MODA, MDIA E MEDIANA: PERSPECTIVAS DOS ALUNOS VS TRABALHO DOS PROFESSORES

Paula Barros1, Cristina Martins2, Manuel Vara Pires 3 1Escola Superior de Tecnologia e de Gesto do Instituto Politcnico de Bragana

2,3Escola Superior de Educao do Instituto Politcnico de Bragana pbarros@ipb.pt, mcesm@ipb.pt, mvp@ipb.pt

Resumo A nossa experincia como educadores matemticos diz-nos que muitos alunos revelam dificuldades na compreenso de conceitos estatsticos. Por isso, desenvolvemos um estudo exploratrio com futuros educadores e professores para verificar influncias do trabalho desenvolvido numa unidade curricular nos seus conhecimentos e nas nossas prticas de ensino. O foco deste texto nas medidas de tendncia central reflecte parte dessas influncias, dado que emergiu da diversidade de dificuldades surgidas no seu tratamento e, consequentemente, da necessidade de repensar as nossas prticas.

Introduo

A estatstica tem uma enorme importncia na sociedade, no s pela sua aplicabilidade a

diversos domnios do saber, mas tambm pela real necessidade de qualquer cidado

saber gerir a informao e, assim, poder tomar as suas decises mais conscientemente.

A nvel curricular, o novo programa de Matemtica do ensino bsico (Ponte, Serrazina,

Guimares, Breda, Guimares, Sousa, Menezes, Martins & Oliveira, 2007) atribui um

maior destaque Organizao e tratamento de dados, assumido como um dos temas

matemticos a trabalhar desde o 1. ciclo. Deste modo, compete escola proporcionar

uma formao em estatstica que permita aos alunos a compreenso do mundo que os

rodeia, pelo que a formao de professores deve dar mais relevncia ao

desenvolvimento do conhecimento estatstico. Alm disso, os futuros educadores e

professores necessitam de clarificar e aprofundar o conhecimento que foram adquirindo

ao longo da sua escolaridade.

Neste texto, apresentamos aspectos de um trabalho desenvolvido na unidade curricular

Nmeros e Estatstica, integrada no 1. ano da Licenciatura em Educao Bsica, com o

propsito de identificar conhecimentos estatsticos que futuros educadores e professores

revelam no seu incio e verificar como a interveno da unidade influencia esses

conhecimentos. Retomando resultados j discutidos num trabalho anterior (Martins,

Pires & Barros, 2009), centramo-nos nas perspectivas dos alunos sobre medidas de

tendncia central e nas consequentes implicaes no trabalho do professor.

O ensino e a aprendizagem da estatstica

Para Batanero (2000b), necessrio experimentar e avaliar mtodos de ensino

adaptados natureza especfica da estatstica dado que nem sempre se podem transferir

os princpios gerais do ensino da Matemtica. Como estamos em presena de uma

cincia que muda rapidamente, to importante como os seus contedos especficos o

desenvolvimento nos alunos de uma atitude favorvel aprendizagem e de uma forma

de raciocnio. Para uma maior valorizao do papel da estatstica, a autora defende que,

nas aulas, se trabalhem situaes diversificadas, incluindo aplicaes do mundo

biolgico, fsico, social ou poltico.

Nesta perspectiva, as situaes de natureza mais aberta, como as investigaes e os

projectos estatsticos, podem assumir uma grande importncia no ensino (Batanero,

2000b; Sousa, 2002). Estas permitem aos alunos eleger um tema do seu interesse no

qual precisam de definir os objectivos, escolher ou construir os instrumentos de recolha

de dados, seleccionar as amostras, recolher, codificar, analisar e interpretar os dados

para dar resposta s perguntas planeadas, proporcionando uma participao mais activa

no trabalho produzido (Ortn, 2001). A estatstica , tambm, um campo que permite a

ligao a outros temas matemticos, nomeadamente a nvel dos nmeros e medidas,

contribuindo para desenvolvimento das capacidades de comunicao matemtica ou de

resoluo de problemas e de interpretao do real e, ainda, para dar mais sentido

utilizao de calculadoras e computadores (Abrantes, Serrazina & Oliveira, 1999). Mas,

apesar do reconhecimento desta relevncia, muitos estudos tm identificado

dificuldades conceptuais e procedimentais reveladas pelos alunos, incluindo futuros

educadores e professores, mesmo em relao a conceitos estatsticos bsicos, como

sejam a moda, a mdia ou a mediana.

