Resolução de equações não lineares

Raiz de uma equação

Raiz exata Um número xr é raiz exata de uma equação f(x)=0 se

f(xr)=0 Raiz aproximada

Um número x’ é raiz aproximada de uma equação f(x)=0 se |x’-xr| e |f(x’)| forem ambos próximos de 0

Comparar o módulo da subtração da raiz é basicamente uma operação teórica, pois não se pode obter a raiz exata

Calculando as raízes

Para calcular as raízes reais de uma equação f(x)=0 é necessário:

1) delimitar, enumerar e separar as raízes 2) utilizar um método numérico para

calculo de cada raiz

Equações algébricas polinomiais

A) toda equação do tipo anxn+an-1xn-1

+...a1x1+a0 é algébrica e polinomial n é um número natural denominado grau

da equação Os coeficientes ai, i=0...n são números

reais

Toda equação polinomial de grau n tem exatamente n raízes, reais ou complexas, desde que cada raiz seja contada de acordo com seu grau de multiplicidade

Equações algébricas polinomiais

Multiplicidade de raizes

Uma raiz tem grau de multiplicidade m se: anula a função que origina a equação

Anula as derivadas até a ordem m-1

Não anula a derivada de ordem m

Exemplo

A equação f(x)=x3-5x2+8x-4 tem raízes x1=1 x2=2 e x3=2

f(2)=0 f’(2) = 3x2-10x+8 -> f’(2)=0 f’’(2)=6x-10 ->f’’(2)=2

As raízes complexas aparecem sempre em pares conjugados (a+bi e a-bi)

Toda equação polinomial de grau impar tem pelo menos uma raiz real

Equações algébricas polinomiais

Delimitação de raízes reais

Limite superior positivo-teorema de Lagrange Seja f(x)=0 uma equação polinomial de grau n, na

qual an>0 e a0 ≠ 0 Para limite superior de suas raízes positivas, caso

existam pode ser tomado o número

K= grau do 1º termo negativo M= módulo do menor coeficiente negativo

knna

ML 1

Exemplo

Calcule o limite superior para as raízes positivas da equação

f(x) = x5+x4-8x3-16x2 +7x+14 =0

Exemplo

Calcule o limite superior para as raízes positivas da equação

f(x) = x5+x4-8x3-16x2 +7x+14 =0

n=5,k=3,a5=1 e M=16

351

161 L 541161 2

Delimitação das raízes reais

Limite inferior negativo Obter a equação auxiliar f1(x)=f(-x)=0

usar o teorema de Lagrange em f1(x), obtendo o limite superior de suas raízes positivas L1

O limite inferior das raízes negativas é dado por –L1

Exemplo

Calcule o limite inferior para as raízes negativas da equação

f(x) = x5+x4-8x3-16x2 +7x+14 =0

Exemplo

f(x) = x5+x4-8x3-16x2 +7x+14 =0

f1(x) = -x5+x4+8x3-16x2-7x+14 =0

an<0 logo devemos multiplicar f1 por -1

f1(x) = x5-x4-8x3+16x2+7x-14 =0

n=5,k=4,a5=1 e M=14

Logo –L1=-15

451 1141 L 15141141 1

Enumeração das raízes

Regra dos sinais de Descartes – O número de raízes positivas de equações polinomiais é igual ao número de variação de sinais apresentado pelo conjunto de coeficientes ou menor em um número par

Exemplo

x5+x4-8x3-16x2+7x+14=0

Exemplo

x5+x4-8x3-16x2+7x+14=0 x5+x4-8x3-16x2+7x+14=0

Exemplo

x5+x4-8x3-16x2+7x+14=0 x5+x4-8x3-16x2+7x+14=0 2 variações -> 2 raízes ou nenhuma raiz

Exemplo

x5-x4+8x3-16x2+7x-14=0 Quantas raízes?

Exemplo

x5-x4+8x3-16x2+7x-14=0 Quantas raízes? 5 variações -> 5 raízes ou 3 ou 1 raiz

Exemplo

5x5-16x2+7x-14=0 Quantas raízes?

