Moda É o valor de maior freqüência em um conjunto de dados. Notação: A moda será denotada por...
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ModaÉ o valor de maior freqüência em um conjunto de dados.Notação: A moda será denotada por mo.
CÁLCULO DE MODA
1º CASO) Dados Brutos ou RolBasta indicar o elemento de maior freqüência.
Exemplos :1. X: 2, 8, 3 ,5 ,4 ,5, 3, 5, 5, 1
O elemento de maior freqüência é 5. Portanto, mo=5. É uma seqüência unimodal.
2. X: 6, 10, 5, 6, 10, 2
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Esta freqüência apresenta o elemento 6 e o elemento 10 como elementos de maior freqüência. Portanto, mo=6 e mo=10. É uma seqüência bimodal.Poderemos encontrar seqüências trimodais, tetramodais e assim sucessivamente. Estas seqüências serão chamadas de forma genérica por seqüências
polimodais.
3. X: 2, 2, 5, 8, 5, 8
Observe que todos os elementos da série apresentam a mesma freqüência.Nesta situação, não há um elemento que se destaque pela maior freqüência, e diremos que a série é amodal.
2º CASO) Variável discretaEste caso é ainda mais simples. Note que na apresentação da variável discreta, as freqüências já estão computadas na segunda coluna. Basta identificar o elemento de maior freqüência.
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Exemplos :
1.
A maior freqüência observada na segunda coluna é 8 e corresponde ao elemento 3 da série. Portanto é, uma série unimodal com mo=3.
2.
xi fi0 22 53 84 35 1
xi fi1 22 53 44 55 1
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A maior freqüência observada na segunda coluna é 5 e corresponde aos valores 2 e 4. Portanto é, uma série bimodal com mo=2 e mo=4.
3.
Observe que todos os elementos da série possuem a mesma freqüência. Portanto, a série é amodal.
2º CASO) Variável contínua
Para determinar a moda de uma variável contínua, podemos optar por vários processos. Daremos destaque para a moda de Pearson, a moda de King e a moda de Czuber.
xi fi4 35 38 310 3
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1º Processo: MODA DE PEARSON
Segundo PEARSON, a moda de uma variável contínua pode ser obtida através do valor da média e da mediana.
Exemplo: Calcule a moda de Pearson para a distribuição de freqüência.
Xmdmo 23
Classe Int. cl. fi1 0 ______ 10 12 10 ______ 20 33 20 ______ 30 64 30 ______ 40 2
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Solução: Cálculo da média:
fi=12 xifi=270
Cálculo da mediana:
Classe Int. cl. fi xi xifi1 0 ______ 10 1 5 52 10 ______ 20 3 15 453 20 ______ 30 6 25 1504 30 ______ 40 2 35 70
5,2212
270
fi
xifiX
Classe Int. cl. fi Fi1 0 ______ 10 1 12 10 ______ 20 3 43 20 ______ 30 6 104 30 ______ 40 2 12
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hfmd
Fantn
amd .2Im
n=12 n = 12 = 6 2 2
A mediana corresponde ao sexto elemento da série. O sexto elemento da série está na terceira classe. Esta é a classe mediana. A mediana vale:
33,23
10.6
4620
md
md
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Conseqüentemente :
Note que a moda está situada na terceira classe que é a classe de maior freqüência da série.A classe de maior freqüência será chamada de classe modal.
2º Processo: MODA DE KINGKing levou em consideração, em sua fórmula, a freqüência simples da classe anterior e a freqüência simples da classe posterior à classe modal.
Onde :
25
)5,22(2)33,23(3
23
mo
mo
Xmdmo
hfpostfant
fpostomo .Im
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Imo - limite inferior da classe modalfpost- freqüência simples da classe posterior à classe modalfant - freqüência simples da classe anterior à classe modalh - amplitude do intervalo de classe
Exemplo: Calcule a moda de King para a distribuição:
Solução: A classe modal é a de maior freqüência, portanto, é a terceira classe e a moda vale:
Interpretação: 24 é o valor mais freqüente nesta distribuição
Classe Int. cl. fi1 0 ______ 10 12 10 ______ 20 33 20 ______ 30 64 30 ______ 40 2
2410.23
220
mo
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3º Processo: MODA DE CZUBERCZUBER levou em consideração, em sua fórmula a freqüência simples da classe anterior, a freqüência simples da classe posterior, além da freqüência simples da classe modal.É, portanto, uma fórmula mais completa que a fórmula de King.
Onde:
Imo - limite inferior da classe modalfmo - freqüência simples da classe modalfant - freqüência simples da classe anterior à classe modalfpost- freqüência simples da classe posterior à classe modalh - amplitude do intervalo de classe
hfpostfantfmo
fantfmoomo .
)(2Im
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Exemplo: Calcule a moda de Czuber para a distribuição:
Solução: A classe modal é a terceira classe, portanto, a moda vale:
Interpretação: 24,29 é o valor mais freqüente nesta distribuição
Classe Int. cl. fi1 0 ______ 10 12 10 ______ 20 33 20 ______ 30 64 30 ______ 40 2
29,2410.)23()6(2
3620
mo
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Comentário: A fórmula de Pearson tem normalmente interesse teórico. Se não dispusermos da média e da mediana da distribuição, a fórmula de Pearson é a mais trabalhosa.A fórmula de King é a mais simples delas, mas não é a mais precisa.A fórmula de Czuber é a mais precisa que a fórmula de King, pois leva também em consideração a freqüência da classe modal.Observe que no exemplo utilizado o cálculo da moda pelos três processos determinou três valores diferentes.É claro que os três valores obtidos são valores aproximados do verdadeiro valor da moda.Normalmente o mais confiável é o valor da moda de Czuber.As fórmulas de King e Czuber podem ser justificadas, de modo semelhante, com o histograma da distribuição.
