MMéétodo das Fortodo das Forçças as –– Sistema PrincipalSistema Principal

Consideremos o pConsideremos o póórtico plano da figura seguinte. A rrtico plano da figura seguinte. A róótula em Dtula em D

expressa que não hexpressa que não háá transmissão de momento fletor da barra CDtransmissão de momento fletor da barra CD

para a extremidade D das barras BD e DF. Na extremidade D dapara a extremidade D das barras BD e DF. Na extremidade D da

barra CD pode haver apenas forbarra CD pode haver apenas forçça cortante e fora cortante e forçça normal. Aoa normal. Ao

se abrir a parte fechada CDEF na rse abrir a parte fechada CDEF na róótula, altula, aléém das 4 ream das 4 reaçções deões de

apoio, haverapoio, haveráá 6 inc6 incóógnitas. Como no plano temos 3 equagnitas. Como no plano temos 3 equaçções deões de

equilequilííbrio, o grau hiperestbrio, o grau hiperestáático sertico seráá 6 6 –– 3 = 3. (dois internos e3 = 3. (dois internos e

um externo). Abrindo a estrutura em outra seum externo). Abrindo a estrutura em outra seçção, como na seão, como na seççãoão

extrema esquerda da barra CD, haverextrema esquerda da barra CD, haveráá um esforum esforçço a mais o a mais

(momento fletor) que no caso precedente, mas haver(momento fletor) que no caso precedente, mas haveráá tambtambéém m

a equaa equaçção adicional de ão adicional de ΣΣ MMDDCDCD =0. Logo o grau de=0. Logo o grau de

indeterminaindeterminaçção estão estáática independe de como se abre a estrutura.tica independe de como se abre a estrutura.

Escolha do Sistema PrincipalEscolha do Sistema Principal

Exemplo de uma viga de grau hiperestático 2

1) Calcular os diagramas de esfor1) Calcular os diagramas de esforçços solicitantes da viga daos solicitantes da viga da

figura em que as barras têm rigidez EJ, desconsiderando a figura em que as barras têm rigidez EJ, desconsiderando a

deformadeformaçção da forão da forçça cortante e adotando o SP indicado.a cortante e adotando o SP indicado.

A figura seguinte apresenta os estados E0, E1 e E2, juntamente com os

correspondentes diagramas de momento fletor. Os coeficientes dij são:

Obs: Em anObs: Em anáálise de estruturas com barras de mesma rigidez EJ,lise de estruturas com barras de mesma rigidez EJ,

considerando apenas deformaconsiderando apenas deformaçção de momento fletor, as reaão de momento fletor, as reaççõesões

de apoio e os esforde apoio e os esforçços solicitantes independem dessa rigidez.os solicitantes independem dessa rigidez.

A combinaA combinaçção linear E0 + E1 X1 + E2 X2 fornece quaisquerão linear E0 + E1 X1 + E2 X2 fornece quaisquer

esforesforçços no estado E.os no estado E.

Escolha do Sistema Principal Escolha do Sistema Principal -- ExemplosExemplos

Para cada estrutura estão representados dois sistemas principais.

Escolha do Sistema Principal Escolha do Sistema Principal -- ExemplosExemplos

Para cada estrutura estão representados dois sistemas principais.

Escolha do Sistema Principal Escolha do Sistema Principal -- ExemplosExemplos

2) Calcular os diagramas dos esfor2) Calcular os diagramas dos esforçços solicitantes devido a umos solicitantes devido a um

acracrééscimo de temperatura de 17 scimo de temperatura de 17 °°C na face superior da viga e aC na face superior da viga e a

um acrum acrééscimo de 5 scimo de 5 °°C em sua face inferior, tendoC em sua face inferior, tendo--se E = 3,0 x se E = 3,0 x

101077 kN/mkN/m22, , αα = 10= 10--55 //°°C, Jpilar = 0,4202 mC, Jpilar = 0,4202 m44 e Jviga = 2,354 me Jviga = 2,354 m44..

