Métodos Quantitativos Aplicados à Logística

Métodos Quantitativos Métodos Quantitativos Aplicados à Logística de Aplicados à Logística de

Distribuição Distribuição

Prof. Adm. Roberto Ibrahim Uehbe Prof. Adm. Roberto Ibrahim Uehbe

Por que quantificar?Por que quantificar?

Em um País emergente a Em um País emergente a distribuição física através dos distribuição física através dos diversos modais representam, em diversos modais representam, em média, de 15 a 25% do PNB, sendo:média, de 15 a 25% do PNB, sendo:

1.1. Transportes 47%Transportes 47%2.2. Armazenagem 28%Armazenagem 28%3.3. Manutenção de Estoques 18%Manutenção de Estoques 18%4.4. Administração 7%Administração 7%

Em geral para uma empresa privada, os custos Em geral para uma empresa privada, os custos logísticos situam-se entre 19 e 22% das venda logísticos situam-se entre 19 e 22% das venda líquidas.líquidas.

Cerca de 1/3 dos suprimentos de alimentos Cerca de 1/3 dos suprimentos de alimentos perecíveis são perdidos durante a sua perecíveis são perdidos durante a sua distribuição, devido a própria manipulação, distribuição, devido a própria manipulação, armazenagem e deteriorização.armazenagem e deteriorização.

Segundo Leendes, a redução de 1% nos custos de Segundo Leendes, a redução de 1% nos custos de aquisição e distribuição representará incremento aquisição e distribuição representará incremento de 12% nos lucros.de 12% nos lucros.

Os fretes consomem de 1/3 a 2/3 dos custos Os fretes consomem de 1/3 a 2/3 dos custos logísticos totais.logísticos totais.

Council of Logistics Management - CLMCouncil of Logistics Management - CLM

É o processo de planejamento, É o processo de planejamento, implementação e controle do fluxo implementação e controle do fluxo eficiente e economicamente eficaz de eficiente e economicamente eficaz de matérias-primas, estoque em processo, matérias-primas, estoque em processo, produtos acabados e informações relativas produtos acabados e informações relativas desde o ponto de origem até o ponto de desde o ponto de origem até o ponto de consumo com o propósito de atender às consumo com o propósito de atender às exigências dos clientes.exigências dos clientes.

É dispor a mercadoria ou serviço certo, no É dispor a mercadoria ou serviço certo, no tempo certo e nas condições desejadas, ao tempo certo e nas condições desejadas, ao menor custo que, forneçam, a maior menor custo que, forneçam, a maior contribuição às empresas.contribuição às empresas.

Frete Médio por tonFrete Médio por ton

ModalModal $/Ton-Milha$/Ton-Milha Tempo Médio Tempo Médio Entrega Entrega

1=mais rápido1=mais rápido

Perigos e Perigos e Dandos Dandos

1=menor1=menor

FerroviárioFerroviário 2,502,50 33 55

RodoviárioRodoviário 25,0825,08 22 44

AquaviárioAquaviário 0,730,73 55 22

DutoviárioDutoviário 1,401,40 44 11

AeroviárioAeroviário 58,7558,75 11 33

Dados “Eno Transportation Foundation”Dados “Eno Transportation Foundation”

Um exemplo da importância das tarifas de Um exemplo da importância das tarifas de transportes na distribuiçãotransportes na distribuição

O máximo que A pode pagar pelo frete é 0,15/Kg, O máximo que A pode pagar pelo frete é 0,15/Kg, sem o lucrosem o lucro

Os Métodos Quantitativos em Logística de DistribuiçãoOs Métodos Quantitativos em Logística de Distribuição

Modelo Analógico de Distribuição:Modelo Analógico de Distribuição:

Constantes ConhecidasConstantes Conhecidasa1; a2 Capacidadesa1; a2 Capacidadesb1; b2; b3 Demandasb1; b2; b3 DemandasCij Custos de Frete da Origem “i”; Destino Cij Custos de Frete da Origem “i”; Destino

“j”“j”

O que se deseja determinar:O que se deseja determinar:Xij Quantidades a serem transportadas da Xij Quantidades a serem transportadas da

Origem “i” ao Destino “j”Origem “i” ao Destino “j”

Equação FundamentalEquação Fundamental

Somatório das Origens (capacidade) = Somatório das Origens (capacidade) = Somatório dos Destinos (Demanda) Somatório dos Destinos (Demanda)


Modelo Equilibrado Teoricamente:Modelo Equilibrado Teoricamente:

