Métodos de Análise de Mapeamentos Não-Lineares com Aplicações · para a obtenção do título...

SBIIFUSP

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Universidade de So Paulo

Instituto de Fsica

Mtodos de Anlise de Mapeamentos

No-Lineares com Aplicaes Fsica

>/.... de Plasmas ~~t~~

Tese apresentada ao Instituto de Fsica da Universidade de So Paulo para a obteno do ttulo de Doutor em Cincias

Banca Examinadora:

Prof. Dr. Iber Luiz Caldas (Orientador / IF-USP)

Prof. Dr. Jos Carlos Sartorelli (IF-USP)

Prof. Dr. Felipe llizzatto (UFRGS)

Prof. Dr. Sylvio Ferraz de Mello (IAG-USP)

Prof. Dr.?;do"Egydio (UNESP-llio Claro)

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CI~"... r:;1 Kai Ullmann" ",-,0.'0 #:$ Maro de 1998

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I

FICHA CATALOGRFICA Preparada pelo Servio de Biblioteca e Informao do Instituto de Fsica da Universidade de So Paulo

Ullrnann, Kai Mtodos de Anlise de Mapeamentos No-Lineares com Aplicaes Fsica de Plasmas. So Paulo, 1997.

Tese (Doutoramento) Universidade de So Paulo. Instituto de Fsica - Departamento de Fsica Aplicada

rea de Concentrao: Fsica Nuclear Orientador: Prof. Dr. Iber Luiz Caldas

Unitermos: L Plasmas; 2. Sistemas Harniltonianos; 3. Limitadores Ergodicos; 4. Anlise Espectral; 5. Caos.

USPIIF/SBI - 75/97

"Take then good note of it. Nothing s too small.

I counsel you to see how true you guess. We learn

from failure, not from success!" - Bram Stoker

(Dracula).

"Ah, it is fault of our science that it wants to ex

plain all; and if it explains not, then it says there

is nothng to explain. Eut yet we see around us

every day the growth of new beliefs, which think

themselves new; and which are yet but the old, whi

ch pretend to be young - like the fine [adies at the

opera." - Bram Stoker (Dracula).

Agradecimentos

minha famlia.

Ao meu orientador.

Ao professor e amigo Jlio, que foi um dos primeiros a me levar ao caminho da Fsica.

Aos amigos Maurcio, Al, Paula, Serginho, e tantos outros, por seu constante apoio e

amizade durante a escrita desta tese.

Ao Dr. Wanderley Pires de S e ao Prof. Dr. Aluisio Neves Fagundes, pela inestimvel

ajuda em relao aos incontveis probleminhas de informtica.

Aos professores Dr. Constantino Ferro-Fontan (Universidade de Buenos Aires) e Dr. Ricardo

Luiz Viana (Universidade Federal do Paran) pelas discusses e sugestes, fundamentais para

o desenvolvimento deste trabalho.

s sempre prestativas Eleonora Lo Duca, Sylvia R. F. da Silva e Maria M. Vara (Lia).

A todos os meus amigos, colegas e professores do Laboratrio de Fsica de Plasma, cuja

convivncia tornou o trabalho desta tese mais agradvel.

Ao coordenador do Laboratrio de Fsica de Plasma da USP, Dr. Ivan C. Nascimento.

Ao Sylvio Luiz Thomaz de Souza pela leitura da tese e importantes sugestos.

E, "last but not least" , FAPESP pelo auxlio financeiro.

9

, Indice

Agradecimentos 5

Resumo 11

Abstract 13

1 Introduo 15

2 O Mapa Unidimensional Dissipativo 19

2.1 Osciladores suaves ....... . 19

2.2 Perturbaes impulsivas .... . 21

2.3 O mapa bidimensional dissipativo 23

2.4 O limite de alta dissipao . . . . 25

3 Anlise Dinmica do Mapa Unidimensional 29

3.1 Diagramas de bifurcao 29

3.2 A anlise espectral . . . 31

3.3 Nmeros de rotao 35

3.4 Expoentes de Lyapunov 38

3.5 Resumo da caracterizao de trajetrias 40

3.6 Estudos no plano de parmetros . . . . . 40

4 As Transies Entre os Diversos Regimes de Comportamento Dinmico 47

4.1 A transio entre regies de regi.mes peridicos e quase-peridicos . . . . .. 47

4.2 A transio entre regimes peridicos e caticos . . . . . . . . . . . 52 4.3 A transio entre regimes peridicos de perodos incomensurveis 58

4.4 A regio em torno de a = 1/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

8 NDICE

4.5 Resumo das principais caractersticas das transies entre diferentes regimes

dinmicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 64

5 Trajetrias Peridicas Instveis e Parmetros Variando no Tempo 67

5.1 Trajetrias peridicas instveis e sua determinao ........... 67

5.2 Trajetrias optimais ............................ 72

5.3 O comportamento das trajetrias peridicas instveis na transio entre regimes peridicos e caticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 75

5.4 Perturbaes com intensidade alternando entre dois valores de forma regular

no tempo .............................. . 76

5.5 Pequenas oscilaes irregulares dos parmetros no tempo . . . . 78

5.6 Oscilaes harmnicas da intensidade de perturbao no tempo 82

fi Limitadores ergdicos magnticos 89

6.1 O campo magntico de equilbrio 89

6.2 A geometria dos limitadores ergdicos . 92

6.3 O modelo de Martin-Taylor . 94

6.4 O modelo de Viana e Caldas . . . . . . 96

7 O mapeamento bidimensional conservativo 101

7.1 O mapeamento do equilbrio das linhas de campo magntico 101

7.2 O mapeamento da perturbao introduzida pelo limitador ergdico 104

7.3 Sees de Poincar .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

7.4 Anlise de Fourier do mapeamento bidimensional conservativo . . . 107

7.5 Expoentes de Lyapunov do mapeamento bidimensional conservativo 109

7.6 Fatores de segurana do mapeamento bidimensional conservativo. . 112

7.7 Dimenses de mergulho das trajetrias das linhas de campo magnticas 114

7.8 Resumo da classificao das linhas de campo do mapa bidimensional conservativo .............................. . 115

8 Anlise do mapeamento conservativo do limitador ergdico 117

8.1 Planos de parmetros do mapeamento bidimensional conservativo 117 8.2 Cortes nos planos de parmetros. . . . . . . . . . . . . . . . . 119 8.3 Planos espectrais do mapeamento bidimensional conservativo . 124

8.4 Padres de escape . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

9 NDICE

8.5 Anlise da difuso local. 128

8.6 Pequenas flutuaes na corrente das hlices do limitador 131

9 Concluses 135

Bibliografia 138

OI

Resumo

Inicialmente, deduzimos uln mapeamento .un,idimensionaL dissipatiVQ a dois parmetros

que representa um prottipo de osciladores suaves perturbados periodicamente, de forma

impulsiva, por uma fora externa de intensidade, direo, e perodo constantes. Passamos

a analisar os possveis tipos de trajetria deste sistema, utilizando expoentes de Lyapunov,

anlise espectral, e nmeros de rotao, entre outros algoritmos. Introduzimos tambm uma

nova ferramenta de anlise, denominada "diagrama de bifurcao no espao de frequncias".

Fazemos ento uma anlise do sistema no plano de parmetros, identificando as diversas

regies de distintos comportamentos dinmicos (trajetrias peridicas, quase-peridicas, e

caticas). Em seguida fazemos um estudo mais aprofundado das transies entre estas re

gies, em especial das suas caractersticas gerais no espao de frequncias. Apresentamos

um algoritmo para determinar as rbitas peridicas instveis deste mapeamento, cujo estudo

de grande relevncia para os mtodos de controle de caos por pequenas perturbaes, e

fazemos uma anlise estatstica destas. Finalmente, fazemos um estudo do comportamento

do sistema para parmetros variando no tempo, tanto de forma regular, o que nos leva deteco de atratores estranhos no-caticos e aos problemas envolvidos em sua caracterizao,

quanto de forma irregular, reproduzindo pequenas flutuaes aleatrias, sempre presentes em

situaes experimentais.

Na segunda parte da tese passamos a estudar modelos para a o estudo das configuraes

de linhas de campo magntico no interior de um tokamak, quando perturbadas por um li

mitador ergdico magntico. Fazemos primeiro uma anlise de alguns modelos j existentes

e mostramos porque estes so inadequados para o tipo de estudo que pretendemos reali

zar. Em seguida, deduzimos um mapeamento bidimensional conservativo para descrever a

evoluo das linhas de campo magntico. Passamos ento anlise das sees de Poin

car obtidas atravs deste mapa, utilizando expoentes de Lyapunov, fatores de segurana, e

anlise espectral, entre outros mtodos. Finalmente, fazemos uma anlise da difuso destas

linhas de campo magntico, utilizando coeficientes locais de difuso e desenvolvendo uma

representao grfica que denominamos "diagramas de escape".

Abstract

Initially, we derive an unidimensional dissipative mapping with two parameters, which represents a prototype for soft oscillators perturbed periodically by an externai force

of constant intensity, direction, and periodicty. We procede then to analyze the possible trajectory classes of this system, using Lyapunov exponents, spectral analysis, and winding

numbers, among other algorithrns. We also introduce a new analysis tool, called "bifurca.-tion diagrams in the frequency space". Then we perform a system analysis on the parameter plane, identifying the different regions of dynamical behaviour (periodical, quasi-periodical,

and chaotical). We also perform a more detailed analysis of the transitions between these regions, specially their maio characteristics in the frequency space. An algorthm to find unstable perodic orbits of this mapping, which are of great importance for studying chaos

control with small perturbations, is also introduced, and a statistical study of these orbits presented. Finally, we study the behaviour of this system with time-dependent parame

ters, both regularly, which leads us to the detection of nonchaotic strange attractors and the problems involved in their caracterization, and irregularly, reproducing smal! random

Huctuations, always present in experimental situatious. In the second section of this thesis we procede to study the modelling of the magnetic

field line configuration in a tokamak vessel, perturbed by ergodic magnetic limiters. First,

we analyze some already existing models and show their inadequacies for the kind of study we intend to perform. Then we deduce a conservative bidimeusional mapping describing the magnetic field line evolution. The Poincar sections obtaned with this mapping are analyzed

using Lyapunov exponents, safety factors, and spectral analysis. Finally, we study the field line diffusion, using local diffuson coefficients and introducing a graphical representation we called "escape diagrams".

.'\

Captulo 1

Introduo

Ao longo dos ltimos anos o caos instalou-se na cincia. Em praticamente todas as reas

foram relatados casos de sistemas com 'comportamento rotulado como catico. Sistemas

to diversos como a atmosfera terrestre [1], o movimento de uma bolinha de pingue-pongue

perturbada periodicamente de forma impulsiva [2], circuitos eltricos [3], ou o cresimento

populacional [41, foram declarados possivelmente caticos. Nem sequer o movimento dos corpos celestes, antes um paradigma da ordem e regularidade, foi poupado [5]. Pesquisadores

de todas as reas juntaram-se em um coro aliviado dizendo: "A culpa no nossa; a evo

luo temporal destes sistemas imprevisvel, no devido aos nossos modelos e observaes

insuficientes, mas sim devido ao seu carter intrnseco no-linear."

