MÉTODO PROBABILÍSTICO PARA AVALIAÇÃO DA … · Palavras-chave: Estabilidade de Barragens de...

Congresso de Métodos Numéricos em Engenharia 2015 Lisboa, 29 de Junho a 2 de Julho, 2015

© APMTAC, Portugal, 2015

MÉTODO PROBABILÍSTICO PARA AVALIAÇÃO DA ESTABILIDADE DE BARRAGENS DE ATERRO

UM ESTUDO DE ITAIPU

Tereza R. Mafioleti1*, Anselmo Chaves Neto2, Josiele Patias3, Sheila R. Oro2 e Luiz A. Teixeira Júnior4

1: Universidade Tecnológica Federal do Paraná Campus Francisco Beltrão

Linha Santa Bárbara s/n CEP 85601-970 - Caixa Postal 135 - Francisco Beltrão, Paraná, Brasil [email protected]

2: Programa de Pós-Graduação em Métodos Numéricos em Engenharia

Universidade Federal do Paraná Centro Politécnico, CEP 81531-990, Caixa Postal 19081, Curitiba, Paraná, Brasil

[email protected], [email protected]

3: Divisão de Engenharia Civil e Arquitetura - Itaipu Binacional Av. Tancredo Neves, 6731, CEP 85856-970, Foz do Iguaçu, Paraná, Brasil

[email protected]

4: Universidade Federal da Integração Latino Americana Parque Tecnológico de Itaipu

Av. Tancredo Neves, 6731, CEP 85867-900, Caixa Postal 2039, Foz do Iguaçu, Paraná, Brasil [email protected]

Palavras-chave: Estabilidade de Barragens de Aterro, Confiabilidade Estrutural, First Order Reliability Method (FORM), Índice de Confiabilidade, Probabilidade de Ruptura.

Resumo. Este trabalho apresenta uma abordagem de Confiabilidade Estrutural para a análise da Estabilidade de Barragens de Aterro. O método tem por base o FORM (First Order Reliability Method). Artifícios são usados para o cálculo das derivadas parciais e para a obtenção das raízes da função implícita que descreve o desempenho da estrutura. A seção transversal localizada na Est. 122+00 da Barragem de Terra da Margem Esquerda da Usina de Itaipu foi utilizada para aplicação do método. A retroanálise dos coeficientes de permeabilidade de projeto dos materiais da barragem com o uso do software SEEP/W® permitiu a obtenção de valores mais próximos dos atuais. As variáveis aleatórias foram coesão efetiva e ângulo de atrito interno efetivo da argila compactada do corpo da barragem. A função escolhida para descrever o desempenho da estrutura foi o Fator de Segurança de Bishop Simplificado. Durante o processo iterativo do FORM, foram realizados acessos ao SLOPE/W® para a obtenção do Fator de Segurança no mesmo arquivo que continha as informações de fluxo atualizadas. O Índice de Confiabilidade obtido foi de 4,323, valor aceitável para estruturas de barragens de terra de acordo com a literatura e que corresponde à Probabilidade de Ruptura de 0,00077%.

Tereza R. Mafioleti, Anselmo Chaves Neto e Josiele Patias, Sheila R. Oro, Luiz A. Teixeira Júnior

