Modelação computacional do escoamento deslizante sobre ... · Ao Daniel Valero pela completa...

Modelação computacional do escoamento deslizante sobre

turbilhões em descarregadores de cheias em degraus com

paredes convergentes

Ana Filipa Piedade Nunes

Dissertação para a obtenção do Grau de Mestre em

Engenharia Civil

Orientadores

Professor Doutor Jorge de Saldanha Gonçalves Matos

Professora Doutora Inês Osório de Castro Meireles

Júri

Presidente: Professor Doutor António Alexandre Trigo Teixeira

Orientador: Professor Doutor Jorge de Saldanha Gonçalves Matos

Vogais: Professor Doutor António Alberto do Nascimento Pinheiro

Professora Doutora Maria Rita Lacerda Morgado Fernandes de

Carvalho Mesquita David

Janeiro de 2017

“Learn from yesterday, live for today, hope for tomorrow. The important thing is not to stop questioning.”

Albert Einstein, 1879-1955

iii

Agradecimentos

Ao Professor Jorge de Saldanha Matos pelo voto de confiança que fez em mim há um ano atrás, pela

orientação perspicaz desta dissertação, pelo apoio contínuo e pelas palavras amigas. Todo o seu apoio

e ensinamentos ajudaram-me a crescer enquanto pessoa e estudante desta instituição.

À Professora Inês Meireles pela revisão cuidada que fez a esta dissertação, bem como pelos

esclarecimentos e sugestões prestadas.

À Inês Lúcio agradeço por me ter orientado nos meus primeiros passos nesta dissertação, pelas horas

despendidas a introduzir-me ao FLOW-3D® e no desenvolvimento dos meus primeiros modelos

numéricos. A tua experiência traduzida em conselhos fundamentais à estruturação desta tese e todo o

teu auxílio na adaptação do modelo foram indispensáveis à finalização deste projeto.

Ao Professor António Trigo Teixeira pela simpatia e apoio durante a minha estadia no Brasil, e por

todos os conselhos valiosos durante o meu percurso académico.

Ao Daniel Valero pela completa disponibilidade no esclarecimento de questões técnicas relativas ao

FLOW-3D® e pelas sugestões cruciais para melhorar resultados.

À Vera Almeida e ao Eddy Pereira pela partilha de conhecimentos, pelos debates de ideias e por toda

a ajuda na resolução de particularidades do FLOW-3D®.

A todos os meus colegas do gabinete de bolseiros de Hidráulica, Recursos Hídricos e Ambientais pelos

bons momentos de confraternização e partilha de conhecimentos. Em especial à Daniela Urbano pela

boa disposição e disponibilidade em ouvir os meus devaneios na escrita desta tese.

Ao Grupo Local BEST Lisboa e a todos os seus membros e alumni, por terem transformado a minha

vida universitária e por me terem ensinado a olhar para a vida com uma nova perspetiva. Por me terem

dado todas as oportunidades para crescer nesta organização, por todas as memórias e experiências e

pelas amizades que ficarão para sempre.

À Daniela Fonseca, Cláudia Faria, Luís Alves, Sandra Figueirinha, Carolina Jarimba, Rita Carvalho e

Madalena Costa e Silva pela amizade, apoio incondicional, incentivo e, principalmente, por acreditarem

sempre em mim e nas minhas capacidades. O vosso apoio foi essencial para tornar este percurso

possível e bastante mais divertido. Para todos os meus outros amigos, não existem palavras suficientes

para agradecer! Posso apenas dizer que fico de coração cheio ao pensar em todas as aventuras e

experiências que vivemos em conjunto.

Ao meu pai por me incutir o “perfecionismo” no trabalho e pela possibilidade que me deu de estudar

longe de casa e poder realizar um ano de intercâmbio no Brasil.

iv

À minha mãe e minha melhor amiga, ouvinte e conselheira, agradeço por tudo! Sem ti, sem o teu

incentivo constante, sem o teu apoio incondicional, não teria terminado esta longa jornada. És a minha

heroína e a pessoa que aspiro a ser. Esta tese é dedicada a ti, à tua entrega, esforço e sacrifício que

me trouxeram a este ponto da minha vida.

v

Resumo

A construção de descarregadores de cheias de barragens em degraus tem vindo a ser fortemente

implementada, devido, essencialmente, à utilização da técnica de betão compactado por cilindros. Uma

variante desta tipologia, que se afigura interessante, resulta da aplicação de paredes convergentes ao

longo do canal descarregador. Esta solução possibilita o aumento da largura da crista do descarregador

em relação à do pé do descarregador e, consequentemente, uma diminuição da carga sobre a crista,

para idêntico caudal. Contudo, apresenta como desvantagens o desenvolvimento de ondas

estacionárias oblíquas e um maior empolamento da veia líquida próximo das paredes, sendo

necessário prever uma folga adequada no seu dimensionamento, para evitar o galgamento.

Nesta dissertação, apresentam-se resultados de um estudo numérico 3D desenvolvido com recurso à

modelação CFD (Computational Fluid Dynamics) aplicando o software FLOW-3D®. Analisam-se as

principais caraterísticas do escoamento num descarregador com paredes convergentes (alturas e

distribuição de velocidades da água) e procede-se à comparação dos resultados obtidos com os

adquiridos numa instalação experimental com declive típico do paramento de jusante de pequenas

barragens de aterro.

Em geral, obteve-se uma boa concordância entre os resultados numéricos e experimentais ao longo

da soleira espessa e do canal descarregador com paredes convergentes, com exceção das alturas do

escoamento no descarregador com maior ângulo de convergência. A modelação computacional do

escoamento em descarregadores em degraus com paredes fortemente convergentes, assim como a

jusante da secção de afloramento da camada limite, continua a constituir um desafio para o

desenvolvimento da investigação neste domínio.

Palavras-Chave: descarregador de cheias em degraus; escoamento deslizante sobre turbilhões;

dinâmica de fluidos computacional; paredes convergentes; ondas estacionárias oblíquas; FLOW-3D®.

vii

Abstract

There has been a significant increase in the use of stepped spillways, which is closely linked to the use

of roller compacted concrete as a construction technique applied to dam engineering. An interesting

alternative configuration to the typical stepped spillway is the use of converging side-walls along the

chute. This typology of spillway enables the increase of the crest length in relation to the chute width at

the toe, allowing a decrease of the head above the crest, for identical discharge. However, a wall

deflection induces undesired cross-waves by increasing the flow depths in the vicinity of the wall, this

will require new design guidelines that can predict the minimum vertical training wall height necessary

to prevent overtopping.

This dissertation presents a 3D numerical study developed with CFD (Computational Fluid Dynamics)

models using the commercial software code FLOW-3D®. Flow characteristics along the converging

spillway (flow depths and velocity profiles) were evaluated and compared with those acquired at an

experimental facility of a stepped spillway with a sloping chute representative of small embankment

dams.

In general, a good correlation was found between numerical and experimental data along the broad

crested weir and the converging stepped spillway, with the exception of the flow depths obtained for the

chute with greater side-wall convergence. However, the precise CFD modelling of the flow on stepped

chutes with large convergence angles, as well as the self-aerated flow region, downstream of the

inception point, remains a challenge for further research in this field.

Key-words: stepped spillway; skimming flow; computational fluid dynamics; side-wall convergence;

cross-waves; FLOW-3D®.

ix

Índice do texto

1 Introdução ...................................................................................................................................... 1

1.1 Enquadramento geral ............................................................................................................. 1

1.2 Objetivos ................................................................................................................................. 3

1.3 Estrutura da dissertação ......................................................................................................... 4

2 Revisão bibliográfica .................................................................................................................... 5

2.1 Tipos de escoamento em descarregadores em degraus ........................................................ 5

2.2 Escoamento deslizante sobre turbilhões ................................................................................ 5

2.3 Desenvolvimento e afloramento da camada limite ................................................................. 7

2.3.1 Considerações gerais ......................................................................................................... 7

2.3.2 Secção de afloramento da camada limite ........................................................................... 8

2.4 Onda estacionária oblíqua nos descarregadores convergentes ........................................... 10

3 Instalação experimental .............................................................................................................. 13

4 Modelação numérica de fluidos ................................................................................................. 15

4.1 Fundamentos teóricos .......................................................................................................... 15

4.1.1 Caraterização da turbulência ............................................................................................ 16

4.1.2 Modelos de resolução numérica da turbulência................................................................ 18

4.2 Modelo numérico – CFD ....................................................................................................... 19

4.2.1 Métodos numéricos .......................................................................................................... 20

4.2.1.1 Método dos volumes finitos ...................................................................................... 20

4.2.1.2 Método VOF.............................................................................................................. 21

4.2.2 Geração da malha de cálculo ........................................................................................... 22

4.2.2.1 Método FAVORTM ..................................................................................................... 23

4.2.3 Modelos de turbulência ..................................................................................................... 24

4.2.4 Condições de fronteira e condições iniciais ...................................................................... 25

4.2.5 Efeitos de parede .............................................................................................................. 26

5 Estabelecimento de parâmetros do modelo numérico ............................................................ 27

5.1 Geometria ............................................................................................................................. 27

5.2 Malha de cálculo ................................................................................................................... 29

5.3 Condições de fronteira .......................................................................................................... 30

x

5.4 Condições de inicialização e finalização ............................................................................... 32

5.5 Modelos físicos ..................................................................................................................... 32

5.6 Opções numéricas ................................................................................................................ 33

5.6.1 Considerações prévias ..................................................................................................... 33

5.6.2 Métodos de aproximação numérica da equação de conservação da quantidade de

movimento ..................................................................................................................................... 34

5.7 Metodologia para obtenção de grandezas caraterísticas do escoamento ............................ 35

6 Análises de sensibilidade ........................................................................................................... 37

6.1 Convergência ....................................................................................................................... 38

6.2 Soleira descarregadora ........................................................................................................ 39

6.2.1 Alturas do escoamento ..................................................................................................... 39

6.2.2 Perfis de velocidade do escoamento ................................................................................ 41

6.3 Independência da malha ...................................................................................................... 43

6.3.1 Tipologia A - Configuração A e degraus com hd=2,5 cm .................................................. 43

6.3.2 Tipologia B - Configuração A e degraus com hd=5,0 cm .................................................. 45

6.4 Aplicação da condição de fronteira de simetria .................................................................... 48

7 Resultados ................................................................................................................................... 51

7.1 Caudal .................................................................................................................................. 51

7.2 Alturas do escoamento no canal descarregador................................................................... 52

7.2.1 Considerações gerais ....................................................................................................... 52

7.2.2 Comparação entre resultados numéricos e experimentais ............................................... 55

7.3 Perfis de velocidade do escoamento no canal descarregador ............................................. 61

7.3.1 Considerações gerais ....................................................................................................... 61

7.3.2 Comparação entre resultados numéricos e experimentais ............................................... 69

7.4 Largura da onda estacionária oblíqua .................................................................................. 73

8 Conclusões e desenvolvimentos futuros ................................................................................. 77

8.1 Conclusões ........................................................................................................................... 73

8.2 Desenvolvimentos futuros .................................................................................................... 80

Bibliografia .......................................................................................................................................... 81

Anexo A Modelos de resolução numérica de turbulência................................................................... I

A.1 Equações médias de Reynolds ............................................................................................... I

A.2 Modelos de turbulência ........................................................................................................... II

xi

Anexo B Regime permanente ........................................................................................................ VII

Anexo C Alturas e perfis de velocidade do escoamento no canal descarregador ......................... VIII

C.1 Diferenças relativas referentes às alturas do escoamento para o descarregador em degraus

com hd=5,0 cm e duas paredes convergentes de 9,9⁰ .................................................................... VIII


com hd=2,5 cm de altura e duas paredes convergentes de 9,9⁰ ........................................................ X

C.3 Diferenças relativas referentes às alturas do escoamento para o descarregador com

paramento liso e duas paredes convergentes de 9,9⁰ .................................................................... XIII


com hd=5,0 cm de altura e uma parede convergente com θ=19,3⁰ ................................................ XIV

C.5 Perfis de velocidade no canal descarregador com paramento em degraus com hd=2,5 cm e

duas paredes convergentes para Q=42 l/s ..................................................................................... XVI

Anexo D Ondas estacionárias oblíquas no descarregador com paredes convergentes.............. XVIII

xiii

Índice de figuras

Figura 1.1 - Barragem de Pedrógão (Fot.: EDIA, 2016). ........................................................................ 1

Figura 1.2 - Proteção do paramento de jusante de barragens de aterro em BCC: (a) Barragem de Goose

Pasture, EUA, finalizada em 1991 (Fot.: P. Guedes de Melo, in Matos e Meireles, 2014); (b) Barragem

de Yellow River Watershed No. 14, EUA, reabilitada em 2004 (Fot.: J. Matos, in Matos e Meireles,

2014). ..................................................................................................................................................... 2

Figura 1.3 - Galgamento da parede lateral convergente (θ=52⁰) num descarregador em degraus com

declive 1V:3H e caudal Q=763 m3/s (Fot.: Woolbright, 2008). ............................................................... 2

Figura 1.4 - Exemplo de modelos CFD de descarregadores de cheias com paredes convergentes da

barragem Lake Manchester, Austrália (Lesleighter et al., 2008). ........................................................... 3

Figura 2.1 - Escoamento deslizante sobre turbilhões. Subtipos: (a) preenchimento parcial da soleira do

degrau pelo escoamento secundário; (b) preenchimento praticamente integral da soleira do degrau pelo

escoamento secundário; (c) escoamento com recirculação estável do escoamento secundário

(adaptado de Gonzalez, 2005). .............................................................................................................. 6

Figura 2.2 - Trechos do escoamento em regime deslizante sobre turbilhões sobre um descarregador

em degraus típico de uma pequena barragem de aterro (adaptado de Meireles e Matos, 2008). ......... 7

Figura 2.3 - Esquema ilustrativo dos parâmetros utilizados para a medição do ponto de início de

arejamento (adaptado de Meireles e Matos, 2008; Faria, 2014). ........................................................... 9

Figura 2.4 - Desenvolvimento da onda estacionária oblíqua junto da parede convergente representada

esquematicamente (adaptado de Zindovic et al., 2016). ...................................................................... 11

Figura 2.5 - Onda estacionária oblíqua que se forma junto da parede direita do descarregador liso com

uma parede convergente; Q = 27,9 l/s; tg θ = 0,5 (Fot.: André e Ramos, 2003). ................................. 11

Figura 3.1 - Instalação experimental: (a) vista geral; (b) escoamento sobre o descarregador com uma

parede convergente (θ=19,3°; hd=5,0 cm) para Q=75 l/s; (c) entrada de ar no seio do escoamento

(descarregador com uma parede convergente θ=19,3°, hd=5,0 cm e Q=50 l/s); (d) descarregador com

duas paredes convergentes (θ=9,9°; hd=2,5 cm) (Fot.: André e Ramos, 2003; Cabrita, 2007). ........... 14

Figura 4.1 - Repartição de energia no domínio da frequência ou número de onda (adaptado de Eça,

2015a). ................................................................................................................................................. 18

Figura 4.2 - Grau de modelação e custo computacional de modelos de turbulência (adaptado de

Rezende, 2009). ................................................................................................................................... 19

Figura 4.3 - Relações entre os três elementos principais de um software CFD (adaptado de Versteeg e

Malalasekera, 1995; Jiyuan et al., 2008). ............................................................................................. 20

Figura 4.4 - Exemplo de valores de distribuição da função Ϝ perto da superfície livre (Okamori, 2016).

............................................................................................................................................................. 21

Figura 4.5 - Tipologias para geração de malhas de cálculo: (a) Nested mesh blocks; (b) Linked mesh

blocks (Flow Science, Inc., 2016). ........................................................................................................ 22

Figura 4.6 - Alinhamento entre células a evitar (à esquerda) e alinhamento aconselhado (à direita)

(adaptado de Burnham, 2011a). ........................................................................................................... 23

Figura 4.7 - Consequências da aplicação do método FAVORTM (Flow Science, Inc., 2015)................ 23

xiv

Figura 5.1 - Aplicação do método FAVORTM na geometria construída componente a componente para

o descarregador com duas paredes convergentes e altura dos degraus igual a hd=2,5 cm. ............... 27

Figura 5.2 - Geometria da configuração A (θ=9,9°; hd=5,0 cm). ........................................................... 28

Figura 5.3 - Geometria da configuração B (θ=19,3°; hd=5,0 cm). ......................................................... 28

Figura 5.4 - Metade do domínio computacional (corte da configuração A em y=0) para θ=9,9° e hd=5,0

cm. ....................................................................................................................................................... 28

Figura 5.5 - Bloco 1 (a azul) e Bloco 2 (a amarelo) para descarregador em degraus com hd=5,0 cm. 30

Figura 5.6 - Número de Froude na fronteira de jusante, Xmáx. .............................................................. 31

Figura 5.7 - Ficheiro de coordenadas (a rosa) do programa MATLAB: (a) coordenadas para obtenção

do perfil de velocidades na vertical 5; (b) coordenadas para obtenção da altura do escoamento

relativamente à soleira fictícia (adaptado de Lúcio, 2015).................................................................... 36

Figura 6.1 - Monitorização do critério de convergência no decorrer de uma das simulações efetuadas

(configuração A; hd= 5,0cm, Q=35 l/s, malha 2). .................................................................................. 38

Figura 6.2 - Evolução das alturas de escoamento na soleira: comparação entre os resultados

experimentais de Cabrita (2007) e numéricos (malha 2). ..................................................................... 39

Figura 6.3 - Alturas de escoamento na soleira: comparação entre os resultados numéricos obtidos no

presente estudo e os obtidos por Lúcio (2015). ................................................................................... 40

Figura 6.4 - Perfis de velocidade do escoamento na soleira para Q=56 l/s obtidos no presente estudo

(malha 2) e nos estudos de Cabrita (2007) e Lúcio (2015) (malha 4 definida em Lúcio, 2015): (a) secção

1; (b) secção 2; (c) secção 3; (d) secção 4........................................................................................... 41

Figura 6.5 - Alturas do escoamento no eixo do canal descarregador para duas paredes convergentes

com ângulo de 9,9⁰ (Q=35 l/s e hd=2,5 cm). ......................................................................................... 43

Figura 6.6 - Alturas do escoamento na parede direita do canal descarregador para duas paredes

convergentes com ângulo de 9,9⁰ (Q=35 l/s e hd=2,5 cm). .................................................................. 44

Figura 6.7 - Perfis de velocidade no canal descarregador para 2 paredes convergentes com ângulo de

9,9⁰ (Q=35 l/s e hd=2,5 cm): (a) vertical 2, L=0,11 m; (b) vertical 4, L=0,22 m; (c) vertical 6, L=0,34 m;

(d) vertical 8, L=0,45 m. ........................................................................................................................ 45

Figura 6.8 - Alturas do escoamento no eixo do canal descarregador para duas paredes convergentes

com ângulo de 9,9⁰ (Q=35 l/s e hd=5,0 cm). ......................................................................................... 46


convergentes com ângulo de 9,9⁰ (Q=35 l/s e hd=5,0 cm). .................................................................. 46

Figura 6.10 - Perfis de velocidade no canal descarregador para duas paredes convergentes com ângulo

de 9,9⁰ (Q=35 l/s e hd=5,0 cm): (a) vertical 1, L=0,11 m; (b) vertical 2, L=0,22 m; (c) vertical 3, L=0,34

m; (d) vertical 4, L=0,45 m; (e) vertical 5, L=0,56 m; (f) vertical 6, L=0,67 m. ...................................... 47

Figura 6.11 - Comparação das alturas do escoamento no eixo do descarregador para domínio total do

modelo numérico versus modelo com imposição de condição de fronteira de simetria (duas paredes

convergentes e malha 4; θ=9,9⁰; Q=49 l/s e hd=5,0 cm). ..................................................................... 49

Figura 6.12 - Comparação das alturas do escoamento na parede direita do descarregador para domínio

total do modelo numérico versus modelo com imposição de condição de fronteira de simetria (duas

paredes convergentes e malha 4; θ=9,9⁰; Q=49 l/s e hd=5,0 cm). ....................................................... 49

xv

Figura 6.13 - Comparação dos perfis de velocidade no eixo do descarregador para domínio total do

modelo numérico versus modelo com imposição de condição de fronteira de simetria (2 paredes

convergentes; θ=9,9⁰; Q=49 l/s e hd=5,0 cm): (a) vertical 1, L=0,11 m; (b) vertical 2, L=0,22 m; (c) vertical

3, L=0,34 m; (d) vertical 4, L=0,45 m; (e) vertical 5, L=0,56 m; (f) vertical 6, L=0,67 m. ...................... 50

Figura 7.1 - Evolução temporal do caudal nas fronteiras de montante e jusante para a configuração A.

............................................................................................................................................................. 51

Figura 7.2 - Alturas do escoamento no eixo do descarregador obtidas numericamente para os caudais

em estudo e para a configuração A: (a) hd=5,0 cm; (b) hd=2,5 cm; (c) liso. ......................................... 53

Figura 7.3 - Alturas do escoamento na parede esquerda do descarregador (parede com a direção do

escoamento) obtidas numericamente para os caudais em estudo e para a configuração B e hd=5,0 cm.

............................................................................................................................................................. 54

Figura 7.4 - Alturas do escoamento na parede direita do descarregador obtidas numericamente para os

caudais em estudo e para a configuração A: (a) hd=5,0 cm; (b) hd=2,5 cm; (c) liso. ............................ 54

Figura 7.5 - Alturas do escoamento na parede direita do descarregador (parede convergente) obtidas

numericamente para os caudais em estudo e para a configuração B e hd=5,0 cm. ............................. 55

Figura 7.6 - Comparação das alturas do escoamento no descarregador obtidas numericamente e os

resultados experimentais de Cabrita (2007) para o descarregador em degraus de 5,0 cm e configuração

A: (a1) 35 l/s, eixo; (a2) 35 l/s, parede direita; (b1) 42 l/s, eixo; (b2) 42 l/s, parede direita; (c1) 49 l/s,

eixo; (c2) 49 l/s, parede direita; (d1) 56 l/s, eixo; (d2) 56 l/s, parede direita. ........................................ 57


resultados experimentais de Cabrita (2007) para o descarregador em degraus de 2,5 cm e para a

configuração A: (a1) 35 l/s, eixo; (a2) 35 l/s, parede direita; (b1) 42 l/s, eixo; (b2) 42 l/s, parede direita;

(c1) 49 l/s, eixo; (c2) 49 l/s, parede direita; (d1) 56 l/s, eixo; (d2) 56 l/s, parede direita. ...................... 58


resultados experimentais de Cabrita (2007) para o descarregador com paramento liso e para a

configuração A: (a1) 35 l/s, eixo; (a2) 35 l/s, parede direita; (b1) 56 l/s, eixo; (b2) 56 l/s, parede direita.

............................................................................................................................................................. 59


resultados experimentais de Cabrita (2007) para o descarregador em degraus de 5,0 cm e configuração

B (parede convergente ≡ parede direita): (a1) 35 l/s, parede esquerda; (a2) 35 l/s, parede direita; (b1)

42 l/s, parede esquerda; (b2) 42 l/s, parede direita; (c1) 49 l/s, parede esquerda; (c2) 49 l/s, parede

direita; (d1) 56 l/s, parede esquerda; (d2) 56 l/s, parede direita. .......................................................... 60

Figura 7.10 - Perfis de velocidade no canal descarregador com degraus de 5,0 cm de altura e

configuração A, para os caudais de: (a) 35 l/s; (b) 42 l/s; (c) 49 l/s; (d) 56 l/s. ..................................... 61

Figura 7.11 - Perfis de velocidade no canal descarregador com degraus de 2,5 cm de altura e

configuração A, para os caudais de: (a) 35 l/s; (b) 42 l/s; (c) 49 l/s; (d) 56 l/s. ..................................... 63

Figura 7.12 - Perfis de velocidade no canal descarregador com paramento convencional e configuração

A, para os caudais de: (a) 35 l/s; (b) 56 l/s. .......................................................................................... 64

xvi

Figura 7.13 - Comparação entre perfis de velocidade do escoamento para a configuração A e para cada

tipo de paramento (Q=35 l/s): (a) vertical 1/2; (b) vertical 2/4; (c) vertical 3/6; (d) vertical 4/8; (e) vertical

5/10; (f) vertical 6/12. ............................................................................................................................ 65

Figura 7.14 - Comparação entre perfis de velocidade do escoamento para a configuração A e para cada

tipo de paramento (Q=56 l/s): (a) vertical 1/2; (b) vertical 2/4; (c) vertical 3/6; (d) vertical 4/8; (e) vertical

5/10; (f) vertical 6/12; (g) vertical 7/14; (h) vertical 8/16........................................................................ 66

Figura 7.15 - Campo de velocidades (m/s) ao longo do eixo do descarregador de duas paredes

convergentes para 35 l/s: (a) descarregador com paramento convencional; (b) descarregador em

degraus com hd=2,5 cm........................................................................................................................ 68

Figura 7.16 - Distribuição transversal do campo de velocidades (m/s) para t=120s e caudal de 49 l/s:

(a) descarregador com duas paredes convergentes em degraus (θ=9,9⁰; hd=5,0 cm); (b) descarregador

com uma parede convergente em degraus (θ=19,3⁰; hd=5,0 cm). ....................................................... 69

Figura 7.17 - Comparação entre perfis de velocidade experimentais e numéricos no canal

descarregador com duas paredes convergentes e degraus com 5,0 cm de altura para Q=56 l/s: (a)

vertical 1; (b) vertical 2; (c) vertical 3; (d) vertical 4; (e) vertical 5; (f) vertical 6. ................................... 70

Figura 7.18 - Comparação entre perfis de velocidade experimentais e numéricos no canal

descarregador com duas paredes convergentes e degraus com 2,5 cm de altura para Q=56 l/s: (a)

vertical 1; (b) vertical 3; (c) vertical 5; (d) vertical 7; (e) vertical 9; (f) vertical 11; (g) vertical 13; (h) vertical

15; (i) vertical 17. .................................................................................................................................. 71

Figura 7.19 - Comparação entre perfis de velocidade experimentais e numéricos em quatro verticais do

canal descarregador liso para a configuração A: (a) Q=35 l/s; (b) Q=56 l/s. ........................................ 72

Figura 7.20 - Alturas do escoamento ao longo da secção transversal da segunda vertical do

descarregador (Q=35 l/s): (a) descarregador com duas paredes convergentes (θ=9,9°; hd=5,0 cm); (b)

descarregador com uma parede convergente (θ=19,3°; hd=5,0 cm). ................................................... 74

Figura 7.21 - Largura da onda estacionária oblíqua ao longo do descarregador que adota a configuração

A para valores numéricos (parede direita) e experimentais (parede esquerda): (a) hd=5,0 cm; (b) hd=2,5

cm; (c) liso. ........................................................................................................................................... 75

Figura 7.22 - Largura da onda estacionária oblíqua ao longo do descarregador que adota a configuração

B para valores numéricos (parede direita) e experimentais (parede esquerda) e altura dos degraus igual

a hd=5,0cm. .......................................................................................................................................... 76

Figura A.1 - Modelos de turbulência (adaptado de Meireles, 2011 in Lúcio, 2015). .............................. III

Figura B.1 - Monitorização de variáveis de avaliação da estacionaridade do escoamento: (a) energia

cinética média do escoamento (J/kg); (b) energia cinética turbulenta média (J/kg); (c) dissipação média

da energia cinética turbulenta (J/kg/s); (d) massa de fluido total (kg). ................................................ VII

Figura C.1 - Comparação entre perfis de velocidade experimentais e numéricos no canal descarregador

com duas paredes convergentes e degraus com 2,5 cm de altura para Q=42 l/s: (a) vertical 1; (b) vertical

3; (c) vertical 5; (d) vertical 7; (e) vertical 9; (f) vertical 11; (g) vertical 13; (h) vertical 15; (i) vertical 17.

........................................................................................................................................................... XVI

Figura D.1 - Esquema da secção transversal do escoamento na vertical 4 do descarregador em degraus

com duas paredes convergentes (hd=5,0 cm; Q=49 l/s). .................................................................. XVIII

xvii

Figura D.2 - Alturas de escoamento ao longo da secção transversal da vertical do descarregador em

degraus com duas paredes convergentes (hd=5,0 cm; Q=49 l/s). .................................................... XVIII

Figura D.3 - Diferença das alturas do escoamento na vertical 4 em relação ao valor médio da secção

transversal (-0,1m < y < 0). ................................................................................................................ XIX

Figura D.4 - Comparação das larguras da onda estacionária oblíqua obtidas experimental e

numericamente ao longo do descarregador que adota a configuração A (Q=35 l/s; hd=5,0cm). ........ XX

xix

Índice de tabelas

Tabela 3.1 - Tipos de rugosidade testadas no paramento do canal descarregador. ............................ 13

Tabela 5.1 - Resumo das configurações realizadas no presente estudo. ............................................ 27

Tabela 5.2 - Malhas de cálculo utilizadas para a configuração A – duas paredes convergentes com

θ=9,9°. .................................................................................................................................................. 29

Tabela 5.3 - Malha de cálculo utilizada para a configuração B – uma parede convergente com θ=19,3°.

............................................................................................................................................................. 29

Tabela 6.1 - Resumo das simulações realizadas no presente estudo. ................................................ 37

Tabela 6.2 - Alturas de escoamento numéricas (hnum) e experimentais (hexp) na soleira descarregadora.

............................................................................................................................................................. 40

Tabela 6.3 - Diferenças relativas entre alturas de escoamento numéricas e experimentais na soleira.

............................................................................................................................................................. 40

Tabela 6.4 - Diferenças relativas entre alturas de escoamento obtidas numericamente no presente

estudo (hpres. estudo) e em Lúcio (2015) (hLúcio (2015)) na soleira descarregadora para Q=56 l/s. .............. 41

Tabela 7.1 - Diferenças relativas entre os caudais obtidos experimental e numericamente nas fronteiras

de montante e jusante para a configuração A (malha 4). ..................................................................... 51

Tabela A.1 - Termos da equação de transporte de energia cinética turbulenta, 𝑘. .............................. IV

Tabela A.2 - Termos das equações de transporte 𝑘 e 휀. ....................................................................... V

Tabela A.3 - Valores das constantes do modelo standard 𝑘 − 휀 (Isfahani e Brethour, 2009). ............... V

Tabela A.4 - Termos das equações de transporte 𝑘 e 휀. ...................................................................... VI

Tabela A.5 - Valores das constantes do modelo RNG 𝑘 − 휀 (Isfahani e Brethour, 2009). .................... VI

Tabela C.1 - Diferenças relativas entre as alturas do escoamento experimentais e numéricas para o

descarregador em degraus de 5,0 cm de altura e duas paredes convergentes: (a) Q=35 l/s; (b) Q=42

l/s; (c) Q=49 l/s; (d) Q=56 l/s. ............................................................................................................. VIII


descarregador em degraus de 2,5 cm de altura e duas paredes convergentes: (a) Q=35 l/s; (b) Q=42

l/s; (c) Q=49 l/s; (d) Q=56 l/s. ................................................................................................................ X


descarregador liso e duas paredes convergentes: (a) Q=35 l/s; (b) Q=56 l/s. ................................... XIII


descarregador em degraus de 5,0 cm de altura e com uma parede convergente (parede direita): (a)

Q=35 l/s; (b) Q=42 l/s; (c) Q=49 l/s; (d) Q=56 l/s. ............................................................................... XIV

Tabela D.1 - Alturas do escoamento na secção transversal da vertical 4 e respetivas diferenças

percentuais em relação ao valor médio. ............................................................................................. XIX

xxi

Simbologia

Latinas Minúsculas

𝑔 - aceleração da gravidade;

ℎ - altura do escoamento (altura equivalente de água num escoamento com

emulsionamento de ar);

ℎ𝑐 - altura crítica do escoamento, calculada por ℎ𝑐 = √𝑞2/𝑔3

;

ℎ𝑑 - altura do degrau;

ℎ𝑖 - altura do escoamento na SACL;

ℎ𝑝 - altura do escoamento potencial;

𝑘 - energia cinética turbulenta;

𝑘𝑑 - rugosidade absoluta para paramento liso, rugosidade de forma para paramento

em degraus (𝑘𝑑 = ℎ𝑑 cos 𝜃);

𝑘𝑠 - rugosidade das paredes laterais do descarregador;

𝑙𝑑 - comprimento do degrau;

𝑙𝑚 - comprimento de mistura;

𝑝 - pressão;

𝑞 - caudal de água unitário;

𝑡 - coordenada temporal;

𝑥𝑖 - coordenada espacial medida segundo a normal à soleira descarregadora (ou

soleira fictícia, no caso de descarregadores em degraus) desde a secção de

montante do canal descarregador até à SACL;

𝑦 - coordenada espacial medida segundo a normal à soleira descarregadora (ou

soleira fictícia, no caso de descarregadores em degraus).

xxii

Latinas Maiúsculas

𝐷 - unidade de comprimento caraterística do escoamento;

𝐷𝑖𝑓𝑓𝑘 - difusão de 𝑘;

𝐷𝑖𝑓𝑓𝜀 - difusão de 휀;

𝐹𝑟∗ - número de Froude definido em função da rugosidade de forma;

𝐺𝑇 - produção (ou decaimento) de energia cinética turbulenta devido a efeitos de

flutuação;

𝐻0 - energia específica do escoamento potencial medido em relação à soleira fictícia;

𝐿 - largura da onda estacionária oblíqua;

𝑙𝑐𝑎𝑛𝑎𝑙,𝑣 - largura de metade do canal descarregador para uma dada vertical;

𝑁 - parâmetro da distribuição adimensional de velocidades;

𝑃𝑇 - produção de energia cinética turbulenta;

𝑅𝑒 - número de Reynolds;

𝑈 - velocidade média do escoamento;

𝑉 - velocidade pontual do escoamento à distância y da soleira;

𝑉𝑚á𝑥 - velocidade máxima do escoamento na região exterior à camada limite (𝑦 > 𝛿, tal

que 𝑉𝑚á𝑥 = 𝑉𝑝);

𝑉𝑝 - velocidade potencial do escoamento.

