Metodo Forças

Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 2

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TEORIA DAS ESTRUTURAS 2

PVT- Princípio dos Trabalhos Virtuais

Método da Força Virtual Unitária: cálculo dos deslocamentos em

Estruturas isostáticas

E

Método das Forças: cálculo das reações de apoio em

Estruturas hiperestáticas

O conteúdo desta apostila foi elaborado utilizando os textos bases: - ANÁLISE DE ESTRUTURAS Método das Forças e Método dos deslocamentos; Autores: Humberto Lima Soriano Silvio de Souza Lima Ed. Ciência Moderna - ANÁLISE DE ESTRUTURAS Conceitos e Métodos Básicos Autor: Luiz Fernando Martha Ed. Elsevier


1

1 - Introdução

1.1 - Princípio da conservação da energia

Para estruturas deformáveis em equilíbrio estático, com o material da estrutura

trabalhando em um regime linear elástico e apresentando pequenos deslocamentos, o

princípio da conservação da energia estabelece:

𝑼𝒆= 𝑼𝒊 → 𝒐𝒖 𝒔𝒆𝒋𝒂 → 𝑾𝒆 = 𝑾𝒊 → ∑(𝑭𝒆 . 𝑫𝒆) = ∑(𝒇𝒊 . 𝒅𝒊) (1)

“trabalho das forças externas = trabalho das forças internas”

Para estruturas compostas por elementos (peças do tipo barra: reta ou curva);

Exemplo: VIGAS, PÓRTICOS OU QUADROS, GRELHAS.

Nas estruturas de barras, conforme mostra a figura 1 a seguir. As forças

externas geram forças internas (esforços internos solicitantes: N, Q, M, T) nas

estruturas que por sua provocam deslocamentos nas estruturas.

Fig. 1: Estrutura sujeita a deformações

Considerando um elemento infinitesimal da barra de comprimento dx, o mesmo

estará sujeito, a deslocamentos relativos gerados pelos esforços internos (N, Q,

M,T ) conforme ilustra a figura 2 a seguir.

Fig. 2: Esforços internos num elemento infinitesimal da barra

Estes deslocamentos relativos estão relacionados às deformações e as tensões

que surgem nas estruturas, tais relações são apresentadas a seguir nesta apostila.

q = força externa genérica Esforços internos: N = força normal; Q = esforço cortante; M = momento fletor; T = momento torçor;

Q Q


2

2 - Princípio dos Trabalhos Virtuais (PTV)

2.1 - Considerações iniciais

Antes de desenvolver o princípio dos trabalhos virtuais, é necessário apresentar

alguns conceitos gerais relativos ao Trabalho Virtual;

Trabalho Virtual: O trabalho virtual pode ser gerado de duas formas:

- Quando aplica-se deslocamento virtual a estruturas sujeitas a forças reais;

- Quando aplica-se força virtual a estruturas sujeitas a deslocamentos reais;

Conforme já mencionado, o princípio da conservação da energia estabelece:

𝑼𝒆= 𝑼𝒊 → 𝒐𝒖 𝒔𝒆𝒋𝒂 → 𝑾𝒆 = 𝑾𝒊 → ∑(𝑭𝒆 . 𝑫𝒆) = ∑(𝒇𝒊 . 𝒅𝒊)

“trabalho das forças externas = trabalho das forças internas”

Do conceito de trabalho virtual e conservação de energia é obtido o Princípio dos

trabalhos Virtuais, que pode ser enunciado como:

“O trabalho virtual externo é igual ao trabalho virtual interno”.

�̅̅̅�𝒆 = �̅̅̅�𝒊 (𝟐)

O princípio dos trabalhos virtuais pode ser aplicado por meio de dois métodos:

I - Princípio dos deslocamentos virtuais: ∑(𝑭𝒆 . �̅�𝒆) = ∑(𝒇𝒊 . �̅�𝒊)

Aplicam-se deslocamentos virtuais externos em uma estrutura sujeita a forças reais;

II - Princípio das forças virtuais: ∑(�̅�𝒆 . 𝜹𝒆) = ∑(�̅�𝒊 . 𝒅𝒊)

Aplicam-se forças virtuais externas em uma estrutura sujeita a deslocamentos reais;

O Princípio das forças virtuais é uma das principais ferramentas para

determinação dos deslocamentos em estruturas isostáticas.

O Princípio das forças virtuais as vezes é referido como Método da força virtual

unitária.

Com base nos conceitos já mencionada, o princípio dos trabalhos virtuais será

desenvolvido a seguir, por meio do Princípio das forças virtuais ou Método da força

virtual unitária.


3

2.2 - Princípio das Forças Virtuais = Método da Força Virtual Unitária (MFVU)

Considerando por exemplo uma viga bi-apoiada, sujeita a forças externas reais

que geram deslocamentos reais, conforme ilustra a figura 3a.

