Métodos de Cálculo Para Raízes Quadradas Professor

Métodos de Cálculo para Raízes Quadradas Professor André Gustavo de Almeida Santos


CÁLCULO DE RAÍZES QUADRADAS

Vamos estudar aqui algumas formas de calcular a raiz quadrada de um número positivo qualquer. É possível calcular a raiz quadrada de números negativos também, porém isto é outro assunto. Teríamos que ampliar nosso conjunto de números para os complexos. Antes de entrar no primeiro método, queria colocar aqui qual a razão prática de tal conhecimento. Em primeiro lugar poderá ser útil para os alunos, mesmo aqueles que não seguirão numa área científica, que prestarão testes vestibulares ou concursos públicos nos quais não são permitidos o uso de calculadoras. Em segundo lugar, penso ser importante saber qual o significado da raiz quadrada, mesmo que isto não tenha qualquer importância prática no dia a dia. Outro motivo é mais óbvio, pois para aqueles que seguirão áreas científicas e ou engenharias, tal saber é imprescindível. O primeiro método que abordarei é o de fatoração, este método é exaustivamente utilizados nos livros textos, por isso será dado apenas um exemplo de tal método que consiste no seguinte: Dado um número, decompô-lo em fatores primos. Como exemplo, vamos calcular a raiz de 2025. Começa-se então do primeiro primo divisível 3. (Divisível significa dividir sem deixar resto).

2025 3 675

e assim , dividi-se por 3 , se o resultado continuar sendo divisível, repete-se o processo até não ser mais possível. A próxima divisão resulta em:

2025 3 675 3 225 3 75 3 25

agora a divisão já não é possível sem deixar resto. O próximo primo é o 5, então nossa conta fica assim:

2025 3 675 3 225 3 75 3 25 5 5 5 1


Aí, conta-se quantas vezes apareceu o fator primo 3 e quantas vezes o 5. O resultado da nossa fatoração é o seguinte:

2025 = 3x3x3x3x5x5 = 34 x 52 = 32.32.52 = 455.3.35.3.3 222 == Agora, vamos abordar um método pouco conhecido e ou utilizada pelos professores de matemática, o chamado Método de Jonofon. Este método é um pouquinho mais trabalhoso que o de decomposição, mas pode ser ensinado a qualquer pessoa que saiba fazer as operações básicas de adição e subtração, com isso, torna-se desnecessário (apesar de importante) conhecimentos por parte dos alunos de números primos, divisibilidade e decomposição de números. Devo chamar atenção para o fato de que este método pode ser dado como alternativa aos alunos que já sabem o método de decomposição e no último caso para aqueles alunos que sentem mais dificuldades com os conceitos citados acima. MÉTODO JONOFON. Este método visa resolução da raiz quadrada de números quadrados perfeitos. Vamos inicialmente dar um exemplo simples de aplicação do método: obter a raiz quadrada de 9. Solução: 1º passo: Vamos subtrair 9 pelo primeiro número ímpar a partir do zero, no caso 1. 9 – 1 = 8. 2º Passo: Vamos subtrair 8 pelo segundo número ímpar depois do número 1, no caso 3. 8 – 3 = 5 3º Passo: Agora subtraímos 5 pelo terceiro número ímpar, no caso 5. 5 – 5 = 0. Como o resultado da última subtração foi zero, já podemos concluir que a raiz quadrada é exata, para determinar o resultado da raiz quadrada de 9, basta contarmos quantas subtrações foram feitas até chegarmos a zero, observe que foram feitas 3 subtrações, logo

39 = Vamos tentar de novo: obter a raiz quadrada de 16. Solução: 16 Vamos seguir os passos dados acima: 16 – 1 = 15 15 – 3 = 12 12 – 5 = 07 7 – 7 = 0


Observemos que fizemos 4 subtrações, logo 416 = Você já deve ter notado que se formos usar esse método para números muito grande teremos um trabalho considerável, por isso o método também trata a respeito de números grandes como 2025 (já visto aqui calculado com o método tradicional). Vamos calcular a raiz quadrada desse número pelo Método de Jonofon.. Solução Vamos calcular 2025 1º Passo: Para números como estes, vamos separar o número 2025 em classes: 20 e 25. 2º Passo: Usar a técnica de subtração par 20. 20 – 1 = 19 19 – 3 = 16 16 – 5 = 11 11 – 7 = 4 4 – 9 = ? Observe que não podemos continuar com a subtração, pois 4 – 9 = - 5 (resultado negativo), daí, voltamos para a penúltima subtração 11 – 7 = 4, descemos a outra classe (25) e juntamos com a diferença 4 obtendo 425, e depois somamos o subtraendo com o número, que no caso será 7 + 1 = 81, logo teremos novas subtrações a realizar, sendo que agora a partir de 425 – 81 e continuamos as operações. 20 – 1 = 19 19 – 3 = 16 16 – 5 = 11 11 – 7 = 4⇒ 425 – (7 + 1) ⇒425 – 81 = 344 4 – 9 = ? 344 – 83 = 261 261 – 85 = 176 176 – 87 = 89 89 – 89 = 00 Observe que na 1ª coluna da tabela fizemos 4 subtrações válidas, e que na segunda coluna fizemos 5 subtrações até chegarmos ao resultado zero, logo 452025 = Outro Exemplo: Calcular a Raiz quadrada de 676. Solução 676 Quando o número dado tiver três algarismos, separe as classes da seguinte forma: a primeira classe com 1 algarismo, e a segunda classe com 2 algarismos, assim 6 – 76 e proceda da mesma forma acima.


6 – 1 = 5 5 – 3 = 2 276 – (3 + 1) ⇒276 – 41 = 235 2 – 5 = ? 235 – 43 = 192 192 – 45 = 147 147 – 47 = 100 100 – 49 = 51 51 – 51 = 00 Observemos que na primeira coluna foram feitas 2 subtrações válidas, e que na segunda coluna fizemos 6 subtrações válidas, logo 26676 = . A viabilidade desse método reside do fato de que para calcular raiz quadrada de qualquer número, é necessário e suficiente que o aluno saiba apenas as operações de adição e subtração, facilitando assim seu aprendizado. O ideal é que o aluno tome contato com todos os métodos disponíveis e tenha liberdade de escolher aquele que considera mais viável. COMO OBTER A APROXIMAÇÃO DE UM NÚMERO IRRACIONAL Já sabemos que os números irracionais são aqueles cuja dízima não é periódica , por exemplo, o número ...4142,12 ≈ . Os métodos de aproximação ensinados na sétima série (ou oitavo ano) do ensino fundamental demandam um trabalho muito grande que geralmente, os alunos esquecem na série seguinte, o que acaba por se tornar apenas mais um conteúdo que servirá apenas para obter nota em provas e testes. Vamos mostrar como obter tais aproximações apenas com o uso de uma fórmula que será bastante útil na solução de problemas em concursos e vestibulares. Como vimos ...4142,12 ≈ , mas como chegar a tal aproximação? Consideremos a fórmula:

P

PNN

2+

=

Sendo: N → N é o número que se deseja obtê–lo aproximado. →P Quadrado perfeito mais próximo de N.


Então para 2 temos: N = 2 P = 1 (quadrado perfeito mais próximo de 2) Daí:

5,123

1.23

12

122 ===

+=

Outros exemplos

a) 25,243

2.29

5245

5 ===+

=

b) 58,51267

6.267

3623631

31 ===+

=

c) 85,1226334

13.2334

1692169165

165 ===+

=

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