Pilar central engastado no bloco e na viga e apoios nos encontros de primeiro gênero

Coeficientes de Flexibilidade:Coeficientes de Flexibilidade:

Para o cPara o cáálculo dos coeficientes d10 e d20, como as forlculo dos coeficientes d10 e d20, como as forççasas

normais nas barras em que ocorre varianormais nas barras em que ocorre variaçção de temperatura sãoão de temperatura são

nulas, consideraremos apenas a parcela de flexão devida nulas, consideraremos apenas a parcela de flexão devida àà

variavariaçção de temperatura. (ão de temperatura. (∆∆t/h = (5t/h = (5--17)/1,8 = 17)/1,8 = --6,6667 6,6667 °°C/m C/m

Sistema de equações de compatibilidade de deslocamentos

Diagramas de EsforDiagramas de Esforçços Solicitantesos Solicitantes

AplicaAplicaçções do Mões do Méétodo das Fortodo das Forççasas

a) Vigas simples: calcular o DMF para a viga da figura.a) Vigas simples: calcular o DMF para a viga da figura.

Como EJ é constante, calcularemos, ao invés dos deslocamentos

reais, seus valores multiplicados por EJ.

Utilizando as tabelas:Utilizando as tabelas:

d11 = 1/3 x 1 x 1 x 8,00 = 2,67d11 = 1/3 x 1 x 1 x 8,00 = 2,67

d10 = 1/3 x 1 x 24 x 8 = 64,00 X1 = d10 = 1/3 x 1 x 24 x 8 = 64,00 X1 = --64,00/2,67 = 64,00/2,67 = --2424

M = M0 + M1 X1M = M0 + M1 X1

MA = 0 + 1 x (MA = 0 + 1 x (--24) = 24) = --24 24

MB = 0 + 0 x (MB = 0 + 0 x (--24) = 0 24) = 0

Calcule o DMF e as reaCalcule o DMF e as reaçções de apoio para a viga. ões de apoio para a viga.

Aplicar hiperestáticos no ponto A

b) Vigas contb) Vigas contíínuas: calcular o DMF para a viga da figura.nuas: calcular o DMF para a viga da figura.

Normalmente, tomamos como sistema principal uma sNormalmente, tomamos como sistema principal uma séérierie

de vigas rotuladas nos extremos, como mostra a figura. de vigas rotuladas nos extremos, como mostra a figura.

Os diagramas auxiliares são constituídos por triângulos

com momentos unitários e os diagramas M0 coincidem

com diagramas de cargas de vigas em dois apoios simples.

Para os coeficientes dk0, as expressões dependem do tipo de Para os coeficientes dk0, as expressões dependem do tipo de

carregamento. Estas expressões coincidem com as rotacarregamento. Estas expressões coincidem com as rotaçções nosões nos

extremos das vigas em dois apoios simples para o carregamentoextremos das vigas em dois apoios simples para o carregamento

dado. No caso de carga uniformemente distribudado. No caso de carga uniformemente distribuíída, temos:da, temos:

c) Exercc) Exercíício para casa: calcular o DMF para a viga da figura. cio para casa: calcular o DMF para a viga da figura.

Respostas:

M1 = -39,18 kNm

M2 = -61,41 kNm

d) Quadros simples retangulares: calcular o DMF para o quadro.d) Quadros simples retangulares: calcular o DMF para o quadro.