Gregas Minúsculas

𝛿 - espessura da camada limite;

𝛿𝑖𝑗 - delta de Kronecker;

휀 - taxa de dissipação de energia cinética turbulenta;

𝜃 - ângulo que a soleira descarregadora faz com a horizontal;

𝜅 - número de onda;

xxiii

𝜇 - viscosidade dinâmica;

𝜇𝑇 - viscosidade turbulenta;

ν - viscosidade cinemática;

ν𝑇 - viscosidade cinemática turbulenta;

𝜌 - massa volúmica;

𝜐𝑡 - velocidade turbulenta;

𝜔 - taxa de dissipação de energia.

xxiv

Abreviaturas

ACI - American Concrete Institute;

BCC - Betão Compactado por Cilindros;

CFD - Computational Fluid Dynamics;

DNS - Direct Numerical Simulation;

EDT - Escoamento deslizante sobre turbilhões;

EPSI - Critério de convergência para o cálculo iterativo das pressões;

EQS - Escoamento em quedas sucessivas;

ECQM - Equação de conservação da quantidade de movimento;

FAVOR - Fractional Area/Volume Obstacle Representation;

GMRES - Generalized Minimum Residual Solver;

GUI - Graphical User Interface;

ICOLD - International Commission on Large Dams;

LES - Large Eddy Simulation;

RANS - Reynolds Averaged Navier-Stokes;

RNG - Renormalized Group;

SACL - Secção de afloramento da camada limite;

SK1 - Escoamento com recirculação instável e com interferência esteira-degrau;

SK2 - Escoamento com circulação instável e com interferência esteira-esteira;

SK3 - Escoamento com recirculação estável;

TLEN - Maximum Turbulent Length Scale;

TKE - Turbulent Kinetic Energy;

TRA - Escoamento de transição;

VOF - Volume of Fluid.

1

1 Introdução

1.1 Enquadramento geral

Os descarregadores de cheias em degraus têm vindo a ser crescentemente utilizados nas

últimas três décadas o que se deve, em grande parte, ao surgimento de novas técnicas

construtivas, nomeadamente o betão compactado por cilindros (BCC). É possível encontrar

diversas definições de BCC, sendo a mais aceite a do American Concrete Institute (ACI, 1999),

que define o betão compactado por cilindros como uma mistura com os mesmos constituintes de

um betão convencional – cimento, água, agregados e ocasionalmente adjuvantes – distinguindo-

se deste pelo seu método de colocação e consolidação através de compactação alternada,

recorrendo a cilindros vibradores (vibração externa). Estas caraterísticas tornam o BCC um betão

simples e de rápida aplicação, o que poderá conduzir a uma significativa redução de custos,

consoante o local ou o tipo de barragem o permitam.

Embora a aplicação desta técnica na construção de estruturas hidráulicas tenha sido sugerida

na década de 40 (ICOLD, 2000), só em 1965 foi construída a primeira barragem em BCC, Alpe

Gera, localizada em Itália. Até ao final de 2010, mais de 400 grandes barragens em BCC foram

construídas em todo o mundo e cerca de 30% possuíam descarregadores de cheias em degraus

(RCC DAMS, 2010). Em Portugal, a barragem de Pedrógão (Figura 1.1), finalizada em 2005, foi

a primeira no país a ser construída recorrendo à técnica de BCC com paramento de jusante em

degraus.

Figura 1.1 - Barragem de Pedrógão (Fot.: EDIA, 2016).

Os descarregadores de cheias em degraus, quando comparados com descarregadores com

soleira convencional, permitem uma maior de dissipação de energia, devido à macro-rugosidade

conferida pelos degraus, conduzindo a uma diminuição das dimensões da estrutura de

dissipação de energia a jusante (e.g., bacia de dissipação de energia). Por outro lado, no âmbito

da reabilitação de barragens de aterro com insuficiente capacidade de descarga, a construção

de degraus em BCC tem sido considerada uma medida eficaz de proteção do paramento de

2

jusante, em situações de cheia excecional. Na Figura 1.2 apresentam-se exemplos típicos de

proteções do paramento de jusante em BCC.

(a) (b)

Figura 1.2 - Proteção do paramento de jusante de barragens de aterro em BCC: (a) Barragem de Goose Pasture, EUA, finalizada em 1991 (Fot.: P. Guedes de Melo, in Matos e Meireles, 2014); (b) Barragem de

Yellow River Watershed No. 14, EUA, reabilitada em 2004 (Fot.: J. Matos, in Matos e Meireles, 2014).

A procura de novas soluções para o projeto deste tipo de descarregadores tem sido desenvolvida

com o objetivo de as tornar cada vez mais fiáveis e economicamente mais vantajosas do que os

descarregadores habitualmente projetados, nomeadamente no que respeita ao aumento da

capacidade de descarga. Uma das soluções que tem vindo a ganhar destaque resulta da

aplicação de paredes convergentes ao longo do canal. Este tipo de solução permite fazer face a

limitações decorrentes da reduzida largura da secção transversal do curso de água a jusante,

permitindo maiores larguras da crista do descarregador e, consequentemente, menores cargas

sobre a crista para idênticos caudais de dimensionamento. As principais desvantagens recaem

na ocorrência de ondas estacionárias oblíquas e consequente tridimensionalidade do

escoamento, com empolamento da veia líquida próximo das paredes, bem como na turbulência

acrescida. Um exemplo desta solução é a instalação desenvolvida por Woolbright (2008) que

testou ângulos de convergência de 15⁰, 30⁰ e 52⁰ num modelo físico (escala de 1:22) de um

descarregador de cheias em degraus de BCC (Figura 1.3).

Figura 1.3 - Galgamento da parede lateral convergente (θ=52⁰) num descarregador em degraus com declive 1V:3H e caudal Q=763 m3/s (Fot.: Woolbright, 2008).

3

Estudos já desenvolvidos no âmbito da aplicação de paredes convergentes compreendem um

limitado número de análises teórico-experimentais (e.g., Hanna e Pugh, 1997; André e Ramos,

2003; Cabrita, 2007; Hunt et al., 2008; Woolbright, 2008; Hunt et al., 2012; Wadhai, Deshpande,

e Ghare, 2014; Zindovic et al., 2016) e são escassos os estudos que exploram a vertente da

utilização de modelos computacionais para complementar e apoiar a análise deste tipo de

descarregadores e o comportamento do seu escoamento (e.g. Lesleighter et al., 2008; Willey et

al., 2010).

Figura 1.4 - Exemplo de modelos CFD de descarregadores de cheias com paredes convergentes da barragem Lake Manchester, Austrália (Lesleighter et al., 2008).

Condicionalismos a nível topográfico e de custo e novos requisitos de capacidade de descarga

justificam o interesse no prosseguimento de investigação na área de descarregadores com

paredes convergentes. Estudos já desenvolvidos sugerem que a aplicação de degraus em

descarregadores com paredes convergentes atenua o efeito das ondas estacionárias oblíquas,

sendo este tipo de descarregador uma solução eficaz no que respeita à dissipação de energia

(André e Ramos, 2003; Cabrita, 2007).

1.2 Objetivos

Tendo por base o trabalho desenvolvido por André e Ramos (2003), Cabrita (2007) e Lúcio

(2015), a presente dissertação tem como objetivo principal a implementação de um modelo

numérico de um descarregador de cheias com paredes convergentes no programa FLOW-3D®

e a sua validação com base nos resultados experimentais anteriormente obtidos no âmbito da

dissertação de Cabrita (2007). Enumeram-se em seguida os objetivos que orientaram o estudo

realizado:

comparar resultados numéricos e experimentais relativos à altura do escoamento e

distribuição de velocidades do escoamento deslizante sobre turbilhões no canal

descarregador para três tipos de paramento e dois ângulos de convergência das paredes

laterais;

4

definir a largura da onda estacionária oblíqua ao longo do canal descarregador para o

modelo numérico e comparar os resultados obtidos com os valores adquiridos

experimentalmente;

realizar testes de sensibilidade a parâmetros e condições do modelo para deste modo

aferir o seu efeito nos respetivos resultados numéricos obtidos;

avaliar as potencialidades da utilização de um software CFD na simulação do

escoamento deslizante sobre turbilhões na interface com a parede lateral convergente.

1.3 Estrutura da dissertação

A dissertação encontra-se dividida em oito capítulos, incluindo o presente, com a seguinte

organização:

Capítulo 2 – Revisão bibliográfica – abordam-se resumidamente os tipos de escoamento que

podem ocorrer em descarregadores de cheias em degraus e respetivas condições de ocorrência,

dando-se maior relevo ao escoamento deslizante sobre turbilhões. O capítulo termina com uma

breve referência a estudos anteriormente desenvolvidos na temática do escoamento deslizante

sobre turbilhões em descarregadores de cheias em degraus com paredes convergentes.

Capítulo 3 – Instalação experimental – é apresentada a instalação experimental na qual foram

desenvolvidos os ensaios experimentais utilizados para validação do modelo numérico e é

resumidamente descrito o equipamento utilizado na realização dos ensaios.

Capítulo 4 – Modelação numérica de fluidos – são apresentadas as bases teóricas da dinâmica

de fluidos computacional e dos modelos de turbulência. Ainda neste capítulo, é feita a descrição

do software comercial FLOW-3D®.

Capítulo 5 – Calibração do modelo computacional – é apresentada a calibração do modelo

computacional, descrevendo a implementação do caso de estudo.

Capítulo 6 – Análises de sensibilidade – contém as análises de sensibilidade realizadas no

modelo de forma a aferir a sua influência nos resultados.

Capítulo 7 – Resultados – apresentam-se os resultados computacionais obtidos nas simulações

realizadas e a sua validação por comparação com as grandezas medidas em modelo físico.

Capítulo 8 – Conclusões e desenvolvimentos futuros – contém as conclusões gerais desta

dissertação e algumas sugestões para trabalhos futuros.

5

2 Revisão bibliográfica

2.1 Tipos de escoamento em descarregadores em degraus

O escoamento sobre um descarregador com soleira em degraus classifica-se em (Chanson,

1994, 2002; Matos e Quintela, 1997; Fael, 2000):

Escoamento em quedas sucessivas – EQS, caraterizado por uma série de quedas livres,

de degrau para degrau, que ocorre em geral para reduzidos valores de caudal unitário e

de declive da soleira do descarregador.

Escoamento deslizante sobre turbilhões – EDT, caraterizado por um escoamento

principal que se forma de forma similar à verificada num canal rugoso, sobre uma região

ocupada por escoamentos secundários turbilhonares existentes em cada degrau e que

ocorre para maiores valores de caudal unitário.

Escoamento de transição – TRA, em que coexistem os dois tipos de escoamento acima

descritos. Esta separação entre os dois regimes torna-se de difícil distinção em declives

pouco acentuados (hd/ld ≤ 1/2,5).

O tipo de escoamento em descarregadores em degraus, com largura constante, é função do

caudal descarregado e da geometria dos degraus. Desta forma, para um dado descarregador

em degraus, poderá assistir-se à transição entre o escoamento em quedas sucessivas e o

escoamento deslizante sobre turbilhões com o aumento do caudal escoado. Esta transição

implica uma alteração muito forte do campo de pressões dado que a diferença fundamental entre

os dois tipos de escoamento reside na distribuição de pressões na secção transversal do

escoamento (Chanson, 1996).

As simulações numéricas realizadas nesta dissertação foram efetuadas para condições

respeitantes ao escoamento deslizante sobre turbilhões.

2.2 Escoamento deslizante sobre turbilhões

O escoamento deslizante sobre turbilhões é caraterizado por dois tipos distintos de escoamento:

o escoamento principal e o escoamento secundário (Chanson, 1994, 2002; Matos, 1999). No

primeiro a massa fluida escoa-se de forma análoga à verificada num canal rugoso ocorrendo

sobre a soleira fictícia do canal (zona definida pela envolvente dos degraus). No segundo caso,

o escoamento secundário dá-se no interior da cavidade delimitada pelos degraus e,

superiormente, pelo escoamento principal, desenvolvendo-se vórtices que são responsáveis, em

grande parte, pela perda de carga do escoamento. Estes vórtices são consequência direta da

6

transmissão da tensão tangencial da água que se escoa sobre os degraus. Este escoamento

ocorre para caudais específicos mais elevados.

De acordo com diversos autores (Chanson, 1994, 2002; Matos, 1999; Gonzalez, 2005), o

escoamento deslizante sobre turbilhões é habitualmente subdivido em três subtipos:

i) Escoamento com recirculação instável e com interferência esteira-degrau, ocorre em

degraus bastante alongados que impossibilita a formação de vórtices estáveis,

originando a formação de esteiras instáveis. Estas atuam isoladamente em cada

degrau e geram uma força de arrastamento causada pela interferência esteira-

degrau – Figura 2.1 (a).

ii) Escoamento com circulação instável e com interferência esteira-esteira, caraterizado

por degraus menos alongados, levando a que a esteira interfira no degrau de jusante

e em que as forças de arrastamento no degrau passam a ser desprezáveis – Figura

2.1 (b).

iii) Escoamento com recirculação estável, caraterístico de soleiras fictícias muito

inclinadas que geram grandes vórtices de recirculação associados a elevada

dissipação de energia – Figura 2.1 (c).

(a) (b) (c)

Figura 2.1 - Escoamento deslizante sobre turbilhões. Subtipos: (a) preenchimento parcial da soleira do degrau pelo escoamento secundário; (b) preenchimento praticamente integral da soleira do degrau pelo escoamento secundário; (c) escoamento com recirculação estável do escoamento secundário (adaptado

de Gonzalez, 2005).

Soleira fictícia

Recirculação instável no

escoamento secundário Zona de interferência de duas

esteiras do escoamento deslizante

Vórtices com

recirculação estável

7

2.3 Desenvolvimento e afloramento da camada limite

2.3.1 Considerações gerais

No escoamento deslizante sobre turbilhões são, em geral, possíveis de identificar duas regiões

distintas do escoamento (Figura 2.2):

Região não-arejada – a superfície livre apresenta-se inicialmente lisa e sem

perturbações. No sentido de jusante, a superfície livre adquire ondulação até à secção

de entrada de ar, designada por secção de afloramento da camada limite (SACL).

Região arejada – para um descarregador com grande extensão esta região apresenta

três trechos distintos: após ser atingida a secção de afloramento da camada limite tem-

se um escoamento com emulsionamento de ar parcialmente desenvolvido, caraterizado

por uma superfície bastante irregular devido à entrada do ar com uma maior

intensificação de bolhas de ar nas cavidades dos degraus. Segue-se um trecho com

arejamento completamente desenvolvido e, eventualmente mais a jusante, o

escoamento atinge o regime uniforme – definido a partir da secção na qual a altura

equivalente da água, a concentração média do ar e as distribuições de velocidade e de

concentração de ar se tornam constantes ao longo do percurso. Dessa secção e até ao

final do canal descarregador, no caso de este não sofrer alterações, o escoamento dá-

se praticamente da mesma forma (Chanson, 2002; Meireles, 2004; Meireles et al., 2014).

Na Figura 2.2 representam-se esquematicamente os trechos de escoamento num descarregador

em degraus típico de uma pequena barragem de aterro. Em diversas aplicações em protótipo

verifica-se frequentemente que, para o caudal de dimensionamento, não ocorre o afloramento

da camada limite (Meireles e Matos, 2008).

Figura 2.2 - Trechos do escoamento em regime deslizante sobre turbilhões sobre um descarregador em

degraus típico de uma pequena barragem de aterro (adaptado de Meireles e Matos, 2008).

Desenvolvimento da

camada limite

Secção de afloramento

da camada limite (SACL)

Escoamento potencial

8

2.3.2 Secção de afloramento da camada limite

A secção de afloramento da camada limite define-se como sendo o local no qual a espessura da

camada limite coincide com a altura do escoamento. Como mencionado anteriormente, é a partir

deste ponto que o escoamento apresenta uma superfície bastante irregular devido à entrada de

ar.

Na secção de afloramento da camada limite e a montante desta, a distribuição adimensional de

velocidades é apresentada de acordo com a Eq. 2.1:

𝑉

𝑉𝑚á𝑥= (

𝑦

𝛿)1 𝑵⁄

(2.1)

em que:

𝑉 - velocidade pontual do escoamento à distância y da soleira;

𝑉𝑚á𝑥 - velocidade máxima do escoamento na região exterior à camada limite (𝑦 > 𝛿, tal

que 𝑉𝑚á𝑥 = 𝑉𝑝, sendo 𝑉𝑝 a velocidade potencial);

𝑦 - distância medida segundo a normal à soleira descarregadora (ou soleira fictícia,

no caso de descarregadores em degraus);

𝛿 - espessura da camada limite;

𝑁 - parâmetro da distribuição adimensional de velocidades.

No exterior da camada limite a velocidade de escoamento é igual à velocidade potencial, dado

que o escoamento não sofre perdas de energia, apresentando o comportamento de um fluido

ideal. Esta velocidade pode ser determinada a partir da equação de Bernoulli (dada pela Eq. 2.2):

𝑉𝑝 = √2𝑔×(𝐻0 − ℎ𝑝 cos𝜃) para 𝛿 < 𝑦 < ℎ (2.2)

em que:

𝑔 - aceleração da gravidade;

𝐻0 - energia específica do escoamento potencial medido em relação à soleira fictícia;

ℎ𝑝 - altura do escoamento potencial;

𝜃 - ângulo que a soleira descarregadora faz com a horizontal;

ℎ - altura do escoamento (altura equivalente de água num escoamento com emulsionamento de ar).

9

São vários os autores que propuseram expressões que permitem determinar a localização da

secção de afloramento da camada limite. Dessa necessidade foi introduzido o conceito de

número de Froude, Fr*, definido em função da rugosidade de forma por:

𝐹𝑟∗ =𝑞

√𝑔𝑘𝑑3×sen 𝜃

(2.3)

em que:

𝑞 - caudal de água unitário;

𝑘𝑑 - rugosidade de superfície ou de forma (no caso de descarregadores em degraus

é dada por 𝑘𝑑 = ℎ𝑑 cos𝜃, como é possível observar pelo detalhe da Figura 2.3);

𝜃 - ângulo que a soleira descarregadora faz com a horizontal.

Na Figura 2.3 são representadas esquematicamente as variáveis que definem a secção de início

do arejamento.

Figura 2.3 - Esquema ilustrativo dos parâmetros utilizados para a medição do ponto de início de arejamento (adaptado de Meireles e Matos, 2008; Faria, 2014).

A posição do início do arejamento assim como a altura do escoamento, hi, na mesma secção

poderão ser obtidas através das Eqs. 2.4 e 2.5, respetivamente, propostas por Chanson (2002)

kd hd

ld

θ

Desenvolvimento da camada limite

10

após a realização de ensaios experimentais e com base em resultados de diversos

investigadores:

𝑥𝑖𝑘𝑑= 9,719(sin 𝜃)0,0796 (𝐹𝑟∗)0,713 (2.4)

ℎ𝑖𝑘𝑑=

0,4034

(sin 𝜃)0,04(𝐹𝑟∗)0,592 (2.5)

André e Ramos (2003) apresentaram igualmente duas expressões para a localização da SACL

em descarregadores em degraus com largura constante (Eq. 2.6) e com largura variável (Eq.

2.7). Para estimar a altura do escoamento na secção de afloramento da camada limite

apresentam uma expressão para ambos os descarregadores mencionados (Eq. 2.8).

𝑥𝑖𝑘𝑑= 5,790(𝐹𝑟∗)0,905 (2.6)

𝑥𝑖𝑘𝑑= 5,869(𝐹𝑟∗)0,858 (2.7)

ℎ𝑖𝑘𝑑= 0,283(𝐹𝑟∗)0,684 (2.8)

A partir da investigação experimental, Hunt e Kadavy (2013) desenvolveram as seguintes

expressões:

𝑥𝑖

𝑘𝑑= 5,19(𝐹𝑟∗)0,89 0,1 < 𝐹𝑟∗ ≤ 28 (2.9)

𝑥𝑖

𝑘𝑑= 7,48(𝐹𝑟∗)0,78 28 < 𝐹𝑟∗ ≤ 105 (2.10)

em que:

𝑥𝑖 - distância medida segundo a soleira fictícia do descarregador desde a secção de

montante do canal descarregador até à SACL;

ℎ𝑖 - altura do escoamento na SACL.

2.4 Onda estacionária oblíqua nos descarregadores convergentes

O desenvolvimento de ondas estacionárias oblíquas que se observa nos descarregadores de

cheias é a resposta do escoamento rápido a modificações na geometria da soleira, das paredes

ou pela existência de pilares (Gameiro, 1996). Na presença de um estrangulamento pela

diminuição da largura ao longo do canal descarregador, dá-se deflexão do escoamento pela

parede vertical na direção do eixo do canal conduzindo a uma sobrelevação da veia líquida junto

das paredes convergentes. Em escoamentos arejados, esta sobrelevação da veia líquida é

composta por duas partes (Figura 2.4). Na região de escoamento não-arejado é formada a parte

principal da onda oblíqua, em que o ar é introduzido no escoamento através da superfície livre

11

(arejamento natural). Quando a parte principal da onda interage com o escoamento com

emulsionamento de ar forma-se uma parte secundária da onda, totalmente arejada.

Figura 2.4 - Desenvolvimento da onda estacionária oblíqua junto da parede convergente representada esquematicamente (adaptado de Zindovic et al., 2016).

A Figura 2.5 mostra o desenvolvimento da onda estacionária oblíqua e a sobrelevação do

escoamento junto da parede convergente do descarregador com paramento convencional no

ensaio experimental de André e Ramos (2003), aumentando a sua largura de montante para

jusante.

Figura 2.5 - Onda estacionária oblíqua que se forma junto da parede direita do descarregador liso com uma parede convergente; Q = 27,9 l/s; tg θ = 0,5 (Fot.: André e Ramos, 2003).

Dos estudos de André e Ramos (2003) e Cabrita (2007) conclui-se que nos descarregadores de

cheias em degraus a largura da onda estacionária oblíqua é menor do que a observada nos

descarregadores com paramento liso, em particular no pé do descarregador. É também registado

Secção de afloramento da

camada limite (SACL)

Escoamento sem

emulsionamento de ar

Escoamento com

emulsionamento de ar

12

que o descarregador com maior altura do degrau (hd = 5,0 cm) apresenta menores larguras de

onda, excetuando as secções mais próximas do pé do descarregador, para os maiores caudais.

Quanto à sobrelevação da superfície livre do escoamento junto das paredes convergentes, André

e Ramos (2003) concluíram que a presença de degraus atenua o aumento da altura do

escoamento junto das paredes. Por outro lado, com o aumento do ângulo de convergência (de

9,9° para 19,3°), maior é a altura de escoamento registada. É assim fundamental estimar o perfil

da superfície livre do escoamento, bem como o campo de velocidades, de modo a dimensionar

corretamente a altura das paredes laterais com uma folga adequada (Hunt et al., 2008, 2012;

Woolbright, 2008; Wadhai et al., 2014).

13

3 Instalação experimental

Os ensaios experimentais que permitiram a calibração e validação do presente estudo

decorreram no Laboratório de Hidráulica e Recursos Hídricos do IST, no âmbito das

investigações desenvolvidas por André e Ramos (2003) e Cabrita (2007), numa instalação

experimental readaptada a partir da instalação utilizada por Fael (2000).

A instalação é constituída por um canal de secção retangular, no qual se insere o descarregador,

para além de um reservatório de alimentação, um compartimento de restituição e circuitos de

alimentação e recirculação da água. O canal tem 8 m de comprimento e 0,7 m de largura sendo

limitado a montante por um reservatório de alimentação e a jusante por um compartimento de

restituição onde se encontra uma comporta de charneira articulada na base, que permite regular

a localização do ressalto hidráulico a jusante do descarregador. O descarregador em PVC de

0,50 m de altura é constituído por uma soleira espessa horizontal com 0,50 m de comprimento e

por um canal descarregador, instalado sensivelmente a meio do canal, em que foram testados

três tipos de rugosidade do paramento (como apresentado na Tabela 3.1), sendo que o

paramento forma um ângulo de 26,6° com a horizontal (1V:2H). Na parede vertical,

imediatamente a montante da soleira, encontra-se uma estrutura cilíndrica que tem por objetivo

reduzir a perturbação do escoamento à entrada do descarregador (Fael, 2000; André e Ramos,

2003; Cabrita, 2007; Lúcio, 2015).

Tabela 3.1 - Tipos de rugosidade testadas no paramento do canal descarregador.

Tipo de rugosidade Nº degraus

Degraus com hd=5,0 cm 9

Degraus com hd=2,5 cm 19

Liso --

No âmbito dos ensaios experimentais desenvolvidos por Cabrita (2007) realizaram-se sete

configurações do descarregador com paredes convergentes (uma parede convergente com

ângulo 19,3° na situação de descarregador com degraus de 5,0 cm de altura e uma ou duas

paredes convergentes com ângulo de 9,9°) e três tipos de rugosidades da superfície (como

apresentado na tabela acima). Para os ensaios com a configuração de parede convergente com

19,3°, usou-se a placa convergente de PVC apresentada na Figura 3.1 (c), previamente utilizada

nos estudos de André e Ramos (2003). A obtenção do descarregador convergente foi conseguida

mediante a colocação de uma placa de PVC ao longo do canal descarregador, para que a largura

a jusante fosse igual a 0,35 m, o que corresponde ao ângulo de convergência de 19,3°. As placas

de acrílico de 0,01m de espessura respeitantes às restantes configurações foram construídas no

laboratório para os ensaios de Cabrita (2007). Como se pode observar nas Figuras 3.1 (c) e (d),

no final do descarregador convergente foi sempre colocada uma placa vertical, de modo a que a

14

largura da bacia de dissipação fosse constante e coincidente com a da secção de jusante do

canal descarregador.

No canal descarregador, para os ensaios experimentais desenvolvidos por Cabrita (2007),

realizaram-se medições de altura do escoamento, perfis de velocidade e de largura da onda

estacionária oblíqua para todos as configurações, sendo utilizados no presente documento os

ensaios experimentais respeitantes aos caudais de 35, 42, 49 e 56 l/s. A medição de alturas do

escoamento foi efetuada por observação visual recorrendo à colocação de fitas métricas nas

paredes laterais do canal, com direção normal à soleira fictícia formada pelos vértices dos

degraus. Os perfis de velocidade do escoamento nas verticais dos degraus foram obtidos com

recurso a um tubo de Pitot. A largura da onda estacionária oblíqua em cada vertical de cada

degrau foi determinada por dois métodos: por observação visual – com o auxílio de uma fita

métrica – e recorrendo a um micro-molinete fixado a um coordinómetro. É de salientar que a

determinação da largura da onda com o molinete a jusante da secção de afloramento da camada

limite foi impossibilitada dado que a jusante dessa secção a superfície livre era muito irregular.

Também a medição por observação visual se revelou igualmente difícil a jusante dessa secção,

devido à oscilação da largura da onda.

(a) (b)

(c) (d)

Figura 3.1 - Instalação experimental: (a) vista geral; (b) escoamento sobre o descarregador com uma parede convergente (θ=19,3°; hd=5,0 cm) para Q=75 l/s; (c) entrada de ar no seio do escoamento

(descarregador com uma parede convergente θ=19,3°, hd=5,0 cm e Q=50 l/s); (d) descarregador com duas paredes convergentes (θ=9,9°; hd=2,5 cm) (Fot.: André e Ramos, 2003; Cabrita, 2007).

15

4 Modelação numérica de fluidos

4.1 Fundamentos teóricos

A modelação numérica de fluidos, também conhecida por dinâmica dos fluidos computacional

(em inglês designada por Computational Fluid Dynamics – CFD), é definida como o conjunto de

metodologias que permitem a simulação de problemas que envolvem o escoamento de fluidos,

recorrendo a equações diferenciais parciais como modo de descrição dos fenómenos físicos

subjacentes. Os constantes avanços tecnológicos e computacionais possibilitam o surgimento

de computadores com cada vez mais capacidade de processamento e armazenamento de

dados, sendo que atualmente os modelos CFD têm um extenso campo de aplicação na resolução

de problemas complexos da engenharia e física. No entanto persiste a questão sobre a validade

destes modelos reproduzirem corretamente a realidade, pelo que se torna necessário a sua

validação por comparação com valores medidos em protótipo ou em modelo reduzido (apesar

da existência dos inerentes erros de medição).

Existem diversos software comerciais de CFD atualmente disponíveis em que os princípios em

que se baseiam têm como suporte as equações fundamentais da mecânica dos fluidos. Embora

estas equações possam ser escritas em diferentes formulações matemáticas, a base dos

modelos CFD passa pela descrição do comportamento de um fluido recorrendo aos princípios

da conservação da mecânica dos meios contínuos, nomeadamente para fluidos incompressíveis:

Princípio de conservação da massa.

Princípio de conservação da quantidade de movimento.

Neste documento não serão apresentados estes princípios e equações de conservação. É

possível consultar uma exaustiva revisão bibliográfica a respeito da definição das equações que

se obtêm da aplicação dos princípios físicos enunciados e a sua manipulação para a obtenção

das equações diferenciais que regem a dinâmica de fluidos (e.g. Versteeg e Malalasekera, 1995;

Hirsch, 2007; Jiyuan et al., 2008; Oliveira e Lopes, 2015). Trata-se de uma temática também

discutida em trabalhos que precedem a presente dissertação e que envolvem igualmente o

estudo numérico em bacias de dissipação de energia, descarregadores de cheias ou, mais

concretamente, do escoamento deslizante sobre turbilhões em descarregadores em degraus

(e.g., Carvalho e Amador, 2009; Carvalho e Martins, 2009; Meireles, 2011; Silva, 2013; Faria,

2014; Lúcio, 2015; Lopes et al., 2016; Pereira, 2016).

