Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial Aerodinâmica I

2º Semestre 2014/15 1º Exame, 9 de Junho de 2015 Nome : Hora : 11:30 Número: Duração : 3 horas 1ª Parte : Sem consulta 2ª Parte : Consulta limitada a livros de texto e folhas da disciplina

1ª Parte

Em cada alínea, assinale com verdadeiro (V) ou falso (F) cada um dos quadrados, sabendo que podem existir todas as combinações possíveis de verdadeiro e falso. A cotação das respostas é a seguinte: Quadrado correctamente preenchido 0,25 valores. Quadrado em branco 0 Quadrado incorrectamente preenchido -0,15 valores.

1. Num perfil sustentador a pequenos ângulos de ataque

V e em fluido perfeito, o ângulo de sustentação nula depende da curvatura do perfil.

F o bordo de ataque é sempre um ponto de estagnação.

V a variação do coeficiente de sustentação com o ângulo de ataque é linear e o declive da recta depende da espessura do perfil.

V e em escoamento subsónico (número de Mach menor do que o Mach crítico), o coeficiente de sustentação a um determinado ângulo de ataque depende do número de Mach.

2. O potencial complexo ( ) 4zzW = com iiz x y re θ= + = define o escoamento bi-

dimensional, incompressível e irrotacional em torno de um diedro de ângulo αααα.

F 8

πα = .

V A função de corrente ( )θψ 4sen4r= .

V As linhas de pressão constante (isobáricas) são circunferências ( constanter = ).

V A componente vertical da velocidade, V , ao longo do eixo imaginário positivo é igual a34yV = .

3. A figura em baixo ilustra o escoamento em torno de três corpos distintos.

V O corpo que exibe um coeficiente de resistência menos dependReynolds é o C.

F O coeficiente de resistência do corpo (tensão de corte na parede)

F O coeficiente de sustentação médio dos três escoamentos é nulo.

V Para o escoamento representado na figura regime laminar.

4. A figura em baixo apresenta o escoamento estacionário, irrotacional, bidimensional e incompressível obtido a partir da sobreposição de um escoamento uniforme de velocidade U e uma linha de singularidades de intensidade

F I=Uh/2.

V A linha de singularidades é uma linha de fontes

V 0=+ BA ψψ .

V A distância da linha de singularidades ao ponto de estagnação é menor do que

A figura em baixo ilustra o escoamento em torno de três corpos distintos.

O corpo que exibe um coeficiente de resistência menos dependente do número de

O coeficiente de resistência do corpo A é essencialmente devido à resistência dede).

O coeficiente de sustentação médio dos três escoamentos é nulo.

Para o escoamento representado na figura B a separação da camada limite ocorre em

A figura em baixo apresenta o escoamento estacionário, irrotacional, bidimensional e incompressível obtido a partir da sobreposição de um escoamento uniforme de

e uma linha de singularidades de intensidade I.

gularidades é uma linha de fontes.

distância da linha de singularidades ao ponto de estagnação é menor do que

A figura em baixo ilustra o escoamento em torno de três corpos distintos.

ente do número de

é essencialmente devido à resistência de atrito

da limite ocorre em

A figura em baixo apresenta o escoamento estacionário, irrotacional, bidimensional e incompressível obtido a partir da sobreposição de um escoamento uniforme de

distância da linha de singularidades ao ponto de estagnação é menor do que h.

5. A figura em baixo ilustra dois escoamentoincompressíveis.

V O escoamento do plano escoamento no plano ζζζζ.

F Os dois escoamentos têm a mesma circulação e

V O coeficiente de pressão máxmáximo no plano ζζζζ.

V O coeficiente de pressão mínimo de coeficiente de pressão mínimo do plano

6. A figura em baixo apresenta a distribuição de circulação ângulo de ataque efectivo envergadura (raíz da asa em y=0) de uma asa finita com um alongamento ângulo de ataque de 0º, cuja secção é um perfil simétrico.

F A linha B corresponde ao ângulo de ataque induzido.

V A asa tem afilamento.