2

1. INTRODUÇÃO

O estudo da estabilidade de taludes, no início do século XX deu origem ao Método do Equilíbrio Limite. Em tal método, considera-se que a superfície de ruptura é de forma circular, que o solo se fragmenta em fatias ou lamelas e que a ruptura ocorre de forma brusca, sem deformações. Um dos primeiros resultados publicados e de magnitude internacional foi o de [1]. Depois deste, destaca-se o surgimento de outros Métodos do Equilíbrio Limite com diferentes hipóteses e aperfeiçoamentos: Bishop (1955), Janbu et. al (1956), Lowe e Karafiath (1960), Morgenstern e Price (1965), Spencer (1967), Janbu(1973), Sarma (1973) de acordo com [2]. Como indicativo de segurança, o método apresenta o Fator de Segurança (FS). Tal abordagem não considera a variabilidade dos parâmetros do solo. Dentre alguns motivos, a variabilidade ocorre pela diversidade de valores que um parâmetro assume devido aos locais de coleta das amostras, pelas diferentes interpretações durante os ensaios geotécnicos, e até mesmo por erros humanos nos ensaios, [3]. Uma vez que o FS é uma função de variáveis que podem ser tratadas como aleatórias, o mesmo está sujeito a variabilidade, [4]. Preocupações com a variabilidade dos dados no estudo da estabilidade estrutural tiveram os seus primeiros resultados, de repercursão mundial, publicados a partir da década de 60, pode-se citar [5], [6], [7], [8], [9]. Os métodos de Confiabilidade Estrutural consideram a variabilidade das variáveis envolvidas no problema de estabilidade estrutural. Quando aplicados à análise da estabilidade de taludes, apresentam um Índice de Confiabilidade ( ) para a estrutura e avaliam a Probabilidade de Ruptura (pr) do talude. Os problemas de geotecnia acompanharam o início e desenvolvimento das técnicas de Confiabilidade Estrutural. Pode-se observar a existência de material didático no assunto aplicado à geotecnia, [10], e a coletânea de trabalhos de estatística aplicada na geotecnia, [11]. A barragem de aterro de uma Usina Hidrelétrica (UHE) em operação está sujeita às condições impostas pela pressão d’água em seu corpo e fundação. A verificação da estabilidade desta, considerando a alteração das tensões devidas à carga hidráulica e a variabilidade dos parâmetros do solo que compõem o aterro é importante para complementação das medidas que visam à segurança da estrutura. Em se tratando da magnitude de uma barragem de UHE, o risco não implica apenas em danos estruturais, mas também envolve danos à estrutura urbana vizinha, às pessoas, animais, indústrias, dentre outros. Este artigo apresenta um método probabilístico para a avaliação da Estabilidade de Barragens de Aterro. O método, que tem como base o algoritmo de Confiabilidade Estrutural First Order Reliability Method (FORM), traz consigo maneiras de superar as dificuldades impostas pela sua utilização quando aplicado ao problema em questão. Um estudo foi realizado na seção da Est. 122+00 da Barragem de Terra da Margem Esquerda (BTME) da UHE Itaipu Binacional, localizada em Foz do Iguaçu, Paraná, Brasil. Para que as condições de fluxo fossem consideradas, os coeficientes de permeabilidade (k) dos materiais, definidos na época de projeto, foram atualizados através de uma retroanálise com os dados de piezômetros instalados na estrutura. As variáveis consideradas aleatórias foram coesão efetiva (c’) e ângulo de atrito interno efetivo ( ’) da argila plástica do corpo da barragem. As variáveis (peso específico), c’, e ' dos demais materiais que compõem a estrutura foram consideradas com valores fixos.


3

2. BARRAGEM DE TERRA DA MARGEM ESQUERDA A Barragem de Terra da Margem Esquerda (BTME) da Usina Hidrelétrica de Itaipu Binacional possui 2.294 metros de comprimento e a sua altura chega a 30 metros na parte inicial. Em sua fundação estão presentes as camadas de basalto, basalto alterado, saprolito e argila plástica vermelha. O seu corpo é composto por argila plástica vermelha compactada oriunda da área de empréstimo próxima a sua estrutura, e as suas bermas são compostas por materiais provenientes das escavações necessárias à construção da Barragem de Enrocamento, [12].

Figura 1: Seção da Estaca 122+00. Na figura: 5. Rip rap; 6. Argila plástica compactada; 7. Filtro de areia

artificial; 8. Eixo da barragem; 9. Bermas; 11. Argila plástica da fundação; 12. Saprolito; 13. Basalto intemperizado; 14. Basalto denso.

Fonte: Itaipu, 2009.

Na seção (Figura 1) estão instalados piezômetros standpipe. O piezômetro é um instrumento composto por um tubo com ranhuras na sua parte inferior, o qual é fixado em material permeável. Acima do material permeável há um selo de bentonita para o isolamento das pressões na circunvizinhança, conforme descrito por [13] (ver Figura 2). O instrumento mede, além da pressão neutra, a subpressão a partir da camada de solo em que está instalado. O comprimento da coluna d’água no tubo é medido com um dispositivo conhecido como pio elétrico, e então obtem-se a cota piezométrica (H) pela equação de Bernoulli:

2w

w

u vH Z2g

(1)

onde uw é a pressão da água nos poros (pressão neutra), w é o peso específico da água, v é a velocidade de percolação, g é a aceleração da gravidade e Z é a cota de instalação do piezômetro. Nos casos em que a permeabilidade do solo é muito pequena, a segunda parcela é desnecessária, pois a velocidade de percolação também é muito pequena. Então, a soma do comprimento da coluna d’água medido com a cota de instalação do instrumento resulta na cota piezométrica H, que no caso da barragem de Itaipu é dada em unidades de metros sobre o nível do mar (msnm).


