MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia –...

157
MÉTODOS QUANTITATIVOS MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – Prof. Msc. Fábio Maia – [email protected] [email protected]

Transcript of MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia –...

Page 1: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com.

MÉTODOS QUANTITATIVOS MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE APLICADOS A GESTÃO DE

NEGÓCIOSNEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – Prof. Msc. Fábio Maia – [email protected]@hotmail.com

Page 2: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com.

O que é Estatística?O que é Estatística?A Estatística basicamente se divide em 3 partes, a

saber:

• Estatística Descritiva: Essa parte da Estatística utiliza números para descrever fatos. Compreende a coleta, a organização, o resumo e, em geral, a simplificação de informações que podem ser muito complexas.

• Probabilidade: É utilizada para analisar situações que envolvem o acaso.

• Inferência: Diz respeito a coleta, redução, análise e interpretação de dados amostrais, a partir do que, tira-se conclusões sobre a população na qual os dados (amostra) foram obtidos.

Page 3: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com.
Page 4: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com.

EstatísticaEstatística

Resumidamente, podemos dizer que a estatística é uma parte da matemática aplicada que fornece métodos para coleta, organização, descrição, análise e interpretação de dados, para a utilização dos mesmos na tomada de decisões.

Page 5: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com.

23

24

734217

22 3335

36

3021

18

29

28

28

17

2222

28

33

2822

2918

18

Distribuição das idades dos funcionários

idadenúm

ero

de funcio

nários

0

2

4

6

8

10

12

14

10 20 30 40 50 60 70

A estatística envolve técnicas para coletar, organizar, descrever, analisar e interpretar dados, ou provenientes de experimentos, ou vindos de estudos

observacionais.

A EstatísticaA Estatística

Page 6: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com.

Etapas da Analise Estatística

Page 7: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com.

Em Estatística, variável é atribuição de um número a cada característica da unidade experimental de uma amostra ou população.

Tipos de VariáveisTipos de Variáveis

Vários tipos de variáveis são encontradas no dia-a-dia, sendo importante a distinção entre as mesmas.Quando uma característica ou variável é não-numérica, denomina-se variável qualitativa ou atributo.

Quando a variável é expressa numericamente, denomina-se variável quantitativa.

Page 8: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com.

Aula1. Acurácia e Precisão

Page 9: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com.

Distribuição de FreqüênciaDistribuição de Freqüência

Com uma massa grande de dados é conveniente agrupá-los em classes com suas freqüências, a fim de extrair informações. Isto é denominado distribuição de freqüências. Embora se perca alguma informação a respeitos dos dados, a distribuição é útil na investigação das características da variável em estudo.

Page 10: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com.

Alguns conceitos importantes:Alguns conceitos importantes:

Dados Brutos: são os valores numéricos obtidos após a crítica dos dados.

Rol: é o arranjo dos dados brutos em ordem de freqüência crescente ou decrescente.

Amplitude total ou “range” ( R ): é a diferença entre o maior e o menor valor observados.

Freqüência ( Fi ): é o número de vezes que o elemento aparece na amostra, ou o número de elementos pertencentes a uma mesma classe.

Número de classes ( K ): não há uma fórmula exata para o cálculo do número de classes, mas as duas maneiras mais usuais são:

2

a) k = 5 para n 5 e k 25, para n > 25 .

b) Fórmula de Sturges k 1+3,22logn ,em que n=tamanho da amostra.

Page 11: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com.

Amplitude das classes ( h ): é a amplitude total ( R ) dividida pelo número de classes:. Assim como no caso do número de classes ( k ), a amplitude das classes ( h) deve ser aproximada para o maior inteiro.

Limites das classes: são os extremos de cada classe e existem diversas maneiras de representá-los:

Exemplos:15 ├─ 20: compreende todos os valores entre 15 e 20,

excluindo o 2015 ├─┤ 20: compreende todos os valores entre 15 e 20.15 ── 20: limite aparente, limite real 14,5 ── 19,5.15 ─┤ 20: compreende os valores entre 15 e 20, excluindo o

15.

Pontos médios das classes (xi ): é a média aritmética entre o limite superior e o limite inferior da classe. Estes pontos estão representando cada um dos dados pertencentes à classe.

Assim: se a classe for 12 ├─ 20, teremos: 16 como ponto médio da classe.

Page 12: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com.

Freqüência acumulada ( Fac): é a soma das freqüências das classes.

Freqüência relativa (fi): é a porcentagem de um valor na amostra e é dada por fi=Fi/n.

Representação de uma distribuição de freqüência:

Page 13: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com.

GráficosGráficos Para representar graficamente dados agrupados em

uma distribuição de freqüências, podemos utilizar um “histograma”, um “polígono de freqüências “ou um “polígono de freqüências acumuladas.

Observações:

Os gráficos facilitam a visualização dos valores que são amplamente usados na apresentação de dados estatísticos.

Cabe destacar que os gráficos perdem informações, porque não mostram as observações originais.

Ao inferir sobre uma população a partir de gráficos, deve-se ter bastante cuidado.

Page 14: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com.

HistogramaHistograma

É a representação gráfica de uma distribuição de freqüência por meio de retângulos justapostos, de tal forma que:

As bases estão sobre um eixo ( eixo x ) com centro no ponto médio dos intervalos de classe e as larguras iguais às amplitudes dos intervalos das classes.

A área de um histograma é proporcional a soma das freqüências das classes.

A altura do histograma ( eixo y) deve corresponder a aproximadamente 70% do eixo x.

Para a construção do histograma, colocamos no eixo dos x os limites de cada intervalo de classe e em y as freqüências das classes. Para construção da primeira classe, devemos deixar antes no eixo dos x um espaço ( no mínimo) igual ou superior a amplitude de classe.

Page 15: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com.

ALTURA DOS ALUNOS DA ESCOLA A

0

5

10

15

20

Fi

150 154 158 162 166 170 174 178 classes

Page 16: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com.

Polígono de FreqüênciaPolígono de Freqüência

É a representação gráfica de uma distribuição por meio de um polígono. Para a construção do polígono de freqüência partimos do histograma e projetamos os pontos médios de cada retângulo os quais estavam localizados sobre o eixo dos x no topo do retângulo.

Devemos também aqui , tomar o cuidado de deixar no eixo dos x, um espaço correspondente a uma classe, tanto para a esquerda como para a direita.

Page 17: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com.

VARIAÇÃO DO RAIO DE PEÇAS MECÂNICAS

0

2

4

6

8

10

12

1 3 5 7 9 11 12

F

raio

Page 18: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com.

1. Medidas de Posição Central

Definição: representam os fenômenos pelos seus valores médios , em torno dos quais tendem a concentrar-se os dados.

Dentre todas as medidas de tendência central, veremos:◦1.1 Média; ◦1.2 Mediana;◦1.3 Moda

Page 19: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com.

1.1 MédiaDefinição: é o valor médio de uma

distribuição, determinado segundo uma regra estabelecida a priori e que se utiliza para representar todos os valores da distribuição. Representada por

Pode ser:

◦Aritmética;◦Ponderada;◦Harmônica;◦Geométrica.

Page 20: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com.

Média AritméticaÉ a mais utilizada dentre todas as médias.É dada pela fórmula:

Onde: n é o número de valores em uma amostra;xi é cada variável que representa os valores

individuais dos dados.

Page 21: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com.

Média AritméticaMédia AritméticaExemplo: um aluno tirou as notas 5, 7, 9 e

10 em 4 provas. Sua média será: = (5 + 7 + 9 + 10)/4 = 7,75

Page 22: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com.

Média Aritmética para Dados Média Aritmética para Dados AgrupadosAgrupadosÉ calculada quando a informação

disponível é o valor médio do intervalo i (Xi) e a frequência de intervalo i (f i):

Page 23: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com.