A Representação MatemáticaA Representação MatemáticaMedidas de Desempenho:Medidas de Desempenho: minimizar custos totais de distribuiçãominimizar custos totais de distribuição maximizar lucros maximizar lucros

(eficiência/resultados/volumes/transportes)(eficiência/resultados/volumes/transportes)

Seja o caso demonstrado no esquema:Seja o caso demonstrado no esquema:

Custo Parcial = Custos Unitários (fretes) Cij x Quantidades XijCusto Parcial = Custos Unitários (fretes) Cij x Quantidades Xij

Os Métodos Quantitativos em Logística de DistribuiçãoOs Métodos Quantitativos em Logística de Distribuição Restrições de Origens (Capacidades):Restrições de Origens (Capacidades):

Tudo que é distribuído (transportado para os destinos) é exatamente Tudo que é distribuído (transportado para os destinos) é exatamente igual as capacidades das origensigual as capacidades das origens

Restrições de Destinos (Demandas):Restrições de Destinos (Demandas):

Tudo o que chega em cada destino, transportado de cada origem é Tudo o que chega em cada destino, transportado de cada origem é exatamente igual a demanda de cada destino.exatamente igual a demanda de cada destino.


Modelo Genérico:Modelo Genérico:

______

CNNCNN

Xij ≥ 0Xij ≥ 0

Representação MatricialRepresentação Matricial

Matriz de TransportesMatriz de Transportes

OrigensOrigens II IIII IIIIII

AA CCAIAI

XXAIAI

CCAIIAII

XXAIIAII

CCAIIIAIII

XXAIIIAIII

a1a1

BB CCBIBI

XXBIBI

CCBIIBII

XXBIIBII

CCBIIIBIII

XXBIIIBIII

a2a2

DestinoDestino b1b1 b2b2 b3b3

Representação MatricialRepresentação MatricialMatriz de CustosMatriz de Custos

Os quadrículos receberam o nome de Casa ou CélulaOs quadrículos receberam o nome de Casa ou Célula

II IIII IIIIII

AA CCAIAI CCAIIAII CCAIIIAIII a1a1

BB CCBIBI CCBIIBII CCBIIIBIII a2a2

b1b1 b2b2 b3b3

Os métodos para obtenção de solução Os métodos para obtenção de solução através da Programação Linear e seus através da Programação Linear e seus

critérios de Distribuiçãocritérios de Distribuição

1 MÉTODOS APROXIMATIVOS1 MÉTODOS APROXIMATIVOS

1.1 Regra do Noroeste (cato esquerdo superior)1.1 Regra do Noroeste (cato esquerdo superior)

1.2 Método do Custo Mínimo1.2 Método do Custo Mínimo

1.3 Método de VOGEL ou das Penalidades1.3 Método de VOGEL ou das Penalidades

2 MÉTODOS DE OTIMIZAÇÃO2 MÉTODOS DE OTIMIZAÇÃO

1.1 Método de Indicadores U – V (MODI) (UNIVERSAL)1.1 Método de Indicadores U – V (MODI) (UNIVERSAL)

1.2 Outros Métodos Específicos Experimentais (uso restrito)1.2 Outros Métodos Específicos Experimentais (uso restrito)

Critério de Critério de Distribuição de Cada Distribuição de Cada

MétodoMétodo

Regra do NoroesteRegra do Noroeste

Critério de DistribuiçãoCritério de Distribuição

Alocar as quantidades das origens Alocar as quantidades das origens saturando uma de cada vez de saturando uma de cada vez de acordo com os destinos começando acordo com os destinos começando pela casa do canto esquerdo superior pela casa do canto esquerdo superior (origem “A”)(origem “A”)

Exemplo DemonstrativoExemplo Demonstrativo

Seja a Matriz de Transportes Abaixo:Seja a Matriz de Transportes Abaixo:

II IIII IIIIII IVIV OrigensOrigens

AA 88 99 1111 33 3737

BB 66 77 11 44 6565

CC 1010 1212 22 55 4242

Destinos Destinos 1515 6363 5252 1414 144144

Distribuição pela Regra do Distribuição pela Regra do NoroesteNoroeste

II IIII IIIIII IVIV

AA 1515 2222 37(22)(0)37(22)(0)

BB 4141 2424 65(24)(0)65(24)(0)

CC 2828 1414 42(14)(0)42(14)(0)

1515

(0)(0)6363

(41)(41)

(0)(0)

5252

(28)(28)

(0)(0)

1414

(0)(0)

*Obs.: A casa ou célula que receba quantidades toma o nome de Casa Ocupada

Porque Noroeste:Porque Noroeste:

tCustoXQuanMinC nwt

As Casas ocupadas se distribuem segundo a diagonal (NW)

15 x 8 + 22 x 9 + 41 x 7 + 24 x 1 + 28 x 2 + 14 x 5 =

120 + 198 + 187 + 24 + 56 + 70 = 755

Método do Custo MínimoMétodo do Custo Mínimo

Critério de DistribuiçãoCritério de Distribuição

Alocar a maior quantidade possível nas Alocar a maior quantidade possível nas casas de menor custo, uma de cada casas de menor custo, uma de cada vez.vez.