E assim surgiu o caos determinstico, um aparente paradoxo. Como a evoluo de um

sistema com as equaes de movimento perfeitamente conhecidas pode ser imprevisvel? A

resposta est na sensibilidade s condies iniciais, uma das primeiras tentativas de definio

de caos. No caso de um sistema apresentando caos determinstico temos trajetrias perfei

tamente determinadas para uma condio inicial conhecida com preciso absoluta, mas as

trajetrias de pontos iniciais arbitrariamente prximos se afastam com velocidade exponen

cial no decorrer da evoluo temporal, e o sistema torna-se imprevisvel se tivermos a menor

impreciso na condio inicial, o que sempre ocorre em sistemas fsicos reais.

Mas de fato, caos um pouco mais do que isso. De uma idia inicial pouco ntida,

associando caos a movimentos irregulares e imprevisveis, surgiram conceitos mais definidos

e mtodos os mais diversos para a identificao, anlise, e, em ltima instncia, rotulao

das trajetrias caticas. Recentemente, at foram desenvolvidos algoritmos para controle do

caos, eliminando-o ou provocando-o no sistema estudado, conforme a necessidade [6, 7].

Neste trabalho, estudamos alguns exemplos de sistemas submetidos a perturbaes im

Introduo16

pulsivas, ou perturbaes que podem ser aproximadas por estas, e que em consequncia

deste fato podem ser representados por mapeamentos de evoluo discretizada. Como gran

de parte dos trabalhos publicados nos ltimos anos sobre dinmica no-linear utilizou-se de

mapas unidimensionais como exemplo, pelo menos para o estudo de sistemas dissipativos

[8, 9, 10, 11, 12, 13] comeamos o trabalho com o estudo de um sistema proposto por Ding

para estudos de dinmica simblica [8]. Analisamos os diversos tipos de comportamentos

que as trajetrias deste sistema podem apresentar, e diversos mtodos para caracterizar estes

comportamentos, entre eles o clculo de planos de parmetros, um mtodo muito utilizado

em estudos recentes [14, 12, 11]. Como aplicao mais prtica, desenvolvemos um modelo

para descrever a evoluo das lnhas de campo magnticas no interior de um tokamak sob

influncia de um limitador ergdico [15], na forma de um mapa bidimensional conservativo,

que consiste em um aperfeioamento de modelos j existentes [16, 17]. Em seguida, ana

lisamos as possibilidades da aplicao de algoritmos da anlise no-linear a este modelo,

uilizando tanto tcnicas j conecidas de anlise de sistemas no-lineares, como anlise de

Fourier [18) e expoentes de Lyapunov [10), quanto tcnicas novas introduzidas por ns, como

os diagramas de bifurcao no espao de frequncias, os planos espectrais, e os diagramas

de escape.

Esta tese divide-se, basicamente, em duas grandes partes. A primeira parte, que se

estende do captulo 2 ao captulo 5, trata da obteno e anlise dinmica de um mapa

unidimensional dissipativo [8) que representa um prottipo de osciladores suaves, ou seja,

osciladores que possuem um ciclo-limite estvel contendo um ponto de equilbrio instvel [9).

A segunda parte, que compreende do captulo 6 ao captulo 8, dedicada ao desenvolvimento

de um modelo para descrever a evoluo das linhas de campo magntico no vaso de um

tokamak sob a influncia das correntes eltricas externas de um dispositivo denominado

limitador ergdico, e anlise dinmica das trajetrias obtidas atravs deste modelo.

No captulo 2, introduzimos o conceito de mapas para descrever a evoluo de siste

mas dinmicos e apresentamos as perturbaes impulsivas e a sua representao atravs

de funes delta de Dirac. Representamos ento um oscilador suave padro, submetido a

perturbaes impulsivas de intensidade (a), perodo (b), e direo constantes, por um mapa bdimensional dissipativo, e mostramos como, no limite de alta dissipatvidade, o sistema

pode ser reduzido a um mapa unidimensional dissipativo a dois parmetros, na vriavel O, em coordenadas polares no plano de movimento do oscilador [8).

No captulo 3, passamos a fazer a anlise dinmica do mapa obtido no captulo anterior. Fazemos a anlise espectral das trajetrias utilizando algoritmos de FFT (Fast Fourier

17 Introduo

Transform) [18J e calculamos nmeros de rotao, expoentes de Lyapunov, e diagramas de bifurcao [10, 19). Passamos ento a utilizar estes resultados para caracterizar os diversos

regimes de movimento possveis (peridico, quase-peridico e catico) e para estudar o com

portamento mais geral do sistema no plano de parmetros a x b [14]. Introduzimos tambm

os diagramas de bifurcao no espao de frequncias, uma tcnica desenvolvida por ns que

permite uma melhor visualizao do comportamento espectral do sistema para um grande

intervalo de parmetros.

No captulo 4 utilizamos as ferramentas do captulo 3 para estudar as transies possveis

entre estes regimes no plano de parmetros a x b: a transio peridico/quase-peridico,

a transio peridico/catico e a transio entre regimes peridicos de perodos incomen

surveis. Mostramos as principais caractersticas de cada transio, e damos um enfoque

particular em como diferenci-las no espao de frequncias. Finalmente, fazemos uma anlise

detalhada do comportamento do sistema na regio em torno da intensidade de perturbao

a = !, regio peculiar, pois neste eixo que o mapa deixa de ser inversvel, ou seja, comea a apresentar a possibilidade de trajetrias caticas [11].

No captulo 5 passamos a estudar o comportamento do mapa unidimensional dissipativo

com parmetros variando no tempo, de forma regular (peridica ou quase--peridica) ou

com pequenos rudos irregulares. Damos nfase anlise da estabilidade do sistema diante

de pequenas oscilaes aleatrias introduzidas na intensidade e no perodo da perturbao,

como fatalmente seria o caso para sistemas experimentais, nunca completamente isentos de

rudos externos. Apresentamos tambm um algoritmo para localizar de forma exaustiva as

rbitas peridicas instveis de um dado perodo, coexistentes com qualquer atrator catico,

e fazemos uma anlise destas [20].

No captulo 6, introduzimos o conceito de limitador ergdico magntico e analisamos

os modelos j existentes e suas limitaes. Primeiro, introduzimos o modelo de Martin

Taylor [17], que consiste em uma descrio qualitativa em coordenadas retangulares, mas

que no permite a introduo de correes toroidais. Depois apresentamos o modelo de

Viana e Caldas [21, 22], que baseado diretamente na equao de evoluo das linhas de

campo magntico (13 x dt = O) e apresenta correes toroidais de primeira ordem, porm possui pequenos termos dissipativos no realistas que alteram de forma bastante profunda a

anlise dinmica que pretendemos realizar neste trabalho. De fato, estes termos dissipativos

tornam-se cada vez mais relevantes medida que elevamos a corrente, levando a fenmenos

no realistas tais como a "difuso inversa" e a "imploso" das ilhas magnticas perifricas.

Passamos ento, no captulo 7, a deduzir um mapeamento conservativo bidimensional

Introduo18

para descrever a evoluo das linhas de campo magntico no vaso do tokamak sob influnca

da ao de limitadores magnticos no captulo 6. Este modelo apresenta uma configurao de

ilhas magnticas semelhante ao de Viana e Caldas, porm no h problemas de dissipativida

de e ainda descreve o deslocamento do eixo magntico em relao ao eixo geomtrico ("shift

de Shafranov") conforme previsto por resolues numricas da equao de Grad-Shafranov.

Fazemos, tambm neste captulo, a anlise dinmica deste novo modelo, calculando espectros

de Fourier, expoentes de Lyapunov, e transformadas rotacionais.

No captulo 8 aprofundamos a anlise do mapeamento conservativo, apresentando os

diagramas de escape e o clculo de expoentes de Lyapunov e transformadas rotacionais nos

planos de parmetros, que permite estudar de forma genrica o crescimento das bandas de

comportamento catico, medida que cresce a corrente nas hlices do limitador. Estudamos tambm o comportamento do modelo sob a influncia de pequenas oscilaes aleatrias na

corrente eltrica dos limitadores e a influncia destas em sua dinmica. Fazemos ainda uma

anlise da difuso local das linhas de campo magntico e introduzimos os "diagramas de

escape" que foram desenvolvidos por ns como uma forma de melhor visualizar as limitaes

para o clculo de coeficientes de difuso em sistemas limitados na direo de difuso.

Finalmente, deixamos para apresentar as concluses relativas anlise dos dois modelos, o mapa unidimensional dissipativo e o mapa bidimensional conservativo, no captulo 9, que

encerra a tese.

Todos os resultados numricos apresentados nesta tese foram obtidos por programas

computacionais desenvolvidos em Fortran pelo autor. Um dos testes feitos para prevenir

erros foi a comparao de resultados parciais destes programas com programas anlogos

desenvolvidos em Turbo Pascal. Como os resultados obtidos foram coincidentes, apenas

resultados dos programas em Fortran so apresentados aqui. Para a confeco dos grficos

foram utilizados dois programas distintos: o "XMGR", desenvolvido por Paul J. Turner,'

e a "PGPLOT GRAPHICS SUBROUTINE LIBRARY Version 5.0", desenvolvida por T.J.

Pearson.

Captulo 2

o Mapa Unidimensional Dissipativo

Neste captulo introduzimos o conceito de osciladores suaves e deduzimos um mapeamen

to unidimensional dissipativo que representa a evoluo temporal de um tipo de oscilador

suave, perturbado por pulsos peridicos de intensidade constante, no limite de relaxao

rpida. Observamos numericamente que as trajetrias deste mapa podem ser peridicas,

quase-peridicas, ou caticas, dependendo dos valores do perodo e da intensidade da per

turbao aplicada.

2.1 Osciladores suaves

Os sistemas dinmicos e suas aplicaes foram bastante estudados nos ltimos anos,

dando-se particular ateno a sistemas no-lineares levando ao possvel surgimento de com

portamento catico [10, 23, 24, 25, 26J. Entre estes sistemas destacaram-se os osciladores de

relaxao submetidos a perturbaes externas, peridicas ou no [27, 9J. Uma classe de sis

temas dinmicos que aparece em muitas reas a do oscilador suave ("soft oscillator"), que

consiste em um sistema bidimensional de equaes diferenciais com um ciclo-limite estvel

contendo um ponto fixo instvel [8J. Este tipo de oscilador aparece, por exemplo, nos siste

mas de Lorenz e Rssler e o seu estudo auxilia a compreenso topolgica de outros osciladores

destes sistemas.

Um modelo simples de oscilador suave, mas que preserva todas as principais carac

tersticas deste tipo de sistema, um ciclo-limite estvel de raio unitrio centrado na origem,

onde se localiza o ponto fixo instvel. Se supormos que a atrao para o ciclo-limite ocorre

de uma forma mais definida (por exemplo, i ()( 1'(1 - 1'2)), ento o sistema dinmico pode

o Mapa Unidimensional Dissipativo 20

15

(( J ) \ y 0.0 A D

-1,5 -.5 0.0 0.5 1.0 1.5 X

15 '.0

Figura 2.1: Os vrios tipos de trajetrias do oscilador suave no plano x x y.

ser descrito pelas equaes:

2 2x -y + sx(1 - x - y ) (2.1) y x + sy(1 - x2 y2) (2.2)

onde x e y so as coordenadas cartesianas usuais e s > O um parmetro de dissipatividade do sistema que mede a velocidade com que o sistema tende ao ciclo-limite (quanto maior o

valor de s, mais rapidamente o sistema tende ao ciclo-limite estvel).

