4/16/12Amaioriadossistemasdinmicos, independente de serem eltricos, hidrulicos, etc,podemsercaracterizadosporequaes diferenciais utilizando as leis fsicas..Modelagem matemtica Modelagemmatemticaadescrio matemticadascaractersticasdinmicas de um sistema. 4/16/12F.T.definidapelarelaodaT.L.da sada(funoresposta)paraaT.L.da entrada(funodeexcitao)soba hiptesedequetodasascondiesiniciais so nulas.Funo de transferncia F.T.:sousadasparacaracterizaras relaes de entrada-sada de componentes ousistemasquepodemserdescritospor E.D.L.I.T. 4/16/12y chamada de varivel de sada e u a varivel de entrada.Funo de transfernciaConsiderandooS.L.I.T.definidopela seguinte equao diferencial(n) (n 1) (m) (m 1)0 1 n 1 n 0 1 m 1 ma y a y a y a y b u b u b u b u + ++ + + + + +& &L+ + + + + + + + Ln n 10 1 n 1 nm m 10 1 m 1 ma s Y(s) a s Y(s) a sY(s) a Y(s) b s U(s) b s U(s) b sU(s) b U(s)Aplicando a T.L.comC.I.nulas temos:Onde: 4/16/12Funo de transfernciaColocando Y(s) e U(s) em evidencia temos:n n 1 m m 10 1 n 1 n 0 1 m 1 mY(s) a s a s a s a U(s) b s b s b s b 11+ ++ + + + + + ] ]LLogo:m m 10 1 m 1 mn n 10 1 n 1 nb s b s b s bY(s)F(s)U(s)a s b s a s a+ + + + + + + +LLC.I 0L [sada]Funode transfernciaF(s)L [entrada] Assim: 4/16/12Funo de transfernciaObter a Funo de Transferncia do seguinte sistema:Logo:+ + +2Y(s) s 7F(s)U(s)s 3s 2+ + + y 3y 2y u 7u&& & &Aplicando aT.L. temos:+ + +2s Y(s) 3sY(s) 2Y(s) sU(s) 7U(s) 1+ + +1 ] ]2Y(s) s 3s 2 U(s) s 7 4/16/12PROPRIEDADES DA Funo de transfernciaAF.T.deumsistemaaT.L.dasua resposta ao impulso. Aequaodiferencialpodeserobtidada F.T.substituindo-seavarivelspelo operador diferencial AestabilidadedeumS.L.I.T,podeser determinadaapartirdaequao caracterstica. As razes do denominador so os plos do sistemaeasrazesdonumeradorsoos zeros do sistema. 4/16/12REPRESENTAO DA FUNO DE TRANSFERNCIAPolinmios ( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )1 2 m 1 m1 2 n 1 nK s z s z s z s zY(s)F(s)U(s) s p s p s p s p LLProduto dos fatoresFrao parcial1 2 n 1 n1 2 n 1 nC C C C Y(s)F(s)U(s) s p s p s p s p + + + + Lzerosplos 4/16/12SISTEMAS ELTRICOS Resistncia Oscomponentesdoscircuitoseltricosso:o capacitor, o indutor e a resistncia. A F.T. a ser considerada a seguir, depende de qual a fonte considerada, isto , a diferena de potencial ou a corrente eltrica.. 4/16/12SISTEMAS ELTRICOS Capacitncia Indutncia 4/16/12SISTEMAS ELTRICOS: Leis de kirchhoff 1Lei:Leidosns:"Asomadas intensidadadesdascorrentesque chegam a um n igual soma das intensidadesdascorrentesque deixam o n". 2 Lei: Lei das malhas: Atenso aplicadaaumcircuitofechado igualsomadasquedasdetenso naquele circuito.1 3 5 6 2 4I I I I I I + + + +A 1 2 3V V V V V 0 4/16/12SISTEMAS ELTRICOS:Exemplos ObteraFunodeTransfernciadosistema eltrico:E R L CV(t) V (t) V(t) V (t) + +E1 di(t)V (t) R i(t) i(t)dt Lc dt + +S CV(t) V (t) S1V (t) i(t)dtc 4/16/12SISTEMAS ELTRICOS:ExemplosEI(s)V (s) R I(s) LsI(s)cs + +SI(s)V (s)cs SEI(s) 1V (s)cs cs11 V (s)RLsI(s) RLscscs _+ ++ + ,S2E1V (s) 1cs1V (s)RcsLcs 1RLscs + ++ +S2E1V (s)LCR 1V (s)s s L LC+ + 4/16/12SISTEMAS ELTRICOS:Exerccio Tempo estimado:7minTempo estimado :20 minc)d) 4/16/12SISTEMAS ELTRICOS:ExerccioObteraFunodeTransfernciadosistema eltrico: Tempo estimado:3minTempo estimado : 5 mina)b) 4/16/12SISTEMAS ELTRICOS:Exemplos ObteraFunodeTransfernciadosistema eltrico: Malha 011 1E R CV (t) V (t) V (t) +E 1 1 1 211V (t) Ri (t) [i (t) i (t)]dtC + Malha 021 2 2C R C0 V (t) V (t) V (t) + +2 1 2 2 21 21 10 [i (t) i (t)]dt Ri (t) i (t)dtC C + + 2S CV (t) V (t) S 221V (t) i (t)dtC Malha 03Malha 01 Malha 02 Malha 03(II)(III)(I) 4/16/12SISTEMAS ELTRICOS:Exemplos E 1 1 1 211V (s) RI (s) I (s) I (s)C s + 1 ]2 1 2 2 21 21 10 I ( s ) I (s ) RI ( s ) I (s )C s C s + +1 ]S 221V (s) I (s)C sAplicando Laplacenas eqs. (I) (II) e (III):(IV)(V)(VI)Isolando a corrente I1da eq.