AA 88

(2)(2)99

(21)(21)1111 33

(14)(14)37(23)(21)(0)37(23)(21)(0)

BB 66

(13)(13)77 11

(52)(52)44 65(13)(0)65(13)(0)

CC 1010 1212

(42)(42)22 55 42(0)42(0)

DestiDestinos nos

1515

(2)(2)

(0)(0)

6363

(42)(42)

(0)(0)

5252

(0)(0)

(0)(0)

1414

(0)(0)144144

144144


tMEMC 8 x 2 = 168 x 2 = 16

9 x 21 = 1989 x 21 = 198

3 x 14 = 423 x 14 = 42

6 x 13 = 786 x 13 = 78

1 x 52 = 521 x 52 = 52

12 x 42 = 50412 x 42 = 504

tMEMC 881,00881,00

Observações ImportantesObservações Importantes

1. Uma solução por qualquer método é dita 1. Uma solução por qualquer método é dita “NORMAL” quando:“NORMAL” quando:

nº de casas ocupadas = nº de linhas + nº de nº de casas ocupadas = nº de linhas + nº de colunas – 1colunas – 1

NCO = m + n – 1NCO = m + n – 1Se NCO < m + n – 1, a solução é Se NCO < m + n – 1, a solução é

DEGENERADADEGENERADAOcorrerá sempre, ao alocar-se uma Ocorrerá sempre, ao alocar-se uma

quantidade em uma casa, saturando a quantidade em uma casa, saturando a linha e a coluna ao mesmo tempo.linha e a coluna ao mesmo tempo.


2. Um modelo será “DESEQUILIBRADO” se:2. Um modelo será “DESEQUILIBRADO” se:

Qualquer método pode ser aplicado se o Qualquer método pode ser aplicado se o modelo for “EQUILIBRADO”. O que se modelo for “EQUILIBRADO”. O que se consegue acrescentando-se uma “ORIGEM” consegue acrescentando-se uma “ORIGEM” ou “DESTINO VIRTUAL” com Produção ou ou “DESTINO VIRTUAL” com Produção ou Demanda igual à diferença entre ambas e Demanda igual à diferença entre ambas e com custos iguais a “ZERO”.com custos iguais a “ZERO”.

DESTINOSORIGENS

II IIII IIIIII**IVIV

OrigensOrigens

AA 00

BB 00

CC 00

Destinos Destinos 1010 120120--------------

120120

ORIGENS


Caso particular do Método do Custo Mínimo – Caso particular do Método do Custo Mínimo – Modelo “DESEQUILIBRADO”, só na aplicação do Modelo “DESEQUILIBRADO”, só na aplicação do método co Custo Mínimo existe a particularidade:método co Custo Mínimo existe a particularidade:

Como superá-la: Após equilibrar a matriz com uma Como superá-la: Após equilibrar a matriz com uma origem ou destino virtual com custos “zeros” origem ou destino virtual com custos “zeros” procede-se a alocação das quantidades nas casas procede-se a alocação das quantidades nas casas de menor custo, não considerando os “zeros” de de menor custo, não considerando os “zeros” de equilíbrio como de menor custo; ficando a equilíbrio como de menor custo; ficando a quantidade residual não alocada para ser quantidade residual não alocada para ser posicionada na casa de custo zero posicionada na casa de custo zero correspondente.correspondente.

Inicia-se com Casa BIII < custoInicia-se com Casa BIII < custo

Quantidades residuais 21 e 9 nas casa CII e CIIIQuantidades residuais 21 e 9 nas casa CII e CIII


AA 66

(15)(15)88

(12)(12)99 44

(16)(16)43(27)(12)(0)43(27)(12)(0)

BB 1010 1212 11

(17)(17)77 17(0)17(0)

CC 00 00

(21)(21)00

(9)(9)00 30(21)(9)(0)30(21)(9)(0)

DestiDestinos nos

1515

(0)(0)3333

(21)(21)

(0)(0)

2626

(9)(9)

(0)(0)

1616

(0)(0)30+60=9030+60=90

9090

ijij XCCustoTotal .

