada para

cada uma das harmónicas com amplitude unitária obtendo-se a chamada função de resposta

complexa no domínio da frequência H(T), muitas vezes também designada por função de

transferência.

A função resposta y(t) no domínio do tempo é obtida sobrepondo as respostas harmónicas o que

em termos matemáticos corresponde em aplicar a transformada inversa de Fourier expressa pela

equação seguinte:


3-18

Faz-se notar, que esta equação (3.26) é geral e poderá representar a resposta em termos de

deslocamentos, velocidades, acelerações ou mesmo esforços internos da estaca consoante a

função de transferência considerada.

Para a análise dinâmica de um determinado problema concreto a história de acelerações é definida

por uma série temporal, com N valores discretos geralmente com igual espaçamento no tempo.

Nestas condições, as transformadas de Fourier passam a tomar a forma discreta de somatório

(DFT - "Discrete Fourier Transform") com um número de termos igual ao número de pontos de

discretização da acção. A avaliação da resposta total do sistema implica a aplicação das

transformadas directa e inversa de Fourier o que conduz, em termos práticos, a um número

elevado de operações (N2). Graças ao desenvolvimento do algoritmo da transformada rápida de

Fourier (FFT - "Fast Fourier Transform") o número de operações é reduzido para Nlog2N

(Cooley e Tukey, 1965), viabilizando do ponto de vista prático a aplicação do método de resposta

complexa no domínio da frequência. Por exemplo para N=2048 a aplicação do algoritmo FFT

reduz o número de operações para cerca de 0.5% quando comparado com o método DFT.

Salienta-se ainda, que pelo facto da história de acelerações ser definida por valores reais é

possível tirar partido das propriedades de simetria das transformadas de Fourier reduzindo o

número total de harmónicas para N/2+1. A descrição exaustiva do algoritmo FFT pode ser

encontrada em Cooley e Tukey (1965) e Press et al. (1986).

O programa de cálculo CINEMAT incorpora uma subrotina que aplica o algoritmo FFT para

funções reais tirando assim proveito das propriedades de simetria acabadas de referir.

O método de resposta complexa no domínio da frequência acabado de descrever pressupõe a

linearidade do sistema. O comportamento não linear do solo é modelado de forma aproximada

utilizando o método linear equivalente. Este método de natureza iterativa consiste em procurar

a compatibilização entre a distorção e os respectivos valores secantes de G e > no ponto médio

de cada camada de solo, de acordo com a discretização geométrica do problema.

Esta compatibilização é feita habitualmente recorrendo às curvas não lineares G-( e >-( obtidas

em laboratório através de ensaios de carregamento sinusoidal considerando os valores máximos

da distorção em cada ciclo de histerese. Porém, durante a actuação de um sismo, as distorções

no solo variam de forma irregular atingindo poucas vezes os valores de pico.

Seed et al. (1975), no contexto da verificação à susceptibilidade de liquefacção das areias,

introduziram então uma metodologia para converter a história irregular das tensões de corte num

número equivalente de ciclos uniformes de acções sinusoidais com amplitude igual a 65% do

valor máximo do módulo da tensão de corte, definindo uma tensão de corte média dada por:


3-19

Jav ' 0.65 Jmáx (3.27)

(ef ' R( (máx 'M&110

(máx (3.28)

em que:

Jav = tensão de corte média equivalente (ciclos sinusoidais)

Jmáx = valor máximo do módulo da tensão de corte (história irregular)

Convém frisar, que este procedimento foi originalmente estabelecido para amplitudes de distorção

elevadas e suficientes para provocar a liquefacção das areias. Posteriormente, admitiu-se que de

forma aproximada se poderia admitir o mesmo tipo de relação (3.27) para níveis de distorção

mais baixos sugerindo que a resposta do solo fosse calculada com base num valor representativo

da distorção que é tomado como uma fracção do valor máximo da distorção ocorrido durante o

tempo de actuação do sismo (Makdisi e Seed, 1979). A este valor representativo da distorção

é-lhe atribuído na literatura a designação de distorção cíclica equivalente ou efectiva, (ef.

Idriss e Sun (1992) propuseram que o valor de (ef fosse calculado com base na relação empírica

seguinte:

em que:

M = magnitude do sismo

(máx = valor máximo da distorção (história irregular)

O valor do coeficiente R( varia então entre 0.5 e 0.7 para sismos com magnitude entre 6 e 8,

respectivamente. No entanto, segundo aqueles autores, a resposta dinâmica do sistema não é

altamente sensível àquele coeficiente, aliás o valor de 0.65 é frequentemente referido na literatura.

