Mod elos Híbridos -Mistos de Tensão P ara a An álise de · particular ao António Abreu e ao...

Modelos Híbridos-Mistos de Tensão Para a Análise de Estruturas de Betão Armado

Miguel Filipe de Sousa Luz

Dissertação para obtenção de Grau de Mestre em

Engenharia Civil

Júri

Presidente: Professor Doutor Fernando Manuel Fernandes Simões

Orientadores:

Professor Doutor Luís Manuel Soares dos Santos Castro

Professor Doutor Mário Rui Tiago Arruda

Vogais:

Professor Doutor Luís André Marcos Mendes

Professor Doutor João Pedro Ramôa Ribeiro Correia

Lisboa, Outubro 2013

i

RESUMO

Neste trabalho apresenta-se um novo modelo de elementos finitos híbridos-mistos de tensão

para a análise de estruturas de betão armado. São considerados um comportamento linear e não-

linear ao nível dos materiais. Para o segundo caso, é usada a mecânica do dano para modelar o

comportamento quasi-frágil do betão. Neste modelo, os campos de tensão, deformação e

deslocamento são aproximados independentemente no domínio de cada elemento. Os

deslocamentos ao longo da fronteira estática, que se considera incluir as fronteiras interelementares,

são também directamente aproximados. São usados conjuntos de polinómios ortogonais de

Legendre para definir todas as aproximações exigidas pelo modelo de elementos finitos. A utilização

deste tipo de funções permite o cálculo dos operadores matriciais do sistema governativo através da

utilização de expressões analíticas e possibilita a adopção de refinamentos p-hierárquicos muito

eficazes. Para o comportamento não-linear do betão é adoptado um modelo de dano isotrópico, o

modelo de dano de [Mazars 1984]. O novo modelo de elementos finitos aqui discutido é aplicado

para a resolução de estruturas bidimensionais, com a inclusão de elementos unidimensionais que

representam o reforço com varões de aço. Para validar o modelo, ilustrar o seu potencial e avaliar a

sua precisão e eficiência numérica, é apresentado um exemplo de elemento estrutural e são feitas

comparações com as soluções e resultados numéricos obtidos quando se usam elementos finitos

convencionais.

Palavras-chave

Betão Armado

Elementos Finitos

Formulação Híbrida-Mista de Tensão

Análise Fisicamente Não-Linear

Modelo de Dano

iii

ABSTRACT

This work presents a new hybrid-mixed stress finite element model for the analysis of

reinforced concrete structures. It is considered a linear and non-linear behavior at the material level.

For the second case, damage mechanics is used to model the concrete’s quasi-brittle behavior. In this

model, the stress, the strain and the displacement fields are independently approximated in the

domain of each element. The displacements along the static boundary, which is considered to

include inter-element boundaries, are also directly approximated. Complete sets of orthonormal

Legendre polynomials are used to define all approximation bases required by the finite element

model. The adoption of these functions enables the use of analytical closed form solutions for the

computation of all linear structural operators and leads to the development of very effective

p-refinement procedures. An isotropic damage model is adopted for the non-linear behavior of the

concrete, the [Mazars 1984] damage model. The new finite element model being discussed is applied

to the solution of two-dimensional structures, with the inclusion of one-dimensional elements that

represent the steel bars reinforcement. To validate the model, to illustrate its potential and to assess

its accuracy and numerical efficiency, one example of a structural element is presented and

comparisons are made with the solutions and numerical results provided when conventional finite

elements are used.

Keywords

Reinforced Concrete

Finite Elements

Hybrid-Mixed Stress Formulation

Physically Non-Linear Analysis

Damage Model

v

AGRADECIMENTOS

A realização desta dissertação só foi possível graças à contribuição de inúmeras pessoas. A

todas gostaria de expressar os meus profundos e sinceros agradecimentos. No entanto, não posso

deixar de mencionar algumas das pessoas que tiveram um contributo especial para o

desenvolvimento deste trabalho.

Ao orientador científico, Professor Luís Castro, agradeço o apoio, incentivo e a forma clara e

objectiva como transmitiu o seu vasto conhecimento na área da Análise de Estruturas.

Ao co-orientador científico, Mário Arruda, agradeço pela dedicação e interesse

demonstrados por este tema, bem como pela disponibilidade e paciência para me esclarecer todas

as dúvidas que foram surgindo ao longo da dissertação.

A todos os meus amigos, sem excepção, pelo interesse, apoio e compreensão que

demonstraram durante este período. No entanto, queria aqui deixar um agradecimento em

particular ao António Abreu e ao Carlos Canha, sem eles o meu percurso ao longo destes cinco anos

de curso teria sido certamente mais complicado.

Por fim, gostaria de realçar o contributo de toda a minha família, em especial o dos meus

pais e irmã. Agradeço-lhes pelo apoio, incentivo e força que sempre manifestaram ao longo de todo

o meu percurso académico e, principalmente, nesta fase final.

vii

ÍNDICE

1 Introdução ........................................................................................................................................... 1

1.1 Motivação ................................................................................................................................... 1

1.2 Objectivos ................................................................................................................................... 2

1.3 Organização ................................................................................................................................ 2

2 Formulação do Problema .................................................................................................................... 5

2.1 Considerações Iniciais ................................................................................................................ 5

2.2 Hipóteses ..................................................................................................................................... 5

2.3 Variáveis e Equações Fundamentais ........................................................................................... 6

2.4 Condições de Equilíbrio .............................................................................................................. 7

2.5 Condições de Compatibilidade ................................................................................................... 7

2.6 Relações Constitutivas ................................................................................................................ 7

2.7 Comportamento Fisicamente Não-Linear ................................................................................... 8

2.7.1 Modelo de Dano Isotrópico (Betão) .................................................................................... 8

3 Modelo Clássico de Elementos Finitos ............................................................................................. 15

3.1 Considerações Iniciais .............................................................................................................. 15

3.2 Conceitos Básicos ..................................................................................................................... 15

3.3 Elementos Finitos de Deslocamento ......................................................................................... 16

4 Análise de Peças Bidimensionais de Betão com Elementos Finitos de Deslocamento .................... 19


4.2 Análise de uma Viga Simplesmente Apoiada ........................................................................... 19

4.2.1 Viga de Betão Simples ...................................................................................................... 20

4.2.2 Viga de Betão Armado (Reforço com Elementos de Barra) ............................................. 28

4.2.3 Viga de Betão Armado Simplificada (Reforço com Elementos Planos) ........................... 35

4.3 Análise de uma Consola Curta .................................................................................................. 38

4.3.1 Consola Curta de Betão Simples ....................................................................................... 38

4.3.2 Consola Curta Com Fenda ................................................................................................ 42

4.3.3 Consola Curta de Betão Armado (Reforço com Elementos de Barra) .............................. 44

4.3.4 Consola Curta de Betão Armado (Reforço com Elementos Planos) ................................. 45

5 Elementos Finitos Híbridos-Mistos de Tensão ................................................................................. 47


5.2 Formulações Não-Convencionais de Elementos Finitos........................................................... 47

5.3 Elementos Finitos Híbridos-Mistos de Tensão (Regime Elástico Linear) ................................ 49

viii

5.4 Elementos Finitos Híbridos-Mistos de Tensão (Regime Não-Linear) ...................................... 54

5.5 Funções de Aproximação .......................................................................................................... 55

6 Análise de Peças Bidimensionais de Betão com Elementos Finitos Híbridos-Mistos de Tensão

(Elementos Planos) ................................................................................................................................ 57


6.2 Viga Simplesmente Apoiada de Betão Simples ........................................................................ 57

6.3 Consola Curta de Betão Simples ............................................................................................... 63

6.4 Comparação com os resultados obtidos no Capítulo 4 (betão simples) .................................... 69

6.5 Viga Simplesmente Apoiada (betão armado, elementos planos) .............................................. 69

6.5.1 Análise fisicamente linear ................................................................................................. 70

6.5.2 Análise fisicamente não-linear com modelo de dano isotrópico ....................................... 71

6.6 Consola Curta (betão armado, elementos planos) ..................................................................... 77


6.6.2 Análise fisicamente não-linear com modelo de dano isotrópico ....................................... 79

7 Elementos Finitos Híbridos-Mistos de Tensão com Elementos de Barra ......................................... 85


7.2 Elementos Finitos Híbridos-Mistos de Tensão ......................................................................... 85

7.2.1 Equações Fundamentais .................................................................................................... 85

7.2.2 Definição das Aproximações ............................................................................................ 87

7.2.3 Modelo de Elementos Finitos Híbridos-Mistos de Tensão ............................................... 87

7.2.4 Sistema Governativo ......................................................................................................... 89

7.3 Elementos Finitos Híbridos Duplamente Mistos de Tensão ..................................................... 90

7.3.1 Definição das Aproximações ............................................................................................ 90

7.3.2 Modelo de Elementos Finitos ............................................................................................ 91

8 Análise de Peças Bidimensionais de Betão com Elementos Finitos Híbridos-Mistos de Tensão

(Elementos de Barra) ............................................................................................................................. 93


8.2 Viga Simplesmente Apoiada (betão armado, elementos de barra) ........................................... 93


8.2.2 Análise fisicamente não-linear com modelo de dano isotrópico ..................................... 101

8.3 Consola Curta (betão armado, elementos de barra) ................................................................ 105

8.3.1 Análise fisicamente linear ............................................................................................... 106

9 Conclusões e Desenvolvimentos Futuros ....................................................................................... 113

9.1 Conclusões .............................................................................................................................. 113

9.2 Desenvolvimentos futuros ...................................................................................................... 114

ix

10 Bibliografia ..................................................................................................................................... 115

ANEXO A – Polinómios de Legendre ................................................................................................ 117

A.1 – Introdução ............................................................................................................................. 117

A.2 – Considerações Iniciais .......................................................................................................... 117

A.3 – Propriedades dos Polinómios de Legendre ........................................................................... 117

A.4 – Fórmulas Geradoras de Polinómios de Legendre ................................................................. 118

ANEXO B – Viga Simplesmente Apoiada de Betão Armado (Malha Ultrarefinada) ....................... 125

xi

LISTA DE FIGURAS

Figura 2.1 – Formulação do problema. ..................................................................................... 6

Figura 2.2 – Corpo genérico. .................................................................................................. 6

Figura 2.3 – Volume representativo de um sólido com dano (adaptado de [Paula 2001]). ................... 9

Figura 4.1 – Viga simplesmente apoiada (dimensões em metros). ................................................ 20

Figura 4.2 – Simplificação de simetria da viga simplesmente apoiada (dimensões em metros). .......... 20

Figura 4.3 – Análise da viga simplesmente apoiada. Malha pouco refinada.................................... 21

Figura 4.4 – Análise da viga simplesmente apoiada. Malha intermédia. ........................................ 21

Figura 4.5 – Análise da viga simplesmente apoiada. Malha muito refinada. ................................... 21

Figura 4.6 – Deslocamento segundo Z (malha pouco refinada). ................................................... 22

Figura 4.7 – Deslocamento segundo Z (malha intermédia). ........................................................ 22

Figura 4.8 – Deslocamento segundo Z (malha muito refinada) .................................................... 22

Figura 4.9 – Tensão (malha pouco refinada). .................................................................... 23

Figura 4.10 – Tensão suavizada (malha intermédia). .......................................................... 23

Figura 4.11 – Tensão (malha mais refinada). ..................................................................... 24

Figura 4.12 – Tensão suavizada (malha mais refinada). ....................................................... 24

Figura 4.13 – Tensão (malha muito refinada). ................................................................... 24

Figura 4.14 – Tensão suavizada (malha muito refinada). ..................................................... 25

Figura 4.15 – Tensão (malha pouco refinada). .................................................................. 25

Figura 4.16 – Tensão suavizada (malha pouco refinada). ..................................................... 25

Figura 4.17 – Tensão (malha mais refinada). .................................................................... 26

Figura 4.18 – Tensão suavizada (malha mais refinada). ....................................................... 26

Figura 4.19 – Tensão (malha muito refinada). ................................................................... 26

Figura 4.20 – Tensão suavizada (malha muito refinada). ..................................................... 26

Figura 4.21 – Deslocamento segundo Z (em metros) em função do número de graus de liberdade. ..... 27

Figura 4.22 – Tensão de corte (N/m2) em função do número de graus de liberdade.......................... 27

Figura 4.23 – Evolução da energia de deformação em função do número de graus de liberdade. ........ 28

Figura 4.24 – Viga simplesmente apoiada de betão armado (dimensões em metros). ....................... 28

Figura 4.25 – Análise da viga de betão armado. Malha A. .......................................................... 29

Figura 4.26 – Análise da viga de betão armado. Malha B. .......................................................... 29

Figura 4.27 – Análise da viga de betão armado. Malha C. .......................................................... 29

Figura 4.28 – Análise da viga de betão armado. Malha D. .......................................................... 30

xii

Figura 4.29 – Deslocamento segundo Z (Malha A). .................................................................. 30

Figura 4.30 – Deslocamento segundo Z (Malha B). .................................................................. 30

Figura 4.31 – Deslocamento segundo Z (Malha C). .................................................................. 31

Figura 4.32 – Deslocamento segundo Z (Malha D). .................................................................. 31

Figura 4.33 – Tensão (Malha A). .................................................................................... 32

Figura 4.34 – Tensão suavizada (Malha A). ....................................................................... 32

Figura 4.35 – Tensão (Malha B). .................................................................................... 32

Figura 4.36 – Tensão suavizada (Malha B). ....................................................................... 32

Figura 4.37 – Tensão (Malha C). .................................................................................... 33

Figura 4.38 – Tensão suavizada (Malha C). ....................................................................... 33

Figura 4.39 – Tensão (Malha D). .................................................................................... 33

Figura 4.40 – Tensão suavizada (Malha D). ....................................................................... 33

Figura 4.41 – Tensões axiais nas armaduras (Malha A). ............................................................. 34

Figura 4.42 – Tensões axiais nas armaduras (Malha B). ............................................................. 34

Figura 4.43 – Tensões axiais nas armaduras (Malha C). ............................................................. 35

Figura 4.44 – Tensões axiais nas armaduras (Malha D). ............................................................. 35

Figura 4.45 – Malha refinada (modelo simplificado). ................................................................ 36

Figura 4.46 – Deslocamento segundo Z (modelo simplificado). .................................................. 36

Figura 4.47 – Tensão (modelo simplificado). .................................................................... 36

Figura 4.48 – Tensão suavizada (modelo simplificado). ...................................................... 37


Figura 4.50 – Tensão (modelo simplificado, escala de cores modificada). ............................... 37

Figura 4.51 – Consola curta (dimensões em metros). ................................................................. 38

Figura 4.52 – Consola curta (Malha A). .................................................................................. 39

Figura 4.53 – Consola curta (Malha B). .................................................................................. 39

Figura 4.54 – Consola curta (Malha C). .................................................................................. 39

Figura 4.55 – Consola curta (Malha D). .................................................................................. 39

Figura 4.56 – Deslocamento segundo Z (Malha A). .................................................................. 39

Figura 4.57 – Deslocamento segundo Z (Malha B). .................................................................. 39

Figura 4.58 – Deslocamento segundo Z (Malha C). .................................................................. 40

Figura 4.59 – Deslocamento segundo Z (Malha D). .................................................................. 40

Figura 4.60 – Deslocamento segundo Z (em metros) em função do número de graus de liberdade. ..... 40

Figura 4.61 – Tensão (Malha A). ................................................................................... 41

xiii

Figura 4.62 – Tensão suavizada (Malha A). ..................................................................... 41

Figura 4.63 – Tensão (Malha B). ................................................................................... 41

Figura 4.64 – Tensão suavizada (Malha B). ..................................................................... 41

Figura 4.65 – Tensão (Malha C). ................................................................................... 41

Figura 4.66 – Tensão suavizada (Malha C). ...................................................................... 41

Figura 4.67 – Tensão (Malha D). ................................................................................... 41

Figura 4.68 – Tensão suavizada (Malha D). ..................................................................... 41

Figura 4.69 – Consola curta com fenda e pormenor da fenda (dimensões em metros). ..................... 42

Figura 4.70 – Malha refinada (fenda). .................................................................................... 43

Figura 4.71 – Deslocamento segundo Z (fenda). ....................................................................... 43

Figura 4.72 – Tensão (fenda). ....................................................................................... 43

Figura 4.73 – Tensão suavizada (fenda). ......................................................................... 43

Figura 4.74 – Pormenor da zona da fenda (tensão suavizada ). ............................................. 43

Figura 4.75 – Consola curta de betão armado (dimensões em metros). .......................................... 44

Figura 4.76 – Malha refinada (reforço). .................................................................................. 44

Figura 4.77 – Deslocamento segundo Z (reforço). .................................................................... 44

Figura 4.78 – Tensão (reforço). ...................................................................................... 45

Figura 4.79 – Tensão suavizada (reforço). ........................................................................ 45

Figura 4.80 – Malha refinada (modelo simplificado). ................................................................ 45

Figura 4.81 – Deslocamento segundo Z (modelo simplificado). .................................................. 45


Figura 4.83 – Tensão suavizada (modelo simplificado). ...................................................... 46

Figura 6.1 – Deslocamentos segundo Y (1 elemento, grau 2). ..................................................... 58

Figura 6.2 – Tensões (1 elemento, grau 2). ....................................................................... 58

Figura 6.3 - Deslocamentos segundo Y (1 elemento, grau 3). ...................................................... 59






Figura 6.9 – Deslocamentos segundo Y (6 elementos, grau 2). .................................................... 61

Figura 6.10 – Tensões (6 elementos, grau 2). .................................................................... 61

Figura 6.11 – Deslocamentos segundo Y (6 elementos, grau 3). .................................................. 61

xiv












Figura 6.23 – Deslocamentos segundo Y (3 elementos, grau 12).................................................. 65

Figura 6.24 – Tensões (3 elementos, grau 12). .................................................................. 65

Figura 6.25 – Deslocamentos segundo Y (3 elementos, grau 14).................................................. 65


Figura 6.27 – Deslocamentos segundo Y (12 elementos, grau 2). ................................................ 67











Figura 6.38 – Tensões (30 elementos, grau 6, escala de cores modificada). ............................. 71

Figura 6.39 – Distribuição de dano na viga simplesmente apoiada (5 elementos, grau 2). ................. 72

Figura 6.40 – Distribuição de dano na viga simplesmente apoiada (15 elementos, grau 2). ............... 72





xv


Figura 6.46 – Diagrama carga/deslocamento (viga simplesmente apoiada). ................................... 75

Figura 6.47 – Evolução da distribuição de dano na viga simplesmente apoiada (passo de carga 20). ... 75




Figura 6.51 – Tensão (passo de carga 20). ........................................................................ 76







Figura 6.58 – Tensões (pormenor da zona da armadura, 20 elementos, grau 7). ....................... 78

Figura 6.59 – Tensões (20 elementos, grau 7, escala de cores modificada). ............................. 78

Figura 6.60 – Distribuição de dano na consola curta (7 elementos, grau 2). ................................... 80

Figura 6.61 – Distribuição de dano na consola curta (20 elementos, grau 2). .................................. 80





Figura 6.66 – Diagrama carga/deslocamento (consola curta). ...................................................... 82

Figura 6.67 – Evolução da distribuição de dano na consola curta (passo de carga 12). ..................... 82








Figura 7.1 – Elemento de barra genérico. ................................................................................ 86


Figura 8.2 – Tensões (5 elementos, grau 2). ...................................................................... 94

xvi






















Figura 8.24 – Tensões (36 elementos, grau 5). ................................................................ 100


Figura 8.26 – Distribuição de dano na viga simplesmente apoiada (36 elementos, grau 2). ............. 102





Figura 8.31 – Evolução da distribuição de dano na viga simplesmente apoiada (passo de carga 18). . 104




Figura 8.35 – Tensão (passo de carga 18). ...................................................................... 105

xvii













Figura 8.48 – Deslocamentos segundo Y (20 elementos, grau 2). .............................................. 109







Figura 8.55 – Tensões (20 elementos, grau 4). ................................................................. 110





Figura A.1 – Gráficos dos polinómios de Legendre normalizados em 1D. ................................... 119