Solução: A classe modal é a terceira classe, portanto, a moda vale:
Interpretação: 24,29 é o valor mais freqüente nesta distribuição
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a) Fórmula de King
Identifica-se a classe modal como sendo a de maior altura (freqüência) e caracteriza-se o seu limite inferior Imo e seu limite superior Lmo.
Projeta-se a freqüência da classe posterior na reta represen-tativa da freqüência da classe anterior obtendo-se o ponto A. Em seguida projeta-se a partir do Lmo, no sentido vertical, uma distância igual à freqüência da classe anterior obtendo o ponto B.
B
fi
fantfpost
Int.cl.Imo Lmo
A
C DP
x h-x
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O segmento de reta unindo os pontos A e B intercepta o eixo horizontal no ponto P, que identifica-se como sendo a moda da distribuição.
A amplitude do intervalo de classe é h e está dividida em duas partes. Se chamarmos a primeira parte de x, então a segunda parte será h-x.
Assim, observando a figura concluímos que:
Como os triângulos ACP e PDB são semelhantes (A,A,A) os lados são proporcionais.Então,
Usando propriedades das proporções, podemos afirmar:
xomo Im
xh
x
DB
AC
x
xhx
AC
DBAC
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Ou
de onde conclui-se que:
Lembrando que AC = fpost e que DB = fant, obtém-se:
Substituindo o valor de x na expressão mo=Imo + x obtém-se:
x
h
AC
DBAC
x
h
AC
DBAC
hpostfant
fpostx .
hfpostfant
fpostomo .
)Im
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b) Fórmula de Czuber
Identifica-se a classe modal e caracteriza-se o seu limite inferior Imo e seu limite superior Lmo.
Unindo-se os pontos A e D e os pontos B e C, os segmentos de reta determinados se interceptam no ponto P.
Em seguida projeta-se verticalmente este ponto no eixo horizontal obtendo o ponto M, que identifica-se como sendo a moda da distribuição.
fi
Int.cl.Imo
A C
FM
x h-xB
D
x h-xE
P
Lmo
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A amplitude do intervalo de classe é h e está dividida em duas partes. Se chamarmos e primeira parte de x, então a segunda parte será h-x.
Estes valores correspondem às alturas dos triângulos ABP e CDP respect6ivamente.
Como estes triângulos são semelhantes (A, A, A), os lados e as alturas são proporcionais. Então:
Usando a propriedade das proporções, podemos afirmar:
ou
de onde se conclui que:
xh
x
CD
AB
x
xhx
AB
CDAB
x
h
AB
CDAB
h
CDAB
ABx .
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Lembrando que AB = AE - BE = fmo - fant e que CD = CF - DF = fmo - fpost, obtém-se:
Como a moda é identificada como sendo o ponto M da figura, podemos afirmar que:
Substituindo o valor de x obtido anteriormente nesta expressão, a moda fica escrita:
Observação: Se a classe modal for a primeira classe, então fant = 0 e se a classe modal for a última então fpost = 0.
hfpostfantfmo
fantfmoh
fpostfmofantfmo
fantfmox .
)(2.
xomo Im
hfpostfantfmo
fantfmoomo .
)(2Im
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Utilização das Medidas de Tendência Central
Na maioria das situações, não necessitamos calcular as três medidas de tendência central.
Normalmente precisamos de apenas uma das medidas para caracterizar o centro da série.
Surge, então, a questão: qual medida deve ser utilizada?A medida ideal para cada caso é aquela que melhor representa a maioria
dos dados da série.Quando todos os dados de uma série estatística são iguais, a média, a
mediana e a moda coincidirão com este valor e, portanto qualquer uma delas representará bem a série. No entanto, este caso dificilmente ocorrerá na prática.
Na maioria das vezes, teremos valores diferenciados para a série e conseqüentemente a medida irá representar bem, apenas os dados da série que se situam próximos a este valor. Os dados muito afastados em relação ao valor da medida não serão bem representados por ela.
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Desta forma, se uma série apresenta forte concentração de dados em sua área central, a média, a mediana e a moda ficam também situadas em sua área central representando bem a série como na figura a. Como a mais conhecida é a média, optamos por esta medida de tendência central. Concluindo, devemos optar pela média, quando houver forte concentração de dados na área central da série.
a)
x
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Se uma série apresenta forte concentração de dados em seu início, a mediana e a moda estarão posicionadas mais no início da série, representando bem esta concentração. A moda que é fortemente afetada por alguns valores posicionados no final da série se deslocará para a direita desta concentração não a representando bem.
Como a mais conhecida entre mediana e moda é a mediana, esta será a medida indicada neste caso.
A mesma situação ocorre se a série apresenta forte concentração de dados em seu final.
Concluindo, devemos optar pela mediana, quando houver forte concentração de dados no início ou no final da série.
A moda deve ser a opção como medida de tendência central apenas em séries que apresentam em elemento típico, isto é, um valor cuja freqüência é muito superior à freqüência dos outros elementos da série.