A análise iterativa é feita até à obtenção de convergência entre os valores de G e >

correspondentes a duas iterações consecutivas. Para a maioria dos casos, consegue-se uma boa

convergência de resultados com erros associados da ordem de 1%, após 5 a 8 iterações (Idriss e

Sun, 1992).

Na utilização deste conceito de distorção cíclica equivalente impõe-se que as propriedades

compatíveis do solo G-( e >-( se mantenham invariáveis durante a actuação do sismo,

independentemente se a distorção num determinado instante for pequena ou elevada. Este

método é incapaz de modelar a variação da rigidez do solo que ocorre na realidade durante a

actuação de um sismo. Assim, poderão ocorrer resultados menos correctos nalgumas situações

particulares:


3-20

• como a rigidez do sistema não varia durante o tempo de análise, caso haja uma coincidência

entre o período predominante da acção sísmica e o período fundamental do sistema,

obter-se-iam efeitos de sobreamplificação que não ocorreriam na realidade;

• por outro lado, a utilização dos parâmetros compatíveis conduzem, em geral, a uma resposta

mais amortecida ou atenuada, sobretudo quando a história de distorções tiver um valor de pico

bem pronunciado.

Salienta-se ainda, que não foram considerados outros efeitos de não linearidade ao nível local

devido a fenónemos de separação ou perda de contacto entre a estaca e o solo envolvente.

Admitiu-se no modelo BDWF uma aderência perfeita entre o solo e a estaca, ou seja, em termos

da formulação de elementos finitos, foram impostos nos pontos nodais da estaca um campo de

forças exteriores correspondentes aos deslocamentos do campo livre calculados tendo em conta

o comportamento não linear do solo.

No método linear equivalente, a convergência é relativamente rápida bastando, em geral, um

número de iterações inferior a 10 para conseguir obter as propriedades compatíveis do campo

livre (com erros relativos inferiores a 1%). O cálculo da resposta dinâmica completa do sistema

solo-estaca pode ser efectuado em poucos minutos num computador PC compatível com as

características de um Pentium II.


3-21

3.5 - Caso de estudo para um cenário típico de uma estaca atravessando uma

baixa aluvionar

3.5.1 - Modelo geotécnico

Considere-se então um cenário de estudo mais realista do ponto de vista prático, em que se

pretende analisar o efeito de interacção cinemática para uma estaca atravessando uma formação

aluvionar com a seguinte estratificação contando de cima para baixo:

• camada A: constituída por aterros e/ou por uma zona sobreconsolidada devido à dessecação

do solo;

• camada B: representando uma camada aluvionar de natureza argilosa, normalmente

consolidada apresentando um ligeiro aumento do módulo em profundidade;

• camada C: representando uma zona mais alterada do estrato competente;

• camada D: constituída por um maciço de boa qualidade e de elevada rigidez, podendo-se

considerar simplificadamente como um substrato rígido.

Atribuiram-se para cada uma destas zonas as propriedades geotécnicas que se indicam no Quadro

3.1 e Figura 3.30.

Quadro 3.1 - Propriedades geotécnicas consideradas para o estudo

Camada Descrição Comportamento (t(kN/m3) < G0(MPa) Curvas G/G0-( >-(

AAterros e/ou zona

dessecadaNão linear 19 0.3 80

Areia (Oceanário,

Expo'98)

BCamada aluvionar

de natureza argilosaNão linear 17 0.5

variável

entre 20 e 30

Argila (Stª Iria de

Azóia)

CZona alterada do

maciço competente

Linear com

>=1%22 0.3

200

(vs.300m/s)—

DMaciço de boa

qualidadeRígido — — — —

Convém frisar que se trata de um cenário de estudo hipotético, em que se aplicaram os resultados

de ensaios reais realizados sobre solos de natureza semelhante e que estão relatados em

Santos (1999).

Procurou-se de facto estudar para um cenário geotécnico mais realista qual a importância do

efeito de interacção cinemática solo-estaca durante a ocorrência de um sismo.


3-22

5m A

B

C5m

10m

3m

Substrato rígido

= 0o G (MPa)0

80

20

30

200

D

E=29GPa

camada 1

camada 20

Figura 3.30 - Modelo geotécnico

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

G/G

0

6

12

18

24

30

ξ (%

)

1E-06 1E-05 1E-04 1E-03 1E-02

γ

Solo A: Areia (Oceanário, Expo'98)

Solo B: Argila (Stª Iria de Azóia)

Figura 3.31 - Propriedades dos solos A e B

Para a estaca admitiu-se um comportamento elástico com as propriedades de um betão da classe

B25, de acordo com o Regulamento de Estruturas de Betão Armado e Pré-Esforço (REBAP,

1985).

