MÉTODOS QUANTITATIVOS - Cap. 5 pesquisa operacional

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Métodos Quantitativos Prof. Elvis Magno da Silva 2013

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Métodos Quantitativos

Prof. Elvis Magno da Silva 2013

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Cap. 5 – Pesquisa Operacional

5.1 Surgimento e Desenvolvimento da Pesquisa Operacional. Martín (2003, p.2) expõe que a pesquisa operacional surgiu com a

segunda guerra mundial na Grã Bretanha, onde administradores militares chamaram um grupo de cientistas de diversas áreas do conhecimento para estudarem os problemas táticos e estratégicos associados a defesa do país. O autor ainda coloca que o nome pesquisa operacional foi dado aparentemente porque a equipe de cientistas estavam investigando e pesquisando as operações militares.

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Cap. 5 – Pesquisa Operacional

5.1 Surgimento e Desenvolvimento da Pesquisa Operacional.

Em linhas gerais, Glover e Sueyoshi (2008, p.1) resumem a história da Pesquisa Operacional (PO) da seguinte forma: a ciência no século XVIII era constituída das teorias de Laplace, Graus e Boscovich. Essas teorias juntaram-se a programação linear e a programação fracional, que deram origem a teoria da regressão L1. A regressão L1 promoveu a programação de metas e objetivos que dividiu-se em dois ramos de estudo: o desenvolvimento e análise de dados (DEA); e a programação matemática baseada na análise da discriminante (DA).

Ainda segundo Glover e Sueyoshi (2008, p.1), observou-se que esses dois ramos não poderiam permanecer separados, e em 1999, deu-se origem ao que conhece-se de DEA-DA que é o Desenvolvimento e Análise de Dados da Análise da Discriminante.

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5.2 Definições.

Montevechi (2006, p. 3) onde diz que “PO é a aplicação do método científico, por equipes interdisciplinares, a problemas que dizem respeito ao controle de sistemas organizados (homem-máquina) com a finalidade de obter as soluções que melhor satisfazem aos objetivos da organização, como um todo”.

Duckworth (1972, p. 16-17) diz também que a parte mais importante do conceito de Pesquisa Operacional é “soluções ótimas para os problemas... que dizem respeito ao funcionamento de um sistema”. Ele apóia que nos trabalhos de PO, importa o sistema, não os elementos que o compões.

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5.3 Aplicações da Pesquisa Operacional. Segundo Lachtermacer (2004, p.1), a PO pode ser utilizada para

ajudar nos processos de decisão. Como por exemplo: Problemas de Otimização de Recursos; Problemas de Localização; Problemas de Roteirização; Problemas de Carteiras de Investimento; Problemas de Alocação de Pessoas; e Problemas de Previsão e Planejamento.

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5.3 Aplicações da Pesquisa Operacional. Oliveira (1999, p.135 e 136) ainda completa dizendo que a PO

(pesquisa operacional) já foi empregada “nas previsões meteorológicas, simulações de testes atômicos e viagens espaciais, ..., análise de redes, teoria dos jogos, teoria das filas, teoria dos transportes, planejamento estratégico, riscos e incertezas, dentre outras aplicações”.

Há uma observação feita por Shamblin e Stevens Jr (1979, p.13) que deve ser levado em consideração: “É essencial em qualquer estudo de PO que o problema em consideração seja claramente definido. É quase impossível obter uma resposta ‘certa’ a partir de um problema ‘errado’ ”.

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5.4 Formulação. Ackoff e Sasieni (1974, p.11) também mostram a forma de equações

que os modelos de PO assumem. Para eles, esta forma é de estrutura básica e muito simples:

Z = (Xi, Yj)

Onde: Z é a utilidade ou valor do desempenho (performance) do sistema

(será chamada de função objetivo); Xi, as variáveis que podem ser controladas;

Yj as variáveis (ou constantes) que não podem ser controladas, mas que afetam Z; e

o relacionamento entre Z, Xi, Yj.