Figura A.2 b) – Gráficos dos polinómios de Legendre normalizados em 2D. ............................... 121

Figura B.1 – Malha ultrarefinada. ........................................................................................ 125

Figura B.2 – Deslocamento segundo Z (malha ultrarefinada). ................................................... 125

Figura B.3 – Tensão (malha ultrarefinada). ..................................................................... 126

Figura B.4 – Tensão suavizada (malha ultrarefinada). ....................................................... 126

Figura B.5 – Tensão (malha ultrarefinada). .................................................................... 126

Figura B.6 – Tensão suavizada (malha ultrarefinada). ...................................................... 126

Figura B.7 – Tensão nas armaduras (malha ultrarefinada). ....................................................... 127

xix

LISTA DE TABELAS

Tabela 4.1 – Propriedades dos materiais. ................................................................................ 19

Tabela 4.2 – Deslocamento segundo Z para as várias discretizações. ............................................ 31

Tabela 6.1 – Graus de aproximação e número de graus de liberdade (viga simplesmente apoiada de

betão simples, 1 elemento). ....................................................................................................... 58

Tabela 6.2 – Resumo dos resultados (viga simplesmente apoiada de betão simples, 1 elemento). ....... 60

Tabela 6.3 – Graus de aproximação e de liberdade (viga simplesmente apoiada de betão simples,

6 elementos). ......................................................................................................................... 61

Tabela 6.4 – Resumo dos resultados (viga simplesmente apoiada de betão simples, 6 elementos). ...... 62

Tabela 6.5 – Graus de aproximação e de liberdade (consola curta de betão simples, 3 elementos). ..... 63

Tabela 6.6 – Resumo dos resultados (consola curta, 3 elementos). ............................................... 66

Tabela 6.7 – Graus de aproximação e de liberdade (consola curta de betão simples, 12 elementos). .... 66

Tabela 6.8 – Resumo dos resultados (consola curta, 12 elementos). ............................................. 68

Tabela 6.9 – Comparação de valores (viga simplesmente apoiada de betão simples). ....................... 69

Tabela 6.10 – Comparação de valores (consola curta de betão simples). ....................................... 69

Tabela 6.11 – Comparação de valores (viga simplesmente apoiada de betão armado). ..................... 71

Tabela 6.12 – Número de elementos e graus de liberdade (viga simplesmente apoiada de betão armado,

grau 2). ................................................................................................................................. 72

Tabela 6.13 – Graus de aproximação e de liberdade (viga simplesmente apoiada de betão armado,

5 elementos). ......................................................................................................................... 73

Tabela 6.14 – Comparação de valores (consola curta de betão armado). ........................................ 79

Tabela 6.15 – Número de elementos e graus de liberdade (consola curta de betão armado, grau 2). .... 79

Tabela 6.16 – Graus de aproximação e de liberdade (consola curta de betão armado, 5 elementos). .... 80


betão armado, 5 elementos)....................................................................................................... 94

Tabela 8.2 – Resumo dos resultados (viga simplesmente apoiada de betão armado, 5 elementos). ...... 97


36 elementos). ........................................................................................................................ 97

Tabela 8.4 – Resumo dos resultados (viga simplesmente apoiada de betão armado, 36 elementos). .. 100

Tabela 8.5 – Comparação de valores (viga simplesmente apoiada de betão armado). ..................... 101

Tabela 8.6 – Número de elementos e graus de liberdade (viga simplesmente apoiada de betão armado,

grau 2). ............................................................................................................................... 101


7 elementos). ....................................................................................................................... 102

xx

Tabela 8.8 – Graus de aproximação e número de graus de liberdade (consola curta de betão armado,

7 elementos). ....................................................................................................................... 106

Tabela 8.9 – Resumo dos resultados (consola curta, 7 elementos). ............................................. 108

Tabela 8.10 – Graus de aproximação e de liberdade (consola curta de betão armado, 20 elementos). 108

Tabela 8.11 – Resumo dos resultados (consola curta, 12 elementos). .......................................... 111

Tabela 8.12 – Comparação de valores (consola curta de betão armado). ...................................... 111

Tabela B.1 – Resumo dos resultados (malha ultrarefinada). ...................................................... 127

1

1 INTRODUÇÃO

1.1 Motivação

Nos últimos anos, o crescente conhecimento e desenvolvimento de meios na área da

mecânica computacional têm permitido a utilização de modelos numéricos mais elaborados na

análise de estruturas no âmbito da Engenharia Civil. Muitos dos problemas estruturais têm sido

resolvidos através do Método dos Elementos Finitos, cujo desenvolvimento representa um dos

avanços mais significativos na história dos métodos computacionais. O sucesso deste modelo,

principalmente quando aplicado à formulação de elementos finitos de deslocamento, deve-se

essencialmente à sua simplicidade e ao facto da sua formulação ser menos exigente e mais intuitiva

que as formulações alternativas. Contudo, este método apresenta algumas limitações decorrentes da

consideração de aproximações compatíveis mas não equilibradas (o que resulta em soluções contra a

segurança), da necessidade de se refinar muito as malhas (elevado número de elementos) e da

dificuldade associada à implementação de modelos para a análise de fenómenos de fendilhação.

Estas limitações, entre outras, incitaram os investigadores a procurarem novas formulações,

ditas não-convencionais. Como resultado dessa investigação surgiram, nomeadamente, as

formulações de elementos finitos híbridas e mistas. [Freitas et al. 1999a] desenvolveram modelos

não-convencionais de elementos finitos que se distinguem pela aproximação de diferentes campos

estáticos e/ou cinemáticos, pelas características das funções de aproximação utilizadas e pela

imposição de diferentes condições (imposição local ou ponderada). Consoante as condições impostas

no domínio de cada elemento, as formulações não-convencionais híbridas classificam-se como

híbrida-mista, híbrida ou híbrida-Trefftz. Estas podem estar associadas a modelos de tensão ou de

deslocamento, dependendo do tratamento das condições no domínio e da forma de ligação entre

elementos finitos.

Este tipo de formulações tem sido utilizado na análise de estruturas de betão simples

considerando modelos clássicos de elasticidade e plasticidade. No entanto, o comportamento do

material fendilhado não é correctamente modelado com recurso a este tipo de relações

constitutivas. A natureza do dano que se manifesta nos materiais quasi-frágeis, como no caso do

betão, está intimamente associada com a formação, evolução e coalescência de microfissuras. Para

além disso, o facto das formulações não-convencionais existentes não contemplarem nenhum tipo

de reforço, limita a sua aplicabilidade em termos práticos no que toca à análise de estruturas.

Para que os modelos não-convencionais possam vir a ter o nível de divulgação e utilizações

generalizadas que os modelos clássicos têm nos dias de hoje torna-se, então, pertinente o

desenvolvimento de formulações que possibilitem a análise fisicamente não-linear de estruturas de

betão armado. Isto é possível aplicando, por exemplo, modelos da Mecânica de Dano Contínuo (que

permitem modelar o comportamento quasi-frágil do betão) e incluindo nas formulações existentes

elementos de barra que permitem representar os varões de aço necessários para o reforço das

estruturas.

2

1.2 Objectivos e Metodologia

O presente trabalho pretende generalizar a formulação híbrida-mista de tensão de maneira a

ser possível a inclusão de varões de reforço na modelação de estruturas bidimensionais de betão

armado, considerando um comportamento fisicamente linear e não-linear. A concretização deste

objectivo principal conduziu à realização das seguintes tarefas:

Modelação do comportamento linear do betão e do aço;

Modelação do comportamento não-linear do betão através da introdução de um

modelo constitutivo de dano, o modelo de dano de [Mazars 1984];

Desenvolvimento de uma formulação híbrida-mista de tensão para a análise linear

das estruturas de betão armado, com a inclusão de elementos de barra que

correspondem aos varões de reforço;

Desenvolvimento de uma formulação híbrida duplamente mista de tensão para a

análise não-linear das estruturas de betão armado, também com a inclusão de

elementos de barra que correspondem aos varões de reforço.

As duas primeiras etapas foram já estudadas em diversos trabalhos, surgindo no entanto a

necessidade de as considerar para o correcto desenvolvimento deste trabalho.

1.3 Organização

O trabalho encontra-se dividido em 9 capítulos e 2 anexos, entre os quais se insere este

primeiro capítulo de introdução.

O segundo capítulo introduz as formulações que estão na génese deste trabalho, definindo-

se as hipóteses consideradas e as variáveis e equações fundamentais utilizadas. Descreve-se ainda o

comportamento fisicamente não-linear do betão, adoptando-se um modelo de dano contínuo para o

modelar.

No terceiro capítulo é abordada a formulação clássica do método dos elementos finitos, os

elementos finitos de deslocamento, sendo discutidas as vantagens e desvantagens que decorrem da

sua utilização.

No quarto capítulo apresentam-se os exemplos de elementos estruturais que vão ser

utilizados ao longo do trabalho e analisam-se os mesmos utilizando a formulação clássica de

elementos finitos apresentada no terceiro capítulo e que servirá de base de comparação para que se

possam validar os modelos apresentados no sétimo capítulo.

No quinto capítulo expõem-se as principais vantagens e desvantagens das formulações não-

convencionais de elementos finitos, estabelecendo-se comparações com a formulação clássica.

Apresentam-se ainda as duas formulações não-convencionais a serem utilizadas no trabalho, a

híbrida-mista de tensão e a híbrida duplamente mista de tensão, bem como as funções utilizadas

para a definição das aproximações em cada um dos modelos, os polinómios ortogonais de Legendre.

3

O sexto capítulo tem como finalidade a aplicação dos modelos definidos no quinto capítulo

aos exemplos de elementos estruturais apresentados no quarto capítulo. Discutem-se os resultados

obtidos com a formulação híbrida-mista de tensão para a análise linear e comparam-se os mesmos

com os obtidos no quarto capítulo. Apresenta-se ainda uma análise não-linear dos elementos

estruturais, com a introdução da variável de dano, aplicando-se para tal a formulação híbrida

duplamente mista de tensão.

No sétimo capítulo é apresentada a generalização dos modelos híbridos-mistos de elementos

finitos por forma a ser possível a inclusão de varões de reforço na modelação de estruturas

bidimensionais de betão armado. São apresentadas duas variantes da formulação, uma para

elementos híbridos-mistos de tensão e outra para elementos híbridos duplamente mistos de tensão.

No oitavo capítulo são aplicadas as novas formulações desenvolvidas no sétimo capítulo, com

a inclusão dos elementos de barra. As formulações híbrida-mista de tensão e híbrida duplamente

mista de tensão são utilizadas, respectivamente, para a análise fisicamente linear e não-linear (com

variável de dano para o betão) dos mesmos exemplos de elementos estruturais que foram sendo

estudados ao longo do trabalho.

O nono capítulo é dedicado às conclusões e desenvolvimentos futuros.

No anexo A, como complemento ao trabalho, são apresentadas em pormenor as funções de

aproximação utilizadas, os polinómios ortogonais de Legendre.

No anexo B, como forma de validação dos resultados obtidos na nova formulação, apresenta-

se uma outra discretização, com uma malha ultrarefinada, para o exemplo da viga simplesmente

apoiada de betão armado, obtida através do modelo clássico de deslocamentos do método dos

elementos finitos.

5

2 FORMULAÇÃO DO PROBLEMA

2.1 Considerações Iniciais

Neste capítulo são apresentadas e definidas as hipóteses a considerar ao longo do trabalho,

bem como as variáveis que surgem na formulação de um problema de análise estrutural

(deslocamentos, deformações, tensões e cargas). São também definidas as relações fundamentais

(equilíbrio, relação constitutiva e compatibilidade), necessárias para a caracterização física (linear e

não-linear) e geometricamente linear de uma estrutura.

As bases teóricas da Teoria da Elasticidade são aqui apresentadas de forma genérica, de

modo a que possam ser aplicadas a qualquer tipo de estrutura. Apenas os conceitos básicos,

relevantes para o desenvolvimento do trabalho, serão expostos, sendo que a sua descrição

detalhada pode ser encontrada, por exemplo, em [Arantes e Oliveira 1999; Timoshenko et al. 1970].

2.2 Hipóteses

Ao longo do trabalho são admitidas as seguintes hipóteses:

Isotropia – as propriedades do material são independentes da direcção considerada;

Linearidade geométrica – é baseada na hipótese dos pequenos deslocamentos e das

pequenas deformações. Os deslocamentos e as deformações sofridos pela estrutura são

pequenos face à menor dimensão da estrutura, permitindo desta forma estabelecer as

condições de equilíbrio na configuração indeformada da mesma;

Homogeneidade – as propriedades dos materiais não variam de ponto para ponto;

Linearidade física – numa primeira fase do trabalho é considerada esta hipótese. Os materiais

apresentam um comportamento elástico linear, ou seja, recuperam a sua forma inicial

quando deixam de ser solicitados e existe uma relação linear entre tensões e deformações;

Não-linearidade física – numa fase mais avançada do trabalho é considerada esta hipótese.

Os materiais têm comportamento não-linear, ou seja, não existe uma relação linear entre

tensões e deformações;

Carregamento monotónico – não se considera inversão do sentido de aplicação da carga;

Aderência perfeita aço-betão – não se considera escorregamento entre os materiais;

Carregamento estático – a velocidade de aplicação da carga é suficientemente baixa,

podendo desprezar-se os seus efeitos dinâmicos;

Considera-se que a temperatura não interfere nas características mecânicas do material;

Varões de reforço no fronteira entre elementos de betão.

6

2.3 Variáveis e Equações Fundamentais

As grandezas utilizadas para definir o comportamento de uma estrutura (variáveis) e as

relações que entre elas se estabelecem (equações fundamentais) estão representadas de forma

esquemática na Figura 2.1.

Figura 2.1 – Formulação do problema.

De forma a facilitar a compreensão das equações a seguir apresentadas, considere-se o

corpo genérico representado na Figura 2.2, definido pelo domínio V e limitado pela fronteira Γ, a qual

é constituída por uma fronteira cinemática, Γu, onde são impostas as restrições ao deslocamento e

uma fronteira estática, Γσ, onde é conhecido o valor das tensões aplicadas. O vector ū reúne as

componentes do campo de deslocamentos na fronteira cinemática, o vector t reúne as componentes

das forças aplicadas na fronteira estática e o vector b reúne as componentes das forças exteriores

aplicadas no domínio.

Figura 2.2 – Corpo genérico.

7

2.4 Condições de Equilíbrio

As equações de equilíbrio no domínio V e na fronteira Γ, segundo [Timoshenko et al. 1970],

podem ser escritas na forma matricial que a seguir se apresenta:

(2.1)

(2.2)

onde D representa o operador diferencial de equilíbrio e N representa a matriz que lista as

componentes do vector unitário normal à fronteira estática, Γσ.

2.5 Condições de Compatibilidade

Admitindo como válida a hipótese de linearidade geométrica anteriormente mencionada, as

condições de compatibilidade podem ser escritas na forma matricial que a seguir se apresenta

[Timoshenko et al. 1970]:

(2.3)

(2.4)

onde é o operador diferencial de compatibilidade. Os operadores diferenciais e são lineares

e adjuntos, em função da hipótese de linearidade geométrica admitida.

2.6 Relações Constitutivas

As relações constitutivas estabelecem as leis de comportamento dos materiais estruturais

que permitem relacionar o tensor das deformações com o tensor das tensões.

Numa primeira fase do trabalho o comportamento dos materiais é considerado como

fisicamente linear. Então, em regime elástico linear e partindo do princípio que não existem

variações de temperatura nem tensões iniciais, a relação entre as tensões e as deformações (Lei de

Hooke) pode ser definida, de forma simplificada, no formato de flexibilidade (2.5) ou no formato de

rigidez (2.6) [Arantes e Oliveira 1999]:

(2.5)

(2.6)

onde e são tensores simétricos de 4ª ordem onde se reúnem os parâmetros elásticos dos

materiais.

8

As equações podem ainda ser escritas na forma matricial que a seguir se apresenta:

(2.7)

(2.8)

onde e representam, respectivamente, a matriz de flexibilidade e a matriz de rigidez, sendo

válida a relação .

Numa fase posterior do trabalho, será necessário considerar o comportamento não-linear

dos materiais, cuja relação entre tensões e deformações não será igual à referida no ponto anterior.

Esta relação pode ser escrita no formato de flexibilidade (2.9) ou no formato de rigidez (2.10) da

seguinte forma:

(2.9)

(2.10)

onde e representam, respectivamente, o tensor constitutivo de flexibilidade do material e o

tensor constitutivo de rigidez do material, com comportamento não-linear. No caso de estarmos

perante comportamento elástico linear, e coincidem, respectivamente, com e .

O comportamento fisicamente não-linear do betão será referido no ponto seguinte através

do modelo que será adoptado ao longo do trabalho. Para o aço não se vai considerar a não-

linearidade, considerando-se que o comportamento do material é elástico-linear ao longo de todo o

trabalho.

2.7 Comportamento Fisicamente Não-Linear

A resposta não-linear de um material está normalmente associada à manifestação de

processos irreversíveis que ocorrem na sua microestrutura e que pode ser observada

macroscopicamente [Proença 2000]. Estes processos irreversíveis podem ter origem em defeitos

microscópicos que têm como resultado a concentração de tensões na zona onde ocorrem. Isto

provoca, por sua vez, a redução de rigidez e resistência do material, que conduz ao aparecimento e

crescimento de microfissuras, quando este está sujeito a carregamento, e às correspondentes

deformações, que têm carácter permanente. O material deixa então de apresentar um

comportamento elástico linear, motivo pelo qual se apresenta no ponto seguinte o modelo de

comportamento adoptado para o betão (Modelo de Dano Isotrópico).

2.7.1 Modelo de Dano Isotrópico (Betão)

O uso deste tipo de modelo surgiu com o objectivo de modelar correctamente a fendilhação

observada no material e as consequentes alterações das propriedades mecânicas, sendo que os

processos irreversíveis são considerados através da redução da rigidez inicial do material. O conceito

de dano foi introduzido por [Kachanov 1958], que procurava justificar a rotura precoce dos materiais

em relação ao esperado. A versão mais simples do modelo de dano, que vai ser utilizada neste

trabalho, consiste em trabalhar com uma variável interna escalar de dano que afecta de forma

9

isotrópica o tensor de rigidez inicial do material. Apesar de não ser fácil medir directamente o valor

dessa variável de dano, é possível quantificá-la de forma indirecta através da alteração das

propriedades mecânicas do material. Uma versão mais precisa de um modelo de dano tem em

consideração que as microfissuras tendem a agrupar-se numa dada direcção, ou seja, consideram o

carácter anisotrópico da variável de dano, que deixa de ser escalar, designando-se tal modelo por

modelo de dano anisotrópico, cuja descrição detalhada pode ser encontrada, por exemplo, em

[Jirásek 2004; Lemaitre 1992; Lemaitre et al. 2005; Silva 2006a].

A variável de dano local, , associada a um plano de normal , pode ser definida pela

relação [Lemaitre et al. 1985]:

(2.11)

onde representa a área total de uma secção genérica de um elemento e a área íntegra contida

em , tal como se apresenta na Figura 2.3.

Figura 2.3 – Volume representativo de um sólido com dano (adaptado de [Paula 2001]).

A variável de dano assume valores entre zero e um, sendo que corresponde à

situação de material completamente íntegro e a um estado de total deterioração [Kachanov

1958]. O desenvolvimento do dano é um processo irreversível, sendo que tal propriedade está

expressa na Equação (2.11), visto que a área íntegra ou se mantém constante ou diminui. Tratando-

se de um modelo isotrópico, a variável de dano é independente da direcção , ou seja, os defeitos e

vazios do material estão uniformemente distribuídos em todas as direcções.

