MTODO DE MONTE CARLO.1. INTRODUONos ltimos anos, graas aos avanos dos computadores (hardware), das tcnicas de programao (software) em contraposio das grandes dificuldades exigidas dos mtodos tradicionais experimentais de alterar certos parmetros fsicos aplicados ao estudo das propriedades dosfenmenos crticos, assimulaes computacionais, queantes usavaum conjunto de operaes no qual deveria se repetir centenas de vezes, agora passou a ser feita de umanica vezfacilitandoaobtenodos resultados, passandoaexercer umaprofunda influncia no progresso das pesquisas em Mecnica Estatstica [1]. NaMecnicaEstatsticaassimulaescomputacionaistmcomoprincpiodeque com umcomputador e umprograma que tenha sido construdo apropriadamente, ir servir parasimularumcomportamentorealdeumensembledesistemas, deformaaobteruma anlise estatstica da trajetria nos permitindo estimar determinadas previses das propriedades do mesmo.H duas classes gerais de simulaes: O Mtodo da Dinmica Molecular, e o Mtodo deMonteCarlo(MMC). Esteltimomuitoutilizadoparaoestudodocomportamento termodinmico de sistemas macroscpicos, cuja diferena do mtodo de dinmica molecular ousodeumasequnciadenmerosaleatrios[2]. NestetrabalhousaremosoMMCem modelos de rede de Ising.OMMCemfsica computacional possivelmente uma das mais importantes ferramentas de abordagensnumricaspara estudar os problemasmatemticos que abrangem todas asdisciplinas cientficas, tais como, fsica, qumica e at das cincias sociais e econmicas [3,4].Aideia desse mtodo baseia-se na realizao de experimentos de amostragemestatsticaemcomputador dasconfiguraes dosistemaaser estudado, que dependem de parmetros com N-pontosem M-dimensesde espao para calcular os valores aproximados das grandezas desse sistema usando nmeros aleatrios..2. HISTRIA DO MTODO DE MONTE CARLO1OMMC surgiu nosanosquarenta durante o projeto Manhattan na Segunda Guerra Mundial pelosfsicosS. Ulam, E. Fermi, JVonNeumanneN. Metropolis(entreoutros) trabalhando no projeto de armas nucleares no laboratrio Nacional Los Alamos. Eles consideraram a possibilidade da utilizao desse mtodo, que envolvia a simulao direta de problemasprobabilsticosrelacionados com o coeficiente dedifusodonutron emcertos materiais. Apesar de chamar a ateno dos cientistas, o desenvolvimento ordenado dessa ideia teve de aguardar o trabalho de Harris e Herman Kahn em 1948 no qual Fermi, Metropolis e Ulamusaramo MMC para determinar estimativas para autovalores da equao de Schrodinger. Muitoantesdisso, nmerosegrandezasaleatriasjtinhamsidousadosna investigao de problemas matemticos, mas Von Neumann e Ulam em 1945 contriburam para mostrar que vrios problemas matemticos poderiam ser tratados atravs de um anlogo probabilstico [5].O nome desse mtodo uma referncia ao principado de Mnaco,por causa de uma roleta, um gerador de nmeros aleatrio simples. O nome e o desenvolvimento sistemtico do mtodo de Monte Carlo datam de cerca de 1940... MEDIDAS DE GRANDEZAS TERMODINMICASAmecnica estatstica de equilbrio tempor objetivo descrever as propriedades macroscpicasdeumsistemapormeiodemdiassobreosseusestadosmicroscpicose