Relativamente moda, e considerando estudos com estudantes do ensino secundrio ou

futuros professores, alguns alunos ainda apresentaram dificuldades em identificar a

moda quando a varivel em causa era qualitativa, confundindo-a com a respectiva

frequncia relativa ou absoluta (Barros, 2003; Boaventura & Fernandes, 2004).

No que diz respeito mdia aritmtica, embora a generalidade dos alunos mostrasse

conhecer o algoritmo de clculo, este foi aplicado, frequentemente, de uma forma

mecnica e sem significado. Assim, no caso de variveis qualitativas, muitos alunos no

reconheceram a impossibilidade de calcular a mdia e manipularam os dados

quantitativos para tentar encontrar um valor numrico que a representasse, sendo o

clculo da mdia das frequncias o erro mais habitual (Barros, 2003). A resoluo de

problemas envolvendo o clculo de uma mdia ponderada tambm originou

dificuldades. Por exemplo, no clculo de uma mdia global a partir do conhecimento de

duas mdias parciais, muitos alunos no afectaram os seus valores com os pesos

adequados (Boaventura & Fernandes, 2004; Mayn, Cobo, Batanero & Balderas, 2007).

A mediana considerada a medida de tendncia central que origina mais obstculos aos

alunos (Boaventura & Fernandes, 2004; Barros, 2003; Sousa, 2002). Dos processos

incorrectos mais seguidos destaque-se a associao da mediana metade da amplitude

dos dados (Barros, 2003; Sousa, 2002), o clculo da mediana a partir dos valores da

varivel no tendo em conta as respectivas frequncias absolutas (Barros, 2003; Mayn,

Cobo, Batanero & Balderas 2007; Sousa, 2002) e, na presena de dados no agrupados,

a identificao da mediana com o valor central da sucesso de dados no ordenados ou a

determinao da semi-soma de dois dos valores do conjunto de dados (Boaventura &

Fernandes, 2004).

Em situaes em que necessrio interligar os conhecimentos sobre as medidas ou

atribuir-lhes um significado num determinado contexto so visveis tambm algumas

lacunas no conhecimento dos alunos. Por exemplo, Boaventura e Fernandes (2004)

referem que, numa questo em que era dada a mdia, a moda e a mediana e se pedia as

idades possveis de quatro estudantes, muitos dos alunos tiveram apenas em conta a

mdia e a moda, ignorando a mediana, ou tentaram estabelecer sequncias de dados

atendendo a algumas das estatsticas dadas (por exemplo, verificando apenas a mdia ou

apenas a mediana e a moda). Eisenbach (1994, citado em Batanero, 2000a) questionou

estudantes universitrios sobre o significado da afirmao O salrio mdio de um

empregado de 3600 dlares, tendo obtido respostas que mostraram confuso

terminolgica entre as palavras mdia, mediana e moda: a maioria dos empregados

ganha cerca de 3600 dlares, o salrio central ou os outros trabalhadores ganham

mais ou menos 3600 dlares. Num sentido semelhante, mas agora questionando futuros

professores, Barros (2003) refere que a resposta mais frequente para a mdia foi uma

aluso directa ao algoritmo da mdia salrio de todos os trabalhadores dividido pelo

nmero de trabalhadores e as interpretaes sobre a mediana remeteram para a

determinao do seu valor, no tendo havido qualquer aluno que fizesse realmente uma

interpretao contextualizada.

O contexto

O estudo, apresentado de uma forma mais detalhada em Martins, Pires e Barros (2009),

decorreu nos dois grupos da turma do 1. ano da Licenciatura em Educao Bsica e

incidiu no desenvolvimento dos temas de estatstica tratados na unidade curricular

Nmeros e Estatstica leccionada pelos segundo e terceiros autores deste texto. A

investigao contou com a participao de quarenta alunos com idades compreendidas

entre 17 e 32 anos, mas com uma moda situada nos 18 anos. As suas formaes

anteriores eram bastante diversificadas, mas a grande maioria estudou temas de

estatstica durante o seu percurso no ensino secundrio, havendo j alguns alunos a

repetir a frequncia na unidade curricular.