X1 = 1 e HA = 1/3 X1 = 1/3

Os comprimentos elásticos são: (Jb = 200 dm4)

L’1 = L’3 = (200/100) x 3,00 = 6,00

L’2 = (200/200) x 8,00 = 8,00

d11 = 1/3 x 6,00 + 8,00 + 1/3 x 6,00 = 12,00 d11 = 1/3 x 6,00 + 8,00 + 1/3 x 6,00 = 12,00

Ma = 0 + (-1) x 8,11 = -8,11 kNm

Mb = -6 + (-1) x 8,11 = -14,11 kNm

Mc = q.a.b/2 + P.a.b/L = 2 x 2 x 6/2 + 8 x 2 x 6/8 = 24 kNm

y1= qa2/8 = 2 x 62/8 = 9 kNm; y2= qb2/8 = 2 x 22/8 = 1 kNm

MarcandoMarcando--se o valor de Mc a partir da linha de fechamento e,se o valor de Mc a partir da linha de fechamento e,

em seguida, as ordenadas y1 e y2, completamos o diagramaem seguida, as ordenadas y1 e y2, completamos o diagrama

para a barra horizontal, sendo que para as hastes verticais opara a barra horizontal, sendo que para as hastes verticais os s

diagramas são lineares. diagramas são lineares.

e) Trelie) Treliçças:as:

Carregamento Externo N0 Hiperestático X1 = 1

N0: ResoluN0: Resoluçção de uma trelião de uma treliçça isosta isostáática tica

DeterminaDeterminaçção de N01, N02, N03, ..., N0não de N01, N02, N03, ..., N0n

N0i = 0; E d10 = N0i = 0; E d10 = ΣΣ N1j N0j Lj / SjN1j N0j Lj / Sj

N1: ResoluN1: Resoluçção de uma trelião de uma treliçça isosta isostáática (X1 = 1) tica (X1 = 1)

DeterminaDeterminaçção de N11, N12, N13, ..., N1não de N11, N12, N13, ..., N1n

N1i = 1; E d11 = N1i = 1; E d11 = ΣΣ N1j N1j Lj / SjN1j N1j Lj / Sj

d10 + d11 X1 = 0d10 + d11 X1 = 0

N = N0 + N1 X1N = N0 + N1 X1

Calcular o Diagrama de EsforCalcular o Diagrama de Esforçços Normais para a trelios Normais para a treliçça:a:

A = 0,01 mA = 0,01 m22

f) Quadros poligonais: Calcular o DMF para o quadro.f) Quadros poligonais: Calcular o DMF para o quadro.

Comprimento da barra inclinada: SQRT(8,002 + 4,002) = 8,95 m

Comprimentos elComprimentos eláásticos: (Jbsticos: (Jbáásico = 100 dmsico = 100 dm44))

L1L1’’ = L1 = L4= L1 = L4’’ = L4 = 6,00 m= L4 = 6,00 m

L2L2’’ = L3= L3’’ = 8,95 x 100/74,5 = 12,00 m= 8,95 x 100/74,5 = 12,00 m

Coeficientes de flexibilidade: (metade do quadro)Coeficientes de flexibilidade: (metade do quadro)

d11 = 1/3 x (d11 = 1/3 x (--1) x (1) x (--1) x 6 + 1/3 x (11) x 6 + 1/3 x (122 + 1,667+ 1,66722 + +

1,667 x 1) x 12 = 23,781,667 x 1) x 12 = 23,78

Carga uniforme:Carga uniforme:

d10d10’’ = = --1/12 x 32 x (3 x 1,667 + 3 x 1 ) = 1/12 x 32 x (3 x 1,667 + 3 x 1 ) = --362,67362,67

Carga concentrada:Carga concentrada:

d10d10’’’’ = = --1/6 x 40 x (2 x 1,667 + 1) = 1/6 x 40 x (2 x 1,667 + 1) = --346,67346,67

Carga dos balanCarga dos balançços:os:

d10d10’’’’’’ = 1/2 x (1,667 + 1) x 10 x 12 = 160,00= 1/2 x (1,667 + 1) x 10 x 12 = 160,00

Total:Total:

d10 = d10 = --362,67 + 362,67 + --346,67 + 160,00 = 346,67 + 160,00 = --549,33 549,33

X1 = 549,33/23,78 = 23,10X1 = 549,33/23,78 = 23,10

Momentos Fletores:Momentos Fletores:

M1 = M1 = --10 + (10 + (--1) x 23,10 = 1) x 23,10 = --33,10 kNm33,10 kNm

M2 = 32 + 40 M2 = 32 + 40 –– 10 + (10 + (--1,667) x 23,10 = 23,50 kNm1,667) x 23,10 = 23,50 kNm

Diagrama Final para a metade do quadro:Diagrama Final para a metade do quadro:

ExercExercíício para casa:cio para casa:

Calcular o DMF para o quadro da figura. Calcular o DMF para o quadro da figura.

