METODOLOGIA DO ENSINO DE MATEMÁTICA 2

AULA 4_2

Teoria dos Campos Conceituais: Campo Aditivo e Campo Multiplicativo• Atividade: • Problemas envolvendo as ideias do campo aditivo e

multiplicativo• Bibliografia:• NUNES, Terezinha; CAMPOS, Tânia Maria Mendonça;

MAGINA, Sandra; BRYANT, Peter. Educação Matemática: números e operações numéricas. São Paulo, Cortez Editora. 2005.

• Revista Nova Escola - Matemática – edição especial. Editora Abril.

*Teoria dos Campos Conceituais• O psicólogo francês Gérard Vergnaud desenvolveu a Teoria dos

Campos Conceituais, que diferencia campo aditivo de campo multiplicativo, identificando as particularidades de cada um, mas também ressaltando o que elas têm em comum;

• Pela Teoria dos Campos Conceituais, deve-se, no trabalho em sala de aula, inicialmente, apresentar a situação-problema e, em seguida, promover a discussão sobre as possíveis estratégias para resolução;

• Deve-se desenvolver a compreensão dos conceitos por trás das operações e dar condições às turmas para que joguem com as estruturas aditivas e multiplicativas, evidenciando as relações existentes entre as operações;

Teoria dos Campos Conceituais• Pela Teoria dos Campos Conceituais, a compreensão dos

conceitos referentes às operações de multiplicação e divisão deve começar a ser construída desde as primeiras séries. Problemas envolvendo os conceitos de multiplicação e divisão devem ser explorados em um trabalho continuado que percorra toda a escolaridade;

• O campo aditivo e o campo multiplicativo podem ser ensinados paralelamente e de maneira não linear. As relações entre adição e multiplicação e entre subtração e divisão também devem ser explicitadas.

Teoria dos Campos Conceituais• Segundo Célia Maria Carolino Pires, coordenadora do curso

de licenciatura em Matemática da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo:

• “As crianças não resolvem problemas só quando já têm um modelo pronto”. As estratégias encontradas, a maneira como defendem ou validam o que fizeram e a comparação com as soluções dos colegas têm tanto ou mais valor que o resultado certo.”

• “A prática de socializar com a classe as soluções encontradas “ajuda as crianças a perceber as diferentes formas de encontrar a solução e permite que elas façam as escolhas dos procedimentos mais práticos e econômicos.”

Sistematização do conhecimento• As estratégias de representação são úteis e importantes para a

compreensão das operações, mas, quando diferentes maneiras de calcular são discutidas pelo grupo, validadas pelo professor, e a grandeza dos números envolvidos cresce, é hora de sistematizar o conhecimento;

• “É preciso dar conta das idéias que estão por trás do concreto; é importante ter algo que possa ser generalizado, com conhecimento que já foi incorporado e que possa ser usado sem ser preciso inventar uma estratégia a cada problema”, explica Esther Pillar Grossi, doutora em Psicologia da Inteligência e coordenadora do Grupo de Estudos sobre Educação, Metodologia da Pesquisa e Ação, em Porto Alegre;

Estratégias de resolução• “O interessante do trabalho com atividades que envolvem

divisibilidade é o potencial de discutir estratégias e, em conjunto, elaborar hipóteses de generalização de fenômenos, o que, mais tarde, as turmas verificarão serem propriedades da divisão”, destaca Priscila Monteiro, formadora do programa Matemática é D+ da Fundação Victor Civita.

• O aluno pode não ter familiaridade com o algoritmo nem perceber que a adição repetida faz parte do caminho para a multiplicação, mas vai se apropriando do conceito referente à operação.

Diferenças de Abordagem• O enunciado e os caminhos que o aluno usa para resolver os

desafios:• Enunciado: a incógnita pode estar em qualquer parte do enunciado.• Não há palavra-chave: as crianças precisam analisar os dados do

problema para decidir a melhor estratégia a ser utilizada.• Pensamento do aluno: o aluno tem mais autonomia e o pensamento

fica menos engessado, devido às várias possibilidades de chegar ao valor final.