Exemplo

5x5-16x2+7x-14=0 Quantas raízes? 3 variações -> 3 raízes ou 1 raiz positiva

Enumeração de raízes

Para determinar o número de raizes negativas basta trocar x por (-x) na equação e aplicar a regra dos sinais

Exemplo

x5+x4-8x3-16x2+7x+14=0 f(-x)=-x5+x4+8x3-16x2-7x+14=0 f(-x)=-x5+x4+8x3-16x2-7x+14=0 3 raízes ou 1 raiz negativa

Exemplo

x5-x4+8x3-16x2+7x-14=0 f(-x)=-x5-x4-8x3-16x2-7x-14=0

Sem variação -> nenhuma raiz negativa

Sucessão de Sturm

Dada a equação polinomial f(x)=0 a sucessão de Sturm a ela associada é o seguinte conjunto de polinômios:

f(x)f1(x)f2(x)... fm(x) f(x) é o polinômio que origina a equação f1(x) é a primeira derivada de f(x)

Sucessão de Sturm

A partir de f2(x) cada termo é o resto, com o sinal trocado, da divisão dos 2 termos anteriores

f(x)/f1(x) = Q1x+R1x -> f2(x)=-R1x

f1(x)/f2(x) = Q2x+R2x -> f3(x)=-R2x

A sucessão procede até que seja obtido um resto constante

Propriedades

Se a equação tiver raízes múltiplas então o último termo da sucessão é nulo

Para nenhum valor de x, 2 termos consecutivos da sucessão não se anulam

Se, para algum x, um termo médio da sucessão se anula, então os termos vizinhos terão valores numéricos de sinais opostos

Teorema de Sturm

Seja N(alpha) o número de variações de sinal apresentado pela sucessão de sturm. Para x = alpha

O número de raízes reais de uma equação polinomial, sem raízes múltiplas, situadas em um intervalo [a,b] é igual a N(a)-N(b)

Exemplo

Determine o número de raízes reais da equação no intervalo (-15,5)

f(x)=x5+x4-8x3-16x2+7x+14

f1(x)=5x4+4x3-24x2-32x+7

f2(x)=3,36x3+8,64x2-6,88x-13,72

f3(x)=-9,06x2+29,72x+29,22

f4(x)=-68,42x-49,69

f5(x)=-2,88

-15 0 5

f(x)=x5+x4-8x3-16x2+7x+14 - + +

f1(x)=5x4+4x3-24x2-32x +7 + + +

f2(x)=3,36x3+8,64x2-6,88x-13,72 - - +

f3(x)=-9,06x2+29,72x+29,22 - + -

f4(x)=-68,42x-49,69 + - -

f5(x)=-2,88 - - -

N(x) 4 3 1

Raízes negativas N(15)-N(0) = 4-3 =1Raízes negativas N(0)-N(5) = 3-1 =2

As outras duas raízes são complexas

Separação de Raízes reais

Teorema de Bolzano: seja f(x) uma função continua em um intervalo [a,b]

Se f(a).f(b)<0 então a equação f(x)=0 tem um número impar de raízes no intervalo [a,b]

Exemplo

Exemplo

Separação de Raízes reais

Se f(a).f(b) >0 então f(x)=0 tem um número par de raízes ou nenhuma raiz no intervalo [a,b]

Exemplo

Exemplo

Exemplo

Exemplo

Exemplo

Separe as raízes positivas da equação f(x)= x5+x4-8x3-16x2+7x+14=0 Sabendo-se que estão situadas no

intervalo (0,5) e que o número de raízes positivas é 2

f(0)=14, f(5)=2399, f(2,5)= -56,78 Uma raiz entre 0 e 2,5 e outra entre 2,5 e 5

Equações não polinomiais

Duas possibilidades 1) Construir um esboço do gráfico da

função com o objetivo de detectar os pontos 2) Transformar a equação f(x)=0 em uma

equação equivalente da forma g(x)-h(x)=0 g(x)=h(x)

Esboçar os gráficos de g(x) e h(x) em um mesmo sistema de eixos cartesianos

As abscissas de cada ponto onde g(x) e h(x) se interceptam é uma raiz de f(x)

Equações não polinomiais

Exemplo

Seja a equação f(x)=x+ -5=0 Pode ser escrita = 5-x (g(x)=h(x))

x

x

Metodo da Bisseção

Seja f(x) uma função continua em um intervalo [a,b]

O intervalo contém uma única raiz da equação f(x)=0 sendo assim, f(a).f(b)<0

Este método consiste em dividir de forma sucessiva o intervalo [a,b] ao meio, até que seja obtido (b-a) <= precisão estabelecida

Graficamente

a b

- +

a b

- ++

Graficamente

a b

- +

b’

