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Elementos para Álgebra Linear

2º Ano Licenciatura em Matemática

1

Capítulo 01

Matrizes

1.0 Introdução A teoria das matrizes é muito presente em aplicações da Economia, Engenharia,

Matemática, Física, Tecnologia etc.

Os chineses apresentam como um dos mais antigos povos a mencionar a teoria das matrizes.

Eles gostavam de diagramas conhecidos como quadrados mágicos, como o exemplo a seguir.

4 9 2

3 5 7

8 1 6

1.1 Matriz Podemos definir matrizes com sendo uma tabela de números dispostos em linhas e colunas,

colocados entre parênteses ou colchetes:

2 2

2 3

1 4x

−

3 2

4 0

2

1 1x

π

−

Tabelas com m linhas e n colunas são denominadas matrizes m x n sendo * e m n ∈�



2

1.2 Notação e Formação de uma Matriz

As matrizes costumam ser representadas por letras maiúsculas e seus elementos por letras

minúsculas, acompanhadas de dois índices que indicam a linhas e a coluna, respectivamente, de

cada elemento. Um formato geral para matiz m x n é:

11 1

1

An

m mn

a a

a a

=

…

� � �

�

Abreviando a matriz A teríamos:

[ ]ij m x nA a= Onde i e j representam,

respectivamente, a linha e a coluna que o

elemento ocupa.

Vejamos um exemplo de uma matriz 2 x 3. isso indica que a matriz possui duas linhas e três

colunas.

2 3

2 3 4A

1 0 5x

− =

Onde:

11 12 13

21 22 23

2 3 4

1 0 5

a a a

a a a

= = − =

= = =

As matrizes podem obedecer a uma lei de formação. Veja os exemplos a seguir.

Exemplo

E 01) Determinar a matriz 2 3[ ] 2 .ij x

A a i j= = +

Solução:

11 12 13

21 22 23 2 3

Ax

a a a

a a a

=

= 11 12 13

21 22 23 2 3

2.1 1 3 2.1 2 4 2.1 3 5

2.2 1 5 2.2 2 6 2.2 3 7x

a a a

a a a

= + = = + = = + =

= + = = + = = + =

2 3

3 4 5A

5 6 7x

=



3

1.3 Matrizes Especiais

1.3.1 Matriz Linha

É toda matriz do tipo 1 x n , ou seja, uma única linha. Exemplo.

1 4A [4 5 1] x= −

1.3.2 Matriz Coluna

É toda matriz do tipo m x 1, ou seja, com uma única coluna. Exemplo.

4 1

3

0

1

2x

B

= −

1.3.3 Matriz Quadrada

É toda matriz do tipo m x m, ou seja, o mesmo número de linhas e colunas. Com isso

dizemos que a matriz possui ordem n onde n é seu número de linhas e colunas.

Exemplo:

2 2

1 2

4 1x

C−

=

ordem 2

3 3

4 0 1

0 0 4

1 2 4x

D

−

=

ordem 3

1.3.3.1 Diagonais de uma Matriz Quadrada

o Diagonal principal: é o conjunto de elementos, tal que i = j.

o Diagonal Secundária: é o conjunto de elementos, tal que i + j = n + 1.

12

21 23

13

31 32

11

22

33

A

a

a

a

a a

a

aa

a

=

Diagonal principal

Elementos 11a , 22a e 33a .

Diagonal Secundária

Elementos 31a , 22a e

13a .



4

1.3.4 Matriz Nula

É toda matriz em que seus elementos são nulos. [ ] 0ij mxn ij

A a a= = = .

Exemplo:

3 3

0 0 0

A 0 0 0

0 0 0x

=

1.3.5 Matriz Diagonal

É toda matriz quadrada onde todos os elementos que não estão na diagonal principal são

nulos.

Exemplos:

2 2

1 0

0 1x

A

=

3 3

4 0 0

0 1 0

0 0 3x

B

= −

1.3.6 Matriz Identidade

É toda matriz quadrada onde os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os demais

iguais a 0.

1, [ ],

0, n ij ij

se i jI a a

se i j

== =

≠

Exemplos:

2

1 0

0 1I

=

3

1 0 0

0 1 0

0 0 1

I

=



5

1.3.7 Matriz Transposta

Chamamos de matriz transposta a matriz obtida a partir de uma matriz A, trocando-se

ordenadamente suas linhas por colunas ou colunas por linhas. Notação TA .

Exemplo:

Se 1 2 3

A4 5 6

− =

então T

1 4

A 2 5

3 6

= −

1.3.8 Matriz Simétrica e Anti-Simétrica

• Uma matriz quadrada é simétrica quando tem-se TA = A .

• Uma matriz quadrada é anti-simétrica quanto tem-se TA A= − .

1.3.9 Matriz Oposta

Chamamos de matriz oposta de A, a matriz obtida a partir de A, trocando-se o sinal de todos

os seus elementos. Notação: – A.

Exemplo:

3 1A

2 2

− =

− então T 3 1

A2 2

− =

−

Exercícios

01.) Determinar a matriz 3 3[ ]ij x

B b= , tal que 2 2

1, se

, se ij

i jb

i j i j

==

− ≠

02.) Determine as seguintes matrizes:

a. 22 2( ) ( )ij xA a i j= = +

b. 33 3( ) ( )ij xB b i j= = −

c. 2 3

2, ( )

, ij x

se i jC c

i j se i j

== =

+ ≠

03.) Dada a matriz 3 3( )ij xA a= , tal que 2 2 5ija i j= + − , calcule 12 31a a+ .



6

Respostas

01.)

1 3 8

3 1 5

8 5 1

B

− −

= −

02.) a. 4 9

9 16A

=

b.

0 1 8

1 0 1

8 1 0

B

− −

= −

c. 2 3 4

3 2 5C

=

03.) 6

1.4 Operações com Matrizes

1.4.1 Igualdade de Matrizes

Duas matrizes A e B do mesmo tipo m x n, são iguais, se, e somente se, todos os elementos

que ocupam a mesma posição são idênticos. Notação A = B.

Exemplos

E 02) Dadas as matrizes 1 2

3A

a

=

e 3

3

xB

b

=

, determinar a, b e x para que TA B= .

Solução:

1 2

3 3 3T

x bA B

a

= ⇒ =

Então x = 1, b = 2 e a = 3.

E 03) Para que ocorra a igualdade das matrizes 2 0 11 1

2 02 1

m

m

− =

−− − qual deve ser o valor de

m?

Solução:

21 0 1 1

1 0 1

m m ou m

m m

− = ⇒ = − =

− = ⇒ = Como devem ser satisfeitas simultaneamente então m = 1.



7

1.4.2 Adição e Subtração

Dada duas matrizes ( )ij mxnA a= e ( )ij mxnB b= , a matriz soma A + B é a matriz ( )ij mxnC c= ,

tal que ij ij ijc a b= + .

Exemplo:

1 2 0 3 1 0 2 3 1 5

3 4 1 5 3 1 4 ( 5) 2 1

+ + + = =

− − − + + − − −

Dada duas matrizes ( )ij mxnA a= e ( )ij mxnB b= , definimos a diferença A − B como a soma de

A com a oposta de B, ou seja, ( )A B A B− = + − .

Exemplos

E 04) Determine a matriz X na equação matricial 2 1 1 1/ 2 2 3/ 2

3 4 3 5 4 3X

− − − = +

− − − .

Solução:

Fazendo a b

Xc d

=

temos que 2 1 1 1/ 2 2 3/ 2

3 4 3 5 4 3

a b

c d

− − − = +

− − −

2 1 1 2

3 4 1 2

a b

c d

− + − =

+ − − − ⇒

2 1 1 2 1 1

3 1 4 2 4 2

a b a b

c d c d

− = − + = = = =

+ = − − = − = − =

1 1

4 2X

∴ =

−

E 05) Determine a matriz X na equação matricial

2 3 5 1

1 1 4 3

4 2 3 2

X

−

− + = − −

.

Solução:

Fazendo X =

3 2x

a b

c d

e f

temos que

2 3 5 1

1 1 4 3

4 2 3 2

a b

c d

e f

−

− + = − −

2 3 5 1 2 5 3 1 3 4

1 1 4 3 1 4 1 3 5 4

4 2 3 2 4 3 2 2 1 4

a b a b

c d c d

e f e f

+ + − + = + = − −

− + + = − ⇒ − + = + = − = − + − + + = − + = −

3 4

5 4

1 4

X

−

∴ = − −



8

1.4.3 Produto de uma Matriz por um Escalar

Seja a matriz ( )ij mxnA a= e um número real k com 0k ≠ . O produto de k pela matriz A é

dado por uma matriz B, tal que, B = k.A onde .ij ijb k a= .

Exemplo:

0 2 1 3.0 3.2 3.1 0 6 3

3. 2 3 5 3.( 2) 3.3 3.( 5) 6 9 15

0 1 4 3.0 3.1 3.4 0 3 12

− − = − − = − −

Exercícios

01.) Determine a, b, c e d para que se tenha 5 5

16

2 10 3

a b

cd

− = −

.

02.) Determine x, y e z que satisfaçam 3

1 2 1 24

3 5 16 5 0

x

y z

− − = − −

.

03.) Determine p e q, tais que 2 6 2

0 2 0 3

p q

p q

+ − − =

− .

04.) Verifique se existe m, m ∈� , para que se tenha 2 2 02 9

0 03 3

m

m m

− =

− + .

05.) Determine m, m ∈� , se existir, tal que 2 0 14 1

32 3

m

m

− =

− .

06.) Seja 2 3( )ij xA a= , em que ija i j= + . Determine m, n e p em 3 4

1 2 5

m nB

n m p

+ =

− − tal

que A = B.

07.) Calcule:

a. 1 0 3 4 2 1/ 2

2 3 1 1 1 0

− − +

− − −

b. 2 3 5 4

0 13 0

− − +

−

c.

3 5 1 2

2 7 3 5

4 0 1 1

−

− − −

d.

1 0

3 2

5 4

− − −



9

08.) Sejam as matrizes 3 2( )ij xA a= , em que 2i ja i j= + , e 3 2( )ij xB b= , em que 1 .ijb i j= + +

a. Determine A + B.

b. Determine D = A – B.

