MÉTODOS NUMÉRICOS EM PROBLEMAS DE … · Métodos Numéricos em Problemas de Difusão iv ÍNDICE...

MÉTODOS NUMÉRICOS EM PROBLEMAS DE DIFUSÃO

Viriato Semião 2004

ii

PROÉMIO

O presente texto foi elaborado para constituir um meio de

estudo da disciplina de Transferência de Calor e Massa II, da

Licenciatura em Engenharia Mecânica, ramo de Termodinâmica

Aplicada, do Instituto Superior Técnico, no que se refere à

matéria de Métodos Numéricos aplicados a problemas de

difusão. Todavia, o seu conteúdo e, portanto, a sua

utilização são extensíveis a outras disciplinas de outras

Licenciaturas.

O fio condutor que norteou a sua elaboração teve por

inspiração o livro intitulado Computer-Aided Engineering:

Heat Transfer and Fluid Flow, dos autores A.D. Gosman, B.E.

Launder e G.J. Reece, que consta das referências, já que o

mesmo foi editado precisamente para o ensino desta matéria.

Contudo, o presente texto é bastante mais completo,

particularmente no que se refere aos detalhes dos fundamentos

matemáticos apresentados e aos da dedução das equações

algébricas a partir da equação de Poisson, com recurso ao

método das diferenças finitas, matérias que constituem o

capítulo terceiro. Além disso, o conteúdo da parte de

aplicações é consideravelmente diferente, na medida em que

parte dos problemas de aplicação escolhidos, e aqui propostos

para os alunos executarem com o código numérico, são diversos

dos originais, tendo-se inclusivamente introduzido um

problema de difusão de massa em meio estagnado.

A família de códigos computacionais a que o texto se

reporta (programas TEACH) exibe, relativamente aos códigos

comerciais de CFD (Computational Fluid Dynamics), a vantagem

de prover o espírito do aluno com uma armadura intelectual

que lhe confere a capacidade de elaborar, por si próprio,

modelos numéricos, com base em modelos físicos e matemáticos,

iii

sem ter necessidade de recorrer aos códigos comerciais

utilizando-os como verdadeiras caixas pretas. Ainda assim, a

opção futura de usar códigos comerciais fica em aberto para o

engenheiro (actual aluno), que decidirá consoante as

circunstâncias do momento, com a certeza, porém, de que detém

na sua bagagem o conhecimento dos fundamentos que sustentam

esse tipo de códigos.

Métodos Numéricos em Problemas de Difusão

iv

ÍNDICE

PROÉMIO ii

ÍNDICE iv

1 INTRODUÇÃO 1

2 APRESENTAÇÃO DO PROGRAMA TEACH-C 3

2.1 As capacidades do programa 3

2.2 Organização do presente texto 5

2.3 O método de estudo e de uso do programa 6

3 FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS 10

3.1 Nota introdutória 10

3.2 Equação geral da condução de calor 10

3.3 Discretização da equação do calor pelo método dos volumes de controlo 14

3.3.1 A malha e a sua notação 15

3.3.2 Derivação da equação do calor discretizada 18

3.3.3 A especificação do factor de ponderação f 26

3.3.4 As condições de fronteira 29

3.4 Detalhes sobre a equação do calor discretizada 33

3.5 Equação discretizada a três dimensões 37

3.6 Método de resolução das equações algébricas: TDMA 39

3.7 Procedimento iterativo global 45

3.8 Convergência, precisão e estabilidade numérica 47

3.9 Uso de coordenadas curvilíneas ortogonais 49

4 DESCRIÇÃO DO CÓDIGO TEACH-C 51

4.1 Nota introdutória 51

4.2 O sistema de coordenadas bi-radial 52

4.3 Estrutura global do código TEACH-C 53


v

4.4 Símbolos e convenções importantes 55

4.4.1 A malha 55

4.4.2 Variáveis dependentes e propriedades do material 58

4.4.3 Parâmetros de controlo 58

4.4.4 Coeficientes da equação discretizada 59

4.5 Descrição do CASO_BASE resolvido na versão original do código 60

4.5.1 Natureza do problema 60

4.5.2 Variáveis relevantes e descrição das subrotinas 61

4.5.3 Metodologia de modificações ao código TEACH-C 65

4.6 Descrição do CASO_TESTE para adaptação faseada 67

5 APLICAÇÕES DO CÓDIGO TEACH-C 69

5.1 Problema 1: Condução de calor unidimensional 69

5.1.1 Lição 1: Regime estacionário e sem fontes 69

5.1.2 Lição 2: Regime transiente e sem fontes 75

5.1.3 Lição 3: Regime transiente e com fontes 81

5.2 Problema 2: Condução de calor bidimensional 84

5.2.1 Lição 1: Regime transiente e sem fontes 84

6 APLICAÇÕES FACULTATIVAS DO CÓDIGO TEACH-C 88

6.1 Problema 1: Escoamento potencial 88

6.2 Problema 2: Escoamento desenvolvido em condutas de secção

não circular 92

6.3 Problema 3: Difusão de massa em meio estagnado 94

REFERÊNCIAS 99

Apêndice 1 LISTAGEM DO PROGRAMA TEACH-C 101

Apêndice 2 SÍMBOLOS EM FORTRAN E SIGNIFICADO DAS

PRINCIPAIS VARIÁVEIS DO PROGRAMA TEACH-C 112


1

CAPÍTULO

1

INTRODUÇÃO

Hodiernamente, com o advento dos computadores digitais, detentores de elevadas

velocidade de cálculo e capacidade de memória, o cálculo computacional constitui uma

ferramenta poderosa para o projecto de engenharia em geral e, em particular, para a

resolução de problemas de Mecânica de Fluidos e de Transferência de Energia e de Massa.

Os detalhes precisos fornecidos por este tipo de ferramenta numérica para os fenómenos

extremamente complexos que ocorrem em sistemas industriais de combustão, em motores

de combustão interna, em permutadores de calor, em reactores químicos, em módulos

enrolados em espiral de separação por membranas e em outros equipamentos industriais

concedem-lhe a credibilidade que detêm.

Deve salientar-se que apenas uma percentagem mínima de problemas práticos de

Mecânica de Fluidos e de Transferência de Energia e de Massa se podem resolver pela via

analítica. Mais do que isso, para uma grande parte dos casos em que essa solução analítica

existe, a sua complexidade torna-a pouco atractiva. É, contudo, crucial que se não

menospreze o método analítico como ferramenta de resolução de problemas práticos de

Mecânica de Fluidos e de Transferência de Energia e de Massa, pois ele detém méritos

próprios e campos específicos de aplicação. Da mesma forma, o método experimental em

laboratório constitui também uma forma de resolver problemas práticos. Na realidade, o

estudo de um problema prático de Mecânica de Fluidos ou de Transferência de Energia e

de Massa deve efectuar-se com uma combinação criteriosa dos três métodos, o analítico, o

numérico e o experimental, numa proporção que deve ser determinada pela natureza do

problema, pelo objectivo do estudo, por condições económicas e por outros factores

restritivos, derivados do caso particular em estudo.

O contacto com códigos computacionais, que recorrem a métodos numéricos para

resolver problemas de Mecânica de Fluidos ou de Transferência de Energia e de Massa,


2

deve iniciar-se ainda na Licenciatura, para conceder ao aluno uma formação sólida em

todas as vertentes de abordagem de um problema. Na medida em que os métodos analítico

e experimental são os mais usuais no ensino corrente, deve privilegiar-se a leccionação de

cursos sobre métodos numéricos, que imponham, por parte dos alunos, o uso de códigos

pedagogicamente preparados, para que a aprendizagem introdutória deste tema seja

profícua. É este o caso do programa TEACH-C, o mais simples da família TEACH, que

permite resolver problemas de difusão de quantidade de movimento, de energia ou de

massa, e que foi desenvolvido com fins pedagógicos no Imperial College of Science,

Technology and Medicine [1].

Apesar de existir uma literatura cada vez mais vasta sobre Cálculo Numérico em

Mecânica de Fluidos ou em Transferência de Energia e de Massa, o aluno iniciado depara-

se com meios de estudo insuficientes, quer por se tratarem de livros demasiado avançados

para o nível pretendido, quer pela abordagem generalista que, por vezes, os autores

utilizam. Note-se que são os pequenos detalhes que determinam, amiúde, o sucesso de um

determinado cálculo. A percepção e o conhecimento desses detalhes advêm da experiência

pessoal, ou daquela que é transmitida por escrito, mas que nem sempre está patente na

literatura. É no intuito de colmatar essa lacuna que se elabora o presente texto, pretendendo

o mesmo constituir um material de estudo simultaneamente simples e suficiente para

permitir ao aluno que inicia este estudo uma aprendizagem profícua dos métodos

numéricos em Mecânica de Fluidos ou de Transferência de Energia e de Massa.

Uma vez que o código usado pelos alunos será o programa TEACH-C, na sua versão

em FORTRAN-90 (adaptada no Instituto Superior Técnico a partir da versão original em

FORTRAN-IV), está implicitamente feita a opção pela família de códigos que usam a

abordagem dos volumes de controlo, cuja característica vantajosa mais marcante é o facto

de se basear essencialmente em considerações de natureza física. Efectivamente, as

equações diferenciais que regem os fenómenos de Mecânica de Fluidos ou de

Transferência de Energia e de Massa são integradas em volumes de controlo definidos por

uma malha, com recurso auxiliar ao método das diferenças finitas, e são transformadas em

equações algébricas, cuja solução requer somente conhecimentos básicos de Álgebra e

Cálculo Elementar.


3

CAPÍTULO

2

APRESENTAÇÃO DO PROGRAMA TEACH-C

2.1 As capacidades do programa

O programa TEACH-C, na sua versão em FORTRAN-90 adaptada a partir do

programa original, constitui-se em ferramenta de cálculo para a resolução de problemas

bidimensionais regidos pela versão não-estacionária da equação de Poisson. Há uma

variada gama de problemas de interesse que podem ser descritos pela referida equação, e

que abrangem as áreas do conhecimento já mencionadas: Mecânica de Fluidos, Condução

Térmica e Difusão de Massa em meio sem movimento, i.e., estagnado.

O código numérico referido foi construído com o intuito pedagógico de se revestir de

generalidade e flexibilidade de utilização: os alunos, após o estudo do código, podem

simular uma vasta gama de situações com um mínimo de modificações.

A equação de Poisson, já referida, tem a seguinte forma genérica na sua versão

estacionária:

ϕψ =∇ 2 (2.1)

Para o caso da condução de calor (energia térmica) não estacionária, e sendo ρ a

massa volúmica do material, C o seu calor específico, k a sua condutibilidade térmica, Q

uma fonte ou poço de energia e T a temperatura do material, a equação de Poisson toma a

forma:


4

( ) 0=−∇∇−∂∂

ρ QTktTC (2.2)

O programa TEACH-C resolve esta equação em coordenadas cartesianas ou

cilíndricas axissimétricas, i.e., bidimensionalmente, e habilita o aluno iniciado com os

meios para compreender a física do mecanismo de difusão de calor e descobrir

consequências de interesse prático deste fenómeno em casos particulares.

Para o caso da difusão de massa em meio estagnado, ( 0v = ), e sendo ρ a massa

volúmica da solução binária das espécies A e B, ρA a massa da espécie A por unidade de

volume da mistura, DAB o seu coeficiente binário de difusão mássica, NA uma fonte ou

poço da espécie A (através de reacção química) por unidade de volume e wA a

concentração mássica da espécie A, a equação de Poisson toma a forma:

( ) 0NwDt AAABA =−∇∇−

∂∂

ρρ (2.3)

O programa TEACH-C resolve igualmente esta equação em coordenadas cartesianas

ou cilíndricas axissimétricas, fornecendo ao aluno principiante os meios de compreensão

da física do mecanismo de difusão pura de massa e permitindo-lhe, com simples estudos

paramétricos, descobrir aspectos de interesse pragmático deste fenómeno em casos menos

vulgares.

No âmbito da área da Mecânica de Fluidos, os problemas que o código TEACH-C

permite resolver referem-se ao escoamento estacionário, laminar e desenvolvido em

condutas de secção recta circular ou rectangular, ou ainda ao caso do escoamento

irrotacional. No primeiro caso, e sendo μ a viscosidade absoluta do fluido, u a sua

velocidade na direcção axial xx e p a pressão, a equação de Poisson reduz-se a:

( ) 0d

pdu =+∇∇x

μ (2.4)

No segundo caso, e sendo ψ a função de corrente de um escoamento irrotacional, a

equação de Poisson reduz-se à equação de Laplace, ou seja:

02 =∇ ψ (2.5)


5

O programa TEACH-C também resolve as duas equações anteriores em coordenadas

cartesianas ou em coordenadas cilíndricas axissimétricas. A sua utilização nesta vertente

pelo aluno principiante concede-lhe os meios para que ele compreenda a física do

mecanismo de transporte difusivo de quantidade de movimento em escoamentos

desenvolvidos – resultante da aplicação da 2ª Lei de Newton com equilíbrio entre forças de

pressão e de atrito, i.e., na ausência de forças de inércia - no interior de condutas, e para

que ele possa estudar escoamentos potenciais, descobrindo efeitos de interesse prático

destes fenómenos, com simples variações de parâmetros do problema em casos especiais.

Para além das já mencionadas aplicações que permitem um ensino dos fenómenos

físicos subjacentes, o programa TEACH-C pode, e deve, contribuir para o ensino iniciático

dos métodos numéricos com a abordagem do volume de controlo, auxiliada pelo método

das diferenças finitas.

2.2 Organização do presente texto

O presente texto encontra-se dividido em seis capítulos. O primeiro capítulo constitui

a introdução.

O presente capítulo (o segundo) apresenta o programa TEACH-C.

No terceiro capítulo explanam-se os fundamentos teóricos que sustentam o programa

TEACH-C, nomeadamente os seus modelos físicos, matemáticos e numéricos. Neste

capítulo, apresenta-se a forma geral da equação diferencial às derivadas parciais que se

pretende resolver e é efectuada, a partir dela, a derivação do sistema de equações

algébricas que a representa, recorrendo à abordagem do volume de controlo e ao método

das diferenças finitas, em pontos do domínio de solução definidos através de uma malha:

os nós. É também apresentado um método de tratamento das condições de fronteira do

problema, um método para a resolução numérica do sistema de equações algébricas e são

discutidos tópicos como convergência, estabilidade e precisão de resultados.

No quarto capítulo descreve-se o modo como os modelos tratados no capítulo 3 são

convertidos num código computacional. Começa por se discutir a estrutura do programa e

a nomenclatura utilizada para os símbolos mais importantes. De seguida, com o objectivo

de facilitar a aprendizagem do código, efectua-se a descrição de uma aplicação do

programa TEACH-C, doravante designada por CASO_BASE, descrevendo-se todas as

subrotinas e discutindo-se as operações mais relevantes efectuadas em cada uma delas.

Neste capítulo é ainda apresentado um caso semelhante ao CASO_BASE, a que


6

chamaremos CASO_TESTE, que constituirá o primeiro exemplo de aplicação a ser

introduzido no código TEACH-C com as modificações efectuadas pelos alunos com

eventual auxílio da exposição em aula prática efectuada pelo docente. Os alunos deverão

proceder às modificações sugeridas pelo docente e, de seguida, correr o código, com a

finalidade de efectuarem uma adaptação faseada ao programa.

No quinto capítulo do presente texto apresentam-se as lições práticas sequenciais,

constituídas por problemas de aplicação que os alunos devem resolver, com utilização do

código TEACH-C, cumprindo escrupulosamente as indicações fornecidas.

No capítulo último, o sexto, são propostos problemas do tipo de difusão que não se

reportam à difusão de calor, e que são facultativos.

Existem ainda 2 apêndices: o Apêndice 1 com a listagem do programa e o Apêndice

2 com um dicionário de símbolos em FORTRAN das variáveis mais importantes.

2.3 O método de estudo e de uso do programa

Actualmente, os meios informáticos pessoais ou institucionais disponíveis não

colocam qualquer espécie de restrição ao uso do programa TEACH-C. Os alunos dos

últimos anos dos Mestrados Integrados do Departamento de Engenharia Mecânica, ou

mesmo os alunos de outros Mestrados Integrados em Engenharia, são os potenciais

interessados na aprendizagem aqui proposta. O ensino desta matéria pode ser simbiótico

entre aulas teóricas de exposição dos fundamentos, aulas práticas de reconhecimento do

código e adaptação ao código, em que os alunos efectuam numa listagem do programa as

modificações a realizar, e o docente fará o mesmo recorrendo aos meios audiovisuais que

melhor entender, para se efectuar o estudo de um caso concreto: o CASO_TESTE. Não

obstante, o presente texto foi elaborado para permitir ao aluno um estudo totalmente

autónomo. Assim, é crucial o investimento individual dos alunos, fora das aulas, com a

realização dos trabalhos constantes do capítulo 5, com o acompanhamento por parte do

docente para esclarecimento de dúvidas.

Com a aprendizagem aqui proposta, os alunos deverão ficar com conhecimentos

sólidos sobre os fundamentos dos Métodos Numéricos, compreendendo e sendo capazes de

derivar sozinhos as equações algébricas a partir das equações diferenciais regentes. A

estrutura do programa TEACH-C (subrotinas e suas funções) deverá ser bem

compreendida pelo aluno duma forma genérica. Todavia, há algumas variáveis mais


7

importantes com as quais o aluno deverá familiarizar-se e de que deverá conhecer o seu

significado, função no código e em que subrotinas aparecem.

Após a apresentação teórica do método e da apresentação detalhada do código, os

alunos deverão passar à actividade prática, ou seja, ao uso e modificação do programa, por

etapas, e na sequência dos exercícios propostos no capítulo 5. Embora o programa

TEACH-C seja um código pedagogicamente desenvolvido para o ensino e, portanto, de

acessível manipulação por parte do utilizador, existem problemas cuja adaptação do código

se pode revelar extensa. Assim, a referida sequência de exercícios foi determinada pelo

grau crescente de dificuldade dos mesmos e pela complexidade das modificações a fazer

ao programa.

De acordo com a figura 2.1, que mostra os níveis de contacto do aluno com o código

TEACH-C através da estrutura de modificações a efectuar, é conveniente usar em cada

exercício três níveis de modificações (operações que envolvem alterações ao código

inicial).

Figura 2.1 – A estrutura de modificações do programa TEACH-C.


8

No primeiro nível de modificação, designado por PROBLEMA n - Modificação, o

código deve ser mudado de forma a adaptar-se ao caso ou tópico em estudo (a título

exemplificativo, suponha-se que se está a estudar a condução de calor unidimensional não

estacionária, tal como consta da tabela 2.1).

Num segundo nível de contacto com o código e aprendizagem, cria-se aquilo que se

designa por LIÇÃO n - Modificação (ver figura 2.1). Para o exemplo acima referido

(difusão de calor unidimensional não estacionária), podem imaginar-se três lições

possíveis: uma placa plana composta com variação de temperatura em degrau imposta à

superfície, uma placa simples com uma fonte de calor dependente da temperatura e a

evolução da temperatura no solo terrestre com temperatura à superfície com variação

sinusoidal (ver tabela 2.1).

No último nível, efectuam-se estudos paramétricos, criando aquilo que se designa por

CORRIDA n - Modificação (ver figura 2.1), para permitir ao aluno explorar os efeitos

desses parâmetros na solução do problema que está a estudar (ver tabela 2.1).

Tabela 2.1 – A estrutura de um problema típico para o programa TEACH-C.

PROBLEMA n LIÇÃO n CORRIDA n

LIÇÃO 1 Placa plana composta com

variação em degrau da temperatura à superfície

CORRIDA 1 Materiais a estudar: estuque,

fibra de vidro e madeira CORRIDA 2

Materiais a estudar: estuque, betão, caixa-de-ar e betão

LIÇÃO 2 Placa plana simples com

fonte de calor dependente da temperatura

CORRIDA 1 Variação da intensidade de

fonte de calor CORRIDA 2

Variação do coeficiente de transferência de calor

PROBLEMA 1 Condução de calor térmica

unidimensional não estacionária

LIÇÃO 3 Temperatura da superfície

terrestre com variação sinusoidal

CORRIDA 1 Variação do período da

função sinusoidal CORRIDA 2

Variar o amplitude da função sinusoidal

CORRIDA 3 Uso de propriedades de

outros materiais


9

Com a estrutura de modificações ao programa TEACH-C programada conforme se

explanou, os alunos podem adquirir um domínio excelente do método dos volumes de

controlo, do código e, em geral, do uso de métodos numéricos para resolver problemas de

Mecânica de Fluidos e de Transferência de Energia e de Massa.


10

CAPÍTULO

3

FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS

3.1 Nota introdutória

A maior parte dos fenómenos de Mecânica dos Fluidos e de Transferência de Energia

ou de Massa são regidos matematicamente por equações diferenciais às derivadas parciais,

que traduzem um princípio de conservação geral. O programa a utilizar, TEACH-C, deve

ser encarado como uma ferramenta de cálculo geral, com a qual é possível resolver

problemas de uma vasta gama de situações físicas. Contudo, por questões de brevidade de

exposição e de clareza de descrição, apenas se apresentará aqui o método de derivação das

equações algébricas a partir da equação diferencial regente para o caso não estacionário da

difusão de energia, um dos casos mais complexos dos apresentados na secção 2.1, descrito

pela forma da equação de Poisson expressa na equação (2.2).

De qualquer forma, após o estudo deste caso, e uma vez que os restantes casos são

descritos também pela equação de Poisson em formas semelhantes, os alunos deverão

deduzir sozinhos, por método similar, as equações algébricas para os casos: a) difusão de

massa em meio estático – a partir da equação diferencial regente (2.3); b) escoamento

estacionário, laminar e desenvolvido em condutas de secção recta circular ou rectangular –

a partir da equação diferencial regente (2.4); c) escoamento irrotacional – a partir da

equação diferencial regente (2.5).

3.2 Equação geral da condução de calor

A aplicação das leis fundamentais da condução de calor origina uma equação

diferencial para a temperatura T (na realidade, e já que T é uma propriedade intensiva [2],

é a energia térmica (propriedade extensiva) que se difunde sob a forma de calor segundo a


11

equação diferencial referida, mas a sua forma matemática explicita T como variável

dependente), cuja derivação em detalhe pode ser encontrada na literatura da especialidade,

como por exemplo [3] a [6].

Para meios isotrópicos e heterogéneos, e em coordenadas cartesianas a duas

dimensões e cilíndricas axissimétricas (assim denominadas por se referirem a geometrias

com simetria axial), que são aquelas que o programa utiliza, respectivamente, a referida

equação (2.2) toma as formas seguintes:

QTkTktTC +⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

=∂∂

ρyyxx

(3.1)

QTkTktTC +⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

=∂∂

ρxxr

rrr

1 (3.2)

Nas equações anteriores T é a temperatura do material, ρ é a massa volúmica do

material, C o seu calor específico a, k a sua condutibilidade térmica e Q é uma fonte ou

poço de energia e representa a taxa de energia gerada por unidade de volume no interior do

material.

As figuras 3.1.a e 3.1.b, representam geometrias típicas de alhetas, em coordenadas

cartesianas e cilíndricas axissimétricas, respectivamente, que podem ser modeladas a duas

dimensões pelo programa TEACH-C.

A denominada equação do calor – nas formas das equações (3.1) e (3.2) – é, como se

pode observar, uma equação diferencial às derivadas parciais de 2ª ordem nas variáveis

espaciais e de 1ª ordem na variável tempo. A sua integração vai gerar o aparecimento de

um número determinado de constantes, que têm de ser calculadas com recurso a um

número igual de equações adicionais, que constituem as condições aos limites. Isto não

constitui novidade, na medida em que, fisicamente, esta necessidade de condições aos

limites traduz um facto conhecido: a distribuição de temperaturas no interior de um sólido

depende, além das propriedades físicas do próprio material, das condições a que se

sujeitam as suas fronteiras (condições de fronteira) e, em caso de difusão não estacionária

de energia, depende também da condição inicial. Assim, em termos matemáticos, para se

especificar completamente um problema particular de condução de calor é necessária a

seguinte informação auxiliar:

(a) valores das propriedades dos materiais, ρ, C e k;


12

Figura 3.1.a – Geometria típica de uma alheta a simular com o programa TEACH-C, em coordenadas cartesianas bidimensionais.

x

r

W

H

r0T = TB

Figura 3.1.b – Geometria típica de uma alheta a simular com o programa TEACH-C, em coordenadas cilíndricas axissimétricas.


13

(b) distribuição discretizada das fontes de calor Q no domínio de solução, ou

das funções matemáticas adequadas no caso das fontes dependerem do

tempo, da posição no espaço ou da temperatura;

(c) a condição inicial, i.e., para o instante t=0, a distribuição inicial de

temperaturas em todo o meio (esta condição só é estritamente necessária em

problemas dependentes do tempo, se bem que, como veremos, por se tratar

de um processo iterativo de solução aquele que o programa usa, o código

requer sempre uma distribuição inicial de temperaturas);

(d) prescrição dos valores da temperatura (condição do tipo Dirichlet), dos

valores do fluxo de calor (condição do tipo Neumann), ou do tipo misto em

todas as fronteiras do sistema e para todos os instantes no tempo.

Estas condições de fronteira assumem a seguinte forma geral:

0TnT

321 =++∂

∂ λλλ (3.3)

em que n é a normal exterior à superfície que define a fronteira e λ1, λ2, e λ3 são funções

que especificam a condição de fronteira particular a aplicar, tal como expresso na tabela

3.1 para os casos mais comuns.

Tabela 3.1 – Definição de λ1, λ2, e λ3 na equação (3.3) para as condições de fronteira mais comuns.