Restringiu-se a rotação da cabeça da estaca e admitiu-se que na base o deslocamento da estaca

é igual ao deslocamento do campo livre. A estaca e o solo foram discretizados em elementos de

0.5m (Figura 3.30).


3-23

3.5.2 - Acções determinísticas consideradas

Para este estudo, a acção sísmica foi definida por quatro séries temporais de aceleração horizontal

impostas no topo do substrato rígido:

• sismo de Kobe-JMA (1995): registo obtido na estação meteorológica de Kobe a cerca de

17km do epicentro (Suetomi e Yoshida,1998);

• sismo de Arménia (1988): registo obtido na cidade de Gukasian a cerca de 35km do

epicentro (Gomes Correia et al, 1994);

• sismo de Lisboa (1969): registo obtido no maciço de amarração Norte da Ponte sobre

o rio Tejo na direcção E-W a cerca de 300km do epicentro

(Mineiro, 1979);

• sismo dos Açores (1998): registo obtido na ilha do Faial a cerca de 15km do epicentro

(Oliveira et al., 1998).

A representação gráfica dos respectivos acelerogramas encontra-se nas Figuras 3.32 a 3.38. Cada

um destes acelerogramas é definido por 2048 pontos de discretização.

O contéudo de frequências de cada um dos sismos seleccionados pode ser melhor visualizado

num gráfico com a representação do espectro de Fourier dos respectivos acelerogramas.

Representam-se assim nas Figuras 3.33 a 3.39 a amplitude, |A|, dos coeficientes complexos de

Fourier em função da frequência f, para cada um dos sismos referidos e normalizados para a

aceleração máxima de 0.1g.

Este tipo de abordagem determinística apresenta obviamente algumas limitações inerentes à

pequena representatividade estatística das conclusões que se podem tirar baseadas num número

restrito de análises de carácter determinístico. Para ultrapassar este problema é sempre possível

efectuar um conjunto de análises para diversos acelerogramas e proceder à posteriori a um

tratamento estatístico dos resultados obtidos. Uma outra via possível recentemente sugerida por

Vieira (1995) e Bilé Serra (1998) consiste na definição de uma estrutura probabilística para a

acção sísmica de modo a possibilitar a aplicação da teoria dos processos estocásticos na resolução

do problema de equilíbrio dinâmico.

Salienta-se, no entanto, que o principal objectivo do estudo de sensibilidade que se apresenta

neste ponto é o de mostrar a influência e a forma como diversos factores afectam o efeito de

interacção cinemática solo-estaca durante a ocorrência de um sismo.

Deste modo, não foram seleccionados acelerogramas reais compatíveis com as características

principais dos sismos esperados para um determinado local, nem foram utilizados acelerogramas

artificiais gerados de acordo os espectros de densidade de potência do RSAEEP (1986).


3-24

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2

0 0.2 0.4 0.6 0.8

1

a (g

)

0 5 10 15 20

t (s)

Kobe-JMA (1995)

Figura 3.32 - Kobe-JMA: Acelerograma

0

0.0005

0.001

0.0015

0.002

0.0025

0.003

0.0035

|A| (

g·s)

0 2 4 6 8 10

f (Hz)

Kobe-JMA (1995)

Figura 3.33 - Kobe-JMA: Espectro de Fourier

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

a (g

)

0 5 10 15 20

t (s)

Arménia (1988)

Figura 3.34 - Arménia: Acelerograma

0

0.0005

0.001

0.0015

0.002

0.0025

|A| (

g·s)

0 2 4 6 8 10

f (Hz)

Arménia (1988)

Figura 3.35 - Arménia: Espectro de Fourier

-0.03

-0.02

-0.01

0

0.01

0.02

0.03

a (g

)

0 5 10 15 20 25 30

t (s)

Lisboa E-W (1969)

Figura 3.36 - Lisboa: Acelerograma

0

0.001

0.002

0.003

0.004

0.005

|A| (

g·s)

0 2 4 6 8 10

f (Hz)

Lisboa E-W (1969)

Figura 3.37 - Lisboa: Espectro de Fourier

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

a (g

)

0 5 10 15 20

t (s)

Faial (1998)

Figura 3.38 - Faial: Acelerograma

0

0.0005

0.001

0.0015

0.002

0.0025

|A| (

g·s)

0 2 4 6 8 10

f (Hz)

Faial (1998)

Figura 3.39 - Faial: Espectro de Fourier


3-25

3.5.3 - Método linear equivalente

3.5.3.1 - Estudo de sensibilidade

Os resultados que se vão apresentar referem-se aos valores máximos dos esforços obtidos na

estaca para as diferentes situações de cálculo no domínio do tempo, utilizando o método linear

equivalente (convencional) com R(=0.65. Efecturam-se, no total, um conjunto de 36 análises

resultante da combinação de quatro acelerogramas reais, com três níveis de aceleração máxima

(amáx=0.1, 0.15 e 0.20g) e com três valores do diâmetro da estaca (d=0.50, 0.80 e 1.30m).