09.) Sejam 2 1

4 3A

− =

, 3 1

2 2B

− =

− e

1 3

1 0C

− =

− . Determine A + B + C.

10.) Resolva as seguintes equações matriciais:

a.

3 11

1 3

5 2

X

+ − = −

b. 2 3 4 1

4 1 0 3X

− − =

11.) Determine a matriz X em 2 4 1 3 1 2

3 5 5 0 3 4X

− − + = −

− .

12.) Sejam as matrizes 7 9( )ij xA a= , em que 2ija i j= − , e 7 9( )ij xB b= , em que ijb i j= + . Seja

C A B= + , em que ij ij ijc a b= + . Determine os elementos:

a. 21c b. 63c

13.) Dada a matriz 1 11 3

8 5 2A

− =

− , obtenha as matrizes:

a. 3.A b.

1

2A

14.) Sejam as matrizes

3 2

1 5

4 3

A

−

= − −

e

0 1

3 2

1 5

B

= −

. Determine as seguintes matrizes:

a. 2A B+ b. 2A B−


2 1 0

1 2 2

0 5 4

A

= − −

e 3 3( )ij xB b= , em que ijb i j= − . Determine a matriz

1A 4

2B+ .

16.) Resolva a equação 1 2 3 1 1 0

2.X3 2 4 1 2 5

− + =

− − − .



10

17.) Dadas as matrizes 2 0 3 1 0 2

, 1 1 0 1 1 0

A B e C−

= = = − −

, determine a matriz X, tal

que 2 2A B X C+ = + .

18.) Sendo 1 2

3 4A

=

− e

0 1

4 3

2 5

B

= −

, determine:

a. 2 TA A+ b. TB

Respostas

01.) 1

1, , 6, 106

a b c d= − = = = −

02.) 3

, 2, 14

x y z= = − =

03.) 3, 3p q= =

04.) não existe m real que satisfaça.

05.) 2m = −

06.) 2, 4, 3m n p= − = = −

07.) a. 5

5 22

3 4 1

− −

− −

b. 7 7

3 1

−

−

c.

2 7

5 2

5 1

− −

d.

1

5

9

−

08.) a.

6 9

8 11

10 13

b.

0 1

0 1

0 1

09.) 6 5

1 5

−

10.) a.

8

4

7

−

b. 6 2

4 4

11.) 2 5

5 9

12.) a. 21 6c = b. 63 18c =

13.) a. 3 33 9

24 15 6

−

− b.

1 11 3

2 2 25

4 12

−

−

14.) a.

6 3

1 8

9 1

−

− − −

b.

3 4

7 9

2 13

−

− −

15.)

71 8

27

1 32

138 2

2

− −

− −

16.)

3 30

2 21

1 22

X

− −

=

17.) 7 5

4 1

−

−

18.) a. 4 2

2 16

−

− b.

0 4 2

1 3 5

−



11

1.5 Multiplicação de Matrizes

Dadas duas matrizes ( )ij m x nA a= e p( )ij n xB b= , chama – se o produto AB a matriz

( )ik m x pC c= tal que:

1 1 2 21

...n

ij ij i j i k i k in nk

j

c a b a b a b a b=

= ⋅ = ⋅ + ⋅ + + ⋅∑ para todo { }1,2,...,i m∈ e todo

{ }1,2,...,k p∈ .

A definição garante a existência do produto AB se, e somente se, o número de colunas de A

for igual ao número de linhas de B.

A B Cx x x

Colunas Linhas

pm pmn n

=

⋅ =��

Vejamos um exemplo prático:

Sejam as matrizes

1 2 3

5 1 2

3 2 1

A

= −

e

2 1

4 0

2 3

B

−

=

façamos o produto AB conforme o

esquema abaixo.

2 1

4 0

2 3

1 2 3 1*2 2*4 3*2 1*( 1) 2*0 3*3 16 8

5 1 2 5*2 ( 1)*4 2*2 5*( 1) ( 1)*0 2*3 10 1

3 2 1 3*2 2*4 1*2 3*( 1) 2*0 1*3 16 0

−

+ + − + +

− + − + − + − + = + + − + +

�

�

�

Então o produto AB foi dado por

16 8

10 1

16 0

AB

=

obs.: Lembrar que o produto de matrizes, em geral, não é comutativo, ou seja, AB BA≠ .



12

Exemplos

E 06) Encontre a matriz X em AX = B, sendo 2 4

3 1A

− =

e 5

3B

=

− .

Solução:

Temos que 2 2 2 1

2 4 5.

3 1 3x x

X−

= −

vemos que a Matriz X é do tipo a

Xb

=

, daí

2 2 2 1

2 4 5.

3 1 3x x

a

b

− =

− ⇒

2 4 5

3 3

a b

a b

− =

+ − , donde resulta o sistema

2 4 5

3 3

a b

a b

− =

+ = − cuja a

solução é 1

2a = − e

3

2b = − . Logo

1

2

3

2

X

−

= −

E 07) Sejam as matrizes 6 3( )ij xA a i j= = + , e 3 8( ) 2ik xB b j k= = − . Determine o elemento

35c , sendo que C A B= ⋅ .

Solução:

Vejamos aqui que não é necessário montar as duas matrizes por completo. Para adquirir o

elemento 35c , basta usar a terceira linha de A e a coluna 5 de B.

31 32 33A a a a

=

� � �

� � �

= 4 5 6

� � �

� � �

; 15

25

35

3

1

1

b

B b

b

−

= = −

� � � �

� � � �

� � � �

Assim 35 4 ( 3) 5 ( 1) 6 1 11c = ⋅ − + ⋅ − + ⋅ = −

∴ 35c = − 11



13

1.6 Matriz Inversa (parte I) Seja A uma matriz quadrada de ordem n. A é dita inversível se existir uma matriz B tal que:

nA B B A I⋅ = ⋅ =

E neste caso B é dita a inversa de A e denota-se por 1A− . A Matriz inversa de A só irá existir

se, e somente se, det( ) 0.A ≠ (Determinante será estudado no próximo capitulo).

Exemplos

E 08) Encontre a inversa da matriz 4 5

3 1A

− =

.

Solução:

Devemos ter 4 5 1 0

3 1 0 1

a b

c d

− ⋅ =

⇒

4 5 4 5 1 0

3 3 0 1

a c b d

a c b d

− − =

+ + donde o sistema

4 5 1 1 3

3 0 19 19

a ca e c

a c

− = −⇒ = =

+ = e também

4 5 0 5 4

3 1 19 19

b db e d

b d

− =⇒ = =

+ =

Assim 1

1 51 5119 19

3 4 3 419

19 19

A−

= = ⋅ − −

E 09) Verifique se as matrizes 2 0

4 3A

=

− e

10

22 1

3 3

B

= −

são inversas, isto é, 1B A−=

Solução:

Vamos fazer o produto AB.

1 2 112 0 2 0 00

2 0 1 02 3 322 14 3 1 2 1 0 1

4 3 4 0 33 3 2 3 3

− ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅

⋅ = = −− ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅

Como 1

nAB I B A−= ⇒ =



14

Exercícios

01.) Determine os produtos.

a. 2 1 1 4 3 2

4 3 0 1 1 3

− − − ⋅

− b.

4 3 1 1

2 5 0 2

− − ⋅


3 1

0 2

1 4

A

−

=

, 0 1

1 3B

=

− e

4

1C

=

− . Determine, caso existir:

a. A.B

b. B.A

c. A.C

d. BT.C

e. B.AT


4 1 5 3

0 2 0 1

4 3 2 5

1 3 0 8

A

−

− =

−

e

10 6

5 3

2 4

1 8

B

−

− = −

. Se 4 2A B ( )ij xC c⋅ = = , determine

os elementos 12C e 41C .

04.) Calcule x e y em 2 4 1

3 5 3

x

y

⋅ =

− − − .

05.) Sejam as matrizes 6 3( )ij xA a= , em que ija i j= + , e 3 4( )ik xB b= , em que 3 2ikb j k= − .

Sendo 6 4( )ik xC c= a matriz produto AB, determine o elemento 52C .

06.) Determine x e y a fim de que as matrizes 2 0

3 4

− e

3

1

x

y

comutem.

07.) Resolva a equação matricial 2 3 0 3

1 4 1 5X

− ⋅ =

−

08.) Um fast-food de sanduíches naturais vende dois tipos de sanduíche, A e B, utilizando os

ingredientes (queijo, atum, salada, rosbife) nas seguintes quantidades, em gramas, por

sanduíche:

Sanduíche A Sanduíche B

queijo 18 g 10 g

salada 26 g 33 g

rosbife 23 g 12 g

atum 0 16 g



15

Durante um almoço foram vendidos 6 sanduíches do tipo A e 10 do tipo B. Qual foi a

quantidade necessária de cada ingrediente para a preparação desses 16 sanduíches?

09.) Sendo 1 2

3 4A

=

− e

0 1

4 3

2 5

B

= −

, resolva a equação T TA X B⋅ = .

10.) Resolva a equação A X B C⋅ + = , na qual 1 0

1 3A

− =

, 1

5B

=

e 0

3C

=

− .

11.) Resolva a equação A B X C⋅ = ⋅ , se 1 0 3

2 1 4A

− =

,

1 0

4 1

0 2

B

= −

e 2 1

3 4C

− =

.

12.) O produto das matrizes 2

3 1

xA

− =

e 1 1

0 1B

− =

é uma matriz simétrica. Qual é o

valor de x?

13.) (Vunesp – Adaptado) Considere as matrizes reais 2 x 2 do tipo cos( ) ( )

( )( ) cos( )

x sen xA x

sen x x

=

,

calcule A(x).A(x).

14.) Verifique se 3 / 5 2 / 5

1/ 5 1/ 5

−

é a inversa de 1 2

1 3

− .

15.) Determine, se existir, a inversa da matriz 2 1/ 2

4 1

−

.

16.) Seja 1 2

3 4A

− =

. Determine 10 1A−⋅ .

17.) Sejam as matrizes 3 2

1 1A

=

e 0 1

3 4B

=

− . Determine:

a. 1A B− + b. 1.A B−

18.) A inversa de 3

2

y

x

−

− é a matriz

4

5 1

x x

x

−

− . Determine x e y.