ExemploExemplo

12,58

12,97

13,45

13,53

13,59

13,61

13,62

13,78

13,97

14,21

14,47

14,51

14,53

14,58

14,65

14,78

14,83

14,97

15,06

15,13

15,17

15,23

15,29

15,37

15,40

15,45

15,51

15,62

15,67

15,73

15,83

15,98

16,01

16,11

16,17

16,23

16,35

16,43

16,49

16,52

16,67

16,83

16,97

17,05

17,13

17,22

17,30

17,48

17,80

18,47

Considere os seguintes dados:

Page 24: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com.

...continuando...continuando

Intervalos de classes Frequência absoluta

12,51 a 13,50 3

13,51 a 14,50 8

14,51 a 15,50 15

15,51 a 16,50 13

16,51 a 17,50 9

17,51 a 18,50 2

Page 25: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com.

Média PonderadaMédia Ponderada

Nos cálculos envolvendo média aritmética simples, todas as ocorrências têm exatamente a mesma importância ou o mesmo peso. No entanto, existem casos onde as ocorrências têm importância relativa ou pesos relativos diferentes. Nestes casos, o cálculo da média deve levar em conta esta importância relativa ou peso relativo. Este tipo de média chama-se média aritmética ponderada.

Page 26: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com.

Média Ponderada

É dada por:

wi é o peso de cada xi .

Page 27: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com.

Média PonderadaMédia Ponderada

Exemplo: O exame de seleção pode ser composto de 3 provas onde as duas primeiras tem peso 1 e a terceira tem peso 2. Um candidato com notas 70, 75 e 90 terá média final:

Page 28: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com.

1.2 Mediana

Definição: é um número que caracteriza as observações de uma determinada variável de tal forma que este número de um grupo de dados ordenados separa a metade inferior da amostra, população ou distribuição de probabilidade, da metade superior. Representada por ou Md.

Isto é, 1/2 da população terá valores inferiores ou iguais à mediana e 1/2 da população terá valores superiores ou iguais à mediana. (a média não garante essa propriedade)

Page 29: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com.

1.2 MedianaPara valores ordenados crescentemente,

dois modos de calcular:

◦Se n é ímpar, mediana é o valor central:Na amostra 30 32 35 48 76 a mediana é 35

◦Se n é par, mediana é a média simples entre os dois valores centrais:

Na amostra 30 32 35 48 76 81 a mediana é 35 + 48 = 41,5

2

Page 30: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com.

1.2 Mediana para dados agrupados

◦ 1º: Calcula-se n/2;

◦ 2º: Achar qual das classes esse valor se encontra a partir das freqüências absolutas;

◦ 3º: Usar a fórmula

Limite inferior da classe

Amplitude da classe da mediana

Freqüência da classe da mediana

Soma das freqüências anteriores a classe

da mediana

Page 31: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com.

ExemploExemploIntervalos de

classeFreqüência

absolutaFreqüência acumulada

12,51 a 13,50 3 3

13,51 a 14,50 8 11

14,51 a 15,50 15 26

15,51 a 16,50 13 39

16,51 a 17,50 9 48

17,51 a 18,50 2 501. Calcula-se n/2 50/22. Identifica-se a classe da mediana

Terceira classe

Page 32: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com.

...continuando...continuando

3. Utiliza-se a fórmula:

=

=

=

=

14,51

11

0,99

15

= 13,4

Page 33: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com.

1.3 ModaÉ o valor que ocorre com mais freqüência.

Representada por Mo.Numa amostra, Mo pode não existir ou ser

múltipla.Exemplos:

Na amostra 21 24 27 27 28 28 31 31 31 Mo = 31

Na amostra 45 46 49 52 52 60 60 76 79 tem moda 52 e 60

Page 34: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com.

Moda para Dados AgrupadosModa para Dados AgrupadosUtiliza-se a seguinte fórmula:

• - Limite inferior da classe modal = 14,51

• - Diferença entre a freqüência da classe e a

anterior = 7

• - Diferença entre a freqüência da classe e a

posterior = 2

• - Amplitude da classe modal = 0,99

Page 35: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com.

Moda para Dados AgrupadosModa para Dados Agrupados

• Determinar a classe modal pela maior freqüência absoluta. Na tabela, a terceira, utilizando a fórmula:

Notas Número de Alunos

0 |-- 20 2

20 |-- 40 7

40 |-- 60 23

60 |-- 80 16

80 |-- 100 3

Total 51

Page 36: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com.

...continuando...continuando

Onde:

• - Limite inferior da classe modal = 40

• - Diferença entre a freqüência da classe e a

anterior = 16

• - Diferença entre a freqüência da classe e a

posterior = 7

• - Amplitude da classe modal = 20

Page 37: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com.

ComparaçãoPara distribuições simétricas, a média,

mediana e moda são aproximadamente iguais;

Para assimétricas, observa-se o seguinte:

Page 38: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com.

2. Medidas de DispersãoDefinição: é um valor que busca

quantificar o quanto os valores da amostra estão afastados ou dispersos relativos à média amostral;

As medidas utilizadas para representar dispersão são:

◦2.1 Amplitude Total◦2.2 Desvio Padrão;◦2.3 Variância;◦2.4 Amplitude Inter-quartílica.

Page 39: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com.

Relações Empíricas entre Média, Moda e Relações Empíricas entre Média, Moda e MedianaMedianaExemplo: A relação entre média e

mediana para as amostras a seguir é:

A Distribuição Simétrica 10 12 14 16 18

B Distribuição Assimétrica à direita

10 12 14 16 23

C Distribuição Assimétrica à esquerda

05 12 14 16 18

Page 40: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com.

2.1 Amplitude Total

Definição: também chamado simplesmente de Amplitude, é a diferença entre o maior e o menor valor de um conjunto de dados.

Amplitude = (maior valor)-(menor valor);

A amplitude é muito fácil de ser calculada, mas como depende apenas dos valores maior e menor, não é tão útil quanto as outras medidas de variação que usam todos os valores.

Page 41: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com.

Amplitude TotalAmplitude Total

Exemplo: 8,5 8,7 8,9 10,1 10,5 10,7 11,5 11,9

A amplitude é total: R = 11,9 – 8,5 = 3,4

Page 42: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com.

É a média aritmética dos desviosconsiderados em módulos (valor absoluto).

Desvio Médio Absoluto

.

n

xxDMA

n

ii

1

Page 43: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com.

2.3 VariânciaDefinição: é uma medida da variação

igual ao quadrado do desvio padrão. Representada por s2 ou σ2;

Para a amostral:

Para a populacional:

Page 44: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com.

2.2 Desvio Padrão

Definição: é uma medida da variação dos valores em torno da média em um conjunto de valores amostrais. Representado por s (para amostral) e σ (para populacional);

Page 45: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com.

2.2 Desvio PadrãoPara achar o desvio padrão de uma população,

usa-se a expressão:

Para uma amostra de n observações, x1, ..., xn, o desvio padrão S é definido como:

n é o número total de variáveis na amostra; xi é o valor de cada variável; x é a média amostral;

Page 46: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com.

Desvio PadrãoDesvio Padrão Exemplo: para a amostra 10 12 14 16 18 A média é 14 e o desvio-padrão é calculado: Os desvios de cada valor em relação à média totalizam zero, pois

a média é o valor central:

◦ 10-14=-4◦ 12-14=-2◦ 14-14=0◦ 16-14=+2◦ 18-14=+4

S = = 3,16

Page 47: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com.

Desvio padrão: dados Desvio padrão: dados agrupadosagrupadosConsidere os seguintes

dados:

Intervalos de Classe

Freqüência Absoluta

12,50 a 13,50 3

13,51 a 14,50 8

14,51 a 15,50 15

15,51 a16,50 13

16,51 a 17,50 9

17,51 a 18,50 2

Ponto médio do intervalo

S =

Page 48: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com.