Faz-se notar, que os momentos flectores máximos ocorrem nas zonas de transição entre camadas

(A-B e B-C), passando-se a designar o valor absoluto destes valores por M1 e M2,

respectivamente. Utilizou-se uma simbologia semelhante para designar os valores máximos dos

esforços tranversos, V1 e V2 que ocorrem nas camadas A e C, respectivamente. A Figura 3.40

ilustra o andamento qualitativo dos diagramas de esforços (em termos de valores absolutos).

0

5

10

15

20

Pro

f. (

m)

|M| , |V|

|M| |V|

M1

M2

V2

V1 Camada A

Camada B

Camada C

Figura 3.40 - Andamento qualitativo dos esforços

Dado que estas análises são feitas para estacas com diferentes diâmetros, os resultados só

poderiam ser comparáveis após normalização. Assim para o caso dos momentos flectores

calcularam-se os respectivos valores reduzidos dados por:

Mr 'M

2B r 3 fcd(3.29)

em que: r=raio da estaca ; fcd=valor de cálculo da tensão de rotura do betão à compressão.

Para o caso dos esforços transversos compararam-se os valores actuantes com os valores de

cálculo do esforço transverso resistente devido apenas à contribuição do betão, Vcd, e com o seu

valor máximo, VRd(máx), permitido no regulamento REBAP (1985).

Os resultados obtidos resumem-se nas Figuras 3.41 a 3.56.


3-26

0

0.04

0.08

0.12

0.16

0.2 M

r1

0.1 0.15 0.2

d=0.50m d=0.80m d=1.30m

Kobe-JMA (1995)

amáx (g)

Figura 3.41 - Kobe: Mr1

0

0.04

0.08

0.12

0.16

0.2

0.24

0.28

Mr2

0.1 0.15 0.2

d=0.50m d=0.80m d=1.30m

Kobe-JMA (1995)

amáx (g)

Figura 3.42 - Kobe: Mr2

0

0.04

0.08

0.12

0.16

0.2

Mr1

0.1 0.15 0.2

d=0.50m d=0.80m d=1.30m

Arménia (1988)

amáx (g)

Figura 3.43 - Arménia: Mr1

0

0.04

0.08

0.12

0.16

0.2

0.24

0.28

Mr2

0.1 0.15 0.2

d=0.50m d=0.80m d=1.30m

Arménia (1988)

amáx (g)

Figura 3.44 - Arménia: Mr2

0

0.04

0.08

0.12

0.16

0.2

Mr1

0.1 0.15 0.2

d=0.50m d=0.80m d=1.30m

Lisboa E-W (1969)

amáx (g)

Figura 3.45 - Lisboa E-W: Mr1

0

0.04

0.08

0.12

0.16

0.2

0.24

0.28

Mr2

0.1 0.15 0.2

d=0.50m d=0.80m d=1.30m

Lisboa E-W (1969)

amáx (g)

Figura 3.46 - Lisboa E-W: Mr2

0

0.04

0.08

0.12

0.16

0.2

Mr1

0.1 0.15 0.2

d=0.50m d=0.80m d=1.30m

Faial (1998)

amáx (g)

Figura 3.47 - Faial: Mr1

0

0.04

0.08

0.12

0.16

0.2

0.24

0.28

Mr2

0.1 0.15 0.2

d=0.50m d=0.80m d=1.30m

Faial (1998)

amáx (g)

Figura 3.48 - Faial: Mr2


3-27

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

0.1 0.15 0.2

d=0.50m d=0.80m d=1.30m

Kobe-JMA (1995)

V1/Vcd

V1/VRd(máx)

amáx (g)

V1/

Vcd

V1/

VR

d(m

áx)

Figura 3.49 - Kobe: V1

0

1

2

3

4

5

0

1

2

3

4

5

0.1 0.15 0.2

d=0.50m d=0.80m d=1.30m

Kobe-JMA (1995)

V2/Vcd

V2/VRd(máx)

amáx (g)

V2/

VR

d(m

áx)