16

Respostas

01.) a. 2 7 5 1

4 19 15 17

− − − −

b. 4 10

2 8

−

02.) a.

1 6

2 6

4 11

−

− −

b. ∃

c.

13

2

0

−

d. 1

7

−

e. 1 2 4

6 6 11

−

− −

03.) a. 12 23C =

b. 41 3C =

04.) 7

5x = e

9

2y

−=

05.) 48

06.) 0x = e 3y =

07.)

3 6

11 119 7

11 11

X

−

= −

08.) 208 g de queijo, 486 g de salada, 258 g

de rosbife e 160 g de atum.

09.)

3 5 7

10 2 101 1 9

10 2 10

X

= −

10.) 1

3X

=

−

11.) 2 1

35 16

11 11

X

− = −

12.) x = 1

13.) 1 (2 )

(2 ) 1

sen x

sen x

14.) sim é inversa

15.)

1 1

4 81

12

−

16.) 4 2

3 1

−

17.) a. 1 1

4 7

−

−

b. 6 7

9 11

−

−

18.) x = 7 e y = 1



17

Capítulo 02

Determinantes

2.0 Introdução Definição: Determinante é um número real associado a uma matriz quadrada.

As aplicações dos determinantes em matemática estão associadas a:

- Cálculo da matriz inversa;

- Resolução de alguns tipos de sistemas lineares;

- Cálculo da área de um triângulo, quando são conhecidas as coordenadas dos vértices.

2.1 Determinante de 1ª Ordem Dada uma matriz quadrada de ordem 1ª Ordem 11[ ]M a= , seu determinante é dado por:

11det( )M a= .

2.2 Determinante de 2ª Ordem

Dada a matriz 11 12

21 22

Ma a

a a

=

,por definição, temos que o determinante associado a essa

matriz é dado por: 11 22 12 21det(M) a a a a= − .

Exemplo:

Sendo 2 3

4 5M

=

, então det( ) 2 5 4 3 2M = ⋅ − ⋅ = − .

Conclusão: O determinante de uma matriz de ordem 2 é dado pela diferença entre o produto

dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária.



18

Exemplos

E 10) Calcular o valor dos determinantes:

a. 1 1

2 33 8

A = � 1 1

8 3 4 1 32 3

⋅ − ⋅ = − = det( ) 3A∴ =

b. ( ) cos( )

cos( ) ( )

sen x xB

x sen x=

− � 2 2( ) ( ) ( cos( ) cos( )) ( ) cos ( ) 1sen x sen x x x sen x x⋅ − − ⋅ = + =

det( ) 1B∴ =

E 11) Calcular o valor de x, x ∈� , na igualdade:

a. 3 3

04 3

x

x=

+ � 23 ( 3) 4 3 3 3 12 0x x x x⋅ + − ⋅ = + − = donde tiramos que

4

1

x

x

= −

=

2.3 Regra de Sarrus

Para determinantes de 3ª ordem usaremos um dispositivo prático conhecido como regra de

Sarrus (lê-se “Sarrí”).

O dispositivo consiste em:

1º. Repetir as duas primeiras colunas ao lado da terceira;

2º. Multiplicamos os elementos da diagonal principal de A. Segundo a direção da diagonal

principal, multiplicamos, separadamente, os elementos das outras duas “diagonais”. Conservando o

sinal dos elementos;

3º. Multiplicamos os elementos da diagonal secundária de A, trocando o sinal do produto obtido.

Segundo a direção da diagonal secundária, multiplicamos, separadamente, os elementos das outras

diagonais, também trocando o sinal dos produtos;

4º. Somamos todos os produtos obtidos nos passos 2º e 3º.

11 12 13 11 12

21 22 23 21 22

31 32 33 31 32

a a a a a

a a a a a

a a a a a



19

Exemplo

E 12) Calcular o determinante da matriz

2 3 5

1 1 2

3 4 3

−

.

Solução:

2 3 5 2 3

1 1 2 1 1

3 4 3 3 4

− − det( ) 32 10 22A∴ = − =

Exercícios

01.) Calcule:

a. 2 5

3 8 b.

3 2

5 1

− −

− − c.

4 3

2 1−

02.) Calcule o valor de 11 7 4 5

3 2 2 3y

−= +

−.

03.) Resolva, em � , a equação 2

4 3

x xx

+= .

04.) Resolva, em � , a equação 3

2.1 1

x

x x=

+ −

05.) Resolva, em � , a desigualdade

3

2 33

1 2 5

3 1

x

xx

x

−

−≥

−.

06.) Calcule o valor de cada um dos determinantes.

a.

3 7 2

4 1 1

2 2 3

−

−

−

b.

1 1 1

2 1 1

4 3 3

−

−

−

6− 18+ 20+ 32=

15+ 16− 9− 10= −



20

07.) Qual o valor de cada um dos seguintes determinantes:

a.

0 1 3

4 2 5

3 0 1

−

− −

b. 2

1 1

1

1

a

a a

a a

− −

08.) Sejam as matrizes 3 3( )ij xA a= , em que 1,

2,ij

se i ja

se i j

≥=

<, e 3 3( )ij xB b= , em que

1,

1,i j

se i jb

se i j

− ≥=

<. Qual o valor de det (A) + det (B)?

09.) Resolva, em � , a desigualdade

6 1 5 1 2 1

0 1 0 4

1 3 2 0 0 6

x x

− −

>

− −

.

10.) Sejam as matrizes 1 2

1 0A

=

, 1

2B

=

− e ( )5 1C = − Pede-se:

a. Calcular BC + 2A e CB.

b. Determinar λ de maneira que det( ) 0A Iλ− = , em que I é a matriz identidade de

ordem 2.

11.) Resolva, em � , as seguintes equações:

a.

1 2

1 1 6

3 2

x

x x

x

− + = b.

0 1

2 2 0

3 2

x

x x

x x

=

12.) Determine k para qual o determinante da matriz A é nulo.

1 1 1

2 3

1 0

A k

k

=

.

13.) Determine o valor de a para que a matriz 5

1 1/ 2

aA

=

tenha determinante nulo.

14.) Na matriz do Exercício 12, faça k = 0 e resolva a equação matricial

1

. 2

1/ 2

x

A y

z

=

. Dê o

valor de x – y – z.

15.) Resolva, em � , a equação

4 23

1 12 1

1 1 3

xx

x x

x

−

− =

+

.



21

16.) Calcule o valor de x para que o determinante da matriz A seja nulo.

1 2 1

4 9 4

6 7

A

x x

= −

.

Respostas

01.) a. 1 b. -7 c. – 10

02.) – 1

03.) S = { −4 }

04.) S = {−1, 5}

05.) 1

|3

S x x

= ∈ ≤ − �

06.) a. 105 b. 0

07.) a. −1 b. 3a a−

08.)08.)08.)08.) −3

09.) { }| 1S x x= ∈ > −�

10.) a. 7 3

8 2

− e ( 7 )

b. −1 ou 2

11.) a. {1}S = b. {0, 3, 3}S = −

12.) 3

2k =

13.) 10a =

14.) zero

15.) {2}S =

16.) x = 13



22

2.4 Menor Complementar Chamamos de menor complementar relativo ao elemento ija de uma matriz M quadrada e de

ordem n > 1, o determinante de ordem n – 1, associado à matriz obtida de M quando suprimimos a

linha e a coluna que passam por ija .

Exemplos

E 13) Dada a matriz 11 12

21 22

a aM

a a

=

determine o menor complementar ao elemento 21a .

Solução: 11 12

21 22

a a

a a

suprimindo a linha e coluna do elemento 21a obtemos então que o menor

complementar de 21a é 12a

E 14) Obter o menor complementar ao elemento 12a da seguinte matriz 4 2

5 6M

− =

.

Solução: na matriz M o elemento 12a = 2, então 4 2

5 6

−

encontramos 5 como menor

complementar ao elemento 12a .

E 15) Encontrar o menor complementar ao elemento 22a na matriz

2 0 1

3 1 2

1 1 2

M

=

.

Solução: Suprimindo linha e coluna do elemento 22a , obtemos

2 0 1

3 1 2

1 1 2

a matriz 2 1

1 2

que

tem como determinante o valor 3 e, portanto, o menor complementar do elemento 22a é igual a 3.



23

2.5 Cofator Chamamos de cofator relativo ao elemento ija de uma matriz quadrada de ordem n o

número ijA , tal que:

( 1)i j

ij ijA MC+= − ⋅

Exemplos

E 16) Dada a matriz 3 2

1 0A

− =

determine os cofatores 11A e 21A .

Solução: 1 111 ( 1) 0 0A += − ⋅ = 1 2

12 ( 1) 1 1A += − ⋅ = −

E 17) Dada a matriz

4 1 2

3 1 0

2 3 1

M

= − −

determine o cofator 23A .

Solução: 2 323

4 1( 1) 1 (4 3 2 1) 14

2 3A

+= − ⋅ = − ⋅ ⋅ + ⋅ = −−

23 14A∴ = −

2.6 Teorema de Laplace

O determinante de uma matriz quadrada de ordem n ( 2n ≥ ) pode ser obtido pela soma dos

produtos dos elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) da matriz M pelos respectivos

cofatores. Assim, fixando um j ∈� , tal que 1 j m≤ ≤ :

1

detm

ij ij

i

M a A=

=∑

O teorema de Laplace se aplica a qualquer ordem de uma matriz quadrada, porém, para

ordem 2 e 3 é mais interessante aplicar regras anteriormente vistas. Esse teorema é mais interessante

ser aplicado quando a matriz possui um grande número de elementos iguais a zero em suas linhas

ou colunas.



24

Exemplos

E 18) Calcule o determinante da matriz

3 1 2 1

5 2 2 3

7 4 5 0

1 1 11 2

D

− = −

−

.