As principais estratgias de interveno seguidas nas aulas foram a clarificao de

conceitos e procedimentos, a resoluo e discusso de tarefas e a realizao de um

trabalho em grupo. A recolha de dados recorreu a um questionrio inicial (QI),

observao participante ao longo das aulas dedicadas ao tema e a um questionrio final

(QF), que constituiu parte integrante do processo de avaliao da unidade curricular.

O questionrio inicial, aplicado no incio do estudo, centrou-se em quatro categorias: (a)

organizao de dados qualitativos, quantitativos discretos e quantitativos contnuos em

tabelas de frequncias e grficos adequados a cada caso (esta categoria no referida

neste texto); (b) determinao (se possvel) da moda, mdia e mediana dado um grfico

de barras relativo frequncia absoluta de uma varivel qualitativa; dado um conjunto

de dados quantitativos discretos e dado um conjunto de dados quantitativos contnuos;

(c) aplicao dos conceitos de mdia, moda e mediana na resoluo de problemas; e (d)

registo escrito de ideias sobre moda, mdia e mediana. A observao participante foi

efectuada, entre Setembro de 2008 e Janeiro de 2009, pelos professores em cada grupo

ao longo das aulas reservadas para o tratamento dos temas estatsticos. Esta observao

foi complementada com notas de campo e com os materiais produzidos pelos alunos. O

questionrio final foi aplicado no final do estudo e retomou as questes do questionrio

inicial relacionadas com as categorias que se revelaram mais significativas para os

propsitos do estudo.

A anlise dos dados baseou-se na interpretao das respostas dos alunos e das notas de

campo, seguindo as categorias que suportaram a elaborao do questionrio inicial.

Perspectivas dos alunos

A discusso das perspectivas dos alunos sobre as medidas de tendncia central (moda,

mdia e mediana) apenas recorre s cinco questes apresentadas no Quadro 1.

Questo 1. A distribuio dos passatempos preferidos pelos alunos de uma turma do 4. ano definida pelo grfico seguinte: Indique, justificando:

1.1. a moda dos passatempos preferidos dos alunos. 1.2. a mdia dos passatempos preferidos dos alunos. 1.3. a mediana dos passatempos preferidos dos alunos.

Questo 2. Inquiriram-se os 55 alunos de uma escola sobre o tempo gasto no percurso de casa para a escola e construiu-se a seguinte tabela:

Tempo (em minutos) [0, 5[ [5, 10[ [10, 15[ [15, 20[ [20, 25[ [25, 30[ Nmero de alunos 3 18 14 8 7 5

2.1. Determine a mdia do tempo gasto no percurso. 2.2. Indique, justificando: a) a classe modal. b) a classe mediana.

Questo 3. A Maria perguntou a dez amigos quanto recebiam de semanada, tendo obtido os seguintes dados (em euros): 10, 15, 9, 7, 8, 5, 10, 6, 10, 30.

3.1. Indique a moda das semanadas. 3.2. Determine a mdia das semanadas. 3.3. Determine a mediana das semanadas.

Questo 4. O Sr. Joo tem sete filhos. Sabe-se que a mdia das suas idades 11 anos, a moda 8, a mediana 10 e a amplitude das idades 13 anos. Considerando que nenhuma das medidas calculadas foi arredondada, indique, justificando, uma idade possvel para cada um dos filhos do Sr. Joo. Questo 5. Diga o que entende por: 5.1. moda. 5.2. mdia. 5.3. mediana.

Quadro 1 Questes analisadas no texto.

Determinao da moda, mdia e mediana. No trabalho realizado verificou-se que, no

caso da determinao da moda ou classe modal, aps a interveno da unidade

curricular no se detectaram problemas com variveis qualitativas nem com variveis

quantitativas.

