MIcro Fissuras Em Vigas de Concreto Armado

JOSÉ UMBERTO ARNAUD BORGES

ANÁLISE DO COMPORTAMENTO DE VIGAS DE CONCRETO DE ALTO DESEMPENHO POR MEIO DA MECÂNICA DA

FRATURA Texto apresentado à Escola Politécnica da Universidade de São Paulo para obtenção do Título de Doutor em Engenharia.

São Paulo 2002

JOSÉ UMBERTO ARNAUD BORGES

ANÁLISE DO COMPORTAMENTO DE VIGAS DE CONCRETO DE ALTO DESEMPENHO POR MEIO DA MECÂNICA DA

FRATURA Texto apresentado à Escola Politécnica da Universidade de São Paulo para obtenção do Título de Doutor em Engenharia. Área de Concentração: Engenharia de Estruturas Orientador: Prof. Dr. Túlio Nogueira Bittencourt

São Paulo 2002

Borges, José Umberto ArnaudAnálise do comportamento de vigas de concreto de alto desempenho

por meio da Mecânica da Fratura. São Paulo, 2002.

Tese (Doutorado) – Escola Politécnica da Universidade de São Paulo. Departamento de Engenharia de Estruturas e Fundações.

1.Vigas de concreto de alto desempenho 2.Mecânica da Fratura. I.Universidade de São Paulo. Escola Politécnica. Departamento de Engenharia de Estruturas e Fundações II.t.

Dedico este trabalho aos meus pais, que têm sido a

grande razão e incentivo de meu aperfeiçoamento

técnico, e com os quais minha dívida é inesgotável.

AGRADECIMENTOS

Ao amigo e orientador Prof. Dr. Túlio Nogueira Bittencourt pelas diretrizes encorajadoras e pela permanente dedicação ao longo do desenvolvimento da tese. Aos meus pais, Umberto e Conceição, e à minha irmã, Gabriela, pelo estímulo e apoio incondicionais que fizeram com que esse trabalho fosse possível. A Viviane Cristina Morelli, pelo carinho e companheirismo nestes anos de trabalho árduo. Ao Eng. Ricardo Gaspar pela sincera amizade e solidariedade ao longo de nossa trajetória na Pós-Graduação. Aos Eng. Leandro Trautwein, Rafael Souza, Paola Torneri, Juliana Fernandes, Carlos Henrique Cunha e todos os demais colegas do LEM pela amizade e convivência ao longo dos últimos anos. A José Antônio Santos Ribeiro de Queiroz, técnico de laboratório da Engemix, pelo permanente suporte prestado ao longo do trabalho. A Jorge Sakamoto, técnico do laboratório de Mecânica das Rochas da Escola Politécnica da USP, pelo paciente auxílio na preparação de corpos-de-prova. À FAPESP (Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo) pelos recursos financeiros disponibilizados para a realização deste trabalho, sob o Projeto FAPESP no 97/13012-2. Aos funcionários do Laboratório de Estruturas e Materiais Estruturais da Escola Politécnica da Universidade de São Paulo pelo suporte prestado durante a execução dos ensaios. A todos que, direta ou indiretamente, colaboraram na execução deste trabalho.

RESUMO

O presente trabalho busca analisar aspectos relevantes do comportamento de vigas de concreto de alto desempenho utilizando conceitos de Mecânica da Fratura. O texto descreve inicialmente as principais características do concreto de alto desempenho e algumas de suas propriedades mecânicas mais relevantes, bem como introduz brevemente os conceitos fundamentais da Mecânica da Fratura aplicada ao concreto. O texto apresenta também uma metodologia recentemente desenvolvida para a determinação da tenacidade ao fraturamento do concreto. No contexto de aplicações práticas, o texto aborda algumas situações nas quais o efeito de escala pode ser importante, como a capacidade resistente ao cisalhamento, a taxa mínima de armadura de flexão e a deformabilidade de vigas de concreto armado. O foco central do trabalho é o desenvolvimento de um modelo de fraturamento para vigas de concreto armado sob flexão pura, considerando explicitamente o fenômeno de localização de deformações na compressão. O modelo, formulado inicialmente para o caso de compressão uniaxial, leva em conta a influência do tamanho do corpo-de-prova na curva tensão x deformação do material. O modelo é estendido à zona comprimida de vigas armadas sob flexão pura com o intuito de estudar a influência do tamanho da viga na sua deformabilidade pós-pico. O texto descreve ainda uma investigação experimental e numérica com vigas de concreto armado de alto desempenho de forma a avaliar a aplicabilidade do modelo proposto. Os resultados da investigação experimental indicam claramente a presença do efeito do tamanho da viga na ductilidade pós-pico. Além disso, a investigação numérica mostra que o modelo de fraturamento proposto é capaz de simular de forma suficientemente adequada este efeito.

ABSTRACT

The work presented herein aims at studying some relevant aspects of the flexural behavior of high performance reinforced concrete beams from a Fracture Mechanics point of view. Initially, the main characteristics of high performance concretes as well as some of its mechanical properties are described. The fundamental concepts of Fracture Mechanics applied to concrete are briefly introduced. Also, a new methodology for the experimental determination of the fracture toughness of concrete is presented in some detail. In the context of practical applications, a number of design situations in which size effects may play a major role are outlined in the text. These include shear strength of beams without web reinforcement, minimum flexural reinforcement and deformability of reinforced concrete beams. The key objective of this thesis is the development of a flexural fracture model for beams subjected to uniform bending moment, taking into account the strain localization phenomenon. The model is initially formulated for the case of uniaxial compression and yields size dependent stress-strain curves. The model is then extended to the compression zone of a bent beam with the purpose of studying the influence of the beam size on its deformability. An experimental and numerical investigation of high performance reinforced concrete beams is carried out to verify the validity of the proposed model. The results of the experimental investigation clearly indicate an influence of the beam size on its post-peak ductility. Furthermore, the numerical simulation shows that the proposed model is able to capture reasonably well this size dependence.

SUMÁRIO

LISTA DE FIGURAS

LISTA DE TABELAS

LISTA DE ABREVIATURAS

LISTA DE SÍMBOLOS

RESUMO

ABSTRACT

1 INTRODUÇÃO 1

1.1 CONSIDERAÇÕES GERAIS 1

1.2 POR QUE APLICAR A MECÂNICA DA FRATURA AO CONCRETO? 4

1.3 OBJETIVOS E ESTRUTURAÇÃO DA TESE 11

2 O CONCRETO DE ALTO DESEMPENHO 14

2.1 GENERALIDADES 14

2.1.1 Composição do concreto de alto desempenho 15

2.1.2 Classificação em termos de resistência 17

2.1.3 Vantagens e desvantagens 18

2.1.4 Aplicações 19

2.2 MATERIAIS COMPONENTES 25

2.2.1 Seleção de materiais 25

2.3 PROPRIEDADES MECÂNICAS 33

2.3.1 Considerações gerais 33

2.3.2 Influência do agregado graúdo 34

2.3.3 Resistência à compressão 36

2.3.4 Resistência à tração 38

2.3.5 Aumento da resistência com a idade 42

2.3.6 Módulo de elasticidade 43

2.3.7 Diagrama tensão x deformação 46

2.3.8 Coeficiente de Poisson 52

3 MECÂNICA DA FRATURA APLICADA AO CONCRETO 53

3.1 INTRODUÇÃO 53

3.2 CONCEITOS BÁSICOS DE MECÂNICA DA FRATURA 56

3.3 PRINCIPAIS MODELOS DE FRATURAMENTO DO CONCRETO 60

3.3.1 Modelo da Fissura Fictícia (Hillerborg et al., 1976) 60

3.3.2 Modelo da Banda de Fissuração (Bažant; Oh, 1983) 63

3.3.3 Modelo de Dois Parâmetros (Jenq; Shah, 1985) 64

3.3.4 Modelo do Efeito de Escala (Bažant; Kazemi, 1990) 66

3.4 MÉTODOS DE ENSAIO PARA A DETERMINAÇÃO DE PARÂMETROS DE FRATURAMENTO DO CONCRETO 69

3.4.1 Método de Hillerborg et al., GF (RILEM, 1985) 69

3.4.2 Novo método para a determinação da tenacidade ao fraturamento KIc a partir de corpos-de-prova cilíndricos 71

3.5 ALGUMAS APLICAÇÕES PRÁTICAS DA MECÂNICA DA FRATURA ÀS ESTRUTURAS DE CONCRETO 84

3.5.1 Cisalhamento em vigas de concreto armado 84

3.5.2 Colapso de tubos de concreto simples 86

4 CONSIDERAÇÕES SOBRE O EFEITO DE ESCALA NA RESISTÊNCIA AO CISALHAMENTO 88

4.1 INTRODUÇÃO 88

4.2 MECANISMOS BÁSICOS DE RESISTÊNCIA AO CISALHAMENTO 89

4.3 RECOMENDAÇÕES DE NORMAS DE PROJETO 92

4.3.1 Projeto de Revisão da NBR-6118 (2001) 92

4.3.2 Anexo da NBR-7197 (1989) 92

4.3.3 Norma americana ACI 318R-99 (1999) 92

4.3.4 Norma canadense CAN3 A23.3-94 (1994) 93

4.3.5 CEB-FIP Model Code MC90 (1993) 93

4.4 COMPARAÇÃO ENTRE RESULTADOS EXPERIMENTAIS E TEÓRICOS 94

4.4.1 Influência da resistência à compressão do concreto 97

4.4.2 Influência da taxa de armadura longitudinal 98

4.4.3 Efeito de escala 99

5 COMPORTAMENTO À FLEXÃO DE VIGAS ARMADAS 105

5.1 INTRODUÇÃO 105

5.2 COMPORTAMENTO À FLEXÃO DE UMA VIGA DE CONCRETO ARMADO 106

5.2.1 Hipóteses básicas da teoria de flexão 108

5.2.2 Hipóteses adicionais da teoria de flexão 109

5.2.3 Análise de vigas de concreto armado de seção retangular 112

5.3 CONSIDERAÇÕES SOBRE O PROJETO ESTRUTURAL DE VIGAS DE CONCRETO DE ALTO DESEMPENHO 115

5.3.1 Deformação máxima de compressão 116

5.3.2 Distribuição de tensões na seção transversal 117

5.3.3 Armadura mínima de flexão 119

5.3.4 Armadura mínima de cisalhamento 121

5.3.5 Cálculo de deslocamentos (flechas) 122

5.4 DEFORMABILIDADE DE VIGAS DE CONCRETO ARMADO 124

6 ARMADURA MÍNIMA DE FLEXÃO EM VIGAS 127

6.1 CONSIDERAÇÕES GERAIS 127

6.2 EXPRESSÕES DE NORMAS PARA ARMADURA MÍNIMA DE FLEXÃO 129

6.3 EXPRESSÕES DE MODELOS DE FRATURAMENTO PARA ARMADURA MÍNIMA DE FLEXÃO 130

6.4 INVESTIGAÇÃO EXPERIMENTAL 133

6.4.1 Análise dos resultados experimentais 144

7 LOCALIZAÇÃO DE DEFORMAÇÕES NO COLAPSO POR COMPRESSÃO 151


7.2 COMPORTAMENTO PRÉ-PICO DO CONCRETO À COMPRESSÃO 153

7.2.1 Microfissuração e mecanismos de dano 155

7.2.2 Efeito da direção do carregamento 161

7.3 COMPORTAMENTO PÓS-PICO DO CONCRETO À COMPRESSÃO 163

7.3.1 Influência das condições de contorno 165

7.3.2 Proposta para ensaio padronizado de compressão uniaxial 167

7.3.3 Influência da altura do corpo-de-prova (efeito de escala) 173

7.3.4 Influência de gradientes de deformação 177

7.4 MODELOS DE LOCALIZAÇÃO DE DEFORMAÇÕES NA COMPRESSÃO 180

8 MODELO DE FRATURAMENTO PROPOSTO PARA O CONCRETO COMPRIMIDO 184


8.2 DESCRIÇÃO DO MODELO 185

8.3 ESTIMATIVA DO TAMANHO DA ZONA DE DANO 186

8.4 FORMULAÇÃO DO MODELO 187

8.5 DETERMINAÇÃO EXPERIMENTAL DO PARÂMETRO εD 189

8.6 VERIFICAÇÃO DO MODELO 190

8.6.1 Ensaios de Jansen (1996) 190

8.6.2 Ensaios de Rokugo e Koyanagi (1992) 196

8.6.3 Ensaios de Markeset (1994) 200

8.6.4 Equação empírica para a determinação de εDC 202

8.7 EXTENSÃO DO MODELO A VIGAS ARMADAS SOB FLEXÃO PURA 203

8.7.1 Analogia entre a compressão uniaxial e a flexão 204

8.7.2 Tamanho da zona de dano na flexão 205

8.7.3 Hipóteses do modelo na flexão 206

8.7.4 Modelo numérico 210

9 INVESTIGAÇÃO EXPERIMENTAL E NUMÉRICA DE VIGAS ARMADAS DE CONCRETO DE ALTO DESEMPENHO 214


9.2 DESCRIÇÃO DA INVESTIGAÇÃO EXPERIMENTAL 215

9.3 ARRANJO DE ENSAIO E INSTRUMENTAÇÃO UTILIZADA 223

9.4 RESULTADOS EXPERIMENTAIS 226

9.4.1 Curvas carga x flecha 226

9.4.2 Capacidade resistente à flexão 232

9.4.3 Índices de ductilidade 234

9.4.4 Localização de deformações 236

9.4.5 Tamanho da zona de dano 238

9.4.6 Curvas de resposta momento x deformação 239

9.4.7 Comportamento geral das vigas 242

9.4.8 Panorama geral de fissuração até o colapso 243

9.5 SIMULAÇÃO NUMÉRICA 246

9.5.1 Parâmetros utilizados na análise 246

9.5.2 Resultados do modelo 247

9.6 DISCUSSÃO 252

9.6.1 Momento máximo teórico de acordo com a NBR-6118 252

9.6.2 Momento máximo teórico de acordo com o modelo proposto 255

9.6.3 Deformação crítica de dano na flexão 256

9.6.4 Localização de deformações e tamanho da zona de dano na flexão 256

9.6.5 Efeito de escala na ductilidade pós-pico 257

10 CONCLUSÕES 259

10.1 RESUMO E CONCLUSÕES 259

10.2 SUGESTÕES PARA NOVAS PESQUISAS 261

LISTA DE REFERÊNCIAS 263

LISTA DE FIGURAS

Fig. 1.1 – Superfícies de fraturamento do concreto 3

Fig. 1.2 – Curva típica carga-deslocamento de um material quase-frágil 6

Fig. 1.3 – Comportamento estrutural: (a) dúctil; (b) quase-frágil 7

Fig. 1.4 – Natureza progressiva do colapso de uma laje por cisalhamento na punção 8

Fig. 1.5 – Curvas tensão-deformação utilizadas na análise limite convencional 9

Fig. 1.6 – Efeito de escala em vigas de concreto submetidas a flexão 11

Fig. 2.1 – Ré Island Bridge, França 20

Fig. 2.2 – Joigny Bridge, França 20

Fig. 2.3 – Great Hassan II Mosque, Marrocos 21

Fig. 2.4 – Grand Arche de la Défense, França 22

Fig. 2.5 – Petronas Towers, Malásia 23

Fig. 2.6 – Torre norte do Centro Empresarial Nações Unidas, São Paulo 24

Fig. 2.7 – Trajetória de fraturamento no concreto de alto desempenho 35

Fig. 2.8 – Variação da resistência à tração indireta com a resistência à compressão 40

Fig. 2.9 – Variação do módulo de ruptura com a resistência à compressão 42

Fig. 2.10 – Variação do módulo de elasticidade com a resistência à compressão 45

Fig. 2.11 – Diagrama tensão-deformação do concreto 47

Fig. 2.12 – Comparação de resultados experimentais e teóricos – modelo de Almusallam; Alsayed (1995) 50

Fig. 3.1 – Possíveis curvas tensão-deformação para diferentes materiais: a) material frágil; b) material plástico; c) material quase-frágil 54

Fig. 3.2 – Distribuição de tensões no colapso de uma placa infinita para diferentes materiais: a) colapso frágil; b) colapso dúctil (ou plástico); c) colapso quase-frágil 55

Fig. 3.3 – Distribuição de tensões na vizinhança de uma fissura 59

Fig. 3.4 – Zona de processos inelásticos no concreto 60

Fig. 3.5 – Conceitos básicos do Modelo da Fissura Fictícia 61

Fig. 3.6 – Composição de curvas no Modelo da Fissura Fictícia 62

Fig. 3.7 – Conceitos básicos do Modelo da Banda de Fissuração: (a) banda de microfissuração e (b) curva tensão-deformação da banda de microfissuração (Bažant; Oh, 1983) 63

Fig. 3.8 – Modelo de Dois Parâmetros: (a) respostas elástica e plástica ao fraturamento e (b) ciclo de carregamento e descarregamento 65

Fig. 3.9 – Estruturas geometricamente similares 67

Fig. 3.10 – Efeito de escala na resistência nominal 68

Fig. 3.11 – Ensaio para determinação da energia de fraturamento GF 70

Fig. 3.12 – Corpo-de-prova do tipo CEV 72

Fig. 3.13 – Curvas carga x CMOD passíveis de serem observadas nos ensaios 73

Fig. 3.14 – Aplicação das forças de compressão e posicionamento do clip gauge em corpo-de-prova do tipo CEV 75

Fig. 3.15 – Esquema de reação da força aplicada no ensaio de compressão em três pontos 76

Fig. 3.16 – Posicionamento dos LVDT’s para medição do CMOD 76

Fig. 3.17 – Geometria do corpo-de-prova do tipo CEV 77

Fig. 3.18 – Placa de inserção para formação de entalhe em corpos-de-prova do tipo CEV 78

Fig. 3.19 – Marcação de guias em corpo-de-prova capeado e com entalhe 79

Fig. 3.20 – Vista lateral (a) e superior (b) do aparato de ensaio com corpos-de-prova do tipo CEV 79

Fig. 3.21 – Traçado de linhas de suavização 81

Fig. 3.22 – Traçado de linhas médias 82

Fig. 3.23 – Curva experimental carga x CMOD para um corpo-de-prova do tipo CEV 83

Fig. 3.24 – Efeito de escala previsto pelas equações de Bažant-Kim-Sun, comparado a 461 resultados experimentais de vigas sem estribos 86

Fig. 3.25 – a) Mecanismos de colapso de tubos de concreto simples; b) Efeito de escala na resistência nominal para os dois tipo de colapso 87

Fig. 4.1 – Forças atuantes em uma fissura diagonal numa viga de concreto armado 90

Fig. 4.2 – Influência de fc na resistência ao cisalhamento de vigas sem estribos 97

Fig. 4.3 – Influência de ρ na resistência ao cisalhamento de vigas sem estribos 99

Fig. 4.4 – Efeito de escala na resistência ao cisalhamento de vigas sem estribos 100

Fig. 4.5 – Efeito de escala na resistência ao cisalhamento (fc = 30 MPa; ρ = 1,35%) 102




Fig. 5.1 – Fissuras e deformações em uma viga fletida 106

Fig. 5.2 – Diagrama momento x curvatura da seção transversal de uma viga sob flexão 107

Fig. 5.3 – Descrição matemática do diagrama de tensões de compressão na seção 111

Fig. 5.4 – Valores de k1 e k2 para diversas distribuições de tensões 112

Fig. 5.5 – Diagrama retangular simplificado equivalente de tensões 112

Fig. 5.6 – Diagrama tensão x deformação da NBR-6118/2001 119

Fig. 5.7 – Possíveis curvas carga x flecha para vigas de concreto armado 126

Fig. 6.1 – Possíveis curvas carga x flecha para vigas levemente armadas 129

Fig. 6.2 – Comparações de valores teóricos e experimentais de armadura mínima em vigas de seção retangular 133

Fig. 6.3 – Arranjo de ensaio e detalhe dos LVDT’s utilizados 137

Fig. 6.4 – Sistema de controle do ensaio e aquisição de dados 138

Fig. 6.5 – Curva carga x deslocamento da viga A1-1 138





Fig. 6.10 – Curva carga x deslocamento da viga B1-2 141






Fig. 6.16 – Curvas carga x deslocamento das vigas da série A1 146

Fig. 6.17 – Curvas carga x deslocamento das vigas da série B1 146

Fig. 6.18 – Curvas carga x deslocamento das vigas da série B2 147

Fig. 6.19 – Variação da taxa mínima de armadura com o tamanho da viga 148

Fig. 6.20 – Variação do comportamento com a altura da viga 148

Fig. 6.21 – Valores teóricos e experimentais de ρmin – série A2 149

Fig. 6.22 – Valores teóricos e experimentais de ρmin – série B2 149

Fig. 7.1 – Diferentes níveis do concreto de acordo com Zaitsev; Wittmann (1981): (a) nível micro, (b) nível meso e (c) nível macro 153

Fig. 7.2 – Curva tensão x deformação do concreto sob compressão 154

Fig. 7.3 – Tensões atuantes ao redor de uma partícula de agregado embutido em uma matriz de argamassa 156

Fig. 7.4 – Resultado de ensaio em discos de material fotoelástico para simular a interação entre as partículas de agregado 157

Fig. 7.5 – Panoramas de fissuração de corpo-de-prova cilíndricos a diversos níveis de tensão: (a) 83% da tensão máxima, (b) tensão máxima, (c) 93% da tensão máxima no ramo pós-pico, (d) 81% da tensão máxima no ramo pós-pico 159

Fig. 7.6 – Estágios de fissuração no concreto sob compressão uniaxial 161

Fig. 7.7 – Efeito da direção de moldagem em relação à direção de aplicação da carga em um corpo-de-prova submetido a compressão uniaxial 162

Fig. 7.8 – Mecanismos hipotéticos responsáveis pela anisotropia inicial do concreto 162

Fig. 7.9 – Exemplo de prato de aplicação de carga do tipo “escova” 164

Fig. 7.10 – Influência do tamanho do corpo-de-prova na curva tensão x deformação do concreto sob compressão uniaxial 165

Fig. 7.11 – Curvas normalizadas carga x deslocamento para várias condições de contorno e duas classes diferentes de concreto 167

Fig. 7.12 – Influência das diferentes condições de atrito entre os pratos de aplicação de carga e as extremidades do corpo-de-prova 169

Fig. 7.13 – Zonas confinadas devido às forças de atrito entre o corpo-de-prova e os pratos de aplicação de carga 170

Fig. 7.14 – Tensões máximas e correspondentes deformações para duas condições de contorno e classes de concreto diferentes 171

Fig. 7.15 – Recomendação de ensaio padrão para a determinação da curva completa tensão x deformação do concreto sob compressão uniaxial 172

Fig. 7.16 – Influência da altura do corpo-de-prova na curva tensão x deformação de um concreto com resistência à compressão de 108 MPa 174

Fig. 7.17 – Curvas tensão x deformação para corpos-de-prova de concreto com diferentes alturas 174

Fig. 7.18 – Zona de dano típica observada em ensaios de compressão uniaxial 175

Fig. 7.19 – Curvas tensão x deformação para um concreto de resistência média 176

Fig. 7.20 – Curvas tensão x deformação para um concreto de alta resistência 176

Fig. 7.21 – Modo típico de colapso de prismas de concreto sob compressão excêntrica 180

Fig. 7.22 – Critérios de localização de deformações: (a) localização gradual, (b) localização em uma banda, (c) localização em uma linha 181

Fig. 7.23 – Modelo de localização sem descarregamento fora da zona de dano 182

Fig. 7.24 – Modelo de localização sem consideração da energia dissipada até o pico 183

Fig. 8.1 – Modelo proposto para localização de deformações na compressão uniaxial 186

Fig. 8.2 – Composição de curvas no modelo de localização proposto 188

Fig. 8.3 – Curvas tensão x deformação pós-pico: corpos-de-prova de resistência média 192

Fig. 8.4 – Curvas tensão x deformação pós-pico: corpos-de-prova de alta resistência 193

Fig. 8.5 – Curvas tensão x deformação para os corpos-de-prova de resistência média 193

Fig. 8.6 – Curvas tensão x deformação para os corpos-de-prova de alta resistência 194

Fig. 8.7 – Curvas de amolecimento da zona de dano: (a) racional; (b) linear 194

Fig. 8.8 – Curvas tensão x deformação teóricas e experimentais para os corpos-de-prova de concreto de resistência média de Jansen – amolecimento linear 195

Fig. 8.9 – Curvas tensão x deformação teóricas e experimentais para os corpos-de-prova de concreto de alta resistência de Jansen – amolecimento linear 196

Fig. 8.10 – Curvas tensão x deformação teóricas e experimentais para os corpos-de-prova de concreto simples de Rokugo e Koyanagi – amolecimento linear 197

Fig. 8.11 – Curvas tensão x deformação teóricas e experimentais para os corpos-de-prova de concreto com fibras de Rokugo e Koyanagi – amolecimento linear 198

Fig. 8.12 – Curvas tensão x deformação teóricas e experimentais para os corpos-de-prova de argamassa de Rokugo e Koyanagi – amolecimento linear 198

Fig. 8.13 – Curvas tensão x deformação teóricas e experimentais para os corpos-de-prova de concreto simples de Rokugo e Koyanagi – amolecimento racional 199

Fig. 8.14 – Curvas tensão x deformação teóricas e experimentais para os corpos-de-prova de concreto com fibras de Rokugo e Koyanagi – amolecimento racional 199

Fig. 8.15 – Curvas tensão x deformação teóricas e experimentais para os corpos-de-prova de argamassa de Rokugo e Koyanagi – amolecimento racional 200

Fig. 8.16 – Curvas tensão x deformação teóricas e experimentais para os corpos-de-prova de concreto de alta resistência de Markeset – amolecimento linear 202

Fig. 8.17 – Variação de εDC com a resistência à compressão 203

Fig. 8.18 – Analogia do efeito de escala entre a compressão uniaxial e a flexão 205

Fig. 8.19 – Localização de deformações em uma viga sob momento uniforme 206

Fig. 8.20 – Distribuição de tensões e deformações ao longo do vão de momento uniforme 208

Fig. 8.21 – Curva de descarregamento do aço 209

Fig. 8.22 – Subdivisão da seção transversal da viga para integração numérica 212

Fig. 9.1 – Armadura das vigas da série HR 216

Fig. 9.2 – Armadura das vigas da série LR 217

Fig. 9.3 – Armaduras e seções transversais das vigas ensaiadas 218

Fig. 9.4 – Curvas típicas carga x deformação das barras de aço CA-50 utilizadas 222

Fig. 9.5 – Arranjo geral do ensaio e sistema de aquisição de dados 224

Fig. 9.6 – Esquema de instrumentação na zona de momento uniforme 225

Fig. 9.7 – Zona de momento uniforme – vista lateral (a) e perspectiva (b) 225

Fig. 9.8 – Detalhes dos sensores utilizados 226

Fig. 9.9 – Curva carga x flecha da viga HR-L1 227

Fig. 9.10 – Curva carga x flecha da viga HR-L2 227

Fig. 9.11 – Curva carga x flecha da viga HR-M1 228

Fig. 9.12 – Curva carga x flecha da viga HR-M2 228

Fig. 9.13 – Curva carga x flecha da viga HR-S2 229

Fig. 9.14 – Curva carga x flecha da viga LR-L1 229

Fig. 9.15 – Curva carga x flecha da viga LR-L2 230

Fig. 9.16 – Curva carga x flecha da viga LR-M1 230

Fig. 9.17 – Curva carga x flecha da viga LR-M2 231

Fig. 9.18 – Curva carga x flecha da viga LR-S1 231

Fig. 9.19 – Curva carga x flecha da viga LR-S2 232

Fig. 9.20 – Influência da esbeltez da zona de momento uniforme na ductilidade pós-pico 235

Fig. 9.21 – Perfil de deformações na zona de momento uniforme da viga HR-L1 237

Fig. 9.22 – Perfil de deformações na zona de momento uniforme da viga HR-L2 237

Fig. 9.23 – Zona de dano da viga HR-M2 238

Fig. 9.24 – Tamanho da zona de dano na flexão 239

Fig. 9.25 – Curvas experimentais momento x deformação da série HR 240

Fig. 9.26 – Curvas experimentais momento x deformação da série LR 241

Fig. 9.27 – Comparação entre curvas típicas momento x deformação de vigas com alta taxa de armadura (HR) e baixa taxa de armadura (LR) 242

Fig. 9.28 – Fissuras verticais de flexão 244

Fig. 9.29 – Fissuras horizontais no nível da armadura 244

Fig. 9.30 – Início da formação da zona de dano 245

Fig. 9.31 – Desenvolvimento da zona de dano 245

Fig. 9.32 – “Destacamento” da zona de dano 246

Fig. 9.33 – Esmagamento do concreto comprimido 246

Fig. 9.34 – Comportamento das zonas de dano e descarregamento – série HR 248

Fig. 9.35 – Curvas momento x deformação experimentais e teóricas – série HR 249

Fig. 9.36 – Curvas normalizadas momento x deformação experimentais e teóricas – série HR 250

Fig. 9.37 – Comportamento das zonas de dano e descarregamento – série LR 251

Fig. 9.38 – Curvas momento x deformação experimentais e teóricas – série LR 251

Fig. 9.39 – Curvas normalizadas momento x deformação experimentais e teóricas – série LR 252

Fig. 9.40 – Seção de concreto armado quando a capacidade resistente à flexão é atingida 253

LISTA DE TABELAS

Tabela 2.1 – Classificação de concretos quanto à resistência à compressão

(MPa) 18

Tabela 2.2 – Resistência à compressão máxima estabelecida em normas de projeto 37

Tabela 2.3 – Valores do coeficiente αβ para diversos tipos de agregado 45

Tabela 2.4 – Coeficientes Cca recomendados para diferentes agregados 46

Tabela 3.1 – Dimensões e tolerâncias para o corpo-de-prova do tipo CEV 78

Tabela 4.1 – Séries de ensaios da literatura analisados 94

Tabela 4.2 – Razão entre valores experimentais e teóricos (média) 95

Tabela 4.3 – Razão entre valores individuais experimentais e teóricos 96

Tabela 5.1 – Deformação máxima de compressão no concreto 116

Tabela 5.2 – Parâmetros do diagrama retangular segundo a NS 3473E-92 118

Tabela 5.3 – Taxas mínimas de armadura de flexão para vigas (NBR6118/2001) 120

Tabela 5.4 – Valores do coeficiente ξ segundo o ACI-318 123

Tabela 6.1 – Dosagens utilizadas (para 1 m3 de concreto) 134

Tabela 6.2 – Geometria das vigas 136

Tabela 6.3 – Propriedades mecânicas do concreto e do aço 137

Tabela 6.4 – Resultados teóricos e experimentais 144

Tabela 6.5 – Comparação de valores teóricos e experimentais 145

Tabela 8.1 – Valores dos parâmetros de amolecimento para os corpos-de-prova ensaiados por Jansen (1996) 192

Tabela 8.2 – Valores dos parâmetros de amolecimento para os corpos-de-prova ensaiados por Rokugo e Koyanagi (1992) 200

Tabela 8.3 – Valor do parâmetro de amolecimento linear para os corpos-de-prova ensaiados por Markeset (1994) 201

Tabela 9.1 – Dosagem utilizada (para 1 m3 de concreto) 219

Tabela 9.2 – Geometria e propriedades mecânicas das vigas 220

Tabela 9.3 – Propriedades mecânicas do concreto e do aço 221

Tabela 9.4 – Desvio padrão e coeficiente de variação das propriedades do concreto utilizado nos ensaios 221

Tabela 9.5 – Propriedades do concreto – comparação entre valores experimentais e teóricos 223

Tabela 9.6 – Valores experimentais de momento fletor 233

Tabela 9.7 – Índices de ductilidade em termos de flechas 235

Tabela 9.8 – Resultados experimentais e teóricos (série HR) 248

Tabela 9.9 – Resultados experimentais e teóricos (série LR) 250

Tabela 9.10 – Valores teóricos (NBR6118) e experimentais do momento máximo 255

Tabela 9.11 – Valores teóricos (modelo) e experimentais do momento máximo 256

LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS

ABNT – Associação Brasileira de Normas Técnicas

ACI – American Concrete Institute

ASTM – American Society for Testing and Materials

CAD – Concreto de Alto Desempenho

CAN – Canadian Standard

CEB – Comité Euro-International du Béton

CEV – Cilindro com Entalhe em V

HR – High Reinforcement

ISRM – International Society for Rock Mechanics

LR – Low Reinforcement

LVDT – Linear Variable Differential Transformer

MFEL – Mecânica da Fratura Elástica Linear

MFNL – Mecânica da Fratura Não-Linear

NS – Norwegian Standard

RILEM – Reúnion Internationale des Laboratoires d’Essais et de Recherches sur les Matériaux et les Constructions

ZMU – Zona de Momento Uniforme

LISTA DE SÍMBOLOS

P Carga aplicada

σ Tensão aplicada

w Deslocamento

wc Deslocamento crítico

δ Deslocamento vertical

σN, σNc Resistência nominal

σy Tensão de escoamento

σw Tensão admissível

b, bw Largura da viga

h Altura da viga

L Vão da viga; altura do corpo-de-prova

fc Resistência à compressão do concreto

ε& Taxa de deformação

αs Fator de forma dependente do tamanho do corpo-de-prova

d diâmetro do corpo-de-prova; altura útil da viga

fsp Resistência indireta à tração (compressão diametral)

ft Resistência direta à tração

fr Resistência à tração na flexão (módulo de ruptura)

E, Ec Módulo de elasticidade do concreto

αβ Coeficiente dependente do tipo de agregado

Cca Coeficiente dependente do tipo de agregado

ε Deformação

cε′ Deformação correspondente à tensão máxima

σmax, σf Tensão máxima

a1 maior raio de uma elipse

a2 menor raio de uma elipse

Kt Fator de concentração de tensão

r Distância a partir da ponta da fissura

KI Fator de intensidade de tensão

GI Taxa de liberação de energia de deformação

KIc Tenacidade ao fraturamento

CMOD Abertura da entrada do entalhe (abertura da “boca” da fissura)

COD Abertura da fissura

GF Energia de fraturamento no Modelo da Fissura Fictícia

lch Índice de fragilidade do material (comprimento característico)

Gf Energia de fraturamento no Modelo da Banda de Fissuração

hc Largura da banda de fissuração

Et Inclinação do ramo pós-pico da curva tensão x deformação no Modelo da Banda de Fissuração

ecCMOD Parcela elástica da abertura crítica da entrada do entalhe

eCMOD Parcela elástica da abertura da entrada do entalhe

pCMOD Parcela plástica da abertura da entrada do entalhe

ecCTOD Parcela elástica da abertura crítica da ponta da fissura inicial

eCTOD Parcela elástica da abertura da ponta da fissura inicial

pCTOD Parcela plástica da abertura da ponta da fissura inicial

sIcK Fator de intensidade de tensões crítico

ac Extensão crítica da fissura

g1, g2, g3 Funções geométricas

Pc, Fc Carga crítica de fraturamento

cn Coeficiente dependente do tipo de estrutura

a0 Comprimento inicial da fissura

B Parâmetro do Modelo do Efeito de Escala

Ag Função geométrica

ν Coeficiente de Poisson

KIQ Tenacidade aparente ao fraturamento

p Fator de correção inelástica

D Espessura do ligamento

t espessura do entalhe

*minY Função geométrica

Favg Carga média

δL1, δL2 CMOD’s correspondentes à carga média

δU1, δU2 CMOD’s residuais

vu Resistência ao cisalhamento

ρ Taxa de armadura longitudinal

da Diâmetro máximo do agregado

a Vão de cisalhamento

Vn Capacidade resistente ao cisalhamento

Vs Parcela resistente ao cisalhamento devida à armadura de cisalhamento

Vd Parcela resistente ao cisalhamento devida ao efeito de pino

Vcz Parcela resistente ao cisalhamento devida ao concreto não fissurado

Vay Parcela resistente ao cisalhamento devida ao intertravamento dos agregados

Vc Parcela resistente ao cisalhamento devida ao concreto

C Resultante de compressão no concreto

T Resultante de tração na armadura

φ Curvatura

x Profundidade da linha neutra

M Momento fletor

k1, k2, k3 Parâmetros do diagrama de tensões de compressão no concreto

α1, β1 Parâmetros do diagrama retangular simplificado

ω Taxa mecânica de armadura de flexão

As Armadura de flexão

ρb Taxa de armadura correspondente ao limite entre os Domínios 3 e 4

fy Tensão de escoamento do aço

εy Deformação de escoamento do aço

εc Deformação de compressão do concreto

εcu Deformação última de compressão do concreto

σc Tensão de compressão no concreto

As, min Armadura mínima de flexão

s Espaçamento de estribos

Mcr Momento de fissuração

Ig Momento de inércia da seção bruta

Icr Momento de inércia da seção fissurada

yt Distância do centróide da seção à fibra mais tracionada do concreto

λ Multiplicador da flecha imediata

ξ Coeficiente dependente da idade da estrutura

ρ′ Taxa de armadura de compressão

δu deslocamento vertical último

δy deslocamento vertical de escoamento

µ1, µ2 Índices de ductilidade em termos de flechas

Pcr Carga de fissuração

Pu Carga máxima

Np Índice de fragilidade do modelo de Carpinteri

Npc Índice de fragilidade crítico do modelo de Carpinteri

ρmin Taxa mínima de armadura de flexão

c Cobrimento de concreto da armadura de flexão

Es Módulo de elasticidade do aço

δcr Deslocamento vertical correspondente à carga de fissuração

Pcr Carga de fissuração

LD Comprimento da zona de dano

dD Profundidade da zona de dano

δpost Deslocamento pós-pico

δpre Deslocamento pré-pico

δ0 Deslocamento correspondente à carga de pico

WU Energia por unidade de volume dissipada até a carga de pico

WDC Energia por unidade de volume dissipada dentro da zona de dano

εu Deformação de descarregamento fora da zona de dano

εD Deformação de dano

εDC Deformação crítica de dano

ε0 Deformação correpondente à carga de pico

β Parâmetro da curva tensão x deformação de Carreira; Chu

σs Tensão no aço

εs Deformação do aço

εs, peak Deformação do aço correspondente à tensão máxima no concreto

σLD Tensão na fibra mais comprimida dentro da zona de dano

εLD Deformação da fibra mais comprimida dentro da zona de dano

εDC,f Deformação crítica de dano na flexão

LMU Comprimento da zona de momento fletor uniforme

z Braço de alavanca

My Momento de escoamento

Mu Momento máximo

µLR, µHR Índices de ductilidade em termos de flechas

εcy Deformação de compressão no concreto correspondente ao escoamento da armadura de tração

εc, pico Deformação de compressão no concreto correspondente ao momento máximo

1

INTRODUÇÃO

11

1.1 CONSIDERAÇÕES GERAIS

A Mecânica da Fratura é o ramo da ciência que descreve as condições de tensão e deformação na vizinhança e à frente da ponta de uma fissura. Em muitos casos o colapso de estruturas de concreto é governado pela iniciação e propagação de fissuras, na presença de localização de deformações e de efeitos de escala. O interesse pela aplicação da teoria de Mecânica da Fratura ao concreto tem crescido bastante nos últimos anos, já havendo um consenso de que a introdução de conceitos desta teoria na metodologia de análise e projeto poderia gerar diversos benefícios, tanto para o concreto simples quanto para o concreto armado. Estes conceitos podem prover uma base teórica consistente para alguns critérios de normas de projeto baseados em regras puramente empíricas (Gustafsson; Hillerborg, 1985); (Hawkins, 1985); (Tassios, 1985); (Elfgren, 1989); (Walraven, 1994); (Hawkins, 1997). A aplicação dos conceitos de Mecânica da Fratura ao concreto é capaz de prover metodologias de análise e projeto mais

2

sofisticadas e precisas. O conhecimento mais aprofundado sobre o comportamento mecânico do material é de suma importância para o correto entendimento do comportamento estrutural de peças de concreto e para a formulação de modelos constitutivos mais realistas a serem implementados em programas de simulação numérica baseados no Método dos Elementos Finitos, por exemplo.

A Mecânica da Fratura, no seu estágio atual, já adquiriu a maturidade necessária para que seu uso seja difundido. Atualmente os conceitos podem ser aplicados de modo similar àqueles da Resistência dos Materiais. A princípio, uma das maiores dificuldades para a utilização prática da Mecânica da Fratura era a obtenção dos parâmetros necessários para tais aplicações. Nos últimos anos, entretanto, os métodos experimentais aplicados na análise de fenômenos de fraturamento do concreto vêm tendo uma grande evolução devido ao surgimento de máquinas de ensaios mecânicos com controle digital, que permitem os ensaios de deformação (e/ou deslocamento) controlada. Com isso, torna-se possível a investigação de fenômenos de localização e amolecimento, assim como o desenvolvimento de ensaios que garantam o controle e a qualidade das estruturas sensíveis a esses fenômenos. No caso das estruturas de concreto, os fenômenos de fraturamento são objeto de intensa pesquisa em todo o mundo.

Por outro lado, no aspecto material, nas últimas décadas tem ocorrido uma notável mobilização por parte da comunidade científica e da indústria da construção civil em torno da utilização de concretos com características elevadas de desempenho. Inicialmente, era bastante utilizado o termo concreto de alta resistência, uma vez que o concreto convencional sempre foi caracterizado essencialmente por sua resistência à compressão. Porém, sabe-se que várias outras propriedades do material, como a durabilidade, são bastante melhoradas, podendo até ser decisivas na tomada de decisões em projetos de engenharia. Parece então ser mais coerente denominar esse material de concreto de alto desempenho (CAD), como já o fazem atualmente diversos profissionais e pesquisadores da área.

3

O interesse pela utilização do CAD é derivado de razões técnicas e econômicas. Do ponto de vista técnico, uma maior resistência à compressão em geral é acompanhada de melhorias em outras propriedades mecânicas, tais como resistência à tração, módulo de elasticidade, coeficiente de fluência, etc. Pode-se citar alguns exemplos de aplicação: em edifícios altos, maiores resistências à compressão podem reduzir as usualmente robustas seções dos pilares dos pisos inferiores; em pisos de edifícios, vigas menores e lajes mais delgadas podem reduzir a carga permanente da estrutura e a distância piso a piso, reduzindo a altura total do prédio para um dado número de andares; em pontes, a combinação do CAD para reduzir a carga permanente com a protensão para controlar as flechas pode elevar bastante o vão máximo permitido. Em termos econômicos, em muitas situações a utilização do CAD gera custos menores do que aqueles equivalentes ao concreto convencional. Por exemplo, a elevada durabilidade do CAD reduz os custos de manutenção ao longo da vida útil da estrutura, custos estes que por vezes são altíssimos quando da utilização de concretos convencionais.

Em contrapartida, a microestrutura mais densa e uniforme do CAD é responsável por uma diminuição da ductilidade do material, como pode ser notado pela superfície de fraturamento menos áspera do CAD (Fig. 1.1). Isso gera uma elevação da característica contrária à ductilidade, que é a fragilidade do material. Nesse caso, torna-se ainda mais pertinente a monitoração da propagação de fissuras com o intuito de evitar o colapso frágil da peça estrutural.

Fig. 1.1 - Superfícies de fraturamento do concreto (Bittencourt et al., 2000)

Concreto Convencional

Concreto de Alto Desempenho

4

1.2 POR QUE APLICAR A MECÂNICA DA FRATURA AO CONCRETO ?

A aplicação dos conceitos da Mecânica da Fratura a materiais cerâmicos, como o concreto, argamassas, cerâmicas avançadas, rochas, visa a uma melhor caracterização da ruptura desse tipo de material. Além disso, vários modelos teóricos e experimentais vêm sendo desenvolvidos de modo a integrar no futuro estes conceitos nas normas de projeto e detalhamento de estruturas compostas de tais materiais.

O projeto usual de estruturas de concreto armado consiste de uma análise da estrutura considerando dois estágios distintos, quais sejam os chamados estado limite último e estado limite de utilização. O primeiro utiliza critérios de colapso baseados em tensões para a determinação da capacidade de carga das estruturas. Em função de mecanismos de colapso observados experimentalmente, esse tipo de análise permite determinar o comportamento de uma estrutura sob carga pela combinação de três condições: o equilíbrio de forças, a compatibilidade de deformações e a equação constitutiva do material na ruptura. Por outro lado, a análise relativa ao estado limite de utilização é baseada em considerações de elasticidade linear (para flechas) ou em formulações empíricas (para fissuração), sob cargas de serviço.

Como esta prática de projeto tem sido adotada por muitos anos com sucesso, poder-se-ia argumentar que não há necessidade de alteração (ou melhoria) da mesma nas normas de projeto estrutural correntes. Entretanto, a introdução de uma nova teoria baseada num critério de colapso energético e que contempla a propagação progressiva do fraturamento ao longo da estrutura poderia explicar, de acordo com sólidos princípios físicos, várias regras antigas de projeto de natureza puramente empírica, assim como auxiliar no embasamento do projeto de estruturas inovadoras e não usuais para as quais não existem nem mesmo regras empíricas. Entende-se que esse é o principal papel da Mecânica da Fratura no que diz respeito à sua aplicação ao concreto.

A teoria clássica de Mecânica da Fratura Elástica Linear (MFEL) foi estabelecida a partir da década de 20 por Griffith (1921). Porém, esta teoria, na

5

sua forma clássica, é aplicável somente a materiais elásticos homogêneos de comportamento frágil, caso do vidro, por exemplo. A partir da década de 60, vários pesquisadores tentaram aplicar essa teoria clássica ao concreto, o que foi constatado como um fracasso anos mais tarde, no início da década de 70. Atualmente já são conhecidas as razões pelas quais a MFEL não pode ser diretamente aplicada ao concreto. Tais razões se originam do fato de que a resposta à tração de materiais cimentícios é diferente daquela de materiais frágeis como o vidro e de materiais dúcteis como a maioria dos metais. A Fig. 1.2 esquematiza o diagrama carga-deslocamento dos materiais cimentícios, caso do concreto. Existe uma região inicial praticamente elástica (até o ponto A) seguida de uma região inelástica de encruamento de deformações (trecho AB). Após a carga de pico, há um aumento da deformação com a diminuição da capacidade resistente (trecho BCD). Esse tipo de resposta é denominado amolecimento de deformações, ou simplesmente amolecimento. O amolecimento é causado pela microfissuração localizada do concreto e pelo efeito de ponte entre os agregados graúdos. Os materiais que apresentam a curva de resposta mostrada na Fig. 1.2 são denominados quase-frágeis.

O processo de microfissuração do concreto, a evolução estável de fissuras e a energia dissipada no processo de fraturamento são aspectos característicos do comportamento de materiais quase-frágeis. Os mecanismos que levam a este tipo de resposta estrutural serão abordados no decorrer deste trabalho.

A utilização exclusiva dos critérios convencionais de projeto e dimensionamento de peças e estruturas de concreto geram alguns inconvenientes que podem ser eliminados pela utilização conjunta da Mecânica da Fratura e da Resistência dos Materiais. A seguir estão brevemente expostos alguns dos argumentos que conduzem à disposição da inclusão de conceitos de Mecânica da Fratura nos critérios de análise e projeto das normas de concreto correntes.