+

Graficamente

a b

- +

b’

+-

Graficamente

a b

- +

b’

+

a’

-

Graficamente

Critério de parada

O processo para quando o intervalo [a,b] é suficientemente pequeno

Assim qualquer ponto no intervalo é tomado como raiz

Número máximo de passos – pré-estabelecido

Convergência

Sendo f(x) contínua em [a,b] f(a).f(b)<0

O método da bisseção converge se as condições anteriores forem respeitadas

Exemplo

Utilizando o método da bisseção calcule a maior raiz positiva da equação

f(x)= x5+x4-8x3-16x2+7x+14=0 Precisão 0,025, máximo de 10 iterações,

intervalo = [2,5;5] f(2,5)=-56,781 e f(5)=2399

k xk f(xk) b-a

  2,5 -56,781 -

  5 2399 2,5

1 3,75 332,706 1,25

2 3,125 28,875 0,625

3 2,813 -32,239 0,312

4 2,969 -7,224 0,156

5 3,047 9,307 0,078

6 3,008 0,679 0,039

7 2,989 -3,26 0,019

Qualquer número no intervalo [2,989;3,008] pode ser tomado como raiz

Método da Falsa Posição

Seja f(x) uma função contínua em um intervalo [a,b] que contém um e só uma raiz da equação f(x)=0

Este método consiste em dividir o intervalo [a,b] no ponto onde a reta que passa pelos pontos (a,f(a)) e (b,f(b)) intercepta o eixo das abscissas

Graficamente

Graficamente

Critério de parada

O processo iterativo é interrompido quando for obtido |f(xk)|, k=1,2,... Menor ou igual à precisão estabelecida e então xk é tomado como raiz

Critério de convergência

Se f(x) é contínua em [a,b] e f(a).f(b)<0, então o método da falsa posição converge

Calculando xk

No método da bisseção x é dado pela média aritmética do intervalo x= (a+b)/2

No método da FP o x é dado pela média aritmética ponderada

x=(a|f(b)|+b|f(a)|)/(|f(b)|+|f(a)|) x=(af(b)-bf(a))/(f(b)-f(a))

O cálculo de xk

Seja a matriz

bf(a) +x1f(b)-af(b)-x1f(a) x1=(af(b)-bf(a))/(f(b)-f(a))

0

1)(

10

1)(

1 bfb

x

afa

Generalizando

xk=(af(b)-bf(a))/(f(b)-f(a)) Desde que a cada passo seja atualizado a

ou b O critério utilizado por este método para a

divisão do intervalo [a,b] é o da média ponderada

Exemplo

Utilizando o método da falsa posição com precisão 0.006 e um máximo de 5 iterações encontrar a maior raiz positiva

f(x)=x4-14x2+24x-10=0

A) delimitação das raízes reais LSP = = 4,7 = 5kn

naM1

LIN – equação auxiliar f(x) = x4 -14x2-24x-10 L1=6 Logo –L1=-6

Enumeração das raízes reais

Raízes positivas:+1-14+24-10 3 variações -> 3 ou 1 raiz positiva Raízes negativas:+1-14-24-10 1 variação -> 1 raiz negativa

Número de raízes positivas

Teorema de SturmSucessão de Sturm 0 5

f(x)=x4-14x2+24x-10 - +

f1(x)=4x3-28x+24 + +

f2(x)=7x2-18x+10 + +

f3(x)=7,24x-9,3 - +

f4(x)=1,5 + +

N(x) 3 0

Número de raízes positivas

O número de raízes é dado por:

N(0)-N(5)=3-0=3

Separação das raízes positivas

Teorema de Bolzano e o método da bisseção

0 5

- +

Separação das raízes positivas

Teorema de Bolzano e o método da bisseção

0 5

- +

2,5

+

Separação das raízes positivas

Teorema de Bolzano e o método da bisseção

0 5

- +

2,5

+

1,25

+

3,75

+

Separação das raízes positivas

Teorema de Bolzano e o método da bisseção

0 5

- +

2,5

+

1,25

+

3,75

+

0,625

-

1,875

-

Calculando a maior raiz positiva

Reduzindo um pouco mais o intervalo f(1,875)<0, f(2,5)>0, f(2,188)<0

Aplicando o método da falsa posição xk=(af(b)-bf(a))/(f(b)-f(a))

k a b f(a) f(b) xk f(xk)

