MÉTODOS MÉTODOS DE VOTAÇÃODE VOTAÇÃO

Método da Método da Pluralidade Pluralidade

SimplesSimples

Vence o candidato (ou os candidatos, se forem mais do que um) com maior número de votos em primeiro lugar.

Método da PluralidadeMétodo da Pluralidade

EXEMPLOEXEMPLO

Método da Método da PluralidadePluralidade

N.º de

votos1800

01200

01000

0 9000 4000 2000

1º opçã

oF J C R S S

2º opçã

oR S J C J C

3º opçã

oS R S S R R

4º opçã

oC C R J C J

5º opçã

oJ F F F F F

O Francisco é que será expulso da casa.

Método da PluralidadeMétodo da Pluralidade

CRITÉRIO DA MAIORIA

Se numa eleição existe uma opção que tem a maioria dos votos em primeiro lugar, então essa opção deverá ser considerada a vencedora da eleição.

Lacunas do Método da Lacunas do Método da PluralidadePluralidade

EXEMPLOEXEMPLON.º de votos 72 70 8

1º opção Benidorm Torremolinos

Lorett del Mar

2º opção Torremolinos Algarve Torremolin

os

3º opção Lorett del Mar Madeira Algarve

4º opção Madeira Lorett del Mar Madeira

5º opção Algarve Benidorm Benidorm

Lacunas do Método da Lacunas do Método da PluralidadePluralidade

Pelo Método da Pluralidade o destino da viagem de finalistas seria Benidorm, com 72 votos em primeiro lugar.

Torremolinos

150Algarve

0Torremolinos

78Benidorm

72Torremolinos

142

Lorett del Mar

8Torremolinos

150Madeira

0

Lacunas do Método da Lacunas do Método da PluralidadePluralidade

CRITÉRIO DE CONDORCET

Se houver uma opção, a qual quando comparada par a par é sempre preferida pelos eleitores, então essa opção deverá ser considerada a vencedora da eleição.

Lacunas do Método Lacunas do Método da Pluralidadeda Pluralidade

Viola o Critério de CondorcetPode levar a uma Votação Estratégica

Método de Método de Contagem de BordaContagem de BordaCada posição no boletim de voto é dotada de pontuação. Numa eleição com N candidatos atribuímos:

1 ponto ao último lugar2 pontos ao penúltimo lugar

.

.

.N pontos ao primeiro lugar

Os pontos são somados para cada candidato separadamente, e o candidato com a pontuação mais elevada é o vencedor.

Método de Contagem de Método de Contagem de BordaBorda

EXEMPLOEXEMPLON.º de votos 18000 12000 10000 9000 4000 2000

1º opção

5 pontos

F5x1800

0

J5x1200

0

C5x1000

0

R5x9000

S5x4000

S5x2000

2º opção

4 pontos

R4x1800

0

S4x1200

0

J4x1000

0

C4x9000

J4x4000

C4x2000

3º opção

3 pontos

S3x1800

0

R3x1200

0

S3x1000

0

S3x9000

R3x4000

R3x2000

4º opção

2 pontos

C2x1800

0

C2x1200

0

R2x1000

0

J2x9000

C2x4000

J2x2000

5º opção

1 ponto

J1x1800

0

F1x1200

0

F1x1000

0

F1x9000

F1x4000

F1x2000

Método de Contagem de Método de Contagem de BordaBorda

Concorrentes Pontuação Total

F 127000

J 156000

C 162000

R 191000

S 189000

O Ricky é que terá de abandonar a casa mais vigiada de Portugal.

Lacunas do Método de Lacunas do Método de Contagem de BordaContagem de Borda

EXEMPLOEXEMPLON.º de votos 20 15 4

1º opção Ana Nuno Luís

2º opção Nuno Luís Teresa

3º opção Luís Teresa Nuno

4º opção Teresa Ana Ana

Lacunas do Método de Lacunas do Método de Contagem de BordaContagem de Borda

Concorrentes Pontuação Total

Ana 99

Luís 101

Nuno 128

Teresa 62

Pelo Método de Contagem de Borda o Nuno é que ficará com o cargo de assistente. Mas pelo critério da maioria a Ana é que devia ganhar o lugar.