Energia necessária para a evolução de uma fissura

A necessidade de um critério de colapso de estruturas de concreto baseado em considerações energéticas parece óbvia devido ao fato da evolução

6

de qualquer fissura exigir o consumo de uma certa quantidade de energia, mesmo que a fissura tenha sido formada como consequência de uma tensão atuante superior à resistência à tração do material. Em outras palavras, é irrelevante a causa da formação da fissura; o que é de fato fundamental é o conhecimento da evolução da fissura sob a atuação do carregamento externo. Esse conhecimento só pode ser adquirido por meio da introdução de critérios basedos em considerações de dissipação de energia na zona de fraturamento.

Fig. 1.2 - Curva típica carga-deslocamento de um material quase-frágil

Ausência de um patamar de escoamento

Em geral, a validade da análise em estado limite último requer a existência de um patamar de escoamento na resposta carga-deslocamento da estrutura (colapso dúctil), mostrado na Fig. 1.3a. A ausência de um patamar de escoamento indica que o colapso não é plástico, e em geral implica em um amolecimento (softening) do material devido ao processo de fraturamento ou outro tipo de danificação, como ilustrado na Fig. 1.3b, resultando na propagação de uma zona de fraturamento através da estrutura.

Como exemplo deste processo de fraturamento, pode-se observar o colapso de uma laje submetida a punção. Tal situação está esquematizada na Fig. 1.4, a qual mostra distribuições aproximadas de tensões de tração ao longo

A

B

C

D

w (σ)

wc

w

P

7

da superfície de ruína. Se a laje fosse feita de um material elasto-plástico perfeito, as diversas regiões numeradas 1, 2 e 3 plastificariam gradualmente até que toda a superfície de ruína atingisse o escoamento. Entretanto, se o material apresenta amolecimento, a tensão máxima de tração é deslocada através da superfície deixando uma região amolecida no seu rastro. Se a superfície de ruína é pequena, a redução da tensão na zona amolecida não é apreciável, o que significa que a distribuição de tensões na superfície de ruína difere muito pouco daquela resultante da análise limite convencional. Não obstante, se a laje apresenta grandes dimensões, a redução de tensão na zona amolecida é acentuada, de forma que a análise limite tende a superestimar a capacidade de carga da laje. Esse exemplo mostra que o modo de colapso de uma laje de concreto sob punção pode mudar de dúctil para frágil, dependendo do tamanho absoluto da mesma.

Fig. 1.3 - Comportamento estrutural: (a) dúctil; (b) quase-frágil

Capacidade de absorção de energia e ductilidade

O diagrama completo de resposta carga-deslocamento do concreto é do tipo mostrado na Fig. 1.2. A área sob esta curva representa a energia absorvida pela estrutura durante o processo de fraturamento, desprezando a energia dissipada nos apoios e nos pontos de aplicação do carregamento. A maior parte desta energia é absorvida pela estrutura na região de amolecimento pós-pico, e essa parcela de energia caracteriza a ductilidade da estrutura, sendo que, quanto maior a energia absorvida na região de amolecimento, mais dúctil é a resposta da

P

P Patamar de escoamento

Amolecimento

δ

δ

(a)

(b)

8

estrutura. A análise convencional não leva em conta o amolecimento de deformações, logo é incapaz de fornecer uma indicação da capacidade de absorção de energia de uma peça ou estrutura de concreto.

Fig. 1.4 - Natureza progressiva do colapso de uma laje por cisalhamento na punção

Objetividade nas simulações numéricas

O método dos elementos finitos tem sido aplicado à análise de seções fissuradas de concreto desde o começo da década de 60 (Clough, 1962 apud Karihaloo, 1995). Nessas análises, em geral, considerava-se que as fissuras eram formadas quando a tensão atuante atingia a resistência à tração do concreto. Uma vez atingido este limite, a tensão no elemento correspondente era anulada instantaneamente, logo o concreto era considerado um material frágil. Isso gerava uma forte dependência do tamanho dos elementos utilizados nos deslocamentos calculados (fato conhecido como falta de objetividade numérica). Mesmo depois da inclusão de uma resposta com amolecimento (permitindo uma queda gradual da tensão até zero), a utilização de um critério de colapso baseado exclusivamente em tensões produz resultados que não são objetivos com relação ao tamanho da malha de elementos finitos utilizada (Bažant; Cedolin, 1980). Esse é um problema

12

3

12

3 12

3 12

3

σy

σN

σ

σ

w

w

Material plástico

Material com amolecimento

σ

Tamanho da peça

(e)

(d)

(c)

(b)

(a)

pequena

grande

9

sério, visto que tal método é largamente utilizado para a modelagem de estruturas especiais, como por exemplo cascas de concreto armado e barragens. O critério de energia da Mecânica da Fratura assegura a obtenção de soluções estáveis e convergentes. Logo, do ponto de vista da simulação numérica, a aplicação dos conceitos da Mecânica da Fratura é fundamental para a correta modelagem das estruturas de concreto.

Validade das curvas tensão-deformação utilizadas

Curvas tensão-deformação como as mostradas na Fig. 1.5 são usualmente utilizadas para a determinação das leis constitutivas para o concreto no estado limite último. Entretanto, muitas pesquisas têm mostrado que o comportamento do ramo de amolecimento (ramo descendente) não é uma propriedade do material, e de fato depende da dimensão do corpo-de-prova ensaiado. Esse fato pode ser adequadamente contemplado utilizando conceitos de Mecânica da Fratura.

Fig. 1.5 - Curvas tensão-deformação utilizadas na análise limite convencional

Efeito de escala

Sem dúvida o mais convincente argumento a favor da aplicação da teoria de Mecânica da Fratura ao concreto é o efeito de escala que influencia vários

Deformação

Tensão

Tração

Compressão

10

aspectos de análise e projeto, tais como a capacidade resistente e a ductilidade em vigas submetidas a flexão e a cisalhamento, a resistência à tração na flexão (módulo de ruptura), o colapso de vigas submetidas a torção, o colapso de lajes submetidas a punção, entre diversas outras. Para ilustrar esse efeito de escala, pode-se observar na Fig. 1.6 a resposta à flexão de três vigas de concreto, as quais são geometricamente similares mas têm tamanhos diferentes. Todas as vigas têm a mesma largura b e a mesma relação entre o vão e a altura (L/h), mas suas alturas são diferentes, sendo h1 < h2 < h3. A tensão correspondente à carga P é dada por σN = P/bh. Curvas típicas tensão-deslocamento para as três vigas estão mostradas na Fig. 1.6. Dois aspectos são claramente notados nessa figura. Primeiro, a tensão nominal última σN aumenta com a diminuição do tamanho da viga. Segundo, há uma mudança de resposta, de colapso dúctil em uma viga pequena (ou baixa) para colapso frágil em uma viga grande (ou alta). De acordo com o critério de resistência no qual se baseiam as normas de projeto atuais, como por exemplo o critério da máxima tensão admissível σw de uma análise elástica ou o critério da tensão de escoamento de uma análise limite (plástica), a tensão última deve ser igual à tensão σw (ou σy) independentemente da altura h da viga. Isso quer dizer que, segundo o critério convencional de resistência, não existe dependência do tamanho da peça e esse tamanho não exerce qualquer efeito sobre a ductilidade da viga.

O efeito de escala e a ductilidade da viga podem ser corretamente determinados pela teoria de Mecânica da Fratura.

De fato, devido à elevada importância do efeito de escala para as estruturas de concreto e para as normas de projeto, esse efeito é tratado em praticamente todos os assuntos abordados neste trabalho.

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Fig. 1.6 - Efeito de escala em vigas de concreto submetidas a flexão

1.3 OBJETIVOS E ESTRUTURAÇÃO DA TESE

Em termos gerais, a presente tese visa à análise do comportamento de vigas armadas de concreto de alto desempenho utilizando conceitos de Mecânica da Fratura. Procura-se identificar em que situações a aplicação exclusiva da teoria convencional atualmente utilizada em todas as normas de projeto pode não ser suficiente para a previsão do comportamento estrutural de peças de concreto, uma vez que alguns critérios de normas são puramente empíricos. Isto pode

L1

L3

L2

h1

h2

h3

b

b

b

P

P

P

σN

δ

1

2

3

32

1

12

levar, em certos casos, a estimativas não conservadoras da carga de colapso de uma peça ou estrutura, em especial devido ao efeito de escala. Isto se torna ainda mais relevante para o caso do concreto de alto desempenho, cuja utilização prática antecedeu um profundo entendimento do comportamento mecânico desse material, o qual é de natureza reconhecidamente mais frágil do que o concreto convencional. Com efeito, é de fundamental importância se investigar o comportamento do concreto de alto desempenho em vigas, pilares, lajes e outras peças estruturais, com o intuito de verificar a aplicabilidade das regras de projeto correntes (que foram concebidas a partir de ensaios com concretos convencionais de resistência relativamente baixa) a estas peças, visto que a simples extrapolação dos critérios correntes sem o devido suporte experimental parece ser imprudente. Várias investigações vêm sendo conduzidas em vários centros de pesquisa espalhados pelo mundo com esta finalidade. É importante salientar que a utilização prática dos modelos estudados exige o desenvolvimento de métodos padronizados de ensaio que permitam obter de forma inequívoca os parâmetros de fraturamento a serem utilizados em tais modelos. Este trabalho fornece uma descrição sucinta dos métodos experimentais existentes e apresenta uma nova metodologia de ensaio recentemente desenvolvida e testada em conjunto com diversos centros de pesquisa na área, os quais constituíram um plano de colaboração internacional realizado durante o ano de 1999.

Em termos mais específicos, a presente tese visa à investigação experimental do comportamento à flexão de vigas de concreto armado do ponto de vista da quantidade mínima de armadura de flexão, do efeito de escala e da localização de deformações.

Além disso, foi desenvolvido um modelo analítico baseado no fenômeno de localização de deformações pós-pico na compressão uniaxial. Esse modelo é capaz de capturar o efeito do tamanho do corpo-de-prova na curva tensão-deformação. O modelo é aplicado a resultados de ensaios uniaxiais de corpos-de-prova cilíndricos e prismáticos de concreto com diferentes tamanhos com o objetivo de avaliar sua capacidade de simular corretamente os resultados experimentais. Como usualmente o comportamento da zona comprimida de uma viga de concreto armado sob flexão está diretamente relacionado à curva tensão-

13

deformação do concreto obtida experimentalmente em corpos-de-prova cilíndricos ou prismáticos, a curva gerada pelo modelo é utilizada para o cálculo do diagrama momento-curvatura de vigas sob flexão pura, levando em conta o tamanho (esbeltez) da viga. Os resultados obtidos são então comparados com uma série de resultados experimentais recentes da literatura e com ensaios realizados no Laboratório de Estruturas e Materiais Estruturais da EPUSP, a fim de se avaliar a aplicabilidade do modelo a vigas fletidas e se ter uma idéia aproximada dos parâmetros necessários à aplicação do mesmo.

A presente tese é estruturada de forma a seguir uma linha de desenvolvimento coerente e de fácil entendimento. O Capítulo 1 é uma breve introdução ao tema, procurando contextualizar e justificar o assunto abordado. No Capítulo 2 são descritas as principais características e peculiaridades do concreto de alto desempenho e algumas de suas propriedades mecânicas mais relevantes. O Capítulo 3 introduz brevemente os conceitos fundamentais da aplicação da Mecânica da Fratura ao concreto e os atuais métodos de ensaio para determinação de parâmetros de fraturamento. O Capítulo 4 aborda os principais parâmetros que influenciam o colapso ao cisalhamento de vigas sem estribos, com ênfase no efeito de escala. O Capítulo 5 apresenta os principais aspectos do comportamento de vigas armadas à flexão. Considerações teóricas e um estudo experimental sobre a quantidade mínima de armadura de flexão em vigas são tratados no Capítulo 6. O Capítulo 7 discute o fenômeno de localização de deformações no colapso por compressão, o qual gera um comportamento pós-pico dependente do tamanho do corpo-de-prova. O modelo de fraturamento proposto, baseado no conceito de localização de deformações na compressão, é formulado no Capítulo 8. A investigação experimental e numérica de vigas de concreto armado de alto desempenho é detalhada no Capítulo 9. Também nesse capítulo é apresentada uma discussão dos resultados teóricos e experimentais obtidos. O Capítulo 10 encerra o trabalho com o delineamento das conclusões e sugestões para novas pesquisas.

14

O CONCRETO DE ALTO DESEMPENHO

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2.1 GENERALIDADES

O concreto de alto desempenho (CAD) pode ser considerado como uma evolução tecnológica dos concretos tradicionais. Esta evolução é fruto de amplas pesquisas sobre o comportamento mecânico deste material, assim como da introdução de dois tipos de aditivos na composição do mesmo: os de origem mineral e os de origem química. No primeiro caso, pode-se citar o fumo de sílica e as cinzas volantes, e no segundo, os superplastificantes. Considerações gerais sobre a composição do CAD, sua classificação em termos de resistência mecânica, suas principais propriedades mecânicas e algumas de suas vantagens e desvantagens são brevemente introduzidas neste capítulo.

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2.1.1 Composição do concreto de alto desempenho

A introdução dos aditivos minerais e químicos na composição do concreto provoca alterações na sua microestrutura, tanto na pasta de cimento quanto na interface agregado-pasta. Estas alterações geram modificações no comportamento mecânico do material tanto no estado fresco quanto no estado endurecido.

No CAD, a porosidade da pasta de cimento hidratado é muito baixa, contrastante com a do concreto comum, no qual a água de mistura não combinada ou absorvida na hidratação cria uma rede aberta de poros que reduz a densidade da matriz, o que leva à obtenção de resistências mecânicas menores que as obtidas no caso do CAD. Em termos fundamentais, quanto menor o volume de vazios contidos na massa de concreto, maior é a resistência mecânica e a durabilidade do material.

Os aditivos minerais atuam basicamente de duas formas: fisicamente, preenchendo os vazios da massa de concreto (efeito de filler), e quimicamente, transformando o hidróxido de cálcio em silicato de cálcio hidratado. No primeiro caso, ocorre um fortalecimento da microestrutura devido à redução da porosidade e da porometria, aumentando também a durabilidade da estrutura. A resistência da interface também é melhorada devido à redução da espessura da zona de transição agregado-pasta, colocando os agregados em contato direto com uma fase mais resistente do concreto. A região da interface é porosa e frágil no concreto convencional, pois apresenta uma alta concentração de cristais de hidróxido de cálcio orientados preferencialmente numa direção perpendicular à superfície dos agregados. Os aditivos minerais reduzem os espaços vazios, aumentando a compacidade e funcionando como núcleos de cristalização do hidróxido de cálcio, o qual passa a se formar em cristais menores que não mais apresentam uma direção preferencial. Quimicamente, os aditivos minerais transformam boa parte destes cristais em gel aglomerante de silicato de cálcio, no que se chama reação pozolânica.

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Os aditivos químicos, como por exemplo os superplastificantes, provocam uma redução da porosidade total da massa devido à diminuição do fator a/c, elevando significativamente a durabilidade e a resistência mecânica do concreto como um todo.

Outras características que são bastante melhoradas com a utilização do CAD são a elevada resistência à abrasão, a maior aderência entre o concreto e as barras da armadura e a grande redução do fenômeno de fluência, chegando a atingir valores inferiores a 1/5 daqueles medidos nos concretos convencionais.

Em termos de durabilidade, o CAD apresenta diversos aspectos melhorados em relação aos concretos convencionais, como por exemplo:

• permeabilidade muito baixa, o que reduz extremamente a penetração de agentes agressivos na massa de concreto;

• porosidade reduzida a até metade da dos concretos convencionais; • porometria (diâmetro médio dos poros) reduzida, chegando a alguns casos à

eliminação total dos macroporos (diâmetro > 50 µm); • aumento da resistência à carbonatação.

Com relação ao comportamento do CAD no estado fresco, pode-se salientar algumas características peculiares, tais como:

• perda de abatimento com o tempo, demandando o menor intervalo de tempo possível entre a mistura e o lançamento do concreto nas fôrmas;

• tempo de pega um pouco retardado em relação aos concretos tradicionais, devido à atuação dos aditivos químicos;

• quase ausência de água de exsudação devido à baixa relação a/c, necessitando de um processo de cura bastante criterioso.

Finalmente, algumas características do CAD ainda não foram bem compreendidas, necessitando de mais pesquisas para se entender melhor o comportamento do material. Entre essas características, podem-se citar:

• retração do concreto;

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• resistência ao fogo; • comportamento durante ciclos de congelamento e degelo; • resistência à fadiga.

2.1.2 Classificação em termos de resistência

Embora a resistência à compressão não seja a única propriedade delimitadora do CAD face aos concretos convencionais, é usual utilizar-se deste parâmetro como o critério mais significativo, devido ao fato de já existirem conhecimentos razoáveis de como manipular a composição do concreto para atingir a resistência à compressão desejada, enquanto que a relação entre outros atributos do concreto e sua composição ainda não está plenamente estabelecida (Shah, 1997).

A classificação do CAD quanto à resistência à compressão vem se alterando ao longo dos anos. Por exemplo, nos anos 50 eram considerados de alta resistência concretos com resistência à compressão da ordem de 35 MPa. Já na década de 60, concretos com resistência à compressão de aproximadamente 60 MPa já podiam ser produzidos com certa facilidade. Nos dias de hoje, pode-se obter concretos com resistências da ordem de 130 MPa de maneira quase rotineira em alguns países, como Noruega, França, Estados Unidos, Canadá e Japão, por exemplo. Portanto, não existe um valor limite exato a partir do qual o concreto deva ser considerado como sendo de alta resistência. O Comitê 363 do American Concrete Institute (ACI-363R, 1992) estipula que concretos com resistências acima de 41 MPa podem ser considerados de alto desempenho. Já o Código Modelo MC-90 do Comité Euro-Internacional du Béton (CEB) estabelece como limite inferior para o CAD uma resistência à compressão de 60 MPa (CEB-FIP, 1990). A norma brasileira NBR-8953, que considera resistências à compressão de até 80 MPa, permite, na falta de critérios estabelecidos na norma de projeto brasileira NBR-6118, adotar as recomendações de normas internacionais para concretos com resistência à compressão acima de 50 MPa, desde que de comum acordo entre projetistas e proprietários (ABNT, 1992).

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A Tabela 2.1 mostra uma possível classificação quanto à resistência à compressão e à necessidade de aditivos para a obtenção de concretos de alto desempenho∗.

Tabela 2.1 – Classificação de concretos quanto à resistência à compressão (MPa)

Convencional Alto Desempenho Ultra-alto Desempenho

Resistência à compressão < 50 > 50 e < 100 > 200

Relação a/c > 0,4 ~ 0,30 < 0,2

Aditivo redutor de água Não é necessário Necessário Essencial

Aditivo mineral Não é necessário

Cinza volante e/ou fumo de sílica Fumo de sílica

Fibras Vantajoso Vantajoso Essencial Fonte: Shah (1997).

Neste trabalho, será considerado como limite inferior de resistência característica à compressão para concretos de alto desempenho o valor de 50 MPa, estando esta classificação razoavelmente de acordo com a classificação da maioria das normas de projeto internacionais.

2.1.3 Vantagens e desvantagens

Dentre as principais vantagens do CAD face aos concretos convencionais pode-se citar as seguintes:

• elevada resistência à compressão, tanto final como inicial; • alto módulo de elasticidade; • elevada compacidade; • baixas permeabilidade e porosidade ⇒ elevada durabilidade; • facilidade de moldagem, devido à utilização de superplastificantes;

∗ Apesar deste trabalho se concentrar basicamente na resistência mecânica, será utilizado ao longo do

texto o termo concreto de alto desempenho, uma vez que, além de uma elevada resistência à compressão, esse tipo de concreto apresenta melhorias em várias outras propriedades.

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• boa resistência à abrasão, particularmente interessante na construção de estradas e tubos;

Como desvantagens pode-se salientar a necessidade de um criterioso processo de produção e procedimento de cura, o comportamento mais frágil do material, as lacunas ainda existentes quanto aos critérios de projeto estrutural vigentes nas normas atuais e o custo mais elevado, sendo que este último aspecto, na verdade, pode ser compensado pela economia gerada na diminuição da quantidade de material utilizada e no prolongamento da vida útil da estrutura.

2.1.4 Aplicações

As aplicações do CAD têm aumentado progressivamente nas últimas décadas, na medida em que suas propriedades reológicas e mecânicas vêm sendo melhor compreendidas e o seu processo de produção vem sendo aprimorado cada vez mais. Além disso, a disponibilidade atual do CAD o torna economicamente viável para ser utilizado nas estruturas.

O uso mais abrangente do CAD tem sido na construção de edifícios altos, e mais recentemente em pontes, embora a sua utilização em estruturas marítimas, pré-fabricados, túneis e estruturas nucleares venha crescendo nos últimos anos. Em edifícios altos, a utilização do CAD permite a redução da seção transversal de pilares e vigas; em pontes, onde por muitas vezes a resistência à tração é o fator limitante, a maior resistência à tração do CAD reduz a fissuração das peças protendidas, e a sua reduzida fluência diminui as perdas de protensão nas longarinas. Em outras estruturas, o fator determinante para a utilização do CAD é a necessidade de uma elevada durabilidade, como é o caso das estruturas marítimas, por exemplo.

A seguir estão ilustradas algumas estruturas construídas com CAD.

A Fig. 2.1 mostra a Ré Island Bridge, na França, ponte que foi projetada em 1987 e utilizou 35000 m3 de um concreto de 60 MPa de resistência à compressão.

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Foram também utilizados fumo de sílica e um superplastificante, com uma relação a/c da ordem de 0,40.

Fig. 2.1 - Ré Island Bridge, França

A Fig. 2.2 apresenta a Joigny Bridge, na França, uma ponte construída em 1988 com um concreto de 68 MPa e sem a utilização de fumo de sílica.

Fig. 2.2 - Joigny Bridge, França

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Outra estrutura interessante é a Mesquita de Hassan, no Marrocos, cuja fundação e superestrutura foram projetadas com um concreto de 92 MPa e utilizando fumo de sílica e superplastificante. Essa construção está ilustrada na Fig. 2.3.

Fig. 2.3 - Great Hassan II Mosque, Marrocos

Na Fig. 2.4, pode-se observar uma magnífica estrutura projetada com CAD. Trata-se do Grande Arco da Défense, em Paris, projetado em 1985 com um concreto de 55 MPa de resistência à compressão.

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Fig. 2.4 - Grand Arche de la Défense, França

A Fig. 2.5 mostra as torres Petronas de Kuala Lumpur, na Malásia, que são atualmente os edifícios em concreto mais altos do mundo, com cerca de 450 metros de altura. O concreto utilizado tem resistência à compressão de 60 e 80 MPa.

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Fig. 2.5 - Petronas Towers, Malásia

Apesar de ainda não serem utilizados de forma corriqueira no Brasil concretos com resistência à compressão acima de 50 MPa, já existem algumas construções nas quais foram empregados concretos considerados de alto desempenho. Como exemplo, A Fig. 2.6 mostra a torre norte do complexo Centro Empresarial Nações Unidas, em São Paulo, construída em 1999 com um

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concreto de 50 MPa e adição de fumo de sílica. O edifício tem 156 metros de altura distribuídos em 36 pavimentos.

Fig. 2.6 - Torre norte do Centro Empresarial Nações Unidas, São Paulo

Torre norte

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2.2 MATERIAIS COMPONENTES

2.2.1 Seleção de materiais

A produção do concreto de alto desempenho (CAD) exige uma cuidadosa seleção dos materiais componentes a fim de se obter um produto final com as características desejadas de trabalhabilidade, resistência e durabilidade. O CAD pode ser considerado como um material composto das seguintes fases: a pasta de cimento endurecida, o agregado e a zona de transição agregado-pasta. Estas três fases devem ser criteriosamente consideradas no processo de produção do concreto.

As características da pasta dependem da composição do cimento, da relação a/c, das propriedades e composição dos aditivos, e do procedimento de cura. Por outro lado, a escolha dos agregados é de suma importância no controle das propriedades do concreto fresco e endurecido. As propriedades do agregado afetam a resistência da zona de transição, sendo diretamente relacionadas às propriedades mecânicas do concreto endurecido.

Logo, torna-se necessário obter o máximo desempenho de todos os materiais envolvidos na produção do CAD. A seguir são brevemente abordados os constituintes do CAD e suas características mais relevantes.

Cimento

A escolha do cimento a ser utilizado para a produção do CAD é extremamente importante, uma vez que o desenvolvimento da resistência mecânica de concretos de alto desempenho depende da escolha do cimento. Os fatores que influenciam as resistências inicial e final do concreto são a composição do clínquer e a finura do cimento.

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Quanto à composição do clínquer, os teores de C3S, C2S e C3A apresentam forte influência no desenvolvimento da resistência da pasta de cimento. Enquanto que o C3A tem particular influência na resistência inicial do concreto, o C2S, cujo processo de hidratação é mais lento, contribui significativamente para a resistência final. O C3S contribui tanto para uma boa resistência inicial quanto para uma elevada resistência final (CEB-FIP, 1990). Portanto, quando não é necessária uma elevada resistência inicial, pode-se optar por uma redução do teor de C3A, o que contribuirá para resistências finais elevadas e baixas taxas de geração de calor, uma vez que o C3A apresenta a maior taxa de geração de calor dentre os minerais de clínquer acima citados, além de levar a uma rápida perda de fluidez do concreto fresco. Alguns pesquisadores sugerem que sejam evitados altos teores de C3A para o CAD.

A hidratação dos minerais de clínquer é influenciada pela finura do cimento. Como a hidratação se inicia na superfície das partículas, é a área total da superfície do cimento que representa o material disponível para hidratação. Assim, a velocidade da hidratação depende da finura, com a resistência a longo prazo não sendo influenciada. Uma maior velocidade inicial de hidratação, depende também, naturalmente, de um maior desprendimento de calor de hidratação. Por outro lado, é considerável o custo da moagem até uma finura maior, e, também, quanto mais fino o cimento, mais rapidamente ele se deteriora quando exposto ao ar. Cimentos mais finos resultam numa reação mais energética com os agregados álcalis-reativos, e fazem com que a pasta de cimento, embora não necessariamente o concreto, apresentem uma maior retração e uma maior tendência à fissuração. Além disso, uma finura muito alta pode ocasionar uma rápida perda de abatimento, o que prejudica a trabalhabilidade e a compactação do concreto. No entanto, cimentos finos apresentam menor exsudação do que cimentos mais grossos (Neville; Aitcin, 1998). Tipicamente, a maioria dos cimentos utilizados para a produção do CAD apresenta uma finura entre 300 e 400 m2/kg, valores esses que variam de acordo com o processo utilizado para medição.

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Água

Os requisitos para a água a ser utilizada na produção do CAD são os mesmos exigidos para a produção de concretos convencionais, ou seja, preferencialmente deve ser utilizada água potável na mistura. Na falta desta, devem ser efetuados ensaios no concreto a ser utilizado e comparados com ensaios efetuados em corpos-de-prova de concretos produzidos com água destilada. Se a resistência à compressão do concreto a ser utilizado não for inferior a 90% daquela referente à utilização de água destilada, então a água poderá ser considerada como aceitável (ACI-363R, 1992).

Agregados∗

As principais propriedades dos agregados pertinentes à sua utilização no CAD são: forma geométrica, distribuição do tamanho dos grãos, propriedades mecânicas, e interação química com a pasta de cimento. Esta última afeta diretamente a condição de aderência entre a pasta e os agregados. É importante salientar que no CAD a resistência do agregado pode ser o fator limitante da resistência do concreto. Além disso, como o requisito principal para se obter altas resistências é manter a relação a/c extremamente baixa, a granulação dos agregados deve ser cuidadosamente controlada.

Agregado miúdo

A forma do agregado miúdo influencia na quantidade de água exigida, sendo que agregados com forma arrendondada e textura suave são preferíveis na produção do CAD por exigirem menor quantidade de água. Agregados com módulo de finura aproximadamente igual a 3,0 são recomendados por permitirem uma boa trabalhabilidade e uma elevada resistência à compressão.

Agregado graúdo

Dentre os vários tipos de agregado graúdo que têm sido utilizados para a produção do CAD, pode-se citar o calcário, o diabásio, o granito e o seixo rolado. ∗ No presente trabalho, não serão abordados os agregados leves, os quais são materiais produzidos

industrialmente. Limitar-se-á a tratar aqui dos agregados naturais que são usualmente utilizados.

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Um fator de fundamental importância no CAD é a resistência da zona de transição, ou seja, a condição de aderência mecânica agregado-pasta. As melhores condições de aderência são obtidas por meio da utilização de agregados britados, não sendo recomendável a utilização do seixo rolado devido à sua superfície lisa não oferecer uma boa aderência com a pasta. Agregados planos ou alongados também devem ser evitados.

Para a obtenção de uma elevada resistência mecânica com alta quantidade de cimento e baixa relação a/c, o tamanho máximo do agregado graúdo deve situar-se num valor entre 10 e 14 mm. Além disso, agregados menores proporcionam uma melhor trabalhabilidade e um menor nível de concentração de tensões ao redor dos grãos.

A proporção entre os agregados graúdos e os agregados miúdos, para o concreto convencional, situa-se usualmente entre 0,9 e 1,4. No entanto, para o CAD, esta proporção é bem maior, em geral entre 1,5 e 1,8, sendo recomendada uma proporção de até 2,0 (Mindess, 1994).

Aditivos

Fumo de sílica

O fumo de sílica é um aditivo mineral, sub-produto das ligas de silício e ferrosilício, e que consiste de partículas esféricas ultrafinas, com diâmetro médio de 100nm (da ordem de 100 vezes mais finas do que as partículas de cimento), sendo classificado como uma pozolana altamente ativa (Nagataki, 1994). Entretanto, o mesmo não está disponível em grandes quantidades, além de ser mais caro do que outros aditivos minerais, como a cinza volante, por exemplo. Ao contrário do que se pensa, o fumo de sílica não é componente essencial do CAD. Em algumas obras, resistências de 60 MPa a 80 MPa foram obtidas sem adição de fumo de sílica. No entanto, para resistências maiores, o uso do fumo de sílica é essencial, o que eleva o custo do concreto.

Os primeiros estudos sobre a utilização do fumo de sílica no concreto foram conduzidos em países do norte da Europa, incluindo a Noruega, um dos

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principais países produtores de fumo de sílica. As primeiras aplicações deste aditivo ao concreto tiveram o propósito somente de reduzir a quantidade de cimento na mistura. Entretanto, uma vez que o fumo de sílica consiste de partículas ultrafinas, a sua adição ao concreto tende a aumentar a quantidade de água. Daí a razão pela qual pode-se obter um concreto bastante resistente e durável pela utilização combinada de fumo de sílica e de um aditivo redutor de água (superplastificante).

A influência do fumo de sílica no comportamento do concreto fresco é evidenciada pelo aumento da viscosidade e da coesão e pela redução da trabalhabilidade, resultando em valores menores de abatimento. Este fato faz com que haja um aumento na quantidade de água necessária para se obter o abatimento desejado, o que pode ser prevenido com o uso de um superplastificante. Em outras palavras, a utilização de fumo de sílica como aditivo para concreto é inviável sem a utilização em conjunto de um aditivo superplastificante.

Com relação às suas propriedades mecânicas, concretos e argamassas contendo fumo de sílica apresentam excelentes características no que diz respeito ao desenvolvimento de resistências mecânicas. Resistências à compressão na faixa de 60-80 MPa podem ser facilmente obtidas, embora estes valores possam variar dependendo do tipo de fumo de sílica e cimento utilizados, teor de fumo de sílica, procedimento de cura e idade do concreto. Esta elevada resistência mecânica é atribuída à redução do volume de vazios e poros no concreto, elevando bastante a compacidade do material e tornando a matriz de argamassa bastante resistente. Além disso, o fumo de sílica reage com o hidróxido de cálcio produzido durante a hidratação do cimento, originando silicatos de cálcio hidratados (CSH), que elevam bastante a resistência da massa de concreto (Breitenbücher, 1998).

A literatura relata também que o módulo de elasticidade de concretos com fumo de sílica é menor do que a do concreto sem fumo de sílica, com a mesma resistência à compressão. Isto deve-se ao aumento da quantidade relativa de pasta

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de cimento com a adição de fumo de sílica, uma vez que o módulo de elasticidade da pasta é menor do que o do agregado.

Vários engenheiros e pesquisadores têm hesitado em utilizar o fumo de sílica devido à falta de uma especificação ou recomendação padronizada para este material. Em outro casos, por falta de conhecimento técnico, o fumo de sílica é utilizado em proporções que não apresentam praticamente nenhuma eficiência na melhora do desempenho do concreto. Pesquisas nesta área indicam que a eficiência do fumo de sílica no CAD é mais acentuada para maiores relações a/c, não chegando a apresentar grandes vantagens para baixas relações a/c. Nos últimos anos, têm sido feitas tentativas de estabelecer uma espeficicação padrão para a utilização do fumo de sílica no concreto (Holland, 1995), de forma a se obter o máximo rendimento do material a um custo mínimo.

Cinza volante

A cinza volante tem sido um aditivo mineral bastante utilizado na produção do concreto por muito anos, e em geral, sua espeficicação de uso para o CAD é a mesma para o concreto convencional. Entretanto, o limite de resistência obtido com a utilização da cinza volante não costuma ultrapassar 70 MPa. Para a obtenção de resistências mais elevadas, a utilização de fumo de sílica em conjunto com a cinza volante se mostra a melhor alternativa.

Em geral, para aplicações em CAD, a dosagem de cinza volante utilizada está em torno de 15% da quantidade de cimento. O controle de qualidade é de fundamental importância, pois a cinza volante apresenta grande variabilidade nas suas características físicas e químicas.

Escória de alto-forno

A escória de alto forno é largamente encontrada na Europa, e sua dosagem utilizada no CAD situa-se em geral na faixa de 15% a 30% da quantidade de cimento. Para resistências muito altas, acima de 90 MPa, a utilização do fumo de sílica em conjunto com a escória de alto forno é fundamental, assim como no caso da cinza volante. Um possível incoveniente da

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utilização de altas dosagens de escória de alto forno é a taxa mais baixa de desenvolvimento de resistência do concreto fresco quando se utiliza este aditivo. Quando uma alta resistência inicial for exigida, deverão ser reduzidos os teores de escória de alto forno. Esta observação vale também para a cinza volante.

Superplastificantes

Os superplastificantes foram concebidos na década de 70, e são usualmente utilizados com o intuito de melhorar algumas características do concreto, tais como (Collepardi, 1994):

• aumentar a trabalhabilidade sem alterar a composição do concreto; • reduzir a quantidade de água de mistura e o valor da relação água/cimento

(a/c) com a finalidade de elevar a resistência e a durabilidade; • reduzir a fluência, a retração e as deformações térmicas causadas pelo calor de

hidratação.

Para a produção do CAD é necessária a adoção de uma relação água/cimento extremamente baixa, aliada à trabalhabilidade adequada para compactação. A necessidade do uso de um superplastificante na elaboração do CAD é explicada pelo fato da redução da quantidade de água em um determinado concreto fresco resultar em uma mistura não trabalhável. Os principais problemas relacionados à trabalhabilidade do CAD estão descritos em uma publicação recente da RILEM (RILEM, 1997). Simultaneamente, a quantidade de cimento não pode ser aumentada excessivamente, não somente pelo alto custo mas também porque uma grande quantidade de cimento levaria a problemas térmicos.

Torna-se então necessário o conhecimento específico das propriedades dos componentes do concreto e sua interação. Sem o uso do superplastificante, a relação água/cimento não poderia ser reduzida a valores inferiores a 0,4 (Aitcin; Neville, 1993). A trabalhabilidade do concreto diminui devido à tendência de floculação entre os grãos de cimento e à consequente retenção de água entre esses grãos, resultando em um aumento do atrito interno da mistura durante a compactação. Devido às cargas elétricas superficiais nas partículas de cimento,

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decorrente do uso dos superplastificantes, há uma separação dessas partículas, que se defloculam e aumentam a fluidez da mistura de tal modo que uma relação água/cimento (a/c) muito baixa pode ser suficiente para uma adequada trabalhabilidade.

Do ponto de vista da trabalhabilidade, os aditivos superplastificantes disponíveis são capazes de prover um aumento no valor do abatimento da ordem de 200 mm. Porém, ainda existem algumas lacunas a serem preenchidas para resolver determinados problemas ainda sem solução definitiva. Um destes problemas é que o método de adição do superplastificante afeta diretamente o efeito de aumento do abatimento. O procedimento de adição imediata produz uma mistura menos trabalhável do que a adição após um período inicial de mistura de 1 minuto, exigindo maior quantidade de água ou maior dosagem de aditivo para se obter o mesmo abatimento. É necessário então o desenvolvimento de novos superplastificantes cuja ação independa do método de adição adotado.

Outro problema encontrado quando da utilização deste tipo de aditivo é a rápida perda de abatimento com o tempo∗. Vários métodos têm sido adotados para tentar controlar esta perda de abatimento, dentre os quais pode-se destacar a inclusão de uma dosagem de superplastificante maior do que a necessária, a utilização de algum tipo de aditivo retardador de pega, ou ainda a redosagem do superplastificante em diferentes intervalos de tempo. No entanto, os métodos citados acima apresentam várias limitações de ordem prática, sendo necessário um novo tipo de superplastificante que seja capaz de manter o valor do abatimento constante por um maior período de tempo (pelo menos 1 a 2 horas) independentemente da temperatura e do tipo e quantidade de cimento utilizado.

Os superplastificantes podem também ser utilizados para reduzir o valor da relação a/c, elevando desta forma tanto a resistência quanto a durabilidade do concreto. Daí a terminologia técnica utilizada para estes aditivos químicos, os quais são denominados de aditivos redutores de água de alto efeito (high-range

∗ Em geral, grande parte do efeito do superplastificante cessa após aproximadamente 30 minutos da

sua adição ao concreto.

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water reducers admixtures). Resistências da ordem de até 70 MPa podem ser obtidas pela redução da relação a/c com o uso de superplastificantes. Quando for necessária a obtenção de resistências superiores, a utilização combinada de um superplastificante e de fumo de sílica parece ser a melhor alternativa.

As tensões de origem térmica que surgem devidas ao calor de hidratação do concreto fresco podem ser reduzidas por meio do aumento do tamanho máximo do agregado e da utilização de aditivos redutores de água para uma dada relação a/c. Até mesmo a redução de deformações por retração e fluência do concreto, particularmente importante em estruturas de concreto protendido, pode ocorrer a partir da modificação dos dois parâmetros acima citados.

Vários pesquisadores alertam para a necessidade de uma cuidadosa verificação da compatibilidade do superplastificante com o cimento utilizado, visto que diferentes superplastificantes comportam-se de forma bastante diferente quando utilizados com diversos cimentos, e até mesmo com cimentos do mesmo tipo (Mindess, 1994); (Gutiérrez; Canovas, 1996); (Neville; Aitcin, 1998). Essa incompatibilidade pode anular o efeito do aditivo e até mesmo gerar condições adversas àquelas para as quais a adição foi inicialmente planejada.

2.3 PROPRIEDADES MECÂNICAS

2.3.1 Considerações gerais

As propriedades mecânicas do concreto de alto desempenho têm sido extensivamente investigadas por vários pesquisadores nas duas últimas décadas (Carrasquillo et al., 1981a); (Carrasquillo et al., 1981b); (Swamy, 1985); (Swartz et al., 1985); (Glavind; Stang, 1991); (de Larrard; Malier, 1992); (de Larrard; Acker, 1992); (Gutiérrez; Canovas, 1995); (Iravani, 1996); (Wee et al., 1996); (Cetin; Carrasquillo, 1998).

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Dentre todas as propriedades mecânicas do concreto, a mais importante indicadora da qualidade do material é a sua resistência, devido ao fato de que a mesma está intimamente relacionada com a relação a/c e com a estrutura da pasta de cimento endurecida. A relação a/c, por sua vez, controla a porosidade do material, que é a principal característica ligada à durabilidade do concreto. Por estes motivos, a resistência à compressão é usualmente utilizada para especificar, controlar e avaliar a qualidade do concreto (Ahmad, 1994). A resistência do concreto é influenciada pela proporção dos componentes utilizados na sua produção e pelas condições sob as quais os ensaios com corpos-de-prova de concreto são realizados.

Com relação aos componentes do concreto, as propriedades que influenciam a resistência mecânica são a qualidade dos agregados, as características da pasta de cimento e as condições de aderência pasta-agregados. Tipicamente, a resistência à compressão é limitada pelas características do agregado graúdo. No que diz respeito às condições de ensaio, são relevantes a taxa de carregamento, o método de ensaio, a idade e a geometria do corpo-de-prova.

2.3.2 Influência do agregado graúdo

Os parâmetros relevantes do agregado graúdo são a forma, a textura e o tamanho máximo. No concreto convencional, o agregado é mais resistente do que a pasta de cimento, não sendo, portanto, um fator limitante da resistência do concreto. Por outro lado, no CAD, a pasta é tão ou mais resistente do que o agregado, e o fraturamento ocorre através dos agregados, como mostrado na Fig. 2.7.

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Fig. 2.7 - Trajetória de fraturamento no concreto de alto desempenho

Deste modo, propriedades do agregado como textura superficial e mineralogia, as quais afetam diretamente a ligação agregado-pasta, estão intimamente relacionados à iniciação de microfissuras no material, bem como ao módulo de elasticidade, à forma da curva tensão-deformação, à resistência à compressão e à resistência à tração do concreto.

Quanto ao tipo de agregado, maiores resistências mecânicas são obtidas quando são utilizados agregados britados originados do diabásio e do calcário. Resistências menores são obtidas com o emprego de seixo rolado e granito britado (Aitcin; Metha, 1990).

Com relação ao tamanho do agregado, melhores resultados são obtidos com agregados de tamanho máximo 10 a 14 mm. Este fato é explicado pela menor área superficial específica de agregados maiores, o que resulta em menor área de contato com a pasta, menor aderência da zona de transição e, consequentemente, menor resistência à compressão (Cetin; Carrasquillo, 1998). Além disso, maiores agregados resultam em um menor volume de pasta, gerando maior restrição a variações volumétricas e induzindo tensões adicionais. Como consequência, estas tensões provocam microfissuras no material antes mesmo da aplicação do carregamento externo. Portanto, em geral, quanto menor o tamanho máximo do agregado graúdo, maior a resistência obtida para uma dada relação a/c.

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Estudos realizados por Giaccio et al. (1992) indicam que a presença de agregados pouco resistentes reduz sensivelmente a resistência do concreto e que a condição de aderência da zona de transição pasta-agregado exerce um papel mais importante sob cargas de flexão do que sob cargas de compressão. Pode-se concluir então que a influência das características dos agregados na resistência do concreto aumenta para o caso do CAD.

2.3.3 Resistência à compressão

A resistência à compressão é a principal referência de projeto para a maioria das estruturas de concreto. Em geral, as demais propriedades mecânicas do concreto como por exemplo o módulo de elasticidade, a resistência à tração ou à flexão e o diagrama tensão-deformação são expressos em função da resistência à compressão.

A maioria das normas de projeto de estruturas de concreto são aplicáveis a concretos com resistências da ordem de até 50-60 MPa. Por exemplo, o Projeto de Revisão da NBR-6118 (ABNT, 2001) abrange concretos com até 50 MPa de resistência à compressão. Apenas algumas normas já estipulam critérios e especificações para concretos de alto desempenho com resistências à compressão acima de 60 MPa. A Tabela 2.2 mostra alguns documentos selecionados com sua respectiva faixa de aplicação quanto à resistência à compressão.

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Tabela 2.2 – Resistência à compressão máxima estabelecida em normas de projeto

Norma País Ano Resistência máxima à compressão

Tipo de corpo-de-prova

CEB/FIP MC-90 Internacional 1993 80 MPa Cilindro 150/300 mm

ACI 318R-99 Estados Unidos 1999 Não especificada Cilindro

152/304 mm

NBR-6118/2001 Brasil 2001 50 MPa Cilindro 150/300 mm

NS 3473E-92 Noruega 1992105 MPa

(94 MPa)

Cubo 100 mm

(Cilindro 150/300 mm)

CAN3-A23.3-94 Canadá 1994 80 MPa Cilindro 150/300 mm

Rak MK B4-83/84/89 Finlândia 1989 100 MPa Cubo

150 mm

As variáveis de ensaio, tais como o tipo de fôrma, a taxa de carregamento e o tamanho do corpo-de-prova, exercem uma considerável influência na resistência à compressão do concreto.

Pesquisas recentes indicam que, para corpos-de-prova cilíndricos com dimensões de 150 mm x 300 mm, a utilização de fôrmas plásticas resulta em resistências ligeiramente menores do que as obtidas com o emprego de fôrmas metálicas (aproximadamente 5%). Para corpos-de-prova de 100 mm x 200 mm, as diferenças tornam-se desprezíveis. Carrasquillo et al. (1981a) relatam pesquisas onde a razão média entre a resistência à compressão medida em corpos-de-prova cilíndricos de 150 mm x 300 mm e aquela medida em corpos-de-prova de 100 mm x 200 mm resultou em cerca de 0,90. Quanto à taxa de carregamento, maiores taxas resultam em resistências mais elevadas. Ahmad; Shah (1985a)

38

propuseram a seguinte equação∗ para estimar a resistência à compressão sob altas taxas de carregamento:

( ) sc

cc flog27,095,0ff α

ε+=ε

&& (2.1)

onde ε& é a taxa de deformação em (µε/seg).

O fator de forma αs leva em conta os diferentes tamanhos de corpos-de-prova utilizados nos diversos países, e é dado por:

)h(02,0)d(95,085,0s −+=α (2.2)

onde d é igual ao diâmetro ou à menor dimensão lateral (em polegadas) e h é a altura do corpo-de-prova (em polegadas).

2.3.4 Resistência à tração

A resistência à tração do concreto influencia diretamente o processo de fissuração. Consequentemente, é uma propriedade importante para estimar as deformações e a durabilidade da estrutura. Outros aspectos relacionados à resistência à tração são o comprimento de ancoragem da armadura e a contribuição do material na resistência a esforços de cisalhamento e torção (CEB-FIP, 1990). A resistência à tração aumenta com a resistência à compressão, porém a uma taxa menor. Para concretos convencionais, a resistência indireta à tração medida pelo ensaio de compressão diametral situa-se em torno de 10% da resistência à compressão. Para o CAD, esta relação cai para aproximadamente 5% (ACI-363R, 1992).

∗ Esta equação não foi verificada para valores de resistência à compressão acima de 70 MPa.

39

Resistência indireta à tração (compressão diametral)

O ACI-363R (1992) adota a seguinte equação proposta por Carrasquillo et al. (1981a) para estimar a resistência indireta à tração do CAD:

MPa83f MPa21 :paraMPa)(f54,0f ccsp <<= (2.3)

Iravani (1996) realizou ensaios com corpos-de-prova cilíndricos de 150 mm x 300 mm e resistências à compressão de 65 MPa até 105 MPa, os quais resultaram na seguinte equação para estimar os valores de resistência indireta à tração:

MPa100f MPa50 :paraMPa)(f57,0f ccsp <<= (2.4)

Ahmad; Shah (1985b) propõem a seguinte equação empírica para estimar a resistência à tração por compressão diametral:

psi)()f(34,4f 55.0csp = (2.5)

O Projeto de Revisão da NBR-6118 (2001) recomenda a seguinte expressão para a estimativa da resistência indireta à tração:

(MPa))f(33,0f 3/2csp = (2.6)

A Fig. 2.8 mostra uma comparação entre os valores previstos por algumas formulações.