A tensão efectiva num determinado material relaciona-se com a tensão inicial (sem dano)

através da seguinte expressão:

(2.12)

Introduzindo a variável de dano, definida na equação (2.11) na expressão anterior, obtém-se

a seguinte relação:

(2.13)

10

A relação constitutiva do meio contínuo com dano pode ser obtida pela introdução da

relação anterior (2.13) na lei de Hooke aplicada à parte íntegra (sem dano) do meio danificado:

(2.14)

Num modelo de dano isotrópico uniaxial é usualmente considerada uma função matemática,

g, que traduz a lei de evolução de dano, a qual é definida a partir de resultados experimentais. Os

modelos de dano têm de respeitar as leis e princípios da termodinâmica dos processos irreversíveis

[Kachanov 1986; Lemaitre 1992; Lemaitre et al. 2005]. Numa fase inicial, o material tem um

comportamento elástico linear. Contudo, quando a energia elástica armazenada atinge um valor

crítico, a variável de dano assume valores não nulos de forma a traduzir a perda de integridade do

material [Silva 2006a]. A evolução da variável de dano deve ser calculada em função da deformação,

podendo escrever-se:

(2.15)

Em relação à expressão anterior, facilmente se verifica que esta não impede a diminuição do

valor da variável de dano. Como tal, é necessário fazer a função g depender, para além da

deformação actuante no material, de uma grandeza , que tem em conta a deformação máxima a

que o material esteve sujeito. Então, a lei de evolução de dano pode ser reescrita da seguinte forma:

{ [ ] } (2.16)

onde o parâmetro está associado à deformação máxima para a qual o material não apresenta

dano. Esta é, portanto, uma modelação mais correcta do comportamento do material.

Surge ainda a necessidade de se fazer a distinção entre as situações de carga e de descarga.

Essa distinção é feita através da comparação da deformação actuante, , com a grandeza , sendo

expressa pelo potencial de dissipação, f:

(2.17)

São ainda, na sequência da expressão anterior, definidas as condições de carga e descarga de

Kuhn-Tucker:

(2.18)

As duas primeiras condições definem como uma grandeza não decrescente e sempre

superior ou igual à deformação actuante, . A terceira condição implica que apenas ocorra evolução

da grandeza quando o potencial de dissipação for nulo, ou seja, quando e forem iguais.

Para o caso de um modelo de dano isotrópico multiaxial todas as equações apresentadas

anteriormente neste ponto são válidas, procedendo-se apenas a uma alteração na Equação (2.17)

11

devido à necessidade de se definir uma deformação equivalente, , a qual deve ser obtida em função

das componentes independentes do tensor das deformações:

(2.19)

onde representa uma função de activação que depende do modelo de dano utilizado.

Resumidamente, as equações constitutivas de um modelo de dano isotrópico são as

seguintes:

(lei secante tensão-deformação);

(relação tensão efectiva-tensão);

(lei de evolução de dano);

(potencial de dissipação);

(condições de carga e descarga).

A escolha do tipo de lei de evolução de dano a considerar depende do tipo de material e das

acções que se pretendem modelar. O modelo de dano escalar que vai ser utilizado neste trabalho é o

modelo de dano de [Mazars 1984]. Neste, admite-se que o aparecimento e a evolução de dano

resultam apenas da existência de extensões positivas. Deste modo, apenas é considerada a parte

positiva das componentes principais do tensor das deformações no cálculo da deformação

equivalente:

‖⟨ ⟩‖ √⟨ ⟩ ⟨ ⟩

⟨ ⟩ √∑⟨ ⟩

(2.20)

Segundo este modelo constitutivo, enquanto a deformação equivalente não atingir um

determinado valor de referência, , o material apresenta um comportamento elástico linear.

Quando é atingido esse valor, o material começa a apresentar dano, apresentando a partir desse

momento um comportamento não-linear. No caso unidimensional, o valor do parâmetro é

função do valor da resistência máxima em ensaios de tracção uniaxial, , tal como se apresenta na

expressão seguinte:

(2.21)

O potencial de dissipação deste modelo é então dado por:

(2.22)

12

Para casos de tracção e compressão uniaxiais, são definidas neste modelo duas variáveis

escalares independentes, e , que representam o dano de tracção e compressão,

respectivamente. As leis de evolução destas duas variáveis podem ser escritas da seguinte maneira:

[ ] (2.23)

[ ] (2.24)

onde e são parâmetros característicos do material, podendo ser determinados em

ensaios de tracção uniaxial com deformação controlada (três primeiros parâmetros) e ensaios de

compressão uniaxial com deformação controlada (últimos dois parâmetros).

Para o caso de estados de tensão mais complexos, a variável de dano pode ser definida como

uma combinação linear de e :

(2.25)

verificando-se sempre . Respeitando as características dos casos uniaxiais, os

coeficientes e assumem o valor unitário no caso de tracção uniaxial e compressão uniaxial,

respectivamente. Estes coeficientes são determinados da seguinte forma [Perego 1990]:

∑ ⟨

⟩

∑ ⟨ ⟩ ∑ ⟨

⟩

(2.26)

∑ ⟨

⟩

∑ ⟨ ⟩ ∑ ⟨

⟩

(2.27)

onde:

⟨ ⟩

∑⟨ ⟩

(2.28)

⟨ ⟩

∑⟨ ⟩

(2.29)

sendo o tensor identidade e ⟨ ⟩ e ⟨ ⟩ as partes positiva e negativa, respectivamente, do tensor

das tensões efectivas principais calculado em função das deformações actuais aplicando a relação

elástica isotrópica, tal como se apresenta nas Equações (2.30)e (2.31).

13

⟨ ⟩

| | (2.30)

(2.31)

Uma vez determinado o valor da variável de dano através da aplicação da expressão (2.25), é

possível regressar à Equação (2.14), a qual representa a relação constitutiva para este modelo de

dano escalar isotrópico.

15

3 MODELO CLÁSSICO DE ELEMENTOS FINITOS


Actualmente, o Método dos Elementos Finitos é um dado adquirido na análise de sólidos e

estruturas, mecânica de fluidos e transferência de calor, sendo a sua formulação clássica a mais

utilizada. Esta permite a obtenção de uma solução aproximada de forma rápida e eficiente de

determinados problemas de engenharia. A origem do Método dos Elementos Finitos remonta a

meados do século XX, nomeadamente com o trabalho de [Clough 1960], tendo desde aí um papel

importante na área da Engenharia Civil, servindo de princípio básico para inúmeros trabalhos que

levam ao desenvolvimento do ramo, no qual este se insere. A forte utilização deste método deve-se,

essencialmente, à simplicidade conceptual na formulação do problema, a qual torna o significado

físico das grandezas intervenientes claro e intuitivo, e à sua robusta fundamentação teórica, que

permite estabelecer as condições para a existência, unicidade e convergência das soluções numéricas

aproximadas.

Neste capítulo será abordada a formulação clássica do método dos elementos finitos, os

elementos finitos de deslocamento, e serão discutidas as vantagens e desvantagens que decorrem da

sua utilização.

3.2 Conceitos Básicos

A aplicação do Método dos Elementos Finitos de Deslocamento baseia-se no princípio de

aproximação directa dos deslocamentos, por ser fácil definir uma solução cinematicamente

admissível. Para tal utilizam-se funções contínuas, sendo estas escritas por forma a ser fácil impor as

condições de compatibilidade. O campo de tensões/esforços é obtido a partir do campo de

deformações (obtido a partir da aproximação definida para os campos de deslocamento através da

aplicação das equações de compatibilidade) impondo a relação constitutiva, satisfazendo-se a

condição de admissibilidade estática de forma aproximada. Assim, pode dizer-se que as condições de

compatibilidade e a relação constitutiva são satisfeitas localmente ou impostas de maneira forte, ou

seja, verificadas ponto a ponto. Pode ainda dizer-se que as condições de equilíbrio, caso sejam

violadas em pelo menos um ponto (o que geralmente acontece), são satisfeitas aproximadamente ou

impostas de maneira fraca. Quando as condições de equilíbrio são satisfeitas em todos os pontos

conclui-se que a aproximação utilizada contém a solução exacta para o problema, o que acontece

num número muito reduzido de casos.

O facto de a solução não respeitar as condições de equilíbrio no domínio e na fronteira

significa que o erro associado à determinação dos campos estáticos é muito superior ao erro

associado aos campos cinemáticos e indica que, do ponto de vista do dimensionamento de

estruturas e de acordo com o Teorema Estático da Análise Plástica de Estruturas, esta solução seja

contra a segurança [Almeida 1991; Silva 2006b]. Para além disto, o tipo e o grau das funções que se

podem utilizar na aproximação dos campos cinemáticos são limitados, sendo necessário, para a

obtenção de soluções com grau de precisão conveniente, a utilização de malhas com elevado

número de elementos finitos (refinamento tipo-h), o que torna indispensável a utilização de

algoritmos especialmente desenhados para efectuar a geração automática dos dados associados a

essas malhas. A adopção de estratégias de refinamento baseadas no aumento do grau das funções

16

de aproximação (refinamento tipo-p) é dificultada quando se utiliza a formulação clássica do Método

dos Elementos Finitos aqui apresentada. É de referir ainda que quando se aplica o método dos

elementos finitos para a análise de lajes de Reissner-Mindlin (teoria de lajes onde se considera a

existência de deformação por corte) existe a possibilidade de surgir o efeito de locking, não sendo o

caso deste trabalho.

Com o intuito de contornar algumas destas limitações, têm sido desenvolvidas formulações

não-convencionais de elementos finitos, nomeadamente os Elementos Híbridos-Mistos de Tensão,

sobre os quais incide este trabalho e que serão apresentados no Capítulo 5.

3.3 Elementos Finitos de Deslocamento

No modelo clássico de elementos finitos, apenas o campo de deslocamentos no domínio é

aproximado, definindo-se, para cada elemento:

(3.1)

onde a matriz agrupa as funções de aproximação e o vector representa as variáveis discretas

dos deslocamentos. As funções de aproximação utilizadas nesta formulação clássica de elementos

finitos permitem, a priori, garantir todas as condições de compatibilidade, tanto no domínio de cada

elemento como na fronteira cinemática (considerando-se que esta engloba todas as fronteiras entre

elementos). É de referir que se utiliza o conceito de interpolação nodal, que o número de nós em

cada elemento está directamente ligado ao grau da aproximação considerada e ainda que a função

interpoladora toma valor unitário no nó a que diz respeito e é nula nos restantes.

Com base nas relações fundamentais apresentadas no Capítulo 2, é possível relacionar as

equações no domínio de modo a obter as expressões em função dos deslocamentos. Substituindo a

condição de compatibilidade (2.3) na condição de elasticidade (2.8) obtém-se:

(3.2)

Assim, a condição de equilíbrio no domínio (2.1) e a condição de equilíbrio ao longo da

fronteira estática (2.2) podem ser escritas, respectivamente, da seguinte forma:

(3.3)

(3.4)

A equação (3.3) é imposta ponderadamente pelo Método dos Resíduos Pesados, utilizando-

se as funções de aproximação do campo de deslocamentos no domínio:

∫ [ ]

(3.5)

17

Integrando por partes o primeiro termo da equação anterior, obtém-se:

∫

∫

∫

(3.6)

Substituindo as aproximações (3.1) e (3.4) na equação (3.6) e tendo em conta a igualdade

(3.4), obtém-se:

(∫

) ∫

∫

(3.7)

Definindo os seguintes operadores estruturais

∫

(3.8)

∫

∫

(3.9)

obtém-se o seguinte sistema governativo elementar para o modelo de elementos finitos de

deslocamento:

(

(3.10)

Por forma a obter o sistema governativo global é necessário reunir as equações elementares,

utilizando-se para o efeito um processo descrito de forma detalhada em [Zienkiewicz et al. 1989].

Uma vez determinado o valor de todos os deslocamentos nodais, a aproximação para o

campo de deslocamentos em cada elemento é feita com base na equação (3.1). A partir da equação

(3.2) é possível determinar a aproximação para o campo de tensões, que pode ou não verificar as

condições de equilíbrio no domínio e na fronteira, dependendo para que tal aconteça que a solução

exacta tenha grau igual ou inferior ao das funções de aproximação o que, como já foi mencionado,

acontece num número muito reduzido de casos.

Finalmente, é de referir que caso se considere para os materiais estruturais um

comportamento fisicamente não-linear, o sistema governativo passa a poder escrever-se na forma

genérica:

(

(3.11)

A resolução deste sistema governativo não-linear requer a utilização de um procedimento

incremental e iterativo. Este procedimento é semelhante ao que vai ser apresentado no caso dos

modelos híbridos-mistos de tensão, motivo pelo qual não é apresentado neste capítulo.

19

4 ANÁLISE DE PEÇAS BIDIMENSIONAIS DE BETÃO COM

ELEMENTOS FINITOS DE DESLOCAMENTO


Neste capítulo são analisadas estruturas bidimensionais de betão com recurso à formulação

de deslocamento do método dos elementos finitos. Numa primeira fase são analisadas estruturas de

betão simples, sendo numa segunda fase incluídos varões de reforço de aço. Para a análise de

estruturas de betão armado são consideradas duas estratégias alternativas. Na primeira, os varões

de reforço são considerados na modelação como elementos estruturais unidimensionais. Na segunda

versão, os varões de aço são considerados como elementos bidimensionais.

Nas análises apresentadas neste capítulo foi utilizado um programa comercial de elementos

finitos, o [ADINA]. É de salientar que em todos os exemplos se considera um comportamento elástico

linear para os materiais. Na Tabela 4.1 listam-se as propriedades elásticas consideradas para cada um

dos materiais estruturais.

Betão Aço

Módulo Young (GPa) 31 210

Coeficiente de Poisson 0,2 0,3

Densidade (kg/m3) 2400 7860

Tabela 4.1 – Propriedades dos materiais.

É de referir que os exemplos aqui apresentados não se encontram exaustivamente

analisados, pois não é esse o objectivo deste trabalho. Apenas são analisados aspectos gerais dos

problemas, que possam ser comparados com os obtidos através da análise pelo Método dos

Elementos Finitos Híbridos-Mistos de Tensão.

4.2 Análise de uma Viga Simplesmente Apoiada

Neste exemplo analisa-se uma viga simplesmente apoiada sujeita a carregamento

uniformemente distribuído p, de valor igual a 1N/m. Considera-se que se trata de um problema de

estado plano de tensão, uma vez que a espessura é desprezável em relação à dimensão da peça

segundo as outras duas direcções. A viga tem as dimensões que se apresentam na Figura 4.1.

20

Figura 4.1 – Viga simplesmente apoiada (dimensões em metros).

Tirando partido da simetria da estrutura e do carregamento, apresenta-se na Figura 4.2 a

devida simplificação, a qual será usada na análise do problema.

Figura 4.2 – Simplificação de simetria da viga simplesmente apoiada (dimensões em metros).

4.2.1 Viga de Betão Simples

Nesta primeira subsecção considera-se que a viga é constituída apenas por betão, sem a

existência de qualquer reforço. Começa-se por utilizar uma malha pouco refinada, ou seja, com

pouco elementos, analisando-se o efeito do refinamento à medida que se aumenta o número de

elementos (refinamento tipo-h). Para cada solução são apresentados os deslocamentos segundo Z,

as tensões e as tensões .

Nas Figuras 4.3, 4.4 e 4.5 estão representadas as malhas utilizadas, havendo três níveis

distintos de refinamento. No primeiro são considerados 20 elementos de 4 nós (utilização de funções

de aproximação bilineares para a modelação dos campos de deslocamento), ou seja, uma malha

pouco refinada. No segundo, são considerados 1280 elementos de 4 nós, o que representa uma

malha mais refinada. Por último, são considerados 20480 elementos de 4 nós, uma solução muito

refinada. Os elementos são quadriláteros, tendo tal escolha sido baseada na geometria da estrutura.

21

Figura 4.3 – Análise da viga simplesmente apoiada. Malha pouco refinada.

Figura 4.4 – Análise da viga simplesmente apoiada. Malha intermédia.

Figura 4.5 – Análise da viga simplesmente apoiada. Malha muito refinada.

Com o aumento do número de elementos, refinamento tipo-h, a solução irá convergir,

aproximando-se, no limite, da solução exacta. Nas Figuras 4.6, 4.7 e 4.8 estão representados os

deslocamentos segundo Z para as três malhas, bem como as deformadas correspondentes.

22

Figura 4.6 – Deslocamento segundo Z (malha pouco refinada).

Figura 4.7 – Deslocamento segundo Z (malha intermédia).

Figura 4.8 – Deslocamento segundo Z (malha muito refinada)

Na Figura 4.8 foi retirada a malha, para que a escala de cores seja claramente visível.

É possível notar que a solução converge rapidamente no que toca aos deslocamentos. Esta

afirmação será comprovada mais à frente nesta subsecção, com a apresentação de um diagrama da

evolução do deslocamento segundo Z a meio vão em função do número de graus de liberdade

considerados em cada uma das malhas utilizadas.

23

A rápida convergência era de esperar, visto a solução exacta não ser complexa (para este

caso da viga simplesmente apoiada) e também porque a condição de compatibilidade é imposta de

maneira forte. Os deslocamentos convergem para a solução exacta mais rapidamente do que as

tensões/esforços, visto as condições de equilíbrio serem impostas de maneira fraca, tal como já foi

mencionado. Para além disto, importa referir que os campos de deformações (que estão na base da

determinação dos campos de tensões) são determinados derivando a solução aproximada obtida

para o campo de deslocamentos, o que aumenta desde logo os erros associados. No entanto,

também por se tratar de uma solução não complexa, não é necessário um elevado grau de

refinamento para se obter uma boa aproximação da realidade, tal como será mais à frente

comprovado por um diagrama de evolução da tensão de corte em função do número de graus de

liberdade.

Nas Figuras 4.9, 4.10, 4.11, 4.12, 4.13 e 4.14 estão representadas as tensões (directas e

suavizadas) para as três malhas distintas, bem como as correspondentes deformadas. A

representação direta é obtida com base na solução aproximada que resulta diretamente dos

cálculos. Na representação suavizada, os campos de tensões resultam de uma operação de

adoçamento da solução, a qual visa conseguir obter uma solução contínua para os campos estáticos.

Figura 4.9 – Tensão (malha pouco refinada).

Figura 4.10 – Tensão suavizada (malha intermédia).

24

Figura 4.11 – Tensão (malha mais refinada).

Figura 4.12 – Tensão suavizada (malha mais refinada).

Figura 4.13 – Tensão (malha muito refinada).

25

Figura 4.14 – Tensão suavizada (malha muito refinada).

Nas Figuras 4.13 e 4.14 foi retirada a malha, para que a escala de cores seja claramente

visível.

Nas Figuras 4.15, 4.16, 4.17, 4.18, 4.19 e 4.20 estão representadas as tensões (directas e

suavizadas) para as três malhas distintas, bem como as correspondentes deformadas.

Figura 4.15 – Tensão (malha pouco refinada).

Figura 4.16 – Tensão suavizada (malha pouco refinada).

26

Figura 4.17 – Tensão (malha mais refinada).

Figura 4.18 – Tensão suavizada (malha mais refinada).

Figura 4.19 – Tensão (malha muito refinada).

Figura 4.20 – Tensão suavizada (malha muito refinada).

27

É notório que quando se refina a solução, as diferenças entre as representações directas e as

suavizadas dos campos de tensões vão sendo cada vez menos visíveis. Isto deve-se ao facto dos

desequilíbrios de tensões entre elementos irem sendo cada vez menores, o que faz com que as

soluções aproximadas sejam cada vez mais contínuas. Quando numa determinada solução há

violação clara das condições de equilíbrio na fronteira estática e na fronteira entre elementos

adjacentes, a solução afasta-se da solução exacta e são mais visíveis as diferenças existentes entre o

campo de tensões obtido directamente a partir da aproximação e o campo de tensões suavizado.

Nestes casos há claramente a necessidade de se proceder ao refinamento da solução, para que o

modelo possa simular de forma adequada o comportamento da estrutura que se pretende analisar.

Para finalizar este ponto, são então apresentados os diagramas com a evolução do valor do

deslocamento segundo Z a meio vão (Figura 4.21), com o valor da tensão de corte (Figura 4.22) e

com o valor da energia de deformação (Figura 4.23), todos em função do número de graus de

liberdade. Estes diagramas têm por finalidade ilustrar a convergência da solução e justificar os

comentários feitos até então.

Figura 4.21 – Deslocamento segundo Z (em metros) em função do número de graus de liberdade.