(V) temos:11 2 1 2 2 22CI (s) I (s) C R sI (s) I (s)C + +(VII)Substituindo a corrente I1na eq.(IV)temos:2 2 22 1 1 2 2 1 1 1 1 2 1 2 1E 22 1C C R R s ( C C R C R C C R ) s CV ( s ) I ( s )C C s 1+ + + + 1 1 ]Dividindo a equao (VI)pela(VIII) temos:S2E2 1 2 1 2 1 1 1 2 2V (s) 1V (s)C C R R s (C R C R C R )s 1+ + + +(VIII)(Funo de Transferncia) 4/16/12SISTEMAS ELTRICOS:Exerccio Obter a Funo de Transferncia do circuito abaixo: 4/16/12CIRCUITOS COMPLEXOS VIA MTODO DAS MALHAS Executar os seguintes passos:1.Substituirtodososvaloresdoselementospassivosporsuas impedncias.2. Substituirtodasasfontesetodasasvariveisnodomniodo tempo pelasT.L. 4/16/12CIRCUITOS COMPLEXOS VIA MTODO DAS MALHAS 3. Arbitrar um sentido para a corrente do circuito transformado em cada malha.4.Resolver a lei de Kirchhoff das tenses ao longo de cada malha.1 1 1 2R I (s) Ls I (s) I (s) V(s) + 1 ]Malha 1:1 1 2[R Ls] I (s) LsI (s) V(s) + Malha 2:2 1 2 2 21Ls[I (s) I (s)] R I (s) I (s) 0Cs + + 1 2 21LsI (s) [Ls R ] I (s) 0Cs + + + 4/16/12CIRCUITOS COMPLEXOS VIA MTODO DAS MALHAS 5.Resolver o sistema de equaes em termos da sada.1 1 2[R Ls] I (s)LsI (s) V(s ) + 1 2 21 LsI (s) [Ls R ] I (s) 0Cs + + + Usar a regra de Cramer: 2112V(s) Ls10 Ls RCsI (s)R Ls Ls1Ls Ls RCs+ ++ + + 4/16/12CIRCUITOS COMPLEXOS VIA MTODO DAS MALHAS6. Elaborar a funo de Transferncia1212R Ls V(s)Ls 0I (s)R Ls Ls1Ls Ls RCs++ + +121 2[(R Ls) (0)] [( Ls) V(s)]I (s)1(R Ls) Ls R [( Ls) ( Ls)]Cs+ 1 _+ + + 1 , ]22 2 11 1 2LsV(s)I (s)RR Ls R R L sCs+ + +2 22LsR Ls L sCs+ + 4/16/12CIRCUITOS COMPLEXOS VIA MTODO DAS MALHAS 4/16/12CIRCUITOS COMPLEXOS VIA MTODO DAS MALHAS1 2 Soma dasSoma das impe-Soma das tensesimpedncias ao I (s) dncias comuns s I (s)applicadas ao longo da Malha 1 duas malhas longo da Malha 1 111 111 111 111 ] ] ]1 2 Soma das impe-Soma dasSoma das tensesdncias comuns s I (s) impedncias ao I (s)applicadas ao duas malhaslongo da Malha 2longo da Malha 2 111 111 + 111 111 ] ] ]Forma Geral 4/16/12CIRCUITOS COMPLEXOS VIA MTODO DAS MALHASExerccioObter a Funo de Transferncia I3(s)/V(s)3 234 3 2I (s ) 8s 13s sV (s )24 s 30 s 17s 16 s 1+ ++ + + + 4/16/12SISTEMAS MECNICOSCOMPONETES DOS SISTEMAS MECNICOSMassaMolaAmortecedor MASSACorresponde idia intuitiva de "quantidade de matria existente em um corpo" Lei de Newton:f ma mv &my&&Massa pode estar submetida a mais de uma fora, a equaogeneralizada:if ma mv my & &&Aplicando a T.L.:2iF(s) mA(s) msV(s) ms y(s) 4/16/12SISTEMAS MECNICOS:mola MOLAMolaumobjetoelsticoflexvelusadopara armazenaraenergiamecnica.Feitasgeralmentede ao endurecido. A equao da mola dada pela lei de Hook:f K y a constante da mola. Fora gerada pela mola sempre contrria ao deslocamento, isto , se o deslocamento for positivo a fora negativa e vice-versa.As extremidades da mola podem estar submetidas a deslocamentos distintos:1 2f K (y y ) 4/16/12SISTEMAS