Solução: Vamos escolher a 3ª linha da matriz D. e usando o teorema de Laplace então

teremos:

31 32 33 347 4 ( 5) 0D A A A A= ⋅ + ⋅ + − ⋅ + ⋅ Trocando pelos valores devidos temos:

431

1 2 1

( 1) 2 2 3 9

1 11 2

A

−

= − =

−

, 532

3 2 1

( 1) 5 2 3 20

1 11 2

A

−

= − = e 633

3 1 1

( 1) 5 2 3 7

1 1 2

A = − =

−

não calculamos o 34A pois não há necessidade uma vez que ele está sendo multiplicado por zero.

7 9 4 20 ( 5) 7 108D = ⋅ + ⋅ + − ⋅ =

E 19) Qual é o valor de

1 0 10 0

3 2 1 1

5 0 3 2

9 0 4 7

D− −

=− −

−

.

Solução: Vamos escolher a segunda coluna, pois, ela apresenta um grande número de

elementos com valor zero e isso facilita as contas.

12 22 32 42 220 ( 2) 0 0 2D A A A A A= ⋅ + − ⋅ + ⋅ + ⋅ = − ⋅ Assim basta calcular apenas esse último termo.

2 222

1 10 0

( 1) 5 3 2 183

9 4 7

A += − ⋅ − − = −

−

, segue que ( 2) ( 183) 366D = − ⋅ − =



25

Exercícios

01.) Calcule os seguintes determinantes:

a.

3 4 2 1

5 0 1 2

0 0 4 0

1 0 3 3

− −

−

b.

2 3 1 7

0 1 2 0

3 4 5 1

1 0 2 1

−

−

−

− −

c.

1 1 5 1

0 3 2 1

0 0 7 1

0 0 0 4

−

−

02.) Calcule os seguintes determinantes:

a.

0 5 3 4

11 1 2 7

0 0 0 0

4 3 2 1

−

−

− −

b.

0 1

0 1 0 0

0

1 0

a b

a a b

b a

c.

1 0

0 1

0 0 0 2

1 1

x y

y x

x y

−

− −

−

03.) Resolva, em � , a equação:

0 0 3

1 0 03.

0 1 1

0 0 1 2

x

x

x

−=

−

− −

04.) Resolva, em � , a equação:

2 0 1 2

1 2 1 379

0 0 1 1

3 1 2 0

x

−= −

−

− −

.

05.) Calcule

2 2 3 4 2

0 1 0 0 0

.0 4 0 2 1

0 5 5 1 4

0 1 0 1 2

−

−

−



26

Respostas

01.) a. – 208 b. – 3 c. 84

02.) a. 0 b. 2 2a b+ c. 22 (1 )x y− +

03.) 1

0,2

S

=

04.) { }5S =

05.) 50−

2.7 Propriedades dos Determinantes Em alguns casos, o cálculo de determinantes pode ser simplificado como auxílio de algumas

propriedades.

2.7.1 Fila Nula

Quando todos os elementos de uma fila (linha ou coluna) são nulos, o determinante dessa

matriz também é nulo.

Exemplos: a.

3 0 2

1 0 5 0

2 0 7

− =

−

b.

4 9 8 5

0 0 0 00

1 1 2 3

3 4 1 1

−

=− −

2.7.2 Filas Paralelas iguais

Se duas filas paralelas de uma matriz são iguais, então seu determinante é nulo.

Exemplo:

2 1 3 5

2 1

1 4 5 00

7

3 5

8 1 3

−=

−



27

2.7.3 Filas Paralelas Proporcionais

Se duas filas paralelas de uma matriz são proporcionais, então seu determinante é nulo.

Exemplo:

4 4 21 2

1

1 1

2 4 2 1 2 0

2 6 2

2

3 3 32

⋅

= ⋅ =

⋅

2.7.4 Filas Paralelas com Combinações Lineares

Se os elementos de uma fila de uma matriz são combinações lineares dos elementos

correspondentes de filas paralelas, então o seu determinante é nulo.

Exemplos:

a.

1 3 4 1 3 41 3

2 42 4 6 2 4 6 0

3 2 5 3 2 53 2

=

=

+

=

=

+ =

+

b.

3 4 1 3 4 1

1 2 3 1 2

2 3 1

3 0

7 10 5 7 10 52 4 2 2 1 3⋅ + ⋅ + ⋅ +

= =

= = =

2.7.5 Teorema de Jacobi

O determinante de uma matriz não se altera quando somamos aos elementos de uma fila

uma combinação linear dos elementos correspondentes de filas paralelas.

Exemplo:

1 2 3

2 1 2 9

2 4 3

= �

1 2 2 2 3 5 2 3

2 1 2 1 2 4 1 2 9

2 4 2 4 3 10 4 3

+ ⋅

+ ⋅ = =

+ ⋅

2.7.6 Matriz Transposta

O determinante de uma matriz e o de sua transposta são iguais.

Exemplo:

1 2 3

det( ) 2 1 2 9

2 4 3

A = =

1 2 2

det( ) 2 1 4 9

3 2 3

TA = =



28

2.7.7 Produto de uma fila por um escalar

Multiplicando por um número real todos os elementos de uma fila em um matriz, o

determinante dessa matriz fica multiplicado por esse número.

Exemplo:

1 2 3

2 1 1 4

3 2 1

− = − multiplicando a primeira coluna por 2

2

2

2

1 2 3

2 1 1 2 ( 4) 8

3 2 1

⋅

⋅ − = ⋅ − = −

⋅

2.7.8 Troca de filas paralelas

Quando trocamos as posições de duas filas paralelas, o determinante de uma matriz muda de

sinal.

Exemplo:

2 1 1 4

3 2

1 2 3

1

− = − trocando-se a primeira linha com a segunda 1 2 3 4

3 2

2 1 1

1

= +

−

2.7.9 Matriz Triangular

Quando, em uma matriz, os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são todos

nulos, o determinante é igual ao produto dos elementos dessa diagonal.

Exemplos:

a. 3 2

2

4

1

0 0

0 4 ( 1) 8

1 7

= ⋅ ⋅ − = −

−

b.

1

3

4

2 2

7 1 30

0

4 12

0

−

= ⋅ ⋅ =

2.8 Outras Propriedades

2.8.1 Teorema de Binet

Sejam duas matrizes quadradas A e B de mesma ordem, temos:

det( ) det( ) det( )AB A B= ⋅

obs.: Como 1A A nI−⋅ = , pelo teorema acima, temos que:

1 1det( )

det( )A

A

− =



29

2.8.2 Produto de um escalar por toda a matriz

Quando todos os elementos de uma matriz é multiplicada por um escalar k o seu

determinante fica multiplicado por nk , onde n é a ordem da matriz.

Se k ∈� , então det( ) det( )nk A k A⋅ = ⋅ .

Exemplo:

2 1

4 5A

=

� det(A) = 6 6 3

312 15

A

=

� det(3A) = 54

det( ) det( )nk A k A⋅ = ⋅ � 54 = 32. 6

Exercícios

01.) Se 1

2

x y

z w= , qual é o valor de (diga qual a propriedade que usou):

a. x z

y w b.

2

2

x z

y w

02.) Se 3

a b c

d e f

g h i

= − , qual é o valor de

6 6 6

6 6 6

6 6 6

a d g

b e h

c f i

?

03.) Sejam A e B matrizes quadradas de ordem 3, det( ) 5A = e det( ) 3B = . Qual é o valor de:

a. det( )A B⋅

b. det( )T TB A⋅

c. det(2 )TA

Respostas

01.) a. 1

2 ( det( ) det( )TA A= ) b. 1 ( prop 2.7.7 e 2.7.6)

02.) 36 ( 3) 648⋅ − = −

03.) a. 15 b. 15 c. 40



30

2.9 Regra de Chió A regra de Chió nos permite passar de uma matriz de ordem n para outra de ordem n – 1, de

igual determinante. Para que a regra seja aplicada, a matriz deve ter pelo menos um de seus

elementos igual a 1 e de preferência na posição 11a .

Exemplos

E 20) Calcule, usando a regra de Chio, o determinante da seguinte matriz:

5 2 2 1 2 3 3 2 0 1 5 35 1 3

1 ( 3) 2 2 ( 3) 3 5 ( 3) 0 7 11 51 2 5

6 ( 4) 2 7 3 ( 4) 2 0

2 3

( 4) 2 19 26 7 2

0

2

3

4

1Chió

− ⋅ − ⋅ − − ⋅ − −−

= − − ⋅ − − ⋅ − − ⋅ =

− − − ⋅ − ⋅ − − ⋅ −−

−

−

Aplicando a regra

novamente, temos:

11 7 ( 5) 5 7 ( 3) 46 2611 5 386

19 2( 5) 2

5

2 ( 3) 29 8

31

12 2

7

9

− ⋅ − − ⋅ −= = = −

− − − ⋅ −

− −

E 21) Calcule, usando a regra de Chio, o determinante de:

1 2

7 4

2

3

1

0 3

− Vamos trocar a segunda com a primeira linha e em seguida aplicarmos a Regra de Chio.

7 3 2 4 3 ( 1) 1 7( 19) 19

3 0 2 2 0 (

1 2

1)3

27 4

30 2

1

3

− ⋅ − ⋅ −− = − = − = − − =

− ⋅ − ⋅ −

−

E 22) Calcule, usando a regra de Chio, o determinante de:

2 2 2 2

2 2 2 3

2 2 3 3

2 3 3 3

Temos que dividir toda a primeira coluna por 2, daí:

2 2 20 0 1

2 2 30 1 1 ( 1) 2

2 3 31 1 1

3 3

1

12 2

3

1

1

Chió

⋅ = = ⋅ − = −



31

Exercícios

01.) Calcule, usando a regra de Chió:

a.

1 2 3

1 4 7

0 3 2

− b.

1 0 0 0

5 4 3 2

1 3 2 0

0 1 0 1

−

−

c.

0 1 3 0

3 5 1 1

1 4 0 0

0 2 1 1

−

−

02.) Calcule, usando a regra de Chió:

a.

3 3 3

4 5 6

1 0 2−

b.

5 3 2 0

0 2 4 6

2 4 2 8

2 0 3 0

−

−

c.

4 2 11

6 3 9

7 1 5

−

03.) Mostre que ( )( )( ).

a a a a

a b b ba b a c b d c

a b c c

a b c d

= − − −

04.) Resolva a equação 2

1 2 1

0 2.