Modelo de Vogel ouModelo de Vogel oudas Penalidadesdas Penalidades

““PENALIDADE” é a diferença entre os dois PENALIDADE” é a diferença entre os dois menores custos de uma linha (Penalidade de menores custos de uma linha (Penalidade de Linha) ou de uma coluna ( Penalidade de Coluna) Linha) ou de uma coluna ( Penalidade de Coluna) desde que não sejam “iguais” pois não existe desde que não sejam “iguais” pois não existe “PENALIDADE ZERO”“PENALIDADE ZERO”

Calculam-se todas as penalidades quer de linhas Calculam-se todas as penalidades quer de linhas quer de colunas; seleciona-se dentre todas a de quer de colunas; seleciona-se dentre todas a de MAIOR valor. Esta, indica a linha ou a coluna da MAIOR valor. Esta, indica a linha ou a coluna da Matriz que recebe a 1ª alocação na casa de Matriz que recebe a 1ª alocação na casa de menor custo. A linha ou coluna saturada é menor custo. A linha ou coluna saturada é eliminada do cálculo de novas penalidades. eliminada do cálculo de novas penalidades. Repete-se o mesmo procedimento até a completa Repete-se o mesmo procedimento até a completa distribuição de origens e destinos.distribuição de origens e destinos.

II IIII IIIIII IVIV LL11 LL22 LL33 LL44

AA 0808 0909 1111 33

(14)(14)37(23)(0)37(23)(0) (5)(5) 11 11 11

BB 66

(13)(13)77 11

(52)(52)44 65(13)(0)65(13)(0) 33 (3)(3) 11

CC 1010

(2)(2)1212

(40)(40)22 55 42(40)(0)42(40)(0) 33 33 22 22

1515

(2)(2)

(0)(0)

6363

(40)(40)

(0)(0)

5252

(0)(0)1414

(0)(0)144144

144144

CC11 22 22 11 11

CC22 22 22 11

CC33 (2)(2) 22

CC44 22 (3)(3)

tvoC 9 x 23 = 2079 x 23 = 2073 x 14 = 423 x 14 = 426 x 13 = 786 x 13 = 781 x 52 = 521 x 52 = 5210 x 2 = 2010 x 2 = 2012 x 40 = 48012 x 40 = 480________________________ 879879

Método Otimizante U – V (MODI) (UNIVERSAL)Método Otimizante U – V (MODI) (UNIVERSAL)

O Método MODI melhora uma O Método MODI melhora uma solução por qualquer método solução por qualquer método aproximativo, que será então a aproximativo, que será então a “SOLUÇÃO INICIAL”. Caso esta “SOLUÇÃO INICIAL”. Caso esta solução não possa ser melhorada (o solução não possa ser melhorada (o MODI indicará) ela já será “ÓTIMA”. MODI indicará) ela já será “ÓTIMA”. Não sendo, o método vai em busca Não sendo, o método vai em busca da “SOLUÇÃO ÓTIMA”.da “SOLUÇÃO ÓTIMA”.

OBS: O método não pode ser OBS: O método não pode ser aplicado se a Solução Inicial for aplicado se a Solução Inicial for “DEGENERADA” (n° de casas “DEGENERADA” (n° de casas insuficientes).insuficientes).

O Método U – V tem pois,O Método U – V tem pois,duas etapasduas etapas

1ª Etapa: Teste de Otimicidade1ª Etapa: Teste de Otimicidade

2ª Etapa: Redistribuição pelo critério 2ª Etapa: Redistribuição pelo critério MODI caso a “Inicial não seja ótima”MODI caso a “Inicial não seja ótima”

Seja pelo exemplo anterior a Seja pelo exemplo anterior a solução pela Regra Noroestesolução pela Regra Noroeste

II IIII IIIIII IVIV

AA 88

(15)(15)99

(22)(22)1111 33 3737

BB 66 77

(41)(41)11

(24)(24)44 6565

CC 1010 1212 22

(28)(28)55

(14)(14)4242

1515 6363 5252 1414

Matriz de Custos dasMatriz de Custos dasCasas OcupadasCasas Ocupadas

II IIII IIIIII IVIV

AA 88 99 UU11=0=0

BB 77 11 UU22=-2=-2

CC 22 55 UU33=-1=-1

VV11=8=8 VV22=9=9 VV33=3=3 VV44=6=6

Equação BásicaEquação Básica

CCijij=U=Uii+V+Vjj

Passos para o Teste de Otimicidade:Passos para o Teste de Otimicidade:1º Aplica-se valor “zero” a qualquer índice e 1º Aplica-se valor “zero” a qualquer índice e

pela “fórmula” calculamos os outrospela “fórmula” calculamos os outros2º Cálculo dos “Índices de Casas Vazias” – ICV2º Cálculo dos “Índices de Casas Vazias” – ICV