Fig. 3a: Estrutura com deslocamentos reais e forças reais externas;

Em que:

F1, F2, F3, Fi : forças reais externas;

𝜹𝒊=𝟏,𝟐,𝒏 : deslocamentos reais provocados pelas forças reais externas;

Ao analisar a figura 3a percebe-se que o ponto A apresenta um deslocamento

vertical real devido as forças externas reais.

O deslocamento vertical real do ponto A determinado por meio deste

Princípio dos Trabalhos Virtuais, adota as seguintes considerações:

1ª consideração: Aplica-se inicialmente apenas uma única força virtual unitária externa

(imaginária) 𝑭 ̅ sobre o ponto A e na direção do deslocamento a ser determinado, no

caso, deslocamento vertical, por conta disto, aplica-se uma força virtual unitária externa

na vertical, conforme ilustrado na figura 3b.

Fig. 3b: A estrutura permanece na forma original (deslocamentos desprezíveis)

A aplicação da força virtual unitária externa �̅� gera reações de apoios virtuais 𝑹j̅

e forças virtuais internas ( �̅�𝒊 = �̅� ; �̅� ; �̅� ; �̅� ) atuantes nestas seções.

Entretanto, os deslocamentos que surgem podem ser considerados

desprezíveis, ou seja, nulo, a estrutura permanece na forma original.

F1 F2 F3 Fi

1 2 3

A

A’

1 2 3

𝑭 ̅ = 𝟏


4

A consideração de deslocamentos desprezíveis (nulos), por conta da ação

exclusiva da força virtual unitária externa �̅�, pode ser entendida melhor, tomando como

base a mesma estrutura ilustrada na figura 3a.

A estrutura 3a é um exemplo típico de estrutura sob o efeito de forças reais

externas, que em geral assumem a magnitude em kilo-Newton, como por exemplo:

F1 = 10 kN = 10 000 N;

F2 = 5 kN = 5 000 N;

......

Fi = 12 kN = 12 000 N;

Estas forças reais externas produzem pequenos deslocamentos reais, ou seja,

os deslocamentos reais 1, 2, 3, incluído o do ponto A ( A ) são deslocamentos

milimétricos.

Assim, ao considerar a força virtual unitária externa �̅�, como uma força de

magnitude unitária (𝑭 ̅ = 𝟏 𝑵 = 𝟏 ), permite chegar ao entendimento de que, a ação

exclusiva desta força virtual unitária externa �̅�, sobre a estrutura produz deslocamentos

desprezíveis (nulos), ou seja, a estrutura permanece na forma original, conforme ilustra

a figura 3b.

Fig. 3b: A estrutura permanece na forma original (deslocamentos desprezíveis)

1 2 3

𝑭 ̅ = 𝟏


5

2ª consideração - Imediatamente a aplicação força virtual unitária externa �̅�, as forças

reais externas são aplicadas, conforme ilustra a figura 3c;

Fig. 3c: Estrutura com deslocamentos reais provocados

exclusivamente pelas forças reais externas

Em que:

F1, F2, F3, Fi : forças reais externas;

�̅� : força externa virtual;

𝜹𝒊=𝟏,𝟐,𝒏 1, 2, 3, incluído o do ponto A ( A ) deslocamentos reais provocados

pelas forças reais externas.

Feitas estas considerações Princípio das Forças Virtuais = Método da Força

Virtual Unitária (MFVU) estabelece:

�̅̅̅�𝒆 = �̅̅̅�𝒊

∑(�̅�𝒆 . 𝜹𝒆) = ∑(�̅�𝒊 . 𝒅𝒊) Aplicam-se forças virtuais externas em uma

estrutura sujeita a deslocamentos reais;

Conforme, já mencionado, a aplicação exclusiva da força virtual unitária externa

�̅� gera reações de apoios virtuais 𝑹j̅ e forças virtuais internas ( �̅�𝒊 = �̅� ; �̅� ; �̅� ; �̅� )

atuantes nestas seções.

As reações de apoios virtuais 𝑹j̅ geradas pela força virtual unitária externa �̅�

devem ser entendidas também como forças externas.

Desta forma, o trabalho das forças virtuais externas durante os deslocamentos

reais 𝜹𝒊=𝟏,𝟐,𝒏 é dado por:

�̅̅̅�𝒆 = ∑(�̅�𝒆 . 𝜹𝒆) = �̅� . 𝜹 + ∑(�̅�𝒋 . 𝜹𝒑_ 𝒋) (4)

Onde: �̅�𝒆 forças virtuais externas: �̅� (força virtual unitária externa)

�̅�𝒋 (reações de apoio virtuais)

𝜹𝒑_ 𝒋 deslocamentos prescritos, ou seja, recalque de apoios

F1 F2 F3 Fi

1 2 3

�̅�


6

Já, o trabalho das forças virtuais internas durante os deslocamentos reais 𝜹𝒊=𝟏,𝟐,𝒏

é dado por:

�̅̅̅�𝒊 = ∑(�̅�𝒊 . 𝒅𝒊) (5)

Antes de explicitar o trabalho das forças virtuais internas é necessário apresentar

as leis que traduzem as relações entre as forças reais internas de uma estrutura e os

respectivos deslocamentos reais provocadas por cada das forças reais internas;

( 𝒇𝒊 = 𝑵 ; 𝑴 ; 𝑸 ; 𝑻 ).