Por exemplo, na Questo 1.1. envolvendo uma varivel qualitativa, embora no

questionrio inicial 13 alunos no respondessem e 5 apresentassem respostas

incorrectas, no questionrio final todos os alunos responderam e apenas um deu uma

resposta incorrecta: a moda 9, pois os alunos preferem a televiso. Esta

identificao da moda com a maior frequncia absoluta foi tambm a dificuldade que

mais sobressaiu no questionrio inicial (4 alunos).

No caso da mdia, constatou-se uma evoluo na sua compreenso embora

continuassem a existir dificuldades quando estavam em causa variveis qualitativas ou

quantitativas contnuas, sendo a determinao da mdia das frequncias absolutas um

erro frequente, principalmente no caso de variveis qualitativas.

Por exemplo, no clculo da mdia, dada uma varivel qualitativa (Questo 1.2.), no

questionrio inicial, no houve respostas correctas e 17 alunos, simplesmente, no

responderam. Alguns dos erros detectados foram: o clculo da mdia das frequncias

absolutas, a manipulao numrica dos valores apresentados no grfico (por exemplo,

mdia dos valores apresentados no eixo dos xx) ou a indicao de uma categoria da

varivel (por exemplo, a mdia televiso). No questionrio final, todos os alunos

responderam, 28 dos quais apresentaram respostas correctas (por exemplo, no se pode

calcular porque se trata de uma varivel qualitativa). Os restantes calcularam a mdia

das frequncias absolutas ou indicaram um dos passatempos.

Na determinao da mdia para variveis quantitativas contnuas (Questo 2.1.), do

questionrio inicial para o final houve um aumento significativo dos raciocnios

correctos (de 3 para 21) e uma diminuio dos no respondentes (de 20 para 2),

havendo, em ambos os casos, uma diversidade de raciocnios que conduziram a

respostas incorrectas (Tabela 1). Nestes visvel uma certa tendncia para adicionar e

dividir dados de forma inconsistente dando ideia que os alunos mecanizaram o

algoritmo da mdia sem compreenderem o seu significado.

N. de alunos Interpretao/Tipo de resposta incorrecta QI QF Clculo da mdia das frequncias absolutas: (3+18+14+8+7+5)/6=9,2 4 4

Indicao do limite (inferior ou superior) dos intervalos que se encontram na posio central da tabela: a mdia 15 3 -

Referncia a elementos da parte central da tabela Indicao de um dos intervalos que se encontra na posio

central da tabela: [10,15[ ou [15,20[ - 5

Tratamento dos intervalos como se fossem nmeros decimais e clculo da sua mdia: (0,5+5,10+10,15+15,20+20,25+25,30)/6=12,75 2 -

Clculo da mdia dos limites superiores ou inferiores e superiores dos intervalos: (5+10+15+20+25+30)/6=17,5 ou (0+5+10+15+20+25+30)/7 =15 2 2

o nmero de inquiridos: 30:55=0,54 1 - Clculo do quociente entre o limite superior do ltimo intervalo e o nmero de intervalos: 30:6 - 2 Confuso entre mdia e classe modal: a mdia do tempo gasto de 5 a 10 min 1 - Clculo do representante da classe seguido de manipulao numrica sem significado - 3 Denominador incorrecto (nmero de classes) na aplicao do algoritmo da mdia - 1 Outras respostas (por exemplo, construo da tabela de frequncias na vertical) 4 -

Tabela 1 Respostas incorrectas no clculo da mdia.

Quanto mediana houve em todas as questes uma acentuada melhoria da sua

compreenso com o desenvolvimento da unidade curricular, embora tenham persistido

incorreces na sua determinao no caso das variveis quantitativas discretas.

Por exemplo, na questo envolvendo este tipo de variveis (Questo 3.3.), no

questionrio inicial, verificou-se a inexistncia de respostas correctas e mais de metade

dos alunos (27 alunos) no respondeu. J no questionrio final, 18 alunos responderam

correctamente questo. Em ambos os casos o erro mais frequente foi a no ordenao

dos dados para determinar o valor da mediana, indicando assim a mdia dos dois

valores centrais (ou indicando que a mediana est entre esses dois valores) de acordo

com a sequncia apresentada no enunciado.