40

0123456789

0 20 40 60 80 100 120 140

fc (MPa)

f sp

(MP

a)

ACI 363R-92NBR-6118/2001

Ahmad; Shah (1985)

Fig. 2.8 - Variação da resistência à tração indireta com a resistência à compressão

Resistência direta à tração

A resistência direta do concreto à tração é considerada como sendo cerca de 2/3 da resistência indireta à tração medida por meio do ensaio de compressão diametral. A resistência direta à tração é difícil de ser obtida devido às dificuldades encontradas para a realização deste tipo de ensaio em corpos-de-prova de concreto. Investigações realizadas na Northwestern University (Gopalaratnam; Shah, 1985) com concretos com resistência à compressão de cerca de 48 MPa indicaram que uma estimativa da resistência direta à tração pode ser feita por meio da seguinte fórmula empírica:

(psi)f5,6f ct = (2.7)

Thorenfeldt apud CEB-FIP (1990) propõe a seguinte equação aproximada para o cálculo da resistência direta do concreto à tração:

(MPa))f(3,0f 6.0ct = (2.8)

O Projeto de Revisão da NBR-6118 (2001) adota a seguinte expressão para a resistência média direta à tração:

41

(MPa))f(3,0f 3/2ct = (2.9)

Não estão disponíveis na literatura resultados de ensaios de resistência direta à tração para concretos com resistências à compressão acima de 55 MPa.

Módulo de ruptura (resistência à tração na flexão)

Costuma-se admitir que o módulo de ruptura do concreto seja aproximadamente 15% da sua resistência à compressão.

O ACI-363R recomenda a seguinte fórmula para estimar o módulo de ruptura, baseado em pesquisas de Carrasquillo et al. (1981a):

MPa83f MPa21 :paraMPa)(f94,0f ccr <<= (2.10)

Ensaios realizados por Iravani (1996) resultaram numa expressão semelhante para a estimativa do módulo de ruptura:

MPa100f MPa50 :paraMPa)(f97,0f ccr <<= (2.11)

A norma canadense CAN3-A23.3 (1994) sugere uma expressão mais conservadora:

MPa)(f6,0f cr = (2.12)

Ahmad; Shah (1985b), baseados em ensaios realizados com concretos convencionais e de alto desempenho, propõem a seguinte equação empírica para estimar o módulo de ruptura:

psi)()f(30,2f 3/2cr = (2.13)

42

O Projeto de Revisão da NBR-6118 (2001) recomenda a seguinte expressão para a estimativa da resistência à tração na flexão:

(MPa))f(43,0f 3/2cr = (2.14)

A Fig. 2.9 mostra uma comparação das expressões anteriores, onde se pode notar que a expressão da norma canadense é a mais conservadora, especialmente para resistências à compressão mais elevadas.

0

2

4

6

8

10

12

0 20 40 60 80 100 120 140

fc (MPa)

f r (

MP

a)

ACI 363R-92

NBR-6118/2001

CAN A23.3-94

Fig. 2.9 - Variação do módulo de ruptura com a resistência à compressão

2.3.5 Aumento da resistência com a idade

A taxa de elevação da resistência do CAD é maior do que a de um concreto convencional nos primeiros dias de idade. Para idades mais elevadas as diferenças são desprezíveis. A relação entre a resistência aos 7 dias e a resistência aos 95 dias de idade, de acordo com Carrasquillo et al. (1981a), situa-se em cerca de 0,60 para concretos convencionais, 0,65 para concretos de resistência média, e 0,73 para concretos de alto desempenho. Parrott apud ACI-363R (1992) relata proporções típicas entre a resistência aos 7 dias e a resistência aos 28 dias da ordem de 0,8 a 0,9 para o CAD e de 0,7 a 0,75 para o concreto convencional. A

43

taxa de desenvolvimento de resistência mais elevada para o CAD nos primeiros dias de idade deve-se provavelmente ao aumento da temperatura de cura interna nos corpos-de-prova cilíndricos resultante de um maior calor de hidratação e à menor distância entre as partículas hidratadas no CAD resultante da baixa relação a/c.

2.3.6 Módulo de elasticidade∗

O módulo de elasticidade é usualmente relacionado à resistência à compressão do concreto. Esta relação depende basicamente das propriedades da pasta de cimento, do tipo de agregado, do procedimento de cura e do método de ensaio adotado.

Os traços utilizados para o CAD têm como base aditivos minerais e químicos, uma baixa relação a/c e agregados criteriosamente selecionados. Consequentemente, a influência destas características no módulo de elasticidade é considerável. O CAD apresenta um módulo de elasticidade mais elevado do que o concreto convencional, devido à maior rigidez da pasta e da maior resistência aderente da interface agregado-pasta. Várias expressões para estimar o módulo de elasticidade do CAD estão disponíveis na literatura, algumas delas sendo abordadas a seguir.

A equação proposta pelo ACI-318 (1999) para concretos convencionais é a seguinte:

MPa)(f4730E cc = (2.15)

Para concretos com resistências à compressão acima de 40 MPa, a fórmula acima superestima os valores do módulo de elasticidade. O comitê 363 do ACI recomenda então a seguinte equação proposta por Carrasquillo et al. (1981a):

∗ Neste trabalho, será abordado apenas o módulo de elasticidade estático, uma vez que não existe na

literatura informação suficiente sobre o módulo de elasticidade dinâmico do concreto.

44

MPa83f MPa21 :paraMPa)(6900f3320E ccc <<+= (2.16)

A equação abaixo é considerada pela norma canadense CAN3-A23.3 (1994), para concretos com peso específico entre 1500 e 2500 kgf/m3:

( ) MPa)(2300

6900f3300E5,1

ccc

γ

+= (2.17)

onde γc é o peso específico do concreto em kgf/m3.

Segundo o Projeto de Revisão da NBR-6118 (2001), o módulo de elasticidade inicial do concreto pode ser estimado pela seguinte expressão:

MPa)()f(5600E 5,0cc = (2.18)

Na norma norueguesa NS-3473E (1992), para concretos com até 85 MPa de resistência à compressão, o módulo de elasticidade é estimado por:

MPa)()f(9500E 3,0cc = (2.19)

O Código Modelo MC-90 adota a seguinte equação para a determinação do módulo de elasticidade do concreto aos 28 dias de idade:

(MPa))f(10E 3/1c

4c = (2.20)

Na Fig. 2.10 estão comparadas algumas destas expressões. A expressão recomendada pela nova NBR-6118 é a menos conservadora de todas, especialmente para concretos de resistência mais elevada, enquanto que a norma norueguesa é a mais conservadora.

45

0

10

20

30

40

50

60

70

0 20 40 60 80 100 120 140

fc (MPa)

Ec

(GP

a)

ACI 363R-92NBR-6118/2001ACI 318R-99CEB-FIP MC-90NS 3473E-92

Fig. 2.10 - Variação do módulo de elasticidade com a resistência à compressão

Como o módulo de elasticidade do concreto é afetado pelo tipo de agregado graúdo utilizado, especialmente para o CAD, Gutiérrez; Canovas (1995) propõem um coeficiente de correção αβ na fórmula utilizada pelo MC-90 para levar em conta as características do agregado, resultando na equação simplificada:

(MPa)f8480E 3cc βα= (2.21)

onde os valores de αβ são dados pela Tabela 2.3.

Tabela 2.3 – Valores do coeficiente αβ para diversos tipos de agregado

Tipo de agregado graúdo Coeficiente αβ

Quartzito 1,15

Arenito 0,60

Calcário 0,90

Ofito 1,20

Dacito 0,90

Granito 1,10

Diabásio 1,50

46

Iravani (1996) também propõe um coeficiente para levar em conta a influência do tipo de agregado na estimativa do módulo de elasticidade, baseado na equação inicialmente recomendada pelo ACI 318-99:

MPa125f MPa55 :paraMPa)(fC4700E cccac <<= (2.22)

onde os valores de Cca são determinados a partir da Tabela 2.4.

Tabela 2.4 – Coeficientes Cca recomendados para diferentes agregados

Tipo de agregado graúdo Coeficiente Cca

Cascalho (pedra britada) 0,71

Calcário 0,92

Dolomita 0,92

Quartzito 0,97

Granito 0,82

Diabásio 0,90

Arenito 0,61

2.3.7 Diagrama tensão x deformação

Vários pesquisadores têm estudado o comportamento do diagrama tensão-deformação do CAD sob compressão uniaxial (Glavind; Stang, 1991); (Pliskin, 1992); (Almusallam; Alsayed, 1995); (van Gysel; Taerwe, 1996); (Wee et al., 1996); (Chin et al., 1997).

O comportamento do diagrama tensão-deformação do CAD é afetado pela sua resistência à compressão da seguinte forma (Pliskin, 1992):

• o limite de proporcionalidade linear da curva tensão-deformação aumenta até valores próximos do pico com o aumento da resistência;

• a deformação correspondente à tensão máxima aumenta com a resistência;

47

• o ramo descendente torna-se mais inclinado com o aumento da resistência; • a deformação de compressão máxima diminuiu com o aumento da resistência.

Estas características da resposta do material são consequência de uma melhor aderência entre a pasta e os agregados no CAD. O comportamento mais linear é resultado de uma reduzida microfissuração a baixos níveis de tensão. Carrasquillo et al. (1981b) demonstraram que, para um concreto de 31 MPa, as microfissuras instáveis começam a se desenvolver na interface entre a pasta e o agregado quando é atingido o valor de 65% da carga máxima. Com o aumento da carga além desse valor, as fissuras se ramificam pela pasta, originando tensões normais e de cisalhamento que causam o fraturamento final do material. Para um concreto de 76 MPa, estas fissuras na interface agregado-pasta começam a se propagar apenas quando é atingido o valor de 90% da carga máxima, o que resulta numa relação tensão-deformação linear até este nível de carga. A Fig. 2.11 mostra curvas típicas tensão-deformação para concretos de resistência baixa, média e alta (Carrasquillo et al., 1981b).

Fig. 2.11 - Diagrama tensão-deformação do concreto (Carrasquillo et al., 1981b)

Tens

ão (k

si)

Deformação (‰)

Baixa resistência

Média resistência

Alta resistênciaTe

nsão

(MPa

)

5 6 743210

2

4

6

8

10

12

20

40

60

0 0

48

Baseadas em investigações experimentais, diferentes formulações analíticas para a curva tensão-deformação do CAD sob compressão uniaxial têm sido propostas na literatura. Algumas dessas propostas são apresentadas a seguir.

Modelo de Ahmad; Shah (1982)

Este modelo utiliza a seguinte equação fracionária para caracterizar a curva tensão-deformação do concreto na compressão:

)/(B)/()2A(1)/()1B()/(A

)f(fcfcf

2cfcf

c ε′ε+ε′ε−+ε′ε−+ε′ε

=ε (2.23)

onde fε é a tensão correspondente à deformação ε, fc e cε′ a máxima tensão e a correspondente deformação, respectivamente. Os parâmetros Af e Bf, os quais determinam a forma do diagrama, podem ser estimados pelas expressões:

c

ccf f

EAε′

= (2.24)

)f(1057,088087,0B c4

f−⋅−= (2.25)

)f(1014,1001648,0 c7

c−⋅+=ε′ (2.26)

c5.1

c f55,27E ω= (2.27)

onde fc é a resistência à compressão do concreto em psi (1 psi ~ 0,0069 MPa) e ω é o peso próprio em pcf (1 pcf ~ 16 kg/m3).

Modelo de Almusallam; Alsayed (1995)

Este modelo propõe uma simples equação matemática para representar a curva tensão-deformação de diversos tipos de concreto, podendo ser aplicado

49

tanto ao concreto convencional como ao CAD. O único parâmetro necessário é a resistência à compressão do concreto. A equação representativa é a seguinte:

cpn/1n

0

cp

cpc K

f)KK(

1

)KK(f ε+

ε−+

ε−=

(2.28)

onde fc é a tensão no concreto corrrespondente à deformação εc, K é a inclinação inicial da curva, Kp é a inclinação final da curva, f0 é uma tensão de referência e n é um fator de forma.

Os parâmetros da eq.(2.28) são determinados pelas seguintes expressões:

−−

−=

p

p

0

1

KKK

ff

ln

2lnn (2.29)

εε

−εε

=2

0

1

0

1c1 2ff (2.30)

p

01 KK

f−

=ε (2.31)

0pc0 Kf02,16,5f ε−+= (2.32)

>−=

≤−=

MPa55fparaf82,67623,16398K

MPa55fparaf3755470K

ccp

ccp (2.33)

A inclinação inicial K e a deformação correspondente à tensão máxima de compressão podem ser estimadas, respectivamente, pelas expressões:

50

6900f3320K c += (2.34)

4c0 10)06,13f2,0( −⋅+=ε (2.35)

A Fig 2.12 mostra a boa aproximação dos valores obtidos com a utilização deste modelo, os quais são bastante coerentes com alguns resultados experimentais disponíveis na literatura.

Fig. 2.12 - Comparação de resultados experimentais e teóricos – modelo de Almusallam; Alsayed (1995)

Modelo de Wee et al. (1996)

A equação proposta neste modelo para representar a curva tensão-deformação é dada por:

Resultados experimentais

Modelo

Deformação

Tens

ão

51

εε

+−β

εε

β= β2k

01

01

cc

1k

kff (2.36)

Os parâmetros ε0 e β são determinados pelas seguintes expressões:

4/1c0 )f(00078,0=ε (2.37)

)E/f(11

it0c ε−=β (2.38)

3/1cit )f(10200E = (2.39)

Para concretos com resistência à compressão entre 50 e 120 MPa, deve-se adotar o seguinte: para o ramo ascendente da curva tensão-deformação, os valores de k1 e k2 devem ser tomados igual à unidade. Para o ramo descendente da curva, estes valores são expressos por:

3

c1 f

50k

= (2.40)

3,1

c2 f

50k

= (2.41)

Para concretos com resistência à compressão abaixo de 50 MPa, os valores dos coeficientes acima devem ser tomados igual à unidade para todo o diagrama.

52

2.3.8 Coeficiente de Poisson

Ensaios realizados por Carrasquillo et al. (1981a) com concretos na faixa de 32 MPa a 77 MPa indicaram que o coeficiente de Poisson resulta em torno de 0,20, independentemente da resistência à compressão. Iravani (1996) relatou valores do coeficiente de Poisson entre 0,15 e 0,20 para concretos com resistências à compresão entre 65 MPa e 125 MPa. Por outro lado, pesquisas realizadas por Perenchio; Klieger apud ACI-363R (1992) parecem indicar que o coeficiente de Poisson tende a diminuir com o aumento da relação a/c. Esses pesquisadores relataram valores de 0,20 a 0,28 para concretos com resistências na faixa de 55 a 80 MPa. Baseado nos resultados experimentais disponíveis na literatura, pode-se admitir que os valores do coeficiente de Poisson do CAD na fase elástica são comparáveis àqueles dos concretos convencionais. Na fase inelástica, o aumento relativo das deformações laterais é menor para o CAD. Isso significa que o CAD apresenta uma variação volumétrica menor do que os concretos convencionais, o que implica em uma reduzida microfissuração.

O presente capítulo apresentou generalidades sobre o concreto de alto desempenho e introduziu brevemente as principais características e propriedades mecânicas do material. Além disso, foram apresentadas diversas formulações de normas para a previsão de algumas propriedades em termos da resistência à compressão. Finalmente, foram mostrados alguns modelos propostos na literatura para a curva tensão x deformação.

53

MECÂNICA DA FRATURA APLICADA AO CONCRETO

33

3.1 INTRODUÇÃO

Baseado na sua curva de resposta tensão-deformação, a maioria dos materiais empregados na engenharia civil podem ser classificados como frágeis, dúcteis, ou quase-frágeis, como mostrado na Fig. 3.1. A tensão cai instantaneamente a zero quando um material frágil sofre ruptura (Fig. 3.1a), enquanto que a mesma permanece constante quando um material dúctil escoa (Fig. 3.1b). Por outro lado, um material quase-frágil é caracterizado por uma tensão que decresce de forma gradual após a carga de pico (Fig. 3.1c). O colapso das estruturas depende substancialmente das propriedades dos materiais que as compõem. Isso pode ser conceitualmente entendido considerando-se uma placa infinitamente larga com um furo elíptico submetida a uma tensão de tração, como ilustrado na Fig. 3.2. A presença do furo na placa altera a distribuição de tensões, de tal forma que a tensão máxima σmax ao longo da borda do furo é maior do que a tensão nominal aplicada σN. A partir de uma análise elástica, a relação entre σmax e σN é dada por:

54

NtN2

1max K

aa2

1 σ=σ

+=σ (3.1)

onde a1 e a2 são os raios maior e menor da elipse, respectivamente, e Kt é o fator de concentração de tensão.

Fig. 3.1 - Possíveis curvas tensão-deformação para diferentes materiais: a) material frágil; b) material plástico; c) material quase-frágil

Se a placa é feita de um material frágil perfeito, a mesma rompe de forma súbita tão logo o valor de σmax atinge a resistência à tração ft do material (Fig. 3.2a). Do contrário, se a placa é feita de uma material dúctil, a carga de tração aplicada pode aumentar continuamente após σmax = ft devido à redistribuição plástica de tensões. A placa rompe quando a tensão normal na

Tens

ão

Deformação Deformação

Tens

ão

Tens

ão

Deformação

(a) (b)

(c)

55

seção inteira A-A alcança o valor ft (Fig. 3.2b). No caso da placa ser feita de um material quase-frágil, uma zona inelástica se desenvolve na região de máxima tensão quando a placa chega ao colapso. Essa zona inelástica é usualmente denominada zona de processos inelásticos. A tensão normal diminui em direção à ponta do furo nessa zona. O desenvolvimento da zona de processos inelásticos induz ao ramo descendente com amolecimento na curva carga-deslocamento.

Fig. 3.2 - Distribuição de tensões no colapso de uma placa infinita para diferentes materiais: a) colapso frágil; b) colapso dúctil (ou plástico); c) colapso quase-frágil

σmax = ft 2 a2

2 a1

A A

σN

σN

σmax = ft

A A

σN

σN

σmax = ft

A A

σN

σN

Extensão da zona inelástica

(a)

(b)

(c)

56

O exemplo acima indica que a caracterização do colapso de estruturas em geral é relacionada não apenas à geometria estrutural mas também ao tipo de material utilizado. Quando um material dúctil é utilizado, a estrutura chega ao colapso somente quando a tensão nominal em toda a seção crítica atinge a resistência do material. Portanto, um critério de colapso baseado somente na tensão nominal pode ser utilizado para descrever o colapso da estrutura. Quando um material frágil perfeito é utilizado, a estrutura (ou peça) neste exemplo simples rompe tão logo a tensão máxima atinge a resistência do material (em qualquer ponto). Uma vez que a tensão máxima depende não somente da resistência do material mas também da geometria estrutural e das condições de contorno (valores de a1 e a2 neste exemplo), o critério baseado apenas na tensão nominal máxima não é adequado para uma estrutura feita de uma material frágil. De fato, o processo de fraturamento de um material frágil só pode ser adequadamente descrito pela energia elástica dissipada na estrutura. Como apenas a energia elástica está envolvida, um único critério de energia é suficiente para descrever o colapso de estruturas feitas de materiais frágeis. Quando um material quase-frágil é utilizado, o colapso da estrutura é acompanhado da formação de uma zona de processos inelásticos na seção mais solicitada. Nesse caso, como o colapso inclui dissipação tanto de energia elástica como inelástica (dentro da zona de processos inelásticos), dois (ou mais) critérios ou condições são em geral necessários para descrever completamente o colapso desse tipo de estrutura.

Apesar da relativa pouca familiarização do meio técnico com este assunto, a formulação de modelos de fraturamento para o concreto (material quase-frágil) baseados em conceitos de localização de deformações e dissipação de energia nas zonas fissuradas pode ser estabelecida utilizando princípios da Mecânica da Fratura.

3.2 CONCEITOS BÁSICOS DE MECÂNICA DA FRATURA

A Mecânica da Fratura estuda a resposta estrutural e o colapso de estruturas em decorrência da iniciação e propagação de fissuras nas mesmas, e pode ser utilizada para responder às seguintes perguntas (Broek, 1986):

57

• Qual a resistência da peça em função do tamanho da fissura? • Qual tamanho de fissura pode ser tolerado para as cargas de serviço, isto é,

qual o tamanho crítico da fissura? • Quanto tempo leva para uma fissura crescer de um tamanho inicial até o

tamanho crítico? • De quanto em quanto tempo a estrutura deve ser inspecionada para

verificação de fissuras?

É importante ressaltar que estas idéias foram concebidas inicialmente para materiais extremamente frágeis, tais como o vidro e alguns metais estruturais, onde defeitos intrínsecos no material poderiam iniciar a propagação de uma única fissura que levaria a peça ao colapso. Esses materiais são classificados como elasto-frágeis e apresentam curvas tensão-deformação similares àquela mostrada na Fig. 3.1a.

A maioria dos materiais contém “microdefeitos” iniciais, cuja propagação resulta no colapso da estrutura. Os critérios de projeto convencionais consideram a influência destes defeitos iniciais por meio da introdução de um fator de concentração de tensão Kt, como no exemplo da eq.(3.1). Pode ser facilmente observado que o valor de Kt tende ao infinito para uma elipse muito estreita (ou uma fissura). Isso indica que a análise convencional baseada no fator de concentração de tensão não é válida para uma estrutura com uma fissura estreita. O fato de σmax tender ao infinito quando a2/a1 tende a zero leva a uma idéia básica da Mecânica da Fratura Elástica Linear (MFEL): na vizinhança da ponta de uma fissura, a distribuição de tensões é a mesma para todas as fissuras e todas as cargas aplicadas. Essa idéia está ilustrada na Fig. 3.3 e conduz a:

2/1F rC)r( −=σ (3.2)

onde o fator CF é dado por:

58

π=

2K

C IF (3.3)

Como resultado, a eq.(3.2) fica:

r2K

)r( I

π=σ (3.4)

O coeficiente KI é denominado fator de intensidade de tensão e depende do comprimento da fissura, da geometria estrutural e da carga aplicada. Fórmulas para KI podem ser encontradas em muitas referências na literatura, como por exemplo Barsom; Rolfe (1986). Para a placa infinitamente larga da Fig. 3.3, o valor de KI é dado por:

aK I πσ= (3.5)

O valor de KI pode ser relacionado à energia de deformação elástica liberada durante a propagação da fissura por:

EK

G2I

I ′= (3.6)

onde E’ = E para o estado plano de tensão e E’ = E/(1-ν2) para o estado plano de deformação e ν é o coeficiente de Poisson. O termo GI é denominado taxa de liberação de energia de deformação e representa a quantidade de energia necessária para a propagação de uma unidade de área da superfície da fissura.

59

Fig. 3.3 - Distribuição de tensões na vizinhança de uma fissura elíptica (a) e estreita (b)

Se a placa da Fig. 3.3 fosse solicitada até a tensão de colapso σf, então o valor de KI associado aos valores de a e σf poderia ser determinado. Tal valor é uma propriedade do material denominada tenacidade ao fraturamento KIc. Se essa propriedade é conhecida para o material em questão, então a tensão de colapso (ou resistência) da peça pode ser expressa por:

aK Ic

f π=σ (3.7)

De acordo com a eq.(3.4), o valor de σ na ponta de uma fissura tende ao infinito quando r tende a zero. Haja vista que nenhum material pode resistir tensão infinita, sempre irá existir uma zona inelástica na ponta de uma fissura em materiais reais.

Devido à própria heterogeneidade do material, no concreto a zona inelástica na ponta de uma fissura tem um tamanho não desprezível. Em decorrência disso, além da energia consumida na propagação da fissura, uma quantidade adicional de energia é dissipada por outros mecanismos, tais como o intertravamente dos agregados e a microfissuração do material (Fig. 3.4). Esses mecanismos adicionais não permitem a aplicação direta da Mecânica da Fratura Elástica Linear ao concreto, sendo necessários ajustes no modelo linear ou a utilização de modelos não lineares. A evolução da aplicação da Mecânica da

σ(r) σmax

r

σ(r)

r

Fissura Fissura elíptica

(a) (b)

60

Fratura ao concreto ao longo das últimas décadas pode ser encontrada em Bažant; Planas (1998).

Fig. 3.4 - Zona de processos inelásticos no concreto

3.3 PRINCIPAIS MODELOS DE FRATURAMENTO DO CONCRETO

Os principais modelos de fraturamento para o concreto foram desenvolvidos ao longo da década de 80 e situam-se em duas categorias distintas, a saber: modelos coesivos e modelos elásticos equivalentes. Essas duas categorias diferem essencialmente na abordagem considerada para as tensões na ponta de uma fissura. Os conceitos básicos de alguns desses modelos são brevemente expostos a seguir.

3.3.1 Modelo da Fissura Fictícia (Hillerborg et al., 1976)

Um dos marcos notáveis na aplicação da Mecânica da Fratura ao concreto foi a introdução do Modelo da Fissura Fictícia por Hillerborg et al. (1976). Nesse modelo, a zona de processos inelásticos é modelada como uma extensão da fissura real submetida a esforços coesivos (Fig. 3.5).

Intertravamento dos agregados

Micro-fissuração

Zona de processos inelásticos

Fissura livre

ft

61

Fig. 3.5 - Conceitos básicos do Modelo da Fissura Fictícia (Hillerborg et al., 1976)

Uma curva típica tensão-alongamento de uma peça de concreto submetida a tração uniaxial é mostrada na Fig. 3.6. O alongamento da peça é medido por meio de dois extensômetros A e B. O extensômetro A mede o deslocamento na seção fissurada, enquanto que o extensômetro B mede o deslocamento numa região não fissurada. Após a carga de pico, o extensômetro A registra um aumento contínuo de alongamento (Fig. 3.6c), enquanto que o extensômetro B indica um descarregamento devido ao fenômeno de localização de deformações (Fig. 3.6b). O Modelo da Fissura Fictícia propõe então a representação do processo de fraturamento por meio de um diagrama tensão-deformação até a carga de pico e, partir desse ponto, um diagrama tensão-deslocamento.

Os parâmetros do material considerados no modelo são a curva tensão-abertura da fissura (σ-CMOD) na zona coesiva, a curva tensão-deformação (σ-ε) fora dessa zona, a resistência à tração ft e a energia de fraturamento GF. A energia de fraturamento GF é a energia necessária para criar uma unidade de área de fissura, e corresponde à área sob a curva tensão-abertura de fissura. A implementação desse modelo em métodos de elementos finitos têm sido feita por vários pesquisadores (Petersson, 1981); (Ingraffea; Gerstle, 1985); (Gustafsson, 1985); (Carpinteri, 1989); (Liang; Li, 1991); (Gerstle; Xi, 1992).

Região de amolecimento de deformações Região intacta

CODcr

CMOD COD

Zona de processos inelásticos

62

Fig. 3.6 - Composição de curvas no Modelo da Fissura Fictícia (Hillerborg et al., 1976)

Uma das conveniências do Modelo da Fissura Fictícia é a definição de um índice de fragilidade do material dado por:

2t

Fch f

GEl = (3.8)

onde E é o módulo de elasticidade, GF é a energia de fraturamento e ft é a resistência à tração do material. lch é denominado comprimento característico.

O índice de fragilidade tem a dimensão de comprimento e é proporcional à extensão da zona de processos inelásticos. Portanto, quanto menor o valor de lch, mais frágil é o material (menor é a extensão da zona de processos inelásticos). Este índice é particularmente útil para caracterizar a redução da ductilidade com o aumento da resistência à compressão do concreto. De fato, a microestrutura do concreto de alto desempenho é menos heterogênea do que a de concretos convencionais, além da superfície de fraturamento ser menos áspera no CAD.

Tensão

Deformação

Extensômetro B

fc

Tensão

Abertura da fissurawc

Extensômetro A fc

GF

Tensão

Alongamento

Ext. A

Ext. B

Ext. B

Ext. A e B

σ

σ

fc

w

Fissura

63

Isso conduz a uma menor dissipação de energia na zona de processos inelásticos, e conseqüentemente a um comportamento mais frágil do material.

3.3.2 Modelo da Banda de Fissuração (Bažant; Oh, 1983)

Nesse modelo coesivo, a zona de processos inelásticos é modelada por uma banda de microfissuras uniformemente distribuídas em uma largura fixa hc, como mostrado na Fig. 3.7a. A largura hc da banda é suposta proporcional ao diâmetro máximo do agregado utilizado. A propagação estável da fissura é simulada pela microfissuração progressiva dentro desta banda, a qual é descrita pela relação tensão x deformação mostrada na Fig. 3.7b. Nesse modelo, a energia de fraturamento Gf é definida como o produto da área sob a curva tensão x deformação da Fig. 3.7b pela largura hc da banda de fissuração. Portanto:

E2f

EE1hG

2t

tcf

+= (3.9)

onde E é o módulo de elasticidade, Et é o módulo pós-pico e ft é a resistência à tração do material.

Fig. 3.7 - Conceitos básicos do Modelo da Banda de Fissuração: (a) banda de microfissuração e (b) curva tensão-deformação da banda de microfissuração (Bažant; Oh, 1983)

Fazendo considerações matemáticas com relação à energia dissipada no processo de fraturamento de uma placa de concreto, Bažant; Oh (1983)

a0 a

hc

P

P

MicrofissurasTensão

Deformação

Et

GfE

1

1ft

(a) (b)

64

utilizaram o Modelo da Banda de Fissuração para determinar a resistência ao fraturamento de uma peça de concreto em função do tamanho da mesma. Da mesma forma que o Modelo da Fissura Fictícia, o Modelo da Banda de Fissuração é geralmente utilizado com o Método dos Elementos Finitos para a previsão da capacidade de carga de peças de concreto.

3.3.3 Modelo de Dois Parâmetros (Jenq; Shah, 1985)

Jenq; Shah (1985) propuseram um modelo de dois parâmetros baseado na resposta elástica ao fraturamento de uma estrutura. Para separar as respostas elástica e plástica como mostrado na Fig. 3.8a, o corpo-de-prova deve ser carregado até a carga máxima e, em seguida, um ciclo de descarregamento-carregamento deve ser efetuado conforme a Fig. 3.8b.

O valor medido de ecCMOD (parcela elástica da abertura crítica da

entrada do entalhe) assim como a tensão máxima σc são introduzidos nas formulações de Mecânica da Fratura Elástica Linear para calcular o fator de intensidade de tensões crítico s

IcK e o comprimento crítico ac da fissura elástica equivalente, resultando:

πσ=

ha

gaK c1cc

sIc (3.10)

σ

=ha

gE

a4CMOD c

2cce

c (3.11)

onde E é o módulo de elasticidade do material, h é a altura da viga e as funções geométricas g1 e g2 podem ser encontradas em livros-texto sobre Mecânica da Fratura Elástica Linear.

65

Fig. 3.8 - Modelo de Dois Parâmetros: (a) respostas elástica e plástica ao fraturamento e (b) ciclo de carregamento e descarregamento (Jenq; Shah, 1985)

A parcela elástica da abertura crítica ecCTOD da ponta da fissura é

determinada pela seguinte expressão:

=

ha

,ha

gCMODCTOD 0c3

ec

ec (3.12)

onde a0 é o comprimento da fissura inicial e a função geométrica g3 pode ser encontrada em livros-texto sobre Mecânica da Fratura Elástica Linear.

Baseados em observações experimentais, John; Shah (1989) propuseram as seguintes equações empíricas para s

IcK , ecCTOD e E em função da resistência

à compressão do concreto:

Fissura inicial

CTOD = CTODe + CTODp

CMOD = CMODe + CMODp

σ

σ

CMOD

Ci

Cu

CMODp CMODe

Descarregamento na carga de pico

σc

(a)

(b)

66

75,0c

sIc )f(06,0K = (3.13)

13,0c

ec )f(00602,0CTOD = (3.14)

5,0c )f(4785E = (3.15)

com sIcK em mMPa , e

cCTOD em mm, e E e fc em MPa.

O Modelo de Dois Parâmetros tem sido utilizado, por exemplo, para simular o efeito de escala na resistência à tração na flexão (Jenq; Shah, 1991) e para prever a capacidade resistente ao cisalhamento de vigas sem armadura de cisalhamento (Jenq; Shah, 1989).

3.3.4 Modelo do Efeito de Escala (Bažant; Kazemi, 1990)

Bažant; Kazemi (1990) simularam o fraturamento de materiais quase-frágeis por meio de uma fissura elástica equivalente. Eles consideraram uma série de estruturas geometricamente similares. Para similaridade em duas dimensões, como visto na Fig. 3.9, as estruturas podem ter diferentes tamanhos, mas a relação entre o comprimento inicial a0 da fissura e a dimensão característica h da estrutura deve ser constante (a0/h = cte). Para estas estruturas geometricamente similares, a resistência nominal é dada por:

hbPc cn

Nc =σ (3.16)

onde Pc é a carga crítica de fraturamento (ou a carga de pico), b é a largura da viga, cn é um coeficiente que depende do tipo de estrutura e h é a dimensão característica da estrutura (altura da viga nesse caso). No caso de vigas, o valor de cn é igual a 1,5 L/h, onde L é o vão da viga. É evidente que o valor de cn é constante para vigas geometricamente similares.

67

Fig. 3.9 - Estruturas geometricamente similares (Bažant; Kazemi, 1990)

Através de análise dimensional e argumentos de similitude, Bažant (1989a) mostrou que a resistência nominal de uma série de estruturas geometricamente similares mas de diferentes tamanhos pode ser expressa por:

0

tNc h/h1

fB+

=σ (3.17)

onde B e h0 são constantes e ft é a real resistência à tração do material (independente do tamanho da peça).

a0

k1 a0

k2 a0

k2 h

k1 h

h

L

k1 L

k2 L b

b

b

68

Como o modelo considera uma fissura elástica equivalente, as constantes B e h0 são determinadas a partir das formulações da Mecânica da Fratura Elástica Linear. Para maiores detalhes sobre a derivação da eq.(3.17) bem como a determinação das constantes B e h0, ver Bažant; Planas (1998).

A eq.(3.17) prevê uma redução da resistência nominal da peça com o aumento do tamanho da mesma, conforme pode ser observado na Fig. 3.10. A resistência nominal de uma peça de concreto é usualmente considerada como sendo constante e independente do seu tamanho. No entanto, a eq.(3.17) indica que a resistência nominal é constante somente para peças de pequeno tamanho. Por outro lado, o critério baseado na Mecânica da Fratura Elástica Linear (MFEL) prevê um acentuado efeito de escala, e só é válido para peças de tamanho muito elevado. A eq.(3.17), a qual é baseada na Mecânica da Fratura Não-Linear, é uma curva de transição e produz resultados intermediários entre os dois extremos citados. O parâmetro h0 pode ser fisicamente interpretado como o tamanho que caracteriza a interseção da reta horizontal do critério convencional com a reta inclinada da MFEL.

Fig. 3.10 - Efeito de escala na resistência nominal (Bažant, 1989a)

Existem ainda outros modelos básicos de fraturamento do concreto, como por exemplo o Modelo da Fissura Efetiva (Karihaloo; Nallathambi, 1989); (Karihaloo; Nallathambi, 1990), o qual é fundamentado nas mesmas idéias do Modelo de Dois Parâmetros. A descrição completa de todos os modelos está fora do escopo desta tese.

Mecânica da Fratura Elástica Linear

Teoria convencional (resistência constante)

Lei do Efeito de Escala

log (h0) log (h)

log (Bft)

log (σNc)

21

69

É relevante salientar que, embora os parâmetros que descrevem a resposta ao fraturamento do material sejam inerentes a cada modelo, os diversos modelos produzem resultados consistentes entre si (Planas; Elices, 1990); (Elices; Planas, 1991).

3.4 MÉTODOS DE ENSAIO PARA A DETERMINAÇÃO DE PARÂMETROS DE

FRATURAMENTO DO CONCRETO

Os principais métodos de ensaio propostos pelo RILEM Committee on Fracture Mechanics of Concrete – Test Methods (RILEM, 1991) para a medição de parâmetros de fraturamento do concreto são baseados no Modelo da Fissura Fictícia (RILEM, 1985), no Modelo de Dois Parâmetros (RILEM, 1990a) e no Modelo do Efeito de Escala (RILEM, 1990b). Para fins de ilustração, o primeiro método é descrito a seguir.

3.4.1 Método de Hillerborg et al., GF (RILEM, 1985)

Este método de ensaio, proposto em 1985 e baseado no Modelo da Fissura Fictícia, recomenda a medição da energia de fraturamento GF do material utilizando uma viga sob flexão em três pontos (Fig. 3.11). O tamanho da viga depende do tamanho máximo do agregado. A altura do entalhe é igual à metade da altura da viga ± 5 mm.

O ensaio deve ser executado com uma taxa de deformação aproximadamente constante, o que permite que a carga máxima seja atingida 30 a 60 segundos após o início do ensaio. Durante o ensaio, é registrado o diagrama carga-deslocamento no ponto central da viga (P x δ). Para esse ensaio, deve ser utilizado um equipamento que possibilite o controle por meio do deslocamento, com a finalidade de registrar o ramo de amolecimento do diagrama carga-deslocamento. Uma vez obtida a curva carga-deslocamento (P x δ) e assumindo-se que só há absorção de energia na zona de fraturamento, a energia de fraturamento GF pode ser calculada por:

70

b)ah(P2W

b)ah(W

G0

0w0

0

tF −

δ+=

−= (3.18)

onde Wt é a energia total de fraturamento levando-se em conta a influência do peso próprio da viga, e h, a0, b estão mostrados na Fig. 3.11.

Fig. 3.11 - Ensaio para determinação da energia de fraturamento GF (RILEM, 1985)

Vários ensaios realizados em diferentes laboratórios (Hillerborg, 1985) mostraram que os valores de GF podem sofrer uma variação de até 30% dependendo do tamanho da viga. Essa variação decorre do fato de ocorrer dissipação de uma certa quantidade de energia fora da zona de fraturamento.

h

Pa

h

b

a0 a0

S

L

P Pa

Pw

W0

W1

W2

δ0

δ δ

71

3.4.2 Novo método para a determinação da tenacidade ao fraturamento

KIc a partir de corpos-de-prova cilíndricos

Recentemente, uma proposta de metodologia padrão para a determinação da tenacidade ao fraturamento do concreto utilizando corpos-de-prova cilíndricos (Hanson, 2000) foi apresentada à ASTM (American Society for Testing and Materials) como uma alternativa aos ensaios de vigas sob flexão em três pontos recomendados pela RILEM. Uma síntese da metodologia em questão é apresentada nesta seção, e um exemplo passo-a-passo é mostrado, a partir de resultados experimentais obtidos na Escola Politécnica da Universidade de São Paulo (EPUSP) e na Universidade Estadual de Campinas (UNICAMP).

Características gerais do corpo-de-prova

O CEV (Fig. 3.12), sigla para Cilindro com Entalhe em V, foi desenvolvido no final da década de 70 como uma alternativa de baixo custo para a determinação da tenacidade ao fraturamento de diversos materiais, sendo constituído por um corpo-de-prova cilíndrico com um entalhe central em forma de V. Esse tipo de corpo-de-prova é atualmente bastante utilizado para a determinação de parâmetros de fraturamento em rochas e outros materiais cerâmicos.

Dentre as principais vantagens do CEV sobre outros tipos de corpos-de-prova estão o baixo consumo de material utilizado na moldagem dos corpos-de-prova, a facilidade de manuseio e estocagem dos corpos-de-prova em atividades laboratoriais, a possibilidade de se conhecer previamente a extensão da fissura por ocasião da carga máxima e a certeza da trajetória de crescimento da fissura, uma vez que a mesma sempre tem início na ponta do entalhe (Hanson; Ingraffea, 1997). Além disso, existe a possibilidade de adaptação dos corpos-de-prova cilíndricos de 15 x 30 cm largamente utilizados nas atividades de construção civil. Essas dimensões são usualmente utilizadas nos ensaios convencionais de laboratório para medidas de propriedades mecânicas do concreto. Isto permite que as fôrmas convencionais sejam adaptadas para a

72

moldagem dos corpos-de-prova destinados a ensaios de fraturamento, por meio do encaixe de uma placa de inserção para a formação do entalhe.

Fig. 3.12 - Corpo-de-prova do tipo CEV (Hanson; Ingraffea, 1997)

Embasamento teórico da metodologia

O ensaio de tenacidade ao fraturamento com corpos-de-prova do tipo CEV foi proposto inicialmente por Barker (1977). O ensaio consiste na aplicação de uma carga na direção ortogonal ao plano de fraturamento, definido por um entalhe em forma de V pré-executado em um plano diametral do corpo-de-prova. Durante ciclos de carregamento e descarregamento, são medidos a carga aplicada e a respectiva abertura da entrada do entalhe (CMOD).

A partir da relação entre a taxa de liberação de energia e o fator de intensidade de tensão, pode-se definir o fator de intensidade de tensão crítico KIc, sob a ótica da Mecânica da Fratura Elástica Linear (MFEL), como sendo (Barker, 1979):

)1(d

FAK 22/3

cgIc ν−

= (3.19)

onde Fc é a carga máxima, Ag = f (ac/d) é uma constante função apenas da geometria do corpo-de-prova e do tipo de carregamento e que deve ser calibrada numérica- ou experimentalmente, d é o diâmetro do corpo-de-prova e ν é o coeficiente de Poisson do material.

73

O comportamento idealizado de um corpo-de-prova que obedeça à Mecânica da Fratura Elástica Linear, descrito por Barker; Baratta (1980), está representado na Fig. 3.13a. Com o acréscimo progressivo de carga sob deslocamento controlado, atinge-se o ponto A, correspondente ao início da propagação da fissura e conseqüentemente da não linearidade do comportamento. Devido à configuração da fissura, sua propagação é estável e há necessidade de se incrementar a carga para promover essa propagação até que a fissura atinja um comprimento crítico, onde a carga passa por um valor máximo. A partir daí, o acréscimo de CMOD só será possível com a diminuição da carga aplicada.

Car

gaC

arga

CMOD

CMOD

CMOD

CMOD

(a)

(c)

(b)

(d)

A

Carregamento /Descarregamento

∆x

∆x∆x 0

∆x 0

p =

Fig. 3.13 - Curvas carga x CMOD passíveis de serem observadas nos ensaios (Barker; Baratta, 1980)

No caso de validade da MFEL, o descarregamento total deve conduzir a um CMOD nulo, ou seja, não deve haver deformação residual quando da realização de ciclos de carregamento-descarregamento. No entanto, o que é

74

observado nos ensaios é que há um desvio em relação ao que foi descrito acima. Algumas das variações mais comuns para materiais como o concreto são:

• Histerese nos ciclos de carregamento e descarregamento (Fig. 3.13b) → Essa característica deve-se à presença de “pontes” de material conectando as superfícies da fissura. No caso do concreto, essas “pontes” são devidas ao engrenamento dos agregados. Como consequência da ocorrência da histerese, há uma ambigüidade quanto à inclinação do trecho de descarregamento, o que causa incertezas quanto à determinação do grau de inelasticidade do material.

• Resposta elasto-plástica (Fig. 3.13d) → O concreto exibe um CMOD residual após descarregamento completo, resultado da zona de processos inelásticos na ponta da fissura. A medida do CMOD residual fornece uma idéia do quanto as hipóteses da MFEL foram violadas.

Para levar em conta o comportamento inelástico do material, o valor crítico do fator de intensidade de tensão deve ser corrigido por meio de um fator de correção p, resultando em:

IQIc Kp1p1

K ⋅−+

= (3.20)

KIQ, denominada de tenacidade aparente ao fraturamento, é obtida segundo os critérios de ensaio da MFEL, e p pode ser calculado de acordo com a metodologia proposta por Hanson (2000) ou por aquela sugerida pela International Society for Rock Mechanics (ISRM, 1988).

Aparato de ensaio

O método de ensaio, denominado de Ensaio de Abertura Diametral por Compressão em Três Pontos, consiste na aplicação de forças excêntricas de compressão por meio de roletes apoiados sobre placas metálicas (Fig. 3.14), sob condições de deslocamento controlado. Essas forças produzem um momento em relação ao plano de simetria do corpo-de-prova, o que leva à abertura e

75

propagação da fissura. A Fig. 3.15 esquematiza a atuação do carregamento para a abertura da fissura. O registro do CMOD é feito por um clip gage posicionado na entrada do entalhe. Alternativamente, pode-se obter o registro do CMOD por meio da utilização de dois LVDT’s posicionados na face superior do corpo-de-prova, um em cada lado do entalhe, como mostrado na Fig. 3.16.

Fig. 3.14 - Aplicação das forças de compressão e posicionamento do clip gauge em corpo-de-prova do tipo CEV (Borges et al., 2000)

A célula de carga deve ser capaz de efetuar acréscimos de carga da ordem de 1% da carga de pico. Exige-se que o controlador da máquina seja do tipo closed-loop, aquisitando continuamente os dados, armazenando-os e retroalimentando a máquina de ensaios.

Prisma de carga

Roletes

Placas de suporte

Corpo-de-prova

Clip gage

76

Fig. 3.15 - Esquema de reação da força aplicada no ensaio de compressão em três pontos

Fig. 3.16 - Posicionamento dos LVDT’s para medição do CMOD

Os sensores utilizados para medição dos deslocamentos devem ser capazes de realizar medidas de 1% do valor correspondente à carga máxima atingida no ensaio.

O sistema de aplicação de carga deve consistir de (ver Fig. 3.14):

• Viga de transferência de carga → Deve ser de aço, com espessura mínima de 2d/3 e comprimento mínimo igual a d, onde d é o diâmetro do corpo-de-

F

F/2

z

M = z F/2

77

prova; a viga deve ser a mais rígida possível, seu momento de inércia não podendo ser inferior a (d/4)4.

• Roletes. Cilíndricos, de aço, com diâmetro mínimo de d/6 e comprimento de 2d/3.

• Placas de suporte. Devem ser prismáticas com as seguintes dimensões mínimas: espessura d/12, largura d/6 e comprimento 2d/3.

• Apoio para o corpo-de-prova. O corpo-de-prova deve ser apoiado em uma barra retangular de aço com largura d/12, espessura menor ou igual a d/12 e comprimento maior ou igual a 1,1d.

De preferência, devem ser confeccionados gabaritos que permitam o posicionamento das várias peças componentes do sistema de aplicação de carga. Esses gabaritos devem ser facilmente removidos do conjunto quando da realização do ensaio.

Os elementos de fixação dos aparelhos de medida de deslocamentos devem ser de material não magnético, como aço inoxidável e alumínio. As extremidades devem estar fixadas de forma segura em ambos os lados do entalhe. Como limite, os eixos de medida de tais aparelhos não devem estar dispostos a uma distância superior a d/6 contada a partir do topo do corpo-de-prova.

Dimensões do corpo-de-prova

A geometria do corpo-de-prova está mostrada na Fig. 3.17.

Fig. 3.17 - Geometria do corpo-de-prova do tipo CEV

d

D

L

a0

t

D

d

78

As dimensões recomendadas para o corpo-de-prova estão listadas na Tabela 3.1.

Tabela 3.1 – Dimensões e tolerâncias para o corpo-de-prova do tipo CEV

Dimensão Valor* Tolerância*

d – diâmetro do corpo-de-prova d -

L – altura do corpo-de-prova 2 d 0,01 d

a0 – comprimento inicial da fissura 0,49 d 0,005 d

D – espessura do ligamento 0,94 d 0,01 d

t – espessura do entalhe ≤ 0,03 d - * Os valores e tolerâncias estão expressos em função do diâmetro d do corpo-de-prova.

