pgina 1 1.INTRODUO Estetrabalhoexplicaalgumasdasvriasferramentasdoclculo numrico para solucionar problemas matemticos. Em anlise numrica, os mtodos de RungeKutta formam uma famlia importantedemtodositerativosimplcitoseexplcitosparaaresoluo numrica (aproximao) de solues de equaes diferenciais ordinrias. Emtermosmaissimples,osmtodosnumricoscorrespondemaum conjuntodeferramentasoumtodosusadosparaseobterasoluode problemasmatemticosdeformaaproximada,sendoaplicadosaproblemas que no apresentam uma soluo exata. Os sucessores do mtodo de Euler (Serie Taylor) foram sobretudo, Carl RungeeporMartinWilhelmKutta,estesmtodostornaram-sebastante populares devido s suas propriedades e fcil utilizao. pgina 2 2.HISTRICO DA ORIGEM DO MTODO BrookTaylor(Londres,18deagostode1685Londres,30de novembro de 1731) foi um matemtico britnico. Publicouem1719olivroNewPrinciplesofLinearPerspective,umaverso melhorada do seu trabalho pioneiro intitulado Linear Perspective de 1715. Obra que foi revisada por John Colson em 1749 e reeditada em 1811.Taylorrealizouaprimeirainvestigaosatisfatriasobrerefrao astronmico,noentanto,maisconhecidopeloseutrabalhosobreassries que hoje recebem seu nome, publicado em 1715 em Methodus incrementorum directa et inversa.Dito de outra maneira, uma srie de taylor uma expanso de uma srie de funes ao redor de um ponto. No desenvolvimento em Taylor, tem-se:y(x0 + h) = y(x0) + y (x0).h + y(x0).h2/2!+ y(x0).h3/3! + ....Leonhard Paul Euler (Basileia, 15 de abril de 1707 So Petersburgo, 18desetembrode1783)foiumgrandematemticoefsicosuodelngua alem que passou a maior parte de sua vida na Rssia e na Alemanha. Eulerfezimportantesdescobertasemcamposvariadosnosclculose grafos.Eletambmfezmuitascontribuiesparaamatemticamodernano campodaterminologiaenotao,emespecialparaasanlisesmatemticas, como a noo de uma funo matemtica. Almdissoficoufamosoporseustrabalhosemmecnica,ptica,e astronomia.Eulerconsideradoumdosmaisproeminentesmatemticosdo sculoXVIII.UmadeclaraoatribudaaPierre-SimonLaplacemanifestada sobre Euler na sua influncia sobre a matemtica:Em matemtica e cincia computacional, o mtodo de Euler, cujo nome relaciona-secomLeonhardEuler,umprocedimentonumricodeprimeira ordemparasolucionarequaesdiferenciaisordinriascomumvalorinicial dado. o tipo mais bsico de mtodo explcito para integrao numrica para equaes diferenciais ordinrias.pgina 3 O Mtodo de Euler segue o Mtodo de Taylor, mas se limita primeira derivada, ignorando da segunda derivada em diante. Carl David Tolm Runge (Bremen, 30 de Agosto de 1856 Gttingen, 3 de Janeiro de 1927) foi um matemtico alemo. FoiinicialmenteprofessoremHannovereem1904,sobinflunciade FelixKlein,foichamadoparaGttingenparaanovacadeiradematemtica aplicada (a primeira deste tipo na Alemanha). JemHannovercontribuiuparaafsicadaespectroscopia.Em Gttingendesenvolveu,juntamentecomMartinWilhelmKutta,omtodode Runge-Kuttaparaaresoluonumricadeproblemasdevaloresiniciais. Famosatambmsuaobservaodepolinmiosdeinterpolaoeoseu comportamento quando se aumenta o grau do polinmio. MartinWilhelmKutta(Byczyna,3denovembrode1867 Frstenfeldbruck, 25 de dezembro de 1944) foi um matemtico alemo. De1885a1890estudounaUniversidadedeWrocaw,edepois,at 1894, na Universidade de Munique. De 1894 a 1897 foi assistente de Walther von Dyck na Universidade Tcnica de Munique. Em 1898 passou meio ano na UniversidadedeCambridge.De1899a1909foinovamenteassistentede Walther von Dyck. De 1909 a 1910 foi professor na Universidade Friedrich Schiller de Jena, e de 1910 a 1912 foi professor na RWTH Aachen. Em1912foiprofessornaUniversidadedeStuttgart,ondepermaneceu at aposentar-se em 1935. Em 1901, baseado em um artigo de Carl Runge, desenvolveu o Mtodo