Natureza da condição de fronteira λ1 λ2 λ3

Dirichlet: Temperatura TB imposta 0 1 - TB

Neumann: Fluxo de calor QB imposto k 0 - QB

Coeficiente de transferência de calor por convecção h de um fluido exterior à temperatura TF imposto (trocas de calor por convecção com um fluido)

k h - h TF

Para a condição inicial, no caso de se estar a resolver um problema não estacionário,

a solução vai depender, como se viu, da distribuição de temperaturas no material num dado

instante, a que se convenciona chamar instante inicial (t = 0). Se o domínio físico em

coordenadas cartesianas for Ω, a condição inicial é expressa por:


14

( )yx,yx,yx, 0T),0t(T ==∴∈∀ Ω (3.4)

A razão pela qual se designa esse instante por inicial é o facto de ele representar o

início no tempo da evolução das temperaturas do material que se está a estudar.

3.3 Discretização da equação do calor pelo método dos volumes de

controlo

Quando se resolve numericamente uma equação diferencial a uma variável

dependente, está necessariamente a substituir-se a informação contínua que a solução

exacta ou analítica da equação estabelece, quando existe tal solução, por um conjunto

discreto de valores da variável num número finito de pontos, i.e., estamos a discretizar a

solução. Assuma-se que se tem como solução de uma dada equação diferencial, para a

variável ϕ, o seguinte polinómio, em que a0, a1, a2, b1, b2 e c são constantes conhecidas:

xyyyxx cbbaaa 2

212

210 +++++=ϕ (3.5)

Admita-se ainda que se emprega um método numérico para se resolver a equação

diferencial cuja solução analítica é a equação (3.5). A solução numérica κΨ da equação

diferencial no domínio físico Ω definido por uma malha de N nós (i nós na direcção xx e j

nós na direcção yy) não é mais do que o seguinte conjunto finito A, em que κΨ aproxima a

solução exacta κϕ a menos de um erro ε, com uma ordem de grandeza O(ε):

( ) ( ) ( ) ε+ϕ=ψ∧∈∀ψ=ψ∴ψ= = Oy,xΩy,x,y,xA jikkjijikn,1k,k (3.6)

A solução numérica de uma equação diferencial consiste, pois, num conjunto

discreto de valores da variável dependente em pontos específicos do domínio de solução

(no caso do programa TEACH-C são os chamados nós da malha), a partir dos quais a

distribuição daquela variável pode ser construída. Assim, na solução de um método

numérico, as incógnitas são precisamente os valores que a variável dependente pode tomar

num número finito de posições do espaço, normalmente definidos por uma malha e

designados por nós da malha, que definem o domínio físico em estudo. Portanto, o método

numérico tem necessariamente que conter um algoritmo para obtenção do sistema de

equações algébricas a partir da equação diferencial regente, cujas incógnitas são os valores


15

da variável dependente num número finito de pontos do espaço e, simultaneamente, um

algoritmo matemático e computacional de resolução do sistema de equações algébricas

obtido.

3.3.1 A malha e a sua notação

Uma malha computacional é um conjunto de linhas (ortogonais para o caso do

programa TEACH-C) que se intersectam em pontos que, como referido, se designam por

nós. A malha deve abranger todo o domínio físico de solução e os seus nós são os pontos

onde a variável dependente (temperatura para o caso da condução de calor) assumirá

valores-solução de forma discretizada. As figuras 3.2 e 3.3 representam casos típicos de

malhas, respectivamente em coordenadas cartesianas para o caso de uma secção

rectangular e em coordenadas cilíndricas axissimétricas para o caso de uma secção de

revolução em forma de T.

Figura 3.2 – Uma malha típica em coordenadas cartesianas (linhas a cheio) e os volumes de controlo (linhas a tracejado) que lhe estão associados.

Apesar da figura 3.2 poder induzir tal raciocínio, note-se que a malha não tem

necessariamente que ter um espaçamento uniforme. Pelo contrário, a concentração de nós

da malha deve ser mais acentuada nas regiões em que o gradiente da variável dependente é

mais elevado, de forma a minimizar o erro de discretização, como adiante se verá. A figura

3.3 representa precisamente uma malha não uniforme.

Cada nó da malha pode ser conceptualizado como o ponto representativo do volume

de controlo (também designado por célula) que o rodeia, cujas fronteiras estão definidas

pelas linhas a tracejado nas figuras 3.2 e 3.3, definindo-se estas como as linhas bissectrizes

que são perpendiculares às linhas da malha que unem dois nós consecutivos. Desta forma,

no caso de malhas não-uniformes, o nó da malha que representa uma determinada célula


16

não se localizará no centro geométrico dessa célula, tal como se pode observar na figura

3.4, que representa um nó P da malha e os nós N, S, E e W, que lhe são vizinhos. Nesta

figura é ainda possível verificar a restante notação usada, nomeadamente no que se refere

aos pontos das fronteiras dos volumes de controlo ou células: n, s, e e w. As coordenadas

do nó da malha P, coordenada axial e radial, são denominadas respectivamente por xP e rP.

As dimensões do volume de controlo são δxew na direcção axial e δrns na direcção radial.

As restantes dimensões axiais e radiais da figura, tais como por exemplo δxEP ou δrPS são

auto-explicativas. As variáveis qn, qs, qe e qw representam os fluxos de calor nas interfaces

dos volumes de controlo. Se a figura 3.4 representasse um volume de controlo em

coordenadas cartesianas seria em tudo semelhante, bastando substituir r por y e δr por δy.

Figura 3.3 – Uma malha típica em coordenadas cilíndricas axissimétricas (linhas a cheio) e os volumes de controlo (linhas a tracejado) que lhe estão associados.

Deve ter-se em conta que se podem construir malhas de forma diversa daquela que o

programa TEACH-C utiliza. Tal como descrito em detalhe por Patankar [7], a prática de

construção da malha pode ser a inversa da que usa o TEACH-C, i.e., em vez de se

localizarem as interfaces dos volumes de controlo a meia distância entre dois nós

consecutivos, podem localizar-se os nós nos centros geométricos dos referidos volumes de

controlo. Neste caso, estabelecem-se primeiro as linhas que definem as fronteiras (ou

interfaces) dos volumes de controlo, e só depois se definem as linhas da malha, para se


17

assegurar a localização dos nós na posição pretendida, i.e., no centro geométrico do

volume de controlo.

Figura 3.4 – Coordenadas cilíndricas axissimétricas: um conjunto típico de nós de uma malha.

Quando as malhas são uniformes, as duas práticas anteriormente explicitadas

conduzem ao mesmo resultado. Todavia, se o espaçamento da malha não for uniforme, os

resultados não são os mesmos. De facto, a prática usada pelo código TEACH-C, que


18

coloca as interfaces dos volumes de controlo a meia distância entre dois nós consecutivos,

permite um cálculo mais preciso dos fluxos de calor nessas fronteiras. Esta característica

deriva do facto do declive de uma parábola num ponto C, localizado a meia distância entre

dois pontos quaisquer A e B, ser exactamente igual ao declive da recta que une esses dois

pontos A e B. Assim, apesar de se usar um perfil linear de temperatura entre dois nós

consecutivos, os resultados obtidos por esta abordagem correspondem ao uso de um perfil

parabólico, ou seja, uma aproximação com uma ordem superior àquela que está

explicitada. Obviamente, a derivada de uma parábola num ponto que não esteja a meia

distância entre os dois extremos não é igual ao declive da recta que os une, e este facto

reduz a precisão da discretização quando se usa uma malha com os nós colocados no

centro geométrico do volume de controlo, pois os fluxos calculados estão afectados de um

determinado erro.

Por outro lado, o facto do nó da malha não estar no centro geométrico do volume de

controlo a que pertence gera também uma desvantagem: o valor da temperatura nesse nó,

TP, não deve ser encarado como o valor que melhor representa a temperatura do volume de

controlo para uso no cálculo dos valores das fontes, da condutibilidade térmica ou de

outras variáveis que dependam da temperatura. Ao fazê-lo, comete-se uma imprecisão.

Esta localização descentrada do nó P (e dos nós vizinhos N, S, E, W) em malhas não

uniformes, quando se colocam as interfaces dos volumes de controlo a meia distância entre

dois nós consecutivos, leva, da mesma forma a cometer-se a imprecisão de aceitar que o

fluxo de calor nas interfaces dos volumes de controlo seja definido pelo seu valor num

ponto que não está localizado no centro dessa interface (ver figura 3.4, pontos n, s, e e w

das interfaces dos volumes de controlo).

No entanto, a prática de se colocarem as interfaces dos volumes de controlo a meia

distância entre dois nós consecutivos, como no TEACH-C, exibe uma vantagem que o

torna mais atractivo: as fronteiras físicas do problema coincidem exactamente com as

interfaces dos volumes de controlo de fronteira (vejam-se figuras 3.2 e 3.3), o que torna a

prescrição das condições de fronteira mais exequível, pois não é necessário efectuar uma

discretização especial para as equações matemáticas que definem as referidas condições

aos limites.

3.3.2 Derivação da equação do calor discretizada

Reportando-nos à figura 3.4 e à sua nomenclatura, há um conjunto de áreas

superficiais, bem como o volume dos volumes de controlo (mantenha-se em mente que


19

trabalhamos a duas dimensões e, portanto, fala-se de grandezas por unidade de

profundidade em coordenadas cartesianas ou de ângulo azimutal em coordenadas

cilíndricas axissimétricas), que devem ser conhecidos, pois vão ser recorrentemente

utilizados no processo de derivação da equação de calor discretizada. Para o volume de

controlo do nó genérico P, teremos o seu volume VP e as áreas superficiais das interfaces

an, as, ae e aw, aproximadas por:

ewnsPP xrrV δδ≈ (3.7.a)

ewnn xra δ≈ (3.7.b)

ewss xra δ≈ (3.7.c)

nsPe rra δ≈ (3.7.d)

nsPw rra δ≈ (3.7.e)

Se o domínio de solução for representado por coordenadas cartesianas, aquelas variáveis

expressam-se pelas seguintes equações (note-se que nestas coordenadas os valores das

áreas e do volume são exactos e resultam das equações anteriores fazendo 1i =r e

yr δδ = ):

ewnsPV xy δδ= (3.8.a)

ewna xδ= (3.8.b)

ewsa xδ= (3.8.c)

nsea yδ= (3.8.d)

nswa yδ= (3.8.e)

Os valores das áreas superficiais e do volume para o caso das coordenadas cilíndricas

axissimétricas são aproximados, i.e., não são exactos, precisamente porque o ponto P não

está no centro do volume de controlo. De facto, o volume de um cilindro oco de altura xδ

e raios exterior e interior intext r,r , vale ( ) xrrV 2int

2extcil δ−π= , que é equivalente a

( ) x2

rrrr2V intext

intextcil δ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−π= . Ora, se dividirmos a equação anterior por π2 e

aproximarmos medintext r

2rr

≈+

, obtemos a aproximação expressa pela equação (3.7.a).


20

De seguida efectuar-se-á a dedução das equações algébricas a partir das equações

diferenciais regentes: equações (3.1) e (3.2), respectivamente para coordenadas cartesianas

e cilíndricas axissimétricas. O ponto de partida será então o conjunto dos seguintes

integrais:

0dtddQTkTktTC

t1

p

tt

t

n

s

e

w

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

−∂∂

∫ ∫ ∫+

yxyyxx

ρδ

δ

(3.9.a)

0dtddrQTkTk1tTC

t1

p

tt

t

n

s

e

w

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

−∂∂

∫ ∫ ∫+

rxxxr

rrr

ρδ

δ

(3.9.b)

Note-se que esta abordagem é bastante diferente do método puro das diferenças

finitas, que consiste em aproximar as derivadas da equação diferencial a uma série de

Taylor truncada. De facto, para o caso unidimensional de malha uniforme, com

espaçamento entre nós de Δx, e sendo 1, 2 e 3 os números de três nós consecutivos e

adjacentes onde φ assume, respectivamente, os valores φ1, φ2 e φ3, a abordagem pelo

método das diferenças finitas, desenvolvendo a série de Taylor em torno do nó 2,

estabelece:

( ) L−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=

22

22

221 d

d21

dd

xx

xx φΔφΔφφ (3.10.a)

( ) L+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ φΔ+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ φ

Δ+φ=φ2

2

22

223 x

x21

xx

dd

dd (3.10.b)

Truncando a série após o termo da primeira derivada e subtraindo as duas equações

anteriores, já truncadas, obtém-se a transformação da derivada em diferenças finitas:

xx Δφφφ

2dd 13

2

−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ (3.11)

Os integrais anteriores, que utilizam o método dos volumes de controlo, i.e., a

integração da equação diferencial no volume de controlo definido a partir da malha e que,

como se viu, diferem do método das diferenças finitas, podem rescrever-se da seguinte

forma:


21

0

4I

dtddQt

1

3I

dtddTkt

1

2I

dtddTkt

11I

dtddtTC

t1

tt

t

n

s

e

w

tt

t

n

s

e

w

tt

t

n

s

e

wp

tt

t

n

s

e

w

=−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

−

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫++

++

4444 34444 21444444 3444444 21

444444 8444444 76444444 8444444 76

yxyxyy

yxxx

yx

δδ

δδ

δδ

δρ

δ (3.12.a)

0

4J

dtddQt

1

3J

dtddTkt

1

2J

dtddTkt

11J

dtddtTC

t1

tt

t

n

s

e

w

tt

t

n

s

e

w

tt

t

n

s

e

wp

tt

t

n

s

e

w

=−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

−

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫++

++

4444 34444 21444444 3444444 21

444444 8444444 76444444 8444444 76

rxrrxrxx

rxr

rr

rxr

δδ

δδ

δδ

δρ

δ (3.12.b)

Seguidamente, tratar-se-ão em separado cada um dos integrais das equações (3.12.a)

e (3.12.b). Para o termo não estacionário (integrais I1 e J1), e assumindo que as

propriedades do material que aparecem neste integral são constantes no tempo e não

variam com a posição no espaço, obtém-se sucessivamente:

tt

t

n

s

e

w

pp

tt

t

n

s

e

w

ddTt

Cdtdd

tTC

t11I

δδ

δρ

ρδ

++

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

= ∫ ∫∫ ∫ ∫ yxyx (3.13.a)

tt

t

n

s

e

w

pp

tt

t

n

s

e

w

ddTt

Cdtdd

tTC

t11J

δδ

δρ

ρδ

++

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

= ∫ ∫∫ ∫ ∫ rxrrxr (3.13.b)

( ) nsew1n

PnP

p TTt

C1I yx δδ

δρ −−= (3.14.a)

( ) nsew1n

PnPP

p TTt

C1J yxr δδ

δρ −−≈ (3.14.b)

em que, os índices superiores n e n-1 se referem aos valores nos instantes t+δt e t,

respectivamente.

Os segundos integrais, I2 ou I3 e J2 ou J3, podem ser parcialmente calculados da

seguinte forma:


22

dtdTkt

1dtddTkt

13I

dtdTkt

1dtddTkt

12I

tt

t

n

s

w

e

tt

t

n

s

e

w

tt

t

e

w

n

s

tt

t

n

s

e

w

∫ ∫∫ ∫ ∫

∫ ∫∫ ∫ ∫++

++

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

=

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

=

δδ

δδ

δδ

δδ

xy

yxyy

yx

yxxx

(3.15.a)

dtdTkt

1dtddTkt

13J

dtdTkt

1dtddTkt

12J

tt

t

e

w

n

s

tt

t

n

s

e

w

tt

t

n

s

e

w

tt

t

n

s

e

w

∫ ∫∫ ∫ ∫

∫ ∫∫ ∫ ∫++

++

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

=

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

=

δδ

δδ

δδ

δδ

rx

rrxrxx

xx

rrxr

rr

(3.15.b)

Utilizando agora diferenças finitas para calcular os fluxos nas interfaces dos volumes

de controlo (método pelo qual as diferenças infinitesimais são transformadas, como se viu,

em diferenças finitas), i.e., assumindo variações lineares e unidimensionais da variável

dependente para calcular os fluxos de calor nas interfaces dos volumes de controlo (ver

equação (3.11)), tal como se expressa a título exemplificativo na equação (3.16) para o

fluxo na interface w,

nsPW

WPWPn

s w

yx

TT2

kkd

xTk δ

δ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂

∫ y (3.16)

os integrais anteriores podem-se simplificar:

dtTT

2kkTT

2kk

t13I

dtTT

2kkTT

2kk

t12I

tt

tew

PS

SPSP

NP

PNPN

tt

tns

PW

WPWP

EP

PEPE

∫

∫+

+

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+=

δ

δ

δδδδ

δδδδ

xyy

yxx

(3.17.a)

dtTT

2kkTT

2kk

t13J

dtTT

2kkTT

2kk

t12J

tt

tns

PW

WPWP

EP

PEPEP

tt

tew

PS

SPSPs

NP

PNPNn

∫

∫+

+

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+≈

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+≈

δ

δ

δδδδ

δδδδ

rxx

r

xr

rr

r (3.17.b)

Coloca-se agora a questão da integração temporal das equações (3.17.a) e (3.17.b).

Para tal, efectua-se uma ponderação entre os valores das variáveis no instante t+δt (índice

superior n) e no instante t (índice superior n-1), recorrendo ao factor de ponderação f, cujo

intervalo de variação é 0 ≤ f ≤ 1:


23

1n

ewPS

SPSP

NP

PNPN

n

ewPS

SPSP

NP

PNPN

1n

nsPW

WPWP

EP

PEPE

n

nsPW

WPWP

EP

PEPE

TT2

kkTT2

kk)1(

TT2

kkTT2

kk3I

TT2

kkTT2

kk)1(

TT2

kkTT2

kk2I

−

−

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+−+

+⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+−+

+⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+=

xyy

f

xyy

f

yxx

f

yxx

f

δδδ

δδδ

δδδ

δδδ

(3.18.a)

1n

ewPS

SPSPs

NP

PNPNn

n

ewPS

SPSPs

NP

PNPNn

1n

nsPPW

WPWP

EP

PEPE

n

nsPPW

WPWP

EP

PEPE

TT2

kkTT2

kk)1(

TT2

kkTT2

kk3J

TT2

kkTT2

kk)1(

TT2

kkTT2

kk2J

−

−

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+−+

+⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+≈

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+−+

+⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+≈

xr

rr

rf

xr

rr

rf

rrxx

f

rrxx

f

δδδ

δδδ

δδδ

δδδ

(3.18.b)

Deve ser notado, entretanto, que foi consentida na integração a variação espacial da

condutibilidade térmica do material. Mais concretamente, foi assumida uma variação

linear, pois os valores de k nas interfaces dos volumes de controlo são calculados através

da média dos valores de k nós vizinhos dessa interface, que lhe são equidistantes. Esta

prática assegura a continuidade dos fluxos de calor nas interfaces dos volumes de controlo,

preservando assim a precisão e o realismo físico dos resultados. Obviamente que qualquer

outro tipo de variação não linear poderia ser admitida, particularmente se k exibisse

gradientes espaciais muito intensos.

No que se reporta ao integral do termo de fonte, I4 ou J4, a metodologia usada é

igual à que se usou para os integrais I2, I3, J2 e J3. Note-se que, embora o termo de fonte

possa assumir dependência espacial com várias formas algébricas, e.g., polinómios de

ordem vária em x e em y, ou em T, é sempre possível exprimir o resultado da integração

sob a forma de uma função linearizada e da média temporal da temperatura no volume de

controlo, TP:


24

( ) ( )

( ) ( )1nU

1nP

1nP

nU

nP

nP

tt

t

n

s

e

w

1nU

1nP

1nP

nU

nP

nP

tt

t

n

s

e

w

STS)1(STSdtddQ4J

STS)1(STSdtddQ4I

−−−+

−−−+

+−++==

+−++==

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

ffxrr

ffyx

δ

δ

(3.19)

Adiante ver-se-á em detalhe o procedimento a adoptar para se linearizar

correctamente o termo de fonte.

Reunindo agora os termos todos das duas equações, uma em coordenadas cartesianas

e outra em coordenadas cilíndricas axissimétricas, obtém-se, respectivamente:

( )

( ) ( ) 0STS)1(STS

TT2

kkTT2

kk)1(

TT2

kkTT2

kk

TT2

kkTT2

kk)1(

TT2

kkTT2

kk

TTt

C

1nU

1nP

1nP

nU

nP

nP

1n

ewPS

SPSP

NP

PNPN

n

ewPS

SPSP

NP

PNPN

1n

nsPW

WPWP

EP

PEPE

n

nsPW

WPWP

EP

PEPE

nsew1n

PnP

p

=+−−+−

−⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+−−

−⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+−

−⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+−−

−⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+−

−−

−−−

−

−

−

ff

xyy

f

xyy

f

yxx

f

yxx

f

yx

δδδ

δδδ

δδδ

δδδ

δδδρ

(3.20.a)

( )

( ) ( ) 0STS)1(STS

TT2

kkTT2

kk

TT2

kkTT2

kk

TT2

kkTT2

kk)1(

TT2

kkTT2

kk

TTt

C

1nU

1nP

1nP

nU

nP

nP

1n

ewPS

SPSPs

NP

PNPNn

n

ewPS

SPSPs

NP

PNPNn

1n

nsPPW

WPWP

EP

PEPE

n

nsPPW

WPWP

EP

PEPE

nsPew1n

PnP

p

=+−−+−

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+−

−⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+−

−⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+−−

−⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+−

−−

−−−

−

−

−

ff

xr

rr

rf

xr

rr

rf

rrxx

f

rrxx

f

rrx

δδδ

δδδ

δδδ

δδδ

δδδρ

(3.20.b)


25

As duas equações anteriores podem ser escritas de uma forma mais compacta e,

consequentemente, de maior facilidade de programação:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) 0STSTTA)1(

STSTTATTD

W,E,S,Ni

1nU

1nP

1nP

1ni

1nP

1ni

W,E,S,Ni

nU

nP

nP

ni

nP

ni

1nP

nPP

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−−−+

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−−+−

∑

∑

=

−−−−−−

=

−

f

f (3.21)

Nesta equação, para o caso das coordenadas cartesianas, e recorrendo às equações

(3.8.a-3.8.e) tem-se para a capacitância térmica do volume de controlo, DP, e para os

coeficientes Ai, i=N, S, E, W, que são o inverso das resistências térmicas, também

designados por condutâncias térmicas do fluxo de calor entre dois volumes de controlo

adjacentes, as seguintes equações:

Pp

nsewp

P Vt

Ct

CD

δρ

δδδρ

== yx (3.22.a)

n

NP

nPNn

NP

ewPNnN

a2

kk2

kkA ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +=

yyx

δδδ

(3.22.b)

n

PS

sPSn

PS

ewPSnS

a2

kk2

kkA ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +=

yyx

δδδ

(3.22.c)

n

EP

ePEn

EP

nsPEnE

a2

kk2

kkA ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +=

xxy

δδδ

(3.22.d)

n

PW

wPWn

PW

nsPWnW

a2

kk2

kkA ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +=

xxy

δδδ

(3.22.e)

Na equação (3.21), para coordenadas cilíndricas axissimétricas, e recorrendo às

equações (3.7.a-3.7.e) tem-se, para os mesmos parâmetros:

Pp

nsPewp

P Vt

Ct

CD

δρ

δδδρ

== rrx (3.23.a)

n

NP

nPNn

NP

ewnPNnN

a2

kk2

kkA ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +=

yyxr

δδδ

(3.23.b)


26

n

PS

sPSn

PS

ewsPSnS

a2

kk2

kkA ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +=

yyxr

δδδ

(3.23.c)

n

EP

ePEn

EP

nsPPEnE

a2

kk2

kkA ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +=

xxrr

δδδ

(3.23.d)

n

PW

wPWn

PW

nsPPWnW

a2

kkr2

kkA ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +=

xxr

δδδ

(3.23.e)

3.3.3 A especificação do factor de ponderação f

A dedução das equações algébricas a partir da equação diferencial regente, realizada

na secção anterior, só ficará completa quando se definir o factor de ponderação f da

integração temporal. A literatura da especialidade em Análise Numérica, e.g., [8] e [9],

indica que têm sido usados diversos procedimentos, cada um exibindo vantagens e

desvantagens. Há valores particulares de f que transformam a equação discretizada numa

equação do tipo parabólico.

Para f = 0, o esquema de discretização é o esquema explícito e a equação (3.21) toma

a forma:

1n

U1n

P1n

PW,E,S,Ni

1niP

W,E,S,Ni

1ni

1ni

nPP STSADTATD −−−

=

−

=

−− +⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−+= ∑∑ (3.24)

Com este método o valor da temperatura em cada instante t+δt , n

PT , pode ser calculado

explicitamente pela equação (3.24) em cada nó P da malha, e apenas em função dos

valores de todas as variáveis no instante t.

A figura 3.5 permite-nos fazer uma interpretação imediata de cada um dos métodos

de discretização temporal em análise. Se supusermos que 1nPP TT −= , a figura 3.5 mostra-

nos que, essencialmente, o esquema explícito considera que a temperatura no instante t, 1n

PT − , prevalece em todo o intervalo temporal de integração δ t, excepto no instante t+δt .

O método explícito tem como principal desvantagem a instabilidade numérica. Para a

evitar há que assegurar que na equação (3.24) o valor do coeficiente de 1nPT − seja não

negativo de forma a que, na ausência de fontes, a um aumento de T num dos nós vizinhos

de P (mantendo-se T constante em qualquer dos outros nós vizinhos) corresponda também

um aumento de T no nó P, ou seja, o intervalo de integração δt tem um valor máximo.