Preparação do corpo-de-prova

O entalhe pode ser obtido diretamente na moldagem por meio de placas metálicas de inserção (Fig. 3.18) ou pode ainda ser serrado depois da desforma do corpo-de-prova.

Fig. 3.18 - Placa de inserção para formação de entalhe em corpos-de-prova do tipo CEV (Borges et al., 2000)

Antes da execução do ensaio, devem ser tomadas as medidas externas do corpo-de-prova. Com o auxílio de um gabarito deve ser marcado o espaçamento das placas de suporte, que é de 2d/3 (Fig. 3.19).

79

Fig. 3.19 - Marcação de guias em corpo-de-prova capeado e com entalhe (Hanson, 2000)

Em seguida, os elementos de fixação dos transdutores de deslocamento devem ser presos e então o corpo-de-prova é posicionado sobre o apoio, sendo efetuado o seu alinhamento com relação à célula de carga, bem como do entalhe em relação ao apoio. Finalmente, são corretamente posicionados os roletes e as placas de suporte e o conjunto é alinhado como um todo (Fig. 3.20).

Fig. 3.20 - Vista lateral (a) e superior (b) do aparato de ensaio com corpos-de-prova do tipo CEV (Hanson, 2000)

(a) (b)

80

Procedimento de ensaio

Com o conjunto montado e corretamente posicionado na máquina de ensaios, deve ser aplicada uma carga gradual até cerca de no máximo 10% da carga máxima prevista e em seguida deve-se descarregar gradativamente o sistema até aproximadamente 1% da carga máxima prevista. Esse procedimento visa checar a resposta dos transdutores de deslocamento e da célula de carga. Uma vez verificadas respostas apropriadas dos sensores, pode-se iniciar o ensaio propriamente dito.

A taxa de deformação utilizada deve ser tal que a carga de pico seja atingida entre 4 e 6 minutos a partir do início do carregamento.

Devem ser executados pelo menos dois ciclos de carregamento-descarregamento, mas o operador pode efetuar mais ciclos se assim desejar. No caso de apenas dois ciclos, no primeiro ciclo deve-se descarregar o sistema um pouco antes do atingimento da carga máxima e no segundo ciclo o descarregamento deve ocorrer quando a curva carga x CMOD entrar no ramo pós-pico. Os descarregamentos devem atingir cerca de 10% da carga prevista de pico. O ensaio deve então continuar até a ruptura do corpo-de-prova ou quando o CMOD atingir 1,5 vezes o valor do CMOD correspondente à carga de pico. Como dado complementar, pode ser registrado o desvio do plano de fraturamento daquele inicialmente previsto, a uma altura de 5d/6 da base do corpo-de-prova.

Cálculo da tenacidade ao fraturamento

A tenacidade aparente ao fraturamento KIQ deve ser calculada por:

LdYF

K*minmax

IQ = (3.21)

81

onde Fmax é a carga de pico, *minY é uma constante função da geometria do

corpo-de-prova e do tipo de carregamento, e d e L são o diâmetro e a altura do corpo-de-prova, respectivamente.

Para a determinação da tenacidade “real” ao fraturamento KIc, é necessária a obtenção da tenacidade aparente KIQ e do fator de correção inelástico p. A primeira é calculada a partir da eq.(3.21), enquanto p é calculado por meio de um processo gráfico, descrito suscintamente a seguir.

A partir do gráfico de ensaio carga x CMOD, une-se por meio de linhas retas as “lacunas” entre os ciclos sucessivos de carregamento-descarregamento, como mostrado na Fig. 3.21. Essas linhas são denominadas linhas de suavização.

Fig. 3.21 - Traçado de linhas de suavização

Selecionam-se então dois ciclos de carregamento-descarregamento próximos à carga de pico, sobre os quais são traçadas retas que passam aproximadamente pelo centro da histerese desses ciclos (linhas médias), de acordo com a Fig. 3.22. Essas linhas médias estendem-se desde o eixo das abscissas, onde F = 0, até a carga de pico.

Carg

a

CMOD

Linhas de suavização

82

Fig. 3.22 - Traçado de linhas médias

São então determinadas as cargas F1 e F2 correspondentes às respectivas interseções entre as linhas médias e as linhas de suavização. Calcula-se a seguir, Favg , cuja expressão é dada por:

2FF

F 21avg

+= (3.22)

Determinam-se então os CMOD’s de cada linha média correspondentes à carga média Favg, denotados por δL1 e δL2. Finalmente, são obtidos os CMOD’s residuais correspondentes às interseções das linhas médias com o eixo das abscissas, denotados por δU1 e δU2. O fator de correção p é calculado então por:

1L2L

1U2Upδ−δδ−δ

= (3.23)

Finalmente, a tenacidade ao fraturamento KIc é determinada por:

IQIc Kp1p1

K−+

= (3.24)

Carg

a

CMOD

F1

F2

Linhas médias

83

Exemplo numérico

O exemplo em questão faz parte de uma série de ensaios realizados na Escola Politécnica da Universidade de São Paulo (EPUSP) e na Universidade Estadual de Campinas (UNICAMP) relativos a um programa de colaboração internacional para a verificação da exeqüibilidade e reprodutibilidade dos resultados obtidos por meio da nova metodologia.

O exemplo é relativo a um corpo-de-prova de concreto do tipo CEV com dimensões de 15 cm x 30 cm, resistência média à compressão de 31 MPa e diâmetro máximo do agregado igual a 25 mm. O ensaio foi preparado e executado rigorosamente de acordo com a metodologia anteriormente apresentada. O gráfico carga x CMOD obtido experimentalmente está mostrado na Fig. 3.23.

CMOD (mm)

P (K

gf)

-0.4749-0.1685-0.1382 -0.5660

Linhas de suavização

Linhas médias

Favg

FmaxF1

F2

Fig. 3.23 - Curva experimental carga x CMOD para um corpo-de-prova do tipo CEV (Borges et al., 2000)

O valor da constante *minY foi determinado pela equipe da Universidade

de Cornell como sendo 2,42 para a geometria e o tipo de carregamento

84

considerados. Aplicando-se o processo gráfico descrito anteriormente à curva da Fig. 3.23, obtém-se para a tenacidade ao fraturamento o valor KIc = 1,27 mMPa . Maiores detalhes sobre os cálculos podem ser encontrados em Bittencourt et al. (2000).

3.5 ALGUMAS APLICAÇÕES PRÁTICAS DA MECÂNICA DA FRATURA ÀS

ESTRUTURAS DE CONCRETO

Esta seção pretende mostrar de forma sucinta algumas situações práticas nas quais a Mecânica da Fratura pode prover critérios de análise e/ou projeto mais realistas, em especial no que diz respeito à previsão do efeito de escala em estruturas e peças de concreto. A dedução da formulação dos modelos abordados está fora do escopo deste trabalho. Procura-se mostrar diretamente a aplicabilidade prática de tais modelos, por meio de comparações com resultados experimentais da literatura. Estimula-se o leitor a consultar as fontes citadas, as quais contemplam de forma minuciosa as hipóteses e formulações inerentes a cada modelo.

3.5.1 Cisalhamento em vigas de concreto armado

É consensualmente aceito que a resistência ao cisalhamento de vigas com armadura exclusivamente longitudinal consiste da resistência provida pelo concreto intacto, pelo intertravamento dos agregados entre as faces das fissuras e pelo efeito de pino da armadura longitudinal. Diversos modelos baseados na Mecânica da Fratura têm sido propostos para descrever de forma aproximada o efeito de escala presente no colapso por cisalhamento.

Bažant; Kim (1984); Bažant; Sun (1987) desenvolveram uma série de equações com o intuito de descrever a influência da taxa de armadura longitudinal, do tamanho e da forma da seção transversal na resistência ao cisalhamento de vigas de concreto armado. Eles basicamente combinaram as formulações existentes nas normas com a lei do efeito de escala (Bažant, 1984), e estabeleceram as várias constantes empíricas estatisticamente a partir de um vasto

85

número de resultados de ensaios disponíveis. O trabalho de Bažant; Kim (1984) resultou na seguinte fórmula para a resistência ao cisalhamento de vigas sem estribos:

[ ]5c

a

3/11

u )h/a/(3000f)d25/(h1

kρ+

+ρ

=υ (psi) (3.25)

onde k1 é uma constante de valor igual a 10, ρ é a taxa de armadura longitudinal, h é a altura da viga em mm, a é o vão de cisalhamento em mm, da é o diâmetro máximo do agregado em mm e fc é a resistência à compressão do concreto em psi (1 psi = 0,006895 MPa).

Bažant; Sun (1987) melhoraram esta fórmula ao fazer a constante k1 variar com o diâmetro máximo do agregado da seguinte forma:

( )a1 d/1,515,6k += (3.26)

A Fig. 3.24 mostra uma comparação entre a formulação acima (curva sólida) e uma extensa base de resultados experimentais (461 ensaios). A correlação entre os valores teóricos e experimentais é bastante razoável, resultando num coeficiente de variação da ordem de 25%, considerado suficientemente pequeno face aos obtidos pelas fórmulas utilizadas nas normas. Na figura, h é a altura da viga e da é o diâmetro máximo do agregado.

Bažant; Sun (1987) adicionaram também o efeito dos estribos na resistência ao cisalhamento, resultando numa expressão que considera a redução na capacidade resistente nominal ao cisalhamento com o aumento da altura da viga. O efeito de escala teórico foi razoavelmente bem capturado quando comparado a 87 resultados experimentais da literatura de vigas de seção retangular contendo estribos verticais.

86

Fig. 3.24 - Efeito de escala previsto pelas equações de Bažant-Kim-Sun, comparado a 461 resultados experimentais de vigas sem estribos (Bažant; Planas, 1998)

3.5.2 Colapso de tubos de concreto simples

Gustafsson; Hillerborg (1985) analisaram dois tipos básicos de colapso de tubos de concreto simples, quais sejam: colapso do tipo “anel” e colapso do tipo “viga”, como mostrado na Fig. 3.25a. Eles utilizaram o Modelo da Fissura Fictícia (Hillerborg et al., 1976) para simular o efeito de escala para esses tipos de colapso e obtiveram os resultados mostrados na Fig. 3.25b. Nessa figura, a razão entre a resistência nominal à flexão fr e a resistência direta à tração ft varia em função do diâmetro interno di do tubo (lch é um parâmetro do material já descrito no item 3.3.1). Os resultados indicam que o colapso do tipo “anel” é mais sensível ao tamanho da peça do que o colapso do tipo “viga”, embora os dois tipos apresentem claramente o efeito de escala. Em decorrência disso, a consideração de um valor de resistência à flexão (módulo de ruptura) independente do tamanho da peça, como adotado nas normas atuais, pode ser contra a segurança para peças de grande tamanho.

h ⇒ altura da viga da ⇒ diâmetro máximo do agregado

Análise plástica

MFEL

0.2 0.4 0.6 10.8 3 50.30

0.40

0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00

h / (25da)

v u /

vuP

87

Fig. 3.25 - a) Mecanismos de colapso de tubos de concreto simples; b) Efeito de escala na resistência nominal para os dois tipo de colapso (Gustafsson; Hillerborg, 1985)

Outros casos de aplicação da Mecânica da Fratura ao concreto são encontrados no estudo da deformabilidade de vigas armadas sob flexão (Hillerborg, 1988); (Bigaj; Walraven, 1993); (Borges et al., 2002), da punção em lajes (Bažant; Cao, 1987), do arrancamento de ganchos de ancoragem (Elfgren; Swartz, 1992), da capacidade resistente à flexão de vigas de concreto armado (Borges; Bittencourt, 1999), da torção em vigas de concreto simples e armado (Bažant et al., 1988), só para citar alguns exemplos.

Para um estudo mais aprofundado da teoria de Mecânica da Fratura e sua aplicação ao concreto, são sugeridas, dentre outras, as seguintes fontes de referência: Broek (1991), Carpinteri (1992), Anderson (1995), Shah et al. (1995), Bažant; Planas (1998).

(b) (a)

Colapso do

Colapso do

F/L

di

t

do

L

r = di + t

F

2 θ

Colapso do tipo “anel”

Colapso do

di t

di t = 0.3 0.2

0.20.3

0.1

3

1.5

1

0.1

0.1 0.2 0.5 1 2 5 10

di t

3.5

2.5

2

di / lch

f r /

f t

Colapso do tipo “viga”

Colapso do tipo “viga”

Colapso do tipo “anel”

88

CONSIDERAÇÕES SOBRE O EFEITO DE ESCALA NA

RESISTÊNCIA AO CISALHAMENTO

44

4.1 INTRODUÇÃO

O problema da estimativa da capacidade resistente ao cisalhamento de peças de concreto armado tem sido objeto de estudo de vários pesquisadores ao longo das últimas décadas. Não obstante tal interesse, o colapso por cisalhamento ainda não foi completamente destrinchado devido à complexidade do comportamento global das estruturas de concreto e à dificuldade de se estimar com precisão a parcela de contribuição de cada um dos diferentes mecanismos resistentes à força cortante.

Além da resistência à compressão do concreto, as formulações de normas nem sempre levam em conta a influência de outros parâmetros que exercem significativa influência na resistência ao cisalhamento de uma viga de concreto armado, como por exemplo a taxa de armadura de flexão, a distância entre as seções de momento fletor máximo e momento fletor nulo (vão de cisalhamento)

89

e a altura da peça. Nesse último caso, vários resultados experimentais indicam a ocorrência de um evidente efeito de escala, isto é, uma redução da resistência nominal da peça à medida que sua altura é aumentada. Algumas normas, como por exemplo o código modelo CEB-FIP MC90 (1993), a norma canadense CAN3 A23.3-94 (1994) e a norma norueguesa NS 3473E-92 (1992), já incluem explicitamente o efeito de escala nas suas formulações de resistência ao cisalhamento, enquanto outras, como a norma americana ACI 318-99 (1999) e o Projeto de Revisão da nova NBR-6118 (2001)∗ ainda ignoram esse efeito. Além das formulações empíricas de normas, existem também algumas formulações baseadas na Mecânica da Fratura para a previsão do efeito de escala no colapso por cisalhamento (Gustafsson; Hillerborg, 1988); (Jenq; Shah, 1985); (Bažant; Kim, 1984); (Bažant; Sun, 1987); (Gastebled; May, 2001).

4.2 MECANISMOS BÁSICOS DE RESISTÊNCIA AO CISALHAMENTO

A Fig. 4.1 apresenta as forças atuantes em uma fissura diagonal numa viga de concreto armado. A capacidade resistente nominal Vn é em geral considerada igual à soma das contribuições das diversas componentes resistentes individuais, as quais incluem: a parcela Vs resistida pela armadura de cisalhamento, a parcela Vd devida ao efeito de pino da armadura longitudinal, a parcela Vcz resistida pelo concreto não fissurado acima da fissura diagonal, e a componente vertical Vay devida ao intertravamento dos agregados entre as faces da fissura. Portanto:

dayczsn VVVVV +++= (4.1)

Para fins de projeto, os três últimos termos do lado direito da eq.(4.1) são agrupados em um único termo Vc, atribuído à resistência ao cisalhamento devida ao concreto. No caso de vigas altas (vigas-parede), além dos mecanismos resistentes incluídos na eq.(4.1), a transferência de força cortante por compressão inclinada na biela resulta no efeito de arco, o qual eleva substancialmente a carga

∗ Também chamado no texto de “nova NBR-6118”.

90

última de cisalhamento. É importante salientar que o efeito de arco está condicionado a uma adequada ancoragem da armadura longitudinal de flexão nos apoios.

Fig. 4.1 - Forças atuantes em uma fissura diagonal numa viga de concreto armado

Com relação aos mecanismos resistentes previamente citados, as seguintes observações podem ser feitas:

• O mecanismo resistente efetivo na zona comprimida após a fissuração diagonal está intimamente relacionado à resistência do concreto. O confinamento gerado pela armadura de cisalhamento contribui para aumentar a resistência do concreto, aumentando portanto a parcela Vcz.

• O mecanismo resistente devido ao intertravamento dos agregados entre as faces da fissura é ativado somente após a ocorrência da fissuração diagonal e se torna significativo à medida que ocorre deslizamento entre as faces da fissura. Esse mecanismo está relacionado à microestrutura do concreto (e consequentemente à sua resistência mecânica) e à energia de fraturamento do concreto (responsável pelo grau de ductilidade do material). À medida que a resistência do concreto aumenta, a superfície de fraturamento se torna menos áspera (comportamento mais frágil), reduzindo a ductilidade do material e consequentemente a parcela Vay em termos relativos. A presença de armadura de cisalhamento limita a abertura da fissura,

Fissuras diagonais

Armadura de cisalhamento

Armadura longitudinal

CVcz

Vs

Va

Vn

Vd

T

91

aumentando a dissipação de energia devida ao intertravamento dos agregados, o que eleva a parcela resistente Vay.

• O mecanismo resistente devido ao efeito de pino da armadura longitudinal depende da aderência concreto-armadura e da rigidez à flexão das barras da armadura. Esse mecanismo é mais significativo em lajes do que em vigas. A presença de armadura de cisalhamento tem uma influência positiva no efeito de pino da armadura longitudinal.

• De todos os mecanismos expressos na eq.(4.1), a contribuição direta da armadura de cisalhamento (Vs) é a menos complicada de se determinar. A sua contribuição indireta, no entanto, a qual afeta de forma benéfica as outras três parcelas resistentes, é difícil de ser estimada com precisão. Por conseguinte, essa contribuição indireta é ignorada na maioria das normas de projeto, as quais consideram que a parcela Vc é a mesma para vigas com ou sem armadura de cisalhamento.

Nas vigas sem armadura de cisalhamento, o colapso por tração diagonal ocorre quando a primeira fissura inclinada é formada ou pouco após isso. A carga correspondente à fissuração diagonal é influenciada por vários parâmetros, dos quais os seguintes são analisados no presente trabalho: resistência à compressão do concreto fc, taxa de armadura longitudinal ρ e altura útil d da viga. Como as normas em geral não consideram explicitamente a influência de todos esses parâmetros, as cargas de fissuração diagonal previstas muitas vezes resultam maiores do que as experimentais, portanto contra a segurança. No entanto, como ponderado anteriormente, a presença de armadura de cisalhamento propicia indiretamente um aumento da parcela resistente devida ao concreto, o que de certa forma acaba tendo um efeito compensatório, o que não justifica, entretanto, a falta de uma adequada margem de segurança na determinação de Vc para vigas sem armadura de cisalhamento.

92

4.3 RECOMENDAÇÕES DE NORMAS DE PROJETO

A seguir são apresentadas algumas das expressões de normas para a resistência ao cisalhamento de vigas de concreto armado sem armadura de cisalhamento.

4.3.1 Projeto de Revisão da NBR-6118 (2001)

Segundo o Projeto de Revisão da NBR-6118, para vigas sem armadura de cisalhamento e na ausência de força normal, a resistência ao cisalhamento Vc é dada pela expressão abaixo:

db)f(126,0dbf6,0V 3/2ctc == (4.2)

onde ft e fc são a resistência à tração e à compressão do concreto, respectivamente, b é a largura da alma e d é a altura útil da viga. A norma brasileira é explicitamente válida para concretos com resistência à compressão de até 50 MPa.

4.3.2 Anexo da NBR-7197 (1989)

Na flexão simples, a contribuição resistente ao cisalhamento Vc segundo o anexo da NBR-7197 (1989) é dada por:

dbf15,0V cc = (4.3)

4.3.3 Norma americana ACI 318R-99 (1999)

O código do ACI inclui as seguintes expressões para o cálculo da parcela Vc da resistência ao cisalhamento:

93

dbf29,0dbM

dV17f16,0V c

u

ucc ≤

ρ+= (4.4)

6/dbfV cc = (4.5)

onde ρ é a taxa de armadura longitudinal, Mu/(Vud) representa o vão de cisalhamento a/d, e os demais termos são como explicado anteriormente. Para fins de generalização, o próprio comentário da norma sugere a utilização da equação simplificada (eq.(4.5)), uma vez que a eq.(4.4) superestima a influência de fc e subestima a influência de ρ e a/d.

4.3.4 Norma canadense CAN3 A23.3-94 (1994)

Para concretos de densidade normal, o método simplificado da norma canadense estabelece as seguintes expressões para o cálculo da contribuição resistente do concreto:

dbf2,0V cc = (4.6)

dbf10,0dbfd1000

260V ccc ≥

+= (4.7)

A eq.(4.6) é válida para vigas com altura útil d menor ou igual a 300 mm. Caso contrário, a eq.(4.7) deve ser utilizada. Esta norma considera concretos com resistência à compressão de até 80 MPa.

4.3.5 CEB-FIP Model Code MC90 (1993)

De acordo com o Código Modelo MC90, a resistência Vc para vigas sem armadura de cisalhamento é dada por:

94

( ) dbf100d2001

ad315,0V 3/1

c

3/1

c ρ

+

= (4.8)

Pode-se observar pelas expressões anteriores que cada norma tem suas particularidades. Por exemplo, a norma brasileira leva em conta apenas a resistência do concreto, ignorando a influência da taxa de armadura longitudinal e o efeito de escala, enquanto que o CEB considera a influência de praticamente todos os parâmetros relevantes. O ACI leva em conta a taxa de armadura longitudinal mas ignora o efeito de escala, o qual é explicitamente considerado na expressão da norma canadense. Na próxima seção vários resultados experimentais são comparados aos valores previstos por estas normas.

4.4 COMPARAÇÃO ENTRE RESULTADOS EXPERIMENTAIS E TEÓRICOS

A seguir são apresentados resultados experimentais da literatura envolvendo 136 vigas de concreto armado sem armadura de cisalhamento, cujas principais váriaveis foram a resistência à compressão do concreto, a taxa de armadura longitudinal, o vão de cisalhamento e a altura útil da viga. Na Tabela 4.1 estão expressas as variáveis investigadas por cada pesquisador, enquanto que a Tabela 4.2 mostra o valor médio da razão entre os resultados experimentais e os valores previstos pelas normas, para cada uma das séries de ensaios analisadas.

Tabela 4.1 – Séries de ensaios da literatura analisados

Pesquisador Variáveis investigadas Elzanaty et al. (1986) – EZ fc, ρ, a/d

Taylor (1972) – T d Yoon et al. (1996) – Y fc

Ahmad et al. (1986) – A ρ, a/d Kim e Park (1994) – KP ρ, a/d, d Sarkar et al. (1997a) – S fc, ρ König et al. (1994) – K ρ, a/d, d

Thorenfeldt e Drangsholt (1994) – TD fc, ρ, a/d, d

95

Tabela 4.2 – Razão entre valores experimentais e teóricos (média)

Pesquisador No de Vigas Ensaiadas

vc /vc,NBR6118

vc /vc,NBR7197

vc /vc,ACIvc

/vc,CAN vc

/vc,CEB

EZ 15 0.73 1.17 1.05 0.86 1.09 T 15 0.86 1.30 1.17 0.99 1.12 Y 3 0.62 1.02 0.92 0.97 0.92 A 36 1.50 2.55 2.29 1.77 1.59

KP 20 1.01 1.65 1.49 1.25 1.36 S 5 1.23 2.13 1.92 1.50 1.38 K 14 0.87 1.55 1.39 1.15 1.33

TD 28 1.35 2.31 2.08 1.66 1.72 Média Global 1.02 1.71 1.54 1.27 1.31

Como pode ser observado pela Tabela 4.2, cada norma apresenta um grau de segurança diferente. Em termos médios, o anexo da NBR-7197 prevê valores excessivamente conservadores em certos casos, o que leva à necessidade da utilização de uma taxa de armadura de cisalhamento muito elevada. Por outro lado, a expressão do Projeto de Revisão da NBR-6118 resulta contra a segurança em várias das investigações aqui analisadas, como pode ser visto na Tabela 4.2. Os piores resultados são obtidos para baixas taxas de armadura longitudinal, concretos de alta resistência e vigas com alturas maiores. Isso é devido ao fato de que a NBR-6118 não leva em conta o efeito de escala nem a influência da taxa de armadura longitudinal e além disso superestima a influência da resistência à compressão do concreto. Várias investigações têm mostrado que o valor de Vc é proporcional a fc1/3, enquanto que a expressão do Projeto de Revisão da NBR-6118 é proporcional a fc2/3. A Tabela 4.3 mostra alguns resultados individuais selecionados, para os quais as cargas máximas experimentais resultaram muito inferiores àquelas previstas pela eq.(4.2), com a carga máxima teórica sendo superestimada entre 30% e 316% (vigas B7 e S3.1, respectivamente).

96

Tabela 4.3 – Razão entre valores individuais experimentais e teóricos

Pesquisador Viga ρ (%) d (mm) fc (MPa) vc /vc,NBR6118

T A1 1.35 930 34.6 0.72 T B3 1.35 465 38.0 0.64 K S2.1 0.60 360 94.4 0.46 K S3.1 0.42 720 91.3 0.24 K S3.3 0.83 720 94.4 0.34

EZ F9 1.60 273 79.3 0.57 KP D915-1 1.12 915 53.7 0.55 Y N1-S 2.80 655 36.0 0.74 Y H1-S 2.80 655 87.0 0.54

TD B61 1.82 442 77.7 0.59 A B7 2.25 208 72.8 0.77

Na Tabela 4.3, pode-se observar valores bastante contra a segurança para concretos de resistências mais elevadas, tendência essa obtida para todas as séries de ensaios investigadas. Além disso, mesmo para concretos dentro da faixa de atuação da NBR-6118 podem ser encontrados resultados teóricos bem acima dos experimentais. Esse é o caso das vigas A1 e B3 ensaiadas por König et al., da viga N1-S ensaiada por Yoon et al. e da viga D915-1 ensaiada por Kim e Park, as quais tinham alturas relativamente elevadas. Portanto, pode ser necessária uma revisão da expressão da nova NBR-6118 para levar em conta o efeito de escala.

A seguir, a influência das variáveis relevantes é analisada por meio de gráficos comparativos entre valores experimentais e teóricos. Na avaliação do efeito de uma variável específica, são tomadas para cada comparação vigas cujas outras variáveis sejam aproximadamente similares entre si, de forma que sejam minimizadas as diferenças induzidas pela discrepância de fc, ρ, a/d entre as diversas investigações. Os valores do ACI mostrados nos gráficos são derivados da eq.(4.5).

97

4.4.1 Influência da resistência à compressão do concreto

O valor absoluto de Vc aumenta com o aumento da resistência à compressão do concreto, como esperado (Fig. 4.2). No entanto, para concretos com resistências mais elevadas, o mecanismo resistente devido ao intertravamento dos agregados é reduzido devido a superfície de fraturamento menos áspera (comportamento mais frágil), ou seja, a resistência Vc não aumenta na mesma proporção de fc.

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

0 20 40 60 80 100 120

fc (MPa)

v c (M

Pa)

ElzanatySarkarKimKonigTaylorAhmadNBR-6118/2002NBR-7197ACI-318CEB-FIP

Fig. 4.2 - Influência de fc na resistência ao cisalhamento de vigas sem estribos

A Fig. 4.2 mostra que a nova NBR-6118 superestima a influência de fc, enquanto que o anexo da NBR-7197, o ACI-318 e o CEB-FIP MC90 produzem resultados suficientemente conservadores. Parece então ser adequado adotar uma variação de Vc com fc1/3 como no CEB-FIP ou fc1/2 como no ACI-318 e na NBR-7197. As séries de ensaios mostradas na Fig. 4.2 englobam vigas de pequena altura (250-350 mm) e taxas de armadura longitudinal moderadas (0.02-0.03). Como mencionado anteriormente, para taxas de armadura menores e vigas de maior altura os resultados previstos pela nova NBR-6118 tornam-se ainda mais desfavoráveis.

98

Os resultados de Sarkar mostrados na Fig. 4.2 são os mais elevados por corresponderem a valores de a/d igual a 2, o que indica a presença de um certo efeito de arco.

4.4.2 Influência da taxa de armadura longitudinal

O efeito da taxa de armadura longitudinal na resistência ao cisalhamento para resistências à compressão do concreto de aproximadamente 20, 50, 70 e 95 MPa está mostrado na Fig. 4.3.

A taxa de armadura longitudinal exerce um efeito significativo nos mecanismos básicos de resistência ao cisalhamento. A intensidade das tensões principais na ponta de uma fissura inicial de flexão depende da extensão da fissura ao longo da altura da viga. Quanto maior o valor de ρ, menor a extensão da fissura de flexão. Quanto menor a extensão da fissura de flexão, menores as tensões principais para uma determinada carga, e conseqüentemente maior a tensão de cisalhamento que resultará na fissuração diagonal. O aumento de ρ implica também no aumento da parcela resistente devida ao efeito de pino, uma vez que as tensões de tração no concreto na vizinhança da armadura serão reduzidas. Além disso, um maior valor de ρ reduz a abertura da fissura, aumentando assim o efeito do intertravamento dos agregados. Pode-se observar que para todos os valores de fc mostrados na Fig. 4.3, um aumento de ρ leva a um aumento de Vc.

Pode-se notar que a nova NBR-6118 é a norma menos conservadora de todas as aqui analisadas. De fato, para as vigas com fc de 20 e 50 MPa (portanto contempladas pela NBR-6118) a norma produziu resultados em geral contra a segurança para taxas de armadura menores do que 0,025. Para concretos com resistência mais elevada (70 e 95 MPa), a faixa contra a segurança se estendeu até uma taxa de armadura de cerca de 0,05. Além disso, o ACI-318 e a NBR-7197 apresentaram em geral valores conservadores, exceto para taxas de armadura menores que 0,02, cujos resultados foram superestimados. Já a norma canadense situa-se num patamar intermediário entre o ACI-318 e a NBR-6118. Por outro

99

lado, a expressão recomendada pelo CEB-FIP mostrou-se a mais adequada, prevendo com suficiente precisão o efeito da taxa de armadura longitudinal na resistência ao cisalhamento, para todos os valores de fc analisados.

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

0 0.01 0.02 0.03 0.04

ρ

v c (M

Pa)

ElzanatyNBR-6118/2002NBR-7197CEB-FIPCANACI-318

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

0 0.02 0.04 0.06

ρv c

(MPa

)

KimThorenfeldtNBR-6118/2002NBR-7197CEB-FIPCANACI-318

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

0 0.02 0.04 0.06 0.08

ρ

v c (M

Pa)

AhmadElzanatyNBR-6118/2002NBR-7197CEB-FIPCANACI-318

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

0 0.02 0.04 0.06

ρ

v c (M

Pa)

SarkarKonigThorenfeldtNBR-6118/2002NBR-7197CEB-FIPCANACI-318

Fig. 4.3 - Influência de ρ na resistência ao cisalhamento de vigas sem estribos

4.4.3 Efeito de escala

O efeito de escala na resistência ao cisalhamento de vigas de concreto foi verificado experimentalmente por vários pesquisadores. A influência da altura útil da viga está mostrada na Fig. 4.4 para diversas resistências à compressão do concreto e taxas de armadura longitudinal.

fc = 20 MPa fc = 50 MPa


100

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

0 200 400 600 800 1000 1200

d (mm)

v c (M

Pa)

TaylorNBR-6118/2002NBR-7197CEB-FIPCANACI-318

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

0 200 400 600 800 1000 1200

d (mm)

v c (M

Pa)

KimNBR-6118/2002NBR-7197CEB-FIPCANACI-318

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

0 200 400 600 800 1000 1200

d (mm)

v c (M

Pa)

KonigThorenfeldtNBR-6118/2002NBR-7197CEB-FIPCANACI-318

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

0 200 400 600 800 1000 1200

d (mm)

v c (M

Pa)

KonigThorenfeldtNBR-6118/2002NBR-7197CEB-FIPCANACI-318

Fig. 4.4 - Efeito de escala na resistência ao cisalhamento de vigas sem estribos

Como mostrado na Fig. 4.4, a nova NBR-6118, a NBR-7197 e o ACI-318 ignoram o efeito de escala, apresentando valores constantes independentemente da altura útil da viga. A expressão do CEB-FIP é a que melhor reproduz a tendência observada experimentalmente com uma adequada margem de segurança para todas as vigas analisadas, enquanto que a norma canadense superestima o efeito de escala para vigas com d menor que 600 mm para concretos de resistências moderadas (fc = 30 e 50 MPa). Para concretos de alto desempenho (fc = 90 MPa) e taxas de armadura longitudinal mais baixas (ρ = 0,018), a expressão da norma canadense produziu valores contra a segurança, em concordância com os resultados da Fig. 4.3. Já a nova NBR-6118 apresentou valores sistematicamente contra a segurança para quase todas as vigas incluídas na análise, em especial para maiores resistências à compressão e

fc = 30 MPa ρ = 1,35 %

fc = 50 MPa ρ = 1,80 %

fc = 90 MPa ρ = 1,80 %

fc = 90 MPa ρ = 3,30 %

101

menores taxas de armadura longitudinal. Apesar da norma ser explicitamente válida para concretos com fc de até 50 MPa, a resistência ao cisalhamento é superestimada mesmo para fc = 30 e 50 MPa.

Bažant; Kim (1984) propuseram uma expressão para o cálculo da capacidade resistente ao cisalhamento de vigas de concreto armado sem estribos, levando em conta a influência da altura da viga. Eles basicamente combinaram a formulação do ACI-318 com o Modelo do Efeito de Escala (Bažant, 1984) e determinaram as várias constantes empíricas estatisticamente a partir de um vasto número de resultados de ensaios disponíveis. A fórmula resultante para o cálculo da resistência ao cisalhamento é a seguinte:

[ ]5c

a

3/1

u )h/a/(3000f)d25/(h1

10ρ+

+ρ

=υ (psi) (4.9)

onde ρ é a taxa de armadura longitudinal, h é a altura da viga em mm, a é o vão de cisalhamento em mm, da é o diâmetro máximo do agregado em mm e fc é a resistência à compressão do concreto em psi (1 psi = 0,006895 MPa).

A derivação completa da eq.(4.9) está fora do escopo deste trabalho, podendo ser encontrada em Bažant; Kim (1984), Bažant; Planas (1998).

Os resultados experimentais mostrados na Fig. 4.4 são repetidos nas Fig. 4.5 a 4.8, juntamente com as previsões da eq.(4.9), da norma canadense e do CEB-FIP MC90.

Pode-se observar pelas Fig. 4.5 a 4.8 que a expressão proposta por Bažant; Kim (1984) representa bem o efeito de escala, com uma adequada margem de segurança em todos os casos analisados.

102

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

0 300 600 900 1200

d (mm)

v c (

MP

a)

Taylor (experimental)CEB-FIPCANBazant-Kim

Fig. 4.5 - Efeito de escala na resistência ao cisalhamento ( fc = 30 MPa; ρ = 1,35%)

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

0 300 600 900 1200

d (mm)

v c (

MP

a)

Kim (experimental)CEB-FIPCANBazant-Kim


103

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

0 300 600 900 1200

d (mm)

v c (

MP

a)

Konig (experimental)Thorenfeldt (experimental)CEB-FIPCANBazant-Kim


0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

0 300 600 900 1200

d (mm)

v c (

MP

a)

Konig (experimental)Thorenfeldt (experimental)CEB-FIPCANBazant-Kim


104

Este capítulo salientou que, além do efeito da taxa de armadura e da resistência à compressão do concreto, a resistência ao cisalhamento de vigas sem estribos é significativamente influenciada pelo tamanho da viga. Este efeito de escala, considerado por meio de expressões puramente empíricas em algumas poucas normas (por exemplo o CEB-FIP MC90), pode ser adequadamente capturado com a utilização de modelos baseados na Mecânica da Fratura. Foi mostrado que a expressão proposta por Bažant; Kim (1984) fornece resultados satisfatórios para uma ampla faixa de resistências à compressão e taxas de armadura longitudinal.

105

COMPORTAMENTO À FLEXÃO DE VIGAS ARMADAS

55

5.1 INTRODUÇÃO

A teoria convencional de flexão para o concreto armado, apresentada em critérios de análise e projeto contidos nas normas correntes, é fundamentada em algumas hipóteses básicas, as quais são suficientes para permitir a determinação do momento resistente de uma viga (MacGregor, 1997). Além das hipóteses básicas, em geral são admitidas algumas hipóteses extras visando à simplificação da análise sem perda expressiva da precisão dos resultados obtidos. No entanto, questões relativas à influência de alguns parâmetros, como por exemplo o tamanho da viga, na sua resistência e deformabilidade, têm sido levantadas em investigações numéricas e experimentais recentes (Carpinteri, 1984); (Koike et al., 1987); (Hillerborg, 1990); (Liang; Li, 1991); (Gerstle et al., 1992); (Baluch et al., 1992); (Rokugo et al., 1994); (Adachi et al., 1996); (Bigaj, 1999). Neste capítulo são brevemente apresentados os conceitos fundamentais da teoria de flexão de

106

vigas de concreto armado e algumas considerações sobre o projeto estrutural de vigas de concreto de alto desempenho.

5.2 COMPORTAMENTO À FLEXÃO DE UMA VIGA DE CONCRETO ARMADO

A Fig. 5.1 mostra o panorama de fissuração e as deformações presentes em uma viga de concreto normalmente armada (também dita subarmada) submetida à flexão em quatro pontos, desde um estágio inicial sem fissuras (Estádio I), passando pelas cargas de serviço (Estádio II) até o atingimento do colapso (Estádio III).

Fig. 5.1 - Fissuras e deformações em uma viga fletida

As deformações podem ser utilizadas para calcular a curvatura φ da seção transversal do meio do vão para cada estágio de carregamento, definida como a mudança de ângulo sobre um determinado comprimento (Fig. 5.2), sendo dada pela expressão:

P P

P P

Ruptura do concreto

Deformações

P P

P PDeformações

P P

P P Deformações (a) Estádio I

(b) Estádio II

(c) Estádio III

Armadura

107

xε

=φ (5.1)

onde ε é a deformação da fibra mais comprimida e x é a altura da linha neutra.

Fig. 5.2 - Diagrama momento x curvatura da seção transversal de uma viga sob flexão

A Fig. 5.2 relaciona o momento fletor no meio da viga à curvatura naquela seção. Esse diagrama é o conhecido diagrama momento x curvatura.

Inicialmente, a viga não apresenta nenhuma fissura, como mostrado na Fig. 5.1a, uma vez que as deformações nesse estágio são muito pequenas e as tensões são distribuídas de forma essencialmente linear (ponto A na Fig. 5.2).

Quando as tensões na face inferior da viga atingem a resistência à tração do concreto, ocorrem as primeiras fissuras de flexão. A partir desse momento, a força de tração no concreto é transferida para a armadura e a rigidez da viga é

Linha neutra

MdS

φ

ε x

D

M

φ

Cargas de serviçoC

Escoamento da armadura

E Colapso

Fissuração inicialB Viga intacta A

M

108

reduzida devido à redução da seção resistente de concreto, o que faz com que a inclinação do diagrama momento x curvatura seja alterada (trecho B-C-D na Fig. 5.2).

As deformações e o panorama de fissuração mostrados na Fig. 5.1b correspondem ao comportamento usual sob cargas de serviço (ponto C na Fig. 5.2). Nesse estágio, a distribuição de tensões no concreto ainda é aproximadamente linear.

Com o aumento do carregamento externo, a armadura atinge o escoamento (ponto D na Fig. 5.2), e a partir daí a curvatura aumenta de forma rápida com um aumento relativamente pequeno no momento fletor. Finalmente, a viga chega ao colapso por esmagamento do concreto comprimido na face superior da mesma.

5.2.1 Hipóteses básicas da teoria de flexão

As três seguintes hipóteses básicas permeiam a teoria convencional de flexão:

1) Seções inicialmente planas permanecem planas após a deformação.

2) A deformação na armadura é igual à deformação do concreto no mesmo nível (compatibilidade de deformações).

3) As tensões na armadura e no concreto podem ser calculadas a partir das correspondentes deformações, por meio da utilização dos diagramas tensão x deformação de cada material.

A primeira hipótese é a mais tradicional no desenvolvimento da teoria de viga. Esta hipótese é reconhecidamente comprovada por um grande número de

109

resultados de ensaios, os quais mostram que a distribuição das deformações ao longo da altura de uma viga é essencialmente linear∗.

A segunda hipótese é necessária porque o concreto e a armadura devem atuar em conjunto para resistir aos esforços solicitantes. Essa hipótese implica uma condição de aderência perfeita entre o concreto e a armadura.

Quanto à terceira hipótese, o carregamento atuante na viga é adequadamente equilibrado pelo momento fletor resistente calculado utilizando as curvas teóricas tensão x deformação do concreto e da armadura.

5.2.2 Hipóteses adicionais da teoria de flexão

Além das hipóteses básicas acima expostas, as seguintes hipóteses são consideradas para simplificar o problema, sem perda expressiva de precisão dos resultados:

4) A resistência à tração do concreto é desprezada no cálculo da capacidade resistente à flexão.

Em geral, o valor da resistência à tração do concreto é 1/10 da resistência à compressão, e a força resistida pelo concreto tracionado é pequena em relação àquela resistida pela armadura. Por esse motivo, a contribuição do concreto tracionado na resistência à flexão da viga é desprezada. No entanto, vale salientar que a resistência à tração do concreto é considerada em várias outras situações, tais como cisalhamento, aderência, flechas. Além disso, se o concreto apresentasse resistência nula à tração, um dos mecanismos básicos do concreto armado, qual seja a aderência entre concreto e armadura, seria impossível de existir.

5) O concreto chega ao colapso quando a deformação de compressão atinge um valor limite.

∗ Esta hipótese não é válida para vigas com vão menor do que cerca de quatro vezes sua altura (vigas-

parede), uma vez que tais peças tendem a atuar mais como arcos atirantados do que como vigas.

110

A rigor, não existe um valor limite para a deformação de compressão do concreto. Como mostrado na Fig. 5.2, uma viga de concreto armado atinge a sua capacidade resistente quando a inclinação do diagrama momento x curvatura é anulada (ponto E na Fig. 5.2). O colapso ocorre na região pós-pico, onde a inclinação desse diagrama se torna negativa, resultando em deformaçães adicionais com a redução da carga aplicada (amolecimento). Entretanto, a adoção de um limite para a deformação de compressão do concreto simplifica bastante os cálculos de projeto. Uma vez que o momento fletor máximo corresponde a um valor particular de deformação de compressão da fibra extrema da viga no diagrama momento x curvatura, o momento correspondente a qualquer outro valor de deformação da fibra extrema será menor. Como resultado, essa hipótese sempre resultará em estimativas conservadoras (e seguras, portanto) da capacidade resistente à flexão. O valor da deformação limite de compressão da fibra extrema de uma viga fletida é adotado igual a 0,003 no ACI-318, enquanto que o CEB-FIP MC90 e o projeto de revisão da NBR-6118 estipulam o valor de 0,0035 para vigas e pilares sob carga excêntrica. É importante salientar que valores bem mais elevados de deformação podem ser obtidos para peças nas quais o concreto é confinado por meio de espirais ou estribos pouco espaçados.

6) A forma do diagrama tensão x deformação do concreto na compressão pode ser escolhida como retangular, trapezoidal, triangular, parabólica, ou qualquer outra forma que proporcione uma estimativa correta da capacidade resistente à flexão da viga.

Essa hipótese permite a utilização de um diagrama tensão x deformação simplificado para a determinação do momento resistente, desde que sejam obtidos valores compatíveis com resultados experimentais. A distribuição de tensões ao longo da altura da seção transversal de uma viga pode ser expressa matematicamente em termos de três constantes (Fig. 5.3):

k3 → razão entre a tensão máxima na região comprimida da seção e a resistência à compressão uniaxial

k1 → razão entre a tensão média de compressão e a tensão máxima

111

k2 → razão entre a distância da fibra extrema à resultante de compressão e a profundidade da linha neutra

Fig. 5.3 - Descrição matemática do diagrama de tensões de compressão na seção

Para uma zona comprimida retangular de largura b e profundidade da linha neutra x, a resultante de compressão na seção é dada por:

xbfkkC c31= (5.2)

Valores de k1 e k2 para algumas distribuições de tensões usualmente adotadas são mostrados na Fig. 5.4. As normas de projeto correntes, como o ACI-318 e a NBR-6118, permitem utilizar um diagrama retangular simplificado equivalente para o cálculo da capacidade resistente à flexão (Fig. 5.5). Este diagrama é definido segundo o ACI pelos parâmetros α1 e β1 da seguinte forma: uma tensão de compressão uniforme de valor (α1 fc) atua de forma distribuída sobre uma zona de compressão equivalente delimitada pelas bordas da seção e por uma reta paralela à linha neutra situada a uma distância y = β1 x da fibra extrema da seção. Tanto o ACI-318 quanto a NBR-6118 adotam para α1 o valor 0,85. Quanto a β1, a NBR-6118 adota o valor fixo de 0,80, enquanto que o valor do ACI depende da resistência à compressão do concreto.

C = k1 k3 fc b x

k3 fc

k2 x

x

Linha neutra (L.N.)

112

Fig. 5.4 - Valores de k1 e k2 para diversas distribuições de tensões

Fig. 5.5 - Diagrama retangular simplificado equivalente de tensões

5.2.3 Análise de vigas de concreto armado de seção retangular

A análise e o projeto de vigas de concreto armado deve satisfazer às condições de compatibilidade de tensões e deformações expressas pelas hipóteses 1 e 2 descritas anteriormente neste capítulo, bem como à condição de equilíbrio de forças na seção transversal, com os esforços internos equilibrando o carregamento externo. Dependendo das propriedades geométricas e mecânicas da viga, três modos distintos de colapso podem ocorrer, a saber:

k3 fc

x

k1 = 0,85 k2 = 0,425

k1 = 0,67 k2 = 0,375

k1 = 0,5 k2 = 0,333

L.N.

C

k2 x

C = α1 fc β1 b x

k2 x = (β1/2) x

L.N.

y = β1 x x

α1 fc

T

113

Colapso por tração → a armadura tracionada escoa antes do concreto atingir a deformação máxima de compressão (viga normalmente armada ou subarmada), correspondente aos Domínios 2 e 3 de deformação. Esse caso ocorre quando a taxa de armadura mecânica ω = ρ fy/fc é pequena.

Colapso por compressão → o concreto comprimido é esmagado antes da armadura atingir o escoamento (viga superarmada), correspondente ao Domínio 4 de deformação.

Colapso equilibrado → o concreto é esmagado simultaneamente ao início do escoamento da armadura (viga com armadura “equilibrada”), correspondente ao limite entre os Domínios 3 e 4 de deformação.

Para vigas pertencentes aos Domínios 2 e 3 de deformação (normalmente armadas), a consideração da distribuição de tensões na seção transversal ilustrada na Fig. 5.5 conduz aos seguintes valores das resultantes de compressão no concreto e de tração na armadura:

)x(bfC 1c1 βα= (5.3)

ys fAT = (5.4)

O equilíbrio de forças horizontais leva a C = T, portanto a profundidade da linha neutra pode ser calculada igualando-se as eq.(5.3) e (5.4), resultando:

1c1

ys

bffA

xβα

= (5.5)

Uma forma rápida de verificar se a viga é normalmente armada consiste em comparar a taxa geométrica de armadura ρ = As/bd com a taxa de armadura “equilibrada” ρb, que corresponde ao início do escoamento da armadura tracionada simultaneamente ao esmagamento do concreto comprimido. Para a distribuição simplificada de tensões adotada na Fig. 5.5, o valor de ρb é dado por:

114

ε+εεβα

=ρycu

cu

y

c11b f

f (5.6)

onde εy é a deformação da armadura correspondente ao início do escoamento e εcu é a deformação última de compressão no concreto (adotado igual a 0,0035 na NBR-6118 e 0,003 no ACI-318). Para valores de outras normas, ver Tabela 5.1.