3 7 4

x x =

Respostas

01.) a. 18− b. 21− c. 55−

02.) a. 3 b. 460 c. 87−

03.) Demonstração

04.) {2, 1}S = −



32

A1 – Apêndice Capitulo 02 - Matriz Inversa (parte II)

Com vimos anteriormente, a matriz M, de ordem n, admite inversa se, e somente se,

det(M) 0≠ . Sua inversa é representada por 1M− .

Para o cálculo da inversa usaremos o seguinte teorema.

1 1M M

det(M)− = ⋅ onde M é a matriz adjunta.

Calculamos a inversa conforme a ordem:

a. O determinante de M.

b. A matriz M’, chamada matriz dos co-fatores, substituindo cada elemento de M pelo

respectivo cofator.

c. A matriz M , chamada matriz adjunta que é a transposta de M’. M (M ')T=

d. A inversa 1M− , multiplicando M por 1

det( )M.

Exemplos

E 23) Obter a matriz inversa de 4 1

11 3M

=

.

Resolução: Seguindo os passos corretos temos:

a. O det (M) = 12 – 11 = 1

b. M’ = 1 1 1 2

2 1 2 2

( 1) 3 ( 1) 11

( 1) 1 ( 1

3 11

14 4)

+ +

+ +

− ⋅ − ⋅ =

− ⋅ − ⋅ −

−

c. 13

(1

')1 4

TM M

−

= =

−

d. 1 3 1 3 11 1

11 4 11 4det( ) 1M M

M

−− −

= ⋅ = ⋅ = − −

1 3 1

11 4M

−−

∴ = −



33

E 24) Calcular a inversa da matriz

1 2 1

0 3 2

0 0 1

.

Resolução:

a. det( ) 3M =

b.

1 1 1 2 1 3

2 1 2 2 2 3

3 1 3 2 3 3

3 2 0 2 0 3( 1) ( 1) ( 1)

0 1 0 1 0 0

2 1 1 1 1 2' ( 1) ( 1) ( 1)

0 1 0 1 0 0

2 1 1 1 1 2( 1) ( 1) ( 1)

3 2 0 2 0 3

M

+ + +

+ + +

+ + +

− ⋅ − ⋅ − ⋅

= − ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅

=

3 0 0

2 1 0

1 2 3

− −

c.

3 2 1

( ') 0 1 2

0 0 3

TM M

−

= = −

d. 1

3 2 1 1 2 / 3 1/ 31 1

0 1 2 0 1/ 3 2 / 3det( ) 3

0 0 3 0 0 1

M MM

−

− −

= ⋅ = ⋅ − = −

Exercícios

01.) A inversa da matriz 4 3

1 1

é?

02.) Dada a matriz 1 0

0 1M

− =

, determinar o número real α tal que 1M M Mα−+ = ⋅ .

03.) (MACK) Seja a b

Ac d

=

com ad bc≠ , determine 1A− .

04.) Sejam 1 2

1 4A

=

e 2 1

Bx y

− =

duas matrizes. Se B é a inversa de A, então qual o valor

de x + y.

05.) Se 2 1

Ax x

=

, então o número de valores de x tais que 1 3 0

0 3A A

− + =

é:



34

Respostas

01.) 1 3

1 4

−

−

02.) α = 2

03.) 1 d b

c aad bc

− ⋅

−−

04.) 0

05.) 1



35

Capítulo 03

Sistemas Lineares

3.0 Equação Linear

É toda equação da forma:

1 1 2 2 ...n n

a x a x a x b+ + + = onde a1, a2, a3, ..., an são números reais que recebem o nome de

coeficientes das incógnitas X1, X2, ..., Xn e b é um número real chamado termo independente.

Observação: Quando b = 0 a equação recebe o nome de linear homogênea. Exemplos: São Lineares: 1) 3 2 4 7

2) 3 7 0 (homogênea)

3) 3 8

x y z

x y z t

xy z t

− + =

+ − − =

− + =

3.1 Sistema Linear

Um conjunto de equações lineares da forma:

11 1 12 2 13 3 1 1

21 1 22 2 23 3 2 2

1 1 2 2 3 3

...

...

...

...

n n

n n

m m m mn n m

a x a x a x a x b

a x a x a x a x b

a x a x a x a x b

+ + + + =

+ + + + = + + + + =

É um sistema linear de m equações e n incógnitas.



36

3.2 Solução do sistema linear Chamamos de solução do sistema a n-upla de números reais ordenados 1 2 3( , , ,..., )

nr r r r que é,

simultaneamente, solução de todas as equações do sistema.

3.3 Matrizes Associadas A Um Sistema Linear

3.3.1 Matriz Incompleta

É a matriz A, formada pelos coeficientes das incógnitas do sistema. Exemplo:

Em relação ao sistema:

2 3 0

4 7

2 4

x y z

x y z

x y z

+ − =

+ + =− + + =

a matriz incompleta é:

2 3 1

4 1 1

2 1 1

A

−

= −

3.3.2 Matriz Completa

É a matriz B, que obtemos ao acrescentarmos à matriz incompleta uma última coluna

formada pelos termos independentes das equações do sistema.

Exemplo:

2 3 0

4 7

2 4

x y z

x y z

x y z

+ − =

+ + =− + + =

a matriz completa é

2 3 1

4 1 1

2 1 1

0

7

4

B

−

= −



37

3.4 Sistemas Homogêneos O sistema:

11 1 12 2 13 3 1

21 1 22 2 23 3 2

1 1 2 2 3 3

... 0

... 0

...

... 0

n n

n n

m m m mn n

a x a x a x a x

a x a x a x a x

a x a x a x a x

+ + + + =

+ + + + = + + + + =

É homogêneo, pois os termos independentes de todas as equações são nulos.

2 3 0

4 0

2 0

x y z

x y z

x y z

+ − =

+ + =− + + =

3.4.1 Soluções de um sistema homogêneo

A n-upla (0, 0, ..., 0) é sempre a solução de um sistema homogêneo com n incógnitas e

recebe o nome de solução trivial. Quando existem, as demais soluções são chamadas não-triviais.

3.4.2 Classificação de um sistema quanto ao número de

soluções

1) O sistema:

8

2 1

x y

x y

+ =

− = Tem uma única solução: o par ordenado (3,5). Nessas condições o sistema é possível

(tem solução) e determinado (solução única).

2) O sistema:

8

2 2 16

x y

x y

+ =

+ = Verificamos que os pares ordenados (0, 8), (1,7), (2,6), (3,5), (4,4)... São

algumas das soluções. Nessas condições, o sistema é possível e indeterminado (infinitas soluções).



38

3) Dado o sistema:

10

10

x y

x y

+ =

− − = Vemos que nenhum par ordenado faz parte da solução desse sistema. Nessas

condições, o sistema é impossível (não tem solução).

determinado

indeterminado

SPDpossível

sistema SPI

SIimpossível

=

→ = =

3.5 Teorema de Cramer

Considere um sistema linear onde o número de equações é igual ao número de incógnitas.

Teremos então uma matriz quadrada A e seja D = det(A).

Teorema.

Seja S um sistema linear com o número de equações igual ao de incógnitas. Se 0D ≠ , então

o sistema será possível e terá solução única 1 2 3( , , ,... )n

α α α α , tal que:

ii

D

Dα = {1, 2,3,..., }i n∀ ∈

Exemplos

E 25) Seja o sistema:

6

4

2 1

x y z

x y z

x y z

+ + =

− − = − − + =

temos

1 1 1

1 1 1 4 0

2 1 1

D = − − = − ≠

−

, logo há uma única solução.

1

6 1 1

4 1 1 4

1 1 1

D = − − − = −

−

2

1 6 1

1 4 1 12

2 1 1

D = − − = − 3

1 1 6

1 1 4 8

2 1 1

D = − − = −

−

logo: 1 41

4

Dx

D

−= = =

−; 2 12

34

Dy

D

−= = =

− 3 8

24

Dz

D

−= = =

−

Portanto a solução única desse sistema (1, 3, 2)



39

E 26) Em um sistema 2x2:

8

2 1

x y

x y

+ =

− = temos

1 13

2 1D = = −

−

1

8 19

1 1D = = −

− 2

1 815

2 1D = = −

1 93

3

Dx

D

−= = =

− 2 15

53

Dy

D

−= = =

− Temos a solução o par (3, 5)

Exercícios

01.) Resolver os sistemas pela regra de Cramer.

a. 4 0

3 2 5

x y

x y

− − =

+ = b.

2 2

3 3

x y

x y

− =

− + = − c.

3 1

2 3 1

4 2 7

x y z

x z

x y z

− + =

+ = − + − =

d.

5

2 4 4

3 2 3

x y z

x y z

x y z

− + − =

+ + = + − = −

e.

1

2 2

0

2 2 1

x y z t

x y z

x y z t

x z t

+ + + =

− + =

− + − − = + + = −

f.

1

2 2

2 1

3 2 0

x y z t

x y z

x y z t

x y z t

+ + + =

− + + =

− − − = − − + + =

02.) (MAPOFEI) Resolver, aplicando a regra de Cramer, o seguinte sistema:

1

2 3 3 2

1

x y

x y z

x z

+ =

− + − = + =

03.) Se (x,y) é a solução de 2 5

4 2

x y

x y

+ =

− =então o valor de x + y vale?

04.) Sabendo que a + b = 1200, b + c = 1100 e a + c = 1500, então a + b + c vale?

05.) No sistema

2 3 1

3 3 8

2 0

x y z

x y z

y z

+ + =

− + = + =

o valor de z – xy é:



40

Respostas

01.)

a. 1

2,2

−

b.

