7/23/2019 Método axiomático

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Agrupamento Gaia Nascente/Escola Básica Anes de Cernache – 15/16

Matemática 9ºano

Resumo: Método axiomático; Retas e Planos; Critérios de Paralelismo e Perpendicularidade Euclidianos

Método axiomático: Teoria. Axiomas. Defini!es" Teoremas. #ema e coro$ário

%roposi!es são determinadas por sentenças declarativas ou afirmações que podem ser verdadeiro ou falsas.Ex:  Aluns mam!feros t"m penas; A soma dos #nulos de um tri#nulo é iual a $%&' raus(ma teoria é um dado con)unto de proposições consideradas verdadeiras.%ro&ar ou demonstrar  uma proposição é mostrar* usando racioc!nios l+icos* que ela resulta de outras consideradas

verdadeiras.

Axiomas  são proposições que se consideram verdadeiras sem se dedu,ir de outras* não demonstradas e éconsiderada como +-via para a construção ou aceitação de uma teoria. Teoria axiomática é uma teoria -aseada numcon)unto de axiomas* em que as proposições verdadeiras são demonstradas e os o-)etos e relações primitivas estão-em definidos* a partir dos quais são dedu,idos teoremas. Aluns exemplos de axiomas clssicos de Euclides: Axioma $: /uas coisas iuais a uma terceira* são iuais entre si. Axioma 0: 1e parcelas iuais forem adicionadas aquantias iuais* os resultados continuarão sendo iuais. Axioma 2: 3 todo é maior que a parte.

(ma defini'o explica o sinificado matemtico de uma palavra* permitindo separar uma classe de o-)etos de outra. Apalavra é eralmente definida em termos de propriedades.Ex$:um inteiro é par se ele é o produto de 0 e outro inteiroEx0: um n4mero natural é ser primo se ele é maior que $ e é divis!vel somente por $ e ele mesmo.

Teoremas  são as mais importantes afirmações matemticas. 3 termo teorema foi introdu,ido por Euclides* nolivro 5Elementos6* para sinificar 7afirmação que pode ser provada7. Em reo* oriinalmente sinificava 7espetculo7ou 7festa7. Atualmente* é mais comum deixar o termo 7teorema7 apenas para certas afirmações que podem ser demonstradas e de rande 7import#ncia matemtica7. Ex: 8eorema de Pitoras  9em qualquer tri#nulo ret#nulo* oquadrado do comprimento da ipotenusa é iual soma dos quadrados dos comprimentos dos catetos<* 8eorema de8ales e 8eorema =ermat.>a ?atemtica* um #ema é uma afirmação ou proposição que serve de -ase ou aux!lio para provar ou demonstrar um

teorema* e é usado como um passo intermédio para atinir um resultado maior* o teorema.(oro$ário é uma afirmação de interesse que é dedu,ida ou de consequ"ncia direta de um teorema.

)ip*tese. Tese. Teorema rec+proco A ,ip*tese  é uma formulação provis+ria* com intenções de ser posteriormente demonstrada ou verificada.>amatemtica* é o con)unto de condições para poder iniciar uma demonstração. Em ?atemtica* ip+tese sinificacon)unto de condições que se supõe serem verdadeiras e que são tomadas como ponto de partida para deduções. ATese exprime aquilo que se pretende demonstrar. Esquematicamente: )ip*tese - Tese 9@ sinifica imp$ica'oEx: >um tri#nulo BACD* se o #nulo A@#nulo * então as medidas dos comprimentos dos lados C@AC* então nesteteorema temos A@ como ip+tese* enquanto C@AC é a tese.Ex: 8eorema de Pitoras: 51e um tri#nulo é ret#nulo* então a soma das medidas dos quadrados dos catetos é iualao quadrado da medida da ipotenusa6. >este teorema a ,ip*tese é 5ser um tri#nulo ret#nulo6 e a Tese é a 5somadas medidas dos quadrados dos catetos é iual ao quadrado da medida da ipotenusa6.

(ondi'o necessária e suficiente>um teorema* di,se que a ip+tese é condi'o suficiente para a tese ocorrer e a tese é condi'o necessária daip+tese* ou se)a* ser tri#nulo ret#nulo* é suficiente para a soma das medidas dos quadrados dos catetos ser iualao quadrado da medida da ipotenusa* e por outro lado* e por outro lado* para um tri#nulo ser ret#nulo* énecessário que a soma das medidas dos quadrados dos catetos se)a iual ao quadrado da medida da ipotenusa.

 A afirmação:6 1e num tri#nulo em que as medidas dos lados são a*-*c* se tem que a2+b

2=c

2

  então o tri#nulo é

ret#nulono vértice oposto ao lado do comprimento c6* é uma afirmação rec!proca do teorema anterior* pois a ip+tese

de um é a tese do do outro e viceversa. Como se verifica o teorema e o seu rec!proco* di,se que a2+b

2=c

2

 é

condi'o necessária e suficiente para o tri#nulo ser ret#nulo.

Axioma euc$idiano de para$e$ismo>um plano* por um ponto P exterior a uma reta* passa uma e uma s+ reta paralela a reta r.