F A asa tem torção negativa.

F A linha C corresponde ao coeficiente de sustentação.

y/cr

α

0 1-0.5

0

0.5

1

1.5

2

A

B

A figura em baixo ilustra dois escoamentos estacionários, irrotacionais, bidimensionais e

O escoamento do plano z é obtido aplicando a transformação de Joukowski a

têm a mesma circulação e coeficientes de sustentação idên

O coeficiente de pressão máximo no plano z é menor do que o coeficiente de pressão

coeficiente de pressão mínimo no plano z encontra-se no ponto transformado do ponto de coeficiente de pressão mínimo do plano ζζζζ.

figura em baixo apresenta a distribuição de circulação Γ, coeficiente de sustentação Cângulo de ataque efectivo αe e ângulo de ataque induzido αi ao longo da semienvergadura (raíz da asa em y=0) de uma asa finita com um alongamento

, cuja secção é um perfil simétrico.

corresponde ao ângulo de ataque induzido.

corresponde ao coeficiente de sustentação.

2y/c

r

-Γ/(

U∞c r)

0 1 20

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

C

D

s estacionários, irrotacionais, bidimensionais e

de Joukowski ao

cientes de sustentação idênticos.

que o coeficiente de pressão

se no ponto transformado do ponto

, coeficiente de sustentação Cl, ao longo da semi-

envergadura (raíz da asa em y=0) de uma asa finita com um alongamento Λ=8,57 a um

Cl

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

7. Em escoamento permanente, incompressível e irrotacional de um fluido perfeito

F a função de corrente obedece à equação de Laplace para escoamento bi ou tridimensional.

F a velocidade radial induzida por uma fonte pontual é inversamente proporcional à

distância à fonte d, d

Vr

1∝ .

V não há condições de fronteira para a componente tangencial da velocidade numa superfície sólida.

F só se pode aplicar a equação de Bernoulli ao longo de uma linha de corrente.

8. A figura em baixo apresenta as distribuições de pressão medidas no multimanómetro do Laboratório para ângulos de ataque de -5º graus e 2º graus. As 36 tomadas de pressão medem a pressão total e estática do escoamento à entrada do túnel e 34 pressões estáticas ao longo da secção central da asa incluindo o bordo de ataque e o bordo de fuga.

Ângulo A Ângulo B

V O ângulo de ataque A corresponde a -5º graus.

F O primeiro tubo do multimanómetro (tubo mais à esquerda nas imagens) mede a pressão estática de referência à entrada do túnel.

F Os tubos ímpares (5 a 35) medem a pressão estática no intradorso e os tubos pares (4 a 34) medem a pressão estática no extradorso.

F A pressão estática no bordo de fuga (último tubo) é menor do que a pressão total do escoamento de aproximação porque o bordo de fuga não é um ponto de estagnação.

Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial Aerodinâmica I

2º Semestre 2014/15 1º Exame, 9 de Junho de 2015 Nome : Hora : 11:30 Número: Duração : 3 horas 1ª Parte : Sem consulta 2ª Parte : Consulta limitada a livros de texto e folhas da disciplina

2ª Parte

1. O circuito de arrefecimento de uma fábrica retira um caudal M da margem de um rio com velocidade média U utilizando duas tomadas (A e B) colocadas na margem a uma distância d, tal como ilustra a figura em baixo.

Admita que a água é um fluido perfeito e que o escoamento é permanente, bi-dimensional, incompressível e irrotacional. Despreze o efeito da outra margem do rio (que não está representada na figura). a) Indicando claramente o sistema de eixos que utilizou, escreva o potencial complexo

que representa o escoamento para as seguintes situações: i) Admissão em A e descarga em B. ii) Descarga em A e admissão em B.