3 4,

5 5

−

c. ( )1,1, 1− d. ( )2,3,0− e. 1 11

4, , , 22 2

−

f. ( )0,0,2, 1−

02.) (−1,2,2) 03.) 3 04.) 1900

05.) 3

3.5 Discussão De Um Sistema Linear

Vimos que um sistema pode ser classificado da seguinte forma:

determinado

indeterminado

SPDpossível

sistema SPI

SIimpossível

=

→ = =

Exemplos E 27) Considere o sistema:

2 9

2 3

3 2 4

x y z

x y z

x y z

+ + =

+ − = − − = −

escalonando o sistema chegamos à

2 9

5

2 4

x y z

y z

z

+ + =

+ = =

O sistema agora na forma escalonada e com o número de equações igual ao número de

incógnitas, segue-se que é possível e determinado (SPD). (1,3,2)



41

E 28) Considere o sistema

3 1

3 3 2 0

2 2 4

x y z t

x y z t

x y z t

+ − + =

+ + + = + + − =


3 1

10 3

7 4 2

x y z t

z t

y z t

+ − + =

− = −− + − =

O sistema agora na forma escalonada e com o número de equações menor que o de

incógnitas, segue-se que é possível e indeterminado.(SPI)


4

3 2 0

5 5 4

x y z

x y z

x y z

− + =

+ + = + + = −


4

5 2 12

10 4 24

x y z

y z

y z

− + =

− = − − = −

Esse novo sistema é equivalente a

4

5 2 12

0 0 0

x y z

y z

y z

− + =

− = − + =

pois a terceira linha é proporcional à segunda.

O sistema então fica com o número de equações menor que o de incógnitas, segue-se que é

possível e indeterminado. (SPI)


4 8

3 15

10 12 7

x y

x y

x y

+ = −

− = − =

escalonando o sistemas chegamos à

4 8

13 39

0 69

x y

y

y

+ = −

− = = −

O sistema então não haverá solução, pois, nenhum valor para y satisfaz a terceira equação. O

sistema é impossível (SI).



42

Exercícios

01.) Escalonar, classificar e resolver os sistemas:

a.

2 1

2

2 2

x y z

x y z

x y z

− − =

− + + = − + = −

b.

2 1

2 3 2

2 2 0

x y z

x y t

x y z t

− + − =

− + = − + − =

c.

3 2 2

3 5 4 4

5 3 4 10

x y z

x y z

x y z

+ + =

+ + = + + = −

d.

1

3 2 2

2 3 2 1

x y z t

x y z t

x y z t

+ − + =

− − + =− − + + = −

e.

1

1

2 2

2 1

x y z t

x y z t

y z t

x z t

+ + + =

− + + = −

− + = + − = −

f.

2 3 5

2 5 2 3

3 2

x y z

x y z

x y z

− − =

− + + = − + − =

Respostas

01.)

a. SPD (-11, -6, -3) b. SPI c. SI d. SPI e. SPD (-1/5, 1, -1/5, 2/5) f. SI



43

Capítulo 04

Vetores

4.0 Vetores

Vetores são representados geometricamente como segmentos de reta orientados ou como

flechas nos espaços bi e tridimensionais. Se o ponto inicial de um vetor v é A e o ponto final é B,

então escrevemos:

v AB=�

4.0.1 Soma de Vetores

Regra do paralelogramo

Sejam v e w dois vetores quaisquer. A soma v + w é representado na figura a seguir.



44

4.0.2 Vetor Oposto

Se v é um vetor não nulo então chamamos de oposto de v o vetor –v. Esse vetor tem a

propriedade.

( ) 0v v+ − =

4.0.3 Produto Por Um Escalar

Dado um vetor 0v ≠ e um número real 0k ≠ , chama-se produto do número real k pelo vetor

v o vetor p = kv, tal que:

a) módulo: p kv k v= =

b) direção: a mesma de v

c) sentido: o mesmo de v se k > 0

contrário de v se k < 0



45

4.1 Vetores Em Sistemas De Coordenadas

4.1.1 Vetores no 2�

O conjunto 2 {( , ) | , }x y x y= × = ∈� � � � é interpretado geometricamente como sendo o

plano cartesiano xOy. Seja v qualquer vetor no plano e suponha que v tenha sido posicionado na

origem de um sistema de coordenadas cartesianas. As coordenadas 1 2( , )v v do ponto final de v são

chamadas componentes de v e escrevemos como 1 2( , )v v v= .

4.1.1.1 Igualdade e Operações

• IGUALDADE:

Dois vetores 1 1( , )u x y= e 2 2( , )v x y= são iguais se, e somente se 1 2x x= e 1 2y y= e

escreve-se u = v.

Exemplo

E 31) Se o vetor u = (x + 1,4) é igual ao vetor v = (5, 2y − 6) quais os valores de x e y?

Pela definição de igualdade temos x + 1 = 5 � x = 4 e 2y – 6 = 4 � y = 5.



46

• ADIÇÃO EM TERMOS DE COMPONENTES:

Considere dois vetores 1 1( , )u x y= e 2 2( , )v x y= a soma desses vetores é dada por:

1 2 1 2( , )u v x x y y+ = + +

Exemplo

E 32) Seja u = (2, 3) e v = ( -5, 1) vetores em 2

� . Calcule a soma u + v.

(2 5,3 1) ( 3, 4)u v+ = − + = − ∴ ( 3, 4)u v+ = −

• MULTIPLICAÇÃO POR UM ESCALAR:

Seja v um vetor ( , )v x y= e k um escalar representamos o vetor kv por:

( , ) ( , )kv k x y kx ky= =

Exemplos

E 33) Seja u = (2, 3) e k = 3 o vetor ku será representado por 3.(2,3) = (6,9)

E 34) Considere v = ( -1, 4) e k = 5− o vetor kv será representado por:

– 5. (-1,4) = (5, - 20).

E 35) Seja 2

7k = e v = ( -1,-1) calcule o vetor .k v .

2 2 2( 1, 1) ,

7 7 7

− − = − −



47

4.1.2 Vetores no 3�

O conjunto 3 {( , , ) | , , }x y z x y z= × × = ∈� � � � � é interpretado geometricamente como

sendo o espaço cartesiano tridimensional Oxyz.

Da mesma forma que fazemos para o plano, consideramos geralmente vetores representados

por segmentos orientados com a origem na origem do sistema. Nessas condições, cada vetor do

espaço é determinado pelo ponto extremo do segmento. Assim, o ponto P(x,y,z) individualiza o

vetor v OP=�

e escreve-se:

V = (x, y, z)

A origem do sistema O(0,0,0) representa o vetor nulo.

O vetor oposto de v = (x,y,z) é o vetor –v = (-x,-y,-z).

Assim também temos que:

I) Dois vetores 1 2 3 1 2 3( , , ) e ( , , )u u u u v v v v= = são iguais se, e somente se

1 1 2 2 3 3 u v e u v e u v= = = .

II) Dados os vetores 1 2 3 1 2 3( , , ) e ( , , )u u u u v v v v= = e α ∈� , define-se:

i. 1 1 2 2 3 3( , , )u v u v u v u v+ = + + +

ii. 1 2 3( , , )u u u uα α α α=



48

Exemplos

E 36) Calcule a soma v + u, sendo u = (3,0,2) e v = (-2, -9, 8).

Resolução:

u + v = (3+(-2), 0 + (-9), 2 + 8) = ( 1, -9, 10) (1, 9,10)u v∴ + = −

E 37) Seja 2α = e dado o vetor (1, 6,5)v = − Calcule αv.

Resolução:

αv = 2. (1, 6,5)− = (2.1,2.(-6),2.5) = (2, -12, 10) v (2, 12,10)α∴ = −

E 38) Seja 2

7k = e v = ( -1,-1, -1) calcule o vetor .k v .

Resolução:

.k v = ( )2

1, 1, 17

⋅ − − − =2 2 2

, ,7 7 7

− − −

4.2 Componentes de um Vetor

Às vezes um vetor ( 2� ou 3

� ) não está posicionado com seu ponto inicial na origem. Se o

vetor 1 2v PP=�

:

• Em 2� como ponto inicial 1 1 1( , )P x y= e ponto final em 2 2 2( , )P x y= , então:

1 2 2 1 2 1( , )v PP x x y y= = − −�

• Em 3� como ponto inicial 1 1 1 1( , , )P x y z= e ponto final em 2 2 2 2( , , )P x y z= , então:

1 2 2 1 2 1 2 1( , , )v PP x x y y z z= = − − −�



49

Exercícios

01.) Considere os seguintes vetores u = (9,3), w = (-1, 3, 4), v = (2,-5), p = (3,-2,-1), q = (2,0),

t = (3,4) e m = (3,0,-2).

Calcule:

a. v + u

b. w – p

c. 4.t + 3.q

d. u – t

e. 3.(q+u) – 2(v + t)

f. m + p

02.) Em um sistema cartesiano de coordenadas esboce os vetores 2� do exercício 1.

03.) Em um sistema cartesiano de coordenadas esboce os vetores 3� do exercício 1.

04.) Encontre os componentes do vetor de ponto inicial 1u e ponto final 2u .

a. 1 2(4,8), (3,7)u u

b. 1 2(3, 5), ( 4, 7)u u− − −

c. 1 2(0,0), ( 3,1)u u −

d. 1 2(4,8,2), (3,7, 1)u u −

e. 1 2(3, 7, 2), ( 2,5, 1)u u− − −

Respostas

01.) a. (11, -2), b. (-4, 5,5), c. (18,16), d. (6,-1), e. (23,11), f. (6,-2,-3)

02.) desenho individual

03.) desenho individual

04.) a. (−1,−1), b. (−7,−2), c. (−3,1), d. (−1,−1,−3) e. (−5,12,−3)


50

4.3 Norma de um Vetor

O comprimento de um vetor u é muitas vezes chamado de norma de u e é denotado por u .

4.3.1 Em 2�

A norma do vetor u pode ser

calculada aplicando o teorema de

Pitágoras.

2 21 2( ) ( )u u u= +

4.3.2 Em 3�

A norma do vetor u pode ser

aplicada usando o teorema de

Pitágoras duas vezes chegando

ao resultado final como:

2 2 2u x y z= + +


51

Exemplo

E 39) Calcule a norma dos vetores nos seguintes casos:

a. v = ( 2, -3 ) � 2 22 ( 3) 4 9 13v = + − = + =

b. v = (-3, 5, 2) � 2 2 2( 3) 5 2 9 25 4 38v = − + + = + + =

4.4 Distância Como, em 2

� , 1 2 2 1 2 1( , )v P P x x y y= = − −�

o cálculo da distância será dado por:

2 2

2 1 2 1( ) ( )d x x y y= − + −

Em 3� , 1 2 2 1 2 1 2 1( , , )v P P x x y y z z= = − − −

� o cálculo da distância será dado por:

2 2 22 1 2 1 2 1( ) ( ) ( )d x x y y z z= − + − + −

Exemplo

E 40) Calcule a distância d entre os pontos: 1 (2, 1, 5)P = − − e 2 (4, 3,1)P = −

2 2 2(4 2) ( 3 1) (1 5) 44 2 11d = − + − + + + = =

4.5 Aritmética Vetorial

O seguinte teorema aborda as mais importantes propriedades de vetores nos espaços bi e

tridimensionais.