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Noções básicas e Práticas

 F /ois pontos distintos definem uma reta. (m ponto di,se exterior a uma reta se não pertencer reta* isto

é* se a reta não passar por ele. Por qualquer ponto passam uma infinidade de retas.

F 8r"s pontos distintos não colineares 9não pertencentes mesma reta< definem $ plano

 F 1e 0 pontos de uma reta pertencem a um plano então essa reta est contida no plano

  F (m plano tem dimensão dois isto é* possui comprimento e larura. G representado por umparaleloramo e usualmente identificado por uma letra min4scula do alfa-eto reo 9alfa* eta* etc< .

  F /a intersecção de dois planos resulta uma reta 9na fiura é a reta A<

 F 1e as duas retas t"m um e um 4nico ponto em comum então di,emse retas concorrentes.

F 1e as duas retas* concorrentes* formam um #nulo de H&I di,emse retas perpendicu$ares e asua intersecção d um 4nico ponto. 1e as duas retas* concorrentes* formam um #nulo não reto9diferente de H&'< di,emse o0$+1uas e a intersecção destas rectas tam-ém d um 4nico ponto.

F 1e duas retas não t"m nenum ponto em comum di,emse para$e$as e dividemse em 0 rupos. 1e não t"m nenum ponto em comum então as retas di,emseestritamente para$e$as. 1e as duas retas t"m uma infinidade de pontos emcomum* as retas di,emse para$e$as em sentido $ato ou coincidentes.

Modos de definir um p$ano

8r"s pontos nãocolineares

(ma reta e um pontoexterior reta

/uas retas paralelas nãocoincidentes

/uas retas concorrentes

%osi'o re$ati&a de duas retas no espao

Complanares >ão complanaresParalelas Concorrentes

Coincidentes >ão coincidentes

ba   ≡ =∩ ba

2 3

=∩ba

2%3

=∩ba

2 3

 

%osi'o re$ati&a de dois p$anos no espao

Paralelos ConcorrentesCoincidentes >ão Coincidentes

β α   ≡   { }=∩ β α    { }r =∩ β α 

%osi4es re$ati&as de uma reta e um p$ano no espaoParalelos ConcorrentesReta contida no plano Reta exterior ao plano

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α ⊂r  { }=∩α r    { }P=∩α r 

(ritérios de %ara$e$ismo e %erpendicu$aridade

%ara$e$ismo entre uma reta e um p$ano %ara$e$ismo entre dois p$anos1e uma reta é paralela a outra reta contida numplano então é paralela a esse plano.

1e um plano contém duas retas concorrentes paralelasa outro plano* então os planos são paralelos.

1e r JJ s e s ⊂ K então r JJ K. 1e r e s são retas concorrentes deK e r JJ L e s JJ L então K JJ L.

 

%erpendicu$aridade entre uma reta e um p$ano %erpendicu$aridade entre dois p$anos

1e uma recta é perpendicular a duas retas secantes

dum plano então é perpendicular a esse plano

1e um plano contém uma reta perpendicular a

outro plano então os planos são perpendiculares.1e r ⊥  s* r ⊥  t * s e t retasconcorrentes de K* então r ⊥ K. 1e r ⊂ L e r ⊥ K*

então K ⊥ L. 

A$guns dos resu$tados demonstrados por Euc$ides e 1ue est'o associados aoscritérios de perpendicu$aridade e de para$e$ismo 1ue estudámos.

Por um ponto exterior a um plano passa um 4nico plano paralelo ao primeiro./uas retas paralelas que são paralelas a uma terceira 9as 2 não é preciso serem complanares< sãoparalelas entre si.G condição necessria e suficiente para que uma reta se)a paralela a um plano que existe nesse plano umareta paralela dada.G condição necessria e suficiente para que dois planos 9distintos< se)am paralelos que exista um par deretas concorrentes num dos planos que se)am paralelas ao outro plano.1e um plano contém duas retas concorrentes* paralelas a outro plano* então os dois planos são paralelos .

(ma reta é perpendicular a um plano se for perpendicular a todas as retas do plano que passam peloseu pé.

Para que uma recta se)a perpendicular a um plano -asta 9é suficiente< quese)a perpendicular a duas rectas concorrentes desse plano quepassem pelo seu pé.

1e uma reta é perpendicular a duas retas concorrentes de um plano então é perpendicular a esse plano eperpendicular a todas as retas desse plano.1e um plano contém uma reta perpendicular a outro plano então os dois planos são perpendiculares

(m plano corta planos paralelosseundo retas paralelas

/ois planos distintos paralelos a umterceiro são paralelos entre si

/ois planos perpendiculares mesmarecta são paralelos entre si

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/ado um plano alfa 9K< e um ponto P* existe uma 4nica reta perpendicular a K que passa por P. 3 ponto deinterseção da reta com o plano K* é o ponto A* é a pro)eção ortoonal do ponto P so-re K e desinase por pé da perpendicular traçada de P para o plano K. 1e P pertencer a K* a reta perpendicular a K e que contémP desinase por reta normal ao plano em P.