Coeficiente de VariaçãoDefinição: para um conjunto de dados

amostrais ou populacionais, expresso como um percentual, descreve o desvio padrão relativo à média, e é dado pelo seguinte:

População Amostra

Page 49: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com.

Coeficiente de VariaçãoÉ uma medida dimensional, útil para

comparar resultados de amostras ou populações cujas unidades podem ser diferentes;

Uma desvantagem do coeficiente de variação é que ele deixa de ser útil quando a média é próxima de zero.

Page 50: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com.

TEORIA DAS TEORIA DAS PROBABILIDADESPROBABILIDADES

Page 51: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com.

Exemplos:1. Resultado no lançamento de um dado;

2. Hábito de fumar de um estudante sorteado em sala de aula;

3. Condições climáticas do próximo domingo;

4. Taxa de inflação do próximo mês;

5. Tipo sangüíneo de um habitante escolhido ao acaso.

Experimento AleatórioExperimento Aleatório: procedimento que, ao ser repetido sob as mesmas condições, pode fornecer resultados diferentes

Page 52: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com.

Espaço Amostral (Espaço Amostral ()): conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório.

4. Tempo de duração de uma lâmpada. = {t: t 0}

1. Lançamento de um dado. = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

2. Exame de sangue (tipo sangüíneo) . = {A, B, AB, O}

3. Hábito de fumar. = {Fumante, Não fumante}

Exemplos:

Page 53: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com.

Notação: A, B, C ...

(conjunto vazio): evento impossível

: evento certo

Alguns eventos:

A: sair face par A = {2, 4, 6}

B: sair face maior que 3 B = {4, 5, 6} C: sair face 1 C = {1}

EventosEventos: subconjuntos do espaço amostral

Exemplo: Lançamento de um dado.

Espaço amostral: = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Page 54: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com.

Experiência

• Lançamento de uma moeda• Lançamento de um dado• Totoloto• Estado do tempo para a semana• Extracção de uma carta • Tempo que uma lâmpada irá durar

• Furar um balão cheio• Deixar cair um prego num copo de água• Calcular a área de quadrado de lado 9 cm

À partida o resultado é desconhecido

À partida já conhecemos o resultado

Page 55: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com.

Chamamos de probabilidade de um evento A (A C S) o número real P(A), tal que:

Onde n(A) é o número de elementos de A;

n(S) é o número de elementos de S.

Dado um experimento aleatório, sendo S o seu espaço amostral, vamos admitir que todos os elementos de S tenham a mesma chance de acontecer, ou seja, que S é um conjunto equiprovável.

Sn

AnAP

Exemplo: Considerando o lançamento de uma moeda e o evento A “obter cara”, temos:

S = {Ca, Co} n(S)=2

A={Ca} n(A)=1

2

1AP

Sn

AnAP

Page 56: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com.
Page 57: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com.

Eventos Complementares

Sabemos que um evento pode ocorrer ou não. Sendo p a probabilidade de que ele ocorra (sucesso) e q a probabilidade de que ele não ocorra (fracasso), para um mesmo evento existe sempre a relação:

p + q = 1

Assim, se a probabilidade de se realizar o evento é p=1/5, a probabilidade de que ele não ocorra é q=4/5.

Page 58: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com.

Dois eventos são independentes quando a realização ou a não-realização de um dos eventos não afeta a probabilidade da realização do outro e vice-versa. A probabilidade de que dois eventos se realizem simultaneamente é dada por P(x) = p1 x p2

Ex. Lançamos dois dados. A probabilidade de obter 1 no 1º dado é : p1= 1/6. A probabilidade de obtermos 5 no 2º dado é p2= 1/6.

Logo, a probabilidade de obtermos, simultaneamente, 1 no 1º e 5 no 2º é : p = 1/6 x 1/6 = 1/36.

Eventos Independentes

Page 59: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com.

FACENSA – Estatística –(aula DIST. NORMAL) Prof. Neide Pizzolato Angelo

DISTRIBUIÇÃO NORMALDISTRIBUIÇÃO NORMAL

A distribuição normal é uma das distribuições fundamentais da moderna teoria estatística.

A vantagem da distribuição normal reside na facilidade de defini-la com apenas dois parâmetros, a média e o desvio padrão da distribuição.

Page 60: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com.

FACENSA – Estatística –(aula DIST. NORMAL) Prof. Neide Pizzolato Angelo

DISTRIBUIÇÃO NORMALDISTRIBUIÇÃO NORMAL

Uma das características importantes é que a partir desses dois parâmetros será possível calcular, por exemplo, a percentagem de valores que deverão estar acima ou abaixo de um determinado valor da variável aleatória, ou entre esses dois valores definidos etc.

Page 61: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com.

DIST. NORMAL (Gráfico e Equação)DIST. NORMAL (Gráfico e Equação)

21

21( ) e

2

x

f x

Se X ~ N( ; 2), X

Z

definimos

Page 62: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com.

o gráfico é uma curva em forma de sino, simétrica em torno da média , chamada de curva normal ou de Gauss.

A curva normal é assintótica, isto é, aproxima-se indefinidamente do eixo das abscissas sem, contudo, alcançá-lo .

P(X ≥ ) = P(X ≤ ) = 0,5.

CARACTERISTICA DA DIST. NORMAL

• pode assumir todo e qualquer valor real.

• A área total é igual a 1.

Page 63: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com.

USO DA TABELA NORMAL PADRÃO

Denotamos : A(z) = P(Z z), para z 0.

Tabela

Page 64: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com.

Exemplo: Seja Z ~ N (0; 1), calcular

a) P(Z 0,32)

P(Z 0,32) = A(0,32) = 0,6255.

Tabela

Page 65: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com.

Encontrando o valor na Tabela N(0;1):

z 0 1 2

0,0 0,5000 0,5039 0,5079

0,1 0,5398 0,5437 0,5477

0,2 0,5792 0,5831 0,5870

0,3 0,6179 0,6217 0,6255

Tabela

Page 66: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com.

b) P(0 < Z 1,71)

P(0 < Z 1,71) = P(Z 1,71) – P(Z 0)

= 0,9564 - 0,5 = 0,4564.

Obs.: P(Z < 0) = P(Z > 0) = 0,5.Tabela

= A(1,71) – A(0)

Page 67: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com.

c) P(Z 1,5)

P(Z > 1,5) = 1 – P(Z 1,5) = 1 – A(1,5)

= 1 – 0,9332 = 0,0668.

Tabela

Page 68: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com.

Análise de RegressãoAnálise de Regressão

Page 69: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com.

Análise de RegressãoAnálise de Regressão

Sempre que desejamos estudar determinada variável em função de outra fazemos uma análise de regressão.

A análise de regressão tem por objetivo descrever, através de um modelo matemático, a relação entre duas variáveis, partindo de n observações das mesmas.

A variável a qual desejamos fazer uma estimativa recebe o nome de variável dependente e a outra recebe o nome de variável independente.

Page 70: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com.

Ajustamento da RetaAjustamento da Reta

Supondo X a variável independente e Y a dependente, vamos procurar determinar o ajustamento de uma reta à relação entre essas variáveis, ou seja, vamos obter uma função definida por:

Y = aX + b,

onde a e b são parâmetros.

Page 71: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com.

Ajustamento da RetaAjustamento da Reta

Page 72: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com.

Ajustamento da RetaAjustamento da RetaSejam duas variáveis X e Y, entre as quais exista uma correlação acentuada, embora não perfeita, como as que formam a tabela a seguir:

Page 73: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com.

Ajustamento da RetaAjustamento da Reta

Page 74: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com.
Page 75: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com.
Page 76: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com.
Page 77: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com.

Conceitos Básicos

de

Matemática Financeira

Page 78: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com.