• Resolução: está atrelada à análise das informações e à criação de procedimentos próprios.

• Interação professor-aluno: o professor propõe discussões em grupo e o aluno tem recursos para justificar seus procedimentos.

• Registro: o percurso do raciocínio é valorizado.• * Excertos de texto da Revista Nova Escola.

As operações de adição e subtração são da mesma natureza e podem ser usadas para resolver problemas que envolvem ganhar, perder, acrescentar, tirar e comparar.

Vergnaud divide o campo aditivo em classes:

• Transformação: alteração do estado inicial por meio de uma situação positiva ou negativa que interfere no resultado final – ACRESCENTAR / TIRAR;

• Combinação de medidas: junção de conjuntos de quantidades preestabelecidas - JUNTAR;

• Comparação: confronto de duas quantidades para achar a diferença - COMPARAR;

• Composição de transformações: alterações sucessivas do estado inicial – ACRESCENTAR-ACRESCENTAR / ACRESCENTAR –TIRAR / TIRAR – TIRAR;

Campo Aditivo

Vergnaud divide o campo multiplicativo em três classes:

ProporcionalidadeOrganização retangular

Combinatória

Até o 5º ano do Ensino Fundamental é importante trabalhar com três conceitos de Campo Multiplicativo: a proporcionalidade, a organização retangular e a análise combinatória;

Campo Multiplicativo

A criança percebe a regularidade entre elementos de uma tabela e deve também ter a oportunidade de constatar a idéia da proporcionalidade inversa, ou seja, a diminuição proporcional de um dos elementos com o aumento do outro

REGULARIDADE

A está para B na mesma medida em que C está para D

A X B = C A = C B = C B A

Proporcionalidade

• PROBLEMA• Na festa de aniversário de Carolina, cada criança

levou 2 refrigerantes. Ao todo, 8 crianças compareceram à festa. Quantos refrigerantes havia?

Proporcionalidade (1)

• VARIAÇÕES• 8 crianças levaram 16 refrigerantes ao aniversário de

Carolina. Se todas as crianças levaram a mesma quantidade de bebida, quantas garrafas levou cada uma?

• Numa festa de aniversário foram levados 16 refrigerantes pelas crianças e cada uma delas levou 2 garrafas. Quantas crianças havia?

• 4 crianças levaram 8 refrigerantes à festa. Supondo que todas levaram o mesmo número de garrafas, quantos refrigerantes haveria se 8 crianças fossem à festa?

PROBLEMAMarta tem 4 selos. João tem 3 vezes mais do que ela. Quantos selos tem João?

Proporcionalidade (2)

VARIAÇÕESJoão tem 12 selos e Marta tem a terça parte da quantidade do amigo. Quantos selos tem Marta?

João ganhou mais 6 selos de sua tia. Quantos selos Marta precisa ganhar para continuar com a terça parte da quantidade do amigo?

Também conhecida como análise dimensional ou produto de medidas, pode ter mais questões de seu potencial de complexidade tratadas nas séries iniciais; algumas propostas envolvem o desafio de descobrir a área de uma superfície, quantas peças cabem em um tabuleiro, o número de casas ou a posição de uma casa específica em jogos com tabelas numéricas;

• ANÁLISE DIMENSIONAL

Organização Retangular

• PROBLEMA• Um salão tem 5 fileiras com 4 cadeiras em cada uma.

Quantas cadeiras há nesse salão?

ORGANIZAÇÃO RETANGULAR

• VARIAÇÕES• Um salão tem 20 cadeiras, com 4 delas em cada

fileira. Quantas fileiras há no total? • Um salão tem 20 cadeiras distribuídas em colunas e

fileiras. Como elas podem ser organizadas?• De que forma pode ser organizado o salão para

serem colocadas mais 5 cadeiras? Quantas cadeiras serão, no total?

• E para serem colocadas mais 4 cadeiras? Neste caso, quantas cadeiras serão, no total?