A resistência dos materiais fornece tais relações. Para um material trabalhando em

um regime linear elástico, a lei de Hooke ( = E . ) pode ser utilizada para obter a

relação entre as forças internas e os respectivos deslocamentos nas seções

transversais do elemento infinitesimal de comprimento dx.

Relação entre deslocamento axial x esforço Normal (N)

𝝈 = 𝑬 . 𝜺𝒙𝑵 → 휀𝑥

𝑁 = 𝜎 .1

𝐸 → 휀𝑥

𝑁 =𝑁

𝐴.

1

𝐸 → 휀𝑥

𝑁 =𝑁

𝐴𝐸 →

𝑑𝛿

𝑑𝑥=

𝑁

𝐴𝐸 → 𝒅𝜹 =

𝑵

𝑨𝑬 . 𝒅𝒙 (6)

𝜺𝒙𝑵 =

𝒅𝜹

𝒅𝒙

𝜺𝒙𝑵 =

𝒅𝜹

𝒅𝒙

Fig. 4: deformação axial de um elemento infinitesimal de barra

Em que:

dx = comprimento original do elemento infinitesimal;

d = deslocamento axial relativo do elemento infinitesimal;

𝜺𝒙𝑵 = deformação axial ou normal na direção longitudinal devida a força interna Normal

ou esforço axial (N).

dx+d

d

N

d


7

Relação entre rotação relativa por flexão x Momento fletor (M)

𝝈 = 𝑬 . 𝜺𝒙𝑴 → 휀𝑥

𝑀 = 𝜎 .1

𝐸 → 휀𝑥

𝑀 =𝑀 .𝑦

𝐸.𝐼 →

𝑑𝜑

𝑑𝑥. 𝑦 =

𝑀 .𝑦

𝐸.𝐼 → 𝒅𝝋 =

𝑴

𝑬.𝑰 . 𝒅𝒙 (7)

𝝈 =𝑴 . 𝒚

𝑰→ 𝑟𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑜𝑠 𝑚𝑎𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎𝑖𝑠: 𝐼 = 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑑𝑒 𝑖𝑛é𝑟𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑎 𝑠𝑒çã𝑜;

𝜺𝒙𝑴 =

𝒅𝝋

𝒅𝒙. 𝑦

Fig. 5: deformação axial de um elemento infinitesimal de barra

Em que: dx = comprimento original do elemento infinitesimal;

d = rotação relativa por flexão do elemento infinitesimal;

𝜺𝒙𝑴 = deformação axial ou normal na direção longitudinal devida ao efeito de flexão (M).

Relação entre distorção de cisalhamento x esforço cortante (Q)

𝝈 = 𝑬 . 𝜺𝒙𝑴

𝝉 = 𝑮 . 𝜸𝑸 → 𝛾𝑄 = 𝜏 .1

𝐺 → 𝛾𝑄 =

𝑄

𝐴𝑄 .𝐺 →

𝑑𝜆

𝑑𝑥=

𝑄

𝐴𝑄 .𝐺 → 𝒅𝝀 =

𝑸

𝑨𝑸 .𝑮 . 𝒅𝒙 (8)

𝝉 =𝑸

𝑨𝑸 𝐺 = 𝑚ó𝑑𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑙𝑎𝑠𝑡𝑖𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎𝑙

𝐴𝑄 = á𝑟𝑒𝑎 𝑒𝑓𝑒𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑖𝑠𝑎𝑙ℎ𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑎 𝑠𝑒çã𝑜 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑣𝑒𝑟𝑎𝑙

𝜸𝑸 =𝒅𝝀

𝒅𝒙

Fig. 6: deformação de cisalhamento de um elemento infinitesimal de barra

Onde:

dx = comprimento original do elemento infinitesimal de barra;

d = deslocamento transversal relativo por cisalhamento do elemento infinitesimal;

𝜸𝑸 = distorção de cisalhamento por efeito de esforço cortante (Q).