16

4.1.1 Caraterização da turbulência

A partir de ensaios experimentais Osborne Reynolds, em 1883, demonstrou a existência de dois

regimes de escoamento: laminar e turbulento. Poder-se-á dizer que um escoamento tem lugar

em regime laminar quando este é caraterizado por trajetórias bem definidas das partículas

fluidas, enquanto no escoamento turbulento essas trajetórias são extremamente irregulares e a

velocidade varia constantemente em grandeza e direção para um dado ponto do fluido. Na

dinâmica de fluidos, os escoamentos turbulentos representam a maioria das situações de

interesse e os escoamentos laminares a exceção, pois são necessárias pequenas dimensões e

viscosidades elevadas para se obterem escoamentos laminares (Tennekes e Lumley, 2010;

Quintela, 2011).

Um escoamento em regime laminar é descrito pelas equações de energia, continuidade e

quantidade de movimento e, nos casos mais simples, estas são passíveis de serem resolvidas

analiticamente. Para escoamentos mais complexos – como é o caso dos escoamentos

turbulentos – existe a necessidade de recorrer à introdução de equações para a sua modelação

computacional (Jiyuan et al., 2008).

A descrição do escoamento turbulento em todos os pontos do espaço e instantes do tempo não

é exequível, pelo que apenas se podem enumerar algumas das caraterísticas dos escoamentos

turbulentos e que são descritas em seguida.

Irregularidade

Implica que o escoamento é aleatório, isto é, não é determinístico, levando a uma abordagem

estatística dos problemas de turbulência (valor médio, desvio-padrão, correlações espaciais e/ou

temporais).

Difusividade

A difusividade da turbulência traduz-se numa elevada capacidade de mistura de massa,

quantidade de movimento, energia e calor (Tennekes e Lumley, 2010).

Números de Reynolds elevados

O número de Reynolds pode ser interpretado como sendo proporcional à razão entre as forças

de inércia (𝐹𝑖𝑛é𝑟𝑐𝑖𝑎) e as de viscosidade (𝐹𝑣𝑖𝑠𝑐𝑜𝑠𝑎), dado por:

𝑅𝑒 =𝐹𝑖𝑛é𝑟𝑐𝑖𝑎𝐹𝑣𝑖𝑠𝑐𝑜𝑠𝑎

=𝑈𝐷

𝜈 (4.1)

onde 𝑈 e 𝐷 designam, respetivamente, uma velocidade média e um comprimento caraterístico

do escoamento e 𝜈 denota a viscosidade cinemática do fluido em causa.

Para pequenos valores do número de Reynolds tem-se um escoamento em regime laminar,

representando um escoamento em que os efeitos de inércia são menores. Para valores mais

elevados do número de Reynolds, originam-se instabilidades no escoamento laminar com as

17

forças de inércia suficientemente grandes para amplificar as flutuações turbulentas, ocorrendo a

passagem de escoamento laminar para turbulento (Silva, 2010; Tennekes e Lumley, 2010).

Flutuações tridimensionais de vorticidade

Escoamentos turbulentos são tridimensionais e rotacionais, caraterizando-se pela presença de

estruturas coerentes de fluido com dimensões variadas, distribuição irregular no espaço e sem

periodicidade, designadas por vórtices ou turbilhões (eddies), seguindo o escoamento com

movimentos que tipificam um comportamento aparentemente caótico (Jiyuan et al., 2008;

Tennekes e Lumley, 2010; Quintela, 2011; Oliveira e Lopes, 2015). Em escoamentos

bidimensionais a produção de vorticidade não é adequadamente representada, em resultado do

mecanismo de estiramento dos vórtices, ou seja, o escoamento turbulento varia aleatoriamente

nas três direções do espaço e no tempo.

Dissipação

A turbulência é essencialmente dissipativa, ou seja, é necessário fornecer energia aos

escoamentos turbulentos para que a turbulência se mantenha e de modo a compensar as perdas

viscosas (Tennekes e Lumley, 2010; Quintela, 2011). Ao se produzir a turbulência, a energia do

escoamento transita para a energia cinética dos turbilhões de maiores dimensões e estes, por

sua vez, vão-se subdividindo noutros de dimensões ainda menores, através de um processo

complexo que pode ser modelado pelo mecanismo de estiramento de vórtices (Quintela, 2011;

Oliveira e Lopes, 2015). A dissipação viscosa de energia faz-se para os turbilhões de menores

dimensões dos escoamentos turbulentos.

Meio contínuo

A escoamentos turbulentos aplica-se um modelo de meio contínuo, uma vez que mesmo as mais

pequenas escalas para este tipo de escoamento são muito maiores que qualquer escala de

comprimento molecular (Tennekes e Lumley, 2010).

Para além das caraterísticas acima mencionadas, outra propriedade importante dos

escoamentos turbulentos é a sua vasta gama de escalas de comprimento. A análise espectral

assiste na compreensão desta propriedade, caraterizando a distribuição de energia de flutuação

de um escoamento em regime turbulento pelas diferentes frequências de oscilação inerentes às

diversas escalas dos turbilhões (Oliveira e Lopes, 2015), sendo um exemplo de espectro de

energia a Figura 4.1, que apresenta a gama de escalas de comprimento em escoamentos

turbulentos no domínio das frequências e do número de onda, 𝜅. Um turbilhão pode ser

caraterizado pelo seu número de onda, i.e. um turbilhão de número de onda 𝜅 pode ser definido

como uma perturbação que contém energia na vizinhança 𝜅.

Como já se referiu nesta secção, a turbulência envolve a presença de turbilhões caraterizados

por diferentes escalas de comprimento, aos quais correspondem oscilações de velocidade que

se estendem por toda uma gama de comprimentos de onda, desde um mínimo determinado

18

pelas forças inerentes aos efeitos de dissipação viscosa (turbilhões de menor dimensão, sendo

esta dimensão conhecida por escala de Kolmogorov) até um máximo delimitado pelas condições

de fronteira do escoamento (turbilhões de maiores dimensões e aos quais correspondem baixas

frequências de flutuação, i.e., maiores comprimentos de onda). Na zona intermédia atua um

mecanismo de inércia que promove a transferência energética, através do mecanismo de

estiramento de vórtices, das grandes para as pequenas escalas, habitualmente designada por

sub-região inercial.

Figura 4.1 - Repartição de energia no domínio da frequência ou número de onda (adaptado de Eça, 2015a).

4.1.2 Modelos de resolução numérica da turbulência

O caráter irregular e aparentemente aleatório da turbulência faz deste regime de escoamento um

fenómeno complexo e de difícil resolução, pelo que os modelos de turbulência ganham especial

relevância na medida em que permitem resolver o sistema de equações que rege o campo

cinemático médio de um escoamento turbulento, estabelecendo expressões para as tensões de

Reynolds. Atualmente definem-se três métodos de simulação computacional:

Simulação numérica direta (DNS – Direct Numerical Simulation): neste método

resolvem-se todas as escalas do campo turbulento, dispensando a utilização de modelos

de turbulência. No entanto, devido às elevadas exigências computacionais e limitações

temporais, a utilização prática das DNS é restringida a simulações de escoamentos com

baixos números de Reynolds.

Região

dissipativa

Sub-região

inercial

Zonas de significativa

transferência de energia

Turbilhões de

maiores dimensões

log𝐸(𝜅)

log (𝜅)

19

Simulação das grandes escalas (LES – Large Eddy Simulation): este modelo tem como

principal objetivo a simulação do comportamento dos grandes turbilhões e para as

pequenas escalas utilizam-se modelos de escalas sub-malha (subgrid scale) (Jiyuan et

al., 2008).

Simulações baseadas nas Equações Médias de Reynolds (RANS – Reynolds

Averaged Navier-Stokes): trata-se do modelo matemático mais utilizado em que uma

variação instantânea é decomposta num termo médio (no tempo) e numa flutuação. Por

permitirem obter soluções para as propriedades médias, os modelos RANS são menos

exigentes computacionalmente do que as DNS e os modelos LES (ver Figura 4.2).

Figura 4.2 - Grau de modelação e custo computacional de modelos de turbulência (adaptado de Rezende, 2009).

A presente dissertação contempla uma breve descrição das formulações matemáticas e

numéricas relativas a simulações baseadas nas Equações Médias de Reynolds (RANS). No

Anexo A encontra-se disponível informação complementar relativa a esta temática.

4.2 Modelo numérico – CFD

O papel dos software CFD consiste na estruturação de algoritmos numéricos que permitem a

simulação de problemas que envolvam o escoamento de fluidos. De modo a permitir a introdução

dos parâmetros da simulação e analisar os resultados, estes software incluem interfaces gráficas

(GUI, acrónimo para a expressão em inglês Graphical User Interface).

Todos os software CFD são constituídos por três elementos principais – pré-processador, solver

e pós-processador – sendo estes apresentados esquematicamente na Figura 4.3, bem como os

passos a executar em cada elemento (Versteeg e Malalasekera, 1995; Jiyuan et al., 2008).

Grau de

modelação

Custo

computacional

0%

100%

Baixo Alto Muito Alto

20

Solver

Figura 4.3 - Relações entre os três elementos principais de um software CFD (adaptado de Versteeg e Malalasekera, 1995; Jiyuan et al., 2008).

O software FLOW-3D®, desenvolvido pela Flow Science, Inc., é o programa de cálculo utilizado

no presente trabalho. Este software foi escolhido por apresentar uma variedade de opções físicas

e numéricas que permitem a modelação de escoamentos em superfície livre com grande

precisão. Ao longo deste subcapítulo serão apresentadas algumas das caraterísticas do

programa FLOW-3D®.

4.2.1 Métodos numéricos

4.2.1.1 Método dos volumes finitos

O FLOW-3D® resolve numericamente as equações fundamentais da dinâmica de fluidos

recorrendo ao método dos volumes finitos. Um domínio é então subdividido numa malha de

células hexaédricas fixas, procedendo-se à integração das equações para cada célula (volume

de controlo) do domínio da solução. Em cada célula da malha todas as variáveis são

consideradas localizadas no centróide da célula, excetuando a velocidade que se encontra

localizada na face da célula, sendo os valores das variáveis nas superfícies dos volumes de

Pré-processador

Definição da geometria

Definição/geração da malha

Seleção dos fenómenos físicos e

químicos que necessitam ser

modelados

Definição das propriedades dos

materiais

Definição das condições de

fronteira

Obtenção das equações que regem o fenómeno, para a malha definida

Equações de conservação Modelos físicos

Massa

Quantidade de movimento

Energia

Definições do Solver

Inicialização

Controlo da solução

Monitorização da solução

Cálculo CFD

Verificar convergência

Turbulência

Combustão

Radiação

Outros processos

Pós-processador

Resultados em 2D e 3D

Representações de vetores

Representações de linhas de

corrente

Gráficos de isolinhas

Animações

Se não verifica: modificar parâmetros do modelo ou malha

21

controlo obtidos por esquemas de interpolação em função dos valores nodais (localizados no

centro do volume de controlo) (Jiyuan et al., 2008). A conversão das equações da forma integral

para sistemas de equações algébricas – resolúveis por processos iterativos – dá-se por

discretização utilizando aproximações de diferenças finitas. Por oposição ao método dos

volumes finitos, o método das diferenças finitas discretiza a forma diferencial das equações

considerando pontos em vez de células.

Pelo facto do método dos volumes finitos lidar com volumes de controlo em vez de pontos,

apresenta a vantagem de poder ser aplicado a qualquer tipo de malha, adaptando-se a

geometrias complexas. Outra vantagem passa por a malha não necessitar estar relacionada com

um sistema de coordenadas. Como desvantagem do método de volumes finitos em relação ao

método das diferenças finitas tem-se a dificuldade de desenvolver em 3D métodos de segunda

ordem (ou superiores) quando se utilizam malhas não estruturadas. Isto deve-se ao facto da

aproximação por volumes finitos requerer dois níveis de aproximação, a interpolação e a

integração (Jiyuan et al., 2008).

4.2.1.2 Método VOF

No FLOW-3D® a superfície livre do escoamento – interface entre um líquido e um gás ou entre

dois líquidos – é modelada através do método VOF (acrónimo para a designação inglesa Volume

of Fluid), desenvolvido por Hirt e Nichols (1981). Este método utiliza a função de fração de fluido

Ϝ para reconstrução da superfície livre, que assume valores entre 0 e 1 como mostra a Figura

4.4, dependendo da quantidade de fluido em cada célula. A interpretação desta função encontra-

se também dependente do tipo de problema que se está a simular, sendo o caso mais comum o

escoamento de um fluido (one-fluid problem) em que a fração de fluido toma o valor de 1 quando

na célula apenas se tem fluido, caso contrário (nas regiões de vazio, i.e. onde apenas existe ar)

Ϝ toma o valor 0. No intervalo entre os casos extremos apresentados é onde se localiza a

superfície livre.

A definição da função de volume de fluido corresponde à primeira de três componentes principais

deste algoritmo presente no FLOW-3D®, consistindo as restantes componentes na resolução da

equação de transporte de Ϝ recorrendo a um algoritmo de advecção e na definição das condições

de fronteira na superfície livre. Trata-se de uma melhoria ao método original e foi desenvolvido

pela Flow Science, Inc. sob a designação de TruVOFTM (Flow Science, Inc., 2015; Okamori,

2016).

Figura 4.4 - Exemplo de valores de distribuição da função Ϝ perto da superfície livre (Okamori, 2016).

22

4.2.2 Geração da malha de cálculo

Após a definição da geometria no FLOW-3D® é necessário subdividir o domínio total do

escoamento numa malha que é ortogonal e definida em coordenadas cartesianas ou cilíndricas

(Flow Science, Inc., 2015). Cada parâmetro de fluido é descrito e resolvido numericamente em

cada célula, pelo que quanto menor o espaçamento da malha, maior será a precisão da solução

numérica. No entanto, o refinamento da malha, i.e. redução da dimensão das células, leva a um

aumento do esforço computacional e, por conseguinte, a maiores tempos de cálculo, sendo

necessário atingir um compromisso entre a precisão de cálculo desejada e as limitações

impostas pelos recursos computacionais e tempos de cálculo.

O tipo de malha utilizada para um determinado problema pode causar um impacto significativo

na simulação, inclusivamente na qualidade da solução. Num sistema de coordenadas

cartesianas, a malha pode ser uniforme, sendo o comprimento das células igual em cada direção,

caso contrário tem-se uma malha não uniforme. Para problemas de escoamentos mais

complexos, uma malha não uniforme traz flexibilidade ao modelo computacional, dado que

subdivide o domínio para que se obtenha um grau de precisão adequado a cada parte desse

domínio. Por outro lado, apresentará menor estabilidade que uma malha uniforme (Hirsch, 2007).

No que respeita às boas práticas de geração de malhas, é aconselhável que o rácio entre as

dimensões ortogonais da célula seja próximo de 1, e que não exceda o valor de 3. Entre células

adjacentes, a proporção na mesma direção (x:x, y:y ou z:z) deve aproximar-se, o mais possível,

à unidade, não excedendo 1.25 (Burnham, 2011a).

O FLOW-3D® permite o recurso à definição de blocos múltiplos (Multi-Block) de malha,

permitindo aumentar a resolução da simulação em áreas de interesse. Os blocos de malha

adicionais podem ser definidos para estarem totalmente inseridos, designando-se de nested

block (Figura 4.5 (a)), podem partilhar apenas uma fronteira – sendo designados de linked blocks,

Figura 4.5 (b) – ou podem sobrepor-se parcialmente (Burnham, 2011a; Flow Science, 2015).

(a) (b)

Figura 4.5 - Tipologias para geração de malhas de cálculo: (a) Nested mesh blocks; (b) Linked mesh blocks (Flow Science, Inc., 2016).

De modo a minimizar os erros de interpolação na construção de blocos múltiplos é de salientar

a minimização do número de blocos, o cuidado no alinhamento entre células de diferentes blocos

23

sempre que possível (Figura 4.6) e evitar grandes rácios entre dimensões de células adjacentes,

não excedendo 2:1 (Burnham, 2011a).

Figura 4.6 - Alinhamento entre células a evitar (à esquerda) e alinhamento aconselhado (à direita) (adaptado de Burnham, 2011a).

Outra caraterística importante da malha gerada pelo FLOW-3D® é o facto de esta ser desfasada

(staggered grid), o que significa que as quantidades escalares são armazenadas no centróide da

célula, enquanto as quantidades vetoriais (velocidades) são armazenadas nas faces da célula.

4.2.2.1 Método FAVORTM

O método FAVORTM, acrónimo para Fractional Area/Volume Obstacle Representation (Hirt e

Sicilian, 1985), é utilizado pelo FLOW-3D® para a representação de superfícies complexas numa

malha estruturada e retangular. Esta técnica incorpora a geometria na malha criando frações de

áreas/volumes parciais para cada célula recorrendo à determinação dos pontos da face de uma

dada geometria que intersetam os vértices da célula de cálculo, sendo assumidas conexões em

linha reta (ou num plano, no caso de uma simulação 3D) entre os pontos de interseção. Esta

abordagem encontra-se apresentada na Figura 4.7 e é possível observar que a hipótese de

conexões em linha reta induz pequenos erros na fração da área, embora o erro possa ser

reduzido com o refinamento da malha (Flow Science, Inc., 2015).

Figura 4.7 - Consequências da aplicação do método FAVORTM (Flow Science, Inc., 2015).

Este método aplica algoritmos complexos para o cálculo das frações de áreas/volumes durante

o pré-processamento da simulação e também a cada iteração se se dá movimento de objetos

sólidos por ação do escoamento (Flow Science, Inc., 2015).

FAVORTM

24

4.2.3 Modelos de turbulência

O programa FLOW-3D® disponibiliza seis opções de modelos de turbulência: modelo de

comprimento de mistura líquida de Prandlt, modelo de uma equação, modelo LES e, dentro dos

modelos de duas equações, os modelos standard 𝑘 − 휀, RNG 𝑘 − 휀 e 𝑘 − 𝑤. A formulação destas

equações no FLOW-3D® é feita com base no método FAVORTM e de forma análoga às

formulações matemáticas dos modelos de turbulência apresentados no capítulo A.2 do Anexo A.

Na presente dissertação apenas será testado o modelo de transporte das tensões turbulentas a

duas equações RNG 𝑘 − 휀, devido à sua maior precisão e fiabilidade para uma maior gama de

escoamentos, comparativamente ao modelo 𝑘 − 휀. As equações referentes a este modelo

baseiam-se no conceito de viscosidade turbulenta e resolvem as equações de transporte para a

energia cinética turbulenta, 𝑘, e dissipação de energia turbulenta, 휀 (Eqs. 4.2 e 4.3). As equações

para a determinação dos valores de 𝑘 e 휀 encontram-se apresentadas em A.2 no Anexo A.

𝜕𝑘

𝜕𝑡+1

𝑉𝐹{𝑢𝐴𝑥

𝜕𝑘

𝜕𝑥+ 𝑣𝐴𝑦

𝜕𝑘

𝜕𝑦+ 𝑤𝐴𝑧

𝜕𝑘

𝜕𝑧} = 𝑃𝑇 + 𝐺𝑇 + 𝐷𝑖𝑓𝑓𝑘 − 휀 (4.2)

𝜕휀

𝜕𝑡+1

𝑉𝐹{𝑢𝐴𝑥

𝜕휀

𝜕𝑥+ 𝑣𝐴𝑦𝑅

𝜕휀

𝜕𝑦+ 𝑤𝐴𝑧

𝜕휀

𝜕𝑧} =

𝐶𝐷𝐼𝑆1 ∙ 휀

𝑘(𝑃𝑇 + 𝐶𝐷𝐼𝑆3 ∙ 𝐺𝑇) + 𝐷𝑖𝑓𝑓𝜀 − 𝐶𝐷𝐼𝑆2

휀2

𝑘 (4.3)

em que:

𝑃𝑇 - produção de energia cinética turbulenta;

𝐺𝑇 - produção (ou decaimento) de energia cinética turbulenta devido a efeitos

de flutuação;

𝐷𝑖𝑓𝑓𝑘 - difusão de 𝑘;

𝐷𝑖𝑓𝑓𝜀 - difusão de 휀;

𝑉𝐹 , 𝐴𝑥 , 𝐴𝑦, 𝐴𝑧 - funções do método FAVORTM;

𝐶𝐷𝐼𝑆1, 𝐶𝐷𝐼𝑆3 - parâmetros adimensionais ajustáveis pelo utilizador e que tomam, por omissão, os valores 1,42 e 0,2;

𝐶𝐷𝐼𝑆2 - parâmetro calculado em função de 𝑘 e de 𝑃𝑇.

As equações associadas aos termos mencionados não serão apresentadas neste documento,

sendo no entanto possíveis de ser consultadas em Flow Science, Inc. (2015).

A viscosidade cinemática turbulenta é calculada, em todos os modelos de turbulência, através

da seguinte expressão:

ν𝑇 = 𝐶𝑁𝑈𝑘2

휀 (4.4)

Para o modelo RNG 𝑘 − 휀 a constante 𝐶𝑁𝑈 toma o valor de 0,085.

25

Para modelos de duas equações existe a necessidade de limitar o valor de 휀. A equação de

transporte para a taxa de dissipação 휀 pode produzir valores próximos de zero e, por

conseguinte, valores excessivamente elevados para a viscosidade turbulenta (Eq. 4.4) – irrealista

do ponto de vista físico –, sendo necessário definir um limite estipulado pelo utilizador ou

automaticamente (Flow Science, Inc., 2015). Nesta situação o FLOW-3D® define o valor mínimo

de 휀 através da Eq. 4.5.

ε𝑚𝑖𝑛 = 𝐶𝑁𝑈√3

2

𝑘3 2⁄

𝑇𝐿𝐸𝑁 (4.5)

onde 𝑇𝐿𝐸𝑁 – acrónimo para Maximum Turbulent Length Scale – corresponde ao valor limite

máximo para o comprimento de turbulência. No FLOW-3D® este valor pode ser definido pelo

utilizador ou calculado automaticamente em função do espaço e tempo durante a simulação,

sendo que na presente dissertação se optou pelo cálculo automático deste valor.

4.2.4 Condições de fronteira e condições iniciais

As equações fundamentais da dinâmica de fluidos presentes no algoritmo do FLOW-3D® e que

regem o movimento de um escoamento enquadram-se na categoria de problemas de valor inicial.

Assim sendo, é necessário conhecer a solução nos limites (condições de fronteira) e a solução

inicial (em t=0) de modo a poder calcular corretamente o desenvolvimento do escoamento para

o caso em estudo (Flow Science, Inc., 2015). Esta é uma etapa fundamental do pré-

processamento, dado que uma definição de condições iniciais e de fronteira apropriadas pode

ter um grande impacto sobre a medida em que os resultados da simulação refletem a realidade.

No FLOW-3D® encontram-se disponíveis dez tipos de condições de fronteira diferentes para a

definição das seis condições de fronteira de cada bloco de malha: Continuative, Grid overlay,

Outflow, Periodic, Specified Pressure, Specified Velocity, Symmetry, Volume Flow Rate, Wall e

Wave. Destes tipos foram apenas utilizados quatro deles como condições de fronteira nas

simulações realizadas, sendo em seguida apresentadas as suas caraterísticas de acordo com

Flow Science, Inc. (2015):

Saída de caudal (Outflow): nesta condição imposta ao escoamento existe uma saída de

todo o caudal que interseta a fronteira de jusante, assegurando a inexistência de

perturbações na distribuição de velocidades do escoamento. É importante referir que

esta condição apenas deve ser utilizada para números de Froude de valor igual ou

superior a um.

Pressão definida (Specified Pressure): define uma pressão específica na fronteira. Este

limite pode representar sistemas como, por exemplo, grandes reservatórios podendo ser

definida uma condição de pressão hidrostática, deixando de ser necessário representar

26

toda a sua extensão, trazendo vantagens óbvias do ponto de vista de tempos

computacionais.

Simetria (Symmetry): garante uma condição de velocidade zero na direção normal ao

limite, i.e. não há transmissão de fluido ou calor neste tipo de fronteira, apresentando

vantagens a nível de custo computacional no caso de escoamentos com planos de

simetria, quando comparados com a condição de fronteira Wall. Esta condição

estabelece uma simetria de modo a estimar as mesmas condições de fluido na zona

imediatamente fora da fronteira.

Parede (Wall): aplica uma condição de não escorregamento (no-slip) na interface entre

um fluido viscoso e um sólido, em que os elementos do fluido imediatamente junto ao

limite aderem à parede, tendo por isso velocidade tangencial nula relativamente a esta.

4.2.5 Efeitos de parede

A modelação de um escoamento no contacto com uma superfície sólida requer atenção, dado

que o fluido encontra resistência que está dependente da sua velocidade, turbulência e da

rugosidade da parede. Modelar os efeitos na interface fluido-sólido obriga à consideração de

condições de fronteira como o escorregamento da superfície, rugosidade e à definição de um

tamanho da malha apropriado que permita uma correta resolução do perfil de velocidades junto

da parede (Flow Science, Inc., 2015).

Como mencionado em 4.2.4, a condição de fronteira Wall impõe uma condição de não

escorregamento que traduz o caso de uma interface fluido viscoso-parede em que os elementos

de fluido imediatamente em contacto com uma parede sólida aderem a esta, desenvolvendo-se

tensões de corte. O efeito da condição de não escorregamento resulta num aumento de

espessura ao longo do escoamento da região onde se manifestam efeitos quantificáveis destas

tensões de corte e onde se verifica apreciável gradiente de velocidades segundo a normal à

soleira fictícia: é a chamada camada limite (Brederode, 2014).

No FLOW-3D® a simulação do escoamento de um fluido é apenas afetada pela rugosidade de

um sólido através das tensões de corte de nível viscoso que se desenvolvem junto da parede.

Um modo de reproduzir no modelo numérico o arejamento junto das paredes laterais passa por

desenvolver maiores forças perturbadoras nessa zona, ou seja, maiores tensões de corte.

Aumentando a rugosidade das paredes laterais, 𝑘𝑠, poderá desenvolver-se maior turbulência no

escoamento. Quanto à validade desta opção numérica, esta pode ser comprovada com base nos

estudos de Shin e Song (2014). Para um gradiente de pressão favorável1, situação respeitante

ao caso de estudo, estes autores atestam que a turbulência tende a ser superior do que no caso

de gradientes de pressão nulos (em que impera uma distribuição semi-logarítmica da

velocidade), aumentando os efeitos de rugosidade no caso de camadas limite turbulentas.

1 Gradiente de pressão negativo (pressão a diminuir no sentido do escoamento) que produz um acréscimo de velocidade dos elementos do fluido (Brederode, 2014).

27

5 Estabelecimento de parâmetros do modelo numérico

5.1 Geometria

À semelhança do estudo numérico realizado por Lúcio (2015) a configuração geométrica foi

construída componente a componente recorrendo às formas geométricas disponibilizadas pelo

software FLOW-3D®, de modo a reduzir pequenos erros na fração da área (devido à aplicação

do método FAVORTM – descrito no capítulo 4.2.2.1). É de salientar que, como se observa na

Figura 5.1, se verifica uma pior resolução da geometria junto ao canto do último degrau,

possivelmente devida à transição entre blocos de malha.

Figura 5.1 - Aplicação do método FAVORTM na geometria construída componente a componente para o descarregador com duas paredes convergentes e altura dos degraus igual a hd=2,5 cm.

As configurações que serão analisadas no presente estudo encontram-se apresentadas na

tabela seguinte. As configurações de geometria de duas paredes convergentes com ângulo de

9,9° e de uma parede convergente de 19,3° passarão adiante a ser designadas por

configurações A e B, respetivamente.

Tabela 5.1 - Resumo das configurações realizadas no presente estudo.

Designação Configuração Paramento

A Duas paredes convergentes com ângulo de 9,9°

Liso Degraus com hd=2,5 cm Degraus com hd=5,0 cm

B Uma parede convergente com ângulo de 19,3° Degraus com hd=5,0 cm

A geometria construída para a configuração de duas paredes convergentes com ângulo de 9,9°

e para a configuração de uma parede com ângulo de convergência de 19,3° – ambas com altura

dos degraus igual a 5,0 cm – é apresentada nas Figuras 5.2 e 5.3, respetivamente. O domínio

28

do modelo computacional desenvolve-se de acordo com o referencial posicionado no vértice da

soleira descarregadora com o canal descarregador. A direção x é a direção longitudinal, y a

direção transversal e z a direção vertical. O ângulo que a comporta de charneira faz com a

horizontal foi alterado consoante o caudal em estudo, para que o ressalto hidráulico ocorra no

pé do descarregador. Numa primeira fase estes ângulos foram consultados em André e Ramos

(2003), no entanto, dado que os dados fornecidos são respeitantes a paredes laterais não-

convergentes, houve a necessidade de fazer pequenos reajustamentos a estes valores.

Figura 5.2 - Geometria da configuração A (θ=9,9°; hd=5,0 cm).

Figura 5.3 - Geometria da configuração B (θ=19,3°; hd=5,0 cm).

Na Figura 5.4 apresenta-se um corte da configuração A na direção longitudinal para um ângulo

de convergência de 9,9° e degraus com 5 cm de altura, sendo possível observar a folga de 0,1m

na altura das paredes laterais convergentes em relação à altura na soleira do descarregador

(também visível na Figura 5.3), de modo a contemplar a sobrelevação da veia líquida.

Figura 5.4 - Metade do domínio computacional (corte da configuração A em y=0) para θ=9,9° e hd=5,0 cm.

Como já foi referido no capítulo 4.2.5, houve a necessidade de implementar um valor de

rugosidade não-nulo nas paredes laterais convergentes, tendo sido adotado para as

configurações em estudo o valor de 0,002 m.

29

5.2 Malha de cálculo

A definição da malha de cálculo – em um ou mais blocos – permite o estabelecimento das

condições de fronteira e a definição do domínio da simulação computacional. O domínio

computacional poderá ser dividido em vários blocos de malhas de cálculo (multi-block),

conferindo flexibilidade ao domínio computacional e permitindo subdividi-lo de modo a obter um

grau de discretização adequado a cada parte do domínio, variável consoante a importância da

zona em estudo. Pressões e velocidades do escoamento são calculadas separadamente em

cada bloco e a informação associada a cada bloco é transferida entre eles.

Tendo em consideração a relação entre tempos computacionais e a dimensão da malha de

cálculo, houve a necessidade de considerar diferentes malhas de cálculo para a análise das

configurações A e B. No caso da configuração A foi possível a simplificação do modelo

recorrendo à simulação de metade do domínio através da imposição de uma condição de simetria

ao longo do eixo do descarregador (𝑦 = 0). Assim sendo, as malhas descritas na Tabela 5.2

dizem respeito a metade do domínio computacional entre 𝑦 = −0,35 𝑚 e 𝑦 = 0. No caso do

descarregador convergente de 19,3°, este exige a análise do canal descarregador em toda a sua

largura, pelo que a malha de cálculo apresentada na Tabela 5.3 compreende todo o domínio, i.e.

o domínio entre 𝑦 = −0,35 𝑚 e 𝑦 = 0,35 𝑚.

Todos os blocos de malha apresentam células cúbicas e sem qualquer distorção de tamanho.

As dimensões das malhas apresentadas nas Tabelas 5.2 e 5.3 têm em consideração as

dimensões da geometria, de modo a que o número de células em qualquer direção seja sempre

um número inteiro.

Tabela 5.2 - Malhas de cálculo utilizadas para a configuração A – duas paredes convergentes com θ=9,9°.

Nome Nº de blocos Nº de células Dimensões das células (m)

Malha 1 1 983 808 0,0125 x 0,0125

Malha 2 2 1 972 992 Bloco 1: 0,0125 x 0,0125

Bloco 2: 0,00625 x 0,00625

Malha 3 1 415 296 0,0166(6) x 0,0166(6)

Malha 4 2 832 608 Bloco 1: 0,0166(6) x 0,0166(6)

Bloco 2: 0,0083(3) x 0,0083(3)

Tabela 5.3 - Malha de cálculo utilizada para a configuração B – uma parede convergente com θ=19,3°.