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5.4 Formulação.

Ainda segundo Ackoff e Sasieni (1974, p.11 e 12), além desta forma matemática “necessitaremos freqüentemente de uma ou mais equações ou inequações para traduzir a condição de que algumas, ou todas as variações controladas só podem ser manipuladas dentro de limites”. Por exemplo: o número de horas trabalhadas por dia de uma pessoa não pode ser menor que zero, nem maior que 24.

Para Montevechi (2006, p. 9), estas equações ou inequações de controle podem ser chamadas de limitações ou restrições.

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5.5 Programação Linear. Segundo Lachtermacer (2004, p.27) um problema de programação

linear está em sua forma padrão se tiver “uma Maximização da função-objetivo e se todas as restrições forem do tipo menor ou igual, bem como os termos constantes e variáveis de decisão não negativos”. De forma matemática pode-se representar um problema padrão por:

Maximizar Z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn

Sujeito a:

a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn ≤ b1

a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn ≤ b2

….........................……. ……….

am1x1 + am2x2 + … + amnxn ≤ bm

x1, x2, …, xn ≥ 0

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5.6 Problemas de Maximização e Minimização. Para melhor se entender a formação algébrica da formulação do

problema. Observe um exemplo hipotético de Montevechi (2006, p.20):

Uma fábrica produz dois tipos de brinquedos de madeira: soldados e trens. Um soldado é vendido por $27 e usa $10 de matéria prima. Cada soldado que é fabricado tem um custo adicional de $14 relativo à mão de obra. Um trem é vendido por $21 e gasta $9 de matéria prima. O custo de mão de obra adicional para cada trem é de $10. A fabricação destes brinquedos requer dois tipos de mão de obra: carpintaria e acabamento. Um soldado necessita de 2 horas para acabamento e 1 hora de carpintaria. Um trem necessita de 1hora para acabamento e 1 hora de carpintaria. Cada semana, a fábrica pode obter qualquer quantidade de matéria prima, mas tem a disposição até 100 horas de acabamento e 80 de carpintaria. A demanda por trens é ilimitada, mas a venda de soldados é de no máximo 40 por semana. A fábrica quer maximizar seu lucro diário (receitas -custo). Com estes dados, será formulado o modelo matemático que poderá auxiliar na maximização do lucro semanal.

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5.7 Construção do Problema Matemático. Primeiramente se deve levantar a questão problemas, que é “quantos

soldados e trens devem ser feitos na semana?”. Para esclarecer ainda mais, devem-se representar as variáveis de decisão. Neste caso, o número de soldados produzidos e o número de trens produzidos.

Veja: X1 = número de soldados produzidos a cada semana X2 = número de trens produzidos a cada semana

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5.7 Construção do Problema Matemático. Para obtenção da função objetivo, consideremos três pontos:

a receita e custos podem ser expressos em termos das variáveis X1 e X2,

será assumido que todo brinquedos produzidos possam ser vendidos, e que,

a receita da semana é igual a receita dos soldados mais a receita dos trens. Disto posto:

Receita por semana = 27*X1 + 21*X2, e

Custos de M.P. = 10*X1 + 9*X2

Custos de M.O. = 14*X1 + 10*X2

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5.7 Construção do Problema Matemático. Desta forma afirma-se que a fábrica quer maximizar:

  (27*X1 + 21*X2) – (10*X1 + 9*X2) – (14*X1 + 10*X2)

 

 

Simplificando esta equação, obtem-se que a maximização da questão é:

 

Max Z = 3X1 + 2X2

Receita Custo Matéria Prima Custo Mão Obra

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Cap. 5 – Pesquisa Operacional

5.7 Construção do Problema Matemático. X1 e X2 são limitadas por algumas restrições. Vejam quais são:

 

1) Cada semana, não há mais que 100 horas de acabamento;

2) Cada semana, não há mais que 80 horas de carpintaria;

3) Limitação da demanda, não mais de 40 soldados por semana

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Cap. 5 – Pesquisa Operacional

5.7 Construção do Problema Matemático. X1 e X2 são limitadas por algumas restrições. Vejam quais são:

 

1) Cada semana, não há mais que 100 horas de acabamento;

2) Cada semana, não há mais que 80 horas de carpintaria;

3) Limitação da demanda, não mais de 40 soldados por semana.