4

A cota H pode ser determinada em qualquer ponto do aterro ou fundação, pela resolução da equação do fluxo bidimensional de Laplace:

2 2

x y2 2

H Hk k 0x y

(2)

onde kx e ky são os coeficientes de permeabilidades nas direções x e y respectivamente. Pode-se atualizar os coeficientes de permeabilidade da época do projeto com auxílio da modelagem, por comparações das subpressões do modelo do fluxo (Equação 2) com as cotas piezométricas obtidas das medições atuais. Dentre as formas de resolução da Equação (2) destaca-se o Método dos Elementos Finitos (MEF). Este método encontra-se disponível em alguns aplicativos, tal como SEEP/W®.

Figura 2: Esquema de um piezômetro standpipe.

Fonte: Silveira, 2006

3. O FATOR DE SEGURANÇA O Método do Equilíbrio Limite considera o equilíbrio das forças e dos momentos em uma superfície de ruptura do talude. A análise é feita bidimensionalmente em uma seção transversal da barragem. Quando apenas o equilíbrio das forças ou dos momentos é considerado, o método é dito simplificado, [2]. Para o método de Bishop Simplificado o Fator de Segurança é dado por:


5

R

A

MFSM

(3)

onde MR é o momento resistente e MA é o momento atuante. Para que a estrutura esteja estável é preciso que FS seja maior que 1, o que equivale a afirmar que o momento resistente é maior que o atuante. Se FS = 1, a estrutura está na eminência da ruptura, e para FS < 1, a ruptura é certa. O Fator de Segurança é o mesmo ao longo de toda a superfície de ruptura, e a resistência ao cisalhamento mob em cada ponto da superfície é dada pelo critério de Mohr-Coulomb:

mob w1 c ' ( u ) tg '

FS (4)

onde c’ é a coesão efetiva, é a tensão normal, uw é a pressão neutra e ' é o ângulo de atrito interno efetivo. O equilíbrio total é obtido do somatório dos momentos de cada uma das fatias sobre a superfície de escorregamento. A Figura (3) ilustra isso, [14].

Figura 3: Superfície circular de ruptura, fatias e forças atuantes.

Fonte: Cruz, 2004.

Onde n n 1E , E são as forças horizontais nas seções n e n+1, n n 1X , X são as forças de cisalhamento verticais nas seções n e n+1, P é o peso atuante na fatia, é o ângulo que a força normal faz com a vertical, x é a distância horizontal do centro da lamela ao eixo de


6

rotação, r é o raio do círculo de ruptura, é o comprimento do arco da base da fatia e b é a largura da lamela. Assim, o momento resistente e o momento atuante são dados por:

R wrM [c ' ( u )tg ']

FS (5)

AM P x (6)

Então, pela substituição de (5) e (6) em (3), com mais algumas deduções e hipóteses simplificadoras, tem-se o Fator de Segurança de Bishop Simplificado:

w

w

u1 secFS c ' b tg ' P (1 ) tg ' tgP sen 1FS

(7)

O Método do Equilíbrio Limite considera que o solo rompe-se bruscamente sem deformar-se e que as equações do equilíbrio estático são válidas até a eminência da ruptura. Atualmente existem alguns softwares para o cálculo do FS e análise de estabilidade de taludes, tal como SLOPE/W®.

4. CONFIABILIDADE ESTRUTURAL O Fator de Segurança de Bishop Simplificado fornece informação sobre o desempenho da estrutura. A violação da condição de FS > 1 implica em desempenho insatisfatório, ou seja, ocorrência de ruptura, e, em termos de Confiabilidade Estrutural, é interpretada como a violação do estado limite. A Confiabilidade Estrutural preocupa-se com o cálculo da probabilidade da violação do estado limite das estruturas de engenharia em qualquer fase da sua vida, [9]. Se X é o vetor aleatório das variáveis de resistência e solicitação, G(X) é a função do estado limite para a qual a violação ocorre quando G(X) 0 e Xf (x) é a função densidade probabilidade conjunta de X , então a Probabilidade de Ruptura ( rp ) é dada por:

r XG X 0

p P G X 0 ... f (x)dx

(8)

Muitas vezes as funções densidade probabilidade (f.d.p.) das variáveis de resistência e solicitação são desconhecidas. Mesmo nos casos em que são conhecidas e é possível determinar Xf (x) , o cálculo de (8) é inviável. O FORM é uma alternativa para superar esta dificuldade.