Uma vez verificada a condição da viga como subarmada (ρ < ρb), o momento resistente pode então ser determinado multiplicando-se as resultantes pelo braço de alavanca entre elas, podendo ser utilizada uma das duas expressões seguintes:

β

−βα=2

xd)x(bfM 1

1c1n (5.7)

β

−=2

xdfAM 1

ysn (5.8)

Introduzindo-se As = ρbd na eq.(5.5), obtém-se:

βα

ρ=

11c

y dff

x (5.9)

onde ω = ρ fy/fc é a taxa mecânica de armadura. O termo ω representa bem o comportamento de uma viga uma vez que incorpora três das principais variáveis que influenciam tal comportamento (ρ, fy e fc). Combinando-se as eq.(5.7) e (5.9), o momento resistente também pode ser calculado por:

( )ϖ−ϖ= 59,01dbfM 2cn (5.10)

115

5.3 CONSIDERAÇÕES SOBRE O PROJETO ESTRUTURAL DE VIGAS DE

CONCRETO DE ALTO DESEMPENHO

É notável o fato de que a utilização do concreto de alto desempenho (CAD) antecedeu um claro entendimento das suas propriedades materiais e do comportamento estrutural das peças projetadas com este material. As peças estruturais projetadas com CAD apresentam, sob vários aspectos, um comportamento diferente daquelas projetadas com concretos convencionais, devido basicamente aos traços utilizados serem bastante diferentes e à introdução de diversos tipos de aditivos no CAD (Nilson, 1994). Sabe-se que a microfissuração interna no CAD se manifesta somente quando uma fração maior da carga última é atingida, o que resulta numa faixa maior de resposta elástica do material. Por outro lado, a ductilidade exibida pelas peças de concretos de resistências mais baixas após a carga máxima, com as microfissuras se espalhando e formando uma rede interconectada, é menor para as peças de CAD. A resposta às cargas de longa duração também é diferente, uma vez que o CAD apresenta um coeficiente de fluência bem menor do que os concretos convencionais.

Tradicionalmente, a metodologia de projeto de vigas, lajes e pilares é baseada essencialmente em resultados experimentais, em sua quase maioria relativos a concretos com resistências à compressão de até 40 MPa. Devido à natureza empírica de muitas regras e equações estabelecidas em normas de projeto estrutural de concreto, é necessária uma reavaliação destas regras e equações a fim de assegurar uma utilização segura, racional e econômica do CAD. Este tema tem atraído a atenção de grande parte da comunidade técnica e científica da área, e muitas pesquisas têm sido desenvolvidas com o intuito de gerar o conhecimento fundamental do comportamento estrutural do CAD. Embora muitos aspectos ainda não estejam desmistificados e bem compreendidos, várias recomendações já foram adotadas por algumas normas de projeto para levar em consideração as características inerentes aos concretos de alto desempenho.

116

Em muitos casos, as vigas de CAD se comportam essencialmente de acordo com as mesmas regras válidas para as vigas de concreto convencional, porém algumas diferenças devem ser levadas em conta, como por exemplo a determinação das flechas da estrutura, a distribuição de tensões na seção transversal e a taxa de armadura mínima de flexão e de cisalhamento. Esta seção trata brevemente destas e de outras considerações relativas ao projeto de vigas de concreto armado de alto desempenho.

5.3.1 Deformação máxima de compressão

Embora o CAD atinja a tensão máxima com uma deformação ligeiramente maior do que aquela para o concreto convencional, a sua deformação última é menor, como pode ser observado na Fig. 2.11. No entanto, para concretos na faixa de 28 até 83 MPa, as diferenças são pequenas, sendo que o limite de 0,003 recomendado pelo ACI-318 mostra-se conservador de acordo com resultados experimentais disponíveis na literatura (Nilson, 1985); (Collins et al., 1993); (Ibrahim; McGregor, 1997); (Sarkar et al., 1997b); (Mansur et al., 1997).

A Tabela 5.1 mostra a deformação máxima de compressão na fibra de concreto mais comprimida da seção transversal como considerado em diversas normas.

Tabela 5.1 – Deformação máxima de compressão no concreto

Norma Deformação última de compressão

NBR-6118/2001 0,0035

ACI 318R-99 0,003

CEB-FIP MC-90 0,0035 para fc ≤ 50 MPa

0,0035 (50/fc) para 50 MPa < fc ≤ 80 MPa

NS 3473E-92 0,0035 para fc ≤ 55 MPa

(2,5m – 1,5) εcn para 55 MPa < fc ≤ 85 MPa

CAN3 A23.3-94 0,0035

117

Os parâmetros utilizados na expressão da norma norueguesa na Tabela 5.1 são dados por:

3cnco

ccncn

cnco

10)9,1f004,0(

E/f/m

−⋅+=ε

=εεε=

(5.11)

onde fcn = k3 fc e k3 varia de 0,84 para um concreto de 20 MPa até 0,65 para um concreto de 94 MPa∗.

5.3.2 Distribuição de tensões na seção transversal

A forma do diagrama de distribuição de tensões na seção transversal em vigas está diretamente relacionada à forma do diagrama tensão x deformação sob compressão uniaxial. Considerando então as diferenças nas curvas relativas ao CAD, é razoável admitir que a distribuição de tensões numa seção submetida à flexão também apresente diferenças em relação aos concretos convencionais, especialmente para cargas próximas da máxima. Para o CAD, o qual apresenta uma resposta mais linear à compressão, e a uma fração maior da tensão última, a distribuição de tensões na seção transversal da viga pode ser melhor caracterizada por um diagrama trapezoidal ou triangular. Essas diferenças na distribuição de tensões na seção são particularmente evidentes em vigas superarmadas (Domínio 4). Entretanto, para as vigas usuais subarmadas (dimensionadas nos Domínios 2 ou 3) cujo colapso está relacionado ao escoamento da armadura de tração, vários estudos indicam que o diagrama retangular simplificado fornece resultados satisfatórios mesmo para vigas executadas com CAD. Portanto, o diagrama retangular simplificado (Fig. 5.5) pode ser adotado também para vigas de concreto armado de alto desempenho, adotando-se coeficientes α1 e β1 que dependem da resistência à compressão do concreto utilizado. Na Tabela 5.2 estão indicados os coeficientes recomendados pela norma norueguesa NS 3473E-92 de acordo com a resistência à compressão do concreto.

∗ Valores intermediários podem ser encontrados na Tabela 5 da NS 3473E-92.

118

Tabela 5.2 – Parâmetros do diagrama retangular segundo a NS 3473E-92

Resistência à compressão do concreto (MPa) Parâmetro

20 28 36 44 54 64 74 84 94

α1 1,00 1,00 1,00 1,00 0,97 0,96 0,95 0,67 0,65

β1 0,80 0,80 0,80 0,80 0,80 0,78 0,76 ------ ------

εcu (‰) 3,5 3,5 3,5 3,5 3,2 3,05 2,9 ------ ------

A norma canadense CAN3 A23.3-94 considera os seguintes coeficientes:

67,0f0025,097,067,0f0015,085,0

c1

c1

≥−=β≥−=α

(5.12)

O ACI 318R-99 recomenda um valor constante para α1 igual a 0,85, enquanto que o valor de β1 varia conforme a resistência do concreto. Para concretos com resistências de até 28 MPa, este coeficiente vale 0,85, e é reduzido continuamente a uma taxa de 0,05 a aproximadamente cada 7 MPa acima de 28 MPa, com um valor mínimo de 0,65.

Ibrahim; McGregor (1997) propõem os seguintes parâmetros para o diagrama retangular simplificado:

70,0f0025,095,0725,0f00125,085,0

c1

c1

≥−=β≥−=α

(5.13)

O projeto de revisão da NBR-6118, no item 7.1.10.1, sugere, para análises no estado limite último, o diagrama tensão x deformação ilustrado na Fig. 5.6. Alternativamente, pode-se utilizar sem perda significativa de precisão o diagrama retangular com α1 e β1 iguais a 0,85 e 0,80, respectivamente. Pode-se notar que a NBR-6118 ignora o efeito da resistência do concreto. De qualquer forma, a norma só é valida para concretos de até 50 MPa.

119

Fig. 5.6 - Diagrama tensão x deformação da NBR-6118/2001

5.3.3 Armadura mínima de flexão

Em vigas pouco armadas, se a resistência à flexão de uma seção for menor do que o momento de fissuração, a viga pode atingir o colapso de forma súbita após a formação da primeira fissura de flexão. Para evitar isto, é necessário o estabelecimento de uma taxa mínima de armadura de flexão. O cálculo dessa armadura é feito igualando-se o momento de fissuração à capacidade resistente da seção fissurada. Segundo o ACI 318R-99, a armadura mínima para seções retangulares é dada por:

y

ww

y

cmin,s f

db200db

ff3

A ≥= (fc e fy em psi) (5.14)

A norma norueguesa NS 3473E-92 estabelece a equação abaixo para o cálculo da armadura de flexão mínima para vigas de seção retangular:

y

twmin,s f

fhbk35,0A = (5.15)

0,85 fcd

fck

σc

σc = 0,85 fcd [ 1- (1- εc/0,002)2 ]

3,5 ‰ 2 ‰ εc

120

0,1h/h5,1k 1w ≥−= (5.16)

onde ft é a resistência à tração do concreto, fy é a tensão de escoamento da armadura e h1 = 1,0 m.

A norma canadense CAN3 A23.3-94 recomenda a seguinte armadura mínima longitudinal de flexão:

hbf

f2,0A w

y

cmin,s = (5.17)

A armadura mínima de flexão estipulada pelo CEB-FIP MC-90 é:

db0015,0A wmin,s = (5.18)

Os valores da taxa mínima de armadura de flexão de acordo com o Projeto de Revisão da NBR-6118 estão apresentados na Tabela 5.3.

Tabela 5.3 – Taxas mínimas de armadura de flexão para vigas (NBR-6118/2001)

Valores de ρmin (%) para aço CA-50, γc = 1,4 e γs = 1,15

fc 20 25 30 35 40 45 50 Forma da seção

ρmin

Retangular 0,035 0,115 0,144 0,173 0,201 0,230 0,259 0,288

T (mesa comprimida) 0,024 0,100 0,100 0,118 0,138 0,158 0,177 0,197

T (mesa tracionada) 0,031 0,102 0,127 0,153 0,178 0,204 0,229 0,255

Circular 0,070 0,230 0,288 0345 0,403 0,460 0,518 0,575

A partir dos valores expressos na Tabela 5.3, a seguinte expressão pode ser utilizada para o cálculo da armadura mínima de flexão para seção retangular:

dbf0000575,0A wcmin,s = (5.19)

121

5.3.4 Armadura mínima de cisalhamento

Segundo o ACI 318R-99, a armadura mínima de cisalhamento para peças não protendidas pode ser calculada por:

y

wmin,sw f

sb50A = (5.20)

onde s é o espaçamento entre os estribos.

A armadura mínima recomendada pela CAN3 A23.3-94 é dada por:

y

wcmin,sw f

sbf06,0A = (5.21)

A NS 3473E-92 estipula a seguinte armadura mínima de cisalhamento:

y

tcmin,sw f

senfA2,0A

α= (5.22)

onde α é o ângulo entre os estribos e o eixo longitudinal da viga, devendo ser tomado maior ou igual a 45o.

O CEB-FIP MC-90 recomenda uma taxa mínima de armadura de cisalhamento de acordo com a resistência característica à compressão do concreto∗. Para um estudo detalhado do comportamento ao cisalhamento de vigas de concreto de alto desempenho, recomenda-se a leitura do trabalho elaborado por Duthinh; Carino (1996), o qual constitui um excelente relatório sobre o estado-da-arte do dimensionamento à força cortante de vigas de CAD.

∗ Ver tabela na seção 9.2.2.2 do Código Modelo MC-90 (CEB-FIP, 1993).

122

5.3.5 Cálculo de deslocamentos (flechas)

O valor da flecha elástica imediata de uma viga de concreto armado depende basicamente de três fatores: o módulo de elasticidade, o módulo de ruptura e o momento de inércia efetivo. Os valores do módulo de elasticidade e do módulo de ruptura de acordo com diversos pesquisadores e normas de projeto já foram expostos no Capítulo 2. O valor do momento de inércia efetivo, segundo o ACI 318R-99, é dado por:

gcr

3

a

crg

3

a

cre II

MM

1IMM

I ≤

−+

= (5.23)

onde Mcr é o momento de fissuração, Ma é o momento máximo, Ig é o momento de inércia da seção bruta e Icr é o momento de inércia da seção fissurada.

O momento de fissuração é calculado por:

t

grcr y

IfM = (5.24)

onde yt é a distância do centróide da seção bruta à fibra mais tracionada do concreto.

Várias pesquisas indicam que este procedimento é válido também para vigas de concreto de alto desempenho.

No caso das flechas devidas a cargas de longa duração, costuma-se calcular seus valores por meio da aplicação de multiplicadores às flechas imediatas, para levar em conta o efeito da fluência e da retração do concreto. Este procedimento também pode ser aplicado ao CAD. No entanto, o coeficiente de fluência do CAD é significativamente inferior àquele dos concretos convencionais, como já verificado por vários estudos experimentais (Ngab et al., 1981); (de Larrard; Acker, 1992); (Han; Walraven, 1995). Portanto, as flechas

123

devidas à fluência são menores para as vigas de CAD, e a influência de uma eventual armadura de compressão também é reduzida.

O ACI 318R-99, a NS 3473E-92 e a CAN3 A23.3-94 não consideram a redução da flecha por fluência devida ao aumento da resistência à compressão do concreto. Porém, segundo resultados experimentais, a flecha de longo prazo devida à fluência e à retração pode ser estimada multiplicando-se a flecha imediata por (Nilson, 1985):

ρ′µ+ξµ

=λ501 (5.25)

onde ρ′ é a taxa de armadura de compressão e ξ varia de acordo com a Tabela 5.4.

Tabela 5.4 – Valores do coeficiente ξ segundo o ACI-318

Tempo decorrido Coeficiente ξ

5 anos ou mais 2,0

12 meses 1,4

6 meses 1,2

3 meses 1,0

O parâmetro µ é calculado por:

10000/f4,1 c−=µ (5.26)

onde o valor de µ deve ser maior que 0,4 e menor que 1,0.

Fica claro então que a aplicação deste parâmetro (µ) ao numerador da eq.(5.25) tem como objetivo considerar o menor coeficiente de fluência do CAD, enquanto que a sua aplicação ao denominador da referida equação visa reduzir a influência da armadura de compressão nas flechas de vigas de CAD. A flecha final resulta então:

124

ia)1(a λ+= (5.27)

O Código Modelo MC-90 considera, para o caso do CAD, o cálculo das flechas de vigas devidas a cargas de longa duração por meio da equação seguinte, onde o coeficiente φ leva em conta o valor da resistência à compressão do concreto∗:

ia)1(a φ+= (5.28)

5.4 DEFORMABILIDADE DE VIGAS DE CONCRETO ARMADO

Na prática, as estruturas de concreto armado têm sido projetadas por meio de dois métodos possíveis. Até a metade dos anos 60, era utilizando o chamado método das tensões admissíveis, segundo o qual as cargas admissíveis eram calculadas considerando uma distribuição linear de tensões para o concreto comprimido e as cargas de serviço. Desde então, os cálculos têm sido feitos no estágio correspondente ao colapso, utilizando cargas majoradas, sendo feitas verificações quanto a flechas e fissuração sob cargas de serviço. Esse método (Método dos Estados Limites) considera uma capacidade resistente maior do que aquela resultante de uma análise elástica linear, devido à considerável rotação plástica apresentada por elementos unidimensionais de concreto armado submetidos à flexão. As atuais normas de projeto permitem considerar essa capacidade de deformação plástica de duas formas: por meio de uma análise não-linear da estrutura, ou pela introdução de uma capacidade de redistribuição de esforços que uma estrutura estaticamente indeterminada apresenta em relação aos métodos de análise linear. Além disso, a magnitude da rotação das rótulas plásticas tem que ser controlada de forma a assegurar a compatibilidade de deformações em toda a estrutura. Portanto, uma vez que as rótulas plásticas em estruturas de concreto armado têm uma ductilidade limitada, é de grande importância avaliar corretamente se a capacidade de rotação plástica (ductilidade) ∗ Ver seção 7.5.2.2 do Código Modelo MC-90.

125

é suficientemente alta para que o mecanismo de colapso previsto ocorra de fato. Uma das medidas possíveis para avaliar a ductilidade é o diagrama momento x curvatura (Fig. 5.2). No entanto, esse diagrama corresponde aos esforços em uma seção transversal e não à viga como um todo, haja vista que a curvatura varia ao longo da peça devido à presença de seções fissuradas e outras não fissuradas. Numa seção fissurada a profundidade da linha neutra é menor do que em uma seção não fissurada, conseqüentemente a curvatura da seção não fissurada é menor. Uma medida mais adequada para avaliar a ductilidade da viga como um todo é o índice de ductilidade em termos de flecha. Considerando a Fig. 5.7, pode-se considerar dois índices de ductilidade distintos dependendo da taxa de armadura de flexão. Para as vigas com menor quantidade de armadura, as quais apresentam um patamar de escoamento bem definido, a ductilidade pode ser traduzida em termos da razão entre a flecha máxima no instante da ruptura e a flecha no início do escoamento da armadura. Para as vigas com quantidade de armadura elevada, é mais conveniente definir o índice de ductilidade como a razão entre a flecha a um determinado nível no ramo pós-pico e a flecha correspondente ao início do escoamento.

Os dois índices de ductilidade citados são utilizados para medir a deformabilidade das vigas de concreto de alto desempenho investigadas experimentalmente nesta tese (ver Capítulo 9, item 9.4.3), e são definidos então por:

Para vigas com baixa taxa de armadura:

yu1 δδ=µ (5.29)

onde δu é a flecha máxima atingida pela viga e δy é a flecha correspondente ao ponto de início do escoamento da armadura.

Para as vigas com alta taxa de armadura:

126

yX2 δδ=µ (5.30)

onde δX é a flecha correspondente a X% da carga máxima no ramo pós-pico.

Fig. 5.7 - Possíveis curvas carga x flecha para vigas de concreto armado

Este capítulo apresentou as hipóteses que permeiam a teoria convencional de flexão em vigas de concreto armado. Além disso, foram feitas considerações quanto aos critérios de projeto adicionais para vigas de concreto de alto desempenho. Finalmente, foi brevemente apresentada uma abordagem para a determinação de índices de ductilidade para vigas com baixa e alta taxa de armadura de flexão.

Taxa de armadura alta

δX

δy

Carg

a

Deslocamento Vertical

Taxa de armadura baixa

δu δy

Carg

a

Deslocamento Vertical

127

ARMADURA MÍNIMA DE FLEXÃO EM VIGAS

66

6.1 CONSIDERAÇÕES GERAIS

Os requisitos de armadura mínima de flexão em vigas de concreto visam limitar a um valor aceitável a abertura de fissuras sob cargas de serviço bem como assegurar um adequado grau de ductilidade para a peça. Dependendo da quantidade de armadura presente, uma viga de concreto pode apresentar um comportamento extremamente frágil, resultando num colapso repentino e catastrófico tão logo a carga de fissuração (ou carga de primeira fissura) é atingida e podendo causar graves danos aos ocupantes da estrutura. No intuito de evitar tal colapso frágil, quando o concreto não mais pode resistir aos esforços de tração a carga deve ser resistida completamente pela armadura longitudinal de flexão. No entanto, nem todos os parâmetros que influenciam o comportamento de vigas levemente armadas são contemplados na maioria das normas de projeto, as quais se utilizam essencialmente de fórmulas empíricas para determinar a taxa mínima de armadura de flexão levando em conta alguns parâmetros relevantes,

128

como por exemplo a resistência à compressão do concreto e a tensão de escoamento da armadura, mas por outro lado negligenciando outros que parecem ser igualmente importantes, tais como o tamanho da viga e as propriedades de fraturamento do concreto.

Basicamente a armadura mínima deve ser determinada de forma a satisfazer duas condições: limitar a abertura de fissuras sob cargas de serviço a um valor aceitável (critério estético e de durabilidade a longo prazo) e evitar o colapso frágil da peça (critério de resistência e ductilidade). O critério relevante para o presente trabalho é o de resistência e ductilidade, estando fora do escopo desta investigação a questão da abertura máxima de fissuras. Além disso, limita-se a tratar aqui do caso particular de vigas de seção retangular.

De fato, as normas atuais são enfocadas apenas na resistência mecânica da viga, ignorando a sua fragilidade ou ductilidade. Para fins ilustrativos, a Fig. 6.1 mostra os possíveis comportamentos de vigas levemente armadas submetidas a flexão em três pontos, em termos de curvas carga x deslocamento. A curva A denota uma viga com armadura excessivamente reduzida para a qual um colapso frágil e repentino é inevitável, uma vez que a carga de fissuração Pcr da viga é maior do qua a carga última Pu provida pela seção armada, isto é, a viga chega ao colapso tão logo a carga de fissuração é atingida. A curva B representa uma condição “balanceada”, com a carga última sendo aproximadamente igual à carga de fissuração. A quantidade de armadura nesse caso é aquela limite acima da qual o colapso muda de frágil para dúctil. Finalmente, a curva C representa o caso de colapso dúctil, com a carga última da seção armada sendo claramente superior à carga de fissuração. Essa é a situação desejável na prática.

Recentemente várias tentativas têm sido feitas visando prever o comportamento de vigas de concreto levemente armadas e determinar de forma racional a quantidade mínima de armadura para evitar o colapso frágil da peça. Estas tentativas são fruto de recentes formulações teóricas e evidências experimentais que revelaram a influência do tamanho da viga na transição de comportamento frágil para dúctil (Bosco et al., 1990); (Rokugo et al., 1992); (Baluch et al., 1992); (Bosco e Carpinteri, 1992); (Hawkins e Hjorteset, 1992);

129

(Ruiz et al., 1998) e do sentimento entre o meio técnico que tal problema deveria ser abordado por meio da Mecânica da Fratura, uma vez que o colapso de vigas levemente armadas em geral é causado pela propagação de uma única fissura cortando a seção crítica da peça. Como a transição de frágil para dúctil é governada pelo processo de fissuração do concreto, alguns modelos teóricos baseados em conceitos da Mecânica da Fratura foram desenvolvidos, cujos resultados dependem, dentre outros fatores, do tamanho da estrutura (altura da viga nesse caso).

Fig. 6.1 - Possíveis curvas carga x flecha para vigas levemente armadas

6.2 EXPRESSÕES DE NORMAS PARA ARMADURA MÍNIMA DE FLEXÃO

Algumas das expressões de normas para a determinação da quantidade mínima de armadura de flexão em vigas de concreto já foram apresentadas no Capítulo 5, item 5.3.3. As seguintes normas são consideradas: norma americana ACI 318R-99, código modelo europeu CEB-FIP Model Code MC90, norma canadense CAN3 A23.3-94, norma norueguesa NS 3473E-92 e o Projeto de Revisão da norma brasileira NBR-6118/2001, dentre as quais somente a norma

P

δ

A

C

Pu

BPu

Pu

Pcr

Concreto simples

ρ > ρmin

ρ < ρmin

ρ = ρmin

ρ = 0

130

norueguesa leva em conta a influência do tamanho da peça na taxa mínima de armadura.

6.3 EXPRESSÕES DE MODELOS DE FRATURAMENTO PARA ARMADURA

MÍNIMA DE FLEXÃO

Carpinteri (1984) formulou um modelo de comportamento à flexão para vigas de concreto levemente armadas baseado na Mecânica da Fratura Elástica Linear levando em conta a tenacidade ao fraturamento do concreto KIc. Este modelo foi mais tarde incrementado de forma a melhorar os resultados obtidos para o caso da armadura ainda não ter atingido o escoamento quando a fissura principal começa a propagar (Bosco e Carpinteri, 1992). Segundo este modelo, o que determina o tipo de comportamento da peça (se frágil ou dúctil) é o índice de fragilidade Np dado por:

AA

Khf

N s

Ic

yp = (6.1)

onde fy é a tensão de escoamento da armadura, h é a altura da viga, KIc é a tenacidade ao fraturamento do concreto, As é a área de armadura longitudinal de flexão e A é a área bruta da seção de concreto.

Baseados em resultados experimentais, Bosco e Carpinteri (1992) propuseram a seguinte expressão para estimar o valor crítico de Np (aquele correspondente à taxa mínima de armadura) em função da resistência à compressão do concreto:

cpc f0023,01,0N += (fc em MPa) (6.2)

Segundo Carpinteri (1984), vigas com o mesmo Np apresentarão o mesmo tipo de comportamento, por exemplo em termos da curva carga x flecha.

131

Considerando-se a taxa de armadura ρmin = As,min/A, o rearranjo da eq.(6.1) conduz a:

hf

KN

y

Icpcmin =ρ (6.3)

Claramente, segundo este modelo a taxa mínima de armadura varia com o inverso da raiz quadrada da altura da viga, ou seja, a taxa mínima necessária para evitar o colapso frágil diminui com o aumento do tamanho da viga. Este efeito de escala foi observado experimentalmente em ensaios de vigas sob flexão em três pontos (Carpinteri et al., 1999) e flexão em quatro pontos (Rokugo et al., 1996).

Baseado no Modelo da Fissura Fictícia (Hillerborg et al., 1976) e em análises pelo Método dos Elementos Finitos, Hawkins e Hjorteset (1992) propuseram a seguinte expressão para o cálculo da taxa mínima de armadura de flexão, a qual leva em conta o efeito de escala na resistência à tração na flexão (módulo de ruptura) do concreto:

dh

ff

lh3,285,0

11517,0y

t

ch

min

α+

+ζ=ρ (6.4)

onde ft é a resistência direta à tração do concreto e ζ , α e lch são dados por:

pontos quatro em flexãopara ,Lh1773,01

pontos três em flexãopara ,1

−=ζ

=ζ

(6.5)

1708

d1565 max+

=α (6.6)

132

2t

Fcch f

GEl = (6.7)

Nas expressões acima, L é o vão da viga, dmax é o diâmetro máximo do agregado em mm e GF é a energia de fraturamento do concreto.

Mais recentemente, Ruiz et al. (1999) estabeleceram um modelo de fraturamento que descreve o fraturamento do concreto por meio de uma fissura coesiva e incorpora o efeito das condições de aderência entre o concreto e a armadura. Esse modelo gera a seguinte expressão para a determinação da taxa mínima de armadura de flexão:

α−

α

η−

α

++

−=ρ

−

ch

25,0

ch1

t

y

1

chmin

lc61,3

lh

ff

lh3,285,01

h/c1174,0

(6.8)

onde c é o cobrimento da armadura, α e lch são dados pelas eq.(6.6) e (6.7), respectivamente, e η1 é o parâmetro que representa as condições de aderência entre o concreto e a armadura. Para os casos práticos, o valor de η1 varia de 15 (condição de baixa aderência) a 50 (condição de alta aderência).

A Fig. 6.2 mostra uma comparação entre dois dos modelos de fraturamento citados, diversas formulações de normas de projeto e resultados experimentais obtidos por Bosco et al. (1989). Os resultados da Fig. 6.2a foram obtidos utilizando-se os seguintes dados: fc = 30 MPa, fy = 500 MPa, ft = 2,3 MPa, Ec = 23 GPa, dmax = 10 mm, GF = 134 N/m, d = 0,9 h e L = 6 h. Os resultados da Fig. 6.2b foram obtidos a partir dos seguintes valores: fc = 80 MPa, fy = 569 MPa, ft = 5,3 MPa, Ec = 34 GPa, dmax = 10 mm, GF = 90 N/m, d = 0,9 h e L = 6 h. Para as curvas de Ruiz et al. foi considerada condição de baixa aderência.

133

Pode-se observar que, excetuando-se a norma norueguesa, todas as outras ignoram o efeito de escala na taxa mínima de armadura de flexão, enquanto que os modelos de fraturamento indicam uma redução desta taxa com o aumento do tamanho da viga. Para os limitados resultados experimentais mostrados na figura, esta tendência parece ocorrer de fato. Além disso, Rokugo et al. (1992) ensaiaram vigas de diversos tamanhos executadas com concreto convencional (~ 32 MPa) e obtiveram resultados que indicaram claramente uma redução da quantidade mínima de armadura de flexão com o aumento do tamanho da viga. Outro fato importante a ser mencionado é que a nova NBR-6118/2001 parece ser muito conservadora para o caso de concretos de alta resistência.

Fig. 6.2 - Comparações de valores teóricos e experimentais de armadura mínima em vigas de seção retangular

6.4 INVESTIGAÇÃO EXPERIMENTAL

Para analisar a questão da taxa mínima de armadura de flexão, dezesseis vigas foram planejadas e moldadas para essa investigação. As variáveis foram a resistência à compressão do concreto (30 MPa e 80 MPa), a taxa de armadura

0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.001

0.002

0.003

0.004

ACI 318R-99

NS 3473E-92

NBR6118-2002

CAN3 A23.3-94

Bosco e Carpinteri

Ruiz et al.

h (m)

ρ min

Ensaios (Bosco et al., 1991)

0.2 0.4 0.6 0.80

0.001

0.002

0.003

0.004

0.005

h (m)

Ensaios (Bosco et al., 1991)

ACI 318R-99

CAN3 A23.3-94

NBR6118-2002

NS 3473E-92

Ruiz et al.

Bosco e Carpinteri


134

utilizada (quatro valores diferentes) e o tamanho da viga (dois tamanhos diferentes). Com essa combinação é possível verificar as diferenças de comportamento entre um concreto de resistência mais baixa e um de resistência elevada (o qual tende a ser mais frágil). Das dezesseis vigas moldadas, quatro foram danificadas no transporte, restando então doze resultados válidos. As vigas foram dimensionadas de forma a se obter, para cada resistência do concreto e tamanho de viga, os quatro comportamentos distintos mostrados na Fig. 6.1. A armadura mínima de cada viga foi calculada de acordo com a eq.(6.3). Adotou-se mais duas taxas de armadura para cada viga, uma menor e outra maior do que a mínima teórica, além de vigas sem armadura. Além disso, foram moldados doze corpos-de-prova cilíndricos de 15 x 30 cm para ensaios de compressão simples, seis para cada classe de concreto. Na Tabela 6.1 estão mostradas as dosagens de concreto utilizadas e nas Tabelas 6.2 e 6.3 são apresentados, respectivamente, os dados geométricos das vigas e as propriedades mecânicas do aço e do concreto.

Tabela 6.1 – Dosagens utilizadas (para 1 m3 de concreto)

fc 30 MPa 80 MPa

Relação água/cimento (a/c) 0,53 0,24 Cimento (CP2E-40) (kg) 312 652,8

Areia artificial (kg) 270 804

Areia média natural (quartzo) (kg) 632 -----

Pedrisco (kg) ----- 122,4

Brita 1 (kg) 429 1105,6

Brita 2 (kg) 631 -----

Água (litros) 165 173,6

Aditivo plastificante redutor (litros) 1,13 -----

Aditivo superplastificante (litros) ----- 14 (2%)

Aditivo mineral (fumo de sílica) (kg) ----- 65

Slump obtido (mm) 70 125

Na Tabela 6.3, o módulo de ruptura fr de acordo com o ACI 318R-99, e o módulo de deformação longitudinal do concreto Ec e a energia de fraturamento GF de acordo com o CEP-FIP MC90 são dados por:

135

cr f5,7f = (psi) (6.9)

3/1c

4c )f(10E = (MPa) (6.10)

7,0c

maxd0454,0F )f(e828,2G = (N/mm) (6.11)

onde dmax é o diâmetro máximo do agregado em mm.

A tenacidade ao fraturamento KIc foi determinada pela Mecânica da Fratura Elástica Linear como:

FcIc GEK = (N/mm3/2) (6.12)

Para o concreto de 30 MPa foi utilizado um aditivo plastificante multidosagem redutor de água da marca MBT tipo Mastermix 390N. Para o concreto de 80 MPa foram utilizados um aditivo superplastificante de pega normal da marca MBT tipo Reobeton 700 e fumo de sílica do tipo amorfa da marca Silmix.

O arranjo de ensaio utilizado (flexão em três pontos) está ilustrado na Fig. 6.3, na qual também é mostrado um detalhe dos LVDT’s utilizados para medir o deslocamento vertical no meio do vão (um de cada lado da viga).

O ensaio foi executado por meio de uma máquina digital de ensaios servo-controlada da marca Dartec e controlado pelo deslocamento vertical do atuador da máquina a uma taxa de 0,0025 mm/s para as vigas armadas e 0,001 mm/s para as vigas sem armadura. Os sinais da célula de carga, do deslocamento vertical do atuador e dos LVDT’s na face inferior das vigas foram aquisitados de forma contínua a uma frequência de 2 Hz por um sistema de aquisição de dados composto por um microcomputador e um condicionador de sinais da marca Lynx tipo ADS2000. Os equipamentos de controle do ensaio e aquisição de dados estão mostrados na Fig. 6.4.

136

Tabela 6.2 – Geometria das vigas

Geometria Código da viga

b (mm) h (mm) d (mm) L (mm)

A1-1 120 150 ----- 900

A1-2 120 150 132,9 900

A1-3 120 150 132,5 900

A1-4 120 150 132,9 900

A2-1 120 200 ----- 1200

A2-2 120 200 182,9 1200

A2-3 120 200 182,5 1200

A2-4 120 200 182,9 1200

B1-1 120 150 ----- 900

B1-2 120 150 132,5 900

B1-3 120 150 132,5 900

B1-4 120 150 120 900

B2-1 120 200 ----- 1200

B2-2 120 200 182,9 1200

B2-3 120 200 182,5 1200

B2-4 120 200 182,5 1200

As curvas experimentais carga x deslocamento das vigas ensaiadas estão mostradas nas Fig. 6.5 a 6.15, juntamente com um detalhe do panorama de fissuração desenvolvido na região central das vigas ao final dos ensaios. As vigas A2-2, A2-4, B1-1 e B2-2 foram danificadas antes do início dos ensaios, sendo descartadas. A curva carga x deslocamento da viga A2-1 (sem armadura) não pôde ser registrada de forma satisfatória devido a um problema na leitura dos LVDT’s durante o ensaio correspondente, tendo sido registrada apenas a carga máxima nesse caso.

Em relação ao panorama de fissuração, a maioria das vigas chegaram ao colapso com a propagação de uma única fissura na região central, enquanto que em algumas outras mais de uma fissura foi observada (tipicamente três).

137

Tabela 6.3 – Propriedades mecânicas do concreto e do aço

Viga fc

(MPa) Ec

(MPa) fr

(MPa)dmax

(mm)GF

(N/m)KIc

(MPa.m1/2)fy

(MPa) Es

(MPa)

A1-1 34,5 32554 3,66 19 79,9 1,61 ----- -----

A1-2 34,5 32554 3,66 19 79,9 1,61 681,9 201900

A1-3 34,5 32554 3,66 19 79,9 1,61 707,8 180100

A1-4 34,5 32554 3,66 19 79,9 1,61 681,9 201900

A2-1 34,5 32554 3,66 19 79,9 1,61 ----- -----

A2-2 34,5 32554 3,66 19 79,9 1,61 681,9 201900

A2-3 34,5 32554 3,66 19 79,9 1,61 707,8 180100

A2-4 34,5 32554 3,66 19 79,9 1,61 681,9 201900

B1-1 72,2 41640 5,29 19 134,0 2,36 ----- -----

B1-2 72,2 41640 5,29 19 134,0 2,36 707,8 180100

B1-3 72,2 41640 5,29 19 134,0 2,36 681,9 201900

B1-4 72,2 41640 5,29 19 134,0 2,36 707,8 180100

B2-1 72,2 41640 5,29 19 134,0 2,36 ----- -----

B2-2 72,2 41640 5,29 19 134,0 2,36 681,9 201900

B2-3 72,2 41640 5,29 19 134,0 2,36 707,8 180100

B2-4 72,2 41640 5,29 19 134,0 2,36 707,8 180100

Fig. 6.3 - Arranjo de ensaio e detalhe dos LVDT’s utilizados

138

Fig. 6.4 - Sistema de controle do ensaio e aquisição de dados

0,0

1,0

2,0

3,0

4,0

5,0

6,0

7,0

8,0

9,0

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8

δ (mm)

P (k

N)

Viga A1-1fc = 34,5 MPaρ = 0,0 %

120 mm

150 mm

Fig. 6.5 - Curva carga x deslocamento da viga A1-1

Controlador digital Dartec M9500

Microcomputador de controle

Microcomputador de aquisição

Condicionador de sinais ADS2000

139

0,0

1,0

2,0

3,0

4,0

5,0

6,0

7,0

8,0

9,0

10,0

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5

δ (mm)

P (k

N)

Viga A1-2fc = 34,5 MPaρ = 0,08 %

120 mm

150 mm


0,0

1,0

2,0

3,0

4,0

5,0

6,0

7,0

8,0

9,0

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5

δ (mm)

P (k

N)

Viga A1-3fc = 34,5 MPaρ = 0,11 %

120 mm

150 mm


140

0,0

2,0

4,0

6,0

8,0

10,0

12,0

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5

δ (mm)

P (k

N)

120 mm

150 mm

Viga A1-4fc = 34,5 MPaρ = 0,15 %


0,0

1,0

2,0

3,0

4,0

5,0

6,0

7,0

8,0

9,0

10,0

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0

δ (mm)

P (k

N)

120 mm

200 mm

Viga A2-3fc = 34,5 MPaρ = 0,08 %


141

0,0

2,0

4,0

6,0

8,0

10,0

12,0

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5

δ (mm)

P (k

N)

Viga B1-2fc = 72,2 MPaρ = 0,11 %

120 mm

150 mm

Fig. 6.10 - Curva carga x deslocamento da viga B1-2

0,0

5,0

10,0

15,0

20,0

25,0

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5

δ (mm)

P (k

N)

Viga B1-3fc = 72,2 MPaρ = 0,26 %

120 mm

150 mm


142

0,0

5,0

10,0

15,0

20,0

25,0

30,0

35,0

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5

δ (mm)

P (k

N)

120 mm

150 mm

Viga B1-4fc = 72,2 MPaρ = 0,44 %


0,0

2,0

4,0

6,0

8,0

10,0

12,0

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2

δ (mm)

P (k

N)

120 mm

200 mm

Viga B2-1fc = 72,2 MPaρ = 0,0 %


143

0,0

5,0

10,0

15,0

20,0

25,0

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5

δ (mm)

P (k

N)

Viga B2-3fc = 72,2 MPaρ = 0,22 %

120 mm

200 mm


0,0

5,0

10,0

15,0

20,0

25,0

30,0

35,0

40,0

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5

δ (mm)

P (k

N)

Viga B2-4fc = 72,2 MPaρ = 0,33 %

120 mm

200 mm


144

6.4.1 Análise dos resultados experimentais

A Tabela 6.4 indica os valores teóricos e experimentais de carga de fissuração e deslocamento correspondente, carga última e deslocamento correspondente.

Tabela 6.4 – Resultados teóricos e experimentais

Resultados Teóricos Resultados Experimentais Código da viga ρ

(%)

Pcr

(kN) Pu

(kN) Pcr

(kN) Pu

(kN) δcr

(mm)δu

(mm) Tipo de Colapso

A1-1 ----- 7,32 7,32 8,18 8,18 0,34 0,34 FRÁGIL

A1-2 0,08 7,35 5,50 9,04 5,65 0,28 2,69 FRÁGIL

A1-3 0,11 7,35 8,05 7,29 8,02 0,22 3,07 DÚCTIL

A1-4 0,15 7,37 10,89 7,58 10,97 0,20 2,96 DÚCTIL

A2-1 ----- 9,75 9,75 8,20 8,20 0,63 0,63 FRÁGIL

A2-3 0,08 9,80 8,35 9,21 8,28 0,21 2,28 FRÁGIL

B1-2 0,11 10,62 8,11 10,35 9,99 0,41 1,58 FRÁGIL

B1-3 0,26 10,69 18,64 13,06 21,09 0,32 2,93 DÚCTIL

B1-4 0,44 10,66 28,67 9,70 31,29 0,27 3,27 DÚCTIL

B2-1 ----- 14,11 14,11 11,31 11,31 0,48 0,48 FRÁGIL

B2-3 0,22 14,24 22,50 15,36 23,45 0,30 3,09 DÚCTIL

B2-4 0,33 14,29 33,06 15,82 35,41 0,57 3,71 DÚCTIL

Na tabela acima, Pcr é a carga de fissuração de acordo com o ACI 318R-99, Pu é a carga última (máxima) resistida pela seção armada de acordo com o ACI 318R-99, δcr é o deslocamento vertical no meio do vão correspondente à carga de fissuração e δu é o deslocamento vertical no meio do vão correspondente à carga última. Com relação ao tipo de colapso, todas as vigas se comportaram de acordo com o previsto.

A Tabela 6.5 mostra uma comparação entre os valores teóricos e experimentais de carga de fissuração e carga última, além da taxa mínima “experimental” de armadura. Essa taxa “experimental” foi obtida calculando-se a

145

armadura necessária para que a carga última resistida pela seção armada fosse igual à carga de fissuração experimental.

Tabela 6.5 – Comparação de valores teóricos e experimentais

Código da viga Pcr, exp / Pcr, teor Pu, exp / Pu, teor ρmin (%)

A1-1 1,12 1,12 -----

A1-2 1,23 1,03 0,13

A1-3 0,99 1,00 0,10

A1-4 1,03 1,01 0,11

A2-1 0,84 0,84 -----

A2-3 0,94 0,99 0,09

B1-2 0,97 1,23 0,14

B1-3 1,22 1,13 0,18

B1-4 0,91 1,09 0,14

B2-1 0,80 0,80 -----

B2-3 1,08 1,04 0,15

B2-4 1,11 1,07 0,15

A Fig. 6.16 mostra uma comparação das curvas experimentais da série A1, onde podem ser claramente observados todos os comportamentos esquematizados na Fig. 6.1. Para essa série, a taxa mínima de armadura resultou igual a 0,11 %.

A Fig. 6.17 mostra as curvas experimentais da série B1, cuja taxa mínima de armadura resultou em 0,15 %, superior portanto às vigas de mesmas dimensões da série A1. Isso ratifica o fato de que a taxa mínima de armadura de flexão tende a aumentar com a resistência à compressão do concreto.

A Fig. 6.18 mostra as curvas experimentais da série B2. A taxa mínima de armadura para esta série resultou igual a 0,15 %, mesmo valor da série B1.

146

0,0

2,0

4,0

6,0

8,0

10,0

12,0

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5

δ (mm)

P (k

N)

Série A1fc = 34,5 MPa

ρ = 0,0 %

ρ = 0,08 %

ρ = 0,11 %

ρ = 0,15 %min

ρ = 0,11 %

Fig. 6.16 - Curvas carga x deslocamento das vigas da série A1

0,0

5,0

10,0

15,0

20,0

25,0

30,0

35,0

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5

δ (mm)

P (k

N)

Série B1fc = 72,2 MPa

ρ = 0,11 %

ρ = 0,26 %

ρ = 0,44 %

minρ = 0,15 %

Fig. 6.17 - Curvas carga x deslocamento das vigas da série B1

147

0,0

5,0

10,0

15,0

20,0

25,0

30,0

35,0

40,0

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5

δ (mm)

P (k

N)

Série B2fc = 72,2 MPa

ρ = 0,0 %

ρ = 0,22 %

ρ = 0,33 %

minρ = 0,15 %

Fig. 6.18 - Curvas carga x deslocamento das vigas da série B2

Tomando como exemplo as vigas da série A, pode-se observar uma redução de cerca de 22% no valor da taxa mínima de armadura com um aumento de 33% na altura da viga, como mostrado na Fig. 6.19 (os valores indicados na figura são os valores médios para cada série). Essa redução está diretamente relacionada ao efeito de escala na resistência à tração na flexão (módulo de ruptura). De fato, para as vigas não-armadas de tamanho maior (série 2), as cargas nominais de fissuração experimentais resultaram 16% e 20% inferiores às teóricas, para as vigas com um concreto de 34,5 MPa e 72,2 MPa, respectivamente.

Na Fig. 6.20 podem-se notar as diferenças de comportamento com o aumento do tamanho da viga, para uma mesma taxa de armadura.

É importante salientar que o número de ensaios realizados e as alturas de vigas utilizadas (150 e 200 mm) são insuficientes para traçar conclusões definitivas sobre o assunto. Para distinguir de forma mais clara o efeito de escala, seria necessário uma variação maior na altura das vigas ensaiadas, o que não foi possível na presente investigação.

148

0,05

0,06

0,07

0,08

0,09

0,10

0,11

0,12

0 50 100 150 200 250

h (mm)

min

(%

)

Série Afc = 34,5 M Pa

Fig. 6.19 - Variação da taxa mínima de armadura com o tamanho da viga

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0 14,0 16,0 18,0

δ / δcr

P / P

cr

Série Afc = 34,5 MPaρ = 0,08 %

h = 120 mm

h = 150 mm

Fig. 6.20 - Variação do comportamento com a altura da viga

As Fig. 6.21 e 6.22 ilustram as diferenças entre as taxas mínimas de armadura previstas por diversas normas e pelas expressões dos modelos de

h = 120 mm

h = 150 mm

149

fraturamento apresentadas no item 6.3. No entanto, há de se convir que os motivos que regem a fixação de valores mínimos nem sempre são os mesmos para as diferentes normas.

0.10%

0.10%

0.11%

0.21%

0.20%

0.19%

0.20%

0.09%

0.0% 0.1% 0.2% 0.3%

Carpinteri

Hawkins

Ruiz

ACI 318R-99

NS 3473E-92

CAN A23.3-94

NBR-6118/2001

Experimental

ρmin

Fig. 6.21 - Valores teóricos e experimentais de ρmin – série A2

0.22%

0.15%

0.17%

0.30%

0.30%

0.27%

0.42%

0.15%

0.0% 0.1% 0.2% 0.3% 0.4% 0.5%

Carpinteri

Hawkins

Ruiz

ACI 318R-99

NS 3473E-92

CAN A23.3-94

NBR-6118/2001

Experimental

ρmin

Fig. 6.22 - Valores teóricos e experimentais de ρmin – série B2

fc = 34,5 MPa

fc = 72,2 MPa

150

Pode-se observar que as diversas normas produziram em geral valores bem acima dos experimentais. Nesse aspecto, a presente investigação ratifica o excessivo conservadorismo do Projeto de Revisão da NBR-6118 para o caso de concretos de resistência mais elevada (Fig. 6.22). Para concretos convencionais (Fig. 6.21), os valores previstos pelas diversas normas são similares entre si, apresentando uma adequada margem de segurança. Por outro lado, os modelos de fraturamento produziram em geral valores precisos para ambas as classes de concreto investigadas. Além disso, tais modelos são capazes de prever o efeito de escala na taxa mínima de armadura de flexão.

O presente capítulo discorreu sobre os possíveis comportamentos de vigas levemente armadas e apresentou várias expressões de normas e modelos de fraturamento para a determinação da quantidade mínima de armadura de flexão. Foi descrita em detalhes uma investigação experimental conduzida no Laboratório de Estruturas e Fundações da Escola Politécnica da USP para a avaliação do efeito de escala na taxa mínima de armadura. Os resultados mostraram que os modelos de fraturamento são capazes de capturar este efeito.