Matematicamente, esta exigência expressa-se pela condição:


27

Figura 3.5 – Representação gráfica dos esquemas de discretização temporal: f = 0 - esquema explícito, f = 0,5 - Crank-Nicolson, f = 1 - esquema implícito.

1n

PW,E,S,Ni

1ninsew

p SAt

C −

=

− −≥ ∑yx δδδρ

(3.25.a)

que, na ausência de fontes, e em problemas de materiais com condutibilidade térmica, k,

constante e malha uniformemente espaçada nas duas direcções do espaço, com

espaçamento Δ, se reduz a:

k4C

tk4t

C 2p

max2p Δρ

δΔδρ

=⇔≥ (3.25.b)

A violação desta condição conduz a resultados fisicamente irrealistas. Esta equação

traduz, pois, que a dimensão da célula é a distância máxima que a temperatura na sua

propagação pode penetrar no interior do sólido durante o intervalo de tempo δt , restrição

que se pode tornar demasiado onerosa, computacionalmente, já que para malhas muito

refinadas, por vezes requeridas nos cálculos por razões de precisão, o valor de Δ2 se torna

proibitivamente pequeno. Por esta razão, o método explícito não será aqui usado.

O método de Crank-Nicolson, ao qual corresponde fazer f = 0,5, assume uma

variação linear da temperatura entre os instantes t e t+δt (ver figura 3.5). Por seu turno, o

esquema implícito, ao qual corresponde impor f = 1, postula que no instante t o valor de TP


28

muda repentinamente de 1nPT − para n

PT , mantendo-se com este último valor em todo o

intervalo temporal de integração.

À primeira vista poderia parecer que o método linear, ou de Crank-Nicolson, seria

mais apropriado que qualquer dos outros dois pois, inclusivamente, é denominado por

«esquema incondicionalmente estável». Um utilizador menos experiente poderá, pois,

pensar que aquela designação traduz a existência inexorável de uma solução fisicamente

realista, qualquer que seja o intervalo de tempo adoptado como passo, tanto mais que,

como mostrou Smith [8], não há restrições ao passo temporal a usar quando 0,5 ≤ f ≤ 1,0.

Esse utilizador ficará, então, surpreendido, ao deparar-se com soluções que são

oscilatórias, e a referida «estabilidade incondicional» apenas assegurará que as oscilações

acabarão por ser amortecidas conduzindo a uma solução final, sem que contudo haja

garantia que essa solução seja fisicamente realista. Este facto foi claramente demonstrado

por Patankar e Baliga [10].

Para o caso unidimensional, sem fontes nem poços, isto é fácil de ser mostrado. Para

f = 0,5, o coeficiente de 1nPT − na equação (3.21) fica: ( )1n

W1n

EP AA21D −− +− . Se assumirmos

uma malha uniforme com espaçamento Δ e condutividade térmica do material constante, o

referido coeficiente vale: Δδ

Δρ kt

C 2p −⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛. Tal como para o método explícito, se o intervalo

de tempo δ t não for suficientemente pequeno para o método de Crank-Nicolson, aquele

coeficiente assume valores negativos, o que constitui um potencial elevado para se obterem

resultados fisicamente irrealistas. Assim, o aparentemente razoável perfil linear da figura

3.5 constitui uma boa representação da variação da temperatura com o tempo apenas para

intervalos de tempo relativamente pequenos. Para intervalos de tempo consideravelmente

grandes, o decaimento intrinsecamente exponencial da temperatura assume a forma de uma

queda brusca nos primeiros instantes, seguido de um patamar de temperatura constante,

aspecto gráfico que, conforme se pode observar na figura 3.5, se aproxima muito mais do

esquema implícito do que do método de Crank-Nicolson.

Para f = 1, o esquema de discretização é o esquema implícito e a equação (3.21)

toma a forma:

( ) ( ) ( ) 0STSTTATTD n

UnP

nP

W,E,S,Ni

ni

nP

ni

1nP

nPP =+−−+− ∑

=

− (3.26)


29

Com este método, o valor da temperatura em cada instante t+δt , nPT , pode ser calculado

explicitamente pela equação (3.26) em cada nó P da malha, apenas em função dos valores

da variável em todos os nós vizinhos e no mesmo instante t+δt .

É mais vantajoso rescrever a equação (3.26) apenas em termos de coeficientes e das

fontes nos nós da malha em causa (P, N, S, E, W). Para tal, efectuam-se as seguintes

atribuições:

∑

=

=W,E,S,Ni

niP AA (3.27.a)

1nPP

nUU TDSS −+= (3.27.b)

PnPP DSS −= (3.27.c)

Com estas atribuições, a equação (3.26) assume a forma simplificada expressa pela

equação (3.28) que, como se pode observar, é extremamente adequada à programação em

computador. Por razões de simplicidade de escrita e manuseamento de equações, e sendo o

esquema implícito aquele que o programa TEACH-C usa para discretizar no tempo a

equação diferencial regente do fenómeno de condução de calor, prescindir-se-á do índice

superior n, do instante t+δt :

( ) U

W,E,S,NiiiPPP STATSA +=− ∑

=

(3.28)

3.3.4 As condições de fronteira

É crucial assegurar que o princípio de conservação de energia, traduzido pela

equação diferencial regente do fenómeno de condução de calor, seja aplicado a todo o

domínio de solução Ω, incluindo as suas fronteiras. Como referido atrás, a prática de

construção da malha e dos volumes de controlo adoptada pelo código TEACH-C coloca as

interfaces daqueles a meia distância de duas linhas consecutivas da malha. Desta forma, as

interfaces dos volumes de controlo coincidem exactamente com as fronteiras do domínio

de solução, tal como se pode ver nas figuras 3.2 e 3.3. Além disso, os volumes de controlo

não se sobrepõem entre si e o seu somatório é precisamente o domínio de solução Ω.

Ao construir a malha segundo o método usado pelo código TEACH-C, e para que os

volumes de controlo se estendam exactamente até à fronteira do domínio de solução, é

necessário criar nós (e, consequentemente, linhas da malha) que são exteriores ao domínio

de solução. É importante salientar que os valores que a variável dependente assume nos


30

nós exteriores ao domínio de solução, neste caso a temperatura, bem como os valores

correspondentes das restantes variáveis da equação (3.28), não têm qualquer significado

físico. Poderia então ser-se levado a pensar que se trata de um desperdício de memória de

computador o recurso a este tipo de método de construção da malha. Na realidade passa-se

exactamente o contrário, pois os referidos nós exteriores constituirão os pontos em que se

incluirão as condições de fronteira, e os termos da equação (3.28) que lhes correspondem

são aqueles que carecerão de substituição de modo a incorporarem-se as referidas

condições.

Sob o ponto de vista computacional, a maneira mais conveniente de efectuar a

substituição dos termos da equação (3.28) referentes aos nós exteriores (N, S, E, W) é, em

primeiro lugar, a supressão dos termos redundantes do fluxo de calor entre o nó P e o nó

exterior adjacente, através da imposição de anulação do respectivo coeficiente Ai, i=N, S,

E, W. A anulação do coeficiente que liga o nó P ao nó exterior adjacente equivale a impor

um fluxo de calor nulo nessa fronteira, tal como se infere da equação (3.28), o que não é

realista quando a fronteira não é adiabática. Assim, e em segundo lugar, é necessário repor

o fluxo real e correcto na fronteira onde ele foi anulado. Esta operação pode efectuar-se

através da criação de uma falsa fonte de calor, com recurso aos termos SU e SP da equação

(3.28). Esta metodologia é ilustrada de seguida através de um exemplo, cuja representação

esquemática se apresenta na figura 3.6, referente a um caso bidimensional de condução de

calor. Nesta figura, a fronteira em causa, fronteira norte cujo ponto na fronteira

representativo é o ponto B, troca energia com um fluido à temperatura TF e com um

coeficiente de transferência de calor por convecção, h, conhecido.

A observação da equação (3.28) permite-nos deduzir que, se N não fosse um ponto

exterior ao domínio de solução (i.e., se fosse um nó da malha interior), o fluxo de calor na

interface norte do volume de controlo seria dado por: ( )NPNn TTAq −−= . Sendo N um nó

exterior, como o da figura 3.6, este valor do fluxo está obviamente errado, já que, como

anteriormente referido, os valores da variável dependente nos nós exteriores ao domínio de

solução são desprovidos de significado físico. A supressão deste termo, anulando o fluxo

de calor nessa fronteira como acima foi mencionado, obtém-se fazendo 0A N = . Depois, a

também já referida inclusão do verdadeiro valor do fluxo na fronteira em causa, cuja

expressão é obtida recorrendo à equação (3.3) e ao procedimento que usa diferenças

finitas, pode ser deduzida, sendo dada por:


31

( )

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

+

−−=

h1

kk2

aTTq

PB

BP

nFPn yδ

(3.29)

em que ( )[ ] nPBBP a/h/1kk/2R ++= yδ é a resistência térmica entre o nó P e o fluido

(aqui representado pelo nó N).

N

P

B

fluido (TF, h)

fronteira física

sólido

δrBP ou δyBP

qB

volume de controlo de fronteira

Figura 3.6 – Volume de controlo da fronteira norte exposta a trocas de calor por

convecção com um fluido à temperatura TF e com um coeficiente de transferência de calor h.

Falta agora repor o fluxo correcto na fronteira, através da criação de uma falsa fonte de

calor, que terá as seguintes equações:

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

+

−=

h1

kk2

aS

PB

BP

nP yδ

(3.30.a)

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

+

=

h1

kk2

TaS

PB

BP

FnU yδ

(3.30.b)


32

Assim, para o nó P cujo volume de controlo tem a interface norte coincidente com a

fronteira do domínio de solução, a equação discretizada assumirá a seguinte forma:

( ) ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

+

++=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

+

+− ∑=

h1

kk2

TaSTAT

h1

kk2

aSA

PB

BP

FnU

W,E,Sii

niP

PB

BP

nPP yy δδ

(3.31)

A tabela 3.2 sumaria as equações dos coeficientes da falsa fonte de calor, SU e SP,

para todas as condições de fronteira possíveis em problemas de condução de calor.

Um uso distinto da falsa fonte de calor, SU e SP, pode constituir recurso quando se

pretende fixar o valor da temperatura – Tfix - num ou em quaisquer nós da malha, no

interior do domínio de solução, como por exemplo no caso desses nós se referirem à

temperatura de um fluido arrefecedor que atravessa o interior de um sólido. Nestas

circunstâncias, para esse(s) nós P em questão, deverá fazer-se:

γ−=PS (3.32.a)

fixU TS γ= (3.32.b)

sendo γ um valor bastante elevado, e.g. 3010=γ .

Tabela 3.2 – Definição de SU e SP para as condições de fronteira mais comuns.

Natureza da condição de fronteira SU SP

Dirichlet: Temperatura TB imposta ( )

BP

FnPB Ta

2kk

yδ

+

( )

BP

nPB a

2kk

yδ

+

−

Neumann: Fluxo de calo qB imposto Bn qa 0

Coeficiente de transferência de calor por convecção h de um fluido exterior à temperatura TF imposto (trocas de calor por convecção com um fluido)

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

+ h1

kk2

Ta

PB

BP

Fn

yδ( ) ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

+

−

h1

kk2

a

PB

BP

n

yδ

Com este procedimento, o valor do nó P ficará com uma temperatura imposta e igual

a Tfix, como se pode confirmar pela seguinte equação obtida a partir da equação (3.28), cuja

solução – TP – é esclarecedora:


33

( ) fixUW,E,S,Ni

iniPPP TSTATSA γγ ++=−− ∑

=

(3.33.a)

( )

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛+−

++−

+=

∑=

γβ

γ

αγ

43421

44 344 21PP

fix

PP

W,E,S,NiUi

ni

P

SA

TSA

STAT (3.33.b)

Note-se que o primeiro termo α da equação (3.33.b) é praticamente nulo, pois 3010=γ .

Por outro lado, o termo β é desprezável face a 3010=γ , pelo que a temperatura no nó P

ficará com o valor fixado e pretendido, i.e., aproximadamente igual a Tfix.

3.4 Detalhes sobre a equação do calor discretizada

Tal como referido anteriormente, o método de discretização de uma equação

diferencial que rege um determinado fenómeno físico, como o caso da condução de calor,

deve obedecer a uma série de regras básicas que assegurem, a um tempo, o realismo físico

da solução e a obediência ao balanço global da variável que se está a estudar, que no caso

em análise é a energia sob a forma de calor. As referidas regras são em número de quatro

[7] e são explicitadas e discutidas de seguida.

Regra 1: Consistência nas interfaces dos volumes de controlo. Quando uma

interface é comum a dois volumes de controlo adjacentes, o fluxo de calor que

atravessa essa interface tem que ser representado pela mesma expressão matemática

nas equações discretizadas para os dois volumes de controlo.

Obviamente, o fluxo de calor que abandona um determinado volume de

controlo através de uma dada interface tem que ser exactamente igual ao fluxo de

calor que entra pela mesma interface no volume de controlo que lhe é adjacente, sob

pena de se violarem os balanços local e global de energia se tal não se verificar.

Apesar de se tratar de um princípio muito claro e de fácil apreensão, é necessário

estar-se muito atento para se evitarem erros subtis e comuns que se podem cometer

como, por exemplo, admitir-se na discretização que conduziu às equações (3.17.a) e

(3.17.b) que o fluxo de calor nas interfaces de um volume de controlo é regido pela

condutividade térmica do nó desse volume, Pk . Se se usasse esta prática, e

reportando-nos à interface este, designada por e, chegaríamos à seguinte

inconsistência: o fluxo de calor nessa interface calculado a partir do volume de


34

controlo do nó P seria dado por ( ) EPEPP /TTk xδ− , enquanto que o mesmo fluxo

calculado a partir do volume de controlo adjacente, contendo o nó E, seria dado por

( ) EPEPE /TTk xδ− . Para evitar este erro, devem considerar-se os pontos localizados

nas interfaces como entidades autónomas, com valores das propriedades e das

variáveis diferentes das dos nós dos volumes de controlo, tal com se fez na

discretização da equação do calor efectuada na secção 3.3.

Regra 2: Coeficientes positivos da equação discretizada. Todos os coeficientes

da equação discretizada, ( ) WESNPP A,A,A,A,SA − , devem ser sempre positivos.

Quando o valor da temperatura num nó qualquer da malha sofre um aumento

no seu valor, e mantendo-se inalteráveis as restantes condições, o valor da

temperatura do nó vizinho adjacente deve também aumentar, e nunca diminuir. Se

este último caso sem significado físico ocorresse, significaria que havia uma

inconsistência no cálculo dos coeficientes, ou seja, tinha-se cometido um erro. De

facto, na equação (3.28), ( ) UWWEESSNNPPP STATATATATSA ++++=− , se o

valor de ET aumenta, para que seguramente aumente também o valor de PT ,

mantendo-se constantes as restantes condições, é necessário que sejam

intrinsecamente do mesmo sinal, i.e., ambos positivos ou ambos negativos, os

coeficientes EA e ( )PP SA − . Perante a livre opção da escolha enunciada, opta-se

por exigir positividade de todos os coeficientes. Note-se que no processo de

discretização efectuado na secção 3.3, a positividade de todos os coeficientes dos nós

vizinhos de P foi assegurada, como se pode ver a partir das equações (3.22.a) a

(3.22.e) ou (3.23.a) a (3.23.e). Quanto ao coeficiente do nó P, ( )PP SA − , e uma vez

que, como se verá de seguida, deve verificar-se a relação ∑=

=W,E,S,Ni

iiP TAA , o seu

valor será intrinsecamente positivo se se assegurar que PS é sempre inferior ou igual

a zero, exigências estas que nos levam às duas regras seguintes.

Regra 3: Fonte linearizada com declive negativo ou nulo. Sempre que o termo

de fonte é linearizado sob a forma UPP STSS += , o coeficiente PS tem que ser

sempre menor ou igual a zero.

A primeira questão que esta regra coloca é a da linearização do termo de fonte.

Em muitos casos práticos, o termo de fonte é, como atrás referido, função da própria

temperatura local T, e o conhecimento dessa dependência é crucial no processo de


35

discretização. Quando a fonte S é uma função não linear da temperatura, deve-se

proceder à sua linearização, sob a forma UPP STSS += , o que significa que os

próprios coeficientes US e PS passam a depender de T. Se, por exemplo, a fonte for

dada pela equação 3T54S −= pode efectuar-se a sua linearização de várias formas

(o índice superior n-1 representa o valor da variável a que se refere, na iteração

anterior):

i) 1n,3PU T54S −−= e 0SP = , que é a abordagem menos correcta, na medida em

que não faz uso da informação disponível da variação do termo de fonte com T.

ii) 4SU = e 1n,2PP T5S −−= , que, embora parecendo mais correcta que a

anterior, enferma ainda da incorrecção de não representar a tangente no ponto

P à curva 3T54S −= .

iii) 1n,3PU T204S −+= e 1n,2

PP T25S −−= , que, embora parecendo mais correcta

que a primeira, enferma também da incorrecção de não representar a tangente

no ponto P à curva 3T54S −= .

iv) 1n,3PU T104S −+= e 1n,2

PP T15S −−= , que é a aproximação correcta, pois

representa a tangente no ponto P à curva 3T54S −= , na medida em que

( )1nPP

1n1n TT

dTdSSS −

−− −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+= , i.e., ( )1n

PP1n,2

P1n,3

P TTT15T54S −−− −−−= .

A outra questão que se coloca nesta regra é a da negatividade do declive da

equação da recta que representa a fonte linearizada. De facto, se quisermos respeitar

a Regra 2, para que o coeficiente do nó P, ( )PP SA − , seja positivo, e já que

∑=

=W,E,S,Ni

iP AA é seguramente positivo, é necessário assegurar que PS é sempre

inferior ou igual a zero. À semelhança do que se fez acima, use-se um exemplo

esclarecedor do procedimento a adoptar para assegurar um declive negativo da

equação linear da fonte, sob a forma UPP STSS += . Se, por exemplo, a fonte for

dada pela equação T73S += , pode efectuar-se a sua linearização de várias formas:

i) 3SU = e 7SP = , que é a abordagem incorrecta, na medida em que não

assegura que o declive da recta seja negativo.

ii) 1nPU T73S −+= e 0SP = , que é a abordagem mais correcta.


36

iii) 1nPU T93S −+= e 2SP −= , que, embora parecendo tão correcta como a

anterior, pode conduzir à alteração da convergência do processo, pois, na realidade,

está a criar-se um declive negativo artificial, 2SP −= , e outro positivo também

artificial, 1nPU T93S −+= , ambos diferentes do declive real, e que no processo

iterativo, influenciam a taxa de convergência.

Regra 4: Coeficiente do nó P como soma dos coeficientes dos nós vizinhos. Em

qualquer nó P do domínio de solução, exige-se que (como já se expressou acima)

∑=

=W,E,S,Ni

iP AA , de forma a assegurar que a equação diferencial regente continua a ser

satisfeita mesmo que se adicione à solução T uma constante C1, i.e., T+C1 continua a

ser solução para a referida equação diferencial.

Quando a equação diferencial regente do fenómeno em estudo se expressa

apenas em termos de derivadas parciais da variável dependente, então, se T é solução

da equação diferencial, T+C1, sendo C1 uma constante arbitrária, deve continuar a ser

solução da equação. Esta propriedade das equações diferenciais tem que estar

reflectida nas equações algébricas derivadas da equação diferencial, i.e., a seguinte

forma da equação (3.28) ∑=

=W,E,S,Ni

iiPP TATA , deve manter-se válida mesmo quando

se adiciona C1 aos valores de TP e dos nós vizinhos TN, TS, TE, TW. Para assegurar

este requisito, é necessário que ∑=

=W,E,S,Ni

iP AA .

Note-se, no entanto, que a equação (3.28) não reflecte aquela propriedade das

equações diferenciais, uma vez que existe uma fonte nessa equação, que é função da

temperatura e, nesse caso, nem T nem T+C1 são solução da equação diferencial. Não

se trata de uma violação da Regra 4, mas apenas de um caso em que ela não é

aplicável. De qualquer forma, e para assegurar que a propriedade referida se mantém

aplicável na ausência de fontes, a regra deve ser tida em conta no processo de

discretização. Aliás, se se interpretar a Regra 4 da seguinte forma, percebe-se a

necessidade de assegurar a sua vigência no processo de discretização: na ausência de

fontes, se o valor da temperatura dos nós vizinhos de P, concretamente TN, TS, TE,

TW, forem todos iguais, então a temperatura do nó P, TP, deve ter o mesmo valor que

a temperatura dos nós vizinhos. Só um processo incorrecto de discretização não

levaria à previsão, nestas circunstâncias, de WESNP TTTTT ==== .


37

3.5 Equação discretizada a três dimensões

Apesar do programa TEACH-C ser aplicável a problemas de duas dimensões [11] e

[12], a sua extensão para um código tridimensional é bastante acessível, se bem que pode

ser um processo moroso que requer bastante atenção para evitar erros de execução. Os

alunos que revelem maior apetência para trabalhar nesta vertente de resolução de

problemas de Fenómenos de Transferência podem facilmente converter o código para três

dimensões. Para o fazerem, bastará partir da equação do calor a três dimensões, que na sua

forma para coordenadas cartesianas é:

QTkTkTktTCp +⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

=∂∂

zzyyxxρ (3.34)

Seguindo um processo em tudo idêntico ao caso bidimensional, e designando por u e

d os pontos nas interfaces do volume de controlo na direcção zz, respectivamente a

montante e a jusante do nó P, tem-se sucessivamente, e de forma abreviada:

0dtddQTkTk

TktTC

t1 tt

t

n

s

e

w

d

u

p

=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

−∂∂

∫ ∫ ∫ ∫+

yx

zzyy

xxδρ

δ (3.35.a)

0

5L

dtdddQt

1

4L

dtdddTkt

13L

dtdddTkt

1

2L

dtdddTkt

1

1L

dtdddtTC

t1

tt

t

n

s

e

w

d

u

tt

t

n

s

e

w

d

u

tt

t

n

s

e

w

d

u

tt

t

n

s

e

w

d

u

p

tt

t

n

s

e

w

d

u

=−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

−

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

−

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

−

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

++

+

+

+

4444 34444 214444444 34444444 21

4444444 34444444 21

4444444 84444444 76

4444444 8444444 76

zyxzyxzz

zyxyy

zyxxx

zyx

δδ

δ

δ

δ

δδ

δ

δ

ρδ

(3.35.b)


38

dtTT

2kkTT

2kk

t14L

dtTT

2kkTT

2kk

t13L

dtTT

2kkTT

2kk

t12L

tt

tnsew

PU

UPUP

DP

PDDU

tt

tudew

PS

SPSP

NP

PNPN

tt

tudns

PW

WPWP

EP

PEPE

∫

∫

∫

+

+

+

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+=

δ

δ

δ

δδδδδ

δδδδδ

δδδδδ

yxyz

zxyy

zyxx

(3.36)

( ) udnsew1n

PnP

p TTt

C1L zyx δδδ

δρ −−= (3.37.a)

1n

udnsPW

WPWP

EP

PEPE

n

udnsPW

WPWP

EP

PEPE

TT2

kkTT2

kk)1(

TT2

kkTT2

kk2L

−

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+−+

+⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+=

zyxx

f

zyxx

f

δδδδ

δδδδ

(3.37.b)

1n

udewPS

SPSP

NP

PNPN

n

udewPS

SPSP

NP

PNPN

TT2

kkTT2

kk)1(

TT2

kkTT2

kk3L

−

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+−+

+⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+=

zxyy

f

zxyy

f

δδδδ

δδδδ

(3.37.c)

1n

nsewPU

UPUP

DP

PDPD

n

nsewPU

UPUP

DP

PDPD

TT2

kkTT2

kk)1(

TT2

kkTT2

kk4L

−

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+−+

+⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+=

yxzz

f

yxzz

f

δδδδ

δδδδ

(3.37.d)

( ) ( )1nU

1nP

1nP

nU

nP

nP

tt

t

n

s

e

w

d

u

STS)1(STSdtdddQ5L −−−+

+−++== ∫ ∫ ∫ ∫ ffzyxδ

(3.37.e)

Nas equações anteriores, udzδ representa a dimensão do volume de controlo na

direcção zz, os índices D e U referem-se aos nós da malha vizinhos de P na direcção zz, e

DPzδ e PUzδ às distâncias entre esses mesmos nós e o nó P. Com a utilização do método

implícito, chega-se finalmente ao conjunto de equações:

( ) U

D,U,W,E,S,NiiiPPP STATSA +=− ∑

=

(3.38)

udnsewp

P tC

D zyx δδδδρ

= (3.39.a)


39

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +=

NP

udewPNN 2

kkA

yzx

δδδ

(3.39.b)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +=

PS

udewPSS 2

kkA

yzx

δδδ

(3.39.c)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +=

EP

udnsPEE 2

kkAx

zyδδδ

(3.39.d)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +=

PW

udnsPWW 2

kkA

xzy

δδδ

(3.39.e)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +=

DP

nsewPDD 2

kkAz

yxδδδ

(3.39.f)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +=

PU

nsewPUU 2

kkA

zyx

δδδ

(3.39.g)

∑=

=U,UD,W,E,S,Ni

niP AA (3.39.h)

PPUU TDSS += (3.39.i)

PnPP DSS −= (3.39.j)

3.6 Método de resolução das equações algébricas: TDMA

A equação (3.28) expressa um balanço de energia para cada volume de controlo do

domínio de solução, já que ela é escrita para cada um dos nós da malha que se localizam

no interior do referido domínio. Desta forma, e como já referido, a discretização da

equação diferencial regente consiste numa série de procedimentos analíticos que

convertem essa equação diferencial num sistema de equações algébricas, cujo número

iguala o número de nós da malha onde a variável dependente é desconhecida. A tarefa

seguinte para a obtenção da distribuição de temperaturas consiste, então, em resolver as

referidas equações algébricas simultâneas.