Introduzindo as coodenadas polares r e Odefinidas de maneira habitual:

x r cosO (2.3)

y == rsinO (2.4)

as equaes que descrevem o sistema dinmico 2.1-2.2 podem ser reescritas na forma:

r == sr(1 - r2 ) (2.5)

iJ == 1. (2.6)

As equaes so desacopladas uma da outra e portanto fica evidente que o sistema

integrvel. De fato, integrando 2.5 e 2.6 obtemos:

1,0 ~

0.5 r

0.5

-1,0

1 r(t) == (2.7),)1 + (:.ir - l)e 2"r.

21 2.2 Perturbaes impulsivas

2.0

1.0

Y 0.0

-1,0

-2.0

(a) 2,0 I (b)

1.0

Y 0,0

-1,0

-2,0-2.0 -1,0 0,0 1,0 2,0-2,0 -1,0 0,0 1,0 2.0

x x

Figura 2,2: As trajetrias do sistema 2.10-2.11 (a) peridica com a = 0,30, b = 0,25 e

$ = 0,50 ; (b) quase-peridica com a = 0,30, b = 0,3194837... e s = 0,50,

(}(t) = (}o + t (2.8)

Fazendo um grfico das trajetrias no plano x x y (fig. 2.1), vemos que possvel dividilas em quatro grupos distintos, dependendo da posio radial inicial, Para TO = (A) a trajetria est exatamente sobre o-ponto fixo instvel e permanece neste indefinidamente;

para < TO < 1 (B) a trajetria vai espiralando para fora e se aproxima do cic1o-limite estvel em Tc-! = 1 para t -7 00. Para TO = Te-I = 1 (C) estamos exatamente sobre o cic1olimite e a trajetria segue sobre ele, rodando com velocidade angular w = 1; para TO > 1 (D) a trajetria espirala para dentro, tambm tendendo a Tc-I = 1 para t -7 00,

2.2 Perturbaes impulsivas

o estudo do comportamento de sistemas dinmicos na presena de perturbaes externas peridicas [11, 12J tem sido um tpico de grande relevncia, devido, entre outras coisas, sua importncia no controle de caos [28J. Deu-se particular nfase ao estudo das perturbaes impulsivas, ou seja, perturbaes que apenas possuem intensidade diferente de zero durante

intervalos de tempo muito menores que a escala de tempo na qual o sistema passa por mudanas significativas [29]. Muitas vezes estas perturbaes podem ser representadas pela

http:2.10-2.11

22 O Mapa Unidimensional Dissipativo

funo delta de Dirac, ou, para perturbaes peridicas, por uma somatria infinita de

funes delta de Dirac do tipo:

a L00

c5(t - m) (2.9) n;:::;-oo

onde a a intensidade das perturbaes e T o seu perodo.

Submetendo o sistema dinmico 2.5-2.6 obtido no item anterior a pertubaes impulsivas

de intensidade 2a e perodo 21rb na direo radial obtemos:

2f = sr(1 - r ) + 2a L c5(t - 21rnb) (2.10) n

iJ 1. (2.11)

Fazendo um grfico das trajetrias deste sistema (fig. 2.2) observamos que h duas

possibilidades: para b racional (b = ~, q f O) a trajetria torna-se peridica de perodo T = 21rbq, aps o regime transitrio, enquanto que para b irracional a trajetria quaseperidica, nunca retornando exatamente ao mesmo lugar no espao de fase [11].

Este tipo de sistema, que pode ser integrado analiticamente na maior parte do tempo (no

caso do sistema 2.10-2.11 em qualquer instante de tempo fora das perturbaes impulsivas),

denominado quase-integrvel. Em geral, um sistema quase-integrvel de equaes diferen

ciais pode ser transformado em um mapa, ou seja uma aplicao que evolui o sistema em

intervalos de tempo discretos, fornecendo assim uma amostra discreta do estado do sistema

a dados intervalos de tempo, descrevendo, na maioria das vezes, de forma bastante completa

todas as caractersticas dinmicas do sistema estudado [23]. Este tipo de discretizao no

deve ser confundido com os mtodos numricos de integrao de sistemas de equaes dife

renciais, que consistem em uma aproximao das equaes contnuas por discretas. No caso

dos sistemas quase-integrveis a discretizao temporal um processo exato.

O mapa equivalente ao sistema 2.10-2.11 dado pelas equaes: 1

rn+l + 2a (2.12)VI + (r~ - l)e-4wsb Bn+l = Bn + 21rb (2.13)

onde (rn,Bn) a posio do sistema em coordenadas polares imediatamente aps a n-sima perturbao impulsiva. Na figura 2.3 podemos ver as trajetrias do mapa 2.12-2.13, equi

valentes s trajetrias contnuas do sistema 2.10-2.11 representadas na figura 2.2. Devemos

ressaltar que, neste caso, apesar de conhecermos apenas alguns pontos da trajetria, estes

nos fornecem ainda informao suficiente para classificar o comportamento do sistema como

sendo peridico ou quase-peridico.

http:2.10-2.11http:2.12-2.13http:2.10-2.11http:2.10-2.11

23 2.3 O mapa bidimensional dissipativo

,... 2.0 (a) 2.0 I(b)

1.0

Y 0.0

-l.O

-2.0

1.0

yO.O

-1.0

-2.0 -2.0 ~l,O 0.0 1.0 2.0 -2.0 -l.O 0.0 1.0 2.0

li:x

Figura 2.3: As trajetrias do mapa 2.12-2.13 (a) peridica para a = 0,30, b = 0,25 e e = 0,50; (b) quase-peridica para a = 0,30, b = 0,3194837 ... e s = 0,50.

2.3 O mapa bidimensional dissipativo

No item anterior perturbamos o nosso prottipo de oscilador suave com perturbaes

impulsivas na direo radial e constatamos que as equaes em coordenadas polares conti

nuavam desacopladas uma da outra. Uma outra possibilidade perturbarmos o sistema com

perturbaes impulsivas de direo cartesina constante [8]. Como o sistema no perturbado

tem simetria radial, podemos escolher, por exemplo, a direo do eixo x, sem perda de gene

ralidade, para aplicarmos a perturbao. Neste caso, as equaes diferenciais que descrevem

o sistema quase-integrvel em coordenadas cartesianas so:

2:i; = -y + ex(1 x - y2) + 2a I(t - 21rnb) (2.14) 2 " y = x + sy(1 - x _ y2) (2.15)

Integrando a parte no perturbada entre dois impulsos sucessivos, utilizando 2.7 - 2.8,

obtemos o mapa bidimensional, em coordenadas cartesianas, equivalente ao sistema quase

integrvel de equaes diferenciais 2.14 - 2.15:

cos(arctan(lln.) + 21rb) Xn+l == x. +2a (2.16)/1 + (:;;-:6- - l)e 4..sb

Xft +y1I.

http:2.12-2.13

J : l (

o Mapa Unidimensional Dissipativo24 ------------------------~---

2 (a) l 2 i (b) ~-I 2 (c)

) J: r (: l -1' l-I! l-I

-1 o 2 -1 o 2 -1 2, x x x

Figura 2.4: As trajetrias do mapa 2.16-2.17 (a) peridica para a = 0,532, b = 0,315 e $ 2, O; (b) quase-peridica para a = 0,20, b = O, 25 e $ = 0,50; (c) catica para a = 0,55, b = 0,32 e $ = 1,80.

sin(aretan(Un.) + 2'1l"b)x.Yn+! - (2.17).)1 + (:;b - 1)e-4';;b

Xn+Yn

J em coordenadas polares o mapa bidimensional 2.16 - 2.17 pode ser reescrito como:

1 4a cos(On + 2'1l"b) 2] 1/2rn+l :---,-;;--:-:c--~ + +4a (2.18)[ 1+ (rn 2 - l)e-4"Sb .)1 + (r;2 _ 1)e-41fsb

sin(On + 2'1l"b) ]On+! = aretan . (2.19)[COS(On + 2'1l"b) + 2a.)1 + (r;2 _1)e-41fSb

Vemos assim que as equaes do mapa no so desacopladas em nenhum dos sistemas de co

ordenadas, o que indica que neste caso podemos ter trajetrias caticas, alm das peri;Sdicas

e quase-peridicas. De fato, podemos observar todos estes tipos de trajetrias para deter

minados conjuntos de parmetros (a, b, $) na figura 2.4. Mostraremos mais adiante neste trabalho que a trajetria irregular vista na figura 2.4.c de fato catica.

http:2.16-2.17

25 2.4 O limite de alta dissipao

1.0

.I'0

-1.0

-2.0

3.0 r(b) ,3.0 ~(a) '" 2.0 :

1.0

9 1l+P,O9 n

-1.0

-2.0

~Ob d -3.0 IJ.b_~-:-~_~_~_~ 3.0 -2.0 ~l.O 0.0 1,0 2,0 3,0 -3.0 -2.0 -1.0 0,0 1.0 2.0 3,0

9n 9n

Figura 2.5: Diagramas de retorno do mapa 2.22 para (a) a = 0,45 e b = 0,25 (inversvel,

pois a cada valor de Dn+l pode ser associado apenas um valor de Dn) ; (b) a = 0,60 e b = 0,25 (no inversvel, pois a alguns valores de On+l podemos associar dois valores de On)'

2.4 O limite de alta dissipao

Um dos regimes de maior interesse no mapa bidimensional obtido no item anterior a

regio de alta dissipao no espao de parmetros (8 :::r 1). Neste caso, o sistema sempre acaba retornando ao ciclo-limite estvel em T = Tc_l = 1 entre dois impulsos sucessivos e portanto a coordenada radial torna-se irrelevante para a dinmica do sistema, que se

concentra toda na varivel angular O. Tomando o limite s -+ 00 no mapa 2.18 - 2.19 obtemos as equaes:

1/2 Tn+l = [1 + 4acos(Dn + 21Tb) + 4a2 ] (2.20)

sin(On + 21Tb) ]Dn+l - arctan [ (2.21)cos(Dn 21Tb) + 2a

importante observarmos que, de fato, a varivel Tn no entra em lugar nenhum no lado direito das equaes, ou seja, a posio (Tn+l> Dn+d completamente independente da posio radial Tn . Assim sendo, podemos estudar a evoluo do sistema apenas atravs da

o Mapa Unidimensional Dissipativo26

3 r(a)

c

'

-

c

3

2" r 1

~ r o aI!

-I -I

-2-2 -2

-3-3 -3

l(l) __1 _

~ 3 .

27 2.4 O limite de alta dissipao

2.6 podemos observar trajetrias peridicas, quase-peridicas e caticas do mapa 2.22 para

diferentes valores de parmetros (a, b). Outra caracterstica interessante do mapa 2.22 que para perturbaes impulsivas de

baixa intensidade (a 1) podemos expandi-lo em srie de potncias de a em torno de a = O

e, retendo apenas os termos at primeira ordem obter:

On+l = On + 21fb - 2asin(On + 21fb) (2.23)

que, definindo 7/J == 0+ 21fb, n = b, e K =2a, exatamente o mapa do crculo [30, 31J: 7/Jn+1 = 7/Jn + 21fn - K sin 7/Jn. (2.24)

Este um dos mapas unidimensionais dissipativos mais utilizados na literatura para estudar

fenmenos como "sincronizao de fase" (phase locking) [13J e as "lnguas de Arnold" [32J,

por exemplo.

Captulo 3

Anlise Dinmica do Mapa

Unidimensional

Neste captulo passamos a uma anlise dinmica mais detalhada do mapa unidimensional

dissipativo obtido no captulo anterior, apresentando vrias maneiras de classificar suas tra

jetrias em regulares (peridicas ou quase-peridicas) ou irregulares (caticas). Em seguida

utilizamos os algoritmos apresentados para fazer uma anlise geral do sistema utilizando os

grficos de coeficientes no plano de parmetros a x b.