de Runge-Kutta, utilizado para resolver equaes diferenciais ordinrias. Runge Kutta um dos mtodos mais populares para a integrao da equaodiferencialdeprimeiraordem.Essesmtodosdeaproximaode uma funo se usam da expanso por srie de Taylor.Desta forma, o mtodo y(x0 + h) ~ y(x0) + y (x0).h pgina 4 deRunge-KuttadeprimeiraordemseutilizadaexpansodeTaylorde primeiraordem,omtododeRunge-Kuttadesegundaordemseutilizada expanso de Taylor de segunda ordem, e, assim por diante.Lembrando que o mtodo de Euler equivalente ao mtodo de Runge - Kutta de primeira ordem. 3.MTODO DE RUNGE-KUTTA DE 1 ORDEM MTODO DE EULER O mtodo de Euler um mtodo de srie de Taylor de 1 ordem, como Ento, omtododeEulerquesatisfazastrspropriedadesmencionadasnoitem anterior que o caracterizam como um mtodo de Runge-Kutta de ordem p =1. O mtodo de Euler utilizado para resolver EDO com condies iniciais, o mtodo numrico mais simples. Ele consiste em aproximar a soluoy ( x ),no sentido de uma linearizao, por meio de suas tangentes. Podemos,porm,melhorarestaaproximaosesubdividirmoso intervalo[x0 ;z]emsubintervalosdeamplitudeconstante,genericamente pgina 5 chamadah,ecomosabemoscalcularadireodafunoincgnitay(x)em cada ponto, substituiremos tal funo por um segmentode reta, em cada um destes subintervalos. Estes segmentos tero a direo que ela (funo) tem no incio de cada dos subintervalos.Mtodo de Euler considerando dois subintervalos pgina 6 4.MTODO DE RUNGE-KUTTA CARACTERSTICAS - -Aidiadosmtodosqueestudaremosaproveitarasqualidadesdos mtodosdassriesdeTayloreliminandooseumaiordefeitoqueo clculo de derivadas de f(x,y). - -OsmtodosdeRunge-Kuttadeordempcaracterizam-sepelas propriedades: oSo de passo um (para calcular yi usamos apenas y i-1 ); oNoexigemoclculodequalquerderivadadef(x,y);noentanto, pagam, por isso, o preo de calcular f (x, y) em vrios pontos; -Aps expandir f (x, y) por Taylor para funo de duas variveis em torno de(xn,Yn)eagruparostermossemelhantes,suaexpressocoincide com a do mtodo de srie de Taylor de mesma ordem. -O mtodo de Euler um mtodo de srie de Taylor de 1 ordem: Ento eassimomtododeEuler satisfaz as propriedades acima que o caracteriza como um mtodo de Runge-Kutta de ordem p=11 . 5.PROBLEMA DE VALOR INICIAL EM EQUAES ORDINRIAS Umaequaodiferencialnaqualavariveldependentefunode apenas uma varivel dita equao diferencial ordinria. Umproblemadevalorinicial(PVI)umproblemadeevoluo,noquala informaoinicial(conhecida)propagadaparaointeriordodomnio unidimensional pela equao diferencial. Matematicamente,omaissimplesdosproblemasdevalorinicialpode ser apresentado na forma: == ') 1 . 1 ( , ) () , (o a yy x f y pgina 7 ondeIR IR f 2: umafunocontnua.Afuno) (x y y = ) ( a x > a funo incgnita e o o seu valor inicial no pontoa . Um ponto importante a ser citado a questo daexistncia e unicidade desoluesdeproblemadevalorinicialparaumaequaodiferencial,visto que s faz sentido buscar a sua soluo numrica, ou soluo aproximada, se de antemo estiver garantida a existncia e unicidade de sua soluo, pois ao determinar uma soluo numrica de um problema que a princpio no possua soluo ou que possua, mas no seja nica, o processo numrico poder no convergir,ouconvergirparaalgoquenosejaconfivel.Nocasodeum problemadevalorinicialdeequaesordinriasestaquestoestbem resolvida. Suponhamos que a funo) , ( y x fsatisfaa as seguintes condies: - nIR E f : contnua, onde{ }nIR y b a x y x E e e = ], , [ ), , ( ; -Existe uma constanteKtal que para todo] , [ b a xee quais quer dois valoresy e -yem nIR - - s y y K y x f y x f ) , ( ) , ( Teorema1.1:Seja) , ( y x f satisfazendoascondiesanterioreseseja oum vetor dado. Ento, existe exatamente uma funo) (x ycom as seguintes propriedades: i.) (x y