O passo a seguir, é a transformação destas restrições em expressões matemáticas em termo das variáveis de decisão X1 e X2.

 

Restrição 1: 2X1 + X2 ≤ 100

Restrição 2: X1 + X2 ≤ 80

Restrição 3: X1 ≤ 40

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5.7 Construção do Problema Matemático. Porém, Montevechi (2006, p. 25) nos lembra que é importante que se

tome outras duas restrições matemáticas para a formulação deste problema, que são:

 

Restrição adicional 1: X1 ≥ 0

Restrição adicional 2: X2 ≥ 0

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5.7 Construção do Problema Matemático.

De forma resumida, matematicamente se tem:

Max Z = 3X1 + 2X2

Sujeito a:

2X1 + X2 ≤ 100

X1 + X2 ≤ 80

X1 ≤ 40

X1 ≥ 0

X2 ≥ 0

O problema deste exemplo hipotético é típico de muitas empresas, que precisam maximizar os lucros e ao mesmo tempo estão sujeitos a recursos limitados.

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5.6 Praticando: Uma fábrica produz dois tipos de brinquedos de madeira: soldados e trens. Um soldado é vendido por $30 e usa $10 de matéria prima. Cada soldado que é fabricado tem um custo adicional de $15 relativo à mão de obra. Um trem é vendido por $25 e gasta $10 de matéria prima. O custo de mão de obra adicional para cada trem é de $10. A fabricação destes brinquedos requer dois tipos de mão de obra: carpintaria e acabamento. Um soldado necessita de 3 horas para acabamento e 1 hora de carpintaria. Um trem necessita de 2 hora para acabamento e 1 hora de carpintaria. Cada semana, a fábrica pode obter qualquer quantidade de matéria prima, mas tem a disposição até 100 horas de acabamento e 90 de carpintaria. A demanda por trens é 110 trens por semana, e a venda de soldados é de no máximo 40 por semana. A fábrica quer maximizar seu lucro diário (receitas -custo). Com estes dados, será formulado o modelo matemático que poderá auxiliar na maximização do lucro semanal.

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5.6 Praticando:

MÁX Z = 5.X1 + 5.X2

Sujeito a:

3.X1 +2.X2 ≤ 100

1.X1 +1.X2 ≤ 90

X1 ≤ 40

X2 ≤ 110

X1 ≥ 0

X2 ≥ 0

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5.6 Praticando: Uma fábrica produz três tipos de brinquedos: bolas, bonecas e carros. Uma bola é vendida por R$15, uma boneca é vendida por R$10, e um carro é vendido por R$5. A fabricação destes brinquedos requer dois tipos de serviço: produção e empacotamento. Um lote de bola (50 unidades) requer 2 horas para produção e 1 hora empacotamento. Um lote (50 unidades) de boneca necessita de 4 horas para produção e 2 hora para empacotamento. Um lote (50 unidades) de carros leva 3 horas de produção e 1 hora de empacotamento. Cada semana, a fábrica pode obter qualquer quantidade de matéria prima, mas tem a disposição até 240 horas de produção e 190 de empacotamento. Sabe-se que a demanda semanal de bolas é de 110 bolas. Já a demanda de bonecas é de 50 por semana. E a venda de carros é ilimitada. A fábrica quer maximizar sua receita (vendas $$$). Com estes dados, formule o modelo matemático que poderá auxiliar na maximização da receita semanal.

[ou seja, quantos lotes de cada brinquedo tenho que vender para alcançar a maior receita?]