V2/

Vcd

Figura 3.50 - Kobe: V2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

0.1 0.15 0.2

d=0.50m d=0.80m d=1.30m

V1/Vcd

V1/VRd(máx)

Arménia (1988)

amáx (g)

V1/

Vcd

V1/

VR

d(m

áx)

Figura 3.51 - Arménia: V1

0

1

2

3

4

5

0

1

2

3

4

5

0.1 0.15 0.2

d=0.50m d=0.80m d=1.30m

V2/Vcd

V2/VRd(máx)

Arménia (1988)

amáx (g)

V2/

VR

d(m

áx)

V2/

Vcd

Figura 3.52 - Arménia: V2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

0.1 0.15 0.2

d=0.50m d=0.80m d=1.30m

V1/Vcd

V1/VRd(máx)

Lisboa E-W (1969)

amáx (g)

V1/

Vcd

V1/

VR

d(m

áx)

Figura 3.53 - Lisboa E-W: V1

0

1

2

3

4

5

0

1

2

3

4

5

0.1 0.15 0.2

d=0.50m d=0.80m d=1.30m

V2/Vcd

V2/VRd(máx)

Lisboa E-W (1969)

amáx (g)

V2/

VR

d(m

áx)

V2/

Vcd

Figura 3.54 - Lisboa E-W: V2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

0.1 0.15 0.2

d=0.50m d=0.80m d=1.30m

V1/Vcd

V1/VRd(máx)

Faial (1998)

amáx (g)

V1/

Vcd

V1/

VR

d(m

áx)

Figura 3.55 - Faial: V1

0

1

2

3

4

5

0

1

2

3

4

5

0.1 0.15 0.2

d=0.50m d=0.80m d=1.30m

V2/Vcd

Faial (1998)

amáx (g)

V2/

VR

d(m

áx)

V2/

Vcd

V2/VRd(máx)

Figura 3.56 - Faial: V2


3-28

A análise destas figuras permite tirar algumas ilações de índole geral acerca do efeito de

interacção cinemática solo-estaca:

• Influência do diâmetro da estaca

O aumento do diâmetro da estaca traduz-se, em geral, num aumento do momento flector

reduzido, o qual é proporcional à relação M/r3. Como já se viu no Capítulo 2, o momento

actuante é aproximadamente proporcional ao momento de inércia da estaca e portanto ao seu

diâmetro elevado ao expoente quatro, estando assim justificada a razão do tal aumento do

momento flector reduzido. Em termos de esforços transveros observa-se igualmente a mesma

tendência de valores.

• Influência do acelerograma

Como é óbvio, para um mesmo sismo, o aumento da aceleração máxima conduz a um

agravamento dos esforços na estaca. Verifica-se, no entanto, dois tipos de andamento destas

curvas.

Para os sismos de Kobe, Arménia e de Faial, observa-se uma ligeira tendência de redução da taxa

de crescimento dos esforços com o aumento da aceleração máxima. Isto deve-se provavelmente

à mobilização de maiores níveis de amortecimento para os sismos com aceleração máxima mais

elevada.

Por outro lado, e para o sismo de Lisboa, observa-se uma tendência diferente, com um aumento

da taxa de crescimento dos esforços com o aumento da aceleração máxima. Neste caso, a

explicação deve-se ao comportamento não linear do solo e à consequente perda de rigidez do

sistema. A frequência fundamental do terreno decresce com o aumento do nível de aceleração

máxima movendo-se para uma zona onde o sismo apresenta maior riqueza no seu conteúdo de

frequências (f<1Hz, vide Figura 3.37).

De entre os quatro sismos analisados, o de Kobe é aquele que conduziu a resultados mais

desfavoráveis. A representação dos factores de amplificação dinâmica, ou seja, do valor absoluto

das funções de transferência da aceleração basal para a aceleração no ponto médio da camada

mais superficial (camada 1 - Figura 3.30) nas Figuras 3.57 e 3.58, permite mostrar o seguinte:

- para as propriedades iniciais, devido aos baixos níveis de amortecimento associados,

verificam-se efeitos de amplificação importantes para as várias frequências próprias do sistema

estratificado;

- no cálculo linear equivalente, a função de transferência obtida, após a convergência, é bastante

suave devido aos elevados níveis de amortecimento induzidos na camada aluvionar B. O pico


3-29

desta curva bem como da curva de transferência do momento flector M1 na transição entre as

camadas A e B (Figura 3.58), localiza-se próximo da frequência de 1Hz numa zona de

particular riqueza no espectro de Fourier do acelerograma do sismo de Kobe (Figura 3.33).