Figura 4.22 – Tensão de corte (N/m2) em função do número de graus de liberdade.

Tal como foi referido anteriormente e agora se verifica, apesar de teoricamente as tensões

não convergirem tão rapidamente para a solução exacta quanto os deslocamentos, por se tratar de

um caso simples, onde não é necessário um grau de refinamento muito elevado para que a solução

tenha uma precisão adequada, a taxa de convergência é semelhante.

2,0440E-082,0460E-082,0480E-082,0500E-082,0520E-082,0540E-082,0560E-082,0580E-082,0600E-082,0620E-08

0 10000 20000 30000 40000 50000

De

slo

cam

en

to Z

(va

lor

abso

luto

)

nº de graus de liberdade

0

2

4

6

8

0 10000 20000 30000 40000 50000

Ten

são

de

co

rte

(va

lor

abso

luto

)


28

Figura 4.23 – Evolução da energia de deformação em função do número de graus de liberdade.

Também para o caso da energia de deformação, é possível verificar que a taxa de

convergência é semelhante à do deslocamento segundo Z.

4.2.2 Viga de Betão Armado (Reforço com Elementos de Barra)

Nesta secção proceder-se-á à análise da viga simplesmente apoiada, reforçada agora com

varões de aço com as propriedades apresentadas na Tabela 4.1, considerando um recobrimento de 5

centímetros e uma área unitária. Na modelação dos reforços consideram-se elementos

unidimensionais de barra. Este modelo complementará o do ponto anterior, sendo comparado o seu

comportamento com o da viga de betão simples analisada na subsecção 4.2.1. Estuda-se ainda a

importância da existência do reforço no comportamento da estrutura. O modelo utilizado está

representado na Figura 4.24.

Figura 4.24 – Viga simplesmente apoiada de betão armado (dimensões em metros).

Tal como na subsecção 4.2.1, proceder-se-á ao refinamento tipo-h da solução, analisando as

diferenças à medida que a malha fica mais refinada. Para cada solução são apresentados os

deslocamentos segundo Z e as tensões .

1,3040E-08

1,3060E-08

1,3080E-08

1,3100E-08

1,3120E-08

1,3140E-08

1,3160E-08

1,3180E-08

0 10000 20000 30000 40000 50000Ene

rgia

de

De

form

ação


29

Nas figuras seguintes estão representadas as malhas utilizadas, sendo notório o aumento do

refinamento de malha para malha. Nas Figuras 4.25 e 4.26 a malha representada é formada por

elementos do mesmo tamanho mas com graus diferentes de refinamento (Malha A, com 400

elementos e Malha B, com 1440 elementos, respectivamente). Na Figura 4.27 a malha representada

é notoriamente mais fina em torno da armadura (Malha C, com 4160 elementos), por forma a

melhorar a solução obtida. Pelo mesmo motivo, na Figura 4.28, a malha representada é mais fina,

não apenas em torno da armadura, mas também na zona do apoio (Malha D, com 4160 elementos).

Os elementos são quadriláteros, tendo tal escolha sido baseada na geometria da estrutura.

Figura 4.25 – Análise da viga de betão armado. Malha A.

Figura 4.26 – Análise da viga de betão armado. Malha B.

Figura 4.27 – Análise da viga de betão armado. Malha C.

30

Figura 4.28 – Análise da viga de betão armado. Malha D.

Nas Figuras 4.29, 4.30, 4.31 e 4.32 estão representados os deslocamentos segundo Z obtidos

com as quatro malhas acima referidas, bem como as deformadas correspondentes, por forma a

estudar a convergência da solução.

Figura 4.29 – Deslocamento segundo Z (Malha A).

Figura 4.30 – Deslocamento segundo Z (Malha B).

31

Figura 4.31 – Deslocamento segundo Z (Malha C).

Figura 4.32 – Deslocamento segundo Z (Malha D).

Como é possível observar pela

Tabela 4.2, os valores máximos dos deslocamentos a meio vão variam consoante a

distribuição do refinamento. Para as Malhas A e B, os valores são semelhantes, pelo facto do

refinamento ser uniforme. Quando se procede ao refinamento em torno da armadura (onde à

partida existe uma maior concentração de tensões), como nas Malhas C e D, os valores aumentam,

aproximando-se da solução exacta. A Malha D, apesar de apresentar o mesmo número de graus de

liberdade da Malha C, apresenta uma distribuição do refinamento mais adequada, motivo pelo qual

o valor do deslocamento máximo correspondente servirá de referência para futuras comparações.

Graus de liberdade Deslocamento Z (m)

720 -8,642E-10

2720 -8,643E-10

8042 -9,017E-10

8042 -9,159E-10

Tabela 4.2 – Deslocamento segundo Z para as várias discretizações.

Nas Figuras 4.33, 4.34, 4.35, 4.36, 4.37, 4.38, 4.39 e 4.40 estão representadas as tensões

(directas e suavizadas) para as quatro malhas consideradas, bem como os correspondentes

deslocamentos. Interessa referir neste momento que a malha da Figura 4.40 foi criada devido às

alterações verificadas na zona do apoio da malha da Figura 4.38, de maneira a refinar a solução

obtida naquela mesma zona.

32

Figura 4.33 – Tensão (Malha A).

Figura 4.34 – Tensão suavizada (Malha A).

Figura 4.35 – Tensão (Malha B).

Figura 4.36 – Tensão suavizada (Malha B).

33

Figura 4.37 – Tensão (Malha C).

Figura 4.38 – Tensão suavizada (Malha C).

Figura 4.39 – Tensão (Malha D).

Figura 4.40 – Tensão suavizada (Malha D).

34

Tal como era expectável, a solução não converge tão rapidamente para a solução exacta nas

tensões como nos deslocamentos, verificando-se, portanto, o mesmo que no caso da viga de betão

simples. Para além disso, é notório que quando se refina a solução, as diferenças entre as tensões

directas e as suavizadas vão sendo cada vez menos visíveis, tal como no primeiro caso.

A análise dos campos de tensões obtidos permite verificar que devido à presença do reforço,

existem diferenças no comportamento da viga de betão armado quando comparada com a de betão

simples. Comparando os deslocamentos obtidos na viga de betão simples com os que resultam da

análise da viga de betão armado verifica-se que estes últimos são naturalmente menores, devido ao

aumento da rigidez provocada pelo reforço dos varões de aço. O deslocamento segundo Z a meio vão

considerando o reforço (Malha D) é de -9,159E-10 m, enquanto que sem reforço (malha muito

refinada) o valor do mesmo deslocamento é igual a -2,060E-08 m, claramente superior em valor

absoluto. Em relação às tensões, além dos valores serem também inferiores quando se considera a

existência de reforço, a distribuição das mesmas também se dá de forma diferente, acumulando-se

em torno da armadura e na zona do apoio, motivo pelo qual é necessário que a malha seja mais fina

(mais refinada) nessas zonas.

Interessa, por fim, mostrar as tensões axiais (nas armaduras), por forma a compreender a sua

distribuição ao longo da viga. Nas Figuras 4.41, 4.42, 4.43 e 4.44 estão representadas essas

grandezas.

Figura 4.41 – Tensões axiais nas armaduras (Malha A).

Figura 4.42 – Tensões axiais nas armaduras (Malha B).

35

Figura 4.43 – Tensões axiais nas armaduras (Malha C).

Figura 4.44 – Tensões axiais nas armaduras (Malha D).

No que diz respeito às tensões nas armaduras, é apenas de referir que os resultados vão de

encontro ao esperado para este tipo de estrutura e carregamento, ou seja, tracção na armadura

inferior e compressão na armadura superior.

4.2.3 Viga de Betão Armado Simplificada (Reforço com Elementos Planos)

Nesta secção proceder-se-á à análise da viga simplesmente apoiada, reforçada agora com

varões de aço com as propriedades apresentadas na Tabela 4.1 e considerando um recobrimento de

5 centímetros. Na modelação dos reforços consideram-se elementos de planos com 2 centímetros de

altura. Este modelo simplificado, ainda que constitua uma pior aproximação da realidade, permitirá,

mais à frente neste trabalho, comparar esta formulação clássica de elementos finitos com a

formulação não-convencional adoptada numa primeira instância (antes da introdução dos elementos

de reforço nessa formulação).

Não se procede neste ponto ao refinamento progressivo da malha, como nas subseções

anteriores, sendo apresentada apenas a solução correspondente a uma malha já refinada (5120

elementos). Esta malha está representada na Figura 4.45.

36

Figura 4.45 – Malha refinada (modelo simplificado).

Nas Figuras 4.46, 4.47, 4.48 e 4.49 estão representados o deslocamento segundo Z, a tensão

(directa e suavizada) e a tensão para a malha representada na Figura 4.45, bem como a

correspondente deformada.

Figura 4.46 – Deslocamento segundo Z (modelo simplificado).

Figura 4.47 – Tensão (modelo simplificado).

37

Figura 4.48 – Tensão suavizada (modelo simplificado).


Devido à acumulação de tensões nas armaduras verificada na Figura 4.49, a distribuição das

tensões no betão é pouco visível. Por forma a contornar esta situação, na Figura 4.50 apresenta-se

uma escala de cores diferente.

Figura 4.50 – Tensão (modelo simplificado, escala de cores modificada).

Em todas as figuras anteriores foi retirada a malha para que seja mais visível a escala de

cores. A tensão instalada na armadura, tal como para o caso do reforço com elementos de barra

apresentado na subsecção anterior, apresenta o resultado qualitativo esperado, com tracção na

armadura inferior e compressão na armadura superior. Tal como foi referido, este exemplo servirá

para validar os resultados obtidos com a formulação não-convencional adoptada. Por isso, e pelo

facto da modelação discutida na subsecção anterior ser mais correcta (por se considerar uma

modelação mais próxima do que deverá ser o comportamento real da estrutura), não é necessário

neste ponto serem tiradas mais conclusões acerca dos resultados.

38

4.3 Análise de uma Consola Curta

Neste segundo exemplo analisa-se uma consola curta sujeita a carregamento uniforme p, de

valor igual a 1N/m. Tal como no primeiro exemplo, considera-se que se trata de um problema de

estado plano de tensão uma vez que se assume que a espessura é desprezável quando comparada à

dimensão da peça segundo as outras duas direções. A consola tem as dimensões que se apresentam

na Figura 4.51.

O estudo da consola curta irá dividir-se em três partes: análise da consola considerando

apenas betão simples (subsecção 4.3.1), análise da consola considerando betão simples e a existência

de uma fenda no troço superior do bordo encastrado (subsecção 4.3.2) e análise da estrutura

considerando o betão reforçado com varões de aço (subsecção 4.3.3). A separação do problema em

três partes ajuda à melhor compreensão do mesmo, sendo que em cada uma vão sendo tiradas as

conclusões que se consideram pertinentes para o desenvolvimento do trabalho.

Figura 4.51 – Consola curta (dimensões em metros).

4.3.1 Consola Curta de Betão Simples

Tomando como base a consola representada na Figura 4.51, considera-se nesta primeira

subsecção que esta é constituída apenas por betão, ou seja, que não existem quaisquer varões de

reforço.

Nas Figuras 4.52, 4.53, 4.54 e 4.55 estão representadas as malhas utilizadas para a resolução

do problema, partindo de uma malha grosseira e procedendo ao refinamento da mesma, por forma a

melhorar a solução obtida. As Malhas A (12 elementos, 32 graus de liberdade), B (48 elementos,

112 graus de liberdade), C (300 elementos, 640 graus de liberdade) e D (4800 elementos, 9760 graus

de liberdade) representam a evolução desse refinamento. Os elementos considerados são

quadriláteros de 4 nós.

39

Figura 4.52 – Consola curta (Malha A).

Figura 4.53 – Consola curta (Malha B).

Figura 4.54 – Consola curta (Malha C).

Figura 4.55 – Consola curta (Malha D).

Nas Figuras 4.56, 4.57, 4.58 e 4.59 estão representados os deslocamentos segundo Z para as

quatro malhas, bem como as deformadas correspondentes, por forma a estudar a convergência da

solução.

Figura 4.56 – Deslocamento segundo Z (Malha A).

Figura 4.57 – Deslocamento segundo Z (Malha B).

40

Figura 4.58 – Deslocamento segundo Z (Malha C).

Figura 4.59 – Deslocamento segundo Z (Malha D).

Na Figura 4.59 foi retirada a malha para que a escala de cores seja claramente visível.

Através da Figura 4.60, que representa a evolução do deslocamento segundo Z em função do

número de graus de liberdade de cada malha, é fácil perceber que os deslocamentos convergem

rapidamente para a solução exacta à medida que se procede ao refinamento. Tal era expectável,

pelo facto das condições de compatibilidade serem impostas de maneira forte.

Figura 4.60 – Deslocamento segundo Z (em metros) em função do número de graus de liberdade.

Interessa agora mostrar as tensões instaladas na consola, para os vários níveis de

refinamento. As tensões (directas e suavizadas), bem como as respectivas deformadas, estão

representadas nas Figuras 4.61, 4.62, 4.63, 4.64, 4.65, 4.66, 4.67 e 4.68.

8,700E-10

8,750E-10

8,800E-10

8,850E-10

8,900E-10

8,950E-10

9,000E-10

9,050E-10

9,100E-10

9,150E-10

9,200E-10

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000

De

slo

cam

en

to Z

(va

lor

abso

luto

)


41

Figura 4.61 – Tensão (Malha A).

Figura 4.62 – Tensão suavizada (Malha A).

Figura 4.63 – Tensão (Malha B).

Figura 4.64 – Tensão suavizada (Malha B).

Figura 4.65 – Tensão (Malha C).

Figura 4.66 – Tensão suavizada (Malha C).

Figura 4.67 – Tensão (Malha D).

Figura 4.68 – Tensão suavizada (Malha D).

42

Comparando as tensões suavizadas com as directas, é possível constatar que à medida que

se procede ao refinamento tipo-h, a diferença entre elas começa a diminuir. Na Figura 4.67 é possível

observar que a própria solução já se encontra bastante suavizada, não se encontrando diferenças

significativas em relação à Figura 4.68. Isto quer dizer que as condições de equilíbrio na fronteira

estática e na fronteira entre elementos estão perto de ser verificadas e, portanto, que a solução

obtida se aproxima da solução exacta.

4.3.2 Consola Curta Com Fenda

Neste segundo caso, o modelo foi alterado por forma a introduzir uma fenda. Na Figura 4.69

está representado o modelo utilizado (com a fenda identificada a vermelho), bem como a dimensão

da fenda. É de referir que a consola continua a ser constituída apenas por betão, sem armadura.

Figura 4.69 – Consola curta com fenda e pormenor da fenda (dimensões em metros).

Para este caso, apenas será apresentada uma malha, já com um elevado grau de refinamento

(7293 elementos, 14786 graus de liberdade). Nas Figuras 4.70, 4.71, 4.72 e 4.73 apresentam-se, para

além da malha utlizada, o deslocamento segundo Z e as tensões (directa e suavizada), bem como

as respectivas deformadas. Os elementos considerados são quadriláteros de 4 nós.

43

Figura 4.70 – Malha refinada (fenda).

Figura 4.71 – Deslocamento segundo Z (fenda).

Figura 4.72 – Tensão (fenda).

Figura 4.73 – Tensão suavizada (fenda).

Para tornar visíveis as representações, foram retiradas as malhas na representação dos

deslocamentos e das tensões.

O valor dos deslocamentos aumenta em relação aos verificados na subsecção 4.3.1,

consequência da diminuição de rigidez provocada pela existência da fenda.

Na Figura 4.74 apresenta-se um pormenor da distribuição de tensões na zona da fenda,

o qual permitirá extrair mais conclusões relativamente às diferenças entre o modelo simples e o

modelo fendilhado. Nesta figura é visível uma elevada concentração de tensões na vizinhança da

fenda, o que não se verificava na situação reportada na subsecção anterior. É ainda possível

observar-se que nessa mesma zona a deformada sofre uma variação brusca, explicada pela

descontinuidade de rigidez provocada pela fenda. Contudo, à medida que se afasta dessa região, a

deformada tende para o andamento verificado no modelo sem fenda.

Figura 4.74 – Pormenor da zona da fenda (tensão suavizada).

44

4.3.3 Consola Curta de Betão Armado (Reforço com Elementos de Barra)

Nesta subsecção será analisada a consola considerando-se a presença de um reforço,

constituído por elementos de barra com as propriedades do aço apresentadas na Tabela 4.1. Para

este efeito, é necessário alterar novamente o modelo inicialmente proposto na Figura 4.51. A

alteração consiste na colocação da armadura considerando um recobrimento de 5 centímetros em

relação à face superior da consola, chegando-se ao modelo apresentado na Figura 4.75.

Figura 4.75 – Consola curta de betão armado (dimensões em metros).

Tal como na subsecção 4.2.2, apenas será considerada uma malha de elementos finitos, a

qual já se encontra suficientemente refinada (4960 elementos, 9920 graus de liberdade). Nas Figuras

4.76, 4.77, 4.78 e 4.79 apresentam-se, para além da malha utlizada, o deslocamento segundo Z e as

tensões (directa e suavizada), bem como as respectivas deformadas. Os elementos considerados

são quadriláteros de 4 nós.

Figura 4.76 – Malha refinada (reforço).

Figura 4.77 – Deslocamento segundo Z (reforço).

45

Figura 4.78 – Tensão (reforço).

Figura 4.79 – Tensão suavizada (reforço).

Para tornar visível a escala de cores, foram retiradas as malhas na representação dos

deslocamentos e das tensões.

Contrariamente ao que sucedia no caso da fenda, neste caso os deslocamentos são mais

pequenos, o que é de esperar tendo em conta a introdução do reforço com varões de aço. Isto

porque o reforço de aço aumenta a rigidez da estrutura, diminuindo os deslocamentos provocados

pela carga aplicada.

4.3.4 Consola Curta de Betão Armado (Reforço com Elementos Planos)

Nesta última subsecção proceder-se-á ao reforço da consola curta representada

anteriormente, com elementos planos (com 2 centímetros de altura) com as propriedades do aço

apresentadas na Tabela 4.1 e considerando um recobrimento de 5 centímetros. Este modelo

simplificado permitirá, tal como no caso do exemplo da viga simplesmente apoiada, comparar esta

formulação clássica de elementos finitos com a formulação não-convencional adoptada numa

primeira instância (antes da introdução do elemento de barra na formulação).

Nas Figuras 4.80, 4.81, 4.82 e 4.83 estão representados a malha utilizada (3584 elementos,

7296 graus de liberdade), o deslocamento segundo Z e a tensão (directa e suavizada), bem como

a correspondente deformada. Os elementos considerados são quadriláteros de 4 nós.

Figura 4.80 – Malha refinada (modelo simplificado).

Figura 4.81 – Deslocamento segundo Z (modelo simplificado).

46


Figura 4.83 – Tensão suavizada

(modelo simplificado).

Na representação da tensão (directa e suavizada) foi retirada a malha (pelo facto desta

apresentar uma malha muito fina), para que se veja claramente a escala de cores.

Tal como foi referido, este exemplo servirá para comparar os resultados obtidos com a

solução fornecida pela formulação não-convencional adoptada. Por esta razão, e pelo facto da

modelação discutida na subsecção anterior ser mais correta (por considerarmos uma modelação

mais próxima do que deverá ser o comportamento real da estrutura), não é necessário neste ponto

serem tiradas mais conclusões acerca dos resultados.

47

5 ELEMENTOS FINITOS HÍBRIDOS-MISTOS DE TENSÃO


Com vista a contornar algumas das limitações associadas à utilização da formulação clássica

do Método dos Elementos Finitos (expressas no Capítulo 3), em meados dos anos 60 surgiram os

modelos de elementos finitos híbridos e mistos com os trabalhos de [Pian 1964]. Mais recentemente,

tais formulações foram desenvolvidas por [Freitas et al. 1999a]. Nos modelos híbridos definem-se

aproximações independentes no domínio e na fronteira do elemento, enquanto que nos modelos

mistos se define mais do que uma aproximação independente no domínio de cada elemento [Brezzi

et al. 1991; Zienkiewicz et al. 2003]. Estas formulações, apesar de apresentarem algumas vantagens

quando comparadas com a formulação clássica de elementos finitos, ainda não conseguiram atingir o

mesmo nível de divulgação e de utilização generalizadas.