Fatores Necessários para Fatores Necessários para Calcular o Valor dos JurosCalcular o Valor dos Juros Capital, principal ou valor presente: quantia de dinheiro

envolvida numa operação financeira, que será emprestada ou aplicada numa data inicial (data 0). Para a HP-12C, será simbolizado por PV (valor presente).

Taxa de Juros: é a unidade de medida de juros, ou seja, o custo ou remuneração paga pelo uso de dinheiro durante determinado tempo.

Tempo, prazo ou período: prazo em determinada unidade de tempo (dias, meses, anos etc.) que o capital foi empregado à determinada taxa de juros.

Regime de capitalização: refere-se ao processo de formação dos juros, que poderão ser simples ou compostos, conforme será visto a seguir.

Page 79: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com.

Diferenças entre Juros Simples Diferenças entre Juros Simples e Compostose Compostos

Onde:

J = valor dos juros simples ($).

P = valor presente, principal ou capital da operação.

i = taxa de juros simples.

n = prazo ou número de períodos da operação.

J = P x i x n

FV = P . (1 + i . n)

Page 80: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com.

Diferenças entre Juros Simples Diferenças entre Juros Simples e Compostose CompostosAbaixo é apresentada a fórmula geral para o cálculo dos juros compostos.

Os juros crescem linearmente ao longo do tempo no regime de capitalização simples, sendo seu valor constante durante os períodos;

Os juros crescem exponencialmente ao longo do tempo no regime de capitalização composto, sendo que o montante calculado até o período anterior serve como base de cálculo para os juros do próximo período.

FV = P . (1 + i)n

Page 81: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com.

Conceito de Fluxo de CaixaConceito de Fluxo de Caixa

Qualquer problema de matemática financeira pode ser facilmente demonstrado por meio de um diagrama de fluxo de caixa, que consiste na representação gráfica das entradas e saídas de dinheiro ao longo do tempo. Observe a sua representação básica:

PVn

iFV

Page 82: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com.

Conceito de Fluxo de CaixaConceito de Fluxo de Caixa

Onde:

A linha horizontal representa a linha do tempo, em que são destacadas as entradas e saídas de dinheiro;

Uma entrada de caixa é representada por uma seta para cima e seu sinal, para efeitos de convenção, é positivo;

Toda saída de caixa é representada por uma seta para baixo e seu sinal será negativo.

Page 83: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com.

Capitalização Simples –Capitalização Simples –

Juros SimplesJuros Simples

Page 84: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com.

JUROS SIMPLESJUROS SIMPLES

O REGIME DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES.

◦ A TAXA DE JUROS INCIDE SOMENTE SOBRE O VALOR INICIAL (EMPRESTADO OU APLICADO).

EX: Ci = $ 100,00 aplicados a 5% ao período.primeiro período: 100 x 0,05 = $ 5,00segundo período: 100 x 0,05 = $

5,00terceiro período : 100 x 0,05 = $ 5,00n-éssimo período: 100 x 0,05 = $ 5,00

Page 85: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com.

Juros em RCSJuros em RCS

J = VP x i x nJ = VP x i x nOnde:

j = Juros ( $ )

VP = Valor Presente ( $ )

i = Taxa ( unitária/período )

n = períodos

Page 86: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com.

Exemplo 1Exemplo 1

Um capital de $ 500,00 foi aplicado a taxa de 5% a.m. no RCS. Qual o valor dos juros mensais?

J = VP x i x n

J = 500 x 0,05 x 1 $ 25,00

J = VP x i x n

J = 500 x 0,05 x 1 $ 25,00

Na HP12C:

500 (ENTER) 5 % 25,00000 (visor)

Page 87: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com.

Taxa (i) e Número de Períodos (n) devem estar sempre na mesma base.

SUGESTÃOSUGESTÃO::

Altere sempre Altere sempre nn e evite alterar e evite alterar ii

IMPORTANTEIMPORTANTEIMPORTANTEIMPORTANTE

Page 88: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com.

Na HP12C:

120 (ENTER) 4 % 7 X 33,600000 (visor)

Exemplo 2Exemplo 2

Um capital de $ 120,00 foi aplicado a taxa de 4% a.m. no RCS por sete meses. Qual o valor dos juros capitalizados durante o período de vigência da aplicação?

J = VP x i x n

J = 120 x 0,04 x 7 $ 33,60

J = VP x i x n

J = 120 x 0,04 x 7 $ 33,60

Page 89: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com.

MONTANTE OU VALOR MONTANTE OU VALOR FUTUROFUTURO

VF = VP + j

VF = VP + (VP x i x n)

VF = VP x (1 + i x n)VF = VP x (1 + i x n)

j = VP x i x ne

SENDO:

MONTANTE OU VALOR FINAL

Page 90: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com.

Exemplo 3Exemplo 3

Uma empresa tomou $ 3.000,00 emprestado para pagar dentro de cinco meses, a uma taxa de juros simples igual a 6% a. m. Calcule o valor futuro dessa operação?

VF = VP x (1 + i x n)

VF = 3.000 x (1 + 0,06 x 5) $ 3.900,00

VF = VP x (1 + i x n)

VF = 3.000 x (1 + 0,06 x 5) $ 3.900,00

Na HP12C:

3000 (ENTER) 6 % 5 x + 3.900,00000

Page 91: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com.

DERIVAÇÃO DA DERIVAÇÃO DA FÓRMULA DO FÓRMULA DO

MONTANTE NO RCS.MONTANTE NO RCS.

VF = VP (1 + i x n)

n = [(VF / VP) - 1] / i

i = [(VF / VP) - 1] / n

VP = VF / (1 + i x n)

Page 92: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com.

Exemplo 4Exemplo 4

Uma aplicação feita no RCS rendeu um montante igual a $ 750,00 após cinco meses, a taxa de 10% a. m. Qual o capital inicial da operação?

VP = VF / (1 + i x n)

VP = 750 / (1 + 0,1 x 5) $ 500,00

VP = VF / (1 + i x n)

VP = 750 / (1 + 0,1 x 5) $ 500,00

Na HP12C: 750 (ENTER) 1 (ENTER) 0,1 (ENTER) 5 x + 500,00000 (visor)

Page 93: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com.

Exemplo 5Exemplo 5

O valor de $ 200,00 foi aplicado por cinco meses, permitindo a obtenção de $ 400,00. Sabendo que o regime de capitalização era o simples, calcule a taxa de juros mensal praticada durante a operação?

i = [(VF / VP) - 1] / n

i = [(400 / 200) - 1] / 5

$ 0,20 ou 20% a. m.

i = [(VF / VP) - 1] / n

i = [(400 / 200) - 1] / 5

$ 0,20 ou 20% a. m.

Na HP12C: 400 (ENTER) 200 / 1 – 5 0,200000 (visor)

Page 94: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com.

Exemplo 6Exemplo 6

A quantia de $ 134,00 foi obtida como montante de uma aplicação de $ 68,00 feita a taxa de 2% a. m. no RCS. Qual a duração da operação?

n = [(VF / VP) - 1] / i

n = [(134 / 68) - 1] / 0,02 48,53 meses

n = [(VF / VP) - 1] / i

n = [(134 / 68) - 1] / 0,02 48,53 meses

Na HP12C: 134 (ENTER) 68 1 – 0,02 (visor) 48,52941175 meses

Page 95: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com.

Taxa (i) e Número de Períodos (n) devem estar sempre na mesma base.

SUGESTÃO:

Altere sempre n e evite alterar i

IMPORTANTEIMPORTANTEIMPORTANTEIMPORTANTE

Page 96: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com.

Na HP12C:

120 (ENTER) 4 % 7 X 33,600000 (visor)

Exercício nº 5Exercício nº 5

Um capital de $ 120,00 foi aplicado a taxa de 4% a.m. no RCS por sete meses. Qual o valor dos juros capitalizados durante o período de vigência da aplicação?