y = contnua e diferencivel paraxem] , [ b a ; ii.)) ( , ( ) ( x y x f x y = ' ,] , [ b a xe ; iii.o = ) (a y . Vamos tratar agora de um mtodo conhecido por Mtodo de Diferenas Finitas.Omtododediferenasfinitasadiscretizaododomnioea substituio das derivadas presentes na equao diferencial, por aproximaes destas envolvendo somente valores numricos da funo. Na prtica substitui-se as derivadas pela razo incremental que converge para o valor da derivada quandooincrementotendeazero.Dizemosentoqueoproblemafoi discretizado.Vamos utilizar como ferramenta matemtica no clculo de aproximaes paraasderivadasasriedeTaylorquerelacionavaloresdafunoesuas derivadas num pontoxcom valores dessa mesma funo numa vizinhana de pgina 8 x , ou seja, em) ( h x com0 > h . Se) (x y , tem derivadas de ordem1 + n , emx , podemos escrever : ). 2 . 1 (. ), ()! 1 ( ) (!... ) (! 2) ( ) ( ) () 1 () 1 () (2h x x ynhx ynhx yhx y h x y h x ynnnn+ < 0 em] , [ b a . Ento o problema tem uma nica soluo. Oproblemadodisparolinearparaequaeslinearesconsistena substituio do problema linear por dois problemas de valor inicial. Dado o problema com valor de limite ) (P = =+ + =| o ) ( , ) () ( ) ( ' ) ( ' 'b y a yx r y x q y x p y Considere os dois problemas de valor inicial ) (1P = =s s + + =0 ) ( ' , ) (), ( ) ( ' ) ( ) ( ' 'a y a yb x a x r y x q y x p x yo ) (2P= =s s + =1 ) ( ' , 0 ) (, ) ( ' ) ( ) ( ' 'a y a yb x a y x q y x p x y Se) (1x y a nica soluo de) (1Pe) (2x y a nica soluo de) (2Pento pgina 14 ) 1 ( ) () () () ( ) (2211x yb yx yx y x y+ =| soluo de) (P . Foram utilizados mtodos de partida para aproximar a soluo de) (1x ye) (2x y , assim podemos aproximar a soluo do problema com valor delimite ) (x y . O mtodo de partida utilizado foi o mtodo de Runge-Kutta para resolver umproblemadevalorinicial) , ( ' y t f y = , 0 0) ( y t y = ,queenvolveumamdia ponderadadevaloresde) , ( y t f nointervalo 1 +s sn nt t t ,,...) 2 , 1 , 0 (= n .dado por |.|

\| + + ++ =+62 24 3 2 11n n n nn nk k k kh y yondeh o tamanho do passo e ( )n n ny t f k ,1 = , |.|

\|+ + =1 22,2n n n nkhyht f k , |.|

\|+ + =2 32,2n n n nkhyht f k , ( )3 4,n n n nhk y h t f k + + = . O mtodo do Disparo para equaes lineares se baseia na substituio do problema linear com valor de limite por dois problemas com valor inicial) (1Pe) (2P . Temos muitos mtodos com os quais se podem aproximar as solues ) (1x y e) (2x y e,umavezquecontamoscomessasaproximaes,asoluo do problema com valor de limite aproximada por meio da equao) (x y . pgina 15 8.EXEMPLOAPLICAODOMTODORUNGE-KUTTA1E2 ORDEMMODELAMENTOMATEMTICOPARAPLANEJAMENTO REGIONAL. Acapacidadedeavaliarquantitativamenteaevoluodeum ecossistema,principalmentenotocanteaalteraespotencialmenteadversas paraa naturezaeparaoserhumano,permitequeasociedade possaintervir deformaprecocenosentidodeevitartranstornosfuturos.Comoexemplo, apresenta-se aqui o seguinte modelo de poluio de um lago. Oproblemaconsisteemfazerprevisesparafuturosinvestimentos industriais numa regio composta por uma lagoa ou represa de gua salgada, onde a principal fonte financeira o cultivo de frutos do mar. Este problema foi formulado e resolvido por Boynton , Hawkins e Gray e consiste em planejar que tipos de investimentos devem ser alocados para um crescimento adequado das cidades ao redor da lagoa sem prejudicar o meio biolgico existente. Omodelobastantecomplexoeenvolve16variveisquemedem desdeaspectosbiolgicosataspectossobreocomprometimentodoturismo regional. Para efeito de simplificao, apresentaremos uma situao hipottica com 13 variveis, excluindo as variveis que representam o turismo regional.Osvalorestambmsohipotticos,ondeafinalidadeaquiapenas mostrar o comportamento e inter-relaes