Os desafios que desenvolvem combinação são adaptados para as séries iniciais e a garotada faz representações usando desenhos ou identificando, com outras notações, elemento por elemento no papel, e somente depois faz a contagem;

• FORMAÇÃO DE SUBCONJUNTOS

Combinatória

• PROBLEMA• Uma menina tem 2 saias e 3 blusas de cores

diferentes. De quantas maneiras ela pode se arrumar combinando as saias e as blusas?

Combinatória

• VARIAÇÕES• Uma menina pode combinar suas saias e blusas de 6

maneiras diferentes. Sabendo que ela tem apenas 2 saias, quantas blusas ela tem?

• Uma menina pode combinar suas saias e blusas de 6 maneiras diferentes. Sabendo que ela tem apenas 3 blusas, quantas saias ela tem?

Algumas sugestões para promover o desenvolvimento conceitual dos alunos no campo aditivo e multiplicativo*

• Os alunos aprendem mais se estão ativamente engajados em resolver problemas e raciocinar.

• O raciocínio aditivo baseia-se na coordenação de 3 esquemas da ação: juntar, separar e colocar em correspondência.

• Quando a criança consegue coordenar sua atividade prática com a contagem, ela se torna capaz de resolver problemas simples de adição e subtração.

• O raciocínio aditivo precisa ser coordenado com o uso de pelo menos dois sistemas de sinais: o sistema de numeração e os sinais + e -.

* Segundo Nunes et al.

Algumas sugestões para promover o desenvolvimento conceitual dos alunos no campo aditivo e multiplicativo*

• As tarefas propostas aos alunos devem ser adequadas a seu nível de domínio de outros aspectos que estão envolvidos no problema.

• Os conceitos de multiplicação e divisão têm origem nos esquemas de ação de correspondência um-a-muitos e de distribuir.

• Os professores precisam encontrar maneiras de fazer com que os alunos registrem suas estratégias de resolução de problemas para que elas possam ser discutidas, validadas e comparadas entre si.

* Segundo Nunes et al.

Algumas sugestões para promover o desenvolvimento conceitual dos alunos no campo aditivo e multiplicativo*

• A forma de apresentação do problema influencia o nível de sucesso dos alunos.

• Mesmo alunos que ainda não receberam instrução em multiplicação e divisão resolvem corretamente problemas práticos que envolvem esses raciocínios, usando seus esquemas de ação.

• Podemos promover o desenvolvimento do raciocínio aditivo com maior eficácia se introduzirmos os conceitos de multiplicação e divisão com base nesses esquemas de ação.

* Segundo Nunes et al.

Algumas sugestões para promover o desenvolvimento conceitual dos alunos no campo aditivo e multiplicativo*

• Alunos têm mais sucesso com problemas apresentados de maneira prática mas precisamos trabalhar também com problemas apresentados esquematicamente, através de desenhos e instruções orais.

• Os problemas inversos de multiplicação e divisão requerem a coordenação entre os dois esquemas e por isso são mais complexos.

• A representação do raciocínio aditivo requer instrumentos matemáticos que permitem representar a relação entre duas variáveis. As tabelas e gráficos são de grande utilidade neste contexto.

* Segundo Nunes et al.

Algumas sugestões para promover o desenvolvimento conceitual dos alunos no

campo multiplicativo*

• Os professores precisam encontrar maneiras de fazer com que os alunos registrem suas estratégias de resolução de problemas para que elas possam ser discutidas, validadas e comparadas entre si.

• As tarefas propostas aos alunos devem ser adequadas a seu nível de domínio de outros aspectos que estão envolvidos no problema.

* Segundo Nunes et al.

Algumas sugestões para promover o desenvolvimento conceitual dos alunos no campo

aditivo e multiplicativo*• A representação com tabelas e gráficos pode ser introduzida desde o

primeiro ano, pois quando o processo é feito gradualmente, utilizando-se elementos figurativos, os alunos não sentem dificuldade em trabalhar com essas formas de representação.

• Uma das diferenças conceituais entre o raciocínio aditivo e o raciocínio multiplicativo é o número de variáveis: a adição envolve uma variável e a multiplicação envolve duas variáveis.