Nome Nº de blocos Nº de células Dimensões das células (m)

Malha 4 2 1 665 216 Bloco 1: 0,0166(6) x 0,0166(6)

Bloco 2: 0,0083(3) x 0,0083(3)

As malhas 1 e 3 são consideradas as mais grosseiras das quatro malhas de cálculo definidas,

tendo em conta as dimensões da geometria. No caso das malhas 2 e 4 foram usados dois blocos

de malha de cálculo, sendo um deles nested block (Bloco 2). O primeiro bloco de malha

30

apresenta maiores dimensões, originando uma condição de fronteira de entrada para o segundo

bloco que contém uma malha mais refinada para o domínio de interesse (descarregador), onde

será posteriormente necessário retirar os resultados para comparação com os valores obtidos

do estudo experimental de Cabrita (2007). O bloco auxiliar de malha é visível na Figura 5.5, com

um rácio de tamanho das células (cell size ratio) entre o bloco 1 e o bloco 2 de 2:1 – tal como

recomendado no capítulo 4.2.2 – como forma de reduzir erros de interpolação. É de salientar que

a transição entre blocos deve localizar-se numa zona em que não existam elevados gradientes

no escoamento (Lúcio, 2015; Valero e Bung, 2015), pelo que a fronteira entre blocos se encontra

no último degrau – como se pode observar na Figura 5.5 –, antes do início do ressalto hidráulico.

Não sendo objetivo desta dissertação a caraterização do escoamento na soleira descarregadora,

definiu-se a fronteira de montante (entre os blocos de malha) a meio da soleira.

Figura 5.5 - Bloco 1 (a azul) e Bloco 2 (a amarelo) para descarregador em degraus com hd=5,0 cm.

Para se obterem resultados rigorosos, recorreu-se ao Simulation Pre-Check disponível no

FLOW-3D®, consultando o rácio entre as dimensões ortogonais da célula (Maximum aspect ratio)

que se verificou ser 1, valor ideal para a proporção entre lados de uma mesma célula. Analisou-

se também o rácio entre dimensões de células adjacentes (Maximum adjacent cell ratio size) e

que se verificou ser também igual a 1 em ambos os blocos de malha.

5.3 Condições de fronteira

Na fronteira de montante do Bloco 1, Xmin, foi definida uma condição de pressão na qual foi

definida a altura da água, para cada caudal, medida experimentalmente por Cabrita (2007). Note-

se que, embora o reservatório do modelo físico apresentasse 2,5 m de comprimento, procedeu-

se à modelação de um reservatório com 1 m de comprimento introduzindo as alturas de água

experimentais obtidas a 1 m da soleira descarregadora. Esta opção permitiu reduzir o esforço

computacional necessário comparativamente ao que seria exigido para a simulação de

condições do reservatório semelhantes às do modelo físico.

Na fronteira de jusante, Xmax, aplicou-se uma condição de saída de caudal (outflow). Note-se

que, à semelhança de Lúcio (2015), foi necessário impor a condição numa zona em que esta

não afetasse o escoamento a montante e estando o mais afastada possível do descarregador

31

(região de análise), evitando colocar esta condição em zonas de grandes mudanças de

configurações geométricas e de estados de escoamento. Como já foi mencionado no capítulo

4.2.4., esta condição só pode ser utilizada para escoamentos com 𝐹𝑟 ≥ 1. Como ilustra a Figura

5.6, a comporta de charneira provoca no escoamento um aumento do número de Froude,

satisfazendo a condição anteriormente referida.

Figura 5.6 - Número de Froude na fronteira de jusante, Xmáx.

Em Ymin, que corresponde ao limite esquerdo do descarregador quando visto de jusante para

montante, foi definida uma condição de fronteira sólida (wall). Em Ymax (y=0 para a configuração

A) especificou-se uma condição de simetria no eixo do descarregador como forma de reduzir o

tempo computacional das simulações, simulando apenas metade do domínio computacional

estabelecendo as mesmas condições do fluido na região imediatamente fora da fronteira. No

caso do descarregador com uma parede convergente foi definida uma condição de fronteira

sólida.

Em Zmin foi definida uma condição de fronteira sólida enquanto em Zmax se especificou uma

condição de pressão com fração de fluido igual a zero e com pressão constante igual à

atmosférica (101325 Pa) aplicada na região de vazio acima da superfície livre.

Foi também necessário definir condições de fronteira para o Bloco 2 (nested block) para as

configurações A e B. Para a configuração A, à exceção de Ymin e Zmax, foi imposta uma condição

de simetria em todas as fronteiras de modo a estimar as mesmas condições do fluido entre o

bloco grosseiro e o bloco mais refinado. Para Ymin especificou-se uma condição de fronteira

sólida, enquanto que em Zmax se aplicou uma condição de pressão constante e igual à

atmosférica. No caso da configuração B, a definição das condições de fronteira apenas difere

em Ymax, onde se definiu uma condição de fronteira sólida em y=0,35 m.

Froude number contours

0.28 0.58 0.88 1.18 1.49

0.65

0.25

-0.15

4.102 4.354 4.606 4.858 5.110 5.362

X (m)

32

5.4 Condições de inicialização e finalização

Como condição inicial da simulação definiu-se uma condição de escoamento referente à

imposição do nível de água na albufeira com valor igual ao definido na condição de fronteira Xmin.

A condição de finalização foi estabelecida através da definição do tempo de simulação de valor

igual a 100 segundos. O regime permanente é verificado através da monitorização da energia

cinética média do escoamento (mass-averaged mean kinetic energy), para todo o fluido dentro

do domínio computacional, exibida na interface gráfica do programa. Este regime é atingido

quando o valor da energia cinética média se torna praticamente constante e variando menos de

1% no decorrer da simulação. É possível retirar da interface gráfica exemplos de gráficos de

variáveis como a massa total, a energia cinética média, a energia cinética turbulenta média e a

dissipação média da energia cinética turbulenta, que permitem comprovar a estacionaridade do

escoamento. No Anexo B, encontram-se exemplos dos gráficos das quantidades acima

mencionadas obtidos para Q=35 l/s e malha 2. Optou-se por não se definir como condição de

finalização a condição de regime permanente para a energia cinética média para se poder

estudar a evolução de outras quantidades até aos 100 segundos pois, caso contrário, a

simulação terminaria assim que se atingisse esse regime.

Em seguida, foi realizada uma simulação Restart2 da simulação de 100 segundos para adotar

um modelo de 2ª ordem com preservação de monotonicidade para a iteração da equação de

conservação da quantidade de movimento (ECQM) – assunto a ser desenvolvido no subcapítulo

5.6. Estas simulações Restart, por partirem de condições de regime permanente, terão um tempo

de simulação suficiente para permitir a estabilização dos resultados do modelo (e.g. energia

cinética média, energia cinética turbulenta média, caudal).

5.5 Modelos físicos

Os modelos físicos ativados foram: Air entrainment, Bubble and phase change, Density

evaluation, Drift-flux, Gravity and non-inertial reference frame e Viscosity and turbulence.

O modelo de turbulência considerado em Viscosity and turbulence foi o modelo RNG 𝑘 − 휀 por

ser o modelo mais utilizado e recomendado por outros autores na simulação de descarregadores

em degraus, para além das caraterísticas apresentadas no subcapítulo A.2 do Anexo A. Adotou-

se a opção de cálculo automático do 𝑇𝐿𝐸𝑁 como critério conservativo, dado ser também a opção

mais recomendada por Flow Science, Inc. (2015).

2 O utilizador pode iniciar uma simulação no FLOW-3D® utilizando resultados de uma outra simulação, reduzindo o tempo de cálculo computacional. É possível ainda modificar as caraterísticas da simulação Restart (e.g. dimensão das células de cálculo, parâmetros/condições de escoamento, geometria).

33

Foi adicionado um modelo de emulsionamento de ar (air entrainment model), desenvolvido por

Hirt (2003), com um coeficiente que estipula a área superficial que contribui para a entrada de ar

(entrainment rate coefficient) de 0,5 e uma tensão superficial de 0,073 𝑁/𝑚 (água a 20°C). O

fluido apresenta massa volúmica de 1000 𝑘𝑔/𝑚3 e viscosidade dinâmica 1×10−3 𝑁𝑠/𝑚2.

Quando a quantidade de ar que entra no sistema é significativa (>10%) e afeta o escoamento, é

necessário ativar os modelos Density evaluation e Drift-flux. O modelo Density evaluation

consiste num modelo de emulsionamento de ar que tem em conta o efeito de empolamento da

veia líquida, que estipula que um aumento de volume de um escoamento bifásico é compensado

pela diminuição da massa volúmica da mistura ar-água. A equação de transporte da densidade

de um escoamento bifásico foi numericamente resolvida recorrendo a equações de 2ª ordem

(second order monotonicity preserving approximation to density transport equations), dado que

permite obter resultados mais rigorosos (Flow Science, Inc., 2015).

O modelo Drift-flux tem em conta, para além dos efeitos de empolamento sobre as bolhas de ar

formadas próximo da superfície livre e no interior do escoamento, a interação entre duas fases

(bolhas de ar e água) através da definição prévia das suas caraterísticas pelo utilizador (Flow

Science, Inc., 2015; Pereira, 2016). A atribuição de valores para os vários parâmetros deste

modelo encontra-se definida por omissão para os valores recomendados por Flow Science, Inc.

(2015) e para os valores de densidade e viscosidade do ar e da água a 20°C. Optou-se também

por ativar a opção “Allow gas to escape at free surface”, que permite que as bolhas de ar que

ascendem até à superfície livre possam “escapar” para a atmosfera.

Em Bubble and phase change ativou-se a opção Adiabatic bubbles atribuindo às bolhas de ar

(reconhecidas como regiões de vazio dentro do fluido) uma relação constitutiva das variáveis

pressão, volume e temperatura caraterística de um processo adiabático.

Por fim, ativou-se o modelo Gravity and non-inertial reference frame de modo a estipular a força

de gravidade segundo a coordenada espacial 𝑧 (medida na direção vertical de cima para baixo,

↓).

5.6 Opções numéricas

5.6.1 Considerações prévias

Para método de resolução de equações de movimento e turbulência selecionou-se o método

iterativo e de aproximação implícita GMRES (Generalized Minimum Residual Solver), tratando-

se de um método rigoroso e que converge rapidamente.

Como opções para o cálculo da advecção da fração de fluido (Volume-of-fluid advection) o

FLOW-3D® disponibiliza as seguintes opções: Automatic (seleciona automaticamente a melhor

34

opção consoante o problema, de entre as que a seguir se apresentam), One fluid - free surface,

Two fluids with sharp interface, Unsplit Lagrangian method e Split Lagrangian method. Em Flow

Science, Inc. (2015) é referido que para escoamentos não-lineares com o sistema cartesiano de

cálculo, deverá ser considerado o modelo Split Lagrangian, uma vez que este modelo permite

melhorias significativas na representação da superfície livre. No entanto, ao testar este modelo

em algumas das configurações de geometria não se verificaram diferenças significativas em

relação ao modelo One fluid – free surface e houve um acréscimo significativo ao tempo de

processamento. No presente caso de estudo recorreu-se à escolha automática do modelo VOF

e que recai no modelo One fluid - free surface.

5.6.2 Métodos de aproximação numérica da equação de conservação da

quantidade de movimento

Nesta alínea será estudado o efeito da consideração de um modelo de 2ª ordem com

preservação de monotonicidade na discretização dos termos advectivos (relacionados com as

componentes do escoamento) da equação de conservação da quantidade de movimento

(momentum advection) no modelo numérico.

Um sistema é dito com preservação de monotonicidade se o facto de 𝑢𝑛 ser uma função

monotónica implica que 𝑢𝑛+1 também o será. Por sua vez, uma função é considerada monotónica

se o valor da solução 𝜙𝑖𝑛+1 no tempo (𝑛 + 1) não alcançar valores fora da gama de valores

obtidos pela solução 𝜙𝑖+𝑗𝑛 no tempo anterior (𝑛), ou seja, a solução diz-se monotónica quando a

solução numérica não cria extremos locais e o valor mínimo local existente é não decrescente e

o valor máximo local é não crescente (Versteeg e Malalasekera, 1995; Hirsch, 2007).

O método de preservação da monotonicidade é usado no FLOW-3D® para garantir que o valor

da aproximação de segunda ordem para a primeira derivada de uma dada variável (e.g. caudal,

velocidade) não exceda um valor máximo estipulado pelo Solver. Se o valor dessa variável

corresponder a um máximo ou mínimo o seu valor é atualizado para zero e é considerada uma

aproximação através do valor de uma célula vizinha.

No FLOW-3D® o processo de discretização utiliza aproximações de diferenças finitas. O domínio

total do escoamento é divido em células numa malha que é ortogonal e definida em coordenadas

cartesianas com dimensões 𝛿𝑥𝑖, 𝛿𝑦𝑗 e 𝛿𝑧𝑘.

Modelo de 1ª ordem

A aproximação de 1ª ordem é a opção automática do FLOW-3D® e é um modelo robusto e

eficiente em escoamentos lineares. No entanto não permite simular efeitos de 2ª ordem (e.g.

tridimensionalidade de um escoamento), sendo estes difundidos por completo.

35

Modelo de 2ª ordem com preservação de monotonicidade

Este modelo é praticamente tão robusto como o modelo de 1ª ordem, embora requeira um maior

tempo de cálculo. Apresenta uma precisão de 2ª ordem no espaço e de 1ª ordem no tempo. A

maioria dos trabalhos na área da simulação numérica de escoamentos em superfície livre são

desenvolvidos com recurso a equações de segunda ordem e, de acordo com Flow Science, Inc.

(2015), este é o modelo mais indicado para situações de escoamentos turbulentos complexos.

Para a iteração da ECQM pensou-se que um modelo de 2ª ordem com preservação da

monotonicidade seria o mais adequado uma vez que produz resultados consideravelmente

melhores comparativamente aos do modelo de 1ª ordem. No estudo desta opção verificou-se

uma maior entrada de ar no escoamento (efeito desejado, devido à maior proximidade dos

valores obtidos com os resultados experimentais), contudo foram verificadas instabilidades nos

perfis de velocidade obtidos nas verticais dos degraus, o que não acontece usando um modelo

de 1ª ordem de iteração da ECQM. Assim sendo, optou-se por utilizar no presente estudo uma

combinação dos dois modelos, utilizando-se inicialmente uma aproximação de 1ª ordem para

uma simulação de 100 segundos e realizando de seguida uma simulação Restart desta

recorrendo ao modelo de 2ª ordem com preservação de monotonicidade.

5.7 Metodologia para obtenção de grandezas caraterísticas do

escoamento

De modo a obter os perfis de velocidade e alturas do escoamento ao longo do descarregador na

direção normal à soleira fictícia (pseudo-bottom) e dado o FLOW-3D® apenas fornecer resultados

nas direções ortogonais x, y e z, recorreu-se ao código MATLAB desenvolvido em Lúcio (2015).

Este código permite converter os resultados obtidos do FLOW-3D® nas direções ortogonais para

valores em função da soleira fictícia (Figura 5.7) para o caso de escoamentos bidimensionais,

i.e. não se considera a velocidade na direção transversal ao escoamento no eixo. Em virtude de

se recorrer a uma simplificação do modelo numérico para a configuração A é possível a obtenção

dos resultados no eixo do descarregador recorrendo a este código.

Para se obterem resultados noutras direções é necessário gerar um ficheiro de coordenadas no

qual se especificam as coordenadas em que se pretendem obter os valores das variáveis de

interesse. Consoante o pedido do utilizador (perfis de velocidade ou alturas do escoamento), o

MATLAB cria automaticamente um ficheiro de coordenadas (denominado transf.in) e guarda-o

na diretoria da simulação. No FLOW-3D® selecionam-se as variáveis de interesse para o cálculo

das quantidades pretendidas e o programa interpola os valores das variáveis selecionadas nas

coordenadas especificadas no ficheiro transf.in. Posteriormente, esta informação é transferida

36

para o MATLAB num ficheiro denominado transf.out e o programa processa a informação

recebida e decompõe os valores das variáveis nas direções pretendidas.

(a) (b)

Figura 5.7 - Ficheiro de coordenadas (a rosa) do programa MATLAB: (a) coordenadas para obtenção do perfil de velocidades na vertical 5; (b) coordenadas para obtenção da altura do escoamento relativamente

à soleira fictícia (adaptado de Lúcio, 2015).

Para o caso do descarregador que adota a configuração B e para os casos que adotam a

configuração A e modelam todo o domínio computacional, recorreu-se ao pós-processador

FlowSight para a obtenção em cada vertical dos valores das variáveis de interesse.

O processo usado para obtenção da secção transversal (direção y) do escoamento em cada

vertical do descarregador na direção normal à soleira encontra-se descrito no Anexo D. Destes

perfis da secção transversal foi possível obter os valores da altura do escoamento nas paredes

laterais em cada vertical do descarregador.

Soleira fictícia Soleira fictícia

37

6 Análises de sensibilidade

Os testes de sensibilidade são considerados uma parte fundamental da calibração do modelo

computacional e têm por objetivo o estudo da influência de diferentes parâmetros e condições

do modelo de modo a determinar o seu efeito nos respetivos resultados.

Tendo por base os resultados da modelação numérica desenvolvida por Lúcio (2015), optou-se

por não se realizar uma análise de sensibilidade ao parâmetro 𝑇𝐿𝐸𝑁 e adotar a opção de cálculo

automático deste parâmetro, sendo a opção mais recomendada por Flow Science, Inc. (2015).

As simulações numéricas foram realizadas num computador com processador Intel Core i7-2600

com 3,40GHz e memória RAM de 8,00 GB. Os resultados apresentados neste capítulo e no

capítulo 7 foram obtidos através das simulações apresentadas na Tabela 6.1. As simulações

representadas a sombreado dizem respeito a simulações que modelam todo o domínio

computacional.

Tabela 6.1 - Resumo das simulações realizadas no presente estudo.

Q (l/s) Configuração Paramento Tipo de malha Tempo computacional

35

A

hd=5,0 cm

1 1dia:6h:47min:17s

12h:26min:16s*

2 2dias:7h:37min:39s

15h:47min:4s*

3 5h:40min:49s

3h:11min:42s*

4 11h:39min:24s

5h:18min:4s*

hd=2,5 cm

1 15h:3min:30s*

2 1dia:13h:17min:1s*

3 8h:42min:7s*

4 15h:0min:35s

8h:43min:19s*

liso 4 1dia:1h:43min:10s

10h:19min:39s*

B hd=5,0 cm 4 2dias:21h:23min:17s

10h:14min:14s*

42

A

hd=5,0 cm 4 15h:36min:56s

9h:16min:42s*

hd=2,5 cm

2 1dia:20h:40min:53s*


12h:40min:49s*


20h:33min:55s*

38

Tabela 6.1 - Resumo das simulações realizadas no presente estudo (continuação).

Q (l/s) Configuração Paramento Tipo de malha Tempo computacional

49

A

hd=5,0 cm 4

14h:37min:47s

11h:13min:43s*

2dias:2h:30min:8s

20h:58min:14s*

hd=2,5 cm

2 21h:9min:45s*

4 17h:51min:59s

8h:36min:23s*


14h:3min:19s*

56

A

hd=5,0 cm 4 1dia:0h:23min:21s

11h:43min:41s*

hd=2,5 cm


22h:11min:7s*

4 19h:53min:40s

1dia:10h:52min:59s*

liso 4 1dia:8h:6min:23s

1dia:0h:56min:37s*


14h:1min:25s*

* Simulação Restart com aproximação de 2ª ordem com preservação de monotonicidade

6.1 Convergência

O valor EPSI (no FLOW-3D® é designado por Constant pressure iteration convergence criterion)

representa o critério de convergência para o cálculo iterativo das pressões, enquanto que o Max

Residual representa a divergência da equação de continuidade na iteração final do cálculo

iterativo das pressões. Se este valor for inferior ao valor de EPSI então a simulação terá

convergido (Flow Science, Inc., 2015), como verificado na Figura 6.1. Esta condição foi verificada

em todas as simulações, concluindo-se que todas convergiram.

Figura 6.1 - Monitorização do critério de convergência no decorrer de uma das simulações efetuadas (configuração A; hd= 5,0cm, Q=35 l/s, malha 2).

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0 20 40 60 80 100

t (s)

EPSI

Max Residual

39

6.2 Soleira descarregadora

Neste subcapítulo procedeu-se à caraterização do escoamento na soleira descarregadora.

Afigura-se de interesse uma breve análise dos valores das alturas de escoamento e perfis de

velocidade ao longo da soleira descarregadora, de modo a avaliar o ajustamento dos resultados

numéricos obtidos com os resultados apresentados nos estudos de Cabrita (2007) e Lúcio

(2015). É possível estabelecer uma comparação com Lúcio (2015) dado que, embora a

configuração do descarregador seja diferente, o escoamento sobre a soleira descarregadora não

é afetado pelas condições de jusante.

As alturas do escoamento e perfis de velocidade foram obtidos para 4 secções da soleira:

secções 1, 2, 3 e 4, respetivamente a 12,5, 25,0, 37,5 e 46,4 cm do início da soleira

descarregadora.

6.2.1 Alturas do escoamento

Na Figura 6.2 apresentam-se as alturas de escoamento ao longo da soleira descarregadora

obtidas numericamente em simulações realizadas com a malha mais refinada (malha 2) para um

descarregador com duas paredes convergentes e altura dos degraus igual a 5,0 cm, bem como

as alturas experimentais obtidas em Cabrita (2007). As alturas do escoamento obtidas para as 4

secções da soleira encontram-se apresentadas na Tabela 6.2. É possível verificar na Figura 6.2

que as alturas de escoamento em cada secção aumentam com o caudal. Para um mesmo caudal

observa-se ainda que as alturas de escoamento diminuem à medida que se aproximam da

secção de jusante da soleira, registando-se uma diminuição acentuada da altura de escoamento

na secção 4. Esta diminuição acentuada no final da soleira é atribuída à aceleração do

escoamento na aproximação do canal descarregador (Felder e Chanson, 2012).

Figura 6.2 - Evolução das alturas de escoamento na soleira: comparação entre os resultados experimentais de Cabrita (2007) e numéricos (malha 2).

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.10

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

h (

m)

x (m)

35 l/s

35 l/s, Cabrita (2007)

42 l/s


49 l/s


56 l/s


40

Tabela 6.2 - Alturas de escoamento numéricas (hnum) e experimentais (hexp) na soleira descarregadora.

hnum (m) hexp (m)

Q Secção 1 Secção 2 Secção 3 Secção 4 Secção 1 Secção 2 Secção 3 Secção 4

l/s 0,125 0,250 0,375 0,464 0,125 0,250 0,375 0,464

56 0,0883 0,0802 0,0755 0,0670 0,0926 0,0841 0,0800 0,0712

49 0,0819 0,0752 0,0696 0,0622 0,0841 0,0770 0,0743 0,0675

42 0,0744 0,0688 0,0651 0,0571 0,0729 0,0685 0,0671 0,0602

35 0,0627 0,0595 0,0573 0,0502 0,0620 0,0595 0,0600 0,0505

A Tabela 6.3 apresenta as diferenças relativas entre os resultados experimentais (hexp) e os

resultados numéricos (hnum), 𝛿 = 100 ∙ (ℎ𝑛𝑢𝑚 − ℎ𝑒𝑥𝑝) ℎ𝑒𝑥𝑝⁄ , anteriormente apresentados na

Tabela 6.2. As maiores diferenças ocorrem para a secção 4 (à exceção do caudal de 35 l/s), o

que se poderá atribuir à estimativa imprecisa da altura do escoamento a partir da utilização do

tubo de carga total, devido à oscilação da superfície livre e pelo facto de o tubo não estar, nesta

secção, alinhado com a direção do escoamento (já sob o efeito da curvatura do escoamento).

Tabela 6.3 - Diferenças relativas entre alturas de escoamento numéricas e experimentais na soleira.

Q δ (%)

l/s Secção 1 Secção 2 Secção 3 Secção 4

56 -4,7 -4,6 -5,7 -5,9

49 -2,6 -2,4 -6,3 -7,9

42 2,1 0,4 -2,9 -5,2

35 1,2 -0,1 -4,5 -0,6

Na Figura 6.3 apresentam-se alturas de escoamento na soleira obtidas numericamente no

presente estudo e em Lúcio (2015). Relativamente à dimensão das células da malha de cálculo,

dado que o modelo tridimensional implica um esforço de cálculo significativo quando comparado

com o modelo 2D de Lúcio (2015), houve a necessidade de estabelecer um compromisso entre

qualidade dos resultados e tempo de cálculo. Assim sendo, compararam-se os valores obtidos

para a malha 2 do presente estudo (Bloco 1: 0,0125x 0,0125 m; Bloco 2: 0,00625 x 0,00625 m)

com os valores obtidos na malha 4 de Lúcio (2015) (Bloco 1: 0,00625 x 0,00625 m; Bloco 2:

0,003125 x 0,003125 m) para todos os caudais. A Tabela 6.4 contém as diferenças relativas, δ,

entre as alturas de escoamento obtidas nos dois estudos para o caudal de 56 l/s, concluindo-se

que os resultados apresentam uma boa concordância entre si.

Figura 6.3 - Alturas de escoamento na soleira: comparação entre os resultados numéricos obtidos no

presente estudo e os obtidos por Lúcio (2015).

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.10

0.11

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

h (

m)

x (m)

Presente estudo

Lúcio (2015)

35 l/s

42 l/s

49 l/s

56 l/s

35 l/s

42 l/s

49 l/s

56 l/s

41

Tabela 6.4 - Diferenças relativas entre alturas de escoamento obtidas numericamente no presente estudo (hpres. estudo) e em Lúcio (2015) (hLúcio (2015)) na soleira descarregadora para Q=56 l/s.

hpres. estudo (m) hLúcio (2015) (m) δ (%)

Secção 1 0,0883 0,0879 0,4

Secção 2 0,0802 0,0793 1,2

Secção 3 0,0755 0,0741 1,8

Secção 4 0,0670 0,0657 2,0

6.2.2 Perfis de velocidade do escoamento

Nesta análise dos perfis de velocidade ao longo da soleira descarregadora procedeu-se à

comparação com os estudos de Cabrita (2007) e de Lúcio (2015). Para além disso, são

apresentadas duas situações do presente estudo: perfis de velocidade para uma simulação em

que se adotou o método de aproximação numérica da conservação da quantidade de movimento

de 1ª ordem (designada por 1ª ordem) e valores para uma simulação Restart desta que adota

um modelo de 2ª ordem com preservação da monotonicidade (designada por 1ª+2ª ordem). A

título de exemplo, são apresentados na Figura 6.4 os perfis correspondentes ao caudal de 56 l/s.

(c) (d)

Figura 6.4 - Perfis de velocidade do escoamento na soleira para Q=56 l/s obtidos no presente estudo (malha 2) e nos estudos de Cabrita (2007) e Lúcio (2015) (malha 4 definida em Lúcio, 2015): (a) secção 1;

(b) secção 2; (c) secção 3; (d) secção 4.

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3

y (

m)

V (m/s)1ª ordem 1ª+2ª ordem

Cabrita (2007) Lúcio (2015)

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3

y (

m)

V (m/s)

1ª ordem 1ª+2ª ordem


(a) (b)

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3

y (

m)

V (m/s)1ª ordem 1ª+2ª ordem


0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3

y (

m)

V (m/s)

1ª ordem 1ª+2ª ordem


42

Os valores experimentais de Cabrita (2007) utilizados nesta análise foram obtidos pelo cálculo

da velocidade a partir da medição da carga total num tubo de Pitot e admitindo a distribuição

hidrostática de pressões (designado por “método B” nos estudos de Cabrita, 2007).

Compararam-se os perfis de velocidade obtidos numericamente e os medidos

experimentalmente, tendo sido calculadas as diferenças relativas médias entre esses perfis. Os

resultados da simulação Restart apresentam menores diferenças relativas médias em relação

aos resultados da simulação que adota o modelo de 1ª ordem para a aproximação numérica da

conservação da quantidade de movimento, sendo a maior diferença relativa registada entre

ambas de 6,1% para a secção 1 e caudal de 56 l/s. Para Q=35 l/s, a diferença relativa média

entre os valores respeitantes à simulação Restart e os valores experimentais é de 8,7% na

secção 1, na secção 2 é 6,0%, na secção 3 é 1,6% e na secção 4 é 15,7%. Para Q=42 l/s, a

diferença relativa média na secção 1 é 9,5%, na secção 2 é 6,1%, na secção 3 é 1,9% e na

secção 4 é 5,2%. Para Q=49 l/s, a diferença relativa média na secção 1 é 8,1%, na secção 2 é

2,3%, na secção 3 é 0,9% e na secção 4 é 6,7%. Para Q=56 l/s, a diferença relativa média na

secção 1 é 4,3%, na secção 2 é 3,4%, na secção 3 é 1,3% e na secção 4 é 6,7%. As maiores

diferenças registadas, analogamente ao concluído para as alturas de escoamento, ocorrem na

secção 4. Os perfis experimentais da secção 4 não reproduzem a acentuada curvatura dos perfis

numéricos, dado a hipótese da distribuição hidrostática de pressões, em que se baseou o cálculo

das velocidades, não é válida nesta secção, onde se verifica um escoamento rapidamente

variado.

Na comparação com os resultados numéricos obtidos no estudo de Lúcio (2015) foram também

determinadas as diferenças relativas médias, considerando como valor de referência o valor

correspondente à malha mais refinada, i.e. a malha definida para o estudo de Lúcio (2015).

Também neste caso a simulação Restart apresentou um melhor ajustamento aos valores obtidos

em Lúcio (2015). Para Q=35 l/s, obteve-se uma diferença relativa média (em valor absoluto) entre

os valores obtidos na simulação Restart e os valores de Lúcio (2015) de 0,7% para a secção 1,

na secção 2 de 1,0%, na secção 3 de 2,0% e na secção 4 de 0,5%. Para Q=42 l/s, na secção 1

a diferença relativa média é de 0,4%, na secção 2 é 1,1%, na secção 3 é 1,9% e na secção 4 é

de 0,5%. Para Q=49 l/s, a diferença relativa média na secção 1 é 0,7%, na secção 2 é 0,8%, na

secção 3 é de 1,4% e na secção 4 é 0,5%. Para Q=56 l/s, a diferença relativa média é 0,4% para

a secção 1, 0,6% na secção 2, 1,1% na secção 3 e 0,6% na secção 4.

Após análise dos resultados conclui-se que os valores obtidos no presente estudo para a soleira

descarregadora são próximos dos resultados numéricos obtidos em Lúcio (2015) e que ambos

apresentam um bom ajustamento em relação aos valores obtidos experimentalmente em Cabrita

(2007).

43

6.3 Independência da malha

Realizou-se um estudo de independência da malha para o caudal de 35 l/s, no qual se analisaram

as quatro malhas descritas na Tabela 5.2 para duas tipologias do descarregador em degraus.

Neste subcapítulo pretende-se analisar a influência da malha nos resultados obtidos para as

simulações efetuadas e quantificar o tipo de erros em que se incorre ao adotar uma dada malha.

Neste estudo são apresentadas as diferenças relativas entre diferentes malhas, dado por

𝛿 (%) =𝑉−𝑉𝑟𝑒𝑓

𝑉𝑟𝑒𝑓∙ 100, em que se considera o valor de referência (Vref) correspondente à malha

mais refinada.

6.3.1 Tipologia A - Configuração A e degraus com hd=2,5 cm

O descarregador em degraus é composto por duas regiões: região não arejada e região arejada.

A secção de transição entre estas duas regiões é designada por secção de afloramento da

camada limite, a jusante da qual o escoamento apresenta uma superfície bastante irregular

devido à entrada de ar. Na Figura 6.5 é possível observar que, para as malhas mais refinadas

(malhas 2 e 4), as alturas do escoamento no eixo apresentam pequenas diferenças na região

inicial do descarregador, o que já não acontece na fase final do descarregador, embora estes

valores continuem próximos entre si, com diferenças relativas inferiores a 10%.