J = VP x i x n

J = 120 x 0,04 x 7 $ 33,60

J = VP x i x n

J = 120 x 0,04 x 7 $ 33,60

Page 97: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com.

MONTANTE OU VALOR MONTANTE OU VALOR FUTUROFUTURO

VF = VP + j

VF = VP + (VP x i x n)

VF = VP x (1 + i x n)VF = VP x (1 + i x n)

j = VP x i x ne

SENDO:

MONTANTE OU VALOR FINAL

Page 98: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com.

Exercício nº 6Exercício nº 6

Uma empresa tomou $ 3.000,00 emprestado para pagar dentro de cinco meses, a uma taxa de juros simples igual a 6% a. m. Calcule o valor futuro dessa operação?

VF = VP x (1 + i x n)

VF = 3.000 x (1 + 0,06 x 5) $

3.900,00

VF = VP x (1 + i x n)

VF = 3.000 x (1 + 0,06 x 5) $

3.900,00

Na HP12C:

3000 (ENTER) 6 % 5 x + 3.900,00000

Page 99: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com.

DERIVAÇÃO DA DERIVAÇÃO DA FÓRMULA DO FÓRMULA DO MONTANTE NO RCS.MONTANTE NO RCS.

VF = VP (1 + i x n)

n = [(VF / VP) - 1] / i

i = [(VF / VP) - 1] / n

VP = VF / (1 + i x n)

Page 100: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com.

Exercício nº 7Exercício nº 7

Uma aplicação feita no RCS rendeu um montante igual a $ 750,00 após cinco meses, a taxa de 10% a. m. Qual o capital inicial da operação?

VP = VF / (1 + i x n)

VP = 750 / (1 + 0,1 x 5) $

500,00

VP = VF / (1 + i x n)

VP = 750 / (1 + 0,1 x 5) $

500,00

Na HP12C: 750 (ENTER) 1 (ENTER) 0,1 (ENTER) 5 x + 500,00000 (visor)

Page 101: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com.

Exercício nº 8Exercício nº 8

O valor de $ 200,00 foi aplicado por cinco meses, permitindo a obtenção de $ 400,00. Sabendo que o

regime de capitalização era o simples, calcule a taxa de juros mensal praticada durante a

operação?

i = [(VF / VP) - 1] / n

i = [(400 / 200) - 1] / 5

$ 0,20 ou 20% a. m.

i = [(VF / VP) - 1] / n

i = [(400 / 200) - 1] / 5

$ 0,20 ou 20% a. m.

Na HP12C: 400 (ENTER) 200 / 1 – 5 0,200000 (visor)

Page 102: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com.

Exercício nº 9Exercício nº 9

A quantia de $ 134,00 foi obtida como montante de uma aplicação de $ 68,00 feita a taxa de 2% a. m. no RCS. Qual a duração da operação?

n = [(VF / VP) - 1] / i

n = [(134 / 68) - 1] / 0,02 48,53 meses

n = [(VF / VP) - 1] / i

n = [(134 / 68) - 1] / 0,02 48,53 meses

Na HP12C: 134 (ENTER) 68 1 – 0,02 (visor) 48,52941175 meses

Page 103: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com.

Operações com Operações com Séries UniformesSéries Uniformes

Page 104: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com.

Séries UniformesSéries UniformesObjetivos:Objetivos:

◦discutir os principais aspectos associados àsdiscutir os principais aspectos associados àsséries uniformes diferenciar séries antecipadas, séries uniformes diferenciar séries antecipadas, postecipadas e diferidas.postecipadas e diferidas.

Page 105: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com.

Conceito de Séries UniformesConceito de Séries UniformesConsistem em uma seqüência de Consistem em uma seqüência de

recebimentos ou pagamentos cujos recebimentos ou pagamentos cujos valores são iguais.valores são iguais.

Genericamente, as séries uniformes Genericamente, as séries uniformes podem ser representadas de acordo com a podem ser representadas de acordo com a figura seguinte.figura seguinte.

Page 106: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com.
Page 107: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com.

Classificação das sériesClassificação das sériesAntecipadas

◦Com entrada◦Exemplos … 1 + 2, 1 + 5, 1 + …

Postecipadas◦Sem entrada◦Exemplos … 2x, 5x, 6x …

Page 108: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com.

Valor PresenteValor Presente

nn Pagamentos Periódicos Pagamentos PeriódicosSem EntradaSem Entrada

0

PostecipadaPostecipada

Séries PostecipadasSéries Postecipadas

PMT

O pagamento ocorreO pagamento ocorreao final do primeiroao final do primeiro

períodoperíodo

Page 109: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com.

A geladeira nova de PedroA geladeira nova de PedroPedro quer comprar uma

geladeiraNa loja, $1.000,00 a vistaOu … em quatro iguais

mensais, sem entrada

Valores Valores nominaisnominaisiguaisiguais

SériesSériesUNIFORMESUNIFORMES

+$1.000,00+$1.000,00

2200 11 4433

-PMT-PMT

Taxa da loja?Taxa da loja?

i= 4% a.m.i= 4% a.m.Como obterComo obterPMT?PMT?

ÁlgebraÁlgebraTabelasTabelasHP 12CHP 12C

Page 110: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com.

Usando o bom sensoUsando o bom sensoPagamentos em 1, 2, 3 e 4Prazo médio

igual a 2,5

+$1.000,00+$1.000,00

2200 11 4433

-PMT-PMT

i= 4% a.m.i= 4% a.m.n = 2,5n = 2,5

Supondo JSSupondo JS

VFVF

VF = VP (1+in)VF = VP (1+in)

VF = 1000 (1+0,04.2,5)VF = 1000 (1+0,04.2,5)

VF = 1100VF = 1100Como são feitos quatro pagamentosComo são feitos quatro pagamentos

Pagamento = 1100/4 = $275,00Pagamento = 1100/4 = $275,00

Cuidado!Cuidado!ValorValoraproximado aproximado por jurospor jurossimplessimples

Valor exato Valor exato com juros com juros compostoscompostos

Page 111: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com.

Usando a álgebraUsando a álgebra

n

n

inii

ia

1

11,

VP = aVP = an,in,i.PMT.PMT

Page 112: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com.

Usando a tabelaUsando a tabelaN iN i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 0,9901 0,9804 0,9709 0,9615 0,9524 0,9434 0,9346 0,9259 0,9174 0,9091

2 1,9704 1,9416 1,9135 1,8861 1,8594 1,8334 1,8080 1,7833 1,7591 1,7355

3 2,9410 2,8839 2,8286 2,7751 2,7232 2,6730 2,6243 2,5771 2,5313 2,4869

4 3,9020 3,8077 3,7171 3,6299 3,5460 3,4651 3,3872 3,3121 3,2397 3,1699

5 4,8534 4,7135 4,5797 4,4518 4,3295 4,2124 4,1002 3,9927 3,8897 3,7908

6 5,7955 5,6014 5,4172 5,2421 5,0757 4,9173 4,7665 4,6229 4,4859 4,3553

7 6,7282 6,4720 6,2303 6,0021 5,7864 5,5824 5,3893 5,2064 5,0330 4,8684

8 7,6517 7,3255 7,0197 6,7327 6,4632 6,2098 5,9713 5,7466 5,5348 5,3349

9 8,5660 8,1622 7,7861 7,4353 7,1078 6,8017 6,5152 6,2469 5,9952 5,7590

10 9,4713 8,9826 8,5302 8,1109 7,7217 7,3601 7,0236 6,7101 6,4177 6,1446

aan,in,i=3,6299=3,6299

Pagamento = 1000/3,6299 = $275,49Pagamento = 1000/3,6299 = $275,49

Page 113: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com.