descritas por meio do ensemblecannico. A funo de partio, a partir da qual possvel obter as propriedades termodinmicas dosistema, paraumsistemaemcontatocomum reservatrio trmico temperatura T, pode ser escrita como: iEiT k Ei B ie e Z(.1)onde T kB1 , (Bk a constante de Boltzmann) e T a temperatura e onde a soma feita sobretodososestadosidosistemacomenergiaEie, portanto, dependedotamanhodo sistema e o nmero de graus de liberdade para cada partcula. Tambm possvel escrever a funo de partio para sistemas sujeitos a alguma outra restrio alm da temperatura, como por exemplo, serem mantidos a presso constante ou submetidos a campos magnticos. 2Uma quantidade que pode ser definida a partir da Eq. (.1) e que estabelece a relao entre atermodinmica eaparteestatstica chamadadistribuio de Boltzmann, a qual dada pela seguinte expresso:iEieZp 1(.2)e estabelece a probabilidade do sistema ser encontrado em um dado estado microscpico i. Comoconhecimentodestaprobabilidade, possvel calcular ovalor esperadoQdo observvel Q por meio da expresso: iEi iiiie QZp Q Q1(.3)ou seja, a mdia do observvel os microestados i ponderada pelo peso de Boltzmann de cada estado.Uma vez que determinamos os potenciais de interao entre as partculas e os vnculos aos quais o sistema est submetido, podemos escrever a funo de partio. O problema est na realizao explcita doclculo devido ao nmero muito grande de microestados no somatrio da Eq. (.1). Neste contexto, modelos bastante simplificados se tornam importantes natentativadedescrever osfenmenosfsicosobservadosemsistemasreais(muitomais complexos), dentre os quais destacamos o modelo de Ising [6]. A soluo usual para sistemas grandes realizar o clculo utilizando apenas um subespao dos estados do sistema, o que implica em tornar os resultados imprecisos. Nas simulaes de MC escolhe-se aleatoriamente um subconjunto com N estados de acordo com uma dada distribuio de probabilidade pi. A estimativa dada pela quantidade Q, medida por: NiEiNiEi iNiie pe p QQ1111(.4)NQ, oestimador deQ,torna-se uma estimativa mais precisa deQa medida queN aumenta, no limite em que N, temos Q QN. Dois detalhes a considerar: (1) se os Nestados forem escolhidos ao acaso, isto , todos tem a mesma probabilidade, apenas uma frao muito pequena do espao de fase do sistema ser usada no calculo do estimador; (2) 3diz respeito a contribuio dos estados visitados no clculo do estimador, j que o peso de Boltzmann uma funo exponencial, somente estados com energias prximas do estado de equilbrio tero uma contribuio expressiva na soma.Comafunodepartiopodemosdeterminar asfunestermodinmicas. Assim vamos definir: Energia interna, calor especfico, entropia e susceptibilidade magntica. A energia interna U do sistema calculado pelo valor mdio de E esperado para a energia, da seguinte forma,iEiie EZU1(.5)Com as equaes (.2) e (.4) temos: iEiiEZU e E eZi i (.6)ou seja,.log 1 Z ZZU (.7)J o calor especfico C obtido atravs da derivao da energia interna U, assim:.12 UT kUT TUCB(.8)Partindo da equao (.6), conclui-se que:222logZk CB(.9)A entropia determinada por:

,_

ZZZ kTFSBln (.10)onde Z T k F ln0 a energia livre de Helmholtz.A susceptibilidade magntica mede a resposta na magnetizao devido variao do campo magntico. Assim temos:41221

,_

,_

,_

TT TTMFMHHM (.11)j que, HMFH ,_

(.12)Com isso, temos.( )22 2z z BS S (.13).4. AMOSTRAGEM E ALEATORIEDADEA amostragem aleatria simples o tipo de amostragem probabilstica mais utilizada. D exatido e eficcia amostragem, alm de ser o procedimento mais fcil de ser aplicado a todos os elementos do sistema a ser estudado, que tem a mesma probabilidade de pertencerem amostra. O processo consiste em selecionar uma amostra n a partir de um sistema N. Geralmente a seleo feita sem reposio e cada amostra feita unidade a unidade at que se atinja o nmero pr-determinado.A palavra aleatoriedade utilizada para exprimir quebra de ordem,propsito,causa, ou imprevisibilidade em uma terminologia no cientfica. Um processo aleatrio o processo repetitivo cujo resultado no descreve um padro determinstico, mas segue uma distribuio de probabilidade. O termo aleatrio freqentemente utilizado em estatsticapara designar umapropriedadeestatsticabemdefinidatal comoumaquebradeumaneutralidadeou correlao. Um nmero aleatrio um nmero que pertence a uma srie numrica e no pode ser previsto a partir dos membros anteriores da srie. O conceito de nmero aleatrio um conceito relativo srie numrica a que o nmero pertence. Um nmero pode ser aleatrio numa srie numrica e no aleatrio noutra.O fato dos sistemas reais terem um nmero muito grande de estados microscpicos faz com que o resultado das observaes experimentais seja uma manifestao de somente uma parte dos estados do sistema, notadamente aqueles que foram visitados durante a realizao da simulao. Estaobservaoumindcio de que o sistema est realizando uma espcie de amostragem porimportncia,oque fortalece a ideia da possibilidade de determinaodas 5propriedades termodinmicas de interesse, utilizando apenas uma pequena frao dos estados presentes no sistema e com isso preservando a semelhana entre a simulao e experimento.Aformausual dereproduzir as observaes nas simulaes feita por meioda utilizaodeumalgoritmocapazdegerar, apartir deumestadoinicial, outros estados semelhantes de acordo com o seu peso de Boltzmann. Ento, ao invs de escolher os estados de forma uniforme, isso feito de forma que um dado estado i seja escolhido de acordo com a distribuio de Boltzmann. Esta escolha far com que a Eq. (.4) seja:Nii NQNQ11(.14)resultando em uma equao mais simples onde os fatores de Boltzmann foram canceladose no h referncia explcita funo de partio. Como esta expresso funciona muito melhor que a Eq. (.4) devido o sistema est passando a maior parte do tempo em um nmero pequeno de estados j que estes estados sero escolhidos mais frequentemente e que possuem pesos expressosnoclculodoestimador. Sernecessrioummecanismoquepermitaquecada estado escolhido tenha o mesmo peso de Boltzmann, para isso vamos fazer uso dos processos de Markov [6]..4.1. PROCESSOS DE MARKOVEsteconsisteemumaferramentamatemtica, naqual sepodemgerar sucessivos estados independentes do estado anterior. Esse tipo de processo (estocstico) aplicado a um sistema no estado num determinado tempo, o qual gera um estado num tempo seguinte de forma que, se partirmos do mesmo estado inicial, nem sempre ser gerado o mesmo estado final. A probabilidade do estado finalser gerado a partir do estado denominada de probabilidade de transio ( ) Pque caracterizada por depender somente das propriedades dos estados inicial e final, no mais do tempo. O significado que uma vez que osistemaestejanoestadoaprobabilidadedosistemagerar oestadosemprea mesma, no importando o que tenha acontecido anteriormente. As probabilidades de transio esto sujeitas aos vnculos.( ) ( ) 1, 0 P P(.15)6pois a partir do estado, outro estado gerado ou o sistema permanece no estado.Numa simulao de Monte Carlo, uma sequncia de passos realizada nos processos de Markov, o qual d origem a uma cadeia de Markov de estados [6]. A Figura .1 mostra um exemplo dessa cadeia de um sistema com apenas quatro estados. Figura.1-CincosucessivosprocessosdeMarkov, formandoumaCadeiadeMarkovde estados. Temosumsistemacomapenasquatroestadoseinicialmenteeleseencontrano estado=3, eapartirdesteescolhemosaleatoriamenteumnovoestadoseguindoas condies do processo de Markov [9].Partindodestacadeiapodemosestimar aprobabilidadepdeosistemaestar no estado no tempo ( )n nt p t,, dado que este se encontrava num estado anteriormente, 1 nt,( ) ( ) P t p t pn n 1) ((.16)A chamada equao mestra considera a mudana desta probabilidade, com o tempo, ) (nt p, tratado de forma contnua ao invs de discreta [6].