8

Relação entre distorção de cisalhamento x momento torçor (T)

𝝈 = 𝑬 . 𝜺𝒙𝑴

𝝉 = 𝑮 . 𝜸𝑻 → 𝛾𝑇 = 𝜏 .1

𝐺 → 𝛾𝑉 =

𝑇 .𝑟

𝐽 .𝐺 →

𝑑𝜃

𝑑𝑥 . 𝑟 =

𝑇 .𝑟

𝐽 .𝐺 → 𝒅𝜽 =

𝑻

𝑮 .𝑱 . 𝒅𝒙 (9)

𝝉 =𝑻 . 𝒓

𝑱 𝐺 = 𝑚ó𝑑𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑙𝑎𝑠𝑡𝑖𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎𝑙

𝐽 = 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑝𝑜𝑙𝑎𝑟 𝑑𝑒 𝑖𝑛é𝑟𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑎 𝑠𝑒çã𝑜 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑣𝑒𝑟𝑎𝑙

𝜸𝑻 =𝒅𝜽

𝒅𝒙 . 𝒓

Fig. 7: deformação de torção de um elemento infinitesimal de barra

Em que:

dx = comprimento original de um elemento infinitesimal;

d = rotação relativa por torção de um elemento infinitesimal;

𝜸𝑻 = distorção de cisalhamento por efeito de torção (T).

Portanto, o trabalho das forças reais internas (fi = N, Q, M, T) em uma estrutura sujeita

a deslocamentos reais é dado pelo somatório do trabalho de cada elemento

infinitesimal de comprimento dx, ou seja, somando os valores obtidos pela integração

cada para uma das forças reais internas ao longo do comprimento de cada elemento

(peça do tipo barra: reta ou curva) da estrutura em análise.

Assim, o trabalho das forças reais internas (fi = N, Q, M, T) em uma estrutura

sujeita a deslocamentos reais é definido por:

𝑾𝒊 = ∑ [ ∫ 𝑵 . 𝒅𝜹 + 𝑴 . 𝒅𝝋 + 𝑸 . 𝒅𝝀

𝟎

𝒃𝒂𝒓𝒓𝒂_𝒊

+ 𝑻 . 𝒅𝜽 ]

0

𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎_𝑖=1,2,𝑛

(10)

Esta equação é válida para estruturas compostas por vários elementos ((peças do

tipo barra: reta ou curva; ex: vigas; pórticos e grelhas )) de comportamento linear

elástico.


9

De forma semelhante, o trabalho das forças virtuais internas ( �̅�𝒊 = �̅� ; �̅� ; �̅� ; �̅� )

em uma estrutura sujeita a deslocamentos reais é definido por:

𝑾𝒊 = ∑ [ ∫ �̅� . 𝒅𝜹 + �̅� . 𝒅𝝋 + �̅� . 𝒅𝝀

𝟎

𝒃𝒂𝒓𝒓𝒂_𝒊

+ �̅� . 𝒅𝜽 ]

0

𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎_𝑖=1,2,𝑛

(11)

Esta equação é válida para estruturas compostas por vários elementos (peças do

tipo barra: reta ou curva) de comportamento linear elástico.

Conforme apresentado anteriormente, o Princípio das Forças Virtuais =

Método da Força Virtual Unitária (MFVU) estabelece:

�̅̅̅�𝒆 = �̅̅̅�𝒊

�̅� . 𝜹 + ∑(�̅�𝒋 . 𝜹𝑹_ 𝒋) = ∑ [ ∫ �̅� . 𝒅𝜹 + �̅� . 𝒅𝝋 + �̅� . 𝒅𝝀

𝟎

𝒃𝒂𝒓𝒓𝒂

+ �̅� . 𝒅𝜽 ]

0

𝑖=1,2,𝑛

(12)

Inserido na equação (12) as relações entre deslocamentos e forças internas

obtidas da resistência dos materiais:

𝒅𝜹 =𝑵

𝑨𝑬 . 𝒅𝒙 ; 𝒅𝝋 =

𝑴

𝑬. 𝑰 . 𝒅𝒙 ; 𝒅𝝀 =

𝑸

𝑨𝑸 . 𝑮 . 𝒅𝒙 ; 𝒅𝜽 =

𝑻

𝑮 . 𝑱 . 𝒅𝒙

�̅� . 𝜹 + ∑(�̅�𝒋 . 𝜹𝑹_ 𝒋) = ∑ [ ∫ �̅� .𝑵

𝑨𝑬 . 𝒅𝒙 + �̅� .

𝑴

𝑬. 𝑰 . 𝒅𝒙 + �̅� .

𝑸

𝑨𝑸 . 𝑮 . 𝒅𝒙

𝟎

𝑳_𝒊

+ �̅� .𝑻

𝑮 . 𝑱 . 𝒅𝒙 ]

0

𝑖=1,2,𝑛

Onde: L_i = comprimento da barra_i

Visto que a força virtual unitária externa: 𝐹 ̅ = 1

𝜹 + ∑(�̅�𝒋 . 𝜹𝑹_ 𝒋) = ∑ [ ∫�̅� 𝑵

𝑨𝑬𝒅𝒙 +

𝑴𝑴

𝑬. 𝑰 𝒅𝒙 +

�̅�𝑸

𝑨𝑸 . 𝑮𝒅𝒙

𝟎

𝑳_𝒊

+ �̅�𝑻

𝑮 . 𝑱𝒅𝒙 ] (13)

0

𝑖=1,2,𝑛


A equação (13) é a expressão geral do MFVU para estruturas compostas por

vários elementos ((peças do tipo barra: reta ou curva ex: vigas; pórticos e grelhas))

de com comportamento linear elástico sujeita a um sistema qualquer solicitação

externas.