Deve ter-se em conta que o processo de discretização anteriormente efectuado e o

processo de resolução das equações algébricas, resultantes dessa discretização, são

procedimentos distintos. Assim, a escolha da metodologia de discretização da equação

diferencial não influencia o algoritmo de solução das equações algébricas resultantes. Para

este último, existe na literatura um conjunto bastante vasto de métodos, de complexidade


40

diversa, a que se pode recorrer: desde o simples processo iterativo ponto-a-ponto até aos

complexos métodos de inversão matricial directa (ver, e.g., [13] a [16]).

Antes de se expor o método usado pelo programa TEACH-C, far-se-á de seguida

uma breve síntese do método pontual de Gauss-Seidel, que é o mais simples de todos os

métodos iterativos. Este método concretiza a resolução de um sistema de equações

calculando os valores da variável dependente em cada ponto da malha e por uma

determinada ordem.

Sendo a equação discretizada a seguinte: ( ) Unbi

iiPPP STATSA +=− ∑=

, em que nb

designa os nós vizinhos de P, então o valor de TP é dado por:

( )PP

Unbi

ii

P SA

S*TAT

−

+=∑= (3.40)

em que *Ti é o valor do nó vizinho calculado mais recentemente, ou seja, o valor que se

encontra na memória do computador. Este valor tanto pode ser o valor da iteração em

curso, se se referir a um nó já visitado pelo procedimento iterativo, como pode ser o valor

da iteração anterior, se se referir a um nó ainda por visitar na iteração em curso.

Para ilustrar o método de Gauss-Seidel, apresentam-se de seguida dois exemplos

muito simples.

EXEMPLO 1:

Seja o seguinte sistema de equações:

⎩⎨⎧

+=+=0,1TT

2,0T4,0T

12

21

A solução numérica deste sistema, recorrendo ao método de Gauss-Seidel é:

Iteração nº 0 1 2 3 4 5 ... ∞

T1 0 0,2 0,68 0,872 0,949 0,980 ... 1,0

T2 0 1,2 1,68 1,872 1,949 1,980 ... 2,0

Como se pode observar, começando com a estimativa inicial ( ) ( )0,0T,T 21 = , foi

possível efectuar iterações até se alcançar o resultado correcto.


41

EXEMPLO 2:

Seja o seguinte sistema de equações:

⎩⎨⎧

−=−=

5,0T5,2T0,1TT

12

21

O sistema tem como resultado para as primeiras quatro iterações, usando o método de

Gauss-Seidel:

Iteração nº 0 1 2 3 4

T1 0 -1,0 -4,0 -11,5 -30,25

T2 0 -3,0 -10,5 -29,25 -76,13

Como se pode observar, começando com a estimativa inicial ( ) ( )0,0T,T 21 = , não foi

possível efectuar iterações até se alcançar o resultado correcto, pois o método divergiu, ao

contrário do caso anterior em que o método tinha convergido. E o mais curioso é que o

segundo sistema de equações é exactamente o mesmo sistema que o do exemplo 1, com

rearranjo dos termos, que tinha convergido. É óbvio que, dos exemplos anteriores, a

conclusão que se extrai é que nem sempre o método de Gauss-Seidel converge. Na

realidade, existe um critério de convergência para o método de Gauss-Seidel, que foi

formulado por Scarborough [17] e que estabelece a seguinte condição de suficiência para a

convergência do método:

⎩⎨⎧<≤

−∑

equaçãoumamenospelopara,1equaçõesastodaspara,1

SAA

PP

nb (3.41)

Objectivamente, o critério de Scarborough, que é uma condição suficiente mas não

necessária podendo, portanto, ser violado em sistemas cujo processo iterativo converge

para a solução, estabelece a dominância da diagonal principal da matriz dos coeficientes

das equações. Repare-se que as regras básicas enunciadas na secção 3.4 reforçam este

critério: sendo o declive da fonte (Regra 3) sempre negativo ( 0SP < ), o critério é mais

rapidamente satisfeito, particularmente porque a Regra 4 estabelece que ∑= nbP AA , e a

Regra 2 estabelece que os coeficientes Anb são sempre positivos.

A maior desvantagem do método de Gauss-Seidel é a relativa lentidão da

convergência do processo iterativo, particularmente para malhas com um elevado números


42

de nós, devido à dificuldade que o método tem em transmitir a informação das fronteiras,

expressa pelas condições de fronteira, para o interior do domínio de solução. Por essa

razão, o código TEACH-C não usa este método iterativo.

Note-se, no entanto, que a estrutura do programa TEACH-C é extremamente versátil,

admitindo qualquer algoritmo de solução das equações algébricas. A versão do código que

se utilizará contém o algoritmo de Thoma ou TDMA (Tri-Diagonal Matrix Algorithm),

que é um procedimento que resolve simultaneamente as equações para T ao longo de uma

linha da malha, no caso uma coluna I=constante, usando os valores de T mais

recentemente calculados para as colunas adjacentes àquela a que se está a aplicar o

algoritmo de Thoma. Desta forma, este procedimento linha-a-linha é uma extensão do

método iterativo ponto-a-ponto de Gauss-Seidel (ver, e.g., [15]).

Aplicando então o referido procedimento a uma determinada coluna I=constante da

malha, começando pela coluna mais a oeste, W, e efectuando o varrimento coluna-a-coluna

no sentido W-E, a equação (3.28) para cada nó dessa coluna toma a forma:

( ) *

USSNNPPP STATATSA ++=− (3.42.a)

1kE

1kEWWU

*U TATASS −−++= (3.42.b)

Nas equações anteriores, o termo de fonte *US é determinado com os valores de TW e

TE que estão disponíveis no momento do cálculo, i.e., TW é o valor de T que acabou de ser

calculado na iteração em curso para a coluna a montante e TE é o valor de T que foi

calculado na iteração anterior para a coluna a jusante, explicitado pelo índice superior k-1

na equação (3.42.b).

Se designarmos por J=constante as linhas perpendiculares à coluna para a qual se

está a aplicar o algoritmo de Thoma (coluna I=constante), a equação (3.42.a) pode

rescrever-se na forma da equação (3.43), em que o índice j determina a posição do ponto P

na coluna:

j1jj1jjjj cTbTaTd ++= −+ (3.43)

Uma vez que, para cada coluna, J vai variar de J = 2 até J = NJ-1, sendo NJ o número

de nós na direcção yy, o sistema anterior é dado pelas equações:


43

1nj2nj1nj1nj1nj

2nj1nj2nj1nj2nj2nj2nj

4345444

3234333

23222

cTbTd

cTbTaTd

cTbTaTd

cTbTaTd

cTaTd

−−−−−

−−−−−−−

+=

++=

++=

++=

+=

M (3.44)

Note-se que b2 e anj-1 foram eliminados, já que o seu valor é nulo em resultado do

procedimento descrito na subsecção 3.3.4 para introdução das condições de fronteira,

segundo o qual se anula o coeficiente que liga o nó junto à fronteira ao nó exterior

adjacente e se introduz a expressão correcta do fluxo difusivo através do termo de fonte.

Este termo de fonte, no sistema anterior, está incluído em c2, d2, cnj-1 e dnj-1.

Prosseguindo com a dedução da fórmula de recorrência gerada pela aplicação do

algoritmo de Thoma, o sistema de equações (3.44) é resolvido através de um processo de

eliminação sucessiva, seguido de um processo de substituição que se aplica em sentido

inverso, da última para a primeira linha:

( ) ( )

4342143421*2c

d/cT*2a

d/aT 223222 += (3.45.a)

Substituindo agora o valor de T2 na equação de T3 do sistema de equações (3.44)

obtém-se:

( )( ) ( ) ( )( )

4444 34444 2144 344 21*c

abd/cbcT*a

abd/aT ***

33

233233323334 −++−= (3.45.b)

Procedendo sucessivamente da mesma forma para as equações seguintes do sistema

(3.44), chega-se ao sistema:

*1nj1nj

*2nj1nj

*2nj2nj

*34

*33

*23

*22

cT

cTaT

cTaT

cTaT

−−

−−−−

=

+=

+=

+=

M (3.46)


44

O sistema de equações anterior pode então ser resolvido por substituição inversa, i.e.,

por substituição da última equação na penúltima, e assim sucessivamente até se chegar à

substituição da segunda equação na primeira. De facto, a última equação do sistema (3.46)

dá directamente o valor de 1njT − . Este valor, quando substituído na penúltima equação do

referido sistema, permite obter directamente o valor de 2njT − . Procedendo sucessivamente

nesta sequência, obtém-se directamente o valor de T2.

Um problema que se pode colocar é o da escolha da direcção segundo a qual se deve

fazer o varrimento de cálculo, i.e., a escolha da correcta sequência em que as linhas numa

dada direcção são calculadas. Por exemplo, para o caso representado na figura 3.7, a

maneira mais conveniente para se resolverem as equações algébricas discretizadas, é

efectuar o varrimento da esquerda para a direita para as linhas I=constante (xx constante),

que é a direcção preferencial do fluxo de calor. Note-se que sendo a parede da direita

adiabática, o calor acabará por fluir todo pelas paredes à temperatura T1. Com este

procedimento, a informação da fronteira a montante, fronteira oeste com uma temperatura

igual a T2, será mais facilmente transmitida para o interior do domínio de solução. Tendo a

fronteira este uma condição de fluxo nulo, pois é adiabática, um varrimento da direita para

a esquerda não transmitiria para o interior do domínio de solução uma informação tão útil

como no caso da condição de temperatura imposta.

y

x

ADIABÁTICO

T1

T2

(T2 > T1) T1

Direcção preferencial do fluxo de calor

Figura 3.7 – Exemplo típico de um caso em que há vantagem de efectuar o varrimento de cálculo da esquerda para a direita, direcção preferencial do fluxo de calor.


45

Como já referido anteriormente, existem muitos outros métodos iterativos de solução

de sistemas de equações lineares, que não serão aqui descritos, mas que merecem destaque

devido à generalização do seu uso. É o caso do método linha-a-linha designado por ADI

(Alternative Direction Implicit), desenvolvido por Peaceman e Rachford [18], e do método

SIM (Strong Implicit Method), desenvolvido por Stone [19].

3.7 Procedimento iterativo global

A figura 3.8 esquematiza o procedimento iterativo global, no qual se podem observar

os vários passos envolvidos no cálculo da evolução não estacionária da temperatura, num

problema de difusão de calor, começando-se com uma distribuição inicial no instante

inicial t=t0. O procedimento prossegue com o cálculo dos coeficientes das equações

algébricas discretizadas para o instante t1=t0+δ t, usando as temperaturas iniciais. Segue-se

o processo iterativo linha-a-linha definido pelo algoritmo de Thoma para resolver o sistema

de equações lineares, até se obter uma solução convergida, segundo um critério de

pequenez numérica do resíduo global, que se verá de seguida. Se o critério não for

satisfeito, as iterações prosseguem, recomeçando o ciclo no cálculo dos coeficientes das

equações algébricas discretizadas. Quando o critério de convergência é satisfeito, o

processo memoriza então as temperaturas calculadas como temperaturas do instante

anterior t1, e prossegue o cálculo para o instante ttt 12 δ+= , e assim sucessivamente até

que o tempo total estabelecido tenha sido cumprido.

Existem assim três processos iterativos, correspondendo o processo iterativo mais

interior ao algoritmo de Thoma. Este processo iterativo é, por sua vez, repetido para cada

instante de tempo, tantas vezes quantas as necessárias para se obter um campo convergido,

i.e., um campo de temperaturas com um resíduo suficientemente pequeno. Este ciclo no

espaço existe devido ao facto de muitos dos problemas a resolver não serem lineares e,

portanto, haver necessidade de recalcular os coeficientes das equações algébricas para cada

novo campo de temperaturas obtido. O ciclo exterior, que corresponde ao processo não

estacionário, executa os ciclos anteriormente referidos até se atingir o tempo total de

cálculo, que é pré-estabelecido.

A variante estacionária deste procedimento é aquela que executa apenas uma iteração

no tempo com um passo temporal δt=∞, aspecto que é assegurado pela formulação

implícita, o que é equivalente a dizer que não se opera o ciclo exterior.


46

Figura 3.8 – O fluxograma do processo iterativo global.


47

3.8 Convergência, precisão e estabilidade numérica

Existem outras operações de cálculo e de testes no interior do programa TEACH-C

que se relacionam com aspectos importantes do cálculo numérico de equações diferenciais,

que se abordam seguidamente.

Pode definir-se convergência como a propriedade de um processo iterativo que

assegura a evolução suave dos valores calculados para a variável dependente, desde um

conjunto de valores iniciais estimados até à solução final e aceitável das equações

algébricas, obtidas da discretização da equação diferencial regente. O critério designado

por aceitável para a solução final avalia-se de duas formas:

i) A variação do campo de temperaturas produzido por duas iterações

consecutivas é suficientemente pequeno, de acordo com um valor prescrito

a priori;

ii) O resíduo RP das equações discretizadas a partir da equação diferencial

regente, neste caso a equação geral do calor – equações (3.1) e (3.2), atinge

um valor suficientemente pequeno. O resíduo RP define-se pelo seguinte

balanço de energia:

( ) U

W,E,S,NiiiPPPP STATSAR −−−= ∑

=

(3.47)

O último critério é o mais importante e, na prática, o procedimento usado pelo

programa TEACH-C exige que a soma dos valores absolutos dos resíduos para todos os

volumes de controlo (o que é equivalente a dizer a soma dos valores absolutos de todos os

balanços de energia locais em todo o domínio de solução) seja inferior à fracção muito

pequena e pré-estabelecida λ de um fluxo de calor de referência, como por exemplo, o

fluxo total de calor em jogo QTOT, i.e.:

TOT

n

1ii,P QR λ≤∑

=

(3.48)

No que se refere à precisão dos resultados numéricos, a sua principal dependência

pode ser fixada nos dois seguintes factores:

i) Obtenção de uma solução aceitável para as equações discretizadas;

ii) Estabelecimento da amplitude adequada para o passo no tempo, δt, e para o

espaçamento da malha, i.e., para a distância entre nós consecutivos, que


48

devem ser suficientemente pequenos para que a solução obtida não varie

com a redução destes parâmetros. Relativamente ao espaçamento da malha,

é usual designar-se como solução independente da malha aquela que é

obtida com uma malha cujo refinamento deixa de a alterar.

Finalmente, falta referir a estabilidade numérica do método. O processo iterativo

interior para resolução das equações algébricas, que se explanou anteriormente, ou o

processo iterativo de resolução das não linearidades possivelmente existentes em alguns

problemas foram formulados de forma a assegurar, tanto quanto possível, a convergência

do processo, nomeadamente através da garantia da dominância da diagonal principal da

matriz dos coeficientes das equações discretizadas. Este requisito, cuja formulação

matemática se pode traduzir pela equação ∑=

≥−nbi

iPP ASA , deve ser verificado para

todos os nós da malha, sendo que, como se viu pela equação (3.41), a inequação estrita

deve ser verificada para, pelo menos, um nó da malha. Pode-se demonstrar que, na

ausência de fontes de calor que aumentam com a temperatura, este critério é sempre

obedecido qualquer que seja a dimensão da malha e o passo no tempo. No caso de haver

fontes de calor que aumentam com a temperatura, o critério anterior é obedecido desde que

se procurem o espaçamento da malha e o passo no tempo adequados.

No caso de problemas acentuadamente não lineares, em que os próprios coeficientes

podem ser função da variável dependente como, por exemplo, no caso em que a

condutibilidade térmica é função da temperatura, o critério anterior pode não ser

estritamente válido, apesar da experiência numérica mostrar que é uma condição quasi-

suficiente. Mesmo assim, neste tipo de problemas acentuadamente não-lineares é, por

vezes, necessário limitar as variações da variável dependente (neste caso, a temperatura T)

entre duas iterações consecutivas. Há duas maneiras possíveis de efectivar numericamente

esse amortecimento da variação da variável dependente:

i) Utilizando passos no tempo muito reduzidos;

ii) Introduzindo uma sub-relaxação à variável dependente, que consiste na

ponderação do seu valor entre duas iterações consecutivas.

Esta sub-relaxação expressa-se matematicamente, para cada nó P, pela equação

matemática seguinte:

( ) 1n

PnPP T1TT −−+= αα (3.49)


49

em que nPT e 1n

PT − são, respectivamente, as soluções das iterações n e n-1, e α é o factor de

sub-relaxação, cuja gama de valores admissíveis é 10 ≤≤ α . Substituindo o valor de nPT ,

obtido a partir da equação (3.49), na equação ( ) Unbi

iiPPP STATSA +=− ∑=

, obtém-se a

equação algébrica final, sub-relaxada, usada pelo código TEACH-C:

( ) ( ) ( )

αα

αPP1n

PUnbi

iiPPP SA

T1STATSA −

−++=− −

=∑ (3.50)

3.9 Uso de coordenadas curvilíneas ortogonais

As derivações apresentadas neste texto referiram-se a coordenadas cartesianas e a

coordenadas cilíndricas axissimétricas. No entanto, existem casos práticos em engenharia

cujas geometrias não são adaptáveis a estes sistemas de coordenadas. Assim, para resolver

problemas com geometrias cujos domínios exibem formas irregulares é, por vezes,

conveniente recorrer a coordenadas curvilíneas ortogonais como a que se representa na

figura 3.9.

Figura 3.9 – Volume de controlo numa malha em coordenadas curvilíneas ortogonais.

Para esta malha, o cálculo das várias distâncias, das áreas das interfaces e do próprio

volume dos volumes de controlo não se processa de forma tão directa como no caso das

coordenadas cartesianas ou das cilíndricas axissimétricas. Contudo, toda a metodologia

aqui desenvolvida é aplicável a este sistema de coordenadas desde que se assegure a


50

ortogonalidade das linhas que definem a malha. De facto, a forma como o fluxo difusivo é

calculado na interface de um volume de controlo, em função dos valores da variável

dependente nos dois nós que lhe são adjacentes, requer que essa interface seja normal à

linha da malha que une esses dois nós.

Não se trata, no entanto, de tarefa de fácil execução, esta da geração da malha em

coordenadas curvilíneas ortogonais. Existem vários métodos para gerar estas malhas (ver,

e.g., referências [20] e [21]), mas é um assunto demasiado avançado para o objectivo do

presente texto, e, como tal, não se abordará aqui.

Pode-se ainda referir que existe outro tipo de malhas, as designadas malhas não-

estruturadas, para as quais a discretização das equações diferenciais tem um procedimento

peculiar, que também sai fora do âmbito introdutório do presente texto.


51

CAPÍTULO

4

DESCRIÇÃO DO CÓDIGO TEACH-C

4.1 Nota introdutória

Neste capítulo, o programa TEACH-C é descrito tendo em mente que a sua aplicação

pode ser tão vasta como a do método desenvolvido no capítulo 3. O código é, portanto,

aplicável a problemas de difusão de calor (ou de massa, ou de quantidade de movimento),

em situações estacionárias ou transientes, em problemas com coordenadas cartesianas ou

cilíndricas axissimétricas, com ou sem fontes de calor (ou de massa, ou de quantidade de

movimento), com condutibilidade térmica uniforme ou variável (dependente da

temperatura ou variável com a posição espacial) e sem qualquer restrição às condições de

fronteira. Apesar de se ter imposto a constância das propriedades do material, massa

volúmica e calor específico, o programa pode ser alterado, sem dificuldades acrescidas, de

forma a incorporar variações dessas propriedades.

Embora o programa original estivesse escrito em FORTRAN-IV, a versão aqui

apresentada foi rescrita para FORTRAN-90 e pode ser executada num computador pessoal

com um compilador vulgar de FORTRAN.

Por outro lado, o programa TEACH-C foi escrito de forma a ser uma solução de

compromisso entre as soluções algo conflituosas de códigos de aplicação genérica,

eficientes em termos de memória e tempo de cálculo requeridos e a facilidade de

compreensão e de manipulação desses códigos.

Deverá ainda salientar-se que todos os valores a introduzir no programa TEACH-C

deverão estar em unidades SI.


52

4.2 O sistema de coordenadas bi-radial

Uma das características do código, criada como forma de redução da memória

computacional requerida, é o uso de vectores (matrizes unidimensionais) para armazenar

os valores dos coeficientes das equações algébricas, que vão sendo redefinidos à medida

que o código executa o processo iterativo e muda de uma linha para a seguinte. Esta opção

poderia criar uma situação de inflexibilidade do código no que se refere à melhor

orientação a dar ao domínio de solução, que, tal como explicado na secção 3.6, pode

acarretar inconvenientes e, portanto, carece de remoção.

Um caso típico que poderia gerar este tipo de inconvenientes é o de uma alheta

anular, como a que se representa na figura 4.1. Tal como explicado na subsecção 3.6, é

preferível executar o varrimento do processo iterativo de solução na direcção preferencial

do fluxo de calor, i.e., em linhas verticais que são perpendiculares à direcção

preferencialmente radial do fluxo de calor. Se a alheta não fosse cilíndrica e axissimétrica,

uma simples reorientação seria suficiente para resolver o problema. No entanto, num

sistema clássico de coordenadas cilíndricas axissimétricas, como o representado na figura

4.1 (a), tal não é possível. Se, contudo, o sistema de coordenadas for bi-radial como o do

programa TEACH-C, em que a direcção radial pode ser indiferentemente orientada

segundo o eixo dos yy (tomando a designação ry) ou segundo o eixo dos xx (tomando a

designação rx), a reorientação pretendida é facilmente exequível, tal como ilustrado na

figura 4.1 (b).

(a) (b)

Figura 4.1 – Ilustração do uso de coordenadas bilabiais para uma alheta com geometria

axissimétrica: (a) Orientação clássica, (b) Orientação alternativa.


53

Assim, o versátil código TEACH-C admite um sistema de coordenadas com dois

raios possíveis de curvatura, rx e ry. É obviamente inadmissível executar o programa

simultaneamente com dois raios de curvatura, o que equivaleria a ter uma geometria com

dois eixos de simetria. Para impedir este procedimento errado, o código iguala à unidade o

raio de curvatura que não é relevante, e contém um teste (filtro) para interrupção da

execução do programa caso o utilizador menos atento imponha a coexistência de dois raios

de curvatura.

Não constitui tarefa árdua generalizar a equação (3.21) para admissibilidade de

coordenadas bi-radiais. Na realidade, basta apenas alterar as expressões de cálculo do

volume de cada célula, bem como das áreas das suas interfaces, que aparecem no cálculo

dos coeficientes das equações algébricas: equações (3.23.a) a (3.23.e).

Desta forma obtém-se:

ewnsy,Px,PPV xyrr δδ≈ (4.1.a)

ewx,Py,nna xrr δ≈ (4.1.b)

ewx,Py,ssa xrr δ≈ (4.1.c)

nsx,ey,Pea yrr δ≈ (4.1.d)

nsx,ey,Pwa yrr δ≈ (4.1.e)

É esta a versão que o código TEACH-C utiliza.

4.3 Estrutura global do código TEACH-C

A figura 4.2 representa, de forma resumida e em formato de fluxograma, a estrutura

global do código TEACH-C, onde se podem observar as subrotinas contidas pelo código, a

sua função e a relação entre elas, bem como a sequência pela qual elas são chamadas.

O PROGRAMA PRINCIPAL constitui-se no bloco central do código. Neste bloco, o

primeiro capítulo executa operações de atribuição de valores aos parâmetros de controlo,

nomeadamente para a malha e para as coordenadas a usar, estabelece as dimensões do

domínio de solução e as propriedades do material e efectua a escolha do ponto monitor e

das variáveis de controlo do progresso do código.


54

Figura 4.2 – Estrutura global do programa TEACH-C.


55

No capítulo seguinte, o capítulo 2, o programa chama a SUBROUTINE INIT, onde

as variáveis são inicializadas a zero, ou com um valor a definir pelo utilizador, e onde são

calculadas todas as grandezas geométricas relacionadas com a malha, i.e., as dimensões

dos volumes de controlo.

Neste capítulo do PROGRAMA PRINCIPAL são ainda atribuídos os valores

numéricos que serão usados nas condições de fronteira e a SUBROUTINE PROPS é

chamada para inicializar o valor das propriedades do material em todos os nós do domínio

de solução, nomeadamente a condutibilidade térmica do material. Por fim, é possível

efectuar uma impressão das condições iniciais com recurso à SUBROUTINE PRINT.

No capítulo 3 do PROGRAMA PRINCIPAL procede-se à resolução do problema

com o cálculo propriamente dito, através da execução dos ciclos iterativos no tempo e no

espaço. O cálculo dos coeficientes das equações algébricas discretizadas é efectuado para

cada nó do domínio de solução na SUBROUTINE CALCT, que é chamada pelo

PROGRAMA PRINCIPAL, e que, por sua vez, recorre à SUBROUTINE PROMOD para

especificar as condições de fronteira e fontes, se existirem, e à SUBROUTINE SOLVE

para efectuar a solução das equações algébricas pelo algoritmo de Thoma ou TDMA. É

ainda na SUBROUTINE CALCT que se calcula o resíduo global para efectuar o teste de

convergência. Seguidamente, o PROGRAMA PRINCIPAL retoma a SUBROTINE

PROPS para actualizar os valores das propriedades do material, particularmente no caso de

problemas em que a condutibilidade térmica do material depende da temperatura. Neste

capítulo do PROGRAMA PRINCIPAL são ainda impressos os campos da temperatura,

chamando a SUBROUTINE PRINT, de acordo com os critérios estabelecidos pelo

utilizador na escolha que efectuou para os parâmetros de controlo, no capítulo 1.