destas variveis e no seu resultado numrico. O modelo bastante interessante e nele so consideradas as variveis econmicas,biolgicasepopulacional.Aidiaapresentar,sobre determinadosparmetrosconhecidos,ocomportamentodecadavarivel frentesvariaesglobaisduranteumdeterminadoperododetempo.O modelo da forma: pgina 16 onde: x1:rea urbanizada; x2:rea possvel de ser urbanizada; x3:capital local; x4:estrutura da cidade; x5:imagem da cidade; x6:residentes; x7:capital industrial; x8:estrutura industrial; x9:frutos do mar; x10:matria orgnica despejada; x11:toxinas;x12:nutrientes; x13:coliforme fecal. OsparmetrosIeksoparmetrosdeproporcionalidadeentreas variveisedependemdassrieshistricaseestatsticassobreo comportamento das variveis durante um longo perodo de tempo Simulao pgina 17 Foramadotadascomocondiesiniciaisparaesteexemplovalores hipotticos e admensionais, servindo apenas para uma demonstrao didtica do modelo. Assim: OlhandoparaasvariveisbiolgicasnaFigura1percebe-sequea estratgiautilizadanorecomendvel,umavezque,apesardamatria orgnica despejada no lago e os nutrientes diminurem radicalmente a zero em 4anos,aquantidadedetoxinasecoliformefecalaumentaramabruptamente emconseqnciadograndeaumentoderesidentes(Figura3)atradospelos investimentosindustriais(Figura3),noestandoaregioadequadamente preparada do ponto de vista do saneamento bsico (Figura 2) onde o valor final da parte estrutural da cidade foi menor do que no incio. Outroresponsvel pela poluio deste lago apontado no indicador de estruturaindustrial,quedezeroteveumexcelenteaumentoindoamaisde 3000(Figura3).Porm,comoestedesenvolvimentonofoiauto-sustentvel, ou seja, no houve uma adequao com o meio ambiente, percebe-se que as industriasinstaladastiveramprejuzoaocabode4anos(Figura3),porestas estareminteiramenteligadasaosprodutosdolago,queforamazero(Figura 2). Isto contrasta com o capital local que teve aumento ao fim de 4 anos, mas umaumentoquesaircaroparaaregio,umavezquesuafonteoriginalde rendavoltadabiosferadolagofoiexterminadapelomauplanejamento urbano ao receber industrias e novos residentes. pgina 18 A Importncia na Escolha do Mtodo Numrico A escolha de um mtodo numricoparaasimulaodesistemasdinmicosdefundamental importncia para uma concluso segura e coesa sobre o evento. Mostraremos primeiramente como funciona o mtodo de Euler. Suponhamos que tenhamos que resolver a equao diferencial.pgina 19

Neste caso, teremos como fazer uma verificao sobre a preciso ou no do mtodo escolhido uma vez que a soluo analtica facilmente obtida e ser: Como j foi vista, a frmula para o mtodo de Euler : e escolhendo a variao no tempo Poderemos passo a passo obter, escolhendo como h = 0.1 de t = 0 at t = 1, pgina 20 9.CONCLUSO Omelhormtodonumricoemtermosdepreciso,paraoclculode solues aproximadas de PVIs foi o mtodo de Runge-Kutta;NoMtododeEulerExplcitoconseguimosestabeleceraconvergnciado mtodo, fornecendo um limite superior para o erro.NoMtododasDiferenasFinitasparaPVComtodoimplementado usandodiferenascentradasnointeriordamalhaediferenasprogressivase regressivasnocontornoproporcionouresultadosnumricoscomtima concordncia com as solues analticas. 10. REFERNCIAS BIBLIOGRAFICAS 1.BOYCE,W.eDIPRIMA,R.C.;EquaesDiferenciaisElementarese Problemas de Valores de Contorno. 7ed. Rio de Janeiro: LTC 2002. 2.RICHARDL.BURDENeJ.DOUGLASFAIRES;AnliseNumrica;So Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2003. 3.CONTE, S.D. Elementos de Anlise Matemtica, 3 Edio. Editora Globo, 1977. p. 244-317. 4.www.wikipedia.org

5.PMR 2420 Mecnica Computacional 33 CAPTULO III MTODOS DE RUNGE-KUTTA - Autor no informado 6.Renato S. Silva, Regina C. Almeida, Mtodos Numricos Equaes Diferenciais Ordinrias, p. 10-29