Cargas:

qv = qi cos α

qh = qi sen α

Comprimentos:

(1 m inclinado)

cos α na horizontal

sen α na vertical

qvertical / mhorizontal = qi cos α / cos α = qi

qhorizontal / mvertical = qi sen α / sen α = qi

Estruturas com Tirantes:Estruturas com Tirantes:

O tirante trabalha apenas à tração. Se, após o cálculo da

estrutura, o sinal da força no tirante indicar um esforçode compressão, o tirante não funcionará.

Hipótese 1: Tirante indeformável

No cálculo dos tirantes indeformáveis, leva-se em conta

apenas a influência dos momentos fletores.

Hipótese 2: Tirante deformável ou elástico

Neste caso deve-se incluir no cálculo dos coeficientes o

trabalho virtual devido ao esforço normal no tirante.

dki (tirante) = ∫ (Nk Ni / Et At) dx

E Jb dki (tirante) = Nk Ni E Jb L/ Et At

No caso do exemplo da figura:

d22 (tirante) = (N2)2 (E / Et) (Jb / At) L

Se considerarmos E = Et:

d22 (tirante) = (N2)2 (Jb / At) L

ExercExercíício: resolver a estrutura com tirante da figura. cio: resolver a estrutura com tirante da figura.

Comprimentos elásticos: L1’ = 6,00 m; L2’ = 12,00 m.

Considerando para SP o quadro simples isostConsiderando para SP o quadro simples isostáático da figura, astico da figura, as

incincóógnitas serão: X1 = 6 H e X2 = 4 N, sendo H a forgnitas serão: X1 = 6 H e X2 = 4 N, sendo H a forçça horizontal naa horizontal na

rróótula esquerda e N o esfortula esquerda e N o esforçço no tirante. o no tirante.

Coeficientes: (quadro todo)Coeficientes: (quadro todo)

E Jb d11 = 2 x [1/3 x 1 x 1 x 6 + 1/3 (1E Jb d11 = 2 x [1/3 x 1 x 1 x 6 + 1/3 (122 + 1,667+ 1,66722 + +

1 x 1,667) x 12 = 47,561 x 1,667) x 12 = 47,56

E Jb d22 = 2 x 1/3 x 1 x 1 x 12 = 8,00E Jb d22 = 2 x 1/3 x 1 x 1 x 12 = 8,00

E Jb d12 = 2 x [1/6 x 1 x (2 x 1,667 + 1) x 12 = 17,33E Jb d12 = 2 x [1/6 x 1 x (2 x 1,667 + 1) x 12 = 17,33

Apenas Carga Uniforme:Apenas Carga Uniforme:

E Jb d10 = 2 x [E Jb d10 = 2 x [--1/12 x 32 x (5 x 1,667 + 3 x 1) x 12] =1/12 x 32 x (5 x 1,667 + 3 x 1) x 12] =

--725,33725,33

E Jb d20 = E Jb d20 = --2 x 5/12 x 32 x 1 x 12 = 2 x 5/12 x 32 x 1 x 12 = --320320

Resolvendo o sistema:Resolvendo o sistema:

X1 = 3,20 e X2 = 33,07 (traX1 = 3,20 e X2 = 33,07 (traçção no tirante)ão no tirante)

M1 = M1 = --3,20 e M2 = 32 3,20 e M2 = 32 –– 1,667 x 3,20 1,667 x 3,20 –– 1 x 33,07 = 1 x 33,07 = --6,40 6,40

Carga Horizontal: (Sempre em conjunto com a carga uniforme)Carga Horizontal: (Sempre em conjunto com a carga uniforme)