Neste capítulo serão apresentadas as características gerais das formulações híbridas e mistas

não-convencionais e discutidas as vantagens e desvantagens decorrentes da sua utilização. São

depois apresentadas de forma mais detalhada as formulações não-convencionais adoptadas neste

trabalho: a formulação híbrida-mista de tensão (HMT) e a formulação híbrida duplamente mista de

tensão (HDMT). São por fim apresentadas as funções aqui utilizadas para a definição das

aproximações em cada um dos modelos (polinómios ortonormais de Legendre).

5.2 Formulações Não-Convencionais de Elementos Finitos

As formulações não-convencionais de elementos finitos apresentam as seguintes

características gerais [Castro 1996; Freitas 1989; Pereira 1993a]:

A formulação é desenvolvida a partir dos princípios fundamentais da Mecânica;

As funções de aproximação podem ser hierárquicas e a sua escolha não está condicionada

pelo conceito de interpolação nodal, ou seja, os nós apenas são utilizados para a definição da

geometria do problema e têm que ser completas;

As variáveis generalizadas do modelo discreto são definidas de modo a serem

energeticamente consistentes, sendo obtidas igualando o trabalho realizado por grandezas

duais no modelo discreto e contínuo;

Os teoremas da Programação Matemática permitem recuperar os teoremas energéticos,

possibilitando o estabelecimento de condições para a existência e unicidade das soluções

[Castro 1996].

Com base nestes pressupostos, [Freitas et al. 1999a] desenvolveram as formulações híbrida-

Trefftz, híbrida e híbrida-mista. Estas três formulações distinguem-se pelas condições impostas

a priori às funções de aproximação no domínio. Nos modelos híbridos-Trefftz, as funções de

aproximação no domínio verificam localmente e em simultâneo as condições de equilíbrio e de

compatibilidade e as relações constitutivas [Cismasiu 2000; Freitas et al. 1999b; Silva 2006a]. Nos

modelos híbridos, as funções de aproximação no domínio verificam as condições de equilíbrio ou de

compatibilidade [Almeida 1991; Pereira 1993b; Silva 2006a]. Finalmente, nos modelos

híbridos-mistos, não são impostas quaisquer restrições e todas as equações fundamentais no

48

domínio são impostas ponderadamente [Castro 1996; Mendes 2002; Pereira 1993a; Silva 2006a; Silva

2002].

Para qualquer uma das formulações anteriores podem ser desenvolvidos modelos de tensão

e de deslocamento, estando a diferença na forma como são tratadas as condições de equilíbrio e de

compatibilidade no domínio e ainda na forma como é assegurada a ligação entre elementos

adjacentes.

Nos modelos de tensão define-se uma aproximação independente para o campo de

deslocamentos ao longo da fronteira estática, que engloba as fronteiras entre elementos. A equação

resultante da imposição ponderada das condições de compatibilidade no domínio é integrada por

partes e as condições de equilíbrio na fronteira estática são impostas ponderadamente.

Nos modelos de deslocamento define-se uma aproximação para o campo de tensões

aplicadas ao longo da fronteira cinemática, que engloba as fronteiras entre elementos. A equação

resultante da imposição ponderada das condições de equilíbrio no domínio é integrada por partes e

as condições de fronteira cinemática são impostas ponderadamente.

A integração por partes de uma equação fundamental no domínio conduz a uma imposição

mais fraca dessa equação. Por este motivo, por oposição aos modelos de deslocamento, nos modelos

de tensão a imposição da compatibilidade é mais fraca do que a de equilíbrio no domínio, pelo que

se torna possível obter soluções localmente quasi-equilibradas [Almeida 1991; Silva 2006a]. Como

tal, o modelo de tensão será o utilizado neste trabalho, no que toca aos elementos finitos híbridos-

mistos.

Relativamente às características das formulações não-convencionais, interessa ainda referir

que o sistema governativo de cada elemento é obtido através da combinação das formas discretas

das condições de equilíbrio, compatibilidade e relação constitutiva e que o modelo global é obtido a

partir dos sistemas governativos elementares sem somar as contribuições elementares [Castro 1996;

Silva 2006a]. A ligação entre elementos é então conseguida através da partilha da aproximação na

fronteira interelementar.

Como já foi referido, estão associadas algumas vantagens à utilização das formulações

híbridas-mistas não-convencionais de elementos finitos. As principais vantagens são apresentadas de

seguida:

Grande flexibilidade na escolha das funções de aproximação, sendo suficiente a utilização de

um sistema completo de funções para a modelação do campo de tensões e/ou

deslocamentos [Silva et al. 2003]. É possível utilizar uma variada gama de funções de

aproximação cujas propriedades e características hierárquicas potenciam o desenvolvimento

de modelos robustos e eficazes. Isto deve-se ao facto da escolha das funções de aproximação

não ser condicionada nem pela necessidade de se verificar localmente nenhuma das

condições fundamentais do problema nem pela adopção do conceito de interpolação nodal;

A estrutura de dados resultante é simplificada e os processos de remalhagem tornam-se

desnecessários. Isto resulta do facto de ser possível trabalhar com macroelementos

(elementos de grande dimensão) e adoptar preferencialmente o refinamento tipo-p em

detrimento do refinamento tipo-h;

É possível obter soluções analíticas para as integrações envolvidas na definição dos

coeficientes de todos os operadores estruturais (para regime elástico linear), com ganhos de

precisão e eficácia numérica;

49

A definição independente das aproximações dos diferentes campos possibilita a adopção de

aproximações com diferentes graus;

Estes modelos são pouco sensíveis à distorção da malha [Castro 1996; Cismasiu 2000];

Permitem a obtenção de soluções quasi-equilibradas. A escolha apropriada dos graus das

funções de aproximação pode levar à obtenção de soluções localmente equilibradas no

domínio e/ou fronteira, estando portanto do lado da segurança no que diz respeito ao

dimensionamento de estruturas [Almeida 1991; Silva 2006a].

Contudo, tal como já foi mencionado, estes modelos não-convencionais apresentam algumas

limitações que os tornam menos bem sucedidos relativamente aos modelos clássicos e que confinam

de uma forma geral a sua aplicabilidade a análises académicas e de investigação. De seguida,

apresentam-se as principais desvantagens da utilização destes modelos:

As formulações são conceptualmente mais complicadas, nomeadamente no que diz respeito

ao tipo de discretização e de aproximação utilizadas;

A remoção do conceito de interpolação nodal conduz à perda do significado físico imediato

de todas as grandezas discretas, as quais passam a ser apenas pesos das funções de

aproximação [Freitas et al. 1999a];

Requerem a utilização de algoritmos especialmente desenvolvidos para o armazenamento e

manipulação de sistemas de equações esparsos [Freitas et al. 1999a], pelo facto de se poder

atingir um número muito elevado de graus de liberdade, nomeadamente na formulação

híbrida-mista. É possível, contudo, economizar a memória despendida e armazenar apenas

os coeficientes não nulos [Castro 1996], tirando partido dos sistemas serem esparsos;

Uma escolha menos correcta dos graus das várias aproximações pode levar ao aparecimento

de dependências no sistema de equações (designadas habitualmente por modos espúrios),

que é necessário detectar e tratar de forma conveniente [Freitas et al. 1999a];

O modelo misto não assegura nem o equilíbrio nem a compatibilidade, obrigando a uma

utilização “consciente” do modelo de elementos finitos;

A matriz do sistema governativo não é positiva definida, independentemente do

comportamento do material. É possível, contudo, resolver o sistema de equações, apenas

existindo singularidades caso surjam dependências;

O aumento de um grau na função de aproximação não significa necessariamente que a

solução seja melhor. A convergência para a solução exacta deixa de ser necessariamente

monotónica, mesmo para soluções perfeitamente estáveis de um ponto de vista numérico.

5.3 Elementos Finitos Híbridos-Mistos de Tensão (Regime Elástico Linear)

Tal como já foi referido, no modelo híbrido-misto de tensão aproximam-se de forma

independente os campos de tensões/esforços no domínio, os campos de deslocamentos no domínio

e os campos de deslocamentos na fronteira estática:

(5.1)

50

(5.2)

(5.3)

As matrizes , e reúnem as funções de aproximação das tensões no domínio, dos

deslocamentos no domínio e dos deslocamentos na fronteira, respectivamente. Os vectores

(tensões generalizadas), (deslocamentos no domínio generalizados) e (deslocamentos na

fronteira generalizados) listam os pesos das funções de aproximação respectivas.

As restantes variáveis generalizadas, em função das quais se descreve o comportamento do

modelo discreto, são definidas de modo a serem energeticamente consistentes com as variáveis

contínuas que aproximam. Igualando o trabalho realizado pelo modelo contínuo ao trabalho

realizado pelo modelo discreto, é possível definir as deformações generalizadas, , as forças

generalizadas no domínio, , e as forças generalizadas na fronteira, :

∫ (5.4)

∫

(5.5)

∫

(5.6)

O sistema governativo de um elemento finito híbrido-misto de tensão é obtido impondo

ponderadamente as relações de equilíbrio, de compatibilidade e constitutiva no domínio do

elemento finito e ainda a condição de equilíbrio na fronteira estática. A condição de compatibilidade

na fronteira cinemática é imposta localmente. Deste modo, chega-se ao seguinte conjunto de

equações:

∫ (5.7)

∫

(5.8)

∫

(5.9)

∫

(5.10)

As equações de equilíbrio do modelo discreto podem então ser escritas da seguinte forma:

(5.11)

(5.12)

onde os operadores (compatibilidade no domínio) e (compatibilidade na fronteira) são

definidos por:

51

∫ (5.13)

∫

(5.14)

Pode também ser definida a equação de compatibilidade do modelo discreto. Para tal, deve

ser integrada por partes a equação que resulta da imposição ponderada das condições de

compatibilidade no domínio. Substituindo-se na equação resultante as aproximações para os campos

de deslocamentos no domínio e na fronteira estática e considerando os valores dos deslocamentos

impostos na fronteira cinemática obtém-se:

∫ (5.15)

É possível ainda obter uma equação discreta no domínio do elemento que engloba,

simultaneamente, a condição de compatibilidade e a relação constitutiva:

∫ (5.16)

onde representa o operador de flexibilidade generalizado do elemento.

O sistema governativo de cada elemento é obtido através da combinação das condições

de equilíbrio, compatibilidade e relação constitutiva do modelo discreto:

{

(5.17)

O sistema governativo pode também ser escrito na forma matricial:

[

] {

} {

}

(5.18)

Os coeficientes da matriz estrutural de cada elemento são directamente espalhados no

sistema governativo global sem que haja sobreposição de diferentes coeficientes. A ligação entre

elementos é feita apenas através da partilha das aproximações definidas na fronteira

interelementar. Como tal, excluindo o operador de compatibilidade na fronteira, , há

independência total das diferentes matrizes estruturais, quer ao nível do sistema governativo do

elemento finito quer ao nível do sistema governativo global. Nos trabalhos de [Castro 1996; Mendes

2002], entre outros, existem exemplos ilustrativos da estrutura dos sistemas governativos híbridos-

mistos de tensão e do processo de construção do sistema governativo global. É ainda de salientar

52

que as matrizes do sistema governativo, elementar e global, são simétricas devido à preservação da

dualidade estática-cinemática e da reciprocidade nas relações constitutivas no modelo discreto.

Tendo como finalidade a análise não-linear de estruturas, com a incorporação de um modelo

de dano para o betão, a utilização do modelo HMT torna-se pouco aconselhável. Isto porque a

evolução do dano depende do valor das deformações e nesta formulação obtém-se a aproximação

para o campo de tensões. Como a obtenção das deformações não é unívoca neste caso (depende do

próprio valor da grandeza de dano), podem originar-se com facilidade situações de não

convergência.

Para resolver este problema, desenvolveram-se modelos HMT onde se definem

aproximações para o campo de tensões efectivas. As desvantagens destes modelos resultam do facto

do sistema governativo deixar de ser simétrico e as condições de equilíbrio no domínio passarem a

ser impostas de forma mais fraca [Silva et al. 2004; Silva et al. 2006].

Por estes motivos, passaram a definir-se modelos híbridos duplamente mistos, onde estes

problemas desaparecem, uma vez que o campo de deformações passa a ser directamente

aproximado. Por outro lado, este tipo de modelo “escreve” as relações constitutivas num formato de

rigidez, o que é bem mais adequado quando se consideram modelos de dano

contínuo [Arruda 2011].

O modelo Híbrido Duplamente Misto de Tensão (HDMT) considera uma aproximação extra

no domínio de cada elemento finito em relação ao modelo HMT já apresentado. Neste modelo, o

campo de deformações é aproximado de forma independente no domínio de cada elemento finito na

forma:

(5.19)

A matriz recolhe as funções de aproximação e o vector lista os respectivos pesos. As

restantes aproximações apresentadas no modelo HMT são também aqui consideradas. Este novo

modelo define uma aproximação independente para os campos de tensões, deformações e

deslocamentos no domínio de cada elemento. Os deslocamentos na fronteira estática são também

directamente aproximados.

Impondo a equação (5.9) na forma de Resíduos Pesados obtém-se:

∫ ∫

(5.20)

Integrando o segundo termo por partes e substituindo a aproximação definida para os

campos de deslocamentos no domínio e na fronteira estática e para o campo de deformações no

domínio e tendo em conta o valor dos deslocamentos prescritos ao longo da fronteira cinemática é

possível obter:

∫ ∫

∫ ∫

(5.21)

53

A condição de compatibilidade pode então ser expressa da seguinte forma:

(5.22)

onde

∫

(5.23)

Relativamente à relação constitutiva, esta é agora substancialmente diferente, sendo

definida no formato de rigidez. Esta é uma das principais vantagens associadas à utilização deste

novo modelo híbrido-misto de tensão. O facto da relação constitutiva estar escrita no formato de

rigidez é bastante conveniente no caso de se incorporarem modelos de dano para simular o

comportamento fisicamente não-linear de um material.

A relação constitutiva (assumindo um comportamento linear) é imposta na forma de

Resíduos Pesados da seguinte forma:

∫ (5.24)

o que leva a:

∫ ∫

(5.25)

Substituindo na equação anterior as aproximações definidas para os campos de tensões e

deformações, é possível obter:

∫ ∫

(5.26)

o que permite obter:

(5.27)

onde

∫ (5.28)

O sistema governativo é obtido combinando as condições de equilíbrio, compatibilidade e

elasticidade. Obtém-se:

[

]

{

} {

} (5.29)

54

5.4 Elementos Finitos Híbridos-Mistos de Tensão (Regime Não-Linear)

Para o modelo híbrido duplamente misto de tensão, o comportamento fisicamente não-

linear do material afecta o operador correspondente à matriz de rigidez generalizada, . O novo

operador, definido como , depende do nível de dano no domínio.

Para o cálculo deste operador é usada a quadratura de Lobatto em todos os elementos,

desde que o nível de dano seja superior a zero. Contrariamente ao que aconteceria no modelo

híbrido-misto de tensão, este operador diminui a partir do momento em que se verifica a existência

de dano. Tendo em conta que o modelo híbrido duplamente misto de tensão usa um sistema

governativo baseado na rigidez, é possível usar um método directo totalmente implícito ao nível do

material. Isto representa uma grande vantagem quando comparado com o modelo híbrido-misto de

tensão, no qual não é necessária qualquer iteração para calcular o nível de dano no material. O

processo de integração numérica necessário para calcular o operador de rigidez é dado por:

∫ (5.30)

Quando se assume um comportamento fisicamente não-linear, a relação constitutiva pode

ser escrita no seguinte formato:

{ } { } (5.31)

O vector de tensão generalizado, , pode ser expresso da seguinte forma:

∫ (5.32)

O sistema governativo não-linear está apresentado em (5.33). Para se obter uma solução é

usado um algoritmo iterativo incremental baseado no método secante [Crisfield 1991].

{

}

[

]

{

} {

} {

} (5.33)

O novo incremento para o vector independente é calculado usando a rigidez secante em

cada iteração, o qual é calculado usando o operador não-linear , tal como é definido em (5.34).

Podem surgir alguns problemas quando o dano atinge o seu valor limite (igual a um) em

todos os domínios de um determinado elemento. Neste caso, a matriz de rigidez não-linear tem

tendência a ser singular, o que não é adequado do ponto de vista computacional.

Esta situação não é muito comum quando são considerados modelos híbridos duplamente

mistos de tensão, pelo facto de se considerarem malhas de macroelementos. No entanto, para

prevenir esta situação e garantir a estabilidade numérica dos modelos apresentados neste trabalho,

o valor máximo de dano permitido na construção da matriz de rigidez secante é ligeiramente inferior

a um.

55

[

]

{

} {

} (5.34)

5.5 Funções de Aproximação

É importante recordar que a utilização de modelos de elementos finitos híbridos-mistos

permite uma grande liberdade na escolha das funções de aproximação. Como não é preciso

verificar a priori nenhuma das condições fundamentais do problema, as aproximações dos

campos estáticos e cinemáticos podem ser efectuadas com recurso a qualquer sistema completo

de funções. Como tal, é possível implementar e testar uma variada gama de funções por forma a

explorar as suas propriedades na obtenção de modelos numéricos competitivos.

Neste trabalho vão ser utilizados modelos baseados em polinómios ortogonais de

Legendre (ANEXO A), cujo desenvolvimento pode ser encontrado em [Leal 2007; Pereira 1993a;

Silva 2006a; Silva 2002]. Os modelos HMT podem ainda ser baseados na utilização de funções

trigonométricas [Freitas 1989; Leal 2007; Pereira 1993a], séries de Walsh [Castro 1996; Freitas et

al. 1992; Leal 2007] e sistemas de wavelets [Castro 1996; Castro et al. 2006; Leal 2007].

O uso de polinómios de Legendre permite obter expressões analíticas para o cálculo dos

operadores lineares do sistema governativo [Pereira et al. 2000]. Desta forma, é possível

economizar os tempos de processamento e assegurar uma elevada precisão nos cálculos

efectuados. Por outro lado, o facto dos polinómios de Legendre serem ortogonais conduz a

sistemas governativos com elevado grau de esparsidade, o que minimiza o número de

coeficientes não nulos por determinar, armazenar e tratar. Isto permite poupar na memória

necessária para os armazenar e no volume de cálculo associado à sua manipulação, o que

relativiza o problema do elevado número de graus de liberdade. Contudo, quando os operadores

estruturais são não-lineares, não é possível tirar partido da ortogonalidade das funções de

aproximação e os operadores ficam potencialmente cheios. Com isto perde-se, pelo menos

parcialmente, a característica de esparsidade tão vantajosa em termos de memória despendida

para armazenar e resolver o sistema governativo.

57


ELEMENTOS FINITOS HÍBRIDOS-MISTOS DE TENSÃO

(ELEMENTOS PLANOS)


Neste capítulo são apresentados e discutidos exemplos que pretendem demonstrar a

utilização das duas formulações não convencionais discutidas no capítulo anterior: os modelos

híbridos-mistos de tensão e os modelos duplamente mistos-híbridos de tensão. Os exemplos são

semelhantes aos que foram apresentados no capítulo 4. No entanto, neste capítulo inclui-se uma

análise fisicamente não-linear com recurso a modelos de dano contínuo para os casos em que se

pretende incluir o efeito com reforços de aço.

Nesta fase do trabalho, os reforços são modelados como elementos planos. Isto permite que

os modelos desenvolvidos em trabalhos anteriores possam ser utilizados nesta análise sem que para

tal seja necessário proceder a qualquer alteração a nível de implementação. No capítulo seguinte

generalizam-se as formulações híbridas-mistas por forma a ser possível a inclusão de elementos de

reforço unidimensionais. Nessa altura os mesmos exemplos serão analisados considerando a

modelação dos reforços da forma habitual.

