Profa. rsula do Carmo Resende

2015

DERIVAO NUMRICA

PROGRAMA DE PS-GRADUAO EM ENGENHARIA ELTRICA

UNIVERSIDADE DE JOO DEL-REI

PR-REITORIA DE PESQUISA

CENTRO FEDERAL DE EDUCAO

TECNOLGICA DE MINAS GERAIS

DIRETORIA DE PESQUISA E PS-GRADUAO

todos

umricos

Breve Referncia Histrica As tcnicas de derivao e integrao numrica tm origem da interpolao. No entanto, importante salientar alguns matemticos que se destacaram especificamente nesta rea. As tcnicas de integrao, tal com so conhecidas hoje, tiveram a sua origem com Bonaventura Cavalieri (1598-1647), que cerca de 1639 descobriu geometricamente a chamada regra de Simpson (que tambm a segunda frmula de Newton-Cotes) e que consiste em aproximar o valor da integral de uma determinada funo num intervalo na integral do seu PI (Polinmio Interpolador)do segundo grau. Outros matemticos do sc. XVII que trabalharam nesta rea foram James Gregory (1659-1708) (que tambm conhecia a regra de Simpson), que deduziu uma nova regra de integrao designada atualmente por regra de Gregory, e Isaac Newton (1643-1727). De entre os matemticos do sc. XVIII pela sua contribuio nesta rea pode-se destacar Thomas Simpson (1710-1761), que apresentou o seu trabalho em 1743, Roger Cotes (1681-1761) e Carl Friedrich Gauss (1777-1855) que descobriu as famosas frmulas de quadratura com o seu nome.

A integrao e diferenciao so conceitos fundamentais usados para resolver um grande nmero de problemas na Engenharia e na Cincia. Enquanto muitos destes problemas possuem solues analticas, muitos requerem solues numricas para serem entendidos.

Introduo

Acontece frequentemente a necessidade de determinar valores da derivada de uma funo num conjunto de pontos conhecendo o valor da funo apenas, nesses pontos. Na impossibilidade de obter esses valores de forma exata, a sua aproximao pode ser feita atravs do valor da derivada do PI da funo nos referidos pontos.

A derivada de uma funo f em um ponto pode ser descrita graficamente como a inclinao da reta que tangencia a funo naquele ponto.

Pontos da funo onde a derivada zero so chamados pontos crticos. So pontos onde a tangente representada por uma linha horizontal e que, por isso, definem o local de mximo e de mnimo.

Introduo

Pode-se perceber ao analisar uma determinada funo num determinado intervalo que o sinal da derivada pode mudar, e, se esse sinal muda, significa que dentro deste intervalo existe local de mximo e local de mnimo.

Pode-se tambm analisar uma funo pela sua derivada segunda. De modo que, se a derivada segunda de um ponto crtico positiva, ento o valor da funo naquele ponto significa um local de mnimo. Da mesma forma, se a derivada segunda de um ponto crtico negativa, ento a funo possui um local de mximo.

Derivada

Considere uma funo f(x) e um dado ponto P fixo sobre esta curva. Considere um segundo ponto Q prximo de P. A reta tangente em P pode ser representada pela reta PQ na medida em que Q se aproxima de P.

Derivada O coeficiente da reta PQ quando Q est o mais prximo possvel de

P chamado de derivada da funo f no ponto P.

O coeficiente da reta PQ, m, pode ser calculado pela formula

Pela figura, pode-se perceber que quanto menor h, mais prximo Q estar de P, da pode-se concluir que

h

afhafm

)()(

h

afhafaf

h

)()(lim)(

0

Diferenciao Numrica

A derivao numrica utilizada para calcular a derivada em situaes onde no est disponvel a funo, e sim apenas um conjunto de pontos pertencentes a esta ou para funes que no so derivveis em todo o seu domnio ou de derivao no trivial.

Dado um intervalo [a,b], e uma funo f(x) derivvel neste intervalo. Seja h um incremento de valor reduzido e diferente de 0, a aproximao da derivada da funo f(x) em x = xk dada por:

h

xfhxfxf kkk

)()()(

Diferenciao Numrica Ex: calcular a derivada da funo f(x) = ln(x) para x=1,8 com h=0,1

e 0,01 e compare com o valor real da derivada:

Valor real

Para h=0,1

Para h=0,01

555556,0)8,1(1

)( fx

xf

Diferenciao Numrica

Na medida em que h diminui, o valor da derivada numrica se aproxima do valor real. Porm, por menor que seja h, este mtodo ainda apresentar um erro de arredondamento grande. Uma maneira de reduzir este erro utilizar vrios pontos.