O processo termina com o capítulo 4, onde o utilizador pode adicionar as operações

finais que entenda, não existentes actualmente no programa.

Detalhes mais relevantes da estrutura do código serão descritos adiante, neste

capítulo, na subsecção 4.5.

4.4 Símbolos e convenções importantes 4.4.1 A malha

A figura 4.3 apresenta um volume de controlo típico de uma malha com todas as

dimensões e cotas expressas com a notação usada em FORTRAN pelo código TEACH-C.

Como se pode observar, cada nó P da malha é referenciado pelos índices (I,J), sendo I o


56

índice que especifica a linha da malha na direcção xx com uma coordenada X(I) e J é o

índice que especifica a linha da malha na direcção yy com uma coordenada Y(J). Os

valores de I e de J têm como limites: 1 ≤ I ≤ NI e 1 ≤ J ≤ NJ. No entanto, estes limites nem

sempre definem o domínio de solução.

Figura 4.3 – Notação em FORTRAN das variáveis geométricas.

De facto, para geometrias irregulares como a que se representa na figura 4.4 ou a da

figura 3.3, o código torna inactivos alguns dos nós da malha ou volumes de controlo,

recorrendo, para tal, às variáveis JS(I) e JN(I), que estabelecem o limite inferior, JS(I), e o

limite superior, JN(I), do domínio de solução para cada linha I.

Para o caso da figura 4.4, em que a malha tem 12×8 nós (NI×NJ), respectivamente

nas direcções xx e yy, a variável JS(I) deveria ser definida como: JS(I) = 2 para I = 2 a 4;

JS(I) = 3 para I = 5; JS(I) = 4 para I = 6; JS(I) = 5 para I = 7; JS(I) = 6 para I = 8 a 11.

O código disponibiliza três sistemas possíveis de coordenadas: cartesianas e

cilíndricas, tendo este último a opção bi-radial. Esta escolha é efectuada através das

variáveis lógicas INCYLX e INCYLY: quando ambas assumem o valor lógico .FALSE., o

utilizador optou por coordenadas cartesianas e, automaticamente, o programa atribui um

valor unitário aos dois raios de curvatura rx e ry. Quando se impõe INCYLX = .TRUE. e

INCYLY = .FALSE., o raio de curvatura rx é calculado e ry é igualado à unidade, tendo o


57

utilizador optado pela geometria radial com axissimetria no eixo yy (ver figura 4.1 (b)).

Caso contrário, quando INCYLX = .FALSE. e INCYLY = .TRUE., o raio de curvatura ry é

calculado e o raio rx é igualado à unidade, tendo o utilizador optado pela geometria radial

com axissimetria no eixo xx (ver figura 4.1 (a)).

Tal como já referido, se INCYLX = .TRUE. e INCYLY = .TRUE., o programa é

automaticamente interrompido emitindo uma mensagem de erro.

Domínio

Fronteira real

y

Linhas definidoras das interfaces dos volumes de controlo

x Fronteira fictícia

Malha

Figura 4.4 – Uso de uma malha regular numa geometria irregular. A variável JS(I) define, para cada I, o limite inferior do domínio de solução.

Os valores de NI, NJ, X(I), Y(J), JS(I), JN(I), INCYLX e INCYLY têm que ser

obrigatoriamente fornecidos pelo utilizador do programa. A partir destes dados, o

programa, para além dos raios de curvatura já mencionados, calcula as seguintes variáveis

geométricas:

DXPW(I) distância entre os nós P e W, δxPW;

DXEP(I) distância entre os nós P e E, δxEP;

DYPS(J) distância entre os nós P e S, δyPS;

DYNP(J) distância entre os nós P e N, δyNP;

SEW(I) dimensão do volume de controlo na direcção xx em torno de P, δxew;

SNS(J) dimensão do volume de controlo na direcção yy em torno de P, δyns.


58

4.4.2 Variáveis dependentes e propriedades do material

As temperaturas da iteração em curso (ou iteração actual) são armazenadas na matriz

T(I,J) e os da iteração anterior na matriz TOLD(I,J), para se poderem resolver problemas

transientes, sendo I e J os índices que definem a posição do nó em causa. De forma a poder

considerar-se a condutibilidade do material variável com o espaço ou com a temperatura, o

código dispõe da matriz GAMH(I,J). Contudo, como referido na subsecção 3.3.2, não está

prevista pelo programa TEACH-C a variação da massa volúmica ρ do material nem do seu

calor específico Cp.

4.4.3 Parâmetros de controlo

Além dos parâmetros de escolha das coordenadas INCYLX e INCYLY, existem no

programa outras variáveis de controlo que definem opções importantes para o utilizador, e

que, portanto, este deve conhecer. Essas variáveis são as seguintes:

INTIME é uma variável lógica que define o regime em estudo como estacionário

quando INTIME = .FALSE., ou transiente quando INTIME = .TRUE. e, no primeiro caso,

o cálculo do termo transiente da equação algébrica, ( )1nP

nPP TTD −− , não é executado e o

programa apenas itera no espaço para a obtenção da solução final. Apesar desta prática ser

equivalente a impor um passo temporal δt infinito, é computacionalmente mais económica

e eficiente.

INPRO é também uma variável lógica que permite ao utilizador estabelecer se vai

resolver um problema com condutibilidade térmica constante (INPRO = .FALSE.) ou, se

pelo contrário, aquela propriedade é variável (INPRO = .TRUE.). Neste último caso, o de k

variável, a SUBROUTINE PROPS é chamada repetidamente no interior do ciclo espacial

para actualizar o valor da condutibilidade térmica k, de acordo com a especificação dada

pelo utilizador, sempre que há novos valores da temperatura T, ou seja, sempre que termina

a execução da SUBROUTINE CALCT. No caso da condutibilidade térmica do material ser

constante, a SUBROUTINE PROPS só é chamada uma vez no início dos cálculos.

MAXSTP é a variável que define o número máximo de passos no tempo a executar.

Quando o utilizador estabelece regime estacionário (INTIME = .FALSE.) para o seu

problema, o código impõe automaticamente um valor unitário para MAXSTP. No caso de

regime transiente, o número de passos no tempo realmente efectuado vai sendo

contabilizado cumulativamente pela variável NSTEP.

MAXIT é a variável que define o número máximo de iterações no espaço, para cada

passo no tempo. No caso deste número limite ser atingido, sem se ter alcançado a


59

convergência do processo iterativo, o programa é interrompido e envia uma mensagem de

aviso de erro. O número de iterações realmente efectuadas vai sendo cumulativamente

contabilizado pela variável NITER.

SORMAX é valor de λ da equação (3.48) que estabelece o nível de convergência do

processo em ralação a um valor de referência, Qref. Assim, a soma adimensionalizada dos

valores absolutos dos resíduos para todos os volumes de controlo, ref

n

1iPi Q/R∑

=

, deverá ser

inferior ao valor de SORMAX pré-estabelecido. RESORT é a soma dos valores absolutos

dos resíduos para todos os volumes de controlo, cuja adimensionalização, ou normalização,

se efectua dividindo RESORT por SNORM, sendo este o valor de referência do fluxo de

calor, Qref.

DT é o passo no tempo, δt, a ser especificado pelo utilizador, e que pode ser variável

durante o processo de cálculo transiente.

URFT é o factor de sub-relaxação, α, para a temperatura, de acordo com a equação

(3.50).

NITPRI é uma variável de controlo de impressão de resultados. Esta variável define

o intervalo dentro de cada iteração temporal, medido em número de iterações espaciais,

para o qual o campo de temperaturas é impresso.

NSTPRI é a variável que controla a impressão de resultados transientes do campo de

temperaturas num intervalo medido em número de iterações no tempo. Assim, os

resultados transientes são impressos a cada múltiplo do número de iterações no tempo,

NSTPRI, e, entre duas iterações temporais consecutivas, o campo de temperaturas é ainda

impresso a cada múltiplo do número de iterações espaciais, NITPRI.

IMON, JMON é o par de índices (I,J) que define o ponto monitor, que é um ponto do

interior do domínio de solução seleccionado pelo utilizador, para o qual o valor da

temperatura é impresso ao longo do processo iterativo, permitindo-lhe avaliar a evolução

da convergência do referido processo iterativo.

4.4.4 Coeficientes da equação discretizada

Os coeficientes da equação discretizada - ver equação (3.28) - AN, AS, AE, AW, AP,

SU e SP, constituem parâmetros do programa que o utilizador deve conhecer e, acima de

tudo, deve saber onde são calculados e onde devem ser modificados quando se referem a

nós da fronteira. O equivalente em FORTRAN dos referidos coeficientes é dado na tabela

4.1.


60

Note-se que os coeficientes correspondem a símbolos no código que são matrizes

unidimensionais, i.e., vectores, por razões de economia de memória computacional

requerida. Assim, quando o processo iterativo progride de uma linha I = constante para a

linha seguinte, os coeficientes são recalculados, perdendo-se os valores para a linha

anterior definitivamente.

Tabela 4.1 – Símbolos em FORTRAN dos coeficientes da equação discretizada.

Coeficiente Símbolo em FORTRAN

AN AN(J)

AS AS(J)

AE AE(J)

AW AW(J)

AP AP(J)

SU SU(J)

SP SP(J)

4.5 Descrição do CASO_BASE resolvido na versão original do

código 4.5.1 Natureza do problema

A versão original do código TEACH-C resolve um problema de condução de calor

bidimensional e transiente. A figura 4.5 mostra a geometria deste problema que, como se

pode observar, se trata de uma barra muito longa de secção recta rectangular (W×H).

Inicialmente, a barra está toda à temperatura de 0 ºC. Subitamente, é imposta a temperatura

de 100 ºC na face superior da barra, mantendo-se as outras faces à temperatura de 0 ºC.

As propriedades do material são as seguintes: k = 14,68 W m-1 ºC-1, ρ = 7800 kg m-3,

Cp = 485,67 J kg-1 ºC-1. O objectivo do problema é estudar a evolução ao longo do tempo

da distribuição de temperaturas no interior da barra, até se atingir o regime estacionário.

Na medida em que o comprimento da barra é muito maior que as suas altura e

largura, respectivamente H e W, o problema pode ser abordado bidimensionalmente se

desprezarmos o efeito dos topos. Assim, o problema resume-se ao caso representado na

figura 4.6.


61

Figura 4.5 – Geometria real do CASO_BASE da versão inicial do código TEACH-C.

Figura 4.6 – Geometria bidimensional realmente calculada pelo CASO_BASE da versão inicial do código TEACH-C.

4.5.2 Variáveis relevantes e descrição das subrotinas

Na versão original do programa TEACH-C, as seguintes variáveis constituem um

conjunto relevante para a demonstração do problema:

H Altura H da barra [m]

W Largura W da barra [m]


62

TCON(I,J) Condutibilidade térmica do material [W m-1 ºC-1]

CV(I,J) Calor específico do material [J kg-1 ºC-1]

DENSIT(I,J) Massa volúmica do material [kg m-3]

TTOP Temperatura da face superior da secção recta da barra [ºC]

TBOT Temperatura da face inferior da secção recta da barra [ºC]

TLEFT Temperatura da face esquerda da secção recta da barra [ºC]

TRIGHT Temperatura da face direita da secção recta da barra [ºC]

De seguida, fornecer-se-ão alguns pormenores de cada uma das subrotinas do código

TEACH-C, que devem ser lidos em conjunto com a totalidade da listagem do código

fornecida no Apêndice 1, para uma análise mais objectiva e profícua do programa.

Primeiro serão referidas as subrotinas que dependem do problema e, depois, as subrotinas

que são independentes do problema e, como tal, imutáveis.

PROGRAMA PRINCIPAL

i) Capítulo 0: trata das operações preliminares como a especificação da dimensão

das matrizes, IT e JT, e da dimensão da malha, NI e NJ. São dados valores a NI e NJ

correspondendo a uma malha de 12 × 12 (10 volumes de controle em cada direcção do

espaço, visto os nós externos serem inactivos).

ii) Capítulo 1: começa com as dimensões globais do domínio de solução e com a

malha. O sistema de coordenadas cartesianas é seleccionado atribuindo o valor .FALSE. às

variáveis INCYLX e INCYLY.

Os dados para a geometria da barra são especificados (H = 1,0 m e W = 1,0 m). A

malha pode ser uniforme, ou com expansão regular através dos factores de expansão

FEXPX e FEXPY para as coordenadas dos nós X(I) e Y(J), respectivamente. A malha é

uniforme se se atribuir a estes factores o valor 1,0. Aos limites do domínio de cálculo JS(I)

e JN(I) são atribuídos os valores 2 e NJ – l, respectivamente.

As propriedades do material que estão especificadas são as do aço, em unidades do

Sistema Internacional.

Os valores atribuídos aos parâmetros de controlo são: 20 passos no tempo com a

duração de 50 s cada um, com um número máximo possível de 100 iterações espaciais para

cada passo no tempo.

O campo de temperaturas será escrito em todos os passos no tempo (NSTPRI = 1) e,

dentro de cada passo no tempo, em cada NITPRI iterações espaciais (NITPRI = 110, i.e.,


63

não se escreve o campo de temperaturas para as iterações espaciais). Não se procede à

relaxação do campo de temperaturas (URFT = 1,0) e o critério de convergência é

SORMAX = 10-3, i.e., 0,1% do fluxo de calor de referência.

A localização do ponto monitor é especificada (IMON = 6, JMON = 6).

iii) Capítulo 2: começa com uma chamada à SUBROUTINE INIT, onde são

calculados os parâmetros geométricos da malha e as matrizes são inicializadas a zero. De

volta ao PROGRAMA PRINCIPAL são atribuídos os valores das temperaturas nas

fronteiras. A SUBROUTINE PROPS é chamada para inicializar a matriz da

condutibilidade térmica. Em seguida, o factor de normalização do resíduo, SNORM, é

calculado. Esta quantidade depende do problema e deve ser especificada pelo utilizador.

Neste caso particular SNORM é calculado da seguinte forma: ( ) H/WTTk BOTTOP − . Esta

equação expressa uma referência do fluxo de calor em jogo neste problema.

O capítulo fecha com a escrita das especificações do problema de acordo com os

dados do utilizador.

iv) Capítulo 3: este capítulo do código TEACH-C diz respeito ao cálculo

propriamente dito, e não requer nenhuma modificação para o presente problema. Contudo,

amiúde, são necessárias alterações do seguinte tipo:

- para cálculos não-estacionários é necessário, por vezes, ajustar o DT durante o

cálculo, para minimizar o tempo de cálculo;

- alteração das condições fronteiras e/ou fontes que podem depender do tempo ou da

temperatura;

- alterações nas operações de escrita.

Uma das principais funções deste capítulo é supervisionar o desenvolvimento do

processo iterativo. Um dos testes que é feito consiste em comparar o valor do resíduo

normalizado com um certo valor predefinido. Este teste é feito para um número de

iterações a partir de um valor estabelecido, NITER ≥ 20. Se a fonte exceder o valor

prescrito o programa pára, indicando que o processo está a divergir.

v) Capítu1o 4: escreve o campo final de temperaturas.

SUBROUTINE PROMOD

Nesta subrotina são incorporadas as condições de fronteira. No exemplo apresentado,

todas as fronteiras são do tipo Dirichlet, i.e., temperatura imposta. Assim, será suficiente

examinar o tratamento de apenas uma fronteira, por exemplo a fronteira NORTE, para se

perceber o procedimento.


64

A expressão para o fluxo de calor na equação discretizada, que é calculado

incorrectamente pela SUBROUTINE CALCT, é suprimida, fazendo AN(NJM1) = 0. A

expressão correcta para o fluxo de calor ( ) BPewPBBn /TTkq yx δδ−= é inserida em

SU(NJM1) e SP(NJM1) com auxílio da quantidade BPewB /k yx δδ representada por DN.

As restantes fronteiras são tratadas de um modo semelhante. As alterações a SU(NJM1) e

SP(NJM1) são feitas de um modo aditivo, para não interferir com as quantidades já

armazenadas nestas duas matrizes, o que pode acontecer num problema com fontes de

calor. Caso isso aconteça, estes são também inseridos nesta subrotina.

O índice IL contém o valor da linha I=constante que se está a resolver no processo

iterativo, para que se possa dar conhecimento ao programa do momento adequado para se

aplicarem as modificações para as fronteiras laterais (este e oeste).

SUBROUTINE PROPS

Esta subrotina só é modificada quando a condutibilidade térmica varia de

determinada maneira com a temperatura ou com o espaço. Nestas circunstâncias, o

utilizador deve especificar a lei matemática dessa variação na SUBROUTINE PROPS. No

exemplo que consta da versão inicial do código TEACH-C, a condutibilidade térmica é

constante e portanto o valor atribuído a TCON no PROGRAMA PRINCIPAL é

introduzido automaticamente na matriz GAMH(I,J) e uma única vez.

De seguida efectuar-se-á a descrição das subrotinas independentes do problema.

SUBROUTINE CALCT

i) Capítulo 1: trata do cálcu1o dos coeficientes das equações discretizadas. Este

cálculo é feito linha-a-linha, para linhas I=constante, e com os valores de I a variar no

intervalo: 2 ≤ I ≤ NI-1. Os limites inferior e superior para cada uma das linhas são

estabelecidos, respectivamente, por JS(I) e JN(I). Devido à relação de reciprocidade entre

os vários coeficientes, AS(J) = AN(J-1) e AW(J) (para a linha I) = AE(J) (para a linha I–1),

só são calculados dois coeficientes para cada volume de controlo: AN(J) e AE(J).

ii) Capítulo 2: chama a SUBROUTINE PROMOD, onde os coeficientes são

modificados, sempre que necessário.

iii) Capítulo 3: associa os coeficientes de forma conveniente para que o método de

resolução do sistema de equações algébricas seja aplicado. Neste capítulo calculam-se e

somam-se resíduos e incorpora-se a sub-relaxação.

iv) Capítulo 4: chama a SUBROUTINE SOLVE que de descreve de seguida.


65

SUBROUTINE SOLVE

i) Capítulo 1: as equações algébricas são resolvidas para cada linha I=constante,

através do algoritmo de cálculo TDMA. A sequência é a seguinte: os coeficientes da

equação (3.43) são calculados, seguindo-se o cálculo dos coeficientes das equações (3.46)

e, finalmente, as temperaturas são calculadas por substituição por ordem inversa, desde a

última equação até à primeira equação, no sistema definido pelas equações (3.46).

SUBROUTINE INIT

i) Capítulo 1: contém teste de erro à incompatibilidade de definição de duplo

sistema radial.

ii) Capítulo 2: contém os cálculos relacionados com a malha, cuja nomenclatura

permite que sejam auto-explicativos. Deve notar-se que os valores das coordenadas das

linhas extremas (I=1, I=NI, J=1, J=NJ) são reajustados de forma a garantir que coincidem

com os valores das coordenadas extremas do domínio físico de solução para facilitar a

leitura dos resultados.

iii) Capítulo 3: inicializa as variáveis. Neste capítulo, o utilizador pode

eventualmente alterar os valores de inicialização das variáveis de acordo com as condições

específicas de cada problema.

SUBROUTINE PRINT

Trata-se de uma subrotina geral para as operações de escrita. Esta subrotina escreve o

conteúdo de qualquer matriz bidimensional PHI(I,J) com um título especificado no

FORMAT apropriado. A variável PHI(I,J) é argumento da subrotina.

4.5.3 Metodologia de modificações ao código TEACH-C

Querendo adaptar-se o programa TEACH-C a um problema particular, deve

proceder-se de acordo com a seguinte metodologia e sequência de modificações

necessárias:

PROGRAMA PRINCIPAL

Capítulo 0

• Especificar as dimensões (IT,JT) das matrizes bidimensionais, e da malha (NI,NJ).

Capítulo 1

• Seleccionar o sistema de coordenadas através das variáveis INCYLX e INCYLY

• Fornecer o modo de calcular as coordenadas dos pontos da malha X(I) e Y(J)


66

• Especificar os limites superior e inferior do domínio de solução, respectivamente

JN(I) e JS(I), para cada linha I=constante.

• Atribuir valores apropriados aos parâmetros de controlo INTIME e INPRO.

• Se os cálculos são não-estacionários, atribuir valores ao intervalo de tempo DT e ao

intervalo para a operação de escrita NSTPRI. Para cálculos estacionários, os

valores destas duas variáveis, DT e NSTPRI, são irrelevantes.

• Fornecer os valores das propriedades dos materiais TCON, CV e DENSIT.

• Se as propriedades dos materiais são dependentes da temperatura, inserir a

sequência de cálculos para essas propriedades na SUBROUTINE PROPS.

• Especificar o valor dos parâmetros de controlo do processo iterativo MAXIT,

URFT e SORMAX.

• Especificar o valor dos parâmetros de controlo de escrita NITPRI, NSTPRI e

IMON, JMON.

Capítulo 2

• Fornecer o valor das temperaturas nas fronteiras (caso sejam condições fronteiras

de temperatura imposta) e inicializar os valores da temperatura no interior do

domínio. Em adição, deve explicitar-se neste capítulo o conjunto de valores que são

necessários à definição das condições de fronteira.

• Fornecer um processo de cálculo apropriado para o factor de normalização da fonte

SNORM.

• Adaptar a escrita da informação da especificação do problema.

SUBROUTINE PROMOD

Inserir as condições de fronteira e os termos de fonte apropriados ao problema, tendo

em atenção que:

• Tem de se especificar condições em todas as fronteiras.

• Para inserir uma condição de fronteira deve quebrar-se a ligação normal,

estabelecida automaticamente, e inserir a equação correcta através dos coeficientes

de uma fonte linearizada.

• Os termos de fonte referentes a fontes reais devem também ser linearizados.

• As alterações feitas aos coeficientes da fonte são feitas de uma maneira aditiva, de

tal modo que não interfiram com os valores já armazenados nesses coeficientes.


67

4.6 Descrição do CASO_TESTE para adaptação faseada

Nesta secção apresenta-se o CASO_TESTE, que é um problema semelhante ao do

CASO_BASE, que se destina a ser resolvido em conjunto pelo docente e pelos alunos nas

aulas práticas, para que os alunos se adaptem progressivamente ao código.

A figura 4.7 mostra a geometria deste problema que, como se pode observar, se trata

de uma barra muito longa, de secção recta rectangular (2W = 2,0 m × 2H = 0,2 m).

Inicialmente, a barra está toda à temperatura de 800 ºC. Subitamente, é imersa num fluido

à temperatura de 80 ºC, que tem um coeficiente de transferência de calor por convecção

constante, h = 520 W m-2 ºC-1. As propriedades do material de que é feita a barra são as

seguintes: k = 520 W m-1 ºC-1, ρ = 7850 kg m-3, C = 460 J kg-1 ºC-1. O objectivo do

problema é estudar a evolução ao longo do tempo da distribuição de temperaturas dentro

da barra, até se atingir o regime estacionário.

2H

2W

y

x

h, TF

A área sombreada representa o domínio da solução

zh, TF

Figura 4.7 – Geometria real do CASO_TESTE para inserir no código TEACH-C.

Na medida em que o comprimento da barra é muito maior que as suas altura e

largura, respectivamente 2H e 2W, o problema pode ser abordado bidimensionalmente se

desprezarmos o efeito dos topos da barra.

Mais do que isso, e na medida que há simetria axial em qualquer das duas direcções

do espaço, o domínio de solução pode ser reduzido a um quarto da secção recta, desde que

se imponha condição de fluxo nulo nos dois eixos de simetria.


68

Assim, o problema resume-se ao caso cuja geometria e domínio de solução estão

representados na figura 4.8.

A malha a utilizar deve ter 102 nós na direcção xx e 12 nós na direcção yy.

O passo no tempo deve ser imposto como δt = 30 segundos.

Os alunos deverão proceder às alterações do código propostas pelo docente na aula,

correr o programa e construir os gráficos que entenderem pertinentes para analisar os

resultados na aula prática seguinte.

y

x

H/2

W/2

Figura 4.8 – Geometria bidimensional a ser realmente calculada pelo CASO_TESTE no

código TEACH-C.


69

CAPÍTULO

5

APLICAÇÕES DO CÓDIGO TEACH-C

5.1 Problema 1: Condução de calor unidimensional 5.1.1 Lição 1: Regime estacionário e sem fontes

Para que o calor se escoe apenas segundo uma direcção do espaço, o material tem

que ser, teoricamente, infinito segundo as outras duas dimensões. Na prática, isto é

conseguido com uma aproximação bastante boa isolando os topos da placa ou, em

alternativa, estudando apenas a zona central de uma placa cuja espessura seja muito

inferior às outras dimensões (largura e altura), de forma a poderem desprezar-se os efeitos

das extremidades.

Considere-se então uma placa plana infinita de espessura L e condutibilidade

térmica, k, constante, de um material isotrópico e homogéneo. A placa está ladeada por

dois fluidos às temperaturas T1 e T2 (T1 > T2) e são conhecidos os coeficientes de

transferência de calor por convecção h1 e h2, conforme se mostra na figura 5.1.

A equação do calor que rege este caso e as respectivas condições de fronteira são:

0d

Td2

2

=x

(5.1)

( )1,P11 TThq0 −=∴=x (5.2)

( )22,P2 TThqL −=∴=x (5.3)

Trata-se de um problema muito simples para o qual existe solução analítica, o que

constitui uma vantagem para a validação das previsões numéricas efectuadas pelo código

TEACH-C. De facto, o perfil de temperaturas no interior da placa é linear, resultando da

integração directa da equação (5.1), com a forma:


70

21 CCT += x (5.4)

em que C1 e C2 são constantes de integração obtidas a partir das condições de fronteira

dadas pelas equações (5.2) e (5.3).