A análise foi feita recorrendo a dois tipos de software, um de programação (MATLAB) e um

de visualização (ParaView). O primeiro lê a informação relativa à estrutura e devolve um ficheiro do

tipo vtk, que é lido pelo segundo. No Paraview é então possível visualizar a estrutura e todos as

tensões, deformações e deslocamentos necessários para a correcta caracterização do

comportamento da estrutura.

É importante referir desde já que neste trabalho, quando se utiliza a expressão grau da

função de aproximação, esta é referente ao grau das funções de aproximação utilizadas na definição

da aproximação para os campos de tensões e de deformações (no caso dos modelos híbridos

duplamente mistos de tensão) (grau n), partindo-se do princípio que as aproximações para os

campos de deslocamentos apresentam grau n-1.

Ao contrário do que acontecia no capítulo 4, neste capítulo não são efectuadas quaisquer

operações de adoçamento no que toca ao traçado dos campos de tensões.

6.2 Viga Simplesmente Apoiada de Betão Simples

Neste primeiro caso, tal como já foi referido, considera-se que a viga é constituída apenas

por betão, sem qualquer reforço, tal como se encontra apresentado na Figura 4.2.

Tirando partido das características do modelo de elementos finitos utilizado, torna-se

fundamental explorar o refinamento tipo-p, que permite melhorar a aproximação com o aumento do

grau da função de aproximação sem que seja necessário incrementar o número de elementos

considerados na malha. Contudo, é possível conjugar os dois tipos de refinamento, tipo-h e tipo-p,

sem pôr em causa os resultados obtidos.

58

Começa-se então por considerar que a viga é discretizada apenas com um elemento, sendo o

refinamento conseguido através do aumento do grau das funções incluídas na base de aproximação

(Tabela 6.1).

Viga Simplesmente Apoiada de betão simples (1 elemento)

Grau de aproximação Graus de liberdade

2 47

3 84

5 188

9 516


betão simples, 1 elemento).

Nas Figuras 6.1, 6.2, 6.3, 6.4, 6.5, 6.6, 6.7 e 6.8 apresentam-se os deslocamentos segundo Y e

as tensões (considera-se que (x, y) corresponde ao plano da estrutura, ao contrário do que

acontecia nos exemplos do Capítulo 4), bem como as respectivas deformadas, para as várias

discretizações testadas.

Figura 6.1 – Deslocamentos segundo Y (1 elemento, grau 2).

Figura 6.2 – Tensões (1 elemento, grau 2).

59

Figura 6.3 - Deslocamentos segundo Y (1 elemento, grau 3).




60



Na Tabela 6.2 apresentam-se os valores numéricos obtidos para os deslocamentos segundo Y

a meio vão e para as tensões de corte máximas em valor absoluto, para cada uma das discretizações

consideradas na análise.

Viga Simplesmente Apoiada de betão simples (1 elemento)

Grau de aproximação Deslocamentos (m) Tensões de corte (N/m2)

2 -2,3490E-08 -7,295

3 -2,0990E-08 -7,307

5 -2,0595E-08 -7,267

9 -2,0596E-08 -7,267

Tabela 6.2 – Resumo dos resultados (viga simplesmente apoiada de betão simples, 1 elemento).

Tal como é possível observar na Tabela 6.2, à medida que se aumenta o grau da função de

aproximação, a solução converge, sendo que para os graus 5 e 9, as soluções apresentam resultados

muito idênticos. Isto significa que se está próximo da solução exacta e que, para um elemento, a

solução correspondente ao grau 5 representa uma boa aproximação à resposta real da viga

simplesmente apoiada com o carregamento considerado. Para além dos valores apresentados dos

deslocamentos e das tensões, também pela deformada é possível observar o refinamento,

nomeadamente quando comparando a 6.1 com a 6.3, sendo evidente que a deformada se aproxima

da esperada para este tipo de estrutura e carregamento.

Procede-se agora, tal como foi referido anteriormente, à conjugação dos refinamentos tipo-p

e tipo-h, considerando para tal que a viga está dividida em 6 elementos de igual dimensão (Tabela

6.3).

61

Viga Simplesmente Apoiada de betão simples (6 elementos)


2 282

3 504

5 1128

Tabela 6.3 – Graus de aproximação e de liberdade (viga simplesmente apoiada de betão simples,

6 elementos).

Nas Figuras 6.9, 6.10, 6.11, 6.12, 6.13 e 6.14 apresentam-se os deslocamentos segundo Y e as

tensões , bem como as respectivas deformadas, para as várias discretizações testadas.

Figura 6.9 – Deslocamentos segundo Y (6 elementos, grau 2).

Figura 6.10 – Tensões (6 elementos, grau 2).


62




Na Tabela 6.4 apresentam-se os resultados obtidos para os deslocamentos segundo Y a meio

vão e para as tensões de corte máximas em valor absoluto, para cada grau de aproximação.

Viga Simplesmente Apoiada de betão simples (6 elementos)


2 -2,0709E-08 -7,2951

3 -2,0596E-08 -7,3894

5 -2,0596E-08 -7,1308

Tabela 6.4 – Resumo dos resultados (viga simplesmente apoiada de betão simples, 6 elementos).

Visto as soluções já apresentarem refinamento tipo-h, com uma malha de 6 elementos, é

notório pelos resultados apresentados na Tabela 6.4 que os deslocamentos convergem rapidamente,

63

não sendo necessário aumentar tanto o grau das funções de aproximação. No que toca às tensões de

corte, a convergência não é monotónica, motivo pelo qual a mesma conclusão não pode ser tirada.

No entanto, para 6 elementos, um grau da função de aproximação igual a 3 é suficiente para se obter

uma boa representação da resposta da viga em análise. No que toca à deformada, pelo mesmo

motivo da solução já apresentar à partida uma malha refinada com 6 elementos, esta apresenta

desde logo o andamento que seria expectável tendo em conta a estrutura e o carregamento.

6.3 Consola Curta de Betão Simples

Neste segundo caso considera-se que a consola é constituída apenas por betão, sem

qualquer reforço, tal como se encontra representado na Figura 4.51.

Tal como para o caso da viga simplesmente apoiada, explora-se a conjugação dos

refinamentos tipo-h e tipo-p, aumentando para tal, respectivamente, o número de elementos e o

grau da função de aproximação.

Começa-se por considerar que a viga é constituída por 3 elementos, procedendo-se ao

refinamento através do aumento do grau da função de aproximação (Tabela 6.5).

Consola curta de betão simples (3 elementos)


2 137

3 246

5 554

9 1530

12 2577

14 3425

Tabela 6.5 – Graus de aproximação e de liberdade (consola curta de betão simples, 3 elementos).

Nas Figuras 6.15 a 6.26 apresentam-se os deslocamentos segundo Y e as tensões , bem

como as respectivas deformadas, para as várias discretizações testadas.

64







65




Figura 6.24 – Tensões (3 elementos,

grau 12).



grau 14).


vão e para as tensões de corte máximas em valor absoluto, para cada discretização testada.

66

Consola Curta de betão simples (3 elementos)


2 -9,31E-10 -2,255

3 -9,36E-10 -2,789

5 -9,36E-10 -3,476

9 -9,36E-10 -4,449

12 -9,21E-10 -5,032

14 -9,21E-10 -5,374

Tabela 6.6 – Resumo dos resultados (consola curta, 3 elementos).

Por se tratar de um exemplo com singularidades no campo de tensões, os valores nesses

pontos vão sendo sempre maiores à medida que se aumenta o grau do refinamento, nunca

estabilizando num dado valor. Como tal, a convergência da solução não pode ser feita com base nos

valores das tensões apresentados. Contudo, é possível observar que à medida que se aumenta o

grau da função de aproximação, a distribuição das tensões torna-se mais suave, sendo que para

os graus 12 e 14 da função de aproximação esta distribuição é bastante semelhante. No caso dos

deslocamentos o mesmo não acontece, motivo pelo qual os valores estabilizam à medida que se

aproxima da solução exacta. Evidência disso é o facto dos valores dos deslocamentos para os graus

12 e 14 da função de aproximação, apresentados na Tabela 6.6, serem iguais. Então, para uma malha

de 3 elementos, a solução correspondente ao grau de aproximação igual a 12 representa uma boa

aproximação à resposta real da consola curta com o carregamento considerado. Relativamente à

deformada, esta vai de encontro ao esperado para este tipo de estrutura e carregamento.

Procede-se agora ao aumento do número de elementos para 12, tendo consciência de que, à

partida, uma malha com mais elementos conduzirá a uma menor necessidade de aumentar o grau da

função de aproximação, pelo facto de se estar a conjugar os refinamentos tipo-h e tipo-p (Tabela

6.7).



2 532

3 960

5 2176

7 3872

Tabela 6.7 – Graus de aproximação e de liberdade (consola curta de betão simples, 12 elementos).

67

Nas Figuras 6.27, 6.28, 6.29, 6.30, 6.31, 6.32, 6.33 e 6.34 apresentam-se os deslocamentos

segundo Y e as tensões , bem como as respectivas deformadas, para as várias discretizações

testadas.



grau 2).





grau 5).

68




vão e para as tensões de corte máximas em valor absoluto, para cada grau de aproximação.

Consola Curta (12 elementos)


2 -9,30E-10 -2,678

3 -9,24E-10 -2,265

5 -9,20E-10 -4,080

7 -9,20E-10 -4,708


Visto as soluções já apresentarem refinamento tipo-h, com uma malha de 12 elementos, é

expectável que para atingir uma solução que se aproxime da exacta não seja necessário aumentar

tanto o grau da função de aproximação como para o caso da malha com 3 elementos. Tal como para

a malha com 3 elementos, a convergência não pode ser analisada pelos valores máximos das

tensões. No entanto, é visível que as distribuições de tensões para os grau 5 e 7 da função de

aproximação são bastante suaves, evidência de que nos aproximamos da solução exacta. Para além

disso, os deslocamentos para os graus 5 e 7 da função de aproximação, apresentados na Tabela 6.8,

apresentam valores iguais. Como tal, para 12 elementos, um grau da função de aproximação igual a 5

é suficiente para se obter uma boa representação da resposta da consola curta. No que toca à

deformada, esta apresenta o andamento que seria expectável tendo em conta a estrutura e o

carregamento.

69

6.4 Comparação com os resultados obtidos no Capítulo 4 (betão simples)

Quando comparados os resultados obtidos neste capítulo com os do Capítulo 4, observa-se

que, tanto nos deslocamentos como nas tensões representadas, os valores são semelhantes, o que

vem de encontro ao esperado. Para as soluções mais refinadas dos modelos clássico de

deslocamentos e não-convencional híbrido-misto de tensão, apresentam-se nas Tabelas 6.9 e 6.10 os

valores dos deslocamentos máximos (segundo Z ou Y, dependendo do plano em que está a estrutura)

e das tensões ( ou , dependendo também do plano em que está a estrutura), para a viga

simplesmente apoiada e para a consola curta.

Viga Simplesmente Apoiada

Deslocamentos (m) Tensões de corte (N/m2)

E. Finitos de Deslocamento

-2,060E-08 -7,318

E. F. Híbridos-Mistos de Tensão

-2,099E-08 -7,389

Tabela 6.9 – Comparação de valores (viga simplesmente apoiada de betão simples).

Consola Curta Deslocamentos (metros)

Tensões de corte (N/m2)


-9,178E-10 -4,485


-9,200E-10 -5,032

Tabela 6.10 – Comparação de valores (consola curta de betão simples).

Pode concluir-se que, apesar das aproximações serem diferentes nos dois modelos,

refinando suficientemente as soluções, chegamos a valores semelhantes e que se aproximam da

solução exacta. Relativamente às tensões de corte na consola curta, a comparação é feita apenas em

termos de grandeza de valores, visto os mesmos dependerem muito do grau de refinamento

considerado em cada modelo.

6.5 Viga Simplesmente Apoiada (betão armado, elementos planos)

Neste caso considera-se que a viga é constituída por betão armado, tal como representado

na Figura 4.24. Os varões de aço são tratados como elementos planos de dimensão (largura)

reduzida, por forma a aproximar o comportamento destes ao de barras. Os elementos terão as

características do aço, estando estas já apresentadas no Capítulo 4. Começa-se por fazer uma análise

70

fisicamente linear, (subsecção 6.5.1), sendo posteriormente realizada uma análise fisicamente

não-linear considerando para o betão um modelo de dano isotrópico (subsecção 6.5.2).

6.5.1 Análise fisicamente linear

Nesta subsecção a análise é feita através dos elementos finitos híbridos-mistos de tensão,

pelo facto de não se incluir a variável de dano e pelos motivos já apresentados no Capítulo 5.

Tendo em conta que os efeitos dos refinamentos tipo-h e tipo-p para este tipo de análise já

foram estudados neste capítulo, aqui apenas se apresenta o exemplo da viga já refinada, o que

permitirá comparar os resultados com os obtidos no Capítulo 4. A viga está então dividida em

30 elementos, o grau da função de aproximação é igual a 6 e o número de graus de liberdade

resultante é igual a 7362.

Nas Figuras 6.35, 6.36 e 6.37 apresentam-se os deslocamentos segundo Y, as tensões e

as tensões , bem como as respectivas deformadas.




71

Devido ao elevado valor das tensões normais nas armaduras, a distribuição das tensões no

betão é pouco visível na Figura 6.37. Por forma a contornar esta situação, na Figura 6.38

apresenta-se uma escala de cores diferente.

Figura 6.38 – Tensões (30 elementos, grau 6, escala de cores modificada).

Comparando os resultados obtidos para a viga simplesmente apoiada com recurso aos

modelos híbridos-mistos de tensão com os que foram obtidos para o mesmo exemplo no Capítulo 4

com o modelo convencional de elementos finitos, facilmente se conclui que estes são muito

semelhantes, quer se trate de deslocamentos ou de tensões. Para os mesmos pressupostos (apenas

utilizando elementos planos com as características do betão e do aço), os resultados obtidos com o

modelo de elementos finitos de deslocamento e com o modelo de elementos finitos híbridos-mistos

de tensão são muito semelhantes, o que vai de encontro ao esperado e já observado no na

subsecção 6.4 (então sem os elementos planos de aço). Para as soluções mais refinadas dos modelos

clássico de deslocamentos e não-convencional híbrido-misto de tensão, apresentam-se, na Tabela

6.11, os valores dos deslocamentos máximos (segundo Z ou Y, dependendo do plano em que está a

estrutura) e das tensões ( ou , dependendo também do plano em que está a estrutura), para a

viga simplesmente apoiada.




-1,135E-08 -7,136


-1,135E-08 -7,125

Tabela 6.11 – Comparação de valores (viga simplesmente apoiada de betão armado).

6.5.2 Análise fisicamente não-linear com modelo de dano isotrópico

Nesta subsecção a análise é feita com recurso aos modelos híbridos duplamente mistos de

tensão, uma vez que se pretende efectuar uma análise fisicamente não-linear com recurso a um

modelo de dano isotrópico.

Por forma a que sejam visíveis os resultados, a carga aplicada à viga simplesmente apoiada

foi aumentada consideravelmente, de 1N/m para 1000kN/m.

72

Faz novamente sentido avaliar o efeito dos refinamentos tipo-h e tipo-p, na qualidade da

solução obtida quando se consideram os efeitos fisicamente não-lineares. Na generalidade das

ilustrações apresentadas nesta subsecção, a distribuição de dano representada corresponde à que é

obtida no último passo de carga considerado.

Começa-se por estudar o efeito do refinamento tipo-h. Na Tabela 6.12 lista-se o número de

elementos considerados em cada uma das discretizações testadas. Em todos os casos se considera

um grau da função de aproximação igual a dois.

Viga Simplesmente Apoiada de betão armado (grau de aproximação 2)

Graus de liberdade

5 elementos 354

15 elementos 1062

30 elementos 2124

Tabela 6.12 – Número de elementos e graus de liberdade (viga simplesmente apoiada de betão

armado, grau 2).

Nas Figuras 6.39, 6.40 e 6.41 está representada, para cada uma das discretizações testadas a

distribuição final de dano.

Figura 6.39 – Distribuição de dano na viga simplesmente apoiada (5 elementos, grau 2).


73


Procede-se agora ao refinamento tipo-p. Em todas as discretizações listadas na Tabela 6.13

consideram-se malhas com 5 elementos finitos.

Viga Simplesmente Apoiada de betão armado (5 elementos)


3 636

4 998

5 1440

6 1962


5 elementos).

Nas Figuras 6.42, 6.43, 6.44 e 6.45 estão representadas as distribuições finais para a variável

de dano.


74




Através dos refinamentos tipo-h e tipo-p é possível observar que o dano se concentra mais

junto à face inferior da viga na região do meio vão, o que está de acordo com o que seria expectável

para este tipo de carregamento e de estrutura. Contudo, é também visível que na zona do apoio

existe uma grande dispersão do dano, o que pode indiciar que se está na iminência de uma rotura

por corte. Este fenómeno é fácil de entender, tendo em conta que o reforço não contempla estribos,

que previnem que este tipo de rotura possa vir a acontecer. A explicação para este tipo de rotura

quando se utiliza o modelo de dano isotrópico de Mazars pode ser analisada com maior detalhe em

[Mendes 2011].

Para o caso do refinamento tipo-p, apresenta-se na Figura 6.46 o diagrama parâmetro de

carga/deslocamento que demonstra a não-linearidade das soluções obtidas para cada um dos graus

da função de aproximação.

75

Figura 6.46 – Diagrama carga/deslocamento (viga simplesmente apoiada).

Para a discretização com 5 elementos e grau de aproximação igual a 6, interessa ainda

analisar a evolução do dano à medida que o processo de carregamento evolui. Para tal, nas

Figuras 6.47, 6.48, 6.49 e 6.50 são apresentados os passos de carga 20, 40, 60 e 80, respectivamente,

o que corresponde a um incremento de carga de 200 kN/m.

Figura 6.47 – Evolução da distribuição de dano na viga simplesmente apoiada (passo de carga 20).


0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0 0,002 0,004 0,006 0,008 0,01

Par

âme

tro

de

car

ga

Deslocamento segundo Y

grau 2

grau 3

grau 4

grau 5

grau 6

76



É visível pela evolução da distribuição de dano que este surge a meio vão (Figura 6.47), onde

os valores das tensões de tracção são maiores, estendendo-se depois ao longo da face inferior da

viga, até que esta esteja na iminência de sofrer rotura por corte (Figura 6.50).

Para os mesmos passos de carga (20, 40, 60 e 80), nas Figuras 6.51, 6.52, 6.53 e 6.54

apresentam-se as distribuições das tensões .

Figura 6.51 – Tensão (passo de carga 20).



77


É notório que a tensão de corte máxima aumenta com o incremento de carga e que para o

passo de carga 80 a distribuição das tensões reflecte a rotura por corte já referida.

6.6 Consola Curta (betão armado, elementos planos)

Neste caso considera-se que a consola é constituída por betão armado, tal como

representado na Figura 4.75. Os varões de aço são tratados como elementos planos de dimensão

(largura) reduzida, por forma a aproximar o comportamento destes ao de barras. Os elementos terão

as características do aço, estando estas já apresentadas no Capítulo 4. Começa-se por fazer uma

análise fisicamente linear, (subsecção 6.6.1), sendo posteriormente realizada uma análise

fisicamente não-linear considerando para o betão um modelo de dano isotrópico (subsecção 6.6.2).


Nesta subsecção a análise é efectuada com recurso ao modelo de elementos finitos híbridos-

mistos de tensão. Tendo em conta que os efeitos dos refinamentos tipo-h e tipo-p para este tipo de

análise já foram estudados neste capítulo, aqui apenas se apresenta o exemplo da consola já

refinada, o que permitirá comparar os resultados com os obtidos no Capítulo 4. Na análise da consola

considera-se uma malha com 20 elementos finitos. Na discretização adoptada o grau da função de

aproximação é igual a 7 e o número total de graus de liberdade resultante é igual a 6416.

Nas Figuras 6.55, 6.56 e 6.57 apresentam-se os deslocamentos segundo Y, as tensões e

as tensões , bem como as respectivas deformadas. Apresenta-se ainda na Figura 6.58 um

pormenor das tensões para que seja visível a distribuição das mesmas no reforço.



grau 7).