O caudal emitido/absorvido pela fonte/poço tem de ser igual a 2M porque apenas metade do caudal é emitido/absorvido para πθ ≤≤0 . Para o sistema de eixos representado em cima temos

i) ( ) ( ) ( )22 lnln dzM

dzM

UzzW −++−=ππ

com πθ ≤≤0 ou 0≥y .

ii) ( ) ( ) ( )22 lnln dzM

dzM

UzzW −−++=ππ

com πθ ≤≤0 ou 0≥y .

b) Qual das soluções anteriores (i ou ii) se deve utilizar para garantir que não há

recirculação de água no circuito de arrefecimento? Justifique a resposta. A existência de recirculação de água no circuito de arrefecimento depende do comportamento das linhas de corrente divisórias. A condição que garante que o caudal emitido pela fonte não é absorvido pelo poço é a existência de um ponto de

estagnação na parede entre A e B, i.e. .022 =∧≤≤− ydxd

Os pontos de estagnação são determinados pela equação 0=dz

dW o que conduz às

seguintes soluções:

i) 2

2

21

Ud

Mdz

π−±= .

ii) 2

2

21

Ud

Mdz

π+±= .

A solução ii) nunca exibe pontos de estagnação entre a fonte e o poço. A linha de corrente divisória inclui a fonte e o poço (os pontos de estagnação estão à esquerda da fonte e à direita do poço) o que quer dizer que todo o caudal emitido pela fonte é absorvido pelo poço.

X X+M -M

A mesma conclusão podia ter sido obtida graficamente analisando as velocidades induzidas por cada um dos três escoamentos elementares que compoem a solução deste escoamento.

É óbvio que não se pode obter pontos de estagnação entre a fonte e o poço. A igualdade de intensidade da fonte e do poço garante que os pontos de estagnação estão à mesma distância da fonte e do poço.

A solução i) conduz a dois pontos de estagnação entre o poço e a fonte para valores

de Ud

Mque garantam raízes reais para os pontos de estagnação. Graficamente, pode-se

ver que só podem existir pontos de estagnação no eixo real entre o poço e a fonte.

Por exemplo, para um valor de 8

π=

Ud

M temos

c) Para uma distância entre tomadas de 50m e uma velocidade média do rio de 0,5m/s, determine o caudal máximo de água Mmax para que não haja recirculação de água no circuito de arrefecimento.

X X-M +M

A situação limite para evitar recirculação de água no circuito de arrefecimento

corresponde a um raíz dupla da equação 2

2

21

Ud

Mdz

π−±= em 0=z . O que

equivale a 6,194

02

12

==⇔=− UdMUd

M π

πm2/s. As linhas de corrente

correspondentes estão ilustradas na figura em baixo.

d) Utilizando como condições de referência (p∞ e U∞=U) a pressão e velocidade no rio a grandes distâncias das tomadas de água, determine a localização dos pontos na margem do rio em que o coeficiente de pressão é igual a zero, Cp=0.

Para as condições de referência dadas ∞=⇒= UUC p

�

0 que em termos de potencial

complexo se escreve UU ±=⇔=dz

dW

dz

dW. Na margem do rio xz = e a

velocidade só tem componente real cujo valor absoluto é igual ao módulo da velocidade.

A montante do poço e a juzante da fonte o módulo da velocidade tem de ser maior do que U e tende para U quando ∞→x . Entre o poço e a fonte a velocidade só se pode satisfazer a condição pretendida se dzdW / for igual a U- , o que equivale a

X X-M +M

2222

111

Ud

M

d

zU

dzdz

MU

ππ−±=⇔−=

+−

−+ .

Para as condições da alínea c) obtem-se 2707,0 dz ±= .

2. Considere o escoamento estacionário, bi-dimensional, potencial e incompressível em

torno de um cilindro circular. O cilindro tem um raio de 1m e está centrado no ponto

( )020;0 ,i do referencial ζ=ξ+iη. O escoamento de aproximação uniforme faz um ângulo

α, (|α|<π/6), com o eixo real ξ e tem uma velocidade com um módulo igual a U∞. No centro do cilindro existe um vórtice com a intensidade necessária para que o ponto de

intersecção do cilindro com o eixo real positivo, ξ=b, seja um ponto de estagnação.

a) Escreva o potencial complexo que representa o escoamento em função do ângulo de

ataque α indicando claramente o sistema de eixos que utilizou.