Figura 5.1 – Placa plana simples sem fontes.

O fluxo de calor por unidade de área, que é constante, é calculado a partir das

equações (5.2), (5.3) e (5.5):

( )2,P1,P TTLkq −= (5.5)

valendo, portanto:

21

21

h1

kL

h1

TTq

++

−= (5.6)

Nesta lição vão-se estudar dois casos, visando a sua comparação e o

desenvolvimento da destreza do aluno na manipulação do código TEACH-C: uma placa

plana simples e uma placa plana múltipla, ambos com solução analítica conhecida.

Caso 1


71

O primeiro caso a estudar será o de uma chapa simples de aço (k = 58 W m-1 ºC-1),

com uma espessura de L = 5 mm, ladeada, de um dos lados por um gás quente à

temperatura de 1000 ºC e com um coeficiente h1 = 50 W m-2 ºC-1 e, do outro lado, por um

fluido menos quente, à temperatura T2 = 300 ºC (h2 = 1000 W m-2 ºC-1).

Com esta lição pretende-se, em primeiro lugar, que o aluno efectue previsões

numéricas do perfil de temperaturas e as compare com a solução analítica, investigando

simultaneamente o efeito das variáveis T1, T2, h1, h2, k, e L no perfil obtido.

Para a resolução numérica do problema deverão seguir-se as seguintes indicações:

Dado que se trata de um problema unidimensional, é possível efectuarem-se os

cálculos apenas numa linha de pontos da malha. Por outro lado, é vantajoso seleccionar

uma linha vertical de pontos no cálculo numérico, de forma a que a direcção da variação da

temperatura real (eixo xx na figura 5.1) coincida com a direcção segundo a qual se aplica o

método iterativo TDMA (eixo yy na figura 5.2), conforme se mostra na figura 5.2. Em

resumo, para modelar numericamente o problema colocado deverão trocar-se os eixos.

Como se pode observar na figura 5.2, os cálculos são efectuados ao longo da linha vertical

I=2, sendo as linhas I=1 e I=3 usadas para armazenar as condições de fronteira. Esta

abordagem assegura também a condição de fluxo unidimensional, pois não haverá

transferência de calor na direcção xx (figura 5.2), já que se irão quebrar as ligações dos nós

da linha I=2 com os nós vizinhos das linhas I=1 e I=3, operação que se efectuará na

SUBROUTINE PROMOD. É também nesta subrotina que se devem especificar as

condições de fronteira, de acordo com a tabela 3.3 do capítulo 3.

A malha deve ser criada no PROGRAMA PRINCIPAL, que é também o bloco do

programa onde devem ser inseridas as propriedades do material (condutibilidade térmica,

que é constante) e os valores dos coeficientes de transferência de calor por convecção.

A adaptação do programa à condição de regime estacionário faz-se impondo o valor

.FALSE. à variável INTIME no PROGRAMA PRINCIPAL.

Para efectuar o estudo paramétrico, i.e., o estudo da influência das principais

variáveis no perfil de temperaturas, deverão ser também previstos os referidos perfis na

placa de aço variando os seguintes parâmetros (um de cada vez, mantendo os restantes

valores constantes):

i) T1 = 700 ºC

ii) h1 = 200 W m-2 C-1

iii) T2 = 700 ºC

iv) h2 = 2000 W m-2 C-1


72

v) k = 390 W m-2 C-1

vi) L = 20 mm

Figura 5.2 – Placa plana sem fontes: domínio de solução.

O aluno deverá recorrer a gráficos para efectuar um relatório sucinto dos resultados

contendo a comparação das previsões numéricas obtidas para o caso de base com os da

solução analítica e a comparação dos resultados do caso de base com os do estudo

paramétrico.

Caso 2

O segundo caso a estudar será o de uma parede múltipla constituída por três placas

planas: uma de estuque (k1 = 0,25 W m-1 ºC-1, L1 = 10 mm), adjacente a uma placa de fibra

de vidro (k2 = 0,038 W m-1 ºC-1, L2 = 100 mm), que por sua vez está adjacente a outra

placa de madeira (k1 = 0,10 W m-1 ºC-1, L1 = 20 mm) conforme se mostra na figura 5.3.

Esta parede múltipla está ladeada, de um dos lados, por ar à temperatura Tint = 20 ºC e com

um coeficiente de transferência de calor por convecção hint = 30 W m-2 ºC-1 e, do outro

lado, por ar exterior à temperatura Text = 0 ºC (hext = 60 W m-2 ºC-1).


73

L1

T2 ,h2

T1 ,h1

yx

O

k1

L2 L3

k2 k3

Tp1

Tp2

Tp3

Tp4

Figura 5.3 – Placa plana múltipla sem fontes: caso genérico e caso de aplicação.

Chama-se a atenção para o facto de haver, obviamente, alteração das equações que

estabelecem o fluxo de calor e a do perfil de temperaturas. Para o fluxo de calor de uma

placa com três ou com mais materiais, a equação (5.6) transforma-se, respectivamente, em:


74

ext3

3

2

2

1

1

int

extint

h1

kL

kL

kL

h1

TTq

++++

−= (5.7.a)

exti i

i

int

extint

h1

kL

h1

TTq

++

−=

∑ (5.7.b)

Tal como no caso anterior, pretende-se com esta lição, e em primeiro lugar, que o

aluno efectue previsões numéricas do perfil de temperaturas e que as compare com a

solução analítica, investigando simultaneamente o efeito das variáveis k2 e hext no perfil

obtido.

Para a resolução numérica do problema deverão seguir-se as mesmas indicações que

se seguiram para o Caso 1. Deve, no entanto, levar-se em linha de conta que as interfaces

entre os vários materiais têm que coincidir com as faces dos volumes de controlo. A malha

constante da figura 5.4 é um exemplo típico que mostra o que se pretende.

As propriedades dos vários materiais devem ser inseridos na SUBROUTINE

PROPS.

Para efectuar o estudo paramétrico, i.e., a influência das variáveis escolhidas,

deverão ser também previstas as distribuições de temperatura na parede múltipla variando

os seguintes parâmetros (um de cada vez, mantendo os restantes valores constantes):

i) k2 = 1 W m-2 ºC-1 (tijolo)

ii) hext = 120 W m-2 ºC-1

O aluno deverá recorrer a gráficos para efectuar o relatório sucinto dos resultados,

que deverá incluir a comparação das previsões numéricas obtidas para o caso de base com

os valores da solução analítica e a comparação dos resultados do caso de base com os do

estudo paramétrico. Deverá ainda identificar o constituinte da resistência térmica da parede

múltipla que determina de forma mais acentuada o valor do fluxo de calor e calcular a

percentagem do aumento de fluxo de calor quando se muda a constituição da parede,

substituindo a fibra de vidro pelo tijolo.


75

Madeira

Fibra de vidro

Estuque

I = 1 I = 2 I = 3 J = 1

J = N J

y

Figura 5.4 – Placa plana múltipla sem fontes: exemplo típico da malha.

5.1.2 Lição 2: Regime transiente e sem fontes

Considere-se uma placa plana infinita de espessura 2H e condutibilidade térmica, k,

constante, de um material isotrópico e homogéneo, sem fontes e que está inicialmente à

temperatura T1. Subitamente, no instante t = 0, as superfícies superior e inferior da placa

são sujeitas à temperatura TB, conforme se mostra na figura 5.5. A igualdade das

temperaturas nas superfícies superior e inferior assegura que, mesmo em regime transiente,

existe simetria do perfil de temperaturas em torno do eixo y = H. Por isso, e como está

expresso na figura 5.5, o domínio de solução fica restringido a meia placa, i.e., 0 ≤ y ≤ H.

A equação do calor que rege este caso e as respectivas condições inicial e de

fronteira são:

0TktTC 2

2

v =∂∂

−∂∂

yρ (5.8)

y∀=∴= 1TT0t (5.9)


76

BTT0,0t =∴=≥ y (5.10)

0TH,0t =∂∂

∴=≥y

y (5.11)

Figura 5.5 – Placa plana simples sem fontes com temperatura imposta.

Este problema, e à semelhança do problema da lição 1, também tem solução

analítica. Contudo, para este caso, a solução analítica não é trivial, expressando-se por uma

série, mas pode ser encontrada nos livros básicos de Transferência de Calor, como por

exemplo [3], [4] e [6]. Um problema interessante para se analisar é o que se refere aos

primeiros instantes de tempo (pequenos valores de t), em que apenas há variações

significativas da temperatura nas proximidades da parede y = 0, e em que a condição de

fronteira em y = H não influencia ainda a solução. Na realidade, nestes tempo e espaço

reduzidos, a variação da temperatura é equivalente à variação da temperatura de um bloco

semi-infinito com uma superfície localizada em y = 0 e a outra a uma distância infinita. A

condição de fronteira (5.11) modifica-se então para:

1TTy,0t =∴∞→≥ (5.12)

Nestas condições, pode-se demonstrar que a solução da equação diferencial regente,

equação (5.8) é dada por (e.g., referência [6]):

∫ −==−−

=η

ηηπ

ηθ0

2

B1

B d)exp(2)(erfTTTT (5.13.a)


77

t2 αη y= (5.13.b)

sendo ( )vCk ρα /= a difusividade térmica do material.

Também é fácil demonstrar que o fluxo de calor é dado por (e.g., referência [6]):

( )B1v

0yB TT

tCk2Tkq −=

∂∂

−==

ρπy

(5.14)

A quantidade ( ) 2/1tα tem a dimensão de um comprimento e pode ser interpretada

como a medida da distância a que, no tempo t, o fluxo de calor penetra no sólido, i.e., é a

profundidade da penetração do calor, pelo que é legítimo considerar que, no período em

que a evolução da temperatura se assemelha à de um corpo semi-infinito, a distribuição de

temperaturas dependa apenas de y, i.e., da variável η. Obviamente que ao fim de um tempo

alargado a variação de temperatura acabará por atingir o eixo de simetria e a abordagem

aqui apresentada deixa de ter validade. De facto, neste caso, a distribuição de temperaturas

passa a depender de dois parâmetros adimensionais: a posição adimensional y/H e o tempo

adimensional, também conhecido como número de Fourier, 2HtFo α

= .

Nesta lição vão-se estudar dois casos, visando a sua comparação (efeitos do número

de Fourier e, no caso 2, do número de Biot) e o desenvolvimento da destreza do aluno na

manipulação do código TEACH-C: placa plana simples em regime transiente com

temperatura imposta e placa plana simples em regime transiente com fluxo por convecção

imposto nas fronteiras.

Caso 1

O primeiro caso a estudar é o de uma chapa de aço com uma espessura 2H = 20 cm

(k = 58 W m-1 ºC-1, ρ = 7850 kg m-3, Cp = 460 J kg-1 ºC-1), que estando inicialmente à

temperatura de 1000 ºC, é sujeita repentinamente a uma temperatura de 400 ºC nas suas

fronteiras.


numéricas da evolução no tempo do perfil de temperaturas, devendo explicar fisicamente

os resultados, particularmente no que se refere à comparação com resultados para uma

placa plana semelhante à anterior, sujeita às mesmas condições inicial e de fronteira, mas

sendo feita de cobre (k = 390 W m-1 ºC-1, ρ = 8960 kg m-3, Cp = 380 J kg-1 ºC-1). O


78

segundo objectivo desta lição é a sensibilização do aluno para os efeitos do passo no tempo

escolhido e do refinamento da malha na precisão dos resultados obtidos.

O número de nós da malha na direcção yy deverá ser NJ = 12, com um factor de

expansão FEXPY = 1,1 e um passo no tempo DT tal que, quer para o cobre quer para o

aço, se possa imprimir a distribuição de temperaturas para o número de Fourier de 0,5, i.e.,

Fo = 0,5.

De seguida, o aluno deverá estudar a influência do passo no tempo, efectuando

corridas do programa para o caso do aço com metade do valor de DT e com o dobro do

valor de DT. De novo para o caso do aço, e mantendo a corrida inicial como caso de base,

o aluno deverá então estudar a influência do refinamento da malha correndo o programa

com duas outras malhas: NJ = 20 e NJ = 6 (o que permitirá alterar o espaçamento da

malha).

Para a resolução numérica do problema deverão seguir-se as indicações seguintes:

Criar no PROGRAMA PRINCIPAL novas variáveis, THETA e ETA, que

representem, respectivamente, a temperatura e a profundidade adimensionalizadas. A

variável FO para o número de Fourier deve também ser criada e impressa sempre que se

efectua uma impressão dos resultados.

A malha (ver figura 5.6) deve ser criada no PROGRAMA PRINCIPAL, que é

também o bloco do programa onde devem ser inseridas as propriedades do material

(condutibilidade térmica, massa volúmica e calor específico, que são constantes).

A adaptação do programa à condição de regime transiente faz-se impondo o valor

.TRUE. à variável INTIME no PROGRAMA PRINCIPAL.

O aluno deverá recorrer a gráficos para efectuar um relatório sucinto dos resultados,

contendo a comparação das previsões numéricas obtidas para os casos estudados e a

comparação com a solução analítica com críticas sobre a sua validade.

Caso 2

O outro caso a estudar é também o de uma chapa de aço, à temperatura de 1000 ºC,

com uma espessura 2H = 20 cm (k = 58 W m-1 ºC-1, ρ = 7850 kg m-3, Cp = 460 J kg-1 ºC-1),

que no instante t=0 é sujeita repentinamente a um fluxo de calor por convecção nas suas

fronteiras pelo contacto com um fluido a uma temperatura TF conhecida (400 ºC) e com

um coeficiente h de convecção, também conhecido, conforme se mostra na figura 5.7, onde

a espessura da placa 2H é muito inferior às duas outras dimensões, W e L.

Neste caso, a formulação matemática do problema passa a ser:


79

y


T = TB

J = 1

J = NJ

I = 1

∂T/∂y = 0

I = 2 I = 3

H

Figura 5.6 – Placa plana sem fontes: malha típica.

0TktTC 2

2

v =∂∂

−∂∂

yρ (5.15)

y∀=∴= 1TT0t (5.16)

( )FB0

B TThTkq0,0t −−=∂∂

−=∴=≥=yy

y (5.17)

0TH,0t =∂∂

∴=≥y

y (5.18)

Figura 5.7 – Placa plana sem fontes: fluxo convectivo imposto nas fronteiras.


80

A solução deste problema é função de dois números adimensionais: o de Fourier e o

número de Biot: k/hHBi = , que representa fisicamente a razão entre as resistências

térmicas do bloco de material e da camada térmica do fluido. Quando Bi é muito elevado, a

resistência térmica da camada de fluido é desprezável face à resistência de condução e

estamos perante uma situação similar ao caso 1. No caso de Bi ser muito pequeno,

significando que a resistência térmica convectiva é dominante, pode-se admitir que a

temperatura no interior do sólido é uniforme. Nestas circunstâncias, a temperatura do

sólido varia de acordo com a seguinte lei, que resulta da integração da equação (5.15) com

as condições inicial e de fronteira dadas por (5.16) a (5.18) (ver, e.g., referência [6]):

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=−=

−−

=vB1

B

CHthexp)BiFoexp(

TTTT

ρθ (5.19)


numéricas da evolução no tempo do perfil de temperaturas, devendo explicar fisicamente

os resultados, particularmente no que se refere à comparação com o Caso 1, bem como da

variação do perfil de temperaturas com o número de Biot. O problema base de estudo

corresponderá a Bi = 0,001 e DT = 50 s, devendo-se efectuar também o estudo paramétrico

com Bi = 10 e DT = 0,05 s, e Bi = 100 e DT = 0,015 s.

O número de nós da malha na direcção yy deverá ser NJ = 16, com um factor de

expansão FEXPY = 1,1. Para normalizar o resíduo, o aluno deverá usar para a variável

SNORM a seguinte expressão:

h1

kH

TTQ HyF

ref

+

−= = (5.20)

Para a resolução numérica do problema deverão seguir-se as indicações seguintes:

Criar no PROGRAMA PRINCIPAL novas variáveis, ALFA e BIOT, que

representem, respectivamente, o coeficiente h e o número de Biot. A variável TF para a

temperatura do fluido deve também ser criada.


contendo a comparação das previsões numéricas obtidas para os casos estudados, em

particular o efeito do número de Biot e o tempo necessário para se atingir o regime

estacionário. O perfil de temperaturas para Fo = 0,5, tal como para o Caso 1, deve ser


81

sempre apresentado e discutido. Deverá ser traçado o gráfico em coordenadas logarítmicas

da temperatura adimensionalizada ( ) ( )FBHyB TT/TT −− = em função de Bi, para Fo = 0,5 e

analisada a evolução no que se refere à consistência com a interpretação física do número

de Biot. Os alunos deverão ainda traçar o gráfico em coordenadas semi-logarítmicas (a

escala logarítmica é o da temperatura adimensionalizada) de ( ) ( )FBHyB TT/TT −− = em

função de Fo, para Bi = 0,001, e discutir os resultados à luz da solução analítica do

problema dada pela equação (5.19).

5.1.3 Lição 3: Regime transiente e com fontes

Existem inúmeros problemas de condução de calor na indústria que envolvem a

geração de calor por um material condutor, como por exemplo a geração de calor nas

paredes de um pneu em movimento, a libertação de calor num elemento de combustível de

um reactor nuclear ou o aquecimento e a libertação de calor por efeito de Joule pela

resistência de um aquecedor eléctrico. Neste último caso é muito vulgar o material

condutor de que é feita a resistência exibir uma resistividade que depende da temperatura

e, em certas circunstâncias, a taxa de geração de calor é uma função linear da temperatura.

Nesta lição, é precisamente este o caso que se vai estudar.

Considere-se uma placa plana infinita de espessura 2H = 0,0002 m e condutibilidade

térmica, k, constante, de um material condutor que, à passagem de corrente eléctrica, gera

calor segundo a equação (ver figura 5.8):

( )[ ]00 TT1qQ −+= β (5.21)

sendo q0 a taxa de geração de energia de referência (à temperatura T0) por unidade de

volume, e β o coeficiente de dependência da resistividade do material condutor com a

temperatura. A forma da equação (5.21) permite inferir imediatamente que, para valores de

β positivos, o valor da fonte cresce com o aumento da temperatura, aspecto que torna a

solução inerentemente instável. Assim, para valores de β acima de um dado valor a

determinar, o calor gerado não se dissipa (não é conduzido para o exterior) e não é possível

atingir o regime estacionário.

A placa condutora acima referida, estando à temperatura ambiente TF = 300 ºC, no

instante t =0, é subitamente sujeita à passagem de uma corrente eléctrica de intensidade

constante, estando mergulhada num fluido à temperatura TF com um coeficiente h de

transferência de calor por convecção constante.


82

A simetria verificada na situação da subsecção 5.1.2 mantém-se e, para além da

equação (5.21), a restante formulação matemática do problema é:

0QTktTC 2

2

v =−∂∂

−∂∂

yρ (5.22)

yTT0t F ∀=∴= (5.23)

( )FB0

B TThTkq0,0t −−=∂∂

−=∴=≥=yy

y (5.24)

0TH,0t =∂∂

∴=≥y

y (5.25)

Figura 5.8 – Placa plana com fontes: fluxo convectivo imposto nas fronteiras.

A análise dimensional deste problema, e fazendo arbitrariamente T0 = TF, mostra que

a distribuição da temperatura é dependente de quatro variáveis adimensionais, i.e.:

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=− *S,Bi,Fo,

hfTT F

yβ (5.26.a)

Hk

HS*S β= (5.26.b)

A equação (5.26.b) representa a fonte adimensionalizada e pode ser interpretada como a

razão entre a geração adicional de calor e a condução adicional de calor resultantes do


83

aumento unitário da temperatura do material. Este problema tem uma solução analítica

para números de Biot muito elevados e para regime estacionário, i.e., ao fim de um grande

período de tempo após a aplicação da corrente eléctrica, que se expressa pela seguinte

equação (ver referência [5]):

( )

( )

1*Scos

H

*SHcos

TT F −⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡ −

=−=

y

βθ (5.27)

Para valores de *Scos próximos de zero a temperatura assume valores muito elevados, o

que acontece quando 4/*S 2π= e tem como consequência a falha no funcionamento do

condutor.

O objectivo desta lição é, em primeiro lugar, fazer com que o aluno efectue previsões

numéricas da evolução no tempo do perfil de temperaturas de uma placa infinita com uma

fonte da calor linearmente dependente da temperatura, devendo ainda explicar fisicamente

os resultados obtidos, particularmente no que se refere à comparação com a solução

analítica para o caso particular referido.

O material da placa condutora é cobre que, como a maioria dos metais, tem um

coeficiente de resistividade positivo. As propriedades do cobre são: k = 390 W m-1 ºC-1,

ρ = 8960 kg m-3, Cp = 380 J kg-1 ºC-1, β = 4×10-3 ºC-1. O valor de h deve ser ajustado de

forma a que o número de Biot seja grande, i.e., 1026. Para estes valores devem ser

executadas três corridas do programa:

(i) S* = 1

(ii) S* = 2

(iii) S* = 3

Mantendo o valor de S* = 1, dever ser feito o estudo paramétrico da influência do

número de Biot, variando h para assegurar os seguintes valores:

(i) Bi = 102,6

(ii) Bi = 10,26

(iii) Bi = 1,026

(iv) Bi = 0,1026

Para concretizar o problema, e partindo da solução do problema da subsecção 5.1.2 o

aluno deverá criar no PROGRAMA PRINCIPAL novas variáveis, BETA, SAST, T0, Q e


84

Q0, que representem, respectivamente, o coeficiente de resistividade, a fonte

adimensionalizada, a temperatura de referência, a variável para a fonte - Q na equação

(5.22), e o valor da fonte à temperatura de referência.


que contenha a comparação das previsões numéricas obtidas para os casos estudados, em

particular o efeito do número de Biot, em regime estacionário e para S* = 1, sobre o perfil

de temperaturas ( )FTT −β , e a comparação do caso de Bi = 1026 com a solução analítica.

Sabendo que o cobre funde a 1356 K, e com recurso a gráficos de coordenadas bi-

logarítmicas, o aluno deverá ver para os vários valores de S*, ao fim de quanto tempo

funde o material (as ordenadas mostram os valores da a temperatura máxima atingida),

sabendo que Bi = 1026. Fazer a mesma análise no mesmo tipo de gráfico, mas fixando

agora S* = 1 e variando o número de Biot conforme indicado.

5.2 Problema 2: Condução de calor bidimensional 5.2.1 Lição 1: Regime estacionário e com fontes

A distribuição de temperaturas para um cilindro de diâmetro 2H e altura 2W,

conforme se mostra na figura 5.9, no seio do qual se gera uma potência calorífica uniforme

Q, e em que se mantém todas as superfícies do cilindro à temperatura T1, é regida pela

seguinte formulação matemática, desde que se despreze a condução axial:

kQ

ddT

dd1

−=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛r

rrr

(5.28)

1TTH =∴=r (5.29)

0ddT0 =∴=

rr (5.30)

A solução da equação (5.28) é dada pela equação:

( ) BlnAk4

QrT 2 ++−= rr (5.31)

As constantes A e B de integração obtêm-se facilmente das condições de fronteira,

expressas pelas equações (5.29) e (5.30):


85

0A = (5.32)

21 H

k4QTB += (5.33)

donde resulta:

( ) 12

22

TH

1k4

QHT +⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−=

rr (5.34)

Caso se considere a condução axial, a formulação matemática passa a ser:

kQTT1

2

2

−=∂∂

+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

xrr

rr (5.35)

1TTH =∴=r (5.36)

0T0 =∂∂

∴=r

r (5.37)

1TT0 =∴=x (5.38)

0x

x =∂∂

∴=TW (5.39)

Figura 5.9 – Cilindro condutor com fontes e temperatura constante nas superfícies.


86

Este problema, e no caso da fonte não ser uniforme, não tem solução analítica.

Assim, o código TEACH-C é uma ferramenta útil e indispensável para a resolução deste

tipo de problemas.

Nesta lição vamos considerar então o caso de aquecimento do elemento de

combustível cilíndrico de um reactor nuclear com a geometria representada na figura 5.9.

O material do elemento de combustível é dióxido de urânio (k = 9,174 W m-1 ºC-1),

servindo como combustível do reactor através de um processo de fissão nuclear

(desintegração atómica controlada), estando dentro de um contentor cuja superfície

exterior é arrefecida por um escoamento de água em ebulição.

A taxa volumétrica local de libertação de calor, Q, não é uniforme, mas aumenta com

a densidade do fluxo neutrónico, densidade essa que é usual considerar-se como variando

sinusoidalmente através do elemento de combustível segundo a expressão:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

W2senQQ MAX

xπ (5.40)

em que QMAX é proporcional à taxa de fissão nuclear.

É razoável assumir que a temperatura nas superfícies do combustível (incluindo os

círculos do topo) é constante, devendo neste problema ser assumido o valor de 600 ºC. Por

razões de segurança, o valor máximo da temperatura no interior do elemento de

combustível não pode nunca exceder os 900 ºC. Esta limitação compulsiva levanta de

imediato um problema que terá que se resolver: qual a taxa máxima de geração de calor

admissível para que a temperatura no interior do elemento de combustível não exceda os

900 ºC?

Vamos tomar como dimensões do cilindro de combustível os seguintes valores:

Diâmetro: 2H = 0,02 m

Altura: 2W = 4,0 m.

A equação (5.40), que expressa a taxa de geração de calor no elemento de

combustível cilíndrico, permite saber que essa geração exibe uma simetria geométrica em

relação à secção x = W. Por outro lado, existe também simetria em θ (ângulo azimutal das

coordenadas cilíndricas), pelo que bastará simular 1/4 da secção axial do elemento de

combustível (ver figura 5.9).