Usando a HP 12CUsando a HP 12C

[n]: calcula o número de períodos[i]: calcula a taxa de juros[PV]: calcula o valor presente[PMT]: calcula a prestação[FV]: calcula o valor futuro[CHS]: troca o sinal

g Begg Beg g Endg Endouou

Page 114: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com.

Na HP 12CNa HP 12C

7BEGBEG

8ENDEND

BegBegin = Começo

Antecipado

Com entrada

Flag no visorFlag no visor

End = Final

Postecipado

Sem entrada

Sem FlagSem Flag

Page 115: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com.

Exemplo na HP 12CExemplo na HP 12C[f] [Reg]1000 [PV]4 [n]4 [i]

+$1.000,00+$1.000,00

2200 11 4433

-PMT-PMT

i= 4% a.m.i= 4% a.m.

Sem entrada Sem entrada ouou

POSTECIPADAPOSTECIPADA

em inglêsem inglês

ENDEND

[g] [END][g] [END]

$275,49$275,49

[PMT][PMT]

Com JS, $275,00Com JS, $275,00

Page 116: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com.

Valor PresenteValor Presente

N Pagamentos PeriódicosN Pagamentos PeriódicosCom EntradaCom Entrada

0

AntecipadaAntecipada

Séries AntecipadasSéries Antecipadas

PMT

O pagamento ocorreO pagamento ocorreno início do primeirono início do primeiro

períodoperíodo

Page 117: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com.

E se os pagamentos fossem …E se os pagamentos fossem …

Com entrada

Page 118: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com.

Usando o bom sensoUsando o bom sensoPagamentos em 0, 1, 2 e 3Prazo médio

igual a 1,5

+$1.000,00+$1.000,00

2200 11 4433

-PMT-PMT

i= 4% a.m.i= 4% a.m.n = 1,5n = 1,5

Supondo JSSupondo JS

VFVF

VF = VP (1+in)VF = VP (1+in)

VF = 1000 (1+0,04.1,5)VF = 1000 (1+0,04.1,5)

VF = 1060VF = 1060Como são feitos quatro pagamentosComo são feitos quatro pagamentos

Pagamento = 1060/4 = $265,00Pagamento = 1060/4 = $265,00

Cuidado!Cuidado!ValorValoraproximado aproximado por jurospor jurossimplessimples

Valor exato Valor exato com juros com juros compostoscompostos

Page 119: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com.

A geladeira nova de PedroA geladeira nova de PedroPedro quer comprar uma

geladeiraNa loja, $1.000,00 a vistaOu … em quatro iguais

mensais, com entrada

+$1.000,00+$1.000,00

2200 11 4433

-PMT-PMT

i= 4% a.m.i= 4% a.m.

Page 120: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com.

Usando a álgebraUsando a álgebra

1

1

,11

11

n

n

inii

ia

VP = (aVP = (an-1,in-1,i+1).PMT+1).PMT

Page 121: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com.

Usando a tabelaUsando a tabelaN iN i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 0,9901 0,9804 0,9709 0,9615 0,9524 0,9434 0,9346 0,9259 0,9174 0,9091

2 1,9704 1,9416 1,9135 1,8861 1,8594 1,8334 1,8080 1,7833 1,7591 1,7355

3 2,9410 2,8839 2,8286 2,7751 2,7232 2,6730 2,6243 2,5771 2,5313 2,4869

4 3,9020 3,8077 3,7171 3,6299 3,5460 3,4651 3,3872 3,3121 3,2397 3,1699

5 4,8534 4,7135 4,5797 4,4518 4,3295 4,2124 4,1002 3,9927 3,8897 3,7908

6 5,7955 5,6014 5,4172 5,2421 5,0757 4,9173 4,7665 4,6229 4,4859 4,3553

7 6,7282 6,4720 6,2303 6,0021 5,7864 5,5824 5,3893 5,2064 5,0330 4,8684

8 7,6517 7,3255 7,0197 6,7327 6,4632 6,2098 5,9713 5,7466 5,5348 5,3349

9 8,5660 8,1622 7,7861 7,4353 7,1078 6,8017 6,5152 6,2469 5,9952 5,7590

10 9,4713 8,9826 8,5302 8,1109 7,7217 7,3601 7,0236 6,7101 6,4177 6,1446

aan-1,in-1,i=2,7751=2,7751

Pagamento = 1000/(1+2,7751) = $264,89Pagamento = 1000/(1+2,7751) = $264,89

Page 122: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com.

Na HP 12CNa HP 12CCom entradaCom entradaANTECIPADAANTECIPADAem inglêsem inglêsBEGINBEGIN

[f] [Reg][f] [Reg]

1000 [PV]1000 [PV]

4 [n]4 [n]

4 [i]4 [i][g] [BEG] [PMT][g] [BEG] [PMT]

$264,89$264,89

7BEGBEG

BegBegin = Começo

Antecipado

Com entrada

Flag no visorFlag no visor

Page 123: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com.

Exemplo AExemplo AUm televisor é anunciado

por $600,00 a vista. A loja aceita parcelar a compra, cobrando 2% a. m. Calcule o valor das prestações supondo um plano do tipo:

4 x sem entrada

Page 124: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com.

Analisando o DFC: 4xAnalisando o DFC: 4x

+600,00+600,00

2200 11 4433

-PMT-PMT

Taxa igual a 2% a.m.

Sem entrada

Na HP 12C: g END

[f] [Reg][f] [Reg]600 [PV]600 [PV]4 [n]4 [n]g [END]g [END]2 [i]2 [i][PMT][PMT]

--157,574157,57433

Page 125: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com.

Exemplo BExemplo BUm televisor é anunciado

por $600,00 a vista. A loja aceita parcelar a compra, cobrando 2% a. m. Calcule o valor das prestações supondo um plano do tipo:

1 + 3 x

Page 126: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com.

Analisando o DFC: 4xAnalisando o DFC: 4x

+600,00+600,00

2200 11 4433

-PMT-PMT

Taxa igual a 2% a.m.

Com entrada

Na HP 12C: g BEG

[f] [Reg][f] [Reg]600 [PV]600 [PV]4 [n]4 [n]g [BEG]g [BEG]2 [i]2 [i][PMT][PMT]

--154,484154,48466

Page 127: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com.

VP = Valor PresenteVP = Valor Presente

PMT = Prestações ou PagamentosPMT = Prestações ou Pagamentos

0

n = número de pagamentos iguaisn = número de pagamentos iguaisCarênciaCarência

mm + 1 + 1

Séries DiferidasSéries Diferidas

Page 128: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com.

E se os pagamentos fossem …E se os pagamentos fossem …

Diferidos…

Page 129: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com.

A geladeira nova de PedroA geladeira nova de PedroPedro quer comprar uma geladeiraNa loja, $1.000,00 a vistaOu … em quatro iguais mensais,

com primeiro pagamento após seis meses

+$1.000,00+$1.000,00

2200 11 4433

-PMT-PMT

i= 4% a.m.i= 4% a.m.

7755 66 9988

Page 130: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com.

Convertendo a diferidaConvertendo a diferida

+$1.000,00+$1.000,00

2200 11 4433

-PMT-PMT

i= 4% a.m.i= 4% a.m.

7755 66 9988

É preciso capitalizar os $1.000,00 para a É preciso capitalizar os $1.000,00 para a data cinco data cinco

VF = VP(1+i)VF = VP(1+i)nn = 1000.(1,04) = 1000.(1,04)55 = $1.216,65 = $1.216,65

+$1.216,65+$1.216,65

Após a capitalização temos uma série Após a capitalização temos uma série postecipada convencional!postecipada convencional!

Page 131: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com.

Exemplo na HP 12CExemplo na HP 12C[f] [Reg]1216,65 [PV]4 [n]4 [i]

+$1.216,65+$1.216,65

2200 11 4433

-PMT-PMT

i= 4% a.m.i= 4% a.m.