( )( ) ( ) ( ) ( ) + P t p P t pdtt dp(.17)A caracterstica principal do processo de Markov pode ser vista na equao mestra: conhecendo o estado inicial do sistema notempotpodemos estimar completamente a evoluo temporal da distribuio de probabilidades que est associada a ele, isto , uma vez que o prximo estado gerado com base no conhecimento do estado anterior.OsprocessosdeMarkovsoindispensveisquandosoexecutadosporumtempo relativamentegrande, poispossvel gerar a comear deles uma sucesso de estadoscom 7probabilidadesobedecendodistribuiodeBoltzmann. Paraqueistoocorraoutrasduas condies devem ser satisfeitas: a ergodicidade e o balano detalhado..4.2. ERGODICIDADEA condio de ergodicidade assegura que qualquer estado do sistema pode ser atingido apartir dequalquer outroestadoviasequnciadeprocessos deMarkov. Estacondio permitequealgumasdasprobabilidadesdetransioentreestadossejamzero, masdeve existir pelo menos umcaminho de probabilidades de transio diferente de zeroentre quaisquer dois estados do sistema. Se isto no ocorrer, um estado no poder ser gerado a partir do estado inicial e a probabilidade do estado p ser zero e no o valor correspondente distribuio de Boltzmann [6]..4.. BALANO DETALHADOO balano detalhado consiste na garantia que quando uma longa cadeia de Markov realizada, a distribuio obtida a distribuio de Boltzmann. Desde que o sistema atinja o equilbrio, as probabilidades de o sistema ir para o estado e sair deste devem ser iguais, isto :( ) ( ) P p P p(.18)Estacondiogaranteaexistnciadeumadistribuiodeequilbrio[7]. Estaa chamada condio de balano detalhado e nos diz que na mdia o sistema deve ir de para damesmaformaqueelevai depara. Estacondiogarantirqueacadeiade Markov ir gerar uma distribuio de probabilidade nica para tempos longos. Desejamos que a distribuio obtida seja a distribuio de Boltzmann, devemos escolher as probabilidades de transio entre os estados para de acordo com a condio:( )( )( ) E EeppPP (.19)Nessas condies, agora se faz a escolha conveniente para a distribuio de probabilidades ( ) P que deve satisfazer as Equaes .15 e .19. Feito isso, s nos resta desenvolver umalgoritmo que implemente a criao da cadeia de Markov de estados, obedecendoacondiodeergodicidade. Emseguida, esperamosqueosistemaalcanceo 8equilbrio de forma que a distribuio de probabilidades de estados p, da Equao .17 seja umadistribuiodeBoltzmann. Passadoessetempopodemoscalcular ovalor mdioda grandeza Q da Equao ...5. ALGORITMO DE METRPOLISNo mtodo clssico de Metropolis, apresentado inicialmente em 1953 em seu artigo [8], as configuraes so geradas a partir de um estado anterior usando uma probabilidade de transio que depende da diferena de energia entre os estados inicial e final. Esse mtodo utilizado como objetivo de determinar valores esperados de propriedades do sistema simulado, atravs de uma mdia sobre uma amostra. As probabilidades de transio so dadas por( )'< > 0 10) (E seE se eS S Wj iE Ei j(.20)onde E = Ei - Ej. Como W(Sj Si) uma grandeza diferente de zero para todos os estados Si e Sj, a condio de ergodicidade obedecida.Previamente devem ser escolhidos o tipo de rede e as condies de contorno usadas na simulao. As configuraes iniciais usuais so aquelas comos spins completamente ordenados ou desordenados. Um novo estado resulta da mudana do valor do spin [10]. Para sistemas de spins, a sequncia do algoritmo de Metropolis consiste no seguinte:1. Especifica-se uma configurao inicial aleatria para os spins, ou seja, comvalores aleatrios para todos os graus de liberdade do sistema, respeitando as suas restries. 2. Um stio de rede escolhido (aleatoriamente ou sequencialmente). 3. Calcula-seavariaodeenergia do sistemaE resultante da mudana do valordo spin.4. SeE0, a configurao deste estado menos provvel, mas no impossvel (segue-se para o passo 5).95. Calcula-se a razo entre as probabilidades que d a transio entre estados devido a uma flutuao.6. Decide-seseaconfigurao do passo 4 deaceitar ou no:para isso,gera-se um nmero aleatrio 0 < A < 1.7.Se Ee A