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5.6 Praticando:

MÁX Z = 15.X1 + 10.X2 + 5.X3

Sujeito a:

2.X1 +4.X2 + 3.X3 ≤ 240

1.X1 +2.X2 + 1.X3 ≤ 190

X1 ≤ 110

X2 ≤ 50

X1 ≥ 0

X2 ≥ 0

X3 ≥ 0

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Cap. 5 – Pesquisa Operacional

5.7 Construção do Problema Matemático.

Exercício 1:

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Uma determinada empresa automobilística fabrica carros de luxos e caminhonetes. A empresa acredita que os mais prováveis clientes são homens e mulheres com altos rendimentos.

Para abordar estes grupos, a empresa decidiu por uma campanha de propagandas na TV, e comprou 1 minuto do tempo de comercial de 2 tipos de programa: comédia e transmissão de futebol.

Cada comercial durante o programa de comédias é visto por 7 milhões de mulheres e 2 milhões de homens com grande poder aquisitivo.

Cada comercial durante a transmissão de futebol é visto por 2 milhões de mulheres e 12 milhões de homens com grande poder aquisitivo.

Um minuto de comercial durante o programa de comédias custa R$50.000, e durante a transmissão de futebol R$100.000.

A empresa gostaria que pelo menos 28 milhões de mulheres e 24 milhões de homens de grande poder aquisitivo assistissem sua propaganda.

Obter a programação matemática que irá permitir a empresa atender as suas necessidades de propaganda a um mínimo custo.

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Cap. 5 – Pesquisa Operacional

5.7 Construção do Problema Matemático.

Exercício 1 (resolução):

Primeiro passo: variáveis de decisão.

Para este caso, a empresa precisa determinar quantos comerciais durante o programa de comédia e de futebol devem ser comprados.

Logo:

X1 = número de comercais de 1 minuto em programas de comédia comprados;

X2 = número de comerciais de 1 minuto em programas de futebol comprados.

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Cap. 5 – Pesquisa Operacional

5.7 Construção do Problema Matemático.

Exercício 1 (resolução):

Segundo passo: função objetivo.

Objetivo: minimizar os custos de propaganda.

Custo total de propagandas = custo dos comerciais em prog. De comédias + custo dos comerciais em prog. De futebol.

Custo de propagandas = 50.000 *X1 + 100.000*X2

Min.Z = 50.000 X1 + 100.000 X2

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Cap. 5 – Pesquisa Operacional

5.7 Construção do Problema Matemático.

Exercício 1 (resolução):

Terceiro passo: restrições.

1. O comercial precisa ser visto por pelo menos 28 milhões de mulheres;

2. O comercial precisa ser visto por pelo menos 24 milhões de homens.

Logo:

Restrição 1: 7X1 + 2X2 ≥ 28.

Restrição 2: 2X1 + 12X2 ≥ 24.

Quarto passo: restrições adicionais. X1 ≥ 0. X2 ≥ 0.

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Cap. 5 – Pesquisa Operacional

5.7 Construção do Problema Matemático.

Exercício 1 (resolução):

Resumindo:

Min. Z = 50.000X1 + 100.000X2

Sujeito a:

7X1 + 2X2 ≥ 28

2X1 + 12X2 ≥ 24

X1 ≥ 0

X2 ≥ 0

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Cap. 5 – Pesquisa Operacional

5.7 Construção do Problema Matemático.

Exercício 1: modificado

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Cap. 5 – Pesquisa Operacional

Uma determinada empresa automobilística fabrica carros de luxos e caminhonetes. A empresa acredita que os mais prováveis clientes são homens e mulheres com altos rendimentos. Para abordar estes grupos, a empresa decidiu por uma campanha de propagandas na TV, e comprou 1 minuto do tempo de comercial de 3 tipos de programa: Novela, Jornal e esportes.

Cada comercial durante o programa de Novela é visto por 15 milhões de mulheres e 5 milhões de homens com grande poder aquisitivo.