Sem entrada Sem entrada ouou

POSTECIPADAPOSTECIPADA

em inglêsem inglês

ENDEND

[g] [END][g] [END]

$335,17$335,17

[PMT][PMT]

Page 132: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com.

Sistemas de amortização – Conceitos geraisSistemas de amortização – Conceitos gerais

Prestação = amortização + jurosou

PMT = A + J

O processo de quitação de um empréstimo consiste em efetuar pagamentos periódicos (prestações) de modo a liquidar o saldo devedor.Tais prestações são formadas por duas parcelas: a amortização (A) e os juros (J), correspondentes aos saldos do empréstimo ainda não amortizados

Page 133: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com.

Sistemas de amortização – Conceitos geraisSistemas de amortização – Conceitos gerais

Prestação é o valor pago pelo devedor e consiste em duas parcelas: a amortização e os juros correspondentes ao saldo do devedor do empréstimo não reembolsado.

Amortização é o pagamento do capital, efetuado por meio de parcelas pagas periodicamente. É a devolução do capital emprestado.

Os Juros são calculados sobre o saldo devedor do período anterior e também denominados “serviço da dívida”.

Entre os principais e mais utilizados sistemas de amortização de empréstimos cabe destacar:• O sistema frânces de amortização (Tabela PRICE).• O sistema de amortização constante (SAC).

Page 134: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com.

Nesse sistema de amortização, o mais utilizado pelas instituições financeiras e o comércio em geral, o devedor obriga-se a devolver o principal acrescido de juros em prestações iguais e consecutivas (séries uniformes de pagamento).Como os juros incidem sobre o saldo devedor, que por sua vez decresce à medida que as prestações são quitadas, eles serão decrescentes, e portanto as amortizações do principal serão crescentes.Exemplos: - Crédito Direto ao Consumidor - Financiamento de automóveis - Sistema Financeiro da Habitação

Sistemas de Amortização Francês - Tabela Sistemas de Amortização Francês - Tabela PRICEPRICE

Page 135: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com.

Exemplo: Um empréstimo de R$ 100.000,00 será pago pelo sistema de amortização francês em cinco prestações mensais postecipadas (END). Se a taxa de juros for de 5% a.m., veja como ficará a planilha de amortização: (calcular PMT na HP-12C)

Sistemas de Amortização Francês - Tabela Sistemas de Amortização Francês - Tabela PRICEPRICE

Mês Saldo Devedor Prestação Juros Amortização

(n) (SDn = SDn-1 - An) (PMT) (Jn = SDn-1 x i) (An = PMTn - Jn)

0 R$ 100.000,00 --- --- ---

1 R$ 81.902,52 R$ 23.097,48 R$ 5.000,00 R$ 18.097,48

2 R$ 62.900,17 R$ 23.097,48 R$ 4.095,13 R$ 19.002,35

3 R$ 42.947,70 R$ 23.097,48 R$ 3.145,01 R$ 19.952,47

4 R$ 21.997,60 R$ 23.097,48 R$ 2.147,38 R$ 20.950,10

5 R$ 0,00 R$ 23.097,48 R$ 1.099,88 R$ 21.997,60

--- --- --- R$ 100.000,00

Page 136: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com.

Ou seja, para um determinado período, os juros serão calculados sobre o saldo devedor do empréstimo no início desse período: a amortização será calculada pela diferença entre o valor da prestação e o valor dos juros do período; e o saldo devedor será calculado pela diferença entre o saldo devedor do período anterior subtraído do valor amortizado no respectivo período

Sistemas de Amortização Francês - Tabela Sistemas de Amortização Francês - Tabela PRICEPRICE

Jn = SDn-1 * i

An = PMTn - Jn

SDn = SDn-1 -

An

Page 137: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com.

Nesse sistema de amortização, as prestações são decrescentes, as amortizações crescentes e os juros decrescentes. Calcula-se a amortização dividindo o principal pelo número de períodos de pagamento (An = SD0 / n).Exemplos: - Empréstimos de longo prazo do BNDES.- Empréstimos do Banco Interamericano de Desenvolvimento (BID).- Empréstimos do Banco Mundial.

Sistemas de Amortização Constante - Sistemas de Amortização Constante - SACSAC

Page 138: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com.

Exemplo: Um empréstimo de R$ 100.000,00 será pago pelo sistema de amortização constante em cinco prestações mensais postecipadas. Se a taxa de juros for de 5% a.m., veja como ficará a planilha de amortização:

Mês Saldo Devedor Amortização Juros Prestação

(n) (SDn = SDn-1 - An) (An = SD0 / n) (Jn = SDn-1 x i) (PMT = A + J)

0 R$ 100.000,00 --- --- ---

1 R$ 80.000,00 R$ 20.000,00 R$ 5.000,00 R$ 25.000,00

2 R$ 60.000,00 R$ 20.000,00 R$ 4.000,00 R$ 24.000,00

3 R$ 40.000,00 R$ 20.000,00 R$ 3.000,00 R$ 23.000,00

4 R$ 20.000,00 R$ 20.000,00 R$ 2.000,00 R$ 22.000,00

5 R$ 0,00 R$ 20.000,00 R$ 1.000,00 R$ 21.000,00

--- R$ 100.000,00 --- ---

Sistemas de Amortização Constante - SACSistemas de Amortização Constante - SAC

Page 139: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com.

Nesse sistema, a prestação inicial é superior à prestação (fixa) do sistema francês, que era de R$ 23.097,48, ao passo que a última prestação é menor. Em suma, no início paga-se mais, porém termina-se pagando uma prestação menor que a do sistema frânces.

An = SD0 / n

SDn = SDn-1 - An

Jn = SDn-1 x i

PMT = A + J

Sistemas de Amortização Constante - SACSistemas de Amortização Constante - SAC

Page 140: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com.

Período de PAYBACKPeríodo de PAYBACK

É o período de recuperação de um investimento e consiste em identificar qual o prazo em que o montante do dispêndio de capital efetuado num projeto, seja recuperado, através dos FC líquidos de um projeto.

O Payback original, ou prazo de recuperação do capital, é encontrado somando-se os valores dos fluxos de caixa positivos ( e negativos, se houver) até que se atinja o montante dispendido no investimento.

Page 141: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com.
Page 142: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com.

Payback Simples (PBS)Payback Simples (PBS)

É o método de avaliação que mede o prazo de retorno do investimento realizado.

Exemplo: Aquisição de uma Copiadora moderna - Estimativa de economia Período (ano) Fluxo de Caixa (R$) Saldo (R$) Payback

0 (35.000) (35.000)1 10.000 (25.000)2 10.000 (15.000)3 10.000 ( 5.000)4 10.000 5.0005 10.000 15.000

Calcula-se o PBS por interpolação: 5.000 - (-5.000) 4 - 3

= 10.0001 = 12 meses

= 833,33

5.000 = 6 meses833,33

Page 143: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com.

Payback Descontado (PBD)Payback Descontado (PBD)É o método de avaliação que mede o prazo de retorno do investimento realizado. Considera o custo de capital da empresa. O fluxo de caixa de cada período trazido a valor presente, ou seja, calculado o valor de cada fluxo na data zero.Exemplo: Uma determinada pretende recuperar o capital investido de R$ 60.000,00 no máximo em 03 anos. Considerando que os fluxos líquidos de caixa deste investimento sejam de R$ R$ 24.000,00 por ano a uma taxa mínima de atratividade de 15% ao ano, como segue:

Page 144: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com.

Payback Descontado (PBD)Payback Descontado (PBD)

Conclusão:

a) Pelo visual a empresa terá recuperado o seu investimento no 4º ano, pois ao final do

3º ano falta apenas R$ 5.102,46.

b) Portanto para saber-se o prazo exato.

c) Basta dividir o saldo a recuperar do 3º ano pelo Fluxo Líquido de Caixa do 4º ano,

período onde o investimento ficará positivo, e será totalmente recuperado, como

segue:

R$ 5.202,46 = 0,379 X 360 dias = 136 dias + 3 anos = 3,379 anos R$ 13.722,08

3,379 anos é o tempo que o investimento será integralmente recuperado,

portanto também aceito pela empresa.