10

3 - Método da Força Virtual Unitária (MFVU)

Antes de apresentar o MFVU, faz-se necessário esclarecer que as estruturas em

geral estão sob a ação de 3 tipos solicitações externas (Fe):

Fe1 - Peso próprio, cargas concentradas e ou distribuídas, momentos aplicados;

Fe2 - Efeito da temperatura;

Fe3 - Deslocamento prescrito (conhecido):

- Movimentos dos apoios da estrutura, ou seja, recalques dos apoios;

- modificação na posição original da estrutura que ocorre durante a

montagem da mesma (um alongamento, um encurtamento);

Forças externas: solicitações externas e reações de apoio

Forças internas: N, Q, M, T, geradas pelas forças externas;

Estas forças externas (solicitações externas e reações dos apoios) geram forças

internas (esforços solicitantes: N, Q, M, T) nas estruturas que por sua provocam

deslocamentos, ou seja, deformações nas estruturas.

No dia a dia as estruturas estão sob o efeito simultâneo destas solicitações

externas reais. Para determinar o deslocamento de uma determinada seção s

qualquer de uma estrutura é necessário calcular o deslocamento provocado por cada

agente separadamente e em seguida realizar o somatório dos deslocamentos

produzidos pelos agentes a fim de determinar o deslocamento final sofrido por esta

seção s da estrutura.

A seguir o Método da força virtual unitário é particularizado de modo a determinar

os deslocamentos devido a ação de cada tipo de solicitação externa já mencionado.

N

T Q

M


11

3.1 - Método da Força Virtual Unitária (MFVU): Efeito de forças reais externas

Inicialmente será apresentada a formulação para determinar o deslocamento de

uma seção s qualquer de uma estrutura devido à ação solicitação externa: forças

externas (Peso próprio, cargas concentradas, etc), posteriormente, as formulações

para determinar os deslocamentos provocados pelos demais solicitações externas

(efeito de temperatura, deslocamentos prescritos = recalque de apoios), visto que suas

formulações são análogas ao das forças externas.

Para calcular um determinado deslocamento , por exemplo o deslocamento

vertical no ponto C, em uma estrutura isostática sujeita a um sistema de forças

externas qualquer.

Fig. 8: Estrutura deformada devido a ação de forças externas reais

1º Passo: considera-se a mesma estrutura submetida apenas à ação da força virtual

unitária externa �̅� = 𝟏 atuando sobre o ponto C da estrutura e na direção do

correspondente deslocamento a ser determinado, no caso deslocamento vertical .

Fig. 9: Estrutura sujeita à ação da força virtual unitária externa

Em seguida determina-se os diagramas das forças virtuais internas da estrutura

( �̅�𝒊 = �̅� ; �̅� ; �̅� ; �̅� ).

= deslocamento vertical

do ponto C (REAL)

�̅� = 𝟏 : força virtual unitária correspondente ao tipo de deslocamento

que deseja determinar

�̅� = 𝟏

Esboçar os diagramas das forças virtuais internas

( �̅�, �̅�, �̅�, �̅� ) devido EXCLUSIVAMENTE a força

virtual unitária


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2º Passo: considera-se a mesma estrutura submetida apenas à ação das forças reais

externas;

Fig. 10: Estrutura sujeita à ação de cargas reais externas

Em seguida determina-se os diagramas de forças reais internos da estrutura (fi =

N, Q, M, T).

3º Passo: Substituem-se os valores das forças obtidas PASSOS 1 e 2 na expressão

geral MFVU (equação 13), em seguida, soma-se os valores obtidos pela integração

cada para uma das forças internas ao longo do comprimento de cada elemento (peça

do tipo barra: reta ou curva) da estrutura em análise, de modo a obter o valor do

deslocamento procurado .

Considerando que a estrutura esteja apenas sob a ação de forças reais externas

e que os apoios da estrutura não apresentam deslocamentos prescritos, ou seja, os

apoios não apresentam recalque, a equação (13), pode ser escrita da seguinte forma:

𝜹𝒑_ 𝒋 = 𝟎 → 𝒐𝒔 𝒂𝒑𝒐𝒊𝒐𝒔 𝒏ã𝒐 𝒂𝒑𝒓𝒆𝒔𝒆𝒏𝒕𝒂𝒎 𝒓𝒆𝒄𝒂𝒍𝒒𝒖𝒆 𝒅𝒆 𝒂𝒑𝒐𝒊𝒐;

𝜹 = ∑ [ ∫�̅� 𝑵

𝑨𝑬𝒅𝒙 +

𝑴𝑴

𝑬. 𝑰 𝒅𝒙 +

�̅�𝑸

𝑨𝑸 . 𝑮𝒅𝒙

𝟎

𝑳_𝒊

+ �̅�𝑻

𝑮 . 𝑱𝒅𝒙 ] (14)

0

𝑖=1,2,𝑛


A equação (14) é a expressão geral do MFVU para estruturas compostas por

vários elementos ((peça do tipo barra: reta ou curva ex: vigas; pórticos e grelhas)) de

com comportamento linear elástico sujeitas ao Efeito de forças reais externas;

Esboçar os diagramas das forças internas reais (N, M, Q, T) devido

ao sistema de forças reais externas;


13

A tabela 1 apresenta as propriedades de seção A, Iy, Iz, fy, fz e J para as seções

transversais mais usuais. tabela 1: propriedades para as seções transversais mais usuais.