Assim, o domínio de solução será definido por: 0 ≤ x ≤ W e 0 ≤ r ≤ H.


87

Deverão ser usadas coordenadas cilíndricas (INCYLY = .TRUE.) com uma malha

uniforme com um número de nós NI = 12 e NJ = 8.

O factor de normalização do resíduo global do erro usado deve ser 2/WHQ 2MAX ,

que traduz aproximadamente o valor total de calor gerado por unidade de ângulo θ.

Deve efectuar-se um estudo para vários valores crescentes de QMAX, visando

encontrar o valor da taxa máxima para a qual o elemento de combustível atinge a

temperatura máxima admissível.

O primeiro valor a ser utilizado deverá ser QMAX = 103 W rad-1, devendo-se de

seguida duplicar sucessivamente este valor. Deve ter-se em mente que a grandeza QMAX,

que consta na equação (5.35), é uma variável com unidades expressas em [W m-3].

Deve criar-se uma nova variável, S, no PROGRAMA PRINCIPAL, que conterá os

valores de QMAX. Deve assegurar-se regime estacionário, incluindo no PROGRAMA

PRINCIPAL as seguintes instruções: INTIME = .FALSE. e DT = 0.

Tal como nos casos anteriores, na SUBROUTINE PROMOD deverão incluir-se as

condições de fronteira (temperatura imposta nas fronteiras norte e oeste e fluxo nulo, i.e.

condição de simetria nas fronteiras sul e este). Para além disso, no fim da SUBROUTINE

PROMOD deve inserir-se a fonte de calor Q.


contendo as previsões numéricas obtidas para os casos estudados, e a variação da

temperatura máxima com o valor de QMAX, deduzindo o seu valor máximo admissível para

que a temperatura não exceda os 900 ºC.

O aluno deverá ainda desprezar a condução axial (impondo um valor nulo para AE(J)

e AW(J) em todas as linhas I = constante) e comparar os resultados, quer com a solução

analítica, quer com o caso numérico bidimensional. Note que deve impor neste caso uma

fonte uniforme.


88

CAPÍTULO

6

APLICAÇÕES FACULTATIVAS DO CÓDIGO

TEACH-C

6.1 Problema 1: Escoamento potencial

Em escoamentos como o do ar em torno de um avião ou o de um jacto de vento que

embate frontalmente na fachada de um edifício, os efeitos da viscosidade e, portanto, das

tensões de corte, são desprezáveis (obviamente que nos referimos a regiões afastadas das

superfícies sólidas, o suficiente para que os seus efeitos já não se façam sentir).

O problema que agora se propõe resolver aqui trata do estudo do escoamento de um

jacto que embate frontalmente numa parede, recorrendo à modelação invíscida, i.e.,

modelação de fluído perfeito ou de escoamento potencial, para avaliar a plausibilidade do

modelo.

A omissão dos termos viscosos das equações de Navier-Stokes, assumindo que as

propriedades físicas do fluído são constantes (massa volúmica), simplifica-as

consideravelmente. No caso bidimensional e para coordenadas cartesianas, o escoamento

potencial é descrito por [22]:

xyx ∂∂

−=∂∂

+∂∂

+∂∂ p1uvuu

tu

ρ (6.1)

yyx ∂∂

−=∂∂

+∂∂

+∂∂ p1vvvu

tv

ρ (6.2)

0vu=

∂∂

+∂∂

yx (6.3)


89

É vantajoso, por vezes, combinar as equações do momento de forma a eliminar delas

a variável da pressão, o que se consegue facilmente subtraindo a derivada em xx da

equação (6.2) da derivada em yy da equação (6.1). Tendo em conta a equação da

continuidade (6.3), obtém-se sucessivamente:

0p1vvvutv

xp1uvuu

tu

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

∂∂

−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

∂∂

yyxxyxy ρρ (6.4.a)

0vuvvuu

0

vuvu

0

pp1vut

22

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

∂∂

+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

∂∂

+

+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂

∂−

∂∂∂

+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

∂∂

xyyxyx

yxxyyxyxxy43421444 3444 21

ρ (6.4.b)

Definindo agora a vorticidade ω como:

xy ∂∂

−∂∂

=vuω (6.5)

a equação (6.4.b) fica:

0vut

=∂∂

+∂∂

+∂∂

yxωωω (6.6)

A equação (6.6) estabelece que, num escoamento de fluído perfeito, a vorticidade de

um elemento de volume do fluido se mantém constante. De facto, se o fluido iniciar o seu

movimento a partir do repouso (vorticidade nula em todo o espaço), e se a vorticidade for

nula nas fronteiras, então a vorticidade manter-se-á nula ao longo do tempo em todo o

escoamento. A um escoamento de fluído perfeito (i.e., invíscido), em que a vorticidade é

nula em todo o espaço, 0=ω , chama-se escoamento irrotacional, e tem-se:

0vu=

∂∂

−∂∂

=xy

ω (6.7)

Introduza-se agora o conceito de função de corrente ψ (x,y), definida como a função

que obedece às equações (6.8.a) e (6.8.b) [22]:


90

u=∂∂

yψ (6.8.a)

v−=∂∂

xψ (6.8.b)

As linhas ψ (x, y) = C, sendo C uma constante, e que se denominam por linhas de

corrente, constituem o lugar geométrico dos pontos que, em cada instante, são tangentes ao

vector velocidade, tal como se infere das equações (6.8.a) e (6.8.b).

Note-se que a função de corrente satisfaz a equação da continuidade: basta substituir

as equações (6.8.a) e (6.8.b) na equação (6.3) para se obter uma identidade.

A substituição das equações (6.8.a) e (6.8.b) na equação de definição de vorticidade,

equação (6.7), permite obter a equação de Laplace para a vorticidade, ou seja a equação

regente de um escoamento irrotacional (ver subsecção 2.1):

02

2

2

2

=∂∂

+∂∂

yxψψ (6.9)

Considere-se então o problema de um jacto que embate frontalmente numa parede,

como se mostra na figura 6.1. Apesar de irmos usar coordenadas cartesianas, a figura é

genérica pois refere-se a coordenadas cartesianas ou cilíndricas axissimétricas.

Estabeleça-se então o ponto de partida no programa TEACH-C, que calculará a zona

do escoamento representado na referida figura (rectângulo de altura H e largura W). Uma

velocidade horizontal constante (u = 1,0) é prescrita na fronteira vertical a montante e uma

velocidade vertical também constante (v = 1,0) é prescrita na fronteira horizontal a jusante.

Estas especificações traduzem as condições de fronteira da função de corrente ψ, através

das equações (6.8.a) e (6.8.b). Obviamente que o escoamento não atravessa a parede nem o

eixo de simetria.

Note que neste caso as propriedades do material que se usaram nos problemas de

condução de calor devem ser igualadas à unidade no código TEACH-C para que seja

representativo da equação a simular, a equação (6.9).

Com as condições de fronteira acima explicitadas, o escoamento resultante é

irrotacional e de ponto de estagnação [22], tendo a seguinte solução analítica (note que se

está a admitir que x = 0 corresponde à fronteira vertical a montante):


91

( )WHW xy −

=ψ (6.10)

Recorrendo às equações (6.8.a) e (6.8.b) obtém-se facilmente:

( )

WHWu x−

= (6.11.a)

WHv y= (6.11.b)

O objectivo deste problema é efectuar a simulação deste escoamento recorrendo ao

programa TEACH-C e a comparação dos resultados numéricos com as soluções analíticas.

Note que o código fornece a solução para ψ através da resolução da sua equação

diferencial regente, equação (6.9), mas não fornece as componentes da velocidade u e v.

Para as calcular, deverá programar a sua determinação a partir da solução de ψ convergida,

transformando as equações diferenciais (6.8.a) e (6.8.b) em equações às diferenças finitas.

Sugere-se ainda que se faça um estudo do efeito da malha, analisando três casos:

(i) NI = 12, NJ = 12;

(i) NI = 12, NJ = 8;

(i) NI = 12, NJ = 16.

Figura 6.1 – Escoamento potencial de um jacto contra uma parede.


92

6.2 Problema 2: Escoamento desenvolvido em condutas de secção

não circular

Ao contrário do que acontecia no problema anterior, em que os termos difusivos

eram omitidos, neste caso de um escoamento desenvolvido numa conduta, são os termos

convectivos das equações de Navier-Stokes que são nulos.

De facto, um escoamento laminar desenvolvido no interior de uma conduta, como a

que se mostra na figura 6.2, é regido, para além da equação da continuidade, pela seguinte

forma da equação da componente w da velocidade (na direcção zz), que reduz o problema a

um problema bidimensional (note que as componentes da velocidade, u na direcção xx e v

na direcção yy, são nulas):

0pww=

∂∂

−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

zyyxxμμ (6.12)

em que p é a pressão e μ a viscosidade absoluta (ou dinâmica) do fluido.

A observação da equação (6.12), e a sua comparação com a equação geral do calor

em regime estacionário, 0QTkTk =+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

yyxx, mostra que são equações

equivalentes, desde que se efectuem as seguintes substituições de variáveis:

i) T é substituída por w;

ii) k é substituída por μ;

iii) Q (fonte) é substituída por z∂

∂ p .

Obviamente que a simetria da figura leva a que se simule apenas um quarto da

secção da conduta, como se mostra na figura 6.3. Por outro lado, as condições de fronteira

são também aquelas que constam da referida figura: velocidade w nula nas paredes

(fronteiras norte e oeste) e tensão de corte nulas nos eixos de simetria (fronteiras sul e

este).

As dimensões da conduta são: W = H = 1,0 m.

O gradiente de pressão é: 1mPa1000dxdp −−= .

As propriedades do fluído são: ρ = 0,1 kg m-3 e μ = 0,1 Pa s.


93

Deve obter-se a solução numérica do problema, recorrendo ao código TEACH-C,

usando uma malha não uniforme, com 144 nós, NI = NJ = 12, com expansão em xx dada

por FEXPX = 1,1 e contracção em yy dada por FEXPY = 1,0/ FEXPX.

H

W

w = 0


0=∂∂=

xwμxzτ

y

xz

Figura 6.2 – Conduta de secção não circular [W× H] com escoamento desenvolvido.

A partir da solução convergida, e do conhecimento da área S a secção recta da

conduta, deve determinar-se o caudal mássico ( m& ), a velocidade média na secção

( S/mw ρ&= ), o diâmetro hidráulico ( P/S4Dh = , em que P é o perímetro molhado), o

factor de atrito ( ( )w/f 21

parede ρτ= , em que paredeτ é o valor médio da tensão de corte), e o

número de Reynolds ( μρ /DwRe h= ).

O aluno deverá construir os gráficos que entender pertinentes para analisar os

resultados numéricos.


94

0=∂∂

=xwμτ

0=∂∂

=ywμτ

Figura 6.3 – Conduta de secção não circular [W/2× H/2] com escoamento desenvolvido.

6.3 Problema 3: Difusão de massa em meio estagnado

O processo de difusão de massa tem semelhanças consideráveis com o processo de

difusão de calor. A primeira lei de Fick relaciona o fluxo difusivo de massa de uma espécie

A no seio de outra espécie (B) com o gradiente de concentração (massa de A por unidade

de volume da mistura) da espécie que se difunde. À semelhança da lei de Fourier para o

calor, a lei de Fick é uma lei empírica e estabelece para o fluxo da espécie A [23]:

xx dd

Dj AAB,A

ρ−= (6.13)

em que DAB é a difusividade da espécie A em B [m2s-1] e ρA é a massa da espécie A por

unidade de volume da mistura.

Uma vez que a concentração mássica da espécie A, wA, é definida por (6.14.a), se a

massa volúmica da mistura, ρ (dada por BA ρρρ += ), for constante, tem-se:

ρρA

Aw = (6.14.a)

xx dwd

Dj AAB,A ρ−= (6.14.b)


95

Considere-se agora a situação de um fluido A que se difunde através de um gás B

estagnado, tal como se mostra na figura 6.4.

Figura 6.4 – Difusão em camada estagnada.

A variação do fluxo mássico de B ( xx ,BB,B vn ρ= ), cujas unidades são [kg s-1 m-2], é

nula:

0dnd ,B =

xx (6.15.a)

Cten ,B =x (6.15.b)

Uma vez que o fluido B está estagnado e se, além disso, for insolúvel em A, o valor

da constante da equação (6.15.b) é nulo, traduzindo que não há entrada nem saída do fluido

B no domínio de solução em estudo.

A um fluxo nulo corresponde necessariamente uma velocidade nula que expressa

precisamente a condição de estagnação, i.e.:

0v ,B =x (6.15.c)

Pode demonstrar-se (ver, e.g., [23]) que o fluxo mássico da espécie A é dado por:


96

( )xxxx d

wdDnnwn A

AB,B,AA,A ρ−+= (6.16)

Se estivermos perante um problema de fluxo difusivo em meio estagnado, a equação

(6.15.c) é substituída na equação (6.16) e obtém-se, sucessivamente:

xxx dwd

Dnwn AAB,AA,A ρ−= (6.17.a)

( )xx d

wdDw1n A

ABA,A ρ−=− (6.17.b)

( )A

AAB

,A w1dwd

Dn

−−=

xx

ρ (6.17.c)

A variação do fluxo mássico de A ( xx ,AA,A vn ρ= ), cujas unidades são [kg s-1 m-2], é

nula:

0dnd ,A =

xx (6.18.a)

0x ,A,A nn = (6.18.b)

As equações (6.18.a) e (6.17.c) são as equações a simular numericamente no código

TEACH-C. Note que se substituir a equação (6.17.c) na equação (6.18.a) chega a uma

equação semelhante à equação (2.3). Contudo, o coeficiente da equação resultante, que tem

a forma ( )

0dwd

w1D

dd A

A

AB =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−xx

ρ , não é constante. Estamos pois perante uma situação

semelhante à de condução de calor em que k é função da própria temperatura. Neste caso,

pode supor-se que ( )A

AB

w1D−

é a difusividade efectiva da espécie A.

Integrando a equação (6.17.c), tendo em conta a equação (6.18.b) e que a

concentração mássica da espécie A para x=0 é conhecida (wA,0), obtém-se, sucessivamente

[24]:

( )A

A

AB

,A

w1wdd

Dn

−−=x0

ρ (6.19.a)


97

x0

AB

,A

0,A

A

Dn

w1w1

lnρ

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−− (6.19.b)

Se a camada estagnada do fluído B tiver uma altura L conhecida, então a

concentração mássica da espécie A para x=L, (wA,L), é determinável a partir da equação

(6.19.b):

AB

,A

0,A

L,A

DLn

w1w1

lnρ

0=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

− (6.19.c)

O caso a simular com o código TEACH-C encontra-se representado na figura 6.5.

Suponha que tem uma camada de água (fluido A) a 25 ºC, com 1 mm de altura, no chão de

uma sala à pressão atmosférica e também à temperatura de 25 ºC. O ar ambiente (fluido B)

tem uma humidade absoluta ou específica osecarvapor3 kg/kg102 −×=ω . Admite-se que a

evaporação é exclusivamente realizada por difusão molecular numa camada gasosa

estagnada de 5 mm de altura. Pretende determinar-se a distribuição da concentração

mássica do vapor de água na camada gasosa estagnada e compará-la com a solução

analítica: equação (6.19.b).

São conhecidos os seguintes parâmetros: 124

AB sm1026,0D −−×= 1928 −= kmolekg,PMar

3agua mkg1000 −=ρ

osecarvaporsatur kg/kg31020 −×=ω

Da equação (6.19.c) é possível determinar o valor de 0,An :

0,AAB

0,A

L,A nLD

w1w1

ln =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

− ρ

3

4

3

3

,A 1051026,018,1

109,1811021lnn −

−

−

−

×××

×⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛×−×−

=0

2130 1024876 −−−×= mskg,n ,A

Nos cálculos anteriores usou-se 35

ar mkg18,12983,8314

9,2810013,1 −=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛×××

=ρ .


98

O problema deve ser simulado unidimensionalmente com uma malha uniforme de

3×12 nós (NI×NJ), fazendo depois NJ variar para 18 e 24 nós para estudar a influência da

malha.

O aluno deverá construir os gráficos que entender pertinentes para analisar os

resultados numéricos, particularmente no que se refere à comparação destes com os da

solução analítica.

Figura 6.5 – Geometria do problema a estudar.


99

REFERÊNCIAS

[1] Gosman, AD, Launder, BE e Reece, GJ, Computer-Aided Engineering. Heat

Transfer and Fluid Flow, Ellis Horwood Limited, Chichester, England, 1985.

[2] Moran, MJ e Shapiro, HN, Fundamentals of Engineering Thermodynamics, John

Wiley & Sons, 1993.

[3] Arpaci, SV, Conduction Heat Transfer, Addinson-Wesley Publishing Corporation,

1966.

[4] Carlslaw, HS, Jaeger, JC, Conduction of Heat in Solids, Oxford University Press,

1959.

[5] Gebhart B, Heat Conduction and Mass Diffusion, McGraw-Hill, 1993.

[6] Incropera, FP, De Witt, DP, Fundamentals of Heat and Mass Transfer, John Wiley &

Sons, 1990.

[7] Patankar, SV, Numerical Heat Transfer and Fluid Flow, Hemisphere Publishing

Corporation, 1982.

[8] Smith, GD, Numerical Solution of Partial Differential Equations. Finite Difference

Methods, Oxford University Press, 1978.

[9] Mitchell, AR, Computational Methods in Partial Differential Equations, John Wiley

& Sons, 1969.

[10] Patankar, SV, Baliga BR, A new finite-difference scheme for parabolic differential

equations, Numerical Heat Transfer, vol. 1, p. 27, 1978.

[11] Cavaca, H, Caldas, M, Semião, V, Temperature distribution around polar habitation

modules buried in ice: numerical modelling, Cold Regions Science and Technology,

vol. 3, p. 45, 2001.


100

[12] Cavaca, H, Transferência de Calor por Condução para o Solo Contíguo a Edifícios

Situados em Regiões de Clima Polar, Trabalho Final de Curso, Departamento de

Engenharia Mecânica, Instituto Superior Técnico, 1999.

[13] Pina, H, Métodos Numéricos, McGraw-Hill, 1995.

[14] Young, DM, Iterative Solution of Large Linear Systems, Academic Press, 1971.

[15] Varga, RS, Matrix Iterative Analysis, Prentice-Hall, 1962.

[16] Westlake, JR, A Handbook of Numerical Matrix Inversion and Solution of Linear

Equations, John Wiley & Sons, 1968.

[17] Scarborough, JB, Numerical Mathematical Analysis, John Hopkins Press, 1958.

[18] Peaceman, DW, Rachford, HH, The numerical solution of parabolic and elliptic

differential equations, Journal of the Society of Industrial Applied Mathematics, vol.

3, p. 28, 1965.

[19] Stone, HL, Iterative solution of implicit approximations of multi-dimensional partial

differential equations, SIAM Journal of Numerical Analysis, vol. 5, p. 530, 1968.

[20] Anderson, DA, Tannehill, JC, Pletcher, RH, Computational Fluid Mechanics and

Heat Transfer, Hemisphere Publishing Corporation, 1984.

[21] Thompson, JF, Thames, FC, Mastin, CW, Automatic numerical generation of body-

fitted curvilinear coordinate system for fields containing any number of arbitrary

two-dimensional bodies, Journal of Computational Physics, vol. 15, p. 299, 1974.

[22] Brederode, V, Fundamentos de Aerodinâmica Incompressível, Edição do autor,

1997.

[23] Bird, RB, Stewart, WE, Lightfoot, EN, Transport Phenomena, John Wiley & Sons,

1969.

[24] Pinho, MN, Prazeres, DM, Afonso, MD, Transferência de Massa, AEIST, 1996.


101

APÊNDICE

1

LISTAGEM DO PROGRAMA TEACH-C

Neste apêndice apresenta-se a listagem do programa TEACH-C, dividida pelos seguintes

módulos de programação:

1 – PROGRAMA PRINCIPAL

2 – SUBROUTINE PROPS

3 – SUBROUTINE INIT

4 – SUBROUTINE CALCT

5 – SUBROUTINE SOLVE

6 – SUBROUTINE PROMOD

7 –SUBROUTINE PRINT


102

1 – PROGRAMA PRINCIPAL

PROGRAM TEACHC IMPLICIT NONE

C C********************************************************************** C * C PROGRAM RINCIPAL * C * C********************************************************************** C C------CAPÍTULO 0 - PRELIMINARES C

REAL::GREAT,PI,URFT,SORMAX,SNORM,DT,TIME,SOURCE,TTOP,TBOT,TLEFT, 1 TRIGHT,W,H,BK,AK,RESORT INTEGER,PARAMETER::IT=22,JT=22,NI=22,NJ=22 REAL,DIMENSION(NI,NJ)::TCON,T,TOLD,CV,DENSIT,GAMH REAL,DIMENSION(NI)::X,DX,RX,DXEP,DXPW,SEW,XU,RU REAL,DIMENSION(NJ)::Y,DY,RY,DYPS,DYNP,SNS,YV,RV,

1 AN,AS,AE,AW,SU,SP INTEGER,DIMENSION(NI)::JS,JN INTEGER::NIM1,NJM1,I,J,IMON,JMON,MAXIT,MAXSTP,NSTEP,NITER,K INTEGER::NITPRI,NSTPRI LOGICAL::INPRO,INTIME,INCYLX,INCYLY

C C------DEFINIR VALORES C

GREAT=1.0E30 PI=4.0*ATAN(1.0)

C C------CAPÍTULO 1 - PARAMETROS E INDICES DE CONTROLO C C------ESPECIFICAR A MALHA C------ESTABELECER COORDENADAS CARTESIANAS OU CILINDRICAS AXIXXIMETRICAS C------FAZENDO INCYLX/INCYLY=.FALSE./.TRUE.

INCYLX=.FALSE. INCYLY=.FALSE.

C NIM1=NI-1 NJM1=NJ-1

C C DIMENSÕES TOTAIS DO DOMÍNIO DE SOLUÇÃO (W-LARGURA/H-ALTURA [m]) C

W=1.0 H=1.0

C C------CALCULA ABCISSAS NA DIRECÇÃO XX

DX(1)=W/(NIM1-1) X(1)=-0.5*DX(1) DO I=2,NI DX(I)=DX(1) X(I)=X(I-1)+DX(I-1) END DO

C------CALCULA ORDENADAS NA DIRECÇÃO YY DY(1)=H/(NJM1-1) Y(1)=-0.5*DY(1) DO J=2,NJ DY(J)=DY(1) Y(J)=Y(J-1)+DY(J-1) END DO

C------ESTABELECE LIMITES DO DOMINIO DO I=1,NI JS(I)=2 JN(I)=NJ-1 END DO

C------ESTABELECE PONTO MONITOR IMON=6 JMON=6


103

C C------PROPRIEDADES DO MATERIAL

DO I=1,NI DO J=1,NJ TCON(I,J)=14.68 CV(I,J)=485.67 DENSIT(I,J)=7800.0 IF(I.EQ.1.AND.J.EQ.1) THEN BK=TCON(I,J) ENDIF END DO END DO

C C------PARAMETROS DE CONTROLO DO PROGRAMA

MAXIT=100 MAXSTP=20 NITPRI=110 NSTPRI=1

C------FACTOR DE SUB-RELAXAÇÃO,MAXIMO RESIDUO E INTERVALO DE TEMPO [s] URFT=1.0 SORMAX=0.001 DT=50.0

C C------SELECCIONA OPÇÃO ESTACIONARIO (INTIME=.FALSE.) OU OPÇÃO C------NÃO-ESTACIONÁRIO (INTIME=.TRUE.)

INTIME=.TRUE. IF (.NOT.INTIME) THEN MAXSTP=1 ENDIF

C------SELECCIONA OPÇÃO PROPRIEDADES CONSTANTES (INPRO=.FALSE.) C------OU OPÇÃO PROPRIEDADES VARIAVEIS (INPRO=.TRUE.)