Admite-se que o degrau 0 corresponde à vertical L=0 m, o degrau 1 a L=0,06 m, e assim

sucessivamente. A diferença relativa média (em relação à malha mais refinada) no eixo do canal

descarregador entre as malhas 2 e 4 até L=0,56 m é de 2,9% e para L>0,56 m é de 6,4%, sendo

que nesta região a maior diferença registada entre malhas é de 9,8% e para a região não-arejada

é de -8,4%. Para este último caso (L>0,56 m), não se registou independência da malha dado se

tratar das verticais com escoamento arejado, situação em que a modelação do escoamento ar-

água é muito mais exigente. Observa-se que o degrau em que se verifica entrada de ar na Figura

6.5 – registado como o aumento de altura no eixo do descarregador no 10º degrau (L=0,56 m) –

coincide com a entrada de ar no 10º degrau observado nos ensaios de Cabrita (2007).

Figura 6.5 - Alturas do escoamento no eixo do canal descarregador para duas paredes convergentes com ângulo de 9,9⁰ (Q=35 l/s e hd=2,5 cm).

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

0.045

0.05

0.00 0.11 0.22 0.34 0.45 0.56 0.67 0.78 0.89 1.01 1.12

h (

m)

L (m)

1ª+2ª ordem, malha 11ª+2ª ordem, malha 21ª+2ª ordem, malha 31ª+2ª ordem, malha 4

44

Na Figura 6.6 é apresentada a evolução das alturas do escoamento na parede direita do

descarregador para o caudal de 35 l/s. Analogamente ao verificado na Figura 6.5, para todas as

malhas é observada uma diminuição acentuada das alturas até meio do descarregador (L=0,56

m), aumentando na fase final do descarregador. Neste caso a diferença relativa média (em valor

absoluto) entre as malhas 2 e 4 é de 3,9% até L=0,56 m e 4,8% para L>0,56 m. Outra conclusão

a retirar do desenvolvimento das alturas de escoamento na parede direita é a diferença menos

acentuada entre as diferentes malhas, comparativamente com os valores registados no eixo.


convergentes com ângulo de 9,9⁰ (Q=35 l/s e hd=2,5 cm).

Na Figura 6.7 são apresentados os perfis de velocidade registados para 35 l/s nas verticais 2, 4,

6 e 8 do descarregador, para as diferentes malhas. Nas verticais 2 e 4, para diferentes malhas,

existe um afastamento dos perfis junto da soleira fictícia, embora estes convirjam para o mesmo

valor. Na vertical 2 regista-se uma diferença relativa média (em valor absoluto) entre as malhas

2 e 4 igual a 0,9% (com maior diferença registada na proximidade da soleira fictícia igual a 2,3%)

e na vertical 4 este valor é de 1,9%. Para as verticais 6 e 8 já se denota um afastamento mais

considerável entre malhas, sendo para a vertical 6, a diferença relativa média entre as malhas 2

e 4 de 3,3% (sendo a maior diferença registada nos dois pontos mais próximos da soleira fictícia

de 6,8% e 3,0%). No caso da vertical 8, a diferença relativa média é igual a 5,1% (com diferenças

relativas de 12,4% e 7,8% registadas nos dois pontos mais próximos da soleira fictícia). Como é

expectável, até à região arejada do descarregador, denota-se um progressivo afastamento entre

os perfis de velocidade ao longo do trecho a montante da SACL. Tendo em conta as diferenças

relativas médias calculadas, conclui-se que as soluções correspondentes às malhas 2 e 4 não

apresentam diferenças significativas entre si, com valores até 10%.

Nesta análise conclui-se que as malhas 2 e 4 convergem no caso da região não-arejada. Devido

à elevada exigência computacional da malha mais refinada (malha 2), optou-se por prosseguir

este estudo recorrendo à malha 4 (estando ciente do erro em que se incorre).

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

0.045

0.05

0.00 0.11 0.22 0.34 0.45 0.56 0.67 0.78 0.89 1.01 1.12

h (

m)

L (m)


45

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

0.045

0.05

1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6

y (

m)

V (m/s)

malha 1 malha 2

malha 3 malha 4

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

0.045

0.05

1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6

y (

m)

V (m/s)

malha 1 malha 2

malha 3 malha 4(a) (b)

(c) (d) Figura 6.7 - Perfis de velocidade no canal descarregador para 2 paredes convergentes com ângulo de

9,9⁰ (Q=35 l/s e hd=2,5 cm): (a) vertical 2, L=0,11 m; (b) vertical 4, L=0,22 m; (c) vertical 6, L=0,34 m; (d) vertical 8, L=0,45 m.

6.3.2 Tipologia B - Configuração A e degraus com hd=5,0 cm

Para esta tipologia Cabrita (2007) regista entradas de ar no seio do escoamento, de forma

intermitente ou permanente, a partir da quarta vertical (L=0,45 m), sensivelmente a partir da qual

se começam a registar maiores diferenças relativas entre as malhas mais refinadas (2 e 4) na

Figura 6.8.

No caso do descarregador com degraus de 5,0 cm, possivelmente devido à sua maior rugosidade

de superfície, obtiveram-se diferentes conclusões para o teste de independência realizado para

as malhas da Tabela 5.2. Relativamente às alturas do escoamento no eixo do descarregador

para Q=35 l/s (Figura 6.8) obteve-se uma diferença relativa média (em valor absoluto) entre as

malhas mais refinadas – malhas 2 e 4 – de 3,7% até L=0,45 m (com maior diferença registada

igual a 6,1%) e de 5,3% para as verticais com escoamento arejado (L>0,45 m), registando-se

12,1% como a maior diferença relativa obtida. À semelhança do concluído no subcapítulo 6.3.1,

verifica-se que as alturas do escoamento diminuem para jusante até sensivelmente L=0,56 m, a

partir do qual começam a aumentar até uma altura próxima da inicial. No entanto, para o caso

da altura de degraus de 5,0 cm, o decréscimo inicial da altura do escoamento é mais ténue.

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

0.045

0.05

1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6

y (

m)

V (m/s)

malha 1 malha 2

malha 3 malha 4

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

0.045

0.05

1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6

y (

m)

V (m/s)

malha 1 malha 2

malha 3 malha 4

46

Figura 6.8 - Alturas do escoamento no eixo do canal descarregador para duas paredes convergentes com ângulo de 9,9⁰ (Q=35 l/s e hd=5,0 cm).

A Figura 6.9 mostra os valores obtidos para a parede direita do descarregador. Neste caso é

possível notar uma diferença significativa entre perfis, sendo registadas diferenças relativas

médias (em valor absoluto) entre as malhas 2 e 4 de 4,0% até L=0,45 m (com maior valor igual

a 10,5% em L=0,11m) e para L>0,45 m de 5,0%, sendo o maior valor registado nesta região igual

a 10,9% em L=0,78m.

Figura 6.9 - Alturas do escoamento na parede direita do canal descarregador para duas paredes convergentes com ângulo de 9,9⁰ (Q=35 l/s e hd=5,0 cm).

Na Figura 6.10 são apresentados os perfis de velocidade do escoamento nas verticais 1 a 6 para

o caudal de 35 l/s. O efeito da macro-rugosidade dos degraus de 5,0 cm está bem patente nestas

figuras, visto que à medida que se aproxima da superfície livre a velocidade nos degraus tem

tendência a convergir para as diferentes malhas, no entanto, próximo da soleira fictícia os

degraus provocam um significativo abrandamento na velocidade do escoamento (com exceção

da vertical 1, em que se verifica um comportamento dos perfis de velocidade das diferentes

malhas próximo ao do escoamento potencial). De uma forma geral, é possível observar que

quanto mais refinada for a malha mais demarcado é esse abrandamento, com exceção das

malhas grosseiras em que este fenómeno não é registado. Para as malhas mais refinadas, a

diferença relativa média em valor absoluto para a vertical 1 é de 1,6%. Na vertical 2 esta diferença

é de 5,4% (sendo o maior valor registado de 22,5%). Na vertical 3 a diferença relativa média é

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

0.045

0.05

0.00 0.11 0.22 0.34 0.45 0.56 0.67 0.78 0.89 1.01

h (

m)

L (m)


0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

0.045

0.05

0.00 0.11 0.22 0.34 0.45 0.56 0.67 0.78 0.89 1.01

h (

m)

L (m)

1ª+2ª ordem, malha 1




47

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

0.045

0.05

1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6

y (

m)

V (m/s)malha 1 malha 2malha 3 malha 4

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

0.045

0.05

1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6

y (

m)


de 8,8% (com o maior valor observado de 22,7%). Para a vertical 4 a diferença relativa média

entre malhas toma o valor de 6,7% (com o máximo valor registado igual a 24,6%). No caso da

vertical 5 a diferença relativa média é de 7,4% (valor máximo registado igual a 12,0%) e para a

vertical 6 toma o valor de 8,6%, sendo a maior diferença entre as malhas 2 e 4 igual a 15,3%.

(a) (b)

(c) (d)

(e) (f) Figura 6.10 - Perfis de velocidade no canal descarregador para duas paredes convergentes com ângulo de 9,9⁰ (Q=35 l/s e hd=5,0 cm): (a) vertical 1, L=0,11 m; (b) vertical 2, L=0,22 m; (c) vertical 3, L=0,34 m;

(d) vertical 4, L=0,45 m; (e) vertical 5, L=0,56 m; (f) vertical 6, L=0,67 m.

Para o caso do descarregador em degraus com hd=5,0 cm e duas paredes convergentes

(θ=9,9⁰), conclui-se que as malhas 2 e 4 convergem para valores na proximidade da superfície

livre do escoamento. Comparando este caso com a Tipologia A, apresentada no subcapítulo

6.3.1, verifica-se que a sensibilidade da zona junto da soleira fictícia é mais demarcada para o

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

0.045

0.05

1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6

y (

m)


0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

0.045

0.05

1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6

y (

m)


0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

0.045

0.05

1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6

y (

m)


0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

0.045

0.05

1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6

y (

m)

V (m/s)malha 1 malha 2

malha 3 malha 4

48

caso dos degraus de 5,0 cm devido à maior rugosidade do descarregador. Também neste caso

se optou por adotar a malha 4 devido à redução significativa dos tempos de cálculo.

6.4 Aplicação da condição de fronteira de simetria

As malhas de cálculo mais refinadas (malhas 2 e 4) apresentadas na Tabela 5.2 estão

associadas a um esforço de cálculo significativo pelo que se recorreu a uma simplificação do

modelo numérico para a configuração A por imposição de uma condição de fronteira de simetria

em 𝑦 = 0. Esta condição permite que se modele apenas metade do escoamento, estabelecendo

as mesmas condições de fluido imediatamente fora da fronteira, reduzindo significativamente os

tempos de cálculo. No entanto, a condição de simetria impõe certas caraterísticas que não

ocorrem num caso que modela todo o domínio computacional, como por exemplo a condição de

velocidade zero na direção normal à condição de fronteira. Assim sendo, procedeu-se a uma

análise de sensibilidade para o caudal de 49 l/s e para a configuração A com altura de degraus

de 5,0 cm e malha 4, comparando a modelação de todo o domínio computacional com a

modelação de metade do domínio por imposição da condição de fronteira de simetria em 𝑦 = 0.

Neste teste de sensibilidade são apresentados os valores dos modelos de 1ª ordem de iteração

da ECQM e dos modelos de 2ª ordem com preservação de monotonicidade. Para esta tipologia

de descarregador e para o caudal de 49 l/s, Cabrita (2007) verifica presença de ar no seio do

escoamento na vertical 6 (L=0,67 m).

As simulações numéricas realizadas para os dois modelos de iteração da ECQM pretendem

concluir sobre as diferenças em que se incorre ao adotar o modelo numérico com condição de

fronteira no eixo do descarregador, comparativamente à modelação de todo o domínio

computacional.

Na Figura 6.11 representam-se, para as duas situações em estudo, as alturas de escoamento

obtidas para modelos de 1ª ordem e 2ª ordem com preservação de monotonicidade de

aproximação numérica da conservação de quantidade de movimento. Observa-se que até

L=0,22m as diferenças relativas são reduzidas, sendo que a partir deste ponto as alturas do

escoamento começam a apresentar valores distintos. No entanto, para modelos de aproximação

da ECQM do mesmo tipo, as diferenças relativas são reduzidas com os resultados de

aproximações de 1ª ordem a apresentar um considerável empolamento da veia líquida, em

comparação com as aproximações de 2ª ordem com preservação de monotonicidade. Para as

aproximações de 2ª ordem com preservação de monotonicidade, a diferença relativa média (em

valor absoluto) é de 1,7%, enquanto para aproximações de 1ª ordem este valor é 0,5%.

Para as alturas do escoamento na parede direita do descarregador, representadas na Figura

6.12, observam-se valores próximos para todos os casos com diferença relativa média em valor

absoluto entre as aproximações de 2ª ordem com preservação de monotonicidade igual a 2,3%.

A proximidade de valores das alturas do escoamento registados entre aproximações de 1ª ordem

49

e 2ª ordem com preservação de monotonicidade poderá ser justificada pelo facto que nenhum

destes modelos reproduza corretamente o escoamento na proximidade da parede.

Figura 6.11 - Comparação das alturas do escoamento no eixo do descarregador para domínio total do modelo numérico versus modelo com imposição de condição de fronteira de simetria (duas paredes

convergentes e malha 4; θ=9,9⁰; Q=49 l/s e hd=5,0 cm).

Figura 6.12 - Comparação das alturas do escoamento na parede direita do descarregador para domínio total do modelo numérico versus modelo com imposição de condição de fronteira de simetria (duas

paredes convergentes e malha 4; θ=9,9⁰; Q=49 l/s e hd=5,0 cm).

Na Figura 6.13 encontram-se apresentados os perfis de velocidade para as verticais 1 a 6 do

eixo do descarregador. Os diferentes símbolos dizem respeito aos dois modelos em comparação

neste teste de sensibilidade: os triângulos referem-se ao modelo em que se considera todo o

domínio computacional e os quadrados ao modelo que modela metade do domínio por imposição

da condição de fronteira de simetria. No caso dos modelos que recorrem apenas aos modelos

de aproximação da ECQM de 1ª ordem pode-se concluir que a simplificação do modelo não

altera os resultados obtidos, possivelmente porque este tipo de aproximação ser incapaz de

reproduzir adequadamente efeitos de 2ª ordem (caraterísticos de escoamentos mais complexos).

No caso dos modelos que resultam da simulação Restart com aproximação de 2ª ordem da

ECQM com preservação de monotonicidade registam-se diferenças, em especial para as

verticais 2 e 4 (Figura 6.13 (b) e (d)). No caso da vertical 2 a diferença relativa média é de 3,3%

(nesta região, a maior diferença é de 11,1%) e para a vertical 4 as diferenças estão na ordem

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

0.045

0.05

0.055

0.06

0.065

0.07

0.00 0.11 0.22 0.34 0.45 0.56 0.67 0.78 0.89 1.01

h (

m)

L (m)

1ª ordem, domínio total

1ª+2ª ordem, domínio total

1ª ordem, cond. simetria

1ª+2ª ordem, cond. simetria

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

0.045

0.05

0.055

0.06

0.065

0.07

0.00 0.11 0.22 0.34 0.45 0.56 0.67 0.78 0.89 1.01

h (

m)

L (m)

1ª ordem, domínio total

1ª+2ª ordem, domínio total

1ª ordem, cond. simetria

1ª+2ª ordem, cond. simetria

50

dos 19,3% (sendo a maior diferença de 28,2%). Para a vertical 5 tem-se uma diferença relativa

média de 15,2%, com maior valor registado igual 19,9%. Para a vertical 6 a diferença relativa

média é 11,7% (com maior valor registado igual a 28,0%).

Dada a limitação de tempo e memória, não se conseguiu simular este caso para malhas mais

refinadas, o que conduziu a que só se tenha obtido convergência para as primeiras verticais,

pelo que os resultados nas restantes verticais devem ser olhados com muita reserva. Devido à

elevada exigência computacional de uma modelação de todo o domínio computacional, optou-

se por prosseguir este estudo recorrendo à simplificação do modelo.

(a) (b)

(c) (d)

(e) (f) Figura 6.13 - Comparação dos perfis de velocidade no eixo do descarregador para domínio total do

modelo numérico versus modelo com imposição de condição de fronteira de simetria (2 paredes convergentes; θ=9,9⁰; Q=49 l/s e hd=5,0 cm): (a) vertical 1, L=0,11 m; (b) vertical 2, L=0,22 m; (c) vertical

3, L=0,34 m; (d) vertical 4, L=0,45 m; (e) vertical 5, L=0,56 m; (f) vertical 6, L=0,67 m.

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0 0.5 1 1.5 2 2.5

y (m

)

V (m/s)

1ª ordem, domínio total1ª+2ª ordem, domínio total1ª ordem, cond. simetria1ª+2ª ordem, cond. simetria

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0 0.5 1 1.5 2 2.5

y (

m)

V (m/s)1ª ordem, domínio total1ª+2ª ordem, domínio total1ª ordem, cond. simetria1ª+2ª ordem, cond. simetria

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0 0.5 1 1.5 2 2.5

y (

m)

V (m/s)


0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0 0.5 1 1.5 2 2.5

y (

m)

V (m/s)


0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0 0.5 1 1.5 2 2.5

y (

m)

V (m/s)


0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0 0.5 1 1.5 2 2.5

y (

m)

V (m/s)


51

7 Resultados

7.1 Caudal

À semelhança de Lúcio (2015), não se impôs o caudal no modelo numérico, tendo sido apenas

definida a altura de água no reservatório recorrendo à imposição deste valor como condição

inicial e como condição de fronteira a montante (em Xmin). Assim sendo, é necessário verificar se

o caudal obtido na simulação numérica corresponde ao caudal que se pretende simular. Na

Tabela 7.1 são apresentados os valores obtidos no decorrer da primeira simulação (t=100s) de

um descarregador de configuração A e degraus com altura de 5,0 cm, e que adota um modelo

de 1ª ordem de aproximação numérica da conservação da quantidade de movimento. Dado se

tratar de um descarregador de configuração A que impõe uma condição de fronteira de simetria,

regista valores do caudal para metade do domínio computacional. A diferença relativa 𝛿1 refere-

se à diferença entre o caudal obtido experimentalmente por Cabrita (2007) e o caudal obtido

numericamente na fronteira de montante para a simulação inicial. A diferença 𝛿2 é a diferença

entre os caudais experimental e numérico na fronteira de jusante para a simulação de 100s.

Tabela 7.1 - Diferenças relativas entre os caudais obtidos experimental e numericamente nas fronteiras de montante e jusante para a configuração A (malha 4).

Qexp Qexp/2 Qnum/2 (Xmin) Qnum/2 (Xmax) δ1 (%) δ2 (%)

(l/s) (l/s) (l/s) (l/s)

35 17,5 16,96 16,88 -3,1 -3,5

42 21,0 21,02 21,39 0,1 1,8

49 24,5 23,97 24,13 -2,2 -1,5

56 28,0 26,82 26,74 -4,2 -4,5

Da Tabela 7.1 conclui-se que as diferenças δ2 são superiores às δ1, o que pode ser explicado

pelo facto de não ter sido imposto o caudal em nenhum dos modelos numéricos. Na Figura 7.1

é possível observar a evolução temporal do caudal nas fronteiras de montante e jusante para a

totalidade dos caudais e malha 4.

Figura 7.1 - Evolução temporal do caudal nas fronteiras de montante e jusante para a configuração A.

0

5

10

15

20

25

30

0 20 40 60 80 100

Q (

l/s)

t (s)

17,5 l/s Xmin

17,5 l/s Xmáx

21 l/s Xmin

21 l/s Xmáx

24,5 l/s Xmin

24,5 l/s Xmáx

28 l/s Xmin

28 l/s Xmáx

52

7.2 Alturas do escoamento no canal descarregador


À semelhança de outros autores (e.g. André e Ramos, 2003; Hunt et al., 2008, 2012; Woolbright,

2008; Wadhai et al., 2014), Cabrita (2007) faz uma análise do perfil da superfície livre do

escoamento ao longo do descarregador.

Para o modelo numérico, a determinação das alturas de escoamento no eixo foi feita recorrendo

ao código MATLAB desenvolvido em Lúcio (2015) – ver subcapítulo 5.7. A determinação das

alturas na parede direita é feita através da definição de planos a passar por cada degrau do canal

descarregador e normais à soleira fictícia, recorrendo ao ParaView, obtendo a definição da

secção transversal para cada vertical do degrau. Tendo em conta que a configuração com duas

paredes convergentes é uma estrutura simétrica e ao facto de se ter aplicado a condição de

fronteira de simetria em 𝑦 = 0, admite-se que as alturas do escoamento nas duas paredes

laterais são iguais.

Nos gráficos apresentados ao longo deste subcapítulo, as linhas de grelha verticais

apresentadas correspondem às verticais dos degraus na direção normal à soleira fictícia para o

caso dos descarregadores em degraus com hd=5,0 cm. O vértice de jusante da soleira

descarregadora corresponde a L=0; o primeiro degrau corresponde ao vértice formado no final

da soleira do degrau zero (L=0,11 m), e assim sucessivamente.

As Figuras 7.2 a 7.5 dizem respeito a alturas obtidas numericamente ao longo do descarregador,

segunda a direção normal à soleira fictícia, para simulações Restart que adotam aproximações

de 2ª ordem com preservação de monotonicidade. É de salientar que as secções de medição do

descarregador liso correspondem às do descarregador em degraus com hd=5,0 cm, sendo

apresentados os perfis de velocidade apenas para os caudais extremos (35 l/s e 56 l/s).

As Figuras 7.2 (a) e (b) permitem verificar que as alturas do escoamento no eixo dos

descarregadores em degraus diminuem para jusante até sensivelmente meio do canal, a partir

do qual aumentam até uma altura próxima da inicial. É também possível concluir que as alturas

do escoamento aumentam com o caudal, verificando-se em geral o mesmo para as alturas

registadas na parede convergente (ver Figuras 7.4 (a) e (b)).

Relativamente ao descarregador com paramento liso, no eixo do descarregador (Figura 7.2 (c))

verifica-se que a altura do escoamento diminui para jusante, registando-se para o caudal de 56l/s

um ligeiro empolamento da veia líquida perto do final do canal descarregador, possivelmente

devido à intensificação da ação do escoamento junto ao pé do descarregador, pelas suas

caraterísticas enquanto escoamento rapidamente variado. No caso das alturas junto da parede

(Figura 7.4 (c)), observa-se também uma diminuição da altura do escoamento para jusante,

mantendo-se aproximadamente constante nas últimas seis secções de medição. Estas alturas

53

são inferiores às dos descarregadores em degraus, com exceção do trecho próximo da soleira

em que a altura é aproximadamente igual.

À semelhança do concluído em André e Ramos (2003) e Cabrita (2007), no convergente θ=19,3⁰

com degraus de 5,0 cm de altura (Figura 7.3), e comparando os resultados numéricos

apresentados no Anexo C.4 para este descarregador, conclui-se que as alturas do escoamento

na parede direita são sempre superiores às registadas na parede esquerda, i.e. as alturas do

escoamento na parede convergente são superiores às alturas na parede com a direção do

escoamento. Outra conclusão possível de retirar deste descarregador é a tendência para um

aumento da altura do escoamento ao longo do descarregador na proximidade da parede

convergente (Figura 7.5), registando-se para os dois menores caudais (35 e 42 l/s) uma redução

desses valores nas últimas secções de medição do canal descarregador.

Comparando os descarregadores em degraus com hd=5,0 cm, verificou-se que para as alturas

do escoamento relativas à parede convergente (parede direita), Figuras 7.4 (a) e 7.5, o

descarregador com ângulo de convergência de 19,3⁰ regista valores em média 1,1 a 1,5 vezes

superiores às do convergente θ=9,9⁰. Observando as Figuras 7.2 (a) e 7.3, é também possível

concluir que, para o descarregador com maior ângulo de convergência, se regista empolamento

da veia líquida a partir da vertical 3, enquanto no caso do descarregador com θ=9,9⁰ se regista

a partir das verticais 4/5. Esta conclusão é à de estudos já realizados (e.g. Talbot et al., 1997;

André e Ramos, 2003; Cabrita, 2007; Zindovic et al., 2016) que indicam que um aumento do

ângulo de convergência provoca o aumento da altura do escoamento junto da parede e entrada

de ar no seio do escoamento mais a montante.

(a)

Figura 7.2 - Alturas do escoamento no eixo do descarregador obtidas numericamente para os caudais em estudo e para a configuração A: (a) hd=5,0 cm; (b) hd=2,5 cm; (c) liso.

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.00 0.11 0.22 0.34 0.45 0.56 0.67 0.78 0.89 1.01 1.12

h (

m)

L (m)

35 l/s

42 l/s

49 l/s

56 l/s

54

(b)

(c)

Figura 7.2 - Alturas do escoamento no eixo do descarregador obtidas numericamente para os caudais em estudo e para a configuração A: (a) hd=5,0 cm; (b) hd=2,5 cm; (c) liso (continuação).

Figura 7.3 - Alturas do escoamento na parede esquerda do descarregador (parede com a direção do

escoamento) obtidas numericamente para os caudais em estudo e para a configuração B e hd=5,0 cm.

(a)

Figura 7.4 - Alturas do escoamento na parede direita do descarregador obtidas numericamente para os caudais em estudo e para a configuração A: (a) hd=5,0 cm; (b) hd=2,5 cm; (c) liso.

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.00 0.11 0.22 0.34 0.45 0.56 0.67 0.78 0.89 1.01 1.12

h (

m)

L (m)

35 l/s

42 l/s

49 l/s

56 l/s

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.00 0.11 0.22 0.34 0.45 0.56 0.67 0.78 0.89 1.01 1.12

h (

m)

L (m)

35 l/s

56 l/s

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.00 0.11 0.22 0.34 0.45 0.56 0.67 0.78 0.89 1.01 1.12

h (

m)

L (m)

35 l/s

42 l/s

49 l/s

56 l/s

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.00 0.11 0.22 0.34 0.45 0.56 0.67 0.78 0.89 1.01 1.12

h (

m)

L (m)

35 l/s

42 l/s

49 l/s

56 l/s

55

(b)

(c)

Figura 7.4 - Alturas do escoamento na parede direita do descarregador obtidas numericamente para os caudais em estudo e para a configuração A: (a) hd=5,0 cm; (b) hd=2,5 cm; (c) liso (continuação).

Figura 7.5 - Alturas do escoamento na parede direita do descarregador (parede convergente) obtidas numericamente para os caudais em estudo e para a configuração B e hd=5,0 cm.

7.2.2 Comparação entre resultados numéricos e experimentais

Nas Figuras 7.6 a 7.9 representam-se, para cada caudal estudado, as alturas do escoamento

obtidas experimental e numericamente para as verticais dos degraus (perpendiculares à soleira

do descarregador). As diferenças relativas referentes aos descarregadores em estudo podem

ser consultadas no Anexo C, encontrando-se representado a sombreado a vertical onde se

verifica a presença de ar no seio do escoamento nos ensaios de Cabrita (2007).

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.00 0.11 0.22 0.34 0.45 0.56 0.67 0.78 0.89 1.01 1.12

h (

m)

L (m)

35 l/s

42 l/s

49 l/s

56 l/s

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.00 0.11 0.22 0.34 0.45 0.56 0.67 0.78 0.89 1.01 1.12

h (

m)

L (m)

35 l/s

56 l/s

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.1

0.00 0.11 0.22 0.34 0.45 0.56 0.67 0.78 0.89 1.01 1.12

h (

m)

L (m)

35 l/s

42 l/s

49 l/s

56 l/s

56

Tanto para as alturas do escoamento no eixo do descarregador como para as alturas obtidas na

parede direita, é possível observar que as maiores diferenças relativas, entre os valores

observados experimentalmente e os obtidos numericamente, são registadas nas primeiras três

medições (seis primeiras medições no caso do descarregador em degraus com 2,5 cm de altura)

tendo-se obtido valores entre 5% e 24% (valor máximo registado no descarregador em degraus

hd=5,0 cm), para a configuração A. Em virtude de se terem obtido diferenças relativas reduzidas

na proximidade da crista do descarregador (maior valor registado de 9%, como indicado no

subcapítulo 6.4.1), julga-se que as maiores diferenças no trecho inicial do descarregador se

devem à elevada sobrestimação da altura do escoamento por meio de observação visual.

Quanto às diferenças relativas entre os valores experimentais e os valores numéricos obtidos

para modelos de aproximação da ECQM de 1ª ordem e de 2ª ordem com preservação de

monotonicidade, conclui-se que para a região inicial do descarregador (não-arejada) ambos os

resultados numéricos apresentam um bom ajustamento em relação aos observados

experimentalmente. No entanto, ao longo do canal descarregador, os valores obtidos para a

simulação Restart apresentam, em geral, menores diferenças relativas. Um facto importante a

salientar nesta análise é a diferença do desenvolvimento do escoamento entre os modelos de 1ª

ordem e de 1ª+2ª ordem com preservação de monotonicidade para o eixo do descarregador e

para a parede convergente para o caso dos descarregadores em degraus com duas paredes

convergentes (Figuras 7.6 e 7.7). A proximidade de resultados dos diferentes modelos de

aproximações finitas no caso das alturas do escoamento registadas na parede direita poderá

estar no facto que nenhum destes modelos reproduza corretamente a zona da parede.

Observando as Figuras 7.6 (a1) e (a2), relativas ao descarregador com duas paredes

convergentes e degraus com 5,0 cm de altura para um caudal de 35 l/s, registam-se diferenças

relativas médias (em valor absoluto e relativas aos valores obtidos para a simulação Restart) –

e ao longo de todo o descarregador – entre os dois modelos de 16,8% (com maior valor registado

de 32,0%) para o eixo do descarregador, enquanto na parede direita esta diferença é de apenas

3,5% (maior valor registado igual a 3,8%). No caso do caudal de 56 l/s, estas diferenças são de

11,2% no eixo do descarregador (maior diferença relativa igual a 21,2%) e 2,7% para a parede

direita (e 13,7% como a maior diferença relativa registada).

Observando a Figura 7.7 – descarregador com hd=2,5 cm – relativamente às alturas do

escoamento na parede direita do descarregador conclui-se que o modelo de 1ª ordem de iteração

da ECQM apresenta um melhor ajustamento aos resultados experimentais. Refira-se contudo

que as alturas do escoamento estimadas por observação visual junto da parede sobrestimam

em geral as que se obteriam com recurso a instrumentação mais precisa, como ilustrado em

Matos (1999).

57

(a1) (a2)

(b1) (b2)

(c1) (c2)

(d1) (d2) Figura 7.6 - Comparação das alturas do escoamento no descarregador obtidas numericamente e os

resultados experimentais de Cabrita (2007) para o descarregador em degraus de 5,0 cm e configuração A: (a1) 35 l/s, eixo; (a2) 35 l/s, parede direita; (b1) 42 l/s, eixo; (b2) 42 l/s, parede direita; (c1) 49 l/s, eixo;

(c2) 49 l/s, parede direita; (d1) 56 l/s, eixo; (d2) 56 l/s, parede direita.

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.00 0.11 0.22 0.34 0.45 0.56 0.67 0.78 0.89 1.01

h (

m)

L (m)

1ª ordem1ª+2ª ordemCabrita (2007)

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.00 0.11 0.22 0.34 0.45 0.56 0.67 0.78 0.89 1.01

h (

m)

L (m)

1ª ordem

1ª+2ª ordem

Cabrita (2007)

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.00 0.11 0.22 0.34 0.45 0.56 0.67 0.78 0.89 1.01

h (

m)

L (m)

1ª ordem

1ª+2ª ordem

Cabrita (2007)

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.00 0.11 0.22 0.34 0.45 0.56 0.67 0.78 0.89 1.01

h (

m)

L (m)

1ª ordem

1ª+2ª ordem

Cabrita (2007)

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.00 0.11 0.22 0.34 0.45 0.56 0.67 0.78 0.89 1.01

h (

m)

L (m)


0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.00 0.11 0.22 0.34 0.45 0.56 0.67 0.78 0.89 1.01

h (

m)

L (m)


0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.00 0.11 0.22 0.34 0.45 0.56 0.67 0.78 0.89 1.01

h (

m)

L (m)


0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.00 0.11 0.22 0.34 0.45 0.56 0.67 0.78 0.89 1.01

h (

m)

L (m)


58

(a1) (a2)

(b1) (b2)

(c1) (c2)

(d1) (d2)

Figura 7.7 - Comparação das alturas do escoamento no descarregador obtidas numericamente e os resultados experimentais de Cabrita (2007) para o descarregador em degraus de 2,5 cm e para a

configuração A: (a1) 35 l/s, eixo; (a2) 35 l/s, parede direita; (b1) 42 l/s, eixo; (b2) 42 l/s, parede direita; (c1) 49 l/s, eixo; (c2) 49 l/s, parede direita; (d1) 56 l/s, eixo; (d2) 56 l/s, parede direita.