14

Cada tipo de deslocamento a ser determinado exige a aplicação de uma força

virtual unitária externa compatível com o deslocamento a ser calculado, conforme

apresentado na tabela 2 a seguir.

Tabela 2: Escolha do Modelo de força virtual unitária

Deslocamento ( ) a calcular da seção s

Força virtual unitária

1 - translação vertical, ou seja, deslocamento linear vertical de uma seção s

2 - translação horizontal, ou seja, deslocamento linear horizontal de uma seção s

3 - rotação, ou seja, deslocamento angular de uma seção s

4 - rotação relativa entre duas barras i e j que concorrem para a mesma rótula

5 - rotação relativa entre duas seções s e s’ de uma mesma barra

6 - rotação absoluta de uma corda AB

7 - rotação relativa de 2 cordas AB e CD

8 - variação do comprimento de uma corda que une 2 pontos A e B

�̅�𝒖 = 𝟏

s s s s s s s s

s s

�̅�𝒖 = 𝟏

�̅� = 𝟏

s s

�̅�𝒖 = 𝟏

�̅� = 𝟏

i i j

j

�̅�𝒖 = 𝟏

�̅� = 𝟏

�̅�𝒖 = 𝟏

�̅� = 𝟏

s s

s’ s’

�̅�𝒖 = 𝟏

�̅� = 𝟏

�̅�𝒖 = 𝟏

�̅� = 𝟏

A B

�̅�𝒖 = 𝟏/𝑳 �̅�𝒖 = 𝟏/𝑳

�̅�𝒖 = 𝟏/𝑳

(AB = L)

A

B C

DC

(AB = L1) (CD = L2)

�̅�𝒖𝟏

A

B �̅�𝒖 = 𝟏

�̅�𝒖𝟏 = 𝟏/𝑳𝟏 �̅�𝒖𝟐 = 𝟏/𝑳𝟐

�̅�𝒖𝟐

�̅�𝒖 = 𝟏


15

Para VIGAS E PÓRTICOS SEM ELEMENTOS DE CONTRAVENTAMENTO as

parcelas devido ao esforço Normal, ao esforço Cortante podem ser desprezadas e na

ausência de momento torçor, muito comum na análise destas estruturas planas, tais

considerações permitem simplificar a equação (14) da seguinte forma:

𝜹 = ∑ [ ∫ �̅�𝑴

𝑬. 𝑰

𝟎

𝑳_𝒊

. 𝒅𝒙 ]

0

𝑖=1,2,𝑛

(estruturas usuais: vigas, pórticos) (15)


Caso existam momentos torçores, esta contribuição deve ser inserida na eq. (15)

Para o caso específico de grelhas, apenas as parcelas devido ao esforço Normal

e ao esforço Cortante podem ser desprezadas, já a contribuição do momento torçor

não pode ser desprezada. Estas considerações permitem simplificar a equação (14) da

seguinte forma:

𝜹 = ∑ [ ∫( �̅�𝑴

𝑬. 𝑰

𝟎

𝑳_𝒊

+ �̅�𝑻

𝑮 . 𝑱 ) . 𝒅𝒙]

0

𝑖=1,2,𝑛

(estruturas usuais: grelhas) (16)



16

Exemplo1: Calcule o deslocamento horizontal do ponto B, com e sem a consideração da contribuição do esforço normal e do esforço cortante. Área da seção transversal das barras: A = 134 cm2 = 134x10-4 m2

Momento de inércia da seção transversal: I = 29213 cm4 = 29213x10-8 m4

Área efetiva de cisalhamento: AQ = 39 cm2 = 39x10-4m2 Módulo de Elasticidade longitudinal: E = 205 GPa = 205x109 Pa = 205x109 N/m2

Coeficiente de Poisson: υ = 0,3

Módulo de elasticidade transversal: G = E / [2 (1+ υ)] = 78,85 GPa

Resolução: E I = (205x109 N/m2) . (29213x10-8 m4) = 5988665 N.m2 = 59,89 . 106 N.m2 EA = (205x109 N/m2) . (134x10-4 m2) = 2747000000 N = 27,47 . 108 N AQG = (39x10-4 m2) . (78,85x109 N/m2) = 307515000 N = 30,75 . 107 N 1 - O deslocamento solicitado: Determinar o deslocamento horizontal do ponto B.