INPRO=.FALSE. C C------CAPÍTULO 2 - OPERAÇÕES INICIAIS C C------CALCULA DIMENSÕES DA MALHA E ANULA VECTORES/MATRIZES

CALL INIT(NI,NJ,NIM1,NJM1,RX,DXEP,DXPW,SEW,XU,RU,RY,DYPS, 1 DYNP,SNS,YV,RV,AN,AS,AE,AW,SU,SP,GAMH,TOLD,T,INCYLX,INCYLY) TIME =0.0

C C------IMPOR VALORES DE FRONTEIRA E INICIALIZAR VARIAVEL DEPENDENTE C C------ESTE CASO NÃO PRECISA INICIALIZAR C------T(I,J)=0 EM TODOS OS NÓS C C------VALORES DE FRONTEIRA C

TTOP=100.0 TBOT=0.0 TLEFT=0.0 TRIGHT=0.0 DO I=2,NIM1 T(I,1)=TBOT T(I,NJ)=TTOP END DO DO J=2,NJM1 T(1,J)=TLEFT T(NI,J)=TRIGHT END DO

C C------INICIALIZAR VARIAVEL DEPENDENTE C------INICIALIZAR CAMPO DE PROPRIEDADES DO MATERIAL C

CALL PROPS(NI,NJ,GAMH,TCON) C C------CALCULA FACTOR DE NORMALIZAÇÃO DO RESIDUO C

AK=BK SNORM=AK*(TTOP-TBOT)*W/H SNORM=ABS(SNORM)


104

C C------ESCREVER ESPECIFICAÇÕES DO PROBLEMA

WRITE(10,2900) H,W,DT,SNORM,NI,NJ CALL PRINT(1,1,NI,NJ,IT,JT,X,Y,T)

C C------CAPTÍTULO 3 - ITERAÇÕES NO TEMPO E NO ESPAÇO C

WRITE(10,3000)IMON,JMON C C------ITERAÇÕES NO TEMPO

DO NSTEP=1,MAXSTP TIME=TIME+DT DO I=1,NI DO J=1,NJ TOLD(I,J)=T(I,J) END DO END DO

C C------ITERAÇÕES NO ESPAÇO

DO NITER=1,MAXIT C C------CALCULA TEMPERATURAS

CALL CALCT(NI,NJ,NIM1,NJM1,DXEP,RU,RX,SEW,DYNP,RV,RY,SNS,AS, 1 AN,AW,AE,SU,SP,GAMH,CV,DENSIT,T,TOLD,URFT,JS,JN,INTIME,RESORT)

C C------CALCULA PROPRIEDADES DO MATERIAL

IF (INPRO)THEN CALL PROPS(NI,NJ,GAMH,TCON) ENDIF

C C------ACTUALIZA CONDIÇÕES FRONTEIRA E FONTES SE NECESSARIO C C------CALCULA RESIDUO NORMALIZADO

SOURCE=RESORT/SNORM C C------ESCREVE INFORMAÇÃO DAS ITERAÇÕES DO PONTO MONITOR

WRITE(10,3700) NITER,SOURCE,T(IMON,JMON),TIME,DT,NSTEP C------ESCREVE TEMPERATURAS EM INTERVALOS ESPECIFICADOS POR NITPRI

IF (MOD(NITER,NITPRI).EQ.0) THEN CALL PRINT (1,1,NI,NJ,IT,JT,X,Y,T) IF (NSTEP.NE.MAXSTP.OR.SOURCE.GT.SORMAX) WRITE(10,3000) IMON,JMON ENDIF

C C------TESTA RESIDUO DO PROCESSO ITERATIVO

IF (SOURCE.LT.SORMAX) GOTO 9997 C C--------------TERMINA CALCULOS SE NÃO CONVERGE (MAXIT E RESÍDUO > 10)

IF (NITER.GE.MAXIT.AND.SOURCE.GE.10) THEN WRITE(10,3900) STOP END IF

C C------TERMINA CICLO NO ESPAÇO C

END DO C 9997 CONTINUE C------ESCREVE SOLUÇÃO CONVERGIDA NO INTERVALO ESPECIFICADO POR NSTPRI

IF (MOD(NSTEP,NSTPRI).EQ.0.AND.MOD(NITER,NITPRI).NE.0) THEN CALL PRINT (1,1,NI,NJ,IT,JT,X,Y,T) ENDIF IF (NSTEP.NE.MAXSTP) WRITE(10,3000) IMON,JMON

C------TERMINA CICLO TEMPO END DO

C STOP


105

C C------FORMAT STATMENTS C 2900 FORMAT(/44X,9HTEACH-C //15X,65HCONDUCTION IN RECTANGULAR BAR WITH

1 PRESCRIBED SURFACE TEMPERATURE// 1 /16X,40H HEIGHT, H ----------------------------=,0PF10.4,2H M 1 /16X,40H WIDTH, W -----------------------------=,F10.4,2H M 1 /16X,40H INITIAL TIME STEP, DT ----------------=,F10.4,2H S 1 /16X,40H SOURCE NORMALISATION FACTOR, SNORM ---=,F06.0 1 /16X,40H NUMBER OF NODES IN X DIRECTION, NI ---=,2X,I3 1 /16X,40H NUMBER OF NODES IN Y DIRECTION, NJ ---=,2X,I3)

3000 FORMAT(//17X,5HNITER,3X,6HSOURCE,5X,2HT(,I2,1H,,I2,1H),4X, 1 7HTIME(S),5X,5HDT(S),7X,5HNSTEP)

3700 FORMAT (1H ,16X,I3,1P4E12.3,6X,I3) 3900 FORMAT (//12X,49H** CAUTION ** CONVERGENCE CRITERION NOT SATISFIED

1 ,/25X,39H WHEN PROGRAM TERMINATED AT NITER=MAXIT) C

CONTAINS C

2 – SUBROUTINE PROPS C***********************************************************************

SUBROUTINE PROPS(NI,NJ,GAMH,TCON) C C------CALCULA PROPRIDADES DO MATERIAL C C------CAPÍTULO 0 - PRELIMINARES C

INTEGER,INTENT(IN)::NI,NJ REAL,DIMENSION(NI,NJ),INTENT(INOUT)::GAMH REAL,DIMENSION(NI,NJ),INTENT(IN)::TCON

C C------CAPÍTULO 1 - ACTUALIZA PROPRIEDADES

DO I=1,NI DO J=1,NJ GAMH(I,J)=TCON(I,J) END DO END DO

C END SUBROUTINE PROPS

3 – SUBROUTINE INIT C*********************************************************************** C

SUBROUTINE INIT (NI,NJ,NIM1,NJM1,RX,DXEP,DXPW,SEW,XU,RU,RY,DYPS, 1 DYNP,SNS,YV,RV,AN,AS,AE,AW,SU,SP,GAMH,TOLD,T,INCYLX,INCYLY)

C C------OPERAÇÕES DE INICIALIZAÇÃO C C------CAPÍTULO 0 - PRELIMINARES C

INTEGER,INTENT(IN)::NI,NJ, NIM1,NJM1 REAL,DIMENSION(NI,NJ),INTENT(INOUT)::GAMH,TOLD,T REAL,DIMENSION(NI),INTENT(OUT)::RX,DXEP,DXPW,SEW,XU,RU REAL,DIMENSION(NJ),INTENT(OUT)::RY,DYPS,DYNP,SNS,YV,RV, 1 AN,AS,AE,AW,SU,SP INTEGER::I,J LOGICAL,INTENT(IN)::INCYLX,INCYLY


106

C C------CAPÍTULO 1 - ERRO DE DADOS: TERMINA PROGRAMA SE C------INCYLX E INCYLY TIVEREM AMBOS O VALOR .TRUE. C

IF (INCYLX.AND.INCYLY) THEN WRITE (10,3900) STOP

3900 FORMAT (//10X,37H INCYLX AND INCYLY BOTH SET TO .TRUE. 1 //16X,26H*** PROGRAM TERMINATED ***) ELSE

C C------CAPÍTULO 2 - CALCULA DIMENSÕES DA MALHA C------IMPOE RX=X SE AXISSIMETRICO NA DIRECÇÃO XX C

DO I=1,NI RX(I)=1.0 IF (INCYLX) THEN RX(I)=X(I) ENDIF END DO

C------IMPOE RY=Y SE AXISSIMETRICO NA DIRECÇÃO YY DO J=1,NJ RY(J)=1.0 IF (INCYLY) THEN RY(J)=Y(J) ENDIF END DO

C------CALCULA DISTANCIAS ENTRE NOS DXPW(1)=0.0 DXEP(NI)=0.0 DO I=1,NIM1 DXEP(I)=X(I+1)-X(I) DXPW(I+1)=DXEP(I) END DO DYPS(1)=0.0 DYNP(NJ)=0.0 DO J=1,NJM1 DYNP(J)=Y(J+1)-Y(J) DYPS(J+1)=DYNP(J) END DO

C------CALCULA DIMENSÕES DOS VOLUMES DE CONTROLO SEW(I)=0.0 SEW(NI)=0.0 DO I=2,NIM1 SEW(I)=0.5*(DXEP(I)+DXPW(I)) END DO SNS(1)=0.0 SNS(NJ)=0.0 DO J=2,NJM1 SNS(J)=0.5*(DYNP(J)+DYPS(J)) END DO

C------LOCALIZA FRONTEIRAS DOS VOLUMES DE CONTROLO XU(1)=0.0 RU(1)=0.0 DO I=2,NI RU(I)=0.5*(RX(I)+RX(I-1)) XU(I)=0.5*(X(I)+X(I-1)) END DO YV(1)=0.0 RV(1)=0.0 DO J=2,NJ RV(J)=0.5*(RY(J)+RY(J-1)) YV(J)=0.5*(Y(J)+Y(J-1)) END DO


107

C------MODIFICA VALORES DE FRONTEIRA DE X E DE Y X(1)=XU(2) IF (X(1).LT.(XU(NI)-XU(2))*1.0E-3) X(1)=0.0 X(NI)=XU(NI) Y(1)=YV(2) IF (Y(1).LT.(YV(NJ)-YV(2))*1.0E-3) Y(1)=0.0 Y(NJ)=YV(NJ)

C C------CAPÍTULO 3 - INICIALIZA MATRIZES A ZERO C

DO J=1,NJ AE(J)=0.0 AW(J)=0.0 AN(J)=0.0 AS(J)=0.0 SU(J)=0.0 SP(J)=0.0 DO I=1,NI GAMH(I,J)=0.0 TOLD(I,J)=0.0 T(I,J)=0.0 END DO END DO ENDIF

C END SUBROUTINE INIT

C

4 – SUBROUTINE CALCT C***********************************************************************

SUBROUTINE CALCT(NI,NJ,NIM1,NJM1,DXEP,RU,RX,SEW,DYNP,RV,RY,SNS,AS, 1 AN,AW,AE,SU,SP,GAMH,CV,DENSIT,T,TOLD,URFT,JS,JN,INTIME,RESORT)

C C------CAPÍTULO 0 - PRELIMINARES C

INTEGER,INTENT(IN)::NI,NJ, NIM1,NJM1 REAL,DIMENSION(NI),INTENT(IN)::RX,DXEP,SEW,RU REAL,DIMENSION(NJ),INTENT(IN)::RY,DYNP,SNS,RV REAL,DIMENSION(NJ),INTENT(INOUT)::AN,AS,AE,AW,SU,SP REAL,DIMENSION(NI,NJ),INTENT(INOUT)::GAMH,CV,DENSIT,TOLD,T REAL,INTENT(IN)::URFT REAL,INTENT(OUT)::RESORT INTEGER,DIMENSION(NI),INTENT(IN)::JS,JN REAL,DIMENSION(NJ)::AP REAL::AREAN,AREAE,VOL,DP,DN,DE,RESOR,GAME,GAMN INTEGER::I,J,IL,LJS,LJN LOGICAL,INTENT(IN)::INTIME

C C------CAPÍTULO 1 - CALCULA COEFFICIENTES C

RESORT=0.0 C------CICLO PELAS COLUNAS I=CTE

DO I=2,NIM1 C------ENCONTRA LIMITES JJ INFERIOR E SUPERIOR PARA COLUNA I=CTE

LJS=JS(I) LJN=JN(I)

C------CALCULA COEFICIENTES PARA TODA A COLUNA I=CTE DO J=LJS,LJN

C------DETERMINA AREAS E VOLUME AREAN=RV(J+1)*SEW(I)*RX(I) AREAE=RY(J)*SNS(J)*RU(I+1) VOL=RY(J)*SNS(J)*SEW(I)*RX(I)


108

C------CALCULA COEFICIENTES DE DIFUSÃO GAMN=0.5*(GAMH(I,J)+GAMH(I,J+1)) GAME=0.5*(GAMH(I,J)+GAMH(I+1,J)) DN=GAMN*AREAN/DYNP(J) DE=GAME*AREAE/DXEP(I)

C------TERMOS DE FONTE QUANDO EXISTENTES SU(J)=0.0 SP(J)=0.0

C------COEFICIENTES TRANSIENTES IF (INTIME) THEN DP=VOL*CV(I,J)*DENSIT(I,J)/DT SU(J)=SU(J)+DP*TOLD(I,J) SP(J)=SP(J)-DP ENDIF

C------CALCULA COEFICIENTES AN(J)=DN AS(J)=AN(J-1) AW(J)=AE(J) AE(J)=DE END DO

C IL=I

C C------CAPÍTULO 2 - MODIFICAÇÕES DO PROBLEMA: CONDIÇÕES DE FRONTEIRA C

CALL PROMOD(NI,NJ,NIM1,NJM1,IL,RV,YV,Y,SNS,SEW,X,XU, 1 AN,AS,AE,AW,SU,SP,GAMH,T)

C C------CAPÍTULO 3 - COEFICIENTES FINAIS + RESÍDUO C

DO J=LJS,LJN AP(J)=AN(J)+AS(J)+AE(J)+AW(J)-SP(J) RESOR=AN(J)*T(I,J+1)+AS(J)*T(I,J-1)+AE(J)*T(I+1,J)

1 +AW(J)*T(I-1,J)-AP(J)*T(I,J)+SU(J) VOL=RY(J)*SEW(I)*SNS(J)*RX(I)

C------MODIFICA RESOR SE CONDIÇÕES DE FRONTEIRA SAO C------APLICADAS COM RECURSO A SP=-GREAT

IF (-SP(J).GT.0.5*GREAT) THEN RESOR=RESOR/GREAT ENDIF

C------SOMA RESÍDUO PARA ESTA COLUNA I=CTE RESORT=RESORT+ABS(RESOR)

C------SUB-RELAXATÇÃO AP(J)=AP(J)/URFT SU(J)=SU(J)+(1.0-URFT)*AP(J)*T(I,J) END DO

C C------CAPÍTULO 4 - SOLUÇÃO DAS EQUAÇÕES ALGÉBRICAS C C------EFECTUA ITERAÇÃO LINHA A LINHA

CALL SOLVE (NI,NJ,IL,LJS,LJN+1,T,AN,AS,AE,AW,AP,SU,SP) END DO

C END SUBROUTINE CALCT

C

5 – SUBROUTINE SOLVE C***********************************************************************

SUBROUTINE SOLVE (NI,NJ,IL,JSTART,JEND,PHI,AN,AS,AE,AW,AP,SU,SP) C C------ALGORITMO DE THOMA: TDMA C C------CAPÍTULO 0 - PRELIMINARES C

INTEGER,INTENT(IN)::JSTART,JEND,NI,NJ,IL REAL,DIMENSION(NI,NJ),INTENT(INOUT)::PHI REAL,DIMENSION(NJ),INTENT(IN)::AP,AN,AS,AE,AW,SU,SP REAL,DIMENSION(NJ)::A,B,C,D REAL::DIV,TERM INTEGER::JENDM1,JSTM1,J,JJ,I


109

C C------CAPÍTULO 1 - PROCESSO DE ITERAÇÃO LINHA A LINHA C

JENDM1=JEND-1 JSTM1=JSTART-1

C C------INICIALIZAÇÃO

DO J=JSTART,JEND A(J)=0.0 B(J)=0.0 C(J)=0.0 D(J)=0.0 END DO

C C

A(JSTM1)=0.0 I=IL C(JSTM1)=PHI(I,JSTM1)

C DO J=JSTART,JENDM1

C------ASSEMBLE TDMA COEFFICIENTS A(J)=AN(J) B(J)=AS(J) C(J)=AE(J)*PHI(I+1,J)+AW(J)*PHI(I-1,J)+SU(J) D(J)=AP(J)

C------CALCULATE COEFFICIENTS OF RECURRENCE FORMULA DIV=D(J)-B(J)*A(J-1) TERM=1.0/DIV A(J)=A(J)*TERM C(J)=(C(J)+B(J)*C(J-1))*TERM END DO

C------OBTEM NOVOS PHI'S POR SUBSTITUIÇÃO PARA TRÁS DO JJ=JSTART,JENDM1 J=JEND+JSTM1-JJ PHI(I,J)=A(J)*PHI(I,J+1)+C(J) END DO END SUBROUTINE SOLVE

C

6 – SUBROUTINE PROMOD C***********************************************************************

SUBROUTINE PROMOD(NI,NJ,NIM1,NJM1,IL,RV,YV,Y,SNS,SEW,X,XU, 1 AN,AS,AE,AW,SU,SP,GAMH,T)

C C------MODIFICAÇÕES DO PROBLEMA C C------CAPÍTULO 0 - PRELIMINARES C

INTEGER,INTENT(IN)::NI,NJ, NIM1,NJM1,IL REAL,DIMENSION(NJ),INTENT(IN)::RV,YV,Y,SNS REAL,DIMENSION(NI),INTENT(IN)::SEW,X,XU REAL,DIMENSION(NJ),INTENT(INOUT)::AN,AS,AE,AW,SU,SP REAL,DIMENSION(NI,NJ),INTENT(IN)::GAMH,T REAL::DXW,DXE,RDYN,DN,DS,DW,DE,RDYS INTEGER::I

C C------CAPÍTULO 1 - ENERGIA TÉRMIC: TEMPERATURA C

I=IL C-------FRONTEIRA NORTE

RDYN=RV(NJ)/(YV(NJ)-Y(NJM1)) AN(NJM1)=0.0 DN=GAMH(IL,NJM1)*SEW(IL)*RDYN SU(NJM1)=SU(NJM1)+DN*T(IL,NJ) SP(NJM1)=SP(NJM1)-DN

C-------FRONTEIRA SUL RDYS=RV(2)/(Y(2)-YV(2)) AS(2)=0.0 DS=GAMH(IL,2)*SEW(IL)*RDYS SU(2)=SU(2)+DS*T(IL,1) SP(2)=SP(2)-DS


110

C-------FRONTEIRA OESTE IF (IL.EQ.2) THEN DXW=X(2)-XU(2) DO J=2,NJM1 AW(J)=0.0 DW=GAMH(IL,J)*SNS(J)*RY(J)/DXW SU(J)=SU(J)+DW*T(1,J) SP(J)=SP(J)-DW END DO ENDIF

C-------FRONTEIRA ESTE IF (IL.EQ.NIM1) THEN DXE=XU(NI)-X(NIM1) DO J=2,NJM1 AE(J)=0.0 DE=GAMH(IL,J)*SNS(J)*RY(J)/DXE SU(J)=SU(J)+DE*T(NI,J) SP(J)=SP(J)-DE END DO ENDIF END SUBROUTINE PROMOD

C

7 – SUBROUTINE PRINT C***********************************************************************

SUBROUTINE PRINT (ISTART,JSTART,IEND,JEND,IT,JT,X,Y,PHI) C C------IMPRESSÃO DE VARIÁVEIS CALCULADASW C C------CAPÍTULO 0 - PRELIMINARES C

INTEGER,INTENT(IN)::ISTART,JSTART,IEND,JEND,IT,JT REAL,DIMENSION(NJ),INTENT(IN)::Y REAL,DIMENSION(NI),INTENT(IN)::X REAL,DIMENSION(NI,NJ),INTENT(IN)::PHI REAL,DIMENSION(NI)::STORE REAL::A INTEGER::ISKIP,JSKIP,LINLIM,LINSTA,LINEND,JJ,J,IS,I

C C------CAPÍTULO 1 - INICIALIZAÇÃO E CABEÇALHOS C

ISKIP=1 JSKIP=1 LINLIM=8 LINSTA=ISTART

C------ESCREVE CABEÇALHO DA MATRIZ WRITE(10,1800)

C------ESCREVE CABEÇALHOS DAS LINHAS 1100 CONTINUE

LINEND=LINSTA+(LINLIM-1)*ISKIP LINEND=MIN0(IEND,LINEND) WRITE(10,1810) (I,I=LINSTA,LINEND,ISKIP)

C C------CAPÍTULO 2 - ESCREVE MATRIZ PHI C

WRITE(10,1900) DO JJ=JSTART,JEND,JSKIP J=JSTART+JEND-JJ IS=0 DO I=LINSTA,LINEND,ISKIP A=PHI(I,J) IF (ABS(A).LT.1.0E-20) A=0.0 IS=IS+1 STORE(IS)=A END DO WRITE(10,1820) J,Y(J),(STORE(I),I=1,IS) END DO WRITE(10,2900) (X(I),I=LINSTA,LINEND,ISKIP) LINSTA=LINEND+ISKIP IF (LINEND.LT.IEND) GOTO 1100


111

C C--------FORMATS 1800 FORMAT (//1X,15(2H*-),2X,16H TEMPERATURA (C),2X,15(2H-*)) 1810 FORMAT (//10X,5H I =,2X,I2,7(8X,I2)) 1820 FORMAT(1H ,I3,F9.4,8(0PE10.3)) 1900 FORMAT (3H J,6X,3HY =) 2900 FORMAT (/10X,4H X =,0PF9.4,7F10.4)

END SUBROUTINE PRINT C*********************************************************************** C

END PROGRAM TEACHC


112

APÊNDICE

2

SÍMBOLOS EM FORTRAN E SIGNIFICADO

DAS PRINCIPAIS VARIÁVEIS DO PROGRAMA

TEACH-C

Neste apêndice apresenta-se a listagem dos símbolos em FORTRAN e do significado das

principais variáveis do programa TEACH-C.


113

SIMBOLO EM FORTRAN SIGNIFICADO

A(J) Coeficiente aj na equação do TDMA

AE(J) Coeficiente AE na equação discretizada

AN(J) Coeficiente AN na equação discretizada

AP(J) Coeficiente AP na equação discretizada

AS(J) Coeficiente AS na equação discretizada

AW(J) Coeficiente AW na equação discretizada

B(J) Coeficiente bj na equação doo TDMA

C(J) Coeficiente cj na equação do TDMA

CV Calor específico a pressão constante

D(J) Coeficiente dj na equação do TDMA

DENSIT Massa volúmica do material, ρ

DT Passo no tempo, δt

DXEP(I) Distância na direcção xx entre dois nós consecutivos E e P:

δxEP = X(I+1)-X(I)

DXPW(I) Distância na direcção xx entre dois nós consecutivos W e P:

δxPW = X(I)-X(I-1)

DYNP(J) Distância na direcção yy entre dois nós consecutivos N e P:

δyNP = Y(J+1)-Y(J)

DYPS(J) Distância na direcção yy entre dois nós consecutivos S e P:

δyPS = Y(J)-Y(J-1)

GAMH(I,J) Condutibilidade térmica k local no nó P(I,J)

GREAT Número suficientemente grande, γ = 1030, utilizado para fixar

a temperatura num nó P(I,J)

H Altura H da barra rectangular

I Índice para designar a posição axial na malha

IMON Índice de um ponto do domínio de solução, para o qual a

temperatura é escrita em cada iteração

INCYLX Variável lógica para seleccionar coordenadas cilíndricas com

a coordenada radial na direcção xx (INCYLX = .TRUE.)

INCYLY Variável lógica para seleccionar coordenadas cilíndricas com

a coordenada radial na direcção yy (INCYLY = .TRUE.)


114

INPRO Variável lógica que dita se a condutibilidade térmica é ou não

recalculada, por não ser constante, de acordo com:

INPRO = .TRUE., é recalculada

INPRO =.FALSE., não é recalculada

INTIME Variável lógica que selecciona se o problema é não-

estacionário ou estacionário de acordo com:

INTIME = .TRUE., não estacionário

INTIME =.FALSE., estacionário

IT Dimensão de I em todas as matrizes bidimensionais

J Índice para designar a posição radial na malha

JMON Índice J de um ponto do campo, para o qual a temperatura é

escrita em cada iteração

JN(I) Matriz contendo o número da linha horizontal da malha que

define o limite superior do domínio de solução para cada

linha vertical da malha

JS(I) Matriz contendo o número da linha horizontal da malha que

define o limite inferior do domínio de solução para cada linha

vertical da malha

JT Dimensão de J em todas as matrizes bidimensionais

MAXIT Número máximo de iterações espaciais permitido para cada

passo no tempo

MAXSTP Número total de passos no tempo

NI Número total de linhas verticais da malha

NIM1 NIM1 = NI-1

NITER Contador das iterações espaciais já efectuadas

NITPRI Intervalo, medido em número de iterações, para o qual o

campo de temperaturas é escrito no processo iterativo

NJ Número total de linhas horizontais da malha

NJM1 NJM1 = NJ-1

NSTEP Contador do número de passos no tempo já efectuados

NSTPRI Intervalo medido em passos no tempo, para o qual a solução

convergente é impressa

PI π ( = 3.14159....)


115

RESORT Somatório dos valores absolutos dos resíduos da equação de

energia

RU(I) Distância radial do eixo de simetria à fronteira oeste do

volume de controlo de P (I,J), quando INCYLX = .TRUE.

RV(J) Distância radial do eixo de simetria à fronteira sul do volume

de controlo de P(I,J), quando INCYLY =.TRUE.

RX(I) Distância radial a que o nó P(I,J) se encontra do eixo de

simetria, quando INCYLX = .TRUE.

RY(J) Distância radial a que o nó P(I,J) se encontra do eixo de

simetria, quando INCYLY = .TRUE.

SEW(I) Dimensão axial do volume de controle de P(I,J)

SNORM Fluxo de calor normalizador característico do problema

SNS(J) Dimensão radial do volume de controle P(I,J)

SOURCE Resíduo total normalizado

SORMAX Valor preestabelecido do resíduo total normalizado, para o

qual a solução é considerada convergente

SP(J) Coeficiente SP na equação discretizada

SU(J) Coeficiente SU na equação discretizada

T(I,J) Temperatura no passo de tempo actual

TBOT Temperatura do lado de baixo da barra rectangular

TCON Condutibilidade térmica de referência

TIME Valor do tempo t total para o qual os cálculos são efectuados

TLEFT Temperatura do lado esquerdo da barra rectangular

TOLD(I,J) Temperaturas no passo de tempo anterior

TRIGHT Temperatura do lado direito da barra rectangular

TTOP Temperatura do lado de cima da barra rectangular

URFT Factor de sub-relaxação α

W Largura W da barra rectangular

X(I) Coordenada horizontal, i.e. abcissa, do nó P(I,J)

XU(I) Coordenada horizontal, i.e. abcissa, da fronteira oeste do

volume de controle de P(I,J)

Y(J) Coordenada vertical, i.e. ordenada, do nó P(I,J)

YV(J) Coordenada vertical, i.e. ordenada, da fronteira sul do

volume de controle de P(I,J).

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