3.1 Diagramas de bifurcao

Ao estudarmos um sistema fsico, em geral estamos interessados em analisar o compor

tamento deste em uma grande variedade de situaes. O mesmo ocorre para o mapa uni

dimensional dissipativo obtido no captulo anterior. Ns j mostramos algumas trajetrias

deste mapa para valores fixos dos parmetros a e b, mas estamos interessados em estudar

o comportamento dele para a e b genricos, e, mais ainda, as mudanas no comportamento

dinmico medida que os parmetros variam. Um primeiro passo em direo a essa anlise mais geral a obteno dos diagramas de bifurcao .

Os diagramas de bifurcao so definidos na literatura [25, 33, 10] como um grfico cujo

eixo horizontal representa um dado intervalo de um dos parmetros de controle do sistema

(no nosso caso a intensidade de perturbao a ou o perodo de perturbao b). Para um grande nmero de valores igualmente espaados deste parmetro, calculamos a trajetria do

sistema e colocamos no grfico todos os pontos de uma das variveis de posio da trajetria

Anlise Dinmica do Mapa Unidimensional30

1t (a)

I

1t

1tI2 1tI2

8*08*0

-1tf2-1tI2

-1t -1t LI__~___~__-.l

0.30 0,31 0,32 0,33 0.34 0,35 0.50 0.55 0.60 0.65 b a

Figura 3.1: Diagramas de bifurcao do mapa unidimensional dissipativo 2.22 para (a)

a = 0,55 e (b) b = 0,32

(como o nosso mapa unidimensional, temos apenas o ngulo O) atingidos aps o transitrio ao longo da direo vertical. No caso do nosso mapa unidimensional dissipativo 2.22, como

estamos no limite de alta dissipao, os transitrios so bastante curtos, tipicamente da ordem de algumas dezenas de iteraes. Mesmo assim, em todos os exemplos numricos apresentados nesta tese trabalhamos com transitrios de Nt = 1000 iteraes para termos certeza do sistema estar sobre o atrator.

Na figura 3.l.a vemos, por exemplo, o diagrama de bifurcao do mapa 2.22 fixando a

intensidade da perturbao em a = 0,55 e variando o perodo da perturbao no intervalo 0,30 < b < 0,35. Vemos ali que, por exemplo, para b = 0,30 a trajetria passa apenas por dois ngulos distintos, ou seja, de perodo 2. J para b = 0,32, a trajetria preenche todo um intervalo angular, sendo uma trajetria catica (conforme mostraremos mais adiante).

Para = 0,34, observamos urna trajetria de perodo trs. Na figura 3.l.b vemos urna figura semelhante, s que desta vez fixamos o perodo da perturbao ( = 0,32) e variamos a intensidade (0,50 < a < 0,65). Observamos que, para certos valores crticos do parmetro

31 3.2 A anlise espectral

3,0 I(a) I(b) I(c)

1,0

2,0 ~=====~~~~~~~~~~~~~~ a n 0,0

-1,0 1------

-2,0 -3,0 IL-.~_~__-'-_~_~_--'-_~_~_----J

O 5 JO O 5 1Q O 15 n(lO-) n(10-) 5n(lO~

1,00 (e) (f)(d)

0,75

S,p,50

0,25

0,00 O 1/8 114 3/8 O 118 114 3/8 O 1/8 1/4 3/8 1/2

f f n n ~

Figura 3.2: As trajetrias do mapa 2.22 para (a) a = 0,45 e b = 0,35 (perodo 3) j (b) a =0,45 e b = 0,252 (perodo 5) ; (c) a = 0,57 e b= 0,327 (perodo 8) ; e seus respectivos espectros de potncia em unidades normalizadas ((d)-(f.

variado, as trajetrias peridicas mudam de perodo, passando, por exemplo, de perodo

2 para 4, ou de 3 para 6. Este fenmeno denominado bifurcao e consequentemente o

diagrama apresentado denominado "diagrama de bifurcao". Na verdade a duplicao

sucessiva de perodos conforme a observada uma das rotas para o caos (rota de Feigenbaum)

e ocorre em muitos sistemas [27, 34, 24), sendo um fenmeno universal que aparece em muitos

fenmenos fsicos e no qual nos aprofundaremos mais adiante.

3.2 A anlise espectral

Uma das ferramentas comumente utilizadas na literatura para a anlise de trajetrias

a anlise espectral, em particular a anlise espectral de Fourier, que consiste em descrever

a trajetria como sendo uma superposio de funes senoidais, e analisar as frequncias

destas. Atravs desta decomposio possvel identificar trajetrias aparentemente muito


complexas como uma superposio de apenas algumas frequncias bem definidas, ou, no

caso de trajetrias caticas ou quase-peridicas, descobrir as frequncias mais importantes, que muitas vezes esto ligadas a trajetrias peridicas prximas no espao de parmetros, conforme veremos a seguir. Como estamos trabalhando com um mapa, as nossas trajetrias consistem em conjuntos discretos de dados, e por isso podemos utilizar o algoritmo da "Fast

Fourier Transform" (FFT) para o clculo da transformada de Fourier [18].

Calculando algumas trajetrias peridicas de perodos diversos para o mapa 2.22, e os seus respectivos espectros de Fourier (fig.3.2), podemos observar que estes espectros consistem sempre de um ou mais picos espectrais bem definidos, sendo que fora da posio destes picos

a intensidade espectral normalizada (Sn) nula.

A posio destes picos espectrais no eixo de frequncias diretamente relacionada com o perodo da trajetria. Para a trajetria de perodo 3 (fig. 3.2.a) o nico pico do espectro

encontra-se na posio In = t, ou seja na prpria posio In = ~ onde P o perodo (fig. 3.2.d). J para a trajetria de perodo 5 (fig. 3.2.b) vemos que o espectro consiste em dois

picos (fig. 3.2.e), um principal na posio In = ~ = t, e um secundrio, de intensidade menor, no harmnico In =~. Finalmente, temos que para a trajetria de perodo 8 (fig. 3.2.c) ocorrem trs picos espectrais distintos (fig. 3.2.f): o maior na posio In = h pois OS oito ngulos percorridos pela trajetria peridica agrupam-se em quatro conjuntos de dois

ngulos cada, e dois picos menores em In = i e In = i Para trajetrias quase-peridicas do mapa (fig. 3.3.a), temos que o espectro de Fourier

consiste em um grande nmero de picos discretos mais acentuados, com espaamento aparentemente igual entre eles, e um fundo contnuo de intensidade muito baixa distribudo ao

longo de toda a faixa de frequncias. Mais adiante mostraremos de que forma a posio dos picos mais intensos est ligada ao perodo, ou perodos, mais prximos dos quais esta trajetria "quase" -peridica.

Na figura 3.3.b vemos uma trajetria catica que ainda est dividida em vrias faixas

distintas entre as quais o sistema fica alternando, ou seja, uma trajetria que, apesar de ser catica, ainda preserva uma regularidade de perodo fixo. Ao calcularmos o espectro de potncia desta trajetria (fig. 3.3.e) vemos que ainda h picos predominantes relacionados ao comportamento regular com o qual o sistema visita as faixas caticas, mas tambm h uma

faixa contnua e irregular de frequncias, caracterstica de regimes caticos. Uma trajetria completamente catica, sem faixas regularmente separadas, pode ser vista na figura 3.3.c, e, ao calcularmos o espectro deSta trajetria (fig. 3.3.f), no observamos mais picos discretos de comportamento regular, mas apenas uma faixa contnua e bastante irregular de picos ao

-- 33 3.2 A anlise espectral

3,0 TC) 2,0

1,0

9 n O,O

-1,0

-2,0 I:

-3,0 5 5 155 I~ n(IO n(10IJS n(IOlij

1,00 I (d) i (e) I(f)'i 0,75

8 nO,50

1/8 1/4 3/8 1/8 1/4 3/8 1/8 1/4 3/8 1/2 f n f n f. Figura 3.3: As trajetrias do mapa 2.22 para (a) a = 0,45 e b = 0,40 (quase-peridica) ; (b) a = 0,57 e b = 0,329 (catica) ; (c) a = 0,55 e b = 0,32 (catica) ; e seus respectivos espectros de potncia em unidades normalizadas ((d)-(f.

longo de todo o eixo de frequncias. Em algumas regies de frequncias estas intensidades

espectrais so mais acentuadas, sendo que estas frequncias esto associadas aos perodos das trajetrias peridicas mais prximas no espao de parmetros.

Como neste trabalho estamos interessados no apenas na anlise de trajetrias isoladas a parmetros fixos, mas tambm na mudana gradual das caractersticas das trajetrias medida que um ou mais parmetros de controle so variados continuamente, resolvemos introduzir, em nosso trabalho, uma nova forma de apresentar uma srie de espectros de potncia para uma faixa de parmetros. No tipo de grfico que qesenvolvemos, o eixo horizontal representa o parmetro a ser variado e o eixo vertical o eixo de frequncias.

Para cada valor do parmetro no eixo horizontal calculamos ento um espectro de potncias e marcamos as suas frequncias mais intensas (picos) em preto e as frequncias que no ocorrem em branco, sendo que intensidades intermedirias so marcadas em tons graduais de cinza. Denominamos este tipo de grfico "diagrama de bifurcao no espao de frequncias" ,

0,25

0,00

.,'0

L'_____-'


pois ele construdo de forma muito semelhante ao diagrama de bifurcao tradicional, s

que no eixo vertical temos frequncias em vez de posies, o que nos permite, na maioria das vezes, uma viso mais clara do tipo de trajetria, especialmente nas regies de regime

catico.

:gci

:.

35 3.3 Nmeros de rotao

~:~ 1


3,0 (8) 2,0

1,0 ,---8 n O,O

1,0 -2,0

-3.0

3,0

2.0

1,0

8 0,0

1,0 -2.0

-3,0

r(6)

f-I___ o

f 1 o 1000 2000 o 1000 2000

n n

0,5 '(c) 0,5 (d) 0,4 0,4

0,3 0,3Wn

0,2 W

,2 ....~ ______-j

0,1 1 0.1 0,0 o 1000 2000 0,0 o 1000 2000

n n

Figura3.6: As trajetrias peridicas de perodo 6 do mapa 2.22 para (a) a = 0,53 eb = O, 315j (b) a = 0,45 e b = O, 232j e a convergncia de seus respectivos nmeros de rotao c)-(d.

para um nmero irracional, a trajetria quase-peridicaj (iH) se a srie no convergir, a trajetria catica.

importante ressaltarmos aqui que esta definio est relacionada convergncia no sentido estritamente numrico e no no sentido numrico aproximado. Para muitas trajetrias caticas h uma aparente convergncia numrica, mas basta continuarmos iterando as trajetrias para que apaream pequenas variaes na srie do nmero de rotao e no existe, de fato, limite quando esta tende ao infinito, devido irregularidade da trajetria catica.