151

LOCALIZAÇÃO DE DEFORMAÇÕES NO COLAPSO POR

COMPRESSÃO

77

7.1 INTRODUÇÃO

Devido à sua composição heterogênea, o concreto contêm várias imperfeições, tais como poros, vazios e microfissuras, mesmo antes da atuação do carregamento externo. Sob a atuação deste, as microfissuras se propagam e novas são formadas. Após a carga máxima, a capacidade resistente do material diminui gradativamente com o aumento das deformações. Esse fenômeno é denominado amolecimento de deformações, e ocorre quando as microfissuras coalecem e formam uma zona de dano localizada, enfraquecendo o material de tal forma que sua capacidade de carga é reduzida. Deformações adicionais na zona de dano enfraquecem ainda mais o material, continuando o processo de amolecimento. O desenvolvimento de macrofissuras gera um colapso localizado no concreto. Devido a esse processo de localização de deformações, o comportamento do concreto se torna bastante sensível às propriedades estruturais, como o tamanho e a forma do corpo-de-prova.

152

A recente evolução das ferramentas computacionais para a análise não-linear de estruturas de concreto impulsionou o interesse pelo conhecimento da curva completa tensão x deformação, incluindo o ramo pós-pico dessa curva, o qual deve ser incluído na equação constitutiva do material para a correta descrição do processo de fissuração e fraturamento. Além disso, o entendimento do fenômeno de localização de deformações é fundamental para a determinação do efeito de escala na resposta à flexão de vigas de concreto armado. A questão da capacidade de deformação plástica (ductilidade) é particularmente importante devido à desejável redistribuição de momentos fletores em peças de concreto armado. Os modelos que levam em conta o fenômeno de localização de deformações são capazes de capturar a redução da capacidade de deformação plástica com o aumento do tamanho da peça.

Fenômenos de localização de deformações pós-pico só podem ser capturados com a utilização de uma máquina de ensaio suficientemente robusta e que permita o controle do ensaio por meio do deslocamento axial do corpo-de-prova. Além disso, no caso de concretos de alto desempenho com um comportamento muito frágil, muitas vezes ocorre o fenômento de snap-back, no qual tanto a carga quanto o deslocamento axial diminuem logo após o pico. Nessa situação, outro tipo de controle deve ser utilizado, como por exemplo a deformação circunferencial do corpo-de-prova, a qual aumenta de forma contínua com o tempo. Esse tipo de controle foi introduzido por Shah; Gokoz; Ansari (1981) e depois utilizado por outros pesquisadores (Dahl; Brincker, 1989); (Taerwe, 1993); (Markeset, 1994).

Além da localização de deformações, outro fator que influencia significativamente o comportamento pós-pico do concreto sob compressão uniaxial é o grau de confinamento existente entre os pratos de aplicação de carga e as faces do corpo-de-prova (Kotsovos, 1983); (Vonk et al., 1989); (Choi et al., 1996). Esses trabalhos mostraram que o efeito de confinamento das regiões do corpo-de-prova em contato com os pratos de ensaio desloca o ramo pós-pico da curva tensão x deformação para cima, de tal forma que essa parte da curva não pode ser caracterizada como uma propriedade do material e sim como uma propriedade estrutural do conjunto. Como consequência, hoje sabe-se que o

153

comportamento pós-pico do concreto submetido a compressão uniaxial é influenciado tanto pelo tamanho do corpo-de-prova como por efeitos de confinamento nas extremidades do mesmo (Vonk, 1992); (van Vliet; van Mier, 1996); (van Mier, 1997). Esse aspectos são importantes no que diz respeito à aplicação prática dos conceitos aqui tratados, como por exemplo na análise de vigas de concreto armado, uma vez que, historicamente, a curva tensão x deformação do concreto sob compressão uniaxial é considerada representativa do comportamento da zona comprimida da seção transversal de uma viga.

7.2 COMPORTAMENTO PRÉ-PICO DO CONCRETO À COMPRESSÃO

O comportamento mecânico do concreto está intimamente relacionado à sua estrutura interna e às mudanças que podem ocorrer nessa estrutura. Como a estrutura interna do concreto é bastante complexa, é vantajoso subdividí-la em um número limitado de fases, as quais podem ser entendidas como materiais também compostos. Zaitsev; Wittmann (1981) introduziram a idéia de três níveis de observação e modelagem relacionados a fases distintas, a saber: micro, meso e macro. Esses três níveis estão representados na Fig. 7.1.

Fig. 7.1 - Diferentes níveis do concreto de acordo com Zaitsev; Wittmann (1981): (a) nível micro, (b) nível meso e (c) nível macro

A análise de um fenômeno num nível mais baixo fornece subsídios para o entendimento e a modelagem de fenômenos num nível superior.

(a) (b) (c)

154

O nível micro leva em conta os processos físicos e químicos em um nível molecular na pasta de cimento endurecida, a qual por si só é bastante heterogênea (Fig. 7.1a). No nível meso, contempla-se o comportamento da estrutura complexa do concreto, um compósito constituído de agregados, vazios e microfissuras mergulhados em uma matriz de pasta de cimento endurecida (Fig. 7.1b). Já o nível macro considera um material homogêneo cujo comportamento é descrito por leis fenomenológicas simples, as quais são concebidas para aplicação à engenharia estrutural (Fig. 7.1c).

Para estabelecer um modelo realista capaz de simular o colapso do concreto à compressão, é importante o entendimento dos mecanismos de fraturamento do material. O conhecimento de como as zonas de danificação evoluem antes do colapso final ajuda a explicar os efeitos observados no comportamento global de uma peça de concreto. Um exemplo disso são os efeitos de confinamento e de escala na curva tensão x deformação do material.

Quando um corpo-de-prova de concreto é solicitado à compressão, a curva de resposta tensão x deformação da Fig. 7.2 é obtida.

Fig. 7.2 - Curva tensão x deformação do concreto sob compressão

Tipicamente, pode ser observado um ramo ascendente seguido de um pico que é comumente denominado resistência à compressão do concreto, e finalmente um ramo descendente denominado ramo de amolecimento. A parte

Deformaçãoaxial

fc

Ei

Ramo de amolecimento

σ

ε

0,3 fc

Deformação transversal

155

inicial da curva é aproximadamente linear (até cerca de 30% da tensão de pico), e a inclinação desse trecho denota o módulo de elasticidade tangente na origem.

O processo de fraturamento do concreto sob compressão uni- e multiaxial é um complicado processo tridimensional de propagação de fissuras internas. Diversos mecanismos atuantes no nível meso do concreto conduzem a um comportamento macroscópico não linear. Na região pré-pico da curva tensão x deformação a energia dissipada por tais mecanismos é pequena em comparação com a energia total armazenada no corpo-de-prova, permitindo tratar o material como um contínuo. Na região pós-pico, entretanto, os efeitos geométricos e a interação do corpo-de-prova com a máquina de ensaio tornam-se importantes, e a utilização da “deformação” como propriedade do material não é mais possível (van Mier, 1998).

7.2.1 Microfissuração e mecanismos de dano

Embora a parte inicial da curva tensão x deformação mostrada na Fig. 7.2 seja aparentemente linear, medições detalhadas têm mostrado que uma leve curvatura está presente desde o início do carregamento (van Mier, 1986). A explicação para essa curvatura inicial é que a microfissuração ocorre na microestrutura logo que o carregamento externo é aplicado, e além disso, como já mencionado, o material já apresenta vazios e microfissuras mesmo antes da aplicação do carregamento externo. De fato, concentrações de tensão existem ao redor de qualquer tipo de heterogeneidade na estrutura do material. Uma explicação plausível dos processos que ocorrem ao redor de uma partícula de agregado está ilustrada na Fig. 7.3 (van Mier, 1997). A figura mostra uma partícula rígida de agregado embutida numa matriz de argamassa menos rígida. Duas fissuras de interface estão presentes, devidas por exemplo à retração diferencial. Por causa da diferença entre os coeficientes de Poisson da argamassa e do agregado, as regiões da matriz de argamassa logo acima e logo abaixo da partícula de agregado ficam confinadas, ou seja, um estado de compressão triaxial se desenvolve nessas regiões. Baseado na Fig. 7.3, pode-se identificar qualitativamente uma sequência de mecanismos de fraturamento. De início

156

existem as fissuras de aderência, provavelmente nucleadas durante a fase de endurecimento do concreto. Em seguida, dependendo do fluxo de pasta ao longo da partícula de agregado, as fissuras de aderência ficam submetidas a esforços laterais de tração e se propagam. A propagação dessas fissuras cessa quando as regiões cônicas solicitadas triaxialmente são atingidas, e o processo de danificação só pode ser continuado por meio da nucleação e propagação de fissuras na matriz de argamassa. A existência dessas regiões cônicas acima e abaixo das partículas de agregado foi observada experimentalmente (Fig. 7.3).

Fig. 7.3 - Tensões atuantes ao redor de uma partícula de agregado embutido em uma matriz de argamassa (van Mier, 1997)

Evidentemente, interações entre as partículas de agregado devem ocorrer. As forças de tração ao redor dessas partículas são supostas responsáveis pelo início do processo de fraturamento. Ensaios realizados por Wischers; Lusche apud van Mier (1997) em discos de material fotoelástico para simular a interação entre as partículas de agregado indicam claramente uma concentração de tensões nos pontos de contato entre os discos (Fig. 7.4), fato que suporta o mecanismo idealizado.

agregado

matriz

tração

fissuras iniciais

fluxo depasta

região confinada

157

O módulo de elasticidade tangente inicial do concreto depende das rigidezes e volumes relativos das suas fases constituintes. A quantidade de agregado, argamassa, zona de transição agregado-pasta e o volume de poros são os principais fatores determinantes do módulo de elasticidade do concreto. Com a propagação de fissuras isoladas, a rigidez global do concreto é gradualmente reduzida. Essa redução é maior quando o número de microfissuras aumenta, ou quando as fissuras individuais aumentam de tamanho. É importante notar que também ocorrem mecanismos que previnem a propagação descontrolada de fissuras no material. Por exemplo, uma fissura pode ter sua propagação interrompida quando atinge um poro ou vazio na massa de concreto. Tais efeitos conduzem a uma propagação estável de fissuras no ramo pré-pico. Além disso, a não linearidade da curva tensão x deformação pré-pico é menor quando as rigidezes do agregado, da pasta e da zona de transição têm a mesma ordem de grandeza, ou ainda quando a quantidade de poros e vazios é reduzida. Esta é uma característica típica do concreto de alto desempenho.

Fig. 7.4 - Resultado de ensaio em discos de material fotoelástico para simular a interação entre as partículas de agregado (Wischers; Lusche apud van Mier, 1997)

Shah; Sankar (1987) ensaiaram uma série de corpos-de-prova cilíndricos de concreto à compressão uniaxial em uma máquina de ensaios servo-controlada (ensaio de malha fechada). Os corpos-de-prova tinham 75 mm de largura e 150 mm de altura e uma resistência à compressão de cerca de 30 MPa. Esses pesquisadores monitoraram o panorama de fissuração interna do material nas direções transversal e longitudinal utilizando técnicas petrográficas. Os corpos-

158

de-prova foram carregados até níveis de tensão pré-determinados e em seguida descarregados. Várias fatias de cerca de 12 mm de espessura foram cortadas da região central de cada corpo-de-prova para análise em microscópio (ampliação máxima de 40x) após tratamento com tinta especial para permitir a observação das microfissuras. Os panoramas de fissuração obtidos para diversas etapas de carregamento estão mostrados na Fig. 7.5. Os resultados indicaram que a extensão da fissuração até cerca de 83% da carga máxima é essencialmente limitada a fissuras na interface agregado-pasta (Fig. 7.5a). Para esse nível de carga, as fissuras de interface (fissuras de aderência) são distribuídas uniformemente tanto na direção transversal como na longitudinal. Quando a tensão aplicada aumenta continuamente, algumas dessas fissuras de interface se juntam e formam macrofissuras contínuas que podem ser notadas na Fig. 7.5b,c. A partir de um certo ponto na região pós-pico, a fissuração volta a ser uniforme e extensa em ambas as direções (Fig. 7.5d).

Baseado nessas observações experimentais, o processo de fraturamento de um corpo-de-prova de concreto submetido a compressão uniaxial pode ser esquematizado como na Fig. 7.6. A curva tensão x deformação pode ser dividida em várias etapas. Inicialmente, a tensão aumenta de forma aproximadamente linear com a deformação. As microfissuras começam a abrir no ponto A, a cerca de 30% da tensão máxima. As fissuras de aderência agregado-pasta começam a se propagar no ponto B, a aproximadamente 50% da tensão máxima. Essas fissuras de aderência, que são inicialmente isoladas e distribuídas uniformemente em todo o corpo-de-prova, se propagam em diferentes direções baseadas na forma dos agregados. Quando a tensão atinge cerca de 80% da tensão máxima, as fissuras de aderência invadem a matriz de argamassa a começam a formar várias fissuras principais na direção do carregamento aplicado (ponto C). Essas fissuras principais crescem de forma estável até o atingimento da tensão máxima no ponto D. Desse ponto em diante, as fissuras são propagadas automaticamente mesmo com a diminuição da tensão (ramo de amolecimento), até o fraturamento final do corpo-de-prova.

159

Fig. 7.5 - Panoramas de fissuração de corpo-de-prova cilíndricos a diversos níveis de tensão: (a) 83% da tensão máxima, (b) tensão máxima, (c) 93% da tensão máxima no ramo pós-pico,

(d) 81% da tensão máxima no ramo pós-pico (Shah; Sankar, 1987)

(a)

(b)

Fatia transversal Fatia longitudinal


Fissuras contínuas

Fissuras de aderência

160

Fig. 7.5 - Panoramas de fissuração de corpo-de-prova cilíndricos a diversos níveis de tensão: (a) 83% da tensão máxima, (b) tensão máxima, (c) 93% da tensão máxima no ramo pós-pico,

(d) 81% da tensão máxima no ramo pós-pico (Shah; Sankar, 1987) (Contin.)

(c)


(d)


Macrofissuras localizadas

Fissuração intensa e distribuída

161

Fig. 7.6 - Estágios de fissuração no concreto sob compressão uniaxial

Pode-se então concluir que o fenômento de localização de deformações tem início logo antes da tensão de pico e se estende até um certo ponto no ramo pós-pico. A partir daí, o processo de danificação do material aumenta e a deformação volta a ser distribuída, uma vez que a zona de dano cresce e passa a englobar praticamente todo o corpo-de-prova.

7.2.2 Efeito da direção do carregamento

Como citado anteriormente, a microfissuração inicial pode ocorrer devido à retração diferencial, acúmulo de água sob os agregados e segregação durante a compactação. Como conseqüência, camadas frágeis se desenvolvem preferencialmente sob as partículas maiores de agregado, o que leva a diferentes valores de rigidez do corpo-de-prova quando a direção do carregamento é alterada em relação à direção de moldagem, uma vez que a orientação dessas camadas frágeis afetará sem dúvida o mecanismo de colapso. Na Fig. 7.7 são mostradas curvas tensão x deformação sob compressão uniaxial para um concreto de resistência média. As diferenças observadas na rigidez inicial são devidas à orientação das microfissuras iniciais em relação à direção do carregamento. Outra diferença que pode ser notada no ramo pré-pico é uma curvatura mais acentuada quando o carregamento é aplicado paralelamente à direção de moldagem, fato que sugere uma propagação mais lenta de fissuras nesse caso.

fc

Ten

são

Deformação

A

B

C

D

Fissuras desprezíveis

Abertura de fissuras de aderência

Propagação de fissuras na matriz

Início da localização de deformações

162

Fig. 7.7 - Efeito da direção de moldagem em relação à direção de aplicação da carga em um corpo-de-prova submetido a compressão uniaxial

Essas diferenças podem ser explicadas pelo mecanismo hipotetizado na Fig. 7.8 (van Mier, 1997).

Fig. 7.8 - Mecanismos hipotéticos responsáveis pela anisotropia inicial do concreto (van Mier, 1997)

50

40

30

20

10

00 2 4 6 8

σ (MPa)

ε (‰)

perpendicularparalelo

Influência da direçãodo carregamento

Dano inicial

Direção demoldagem

Dano inicial

Direção de moldagem

Agregadosmaiores

Direção decarregamento

Fissuras devidasao carregamento

Direção de carregamento

Fissuras devidas ao carregamento

(a) Paralelo (b) Perpendicular

163

Quando o carregamento é aplicado paralelamente à direção de moldagem, a orientação das microfissuras iniciais é bastante desfavorável à sua propagação. Por outro lado, quando a carga é aplicada perpendicularmente à direção de moldagem, as fissuras são orientadas de forma mais favorável à sua propagação, a qual ocorre mais rapidamente, em especial quando a tensão máxima é atingida. A situação muda sensivelmente quando agregados de baixa resistência e rigidez são usados, como no caso do concreto com agregados leves (concreto leve). Nesse caso, as fissuras tendem a atravessar as partículas de agregado de forma parecida com o que ocorre num ensaio de compressão diametral. No concreto de alto desempenho uma parte das fissuras também tende a atravessar os agregados, devido às diferenças entre as rigidezes e resistências entre os agregados e a matriz de argamassa serem relativamente pequenas.

7.3 COMPORTAMENTO PÓS-PICO DO CONCRETO À COMPRESSÃO

Como já destacado, quando um deslocamento uniforme é aplicado às faces superior e inferior de um corpo-de-prova pequeno (escala usual de laboratório) de concreto, nota-se uma gradual diminuição da capacidade de carga após o atingimento da carga máxima. Esta redução gradual da carga com o aumento do deslocamento aplicado é representada pelo ramo de amolecimento da curva carga-deslocamento. A área sob esta curva está associada com a quantidade de energia necessária para a ruptura total do corpo-de-prova (energia de fraturamento). Até a carga máxima, o comportamento não-linear do material é devido a um processo de microfissuração, alternando para um processo severo de abertura de macrofissuras após a carga de pico.

van Mier (1984, 1986) foi um dos primeiros pesquisadores a estudar experimentalmente de forma detalhada o comportamento de corpos-de-prova de concreto submetidos a compressão uniaxial e a compressão triaxial. Nesses experimentos, foram utilizados corpos-de-prova cúbicos de 100 mm de lado e prismáticos com seção transversal de 100 mm x 100 mm e altura variável (relação de esbeltez L/d = 0,5, 1,0 e 2,0), a fim de determinar o efeito do tamanho do

164

corpo-de-prova e das condições de contorno do ensaio no diagrama tensão x deformação do concreto. Os resultados para determinação da resistência à compressão de corpos-de-prova de alturas diferentes mostraram dois comportamentos distintos, dependendo das condições de contorno do ensaio. No caso de pratos de compressão rígidos (ou não lubrificados), a resistência à compressão aumentou com a redução da altura do corpo-de-prova, enquanto que com a utilização de pratos de compressão flexíveis o valor da resistência à compressão se manteve constante independentemente do tamanho do corpo-de-prova. Nos ensaios de van Mier foi utilizado um tipo flexível de prato metálico de aplicação de carga denominado de “escova”, mostrado na Fig. 7.9. Cada “cerda” da escova tem uma seção tranversal de 5 mm x 5 mm e um comprimento efetivo de 85 mm. Esse tipo de dispositivo reduz a restrição à deformação lateral das extremidades do corpo-de-prova, porém não a elimina completamente. A influência das condições de contorno será discutida com mais detalhes mais adiante.

Fig. 7.9 - Exemplo de prato de aplicação de carga do tipo “escova” (van Mier, 1984)

Na Fig. 7.10 são comparadas as curvas tensão x deformação obtidas para os diferentes tamanhos de corpos-de-prova. Pode-se notar claramente que a

“Cerdas” metálicas (5x5 mm)

Corpo-de-prova

Atuador da máquina

85 m

m

165

diminuição da altura do corpo-de-prova resulta num aumento da ductilidade, ou seja, numa menor inclinação do ramo descendente da curva tensão x deformação, enquanto que na região pré-pico as curvas são praticamente idênticas, independentemente do tamanho do corpo-de-prova.

Fig. 7.10 - Influência do tamanho do corpo-de-prova na curva tensão x deformação do concreto sob compressão uniaxial (van Mier, 1984)

Os experimentos de van Mier indicaram que tanto o tamanho do corpo-de-prova quanto as tensões na região de aplicação da carga (topo e base do corpo-de-prova) têm uma notável influência sobre a curva completa tensão x deformação e que o fraturamento do concreto sob compressão é um fenômeno altamente localizado (van Mier, 1997).

7.3.1 Influência das condições de contorno

Quando pratos metálicos rígidos e não lubrificados são utilizados para aplicação de carga em um corpo-de-prova de concreto, a deformação lateral do corpo-de-prova nas regiões em contato com os pratos da máquina de ensaio é restringida. Em conseqüência disso, tensões de cisalhamento atuam entre o corpo-de-prova e o prato de aplicação de carga e causam um estado de tensões triaxial nas extremidades do corpo-de-prova. Essa situação é similar àquela encontrada nas regiões acima e abaixo das partículas de agregado mostrada na Fig. 7.3. Uma situação bem diferente ocorre quando pratos de aplicação de carga

Ten

são

Deformação

L = 50 mm

L = 100 mm L = 200 mm

166

flexíveis ou dispositivos redutores de atrito são utilizados. Nesse caso, a influência das condições de contorno na curva tensão x deformação do concreto pode ser bastante reduzida. Naturalmente que nenhum sistema de aplicação de carga pode ser qualificado como o sistema “perfeito”. O sistema “perfeito” seria composto de um tipo de prato de compressão que tivesse exatamente a mesma deformação lateral do corpo-de-prova ao longo de todo o ensaio. Isto implicaria no fato de que somente pratos de compressão fabricados com o mesmo concreto do corpo-de-prova poderiam eliminar o confinamento nas extremidades do mesmo. Na verdade, essa é a medida tomada na prática: uma relação de esbeltez mínima é padronizada para os corpos-de-prova, reduzindo dessa forma o tamanho relativo das zonas afetadas pelas condições de contorno.

Kotsovos (1983) investigou experimentalmente o efeito do tipo de sistema de aplicação de carga na curva de resposta de concretos de resistências à compressão baixa e média. Os corpos-de-prova eram cilíndricos com uma relação de esbeltez de 2,5. Os resultados obtidos estão mostrados na Fig. 7.11. Kotsovos utilizou os seguintes dispositivos (em ordem decrescente de confinamento nas extremidades): pratos metálicos rígidos, “escovas” metálicas, camadas de neoprene entre o corpo-de-prova e os pratos de aplicação de carga, e camadas de MGA (um material redutor de atrito de alta performance). Como pode ser observado na Fig. 7.11, para ambos os concretos investigados o comportamento pré-pico não foi influenciado pelo tipo de dispositivo utilizado. No entanto, após a carga de pico as curvas resultaram mais íngremes à medida que o atrito nas extremidades do corpo-de-prova foi sendo reduzido. Isso levou Kotsovos a conlcuir que a melhor descrição do comportamento pós-pico do concreto sob compressão uniaxial seria um modelo puramente frágil, com um esgotamento total e imediato da capacidade resistente ao ser atingida a carga de pico. Parece óbvio que tal conclusão é exageradamente radical (Smith et al., 1989). Além disso, existem indicações de que os materiais anti-atrito utilizados por Kotsovos podem ter exercido um efeito inverso ao confinamento nas extremidades, gerando ao invés disso tensões de tração nessas regiões e precipitando o colapso do corpo-de-prova. De qualquer forma, esses resultados tiveram bastante relevância por revelar a influência das condições de contorno na curva tensão x deformação do

167

concreto comprimido. A influência das condições de contorno foi confirmada posteriormente em outras investigações (Vonk et al., 1989); (Choi et al., 1996).

Fig. 7.11 - Curvas normalizadas carga x deslocamento para várias condições de contorno e duas classes diferentes de concreto (Kotsovos, 1983)

A partir do exposto, pode-se concluir que a ductilidade do corpo-de-prova certamente muda de acordo com o tipo de dispositivo de aplicação de carga utilizado, enquanto que o valor da resistência à compressão não varia para corpos-de-prova com esbeltez mínima de aproximadamente 2,0 (altura igual a duas vezes a dimensão característica da seção transversal do corpo-de-prova).

7.3.2 Proposta para ensaio padronizado de compressão uniaxial

Dada a importância dos fenômenos anteriormente citados, em 1993 o comitê TC 148-SSC da RILEM promoveu um amplo programa experimental contando com a participação de dez universidades dos seguintes países: Estados Unidos, Holanda, Alemanha, Grécia, Austrália, Noruega, Itália, Inglaterra e França. Esse programa teve como principal objetivo o desenvolvimento de um método de ensaio padrão confiável para a determinação do diagrama completo tensão x deformação do concreto sob compressão uniaxial, incluindo o ramo de amolecimento (RILEM, 1997).

P/PU

δ/δU 0,5 1,0 1,5 2,0 2,50

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

0

1

23

4

fc = 29 MPa

P/PU

δ/δU 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

0

fc = 50 MPa

1

23

4

pratos rígidos “escovas” neoprene MGA

168

Como resultado, foi constatado que os principais parâmetros que influenciam o ramo de amolecimento do concreto comprimido são os seguintes:

composição do concreto;

forma e tamanho do corpo-de-prova (esbeltez);

condições de atrito entre os pratos de aplicação de carga e o corpo-de-prova;

tipo de sinal de resposta obtido no ensaio;

rigidez da máquina de ensaio.

A resistência característica à compressão dos concretos ensaiados variou entre 43 MPa e 109 MPa, incluindo, portanto, tanto concretos convencionais quanto concretos de alto desempenho.

Foram ensaiados corpos-de-prova cilíndricos e prismáticos, de acordo com a prática corrente em cada país. A dimensão característica padrão da seção transversal adotada foi de 100 mm, e a faixa de esbeltez (relação entre altura e dimensão padrão da seção transversal) variou de 0,25 até 4,0.

Quanto ao atrito entre a superfície do corpo-de-prova e os pratos de aplicação de carga, foram adotadas duas opções. A primeira foi a utilização de pratos metálicos rígidos, enquanto que a segunda consistiu na utilização de dispositivos redutores de atrito, especialmente camadas simples ou duplas de teflon e graxa entre os pratos de aplicação de carga e o corpo-de-prova, sendo que a espessura da camada de teflon variou de um laboratório para outro. É importante salientar que a aplicação de graxa em excesso pode gerar resultados não confiáveis, devido às tensões de tração que surgem em decorrência do deslocamento lateral diferenciado entre o prato de aplicação de carga e o corpo-de-prova. Esse efeito é contrário ao efeito da utilização de pratos metálicos rígidos, que ocasionam um estado triaxial de tensões nas zonas extremas do corpo-de-prova, como mostrado na Fig. 7.12.

169

Fig. 7.12 - Influência das diferentes condições de atrito entre os pratos de aplicação de carga e as extremidades do corpo-de-prova (RILEM, 1997)

O tipo de sinal de retorno padrão adotado para controlar o ensaio foi a deformação axial do corpo-de-prova. No entanto, para corpos-de-prova de concreto de alto desempenho, algumas vezes esse tipo de controle não consegue manter a estabilidade do ensaio durante o ramo de amolecimento, devido à ocorrência do fenômeno de snap-back, ou seja, tanto a carga quanto a deformação axial diminuem continuamente com o tempo. Nesse caso, foram utilizados outros tipos de sinais de resposta para controlar o ensaio, como por exemplo uma combinação de carga axial e deformação axial ou a deformação circunferencial, no caso de corpos-de-prova cilíndricos. Esse último sistema foi utilizado pela primeira vez por Shah et al. (1981) para a obtenção da curva completa tensão x deformação de concretos de alto desempenho sob compressão uniaxial, sendo também utilizado com sucesso por outros pesquisadores, como por exemplo Jansen (1996). Outros utilizaram ainda uma combinação de deformação axial e expansão circunferencial (Glavind; Stang, 1991).

Em relação à rigidez da máquina de ensaio, os participantes desse programa foram orientados a medir a rigidez axial da máquina utlizada para os

Zonas de confinamento

triaxial

Graxa em excesso

σ

σ

τ

τ

Pratos rígidos

σ

σ

τ

τ

170

ensaios, porém poucos efetuaram essa medição, tornando impossível uma avaliação da influência de tal parâmetro.

Os resultados confirmaram que a resistência à compressão obtida depende do atrito entre os pratos de carga e o corpo-de-prova. No caso de pratos metálicos rígidos, a resistência aumentou com a diminuição da esbeltez do corpo-de-prova. Essa redução cessou quando a esbeltez ultrapassou o valor L/d = 2,5. Quando foram utilizados dispositivos redutores de atrito, a resistência apresentou um valor praticamente constante, independente do tamanho do corpo-de-prova. Como já explicado, a variação de resistência no caso de pratos metálicos rígidos é causada pela restrição ao deslocamento lateral do corpo-de-prova imposta pelos pratos, os quais apresentam rigidez muito maior. As zonas confinadas abrangem quase todo o corpo-de-prova no caso de pequena esbeltez, enquanto que nos corpos-de-prova de maior esbeltez as áreas não confinadas ocupam a maior parte, como pode ser notado na Fig. 7.13. Essa diferença faz com que os corpos-de-prova menores apresentem uma resistência superior, uma vez que a resistência à compressão sob um estado triaxial de tensões é mais elevada do que aquela sob um estado uniaxial de tensões.

Fig. 7.13 - Zonas confinadas devido às forças de atrito entre o corpo-de-prova e os pratos de aplicação de carga (RILEM, 1997)

A Fig. 7.14 mostra os resultados obtidos por uma das instituições que fizeram parte do programa experimental (van Vliet; van Mier, 1996), em termos de tensão máxima e a correspondente deformação. As Fig. 7.14a e b comprovam

σ

σ

τ

τ

σ

σ

τ

τ

σ

σ

τ

τ

σ

σ

τ

τ

171

claramente o aumento da tensão de pico com a redução da altura do corpo-de-prova quando pratos metálicos rígidos são utilizados. Isso é observado tanto para o concreto de média como para o de alta resistência. Quando uma fina camada de teflon (da ordem de 0,2 mm) é utilizada para reduzir o atrito nas extremidades do corpo-de-prova, a tensão máxima independe da esbeltez do mesmo. As deformações correspondentes à tensão máxima seguem a mesma tendência, como mostrado nas Fig. 7.14c e d. De forma semelhante, a deformação na tensão máxima se mantém inalterada quando a camada de teflon á utilizada, enquanto que a utilização de pratos metálicos rígidos leva a uma redução da deformação com o aumento da esbeltez do corpo-de-prova. Os resultados das investigações das outras instituições participantes do programa apresentaram as mesmas tendências.

Fig. 7.14 - Tensões máximas e correspondentes deformações para duas condições de contorno e classes de concreto diferentes (van Vliet; van Mier, 1996)

sem tefloncom teflon

concreto de resistência média Tensão máxima (MPa)

Esbeltez (L/d)

150

1,5

100

50

0 0 1,0 0,5 2,0 2,5

(a)

sem teflon com teflon

concreto de alta resistência Tensão máxima (MPa)

Esbeltez (L/d)

150

1,5

100

50

0 0 1,0 0,5 2,0 2,5

(b)

sem tefloncom teflon

concreto de resistência média Deformação no pico (‰)

Esbeltez (L/d)

16

1,5

12

8

0 0 1,0 0,5 2,0 2,5

(c)

4

sem teflon com teflon

concreto de alta resistência Deformação no pico (‰)

Esbeltez (L/d)

16

1,5

12

8

0 0 1,0 0,5 2,0 2,5

(d)

4

172

Tendo em vista todos esses resultados, parece tomar força a idéia de que a curva tensão x deformação completa do concreto sob compressão é um comportamento estrutural, e não uma propriedade inequívoca do material. Tudo parece depender das condições sob as quais o ensaio é realizado, em especial o tipo de prato de aplicação de carga utilizado. Vonk (1992) mostrou também que a curva tensão x deformação é afetada pelo grau de rotação dos pratos de aplicação de carga.

Baseado no conjunto dos resultados obtidos, o comitê TC 148-SSC da RILEM elaborou uma recomendação de ensaio padronizado para medir a curva tensão x deformação do concreto sob compressão uniaxial, incluindo o ramo pós-pico (RILEM, 2000). O esquema de ensaio está mostrado na Fig. 7.15. A idéia do procedimento sugerido é obter resultados consistentes e com a menor variabilidade possível.

Fig. 7.15 - Recomendação de ensaio padrão para a determinação da curva completa tensão x deformação do concreto sob compressão uniaxial (RILEM, 2000)

L/d = 2 d = 100 mm

L

d

concreto

aço

teflon (100 µm) (duas camadas)

graxa (50 µm)

L

d(a) (b)

173

7.3.3 Influência da altura do corpo-de-prova (efeito de escala)

Os ensaios de van Mier (1984) com corpos-de-prova de diferentes alturas (Fig. 7.10) revelaram pela primeira vez a influência do esbeltez do corpo-de-prova no comportamento pós-pico à compressão (efeito de escala). No entanto, os corpos-de-prova utilizados tinham alturas bastante reduzidas (L/d = 0,5, 1,0 e 2,0) e algum efeito das condições de contorno também estava presente e se confundia com o efeito de escala. Vonk (1992) mostrou que as diferenças nas curvas tensão x deformação obtidas por van Mier resultaram devido não só ao efeito de escala mas também à influência das condições de contorno para os corpos-de-prova menos esbeltos, e acrescentou que a utilização de camadas de teflon para reduzir o atrito nas extremidades do corpo-de-prova reduz tal influência, porém não a elimina completamente. Para tornar desprezível a influência das condições de contorno e avaliar com maior precisão o efeito de escala, são necessários corpos-de-prova com esbeltez maior ou igual a 2,0. A Fig. 7.16 mostra a influência da altura do corpo-de-prova no ramo pós-pico da curva tensão x deformação para um concreto com resistência à compressão de 108 MPa (Markeset, 1994). Os corpos-de-prova tinham um diâmetro de 100 mm e alturas de 200, 300 e 400 mm. As relações de esbeltez utilizadas foram, portanto, L/d = 2,0, 3,0 e 4,0. Pode ser observado um comportamento pós-pico mais frágil com o aumento da altura do corpo-de-prova.

A influência da esbeltez no comportamento pós-pico foi investigada por Rokugo; Koyanagi (1992) utilizando corpos-de-prova prismáticos de concreto simples, concreto com fibras e argamassa. A seção transversal dos corpos-de-prova tinha dimensões de 75 x 75 mm e as relações de esbeltez adotadas foram L/d = 1,0, 2,0, 4,0 e 6,0. Os resultados relativos à menor esbeltez (L/d = 1,0) são inúteis para a avaliação do efeito de escala devido à ausência de dispositivos redutores de atrito na região de contato do corpo-de-prova com a máquina de ensaio (pratos de aplicação de carga rígidos e sem lubrificação foram utilizados). As curvas tensão x deformação para os corpos-de-prova de concreto simples estão mostradas na Fig. 7.17, evidenciando mais uma vez o efeito de escala.

174

Fig. 7.16 - Influência da altura do corpo-de-prova na curva tensão x deformação de um concreto com resistência à compressão de 108 MPa (Markeset, 1994)

Fig. 7.17 - Curvas tensão x deformação para corpos-de-prova de concreto com diferentes alturas (Rokugo; Koyanagi, 1992)

Rokugo; Koyanagi observaram ao final dos ensaios a típica zona de dano ilustrada na Fig. 7.18 e reportaram, para o concreto simples, o comprimento dessa zona como tendo um valor constante igual a cerca de 2,0 a 2,5 vezes a

Ten

são

(MP

a)

Deformação (‰)

100

120

80

0

60

40

20

0 1 2 3 4

L = 400 mm300 mm 200 mm

20

40

0 2 4 6

Deformação (‰)

Ten

são

(MP

a)

L/d = 2

L/d = 4

L/d = 6

L/d = 1

175

dimensão característica da seção transversal ao final dos ensaios. Outros pesquisadores também indicaram valores similares (Kotsovos, 1983); (Markeset, 1994); (Jansen, 1996); (Jansen; Shah, 1997). No entanto, algumas pesquisas indicam que essa zona é menor durante os primeiros estágios de localização, atingindo os valores previamente citados somente após o fraturamento completo do corpo-de-prova (Taerwe, 1993); (Aulia, 2000). Assim sendo, para a modelagem efetuada no Capítulo 8, é considerada uma zona de dano com um comprimento igual a 1,5 vezes a dimensão característica da seção transversal do corpo-de-prova.

Fig. 7.18 - Zona de dano típica observada em ensaios de compressão uniaxial (Rokugo; Koyanagi, 1992)

Jansen (1996) ensaiou corpos-de-prova cilíndricos de concreto com tamanhos diferentes (taxas de esbeltez L/d = 2,0, 2,5, 3,5, 4,5 e 5,5). As curvas tensão x deformação normalizadas obtidas para os corpos-de-prova de concreto de resistência média (50 MPa) e alta (90 MPa) estão mostradas nas Fig. 7.19 e 7.20, respectivamente. Como visto nessas figuras, fica claro que o ramo descendente se torna mais íngreme com o aumento da esbeltez do corpo-de-prova.

Para o caso do concreto de alta resistência, pode ser observado o chamado comportamento snap-back (inclinação negativa do ramo pós-pico), o que significa que os corpos-de-prova maiores não poderiam ser ensaiados sob carga ou deslocamento controlado, sendo necessário que o ensaio seja controlado por

Zon

a de

dan

o

Zon

a d

e da

no

Zon

a d

e d

ano

Argamassa Concreto simples Concreto com fibras

176

meio de um sinal adequado de retorno para assegurar um ramo descendente estável. Tal sinal de retorno poderia ser, por exemplo, a deformação circunferencial do corpo-de-prova, a qual é sempre crescente com o tempo.

fc = 50 MPa

00.10.20.30.40.50.60.70.80.9

1

0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008

Deformação (mm/mm)

Ten

são

/ T

ensã

o M

áxim

a L/d = 2.0

L/d = 2.5

L/d = 3.5

L/d = 4.5

L/d = 5.5

Fig. 7.19 - Curvas tensão x deformação para um concreto de resistência média (Jansen, 1996)

fc = 90 MPa

00.10.20.30.40.50.60.70.80.9

1

0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008

Deformação (mm/mm)

Ten

são

/ T

ensã

o M

áxim

a L/d = 2.0

L/d = 2.5

L/d = 3.5

L/d = 4.5

L/d = 5.5

Fig. 7.20 - Curvas tensão x deformação para um concreto de alta resistência (Jansen, 1996)

177

As figuras mostram também que os corpos-de-prova de concreto de alta resistência atingem um valor maior de deformação no ponto de máxima tensão. Por outro lado, as deformações pós-pico são substancialmente menores para o concreto de alta resistência, denotando um menor grau de ductilidade desse material em relação ao concreto convencional.

7.3.4 Influência de gradientes de deformação

Várias investigações podem ser encontradas na literatura com o objetivo de avaliar a influência de gradientes de deformação ao longo da seção transversal na curva tensão x deformação do concreto comprimido. Essa é a situação, por exemplo, de uma viga de concreto armado sob flexão. Nesse caso, é usual admitir que a curva tensão x deformação obtida em ensaios de compressão uniaxial seja representativa da zona comprimida de uma viga fletida. No entanto, os resultados de algumas investigações são contraditórios, sendo então relevante discutir brevemente esse efeito.

Na verdade, em peças sob compressão excêntrica ou flexão dois mecanismos estão presentes no que diz respeito à curva tensão x deformação das fibras comprimidas, a saber: um gradiente de deformações ao longo da altura da seção e diferentes taxas de deformação das fibras.

Rüsch (1960) sugeriu que as diferenças nas curvas tensão x deformação do concreto sob compressão uniaxial e compressão excêntrica eram devidas exclusivamente às diferentes taxas de deformação das fibras ao longo da altura da peça. Considerando a hipótese de seções planas permanecerem planas após a deformação, a taxa de deformação é diretamente proporcional à distância até a linha neutra, ou seja, as fibras mais próximas da face superior comprimida apresentam maiores taxas de deformação do que as fibras mais próximas da linha neutra. O resultado é basicamente uma elevação da tensão máxima em comparação com aquela obtida em ensaios de compressão uniaxial.

178

Por outro lado, na presença de um gradiente de deformações, as fibras comprimidas da seção transversal são submetidas a diferentes níveis de solicitação. Como conseqüência, a deformação lateral da fibra extrema de compressão é parcialmente restringida pelas fibras menos solicitadas. Isso leva a um certo grau de confinamento na fibra extrema, gerando uma elevação da tensão máxima e deformação correspondente nas fibras extremas.

Sturman et al. (1965) foram alguns dos primeiros pesquisadores a estudar experimentalmente a influência de gradientes de deformação na curva tensão x deformação. Eles ensaiaram prismas de concreto com dimensões de 152,4 x 152,4 x 584,2 mm com resistência à compressão de cerca de 26 MPa, variando o grau de excentricidade da carga axial aplicada. Suas principais conclusões foram que para as vigas de tamanho usual (com gradientes de deformação similares àqueles impostos nos ensaios) o comportamento do concreto na zona comprimida difere daquele obtido em ensaios de compressão uniaxial. Eles observaram um aumento de 20% na tensão máxima e 50% na deformação correspondente à tensão máxima em relação aos valores da curva uniaxial. Nota-se que um efeito conjunto de gradientes de deformação e diferentes taxas de deformação foram responsáveis por esse aumento, uma vez que esses dois efeitos não foram avaliados de forma isolada.

Por outro lado, algumas investigações realizadas com o intuito de avaliar o efeito do gradiente de deformações isoladamente, mantendo a mesma taxa de deformação para todas as fibras da seção transversal, indicaram que as deformações tendem a crescer devido à presença de gradientes de deformação, especialmente no ramo pós-pico, enquanto que a variação da tensão máxima pode ser desprezível (Clarke et al., 1967); (Ghosh; Handa, 1970); (Karsan; Jirsa, 1970). Essas investigações indicaram que, na ausência de diferentes taxas de deformação, a influência de gradientes de deformação na região pré-pico é muito pequena, tornando-se porém significativa após a tensão máxima.

Meyer (1996) realizou uma série de ensaios em prismas de concreto de diferentes tamanhos sob compressão excêntrica. A razão entre a altura e a largura dos corpos-de-prova foi mantida constante, isto é, a taxa de esbeltez permaneceu

179

inalterada, porém os mesmos tinham tamanhos diferentes. Os corpos-de-prova ensaiados eram supostos representativos da zona comprimida de uma viga sob flexão pura. Foram ensaiados concretos com três diferentes resistências a compressão, a saber: 25, 35 e 60 MPa. Os ensaios foram controlados pela deformação, medida por meio de dois LVDTs, da fibra mais comprimida do corpo-de-prova. Quando a carga atingia metade da carga máxima no ramo pós-pico, o ensaio era finalizado. Os resultados experimentais mostraram que a capacidade de deformação do concreto comprimido é levemente reduzida com o aumento do tamanho do corpo-de-prova e com a elevação da resistência à compressão.

Markeset (1996a) conduziu ensaios de prismas de concreto de alta resistência (85 MPa de resistência à compressão) sob compressão excêntrica. O grau de excentricidade variou entre h/18 e h/6, onde h é a largura do corpo-de-prova. Os ensaios foram controlados pela deformação da fibra mais comprimida e finalizados imediatamente após o atingimento da carga máxima.

Markeset concluiu que o gradiente de deformações (somado às diferentes taxas de deformação das fibras) afeta tanto a resistência quanto a ductilidade. Como já mencionado, a deformação lateral da fibra mais comprimida é resistida pela fibra imediatamente adjacente, a qual está menos solicitada, o que leva a um certo grau de confinamento da fibra extrema, elevando a tensão e a deformação últimas. Foi observado o modo típico de colapso ilustrado na Fig. 7.21. A razão entre o comprimento e a profundidade da zona de dano no colapso variou entre 4,3 e 5,5.

Nos experimentos de Markeset, os valores da tensão máxima e da deformação correspondente tiveram que ser aumentados em cerca de 5% a 8% em relação àqueles determinados em ensaios de compressão uniaxial, de forma a obter curvas teóricas carga-deformação de acordo com as determinadas experimentalmente. É importante lembrar que o concreto de alto desempenho apresenta uma deformação lateral menor do que aquela dos concretos convencionais, sendo portanto menos suscetível ao confinamento exercido pelas

180

fibras menos solicitadas. Isso explica a menor influência de gradientes de deformação na curva tensão x deformação do concreto de alto desempenho.

Fig. 7.21 - Modo típico de colapso de prismas de concreto sob compressão excêntrica (Markeset, 1996a)

7.4 MODELOS DE LOCALIZAÇÃO DE DEFORMAÇÕES NA COMPRESSÃO

Quando são eliminados os efeitos de confinamento nas extremidades do corpo-de-prova, o efeito de escala no ramo pós-pico da curva tensão x deformação é devido exclusivamente ao fenômento de localização de deformações. Como no caso do fraturamento por tração, o colapso por compressão também apresenta esse fenômento, com a danificação sendo localizada numa região denominada de zona de dano, ou simplesmente zona de dano. No entanto, essa zona de dano não está concentrada numa região de tamanho desprezível (uma linha) como no caso de tração. Ao invés disso, essa zona se estende a uma determinada fração do comprimento do corpo-de-prova, e pode até mesmo englobar todo o corpo-de-prova para corpos-de-prova muito curtos.

Zona de dano

LD / dD = 4,3 a 5,5 LD

dD

L

Pe

181

Tanto na tração como na compressão, é natural admitir que as deformações localizam de maneira gradual, como mostrado na Fig. 7.22a. Porém, as dificuldades para implementar essa localização gradual levaram a critérios de localização simplificados como os mostrados nas Fig. 7.22b e c, representando localização em uma banda finita (Bažant; Oh, 1983) ou em uma linha (Hillerborg et al., 1976).

Fig. 7.22 - Critérios de localização de deformações: (a) localização gradual, (b) localização em uma banda, (c) localização em uma linha (Elfgren, 1989)

A idéia essencial é que o amolecimento do material ocorre em uma região de dano localizado, enquanto que o material fora dessa zona é descarregado. Um modelo de fraturamento completo deve então estabelecer: comportamento fora da zona de dano, comportamento dentro da zona de dano e o critério de localização.

Para compressão, alguns pesquisadores adotaram o modelo de localização em uma banda (Bažant, 1989b); (Markeset, 1993); (Markeset; Hillerborg, 1995); (Borges et al., 2002) e outros em uma linha (Hillerborg, 1989); (Hillerborg, 1991); (Jansen, 1996) para modelar o comportamento global do corpo-de-prova. A principal razão da consideração do modelo de linha é que esse tipo de abordagem não exige o conhecimento do tamanho da zona de dano, contanto que a mesma seja menor do que o tamanho do corpo-de-prova. Entretanto, a localização em uma linha é uma hipótese não realista, uma vez que uma zona finita de dano é claramente observada nos ensaios (ver Fig. 7.18).

(a) (b) (c)

182

Outro aspecto da modelagem do comportamento global do corpo-de-prova está relacionado à consideração do tipo de descarregamento adotado para o material fora da zona de dano. van Mier (1984) calculou o deslocamento pós-pico (suposto independente do tamanho do corpo-de-prova) subtraindo do deslocamento total o deslocamento correspondente à carga máxima do ensaio, de acordo com a Fig. 7.23. Segundo esse modelo de localização, não há descarregamento fora da zona de dano do corpo-de-prova.