Lacunas do Método Lacunas do Método de Contagem de de Contagem de

BordaBorda

Viola o Critério da MaioriaViola o Critério de Condorcet

Método da Método da Pluralidade com Pluralidade com

EliminaçãoEliminaçãoA ideia básica é fazer continuamente a eliminação dos candidatos inaptos, um por um, até restar um vencedor.

1º Passo: Contam-se os votos em primeiro lugar de cada candidato, tal como fazemos no método da pluralidade.

Se um candidato tem a maioria dos votos em primeiro lugar, ele é automaticamente declarado o vencedor.Caso contrário, elimina-se o candidato com menor número de votos em primeiro lugar.

Método daMétodo da Pluralidade Pluralidade com Eliminaçãocom Eliminação

2º Passo: Excluem-se da lista de preferências os candidatos eliminados e recontam-se os votos em primeiro lugar.

Se um candidato tiver a maioria dos votos em primeiro lugar é declarado vencedor.Caso contrário, elimina-se o candidato que tiver menor número de votos em primeiro lugar.

3º, 4º, etc. Passo: Repete-se o processo, eliminando de cada vez um ou mais candidatos, até haver um candidato com a maioria dos votos em primeiro lugar, o qual é declarado vencedor.

Método da Pluralidade Método da Pluralidade com Eliminaçãocom Eliminação

EXEMPLOEXEMPLON.º de votos 18000 12000 10000 9000 4000 2000

1º opção F J C R S S

2º opção R S J C J C

3º opção S R S S R R

4º opção C C R J C J

5º opção J F F F F F

1º Passo:

Método da Pluralidade Método da Pluralidade com Eliminaçãocom Eliminação

N.º de votos 18000 16000 10000 9000 2000

1º opção F J C R C

2º opção R R J C R

3º opção C C R J J

4º opção J F F F F

2º Passo:

Método da Pluralidade Método da Pluralidade com Eliminaçãocom Eliminação

N.º de votos 18000 16000 21000

1º opção F J C

2º opção C C J

3º opção J F F

3º Passo:

Método da Pluralidade Método da Pluralidade com Eliminaçãocom Eliminação

N.º de votos 18000 37000

1º opção F C

2º opção C F

Pelo Método da Pluralidade com Eliminação o Carlos é que abandonará a casa do Big Brother.

4º Passo:

Lacunas do Método da Lacunas do Método da Pluralidade com EliminaçãoPluralidade com Eliminação

Eleição TesteN.º de

votos

7 8 10 4

1º opçã

oM S B M

2º opçã

oS B M B

3º opçã

oB M S S

N.º de

votos

7 8 14

1º opçã

oM S B

2º opçã

oS B M

3º opçã

oB M S

Eleição

Concorrentes: Beijing (B); Manchester (M); Sydney (S)

EXEMPLO

Lacunas do Método da Lacunas do Método da Pluralidade com EliminaçãoPluralidade com Eliminação

Na Eleição Teste a cidade vencedora foi Beijing.

Na realidade a cidade que venceu a Eleição foi Sydney.

Lacunas do Método da Lacunas do Método da Pluralidade com EliminaçãoPluralidade com Eliminação

CRITÉRIO DA MONOTONIA:

Se a opção X vence uma eleição e numa reeleição as únicas alterações, nas preferências dos eleitores, são a favor de X, então X deve permanecer o vencedor da eleição.

Lacunas do Método Lacunas do Método da Pluralidade com da Pluralidade com

EliminaçãoEliminação

Viola o Critério da MonotoniaViola o Critério de Condorcet

Método da Método da Comparação Comparação

Par a ParPar a ParNeste método todos os candidatos são comparados dois a dois. Cada uma destas comparações dois a dois é designada por comparação par a par.