Equação BásicaEquação BásicaIIcvijcvij=C=Cijij-(U-(Uii+V+Vjj))

Índice negativo indica que a distribuição não é Índice negativo indica que a distribuição não é ótima e pode ser melhoradaótima e pode ser melhorada

Como indicado:Como indicado:

IIAIIIAIII=11-(0+3)=8=11-(0+3)=8

IIAIVAIV=3-(0+6)=-3 (único valor negativo)=3-(0+6)=-3 (único valor negativo)

IIBIBI=6-(-2+8)=0=6-(-2+8)=0

IIBIIBII=4-(-2+6)=0=4-(-2+6)=0

IICICI=10-(-1+8)=3=10-(-1+8)=3

IICIICII=12-(-1+9)=4=12-(-1+9)=4

Solução pode ser melhoradaSolução pode ser melhorada

2ª Etapa REDISTRIBUIÇÃO MODI2ª Etapa REDISTRIBUIÇÃO MODI

Critério de Redistribuição: Circuito de Critério de Redistribuição: Circuito de AvaliaçãoAvaliação

Tendo como vértice a casa vazia com Tendo como vértice a casa vazia com indicador negativo, percorre-se um circuito indicador negativo, percorre-se um circuito fechado (sai e volta para a mesma casa) fechado (sai e volta para a mesma casa) onde as outras casas só podem ser onde as outras casas só podem ser ocupadas (não pode existir duas casas ocupadas (não pode existir duas casas vazias no circuito). O circuito é poligonal vazias no circuito). O circuito é poligonal “quebrado” em cada vértice (casa “quebrado” em cada vértice (casa ocupada).ocupada).

Matriz de Casas OcupadasMatriz de Casas Ocupadas(Quantidades)(Quantidades)II IIII IIIIII IVIV

AA 1515 (-)(-)

2222(+)(+)

BB (+)(+)

4141(-)(-)

2424

CC (+)(+)

2828(-)(-)

1414

Sinal positivo na casa vazia alternando-se com o negativoSinal positivo na casa vazia alternando-se com o negativo

Nova Matriz QuantidadesNova Matriz QuantidadesII IIII IIIIII IVIV

AA 1515 88 1414 3737

BB 5555 1010 6565

CC 4242 4242

1515 6363 5252 1414 Casa Casa CCIVIV=0 =0

(vazia)(vazia)

Repete-se os passos anteriores até não existir indicador de casa Repete-se os passos anteriores até não existir indicador de casa vazia com sinal negativo, o que significa que a Solução Ótima vazia com sinal negativo, o que significa que a Solução Ótima foi encontradafoi encontrada

Matriz de Custos das Casas Matriz de Custos das Casas OcupadasOcupadas

II IIII IIIIII IVIV

AA 88 99 33 UU11=0=0

BB 77 11 UU22=-2=-2

CC 22 UU33=-1=-1

VV11=8=8 VV22=9=9 VV33=3=3 VV44=3=3

Todos os valores positivos: Todos os valores positivos: “Solução Ótima foi encontrada”“Solução Ótima foi encontrada”

IIAIIIAIII=11-(0+3)=8=11-(0+3)=8

IIBIBI=0-(-2+8)=0=0-(-2+8)=0

IIBIVBIV=4-(-2+3)=3=4-(-2+3)=3

IICICI=10-(-2+8)=3=10-(-2+8)=3

IICIICII=12-(-1+9)=4=12-(-1+9)=4

Valores Positivos:Valores Positivos:SOLUÇÃO ÓTIMASOLUÇÃO ÓTIMA

tOTIMOC8 x 15 = 1208 x 15 = 120

9 x 8 = 729 x 8 = 72

3 x 15 = 423 x 15 = 42

7 x 55 = 3857 x 55 = 385

1 x 10 = 101 x 10 = 10

2 x 42 = 842 x 42 = 84

------------------------------

= 713= 713

ObservaçõesObservações1. Em todos os critérios de distribuição pelos 1. Em todos os critérios de distribuição pelos

métodos já vistos as casas “ALOCADAS” métodos já vistos as casas “ALOCADAS” nada mais são do que as “RAIZES DO nada mais são do que as “RAIZES DO SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES” SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES” representadas matricialmente.representadas matricialmente.