Na figura 3.5.a temos uma trajetria peridica de perodo 3, e ao calcularmos o seu

nmero de rotao (fig. 3.5.d) observamos que este converge muito rapidamente a W = k, conforme esperado para uma trajetria de perodo 3. J para uma trajetria quase-peridica (fig. 3.5.b) o nmero de rotao converge igualmente rpido (fig. 3.5.e) para um nmero irracional, enquanto que para uma trajetria catica (fig. 3.5.c) W no converge, mesmo

aps um grande nmero de iteraes.

importante ressaltarmos aqui que nem sempre o nmero de rotao define de maneira

37 3.3 Nmeros de rotao

inequvoca o perodo da trajetria, nos casos em que este um nmero racional. Isto se

deve ao fato de que se tivermos, por exemplo, W = ~, o que parece indicar uma trajetria

de perodo 3 que se completa aps uma volta na direo angular, temos igualmente que

W = ~ = ~ = ... , ou seja, podemos ter uma trajetria de perodo 6 se repetindo a cada

duas voltas, uma de perodo 9 que se repete a cada trs voltas, e assim por diante. Na

figura 3.6 temos, por exemplo, duas trajetrias de perodo 6. Porm ao passo que para a

primeira trajetria (fig. 3.6.a), que se fecha aps percorrer uma volta angular, o nmero de

rotao converge rapidamente para W = ~ (fig. 3.6.c), conforme esperado, temos que para a

trajetria que leva dois ciclos para se fechar (fig. 3.6.b) W converge para l, ou seja, W = ~ (fig. 3.6.d).

0,50

0,40

0,30

W

0,20

0,10

0,00 LI~____~~____~~____~~____~~____~ 0,20 0,25 0,30 b 0,35 0,40 0,45

Figura 3.7: Nmeros de rotao para trajetrias do mapa unidimensional dissipativo com

a = 0,45.

Como nos casos anteriores, estamos interessados em observar tambm o comportamento

de W medida que variamos um dos parmetros de controle. Na figura 3.7 vemos uma

srie de nmeros de rotao para uma intensidade de perturbao fixa (a = 0,45) e uma faixa de valores do perodo da perturbao. Podemos observar que o grfico consiste em

uma curva contnua e crescente com degraus constantes nos nmeros racionais de baixos

denominadores. De fato, se fizermos ampliaes sucessivas desta curva comeamos a observar

que h um degrau para cada W racional ao longo dela, sendo a largura do degrau cada vez

38 Anlise Dinmica do Mapa Unidimensional

menor, medida que aumenta o denominador de W. Esta estrutura observada em um grande nmero de sistemas, particularmente nos mapas da famlia do mapa do crculo, e comumente denominada "escada do diabo)) (devil's staircase) na literatura, pois lembra

uma escada, mas se subirmos de degrau em degrau nunca samos do lugar, uma vez que em qualquer intervalo de nmeros reais, por menor que seja, h infinitos nmeros racionais.

3,0 I (a)

2,0

1,0

9" 0,0 -1,0 -2,0

-3,0 O 2000 4000 O 2000 40000 2000 4000

n n n 0,5

0,3 (d) I

39 3.4 Expoentes de Lyapunov

0,5

0,0

-0,5

-1,0

-1,5

-2,00,40 0,45 0,50 0,55 0,60

a

Figura 3.9: Expoentes de Lyapunov do mapa 2.22 para b = O, 30

to inicial vizinho a outra com expoente de Lyapunov se afasta desta no tempo de uma

distncia aproximadamente proporcional a doeM. A definio do expoente de Lyapunov para

mapas unidimensionais dada por [10]:

1 N de . == J~ N In ~ 11 -,~+lll (3.2)

3=0 aun

onde temos que d:!l representa a derivada da funo iterativa do mapa no ponto ew Para sistemas unidimensionais dissipativos temos que se < O a trajetria peridica, se = O a trajetria quase-peridica, e se > O a trajetria catica.

Para uma trajetria peridica (fig. 3.8.a) vemos que a convergncia do seu expoente

de Lyapunov (fig. 3.8.d) ocorre de forma muito rpida para um nmero inequivocamente

negativo. J para uma trajetria quase-peridica (fig. 3.8.b) temos que a convergncia para

zero ocorre de forma igualmente rpida (fig. 3.8.e), mas h sempre uma certa indefinio no

mtodo devido impreciso numrica, e o resultado poderia ser um nmero positivo muito prximo de zero (caracterizando uma trajetria fracamente catica) ou um nmero negativo

prximo de zero, caracterizando uma trajetria peridica de baixa estabilidade, que para

uma pequena variao paramtrica pode se romper. J para uma trajetria catica (fig.

3.8.c) a convergncia mais lenta do que nos casos anteriores (fig. 3.8.f), porm o resultado

Anlise Dinmica do Unidimensional40

distintamente um nmero positivo.

Como nos casos anteriores, estamos interessados tambm no estudo do comportamento dos expoentes de Lyapunov medida que um dos parmetros variado. Fazendo um grfico de para um perodo de perturbao fixo e variando a intensidade de perturbao (fig. 3.9), observamos os trs tipos de trajetrias. Para a prximo de 0,40 (lado esquerdo do

grfico) temos uma regio onde = O, ou seja, as trajetrias so todas quase-peridicas. Depois entramos numa regio de regime peridico ( < O), permeada por pequenas regies de trajetrias caticas. Na proximidade destas regies vemos que o expoente de Lyapunov, que em outras regies constitui uma curva contnua e suave, apresenta variaes bastante abruptas.

3.5 Resumo da caracterizao de trajetrias

Nas sees anteriores apresentamos vrios mtodos de caracterizao das trajetrias de um mapa unidimensional. Apresentamos aqui um resumo de todas as caractersticas de cada

tipo de trajetria (peridica, quase-peridica, e catica):

Trajetria Peridica Quase-peridica Catica

Expoente de Lypunov() negativo nulo positivo

Nmero de rotao (W) racional irracional no converge i

.

Espectro de potncia poucos picos muitos picos fundo contnuo

Diagrama de bifurcao alguns pontos linha cheia em [O, 21f) algumas regies cheias I :

Tabela 3.1: Resumo da classificao de trajetrias.

3.6 Estudos no plano de parmetros

Apresentamos at aqui uma srie de mtodos que permitem classificar o comportamento de uma trajetria de um mapa unidimensional para um dado conjunto de parmetros fixos. Mas, em geral, no estamos interessados no comportamento do sistema apenas para alguns conjuntos de parmetros fixos, mas sim para qualquer valor dos parmetros (dentro dos limites onde ele representa de forma adequada o comportamento do sistema a ser estudado,

41 3.6 Estudos no plano de parmetros

claro). Para isso passamos a estudar de forma mais completa o espao de parmetros do

sistema, que no caso do nosso mapa unidimensional dissipativo a dois parmetros se reduz a

um plano de parmetros axb [14J. Para tanto fazemos uma srie de grficos associando o valor

de um parmetro (por exemplo, o expoente de Lyapunov) a um tom de cinza proporcional ao

seu valor numrico para uma "rede" de valores dos parmetros no plano a x b (tipicamente 500 x 500 valores).

No caso do nosso mapa basta estudarmos a regio onde O< b S 1, pois para valores fora desta faixa o comportamento se repete (o sistema simplesmente d mais voltas no ciclo-limite

antes da prxima perturbao impulsiva). De fato, para b=b + n, onde n inteiro, temos que:

tan f) = sin(On + ~1Tb) = sin(On + 21Tb + 21Tn) = sin(On + 21Tb) (3.3)n+l cos(On + 21Th) + 2a cos(On + 21Th + 21Tn) + 2a cos(On + 21Th) + 2a

o intervalo de estudo do sistema pode ser reduzido mais ainda se observarmos que h uma simetria em torno do eixo b = ~, uma vez que para h= 1 - b o sistema tem o mesmo comportamento dinmico, porm no as mesmas trajetrias, que para b. Temos que:

sin(On + 21Th) = sin(On + 21T - 21Tb) = sin(On - 21Tb) '" - sin( -On + 21Tb) (3.4) cos(On + 21Tb) cos(On + 21T 21Tb) = cos(On - 27fh) = cos(-O" + 21Th) (3.5)

e introduzindo 1/;" -On e utilizando o fato de que tan On+l = tan 1/;n+l temos que o mapa

2.22 para li equivalente a:

sin(1/;n + 21Tb) tan 1,I>n+l = (1,1> 2 b) 2 (3.6)cos n+1T +a

ou seja, para li 1 - b tudo que muda na trajetria uma reflexo em torno do ngulo O= O. Basta portanto limitarmos o nosso estudo ao intervalo b S O S ~. 2

O mapa tambm tem uma simetria em torno do eixo a = O, pois para a < O basta trocarmos a direo da perturbao de x para -x e obtemos um mapa equivalente, e portanto nos restringimos ao estudo da regio a > O. Mas para perturbaes muito fortes o nosso mapa perde o sentido fsico, pois no possvel imaginar um mapa que depois de ser

muito afastado por uma perturbao impulsiva volte "imediatamente" para o ciclo-limite, por

'De fato, para b = ~ todos os atratores so, portanto, simtricos em torno de 8 =O.

Anlise Dinmica do Unidimensional42

mais forte que seja a dissipao. De qualquer forma, para a > 1 todas as trajetrias do nosso mapa unidimensional so peridicas de perodo 1, o que torna o seu estudo desinteressante

do ponto de vista dinmico, e portanto ns nos limitamos ao estudo do intervalo O ~ a < l. Passamos agora a estudar quatro caractersticas das trajetrias no plano de parmetros

a x b delimitado por a E [0,1J e b E [O, !J: os perodos das trajetrias peridicas (diagramas isoperidicos), os expoentes de Lyapunov, os nmeros de rotao, e a intensidade de

determinadas frequncias espectrais.

11::1

- :s - S

Figura S.lO: Expoentes de Lyapunov no plano de parmetros. Quanto mais claro o ponto,

maior o expoente de Lyapunov.

Fazendo um grfico com os expoentes de Lyapunov no plano dos parmetros para a

regio de pertubaes de baixa intensidade (fig. S.lO.a), observamos que para a "" O,

praticamente constante. Na verdade quase todas as trajetrias nesta regio so quase

peridicas e portanto tm = O. medida que aumentamos a surgem faixas cada vez mais largas com expoentes de Lyapunov negativos, correspondentes a regies de comportamento

peridico. Estas faixas so conhecidas na literatura como "lnguas de Arnold". Ao nos

aproximarmos de a = ~, estas faixas ocupam todo o espao de parmetros. De fato, no

temos mais nenhuma trajetria quase-peridica para a = !' conforme mostraremos mais adiante.

J na regio com a > 4(fig. S.lO.b) temos expoentes bastante negativos na maior parte do plano e apenas uma pequena regio de pontos muito claros (correspondentes s tra

jetrias caticas) logo acima do eixo a = 4. Esta regio tem contornos bastante complexos.

~ 0.00 0.000.;::0 ~ 0.0C> O,':-e!J. .0,00


0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,0 0,1 0,4 0,5 b

-P=I

~ -P=2,... 5

lIIIiII - P=6, ...,32

Figura 3.11: Diagramas isoperidicos do mapa unidimensional dissipativo.

Temos tambm faixas mais claras de aparncia bastante regular imersas nas regies escuras

(peridicas) que correspondem a uma fronteira de duplicao de perodos, onde temos que,

exatamente na fronteira, ), == O. Estas transies de duplicao de perodos sero analisadas em detalhe no prximo captulo. Observamos tambm que a regio catica permeada de ilhas de regimes peridicos, correspondentes s janelas nos diagramas de bifurcao. Esta estrutura fractal, ou seja, quanto mais ampliarmos a regio catica, mais ilhas peridicas

cada vez menores (e de perodos cada vez mais altos) ns observaremos.