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.00 0.11 0.22 0.34 0.45 0.56 0.67 0.78 0.89 1.01 1.12

h (

m)

L (m)

1ª ordem

1ª+2ª ordem

Cabrita (2007)

0.02

0.03

0.04

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0.06

0.07

0.08

0.09

0.00 0.11 0.22 0.34 0.45 0.56 0.67 0.78 0.89 1.01 1.12

h (

m)

L (m)


0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.00 0.11 0.22 0.34 0.45 0.56 0.67 0.78 0.89 1.01 1.12

h (

m)

L (m)

1ª ordem

1ª+2ª ordem

Cabrita (2007)

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.00 0.11 0.22 0.34 0.45 0.56 0.67 0.78 0.89 1.01 1.12

h (

m)

L (m)

1ª ordem

1ª+2ª ordem

Cabrita (2007)

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

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0.00 0.11 0.22 0.34 0.45 0.56 0.67 0.78 0.89 1.01 1.12

h (

m)

L (m)

1ª ordem

1ª+2ª ordem

Cabrita (2007)

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.00 0.11 0.22 0.34 0.45 0.56 0.67 0.78 0.89 1.01 1.12

h (

m)

L (m)


0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.00 0.11 0.22 0.34 0.45 0.56 0.67 0.78 0.89 1.01 1.12

h (

m)

L (m)

1ª ordem

1ª+2ª ordem

Cabrita (2007)

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.00 0.11 0.22 0.34 0.45 0.56 0.67 0.78 0.89 1.01 1.12

h (

m)

L (m)


59

Como esperado, para a situação do descarregador com paramento convencional (Figura 7.8), é

obtido o melhor ajustamento entre valores experimentais e numéricos, o que pode ser explicado

pela menor complexidade do escoamento, face ao escoamento num descarregador em degraus.

Neste caso os resultados numéricos são próximos entre si com diferença relativa média – entre

os dois métodos de aproximação numérica da conservação da quantidade de movimento – no

eixo do descarregador igual a 0,4% e para a parede direita na ordem dos 1,4% para o caudal de

35 l/s. Relativamente à diferença relativa entre resultados numéricos (simulação Restart) e

experimentais, as diferenças relativas médias para o caudal de 35 l/s são de 4,0% para o eixo e

para a parede direita encontram-se na ordem dos 8,0% (ou 7,7% se se desprezarem as primeiras

três medições).

(a1) (a2)

(b1) (b2)

Figura 7.8 - Comparação das alturas do escoamento no descarregador obtidas numericamente e os resultados experimentais de Cabrita (2007) para o descarregador com paramento liso e para a

configuração A: (a1) 35 l/s, eixo; (a2) 35 l/s, parede direita; (b1) 56 l/s, eixo; (b2) 56 l/s, parede direita.

Já no caso do descarregador com ângulo de convergência de 19,3⁰ obtiveram-se as maiores

diferenças relativas entre resultados numéricos e experimentais. Ao analisar resultados

experimentais para descarregadores com largura constante obtidos para a mesma instalação

experimental no âmbito da investigação de André e Ramos (2003), verificou-se que existe uma

sobrestimação dos valores junto das paredes, relativamente aos valores obtidos no eixo. Esta

situação é comprovada para o caso do descarregador com uma parede convergente, em especial

nas alturas do escoamento junto da parede esquerda (que na realidade corresponde ao eixo do

descarregador). A comparação de alturas medidas junto das paredes do canal com recurso a

fitas métricas (Cabrita, 2007) e de alturas no eixo do descarregador, para o caso do estudo

numérico, origina diferenças relativas médias superiores a 20%.

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.00 0.11 0.22 0.34 0.45 0.56 0.67 0.78 0.89 1.01

h (

m)

L (m)


0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.00 0.11 0.22 0.34 0.45 0.56 0.67 0.78 0.89 1.01

h (

m)

L (m)


0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.00 0.11 0.22 0.34 0.45 0.56 0.67 0.78 0.89 1.01

h (

m)

L (m)


0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.00 0.11 0.22 0.34 0.45 0.56 0.67 0.78 0.89 1.01

h (

m)

L (m)


60

(a1) (a2)

(b1) (b2)

(c1) (c2)

(d1) (d2)

Figura 7.9 - Comparação das alturas do escoamento no descarregador obtidas numericamente e os resultados experimentais de Cabrita (2007) para o descarregador em degraus de 5,0 cm e configuração B (parede convergente ≡ parede direita): (a1) 35 l/s, parede esquerda; (a2) 35 l/s, parede direita; (b1) 42 l/s, parede esquerda; (b2) 42 l/s, parede direita; (c1) 49 l/s, parede esquerda; (c2) 49 l/s, parede direita; (d1)

56 l/s, parede esquerda; (d2) 56 l/s, parede direita.

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.1

0.00 0.11 0.22 0.34 0.45 0.56 0.67 0.78 0.89 1.01

h (

m)

L (m)

1ª ordem

1ª+2ª ordem

Cabrita (2007)

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.1

0.00 0.11 0.22 0.34 0.45 0.56 0.67 0.78 0.89 1.01

h (

m)

L (m)

1ª ordem

1ª+2ª ordem

Cabrita (2007)

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.1

0.00 0.11 0.22 0.34 0.45 0.56 0.67 0.78 0.89 1.01

h (

m)

L (m)

1ª ordem

1ª+2ª ordem

Cabrita (2007)

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.1

0.00 0.11 0.22 0.34 0.45 0.56 0.67 0.78 0.89 1.01

h (

m)

L (m)

1ª ordem

1ª+2ª ordem

Cabrita (2007)

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.1

0.00 0.11 0.22 0.34 0.45 0.56 0.67 0.78 0.89 1.01

h (

m)

L (m)


0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.1

0.00 0.11 0.22 0.34 0.45 0.56 0.67 0.78 0.89 1.01

h (

m)

L (m)


0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.1

0.00 0.11 0.22 0.34 0.45 0.56 0.67 0.78 0.89 1.01

h (

m)

L (m)


0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.1

0.00 0.11 0.22 0.34 0.45 0.56 0.67 0.78 0.89 1.01

h (

m)

L (m)


61

7.3 Perfis de velocidade do escoamento no canal descarregador


Nas Figuras 7.10 a 7.12 apresentam-se os perfis de velocidade obtidos no eixo dos

descarregadores de duas paredes convergentes, em degraus e paramento liso, para cada caudal

estudado e para uma aproximação da ECQM de 2ª ordem com preservação da monotonicidade

(com condições iniciais que adotam um modelo de 1ª ordem). A extremidade de jusante da

soleira descarregadora corresponde à vertical zero, segundo a direção normal ao canal; a vertical

1 corresponde à extremidade de jusante do primeiro degrau, e assim sucessivamente.

Verifica-se que a velocidade aumenta com o caudal e ao longo do perfil longitudinal do

descarregador, o que seria de esperar, em virtude de o escoamento ser neste trecho rápida ou

gradualmente variado. Constata-se igualmente que a velocidade ao longo do descarregador não

atinge um valor constante, para idêntico caudal, ou seja, o escoamento uniforme não é atingido.

No entanto, para os descarregadores em degraus, os perfis de velocidade no trecho de jusante

são próximos, típico de um escoamento gradualmente variado.

A acentuada curvatura do perfil de velocidades da vertical zero deve-se à aceleração do

escoamento no início do canal descarregador. É de salientar que não se apresenta a vertical

correspondente ao último degrau do descarregador em degraus com hd=5,0 cm (vertical 9) e as

duas últimas verticais do descarregador com degraus de menor altura (verticais 18 e 19), uma

vez que estas registam valores de velocidade menores que as verticais que lhes ficam a

montante, possivelmente devido ao efeito da curvatura do escoamento provocado pelo início da

bacia de dissipação de energia.

(a)

Figura 7.10 - Perfis de velocidade no canal descarregador com degraus de 5,0 cm de altura e configuração A, para os caudais de: (a) 35 l/s; (b) 42 l/s; (c) 49 l/s; (d) 56 l/s.

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3

y (

m)

V (m/s)

0

1

2

3

4

5

6

7

8

62

(b)

(c)

(d)

Figura 7.10 - Perfis de velocidade no canal descarregador com degraus de 5,0 cm de altura e configuração A, para os caudais de: (a) 35 l/s; (b) 42 l/s; (c) 49 l/s; (d) 56 l/s (continuação).

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3

y (

m)

V (m/s)

0

1

2

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4

5

6

7

8

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3

y (

m)

V (m/s)

0

1

2

3

4

5

6

7

8

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3

y (

m)

V (m/s)

0

1

2

3

4

5

6

7

8

63

(a)

(b)

(c)

Figura 7.11 - Perfis de velocidade no canal descarregador com degraus de 2,5 cm de altura e configuração A, para os caudais de: (a) 35 l/s; (b) 42 l/s; (c) 49 l/s; (d) 56 l/s.

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3

y (

m)

V (m/s)

01234567891011121314151617

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3

y (

m)

V (m/s)

01234567891011121314151617

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3

y (

m)

V (m/s)

01234567891011121314151617

64

(d)

Figura 7.11 - Perfis de velocidade no canal descarregador com degraus de 2,5 cm de altura e configuração A, para os caudais de: (a) 35 l/s; (b) 42 l/s; (c) 49 l/s; (d) 56 l/s (continuação).

(a)

(b)

Figura 7.12 - Perfis de velocidade no canal descarregador com paramento convencional e configuração A, para os caudais de: (a) 35 l/s; (b) 56 l/s.

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

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1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3

y (

m)

V (m/s)

01234567891011121314151617

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.4

y (

m)

V (m/s)

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.4

y (

m)

V (m/s)

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

65

0

0.01

0.02

0.03

0.04

1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8

y (

m)

V (m/s)

hd=2,5 cm

hd=5,0 cm

liso

0

0.01

0.02

0.03

0.04

1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8

y (

m)

V (m/s)

hd=2,5 cm

hd=5,0 cm

liso

A comparação dos perfis de velocidade obtidos em cada vertical de cada descarregador para a

configuração A e para os caudais extremos (35 l/s e 56 l/s), está representada nas Figuras 7.13

e 7.14. É de salientar que, para realizar uma comparação entre perfis de velocidade para uma

mesma distância à soleira descarregadora (em relação à normal à soleira fictícia), deve-se

considerar que a vertical de medição 1 dos descarregadores com degraus de altura de 5,0 cm e

de paramento liso corresponde à vertical 2 do descarregador com degraus de altura de 2,5 cm

(designada por vertical 1/2); a vertical 2 desses descarregadores corresponde à vertical 4 do

descarregador de 2,5 cm (vertical 2/4), e assim sucessivamente.

Observa-se que as velocidades no descarregador liso são, em geral, superiores às obtidas para

os descarregadores em degraus, diminuindo essa diferença, para idêntico perfil, com a distância

à soleira. Novamente se pode concluir que a macro-rugosidade originada pelos degraus provoca

uma significativa redução próximo da soleira fictícia, tanto maior quanto maior a macro-

rugosidade do paramento.

Analogamente ao concluído em Cabrita (2007), verifica-se que o descarregador em degraus com

menor macro-rugosidade (hd=2,5 cm) apresenta velocidades superiores às do descarregador

com hd=5,0 cm.

(a) (b)

(c) (d)

Figura 7.13 - Comparação entre perfis de velocidade do escoamento para a configuração A e para cada tipo de paramento (Q=35 l/s): (a) vertical 1/2; (b) vertical 2/4; (c) vertical 3/6; (d) vertical 4/8; (e) vertical

5/10; (f) vertical 6/12.

0

0.01

0.02

0.03

0.04

1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8

y (

m)

V (m/s)

hd=2,5 cm

hd=5,0 cm

liso

0

0.01

0.02

0.03

0.04

1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8

y (

m)

V (m/s)

hd=2,5 cm

hd=5,0 cm

liso

66

0

0.01

0.02

0.03

0.04

1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8

y (

m)

V (m/s)

hd=2,5 cm

hd=5,0 cm

liso

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2

y (

m)

V (m/s)

hd=2,5 cm

hd=5,0 cm

liso

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2

y (

m)

V (m/s)

hd=2,5 cm

hd=5,0 cm

liso

(e) (f)


5/10; (f) vertical 6/12 (continuação).

(a) (b)

(c) (d) Figura 7.14 - Comparação entre perfis de velocidade do escoamento para a configuração A e para cada tipo de paramento (Q=56 l/s): (a) vertical 1/2; (b) vertical 2/4; (c) vertical 3/6; (d) vertical 4/8; (e) vertical

5/10; (f) vertical 6/12; (g) vertical 7/14; (h) vertical 8/16.

0

0.01

0.02

0.03

0.04

1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8

y (

m)

V (m/s)

hd=2,5 cm

hd=5,0 cm

liso

0

0.01

0.02

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0.04

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1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2

y (

m)

V (m/s)

hd=2,5 cm

hd=5,0 cm

liso

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2

y (

m)

V (m/s)

hd=2,5 cm

hd=5,0 cm

liso

67

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2

y (

m)

V (m/s)

hd=2,5 cm

hd=5,0 cm

liso

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2

y (

m)

V (m/s)

hd=2,5 cm

hd=5,0 cm

liso

(e) (f)

(g) (h)


5/10; (f) vertical 6/12; (g) vertical 7/14; (h) vertical 8/16 (continuação).

A partir das Figuras 7.13 e 7.14 é também possível concluir que para o menor caudal (35 l/s) se

regista uma maior influência da rugosidade do paramento sobre o perfil de velocidades ao longo

do escoamento.

Na Figura 7.15, retirada do FLOW-3D®, é possível observar o campo de velocidades para o

descarregador em degraus de 2,5 cm e para o descarregador liso, no caso da configuração com

duas paredes convergentes. O efeito da rugosidade está bem patente verificando-se que a

presença de degraus na soleira do descarregador atenua o aumento da velocidade. A Figura

7.15 (b) ilustra a soleira fictícia, bem como o escoamento recirculatório nas cavidades formadas

pelos degraus.

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2

y (

m)

V (m/s)

hd=2,5 cm

hd=5,0 cm

liso

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2

y (

m)

V (m/s)

hd=2,5 cm

hd=5,0 cm

liso

68

(a)

(b)

Figura 7.15 - Campo de velocidades (m/s) ao longo do eixo do descarregador de duas paredes convergentes para 35 l/s: (a) descarregador com paramento convencional; (b) descarregador em degraus

com hd=2,5 cm.

Na Figura 7.16 é apresentada a distribuição transversal do campo de velocidades para os dois

casos de descarregadores em degraus com altura de 5,0 cm. No canal descarregador com menor

ângulo de convergência (Figura 7.16 (a)) ocorre menor perturbação do escoamento, resultando

em menor dissipação de energia e velocidades mais elevadas. Em geral, com um maior ângulo

de convergência ocorre maior dissipação de energia o que implica maiores alturas do

escoamento, podendo originar custos acrescidos nestas construções associados com o

dimensionamento de paredes laterais com maior altura (Toledo et al., 2015).

69

(a) (b) Figura 7.16 - Distribuição transversal do campo de velocidades (m/s) para t=120s e caudal de 49 l/s: (a) descarregador com duas paredes convergentes em degraus (θ=9,9⁰; hd=5,0 cm); (b) descarregador com

uma parede convergente em degraus (θ=19,3⁰; hd=5,0 cm).

7.3.2 Comparação entre resultados numéricos e experimentais

Para o caso dos descarregadores com duas paredes convergentes e altura dos degraus igual a

5,0 cm verificou-se no subcapítulo 7.3.1 que a velocidade aumenta ao longo do perfil longitudinal

do descarregador, sendo possível observar o efeito da macro-rugosidade no paramento que

provoca uma redução da velocidade junto da soleira fictícia. Na Figura 7.17 apresentam-se os

perfis de velocidade para o caudal de 56 l/s, e em que a presença de entrada de ar no seio de

escoamento para os ensaios experimentais se registou na vertical 7. Nesta figura é possível

verificar que os degraus pares registam velocidades junto da soleira inferiores às obtidas para

degraus ímpares no caso dos valores registados para a simulação Restart, diminuindo essa

diferença com a distância à soleira. Comparando os resultados numéricos e experimentais

observa-se também uma disparidade entre perfis de velocidade de degraus pares e ímpares.

Para os degraus ímpares – verticais 1, 3 e 5 – as diferenças relativas médias entre resultados

experimentais e numéricos da simulação Restart são de 4,5%, 6,0% e 12,2%, respetivamente.

Para as verticais 2, 4 e 6 as diferenças relativas são consideráveis, nomeadamente 10,6%,

14,3% e 15,0%. A diferença de comportamento entre verticais pares e ímpares já tinha sido

documentada em Cabrita (2007) mencionando “perfis pouco coerentes com os padrões habituais

da evolução dos perfis de velocidade que seriam de esperar”. Este fenómeno foi também

investigado por Lopes et al. (2015) e, mais recentemente por Lopes et al. (2016), identificando-o

como uma alternância entre dois dos subtipos do escoamento deslizante sobre turbilhões: os

escoamentos com recirculação instável e com interferência esteira-degrau ou interferência

esteira-esteira (descritos no subcapítulo 2.2), em que o escoamento do degrau anterior interfere

no escoamento do degrau seguinte alternadamente.

No caso do descarregador em degraus com 2,5 cm (ver Figura 7.18), devido ao defeito de

construção já anteriormente mencionado, as diferenças relativas aumentam com o caudal em

estudo, em virtude do facto de os efeitos da entrada de ar serem amplificados para caudais mais

70

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

0.045

0.05

0.055

0.06

0.5 1 1.5 2 2.5 3

y (

m)

V (m/s)

1ª ordem

1ª+2ª ordem

Cabrita (2007)

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

0.045

0.05

0.055

0.06

0.5 1 1.5 2 2.5 3

y (

m)

V (m/s)

1ª ordem

1ª+2ª ordem

Cabrita (2007)

elevados. De acordo com Cabrita (2007), para o caudal de 56 l/s regista-se presença permanente

de ar emulsionado a partir do 12º degrau para a configuração de duas paredes convergentes e

degraus de 2,5 cm. Observando os perfis de velocidade apresentados na Figura 7.18 para o

caudal de 56 l/s, verifica-se que entre as verticais 11 e 13 a diferença relativa entre resultados

numéricos e experimentais aumenta nos pontos próximos da soleira fictícia e esse efeito vai

aumentando nas verticais seguintes. As diferenças relativas médias (em valor absoluto) entre a

simulação Restart e os valores experimentais são de 1,3%, 12,1%, 3,6%, 12,2%, 13,6%, 16,0%,

16,7%, 16,7% e 15,1% nas verticais 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 e 17, respetivamente. No anexo C.5

encontram-se também os perfis de velocidade obtidos numérica e experimentalmente relativos

ao caudal de 42 l/s e as respetivas diferenças relativas.

(a) (b) (c)

(d) (e) (f)

Figura 7.17 - Comparação entre perfis de velocidade experimentais e numéricos no canal descarregador com duas paredes convergentes e degraus com 5,0 cm de altura para Q=56 l/s: (a) vertical 1; (b) vertical

2; (c) vertical 3; (d) vertical 4; (e) vertical 5; (f) vertical 6.

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

0.045

0.05

0.055

0.06

0.5 1 1.5 2 2.5 3

y (m

)

V (m/s)

1ª ordem

1ª+2ª ordem

Cabrita (2007)

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

0.045

0.05

0.055

0.06

0.5 1 1.5 2 2.5 3

y (

m)

V (m/s)

1ª ordem

1ª+2ª ordem

Cabrita (2007)

0

0.005

0.01

0.015

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0.035

0.04

0.045

0.05

0.055

0.06

0.5 1 1.5 2 2.5 3y (

m)

V (m/s)

1ª ordem

1ª+2ª ordem

Cabrita (2007)

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

0.045

0.05

0.055

0.06

0.5 1 1.5 2 2.5 3

y (

m)

V (m/s)

1ª ordem

1ª+2ª ordem

Cabrita (2007)

71

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

0.045

0.05

0.055

0.06

0.065

0.07

0.5 1 1.5 2 2.5 3

y (

m)

V (m/s)

1ª ordem

1ª+2ª ordem

Cabrita (2007)

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

0.045

0.05

0.055

0.06

0.065

0.07

0.5 1 1.5 2 2.5 3

y (

m)

V (m/s)

1ª ordem

1ª+2ª ordem

Cabrita (2007)

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

0.045

0.05

0.055

0.06

0.065

0.07

0.5 1 1.5 2 2.5 3

y (

m)

V (m/s)

1ª ordem

1ª+2ª ordem

Cabrita (2007)

(a) (b) (c)

(d) (e) (f)

(g) (h) (i)

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

0.045

0.05

0.055

0.06

0.065

0.07

0.5 1 1.5 2 2.5 3

y (

m)

V (m/s)1ª ordem

1ª+2ª ordem

Cabrita (2007)

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

0.045

0.05

0.055

0.06

0.065

0.07

0.5 1 1.5 2 2.5 3

y (

m)

V (m/s)

1ª ordem

1ª+2ª ordem

Cabrita (2007)

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

0.045

0.05

0.055

0.06

0.065

0.07

0.5 1 1.5 2 2.5 3

y (

m)

V (m/s)

1ª ordem

1ª+2ª ordem

Cabrita (2007)

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

0.045

0.05

0.055

0.06

0.065

0.07

0.5 1 1.5 2 2.5 3y

(m

)

V (m/s)1ª ordem

1ª+2ª ordem

Cabrita (2007)

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

0.045

0.05

0.055

0.06

0.065

0.07

0.5 1 1.5 2 2.5 3

y (

m)

V (m/s)

1ª ordem

1ª+2ª ordem

Cabrita (2007)

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

0.045

0.05

0.055

0.06

0.065

0.07

0.5 1 1.5 2 2.5 3

y (

m)

V (m/s)

1ª ordem

1ª+2ª ordem

Cabrita (2007)

Figura 7.18 - Comparação entre perfis de velocidade experimentais e numéricos no canal descarregador com duas paredes convergentes e degraus com 2,5 cm de altura para Q=56 l/s: (a) vertical 1; (b) vertical 3; (c) vertical 5; (d) vertical 7; (e) vertical 9; (f) vertical 11; (g) vertical 13; (h)

vertical 15; (i) vertical 17.

72

Na Figura 7.19 apesentam-se os perfis de velocidade experimentais e numéricos em algumas

verticais do canal descarregador liso. Os diferentes símbolos referem-se a perfis obtidos em

diferentes verticais: os quadrados referem-se à vertical 2, os triângulos à vertical 4, os círculos à

vertical 6 e os losangos à vertical 8. Como expectável, os perfis de velocidade para simulações

em que se adotam aproximações da ECQM de 1ª ordem e para as simulações Restart que

recorrem a aproximações de 2ª ordem com preservação de monotonicidade apresentam

menores diferenças para este descarregador pela menor complexidade do escoamento

comparativamente aos restantes.

A diferença relativa média (em valor absoluto) entre os resultados numéricos obtidos para a

simulação Restart para um caudal de 35 l/s e os resultados experimentais de Cabrita (2007) é

de 3,5% na vertical 2 (diferença relativa máxima igual a 5,4%), para a vertical 4 é 2,3% (diferença

relativa máxima de 2,8%), para a vertical 6 é 1,2% (com maior valor registado igual a 1,4%) e

para a vertical 8 é 0,8% (diferença relativa máxima de 1,1%). Para o caudal de 56 l/s a diferença

relativa médias registada na vertical 2 é de 5,0% (diferença máxima registada de 6,7%), na

vertical 4 é de 2,9% (valor máximo toma o valor de 4,5%), na vertical 6 é de 1,4% (máxima

diferença relativa igual a 2,3%) e na vertical 8 é de 0,5% (diferença relativa máxima de 1,1%).

(a)

(b)

Figura 7.19 - Comparação entre perfis de velocidade experimentais e numéricos em quatro verticais do canal descarregador liso para a configuração A: (a) Q=35 l/s; (b) Q=56 l/s.

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

0.045

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1.5 1.8 2.1 2.4 2.7 3 3.3

y (

m)

V (m/s)

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

0.045

0.05

1.5 1.8 2.1 2.4 2.7 3 3.3

y (

m)

V (m/s)

1ª ordem

1ª+2ª ordem

Cabrita (2007)

1ª ordem

1ª+2ª ordem

Cabrita (2007)

73

7.4 Largura da onda estacionária oblíqua

Neste subcapítulo pretende-se caraterizar a largura da onda ao longo do descarregador, para as

diferentes configurações. A determinação da largura da onda nos ensaios experimentais de

Cabrita (2007) foi feita recorrendo a dois métodos distintos: observação visual e utilizando um

molinete. Para o modelo numérico houve a necessidade de definir parâmetros que facilitassem

a definição desta largura. Estabeleceu-se uma diferença (percentual) das alturas do escoamento

– ao longo da secção transversal da vertical de um dado degrau – em relação a uma média de

valores da altura de escoamento em torno do eixo do descarregador, encontrando-se esta gama

de valores centrais assinalada para as configurações A e B na Figura 7.20. Admitiram-se esses

valores numa zona definida a partir do eixo do descarregador em que a altura do escoamento

não é influenciada pelos efeitos de parede, tendo-se estabelecido como valores centrais a gama

entre 𝑦 = 0 e 𝑦 = −0,1 𝑚, para a configuração A. No caso da configuração B esta gama de

valores encontra-se entre 𝑦 = 0,25 𝑚 e 𝑦 = 0,35 𝑚.

No Anexo D é possível consultar uma explicação mais aprofundada relativa à aplicação deste

critério. No entanto, ao lidar com reduzidas alturas do escoamento houve alguma dificuldade em

aplicar objetivamente os critérios definidos para a configuração de duas paredes convergentes,

em particular nas últimas verticais do descarregador, quer pelas variações de altura na secção

transversal serem reduzidas (por vezes inferiores a 1%), quer pelo efeito da curvatura do

escoamento provocado pelo início da bacia de dissipação de energia. Já no caso do

descarregador com maior ângulo de convergência, o desenvolvimento da largura de onda é mais

percetível devido a uma diminuição mais acentuada das alturas de escoamento ao longo da

secção transversal, o que se traduz em maiores diferenças relativas, sendo mais fácil definir a

largura de onda ao longo de todo o canal descarregador.

As Figuras 7.21 e 7.22 apresentam a evolução da largura das ondas nos diferentes

descarregadores (designada por L’), para os vários caudais estudados, e a sua comparação com

os valores obtidos por observação visual3 em Cabrita (2007), visto que a forte oscilação da

superfície do escoamento impossibilitou em muitos dos casos a utilização do molinete. Em todos

os descarregadores, verifica-se que para as primeiras secções de medição a largura da onda

estacionária oblíqua praticamente não varia com o caudal (à exceção do menor caudal),

verificando-se, em geral, que a largura da onda ao longo do canal aumenta com o caudal.

Saliente-se que, na comparação entre os resultados numéricos e experimentais, se recorreu aos

valores da largura da onda estacionária oblíqua obtidos experimentalmente junto da parede

esquerda do descarregador, uma vez que esta é a situação mais conservadora em relação à

altura do escoamento. Consultando o Anexo D é possível analisar esta opção com maior detalhe.

3 Para o efeito foi colocada uma escala graduada na soleira dos degraus junto da parede convergente.

74

(a)

(b)

Figura 7.20 - Alturas do escoamento ao longo da secção transversal da segunda vertical do descarregador (Q=35 l/s): (a) descarregador com duas paredes convergentes (θ=9,9°; hd=5,0 cm); (b)

descarregador com uma parede convergente (θ=19,3°; hd=5,0 cm).

Na Figura 7.21 (a) é apresentada a evolução da largura da onda no caso do descarregador com

5,0 cm de altura dos degraus, observando-se que a onda atinge um máximo de desenvolvimento,

reduzindo em seguida de largura. Já para o descarregador com 2,5 cm de altura, exibido na

Figura 7.21 (b), a largura da onda nas últimas secções de medição tende para um valor

sensivelmente constante. Verifica-se igualmente que o ângulo inicial que a onda faz com a

parede convergente é inferior para o descarregador com degraus de maior altura. No caso do

descarregador com paramento convencional, Figura 7.21 (c), dado o pequeno ângulo de

convergência e alturas de escoamento reduzidas, houve dificuldade na aplicação do critério

acima definido, embora se tenha concluído que a tendência é no sentido do aumento da largura

da onda. Analisando os três paramentos apresentados na Figura 7.21 para o descarregador com

duas paredes convergentes, conclui-se que um aumento da rugosidade do paramento tende a

atenuar o efeito das ondas estacionárias oblíquas.

Comparando a largura de onda obtida no presente estudo com os valores registados na

instalação experimental é possível observar, à semelhança do concluído no subcapítulo 7.2.2,

que as maiores diferenças relativas são registadas nas três primeiras secções de medição, pelo

facto de se ter um escoamento acelerado e a direção do escoamento principal não se encontrar

alinhada com a soleira fictícia para as primeiras medições, conduzindo a uma estimativa

imprecisa da largura da onda.

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

-0.35 -0.3 -0.25 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0

h (

m)

y (m)

1ª ordem

1ª+2ª ordem

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

-0.35 -0.25 -0.15 -0.05 0.05 0.15 0.25 0.35

h (m)

y (m)

1ª ordem

1ª+2ª ordem

75

Para todos os gráficos de obtenção da largura de onda, conclui-se que o aumento do caudal não

influencia significativamente o valor da largura de onda obtida experimentalmente para as

medições iniciais (que apresentam menor grau de incerteza na leitura), contrariamente ao

registado para os valores obtidos numericamente.

Para o caso das Figuras 7.21 (a) e (b) é visível que as ondas fazem uma concavidade ao longo

do descarregador, sendo este efeito tanto mais acentuado quanto maior a rugosidade do

paramento, e próximo do pé do descarregador tendem para um valor constante. Observa-se que

as maiores diferenças relativas entre resultados numéricos e experimentais ocorrem na zona da

concavidade, aumentando com o caudal, enquanto que no pé do descarregador as diferenças

são reduzidas. Para o descarregador de 5,0 cm as diferenças relativas médias com os valores

obtidos experimentalmente são de 6,5%, 13,7%, 22,6% e 15,2%, respetivamente para os caudais

de 35, 42, 49 e 56 l/s. Para o descarregador com degraus de 2,5 cm de alturas estas diferenças

tomam valores de 23,7%, 60,3%, 54,0% e 41,7%, para os mesmos caudais. Para ambos os

descarregadores em degraus, observa-se que os valores numéricos sobrestimam os obtidos

experimentalmente (à exceção do caudal de 35 l/s). De acordo com Cabrita (2007), este

contabiliza um ligeiro defeito de assimetria no modelo (originando valores divergentes entre

paredes nos modelos de descarregador simétrico) – ver Figura 7.20 – para além de que a

determinação da largura da onda por observação visual é mais subjetiva do que com o molinete,

dependendo fortemente do operador e dos critérios de leitura definidos e podendo estar na

origem das diferenças consideráveis registadas. Acrescenta-se a dificuldade de leitura nos

descarregadores em degraus devida à turbulência induzida pelos degraus, em especial a jusante

da secção de afloramento da camada limite. Para além disso, a adoção de diferentes critérios

para a definição da largura de onda experimental ou numérica também para essa diferença.