2. Os métodos apresentados, originalmente 2. Os métodos apresentados, originalmente visam a obtenção de solução de “CUSTO visam a obtenção de solução de “CUSTO TOTAL MÍNIMO”.TOTAL MÍNIMO”.

Contudo os modelos matriciais, podem ser Contudo os modelos matriciais, podem ser usados para obtenção de solução de usados para obtenção de solução de “MAXIMIZAÇÃO”.“MAXIMIZAÇÃO”.

Para tanto usamos o conceito de Para tanto usamos o conceito de “DUALIDADE” que nos indica que “DUALIDADE” que nos indica que maximizar uma função é também maximizar uma função é também “MINIMIZAR” o seu simétrico.“MINIMIZAR” o seu simétrico.

Assim MAAssim MAXZXZ = M = MININ (-Z) (-Z)

O artifício aplicado consiste em O artifício aplicado consiste em multiplicarmos os “LUCROS UNITÁRIOS” multiplicarmos os “LUCROS UNITÁRIOS” ou o que se deseja “MAXIMIZAR” por (-1) ou o que se deseja “MAXIMIZAR” por (-1) selecionar o maior elemento com sinal selecionar o maior elemento com sinal negativo e somá-lo a si mesmo e todos os negativo e somá-lo a si mesmo e todos os outros. Deste modooutros. Deste modo

ObservaçõesObservações

Devemos ter o cuidado de ao Devemos ter o cuidado de ao extraímos a solução final após as extraímos a solução final após as alocações das quantidades, de alocações das quantidades, de transferirmos para a matriz original transferirmos para a matriz original (de lucros) para o cálculo do Lucro(de lucros) para o cálculo do Lucro

No caso de modelo desequilibrado é No caso de modelo desequilibrado é indiferente equilibra-lo antes ou indiferente equilibra-lo antes ou depois de transformamos a matriz de depois de transformamos a matriz de ganhos em matriz de custos.ganhos em matriz de custos.

O Modelo das Atribuições O Modelo das Atribuições (Designação)(Designação)

Este modelo de Programação Linear, para Este modelo de Programação Linear, para resolução de problemas de alocações resolução de problemas de alocações (layout), tem grande utilidade em logística (layout), tem grande utilidade em logística de distribuição, principalmente na de distribuição, principalmente na resolução de problemas de layout e resolução de problemas de layout e localização de centros de distribuição – localização de centros de distribuição – CD, e até mesmo de pontos de vendas, e CD, e até mesmo de pontos de vendas, e micro logística na área interna de micro logística na área interna de produção e armazenamento em produção e armazenamento em organizações industriais.organizações industriais.

O Modelo das Atribuições O Modelo das Atribuições (Designação)(Designação)

O modelo de Designação é um modelo O modelo de Designação é um modelo degenerado do problema de degenerado do problema de transporte onde as origens e os transporte onde as origens e os destinos são unitários e mutuamente destinos são unitários e mutuamente exclusivos. A Matriz de designação exclusivos. A Matriz de designação recebe o nome de “MATRIZ DE recebe o nome de “MATRIZ DE EFICIÊNCIA” e originalmente tem de EFICIÊNCIA” e originalmente tem de ser “EQUILIBRADA” (MATRIZ ser “EQUILIBRADA” (MATRIZ QUADRADA). Exemplo:QUADRADA). Exemplo:

PosiçõesPosiçõesII IIII IIIIII IVIV

AA CCAIAI

XXAIAI

CCAIIAII

XXAIIAII

CCAIIIAIII

XXAIIIAIII

CCAIVAIV

XXAIVAIV

11

BB CCBIBI CCBIIBII CCBIIIBIII CCBIVBIV 11

CC CCCICI CCCIICII CCCIIICIII CCCIVCIV 11

DD CCDIDI CCDIIDII CCDIIIDIII CCDIVDIV 11

11 11 11 11

MÁQUINAS

O Critério é o do CUSTO MÍNIMO

Cada “ORIGEM” só pode ser alocada a um “ÚNICO DESTINO”, sendo ambos automaticamente saturados

PosiçõesPosições

II IIII IIIIII IVIV

AA 55 77 66 44

BB 1010 88 33 99

CC 22 44 55 66

DD 1010 55 1111 88

MÁQUINAS

Solução:

AIV = 4

BIII= 3

CI = 2

DII = 5

Como vemos a solução algébrica do Como vemos a solução algébrica do sistema de equações lineares será:sistema de equações lineares será:

5

2

3

4

II

I

III

IV

D

C

B

A

X

X

X

X

ROTA

II IIII IIIIII IVIV

AA 33 66 55 77 -3-3

BB 44 88 99 1111 -4-4

CC 1010 66 55 88 -5-5

DD 1111 99 77 1212 -7-7

AVIÕES

O Problema passa a existir quando existe mais de uma origem para o mesmo destino ou vice-versa

Exemplo Ilustrativo:

Matriz Equivalente para Fins de Matriz Equivalente para Fins de Alocação: Fase I LinhasAlocação: Fase I Linhas

II IIII IIIIII IVIV

AA 00 33 22 44

BB 00 44 55 77

CC 55 11 00 33

DD 44 22 00 55

-1-1 -3-3O nº. de zeros é insuficiente. O problema se torna indeterminado

Para superar a carência de “zeros” o matemático húngaro König, criou a “REGRA DE CORTES” para consecução de mais zeros.

Passos para aplicação das regras de Passos para aplicação das regras de corte:corte:

1 – Cortar o maior nº. De zeros de Matriz, como menor nº. De linhas ortogonais – verticais ou horizontais – (não podem ser inclinadas). Todos os zeros tem de ser cortados mesmo por uma só linha.

2 - Selecionar o elemento de menor valor não cortado, subtraí-lo de si mesmo. E todos os não cortados, e os some aos cortados duas vezes (em cruz)

3 – Os cortados uma só vez permanecem como estão.

Fase II ColunaFase II Coluna

II IIII IIIIII IVIV

AA 00 22 22 11

BB 00 33 55 44

CC 55 00 00 00

DD 44 11 00 22

II IIII IIIIII IVIV

AA 00 11 11 00

BB 00 22 44 33

CC 66 00 00 00

DD 55 11 00 22

No exemplo anterior:

Menor número – 1

Cortado duas vezes – 5 e 4

NOVA MATRIZ

Solução:

A IV = 7

B I = 4

C II = 6

D III = 7

Os Custos são obtidos na matriz original

Custo total ótimo C = 24

Como no modelo de transportes, os modelos de designação podem ser “DESIQUILIBRADOS”. Para equilibra-lo adiciona-se uma linha ou coluna (custo zero) para “QUADRAR” a matriz.

Da mesma forma podemos usar o modelo para maximizar usando o mesmo artifício permitido pelo Teorema da Dualidade Max Z = Min (-Z)

Exemplo Ilustrativo:Exemplo Ilustrativo:Seja uma empresa de distribuição de cargas fracionadas em área urbana com quatro caminhões para transporte de produtos para cinco localidades com rotas pré estabelecidas. Como atender os destinos para que os custos de distribuição sejam menores possíveis?

DESTINOS

VEÍCULOS

II IIII IIIIII IVIV VV

AA 1212 1111 88 99 22

BB 99 55 77 66 22

CC 1010 88 66 44 22

DD 44 77 55 33 22

MATRIZ EQUILIBRADAMATRIZ EQUILIBRADAII IIII IIIIII IVIV VV

AA 1212 1111 88 99 22 -2-2

BB 99 55 77 66 22 -2-2

CC 1010 88 66 44 22 -2-2

DD 44 77 55 33 22 -2-2

E*E* 00 00 00 00 00

FASE I DAS LINHASFASE I DAS LINHASE* VIRTUAL


AA 1010 99 66 33 00

BB 77 33 55 44 00

CC 55 66 44 22 00

DD 22 55 33 11 00

E*E* 00 00 00 00 00


AA 99 88 55 22 00

BB 66 22 44 33 00

CC 77 55 33 22 00

DD 11 44 22 00 00

E*E* 00 00 00 00 11

Menor Cortado (2)


AA 77 66 33 00 00

BB 44 00 44 11 00

CC 55 33 11 00 00

DD 11 44 22 00 22

E*E* 00 00 00 00 33

Não tem Fase II (colunas)

REGRA DE CORTES (1ª Iteração)

2ª Iteração


AA 66 55 22 00 00

BB 44 00 44 11 11

CC 44 22 00 00 00

DD 00 33 11 00 22

E*E* 00 00 00 11 44

3ª Iteração

A IV = 5 = XAII

B II = 5 = XBII

C V = 6 = XCV

D I = 4 = XDI

E III = 0 = XEIII

--------------------

Valores na Matriz D. Inicial

CTORIMO = 18

Logística de DistribuiçãoLogística de Distribuição METODOS DE ROTEIRIZAÇÃO:METODOS DE ROTEIRIZAÇÃO:Solução por meio da teoria dos GRAFOS – REDES – Solução por meio da teoria dos GRAFOS – REDES –

Representação gráfica de programas de Representação gráfica de programas de distribuição.distribuição.