Cada comercial durante a transmissão do Jornal é visto por 7 milhões de mulheres e 22 milhões de homens com grande poder aquisitivo.

Cada comercial durante a transmissão de esporte é visto por 5 milhões de mulheres e 12 milhões de homens com grande poder aquisitivo.

Um minuto de comercial durante o programa de Novela custa R$80.000, durante a transmissão do Jornal R$120.000, e durante programa esportivo R$60.000.

A empresa gostaria que pelo menos 32 milhões de mulheres e 28 milhões de homens de grande poder aquisitivo assistissem sua propaganda.

Obter a programação matemática que irá permitir a empresa atender as suas necessidades de propaganda a um mínimo custo.

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5.7 Construção do Problema Matemático.

Exercício 2:

Considere uma planta de manufatura capaz de produzir dois produtos P e Q, cujo lucro por unidade seja R$6,00 e R$8,00, respectivamente. O processo produtivo envolve duas operações corte e furação. Para a operação de corte há 2 máquinas disponíveis e para a operação de furação há 3 máquinas em disponibilidade.

Considerando que cada máquina opera 200horas/mês e que para produzir uma unidade do produto P sejam necessárias 8 horas de corte e 4 de furação e para a produção de uma unidade do produto Q sejam consumidas 4 horas de corte e 10 horas de furação.

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Exercício 2:

Desenvolva um modelo matemático que permita a determinação do mix de produtos que maximize o lucro total durante um mês (função objetivo e restrições).

1º Passo: variáveis de decisão.

X1 = quantidade de P produzida.

X2 = quantidade de Q produzida.

2º Passo: função objetivo.

Max.Z = 6X1 + 8X2

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5.7 Construção do Problema Matemático.

Exercício 2:

3º Passo: Restrições.

8X1 + 4X2 ≤ 400

4X1 + 10X2 ≤ 600

X1 ≥ 0

X2 ≥ 0

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Cap. 5 – Pesquisa Operacional

5.7 Construção do Problema Matemático.

Exercício 2:

Resumindo:

Max.Z = 6X1 + 8X2

Sujeito a:

8X1 + 4X2 ≤ 400

4X1 + 10X2 ≤ 600

X1 ≥ 0

X2 ≥ 0

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Cap. 5 – Pesquisa Operacional

5.7 Construção do Problema Matemático.

Exercício 3:

Uma empresa fabrica carros e caminhonetes. Cada veículo precisa ser trabalhado nas seções de pintura e montagem.

Se a seção de pinturas trabalhar só com caminhonetes, 40 por dia podem ser pintados. Se estiver trabalhando só com carros, 60 por dia é sua capacidade.

Se a seção de montagem estiver trabalhando só com caminhonetes, 50 podem ser montados por dia. O mesmo número é possível para carros se este for o único produto na linha.

Cada caminhonete contribui R$300 para o lucro, e cada carro R$200. Obter a formulação matemática que determinará a programação de produção que maximizará o lucro da empresa.

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Cap. 5 – Pesquisa Operacional

5.7 Construção do Problema Matemático.

Exercício 3:

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Cap. 5 – Pesquisa Operacional

5.7 Construção do Problema Matemático.

Exercício 3:

Cada caminhonete contribui R$300 para o lucro, e cada carro R$200. Obter a formulação matemática que determinará a programação de produção que maximizará o lucro da empresa.

1º Passo: variáveis de decisão.

X1 = quantidade de carros de luxo produzido.

X2 = quantidade de caminhonetes produzida.

2º Passo: função objetivo.

Max. Z = 300X1 + 200X2

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Cap. 5 – Pesquisa Operacional

5.7 Construção do Problema Matemático.

Exercício 3:

3º Passo: restrições.

1 – a fração do dia que a pintura esta ocupada deve ser menor ou igual a 1;

2 – a fração do dia que a montagem esta ocupada deve ser menor ou igual a 1.