Fig. 7.23 - Modelo de localização sem descarregamento fora da zona de dano

Para as reduzidas relações de esbeltez adotadas (L/d = 0,5, 1,0 e 2,0) e concreto de resistência normal, van Mier concluiu que os resultados obtidos estavam de acordo com a descrição mostrada na Fig. 7.23. No entanto, os resultados de van Mier foram influenciados não só pelo tamanho do corpo-de-prova mas também pelas condições de contorno. Além disso, esse método de modelagem da resposta pós-pico não é adequado para concretos de alta resistência e/ou corpos-de-prova com altas relações de esbeltez, uma vez que não consegue capturar o fenômeno de snap-back (redução simultânea da carga e do deslocamento) que pode ocorrer em tais casos.

Um outro tipo de modelagem foi adotado por Rokugo; Koyanagi (1992), no qual é considerado um descarregamento elástico não-linear fora da zona de dano, como mostrado na Fig. 7.24. Esse modelo foi utilizado por eles para prever o efeito do tamanho do corpo-de-prova no comportamento pós-pico, bem como para calcular a energia de fraturamento do concreto na compressão uniaxial.

fc

δ0 δ

δpost

δ δpost = δ – δ0

σ

183

Dahl; Brincker (1989) também utilizaram tal abordagem para calcular a energia de fraturamento na compressão para o concreto de alta resistência. Esse tipo de modelagem possui a desvantagem de não considerar a energia dissipada na microfissuração do concreto até a tensão máxima.

Fig. 7.24 - Modelo de localização sem consideração da energia dissipada até o pico

O modelo de localização proposto na presente tese utiliza o conceito de localização em uma banda e descarregamento linear das regiões não danificadas. O modelo está detalhadamente apresentado no Capítulo 8.

Neste capítulo foi efetuada uma descrição do comportamento do concreto à compressão, incluindo os ramos pré- e pós-pico da curva tensão x deformação. A influência das condições de contorno, do tamanho do corpo-de-prova e de gradientes de deformação foi destacada, e uma proposta recente de ensaio para obtenção da curva completa tensão x deformação foi apresentada. Além disso, foram brevemente mostradas algumas abordagens da literatura para a modelagem da localização de deformações na compressão.

fc

δ0 δ

δ

δpost = δ – δpre

σ

δpre δpost

184

MODELO DE FRATURAMENTO PROPOSTO PARA O

CONCRETO COMPRIMIDO

88

8.1 INTRODUÇÃO

Um dos objetivos principais dessa tese é o desenvolvimento e a implementação de um modelo de localização de deformações para o concreto comprimido, com o intuito de simular o efeito de escala no comportamento pós-pico. Os conceitos básicos desse modelo são baseados nos conceitos do Modelo da Fissura Fictícia (Hillerborg et al., 1976) para carregamento de tração. Entretanto, no modelo de Hillerborg et al. todo o processo de danificação é considerado concentrado em uma única fissura (uma zona de dano de comprimento infinitesimal), o que é uma boa aproximação para o caso de tração, porém, como discutido no Capítulo 7, na compressão o processo de danificação é mais distribuído, ocupando uma zona de tamanho finito. Na verdade, Hillerborg (1988) aplicou o conceito de localização de deformações de acordo com o modelo da fissura fictícia para calcular a capacidade de rotação plástica de uma

185

viga de concreto armado. Ele considerou que a zona comprimida de uma viga sob flexão apresenta o mesmo comportamento de corpos-de-prova sob compressão uniaxial do ponto de vista da localização de deformações pós-pico. Bažant (1989b) sugeriu um modelo de acoplamento em série para simular o efeito de escala na tração uniaxial. Nesse modelo, a curva tensão x deformação de uma região finita de dano é considerada uma propriedade do material. O modelo de localização desenvolvido no presente capítulo também considera essa hipótese.

8.2 DESCRIÇÃO DO MODELO

Para ilustrar o modelo de localização aqui proposto, considere-se o corpo-de-prova relativamente esbelto da Fig. 8.1. Na ausência da influência das condições de contorno, a deformação longitudinal pode ser considerada uniforme ao longo de todo o corpo-de-prova até a carga de pico. O modelo é formulado admitindo-se o desenvolvimento de uma zona localizada de dano quando a tensão máxima é atingida, de tal forma que a partir do pico todo o processo de danificação e amolecimento se concentra na zona de dano, enquanto que nas regiões fora dessa zona o material é descarregado linearmente, com uma inclinação igual ao módulo tangente na origem.

Após o pico, o deslocamento total do corpo-de-prova é obtido pela soma dos deslocamentos dentro e fora da zona de dano. Isso significa que os comportamentos pós-pico da zona de dano e da zona de descarregamento podem ser separados e tratados de forma independente.

Na Fig. 8.1, a área WU sob a curva de descarregamento é a energia dissipada por volume do material carregado até o pico e então descarregado. Essa área corresponde à energia consumida na microfissuração do concreto até a tensão máxima. A energia adicional dissipada na zona de dano devido ao processo de fraturamento é aqui denominada WDC, e corresponde à energia de fraturamento por volume da zona de dano, considerada como uma propriedade do material. Alguns pesquisadores calcularam a energia de fraturamento do concreto na compressão por unidade de área (equivalente a multiplicar WDC pelo

186

comprimento da zona de dano) e encontraram valores crescentes com o aumento do tamanho do corpo-de-prova (Dahl; Brincker, 1989); (Vonk, 1992). Isso não causa surpresa, pois na compressão a energia de fraturamento por unidade de área só é constante para corpos-de-prova com o mesmo diâmetro (mesma dimensão característica da seção transversal), uma vez que o comprimento da zona de dano é suposto diretamente proporcional ao diâmetro do corpo-de-prova.

Fig. 8.1 - Modelo proposto para localização de deformações na compressão uniaxial

8.3 ESTIMATIVA DO TAMANHO DA ZONA DE DANO

É necessário então adotar um valor para o comprimento da zona de dano ou tentar estimá-lo por meio de observações visuais do corpo-de-prova na carga de pico ou no colapso. Como visto no capítulo anterior, alguns pesquisadores apresentaram valores variando de 2,0 a 2,5 vezes o diâmetro do corpo-de-prova ao final dos ensaios, baseados em observações visuais (Rokugo; Koyanagi, 1992);

L LD

σ

σ

σ

σ

ε

ε

E1

fc

fc

ε0

εD

εu

εu Área WDC

Área WU

Área WU

187

(Jansen, 1996). Outros sugeriram que essa zona é menor durante a etapa mais relevante da localização, atingindo os valores previamente citados somente após a ruptura completa do corpo-de-prova (Taerwe, 1993); (Aulia, 2000). Essa hipótese parece ser validada por observações experimentais da distribuição interna de fissuras ao longo da altura do corpo-de-prova antes e após a carga de pico, feitas por meio do fatiamento transversal dos corpos-de-prova e posterior análise em microscópio (Shah; Sankar, 1987).

Na presente tese, o comprimento LD da zona de dano é tomado igual a 1,5 vezes o diâmetro do corpo-de-prova durante o processo de localização de deformações.

A seguir, o modelo proposto é detalhado e um roteiro passo-a-passo para o cálculo da deformação global pós-pico do corpo-de-prova é apresentado.

8.4 FORMULAÇÃO DO MODELO

O comportamento do corpo-de-prova como um todo é dado pela composição das curvas relativas às zonas de descarregamento e de dano. Esse procedimento é mostrado esquematicamente na Fig. 8.2 (ver também Fig. 8.1).

Para qualquer corpo-de-prova contendo uma zona de dano, o deslocamento pós-pico do mesmo é dado por:

DDu LLL ε+ε=ε=δ (8.1)

onde ε é a deformação média global do corpo-de-prova medida nos ensaios, εu é a deformação relativa à zona de descarregamento, L é a altura do corpo-de-prova, LD é o comprimento da zona de dano e εD é a deformação inelástica adicional da zona de dano, a qual é considerada o parâmetro característico do material introduzido no modelo. Devido à hipótese de que a localização ocorre a partir da tensão máxima, até o pico o corpo-de-prova pode ser tratado como um contínuo e a deformação é considerada uniforme ao longo do mesmo. Para o

188

descarregamento linear adotado, a deformação pós-pico na zona de descarregamento é:

Efc

0uσ−

−ε=ε (8.2)

onde ε0 é a deformação correspondente à carga de pico; fc e E são a resistência à compressão e o módulo de elasticidade inicial do concreto, respectivamente.

Fig. 8.2 - Composição de curvas no modelo de localização proposto

Combinando-se as eq.(8.1) e (8.2), a deformação axial global do corpo-de-prova para L ≥ LD , é dada por:

LL

Ef DDc

0ε

+σ−

−ε=ε (8.3)

fc

ε

σ

ε0

fc

ε = εu + εD LD

σ

L

Comportamento global do corpo-de-prova

fc

εD LD

σ

L

εu εD LD/L

189

Para L < LD, o efeito de escala desaparece e a deformação é dada por:

Dc

0 Ef

ε+σ−

−ε=ε (8.4)

Portanto, conhecendo-se o extensão LD da zona de dano e o parâmetro característico εD do material, obtém-se a curva completa tensão x deformação, cujo efeito de escala está evidenciado no último termo do lado direito da eq.(8.3), o qual depende da altura L do corpo-de-prova. Pode-se notar que a eq.(8.3) prevê deformações pós-pico menores com o aumento da altura do corpo-de-prova, condizente com o que é observado experimentalmente.

8.5 DETERMINAÇÃO EXPERIMENTAL DO PARÂMETRO εD

Para aplicar o modelo de localização formulado, é necessário o conhecimento dos parâmetros LD e εD. Como discutido no item 8.3, o comprimento LD é adotado igual a 1,5 vezes o diâmetro do corpo-de-prova. O parâmetro εD para um dado material pode ser determinado a partir de ensaios de compressão uniaxial onde se deve medir a deformação (ou o encurtamento) do corpo-de-prova ao longo de todo o ensaio, incluindo o ramo pós-pico. A medida deve ser efetuada de extremidade a extremidade do corpo-de-prova.

De acordo com a eq.(8.3), a deformação inelástica pós-pico da zona de dano para um corpo-de-prova contendo uma zona de localização (L ≥ LD) pode ser expressa por:

D

c0D L

L)E

f(

σ−+ε−ε=ε (8.5)

Para o caso no qual a altura do corpo-de-prova é menor do que a extensão adotada para a zona de dano (L ≤ LD), o valor de εD resulta:

190

Efc

0Dσ−

+ε−ε=ε (8.6)

O último caso acima resulta da hipótese que, se todo o corpo-de-prova está sendo danificado, não há localização de deformações e o material pode ser tratado como um contínuo.

Um vez determinado experimentalmente o valor de εD para vários concretos, é desejável estabelecer, se possível, uma relação entre εD e a resistência à compressão fc. Dessa forma, pode-se aplicar o valor de εD para um determinado concreto na eq.(8.3) para simular o efeito de escala na ductilidade pós-pico. Para esse fim, é necessário estabelecer a forma da curva de amolecimento εD-σ da zona de dano. O item seguinte mostra como isso pode ser feito.

8.6 VERIFICAÇÃO DO MODELO

Nessa seção, o modelo formulado é avaliado por meio da sua aplicação a resultados experimentais da literatura com corpos-de-prova de diferentes relações de esbeltez. Com isso, espera-se validar as hipóteses do modelo e ter uma idéia do parâmetro εD para os materiais em questão.

8.6.1 Ensaios de Jansen (1996)

Os conceitos e procedimentos descritos nos itens 8.4 e 8.5 foram aplicados aos resultados de ensaios à compressão uniaxial de corpos-de-prova cilíndricos de concreto de média e alta resistência com relações de esbeltez L/d = 2,0, 2,5, 3,5, 4,5 e 5,5 (Jansen, 1996). Os corpos-de-prova tinham diâmetro de 100 mm e alturas de 200, 250, 350, 450 e 550 mm, respectivamente. Nessa investigação foram utilizados pratos de aplicação de carga rígidos sem nenhuma camada redutora de atrito, o que indica que os resultados dos corpos-de-prova de

191

menor esbeltez (L/d = 2,0) foram influenciados pelas condições de contorno e apresentam um comportamento mais dúctil do que o esperado, sendo portanto descartados da presente verificação.

As curvas tensão x deformação pós-pico da zona de dano calculadas de acordo com a eq.(8.5) são mostradas nas Fig. 8.3 e 8.4, respectivamente. Essas curvas foram obtidas a partir dos resultados de ensaios mostrados nas Fig 7.19 e 7.20, adotando-se LD = 150 mm, ou seja, 1,5 vezes o diâmetro do corpo-de-prova.

Pode ser observado que as curvas são bastante próximas umas das outras, pelo menos até uma tensão de 40% da tensão máxima no ramo pós-pico. Isso indica claramente a presença do fenômeno de localização de deformações, comprovando que a relação tensão x deformação da zona de dano (σ-εD) é a mesma para todos os corpos-de-prova, podendo ser considerada uma propriedade do material. De fato, o coeficiente de variação médio de εD é de apenas 5,9% para os corpos-de-prova de concreto de média resistência e 7,3% para os de concreto de alta resistência, valores esses que são bastante razoáveis face aos valores encontrados em ensaios usuais de resistência, os quais são da ordem de 10%.

Além disso, pode-se perceber claramente pelas Fig. 8.3 e 8.4 que após o pico a tensão cai mais rapidamente no caso concreto de alto desempenho, denotando o comportamento mais frágil desse material.

As curvas tensão x deformação completas σ x ε dos corpos-de-prova com diferentes relações de esbeltez podem então ser calculadas por meio da eq.(8.3), utilizando-se a curva média σ-εD obtida previamente (linhas grossas nas Fig. 8.3 e 8.4). Como mencionado no item 8.5, é necessário adotar uma forma para a curva de amolecimento σ-εD da zona de dano. Algumas análises preliminares indicaram que essa curva é bem representada por uma função racional da forma:

192

σ−

σ+

σ−

=ε2

cc

cD

ffB1

f1A

(8.7)

Para os ensaios de Jansen, as constantes A e B são dadas na Tabela 8.1.

Tabela 8.1 – Valores dos parâmetros de amolecimento para os corpos-de-prova ensaiados por Jansen (1996)

Material fc A B εDC

Concreto simples 50 MPa 0,018 7,272 0,0067


fc = 50 MPa

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0.000 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008

εD (mm/mm)

σ /

fc

L/d = 2,5

L/d = 3,5

L/d = 4,5

L/d = 5,5

Média

Fig. 8.3 - Curvas tensão x deformação pós-pico: corpos-de-prova de resistência média

193

fc = 90 MPa

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0.000 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008

εD (mm/mm)

σ /

fc

L/d = 2,5

L/d = 3,5

L/d = 4,5

L/d = 5,5

Média

Fig. 8.4 - Curvas tensão x deformação pós-pico: corpos-de-prova de alta resistência

As curvas tensão x deformação experimentais (exp) e teóricas (cal) para os corpos-de-prova de concreto de média e alta resistência estão mostradas, respectivamente, nas Fig. 8.5 e 8.6. Como pode ser visto, a concordância entre as curvas é notável.

fc = 50 MPa

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008

ε (mm/mm)

σ /

fc

L/d = 2.5 (exp)

L/d = 2.5 (cal)

L/d = 3.5 (exp)

L/d = 3.5 (cal)

L/d = 4.5 (exp)

L/d = 4.5 (cal)

L/d = 5.5 (exp)

L/d = 5.5 (cal)

Fig. 8.5 - Curvas tensão x deformação para os corpos-de-prova de resistência média

194

fc = 90 MPa

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008

ε (mm/mm)

σ /

fc

L/d = 2.5 (exp)

L/d = 2.5 (cal)

L/d = 3.5 (exp)

L/d = 3.5 (cal)

L/d = 4.5 (exp)

L/d = 4.5 (cal)

L/d = 5.5 (exp)

L/d = 5.5 (cal)

Fig. 8.6 - Curvas tensão x deformação para os corpos-de-prova de alta resistência

A forma racional admitida para a curva σ-εD está mostrada na Fig. 8.7a, com as constantes A e B para os ensaios de Jansen expressas na Tabela 8.1. Para fins de simplificação, entretanto, é evidente que a utilização de uma curva de amolecimento linear como a mostrada na Fig. 8.7b é uma opção interessante, uma vez que apenas um parâmetro (εDC) precisa ser determinado para cada material. O parâmetro característico εDC deve ser entendido como a deformação crítica da zona de dano quando a tensão é anulada no ramo pós-pico.

Fig. 8.7 - Curvas de amolecimento da zona de dano: (a) racional; (b) linear

fc

εD

σ

fc

εD

σ

σ−σ+

σ−

=ε 2

cc

cD

ffB1

f1A

σ−ε=ε

cDCD f

1

εDC

(a) (b)

195

A simulação dos ensaios de Jansen considerando amolecimento linear é mostrada nas Fig. 8.8 e 8.9 para os concretos de média e alta resistência, respectivamente. Como pode ser observado, para fins práticos a curva de amolecimento linear pode ser adotada de forma satisfatória, e o efeito de escala pode ser corretamente captado. Os valores do parâmetro εDC estão expressos na Tabela 8.1.

fc = 50 MPa

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008

ε (mm/mm)

σ /

fc

L/d = 2.5 (exp)

L/d = 2.5 (cal)

L/d = 3.5 (exp)

L/d = 3.5 (cal)

L/d = 4.5 (exp)

L/d = 4.5 (cal)

L/d = 5.5 (exp)

L/d = 5.5 (cal)

Fig. 8.8 - Curvas tensão x deformação teóricas e experimentais para os corpos-de-prova de concreto de resistência média de Jansen – amolecimento linear

196

fc = 90 MPa

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008

ε (mm/mm)

σ /

f c

L/d = 2.5 (exp)

L/d = 2.5 (cal)

L/d = 3.5 (exp)

L/d = 3.5 (cal)

L/d = 4.5 (exp)

L/d = 4.5 (cal)

L/d = 5.5 (exp)

L/d = 5.5 (cal)

Fig. 8.9 - Curvas tensão x deformação teóricas e experimentais para os corpos-de-prova de concreto de alta resistência de Jansen – amolecimento linear

8.6.2 Ensaios de Rokugo e Koyanagi (1992)

O efeito de escala no ramo pós-pico da curva tensão x deformação foi investigado por Rokugo e Koyanagi (1992) por meio de ensaios de corpos-de-prova prismáticos de concreto simples, concreto reforçado com fibras de aço (2% de fibras) e argamassa. A seção transversal dos corpos-de-prova era de 75 x 75 mm e as relações de esbeltez utilizadas foram L/d = 1,0, 2,0, 4,0 e 6,0. Os corpos-de-prova com esbeltez igual a 1,0 não foram analisados aqui, devido à significativa influência das condições de contorno nesse caso (ver Fig. 7.17). Rokugo e Koyanagi não utilizaram nenhum dispositivo redutor de atrito entre os pratos da máquina de ensaios e as extremidades do corpo-de-prova. A base de medida L era 20 mm menor do que a altura do corpo-de-prova.

Nas Fig. 8.10 a 8.12 as curvas geradas pelo modelo, utilizando uma função de amolecimento linear, são comparadas às curvas experimentais para os corpos-de-prova de concreto simples, concreto com fibras e argamassa, respectivamente.

197

Nas Fig. 8.13 a 8.15 as curvas geradas pelo modelo, utilizando uma função de amolecimento racional, são comparadas às curvas experimentais para os corpos-de-prova de concreto simples, concreto com fibras e argamassa, respectivamente.

As figuras evidenciam a notável influência da adição de fibras ao concreto, levando a um comportamento significativamente mais dúctil. O parâmetro εDC é notadamente maior nesse caso, o que pode ser constatado na Tabela 8.2, na qual estão expressos os parâmetros de amolecimento para os ensaios de Rokugo e Koyanagi.

Para esses ensaios, as diferenças entre a utilização de uma curva de amolecimento linear ou racional são pouco significativas, o que indica que a curva linear pode ser adotada em prol da simplicidade.

fc = 40 MPa

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012

ε (mm/mm)

σ /

fc

L/d = 2.0 (exp)L/d = 2.0 (cal)L/d = 4.0 (exp)L/d = 4.0 (cal)L/d = 6.0 (exp)L/d = 6.0 (cal)

Fig. 8.10 - Curvas tensão x deformação teóricas e experimentais para os corpos-de-prova de concreto simples de Rokugo e Koyanagi – amolecimento linear

198

fc = 48 MPa

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012

ε (mm/mm)

σ /

fc


Fig. 8.11 - Curvas tensão x deformação teóricas e experimentais para os corpos-de-prova de concreto com fibras de Rokugo e Koyanagi – amolecimento linear

fc = 65 MPa

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012

ε (mm/mm)

σ /

fc


Fig. 8.12 - Curvas tensão x deformação teóricas e experimentais para os corpos-de-prova de argamassa de Rokugo e Koyanagi – amolecimento linear

199

fc = 40 MPa

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012

ε (mm/mm)

σ /

fc


Fig. 8.13 - Curvas tensão x deformação teóricas e experimentais para os corpos-de-prova de concreto simples de Rokugo e Koyanagi – amolecimento racional

fc = 48 MPa

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012

ε (mm/mm)

σ /

fc


Fig. 8.14 - Curvas tensão x deformação teóricas e experimentais para os corpos-de-prova de concreto com fibras de Rokugo e Koyanagi – amolecimento racional

200

fc = 65 MPa

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012

ε (mm/mm)

σ /

fc


Fig. 8.15 - Curvas tensão x deformação teóricas e experimentais para os corpos-de-prova de argamassa de Rokugo e Koyanagi – amolecimento racional

Tabela 8.2 – Valores dos parâmetros de amolecimento para os corpos-de-prova ensaiados por Rokugo e Koyanagi (1992)

Material fc A B εDC


Concreto com fibras 48 MPa 0,020 1,038 0,0150

Argamassa 65 MPa 0,008 1,046 0,0061

8.6.3 Ensaios de Markeset (1994)

A influência da altura do corpo-de-prova no ramo pós-pico da curva tensão x deformação também foi observada por Markeset (1994) para um concreto de alto desempenho com resistência à compressão da ordem de 100 MPa (ver Fig. 7.16). Os corpos-de-prova tinham um diâmetro de 100 mm e alturas de 200, 300 e 400 mm, resultando em relações de esbeltez L/d = 2,0, 3,0 e 4,0, respectivamente.

201

As curvas geradas pelo modelo são comparadas às determinadas experimentalmente na Fig. 8.16. Nessa simulação, foi utilizada uma curva de amolecimento linear. O valor de εDC está mostrado na Tabela 8.3.

Tabela 8.3 – Valor do parâmetro de amolecimento linear para os corpos-de-prova ensaiados por Markeset (1994)

Material fc εDC

Concreto simples 100 MPa 0,0043

Comparando-se o valor de εDC nas Tabelas 8.1 e 8.3 para os corpos-de-prova com resistências à compressão similares de Jansen (90 MPa) e Markeset (100 MPa), encontram-se os valores 0,0038 e 0,0043, respectivamente, o que indica a validade do parâmetro característico introduzido no modelo.

Haja vista os bons resultados obtidos pelo modelo e a sua capacidade de captar corretamente a redução da ductilidade pós-pico com o aumento do tamanho do corpo-de-prova, o modelo de localização de deformações aqui desenvolvido se mostra uma ferramenta útil e simples para simular o efeito de escala no comportamento pós-pico do concreto comprimido.

202

fc = 100 MPa

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006

ε (mm/mm)

σ /

fc


Fig. 8.16 - Curvas tensão x deformação teóricas e experimentais para os corpos-de-prova de concreto de alta resistência de Markeset – amolecimento linear

8.6.4 Equação empírica para a determinação de εDC

Para as três séries de ensaios analisadas, a variação de εDC com a resistência à compressão está mostrada na Fig. 8.17. A partir desses resultados, os quais abrangem concretos com resistências à compressão variando entre 40 e 100 MPa, a seguinte equação empírica é proposta para a determinação do parâmetro característico εDC do material:

)f012.0(DC

ce0129,0 −=ε (8.8)

A equação proposta prevê um comportamento mais frágil com o aumento da resistência a compressão, de acordo com o observado experimentalmente.

Há de se admitir que esses poucos resultados experimentais utilizados para obter a eq.(8.8) ainda são insuficientes para estabelecer uma equação definitiva, porém até o presente momento essas são as únicas séries de ensaios de corpos-de-prova com diferentes tamanhos voltados à investigação do efeito de escala. À

203

medida que novos resultados experimentais forem sendo divulgados a equação proposta poderá ser melhor avaliada.

εDC = 0.0129 e(-0.012 fc)

0.002

0.003

0.004

0.005

0.006

0.007

0.008

0.009

0.010

20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120

Resistência à compressão fc (MPa)

ε DC

Jansen (1996)

Markeset (1995)

Rokugo e Koyanagi (1992)

Fig. 8.17 - Variação de εDC com a resistência à compressão

8.7 EXTENSÃO DO MODELO A VIGAS ARMADAS SOB FLEXÃO PURA

Nesta seção, o modelo de localização de deformações desenvolvido é aplicado a situações onde há um gradiente de deformações, como é o caso da compressão excêntrica e da flexão.

Assim como no caso de compressão uniaxial, também ocorre localização de deformações na zona comprimida de uma viga de concreto armado sob flexão pura (momento fletor uniforme). Naturalmente, algumas diferenças em relação à solicitação de compressão uniaxial podem ser destacadas, dentre as quais as diferentes taxas de deformação das fibras ao longo da altura da peça e a restrição à deformação lateral das fibras extremas pelas fibras menos solicitadas. Como visto no Capítulo 7, isso gera uma elevação da tensão máxima e da correspondente deformação e uma maior ductilidade pós-pico. Além disso, a

204

presença de armadura de cisalhamento (estribos) provoca um confinamento adicional significativo da zona comprimida. O efeito benéfico dos estribos não é contemplado pelo modelo de localização desenvolvido, devendo ser objeto de futuras investigações.

A concepção de análise e projeto de vigas de concreto armado é permeada pela combinação da mecânica com informações experimentais pertinentes (ver Capítulo 5). Uma das hipóteses da teoria de flexão é a de admitir que a curva tensão x deformação de um corpo-de-prova submetido a compressão uniaxial representa de forma satisfatória o campo de tensões na zona comprimida de uma viga sob flexão. Muito embora seja usual admitir simplificações para a forma do bloco de tensões (por exemplo, o diagrama retangular simplificado), esforços significativos vêm sendo dedicados à obtenção da curva tensão x deformação que melhor represente o estado de tensões na zona comprimida de uma viga. Por exemplo, para levar em conta o comportamento mais frágil do concreto de alto desempenho são introduzidos coeficientes que ajustam o valor da resultante de compressão e a sua posição. Além disso, a análise não-linear de estruturas de concreto pelo Método dos Elementos Finitos exige o conhecimento da curva completa tensão x deformação do material.

8.7.1 Analogia entre a compressão uniaxial e a flexão

Considerando o efeito de escala na curva pós-pico do concreto sob compressão uniaxial (como mostrado no Capítulo 7 e modelado anteriormente neste capítulo), parece razoável traçar uma analogia entre as situações ilustradas nas Fig. 8.18a,b. Se as curvas tensão x deformação mostradas na Fig. 8.18a forem utilizadas para estimar a resposta à flexão de vigas com seções transversais idênticas mas com diferentes comprimentos da região de momento fletor uniforme (isto é, diferentes relações de esbeltez do vão de momento uniforme), diferentes respostas momento-curvatura após o pico são obtidas (Fig. 8.18b), com as vigas mais esbeltas apresentando uma redução na ductilidade pós-pico. É importante lembrar que a curvatura de uma seção transversal é igual à deformação da fibra mais comprimida dividida pela altura da linha neutra, que é

205

usualmente considerada a mesma para vigas com geometria da seção transversal e propriedades materiais semelhantes.

Fig. 8.18 - Analogia do efeito de escala entre a compressão uniaxial e a flexão

8.7.2 Tamanho da zona de dano na flexão

O processo de localização de deformações na zona comprimida de uma viga está ilustrado na Fig. 8.19. Uma das diferenças essenciais em relação à solicitação de compressão uniaxial é o tamanho da zona de dano. Como visto no item 8.3, o comprimento LD da zona de dano nesse caso é proporcional ao diâmetro do corpo-de-prova. No caso de compressão excêntrica e/ou flexão, admite-se que o comprimento LD da zona de dano seja proporcional à profundidade da linha neutra. Essa hipótese também foi sugerida por Hillerborg (1988) e Markeset (1996b). Em uma investigação experimental recente com vigas de diversos tamanhos submetidas a flexão em quatro pontos, Weiss et al. (1999) encontraram experimentalmente um valor de LD igual a quatro vezes a profundidade da linha neutra na carga de pico. Esse valor foi confirmado nos ensaios realizados no âmbito desta tese, como será visto no Capítulo 9.

Tens

ão

Cilindros Vigas

Deformação Curvatura M

omen

to

(a) (b)

206

Além disso, a presença do gradiente de deformações leva a um comportamento mais dúctil, aumentando as deformações pós-pico. Esse aumento da ductilidade se reflete num aumento do tamanho da zona de dano em comparação àquele relativo à compressão uniaxial.

Fig. 8.19 - Localização de deformações em uma viga sob momento uniforme

8.7.3 Hipóteses do modelo na flexão

Os conceitos do modelo de localizações proposto podem então ser estendidos ao vão de momento uniforme considerando-se seções transversais com dois comportamentos distintos (Fig. 8.20).

As hipóteses básicas são as seguintes:

1. Seções planas permanecem planas após a deformação. Isso é suposto válido dentro e fora da zona de dano, logo a deformação na armadura de tração não é constante ao longo do comprimento da região de momento uniforme (aqui denominado vão de momento uniforme).

2. A curva tensão x deformação a ser utilizada na zona de dano é aquela obtida de ensaios à compressão uniaxial, devidamente ajustada para levar em conta a influência de gradientes de deformação, se necessário.

3. O comprimento L sobre o qual a deformação global pós-pico deve ser medida é igual ao vão de momento uniforme.

LD

dD M M

dDd x LD ≈ x

207

4. A deformação global pós-pico no topo da viga (fibra mais comprimida) é dada pela somatória dos deslocamentos dentro e fora da zona de dano, dividida pelo vão de momento uniforme.

5. Para simplificar os cálculos, é adotada para a zona de dano uma curva de amolecimento linear (Fig. 8.7b).

6. A resposta da armadura é considerada elasto-plástica perfeita, isto é, uma curva tensão x deformação bilinear é adotada. Para as seções fora da zona de dano, é adotado um descarregamento linear da armadura de acordo com a Fig. 8.21.

Até a carga de pico, a curva tensão x deformação para o concreto comprimido adotada neste trabalho é a proposta por Carreira; Chu (1984), dada por:

εε

+−β

εε

β

=σ β

0

0c

1

f (8.9)

O parâmetro β é dado por:

)E/f(11

0c ε−=β (8.10)

onde:

fc → resistência à compressão do concreto

ε0 → deformação correspondente à tensão máxima

E → módulo de elasticidade inicial tangente do concreto

208

Fig. 8.20 - Distribuição de tensões e deformações ao longo do vão de momento uniforme

Para as regiões fora da zona de dano, considera-se que o concreto é descarregado linearmente de acordo com a eq.(8.2), enquanto que a armadura é descarregada linearmente com uma inclinação igual ao seu módulo de elasticidade, de acordo com a Fig. 8.21. Isso resulta na seguinte expressão para a tensão pós-pico na armadura nas seções fora da zona de dano:

)(E ypeak,ssss ε+ε−ε=σ (8.11)

onde:

Es → módulo de elasticidade do aço

εy → deformação de escoamento do aço

εs,peak → deformação no aço correspondente à tensão máxima no concreto comprimido

σ fc

ε0 ε

Tensões

εc εc

εs εs

ε ε0

Deformações

σ fc

Zona de dano

Zona de descarregamento

MM

209

Fig. 8.21 - Curva de descarregamento do aço

A resposta pós-pico do concreto dentro da zona de dano é determinada inserindo-se L = LD na eq.(8.3). Combinando-se a curva de amolecimento linear da Fig. 8.7b com a eq.(8.3), a relação tensão x deformação na fibra mais comprimida de uma seção transversal contida na zona de dano pode ser escrita como:

ε

σ−

+ε−ε−=σ

f,DC

LDc0LD

cLDE

f

1f (8.12)

Isolando-se σLD na eq.(8.12), chega-se a:

E1

f

Ef

c

f,DC

c0LDf,DC

LD

−ε

−ε+ε−ε=σ (8.13)

onde:

εDC,f → deformação crítica da zona de dano na flexão

ε0 → deformação correspondente à tensão máxima

εLD = (εu + εD,f) → deformação da fibra mais comprimida na zona de dano

σs

fy

εs εs,peak εy ε

σ

210

σLD → tensão na fibra mais comprimida na zona de dano

Para levar em conta o aumento de ductilidade no ramo pós-pico devido à presença de um gradiente de deformações, o valor da deformação crítica de dano na flexão é tomado igual a duas vezes o valor relativo à compressão uniaxial, ou seja, εDC,f = 2 εDC. Essa modificação está de acordo com os resultados de diversas investigações experimentais sobre a influência de gradientes de deformação na curva tensão x deformação do concreto (ver Capítulo 7, item 7.3.4), os quais indicam que a ductilidade pós-pico na flexão é cerca de duas vezes maior que na compressão uniaxial.

A deformação εL-LD da fibra mais comprimida nas seções fora da zona de dano é determinada pelo atendimento simultâneo das condições de equilíbrio de forças e compatibilidade de deformações, como será visto adiante.

Para um dado momento fletor, a deformação global equivalente na fibra mais comprimida da viga é determinada pela soma dos deslocamentos dentro e fora da zona de dano, dividida pelo vão de momento uniforme LMU. Portanto:

MU

DLDLDLD

L)LL(L −ε+ε

=ε − (8.14)

8.7.4 Modelo numérico

A simulação numérica do comportamento de uma viga submetida a flexão pura é efetuada por meio de um procedimento iterativo da seguinte forma:

Até a carga de pico:

1. Adota-se um valor para a deformação ε da fibra mais comprimida e calcula-se a tensão correspondente por meio da eq.(8.9);

2. Calcula-se iterativamente o valor de εs e x de tal forma que as condições de equilíbrio de forças e compatibilidade de deformações sejam satisfeitas;

211

3. A partir do valor de x ou εs calculado anteriormente, determina-se o valor do momento fletor resistente para o valor de ε adotado;

4. Incrementa-se o valor de ε e procede-se novamente a partir do passo 2, determinando-se outro ponto do diagrama M-ε, e assim por diante, até o atingimento da tensão máxima fc na eq.(8.9).

Após a tensão máxima:

5. Adota-se um valor para a deformação εLD dentro da zona de dano e calcula-se o valor correspondente de σ a partir da eq.(8.13);

6. Calcula-se iterativamente o valor de εs e x de tal forma que as condições de equilíbrio de forças e compatibilidade de deformações dentro da zona de dano sejam satisfeitas;

7. A partir do valor de x ou εs calculado no passo 6, determina-se o valor do momento fletor resistente para o valor de εLD adotado;

8. Para o valor do momento fletor obtido no passo anterior, determina-se de forma iterativa o valor da deformação εL-LD, de tal forma que sejam satisfeitas as condições de equilíbrio de forças e compatibilidade de deformações também fora da zona de dano;

9. Determina-se então pela eq.(8.14) o valor da deformação global equivalente ε correspondente ao momento fletor calculado no passo 7;

10. Incrementa-se o valor de εLD e procede-se novamente a partir do passo 6, determinando-se outro ponto do diagrama M-ε, e assim por diante, até a obtenção do diagrama completo momento-deformação (ou momento-curvatura).

O procedimento iterativo dos passos 2 e 6 são executados por meio da integração numérica do diagrama de tensões na zona comprimida da viga, como esquematicamente ilustrado na Fig. 8.22. A resultante de compressão Fc é calculada pela integração numérica das tensões atuantes nas várias camadas individuais, de tal forma que:

212

∑σ∆=i

ic xbF (8.15)

O índice i refere-se a cada camada de concreto da zona comprimida, como mostrado na Fig. 8.22. A resistência à tração do concreto é desprezada nesse procedimento. O equilíbrio interno é obtido utilizando um procedimento iterativo, com o momento fletor M a cada passo sendo calculado por:

σ

σ+−==

∑

∑

ii

iii

cc

x)xd(FzFM (8.16)

Fig. 8.22 - Subdivisão da seção transversal da viga para integração numérica

No Capítulo 9, são descritos em detalhes a investigação experimental de vigas armadas de concreto de alto desempenho realizada nesta tese, bem como a aplicação do modelo de localizações formulado neste capítulo à simulação numérica do comportamento à flexão das vigas ensaiadas, incluindo o ramo pós-pico.

O presente capítulo apresentou detalhadamente o modelo de fraturamento proposto para a curva tensão x deformação do concreto sob compressão uniaxial. O modelo considera explicitamente o fenômeno de localização de deformações pós-pico, o que leva a curvas tensão x deformação dependentes do tamanho do

d

b

xxi

∆x

Fs

Fc

σc

σi

Camada de concreto no. i

213

corpo-de-prova. A verificação do modelo foi feita por meio da comparação com vários resultados experimentais da literatura, e foi estabelecida uma expressão empírica para o cálculo da deformação crítica de dano em função da resistência à compressão. Finalmente, o modelo foi estendido à zona comprimida de vigas de concreto armado sob flexão pura.

214

INVESTIGAÇÃO EXPERIMENTAL E NUMÉRICA DE VIGAS

ARMADAS DE CONCRETO DE ALTO DESEMPENHO

99

9.1 INTRODUÇÃO

Neste capítulo, o comportamento à flexão de vigas armadas de concreto de alto desempenho é estudado experimentalmente e em seguida simulado numericamente por meio do modelo de localizações proposto. Como o objetivo desses ensaios era estudar a resposta do concreto não confinado sob flexão pura, não foram utilizados estribos nem armadura de compressão ao longo da região de momento fletor uniforme. Dessa forma, o modelo desenvolvido no Capítulo 8 pode ser utilizado para investigar a ocorrência de um efeito de escala na ductilidade das vigas.

A descrição dos materiais utilizados e propriedades geométricas e mecânicas das vigas ensaiadas são apresentados no item 9.2. O arranjo de ensaio e a instrumentação utilizada são apresentados no item 9.3. Os resultados dos ensaios de flexão são apresentados no item 9.4. Os resultados da simulação

215

numérica obtida com a utilização do modelo proposto são apresentados no item 9.5. Os resultados experimentais e numéricos são discutidos no item 9.6.

9.2 DESCRIÇÃO DA INVESTIGAÇÃO EXPERIMENTAL

Doze vigas foram planejadas e moldadas para esta investigação. A dosagem do concreto utilizado teve como objetivo atingir uma resistência à compressão de 80 MPa aos 56 dias de idade, e surpreendentemente a resistência média à compressão resultou em cerca de 110 MPa, o que enriqueceu ainda mais o trabalho, por se tratar de um concreto cujo comportamento numa viga ainda foi muito pouco investigado experimentalmente, especialmente no Brasil. Esta maior resistência deveu-se em parte à ligeiramente mais elevada quantidade de fumo de sílica utilizada do que a inicialmente prevista.

As variáveis dos ensaios de flexão foram o tamanho da viga (três tamanhos diferentes – séries S, M e L), e a taxa de armadura de flexão utilizada (baixa e alta – LR e HR). Para cada combinação única, os ensaios foram duplicados para obter resultados confiáveis, resultando num total de doze vigas. Com essa combinação é possível verificar as diferenças de comportamento entre vigas normalmente armadas (que apresentam um patamar de escoamento mais longo e bem definido) e aquelas com altas taxas de armadura (nas quais o patamar de escoamento é relativamente curto ou até mesmo inexistente). Das doze vigas moldadas, uma foi acidentalmente danificada no transporte da concreteira até o laboratório, restando então onze resultados válidos. As vigas foram dimensionadas de forma a se obter o colapso por flexão seja no Domínio 3, com o escoamento da armadura e posterior esmagamento do concreto comprimido, seja na vizinhança do Domínio 4, com a ruptura brusca da zona comprimida imediatamente após a armadura entrar no escoamento. Para isso, as regiões sujeitas a força cortante foram dimensionadas com uma elevada taxa de estribos de forma a evitar o colapso por cisalhamento. A armadura das vigas está esquematizada nas Fig. 9.1 e 9.2, para as séries HR e LR, respectivamente.

216

Fig. 9.1 - Armadura das vigas da série HR

Vigas HR-S

Vigas HR-M

Vigas HR-L

217

Fig. 9.2 - Armadura das vigas da série LR

Vigas LR-S

Vigas LR-M

Vigas LR-L

218

A Fig. 9.3 ilustra de forma simplificada as armaduras e seções tranversais das vigas ensaiadas, as quais eram todas bi-apoiadas. O cobrimento de concreto na face inferior das vigas foi de 15 mm.

Fig. 9.3 - Armaduras e seções transversais das vigas ensaiadas

Para a determinação das propriedades mecânicas relevantes, foram moldados doze corpos-de-prova cilíndricos de 10 x 20 cm para ensaios de compressão simples e módulo de elasticidade, três corpos-de-prova cilíndricos de 15 x 30 cm para ensaios de compressão diametral e cinco corpos-de-prova prismáticos de 10 x 10 x 40 cm para ensaios de flexão em quatro pontos para a determinação do módulo de ruptura. Os corpos-de-prova cilíndricos foram desmoldados após 24 horas, sendo então mantidos em um tanque de água por 7 dias e posteriormente numa câmara de cura com temperatura de 23 ± 2 ºC e umidade relativa do ar maior ou igual a 95%. Os corpos-de-prova de controle foram ensaiados aos 56 dias de idade. Os corpos-de-prova prismáticos para determinação do módulo de ruptura foram desmoldados após 7 dias, sendo então mantidos ao ar livre cobertos com sacos de aniagem e lonas plásticas, as quais foram molhadas em intervalos regulares. A temperatura ambiente durante a fase

a = 650 mm150 LMU/2

a = 650 mm150 LMU/2

A

A B

B

A

A B

B

CL

CL

100 100

200 200

100 100

200 200

Vigas HR

Vigas LR

LMU = comprimento da ZMU ZMU = zona de momento uniformea = vão de cisalhamento φ 6,3 c/ 10 cm

φ 6,3 c/ 6 cm

2 φ 12,5 mm

4 φ 16,0 mm

219

de cura foi de aproximadamente 30 ºC. Esses corpos-de-prova também foram ensaiados aos 56 dias de idade.

Na Tabela 9.1 está mostrada a dosagem do concreto utilizado e nas Tabelas 9.2 e 9.3 são apresentados, respectivamente, os dados geométricos e mecânicos das vigas e as propriedades mecânicas do aço e do concreto. O desvio padrão e o coeficiente de variação obtidos para os ensaios de controle do concreto estão expressos na Tabela 9.4. Na Tabela 9.2, ρb é a taxa de armadura correspondente ao limite entre os Domínios 3 e 4, calculada utilizando-se o diagrama retangular simplificado da NBR-6118, e a é a distância entre o apoio e a carga concentrada mais próxima, como visto na Fig. 9.3. Na Tabela 9.3 a energia de fraturamento GF de acordo com o CEP-FIP MC90 é dada por:

7,0c

maxd0454,0F )f(e828,2G = (N/mm) (9.1)

onde dmax é o diâmetro máximo do agregado (igual a 19 mm nesta investigação).

Tabela 9.1 – Dosagem utilizada (para 1 m3 de concreto)

fc 110 MPa

Relação água/cimento (a/c) 0,26

Cimento (CP2E-40) (kg) 653,0

Areia artificial (kg) 804,0

Pedrisco (kg) 122,0

Brita 1 (kg) 1105,0

Água (litros) 192,0

Aditivo superplastificante (litros) 5,0

Aditivo mineral (fumo de sílica) (kg) 75,0

Slump obtido (mm) 115,0

O aditivo superplastificante utilizado era da marca MBT tipo Glenium 51 e o fumo de sílica era do tipo amorfa da marca Silmix, utilizado numa proporção de 11,5 % do peso de cimento. O concreto e o superplastificante foram doados

220

pela Engemix S.A., enquanto que o fumo de sílica foi doado pela Camargo Corrêa Cimentos S.A.

Na Tabela 9.3, fc é a resistência à compressão do concreto, Ec é o módulo de elasticidade inicial do concreto, fr é a resistência à tração na flexão (módulo de ruptura) do concreto, fsp é a resistência à tração indireta (compressão diametral) do concreto, GF é a energia de fraturamento do concreto, fy é a tensão de escoamento do aço e Es é o módulo de elasticidade do aço. As normas cujos procedimentos foram utilizados para a medição de fc, Ec, fr e fsp foram, respectivamente, a NBR-5738/94, NBR-8522/84, NBR-12142/92 e NBR-7222/94. Para efeito de comparação, são mostrados na Tabela 9.5 os valores experimentais de Ec, fr e fsp e os valores previstos pelo Projeto de Revisão da NBR-6118/2001 e pelo ACI 363R-92 (ver expressões correspondentes no Capítulo 2, item 2.3). Pode-se observar que a NBR-6118 superestimou os valores de Ec, fr e fsp em 29%, 24% e 47%, respectivamente. Já o ACI 363R-92 forneceu valores adequados para Ec e fsp e superestimou em 24% o valor de fr.

Tabela 9.2 – Geometria e propriedades mecânicas das vigas

Dimensões Taxa de Armadura Viga

b (mm) h (mm) d (mm) a (mm) L (mm) ρ (%) ρ / ρb

HR-L1 100 200 125,2 650 2000 6,67 0,96

HR-L2 100 200 125,2 650 2000 6,67 0,96

HR-M1 100 200 125,2 650 1800 6,67 0,96

HR-M2 100 200 125,2 650 1800 6,67 0,96

HR-S2 100 200 125,2 650 1600 6,67 0,96

LR-L1 100 200 172,3 650 2000 1,42 0,21

LR-L2 100 200 172,3 650 2000 1,42 0,21

LR-M1 100 200 172,3 650 1800 1,42 0,21

LR-M2 100 200 172,3 650 1800 1,42 0,21

LR-S1 100 200 172,3 650 1600 1,42 0,21

LR-S2 100 200 172,3 650 1600 1,42 0,21

221

O aço utilizado tanto para a armadura de flexão como para os estribos foi o CA-50. Para a série HR, foram utilizadas barras de 16,0 mm de diâmetro para a armadura longitudinal de flexão, enquanto que para a série LR barras de 12,5 mm foram utilizadas. O diâmetro dos estribos para todas as vigas foi de 6,3 mm. Nos ensaios de tração uniaxial, todas as barras apresentaram um patamar de escoamento bem definido. A resposta típica das barras de aço nos ensaios de tração uniaxial está mostrada na Fig. 9.4.