4.1. First Order Reliability Method (FORM) O FORM desenvolve-se no espaço onde as variáveis são independentes e normais com média zero e desvio padrão um. Tal espaço é chamado normal padronizado, ou reduzido.


7

A função do estado limite G(X) , dá origem à equação do estado limite G(X) 0 e esta é escrita em função das variáveis do espaço reduzido ( g(z) 0 ). O Índice de Confiabilidade consiste na menor distância entre a origem do espaço reduzido e a superfície do estado limite g(z) 0 . O ponto da superfície g(z) 0 mais próximo à origem do espaço reduzido corresponde aos valores mais prováveis que as variáveis devem assumir para que ocorra a ruptura e é chamado ponto de projeto. O método consiste na linearização da superfície do estado limite g(z) 0 nas proximidades do ponto de projeto. Os passos de iteração do método são os seguintes, [8]. 1) Seja T

1 2 nX (X , X ,..., X ) o vetor com as n variáveis aleatórias normais não correlacionadas. Deve-se escrever o vetor T

1 2 nz (z , z ,..., z ) das variáveis aleatórias padronizadas, ou seja, com distribuição normal com média zero e desvio padrão 1:

i

i

i Xi

X

Xz

, i = 1, …, n (9)

onde iX e

iX são a média estimada e o desvio padrão estimado da variável iX . 2) Então, isolando as variáveis aleatórias iX , i = 1, ..., n em (9) e substituindo em G(X) tem-se a equação do estado limite em função das variáveis padronizadas:

1 1 2 2 n nX 1 X X 2 X X n Xg(z) g( z , z ,..., z ) 0 (10)

3) Um novo ponto de projeto * * * * T1 2 nz (z , z ,..., z ) é escrito em função do Índice de

Confiabilidade e dos cossenos diretores i , i = 1, ..., n: *i iz , i = 1, ..., n (11)

Os cossenos diretores i , i = 1, ..., n, são calculados com as variáveis do espaço reduzido:

i

j

zi

i 2n

zj 1 j

gz

gz

, i = 1, ..., n (12)

onde iz refere-se ao desvio padrão da variável iz no espaço reduzido.

4) A equação do estado limite é escrita em função de , de acordo com (10) e (11) de maneira que pela sua resolução tem-se um Índice de Confiabilidade inicial:

1 1 2 2 n nX 1 X X 2 X X n Xg( ) g( ( ) , ( ) ,..., ( ) ) 0 (13)

5) Obtido , novos valores são calculados para as variáveis do espaço normal original:


8

i ii X X iX , i = 1, ..., n (14)

O processo repte-se a partir de 1) até que a diferença em valor absoluto entre o Índice de Confiabilidade da última iteração e o da itearção anterior seja menor que algum desejável. Com o valor do índice final, a Probabilidade de Ruptura é dada por:

rp 1 ( ) (15)

onde ( ) é a função densidade acumulada da variável normal padrão. Para os casos em que há dependência entre as variáveis, pode ser realizada uma transformação dos dados em não correlacionados com a matriz T dos autovetores normalizados da matriz de correlação estimada das variáveis:

X XX [ ]Tz (16)

onde X[ ] é a matriz diagonal com os desvios padrões estimados de X e X é o vetor das médias estimadas de X . Dentre as dificuldades encontradas no método estão o cálculo das derivadas parciais e o cálculo das raízes de funções do estado limite implícitas, tal como o FS de Bishop Simplificado. Na seção 4.2 apresenta-se uma forma de superar estes obstáculos, [15].