O vencedor de uma comparação par a par, que é aquele que se encontra em melhor posição num maior número de boletins de preferência, ganha 1 ponto.

Em caso de empate, a cada candidato é atribuído meio ponto.

Método da Comparação Par a Método da Comparação Par a ParPar

O vencedor da eleição é o candidato que obtém maior número de pontos após todas as comparações par a par terem sido realizadas.

No caso de empate, que é comum neste método, ou se aceita a existência de mais do que um vencedor ou se usa um método, pré-determinado, de desempate, caso não sejam permitidos múltiplos vencedores.

Método da Comparação Par a ParMétodo da Comparação Par a Par EXEMPLO

Nº de votos 18000 12000 10000 9000 4000 20001ª opção F J C R S S2ª opção R S J C J C3ª opção S R S S R R4ª opção C C R J C J5ª opção J F F F F FOO Francisco Francisco tem tem 1800018000 votos para votos para 3700037000 do do JoãoJoão

O vencedor desta comparação par a par é o O vencedor desta comparação par a par é o JoãoJoão que ganha 1 ponto. que ganha 1 ponto.

Método da Comparação Par a ParMétodo da Comparação Par a ParApós todasApós todas as comparações, os resultados são: as comparações, os resultados são:

Francisco 0 pontos

João 1 pontoCarlos 2 pontosRicky 3 pontosSónia 4 pontos

Método da Comparação Par a Método da Comparação Par a ParPar

O vencedor da eleição é o

candidato S.Quem vai sair da

casaé a Sónia!

Método da Comparação Par a Método da Comparação Par a ParPar

Verifica-se facilmente que este método satisfaz:

Critério de CondorcetCritério de CondorcetCritério da MaioriaCritério da MaioriaCritério da MonotoniaCritério da Monotonia

No entanto, não está livre de lacunas!!!

Lacunas do Método da Lacunas do Método da Comparação Comparação

Par a ParPar a Par Exemplo:Os membros de uma turma de 22 alunos pretendem eleger o delegado de turma. Há 5 candidatos : a Ana (A), o Bruno (B), a Carolina (C), o Daniel (D) e o Ernesto (E). A professora acordou com os alunos que o método de eleição a ser usado seria o método da comparação par a par.

Lacunas do Método da Lacunas do Método da ComparaçãoComparação

Par a Par Par a ParTabela com a lista de preferências:Tabela com a lista de preferências:

Nº de votos 2 6 4 1 1 4 4

1ª opção A B B C C D E

2ª opção D A A B D A C

3ª opção C C D A A E D

4ª opção B D E D B C B

5ª opção E E C E E B A

Lacunas do Método da Lacunas do Método da Comparação Par a ParComparação Par a Par

Resultados FinaisResultados FinaisAna 3 pontos

Bruno 2 + 1/2 pontos

Carolina 2 pontosDaniel 1+1/2 pontosErnesto 1 pontoAdmitamos que a Carolina desiste da sua candidatura porque Admitamos que a Carolina desiste da sua candidatura porque

vai mudar de escola.vai mudar de escola.

Será que este facto afectará o resultado da eleição?

Lacunas do Método da Lacunas do Método da Comparação Par a ParComparação Par a Par

Tabela com a nova lista de preferências:Tabela com a nova lista de preferências:

Nº de Votos 2 6 4 1 1 4 4

1ª opção A B B B D D E

2ª opção D A A A A A D

3ª opção B D D D B E B

4ª opção E E E E E B A

Lacunas do Método da Lacunas do Método da Comparação Comparação

Par a ParPar a Par

Resultados FinaisResultados Finais

Ana 2 pontos

Bruno 2+1/2 pontos

Daniel 1+1/2 pontosErnesto 0 pontos

O vencedor é o Bruno e não a Ana!!!!!