Page 145: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com.

Valor Presente Líquido (VPL) Valor Presente Líquido (VPL) ou Valor Atual Líquido (VALou Valor Atual Líquido (VAL))

(Na HP-12C tecla NPV)

NPV = FC0 + FC1 + FC2 + FC3 + ... + FCn

(1+ i)0 (1+ i)1 (1+ i)2 (1+ i)3 (1+ i)n

VPL = VAEC - IL

Onde:

VPL = valor presente líquido

VAEC = valor atual das Entradas de Caixa

IL = Investimento Líquido

Onde:

NPV = net present value

FC = Fluxos de Caixa

i = custo de oportunidade

(taxa de atratividade)

Page 146: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com.

Critério de “DecisãoCritério de “Decisão””

É o critério utilizado na análise de investimentos, capaz de aceitar ou não determinado projeto.

VPL > = 0 ACEITA-SE O PROJETO

VPL < 0 REJEITA-SE O PROJETO

Page 147: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com.

Exemplo : Investimento do Exemplo : Investimento do “Seu” Zé“Seu” Zé

Vamos usar o exemplo do “seu" Zé:Zé pretende se aposentar e está estudando um investimento a ser feito com suas economias. O projeto consiste na compra de um táxi (e contratação de um motorista) para trabalhar no mercado nos próximos 5 anos. Levantou as seguintes informações:a)preço de um veículo novo = R$15.000,00; b)b) licença + placa comercial = R$10.000,00;c) despesas gerais com o veículo no 1° ano estimadas em R$6.000,00, prevendo-se um aumento de R$1.000,00 a cada ano. O faturamento anual é da ordem de R$24.000,00 e o salário anual para contratar um motorista é de R$6.000,00. Ao final do empreendimento, o Zé pretende vender a placa pelo mesmo valor de aquisição e o veículo por um valor residual de 40%.

Page 148: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com.

Estrutura do Projeto do Estrutura do Projeto do exemploexemplo

Ano Investimento Receitas Despesas Salários do Fluxo decom veículo motorista Caixa Líquido

0 -25.000 -25.0001 24.000 -6.000 -6.000 12.0002 24.000 -7.000 -6.000 11.0003 24.000 -8.000 -6.000 10.0004 24.000 -9.000 -6.000 9.0005 16.000 24.000 -10.000 -6.000 24.000

1 2 3 4

-25.000

12.000 11.000 10.000 9.000 24.000

5

Page 149: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com.

Cálculo do VPLCálculo do VPL

EC Fator Valor atual

Co = VAEC1= 12.000 x 1/(1,15)1 = 10.434,78

Co = VAEC2= 11.000 x 1/(1,15)2 = 8.317,58

Co = VAEC3= 10.000 x 1/(1,15)3 = 6.575,16

Co = VAEC4= 9.000 x 1/(1,15)4 = 5.145,78

Co = VAEC5= 24.000 x 1/(1,15)5 = 11.932,24VAECt= 42.405,55

IL= -25.000,00VPL= 17.405,55

Usando matemática financeira e entendendo que o Zé quer uma taxa mínima de 15% de atratividade:

Page 150: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com.

Cálculo do VPLCálculo do VPL

Usando teclas financeiras da HP-12C:

-25.000,00 tecla g Cfo12.000,00 tecla g Cfj11.000,00 tecla g Cfj10.000,00 tecla g Cfj9.000,00 tecla g Cfj24.000,00 tecla g Cfj

15 tecla itecla f NPV 17.405,54

Entrada dos dados e Resposta

Page 151: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com.

Interpretação do VPLInterpretação do VPL

O projeto é viável, pois o VPL > 0;

Se o VPL fosse igual a zero, seria ainda igualmente viável. O projeto, além de devolver o investimento, proporcionou um ganho exatamente igual ao mínimo esperado, atingindo a taxa de atratividade requerida de 15%;

O VPL encontrado significa que o Zé, além de atingir o mínimo de 15% de retorno, teve um ganho em $ de R$17.405,55.

O valor encontrado para o VPL do projeto do “seu” Zé foi de R$17.405,55, que significa:

Page 152: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com.

Taxa Interna de Retorno (TIR)Taxa Interna de Retorno (TIR)

S0 + S1 + ....... + Sn = FC0 + FC1 + ... + FCn

(1+ i)0 (1+ i)1 (1+ i)n (1+ i)0 (1+ i)1 (1+ i)n

Uma das formas possíveis de pensar a TIR é:

Onde:

Sj = saída de caixa j.

FCj = entrada de caixa j.

i = taxa de juros usada para atualizar os FC e S = TIR

Page 153: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com.

Outra forma de representar a Outra forma de representar a TIRTIR

Outra forma de representar a TIR seria:

"ZERO" = NPV = FC0 + FC1 + FC2 + FC3 + ... + FCn

(1+ TIR)0 (1+ TIR)1 (1+ TIR)2 (1+ TIR)3 (1+ TIR)n

Onde:

FC0 = saída de caixa.

FCj = entrada de caixa j.

i = taxa de juros usada para atualizar os FC e S = TIR

Portanto: a TIR é a taxa que “zera” o VPL!

Page 154: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com.

Critério de “Decisão”Critério de “Decisão”

É o critério utilizado na análise de investimentos, capaz de aceitar ou não determinado projeto.

TIR > = K ACEITA-SE O PROJETO

TIR < K REJEITA-SE O PROJETO

Page 155: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com.

Cálculo da TIR (“IRR” na Cálculo da TIR (“IRR” na HP-12C)HP-12C)

Não há solução algébrica no conjunto dos números reais, para a equação que faz VPL=zero. Na verdade, é aqui que o uso da calculadora financeira mais se justifica. O cálculo seria então:

-25.000,00 tecla g Cfo12.000,00 tecla g Cfj11.000,00 tecla g Cfj10.000,00 tecla g Cfj9.000,00 tecla g Cfj24.000,00 tecla g Cfj

tecla f IRR 39,19%

Entrada dos dados e Resposta

Page 156: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com.

Interpretação da TIRInterpretação da TIRO valor encontrado para a TIR do projeto do “seu”

Zé foi de 39,19%, que significa:

• O projeto é viável, pois o TIR(39,19%) > K(15%)• Se a TIR fosse (=15%) igual a K, seria ainda

igualmente viável. O projeto, além de devolver o investimento, proporcionou um ganho exatamente igual ao mínimo esperado, atingindo a taxa de atratividade requerida de 15%

• O excedente encontrado em relação à taxa de atratividade (K) (39,19% - 15% = 24,19%) não tem significado na análise de investimentos. Só indica que riqueza está sendo agregada

Page 157: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com.

Referências BibliográficasReferências BibliográficasCOSTA NETO, Pedro Luiz de Oliveira., Estatística São Paulo, Edgard Blucher, 2002MARTINS, Gilberto de Andrade., Estatística Geral e Aplicada São Paulo, Atlas, 2001MORETTIN, Luiz Gonzaga., Estatística Básica São Paulo, Makron Books, 1999 KAZMIER, L. Estatística aplicada à Economia e Administração. São Paulo: McGraw-hill, 1982. 376p.FONSECA, J.S. da & MARTINS, G. de A. Curso de estatística. São Paulo: Atlas, 6.ed, 1996.320p._________. Estatística aplicada, São Paulo: Atlas, 2.ed., 1995.267p.SILVA, Ermes Medeiros da. Et al. Estatística: para cursos de economia, administração e ciências contábeis. São Paulo: Atlas, 1999. v. 1.