B =? De acordo com a tabela 2: deve ser aplicada uma força virtual unitária horizontal em b Caso 2 da tabela 2 2 - Esboçar os diagramas de esforços devido à ação da Força virtual unitária.

Ma= 0 + Vd . 6,0 - 1,0 . 4,0 = 0 Vd = 4/6 = 0,67

+ Fy = 0 Va + Vd = 0 Va = - 0,67 Va = 0,67

d

Ha = 1

50 kN

4,0 m

a

6,0 m

3,0 m

b c

Fu = 1

4,0 m

a

6,0 m

3,0 m

b c

d

va = 0,67

Vd = 0,67

1ª

2ª

3ª

1ª

2ª

3ª


17

3 - Esboçar os diagramas de esforços devido à ação da solicitação real: carregamento exterior.

Ma= 0 + Vd . 6,0 - 50,0 . 4,0 = 0 Vd = 200/6 = 33,33 KN

+ Fy = 0 Va + Vd = 0 Va = - 33,33 Va = 33,33 KN

4 - Cálculo do deslocamento horizontal em b (b =?)

𝛿 = ∑ [∫ �̅�𝑁

𝐴. 𝐸 . 𝑑𝑥 +

�̅�𝑀

𝐸. 𝐼 . 𝑑𝑥 +

�̅�𝑄

𝐴𝑄 . 𝐺 . 𝑑𝑥

0

𝑥

+ �̅�𝑇

𝐽 . 𝐺 . 𝑑𝑥 ]

0

𝑖=1,2,𝑛

Parcela do Momento fletor de todas as barras:

𝛿𝑀 = ∫ �̅�1𝑀1

𝐸. 𝐼 . 𝑑𝑥

0

𝑙1

+ ∫ �̅�2𝑀2


0

𝑙2

+ ∫ �̅�3𝑀3


0

𝑙3

Ha = 50 KN

50 KN

4,0 m

a

6,0 m

3,0 m

b c

d

va = 33,33 KN

Vd = 33,33 KN

OBS:barra 1: M = 50000(N) . x(m) barra2: M=33330(N) . x(m)


18

𝛿𝑀 =1

𝐸 . 𝐼[ ∫ �̅�1𝑀1. 𝑑𝑥

0

𝑙1

+ ∫ �̅�2𝑀2. 𝑑𝑥

0

𝑙2

+ ∫ �̅�3𝑀3. 𝑑𝑥

0

𝑙3

]

𝛿𝑀 =1

𝐸 . 𝐼[∫(1 . 𝑥). (50000 . 𝑥 ). 𝑑𝑥

4

0

+ ∫(0,67 . 𝑥)(33330 . 𝑥). 𝑑𝑥

6

0

+ 0]

*** Se os momentos estiverem tracionando lados opostos negativo

𝛿𝑀 =1

𝐸 . 𝐼[∫ 50000 . 𝑥2 . 𝑑𝑥

4

0

+ ∫ 22331,1 . 𝑥2 . 𝑑𝑥

6

0

]

𝛿𝑀 =1

𝐸 . 𝐼[50000. ∫ 𝑥2. 𝑑𝑥

4

0

+ 22331,1 ∫ 𝑥2. 𝑑𝑥

6

0

] =1

𝐸 . 𝐼[50000 . [

𝑥3

3]

0

4

+ 22331,1 . [𝑥3

3]

0

6

]

𝛿𝑀 = 1

59,89.106𝑁. 𝑚2[50000 𝑁 . 21,33 𝑚3 + 22331,1 𝑁 . 72,0𝑚3 ]

𝛿𝑀 = 1

59,89.106𝑁. 𝑚2[2,67.106 𝑁. 𝑚3 ] = 0,04458 𝑚

Parcela do Normal de todas as barras:

𝛿𝑁 = ∫ �̅�1𝑁1

𝐸. 𝐴 . 𝑑𝑥

0

𝑙1

+ ∫ �̅�2𝑁2


0

𝑙2

+ ∫ �̅�3𝑁3


0

𝑙3

𝛿𝑁 =1

𝐸 . 𝐴[ ∫ �̅�1𝑁1. 𝑑𝑥

0

𝑙1

+ ∫ �̅�2𝑁2. 𝑑𝑥

0

𝑙2

+ ∫ �̅�3𝑁3. 𝑑𝑥

0

𝑙3

]

𝛿𝑁 =1

𝐸 . 𝐴[∫ 0,67 . 33330 . 𝑑𝑥

4

0

+ 0 + ∫ −0,67 . (−33330) . 𝑑𝑥

3

0

+ 0]

𝛿𝑁 =1

𝐸 . 𝐴[22331,1 ∫ 𝑑𝑥

4

0

+ 22331,1 ∫ 𝑑𝑥

3

0

] = 1

𝐸 . 𝐴[22331,1 . [𝑥]0

4 + 22331,1 . [𝑥]03 ]