Tabela 9.3 – Propriedades mecânicas do concreto e do aço

Viga fc

(MPa) Ec

(MPa)fr

(MPa)fsp

(MPa)GF

(N/m)fy

(MPa) Es

(MPa)

HR-L1 107,5 45021 7,85 5,08 177,0 560 183688

HR-L2 107,5 45021 7,85 5,08 177,0 560 183688

HR-M1 107,5 45021 7,85 5,08 177,0 560 183688

HR-M2 107,5 45021 7,85 5,08 177,0 560 183688

HR-S2 107,5 45021 7,85 5,08 177,0 560 183688

LR-L1 107,5 45021 7,85 5,08 177,0 587 195234

LR-L2 107,5 45021 7,85 5,08 177,0 587 195234

LR-M1 107,5 45021 7,85 5,08 177,0 587 195234

LR-M2 107,5 45021 7,85 5,08 177,0 587 195234

LR-S1 107,5 45021 7,85 5,08 177,0 587 195234

LR-S2 107,5 45021 7,85 5,08 177,0 587 195234

Tabela 9.4 – Desvio padrão e coeficiente de variação das propriedades do concreto utilizado nos ensaios

Propriedade do material

Valor médio (MPa)

Desvio padrão (MPa)

Coeficiente de variação (%)

fc 107,5 6,2 5,8

Ec 45021 3675,2 8,2

fr 7,85 0,4 5,7

fsp 5,08 0,3 5,6

222

Tabela 9.5 – Propriedades do concreto – comparação entre valores experimentais e teóricos

fc = 107,7 MPa Exp. NBR-6118/2001 ACI 363R-92

Ec (MPa) 45021 58055 41319

fr (MPa) 7,85 9,72 9,75

fsp (MPa) 5,08 7,46 5,60

0

20

40

60

80

100

120

140

0 2 4 6 8 10 12 14 16

Deformação (o/oo)

Car

ga (

kN)

Fig. 9.4 - Curvas típicas carga x deformação das barras de aço CA-50 utilizadas

As vigas foram moldadas em uma camada e a compactação foi feita com um vibrador mecânico de imersão. A desforma foi efetuada após 7 dias, mantendo-se então as vigas ao ar livre cobertas com sacos de aniagem e lonas plásticas, as quais foram constantemente molhadas para obter uma boa cura para o concreto. A temperatura ambiente durante a fase de cura foi de aproximadamente 30 ºC. As vigas foram instrumentadas 1 dia antes dos ensaios, os quais foram realizados aos 120 dias de idade.

φ 16,0 mm

φ 12,5 mm

φ 6,3 mm

223

9.3 ARRANJO DE ENSAIO E INSTRUMENTAÇÃO UTILIZADA

O ensaio foi executado por meio de uma máquina digital de ensaios servo-controlada da marca Dartec com capacidade de 250 kN e controlado pelo deslocamento vertical do atuador da máquina a uma taxa de 0,01 mm/s até o atingimento do patamar de escoamento e 0,001 mm/s daí por diante. Dependendo das características mecânicas e geométricas da viga ensaiada, a duração de cada ensaio situou-se entre 3 e 5 horas.

Além dos sinais da célula de carga e do deslocamento vertical do atuador da máquina (stroke), diversos sensores posicionados na região de momento fletor constante foram utilizados para coletar informações sobre o comportamento da viga ensaiada, num total de 23 sinais aquisitados por ensaio. Os sensores foram distribuídos da seguinte forma:

• 9 extensômetros elétricos de resistência (strain gages) com comprimento de 20 mm, colados ao longo da face superior da viga para verificar o fenômeno de localização de deformações no concreto comprimido;

• 3 extensômetros elétricos de resistência (strain gages) com comprimento de 5 mm, colados numa das barras da armadura longitudinal em três pontos distintos;

• 7 LVDT’s (sensores para medição de deslocamentos lineares) fixados na face lateral da viga para medir as deformações ao longo da altura da viga em três seções transversais distintas;

• 1 LVDT posicionado na face superior da viga com base de medida (comprimento inicial) igual ao comprimento da região de momento fletor constante, com o intuito de obter a deformação global da fibra superior;

• 1 LVDT posicionado sob a viga para medir o deslocamento vertical no meio do vão (flecha).

224

Todos os sinais foram aquisitados de forma contínua a uma frequência de 5 Hz por um sistema de aquisição de dados composto de um microcomputador e um condicionador de sinais da marca Lynx tipo ADS2000. O arranjo geral do ensaio bem como o sistema de aquisição de dados estão mostrados na Fig. 9.5. O esquema de instrumentação na região de momento fletor uniforme está mostrado na Fig. 9.6. A Fig. 9.7 apresenta a vista lateral e uma perspectiva da região de momento uniforme com a instrumentação já posicionada, enquanto que a Fig. 9.8 mostra detalhes dos LVDT’s e strain gages utilizados.

Fig. 9.5 - Arranjo geral do ensaio e sistema de aquisição de dados

Aquisição de dados

Corpo-de-prova

Viga de transmissão de carga

Atuador

225

Fig. 9.6 - Esquema de instrumentação na zona de momento uniforme

Fig. 9.7 - Zona de momento uniforme – vista lateral (a) e perspectiva (b)

Vista Superior

Vista Lateral

Vista Geral

Carga Carga

LVDTs (L = 100 mm)

Strain Gages (L = 20 mm)

Variável (mm)300, 500, 700650 650

Carga

(a) (b)

226

Fig. 9.8 - Detalhes dos sensores utilizados

9.4 RESULTADOS EXPERIMENTAIS

Os itens a seguir descrevem aspectos individuais da resposta à flexão das vigas ensaiadas.

9.4.1 Curvas carga x flecha

As Fig. 9.9 a 9.19 mostram as curvas experimentais carga x flecha obtidas para todas as vigas. Pode-se notar claramente o patamar de escoamento nas vigas com taxa de armadura mais baixa (vigas da série LR), enquanto que as vigas com elevada taxa de armadura (vigas da série HR) atingiram a carga última imediatamente após o escoamento da armadura de flexão. De fato, essas vigas tinham uma armadura praticamente “equilibrada” (ρ/ρb = 0,96).

Em alguns casos, no início do ensaio houve problemas na leitura dos valores aquisitados pelo LVDT posicionado sob a viga, como pode ser notado pelas Fig. 9.13, 9.17, 9.18 e 9.19. Isso no entanto não afetou a validade dos resultados, uma vez que essa parte da curva é relevante apenas para a determinação do momento de fissuração da viga e não exerce qualquer influência na ductilidade pós-escoamento (ou pós-pico) da peça.

Strain gages

LVDT’s

227

0

20

40

60

80

100

120

140

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

Deslocamento Vertical (mm)

Car

ga (

kN)

Fig. 9.9 - Curva carga x flecha da viga HR-L1

0

20

40

60

80

100

120

140

0 5 10 15 20 25 30 35 40


Car

ga (

kN)

Fig. 9.10 - Curva carga x flecha da viga HR-L2

228

0

20

40

60

80

100

120

140

0 5 10 15 20 25 30 35 40


Car

ga (

kN)

Fig. 9.11 - Curva carga x flecha da viga HR-M1

0

20

40

60

80

100

120

140

0 5 10 15 20 25 30 35 40


Car

ga (

kN)

Fig. 9.12 - Curva carga x flecha da viga HR-M2

229

0

20

40

60

80

100

120

140

0 5 10 15 20 25 30 35 40


Car

ga (

kN)

Fig. 9.13 - Curva carga x flecha da viga HR-S2

0

10

20

30

40

50

60

70

0 5 10 15 20 25 30 35


Car

ga (

kN)

Fig. 9.14 - Curva carga x flecha da viga LR-L1

230

0

10

20

30

40

50

60

70

0 5 10 15 20 25 30 35


Car

ga (

kN)

Fig. 9.15 - Curva carga x flecha da viga LR-L2

0

10

20

30

40

50

60

70

0 5 10 15 20 25 30 35


Car

ga (

kN)

Fig. 9.16 - Curva carga x flecha da viga LR-M1

Falha no LVDT responsável pela medida do deslocamento

231

0

10

20

30

40

50

60

70

0 5 10 15 20 25 30 35


Car

ga (

kN)

Fig. 9.17 - Curva carga x flecha da viga LR-M2

0

10

20

30

40

50

60

70

0 5 10 15 20 25 30 35


Car

ga (

kN)

Fig. 9.18 - Curva carga x flecha da viga LR-S1

232

0

10

20

30

40

50

60

0 5 10 15 20 25 30 35


Car

ga (

kN)

Fig. 9.19 - Curva carga x flecha da viga LR-S2

Além da inexistência de um patamar de escoamento, as vigas da série HR apresentaram uma menor redução de rigidez em relação às vigas da série LR quando a carga de primeira fissura foi atingida (ver Fig. 9.12 e 9.15). Quando o concreto tracionado fissurou, a perda de rigidez das vigas da série HR foi menos significante devido à alta quantidade de armadura de flexão presente.

9.4.2 Capacidade resistente à flexão

Na Tabela 9.6 estão expressos os valores do momento de fissuração (Mcr), momento de escoamento (My), e momento máximo (Mu). O momento de fissuração corresponde ao ponto onde o trecho inicial da curva carga x flecha muda de inclinação devido à perda de rigidez causada pela fissuração da peça. O momento de escoamento corresponde ao ponto onde a curva carga x flecha se torna significativamente não linear. Nesse ponto, as deformações medidas pelos strain gages na armadura tracionada atingiram um valor de cerca de 3‰, o qual está de acordo com os ensaios de tração uniaxial mostrados na Fig. 9.4.

233

Tabela 9.6 – Valores experimentais de momento fletor

Viga Mcr (kN.m) My (kN.m) Mu (kN.m) Mu / My

HR-L1 ----- 39,74 41,78 1,051

HR-L2 2,44 39,02 41,11 1,054

HR-M1 2,68 34,98 38,61 1,104

HR-M2 2,57 35,65 38,75 1,087

HR-S2 ----- 37,89 41,70 1,101

LR-L1 3,97 19,68 21,16 1,075

LR-L2 2,95 19,74 20,43 1,035

LR-M1 ----- 18,92 19,65 1,039

LR-M2 ----- 18,43 19,52 1,059

LR-S1 ----- 20,00 20,51 1,026

LR-S2 ----- 16,71 17,79 1,065

Como pode ser visto pela Tabela 9.6, os momentos de escoamento e máximos para as vigas de uma mesma série parecem ser independentes do tamanho da zona de momento uniforme. Esse resultado já era esperado, uma vez que o fenômeno de localização de deformações (e o conseqüente efeito de escala) se manifesta somente na região pós-pico, de acordo com as hipóteses do modelo proposto no Capítulo 8. Por outro lado, as diferenças no comportamento pós-pico são evidentes, como será visto adiante neste capítulo.

Para a série HR, os valores médios dos momentos de escoamento e máximo foram, respectivamente, 37,46 e 40,39 kN.m, enquanto que para a série LR esse valores resultaram 18,91 e 19,84 kN.m, respectivamente. Levando em conta todas as vigas, o momento máximo foi de 2,6% a 10,4% superior ao momento de escoamento, com a razão média Mu/My sendo de 1,079 e 1,050 para as séries HR e LR, respectivamente.

234

9.4.3 Índices de ductilidade

A ductilidade de uma viga de concreto é bem representada em termos de flechas. No presente trabalho, são considerados os dois índices de ductilidade distintos introduzidos no item 5.4 (Capítulo 5). Para as vigas da série LR, as quais apresentaram um patamar de escoamento bem definido (comportamento dúctil), o seguinte índice de ductilidade é considerado:

yuLR δδ=µ (9.2)

onde δu é a flecha máxima atingida pela viga e δy é a flecha correspondente ao ponto de início do escoamento da armadura.

Para as vigas da série HR, as quais se comportaram de modo significativamente frágil e sem apresentar um patamar de escoamento bem definido, o seguinte índice de ductilidade é adotado:

y80HR δδ=µ (9.3)

onde δ80 é a flecha correspondente a 80% da carga máxima no ramo pós-pico.

Na Tabela 9.7 estão expressos os índices de ductilidade das vigas ensaiadas. Devido a uma falha no LVDT responsável pela medida do deslocamento vertical da viga LR-M1 (Fig. 9.16), não foi possível a obtenção do valor de δu para essa viga.

Para cada uma das séries ensaiadas, pode ser claramente detectado um aumento do índice de ductilidade com a redução da esbeltez da zona de momento uniforme (ZMU), denotando o efeito de escala na ductilidade pós-pico. Esse efeito está ilustrado na Fig. 9.20. Para a série LR, o índice de ductilidade aumentou de 2,55 para 3,55 quando o comprimento LMU da ZMU foi reduzido de 700 para 300 mm. Para essa mesma redução do comprimento da ZMU, o índice de ductilidade aumentou de 1,20 para 1,43 para a série HR. Em termos percentuais, uma redução de 57% no comprimento da ZMU resultou num

235

aumento no índice de ductilidade de aproximadamente 39% e 19% para as séries LR e HR, respectivamente.

Tabela 9.7 – Índices de ductilidade em termos de flechas

Viga δy (mm) δu (mm) δ80 (mm) µLR µHR

HR-L1 19,58 ----- 26,65 ----- 1,361

HR-L2 15,74 ----- 18,90 ----- 1,201

HR-M1 12,52 ----- 17,87 ----- 1,427

HR-M2 12,05 ----- 17,04 ----- 1,414

HR-S2 10,54 ----- 15,10 ----- 1,433

LR-L1 11,86 30,29 ----- 2,554 -----

LR-L2 12,24 30,04 ----- 2,454 -----

LR-M1 8,65 ----- ----- ----- -----

LR-M2 9,60 27,83 ----- 2,899 -----

LR-S1 8,60 30,58 ----- 3,556 -----

LR-S2 7,88 24,85 ----- 3,154 -----

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

ZMU =700 mm

ZMU =500 mm

ZMU =300 mm

Série LR

Série HR

Fig. 9.20 - Influência da esbeltez da zona de momento uniforme na ductilidade pós-pico

Índ

ice

de

du

ctili

dad

e

236

9.4.4 Localização de deformações

Por meio da monitoração das deformações locais na superfície superior da viga medidas pelos strain gages mostrados na Fig. 9.6, é possível verificar a ocorrência do fenômento de localização de deformações na zona de momento uniforme. O traçado do perfil de deformações medidas na fibra superior da viga revela uma clara localização de deformações, como pode ser tipicamente observado nas Fig. 9.21 e 9.22 para as vigas HR-L1 e HR-L2, respectivamente. Nessas figuras, a identificação (p) corresponde a deformações no ramo pós-pico do diagrama momento x curvatura (ou carga x deformação).

Como pode ser observado, até 90% da carga máxima no ramo pré-pico todos os strain gages apresentam essencialmente a mesma deformação. A partir da carga de pico, alguns strain gages começam a descarregar enquanto outros sofrem grande deformação e são “destacados” da superfície da viga devido à formação de uma zona de dano nessa região. Portanto, a deformação nos gages contidos nessa zona de dano aumenta rapidamente e depois cai a zero logo após a formação completa da mesma. Dessa forma, pode-se estimar o tamanho da zona de dano, cujo valor é utilizado no modelo desenvolvido nesta tese. A Fig. 9.23 mostra a zona de dano localizado da viga HR-M2 ao final do ensaio.

237

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0 100 200 300 400 500 600 700Posição (mm)

Def

orm

ação

(o /

oo)

0.2 Pmax

0.4 Pmax

0.6 Pmax

0.8 Pmax

0.9 Pmax

Pmax

0.9 Pmax (p)

0.8 Pmax (p)

Fig. 9.21 - Perfil de deformações na zona de momento uniforme da viga HR-L1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0 100 200 300 400 500 600 700 800Posição (mm)

Def

orm

ação

(o /

oo)

0.2 Pmax

0.4 Pmax

0.6 Pmax

0.8 Pmax

0.9 Pmax

Pmax

0.9 Pmax (p)

0.8 Pmax (p)

Fig. 9.22 - Perfil de deformações na zona de momento uniforme da viga HR-L2

Posição 7000

Posição 700 0

238

Fig. 9.23 - Zona de dano da viga HR-M2

9.4.5 Tamanho da zona de dano

O tamanho da zona de dano, estimado de acordo com o perfil de deformações na superfície superior das vigas, está ilustrado na Fig. 9.24.

Pode-se notar que o tamanho da zona de dano é significativamente maior para as vigas com altas taxas de armadura. Isso é devido à maior profundidade da linha neutra nesse caso, o que faz com que a profundidade de zona de dano também seja maior. Além disso, de acordo com a Fig. 9.24, o comprimento LD da zona de dano parece ser independente do comprimento ZMU da zona de momento uniforme, o que valida as hipóteses do modelo proposto no Capítulo 8.

LD

Zona de momento uniforme

239

O valor médio de LD resultou igual a 218 mm para a série HR e 79 mm para a série LR.

0

50

100

150

200

250

Série HR Série LR

ZMU = 300 mm

ZMU = 500 mm

ZMU = 700 mm

Fig. 9.24 - Tamanho da zona de dano na flexão

9.4.6 Curvas de resposta momento x deformação

Na Fig. 9.25 estão mostradas as curvas experimentais típicas momento x deformação para as vigas da série HR. A deformação é aquela medida pelo LVDT posicionado horizontalmente junto à face superior da viga, e deve ser entendida como a deformação global equivalente do concreto na fibra mais comprimida. Na Fig. 9.25, o momento é normalizado em relação ao momento máximo e a deformação é normalizada em relação à deformação correspondente ao momento máximo.

Apesar da viga HR-L2 ter apresentado um comportamento mais linear até o momento máximo, as vigas não apresentaram diferença significativa no ramo pré-pico, com os valores de momento máximo sendo similares entre si (ver Tabela 9.6). Não obstante as semelhanças na resposta pré-pico, o efeito de escala na ductilidade pós-pico pode ser claramente notado pela Fig. 9.25, a qual denota uma redução da ductilidade com o aumento do tamanho da viga. Ao nível de

Com

pri

men

to d

a zo

na

de

dan

o

240

60% do momento máximo no ramo pós-pico, a viga maior (HR-L2) apresenta apenas metade da ductilidade da viga menor (HR-S2).

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

εc/εc pico

M/

M p

ico

HR-S2

HR-M1

HR-L2

Fig. 9.25 - Curvas experimentais momento x deformação da série HR

As curvas experimentais típicas momento x deformação para as vigas com menor quantidade de armadura de flexão (série LR) estão mostradas na Fig. 9.26. Nessa figura, o momento é normalizado em relação ao momento de escoamento da armadura e a deformação é normalizada em relação à deformação correspondente ao momento de escoamento. Note-se que as curvas das vigas LR-M2 e LR-S1 foram deslocadas no eixo das abscissas para uma melhor visualização.

Da mesma forma que as vigas da série HR, as vigas da série LR não apresentaram diferença notável até o momento de escoamento, com os valores de momento sendo similares entre si (ver Tabela 9.6). Entretanto, o efeito de escala na ductilidade pós-pico também pode ser notado pela Fig. 9.26. A viga menor (LR-S1) apresenta uma deformação última maior do que a viga maior (LR-L2). Fica então mais uma vez evidenciada a redução da ductilidade com o aumento do tamanho da viga.

241

A influência do tamanho da viga na sua ductilidade, já indicada pelos índices de ductilidade em termos de flechas apresentados no item 9.4.3, é então confirmada pelas Fig. 9.25 e 9.26. De fato, se a curva momento x deformação (ou momento x curvatura) apresenta o efeito de escala, a curva carga x flecha também deve apresentar o mesmo efeito, uma vez que a flecha de uma viga está intimamente relacionada à curvatura das suas seções transversais.

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

0.0 2.0 4.0 6.0 8.0 10.0 12.0 14.0 16.0

εc / εcy

M /

My

LR-S (Ensaio)

LR-M (Ensaio)

LR-L (Ensaio)

Fig. 9.26 - Curvas experimentais momento x deformação da série LR

A Fig. 9.27 mostra uma comparação das vigas maiores de cada uma das séries, ilustrando as diferenças no comportamento pós-pico devidas às distintas taxas de armadura utilizadas. Enquanto as vigas normalmente armadas (série LR) apresentaram a capacidade de se deformar após o pico sem perda expressiva de resistência, as vigas com alta taxa de armadura (série HR) tiveram sua capacidade resistente significativamente reduzida logo após o atingimento do momento máximo.

242

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

εc/εcy

M/

My

LR-L1

HR-L2

Fig. 9.27 - Comparação entre curvas típicas momento x deformação de vigas com alta taxa de armadura (HR) e baixa taxa de armadura (LR)

9.4.7 Comportamento geral das vigas

Como pode ser observado nas Fig. 9.9 a 9.19, as vigas apresentaram um comportamento distinto dependendo da taxa de armadura de flexão. No instante em que o momento de fissuração foi atingido houve uma mudança de inclinação das curvas devido à redução da rigidez à flexão, redução essa que depende da taxa de armadura presente, sendo mais significativa para as vigas com menor quantidade de armadura. Além disso, a taxa de armadura também exerceu influência na relação entre a carga de fissuração e a carga máxima. Para as vigas da série LR, as primeiras fissuras de flexão surgiram para uma carga de cerca de 15% da carga máxima, enquanto que para a série HR a carga de fissuração resultou aproximadamente 6% da carga máxima. Algumas das possíveis causas para isso são a maior restrição à deformação por retração do concreto para as vigas da série HR devido à maior quantidade de armadura presente, e uma possível alteração da posição da armadura de flexão para as vigas da série LR (aumento do cobrimento) devido ao manuseio e transporte das vigas. A partir do momento de fissuração, as vigas se comportaram de modo praticamente linear

243

até o escoamento da armadura tracionada. Para as vigas com taxa de armadura mais baixa (série LR), é notável a presença do patamar de escoamento. Após o atingimento da carga máxima, essas vigas apresentaram uma razoável capacidade de se deformar sem redução expressiva da carga, até o atingimento da flecha última. Por outro lado, nas vigas com alta taxa de armadura (série HR) o patamar de escoamento é praticamente inexistente, com a carga última sendo atingida imediatamente após o escoamento da armadura tracionada. Nesse caso, a carga caiu de forma acentuada após o pico e as vigas apresentaram uma baixa capacidade de deformação.

Todas as vigas chegaram ao colapso final com a armadura no escoamento e o posterior esmagamento do concreto comprimido na zona de dano.

9.4.8 Panorama geral de fissuração até o colapso

As Fig. 9.28 a 9.33 ilustram alguns aspectos típicos do panorama de fissuração e formação da zona de dano nas vigas ensaiadas.

Todas as vigas apresentaram basicamente apenas fissuras verticais de flexão na zona de momento uniforme até o escoamento (Fig. 9.28). A partir daí, surgiram algumas fissuras horizontais na região inferior das vigas no nível da armadura tracionada (Fig. 9.27). Com o aumento do deslocamento vertical algumas fissuras verticais se curvaram para formar a zona de dano na região comprimida (Fig. 9.30 e 9.31). Quando a capacidade de deformação do concreto comprimido foi esgotada, ocorreu o colapso explosivo por esmagamento do concreto, com a zona de dano sendo “destacada” por inteiro do corpo da viga (Fig. 9.32 e 9.33).

244

Fig. 9.28 - Fissuras verticais de flexão

Fig. 9.29 - Fissuras horizontais no nível da armadura

HR-L2

Fissuras horizontais

Fissuras verticais

LR-M1

245

Fig. 9.30 - Início da formação da zona de dano

Fig. 9.31 - Desenvolvimento da zona de dano

LR-M1

Fissura curvada

Desenvolvimento da zona de dano

HR-L2

246

Fig. 9.32 - “Destacamento” da zona de dano

Fig. 9.33 - Esmagamento do concreto comprimido

9.5 SIMULAÇÃO NUMÉRICA

Nesta seção, o modelo de localização de deformações desenvolvido no Capítulo 8 é utilizado para simular o comportamento das vigas ensaiadas.

9.5.1 Parâmetros utilizados na análise

Para efetuar a análise, o modelo requer a entrada da geometria da viga (valores na Tabela 9.2), dos parâmetros de resistência do aço e do concreto

HR-L2

LR-L2 HR-L1

HR-L2

247

(valores na Tabela 9.3), e das curvas tensão-deformação dos dois materiais (ver Capítulo 8, item 8.7.3). Além disso, os parâmetros de amolecimento do concreto εDC,f e LD são também necessários.

Conforme já discutido no item 8.7.3, o valor εDC,f da deformação crítica de dano na flexão é tomado igual a duas vezes o valor relativo à compressão uniaxial, ou seja, εDC,f = 2 εDC. Portanto, de acordo com a eq.(8.8):

0071,0e0129,02 )f012.0(f,DC

c =⋅=ε −

De acordo com o exposto no item 8.7.2, o valor LD da zona de dano na flexão é considerado igual a 4 vezes a profundidade da linha neutra quando o momento máximo é atingido. Para as vigas ensaiadas, a análise teórica utilizando o modelo desenvolvido indica que a profundidade da linha neutra na carga máxima é igual a 54,19 mm e 19,87 mm para as vigas da série HR e LR, respectivamente. Isto resulta em valores de LD de cerca de 216,8 mm e 79,5 mm, respectivamente. Esses valores teóricos resultaram surpreendentemente idênticos àqueles determinados experimentalmente a partir do traçado do perfil de deformações na face superior das vigas (ver item 9.4.5). Essa constatação confirma, portanto, a hipótese do comprimento da zona de dano na flexão ser igual a 4 vezes a profundidade da linha neutra na carga máxima. Como conseqüência, o valor de LD será maior para maiores taxas de armadura de flexão, uma vez que a profundidade da linha neutra aumenta com o aumento da taxa de armadura.

9.5.2 Resultados do modelo

Vigas com alta taxa de armadura (série HR)

Os resultados experimentais e teóricos das vigas representativas da série HR estão mostrados na Tabela 9.8. Nessa tabela, Mu é o momento máximo, εc é a deformação da fibra superior na carga máxima e σc é a tensão correspondente.

248

Tabela 9.8 – Resultados experimentais e teóricos (série HR)

Viga Mu, exp (kN.m)

Mu, modelo (kN.m)

εc, exp (‰)

εc, modelo (‰)

σc, modelo (MPa) σc / fc

HR-L2 41,11 42,98 3,85 3,68 79,54 0,74

HR-M1 38,61 42,98 3,92 3,68 79,54 0,74

HR-S2 41,70 42,98 4,02 3,68 79,54 0,74

Pode-se observar pela Tabela 9.8 que a deformação εc da fibra superior na carga máxima apresenta uma ligeira redução com o aumento do tamanho da viga. Isto indica que a localização de deformações tem início um pouco antes da carga máxima. Apesar disso, em termos práticos a hipótese de localização a partir da carga de pico é suficientemente adequada.

O grau de ductilidade pós-pico depende do tamanho da zona de dano em relação ao tamanho da zona de momento uniforme. A Fig. 9.34 ilustra as curvas momento x deformação geradas pelo modelo dentro e fora da zona de dano. A curva momento x deformação global equivalente da viga situar-se-á entre estas duas curvas.

0.0

5.0

10.0

15.0

20.0

25.0

30.0

35.0

40.0

45.0

50.0

0.000 0.002 0.004 0.006 0.008 0.010 0.012 0.014 0.016

εc

M (

kN.m

)

Zona de dano


Fig. 9.34 - Comportamento das zonas de dano e descarregamento – série HR

249

A Fig. 9.35 mostra as curvas representativas momento x deformação experimentais e teóricas. Note-se que as curvas das vigas HR-M e HR-S foram deslocadas no eixo das abscissas para uma melhor visualização.

0.0

5.0

10.0

15.0

20.0

25.0

30.0

35.0

40.0

45.0

50.0

0.0 5.0 10.0 15.0 20.0 25.0 30.0 35.0

εc (‰)

M (

kN.m

)

HR-S (Ensaio)

HR-M (Ensaio)

HR-L (Ensaio)HR-S (Modelo)

HR-M (Modelo)

HR-L (Modelo)

Fig. 9.35 - Curvas momento x deformação experimentais e teóricas – série HR

Pode-se observar que as curvas geradas pelo modelo estão de acordo com as obtidas experimentalmente, embora o momento máximo tenha sido ligeiramente superestimado. O modelo capturou de forma adequada o ramo pós-pico, simulando corretamente a redução da ductilidade com o aumento do tamanho da viga.

Para uma melhor comparação, a Fig. 9.36 apresenta as curvas momento x deformação normalizadas em relação ao momento máximo e correspondente deformação. As curvas mostradas confirmam os bons resultados obtidos pela aplicação do modelo proposto.

250

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

0.0 2.0 4.0 6.0 8.0 10.0

εc/εc pico

M/

M p

ico

HR-S (Ensaio)

HR-M (Ensaio)

HR-L (Ensaio)HR-S (Modelo)

HR-M (Modelo)

HR-L (Modelo)

Fig. 9.36 - Curvas normalizadas momento x deformação experimentais e teóricas – série HR

Vigas com baixa taxa de armadura (série LR)

Os resultados experimentais e teóricos das vigas representativas da série LR estão mostrados na Tabela 9.9. Na tabela, Mu é o momento máximo, εc é a deformação da fibra superior na carga máxima e σc é a tensão correspondente.

Tabela 9.9 – Resultados experimentais e teóricos (série LR)

Viga Mu, exp (kN.m)

Mu, modelo (kN.m)

εc, exp (‰)

εc, modelo (‰)

σc, modelo (MPa) σc / fc

LR-L2 20,43 20,58 2,73 3,68 79,54 0,74

LR-M2 19,52 20,58 3,15 3,68 79,54 0,74

LR-S1 20,51 20,58 3,54 3,68 79,54 0,74

Pode-se observar pela Tabela 9.9 que a deformação εc da fibra superior na carga máxima apresenta uma redução com o aumento do tamanho da viga. Isto confirma que a localização de deformações tem início um pouco antes da carga máxima.

A Fig. 9.37 ilustra as curvas momento x deformação geradas pelo modelo dentro e fora da zona de dano para a série LR.

251

0.0

5.0

10.0

15.0

20.0

25.0

0.000 0.002 0.004 0.006 0.008 0.010 0.012 0.014 0.016

εc

M (

kN.m

)

Zona de dano


Fig. 9.37 - Comportamento das zonas de dano e descarregamento – série LR

A Fig. 9.38 mostra as curvas representativas momento x deformação experimentais e teóricas. Note-se que as curvas das vigas LR-M2 e LR-S1 foram deslocadas no eixo das abscissas para uma melhor visualização.

0.0

5.0

10.0

15.0

20.0

25.0

0.0 2.0 4.0 6.0 8.0 10.0 12.0 14.0 16.0

εc (‰)

M (

kN.m

)

LR-S (Ensaio)

LR-M (Ensaio)

LR-L (Ensaio)LR-S (Modelo)

LR-M (Modelo)

LR-L (Modelo)

Fig. 9.38 - Curvas momento x deformação experimentais e teóricas – série LR

252

Pode-se observar que as curvas geradas pelo modelo estão de acordo com as obtidas experimentalmente.

Para uma melhor comparação, a Fig. 9.39 apresenta as curvas momento x deformação normalizadas em relação ao momento de escoamento e correspondente deformação. As curvas mostradas confirmam os bons resultados obtidos pela aplicação do modelo, embora as curvas teóricas sejam um pouco conservadoras do ponto de vista da ductilidade pós-pico.

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

0.0 2.0 4.0 6.0 8.0 10.0 12.0 14.0 16.0

εc / εcy

M /

My

LR-S (Ensaio)

LR-M (Ensaio)

LR-L (Ensaio)LR-S (Modelo)

LR-M (Modelo)

LR-L (Modelo)

Fig. 9.39 - Curvas normalizadas momento x deformação experimentais e teóricas – série LR

9.6 DISCUSSÃO

9.6.1 Momento máximo teórico de acordo com a NBR-6118

Quando as barras da armadura de flexão são dispostas em uma ou mais camadas e as camadas são posicionadas próximas umas das outras, a tensão na armadura pode em geral ser considerada atuando no centróide das barras da

253

armadura, e nesse caso a determinação do momento máximo pode ser feita utilizando as expressões apresentadas no item 5.2.3 (ver Capítulo 5). No entanto, quando a diferença entre os níveis de tensão das diversas camadas for significativa, pode ser desejável efetuar uma análise mais rigorosa, de forma a avaliar com mais precisão a capacidade resistente à flexão da peça. Esse tipo de análise é feito por um procedimento iterativo satisfazendo as condições de equilíbrio de forças e compatibilidade de deformações. A Fig. 9.40 ilustra uma seção transversal contendo duas camadas de armadura, cuja capacidade resistente à flexão é dada pelos diagramas de deformações e tensões mostrados.

Fig. 9.40 - Seção de concreto armado quando a capacidade resistente à flexão é atingida

Para que seja atendida a compatibilidade de deformações, as seguintes relações são válidas:

xxd1

cu1s−

ε=ε (9.4)

xxd 2

cu2s−

ε=ε (9.5)

Para que haja o equilíbrio de forças, a seguinte relação é necessária:

d1d2

x

As2

C

εc

fs1

b

As1

T2 T1

fs2

α1 fc

β1 x

εs1

εs2

Seção Deformações Tensões

254

2s2s1s1sc11 fAfAxbf +=βα (9.6)

A seção pode então ser analisada por um procedimento iterativo de tentativa e erro da seguinte forma:

• Escolher um valor para x.. • Calcular εs1 e εs2 pelas eq.(9.4) e (9.5) e determinar o valor de fs1 e fs2 a partir da curva tensão-deformação do aço. • Verificar se a eq.(9.6) é satisfeita. • Se não, repetir os passos 1), 2) e 3) até que se obtenha o valor de x que satisfaz a eq.(9.6).

Uma vez determinado o valor correto de x, o momento resistente da seção pode ser calculado por:

)x5,0d(fA)x5,0d(fAM 122s2s111s1su β−+β−= (9.7)

Para as vigas com altas taxas de armadura de flexão (série HR - 4φ16 mm), as barras foram dispostas em duas camadas distantes cerca de 90,5 cm entre si, como pode ser visto na Fig. 9.3. Esse afastamento vertical foi devido aos ganchos de ancoragem nas extremidades das barras da camada inferior, executados de acordo com a NBR-6118 de forma a eliminar a possibilidade de escorregamento da armadura sobre os apoios. Portanto, para um cálculo mais preciso do momento resistente destas vigas foi utilizado o procedimento descrito anteriormente pelas eq.(9.4) a (9.7), utilizando para α1, β1 e εcu os valores expressos na NBR-6118. Por outro lado, para as vigas da série LR, o cálculo do momento resistente foi efetuado segundo a formulação convencional da teoria de flexão para vigas no Domínio 3 (item 5.2.3), utilizando o diagrama retangular simplificado de tensões da NBR-6118. Os valores teóricos de Mu de acordo com a NBR-6118 são mostrados na Tabela 9.10. Nessa tabela, também são mostrados os valores de Mu calculados utilizando os coeficientes α1 e β1 propostos por Ibrahim; MacGregor (1997) determinados a partir das eq.(5.13) (Mu, modificado), e os valores experimentais médios.

255

Tabela 9.10 – Valores teóricos (NBR6118) e experimentais do momento máximo

Série Mu, NBR-6118 (kN.m)

Mu, modificado (kN.m)

Mu, exp.med. (kN.m)

Mu, exp.med. Mu, modificado

HR 43,61 39,41 40,39 1,02

LR 23,70 23,32 19,84 0,85

A utilização dos coeficientes propostos por Ibrahim; MacGregor, os quais levam em conta a resistência à compressão do concreto, geraram valores um pouco mais próximos dos experimentais. No entanto, ainda assim o momento máximo experimental foi cerca de 15% inferior ao teórico para as vigas da série LR. Após uma análise cuidadosa dos valores utilizados no cálculo de Mu, não foi encontrada uma razão evidente para essa discrepância, haja vista que para essas vigas a resistência do concreto não exerce influência significativa no valor de Mu. Portanto, as possíveis explicações para isso incluem uma alteração da posição da armadura de flexão (redução da altura útil) devido ao manuseio e transporte das vigas, ou ainda uma variabilidade na resistência ao escoamento do aço utilizado. De fato, tomando-se, por exemplo, fy = 550 MPa e d = 160 mm, o valor de Mu resulta igual a 20,60 kN.m, situando-se então bem próximo do experimental. Para as vigas da série HR, o momento teórico resultou praticamente igual ao experimental.

Pode-se então concluir que os valores de momento máximo são adequadamente previstos pela NBR-6118, com a ressalva de que a utilização de coeficientes α1 e β1 dependentes da resistência `a compressão do concreto conduz a resultados mais satisfatórios.

9.6.2 Momento máximo teórico de acordo com o modelo proposto

A Tabela 9.11 mostra os valores experimentais médios de momento máximo, assim como os previstos pelo modelo. A diferença entre os valores experimentais e teóricos é de apenas 6% para as vigas com alta taxa de armadura e 4% para as vigas com baixa taxa de armadura. Na verdade, até o momento máximo a análise é efetuada de acordo com a teoria convencional de flexão,

256

porém utilizando a curva tensão x deformação considerada no modelo. Como se sabe, para vigas normalmente armadas o diagrama tensão x deformacão do concreto comprimido pouco influencia o valor do momento máximo. Portanto, pode-se admitir que o modelo prevê resultados de momento máximo de acordo com os experimentais.

Tabela 9.11 – Valores teóricos (modelo) e experimentais do momento máximo

Série Mu, modelo (kN.m)

Mu, exp.med. (kN.m)

Mu, exp.med. Mu, modelo

HR 42,98 40,39 0,94

LR 20,58 19,84 0,96

9.6.3 Deformação crítica de dano na flexão

Em face aos efeitos de gradientes de deformação na curva tensão x deformação do concreto, o valor εDC,f da deformação crítica de dano na flexão é tomado igual a duas vezes o valor relativo à compressão uniaxial, ou seja, εDC,f = 2 εDC. Esse valor pode ser diretamente calculado pela eq.(8.8), a qual foi estabelecida a partir de diversos resultados experimentais de ensaios de compressão uniaxial.

É necessário se admitir que a eq.(8.8) foi estabelecida a partir de um número bastante limitado de resultados experimentais. No entanto, há uma escassez de resultados de ensaios com corpos-de-prova de vários tamanhos, incluindo o ramo pós-pico. À medida que novos resultados forem sendo divulgados, a eq.(8.8) poderá ser melhor avaliada.

9.6.4 Localização de deformações e tamanho da zona de dano na flexão

Muito embora os strain gages colados na fibra superior da viga não forneçam um perfil contínuo das deformações ao longo da zona de momento uniforme, as Fig. 9.21 e 9.22 mostram que as deformações no concreto não são distribuídas uniformemente no ramo pós-pico. Existe uma zona (aqui

257

denominada zona de dano) na qual toda a deformação pós-pico é localizada, enquanto que fora dessa zona o material é descarregado. A estimativa experimental do comprimento dessa zona revelou um valor de aproximadamente 4 vezes a profundidade da linha neutra na carga máxima (Fig. 9.24). Esse valor confirma então a hipótese adotada no modelo proposto.

As Tabelas 9.8 e 9.9 indicam que, quando a carga máxima é atingida, a deformação global equivalente do concreto na fibra superior da viga diminui ligeiramente com o aumento do tamanho da zona de momento uniforme. Por conseguinte, conclui-se que o início do fenômeno de localização ocorre um pouco antes da carga de pico. Para fins práticos, no entanto, a hipótese de localização a partir da carga de pico parece ser suficientemente adequada.

9.6.5 Efeito de escala na ductilidade pós-pico

Os índices de ductilidade em termos de flecha apresentados na Tabela 9.7 e na Fig. 9.20 indicam uma tendência de redução da ductilidade com o aumento do tamanho da viga (comprimento da zona de momento uniforme). Uma redução de 57% no comprimento da ZMU resultou num aumento no índice de ductilidade de aproximadamente 39% e 19% para as séries LR e HR, respectivamente.

A influência do tamanho da viga na ductilidade pós-pico foi claramente detectada experimentalmente, como pode ser visto nas Fig. 9.25 e 9.26. É importante salientar que a curva tensão x deformação pós-pico do concreto exerce maior influência nas vigas com alta taxa de armadura. Nesse caso, ao nível de 60% do momento máximo no ramo pós-pico, uma redução de 57% no comprimento da ZMU (de 700 mm para 300 mm) dobrou a deformação atingida.

O efeito do tamanho da viga na ductilidade pós-pico, denotado pelos índices de ductilidade em termos de flecha e pelas deformações pós-pico, pode ser importante no sentido de que a deformabilidade da viga pode ser menor do que prevista. É importante lembrar que diversas considerações de projeto de

258

vigas de concreto armado exigem que a peça apresente um grau adequado de ductilidade. Um exemplo claro é a redistribuição de momento fletores em estruturas estaticamente indeterminadas, que depende de uma adequada capacidade de rotação plástica. A capacidade de rotação plástica, por sua vez, está intimamente relacionada à curva tensão x deformação do concreto na zona comprimida da viga. Quanto menos dúctil for essa curva, menor será a capacidade de rotação plástica da viga.

Como o modelo de localizações proposto prevê uma redução da deformação global pós-pico do concreto com o aumento do tamanho da viga, segundo este modelo a capacidade de rotação plástica deveria ser influenciada pelo tamanho da viga. Essa questão ainda é bastante controversa, porém várias investigações experimentais e numéricas têm mostrado claramente a presença do efeito de escala na deformabilidade e na capacidade de rotação plástica de vigas de concreto armado (Hillerborg, 1988); (Eligehausen; Langer, 1987); (Koike et al., 1989); (Bosco et al., 1992); (Bosco; Debernardi, 1993); (Rokugo et al., 1994); (Adachi et al., 1996); (Henriksen et al., 1996); (Bigaj, 1999); (Brincker et al., 1999); (Weiss et al., 1999); (Borges et al., 2002). No caso particular da deformação global da zona de momento fletor uniforme, a presente investigação experimental confirmou os resultados obtidos na investigação realizada por Weiss et al. (1999), cujo arranjo de ensaio foi similar ao adotado neste trabalho.

Considerando a presença do efeito de escala, vigas muito grandes podem apresentar muito pouca ou nenhuma capacidade de deformação plástica após o atingimento do momento máximo. Finalmente, vale salientar que a presença de estribos e armadura de compressão conferem à viga um maior grau de ductilidade devido ao confinamento do concreto na zona comprimida da viga.

259

CONCLUSÕES

1100

10.1 RESUMO E CONCLUSÕES

A presente tese buscou analisar o comportamento de vigas de concreto de alto desempenho por meio dos conceitos de Mecânica da Fratura. Foram apresentadas algumas situações nas quais o efeito de escala pode ser importante, como a capacidade resistente ao cisalhamento e a taxa mínima de armadura de flexão. O fenômeno de localização de deformações na compressão foi destacado. Um modelo de fraturamento para vigas de concreto armado sob flexão pura foi desenvolvido. O modelo, formulado inicialmente para o caso de compressão uniaxial, leva em conta a influência do tamanho do corpo-de-prova na curva tensão x deformação do material. Uma expressão para o cálculo da deformação crítica de dano foi estabelecida. Foi realizada uma investigação experimental com vigas de concreto armado de alto desempenho de forma a avaliar a aplicabilidade do modelo proposto.

260

Como resultado do trabalho apresentado nesta tese, podem ser traçadas as seguintes conclusões:

• Em diversos casos, a utilização conjunta da Resistência dos Materiais e da Mecânica da Fratura pode prover critérios de análise e projeto mais realistas para vigas de concreto de alto desempenho. Isto é especialmente verdadeiro na presença de efeitos de escala. Podem-se citar, dentre outras, questões como a capacidade resistente ao cisalhamento, a taxa mínima de armadura de flexão e a dutilidade pós-pico de vigas com alta taxa de armadura (ver Capítulos 3, 4, 6 e 9).

• A taxa mínima de armadura de flexão diminui com o aumento do tamanho da viga. Essa redução é devida essencialmente ao efeito de escala na resistência à tração na flexão (módulo de ruptura). Alguns modelos de fraturamento baseados na Mecânica da Fratura Elástica Linear fornecem expressões mais realistas para o cálculo da armadura mínima do que aquelas estabelecidas em normas, como visto no Capítulo 6.

• O fenômeno de localização de deformações pós-pico se faz presente tanto na compressão uniaxial como na flexão. Como discutido no Capítulo 7, este fenômeno conduz a efeitos de escala.

• No caso de corpos-de-prova submetidos a compressão uniaxial, a inclinação do ramo pós-pico é maior à medida que a esbeltez do corpo-de-prova é aumentada. Portanto, a dutilidade pós-pico diminui com o aumento da esbeltez do corpo-de-prova, conforme mostrado no Capítulo 8.

• No caso de vigas armadas submetidas a flexão pura (momento fletor uniforme ao longo da peça), também ocorre o fenômento de localização de deformações. Por conseguinte, a dutilidade pós-pico da viga diminui com o aumento do tamanho (esbeltez) da zona de momento uniforme, conforme demonstrado experimentalmente no Capítulo 9.

• A simulação numérica apresentrada no Capítulo 9 mostrou que o modelo de fraturamento proposto, o qual considera separadamente os

261

comportamentos dentro e fora da zona de dano, é capaz de simular adequadamente o efeito de escala na dutilidade pós-pico, tanto para a compressão uniaxial como para a flexão.

• Os resultados da simulação numérica indicaram que a expressão proposta para o cálculo da deformação crítica de dano (eq.(8.8)) fornece valores de acordo com os experimentais.

• Devido a efeitos de gradientes de deformação, o valor da deformação crítica de dano na flexão é cerca de o dobro daquele na compressão uniaxial.

• Quando a carga máxima é atingida, o tamanho da zona de dano é de cerca de 1,5 vezes o diâmetro do corpo-de-prova na compressão uniaxial, e 4 vezes a profundidade da linha neutra na flexão pura, conforme visto nos Capítulos 8 e 9, respectivamente.

10.2 SUGESTÕES PARA NOVAS PESQUISAS

A escassez de curvas experimentais tensão x deformação (corpos-de-prova sob compressão uniaxial) e momento x deformação (vigas sob flexão pura), incluindo o ramo pós-pico, inibe a confimação definitiva dos parâmetros de amolecimento utilizados no modelo proposto, em especial a deformação crítica de dano e o tamanho da zona de dano. São necessários então mais ensaios para que se possa estabelecer de forma inequívoca a magnitude destes parâmetros e corroborar os bons resultados obtidos neste trabalho.

Sugere-se então a realização de ensaios de compressão uniaxial com corpos-de-prova abrangendo uma ampla faixa de esbeltez, por exemplo L/d variando de 1,0 até 6,0 (L é a altura do corpo-de-prova e d o seu diâmetro). A utilização de valores de L/d superiores a 6,0 conduzem a problemas de instabilidade que invalidam os resultados obtidos. No caso de vigas sob flexão pura, sugere-se a realização de ensaios com uma ampla faixa de esbeltez da zona de momento uniforme, por exemplo LMU/d variando de 2,0 até 10,0 (LMU é o

262

comprimento da zona de momento uniforme e d é a altura útil da viga). Na presente investigação, o valor de LMU/d variou de 1,7 a 4,0.

Com relação ao tipo de carregamento, o presente trabalho trata exclusivamente da compressão uniaxial e da flexão pura. Portanto, são necessários estudos complementares para extender o modelo desenvolvido a outros tipos de carregamento.

Finalmente, parece ser de suma importância a realização de investigações experimentais com o objetivo específico de avaliar o efeito de escala na capacidade de rotação plástica de vigas de concreto armado.

263

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MIcro Fissuras Em Vigas de Concreto Armado

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