Lacunas do Método da Lacunas do Método da Comparação Comparação

Par a ParPar a Par

Critério da Independência de Alternativas Critério da Independência de Alternativas IrrelevantesIrrelevantes

Se um candidato X é o vencedor de uma eleição e um ou mais dos outros candidatos é removido da eleição e os boletins de voto são contados de novo, então X deve continuar a ser o vencedor.

Lacunas do Método da Lacunas do Método da Comparação Par a ParComparação Par a Par

EmpatesEmpatesOutra falha deste método é o facto de conduzir frequentemente a resultados em que há empates generalizados.Como é óbvio, em muitos casos não é possível nem razoável considerar mais do que um candidato como vencedor.Não existe um procedimento fixo para o desempate, mas na prática convém preestabelecer regras para desempatar, caso seja necessário.

Método da Comparação Par a Método da Comparação Par a ParPar

Quantas comparações par a par têm de ser Quantas comparações par a par têm de ser feitas numa eleição?feitas numa eleição?

Analisemos o caso geral em que existem N candidatos. É necessário contar o número de comparações sistematicamente, tendo o cuidado de não repetir nenhuma.

O 1º candidato deve ser comparado com todos os outros N-1.Efectuam-se (N-1) comparações par a par

Método da Comparação Par a Método da Comparação Par a ParPar

O 2º candidato deve ser comparado com cada um dos outros, excepto com o 1º. Efectuam-se N-2 comparações.

...

O (N-1)-ésimo candidato deve ser comparado com todos os outros excepto com os N-2 primeiros. Efectua-se uma comparação par a par.

Método da Comparação Par a Método da Comparação Par a ParPar

Conclui-se facilmente por indução que o número total de comparações par a par é :

1+2+3+ ... +(N-2)+(N-1)Ou seja, numa eleição com N

candidatos, o número total de comparações par a par é:

2)1( NN

Comparação dos resultados Comparação dos resultados obtidos nos diferentes métodosobtidos nos diferentes métodos

Vencedor Método de VotaçãoF Método da PluralidadeR Método da Contagem de Borda

C Método da Pluralidade com Eliminação

S Método da Comparação Par a Par

A aplicação de cada método A aplicação de cada método origina vencedores distintos !!!origina vencedores distintos !!!

RankingsRankingsEm muitos casos é importante não só

saber quem é o vencedor de uma eleição mas também quem fica em 2º lugar, 3º lugar, ...

Ou seja, é importante conhecer a ordem de classificação dos candidatos.

RankingsRankings

Existem dois tipos de Métodos de Ranking:

Métodos de Ranking Alargados Métodos de Ranking Recursivos

Métodos de Ranking Métodos de Ranking AlargadosAlargadosCada um dos métodos de eleição analisados anteriormente

tem uma extensão natural que nos permite obter a classificação geral dos candidatos.

Método da Pluralidade Alargado

Como já se viu, segundo este método o vencedor é aquele em que mais eleitores votaram em 1º lugar na ordem de preferência do boletim de voto. Analogamente o segundo classificado é aquele que, excepto o vencedor, teve mais votos em 1º lugar.

Método da Pluralidade AlargadoMétodo da Pluralidade Alargado

EXEMPLO

Nº de Votos

18000

12000

10000 9000 4000 2000

1ª opção F J C R S S2ª opção R S J C J C3ª opção S R S S R R4ª opção C C R J C J5ª opção J F F F F F

Método da Pluralidade Método da Pluralidade AlargadoAlargado

ResultadosResultados

Lugar Candidato Votos em 1º lugar

1º F 180002º J 120003º C 100004º R 90005º S 6000

Métodos de Ranking Métodos de Ranking AlargadosAlargados

Método de Contagem de Método de Contagem de Borda AlargadoBorda Alargado

Este método é também bastante simples. Os candidatos são ordenados segundo o número de

pontos que ganharam, ficando em 1º lugar aquele que teve o maior número de pontos, em segundo lugar aquele que teve o segundo maior número de pontos, ...