Para um centro do cilindro dado por 0200 ,o i+=ζ define-se um sistema de coordenadas

auxiliar *** ηξζ i+= dado por ( ) αζζζ i−−= eo

* ou αζζζ ieo

*+= . A circulação Γ

necessária para garantir que o ponto de coordenadas b=ζ é um ponto de estagnação é

igual a ( )βαπ +−=Γ ∞senU4 com ( ) º146,102,002,0 === radarcsenβ . O potencial

complexo é dado por ( ) ( )**

** ln2

1ζ

πζζζ

Γ−

+= ∞ iUW .

b) Determine a gama de ângulos de ataque para a qual o produto das coordenadas reais de todos os pontos de coeficiente de pressão máximo e mínimo é menor do que 0,05.

( )( ) ( )( ) 05,0max

max

min

min<

×

∏∏n

jj

C

n

ii

C ppξξ . nmin é o número de pontos onde o coeficiente de

pressão é mínimo e nmax é o número de pontos onde o coeficiente de pressão é máximo. Para um ângulo de ataque genérico α, existem dois pontos de estagnação em que o coeficiente de pressão é máximo (e igual a 1). A coordenada real destes dois pontos determina-se facilmente a partir da figura em baixo.

( )( )( )( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

+−=

=⇔

++=

=

βαξ

βξ

βαπξ

ξ

2cos

cos

2cos2

1

2

1

max

max

max

max

p

p

p

p

C

C

C

C b

O(s) ponto(s) de coeficiente de pressão mínimo encontram-se na intersecção do eixo perpendicular ao escoamento de aproximação (η*) com a circunferência tal como ilustrado na figura em baixo.

( )( ) ( )

( )( ) ( )ααπ

ξβα

ααπ

ξβα

sen2

3cos

sen2

cos

min

min

=

+=⇒−≤

−=

+=⇒−≥

p

p

C

C

Para satisfazer a condição pedida temos:

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 05,02coscossen05,0

05,02coscossen05,0

21

21

maxmaxmin

maxmaxmin

<+−⇒<⇒−<

<+⇒<⇒−>

βαβαξξξβα

βαβαξξξβα

ppp

ppp

CCC

CCC

As duas inequações não lineares resolvem-se facilmente com um método de iteração de ponto fixo escrevendo:

( ) ( )

( ) ( )º88,2

2coscos

05,0arcsen

º89,22coscos

05,0arcsen

−=⇒

+

−=⇒−≤

=⇒

+=⇒−>

αβαβ

αβα

αβαβ

αβα

o que equivale a uma gama de ângulos de ataque igual a º89,2º88.2 <<− α para

satisfazer a condição ( )( ) ( )( ) 05,0max

max

min

min<

×

∏∏n

jj

C

n

ii

C ppξξ .

Considere a transformação conforme de Joukowski que

transforma o cilindro num perfil sustentador.

c) Represente qualitativamente o escoamento no plano transformado identificando claramente a forma do perfil para o ângulo de ataque α em que o centro de pressão se encontra a meio da corda, 5,0/ =cxcp (com 0/ =cx no bordo de ataque).

Um perfil de Joukowski tem coeficiente de momento de picada em torno do centro do perfil igual a zero para ângulo de ataque igual a 0º. Como o centro de pressão é por definição o ponto em relação ao qual o momento é nulo, o ângulo de ataque é º0=α . Como o cilindro está centrado no eixo imaginário positivo o perfil não tem espessura