TEOREMA: Se u, v e w são vetores de um espaço bi ou tridimensional e k e l são escalares, então

valem as seguintes relações.

a. u + v = v + u

b. (u + v) + w = u + (v+w)

c. u + 0 = 0 + u

d. u + (-u) = 0

e. k(lu) = (kl)u

f. l(u+v) = lu + lv

g. (k + l)v = kv + lv

h. 1.u = u


52

Exercícios

01.) Encontre a norma de v

a. v = (4, -3)

b. v = (2,3)

c. v = (-5, 0)

d. v = (2,2,2)

e. v = (-7,2,-1)

f. v = (0,6,0)

02.) Encontre a distância entre 1P e 2P .

a. 1 2(3, 4), (5,7)P P

b. 1 2( 3,6), ( 1, 4)P P− − −

c. 1 2(7, 5,1), ( 7, 2, 1)P P− − − −

d. 1 2(3,3,3), (6,0,3)P P

03.) Sejam u = ( 2, -2, 3), v = (1, -3, 4) e w = (3,6,-4). Calcule o pedido:

a. u v+

b. u v+

c. 2 2u u− +

d. 3 5u v w− +

e. 1

.ww

f. 1

.ww

04.) Seja v = (−1, 2,5). Encontre todos os escalares k tais que 4kv =

05.) Sejam u = (7, −3, 1), v = (9,6,6), w = (2,1,−8), k = −2 e l = 5. verifique que estes vetores e

escalares satisfazem as seguintes identidades do teorema da aritmética vetorial.

a. Parte (b)

b. Parte (e)

c. Parte (f)

d. Parte (g)

06.) Mostre que se w é qualquer vetor não – nulo, então 1

.ww

é um vetor unitário

Obs.: Vetor unitário é todo vetor que possui norma igual a 1.


53

Respostas

01.) a. 5, b. 13 , c. 5, d. 2 3 , e. 3 6 , f. 6

02.) a. 13 , b. 2 26 , c. 209 , d. 3 2

03.) a. 83 , b. 17 26+ , c. 4 17 , d. 466 , e. 3 6 4

, ,61 61 61

−

, f. 1

04.) 4 2 30

1530k = ± = ±

05.) e 06.) demonstração

4.6 Produto Escalar

Sejam u e v dois vetores não-nulos nos espaços bi e tridimensionais e suponha esses

vetores posicionados de tal modo que seus pontos iniciais coincidam. Esses vetores formam

um ângulo θ entre si tal que 0 θ π≤ ≤ .

DEFINIÇÃO: Se u e v são vetores em 2 3 ou� � e θ o ângulo entre eles, então o

produto escalar ou produto interno será definido por:

cos 0 0

0 0 0

u v se u e vu v

se u ou v

θ ≠ ≠⋅ =

= =


54

Exemplo

E 41) Sejam os vetores u = (0,0,1) e w = (0,2,2) calcule o produto interno deles sendo

considerado 045 o ângulo entre eles.

( ) ( )2 2 2 2 2 2 00 0 1 0 2 2 .cos(45 )v w⋅ = + + + + 2u w∴ ⋅ =

4.7 Produto Escalar em Termos de Componentes

Sejam 1 2 3 1 2 3( , , ) e ( , , )u u u u v v v v= = dois vetores não-nulos e θ o ângulo entre eles.

Obs.: O produto escalar pode ser denotado como u v⋅ ou também pela forma ,u v< >

Pela lei dos co-senos temos que:

2 22 cos( )PQ u v u v θ= + −

�

e como PQ v u= −�

, podemos escrever

que:

2 2 21cos( ) ( )

2u v u v v uθ = + − −

Simplificando a expressão temos 2 2 21

( )2

u v u v v u⋅ = + − − e substituindo os valores

2 2 2 21 2 3u u u u= + + ,

2 2 2 21 2 3v v v v= + + e

2 2 2 21 1 2 2 3 3( ) ( ) ( )v u v u v u v u− = − + − + +

chegamos a:

1 1 2 2 3 3. . .u v u v u v u v⋅ = + +

de demonstração análoga para 2� temos o produto escalar dado por:

1 1 2 2. .u v u v u v⋅ = +


55

Exemplos

E 42) Sejam u = (3,−1), v = (2,2) e w = (9,−3) calcule:

a. <u,v>

Resolução: 3.2 + -1.2 = 6 – 2 = 4

b. <(u+v),w>

Resolução < (5,1), (9,−3)> = 5.9 + 1.-3 = 45 + (−3) = 42

c. <v,w>

Resolução

2.9 + 2.(−3) = 18 + (−6) = 12

E 43) Considere u = (−1,2,3) e v = (2,2,2). Calcule o produto escalar entre eles.

Resolução:

<u,v> = −1.2 + 2.2 + 3.2 = −2 + 4 + 6 = 8

E 44) Sejam v = (a,b) e w = (p,q) calcule o produto interno entre eles.

Resolução:

<v,w> = a.p + b.q

4.8 Ângulo Entre Vetores

Considere dois vetores u e v em 2 3 ou� � ambos. Como podemos escrever o produto

interno deles como sendo cos( )u v u v θ⋅ = então podemos isolar o cos( )θ ficando com:

cos( )u v

u vθ

⋅=

Obs. Para encontrar o ângulo devemos usar a função arccos ( a função 1cos−de sua

calculadora científica)


56

Exemplo

E 45) Considere os vetores u = (2, -1, 1) e v = (1, 1, 2). Determine o ângulo entre u e v.

2.1 ( 1).1 1.2 1cos( )

26. 6

u v

u vθ

⋅ + − += = = e portanto 01

arccos 602

=

TEOREMA: Sejam u e v vetores em 2 3 ou� � :

a) 2

v v v⋅ =

b) se os vetores são não–nulos e θ o ângulo entre eles, então

, 0

, 0

, 0

é agudo se e somente se u v

é obtuso se e somente se u v

é reto se e somente se u v

θ

θ

θ

⋅ >

⋅ <

⋅ =

Exemplo

E 46) Se u = (1,−2,3), v = (−3,4,2) e w = (3,6,3), Calcule:

a. <u,v>

Resolução: 1 ( 3) ( 2) 4 3 2 3 8 6 5⋅ − + − ⋅ + ⋅ = − − + = − então θ é obtuso

b. <v,w>

Resolução: 3 3 4 6 2 3 9 24 6 21− ⋅ + ⋅ + ⋅ = − + + = então θ é agudo

c. <u,w>

Resolução: 1 3 ( 2) 6 3 3 3 12 9 0⋅ + − ⋅ + ⋅ = − + = então u e w são perpendiculares.


57

4.9 Vetores Ortogonais

São vetores, não – nulos, perpendiculares ente si, denotamos por u v⊥ . Sejam dois

vetores u e v ( 2 3 ou� � ) se 0u v⋅ = então dizemos que os vetores são perpendiculares.

TEOREMA: Sejam u, v e w vetores em 2 3 ou� � e l um escalar, então:

)

) ( )

) ( ) ( ) ( )

) 0 0 0 0

a u v v u

b u v w u v u w

c l u v lu v u lv

d v v se v e v v se v

⋅ = ⋅

⋅ + = ⋅ + ⋅

⋅ = ⋅ = ⋅

⋅ > ≠ ⋅ = =

Exemplo

E 47) Calcule o valor de k para que o produto escalar entre u = (k, 2) e v = (3,1) seja zero.

Resolução:

<u,v> = k.3 + 2.1 = 0 � 3k + 2 = 0 � 2

3k = −

E 48) Sabe-se que os vetores u = (1,-2,-1) e w = (k, -2k ,0) são ortogonais. Determine o valor

de k.

Resolução:

<u,w> = 1.k + (-2).(-2k) + (-1).0 = k + 4k + 0 = 0 � 5k = 0 � k = 0


58

4.10 Projeção Ortogonal

Se u e a (vetores) são posicionados com seus iniciais coincidindo com um ponto Q,

podemos decompor o vetor u baixando uma perpendicular da ponta de u para a reta ao longo

de a e construímos o vetor 1w de Q ao pé desta perpendicular. Em seguida tomamos a

diferença 2 1w u w= − .

O vetor 1w é chamado projeção ortogonal de u

sobre a, é denotado por:

aproj u

TEOREMA: Se u e a são vetores em 2 3 ou� � e se 0a ≠ , então:

1 2 ( )a

u aw proj u a componente vetorial de u ao longo de a

a

⋅= = ⋅

2 2 ( )a

u aw u proj u u a componente vetorial de u ortogonal de a

a

⋅= − = − ⋅

Exemplo

E 49) Sejam u = (2, -1, 3) e a = (4, -1, 2). Encontre 1 2 e w w .

1 2 2 2 2

2.4 ( 1).( 1) 3.2 15(4, 1,2) (4, 1,2)

4 ( 1) 2 21a

u aw proj u a

a

⋅ + − − += = ⋅ = ⋅ − = ⋅ −

+ − +

1

20 5 10, ,

7 7 7w

∴ = −

2

20 5 10 6 2 11(2, 1,3) , , , ,

7 7 7 7 7 7w

= − − − = − −

2

6 2 11, ,

7 7 7w

∴ = − −

obs.: Fazendo o produto escalar entre esses vetores obtemos 1 2, 0w w< >= , pois 1 2w w⊥ .


59

Exercícios

01.) Encontre < u, v >

a. u = (2,3), v = (5, −7)

b. u = (−6, −2), v = (4, 0)

c. u = (1, −5, 4), v = (3,3,3)

d. u = (−2, 2,3), v = (1,7,−4)

02.) Em cada parte do exercício 1 encontre o co-seno do ângulo θ de entre u e v.