A idia , a partir de um conjunto de pontos, que definem um intervalo [a,b], determinar a funo f que representa tais pontos, ou seja, interpolar este conjunto de pontos. Em seguida, pode-se calcular a derivada da funo f e aplic-la a qualquer ponto pertencente ao intervalo [a,b].

Quanto maior o nmero de pontos melhor ser o resultado. Porm, por praticidade, utiliza-se frmulas de 3 a 5 pontos.

Aproximao da Primeira Derivada Seja f Cn+1 ([a, b]) conhecida num conjunto de pontos da partio

uniforme

com xi xi-1 = h, i = 1, ... , n. Deseja-se aproximar a derivada de f num dos pontos xk, k {0, 1, ... , n}, da partio. Usando o PI de Lagrange tem-se que, para x (a, b):

sendo li, i = 0, ... , n, os polinmios de Lagrange dados por:

Aproximao da Primeira Derivada w a funo dada por:

Derivando esta expresso obtm-se:

Pode-se ainda considerar a aproximao:

Com erro dado por:

Aproximao da Primeira Derivada

onde:

a dificuldade reside no fato de no se saber como calcular (f(n+1) ()) e assim no ser possvel estimar o erro cometido.

1 Frmulas com dois pontos:

Tem-se que, para x [xk, xk+1]:

Aproximao da Primeira Derivada

Obtem-se assim duas frmulas de diferenas finitas de primeira ordem para aproximar a primeira derivada. A

usual chamar frmula de diferenas progressivas (ou forward ou forwind) e a

costuma chamar-se frmula de diferenas regressivas (ou upward ou upwind).

Aproximao da Primeira Derivada 2 Frmulas com trs pontos:

Para obter frmulas mais precisas para aproximar a primeira derivada de uma funo, pode-se pensar em aumentar o nmero de pontos da interpolao. Assim para trs pontos:

Aproximao da Primeira Derivada Sendo os pontos x0,x1,...,xn separados por uma distncia h, e se

querendo determinar a derivada da funo em um determinado ponto xk, existem 3 possibilidades:

1. Pode-se escolher xk-2h, xk-h e xk diferenas finitas retroativas

2. Pode-se escolher xk-h, xk e xk+h diferenas finitas centrais 3. Pode-se escolher xk,xk+h e xk+2h diferenas finitas progressivas

xk xk+h xk+2h xk-h xk-2h

h

Aproximao da Primeira Derivada Substituindo os valores para os pontos na derivada da equao

de interpolao de Langrage obtem-se as seguintes frmulas:

diferenas finitas retroativas

diferenas finitas centrais

diferenas finitas progressivas

Aproximao da Primeira Derivada Exemplo: Considere os seguintes valores da funo f(x) = xex:

Aproxime o valor de f(2.0) = 22.167168 usando as frmulas de diferenas finitas dadas e compare os erros cometidos.

a. Frmula retroativa de segunda ordem com h = 0.1.

O erro cometido aproximadamente 1.35 x 10-1.

Aproximao da Primeira Derivada b. Frmula progressiva segunda ordem com h = 0.1.

O erro cometido aproximadamente 1.13 x 10-1.

b. Frmula centrada de segunda ordem com h = 0.1.

O erro cometido aproximadamente -6.16 x 10-2.

Note-se que o erro cometido quando se usa a frmula de diferenas centradas aproximadamente metade do erro cometido com as outras frmulas.

Aproximao da Segunda Derivada

Seja f Cn+1([a, b]) conhecida num conjunto de pontos da partio, com xi xi-1 = h, i = 1, ... , n. Deseja-se aproximar a segunda derivada de f num dos pontos xk, k {0, 1, ... , n}, da partio.

possvel, tal como para a primeira derivada, usar o PI na deduo das frmulas para a segunda derivada. A obteno de estimativas para o erro , no entanto, mais complicada. Um processo alternativo para a deduo das frmulas de derivao (e respectivo erro) faz uso da srie de Taylor da funo.

Desenvolvendo f em serie de Taylor em torno do ponto xk tem-se:

Aproximao da Segunda Derivada A adicionando estas duas expresses obtem-se:

Esta frmula conhecida como frmula de diferenas centradas de segunda ordem para aproximar a segunda derivada.

Aproximao de Derivadas de Ordem Superior

O estudo efetuado pode ser generalizado para obter frmulas de diferenas finitas para aproximar derivadas de ordem superior. Essas frmulas podem ser obtidas recorrendo srie de Taylor.

Um algoritmo para obter formulas de diferenas finitas de qualquer ordem para aproximar qualquer derivada de uma funo podem ser vistas em: Fornberg (1988), Generation of nite dierence formulas on arbitrarily spaced grids, Math. Comp., 51, 699-706.

1. Aderito Lus Martins Araujo, Analise Numrica Engenharias Mecnica e de Materiais F.C.T.U.C. 2002

Referencias Bibliogrficas