Aplicao dos conceitos de moda, mdia e mediana. Na aplicao dos conceitos de

mdia, moda e mediana na resoluo de problemas verificmos que, aps a interveno

da unidade didctica, os alunos revelaram conhecimentos mais consolidados, embora

continuassem a manifestar algumas dificuldades em trabalhar simultaneamente com

vrios conceitos.

No problema apresentado (Questo 4.), no questionrio inicial, 27 alunos no tentaram

qualquer resposta. Dos 13 alunos que responderam, 10 indicaram apenas os dados

fornecidos no problema e 3 apresentaram respostas incorrectas (clculo da mdia dos

nmeros apresentados no enunciado ou considerao apenas do critrio da moda). No

questionrio final, 9 alunos no responderam, 6 apresentaram uma resposta correcta

(utilizao dos critrios da moda, mdia, mediana e amplitude com justificao), 12

apresentaram respostas incorrectas, mas recorrendo aos critrios da mdia, da moda e da

mediana, esquecendo o critrio da amplitude, 4 basearam-se apenas em alguns dos

quatro critrios, e os restantes apresentaram clculos ou solues sem significado

evidente.

Interpretaes sobre moda, mdia, mediana. Quanto s interpretaes sobre moda,

mdia e mediana, constatmos uma interpretao instrumental dos conceitos por parte

dos alunos, centrando-se na utilizao e aplicao de frmulas ou processos de clculo.

Na Questo 5.1., no questionrio inicial, 14 alunos no apresentaram qualquer resposta

relativamente moda, um associou-a ao maior nmero que incide numa tabela de

resultados e os restantes evidenciaram um entendimento do conceito, associando-a a

algo a que corresponde a maior frequncia absoluta. No entanto, referem-se moda

mais como um nmero ou valor (nmero que se repete mais vezes) e menos como

uma categoria. Estas interpretaes mantm-se no questionrio final pois, embora todos

os alunos tivessem respondido e, de uma maneira geral, considerassem a moda como o

valor que aparece mais vezes, apenas trs alunos a referenciaram como categoria ou

classe de maior frequncia.

Na mdia (Questo 5.2.), verificou-se uma melhoria significativa dos desempenhos do

questionrio inicial para o final mantendo-se, no entanto, a associao mdia-algoritmo

como raciocnio predominante (Tabela 2).

N. de alunos Tipo de resposta QI QF Associao mdia-algoritmo 12 20 Noo de equilbrio 1 12 Respostas inconsistentes 9 7 No responde 18 1

Tabela 2 Interpretaes sobre mdia.

Em relao mediana (Questo 5.3.), houve um aumento significativo de respondentes

do questionrio inicial para o final, o que denota uma melhor percepo do seu

significado embora ainda baseada, implicitamente, em processos de clculo (Tabela 3).

N. de alunos Tipo de resposta QI QF Valor/nmero que est no meio, central, intermdio 12 20 Indicao de outra designao de mediana: o quartil 2 2 - Confuso entre mediana e mdia: o nmero mdio de todos os resultados 1 3 No responde 34 1

Tabela 3 Interpretaes sobre mediana.

Trabalho do professor

Uma das concluses deste estudo sustenta que, de uma maneira geral, a unidade

curricular permitiu que os alunos aprofundassem, alterassem ou consolidassem os seus

conhecimentos estatsticos, especialmente no domnio da compreenso dos conceitos

(Martins, Pires & Barros, 2009). Contudo, este sucesso promoveu a nossa prpria

reflexo sobre o processo, enquadrada por questes do tipo: Que aspectos foram

valorizados na preparao e concretizao das aulas?, O que foi considerado na seleco

das tarefas de ensino?, Que papel foi assumido pelo professor?, ou Que papel foi

desempenhado pelos alunos?.

Na preparao das aulas e, consequentemente, na sua concretizao, a diversificao de

estratgias foi um dos aspectos valorizados. A resoluo de tarefas de natureza mais

fechada, bem como outras mais abertas envolvendo a aplicao de conceitos, foram

previstas na planificao. Tanto foram propostas situaes que envolviam apenas o

clculo de modas, mdias e medianas, como outras que implicavam a aplicao e

relao entre esses conceitos. Por exemplo, em algumas tarefas

propostas pretendamos que os alunos determinassem medidas de

tendncia central dado, por exemplo, um conjunto de dados

organizados num grfico de barras: Os alunos de uma turma de 9. ano resolveram construir

um grfico de barras comparando, no fim do 1. perodo, as classificaes a Portugus e a

Matemtica. Determine, para cada disciplina, a mdia, a moda e a mediana das classificaes.