0

2

4

6

8

10

D

0 10 20 30 40 50

f (Hz)

Propriedades iniciais Após convergência

Kobe-JMA (1995)amáx=0.2g

Figura 3.57 - Funções de transferência para aprimeira e a última iteração

0

1

2

3

4

5

6

D

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

M1

(kN

m)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

f (Hz)

a M1


após convergência

Figura 3.58 - Funções de transferência:aceleração e momento flector

A título indicativo, mostram-se ainda nas Figuras 3.59 a 3.62 os perfis envolventes com os

valores máximos da distorção ((máx) e do deslocamento absoluto (umáx) do campo livre e das

respectivas propriedades compatíveis G e > para as diferentes camadas, referentes ao mesmo

sismo de Kobe normalizado para a aceleração máxima de 0.2g.

0

5

10

15

20

Pro

f. (

m)

1E-05 1E-04 1E-03 1E-02


γmáx

Figura 3.59 - Perfil de distorções máximas

umáx (m)_

0

5

10

15

20

Pro

f. (

m)

0 0.02 0.04 0.06 0.08


Figura 3.60 -Perfil de desl. absolutos máximos


3-30

0

5

10

15

20

Pro

f. (

m)

0 50 100 150 200

G (MPa)


Figura 3.61 - Perfil de valores de G

0

5

10

15

20

Pro

f. (

m)

0 5 10 15 20

ξ (%)


Figura 3.62 -Perfil de valores de >>>>

A Figura 3.59 evidencia a ocorrência de elevados níveis de distorção na camada aluvionar B. A

distorção máxima ocorre sensivelmente a meio da camada aluvionar tendo-se obtido um valor

máximo de cerca de 5x10-3 (R(=0.65) para a distorção cíclica equivalente. Este valor, embora

elevado, encontra-se ainda dentro dos limites aceitáveis para os quais se pode aplicar o método

linear equivalente.

As funções de transferência representadas nas Figuras 3.57 e 3.58, permitem ainda explicar de

certa forma por que o sismo de Faial conduziu a esforços relativamente menos importantes. De

facto, observando o conteúdo de frequências do acelerograma (vide Figura 3.39), verifica-se que

o espectro de Fourier apresenta valores mais significativos na gama de frequências entre 3 a 5Hz,

pouco afectando assim o sistema com uma frequência fundamental próxima de 1Hz.


3-31

M1 'B

2H

2EpIp yo ' 4013kNm (3.30)

• Considerações de índole geral

Os resultados obtidos permitem evidenciar claramente a importância do efeito de interacção

cinemática solo-estaca durante a actuação de um sismo, principalmente para as estacas de grande

diâmetro. Em situações reais, tal como se procurou simular no cenário de estudo arbitrado, o

terreno é geralmente constituído por camadas com algum contraste de rigidez. Nestas condições,

a estaca não consegue acompanhar a deformada do terreno originando esforços de interacção

particularmente importantes.

Obtiveram-se valores bastante gravosos, em termos de momentos flectores na zona de transição

entre as camadas A e B (Mr1=0.16 a 0.20), localizada a um profundidade de 5m. Repare-se que

para esta profundidade (>3d, mesmo para a secção com 1.30m de diâmetro), os esforços devidos

às forças de inércia da superestrutura são já praticamente insignificantes. Salienta-se ainda, que

os esforços de interacção cinemática obtidos são provavelmente superiores aos esforços que

ocorrem na cabeça da estaca devidos às forças de inércia da superestrutura, face à rigidez da

camada superficial A.

Outro aspecto importante ainda por esclarecer, prende-se com a aplicabilidade dos métodos

simplificados apresentados no Capítulo 2. Nestes métodos os deslocamentos horizontais são

entendidos como valores espectrais obtidos a partir de uma análise por espectro de resposta.

Numa situação real, os deslocamentos máximos não ocorrem simultaneamente em todos os

pontos no interior do terreno. A Figura 3.63 mostra a deformada do terreno (em termos de

deslocamentos absolutos) para dois instantes de tempo:

• deformada A: instante para o qual ocorrem os deslocamentos máximos na camada A;

• deformada C: instante para o qual ocorrem os deslocamentos máximos na camada C.

Ao sobrepor nesta mesma figura a curva envolvente dos valores máximos, verifica-se

efectivamente uma certa divergência relativamente à deformada A. Assim, a utilização da

deformada envolvente ou de uma deformada obtida a partir de uma análise simplificada por

espectro de resposta para a estimativa dos esforços na estaca, deverá ser encarada com as devidas

reservas, pois podem conduzir a resultados pouco correctos.