𝛿𝑁 = 1

27,47 . 108𝑁[22331,1 𝑁 . 4𝑚 + 22331,1𝑁 . 3𝑚 ]

𝛿𝑁 = 1

27,47 . 108𝑁[156,32 . 103 𝑁. 𝑚 ] = 0,00005691 𝑚


19

Parcela do Cortante de todas as barras:

𝛿𝑄 = ∫ �̅�1𝑄1


0

𝑙1

+ ∫ �̅�2𝑄2


0

𝑙2

+ ∫ �̅�3𝑄3


0

𝑙3

𝛿𝑄 =1

𝐴𝑄 . 𝐺[ ∫ �̅�1𝑄1. 𝑑𝑥

0

𝑙1

+ ∫ �̅�2𝑄2. 𝑑𝑥

0

𝑙2

+ ∫ �̅�3𝑄3. 𝑑𝑥

0

𝑙3

]

𝛿𝑄 =1

𝐴𝑄 . 𝐺[∫ 1 . 50000 . 𝑑𝑥

4

0

+ ∫(−0,67). (−33330). 𝑑𝑥

6

0

+ 0 ]

𝛿𝑄 =1

𝐴𝑄 . 𝐺[50000 ∫ 𝑑𝑥

4

0

+ 22331,1 ∫ 𝑑𝑥

6

0

] =1

𝐸. 𝐴𝑄

[50000 . [𝑥]04 + 22331,1 . [𝑥]0

6 ]

𝛿𝑄 =1

30,75 . 107𝑁[50000 𝑁 . 4𝑚 + 22331,1𝑁 . 6 𝑚 ] = 0,0010861 𝑚

𝛿𝑄 =1

30,75 . 107𝑁[333,987 . 103 𝑁. 𝑚 ] = 0,0010861 𝑚

Assim, tem-se o valor do deslocamento horizontal do ponto b:

b = M + N + Q = 0,04458 + 0,00005690 + 0,0010861 = 0,045723 m

b = 0,045723 m O valor positivo indica que o sentido arbitrado para a força virtual unitária está correto, ou seja, o ponto b desloca de fato vale 0,045723 m para a direita. Analisando a parcela de contribuição de cada esforço no deslocamento total do ponto b tem-se:

M = M / b = 0,04458 /0,045723 = 97,50 % do deslocamento total de b.

N = N / b = 0,00005690 /0,045723 = 0,124 %

Q = Q/ b = 0,0010861/0,045723 = 2,375 % Este resultado demonstra que a contribuição do esforço Normal e do esforço cortante pode ser desprezada para as estruturas reticuladas usuais: vigas, pórticos, grelhas; Assim, o deslocamento de b considerando apenas a contribuição do momento fletor vale:

b = 0,04458 0,0457 m

0,045 0,046 m


20

Quando se trabalha com estruturas compostas por barras retas de seção

transversal constante e de propriedades constantes, pode-se evitar o desenvolvimento

analítico da integral que ocorre na equação (15) utilizada para vigas e pórticos bem

como na equação (16) adotada para as grelhas;

Para evitar o processo trabalho de integração o pesquisador A. N.

Vereshchagin desenvolveu uma tabela de integração, a qual fornece equações que

geram resultados numericamente iguais aos obtidos no processo de integração. Esta

tabela é apresentada nesta apostila como tabelas 3a e 3b.

A utilização das tabelas de integração permite escrever as equações (15) e (16)

da seguinte forma respectivamente:

𝜹 = ∑ [ 𝟏

𝑬. 𝑰 [∑ 𝑒𝑞𝑠. 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎 3 ] ]

0

𝑖=1,2,𝑛

(estruturas usuais: vigas, pórticos) (17)

No caso de grelhas usuais, quando as propriedades da seção e o momento

torçor são constantes ao longo do comprimento da barra, estes podem sair da integral, o que permite escrever:

𝜹 = ∑ [ 𝟏

𝑬. 𝑰 [∑ 𝑒𝑞𝑠. 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎 3 ] +

𝟏

𝑮 . 𝑱∫ �̅�𝑻

𝟎

𝒙

. 𝒅𝒙 ]

0

𝑖=1,2,𝑛

𝜹 = ∑ [ 𝟏


𝟏

𝑮 . 𝑱. �̅�𝑻 . ∫ 𝒅𝒙

𝟎

𝒙=𝑳

]

0

𝑖=1,2,𝑛

𝜹 = ∑ [ 𝟏


𝟏

𝑮 . 𝑱. �̅�𝑻 . 𝑳𝒃𝒂𝒓𝒓𝒂]

0

𝑖=1,2,𝑛

𝜹 = ∑ [ 𝟏


�̅�𝑻 . 𝑳𝒃𝒂𝒓𝒓𝒂

𝑮 . 𝑱]

0

𝑖=1,2,𝑛

(estruturas usuais: grelhas)(18)

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