03.) Determine se u e v fazem um ângulo agudo, obtuso ou são ortogonais.

a. u = (6,1,4), v = (2,0,−3)

b. u = (0,0,-1), v = (1,1,1)

c. u = (−6,0,4), v = (3,1,6)

d. u = (2,4,-8), v = (5,3,7)

04.) Encontre a projeção ortogonal de u em a.

a. u = (6,2), a = (3,− 9)

b. u = (−1,−2), a = (−2,3)

c. u = (3,1,−7), a = (1,0,5)

d. u = (1,0,0), a = (4,3,8)

05.) Em cada parte do exercício 4, encontre o componente vetorial u ortogonal a a ( 2w ).

06.) Sendo definido como | |

|| ||a

u aproj u

a

⋅= o comprimento da projeção ortogonal de u ao

longo de a. Calcule aproj u .

a. u = (1, -2), a = (-4,-3)

b. u = (5,6), a = (2,-1)

c. u = (3,0,4), a = (2,3,3)

d. u = (3,-2,6), a = (1,2,-7)

07.) Sejam u = (5,−2,1), v = (1,6,3) e k = -4. Verifique o Teorema da página 19 para estas

condições.

08.) (a) Mostre que v = (a,b) e w = (-b,a) são vetores ortogonais.

(b) Use o resultado da parte (a) para encontrar dois vetores ortogonais a (2, 3)v = −

09.) Sejam u = (3,4), v = (5,−1) e w = (7,1). Calcule as seguintes expressões.

a. <u, (7v + w)

b. ||<u,w>w||

c. ||u||.<v,w>

d. <(||u||v),w>

10.) Encontre cinco vetores não-nulos distintos que são ortogonais a u = (5,−2,3).

11.) Use vetores para encontrar os co-senos dos ângulos internos do triângulo de vértices

(0,−1), (1,−2) e (4,1).

12.) Mostre que A(3,0,2), B(4,3,0) e C(8,1,−1) são vértices de um triângulo retângulo. Em

qual vértice está o ângulo reto?


60

13.) Sejam p = (2,k) e q = (3,5). Encontre k tal que:

a. p e q são paralelos

b. p e q são ortogonais

c. o ângulo entre p e q é de 3

π

d. o ângulo entre p e q é de 4

π

Respostas

01.) a. -11 b. -24 c. 0 d. 0

02.) a. 11

13 74− b.

3

10− c. 0 d. 0

03.) a. ortogonal b. Obtuso c. Agudo d. Obtuso

04.) a. (0,0) b. 8 12

,13 13

−

c. 16 80

,0,13 13

− −

d. 16 12 32

, ,89 89 89

05.) a. (6,2) b. 21 14

,13 13

− −

c. 55 11

,1,13 13

−

d. 73 12 32

, ,89 89 89

− −

06.) a. 2

5 b.

4 5

5 c.

18

22 d.

43

54

07.) Demonstração

08.) a. <v,w> = a.(-b) + b.a = 0 b. demonstração

09.) a. 102 b. 125 2 c. 170 d. 170

10.) Demonstração

11.) 1 2 3

10 3 10cos ,cos ,cos 0

10 10θ θ θ= = =

12.) Demonstração. O ângulo reto está em B.

13.) a. 10

3 b.

6

5− c.

60 34 3

33

− + d.

1

2


61

4.11 Produto Vetorial

O produto vetorial é aplicado apenas por vetores em 3R e cujo o resultado é um vetor.

Definição: Se 1 2 3( , , )u u u u= e 1 2 3( , , )v v v v= são vetores em 3R , então o produto vetorial

u v× (ou então u v∧ ) é o vetor definido por:

2 3 1 3 1 2

2 3 1 3 1 2

, ,u u u u u u

u vv v v v v v

× = −

Exemplo

E 50) Encontre u v× sendo u = (1,2,-2) e v = (3,0,1)

2 2 1 2 1 2, ,

0 1 3 1 3 0u v

− − × = −

(2, 7, 6)u v∴ × = − −

Obs.: O produto escalar é um escalar e o produto vetorial é um vetor.

4.12 Relações Entre Os Produtos

Se u, v e w são vetores em 3R , então:

a. ( ) 0u u v⋅ × =

b. ( ) 0v u v⋅ × =

c. ( ) ( ) ( )u v w u w v u v w× × = ⋅ − ⋅

4.12.1 u v× é perpendicular a u e a v

Considere os vetores u = (1,2,-2) e v = (3,0,1), vimos que (2, 7, 6)u v× = − −

Então ( ) 1.2 2.( 7) ( 2).( 6) 0u u v⋅ × = + − + − − =

( ) 3.2 0.( 7) 1.( 6) 0v u v⋅ × = + − + − =


62

4.13 Vetores Unitários Canônicos

Considere os vetores i = (1,0,0), j = (0,1,0) e k = (0,0,1) estes vetores têm, cada um,

comprimento 1 e estão sobre os eixos coordenados. Eles são chamados vetores unitários

canônicos do espaço tridimensional. Cada vetor 1 2 3( , , )u u u u= pode ser expressos em termos

de i, j e k.

1 2 3 1 2 3 1 2 3( , , ) (1,0,0) (0,1,0) (0,0,1)u u u u u u u u i u j u k= = + + = + +

Por exemplo, o vetor v = (3,−2,4) pode ser escrito como 3i – 2j + 4k.

4.14 Produto Vetorial em Formato de Determinante

O produto vetorial será representado simbolicamente por um determinante 3x3 na

forma:

1 2 3

1 2 3

i j k

u v u u u

v v v

× =

Exemplo

E 51) Se u = (1,2,-2) e v = (3,0,1), Calcule u v× .

Resolução: 1 2 2 2 7 6

3 0 1

i j k

u v i j k× = − = − −


63

4.15 Área de um Paralelogramo

Se u e v são vetores em 3R , então || u v× || é igual a área do paralelogramo

determinado por u e v.

Exemplo

E 52) Calcule a área do paralelogramo formado pelos vetores u = (1,2,−2) e v = (3,0,1).

Resolução:

1 2 2 2 7 6

3 0 1

i j k

u v i j k× = − = − − ∴ ||u v× || = 2 2 22 ( 7) ( 6) 4 49 36 89+ − + − = + + =

4.16 Área de um Triângulo

Considere três pontos no plano tridimensional 1 2 3, P P e P como sendo

1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3( , , ), ( , , ) ( , , )P x y z P x y z e P x y z= = = e tomando 1 2PP�

e 1 3PP�

a área do triângulo

formada por esses vetores será dada por:

1 2 1 3

1

2A PP PP= ×

� �

Exemplo

E 53) Encontre a área do triângulo determinado pelos pontos 1 (2,2,0)P = , 2 ( 1,0, 2)P = − e

3 (0, 4,3)P = .

Resolução:

1 2 ( 3, 2,2)PP = − −�

e 1 3 ( 2, 2,3)PP = −�

. Segue que 1 2PP�

x 1 3PP�

= ( -10, 5, -10) e

|| 1 2PP�

x 1 3PP�

|| = 15 e, portanto, para o cálculo de sua área temos 1 2 1 3

1

2A P P P P= ×

� �

o que se chega a 1

15 ( . )2

A u a= ⋅


64

4.17 Produto Misto

DEFINIÇÃO: Se u, v e w são vetores no espaço tridimensional então ( )u v w⋅ × é

chamado produto misto de u, v e w.

O produto misto de 1 2 3( , , )u u u u= , 1 2 3( , , )v v v v= e 1 2 3( , , )w w w w= pode ser

calculado através do determinante:

Exemplo

E 54) Calcule o produto misto ( )u v w⋅ × dos vetores u = 3i – 2j – 5k, v = i + 4j – 4k e w = 3j

+ 2k.

Resolução:

3 2 5

( ) 1 4 4 49

0 3 2

u v w

− −

⋅ × = − =

TEOREMA: Se os três vetores 1 2 3( , , )u u u u= , 1 2 3( , , )v v v v= e 1 2 3( , , )w w w w= têm o mesmo

ponto inicial, então eles ficam em um mesmo plano se, e somente se,

1 2 3

1 2 3

1 2 3

( )

u u u

u v w v v v

w w w

⋅ × =

1 2 3

1 2 3

1 2 3

( ) 0

u u u

u v w v v v

w w w

⋅ × = =


65

Exercícios

01.) Sejam u = (3,2,−1), v = (0,2,−3) e w = (2,6,7). Calcule:

a. v w× b. ( )u v w× × c. ( )u v w× ×

d. ( ) ( )u v v w× × × e. ( 2 )u v w× − f. ( ) 2u v w× −

02.) Encontre um vetor que é ortogonal a ambos u e v.

a. u = (−6, 4, 2), v = (3, 1, 5)

b. u = (-2, 1, 5), v = (3, 0, -3)

03.) Encontre a área do paralelogramo determinado por u e v.

a. u = (1, −1, 2), v = (0,3,1)

b. u = (2,3,0), v = (−1,2,−2)

c. u = (3,-1,4), v = (6,−2,8)

04.) Encontre a área do triângulo de vértices P, Q e R.

a. (2,6, 1), (1,1,1), (4,6,2)P Q R−

b. (1, 1,2), (0,3, 4), (6,1,8)P Q R−

05.) Encontre o produto misto ( )u v w⋅ ×

a. ( 1, 2, 4), (3, 4, 2), ( 1, 2,5)u v w= − = − = −

b. (3, 1,6), (2,4,3), (5, 1, 2)u v w= − = = −

06.) Obtenha o volume do paralelepípedo de lados u, v e w.

a. (2, 6, 2), (0,4, 2), (2,2, 4)u v w= − = − = −

b. (3,1, 2), (4,5,1), (1,2,4)u v w= = =

Respostas

1. a. (32,-6,-4) b. (-14,-20,-82) c. (27,40,-42) d. (0, 176,-264) e. (-44,55,-22)

f. (-8,-3,-8)

2. a. (18,36,-18) b. (-3,9,-3)

3. a. 59 b. 101 c.0

4. a. 374

2 b. 285

5. a. −10 b. −110

6. a. 16 b. 45

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