78


Figura 6.58 – Tensões (pormenor da zona da armadura, 20 elementos, grau 7).

Devido ao elevado valor das tensões normais nas armaduras, a distribuição das tensões no

betão é pouco visível nas Figuras 6.57 e 6.58. Por forma a contornar esta situação, na Figura 6.59

apresenta-se uma escala de cores diferente.

Figura 6.59 – Tensões (20 elementos, grau 7, escala de cores modificada).

Comparando os resultados obtidos para a consola curta com recurso aos modelos híbridos-

mistos de tensão com os que foram obtidos para os mesmos exemplos no Capítulo 4 com o modelo

convencional de elementos finitos, facilmente se conclui que estes são muito semelhantes. Para as

soluções mais refinadas dos modelos clássico de deslocamentos e não-convencional híbrido-misto de

tensão, apresentam-se, na Tabela 6.14, os valores dos deslocamentos máximos (segundo Z ou Y,

79

dependendo do plano em que está a estrutura) e das tensões ( ou , dependendo também do

plano em que está a estrutura), para a consola curta. Mais uma vez, apenas os valores dos

deslocamentos estão necessariamente próximos, uma vez que as tensões máximas se verificam

numa singularidade da estrutura.

Consola Curta Deslocamentos (m) Tensões de corte (N/m2)


-8,357E-10 -3,961


-8,380E-10 -4,655

Tabela 6.14 – Comparação de valores (consola curta de betão armado).





Por forma a que sejam visíveis os resultados, a carga aplicada à consola curta foi aumentada

consideravelmente, de 1 N/m para 1000 kN/m.

Também aqui faz sentido avaliar o efeito dos refinamentos tipo-h e tipo-p na qualidade da

solução obtida quando se consideram os efeitos fisicamente não-lineares. Na generalidade das

ilustrações apresentadas nesta subsecção, a distribuição de dano representada corresponde à que é

obtida no último passo de carga considerado.



um grau de aproximação igual a dois.

Consola Curta de betão armado (grau de aproximação 2)

Graus de liberdade

7 elementos 498

20 elementos 1416

Tabela 6.15 – Número de elementos e graus de liberdade (consola curta de betão armado, grau 2).

80

Nas Figuras 6.60 e 6.61, e para as duas discretizações consideradas, está representada a


Figura 6.60 – Distribuição de dano na consola curta (7 elementos, grau 2).


Na Figura 6.61 é visível uma descontinuidade na deformada, que surge na fronteira entre

dois elementos. Esta descontinuidade pode existir porque nos modelos de elementos finitos

considerado não se impõe localmente as condições de compatibilidade. A existência desta

descontinuidade não compromete, no entanto, a qualidade global da solução aproximada obtida.

Procede-se agora à análise do efeito da adopção de um refinamento tipo-p. Na

Tabela 6.16 apresentam-se as discretizações consideradas, todas elas considerando malhas

com 5 elementos. Para cada discretização é listado o grau do polinómio considerado na aproximação

do campo de tensões e o número total de graus de liberdade.



3 894

4 1402

5 2022

6 2754

Tabela 6.16 – Graus de aproximação e de liberdade (consola curta de betão armado, 5 elementos).

81

Nas Figuras 6.62, 6.63, 6.64 e 6.65 está representada a distribuição final de dano obtida para

cada uma das discretizações testadas.





À medida que se procede ao refinamento, seja do tipo-h ou do tipo-p, é visível que o dano

tende a concentrar-se no canto superior esquerdo da consola. Além disso, é visível na Figura 6.65

uma depressão na zona do dano, que se deve ao facto de se estar a utilizar um modelo de dano

isotrópico.

Para o cado do refinamento tipo-p, apresenta-se na Figura 6.66 o diagrama parâmetro de

carga/deslocamento que demonstra, tal como na viga simplesmente apoiada, a não-linearidade das

soluções obtidas para cada um dos graus da função de aproximação.

82

Figura 6.66 – Diagrama carga/deslocamento (consola curta).

Interessa ainda analisar a evolução do dano ao longo do processo de carga. Com esta

finalidade, e utilizando os resultados obtidos com a malha de 5 elementos e grau de aproximação

igual a 6, representam-se nas Figuras 6.67, 6.68, 6.69 e 6.70 a distribuição de dano obtidas nos

passos de carga 12, 15, 19 e 22, respectivamente, o que corresponde a um incremento de carga de

30 kN/m (passo 12 para 15 e passo 19 para 22) e 40 kN/m (passo 15 para 19).

Figura 6.67 – Evolução da distribuição de dano na consola curta (passo de carga 12).


0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

0 0,002 0,004 0,006 0,008 0,01

Par

âme

tro

de

car

ga

Deslocamento segundo Y

grau 2

grau 3

grau 4

grau 5

grau 6

83



Para os mesmos passos de carga (12, 15, 19 e 22), nas Figuras 6.71,6.72,6.73 e 6.74






Na representação das tensões foi utilizada a mesma escala para todos os passos de carga,

para que se veja claramente a sua distribuição. Na Figura 6.74 é visível que a distribuição das tensões

se altera bastante relativamente aos passos de carga anteriores, deixando de ter a configuração

normal. Isto era expectável e deve-se ao facto de se estar a iniciar um processo de rotura.

85

7 ELEMENTOS FINITOS HÍBRIDOS-MISTOS DE TENSÃO COM

ELEMENTOS DE BARRA


Neste capítulo é apresentada a generalização dos modelos de elementos finitos híbrido-

mistos por forma a ser possível a inclusão de varões de reforço na modelação de estruturas

bidimensionais de betão armado. São apresentadas duas variantes da formulação, uma para

elementos híbridos-mistos de tensão e outra para elementos híbridos duplamente mistos de tensão.

As equações fundamentais para o betão e para o aço, a definição das aproximações, o

modelo de elementos finitos e o sistema governativo para estes novos tipos de formulação (com

elementos de barra) serão apresentados de forma detalhada.

7.2 Elementos Finitos Híbridos-Mistos de Tensão

7.2.1 Equações Fundamentais

Para o betão, as equações fundamentais são em tudo semelhantes às que foram

apresentadas no Capítulo 2. Apenas para a parte referente aos varões de aço são necessários ajustes,

uma vez que se pretende considerar aderência perfeita na modelação da interface betão-aço.

As condições de compatibilidade para o betão são as seguintes:

[ ] [ ][ ] (7.1)

[ ] [ ] (7.2)

As condições de equilíbrio para o betão podem ser escritas no formato:

[ ][ ] [ ] (7.3)

Por fim, a condição de elasticidade é a seguinte:

[ ] [ ][ ] (7.5)

[ ][ ] [ ] (7.4)

86

Na Figura 7.1 apresenta-se um elemento de barra genérico, com o referencial utilizado

indicado. Considera-se que o domínio de cada varão é designado por Vs, a fronteira estática (que

incluirá a fronteira entre elementos adjacentes é representada por s, enquanto que a fronteira

cinemática será denotada por u.

Figura 7.1 – Elemento de barra genérico.

As condições de compatibilidade para os varões de aço são as seguintes:

[ ] [ ][ ] (7.6)

com:

[ ] [ ] [ ] [

] [ ] [ ] (7.8)

onde e correspondem ao campo de deslocamentos longitudinais e ao campo de deformações

no varão, respectivamente.

As condições de equilíbrio para os varões de aço embebidos são:

[ ][ ] [ ] (7.9)

onde N corresponde ao esforço axial no varão, corresponde às forças distribuídas aplicadas no

domínio do elemento de aço, denota a normal exterior nas fronteira do domínio unidimensional e

é a força concentrada aplicada na fronteira estática do varão.

Por fim, a condição de elasticidade é a seguinte:

[ ] [ ][ ] (7.11)

onde

.

[ ] [ ] (7.7)

[ ][ ] [ ] (7.10)

87

7.2.2 Definição das Aproximações

Tal como para o modelo de elementos finitos híbridos-mistos de tensão apresentado no

Capítulo 5, também se aproximam de forma independente os campos de tensões/esforços no

domínio, os campos de deslocamentos no domínio e os campos de deslocamentos na fronteira

estática, quer para o betão quer para o aço.

Nos elementos de betão define-se:

[ ] [ ][ ] (7.12)

[ ] [ ][

] (7.13)

[ ] [ ][

] (7.14)

Para os varões de aço, definem-se as seguintes aproximações:

[ ] [ ][ ] (7.15)

[ ] [ ][

] (7.16)

[ ] [ ][

] (7.17)

Quando se considera aderência perfeita entre os elementos de aço e o betão adjacente, a

aproximação para o campo de deslocamentos no domínio do varão é coincidente com a aproximação

para o campo de deslocamentos na fronteira estática dos elementos de betão que contêm essa

fronteira. A equação (7.16) permite a partilha da aproximação dos deslocamentos na fronteira

estática dos elementos de betão com os varões de aço.

7.2.3 Modelo de Elementos Finitos Híbridos-Mistos de Tensão

Para os elementos de betão, as condições de compatibilidade e de elasticidade no modelo

discreto são coincidentes com as que foram discutidas e apresentadas no capítulo 5. Pode então

escrever-se:

(7.18)

com:

∫ , ∫ , ∫ e ∫

A imposição ponderada das condições de compatibilidade e das relações de elasticidade no

domínio dos varões de aço permite escrever:

88

∫ [ ] [

][ ] (7.19)

∫

[ ] [ ][ ] (7.20)

A combinação das duas equações anteriores permite escrever:

∫ ∫

[ ][ ] (7.21)

A integração por partes do segundo membro da equação anterior, seguida pela substituição

da aproximação para o campo de esforços no aço no primeiro termo da equação e pela substituição

das aproximações definidas para os campos de deslocamentos no domínio e na fronteira estática no

segundo membro, conduz a:

(∫

) (∫

)

(7.22)

(7.23)

onde:

∫ [ ][ ] ∫

∫ e ∫

O equilíbrio no domínio dos elementos de betão é imposto na forma de resíduos pesados. Tal

como demonstrado no capítulo 5, tem-se:

(7.24)

onde ∫ .

O equilíbrio na fronteira estática dos elementos de betão, e tal como apresentado no

capítulo 5, pode ser escrita no formato:

(7.25)

onde ∫ .

O equilíbrio no domínio dos elementos de aço e as condições de equilíbrio na fronteira entre

os elementos de betão adjacentes é imposto em simultâneo e na forma de resíduos pesados.

É possível obter:

∫ [ ][ ] [ ][ ] (7.26)

89

ou seja:

(∫

) ∫ [ ][ ] (7.27)

Pode desta forma escrever-se:

(7.28)

Na fronteira entre os elementos de aço, a condição de equilíbrio pode ser imposta na forma:

∫[ ]

[ ][ ] [ ] (7.29)

∫

∫

(7.30)

Resumidamente tem-se:

(7.31)

onde ∫ .

7.2.4 Sistema Governativo

O sistema governativo é obtido combinando as condições de equilíbrio, compatibilidade e

elasticidade obtidas na subsecção anterior, podendo ser escrito na forma matricial:

[

]

{

}

{

}

(7.32)

90

7.3 Elementos Finitos Híbridos Duplamente Mistos de Tensão

Nesta subsecção serão então feitas as necessárias alterações à formulação de elementos

finitos híbridos duplamente mistos de tensão por forma a incorporar os elementos de barra na

mesma.

As equações fundamentais para o betão e para o aço foram já apresentadas na Subsecção

7.2.1, não havendo alterações às mesmas. O modelo de elementos finitos também pode ser

facilmente obtido se se tiver em conta a definição do modelo híbrido-misto de tensão apresentado

na Secção 7.2 e o modelo híbrido duplamente misto de tensão apresentado na Secção 5.3. Nesta

secção serão apresentados apenas a definição das aproximações e o sistema governativo para este

novo tipo de formulação (com elementos de barra).

7.3.1 Definição das Aproximações

Tal como para o modelo de elementos finitos híbrido duplamente misto de tensão

apresentado no Capítulo 5, também neste caso se aproximam de forma independente os campos de

tensões/esforços no domínio, os campos de deformações no domínio, os campos de deslocamentos

no domínio e os campos de deslocamentos na fronteira estática.

Nos elementos de betão definem-se as seguintes aproximações:

[ ] [ ][ ] (7.33)

[ ] [ ][ ] (7.34)

[ ] [ ][

] (7.35)

[ ] [ ][

] (7.36)

As aproximações nos elementos de aço são definidas por:

[ ] [ ][ ] (7.37)

[ ] [ ][

] (7.38)

[ ] [ ][

] (7.39)

91

7.3.2 Modelo de Elementos Finitos

O sistema governativo resulta da combinação das condições de equilíbrio, das condições de

compatibilidade e das relações constitutivas, podendo ser escrito na forma matricial:

[

]

{

}

{

}

(7.40)

93


ELEMENTOS FINITOS HÍBRIDOS-MISTOS DE TENSÃO

(ELEMENTOS DE BARRA)


Neste capítulo são apresentados e discutidos exemplos que pretendem aferir a validade das

formulações não convencionais apresentadas no capítulo anterior. Estas novas formulações,

generalizações das híbrida-mista de tensão e híbrida duplamente mista de tensão, incluem a

possibilidade de se modelar directamente o reforço com varões de aço (elementos de barra). Os

exemplos, aqui analisados considerando a modelação dos reforços da forma habitual, ao contrário

do que acontecia no capítulo 6, são iguais aos que foram apresentados no capítulo 4. Neste capítulo

inclui-se ainda uma análise fisicamente não-linear com recurso a modelos de dano, obtida com

recurso à nova formulação híbrida duplamente mista de tensão.

A análise foi feita recorrendo a dois tipos de software, tal como no capítulo 6, um de

programação (Fortran) e um de visualização (ParaView). O primeiro lê a informação relativa à

estrutura e devolve um ficheiro do tipo vtk, que é lido pelo segundo. No Paraview é então possível

visualizar a estrutura e todos as tensões, deformações e deslocamentos necessários para a correcta

caracterização do comportamento da estrutura.

Tal como acontecia no capítulo 6, neste capítulo também não são efectuadas quaisquer

operações de adoçamento no que toca ao traçado dos campos de tensões.

8.2 Viga Simplesmente Apoiada (betão armado, elementos de barra)

A viga aqui apresentada é constituída por betão armado, tal como representado na Figura

4.24. Começa-se por fazer uma análise fisicamente linear, (subsecção 8.2.1), sendo posteriormente

realizada uma análise fisicamente não-linear considerando para o betão um modelo de dano

isotrópico (subsecção 8.2.2).


Nesta subsecção a análise é feita recorrendo à nova formulação de elementos finitos

híbridos-mistos de tensão, pelo facto de não se incluir a variável de dano. Nesta subsecção,

proceder-se-á ao refinamento tipo-h e tipo-p, por forma a ilustrar o desempenho destes tipos de

refinamento no novo modelo.

Começa-se então por considerar que a viga é discretizada apenas com 5 elementos de igual

dimensão (3 elementos de betão e 2 de aço), sendo o refinamento conseguido através do aumento

do grau das funções incluídas na base de aproximação (Tabela 8.1).

94

Viga Simplesmente Apoiada de Betão Armado (5 elementos)


2 141

3 250

5 558

6 757

Tabela 8.1 – Graus de aproximação e número de graus de liberdade (viga simplesmente apoiada de betão armado, 5 elementos).

Nas Figuras 8.1, 8.2, 8.3, 8.4, 8.5, 8.6, 8.7, 8.8, 8.9, 8.10, 8.11 e 8.12 apresentam-se os

deslocamentos segundo Y, as tensões e as tensões , bem como as respectivas deformadas,

para as várias discretizações testadas.




95






96








97



2 -9,980E-10 -6,664

3 -8,710E-10 -6,680

5 -8,640E-10 -6,729

6 -8,650E-10 -6,745

Tabela 8.2 – Resumo dos resultados (viga simplesmente apoiada de betão armado, 5 elementos).


aproximação, a solução converge, principalmente no que toca aos deslocamentos. Nas tensões,

apesar de não se verificar uma taxa de convergência igual à dos deslocamentos, os valores obtidos

não variam muito à medida que se aumenta o grau da função de aproximação. Assim sendo, é

possível considerar que a solução correspondente ao grau 5 representa uma boa aproximação à

resposta real da viga simplesmente apoiada com o carregamento considerado. Para além dos valores

apresentados dos deslocamentos e das tensões, a deformada é a esperada para este tipo de

estrutura e carregamento.

Procede-se agora, tal como foi referido anteriormente, à conjugação dos refinamentos tipo-p

e tipo-h, considerando para tal que a viga está dividida em 36 elementos, 24 elementos de betão e

12 de aço (Tabela 8.3).



2 1104

3 1968

4 3072

5 4416

Tabela 8.3 – Graus de aproximação e de liberdade (viga simplesmente apoiada de betão armado, 36 elementos).

Nas Figuras 8.13, 8.14, 8.15, 8.16, 8.17, 8.18, 8.19, 8.20, 8.21, 8.22, 8.23 e 8.24 apresentam-

se os deslocamentos segundo Y, as tensões e as tensões , bem como as respectivas

deformadas, para as várias discretizações testadas.


98






99






100







2 -8,560E-10 -6,723

3 -8,670E-10 -6,736

4 -8,650E-10 -6,707

5 -8,650E-10 -6,681

Tabela 8.4 – Resumo dos resultados (viga simplesmente apoiada de betão armado, 36 elementos).


aproximação, a solução converge, sendo que para os graus 4 e 5, as soluções apresentam resultados

iguais para os deslocamentos e muito próximos para as tensões. Isto significa que estamos próximos

da solução exacta e que, para 36 elementos, a solução correspondente ao grau 4 representa uma

boa aproximação da resposta real da viga simplesmente apoiada com o carregamento considerado.

Para além dos valores apresentados dos deslocamentos e das tensões, a deformada é a esperada

para este tipo de estrutura e carregamento. Tal como era expectável, conjugando os dois tipos de

refinamento, foi possível chegar a uma solução próxima da exacta sem aumentar tanto o grau da

função de aproximação.

No que toca à análise fisicamente linear da viga simplesmente apoiada de betão armado,

resta agora estabelecer a comparação com os resultados obtidos no capítulo 4. Nesse capítulo, a viga

apresenta, na representação das tensões, uma concentração na zona do apoio, que não se verifica na

utilização deste novo modelo. Por este motivo, no anexo B, apresenta-se uma outra discretização

obtida com o modelo convencional de elementos finitos, com uma malha ultrarefinada. Isto não põe

em causa os resultados obtidos no capítulo 4, cujo refinamento é suficiente para as conclusões então

retiradas. Serve apenas para demonstrar que os resultados obtidos com recurso ao novo modelo

híbrido-misto de tensão são muito semelhantes aos obtidos com recurso ao modelo clássico dos

elementos finitos quando se considera uma malha muito refinada, mesmo com um grau de

refinamento muito inferior.

Para a solução mais refinada do novo modelo híbrido-misto de tensão e para a solução

obtida com a malha ultrarefinada para o modelo clássico de elementos finitos (anexo B),

101

apresentam-se, na Tabela 8.5, os valores dos deslocamentos máximos (segundo Z ou Y, dependendo

do plano em que está a estrutura), das tensões ( ou , dependendo também do plano em que

está a estrutura) e das tensões nas armaduras, para a viga simplesmente apoiada. É de referir que as

tensões nas armaduras, no caso do novo modelo não-convencional, apesar de não se apresentarem

as suas representações, foram obtidas da mesma forma que os restantes parâmetros.



Tensões nas armaduras (N/m2)


-8,643E-10 -6,672 -6,510

E. F. Híbridos-Mistos de Tensão (Novo Modelo)

-8,650E-10 -6,707 -6,522

Tabela 8.5 – Comparação de valores (viga simplesmente apoiada de betão armado).

Isto vem validar o modelo híbrido-misto de tensão apresentado no capítulo 7 e comprovar a

facilidade com que podem ser implementados processos de refinamento tipo-p e tipo-h neste tipo de

modelos.





Por forma a que sejam visíveis os resultados, a carga aplicada à viga simplesmente apoiada

foi aumentada consideravelmente, de 1 N/m para 1000 kN/m.