MECNICOS:molaNota-se que a mola admitida como ideal, o que significa que sua massa nula e que a fora nas suas extremidades so iguais e contrrias1 2f K (y y ) A fora na mola pode ser posta tambm em funo da velocidade das suas extremidades:( ) k 1 2 1 2f K (y y ) k V dt V dt Aplicando a T.L.:K 1 2 1 2KF (s) KY (s) Y (s) V (s) V (s)s 11 ] ] 4/16/12SISTEMAS MECNICOS:amortecedor um componente capaz de resistir ao movimento de seus terminais. Um amortecedor automotivo um bom exemplo deste componente,esuafunodissiparaenergiade oscilao do veculo causada pela mola.Aplicando a T.L.:AMORTECEDORAforanoamortecedorproporcionalvelocidade comqueassuaextremidadesseaproximamouse afastam 11 ] ] b 1 2 1 2f bv v b y y& & 11 ] ] b 1 2 1 2F (s) bV (s) v (s) bs Y (s) Y (s) 4/16/122 LEI DE NEWTONA Lei fundamental que governa os sistemas mecnicos a 2Lei de Newton. Para sistemas de translao a lei estabelece que. F ma Onde:m = massa, kg;a = acelerao m2/s;F = fora, N.Umquilograma uma unidade de massa. Quando acionado por uma fora de 1N, a massa de 1 kg acerela com 1 m/s2.Na 2 lei de Newton, a massa igual razo entre a fora aplicada num corpo e a respectiva acelerao. 4/16/12ExerccioObteraFunodeTransfernciadosistemamecnicomostrado naFiguraabaixo,considerandoqueotermoforantef(t)a entrada e a posio da massa, x(t) a sada. 4/16/12Resolucao do ExerccioPela 2 lei de Newton temos:f ma amorf ++ma +molaf f(t)+ + & &&kx(t) bx(t) mx(t) f(t)Aplicando a T.L.:+ + 2kX(s) bsX(s) ms X(s) F(s)+ + 2X(s)[ms bs k] F(s)+ +2X(s) 1F(s)[ms bs k]++21X(s)mb kF(s)[s s ]m m 4/16/12ExerccioAFiguraaseguirmostraumdiagramaesquemticodeum sistema de suspenso do automvel. Quando o carro se move ao longodaestrada,osdeslocamentosverticaisempneusaagir comoomovimentodeexcitaodoautomvelsistemade suspenso.Aresoluodestesistemaconsisteemum movimentodetranslaodacentrodemassaedeum movimentorotacionalsobreocentrodemassa.Modelagem matemtica do completar o sistema bastante complicada. 4/16/12ExerccioPela 2 lei de Newton temos:amorf ++ma molaf + 4/16/12ExerccioAplicando a Transformada de Laplace temos:20 0 0 i ibsY (s) kY (s) ms Y (s) bsY(s) kY(s) + + +20 ims bs k Y (s) bs k Y(s) 1+ + +1 ] ]022ib ksY (s)bs km mb kY (s)ms bs ks sm m++ + ++ + 4/16/12ExerccioObter A Funo de Transfernciado sistema a seguir considerando agora a massa do pneu (m1) 4/16/12ExerccioOsistemadesuspensodeumadasrodasdeumacamionete clssica est ilustrado na Figura abaixo. A massa do veculo m1, eamassadaroda,m2.Amoladasuspensopossuiuma constantedemolak1,eopneu,umaconstantedemolak2.A constante de amortecimento do amortecedor b. Obter a funo detransfernciaY1(s)/X(s),aqualrepresentaarespostado veculo aos solavancos devidos a irregularidades da estrada.Suspenso de uma camionete 4/16/12Exerccio1 1 1 2 1 1 2my b(y y ) k (y y ) 0 + + && & &2 2 2 1 1 2 1 2 2m y b(y y ) k (y y ) k (y x) 0 + + + && & &21 1 1 2 1 1 1 2ms Y (s) bsY (s) bsY (s) k Y (s) k Y (s) 0 + + 22 2 2 1 1 2 1 1 2 2 2m s Y (s) bsY (s) bsY (s) k Y (s) k Y (s) k Y (s) k X(s) + + + Pela 2 lei e Newton temos:Aplicando a Transformada de Laplace temos: 4/16/12ExerccioSimplificando as equaes temos:Aps resolver Y1(s)/X(s), temos:21 1 1 1 2m s bs k Y (s) bs k Y (s) 0 1+ + + 1 ] ]22 1 2 2 1 1 2[m s bs k k ]Y (s) [bs k ]Y (s) k X(s) + + + 1 2 122 21 1 2 1 2 1Y (s) k [bs k ]X(s)m s bs k m s bs k k bs k+ 11+ + + + + + 1 ] ] ]