NÓS – início ou fim de uma atividade / operação ou NÓS – início ou fim de uma atividade / operação ou tarefas.tarefas.

Arcos ou Arestas (linhas) representam as operações Arcos ou Arestas (linhas) representam as operações ou outra unidade qualquer.ou outra unidade qualquer.

GRAFOS – orientados (um único sentido)GRAFOS – orientados (um único sentido)REDES – dois sentidosREDES – dois sentidos

Capacidade de um ARCO xij i = origem (i j)Capacidade de um ARCO xij i = origem (i j) j = destinoj = destino

Determinação do Fluxo MáximoDeterminação do Fluxo Máximo Método aplicado: algoritmo de FORD-FULKERSONMétodo aplicado: algoritmo de FORD-FULKERSON

Os arcos representam: distâncias / tempo / custos / Os arcos representam: distâncias / tempo / custos / cargas / ton a transportar, etc.cargas / ton a transportar, etc.

Exemplo ilustrativo: Deposito 1 ; Destino 9Exemplo ilustrativo: Deposito 1 ; Destino 9

Arcos em 10 tonArcos em 10 ton

Capacidade de Capacidade de FluxoFluxo

i = origemi = origem

j = destinoj = destino

FIGURA 1FIGURA 1

Passos para seleção da rota de Passos para seleção da rota de fluxo máximofluxo máximo

Determinação das rotas:Determinação das rotas:

Caminho 1 2 4 7 9Caminho 1 2 4 7 9

Menor capacidade do caminho: menor valor de “i”Menor capacidade do caminho: menor valor de “i”

No caso (3)_4 6(3)4 menor valor 3No caso (3)_4 6(3)4 menor valor 3

Diminui-se este valor de cada origem “i” soma-se Diminui-se este valor de cada origem “i” soma-se a cada “j”, logo:a cada “j”, logo:

Novos “i” = 1 3 0 1Novos “i” = 1 3 0 1

Novos “j” = 6 6 8 10Novos “j” = 6 6 8 10

Nova RedeNova Rede

Nova Rede – 2ª InteraçãoNova Rede – 2ª Interação

Novo CaminhoNovo Caminho1-3-5-7-91-3-5-7-9

Menor i=1Menor i=1

Novos i=0 3 3 0Novos i=0 3 3 0

Novos j=9 8 4 11 FIGURA 2Novos j=9 8 4 11 FIGURA 2

Rede de Fluxo MáximoRede de Fluxo Máximo(capacidade 10 t)(capacidade 10 t)

As capacidades finais de cada arco são obtidas pelas As capacidades finais de cada arco são obtidas pelas diferenças entre as capacidades finais da fig.2 e as iniciais diferenças entre as capacidades finais da fig.2 e as iniciais da fig. 1da fig. 1

Algoritmo de DijkstraAlgoritmo de Dijkstra

Seja a rede onde se deseja ir de 1 à 9 percorrendo o caminho mais curtoSeja a rede onde se deseja ir de 1 à 9 percorrendo o caminho mais curto

Começamos com o Nó 1 rotulando de [0;0] porque não tem outros antes Começamos com o Nó 1 rotulando de [0;0] porque não tem outros antes dele.dele.

A partir dele podemos ir para 2 ou 3 [1;3], saindo do Nó 1 e dura 4, idem A partir dele podemos ir para 2 ou 3 [1;3], saindo do Nó 1 e dura 4, idem para [1;4] e assim por diante.para [1;4] e assim por diante.

Caminho mais curso: 1 3 6 8 9 com distância de 12 und [8;12]Caminho mais curso: 1 3 6 8 9 com distância de 12 und [8;12]

Algoritmo de PrimAlgoritmo de Prim

Observe que a Rede não é orientadaObserve que a Rede não é orientada

Ligação Mínima B A C F E D G I H Total = 23 (tempo de ligação mínima)Ligação Mínima B A C F E D G I H Total = 23 (tempo de ligação mínima)

OBRIGADO!!!OBRIGADO!!!

Prof. Adm. Roberto Ibrahim UehbeProf. Adm. Roberto Ibrahim Uehbe

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Métodos Quantitativos Aplicados à Logística

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