Na generalidade das ilustrações apresentadas nesta subsecção, a distribuição de dano

representada corresponde à que é obtida no último passo de carga considerado.



um grau da função de aproximação igual a dois.

Viga Simplesmente Apoiada de betão armado (grau de aproximação 2)

Graus de liberdade

7 elementos 222

36 elementos 1752

Tabela 8.6 – Número de elementos e graus de liberdade (viga simplesmente apoiada de betão

armado, grau 2).

Nas Figuras 8.25 e 8.26 está representada, para cada uma das discretizações testadas, a


102



Procede-se agora ao refinamento tipo-p. Em todas as discretizações listadas na Tabela 8.7

consideram-se malhas com 7 elementos finitos.

Viga Simplesmente Apoiada de betão armado (7 elementos)


3 394

4 614

5 882

6 1198

Tabela 8.7 – Graus de aproximação e de liberdade (viga simplesmente apoiada de betão armado, 7 elementos).

Nas Figuras 8.27, 8.28, 8.29 e 8.30 estão representadas as distribuições finais para a variável

de dano.


103




As flutuações na distribuição do dano, em ambos os tipos de refinamento, podem estar

relacionadas com o comprimento característico considerado (um décimo da menor dimensão da

viga), uma vez que se trata de um modelo não-local de dano. No entanto, a validade dos resultados

obtidos não é posta em causa.

Através dos refinamentos tipo-h e tipo-p é possível observar que o dano se concentra mais

junto à face inferior da viga na região do meio vão. Contudo, é também visível que na zona do apoio

existe uma grande dispersão do dano, o que pode indiciar que estamos na iminência de uma rotura

por corte. Este fenómeno, já observado aquando da utilização do reforço simplificado, é motivado

pelo facto do reforço não contemplar estribos, que previnem que este tipo de rotura possa vir a

acontecer.

Para a discretização com 7 elementos e grau de aproximação igual a 6, interessa ainda

analisar a evolução do dano à medida que o processo de carregamento evolui. Para tal, nas

Figuras 8.31, 8.32, 8.33 e 8.34 são apresentados os passos de carga 18, 28,38 e 48, respectivamente,

o que corresponde a um incremento de carga de 100 kN/m.

104





É visível pela evolução da distribuição de dano que este surge a meio vão (Figura 8.31), onde

os valores das tensões de tracção são maiores, estendendo-se depois ao longo da face inferior da

viga, até que esta esteja na iminência de sofrer rotura por corte (Figura 8.34).

Para os mesmos passos de carga (18, 28, 38 e 48), nas Figuras 8.35, 8.36, 8.37 e 8.38


105





A escala de cores foi modificada e uniformizada, para que se veja claramente a evolução das

tensões de corte à medida que se aumenta a carga aplicada.

As flutuações na representação das tensões de corte podem ser motivadas pelo facto de se

estar a considerar um grau n-1 para a aproximação dos deslocamentos na fronteira. Outra causa

possível é a existência de elementos com relação de dimensões muito desequilibradas. No entanto, a

validade dos resultados obtidos não é posta em causa.

Com o novo modelo híbrido duplamente misto de tensão, obtêm-se então bons resultados

para uma análise fisicamente não-linear considerando modelos de dano isotrópico. Este facto vem

reforçar a valência deste novo modelo, permitindo uma melhor análise do comportamento de

estruturas de betão armado, aproximando-se do seu comportamento real.

8.3 Consola Curta (betão armado, elementos de barra)

A consola aqui apresentada é constituída por betão armado, tal como está representado na

Figura 4.75. Para este caso, da consola curta, optou-se por fazer apenas uma análise fisicamente

linear, uma vez que o desempenho do modelo para uma análise fisicamente não-linear já foi aferido

na subsecção 8.2.2.

106


Nesta subsecção a análise é feita recorrendo à nova formulação de elementos finitos

híbridos-mistos de tensão, pelo facto de não se incluir a variável de dano. Neste ponto, proceder-se-á

ao refinamento tipo-h e tipo-p, tal como foi feito no exemplo da viga simplesmente apoiada.

Começa-se então por considerar que a consola é discretizada apenas com 7 elementos

(5 elementos de betão e 2 de aço), sendo o refinamento conseguido através do aumento do grau das

funções incluídas na base de aproximação (Tabela 8.8).

Consola Curta de Betão Armado (7 elementos)


3 436

5 948

6 1279

Tabela 8.8 – Graus de aproximação e número de graus de liberdade (consola curta de betão armado, 7 elementos).

Nas Figuras 8.39, 8.40, 8.41, 8.42, 8.43, 8.44, 8.45, 8.46 e 8.47 apresentam-se os

deslocamentos segundo Y, as tensões e as tensões , bem como as respectivas deformadas,

para as várias discretizações testadas.




107







108

A escala de cores das representações das tensões foi modificada, para que seja

correctamente visível a distribuição das mesmas. Na Tabela 6.6 apresentam-se os resultados obtidos

para os deslocamentos segundo Y a meio vão e para as tensões de corte máximas em valor absoluto,

para cada discretização testada.

Consola Curta de Betão Armado (7 elementos)


3 -4,530E-10 -1,676

5 -4,430E-10 -1,986

6 -4,420E-10 -1,993


Por se tratar de um exemplo com singularidades no campo de tensões, os valores para essas

grandezas nesses pontos vão sendo sempre maiores à medida que se aumenta o grau do

refinamento, nunca estabilizando num dado valor, apesar de para os graus 5 e 6 não se notarem

grandes diferenças. Como tal, a convergência da solução não pode ser feita com base nos valores das

tensões apresentados. Contudo, é possível observar que à medida que se aumenta o grau da

função de aproximação, a distribuição das tensões se torna mais suave, sendo que para os graus

5 e 6 da função de aproximação esta distribuição é bastante semelhante. No caso dos deslocamentos

o mesmo não acontece, motivo pelo qual os valores estabilizam à medida que nos aproximamos da

solução exacta. Evidência disso é o facto dos valores dos deslocamentos para os graus 5 e 6 da

função de aproximação, apresentados na Tabela 8.9, serem muito semelhantes. Então, para uma

malha de 7 elementos, a solução correspondente ao grau de aproximação igual a 5 representa uma

boa aproximação à resposta real da consola curta com o carregamento considerado. Relativamente à

deformada, esta vai de encontro ao esperado para este tipo de estrutura e carregamento.

Procede-se agora ao aumento do número de elementos para 20 (16 elementos de betão e

4 de aço), tendo consciência de que, à partida, uma malha com mais elementos conduzirá a uma

menor necessidade de aumentar o grau da função de aproximação, pelo facto de se estar a conjugar

os refinamentos tipo-h e tipo-p (Tabela 8.10).

Consola curta de Betão Armado (20 elementos)


2 792

3 1364

5 2096

7 2988

Tabela 8.10 – Graus de aproximação e de liberdade (consola curta de betão armado, 20 elementos).

Nas Figuras 8.48, 8.49, 8.50, 8.51, 8.52, 8.53, 8.54, 8.55, 8.56, 8.57, 8.58 e 8.59 apresentam-

se os deslocamentos segundo Y, as tensões e as tensões , bem como as respectivas

deformadas, para as várias discretizações testadas.

109



grau 2).




grau 3).


110



grau 4).




grau 5).


111

A escala de cores das representações das tensões foi modificada, para que seja

correctamente visível a distribuição das mesmas. Na Tabela 8.11 apresentam-se os resultados

obtidos para os deslocamentos segundo Y a meio vão e para as tensões de corte máximas em valor

absoluto, para cada grau de aproximação.

Consola Curta (12 elementos)


2 -4,570E-10 -1,829

3 -4,450E-10 -2,025

4 -4,430E-10 -1,935

5 -4,420E-10 -2,143


Visto as soluções já apresentarem refinamento tipo-h, com uma malha de 20 elementos, era

expectável que para atingir uma solução que se aproxime da exacta não fosse necessário aumentar

tanto o grau da função de aproximação como para o caso da malha com 7 elementos, o que se

verificou. Tal como para a malha com 7 elementos, a convergência não pode ser analisada pelos

valores máximos das tensões. No entanto, é visível que as distribuições de tensões para os

graus 4 e 5 da função de aproximação são bastante suaves, evidência de que nos aproximamos da

solução exacta. Para além disso, os deslocamentos para os graus 4 e 5 da função de aproximação,

apresentados na Tabela 8.11, apresentam valores muito semelhantes. Como tal, para 20 elementos,

um grau da função de aproximação igual a 4 é suficiente para se obter uma boa representação da

resposta da consola curta. No que toca à deformada, esta apresenta o andamento que seria

expectável tendo em conta a estrutura e o carregamento.

Comparando os resultados obtidos para a consola curta com recurso ao novo modelo

híbrido-misto de tensão com os que foram obtidos para o mesmo exemplo no Capítulo 4 com o

modelo convencional de elementos finitos, facilmente se conclui que estes são muito semelhantes.

Para as soluções mais refinadas dos modelos clássico de deslocamentos e não-convencional híbrido-

misto de tensão, apresentam-se, na Tabela 8.12, os valores dos deslocamentos máximos (segundo Z

ou Y, dependendo do plano em que está a estrutura) e das tensões nas armaduras, visto a

comparação das tensões de corte não ser conclusiva. É de referir que as tensões nas armaduras,

apesar de não se apresentarem as suas representações, foram obtidas da mesma forma que os

restantes parâmetros.

Consola Curta Deslocamentos (m) Tensões nas armaduras (N/m2)


-4,407E-10 3,204

E. F. Híbridos-Mistos de Tensão (Novo Modelo)

-4,430E-10 -3,199

Tabela 8.12 – Comparação de valores (consola curta de betão armado).

Isto vem reforçar a validade do novo modelo híbrido-misto de tensão e comprovar a

versatilidade do mesmo quando aplicado a outro tipo de estruturas.

113

9 CONCLUSÕES E DESENVOLVIMENTOS FUTUROS

9.1 Conclusões

Neste trabalho foram desenvolvidos e implementados modelos híbridos-mistos de tensão

para a análise de estruturas bidimensionais de betão armado.

O conjunto de casos de teste foi primeiro analisado com recurso a um modelo clássico de

elementos finitos, tendo sido utilizado para tal efeito o programa comercial [ADINA]. Foram obtidas,

desta forma, um conjunto de soluções aproximadas com precisão considerada como adequada, para

depois poderem ser utilizadas para validar as soluções obtidas com os modelos numéricos

apresentados e discutidos neste trabalho. Na obtenção destas soluções para validação, foi

considerado apenas comportamento fisicamente linear para todos os materiais estruturais

envolvidos na definição das estruturas.

Numa primeira fase, os varões de reforço foram modelados como se fossem elementos

estruturais bidimensionais. Esta análise mais simplista permitiu que fossem utilizados os modelos já

existentes, sem necessidade de introdução de qualquer alteração ao nível da formulação. Os

resultados obtidos com este modelo em regime elástico linear foram comparados com os resultados

obtidos com os modelos clássicos de elementos finitos e a qualidade das soluções obtidas foi desta

forma validada. O conjunto de estruturas de teste foi também analisado considerando o

comportamento fisicamente não-linear do betão, através da consideração do modelo de dano

contínuo de [Mazars 1984]. A validação dos resultados destas análises foi efectuada apenas de forma

qualitativa, uma vez que não foram efectuadas análises equivalentes com o programa ADINA. De

qualquer forma, a distribuição final de dano obtida e a sua evolução são perfeitamente coerentes

com o que seria expectável.

Numa segunda fase, foi discutida a implementação de modelos híbridos-mistos de tensão

nos quais fosse possível a inclusão explícita de elementos de reforço modelados como elementos

estruturais unidimensionais. Nessa generalização dos modelos existentes, considerou-se aderência

perfeita entre os varões de reforço e o betão circundante. Foram apresentados dois modelos: o

modelo híbrido-misto de tensão e o modelo híbrido duplamente misto de tensão. O primeiro destes

modelos é utilizado para a realização de análises em regime elástico linear. O segundo dos modelos

foi desenvolvido para permitir análises fisicamente não-lineares, considerando modelos de dano

contínuo para representar o comportamento do betão.

Os resultados obtidos para os casos de teste em regime elástico linear permitiram ilustrar a

utilização destes modelos, a qualidade das soluções obtidas e a facilidade com que podem ser

implementados processos de refinamento tipo-p e tipo-h. Foi possível efectuar uma comparação

directa dos resultados com os que tinham sido obtidos com recurso ao modelo clássico de elementos

finitos. Essa comparação permitiu confirmar a qualidade das soluções obtidas com os modelos

híbridos-mistos.

114

Os resultados obtidos para o caso do comportamento fisicamente não-linear também

permitiram ilustrar a aplicação dos modelos e a qualidade das soluções obtidas, com recurso a

discretizações envolvendo um número de graus de liberdade controlado.

9.2 Desenvolvimentos futuros

Os resultados apresentados nesta dissertação provam que as formulações híbridas-mistas de

tensão permitem obter modelos robustos e computacionalmente eficazes para a análise fisicamente

linear e não-linear de estruturas de betão armado. Desta forma, justifica-se plenamente que

continue a ser dedicada atenção ao desenvolvimento deste tipo de modelos, cuja potencialidade

está longe de se encontrar completamente explorada. Para um futuro próximo, sugerem-se os

seguintes desenvolvimentos:

Na implementação apresentada neste trabalho, os varões de aço têm de coincidir com

fronteiras entre elementos adjacentes de betão. Esta é uma limitação que obriga à

consideração de um número maior de elementos e pode dar origem a elementos com

dimensões muito desequilibradas. Para contornar este problema, um dos desenvolvimentos

que se prevê para o futuro próximo consiste na generalização dos modelos híbridos-mistos

apresentados, por forma a possibilitar a consideração de varões de reforço no interior de

elementos de betão.

Nos modelos discutidos nesta dissertação considerou-se sempre aderência perfeita entre o

aço e o betão. Para simular de forma mais adequada o comportamento fisicamente não-

linear de estruturas de betão armado, será necessária a generalização dos modelos

apresentados por forma a ser possível a consideração do fenómeno de escorregamento.

Nos modelos apresentados nesta dissertação apenas foram consideradas armaduras

longitudinais. Para simular o comportamento de estruturas de betão armado, vai ser

necessário considerar no modelo a possibilidade de se incluírem estribos.

Para os materiais estruturais, foram consideradas relações constitutivas elásticas lineares

para o aço e modelos de dano isotrópico para o betão. Para modelar de forma mais

adequada o comportamento de estruturas de betão armado, vai ser necessário implementar

modelos constitutivos mais sofisticados. Esses modelos devem permitir a consideração de

inversão de sentido do carregamento, por forma a tornar possível a consideração de

carregamentos cíclicos e/ou dinâmicos.

Os modelos híbridos e mistos de elementos finitos considerados nesta dissertação permitem

apenas a consideração de análises estáticas. A generalização destes modelos, por forma a ser

possível a realização de análises fisicamente não-lineares em regime dinâmico, será também

um dos trabalhos a realizar no futuro.

115

10 BIBLIOGRAFIA

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Londres, 1-2-3.

117

ANEXO A – POLINÓMIOS DE LEGENDRE

A.1 – Introdução

Neste capítulo apresenta-se a informação necessária para definir as funções de aproximação

utilizadas neste trabalho, os polinómios de Legendre. As suas propriedades mais relevantes, bem

como as expressões que permitem efectuar o cálculo analítico de todos os integrais e derivadas que

os envolvem, são aqui analisados.

A.2 – Considerações Iniciais

Os polinómios de Legendre de ordem , correspondem às soluções da equação

diferencial de 2º grau de Legendre:

(A.1)

É possível gerar estas funções do tipo polinomial usando a fórmula de Rodriguez [Spiegel et

al. 1990]:

(A.2)

A.3 – Propriedades dos Polinómios de Legendre

Verifica-se que estes polinómios são alternadamente funções pares e ímpares:

(A.3)

Os integrais definidos no intervalo [ ] que resultam do produto de dois polinómios de

Legendre podem ser calculados a partir das seguintes igualdades:

{

∫

∫

(A.4)

Conclui-se, portanto, que os polinómios de Legendre são ortogonais no intervalo [ ].

118

A.4 – Fórmulas Geradoras de Polinómios de Legendre

Várias fórmulas podem ser utilizadas para gerar os polinómios de Legendre, mas as mais

eficientes são as fórmulas de recorrência [Spiegel et al. 1990], tirando partido das respectivas

derivadas:

(A.5)

É então possível usar a seguinte expressão para determinar os valores de :

(A.6)

com

De maneira a tirar partido da condição de ortonormalidade, os polinómios de Legendre são

modificados por forma a que:

∫

(A.7)

A fórmula de Bonnet é escalada por :

√

(A.8)

Obtendo-se desta forma o formato alternativo (normalizado) a seguir apresentado:

(A.9)

Com

Nas Figuras A.1 , A.2 a) e A.2 b) apresentam-se os polinómios de Legendre normalizados,

uni e bidimensionais [Mendes 2002]:

119

Figura A.1 – Gráficos dos polinómios de Legendre normalizados em 1D.

120

Figura A.2 a) – Gráficos dos polinómios de Legendre normalizados em 2D.

121

Figura A.2 b) – Gráficos dos polinómios de Legendre normalizados em 2D.

122

Uma das principais vantagens associadas à utilização destes polinómios consiste na

possibilidade de dispensar os processos numéricos no cálculo das integrações, pois é sempre possível

definir expressões analíticas para os operadores estruturais (assumindo linearidade física e

geométrica), mesmo em casos em que não se consegue tirar directamente partido da

ortogonalidade.

De seguida apresentam-se as expressões indicadas em [Silva et al. 1999]:

{

∫

∫

(A.10)

{

∫

∫

∫

(A.11)

{

∫

∫

∫

∫

(A.12)

{

∫

∫

∫

∫

∫

(A.13)

{

∫

∫

(A.14)

123

{

∫

∫

∫

(A.15)

{

∫

∫

∫

∫

(A.16)

{

∫

∫

∫

(A.17)

{

∫

∫

∫

(A.18)

De seguida apresentam-se alguns casos particulares:

{

∫ √

∫

(A.19)

∫ ∫

(A.20)

∫ ∫

√

(A.21)

125

ANEXO B – VIGA SIMPLESMENTE APOIADA DE BETÃO ARMADO

(MALHA ULTRAREFINADA)

Tal como foi dito no capítulo 8, os resultados obtidos para a tensão de corte na viga

simplesmente apoiada com o novo modelo híbrido-misto de tensão não eram semelhantes aos

obtidos com o modelo clássico de deslocamentos do método dos elementos finitos, especialmente

quando comparados com os das Malhas C e D do capítulo 4. Como tal, neste anexo apresenta-se uma

nova discretização, com uma malha ultrarefinada obtida pelo método convencional (tal como no

capítulo 4), por forma a confirmar o bom desempenho do novo modelo híbrido-misto de tensão.

Nas Figuras B.1 B.2 B.3 B.4 B.5 B.6 B.7 apresentam-se a malha ultrarefinada e os

correspondentes deslocamentos segundo Z, tensões e (directas e suavizadas) e tensões nas

armaduras.

Figura B.1 – Malha ultrarefinada.

Figura B.2 – Deslocamento segundo Z (malha ultrarefinada).

126

Figura B.3 – Tensão (malha ultrarefinada).

Figura B.4 – Tensão suavizada (malha ultrarefinada).

Figura B.5 – Tensão (malha ultrarefinada).

Figura B.6 – Tensão suavizada (malha ultrarefinada).

127

Figura B.7 – Tensão nas armaduras (malha ultrarefinada).

Na B.1 apresentam-se os valores máximos em valor absoluto das representações dos

deslocamentos e tensões, obtidas para a malha ultrarefinada.

Viga Simplesmente Apoiada de Betão Armado (malha ultrarefinada)

Deslocamentos (m) -8,643E-10

Tensões

(N/m2) -6,672

Tensões

(N/m2) -1,880

Tensão armaduras

(N/m2) -6,510

Tabela B.1 – Resumo dos resultados (malha ultrarefinada).

Mod elos Híbridos -Mistos de Tensão P ara a An álise de · particular ao António Abreu e ao...

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