Métodos de Ranking Métodos de Ranking AlargadosAlargados

Método da Pluralidade com Método da Pluralidade com Eliminação AlargadoEliminação Alargado

Os candidatos são ordenados por ordem inversa à de eliminação: o 1º candidato eliminado é colocado na última posição, o 2º candidato eliminado é colocado na penúltima posição, e assim sucessivamente, até que finalmente o último candidato a ser eliminado é colocado em 1º lugar.

Métodos de Ranking Métodos de Ranking AlargadosAlargados

Método da Comparação Par a Par Alargado

Neste método os candidatos são classificados de acordo com o número de comparações par a par que ganharam, isto é, com o número de pontos que ganharam.

Métodos de Ranking AlargadosMétodos de Ranking AlargadosOrdens de classificação geralOrdens de classificação geral

Método de RankingAlargado

Ordens de Classificação Geral

1º 2º 3º 4º 5º

Pluralidade F J C R SContagem de Borda R S C J FPluralidade com Eliminação C F J R SComparação Par a Par S R C J F

Métodos de Ranking Métodos de Ranking RecursivosRecursivos

Outra estratégia de ordenar os candidatos é designada por aproximação recursiva.

Admitamos que vamos usar um determinado método de eleição X e a aproximação recursiva para estabelecer a ordem de classificação geral dos candidatos numa eleição.

Inicialmente usamos o método X para encontrar o vencedor da eleição.

Métodos de Ranking Métodos de Ranking RecursivoRecursivo

Depois removemos o nome do vencedor da lista de preferências e obtemos uma nova e modificada lista com um candidato a menos.

Mais uma vez aplicamos o método X para determinar o candidato vencedor. Esse candidato é classificado em 2º lugar.

Procedemos sucessivamente de modo análogo até estarem ordenados todos os candidatos.

Métodos de Ranking RecursivoMétodos de Ranking Recursivo

Método da Pluralidade Método da Pluralidade RecursivoRecursivo

1º Passo:1º Passo: Nº de Votos

18000

12000

10000 9000 4000 2000

1ª opção F J C R S S2ª opção R S J C J C3ª opção S R S S R R4ª opção C C R J C J5ª opção J F F F F F

Método da Pluralidade Método da Pluralidade RecursivoRecursivo

2º Passo:2º Passo:

Nº de Votos 18000 1200

010000 9000 4000 2000

1ª opção R J C R S S2ª opção S S J C J C3ª opção C R S S R R4ª opção J C R J C J

Método da Pluralidade Método da Pluralidade RecursivoRecursivo

3º Passo:3º Passo:

Nº de votos

18000

12000

10000 9000 400

0 2000

1ª opção S J C C S S2ª opção C S J S J C3ª opção J C S J C J

Método da Pluralidade Método da Pluralidade RecursivoRecursivo

4º Passo:4º Passo:

Nº de votos

18000

12000

10000 9000 400

0 20001ª opção C J C C J C2ª opção J C J J C J

Métodos de Ranking Métodos de Ranking RecursivoRecursivo

Classificação Geral segundo o Método da Pluralidade Classificação Geral segundo o Método da Pluralidade RecursivoRecursivo

Lugar 1º 2º 3º 4º 5º

Candidato F R S C J

Note-se que este resultado é diferente do obtido Note-se que este resultado é diferente do obtido com a aplicação do Método da Pluralidade com a aplicação do Método da Pluralidade

Alargado!Alargado!

ConclusãoConclusão

Introduzimos 4 critérios de justiça:

Critério da MaioriaCritério de CondorcetCritério da MonotoniaCritério da Independência de Alternativas Irrelevantes

Surpreendentemente nenhum dos métodos apresentados satisfaz todos estes critérios.

Quando é que um método é justo?

Existirá um método de eleição perfeito?

O Teorema da Impossibilidade de Arrow garante-nos que não, para eleições com 3 ou mais candidatos.