Comparando os descarregadores em degraus com altura de 5,0 cm, Figuras 7.21 (a) e 7.22,

conclui-se que a largura da onda aumenta com o aumento do ângulo de convergência: para o

descarregador com θ=19,3⁰ registam-se larguras até 2,2 vezes superiores às observadas no

descarregador com θ=9,9⁰.

(a)

Figura 7.21 - Largura da onda estacionária oblíqua ao longo do descarregador que adota a configuração A para valores numéricos (parede direita) e experimentais (parede esquerda): (a) hd=5,0 cm; (b) hd=2,5

cm; (c) liso.

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.00 0.11 0.22 0.34 0.45 0.56 0.67 0.78 0.89 1.01 1.12

L' (m

)

L (m)

Presente estudo

Cabrita (2007)

35 l/s

42 l/s

49 l/s

56 l/s

35 l/s

42 l/s

49 l/s

56 l/s

76

(b)

(c)

Figura 7.21 - Largura da onda estacionária oblíqua ao longo do descarregador que adota a configuração A para valores numéricos (parede direita) e experimentais (parede esquerda): (a) hd=5,0 cm; (b) hd=2,5

cm; (c) liso (continuação).

Figura 7.22 - Largura da onda estacionária oblíqua ao longo do descarregador que adota a configuração B para valores numéricos (parede direita) e experimentais (parede esquerda) e altura dos degraus igual a

hd=5,0cm.

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.00 0.11 0.22 0.34 0.45 0.56 0.67 0.78 0.89 1.01 1.12

L' (m

)

L (m)

0

0.02

0.04

0.06

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0.1

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0.00 0.11 0.22 0.34 0.45 0.56 0.67 0.78 0.89 1.01 1.12

L' (m

)

L (m)

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.00 0.11 0.22 0.34 0.45 0.56 0.67 0.78 0.89 1.01 1.12

L' (m

)

L (m)

Presente estudo

Cabrita (2007)

35 l/s

42 l/s

49 l/s

56 l/s

35 l/s

42 l/s

49 l/s

56 l/s

Presente estudo

Cabrita (2007)

35 l/s

56 l/s

35 l/s

56 l/s

Presente estudo

Cabrita (2007)

35 l/s

42 l/s

49 l/s

56 l/s

35 l/s

42 l/s

49 l/s

56 l/s

77

8 Conclusões e desenvolvimentos futuros

8.1 Conclusões

Na presente dissertação apresenta-se um estudo numérico centrado na região a montante da

secção de afloramento da camada limite do escoamento deslizante sobre turbilhões, num

descarregador com declive 1:2 (V:H), com paredes laterais convergentes, típico do paramento

de jusante de uma pequena barragem de aterro.

Embora vantajosa do ponto de vista económico, esta solução apresenta o inconveniente

surgimento de ondas estacionárias oblíquas junto das paredes laterais convergentes,

conduzindo ao aumento da altura do escoamento, sendo para tal necessário prever uma folga

adequada no dimensionamento deste tipo de paredes. Verifica-se que a presença de degraus

na soleira descarregadora atenua este efeito, observando-se que, para o mesmo ângulo de

convergência, a altura do escoamento junto da parede convergente aumenta até 1,3 vezes para

o descarregador com paramento liso. Constata-se que não só a altura do escoamento junto da

parede convergente aumenta, como também a largura da onda estacionária oblíqua (até 2,3

vezes superior para o caso do descarregador com paramento liso em relação ao descarregador

com degraus de 5,0 cm de altura).

Conclui-se ainda que a sobrelevação da superfície livre junto das paredes convergentes aumenta

com o aumento do ângulo de convergência; em média, a relação entre a altura do escoamento

na parede com ângulo de convergência de 19,3⁰ e na parede com ângulo de convergência igual

a 9,9⁰ é cerca de 1,1 a 1,5.

Em relação à velocidade do escoamento, verifica-se que, de uma maneira geral, aumenta com

a distância à crista do descarregador, para igual distância à soleira. O efeito da rugosidade é

patente nos perfis de velocidade, verificando-se que a presença de degraus no canal

descarregador provoca um significativo abrandamento na velocidade do escoamento próximo da

soleira fictícia, tanto maior quanto maior a macro-rugosidade do paramento.

Os resultados analisados na presente dissertação relativos às simulações Restart com modelo

de aproximação da equação de conservação da quantidade de movimento de 2ª ordem com

preservação de monotonicidade (com condições iniciais que adotam um modelo de 1ª ordem)

evidenciam que o software FLOW-3D® reproduz adequadamente as principais grandezas

caraterísticas do escoamento na região não-arejada do escoamento. No caso do método de

aproximação numérica de 1ª ordem da ECQM conclui-se que este é incapaz de reproduzir

corretamente os efeitos de 2ª ordem, quer a nível da velocidade e alturas do escoamento ao

longo do descarregador, quer na representação da não-uniformidade do escoamento na secção

78

transversal. Os resultados numéricos relativos à altura do escoamento, perfis de velocidade,

largura da onda estacionária oblíqua e caudais foram comparados com os resultados

experimentais apresentados em Cabrita (2007).

No caso do descarregador em degraus com duas paredes convergentes e altura dos degraus

igual a 5,0 cm, as diferenças relativas (em valor absoluto) entre os valores numéricos e

experimentais relativos à altura do escoamento no eixo para a região não-arejada foram

inferiores a 17,8% (com valor médio de 6,9%). No caso das alturas junto da parede convergente,

as diferenças relativas têm um valor médio de 10,7% e atingem 24,3%, sendo as maiores

diferenças registadas nas três primeiras secções de medição, o que resultará da maior

sobrestimação da altura do escoamento por meio de observação visual. Relativamente às

velocidades do escoamento, observou-se uma discrepância entre perfis de velocidade de

degraus pares e ímpares. Para um caudal de 56 l/s, os degraus ímpares – verticais 1, 3 e 5 –

registam diferenças relativas médias entre resultados experimentais e numéricos iguais a 4,5%,

6,0% e 12,2%, respetivamente. Para as verticais 2, 4 e 6 as diferenças relativas são

consideráveis e iguais a 10,6%, 14,3% e 15,0%, respetivamente. Em Cabrita (2007) já tinha sido

mencionada a discrepância entre perfis de velocidade de degraus pares e ímpares.

Para o descarregador com degraus de 2,5 cm de altura e ângulo de convergência igual a 9,9⁰,

as diferenças relativas entre os resultados experimentais e os resultados numéricos para as

simulações Restart são, em geral, ligeiramente superiores às registadas no descarregador com

degraus de 5,0 cm. As diferenças relativas (em valor absoluto) associadas à altura no eixo são

inferiores a 27,3% e apresentam valor médio de 9,8%. Junto à parede convergente, obtiveram-

se diferenças relativas com valor máximo igual a 22,1% e valor médio igual a 14,3%. Novamente

se depreende que se não forem contabilizadas as primeiras seis secções do canal descarregador

as diferenças relativas junto da parede decrescem, tendo-se obtido um valor médio de 10,6% e

atingindo um valor máximo de 11,4% para o caudal de 49 l/s. Relativamente aos perfis de

velocidade ao longo do canal descarregador, observa-se que as diferenças relativas aumentam

com o caudal, tendo especial influência nos valores obtidos na proximidade da soleira fictícia.

Tal como expectável, o descarregador com paramento convencional é aquele que apresenta um

melhor ajustamento entre resultados experimentais e numéricos, devido à menor complexidade

do escoamento e consequente facilidade de modelação, comparativamente aos restantes

descarregadores.

Registam-se, para o caso do descarregador com uma parede convergente e ângulo de

convergência de 19,3⁰, as maiores diferenças relativas, verificando-se uma subestimação

generalizada das alturas de escoamento obtidas no presente estudo comparativamente aos

valores obtidos na instalação experimental. Ao analisar resultados experimentais para

descarregadores com largura constante obtidos do estudo de André e Ramos (2003), verificou-

se que existe uma sobrestimação dos valores junto das paredes, relativamente aos valores

obtidos no eixo. A medição das alturas do escoamento junto das paredes com recurso a fitas

métricas, comparativamente à obtenção das alturas no eixo do descarregador com o tubo de

79

Pitot, leva a erros de medição sistemáticos. Esta situação é comprovada para o caso do

descarregador com maior ângulo de convergência, em especial nas alturas do escoamento junto

da parede esquerda, com diferenças relativas médias superiores a 20%.

Relativamente ao estudo do desenvolvimento da onda estacionária oblíqua ao longo do canal

descarregador, concluiu-se que a existência de degraus atenua o seu efeito. Por outro lado, o

aumento do ângulo de convergência das paredes laterais leva a um aumento da largura da onda.

Dos resultados obtidos ao longo dos Capítulos 6 e 7, realça-se a particular importância em

assumir um compromisso entre a qualidade dos resultados e o tempo de cálculo. Esta limitação,

embora necessária, levou a que não se realizassem simulações para malhas mais refinadas.

Esta opção conduziu a situações em que só se obteve convergência da malha para as primeiras

verticais e, em geral, para a região não-arejada dos descarregadores. Embora os resultados

respeitantes às restantes verticais sejam documentados ao longo deste documento, estes devem

ser encarados com muita reserva, pelo facto de não ter sido verificada a independência da malha.

Assim sendo, as análises de sensibilidade tomam um papel essencial na compreensão da

influência de certas opções numéricas sobre os resultados obtidos e na garantia da fiabilidade

desses mesmos resultados. É também importante mencionar que o FLOW-3D® se baseia nas

equações médias de Reynolds, que sendo suficientes para caraterizar as variáveis em estudo,

constituem uma aproximação da realidade.

Num âmbito mais generalizado, os resultados obtidos indicam que o estudo desenvolvido pode

ser considerado como mais um caso de adequabilidade da utilização de modelos CFD para a

simulação de escoamentos em descarregadores de cheias em degraus, em particular na região

não-arejada. De facto, ao longo do processo de calibração e validação, os resultados numéricos

aproximaram-se em geral dos resultados verificados em modelo físico.

80

8.2 Desenvolvimentos futuros

Em termos de recomendações futuras relativas à modelação CFD desenvolvida no âmbito do

estudo do escoamento deslizante sobre turbilhões em descarregadores de cheias com paredes

convergentes, seria interessante proceder ao mesmo tipo de análise para malhas de cálculo com

dimensões mais reduzidas, de modo a simular o escoamento na proximidade da soleira fictícia,

em especial no que respeita à velocidade do escoamento para o paramento com maior

rugosidade. Além disso, existem ainda alguns tópicos de potencial interesse a serem objeto de

estudo:

Aprofundamento do estudo numérico para um conjunto mais alargado de ângulos de

convergência das paredes laterais.

Estudo da dissipação de energia ao longo do canal descarregador.

Desenvolvimento de critérios que permitam uma quantificação mais precisa da largura

da onda estacionária oblíqua.

81

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I

Anexo A Modelos de resolução numérica de turbulência

A.1 Equações médias de Reynolds

As equações de continuidade e de Navier-Stokes para escoamentos variáveis de um fluido

incompressível são definidas pelas Eqs. A.1 e A.2, respetivamente.

𝜕𝑢𝑖𝜕𝑥𝑖

= 0 (A.1)

𝜕𝑢𝑖𝜕𝑡+ 𝑢𝑗

𝜕𝑢𝑖𝜕𝑥𝑗

= −1

𝜌

𝜕𝑝

𝜕𝑥𝑖+ 𝜈 (

𝜕2𝑢𝑖𝜕𝑥𝑗

2 ) + 𝑔𝑖 (A.2)

onde 𝑢𝑖 e 𝑢𝑗 são as componentes da velocidade nas direções 𝑥𝑖 e 𝑥𝑗; 𝑔𝑖 é a aceleração da

gravidade na direção 𝑖; 𝑝 é a pressão; 𝜈 é a viscosidade cinemática; 𝑡 é a coordenada temporal

e 𝜌 é a massa volúmica.

Para se obterem as equações para valores médios do escoamento aplica-se uma decomposição

de Reynolds às Eqs. A.1 e A.2, segundo a qual as variáveis instantâneas do escoamento são

definidas como a soma de um valor médio (𝑢i̅) e uma componente de flutuação em torno do valor

médio (𝑢𝑖′), de acordo com as Eqs. A.3 e A.4.

𝑢𝑖 = 𝑢i̅ + 𝑢𝑖′ (A.3)

𝑝 = �̅� + 𝑝′ (A.4)

As equações RANS são obtidas substituindo os valores instantâneos das variáveis pela

decomposição de Reynolds, sendo dadas pelas Eqs. A.5 e A.6.

𝜕𝑢i̅𝜕𝑥𝑖

= 0 (A.5)

𝜕𝑢i̅𝜕𝑡+ 𝑢j̅

𝜕𝑢i̅𝜕𝑥𝑗

= −1

𝜌

𝜕�̅�

𝜕𝑥𝑖+𝜕

𝜕𝑥𝑗(𝜈𝜕𝑢i̅𝜕𝑥𝑗

− 𝑢i′𝑢j′̅̅ ̅̅ ̅̅ ) + 𝑔𝑖 (A.6)

Comparando as Eqs. A.1 e A.2 com as equações RANS, Eqs. A.5 e A.6, observa-se o

aparecimento do termo não-linear −𝑢i′𝑢j′̅̅ ̅̅ ̅̅ , conhecido como termo das tensões de Reynolds ou

tensor das tensões turbulentas. Com este novo termo e como não existem equações adicionais

ao sistema, tem-se um sistema de equações indeterminado, gerando o problema de fecho

matemático da turbulência. Para solucionar este problema introduz-se a hipótese de Boussinesq

II

para modelar as tensões de Reynolds. Boussinesq propõe que a formulação do termo de

transporte das tensões turbulentas médias assume analogia às tensões viscosas desenvolvidas

num campo médio (Jiyuan et al., 2008; Meireles, 2011; Eça, 2015b), expresso pela Eq. A.7.

−𝜌𝑢i′𝑢j′̅̅ ̅̅ ̅̅ = 𝜇𝑇 (

𝜕𝑢i̅𝜕𝑥𝑗

+𝜕𝑢j̅

𝜕𝑥𝑖) −

2

3𝜌𝑘𝛿𝑖𝑗 (A.7)

em que:

𝜇𝑇 - viscosidade turbulenta (eddy dynamic viscosity);

𝑘 - energia cinética turbulenta (turbulent kinetic energy, TKE);

𝛿𝑖𝑗 - delta de Kronecker (𝛿𝑖𝑗 = 1 para 𝑖 = 𝑗 e 𝛿𝑖𝑗 = 0 para 𝑖 ≠ 𝑗).

A hipótese de Boussinesq simplifica significativamente o problema de fecho da turbulência,

formulando uma equação para a viscosidade turbulenta. Os modelos de turbulência assentes

nesta hipótese consideram 𝜇𝑇 isotrópico, i.e., que possui as mesmas propriedades

independentemente da direção, dado que a anisotropia da turbulência é difícil de modelar (Eça,

2015b).

A.2 Modelos de turbulência

Os modelos de turbulência consistem em modelos de viscosidade turbulenta e de comprimentos

de mistura que permitem fechar o sistema dado pelas Eqs. A.5 e A.6 (Brederode, 2014). Em

1925, Prandlt sugere que 𝜇𝑇 vem dado por:

𝜇𝑇 = 𝜌𝜐𝑡𝑙𝑚 (A.8)

em que 𝜐𝑡 e 𝑙𝑚 são escalas de velocidade e de comprimento (também designado por

comprimento de mistura) caraterísticas do campo turbulento. Os principais tipos de modelos de

viscosidade turbulenta são os modelos algébricos (ou de zero equações), modelos de uma

equação e modelos de duas equações (Figura A.1).

III

Figura A.1 - Modelos de turbulência (adaptado de Meireles, 2011 in Lúcio, 2015).

Prandlt desenvolveu a primeira formulação de viscosidade turbulenta com a hipótese do

comprimento de mistura, 𝑙𝑚, sendo o modelo algébrico mais conhecido. Este autor sugere que a

escala de velocidade está relacionada com a escala de comprimento, Eq. A.8, sendo

determinados para os valores médios de propriedades do escoamento (Brederode, 2014). Para

alguns escoamentos simples, é possível estabelecer as relações algébricas que definem o

comprimento de mistura e viscosidade turbulenta, expressos pelas Eqs. A.9 e A.10,

respetivamente (Versteeg e Malalasekera, 1995; Brederode, 2014).

𝜐𝑡 = 𝑙𝑚 |𝜕�̅�

𝜕𝑦| (A.9)

𝜇𝑇 = 𝜌𝑙𝑚2 |𝜕�̅�

𝜕𝑦| (A.10)

Trata-se de um modelo simples e de fácil implementação mas com muitas limitações, entre elas

o facto de negligenciar os transportes difusivo e convectivo da turbulência, bem como a taxa de

variação temporal da energia cinética turbulenta (Burnham, 2011b).

Os modelos de uma equação surgem como uma tentativa para minorar os inconvenientes dos

modelos algébricos, resolvendo uma equação diferencial parcial que descreve o transporte de

uma única escala turbulenta, 𝜐𝑡 (Eq. A.11), recorrendo à solução da equação de transporte de

energia cinética turbulenta, 𝑘, usando relações algébricas, Eq. A.12.

IV

A B C D

E

𝜐𝑡 = √𝑘 onde 𝑘 =1

2(𝑢′𝑢′̅̅ ̅̅ ̅̅ + 𝑣′𝑣′̅̅ ̅̅ ̅̅ + 𝑤′𝑤′̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅) (A.11)

𝜌 [ 𝜕𝑘

𝜕𝑡⏟+ 𝑢j̅

𝜕𝑘

𝜕𝑥𝑗⏟ ] =

𝜕

𝜕𝑥𝑗[(𝜇 +

𝜇𝑇

𝜎𝑘)𝜕𝑘

𝜕𝑥𝑗]

⏟ + [−𝜌𝑢i

′𝑢j′̅̅ ̅̅ ̅̅ 𝜕𝑢i̅

𝜕𝑥𝑗]

⏟ − 𝜌휀⏟ (A.12)

onde 휀 representa a taxa de dissipação energia cinética turbulenta e 𝜎𝑘 é uma constante ajustável

ao modelo. O significado dos termos da equação de transporte de 𝑘 é definido por Versteeg e

Malalasekera (1995) e encontra-se no Tabela A.1.

Tabela A.1 - Termos da equação de transporte de energia cinética turbulenta, 𝑘.

A Taxa de variação de 𝑘

B Transporte de 𝑘 por convecção

C Transporte de 𝑘 por difusão

D Taxa de produção de 𝑘

E Taxa de destruição de 𝑘

A taxa de dissipação de energia cinética turbulenta, 휀, é dada pela Eq. A.13 e, através da Eq.

A.11, é possível relacionar as tensões de Reynolds com 𝜇𝑇 recorrendo à Eq. A.14.

휀 = 𝐶𝐷𝑘3 2⁄

𝑙𝑚 (A.13)

𝜇𝑇 = 𝜌𝑙𝑚√𝑘 (A.14)

em que 𝐶𝐷 é uma constante ajustável ao modelo e que pode tomar valores compreendidos entre

0,07 e 0,09.

O modelo de uma equação é mais robusto e rigoroso que o modelo de comprimento de mistura

de Prandlt, incluindo efeitos de transporte por convecção e difusão, bem como a produção de

energia cinética turbulenta. Como limitações deste modelo a necessidade de o utilizador definir

o comprimento de mistura, sendo o modelo bastante sensível a esta escolha, e, para além disso,

não é o modelo ideal quando se tem escoamentos em torno de geometrias complexas (Burnham,

2011b).

Os modelos de duas equações requerem, para além da resolução da equação de 𝑘, a resolução

de mais uma equação de transporte para a taxa de dissipação, podendo ser a taxa de dissipação

de energia cinética turbulenta, 휀 (constituindo o modelo 𝑘 − 휀), ou a taxa de dissipação de energia

𝜔 (i.e. taxa a que a dissipação de energia ocorre), que constitui o modelo 𝑘 − 𝜔.

Modelo standard 𝒌 − 𝜺

Este é o modelo de turbulência mais utilizado, sendo considerado o modelo padrão industrial,

sendo frequentemente utilizado no cálculo de jatos e escoamentos com transmissão de calor. A

variação “standard 𝑘 − 휀” foi proposta por Launder e Spalding (1974), assumindo que o

V

A B C D E

escoamento é totalmente turbulento e que os efeitos de viscosidade molecular são desprezáveis

em relação à difusão turbulenta. Como escala de velocidades continuam a optar por √𝑘 – tal

como no modelo de uma equação – e a escala de comprimentos é expressa segundo a Eq. A.15.

𝑙𝑚 =𝑘3 2⁄

휀 (A.15)

Neste modelo a viscosidade turbulenta, 𝜇𝑇, pode ser obtida com base nas escalas de velocidade

e comprimento através da seguinte expressão:

𝜇𝑇 = 𝜌𝐶𝜇𝑘2

휀 (A.16)

A energia cinética turbulenta, 𝑘, e a taxa de dissipação 휀, para um escoamento incompressível

são calculadas recorrendo às equações de transporte A.12 e A.17, respetivamente.

𝜌 [ 𝜕𝜀

𝜕𝑡⏟+ 𝑢j̅

𝜕𝜀

𝜕𝑥𝑗⏟ ] =

𝜕

𝜕𝑥𝑗[(𝜇 +

𝜇𝑇

𝜎𝜀)𝜕𝜀

𝜕𝑥𝑗]

⏟ + 𝐶1𝜀

𝜀

𝑘[−𝜌𝑢i

′𝑢j′̅̅ ̅̅ ̅̅ 𝜕𝑢i̅

𝜕𝑥𝑗]

⏟ − 𝐶2𝜀𝜌

𝜀2

𝑘⏟ (A.17)

À semelhança da equação de transporte do modelo de uma equação, o significado dos termos

assinalados nas Eqs. A.12 e A.17 de acordo com a definição de Versteeg e Malalasekera (1995)

encontra-se na Tabela A.2. Os valores das constantes para o modelo 𝑘 − 휀 são apresentados no

Tabela A.3.

Como inconvenientes, o modelo standard 𝑘 − 휀 é desaconselhado na simulação de escoamentos

rotacionais, com linhas de correntes curvas e escoamentos com elevada taxa de deformação

(Burnham, 2011b). Para além disso, trata-se de um modelo mais exigente computacionalmente

que os modelos de zero e uma equações.

Modelo RNG 𝒌 − 𝜺

O modelo de turbulência RNG 𝑘 − 휀 proposto por Yakhot et al. (1992) é derivado do modelo 𝑘 −

휀 através de um método de análise estatística denominado de “Renormalized Group” (RNG) do

qual se obtêm as constantes do modelo (Burnham, 2011b; Flow Science, Inc., 2015). Os dois

modelos são similares, no entanto o modelo RNG 𝑘 − 휀 apresenta as seguintes vantagens

(Burnham, 2011b):

A Taxa de variação de 𝑘/휀

B Transporte de 𝑘/휀 por convecção

C Transporte de 𝑘/휀 por difusão

D Taxa de produção de 𝑘/휀

E Taxa de destruição de 𝑘/휀

Constantes standard 𝒌 − 𝜺

𝑪𝝁 0,09

𝝈𝒌 1,0

𝝈𝜺 1,3

𝑪𝟏𝜺 1,44

𝑪𝟐𝜺 1,92

Tabela A.2 - Termos das equações de transporte 𝑘 e 휀. Tabela A.3 - Valores das constantes do modelo

standard 𝑘 − 휀 (Isfahani e Brethour, 2009).

VI

A B C D E

Termo adicional na equação de transporte da taxa de dissipação 휀 que melhora a

precisão dos resultados para fluidos submetidos a variações repentinas de tensão.

Tem em conta os efeitos de viscosidade para escoamentos de turbulência pouco intensa

(baixo número de Reynolds), sendo necessário tratamento apropriado junto das paredes.

Considera o efeito de diferentes escalas de movimento para a difusão da turbulência.

Introduz o efeito do turbilhão (efeito recirculatório) em escoamentos turbulentos,

melhorando a precisão no cálculo de escoamentos turbilhonares.

Mais preciso e fiável para uma maior gama de escoamentos.

As equações de transporte para a energia cinética turbulenta, 𝑘, e para a taxa de dissipação da

energia cinética turbulenta, 휀, definidas para o modelo standard 𝑘 − 휀 sofrem alterações que

conduzem à introdução de termos adicionais e de novos valores das constantes (Tabela A.5)

anteriormente definidas, sendo as expressões dadas pelas Eqs. A.12 e A.18. De salientar que a

única diferença entre as expressões A.17 e A.18 é o termo 𝐶2𝜀∗ , dependente de 𝑘, 휀 e do tensor

das tensões.

𝜌 [ 𝜕𝜀

𝜕𝑡⏟+ 𝑢j̅

𝜕𝜀

𝜕𝑥𝑗⏟ ] =

𝜕

𝜕𝑥𝑗[(𝜇 +

𝜇𝑇

𝜎𝜀)𝜕𝜀

𝜕𝑥𝑗]

⏟ + 𝐶1𝜀

𝜀

𝑘[−𝜌𝑢i

′𝑢j′̅̅ ̅̅ ̅̅ 𝜕𝑢i̅

𝜕𝑥𝑗]

⏟ − 𝐶2𝜀

∗ 𝜌𝜀2

𝑘⏟ (A.18)

A Taxa de variação de 𝑘/휀

B Transporte de 𝑘/휀 por convecção

C Transporte de 𝑘/휀 por difusão

D Taxa de produção de 𝑘/휀

E Taxa de destruição de 𝑘/휀

Constantes RNG 𝒌 − 𝜺

𝑪𝝁 0,085

𝝈𝒌 0,72

𝝈𝜺 0,72

𝑪𝟏𝜺 1,42

𝑪𝟐𝜺∗

função de 𝑘, 휀 e tensor das tensões

Tabela A.4 - Termos das equações de transporte 𝑘

e 휀. Tabela A.5 - Valores das constantes do modelo

RNG 𝑘 − 휀 (Isfahani e Brethour, 2009).

VII

Anexo B Regime permanente

As Figuras A.1 (a) a (d) mostram a evolução de algumas variáveis usualmente definidas na

avaliação da estacionaridade de escoamentos, obtidas diretamente da interface gráfica do

FLOW-3D® (GUI – Graphical User Interface). Os gráficos correspondem a simulações para um

descarregador de paredes com ângulo de convergência de 9,9° e com altura do degrau igual a

5 cm (Q=35 l/s e malha 2). A avaliação da estacionaridade do escoamento é feita para os

primeiros 100 segundos da simulação com modelo de 1ª ordem de iteração da ECQM.

(a) (b)

(c) (d)

Figura B.1 - Monitorização de variáveis de avaliação da estacionaridade do escoamento: (a) energia cinética média do escoamento (J/kg); (b) energia cinética turbulenta média (J/kg); (c) dissipação média da

energia cinética turbulenta (J/kg/s); (d) massa de fluido total (kg).

0

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0 20 40 60 80 100

En

erg

ia c

iné

tic

a

turb

ule

nta

mé

dia

(J

/kg

)

t (s)

200

250

300

350

400

0 20 40 60 80 100

Massa d

e f

luid

o t

ota

l (k

g)

t (s)

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0 20 40 60 80 100

En

erg

ia c

inéti

ca

mé

dia

do

esco

am

en

to (

J/k

g)

t (s)

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0 20 40 60 80 100

Dis

sip

ação

méd

ia d

a

en

erg

ia c

inéti

ca t

urb

ule

nta

(J

/kg

/s)

t (s)

VIII

Anexo C Alturas e perfis de velocidade do escoamento no

canal descarregador

Em C.1 a C.4 apresentam-se os valores das alturas de escoamento obtidas experimentalmente

em Cabrita (2007) e obtidas numericamente no presente estudo – ilustradas nas Figuras 7.6 e

7.9 do subcapítulo 7.2.2 – e as respetivas diferenças relativas para o eixo e parede direita do

descarregador, para além da identificação a sombreado das verticais onde se verifica a presença

de ar no seio do escoamento nos ensaios de Cabrita (2007). A diferença 𝛿1 refere-se à diferença

relativa entre a altura do escoamento medida nos ensaios experimentais de Cabrita (2007), hexp,

e a altura obtida numericamente para uma simulação em que se adota o método de aproximação

numérica da equação de conservação da quantidade de movimento de 1ª ordem (designada por

1ª ordem). A diferença 𝛿2 diz respeito à diferença relativa entre a altura do escoamento medida

nos ensaios experimentais e a altura obtida numericamente para uma simulação Restart que

adota aproximações de 2ª ordem com preservação da monotonicidade (designada por 1ª+2ª

ordem).

Em C.4 são apresentados alguns dos perfis de velocidade no canal descarregador em degraus

com hd=2,5 cm e duas paredes convergentes, como complemento aos resultados apresentados

no subcapítulo 7.3.2.