Salienta-se ainda que, a estratificação do terreno e o comportamento não linear do solo conduziu

a uma deformada que se afasta muito do andamento sinusoidal admitido no método simplificado

de Soulomiac (1986), apresentado no Capítulo 2. No caso de se aplicar tal formulação

simplificada, ser-se-ia conduzido a:


3-32

M1 '6EpIp

L 2yo ' 5270kNm (3.31)

em que H (=10m) é a espessura da camada aluvionar B e yo (=0.04m) é o deslocamento relativo

da estaca entre o topo e a base da camada aluvionar (neste caso particular os deslocamentos da

estaca são praticamente iguais aos deslocamentos do campo livre).

Observando com mais cuidado a deformada da estaca, constata-se a semelhança com a da barra

bi-encastrada sujeita a um deslocamento imposto de yo. Para o instante de tempo mais

desfavorável (instante A) obteve-se yo=0.07m. Nestas condições, o momento flector nos apoios

é dado por:

em que L é o comprimento total da estaca, isto é, 18m.

Na análise dinâmica (modelo BDWF), obteve-se para M1 o valor máximo de 4390kNm, e

portanto, dentro do intervalo de variação dos resultados obtidos nos métodos simplificados. Este

exemplo serve para mostrar que os métodos simplificados se revelam por vezes apropriados e

que poderão servir de orientação a título de pré-dimensionamento.

0

5

10

15

20

Prof

. (m

)

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1

envolvente máx. em A máx. em C


u (m)

Figura 3.63 - Deformadas do terreno


3-33

Em termos de esforços transversos, obtiveram-se valores máximos da relação V1/VRd(máx) de

cerca de 0.6. Alerta-se a necessidade de as estacas disporem de armadura transversal, não apenas

no topo e nas zonas próximas de transição entre camadas com grande contraste de rigidez. Aliás,

este estudo revelou que a meio da camada aluvionar B a cerca de 10m de profundidade ocorrem

esforços transversos da mesma ordem de grandeza ou até superiores àqueles que ocorrem na

camada A, como se pode constatar da Figura 3.40.

Quanto à zona de transição da camada aluvionar para o estrato competente, ocorrem esforços de

interacção ainda mais gravosos.

Se por razões de ordem económica ou por razões construtivas, não for viável dimensionar a estaca

para resistir a estes esforços de interacção cinemática em regime elástico, há que tomar as devidos

cuidados quanto à disposição das armaduras no sentido de garantir uma certa ductilidade à estaca

e de garantir a transmissão das cargas verticais ao estrato competente.

Como nota final, salienta-se ainda que para situações onde possam ocorrer fenómenos de

liquefacção e portanto a ocorrência de grandes deslocamentos horizontais no terreno, o efeito de

interacção cinemática torna-se num problema ainda mais dramático podendo causar grandes

estragos ou mesmo a ruína da superestrutura por perda de equilíbrio global, ou por deformações

excessivas. Casos reais ilustrativos desta situação encontram-se bem relatados na literatura para

o caso do sismo de Kobe de 1995.

3.5.3.2 - Influência do parâmetro R((((

Conforme, já referido anteriormente, a resposta dinâmica calculada com base no método linear

equivalente não é, segundo a opinião de alguns autores, muito sensível ao parâmetro R(.

Para esclarecer este aspecto, repetiram-se os cálculos para o sismo de Kobe (normalizado para

a aceleração máxima de 0.2g), mas adoptando agora para o coeficiente R( o valor unitário, em

vez de R(=0.65.

A Figura 3.64 mostra a resposta do campo livre em termos de acelerações no ponto médio da

camada mais superficial (camada 1 - Figura 3.30) para R(=0.65 e R(=1. Representa-se também

nesta mesma figura a história de acelerações que foi imposta no topo do substrato rígido.


3-34

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

a (g

)

0 5 10

t (s)

topo do substrato

Kobe-JMA (1995)

camada 1: Rγ = 0.65 camada 1: Rγ = 1

Figura 3.64 - Aceleração a meio da camada 1 para R((((=0.65 e R((((=1

A análise desta figura permite verificar efectivamente, que as duas respostas em termos de

acelerações são muito próximas. Ao contrário do que seria de esperar à partida, observam-se

curiosamente maiores amplificações para o caso de R(=0.65. A adopção de um valor de R( mais

elevado traduz-se numa maior redução da rigidez mas ao mesmo tempo num aumento do nível

de amortecimento no sistema. Neste caso particular, o segundo efeito foi dominante explicando

assim os resultados apresentados.