4.2. Soluções para as dificuldades na aplicação do FORM quando a função de desempenho é implícita

Para o cálculo das derivadas parciais de funções implícitas g em relação a iz pode-se utilizar a aproximação

1 2 i n 1 2 i n

i

g(z ,z ,..., z h,...z ) g(z ,z ,..., z ,...z )gz h

(17)

onde h é um incremento no valor da variável iz . Ainda que seja possível obter as derivadas parciais de g, existe a dificuldade na determinação das raízes de g( ) (Equação 13). A idéia proposta consiste em aproximar g( ) por uma série de Taylor de segunda ordem a partir de um suposto Índice de Confiabilidade inicial 0 , [15]:

0 0

22

0 0 02

g 1 gg( ) g( ) ( ) ( )2

(18)

De forma que 0g( ) corresponde ao valor de g para os novos valores do ponto de projeto *z calculados com 0 . As derivadas parciais de g em relação a em 0 são obtidas

com


9

0 0

ni

i 1 i

zg gz

(19)

de forma que a derivada de g em relação a iz é obtida de (17) e a derivada iz com relação a é obtida de (11). A derivada parcial de segunda ordem de g em relação a é

00

22 2n

i2 2

i 1 i

zg gz

(20)

onde

21 2 i n 1 2 i n 1 2 i n

2 2i

g(z , z ,..., z 2h,..., z ) 2g(z , z ,..., z h,..., z ) g(z , z ,..., z ,..., z )gz h

(21)

Fazendo

0 0

20 0 01 0 2 3 2

g ga g( ), a , a

(22)

a aproximação da equação g( ) 0 pela série de Taylor de segunda ordem apresentada em (18) é

0 0 0 21 2 0 3 0

1g( ) a a ( ) a ( ) 02

(23)

donde obtém-se

0 0 2 0 02 2 1 3

0 01

a (a ) 4a a2a

, desde que 0 2 0 02 1 3(a ) 4a a 0 (24)

E então, com na expressão (14) novo ponto de projeto é obtido. Considera-se 1 e dá-se continuidade ao processo iterativo descrito na seção 4.1 para a obtenção de Índices de Confiabilidade sucessivos, de forma que tem-se a seguinte relação a cada iteração m

m m 2 m m2 2 1 3

m 1 m m1

a (a ) 4a a2a

, desde que m 2 m m

2 1 3(a ) 4a a 0 (25)

5. RETROANÁLISE DOS COEFICIENTES DE PERMEABILIDADE A retroanálise dos coeficientes de permeabilidade k pela seção da Est. 122+00 foi realizada com a cota piezométrica média obtida das leituras dos piezômetros PS-K-02, PS-K-05 e PS-K-06 no período de janeiro de 2008 a dezembro de 2013 (Tabela 1). O nível do


10

reservatório considerado foi a média dos níveis para o mesmo período: 219,585 msnm.

Tabela 1: Valores médios das cotas piezométricas entre 2008 e 2013.

Os coeficientes de permeabilidade iniciais são os indicados por [16] (Tabela 2). A argila plástica do corpo da barragem apresenta a razão entre coeficiente de permeabilidade vertical e horizontal de 0,25.

Tabela 2: Coeficientes de permeabilidade iniciais.

Os coeficientes de permeabilidade a serem alterados no processo de retroanálise foram os da argila compactada, argila da fundação, bermas, saprolito e basalto alterado. O erro considerado foi a diferença ao quadrado entre a cota piezométrica média e o valor apontado pelo modelo do fluxo (Equação 2). O ajuste previu o menor somatório dos erros. A alteração dos coeficientes de permeabildiade dos demais materiais após o ajuste feito para o k da argila compactada gerou aumento nos erros. De acordo com a Tabela 3 o somatório dos erros foi de 0,07975.

Tabela 3: Diferenças ao quadrado entre as cotas piezométricas médias e as do modelo.

Para a resolução do modelo do fluxo (Equação 2) foi utilizado o aplicativo SEEP/W® e as alterações dos coeficientes de permeabilidade foram realizadas manualmente. Os coeficientes de permeabilidade obtidos ao final do processo de retroanálise são mostrados na Tabela 4.


11

Tabela 4: Coeficientes de permeabilidade finais.

A cota piezométrica descrita pelo modelo do fluxo bidimensional (Equação 2) para os coeficientes de permeabilidade finais é apresentada pela linha azul na Figura 4. O basalto está em azul, a camada de basalto alterado está em amarelo, o saprolito é a camada laranjada, e a argila da fundação é a parte roxa. A argila compactada está em marrom, as bermas são verdes, o filtro é a parte cinza e o rip rap é a rosa.

Figura 4: Linha piezométrica apontada pelo modelo na seção da Est. 122+00.