1 2,188 2,5 -1,592 1,563 2,345 -0,467

2 2,345 2,5 -0,467 1,563 2,381 -0,085

3 2,381 2,5 -0,085 1,563 2,387 -0,016

4 2,387 2,5 -0,016 1,563 2,388 -0,005

Para a precisão estabelecida, 2,388 é a maior raiz positiva da equação

Método de Newton-Raphson

Também conhecido como método das tangentes

Seja f(x) uma função contínua em um intervalo [a,b] que contém uma e só uma raiz da equação f(x)=0

Dada uma estimativa xk-1, k=1,2,..., para uma raiz de f(x)=0 a estimativa xk é a abscissa do ponto onde a reta tangente f(x) em [xk-1,f(xk-1)] intercepta o eixo das abscissas

Método de Newton-Raphson

Critério de parada: O processo é interrompido quando for obtido um |xk-xk-1| ou |f(xk)| menor ou igual a uma precisão pré-estabelecida

Método de Newton-Raphson

Graficamente

x0

x1

x0

Graficamente

x0

x1

Graficamente

x0

x1

Convergência: se f(a)f(b)<0 e f’(x) e f’’(x) forem não nulas e mantiverem o sinal em [a,b], então partindo-se de uma estimativa inicial x0 є[a,b] tal que f(x0)f’’(x)>0 é possível construir, pelo método de Newton-Raphson uma sequência {xk}, k=1,2,..., que converge para a raiz de f(x)=0

Método de Newton-Raphson

Seja o cálculo de x1

Para x2

Método de Newton-Raphson

)('

)()('

)(

0

0010

10

0

xf

xfxxxftg

xx

xf

)('

)()('

)(

1

1121

21

1

xf

xfxxxftg

xx

xf

Generalizando

Método de Newton-Raphson

)('

)(

1

11

k

kkk xf

xfxx

Exemplo

Calcule a raiz negativa de f(x)=x4-14x2+24x-10=0 utilizando o método de newton-Raphson com precisão 0,001 e um máximo de 5 iterações. Sabe-se que esta raiz está situada no intervalo (-6,0)

Exemplo

Aplicando o método da Bisseção para diminuir o intervalo

-6 0

+ -

f(-6)=638 f(0)=-10

Exemplo

Aplicando o método da Bisseção para diminuir o intervalo

-6 0

+ -

-3

-

f(-6)=638 f(0)=-10f(-3)=-127

Exemplo

Aplicando o método da Bisseção para diminuir o intervalo

-6 0

+ -

-3

-

-4,5

+

f(-6)=638 f(-3)=-127f(-4,5)=8,562

Exemplo

Aplicando o método da Bisseção para diminuir o intervalo

-6 0

+ -

-3

-

-4,5

+

-3, 75

-

f(-3)=-127f(-4,5)=8,562

f(-3,75)=-99.125

Exemplo

Aplicando o método da Bisseção para diminuir o intervalo

-6 0

+ -

-3

-

-4,5

+

-3, 75

-

Exemplo

f’(x)=4x3-28x+24 <0 no intervalo [-4,5;-3,75]

f’’(x)=12x2-28 >0 no intervalo [-4,5;-3,75]

Como f(-4,5)f’’(-4,5)>0 então x0=-4,5

Exemplo

k xk f(xk) f'(xk) |xk-xk-1|

0 -4,5 8,562 -214,5 -

1 -4,460 0,153 -205,986 0,040

2 -4,459  0,018   0,001

Notas

Com relação à convergência o que se faz na prática é:

1) toma-se uma estimativa inicial próxima da raiz; para isto basta diminuir suficientemente o intervalo que a contém

2) toma-se x0 є [a,b] de forma que seja obtido x1 є [a,b]

Comparação - Bisseção

Apesar de sempre convergir, tem baixa velocidade de convergência

Utilizado de forma isolada quando se deseja um intervalo, tal que qualquer dos pontos pode ser tomado como raiz

Normalmente é utilizado para reduzir o tamanho do intervalo que contém a raiz

Quando se deseja é um intervalo que contém a raiz o método da Falsa Posição não é adequado porquê não converge

Quando não houver problemas para trabalhar com a primeira derivada de f(x) deve-se usar o método de Newton-Raphson; caso contrário deve-se usar o método da Falsa Posição

Comparação – F.P. e N.R.

Exercício

Determine os limites das raízes reais da equação f(x)=x3+4x2-10=0