Em termos de esforços, a Figura 3.65 mostra a história de momentos flectores (M1) na secção

mais solicitada junto à zona de transição entre as camadas A e B. Esta figura mostra claramente

que a resposta dinâmica em termos de esforços também não é particularmente sensível ao

coeficiente R(, no caso do cenário particular analisado.

-6000

-4000

-2000

0

2000

4000

6000

M1

(kN

m)

0 5 10

t (s)

Kobe-JMA (1995)

Rγ = 0.65 Rγ = 1

Figura 3.65 - M1 para R((((=0.65 e R((((=1


3-35

Mmáx(t) ' 0Mmáx(T) (3.32)

3.5.3.3 - Domínio da frequência versus domínio do tempo

Como se viu, a resposta dinâmica é altamente sensível às características relativas de frequência

da excitação e das funções de transferência do sistema solo-estaca. A Figura 3.66 mostra, para

o cenário particular analisado, o andamento típico dos diagramas dos esforços máximos (em

termos de valor absoluto) no domínio do tempo e no domínio da frequência (em regime de

vibração permanente), normalizados para a mesma aceleração máxima.

0

5

10

15

20

Pro

f. (

m)

|M| , |V|

M(tempo) V(tempo) M(frequência) V(frequência)

Camada A

Camada B

Camada C

Figura 3.66 - Esforços máximos nos domínios do tempo e da frequência

Contata-se efectivamente, que os diagramas têm o mesmo andamento qualitativo.

Nikolaou e Gazetas (1997) propuseram a ideia de estabelecer uma correlação entre os valores dos

momentos flectores máximos que ocorrem no domínio do tempo, Mmáx(t), e no domínio da

frequência, Mmáx(T), ou seja:

Efectuaram um estudo paramétrico com base no modelo BDWF em regime elástico linear para

um cenário simples constituído apenas por duas camadas de solo com características homogéneas.

Verificaram que para as acções com período predominante próximo do período fundamental do

sistema havia uma certa tendência do aumento do parâmetro 0 com a duração do sismo ou com

o número de ciclos efectivos da acção sísmica, tomando valores entre 0.3 e 0.5.

Agora com base no estudo de sensibilidade efectuado para um cenário geotécnico mais realista

considerando a estratificação do terreno e o comportamento não linear do solo através do método

linear equivalente (com R(=0.65), seria interessante estabelecer o mesmo tipo de correlação entre

os resultados obtidos no domínio do tempo e no domínio da frequência. A Figura 3.67 mostra

os valores de 0 obtidos para o momento flector máximo M1 na zona de transição entre as

camadas A e B, para todos os 36 casos analisados.


3-36

amáx (g)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

η

0.1 0.15 0.2

Kobe-JMA (1995) Arménia (1988)

Lisboa E-W (1969) Faial (1998)

d=0.50, 0.80 e 1.30m

Figura 3.67 - Factor 0000 relativo a M1

A análise desta Figura 3.67 permite concluir o seguinte:

• a influência do diâmetro da estaca é praticamente insignificante;

• a aceleração máxima do sismo também não afectou de forma significativa o parâmetro 0;

• o aspecto principal prende-se essencialmente em verificar se a frequência fundamental do

sistema solo-estaca está ou não dentro da gama de frequências predominantes do sismo. Os

sismos de Kobe, de Arménia e de Lisboa E-W conduziram a valores semelhantes de 0 de cerca

de 0.4. Note-se que, para o sismo de Lisboa E-W os valores mais elevados de 0 só foram

atingidos para a situação correspondente a amáx=0.2g. Pois, só para este nível de aceleração

mais elevado é que se verificou uma maior perda de rigidez do sistema, movendo-se a

frequência fundamental do terreno para a zona das frequências predominantes do sismo

(f<1Hz). Para o sismo de Faial, os valores reduzidos de 0 devem-se ao facto de a frequência

fundamental do terreno estar fora da zona das frequências predominantes do sismo;

• estes resultados confirmam de certa forma os valores obtidos anteriormente por Nikolaou e

Gazetas (1997), mostrando de forma clara que o parâmetro 0 em situações mais desfavoráveis

poderá tomar valores de cerca de 0.4 a 0.5.

Este parâmetro 0 poderá revelar-se de grande utilidade em termos práticos de dimensionamento.

Pois, após a escolha de um cenário com as propriedades compatíveis que se revelam mais

desfavoráveis, basta efectuar um único cálculo dinâmico em regime de vibração permanente para

uma frequência próxima da frequência fundamental do terreno.

Mais estudos de sensibilidade serão necessários para poder sustentar uma nova filosofia de

dimensionamento com base no parâmetro 0, e correlações semelhantes poderão ser obtidas para

outros esforços internos ou deslocamentos.

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