Logo, de 1:

Fração pintura caminhonetes 1/40*X1

Fração pintura carros 1/60*X2

Restrição 1: 1/40X1 + 1/60X2 ≤ 1

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Cap. 5 – Pesquisa Operacional

5.7 Construção do Problema Matemático.

Exercício 3:

3º Passo: restrições.

1 – a fração do dia que a pintura esta ocupada deve ser menor ou igual a 1;

2 – a fração do dia que a montagem esta ocupada deve ser menor ou igual a 1.

Logo, de 2:

Fração montagem caminhonetes 1/50*X1

Fração montagem carros 1/50*X2

Restrição 2: 1/50X1 + 1/50X2 ≤ 1

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Cap. 5 – Pesquisa Operacional

5.7 Construção do Problema Matemático.

Exercício 3:

Resumindo:

Max. Z = 300X1 + 200X2

Sujeito a

1/40X1 + 1/60X2 ≤ 1

1/50X1 + 1/50X2 ≤ 1

X1 ≥ 0

X2 ≥ 0

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Cap. 5 – Pesquisa Operacional

5.7 Construção do Problema Matemático.

Exercício 4:

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Cap. 5 – Pesquisa Operacional

Um fabricante produz quatro modelos de raques para televisão, designados como I, II, III e IV. Cada um deles deve ser montado e em seguida decorado.

Os modelos necessitam respectivamente de 4, 5, 3 e 5 horas de montagem e de 2,1, 5 e 3 horas para decoração.

Os lucros sobre as vendas dos modelos são respectivamente 7,7, 6 e 9 reais.

O fabricante dispõe de 30.000 horas para a montagem destes produtos (750 montadores trabalhando 40 horas por semana) e de 20.000 horas para decoração (500 decoradores trabalhando 40 horas por semana).

Quanto de cada um dos modelos deve ser produzido durante esta última semana a fim de maximizar o lucro? Admita que todas as unidades possam ser vendidas.

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Cap. 5 – Pesquisa Operacional

5.7 Construção do Problema Matemático.

Exercício 5:

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Cap. 5 – Pesquisa Operacional

Seja o caso de um investidor que, dispondo de R$6.000 esteja contemplando a possibilidade de compra de dois seguintes tipos de ações:

Tipo 1: preço unitário de compra de R$5,00 e rentabilidade anual de 30%.

Tipo 2: preço unitário de compra de R$3,00 e rentabilidade anual de 35%.

Supondo que o investidor não deseje adquirir mais do que 1.750 ações, e que seu corretor só possa conseguir 1.000 ações de tipo 1 e 1.500 ações do tipo 2, que quantidades deve comprar de cada tipo de ação, na hipótese de que seja seu objetivo maximizar o total de capital no fim doe um ano?

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Cap. 5 – Pesquisa Operacional

5.7 Construção do Problema Matemático.

Exercício 6:

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Cap. 5 – Pesquisa Operacional

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Referências

ACKOFF, Russell L. & SASIENI, Maurice W. . Pesquisa operacional. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos S/A, 1974.

DUCKWORTH, Eric. Guia à pesquisa operacional. São Paulo: Atlas, 1972. GLOVER, Fred. SUEYOSHI, Toshiyuki. Contributions of professor William

W. Cooper in operations research and management science. 2008; European Journal of Operational Research. Disponível em <http://www.elsevier.com/locate/ejor>. Acessado em 25 de março de 2009.

LACHTERMACHER, Gerson. Pesquisa operacional na tomada de decisões. 2. ed. São Paulo: Campus, 2004.

MARTÍN, Quintín Martín. Investigación operativa. Madrid: Prentice Hall; 2003.

MONTEVECHI, José Arnaldo. Pesquisa operacional. Itajubá: UNIFEI, 2006. OLIVEIRA, Silvio L. de. Tratado de metodologia científica. São Paulo:

Pioneira, 1999. SHAMBLIN, James E.; STEVENS JR, G.T. . Pesquisa operacional: uma

abordagem básica. São Paulo: Atlas, 1979.