E Jb d10 = 1/6 x 14 x (2 x 1,667 + 1) x 12 + 1/6 x [14 x (2 xE Jb d10 = 1/6 x 14 x (2 x 1,667 + 1) x 12 + 1/6 x [14 x (2 x

1,667 + 1) + 12 x (2 x 1 + 1,667)] x 12 + 1/1,667 + 1) + 12 x (2 x 1 + 1,667)] x 12 + 1/3 x 12 x 13 x 12 x 1

x 6 = 354,67x 6 = 354,67

E Jb d20 = 1/3 x 14 x 1 x 12 + 1/6 x 1 x (2 x 14 + 12) x 12 =E Jb d20 = 1/3 x 14 x 1 x 12 + 1/6 x 1 x (2 x 14 + 12) x 12 =

136,00 136,00

Resolvendo o sistema para o carregamento total:Resolvendo o sistema para o carregamento total:

d10 = d10 = --725,33 + 354,67 = 725,33 + 354,67 = --370,67370,67

d20 = d20 = --320,00 + 136,00 = 320,00 + 136,00 = --184,00184,00

X1 = 2,80 e X2 = 29,06 (ainda traX1 = 2,80 e X2 = 29,06 (ainda traçção)ão)

M1 = 2,80; M1 = 2,80;

M2 = 32 M2 = 32 –– 14 + 1,667 x 2,80 14 + 1,667 x 2,80 –– 1 x 29,06 = 1 x 29,06 = --6,406,40

M3 = M3 = --12 + 2,80 = 12 + 2,80 = --9,20 9,20

Vamos resolver agora o exercVamos resolver agora o exercíício considerando umcio considerando um

tirante eltirante eláástico com stico com áárea de 4 cmrea de 4 cm2 2 (a(açço). o).

Assim, d22 = dAssim, d22 = d’’22(tirante r22(tirante ríígido) + dgido) + dtt2222

ddtt22 = N222 = N222 x (E / Et) x (Jb / At) x Lx (E / Et) x (Jb / At) x L

Jb = 100 dmJb = 100 dm44; At = 4 cm; At = 4 cm22; N2 = 1/4; Et = 10 E (concreto); N2 = 1/4; Et = 10 E (concreto)

ddtt22 = (1/4)22 = (1/4)22 x (1/10) x (100 x 10x (1/10) x (100 x 10--44/4 x 10/4 x 10--44) x 16 = 2,50) x 16 = 2,50

d22 = 8,00 + 2,50 = 10,50d22 = 8,00 + 2,50 = 10,50

Resolvendo os sistemas:Resolvendo os sistemas:

47,56 X1 + 17,33 X2 = 725,33 X1 = 10,40 e X2 = 13,3147,56 X1 + 17,33 X2 = 725,33 X1 = 10,40 e X2 = 13,31

17,33 X1 + 10,50 X2 = 320,00 (carga uniforme) 17,33 X1 + 10,50 X2 = 320,00 (carga uniforme)

47,56 X1 + 17,33 X2 = 370,67 X1 = 3,53 e X2 = 11,69 47,56 X1 + 17,33 X2 = 370,67 X1 = 3,53 e X2 = 11,69

17,33 X1 + 10,50 X2 = 184,00 (carga total)17,33 X1 + 10,50 X2 = 184,00 (carga total)

Carga uniforme: Carga uniforme:

M1 = M1 = --10,40 10,40

M2 = 32 M2 = 32 –– 1,667 x 10,40 1,667 x 10,40 –– 1 x 13,31 = 1,351 x 13,31 = 1,35

Carga total:Carga total:

M1 = M1 = --3,53; M2 = 32 3,53; M2 = 32 --14 14 –– 1,667 x 3,53 1,667 x 3,53 –– 1 x 11,69 = 0,431 x 11,69 = 0,43

M3 = M3 = --12 12 –– 3,53 = 3,53 = --15,53 15,53