6. ÍNDICE DE CONFIABILIDADE DA SEÇÃO DA EST. 122+00 As variáveis aleatórias para o problema em questão foram coesão efetiva (c’) e ângulo de atrito interno efetivo ( ' ) da argila compactada do corpo do aterro. Os valores-p dos testes de Shapiro-Wilk e Kolmogorov-Smirnov foram superiores a 5%, o que não permitiu a rejeição da hipótese de que as variáveis sejam normais com 95% de confiança. Assim, foi assumida a normalidade para as variáveis conforme a Tabela 5.

Tabela 5: Média e desvio padrão das variáveis aleatórias com distribuição normal.

A correlação estimada entre as variáveis pode ser vista na matriz R. O valor-p do teste de significância, menor que 5%, mostrou que a correlação de Pearson é significativa.


12

1 0,5401R

0,5401 1

As variáveis peso específico ( ), coesão efetiva (c’) e ângulo de atrito interno efetivo ( ') dos demais materiais, que não foram consideradas aleatórias e que estão envolvidas na análise são mostradas na Tabela 6.

Tabela 6: Valores das variáveis consideradas não aleatórias.

Após a retroanálise dos coeficientes de permeabilidade, foi determinado o Índice de Confiabilidade da seção da Est. 122+00 pelo método FORM (seção 4.1) com o cálculo das derivadas parciais de g e da aproximação de g( ) pela série de Taylor de segunda ordem (seção 4.2). Para a aproximação das derivadas parciais foi utilizado h = 0,001 e o Índice de Confiabilidade inicial considerado foi 0 3,0 . Os incrementos de h ou 2h foram realizados nas variáveis do espaço reduzido. Após a alteração da variável *

iz pela soma de h ou de 2h, as variáveis de *z foram escritas no espaço original de acordo com a expressão (16). O cálculo do Fator de Segurança de Bishop Simplificado, presente na função do estado limite, foi realizado no aplicativo SLOPE/W® no arquivo que continha as informações do fluxo previamente atualizadas. Na análise, foi considerada uma superfície de ruptura fixa, passando pela camada de saprolito que é altamente permeável. A superfície de ruptura com as suas lamelas ao término do processo iterativo é apresentada na Figura 5.

Figura 5: Superfície de ruptura no final da análise na seção da Est. 122+00.

O valor do Índice de Confibilidade obtido ao final do processo iterativo foi 4,323, a


13

Probabilidade de Ruptura correspondente foi rp 0,00077% e o ponto de projeto c ' 5,7368 KPa e ' 27,406 . O FS calculado no ponto de projeto foi de 3,184.

7. CONCLUSÕES

O Índice de Confiabilidade 4,323 está no intervalo de 3,5 a 5,0, indicado por [17] para barragens de terra, o que motra que a estrutura está em boas condições de segurança. Na época do projeto não foi realizado estudo como este, apenas foi calculado o Fator de Segurança de Bishop Simplificado para algumas seções considerando que os filtros estavam inoperantes. Os Fatores de Segurança de projeto em sua maioria foram menores que o FS obtido neste estudo. Conclui-se que para a superfície de ruptura escolhida, nas regiões próximas a seção da Est. 122+00 a barragem está mais resistente que o previsto em projeto nas condições à longo prazo. É provável que existam outras superfícies de deslizamento na mesma seção com maior Probabilidade de Ruptura. Observou-se a precisão dos dados previamente selecionados por [16], pois apenas a alteração do coeficiente de permeabilidade da argila plástica do corpo da barragem foi suficiente para uma retroanálise satisfatória. Para que ocorra a convergência do FORM com o cálculo aproximado das derivadas parciais e com a aproximação da superfície de falha por uma série de Taylor de segunda ordem em função de , é necessária a escolha de h e de 0 adequados. Assim, o início do processo exige mais tempo. O método aqui apresentado precisa ser aprimorado e merece reflexão.

AGRADECIMENTOS - Itaipu Binacional. - Fundação do Parque Tecnológico de Itaipu (FPTI). - Centro de Estudos Avançados em Segurança de Barragens (CEASB). - Universidade Estadual do Oeste do Paraná (UNIOESTE) Campus Foz do Iguaçu. - Programa de Pós-Graduação em Métodos Numéricos em Engenharia (PPGMNE), UFPR. - Pró-Reitoria de Pesquisa e Pós-Graduação (PROPPG) UTFPR, pela viabilização deste

estudo via Portaria nº. 0456/2014;

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– O caso da Linha do Norte, Dissertação (Mestrado) - Curso de Engenharia Civil, Departamento de Departamento de Engenharia Civil, Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto, Porto, (2010).


14

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