Fazendo agora os diagramas isoperidicos para as mesmas regies do plano de parmetros

que os expoentes de Lyapunov (fig. 3.11) podemos observar de forma mais ntida as lnguas

de Arnold de diversos perodos. Algumas propriedades das lnguas de Arnold podem ser

obtidas analiticamente. Em a = O, por exemplo, o nosso mapa unidimensional dissipativo se

reduz a Bn+l == Bn + 27fb e portanto existe uma trajetria peridica de perodo Q para cada b == ~ racional. Ou seja, para cada valor racional de b "nasce" uma lngua de Arnold em a = O. Temos assim uma lngua de Arnold de perodo 1 nascendo em b = O, uma lngua de perodo 2 nascendo em b = 1/2, uma de perodo 3 em b == 1/3 e assim por diante. Assim sendo, verificamos que h lnguas de Arnold de qualquer perodo.

possvel tambm determinar de maneira precisa as fronteiras das lnguas de Arnold

0.5

0,4

0,3 a

0,2

0,1

0,0

1,0

0,9

0,8 a

0,7

0,6

0,5 0,2 0,3

b


0.50

0.40

0.30

a

0.20

0.10

0.00 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25

b

Figura 3.12: Curva lmitante da lngua de Arnold de perodo 1 obtida analiticamente.

com as regies quase-peridicas. Damos aqui como exemplo a determinao da curva que

limita a lngua de Arnold de perodo L Temos que as trajetrias de perodo 1 so definidas

por On+l = O", == 0* e portanto temos do mapa que:

sin(O> + 2:rrb) (3.7)tan(O*) == 2a + cos(O> + 2:rrb)

que pode ser reescrita como:

sin(O = sin(2:rrb) (3.8)2a

e, como II sin 0'11 :::: 1 por definio, obtemos a condio que nos fornece a regio ocupada no plano de parmetros pela lngua de Arnold cuja fronteira ( direita) dada pela equao:

sin(2:rr) a= (3.9)

2

A curva descrita pela equao 3.9 encontra-se na figura 3.12 e comparando com a lngua de

Arnold da figura 3.11 vemos que de fato ela representa a borda desta. As fronteiras para

as outras lnguas de Arnold podem ser obtidas de maneira anloga, porm as curvas so

descritas por funes implcitas envolvendo a e b.

Outros coeficientes de interesse a serem analisados no plano de parmetros so os nmeros

de rotao (fig. 3.13). Podemos observar que para O < a < 1/2, correspondente regio das lnguas de Arnold, os nmeros de rotao variam de forma contnua, aumentando com


o parmetro b. Para a prximo de zero este aumento se d de forma linear W o:: b, mas

conforme aumentamos a a variao passa a se concentrar cada vez mais em torno de b ~ 0,30.

!3~

- ~-

~!11l0.00 .0-0 0.00 0.,0.

46 Anlise Dinmica do Mapa Unidimensional

g

55~ .~."."."" .',", , "

" '-.

~ O:' ~

0.25 0.:55 0,45 0.25 O.3S 0,045 b b

"" => I? =>

o ~

.-~

0.25 0.35 0.45 0.25 0.35 0.45 b b

Figura 3.14: Planos espectrais para (a) f = 1/3; (b) f = 1/4; (c) f = 1/5; (d) f = 1/7.

perodos relacionados com a frequncia analisada (para f = 1/3, P = 3,6,12,24, ... , para f = 1/4, P = 4,8,16,32, ... , e assim por diante). J na regio catica todas as frequncias aparecem de forma mais fraca e irregular, devido ao fato de trajetrias caticas apresentarem

um espectro de fundo contnuo em toda a faixa de frequncias. Observamos tambm de forma

bastante distinta estreitas faixas escuras imersas na regio catica, correspondentes s janelas

peridicas j observadas nos diagramas de bifurcao. ainda interessante notarmos que dentro de uma regio peridica de mesmo perodo a intensidade espectral no constante,

mas varia suavemente com os parmetros.

Uma vez identificadas as diversas regies de comportamento dinmico e algumas de suas

caractersticas no plano dos parmetros, passamos ento a fazer uma anlise mais rigorosa das

caractersticas do sistema ao passar de uma regio para a outra medida que os parmetros so variados. Esta anlise encontra-se no captulo seguinte.

Captulo 4

As Transies Entre os Diversos

Regimes de Comportamento

Dinmico

Neste captulo utilizamos os algoritmos de classificao das trajetrias, introduzidos no

captulo anterior, para um estudo mais detalhado dos diversos tipos de transies possveis

entre os regimes dinmicos no plano de parmetros [ll]: a transio entre regimes peridicos

e quase-peridicos, a transio entre regimes peridicos e caticos, e a transio entre regimes

peridicos de perodos incomensurveis. Mostramos tambm que no nosso sistema no h

nenhuma transi,o direta.entre regimes quase-peridicos e caticos.

4.1 A transio entre regies de regimes peridicos e

quase-peridicos

Ao analisarmos os planos de parmetros no captulo anterior, vimos que para a < 1/2 o mapa unidimensional dissipativo 2.22 no apresenta trajetrias caticas, uma vez que ele

inversvel, e temos portanto apenas trajetrias peridicas, de diversos perodos, e quase

peridicas. Vimos tambm que estas se distribuem no plano dos parmetros formando uma

estrutura conhecida na literatura como "lnguas de Arnold". Passamos agora a analisar esta

estrutura mais a fundo. Na verdade, vamos dar enfoque no s caractersticas de cada regime

dinmico em si, mas sim s fronteiras entre eles, analisando como uma mudana infinitesimal nos parmetros de controle na vizinhana das fronteiras entre estes regimes pode afetar de

As TraIlsies Entre os Diversos Regimes de Comportamento Dinmico48

16

12

P 8

4

o 0,5

0,4

WO,3

0,2

0,1

0,0

0,0

-0,2

-0,4

-0,60,25 0,30 0,35 b 0,40 0,45 0,50

(a)

(b)

(c)

Figura 4.1: (a) Perodos das rbitas peridicas; (b) nmeros de rotao; (c) expoentes de

Lyapunov para o mapa unidimensional dissipativo 2.22 com a = 0,45.

maneira to profunda a dinmica do sistema.

Para tanto, vamos estudar a dinmica das trajetrias ao longo de um segmento de reta no

plano dos parmetros, fixando a intensidade de perturbao (a) e variando o seu perodo (b). Assim sendo, calculamos os expoentes de Lyapunov, os nmeros de rotao, e os perodos

das trajetrias (caso elas sejam peridicas) ao longo deste segmento de reta (figA.I). Os intervalos dc trajetrias peridicas so caracterizados por degraus constantes indicando o perodo das trajetrias na figura 4.l.a, por outros degraus constantes indicando seus nmeros de rotao na figura 4.1.b, e por reentrncias de expoentes de Lyapunov negativos na figura 4.1.c. J os intervalos de trajetrias quase-peridicas no so indicados no diagrama de

perodos, tm nmeros de rotao irracionais, que crescem proporcionalmente ao perodo da perturbao b, e expoentes de Lyapunov nulos.

Ampliando sucessivamente, por exemplo, o grfico dos nmeros de rotao (fig.4.2), vemos que surge um nmero crescente de faixas cada vez mais estreitas de regimes peridicos.

De fato, esta estrutura fractal e deve-se ao fato de que em cada intervalo de nmeros reais h infinitos nmeros racionais, cada um levando a um degrau no grfico dos nmeros de rotao e uma reentrncia no grfico dos expoentes de Lyapunov. A curva fractal assim

49 4.1 A transio entre regies de regimes peridicos e quase-peridicos

formada pelos nmeros de rotao conhecida na literatura como escada do diabo ("devil's

staircase") [13], pois se subirmos de degrau em degrau nunca samos do lugar.

Surge agora a questo: como se d a transio entre os dois tipos de regime observa

dos, peridico e quase-peridico? O que acontece com a dinmica do sistema quando um

parmetro (no nosso exemplo, o perodo da perturbao externa, b) variado continuamente? Para entendermos este fenmeno, vamos analsar em detalhe a regio de transio entre

as lnguas de Arnold de perodo 4 e 3 (fig.4.3).

0.48 I(a) 0,44 r,) 0.46

0.43 ~ 0.44 W w 0,42

0,42

OAO

0.38 I , 0,41 0.40 0.41 0,42 0,43 0,44 0,45 0,420 0,425 0,430

b b

Figura 4.2: Ampliaes sucessivas da curva de nmeros de rotao da figura 4.Lb

Tirando alguns espectros de Fourier ao longo desta transio para certos valores de

parmetros fixos (figA.4), vemos no primeiro espectro (figA.4,a), tirado na regio de parmetros

correspondente lngua de Arnold de perodo 4, que existe apenas um pico espectral inten

so e bastante bem definido em 14 = ~, conforme esperado. medida que aumentamos o perodo da perturbao b (figAA.b) e entramos na regio quase-peridica, observamos agora

um grande nmero de picos espectrais, mas dentre estes picos dois se destacam com maior

intensidade. Um deles est com frequncia um pouco maior que 14 e o outro est com frequncia um pouco menor que!2 = ~. Aumentando ainda mais o parmetro b e seguindo no

regime quase-peridico (figA.4.c), continuamos observando os dois picos mais acentuados,

que agora j esto mais prximos. Ao entrarmos finalmente na lngua de Arnold de perodo 3

(figAA.d) passamos a ter novamente um espectro com apenas um pico definido (desta vez em

h = tl localizado na regio entre os picos anteriores. Observamos assim que, medida que em que variamos b, os picos correpondentes s principais frequncias se deslocam de forma

As Transies Entre os Diversos Regimes de Comportamento Dinmico

contnua e quando eles chegam em um nmero racional entramos em uma lngua de Arnold.

Este fenmeno conhecido na literatura como sincronizao de fase ("phase-locking").

50

16 I (a)

12

p 8

4'~

I(b)0,35 '

WO,30

0,25

0,20 !L , .........l. ..0,00 ,

-0,10

-0,20

~~-0,30 -0,40

0,28 0,30 0,32 0,34 0,36 b

Figura 4.3: Ampliao da figura 4.1 na regio entre as lnguas de Arnold de perodo 4 e

perodo 3, respectivamente.

De fato, este deslocamento de picos espectrais ocorre no apenas com os picos principais,

mas tambm com os picos secundrios de todas as intensidades. Ele pode ser observado

melhor em diagramas de bifurcao no espao de frequncias. Fazendo um diagrama de

bifurcao no espao de frequncias correpondente regio analisada na figura 4.3 (fig.

4.5.a), podemos observar uma srie de curvas pretas, cada uma correspondendo a um pico

de frequncia que se desloca de forma contnua ao longo do eixo de frequncias, medida

que o parmetro b variado. importante notarmos que nenhuma destas curvas surge ou desaparece em pontos quaisquer, mas todas elas ligam picos espectrais correspondentes

s faixas peridicas. Ampliando uma faixa deste diagrama correspondente regio quase

peridica logo antes do regime peridico de perodo 3 (fig. 4.5.b), vemos que a estrutura de

curvas torna-se mais regular e que de fato todas as curvas espectrais se dirigem s bordas

do espectro ou a h = ~ quando entramos no regime peridico de perodo 3. Temos ainda que os cruzamentos entre estas linhas espectrais ocorrem ao longo de algu

51 4.1 A transio entre regies de regimes peridicos e quase-peridicos

1,00 (a) 1,00 I(b)

0,75 0,75

S.O,50Sp,50

0,25 0,25

0,00 . 0,00 I" 1..iI,,,LJI ,"",,,li, ,11 0,000 0,125 0,250 0,375 0,500 0,000 0,125 0,250 0,375 0,500

~ ~ 1,00 I I 1,00

(c)

0,75

S.O,50

25 0, 1 l II0,00 ,I " I, I " 1.1..1 ,I " I

(d)

0,75

SII,50

0,25

0,00 ,'--------'----' 0,000 0,125 0,250 0,375 0,500 0,000 0,125 0,250 0,375 0,500

C. C.

Figura 4.4: Espectros de Fourier para trajetrias com parmetros fixos marcados pelas linhas

pontilhadas na figA.3((a) b == 0,287, (b) b = 0,300, (c) b = 0,325, (d) b = 0,350).

mas linhas verticais bem definidas, cada uma delas correspondendo a uma lngua de Arnold

muito estreita de perodo elevado. De fato, no ocorrem cruzamentos de curvas espectrais

em valores de parmetros do regime quase-peridico.