0/ =cd e tem curvatura positiva com uma flecha máxima de ( ) .01,0tan2/1/ == βcf

2

com ib

z z x yζζ

= + = +

d) Para o perfil obtido no plano transformado, determine a localização do centro aerodinâmico e o coeficiente de momento em torno do centro aerodinâmico. A localização do centro aerodinâmico para um referencial com a origem no centro do

perfil é dada por

α

α

d

dCd

dC

c

x

l

m

ca

c

= . Para um perfil de Joukowski sem espessura

.4

1

22 −=

−=

π

π

c

xca

Sabendo a localização do centro aerodinâmico pode-se calcular facilmente o coeficiente de momento em torno do centro aerodinâmico utilizando o esquema em cima correspondente a º0=α . .031,0225,0 =×= πβ

camC

3. Uma aeronave que pesa 5078N tem uma asa sem torção com uma área S=8m2. A secção

da asa é um perfil com um ângulo de sustentação nula igual a -2º graus (β=2º graus) em que o efeito da viscosidade no coeficiente de sustentação anula o aumento de sustentação devido à espessura do perfil. A pequenos ângulos de ataque e para números de Reynolds entre 106 e 4×106 o coeficiente de resistência do perfil é igual a Cd=0,006. A voar a 162km/h a altitude constante numa zona com vento frontal a 36km/h e fazendo um ângulo de 5º graus com a direcção horizontal (componente horizontal do vento na

direcção contrária à força de propulsão e componente vertical do vento na direcção contrária ao peso) a força de propulsão é igual a 77,2N. Admita em primeira aproximação que a força de resistência da aeronave se deve apenas à asa. ( 3

ar

2

ar kg/m/s,m 2,11051,1 5 =×= − ρν )

a) Determine o coeficiente de sustentação da asa, CL.

b) Determine o coeficiente de resistência da asa, CD.

Escolhendo um sistema de eixos solidário com a aeronave, a velocidade do escoamento de aproximação U∞ faz um ângulo ε com a direcção horizontal (x) como se ilustra na figura em baixo. A figura apresenta também o equilíbrio entre o peso, a força de propulsão e a força aerodinâmica composta pelas forças de sustentação e resistência.

m/skm/h

m/skm/h

87,014,3)º5sen(

96,549,197)º5cos(

===

==+=

∞

∞

ventoy

ventoaerox

UU

UUU

º909,0arctg

96,549,19722

=

=

==+=

∞

∞

∞∞∞

x

y

yx

U

U

UUU

ε

m/skm/h

O equilíbrio de forças nas direcções x e y conduzem a

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

=+

=−

⇔

=+

=−

∞

∞

WCCSU

TCCSU

WDL

TLD

DL

LD

εερ

εερ

εε

εε

sencos2

1

sencos2

1

sencos

sencos

2

2

em que as únicas incógnitas são CD e CL. A solução é CD=0,0109 e CL=0,35.

c) Estime o valor mínimo do alongamento da asa, Λ.

O coeficiente de resistência da asa pode ser obtido pela soma dos coeficientes de resistência de perfil e de resistência induzida (pela esteira)

iperfil DDD CCC += . Utilizando

a teoria da linha sustentadora podemos determinar iDC em função do alongamento da

asa, Λ , ( )δπ

+Λ

= 12L

D

CC

l. Como o coeficiente de resistência da secção da asa é constante

temos 006,0== dD CCperfil

, pelo que ( )( )δπ

+−

=Λ 12

perfilDD

L

CC

C. O menor valor do

alongamento obtem-se para uma asa com distribuição de circulação elíptica ( 0=δ ) e é igual a 896,7 ≅=Λ .

d) Estime a velocidade de cruzeiro da aeronave numa zona sem vento fazendo as

aproximações que achar necessárias e admitindo que a configuração da asa não se altera.

Admitindo que a distribuição de circulação é elíptica, podemos estimar o ângulo de ataque a que está a funcionar a asa nas condições das alínea anteriores.

º989,10347,035,0180

2

8

1

2

11

==⇒=

+

+

= radαπ

α

ππ

LC

Numa zona sem vento o ângulo de ataque é menor devido à ausência de ε, pelo que

rad019,0º08,1)),),) ==−= εαα cbad o que implica 27,0=LC . A partir do equilíbrio entre

o peso e a força de sustentação obtemos

.2256,622

2

1 2 km/hm/s ==⇔=⇔= ∞∞∞ USC

WUSCUW

L

L ρρ