• No caso do raciocínio aditivo sugere-se a utilização da reta numérica.• No caso do raciocínio multiplicativo sugere-se a utilização de tabelas e

gráficos. * Segundo Nunes et al.

Atividades - Problemas – Estruturas Aditivas

1. Helena tinha uma coleção com 15 cartões postais. Trouxe mais alguns de sua última viagem e ficou com 22. Quantos cartões postais ela trouxe da última viagem?

2. A professora trouxe para a sala de aula 15 livros de histórias de contos de fadas e 8 livros de histórias de aventura. Quantos livros a professora trouxe para a sala de aula?

3. Observe a lista de preços de uma loja: • Faça uma marca em duas coisas que você quer comprar. O

preço está na tabela acima. Quantos reais você vai gastar para comprar essas duas coisas? Rádio 12 reais

Pato de brinquedo 9 reais

Tesoura 3 reais

Agenda 6 reais

Garrafa 1 real

4. Dois amigos saíram de bicicleta e cada um foi para um lado. A menina pedalou 3 Km para um lado. O menino pedalou 5 Km para o outro lado. Qual é a distância que um teria que percorrer para chegar até o outro?

5. Jane está na casinha 14. Márcia está na casinha 5. Quem está na frente no jogo? Quantas casinhas Márcia precisa avançar para chegar até Jane?

6. O marcador de quilometragem do carro de Geraldo está indicando 4800 Km. Quando marcar 15000 km, ele deve levar o carro para revisão. Quantos km o carro pode ainda percorrer?

7. Adilson comprou uma casa por R$ 38.457,00 no ano passado. Neste ano, ele a vendeu por R$ 35.634,00.

De quanto foi o prejuízo de Adilson? Se o prejuízo fosse de R$ 4.362,00 quanto ele teria vendido a casa?

8. Um editora levou 2150 livro para uma feira, dos quais 1235 já foram vendidos. Quantos livros dessa editora ainda podem ser vendidos?

9. Fábio tem 420 chaveiros e Camila tem 185 a mais que Fábio. Quantos chaveiros tem Camila?

1. Bruna ganhou um encarte de bonecas e roupas de papel. Ela está recortando as roupas para vestir as bonecas. Há 4 bonecas no encarte. Se ela quer 3 vestidos diferentes para cada boneca, quantos vestidos ela deve recortar?

2. Marta, Antônio e Beatriz estão jogando um jogo da memória. O jogo tem 24 peças. Eles querem organizar as peças em 6 fileiras. Quantas peças devem colocar em cada fileira?

3. Luís fabrica queijos. Para cada quilo de queijo ele gasta 13 litros de leite. Essa semana ele fabricou 15 quilos de queijo. Quantos litros de leite ele gastou?

Problemas – Estrutura Multiplicativa

4. No final da rua há um restaurante onde coelhos vão almoçar. E cada casinha da rua moram três coelhos. Todos vão almoçar no restaurante da esquina. Coloque no restaurante uma bolinha de comida para cada coelho.

5. Em cada casa moram 4 cachorros. Cada cachorro vai ganhar um biscoito. Desenhe o número de biscoito que precisamos para que cada cachorro ganhe um biscoito .

Precisamos de ______ biscoitos

6. Esse edifício tem muitas janelas na frente. Por causa das árvores, você não consegue ver todas as janelas. É possível saber quantas janelas há na fachada do edifício?

1. Elabore um problema com recursos para crianças de 3º ano. 2. Informe se o problema é do campo aditivo ou multiplicativo e em que categoria se inclui. 3. Elabore o mesmo problema com variações na posição da incógnita.

Atividade

CAMPO ADITIVO•Transformação positiva de um estado inicial - ACRESCENTAR•Transformação negativa de um estado inicial - TIRAR•Combinação de medidas - JUNTAR•Comparação - COMPARAR•Composição de transformações – ACRESCENTAR/ACRESCENTAR; •TIRAR/TIRAR; ACRESCENTAR/TIRAR; TIRAR/ACRESCENTAR

CAMPO MULTIPLICATIVO•Proporcionalidade (1)•Proporcionalidade (2)•Organização Retangular•Combinatória