Vimos assim, que a transio entre regimes peridicos e quase-peridicos correponde a um

deslocamento contnuo das frequncias dominantes da trajetria e que, para certos conjuntos

de parmetros, estas frequncias so sincronizadas formando estruturas correspondentes s regies peridicas no plano de par.metros, que no caso do nosso sistema (e de toda uma classe

de mapas conhecidos como mapas do crculo e seus derivados) so denominadas "lnguas de

Arnold" .

Outra forma de analisarmos a transio entre regimes peridicos e quase-peridicos

utilizando a prpria definio de trajetria peridica. Temos que, se um mapa apresenta

uma trajetria peridica estvel de perodo P, ento existem por definio P posies Oi (j =

1, ... , P) tais que jP(Oj) = Oj com II'q~Oj)1I < L Fazendo uma srie de grficos de r(O) x J

na regio da figura 4.3 correspondente entrada na lngua de Arnold de perodo 3 (figA.6),

podemos ver que no regime quase-peridico perto da lngua de Arnold a curva no cruza a reta

j3(0) = O. Quando passamos pela borda do regime peridico de perodo 3 a curva encosta

As Transies Entre os Diversos Regimes de Comportamento Dinmico52

o.,., cS

cr>

""cS

o o cS

o.,., cS

.,., '" cS

= o cS

0.28 0.32 0.36 0.330 0.335 0.340 b b

Figura 4.5: Dia.gramas de bifurcao no espao de frequncias para a = 0,45.

na reta em 3 pontos distintos e medida que entramos na lngua temos 6 cruzamentos: 3

em pontos com derivada menor que 1, correspondentes rbita estvel, e 3 com derivada maior que 1, correspondentes rbita instvel. Quanto mais nos aproximamos do centro da regio peridica mais os pontos das rbitas estveis e instveis se afastam. Assim sendo,

podemos utilizar a distncia entre uma rbita estvel e uma rbita instvel como uma medida

aproximada da proximidade de rbitas quase-peridicas no plano dos parmetros. Temos

tambm que as rbitas no centro das lnguas de Arnold so as mais estveis pois tm as

menores derivadas mdias, conforme tambm j foi observado nos diagramas de expoentes

de Lyapunov, que tm os valores mais negativos nos pontos mais afastados das regies quase

peridicas.

4.2 A transio entre regimes peridicos e caticos

Passamos agora anlise das transies entre os diversos regimes na regio do plano de parmetros com a > ~. Nesta regio observamos apenas trajetrias peridicas ou caticas, mas no existem trajetrias quase-peridicas. Isto nos leva a dois tipos possveis de tran

sies: as transies entre regimes peridicos e caticos, das quais trataremos em detalhe

neste item, e as transies entre regimes peridicos de perodos no comensurveis, que sero

analisadas no prximo item.

53 4.2 A transio entre regimes peridicos e caticos

7171 /1 (c).p' f'(I) o '

-7< -7< o -7< o -7< o 7<

e e e

Figura 4.6: Diagramas de iterao do mapa 2.22 para perodo P = 3 com a = 0,45 e (a) b = 0,33; (b) b = 0,34; (c) b = 0,35.

Para a anlise da transio entre regimes peridicos e caticos vamos tomar novamente

como exemplo o comportamento do mapa unidimensional dissipativo ao longo de um seg

mento de reta no plano de parmetros a x b. Fixamos a intensidade da perturbao peridica

em a = 0,57 e fazemos o diagrama de bifurcao, os expoentes de Lyapunov, e os perodos

das rbitas peridicas (fig.4.7). Vemos nestes diagramas que comeamos em um regime pe

ridico para perturbaes com b = 0,25 e, medida que aumentamos b, ocorrem duplicaes de perodo at entrarmos no regime catico, permeado por janelas de trajetrias regulares;

finalmente samos de novo do regime catico para o peridico por um processo de bifurcaes

reversas.

Para um estudo mais detalhado da transio entre regimes peridicos e caticos am

pliamos a parte da figura 4.7 correspondente ao primeiro conjunto de bifurcaes (figA.8).

Podemos observar a alguns detalhes do processo de bifurcao, que uma das rotas mais

comuns para o caos, conforme foi descoberto por Feigenbaum. Na verdade, tudo que preci

samos para que este processo ocorra em um mapa unidimensional dissipativo, que o mapa

de retorno deste apresente um nico ponto de mximo local, como o nosso caso. Temos

ainda que se o mapa de retorno tiver comportamento quadrtico na vizinhana deste ponto

de mximo (o que ocorre para o nosso mapa), as bifurcaes do sistema so caracteriza


16

12

P 8

4

I(b) 1,0

e* 0,0 -1,0

-2,0 I(c) 0,0

. -1,0 -2,0

-3,0

-4,00,25 0,30 0,35 b 0,40 0,45 0,50

Figura 4.7: (a) Perodos das rbitas peridicas; (b) diagrama de bifurcao; (c) expoentes de Lyapunov para o mapa unidimensional dissipativo 2.22 com a = 0,57.

das por uma constante universal (para comportamento qurtico, por exemplo, existe outra

constante). Esta constante definida como:

o== Iim Ok = Iim J.Lk - J.Lk-l = 4.669201... (4.1)k->oo k->oo J.Lk+l - J.Lk

onde definimos J.Lk como o valor do parmetro no diagrama de bifurcao no ponto da ksima bifurcao, e o conhecida na literatura como constante de Feigenbaum. Na tabela 4.1 temos os valores de bk , bk - bk-b e Ok para as primeiras bifurcaes do exemplo do grfico 4.8, e vemos que estas de fato vo se aproximando da constante universal esperada.

Outra forma de analisar a transio entre os regimes peridico e catico calcular uma

srie de espectros ao longo da transio, como tambm foi feito no caso da transio quaseperidico-peridico no item anterior. Calculando os espectros para a bifurcao da figura

4.8 (figA.9) observamos que para b = 0,325 (trajetria peridica de perodo 4) o espectro

discreto, apresentando apenas o pico correspondente ao perodo em f = 1/4 = I/P. Aumentando para b = 0,327 passamos ao regime de perodo 8 no diagrama de bifurcao e

55 4.2 A transio entre regimes peridicos e caticos

.k bk D.k =bk - bk - 1 J -~ k = A .... , 1 0,30115 -

2 0,32035 0,01920 3,4470

3 0,32592 0,00557 4,1880

!4 0,32725 ! 0,00133 4,5392

5 0,327543 0,000293 4,7258

6 0,327605 6,20 x 10 5 -

Tabela 4.1: Valores de b para sucessivas bifurcaes com a = 0,57 e a convergncia para a

constante de Feigenbaum.

no espectro surgem picos discretos menores nas frequncias correspondentes f = (1/8; 3/8) (figA.9.b). Aumentando mais um pouco o parmetro b para b = 0,329 j entramos em uma regio catica no diagrama de bifurcao, mas as regies percorridas de forma catica

pela trajetria ainda se encontram divididas em faixas bem definidas que so visitadas de

forma peridica. Consequentemente, o espectro (fig.4.9.c) apresenta um fundo contnuo,

correspondente ao caos, e alguns picos discretos fortemente acentuados, correspondentes visitao peridica das faixas.

Passando agora para b == 0,331, vemos no diagrama de bifurcao que a regio catica est dividida em apenas duas faixas, e portanto o pico de perodo 4 desaparece do espectro,

confonne vemos na figura 4.9.d, se bem que a regio em torno de f == 1/4 ainda apresenta um espectro contnuo mais intenso. Entrando ainda mais na regio catica (figA.9.e-f) as

ltimas faixas se juntam e temos espectros contnuos sem picos definidos, onde as regies

de maior intensidade espectral vo variando ao longo do eixo de Ii'equncias, conforme os

perodos das janelas peridicas mais prximas.

Assim sendo, vemos que a transio do regime peridico para o catico se d por duas

etapas: primeiro temos uma srie de duplicaes de perodos, que ocorrem a intervalos

de parmetro cada vez menores, levando a um nmero cada vez maior de picos discretos

distribudos ao longo do eixo de frequncias do espectro de Fourier. A um certo ponto

ocorreram "infinitas" bifurcaes e o espectro passa a apresentar fundo contnuo. Este o

ponto exato da fronteira entre regime peridico e catico e ele pode ser calculado de forma bastante precisa com a ajuda da constante de Feigenbaum. Mas neste ponto o caos est

ainda confinado em infinitas faixas de largura infinitesimal e portanto os picos discretos ainda dominam o espectro. medida que entramos na regio catica estas faixas se fundem

56 As Transies Entre os Diversos Regimes de Comportamento Dinmico

16

12

P 8

4

1,0

0,5

13*,0

-0,5

-1,0

-1,5

0,0

-0,5

-1,0

-1,50,320 0,325 0,330 0,335 0,340

b

Figura 4.8: Ampliao dos grficos da figura 4.7.

duas a duas num processo denominado de "crises" na literatura (os pontos de fuso de

faixas so os pontos de "crise"). Assim temos cada vez menos faixas caticas cada vez mais

largas e os picos discretos acentuados no espectro vo diminuindo em nmero e intensidade.

Finalmente, aps a ltima crise temos uma larga banda catica e o espectro totalmente

contnuo, sem picos discretos predominantes.

Fazendo o diagrama de bifurcao no espao de frequncas correspondente a esta tran

sio (figA.IO), podemos observar de forma mais detalhada o surgimento e desaparecimento

dos picos discretos durante as bifurcaes e crises, e tambm o surgimento e crescimento

do fundo contnuo medida que entramos na regio catica. Podemos tambm observar os picos espectrais correspondentes s duas janelas maiores de regimes peridicos dentro da

regio catica: uma de perodo 6 em torno de b =0,332, e uma de perodo 5 em torno de b = 0,340. Vemos tambm que medida em que aumentamos b a transio do caos para

estes regimes peridicos se d de forma abrupta, e no atravs de um processo de bifurcaes

reversas.

Para entendermos a diferena entre estas duas formas de passagem do regime catico ao

peridico (ou vice-versa) vamos analisar o mapa de retorno do sistema em torno da regio

57

1,00 i (a) ""~- ,

(b) (c)

0,75

Sn 0,50

0,25 I

0,00 I I J .J .I

(d) (e) (f)

0.75

S 0,50n

0,25

. ",lo... . , ..111,,, ,IJI"" ..,'.' " L''H~ 0,000,00 0,125 0,25 0,375 0,00 0,125 0.25 0,375 0,00 0,125 0.25 0.375 0,50

4.2 A transio entre regimes peridicos e caticos

f. f. f.