Noutras tarefas, pretendamos que os alunos determinassem um dado desconhecido

tendo por base a aplicao do conceito de mdia: A mdia das idades de um grupo de trs

amigos 15 anos. Juntou-se ao grupo um outro amigo. Sabendo que a mdia das idades dos

quatro amigos passou a ser 16 anos, determine a idade do amigo que se juntou ao grupo.

No desenvolvimento das aulas, houve a inteno primeira de partir dos conhecimentos

prvios e das dificuldades dos alunos, a par da preocupao em clarificar e sistematizar

os diferentes conceitos e procedimentos abordados. A discusso sobre o entendimento

dos conceitos, muitas vezes concretizada atravs do questionamento sobre o significado

dos resultados, estiveram presentes nas diversas propostas de trabalho. Tambm as

orientaes curriculares para o ensino bsico, especificamente as finalidades do ensino

da estatstica, enquadraram o trabalho desenvolvido.

A realizao de um trabalho em grupo (Vamos conhecer a nossa turma), cujo objectivo

era conhecer caractersticas da turma (idade, hbitos alimentares, gostos de leitura,

perspectivas de futuro...), aplicando o mtodo estatstico com recurso a meios

informticos, foi outra das estratgias seguidas. Para isso, cada grupo: (i) construiu um

questionrio sobre um tema que considerou relevante estudar na turma; (ii) fez a

respectiva recolha e organizao de dados, analisou e interpretou a informao obtida e

tirou as respectivas concluses; e (iii) apresentou os resultados da pesquisa aos restantes

elementos da turma. Ao longo da realizao do trabalho, nas aulas, foram discutidos e

clarificados conceitos e procedimentos necessrios para a sua concretizao.

A integrao do processo de avaliao no prprio processo de ensino e aprendizagem e

a diversificao das formas de avaliao, valorizando quer o seu carcter formativo quer

o sumativo, possibilitaram acompanhar e verificar os conhecimentos adquiridos pelos

alunos e reformular as estratgias e prticas de ensino.

O papel assumido pelo professor baseou-se nas opes referenciadas na preparao e

concretizao das aulas, tendo, de uma forma geral, desempenhado o papel de

orientador e moderador, propondo tarefas, questionando e clarificando ideias,

fomentando a discusso, e reflectindo sobre o trabalho realizado e sobre as dificuldades

dos alunos. Consequentemente, ao aluno foi reservado o papel de construtor do prprio

conhecimento, valorizando as suas intervenes e promovendo a sua participao activa

na negociao de significados e procedimentos adequados s propostas de trabalho.

Consideraes finais

A realizao deste estudo, que pretendia identificar conhecimentos estatsticos que

futuros educadores e professores revelam no incio da licenciatura e verificar como a

interveno da unidade curricular Nmeros e Estatstica influencia esses

conhecimentos, permitiu-nos reflectir sobre as diferentes dimenses envolvidas, das

quais destacamos duas especialmente relevantes.

Por um lado, importante valorizar e discutir, com os alunos, os significados dos

conceitos e dos resultados obtidos, dependentes de contextos diversos, de forma a

promover uma aprendizagem mais segura e profunda da estatstica (Batanero, 2000a).

Por outro lado, importante perceber que a construo do conhecimento dos alunos

deve ter em conta as suas necessidades e dificuldades e deve influenciar as opes do

professor. Tal como referem Boaventura e Fernandes (2004, p. 122), pensamos que se,

ns, professores, nos propusermos estudar as dificuldades e erros dos alunos estamos a

desenvolver a nossa compreenso sobre os seus raciocnios, o que nos permite

aperfeioar a nossa actuao profissional no sentido de os ajudarmos mais eficazmente a

ultrapassar as suas dificuldades e a melhorarem o seu desempenho.

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