Figura 4.9: Espectros de Fourier para trajetrias com parmetros fixos a = 0,57 e (a) b=0,325; (b) b = 0,327; (c) b = 0,329; (d) b = 0,331; (e) b = 0,333; (f) b = 0,335.

em que passamos do regime ctrco ao r~gime peridico de prodo 5. Analisando os map~ de retorno de f5(0) para vrios valores de b em torno da transio caos-perodo 5 (fig. 4.11) vemos que a curva On+5 X On no cruza a linha On+5 = On dentro da regio de regime catico,

mas vai se aproximando desta medida em que aumentamos b. A partir do momento em

que ocorre o cruzamento surgem duas rbitas peridicas de perodo 5 a estvel e a instvel.

Aumentaodo mais ainda o parmetro b estas duas rbitas se afastam e comea o processo de

transio para o regime catico na outra borda da jaoela atravs do processo j aoalisado

de sucessivas duplicaes de perodo.

Vimos portanto, neste item, que as transies de regime peridico-caos so caracterizadas

por crescimento e decrescimento de picos espectrais de frequncias fixas, ao contrrio do

processo de deslocamento e sincronizao de frequncias que caracteriza a transio entre os

regimes peridicos e quase-peridicos.


= '-" =

'-" c---..J

=

= = = 0.32 0.33 0.34

b

Figura 4.10: Diagrama de bifurcao no espao de frequncias do mapa unidimensional

dissipativo para a = 0,57.

4.3 A transio entre regimes peridicos de perodos . , .InCOmenSUraVelS

Neste item passamos a analisar o ltimo tipo de transio possvel no plano de parmetros:

a transio entre dois regimes peridicos de perodos incomensurveis, ou seja perodos P e

Q tais que P # nQ, onde n um nmero natural. Esta restrio imposta para eliminarmos o caso do fenmeno da duplicao de perodos j analisada no item anterior.

De fato, a regio do plano de parmetros onde temos regies vizinhas de perodos in

comensurveis bastante restrita, ocorrendo apenas em uma estreita faixa acima do eixo

a = 1/2. Nesta regio as faixas peridicas de perodos incomensurveis se "cruzam" como pode ser visto na figura 4.12. importante observarmos que esta a nica regio do plano de parmetros onde o atrator final para o qual a trajetria se dirige depende da posio ini

cial do sistema, devido existncia de mais de um atrator estvel para os mesmos valores de

parmetros. Comparando as figuras 4.12.a e 4.12.b, que diferem apenas no valor do ngulo

inicial do sistema, vemos que no segundo caso muito maior o nmero de trajetrias que se

59 4.3 A transio entre regimes peridicos de perodos incomensurveis

---:7'1 3.03.0 r(a) b=0.338 LO I 1.0

8.,...59"+:5

-1.0-1.0

-3.0 -3.0 -l~O 1.0 3.0 -3.0 -].0 1.0 3.0

-3.0

a. a. 30 r'(c) b=0.340 /' 3.0 (d) b=0.341

1.01.0

e..+s9"+5 -1.0-1.0

-3.0 -3,0 -1,0 1.0 3.0 -3,0 -1,0 1.0 3,0

-3.0

a. a.

Figura 4.11: Mapas de retorno do mapa unidimensional dissipativo para a =0,57

dirige aos atratores peridicos de perodo P = 3 x 2n .

Para analisarmos a transio do sistema entre os regimes peridicos de perodos inco

mensurveis fazemos novamente um corte no plano de par.metros, fixando a intensidade da

perturbao em a = 0,520 e variando o perodo no intervalo 0,397 < b < 0,398. Passamos ento a calcular os expoentes de Lyapunov, os nmeros de rotao, e o diagrama de bifur

cao ao longo deste segmento de reta no plano de parmetros (figA.13). O que obtemos

ento na regio de superposio das lnguas peridicas uma alternncia fractal entre os dois regimes: o peridico de perodo 3 e a bifurcao 2 4 8 - 16 - ... que leva ao caos,

observado para os valores de b mais elevados. Vemos que existem tanto regies onde um s

regime predomina em uma larga faixa do parmetro b (para um ngulo inicial 00 constante),

como regies de grande alternncia entre os regimes. O que acontece que em toda esta

regio os dois atratores peridicos esto sempre presentes, mas as suas bacias de atrao,

de carter fractal vo se deslocando medida que variamos o parmetro b. Na figura 4.14 podemos observar um exemplo tpico de uma destas bacias de atrao para um valor fixo do

parmetro b, em funo do ngulo inicial.

Para comprovarmos o carter fractal da fronteira entre os dois regimes peridicos em funo do ngulo inicial calculamos a dimenso fractal desta atravs do algoritmo de con

60 As Transies Entre ns Diversos Regimes de Comportamento Dinmico

O . .::l070 .3Q ..C 0,"'.7

61 4.4 A regio em torno de a = 1/2

0,5

0,0

-0,5

-1,0

-1,5

-2 O , I(b)

0,35

W 0,30

0,25

0,20

.. '=. , =

1,0 . a 0,0

-1,0

-2 O

0,3970 0,3972 0,3974 0,3976 0.3978 0,3980

b

Figura 4.13: (a) Expoentes de Lyapunov; (b) nmeros de rotao; (c) diagrama de bifurcao

para a = 0,520.

ao mesmo atrator (como observamos para uma grande regio com 00 = 3, O na figura 4.12.b, onde predomina o atrator de perodo 3), ou podemos observar um comportamento acentua

damente fractal (como para 00 = O, Ona figura 4.12.a), dependendo de estarmos numa faixa

mais ou menos fractal das bacias de atrao em funo de 00 ,

Foi visto ento neste item que a transio entre regimes peridicos de perodos no

comensurveis ocorre apenas em uma regio muito pequena do plano de parmetros, que caracterizada pela existncia de mais de uma atrator peridico estvel para cada conjunto

fixo de parmetros. As transies ocorrem ento de forma abrupta e podem apresentar uma

estrutura fractal no plano de parmetros, que induzida pela distribuio fractal das bacias

de atrao no espao das condies iniciais.

4.4 A regio em torno de a = 1/2

Analisamos at aqui trs tipos possveis de transies no plano dos parmetros: a tran

sio regime pendico-cans, a transio regime peridico-quase-peridico, e a transio en


0,0

-.-O,s

-1.0 i

1.5

-2,0 ~------------~

0,4

0,3 W

0,2

0,1

0,0 LI-- -~----~------' 0,0 2,0 4,0 6,0

eo

Figura 4.14: (a) Expoentes de Lyapunov e (b) Nmeros de rotao em funo do ngulo

inicial 00 para a = 0,520 e b = 0,3975.

tre regimes peridicos de perodos no comensurveis. Falta ento apenas nos perguntar

mos: ser que existe no mapa unidimensional analisado uma transio entre regimes quase

peridicos e caticos, sem a passagem por regimes peridicos intermedirios no plano dos

parmetros? Como o comportamento quase-peridico observado apenas para a < 1/2 e o regime catico apenas para a > 1/2, o nico lugar possvel de observarmos uma transio destas seria sobre o eixo a = 1/2 que, de qualquer forma, uma das regies mais interessan

tes do sistema, pois sobre ele que o mapa passa de inversvel para no inversvel. Passamos

ento, neste item, a analisar a regio do plano de parmetros em torno de a = 1/2.

Calculando diagramas isoperidcos cada vez mais ampliados em torno do eixo a = 1/2, e mais especificamente em torno dos parmetros b para os quais ocorrem trajetrias caticas

ou quase-peridicas nesta regio (fig. 4.17), observamos trajetrias caticas para valores de

a = 1/2 + f (, > O) com to pequeno quanto quisermos. O mesmo ocorre para trajetrias quase-peridicas abaixo do eixo a = 1/2. Mais ainda, as regies quase-peridicas entre

as lnguas de Arnold vo estreitando medida em que nos aproximamos de a = 1/2 e

acabam "convergindo" para alguns valores discretos de b, que so precisamente aqueles onde

"nascem" as regies caticas assim que cruzamos o eixo a = 1/2.

Para melhor investigarmos o que acontece neste eixo, calculamos diagramas de bifur

-----

63 4.4 A regio em torno de a = 1/2

1.0

0.8

0.6

Do

0.4

0,2

0.0 O 200 400 600 800 1000 N()

Figura 4.15: Convergncia da dimenso fractal Do da fronteira entre as bacias de atrao para a 0,520 e b = 0,3975

cao logo abaixo, sobre, e logo acima do eixo a = 1/2, para uma pequena faixa de valores

de b (figA.18), e observamos que apesar de ainda termos regies bastante significativas de

comportamento quase-peridico logo abaixo do eixo e de comportamento catico logo em

cima do eixo, sobre o eixo o sistema completamente peridico (no intervalo observado, de

perodo 8).

De fato o perodo das trajetrias peridicas no constante ao longo de todo o eixo

a = 1/2 e as transies ocorrem de forma abrupta justamente nos pontos onde se "acumu

lam" as regies quase-peridicas logo abaixo de a = 1/2. Os pontos onde ocorrem estas

transies podem ser obtidos numericamente com uma preciso arbitrria, mas no dispo

mos de indicaes sobre uma forma de determin-los de forma analtica. Assim sendo, no

possvel calcular as trajetrias exatamente sobre estes pontos. De qualquer forma, como

temos pontos dos mais diversos perodos arbitrariamente prximos, o que supomos que

medida em que nos aproximamos do ponto um dos ngulos se aproxima cada vez mais de

Ocr = 211'(1 - b) + arccos(-2a) (4.3)

que o ngulo crtico para o qual o denominador de 2.22 se anula e portanto o atrator

destrudo apenas naquele exato ponto do plano de parmetros, o que nos parece uma explicao plausvel para o tipo de mudana abrupta observada.

De qualquer forma, observamos que no existe em nenhum ponto do plano de parmetros


~

= =

'" O.~9700 O.~9725

b

Figura 4.16: Bacia de atrao do atrator peridico de perodo 3 (marcado por pontos pretos)

em funo do parmetro b para a = 0,52.

uma transio do tipo quase-peridico-catico, apesar da estrutura complexa da distribuio

de tipos de trajetrias nas proximidades do eixo a = 1/2.

4.5 Resumo das principais caractersticas das transies

entre diferentes regimes dinmicos

Neste captulo analisamos as diversas transies observadas entre os diversos tipos de trajetrias (peridicas, quase-peridicas, e caticas) no plano de parmetros a x b do mapa

unidimensional dissipativo 2.22. Vimos que existem trs tipos possveis de transio: entre regimes peridicos e quase-peridicos, entre regimes peridicos e caticos, e entre regimes peridicos de perodos no-comensurveis.

As transies entre regimes peridicos e quase-peridicos ocorrem na regio de baixas intensidades de perturbao (a < 1/2) do plano de parmetros onde observamos as lnguas de Arnold, estrutura caracterstica de mapas do crculo, que so um limite do nosso mapa

para a ~ O. Vimos que, no espao das frequncias, esta transio caracterizada por

um deslocamento dos principais picos espectrais e as lnguas de Arnold (correspondentes s diversas regies de regimes peridicos) ocorrem quando estes picos chegam nas frequncias racionais correspondentes ao perodo da lngua. Observamos ainda que os nmeros de rotao

O.,:"H3750

65 4.5 Resumo das principais caractersticas das transies entre diferentes regimes dinmicos

0,5010,505

aa 0,500 0,500

0,4990,4950,3150 0,3175 0,3200 0,3165 0,31

Métodos de Análise de Mapeamentos Não-Lineares com Aplicações · para a obtenção do título...

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