C.1 Diferenças relativas referentes às alturas do escoamento para o

descarregador em degraus com hd=5,0 cm e duas paredes

convergentes de 9,9⁰

Tabela C.1 - Diferenças relativas entre as alturas do escoamento experimentais e numéricas para o descarregador em degraus de 5,0 cm de altura e duas paredes convergentes: (a) Q=35 l/s; (b) Q=42 l/s;

(c) Q=49 l/s; (d) Q=56 l/s. (a)

Eixo Parede direita

Vertical L hexp hnum,1ª ordem hnum,1ª+2ª ordem δ1 δ2 hexp hnum,1ª ordem hnum,1ª+2ª ordem δ1 δ2

(m) (m) (m) (m) (%) (%) (m) (m) (m) (%) (%)

0 0,00 - 0,0393 0,0414 - - 0,054 0,0400 0,0416 -25,9 -23,0

1 0,11 0,037 0,0331 0,0313 -10,6 -15,4 0,050 0,0381 0,0375 -23,0 -24,3

2 0,22 0,03 0,0319 0,0314 6,4 4,5 0,045 0,0379 0,0398 -15,7 -11,5

3 0,34 0,031 0,0321 0,0278 3,4 -10,3 0,040 0,0377 0,0387 -5,7 -3,2

4 0,45 0,027 0,0324 0,0283 20,1 4,7 0,041 0,0381 0,0383 -5,9 -5,3

5 0,56 0,028 0,0349 0,0274 24,7 -2,2 0,040 0,0387 0,0375 -3,3 -6,2

6 0,67 - 0,0375 0,0304 - - 0,043 0,0386 0,0405 -9,1 -4,8

7 0,78 - 0,0392 0,0311 - - 0,044 0,0402 0,0433 -7,7 -0,4

8 0,89 - 0,0445 0,0338 - - 0,045 0,0448 0,0433 -0,5 -3,7

9 1,01 - - - - - 0,048 - - - -

IX

Tabela C.1 - Diferenças relativas entre as alturas do escoamento experimentais e numéricas para o descarregador em degraus de 5,0 cm de altura e duas paredes convergentes: (a) Q=35 l/s; (b) Q=42 l/s;

(c) Q=49 l/s; (d) Q=56 l/s (continuação). (b)

Eixo Parede direita


(m) (m) (m) (m) (%) (%) (m) (m) (m) (%) (%)

0 0,00 - 0,0468 0,0471 - - 0,061 0,0477 0,0479 -21,8 -21,5

1 0,11 0,043 0,0403 0,0391 -6,3 -9,1 0,060 0,0480 0,0474 -20,0 -21,0

2 0,22 0,0355 0,0379 0,0351 6,7 -1,2 0,053 0,0461 0,0453 -12,2 -13,7

3 0,34 0,036 0,0385 0,0321 7,1 -10,8 0,045 0,0452 0,0449 0,5 -0,2

4 0,45 0,031 0,0386 0,0335 24,6 7,9 0,046 0,0446 0,0475 -3,1 3,2

5 0,56 0,032 0,0401 0,0329 25,4 2,8 0,047 0,0455 0,0443 -2,2 -4,8

6 0,67 0,029 0,0431 0,0359 48,7 23,6 0,048 0,0461 0,0460 -3,9 -4,2

7 0,78 - 0,0458 0,0385 - - 0,050 0,0470 0,0471 -5,9 -5,7

8 0,89 - 0,0517 0,0440 - - 0,053 0,0522 0,0497 -0,5 -5,4

9 1,01 - - - - - 0,057 - - - -

(c)

Eixo Parede direita


(m) (m) (m) (m) (%) (%) (m) (m) (m) (%) (%)

0 0,00 - 0,0518 0,0532 - - 0,067 0,0548 0,0567 -18,2 -15,5

1 0,11 0,045 0,0464 0,0460 3,1 2,1 0,068 0,0556 0,0555 -18,2 -18,4

2 0,22 0,039 0,0416 0,0394 6,6 1,1 0,058 0,0514 0,0516 -11,5 -11,1

3 0,34 0,035 0,0419 0,0365 19,7 4,2 0,052 0,0504 0,0476 -3,1 -8,5

4 0,45 0,036 0,0428 0,0371 18,8 3,1 0,052 0,0489 0,0486 -6,0 -6,5

5 0,56 0,035 0,0441 0,0385 26,0 9,9 0,051 0,0486 0,0471 -3,7 -6,7

6 0,67 0,038 0,0470 0,0402 23,6 5,8 0,053 0,0534 0,0505 1,8 -3,8

7 0,78 0,036 0,0507 0,0424 40,9 17,8 0,056 0,0519 0,0531 -6,5 -4,3

8 0,89 0,039 0,0562 0,0472 44,1 21,1 0,059 0,0568 0,0549 -3,0 -6,2

9 1,01 - - - - - 0,063 - - - -

(d)

Eixo Parede direita


(m) (m) (m) (m) (%) (%) (m) (m) (m) (%) (%)

0 0,00 - 0,0563 0,0574 - - 0,073 0,0579 0,0591 -20,7 -19,1

1 0,11 0,055 0,0505 0,0503 -8,2 -8,5 0,074 0,0608 0,0606 -17,9 -18,1

2 0,22 0,0435 0,0462 0,0435 6,2 0,0 0,065 0,0566 0,0560 -12,3 -13,2

3 0,34 0,0435 0,0458 0,0416 5,2 -4,3 0,058 0,0547 0,0545 -4,8 -5,2

4 0,45 0,039 0,0463 0,0414 18,6 6,0 0,057 0,0531 0,0537 -6,1 -5,0

5 0,56 0,041 0,0490 0,0432 19,5 5,4 0,055 0,0542 0,0522 -1,5 -5,1

6 0,67 0,04 0,0510 0,0435 27,4 8,7 0,057 0,0548 0,0551 -2,9 -2,5

7 0,78 0,042 0,0550 0,0462 30,7 9,9 0,059 0,0560 0,0552 -5,2 -6,4

8 0,89 0,042 0,0621 0,0512 47,8 21,9 0,061 0,0632 0,0556 4,4 -8,1

9 1,01 0,044 - - - - 0,068 - - - -

X


descarregador em degraus com hd=2,5 cm de altura e duas

paredes convergentes de 9,9⁰


descarregador em degraus de 2,5 cm de altura e duas paredes convergentes: (a) Q=35 l/s; (b) Q=42 l/s;

(c) Q=49 l/s; (d) Q=56 l/s.

(a)

Eixo Parede direita

Vertical L hexp hnum,1ª ordem hnum,1ª+2ª ordem δ1 δ2 hexp hnum,1ª ordem

hnum,1ª+2ª

ordem δ1 δ2

(m) (m) (m) (m) (%) (%) (m) (m) (m) (%) (%)

0 0,00 0,049 0,0394 0,0402 -19,6 -18,0 0,055 0,0457 0,0448 -16,2 -17,8

1 0,06 0,044 0,0378 0,0390 -14,0 -11,4 0,060 0,0465 0,0463 -21,9 -22,2

2 0,11 0,033 0,0345 0,0332 4,6 0,7 0,049 0,0421 0,0390 -14,0 -20,4

3 0,17 0,032 0,0325 0,0302 1,4 -5,6 0,048 0,0413 0,0372 -13,0 -21,7

4 0,22 0,029 0,0317 0,0302 9,3 4,2 0,045 0,0401 0,0388 -9,8 -12,9

5 0,28 0,031 0,0309 0,0283 -0,3 -8,7 0,045 0,0411 0,0357 -8,7 -20,6

6 0,34 0,026 0,0315 0,0280 21,3 7,3 0,040 0,0387 0,0371 -3,4 -7,1

7 0,39 0,029 0,0318 0,0280 9,5 -3,4 0,040 0,0381 0,0366 -4,8 -8,4

8 0,45 0,026 0,0325 0,0280 25,0 7,6 0,038 0,0386 0,0356 1,5 -6,2

9 0,50 0,029 0,0338 0,0279 16,4 -3,8 0,041 0,0379 0,0350 -6,3 -13,6

10 0,56 0,026 0,0355 0,0285 36,4 9,7 0,039 0,0381 0,0334 -2,2 -14,4

11 0,61 0,028 0,0366 0,0305 30,8 8,9 0,040 0,0384 0,0342 -4,0 -14,4

12 0,67 0,027 0,0384 0,0301 42,2 11,6 0,039 0,0393 0,0331 0,7 -15,1

13 0,73 0,033 0,0412 0,0319 24,7 -3,3 0,043 0,0392 0,0333 -7,8 -21,8

14 0,78 0,031 0,0429 0,0325 38,5 4,7 0,041 0,0404 0,0328 -1,4 -20,1

15 0,84 0,026 0,0440 0,0344 69,4 32,2 0,044 0,0418 0,0355 -3,9 -18,5

16 0,89 0,025 0,0465 0,0358 86,1 43,2 0,042 0,0433 0,0362 3,2 -13,8

17 0,95 0,028 0,0494 0,0381 76,2 36,1 0,047 0,0441 0,0381 -5,3 -18,0

18 1,01 - 0,0554 0,0410 - - 0,046 0,0503 0,0410 10,4 -9,8

19 1,06 - - - - - 0,053 - - - -

(b)

Eixo Parede direita


(m) (m) (m) (m) (%) (%) (m) (m) (m) (%) (%)

0 0,00 0,055 0,0466 0,0469 -15,3 -14,8 0,064 0,0537 0,0531 -16,1 -17,0

1 0,06 0,050 0,0453 0,0445 -9,3 -11,0 0,069 0,0550 0,0539 -19,7 -21,4

2 0,11 0,042 0,0417 0,0396 -0,7 -5,8 0,060 0,0517 0,0490 -13,2 -17,7

3 0,17 0,039 0,0392 0,0372 0,5 -4,7 0,059 0,0496 0,0470 -15,1 -19,7

4 0,22 0,035 0,0385 0,0357 10,0 2,1 0,052 0,0488 0,0457 -6,1 -12,0

5 0,28 0,038 0,0374 0,0352 -1,6 -7,4 0,051 0,0472 0,0451 -7,4 -11,6

6 0,34 0,030 0,0379 0,0347 26,3 15,7 0,049 0,0464 0,0443 -4,3 -8,7

XI

Tabela C.2 - Diferenças relativas entre as alturas do escoamento experimentais e numéricas para o descarregador em degraus de 2,5 cm de altura e duas paredes convergentes: (a) Q=35 l/s; (b) Q=42 l/s; (c) Q=49 l/s; (d) Q=56 l/s

(continuação).

(b)

Eixo Parede direita


(m) (m) (m) (m) (%) (%) (m) (m) (m) (%) (%)

7 0,39 0,035 0,0382 0,0347 9,1 -0,8 0,048 0,0460 0,0424 -4,2 -11,7

8 0,45 0,033 0,0383 0,0351 16,2 6,2 0,046 0,0455 0,0418 0,0 -8,1

9 0,50 0,033 0,0393 0,0352 19,1 6,8 0,047 0,0450 0,0411 -3,3 -11,5

10 0,56 0,030 0,0413 0,0358 37,6 19,2 0,045 0,0454 0,0410 0,8 -8,8

11 0,61 0,034 0,0427 0,0363 25,5 6,7 0,049 0,0448 0,0410 -8,6 -16,4

12 0,67 0,033 0,0459 0,0371 39,0 12,5 0,047 0,0469 0,0413 0,8 -11,2

13 0,73 0,033 0,0468 0,0390 41,8 18,1 0,048 0,0465 0,0424 -3,2 -11,7

14 0,78 0,031 0,0499 0,0396 60,8 27,6 0,047 0,0479 0,0420 3,1 -9,6

15 0,84 0,034 0,0508 0,0414 49,5 21,9 0,049 0,0484 0,0427 -1,3 -12,8

16 0,89 0,030 0,0541 0,0428 80,3 42,6 0,048 0,0502 0,0432 5,6 -9,0

17 0,95 0,035 0,0572 0,0446 63,4 27,4 0,052 0,0528 0,0440 1,6 -15,5

18 1,01 0,033 0,0635 0,0489 92,6 48,3 0,051 0,0616 0,0471 20,9 -7,7

19 1,06 - - - - - 0,061 - - - -

(c)

Eixo Parede direita


(m) (m) (m) (m) (%) (%) (m) (m) (m) (%) (%)

0 0,00 0,063 0,0509 0,0513 -19,2 -18,5 0,069 0,0621 0,0613 -9,4 -10,5

1 0,06 0,057 0,0502 0,0500 -11,9 -12,3 0,079 0,0627 0,0604 -20,2 -23,0

2 0,11 0,049 0,0466 0,0460 -5,0 -6,1 0,071 0,0571 0,0567 -19,0 -19,7

3 0,17 0,049 0,0433 0,0425 -11,7 -13,3 0,068 0,0545 0,0541 -19,9 -20,4

4 0,22 0,049 0,0423 0,0395 -13,7 -19,3 0,061 0,0528 0,0514 -12,7 -15,0

5 0,28 0,043 0,0422 0,0389 -1,8 -9,5 0,060 0,0532 0,0500 -10,6 -16,0

6 0,34 0,036 0,0420 0,0387 16,5 7,5 0,055 0,0531 0,0496 -3,4 -9,8

7 0,39 0,038 0,0420 0,0388 10,4 2,1 0,056 0,0500 0,0482 -9,9 -13,1

8 0,45 0,035 0,0428 0,0389 22,2 11,2 0,051 0,0497 0,0474 -2,6 -7,1

9 0,50 0,038 0,0436 0,0395 14,6 3,9 0,055 0,0491 0,0468 -9,9 -14,1

10 0,56 0,033 0,0456 0,0403 38,3 22,1 0,051 0,0500 0,0464 -2,0 -9,0

11 0,61 0,040 0,0470 0,0416 17,4 3,9 0,054 0,0501 0,0460 -6,4 -13,9

12 0,67 0,036 0,0502 0,0432 39,3 20,0 0,052 0,0515 0,0463 -1,0 -11,0

13 0,73 0,038 0,0510 0,0440 34,3 15,7 0,055 0,0508 0,0460 -7,6 -16,4

14 0,78 0,036 0,0536 0,0458 49,0 27,2 0,052 0,0508 0,0466 -2,2 -10,4

15 0,84 0,038 0,0567 0,0471 49,2 24,0 0,056 0,0542 0,0472 -3,2 -15,8

16 0,89 0,034 0,0582 0,0500 71,2 47,1 0,054 0,0552 0,0498 2,3 -7,7

17 0,95 0,041 0,0615 0,0507 50,1 23,6 0,058 0,0570 0,0500 -0,8 -13,1

18 1,01 0,037 0,0667 0,0564 80,4 52,4 0,060 0,0627 0,0545 5,4 -8,3

19 1,06 - - - - - 0,069 - - - -

XII


descarregador em degraus de 2,5 cm de altura e duas paredes convergentes: (a) Q=35 l/s; (b) Q=42 l/s;

(c) Q=49 l/s; (d) Q=56 l/s (continuação).

(d)

Eixo Parede direita


(m) (m) (m) (m) (%) (%) (m) (m) (m) (%) (%)

0 0,00 0,070 0,0547 0,0553 -21,2 -20,4 0,076 0,0629 0,06204 -16,7 -17,8

1 0,06 0,062 0,0542 0,0544 -12,5 -12,3 0,085 0,0670 0,06682 -20,7 -20,9

2 0,11 0,054 0,0507 0,0500 -6,1 -7,5 0,077 0,0641 0,06130 -16,7 -20,4

3 0,17 0,050 0,0488 0,0469 -2,3 -6,3 0,076 0,0627 0,05772 -17,5 -24,1

4 0,22 0,045 0,0463 0,0437 2,9 -3,0 0,068 0,0600 0,05556 -11,1 -17,7

5 0,28 0,046 0,0456 0,0428 -0,9 -6,9 0,067 0,0578 0,05441 -13,0 -18,2

6 0,34 0,038 0,0455 0,0426 21,2 13,6 0,059 0,0567 0,05372 -3,9 -9,0

7 0,39 0,043 0,0460 0,0427 7,1 -0,6 0,060 0,0560 0,05281 -6,7 -12,0

8 0,45 0,041 0,0460 0,0431 12,1 5,1 0,057 0,0549 0,05235 -3,7 -8,2

9 0,50 0,042 0,0470 0,0435 11,9 3,7 0,059 0,0542 0,05106 -8,2 -13,5

10 0,56 0,037 0,0500 0,0452 35,0 22,1 0,056 0,0556 0,05059 0,1 -8,8

11 0,61 0,044 0,0506 0,0461 15,1 4,8 0,058 0,0547 0,05041 -4,8 -12,3

12 0,67 0,037 0,0529 0,0471 42,9 27,3 0,055 0,0546 0,05039 -0,8 -8,4

13 0,73 0,044 0,0549 0,0497 24,8 12,9 0,059 0,0548 0,05190 -6,3 -11,3

14 0,78 0,038 0,0583 0,0503 53,4 32,3 0,057 0,0569 0,05200 -0,2 -8,8

15 0,84 0,043 0,0612 0,0515 42,4 19,9 0,061 0,0574 0,05238 -6,0 -14,1

16 0,89 0,038 0,06371 0,0536 67,7 41,0 0,059 0,0586 0,05343 -0,7 -9,4

17 0,95 0,046 0,0667 0,0568 44,9 23,5 0,064 0,0622 0,05813 -2,1 -8,5

18 1,01 0,044 0,0721 0,0628 63,7 42,7 0,065 0,0655 0,06028 0,8 -7,3

19 1,06 - - - - - 0,075 - - - -

XIII


descarregador com paramento liso e duas paredes

convergentes de 9,9⁰

Tabela C.3 - Diferenças relativas entre as alturas do escoamento experimentais e numéricas para o descarregador liso e duas paredes convergentes: (a) Q=35 l/s; (b) Q=56 l/s.

(a)

Eixo Parede direita


(m) (m) (m) (m) (%) (%) (m) (m) (m) (%) (%)

0 0,00 0,042 0,0390 0,0401 -7,1 -4,5 0,050 0,0469 0,0471 -5,2 -4,8

1 0,11 0,034 0,0337 0,0337 -1,0 -0,9 0,053 0,0453 0,0465 -13,7 -11,4

2 0,22 0,027 0,0277 0,0277 2,6 2,6 0,046 0,0409 0,0417 -11,2 -9,5

3 0,34 0,023 0,0225 0,0229 -2,0 -0,5 0,042 0,0366 0,0368 -13,0 -12,5

4 0,45 0,023 0,0205 0,0207 -11,0 -10,1 0,039 0,0359 0,0366 -6,6 -5,0

5 0,56 0,020 0,0191 0,0193 -4,5 -3,6 0,039 0,0356 0,0362 -8,8 -7,2

6 0,67 0,017 0,0184 0,0185 8,0 8,7 0,038 0,0355 0,0361 -5,5 -3,8

7 0,78 0,017 0,0168 0,0166 -1,3 -2,3 0,039 0,0348 0,0347 -9,6 -9,9

8 0,89 0,017 0,0167 0,0164 -1,7 -3,7 0,038 0,0343 0,0351 -9,9 -7,7

9 1,01 0,017 - - - - 0,039 - - - -

(b)

Eixo Parede direita


(m) (m) (m) (m) (%) (%) (m) (m) (m) (%) (%)

0 0,00 0,057 0,0538 0,0541 -5,7 -5,0 0,075 0,0664 0,0638 -11,5 -15,0

1 0,11 0,048 0,0467 0,0468 -2,7 -2,5 0,078 0,0620 0,0656 -20,0 -15,4

2 0,22 0,041 0,0395 0,0406 -3,6 -0,9 0,069 0,0591 0,0593 -13,7 -13,4

3 0,34 0,037 0,0355 0,0354 -4,2 -4,4 0,059 0,0537 0,0535 -9,0 -9,4

4 0,45 0,033 0,0321 0,0320 -2,6 -3,0 0,055 0,0517 0,0524 -6,0 -4,7

5 0,56 0,032 0,0305 0,0306 -4,9 -4,4 0,054 0,0495 0,0512 -7,5 -4,3

6 0,67 0,030 0,0294 0,0302 -1,9 0,7 0,053 0,0477 0,0507 -9,1 -3,5

7 0,78 0,030 0,0302 0,0303 0,8 1,1 0,054 0,0478 0,0516 -11,6 -4,5

8 0,89 0,030 0,0317 0,0310 5,8 3,5 0,055 0,0481 0,0490 -11,7 -10,0

9 1,01 0,034 - - - - 0,058 - - - -

XIV


descarregador em degraus com hd=5,0 cm de altura e uma

parede convergente com θ=19,3⁰

Tabela C.4 - Diferenças relativas entre as alturas do escoamento experimentais e numéricas para o descarregador em degraus de 5,0 cm de altura e com uma parede convergente (parede direita): (a) Q=35

l/s; (b) Q=42 l/s; (c) Q=49 l/s; (d) Q=56 l/s.

(a)

Parede esquerda Parede direita


(m) (m) (m) (m) (%) (%) (m) (m) (m) (%) (%)

0 0,00 0,049 0,0370 0,0370 -24,4 -24,4 - 0,0467 0,0442 - -

1 0,11 0,043 0,0281 0,0276 -34,8 -35,9 0,065 0,0420 0,0408 -35,3 -37,2

2 0,22 0,038 0,0269 0,0276 -29,3 -27,5 0,062 0,0446 0,0486 -28,1 -21,6

3 0,34 0,036 0,0276 0,0271 -23,5 -24,7 0,060 0,0476 0,0530 -20,7 -11,6

4 0,45 0,035 0,0276 0,0276 -21,3 -21,3 0,060 0,0474 0,0535 -21,1 -10,9

5 0,56 0,035 0,0276 0,0271 -21,3 -22,6 0,062 0,0472 0,0544 -23,9 -12,2

6 0,67 - 0,0281 0,0276 - - 0,065 0,0459 0,0551 -29,5 -15,2

7 0,78 0,038 0,0370 0,0276 -2,5 -27,5 0,065 0,0518 0,0585 -20,4 -10,1

8 0,89 0,038 0,0370 0,0279 -2,5 -26,5 0,068 0,0504 0,0558 -25,9 -18,0

9 1,01 0,04 0,0375 0,0339 -6,3 -15,3 0,070 0,0425 0,0541 -39,3 -22,7

(b)



(m) (m) (m) (m) (%) (%) (m) (m) (m) (%) (%)

0 0,00 0,055 0,0463 0,0461 -15,8 -16,2 - 0,0605 0,0637 - -

1 0,11 0,049 0,0373 0,0366 -23,9 -25,3 0,075 0,0564 0,0538 -24,8 -28,3

2 0,22 0,045 0,0370 0,0325 -17,7 -27,7 0,073 0,0596 0,0552 -18,3 -24,4

3 0,34 0,042 0,0370 0,0276 -11,8 -34,4 0,070 0,0613 0,0596 -12,4 -14,9

4 0,45 0,041 0,0370 0,0280 -9,7 -31,7 0,065 0,0606 0,0591 -6,8 -9,1

5 0,56 0,041 0,0370 0,0280 -9,7 -31,7 0,070 0,0594 0,0604 -15,2 -13,7

6 0,67 - 0,0370 0,0370 - - 0,075 0,0600 0,0691 -20,0 -7,9

7 0,78 0,04 0,0375 0,0370 -6,3 -7,4 0,075 0,0558 0,0687 -25,6 -8,4

8 0,89 0,038 0,0373 0,0370 -1,9 -2,5 0,075 0,0532 0,0741 -29,0 -1,1

9 1,01 0,045 0,0557 0,0375 23,7 -16,7 0,078 0,0644 0,0659 -17,4 -15,5

XV

Tabela C.4 - Diferenças relativas entre as alturas do escoamento experimentais e numéricas para o descarregador em degraus de 5,0 cm de altura e com uma parede convergente (parede direita): (a) Q=35

l/s; (b) Q=42 l/s; (c) Q=49 l/s; (d) Q=56 l/s (continuação).

(c)



(m) (m) (m) (m) (%) (%) (m) (m) (m) (%) (%)

0 0,00 0,059 0,0552 0,0558 -6,4 -5,4 - 0,0687 0,0677 - -

1 0,11 0,056 0,0469 0,0463 -16,3 -17,3 0,090 0,0671 0,0661 -25,4 -26,5

2 0,22 0,05 0,0463 0,0462 -7,4 -7,6 0,080 0,0715 0,0744 -10,7 -7,0

3 0,34 0,047 0,0463 0,0373 -1,5 -20,7 0,075 0,0729 0,0687 -2,8 -8,5

4 0,45 0,045 0,0375 0,0373 -16,7 -17,2 0,072 0,0649 0,0720 -9,9 -0,1

5 0,56 0,043 0,0375 0,0373 -12,8 -13,3 0,078 0,0642 0,0707 -17,7 -9,4

6 0,67 - 0,0462 0,0373 - - 0,080 0,0707 0,0711 -11,7 -11,2

7 0,78 0,042 0,0468 0,0467 11,3 11,2 0,080 0,0677 0,0812 -15,4 1,4

8 0,89 0,043 0,0555 0,0468 29,1 8,7 0,080 0,0739 0,0808 -7,7 1,0

9 1,01 0,047 0,0563 0,0557 19,8 18,4 0,085 0,0668 0,0873 -21,4 2,8

(d)



(m) (m) (m) (m) (%) (%) (m) (m) (m) (%) (%)

0 0,00 0,065 0,0558 0,0558 -14,2 -14,2 0,0711 0,0719 - -

1 0,11 0,061 0,0463 0,0469 -24,1 -23,2 0,100 0,0708 0,0706 -29,2 -29,4

2 0,22 0,055 0,0463 0,0463 -15,8 -15,8 0,090 0,0734 0,0748 -18,4 -16,9

3 0,34 0,052 0,0462 0,0462 -11,1 -11,1 0,085 0,0748 0,0803 -12,0 -5,5

4 0,45 0,049 0,0462 0,0375 -5,6 -23,5 0,080 0,0742 0,0720 -7,3 -10,0

5 0,56 0,048 0,0374 0,0372 -22,1 -22,5 0,085 0,0635 0,0710 -25,3 -16,5

6 0,67 0,048 0,0462 0,0375 -3,7 -21,9 0,085 0,0723 0,0722 -15,0 -15,0

7 0,78 0,049 0,0468 0,0383 -4,6 -21,9 0,090 0,0682 0,0735 -24,2 -18,3

8 0,89 0,056 0,0555 0,0469 -0,9 -16,3 0,090 0,0746 0,0796 -17,1 -11,5

9 1,01 - 0,0563 0,0557 - - 0,095 0,0706 0,0900 -25,7 -5,2

XVI

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

0.045

0.05

0.055

0.06

0.5 1 1.5 2 2.5 3

y (

m)

V (m/s)

1ª ordem

1ª+2ª ordem

Cabrita (2007)

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

0.045

0.05

0.055

0.06

0.5 1 1.5 2 2.5 3

y (

m)

V (m/s)

1ª ordem

1ª+2ª ordem

Cabrita (2007)

C.5 Perfis de velocidade no canal descarregador com paramento em

degraus com hd=2,5 cm e duas paredes convergentes para

Q=42 l/s

As diferenças relativas médias (em valor absoluto) entre a simulação Restart e os valores

experimentais são de 6,9%, 9,8%, 6,7%, 5,1%, 1,9%, 1,2%, 3,2%, 4,3% e 5,4% nas verticais 1,

3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 e 17, respetivamente.

(a) (b) (c)

(d) (e) (f)

Figura C.1 - Comparação entre perfis de velocidade experimentais e numéricos no canal descarregador com duas paredes convergentes e degraus com 2,5 cm de altura para Q=42 l/s: (a) vertical 1; (b) vertical

3; (c) vertical 5; (d) vertical 7; (e) vertical 9; (f) vertical 11; (g) vertical 13; (h) vertical 15; (i) vertical 17.

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

0.045

0.05

0.055

0.06

0.5 1 1.5 2 2.5 3

y (m

)

V (m/s)

1ª ordem

1ª+2ª ordem

Cabrita (2007)

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

0.045

0.05

0.055

0.06

0.5 1 1.5 2 2.5 3

y (

m)

V (m/s)

1ª ordem

1ª+2ª ordem

Cabrita (2007)

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

0.045

0.05

0.055

0.06

0.5 1 1.5 2 2.5 3y

(m

)V (m/s)

1ª ordem

1ª+2ª ordem

Cabrita (2007)

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

0.045

0.05

0.055

0.06

0.5 1 1.5 2 2.5 3

y (

m)

V (m/s)

1ª ordem

1ª+2ª ordem

Cabrita (2007)

XVII

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

0.045

0.05

0.055

0.06

0.5 1 1.5 2 2.5 3

y (

m)

V (m/s)

1ª ordem

1ª+2ª ordem

Cabrita (2007)

(g) (h) (i)

Figura C.1 - Comparação entre perfis de velocidade experimentais e numéricos no canal descarregador com duas paredes convergentes e degraus com 2,5 cm de altura para Q=42 l/s: (a) vertical 1; (b) vertical

3; (c) vertical 5; (d) vertical 7; (e) vertical 9; (f) vertical 11; (g) vertical 13; (h) vertical 15; (i) vertical 17 (continuação).

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

0.045

0.05

0.055

0.06

0.5 1 1.5 2 2.5 3

y (

m)

V (m/s)

1ª ordem

1ª+2ª ordem

Cabrita (2007)

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

0.045

0.05

0.055

0.06

0.5 1 1.5 2 2.5 3

y (

m)

V (m/s)

1ª ordem

1ª+2ª ordem

Cabrita (2007)

XVIII

Anexo D Ondas estacionárias oblíquas no descarregador

com paredes convergentes

Apresenta-se em seguida a metodologia utilizada para a definição da largura das ondas

estacionárias oblíquas apresentadas no subcapítulo 7.2.3 para o caso do descarregador em

degraus com 5,0 cm de altura com duas paredes convergentes, modelação de todo o domínio

computacional e para um caudal de 49 l/s. O processo descrito é análogo para todos os degraus

e será apresentado a título de exemplo a obtenção da largura de onda no degrau 4.

Introduzindo um ficheiro .case da simulação efetuada no FLOW-3D® no programa ParaView e

definindo uma secção (slice) para a vertical 4 com direção ortogonal à soleira fictícia (ver Figura

D.1), o ParaView cria um ficheiro de coordenadas .csv com a definição das alturas de

escoamento dessa secção.

Figura D.1 - Esquema da secção transversal do escoamento na vertical 4 do descarregador em degraus com duas paredes convergentes (hd=5,0 cm; Q=49 l/s).

Processando os valores obtidos do ParaView é possível obter a secção transversal para a vertical

desejada, apresentada na Figura D.2. Uma vez que este descarregador tem duas paredes

convergentes com o mesmo ângulo relativamente ao vértice da soleira, o canal descarregador é

simétrico, pelo que y=0 corresponde ao eixo de simetria da secção transversal. Atendendo a que

não ocorre intersecção das ondas, analisou-se apenas a da parede direita (gama de valores

negativos de y).

Figura D.2 - Alturas de escoamento ao longo da secção transversal da vertical do descarregador em degraus com duas paredes convergentes (hd=5,0 cm; Q=49 l/s).

00.005

0.010.015

0.020.025

0.030.035

0.040.045

0.05

-0.35 -0.25 -0.15 -0.05 0.05 0.15 0.25 0.35

h (m)

y (m)

1ª ordem

1ª+2ª ordem

XIX

Na Figura D.3 é apresentada a diferença das alturas do escoamento na vertical em estudo para

a simulação Restart, admitindo-se como valores centrais uma zona definida a partir do eixo do

descarregador até 𝑦 igual a −0,1 𝑚. Os valores das diferenças relativas encontram-se

apresentados na Tabela D.1, encontrando-se a sombreado a gama de valores centrais em

relação à qual se calcularam as diferenças percentuais.

Figura D.3 - Diferença das alturas do escoamento na vertical 4 em relação ao valor médio da secção transversal (-0,1m < y < 0).

Tabela D.1 - Alturas do escoamento na secção transversal da vertical 4 e respetivas diferenças percentuais em relação ao valor médio.

y (m) h (m) δmédia (%) y (m) h (m) δmédia (%) y (m) h (m) δmédia (%)

-0,25012 0,04849 32,7 -0,17168 0,03751 2,6 -0,08312 0,03669 0,4

-0,25367 0,04843 32,5 -0,15834 0,03688 0,9 -0,06667 0,03677 0,6

-0,24144 0,04840 32,4 -0,16660 0,03717 1,7 -0,07479 0,03674 0,5

-0,24524 0,04840 32,4 -0,14999 0,03691 1,0 -0,05834 0,03673 0,5

-0,23303 0,04722 29,2 -0,15815 0,03688 0,9 -0,06646 0,03677 0,6

-0,23724 0,04755 30,1 -0,14165 0,03711 1,5 -0,05005 0,03646 -0,2

-0,22498 0,04584 25,4 -0,14982 0,03692 1,0 -0,05813 0,03672 0,5

-0,22912 0,04639 26,9 -0,13333 0,03735 2,2 -0,04174 0,03600 -1,5

-0,21693 0,04442 21,5 -0,14155 0,03712 1,6 -0,04981 0,03645 -0,3

-0,22077 0,04521 23,7 -0,12740 0,03748 2,5 -0,03345 0,03551 -2,8

-0,20834 0,04285 17,2 -0,13330 0,03735 2,2 -0,04145 0,03599 -1,5

-0,20926 0,04289 17,3 -0,12500 0,03753 2,7 -0,02496 0,03531 -3,4

-0,20662 0,04267 16,7 -0,12501 0,03753 2,7 -0,03319 0,03550 -2,9

-0,21256 0,04386 20,0 -0,11667 0,03762 2,9 -0,01649 0,03607 -1,3

-0,19927 0,04182 14,4 -0,11670 0,03762 2,9 -0,02472 0,03533 -3,3

-0,20012 0,04194 14,8 -0,10833 0,03764 3,0 -0,00828 0,03701 1,3

-0,19133 0,03991 9,2 -0,10837 0,03764 3,0 -0,01623 0,03611 -1,2

-0,19113 0,03986 9,1 -0,10000 0,03754 2,7 -0,00079 0,03747 2,5

-0,19114 0,03986 9,1 -0,10001 0,03754 2,7

-0,18322 0,03847 5,3 -0,09171 0,03705 1,4

-0,18332 0,03848 5,3 -0,09905 0,03748 2,5

-0,17498 0,03773 3,2 -0,08333 0,03669 0,4

-0,17504 0,03774 3,3 -0,09161 0,03704 1,3

-0,16669 0,03718 1,7 -0,07500 0,03674 0,5

-5

0

5

10

15

20

25

30

35

-0.35 -0.3 -0.25 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0

δ(%

)

y (m)

XX

Atendendo ao critério estabelecido em 7.2.3 (valor sombreado a rosa na Tabela D.1) e sabendo

a largura do canal na vertical 4, é facilmente determinável o valor da largura de onda nesta

vertical, dado por:

𝐿 = 𝑙𝑐𝑎𝑛𝑎𝑙,4 − 𝑦 ⇔ 𝐿 = [0,35 − tan 9,9×0,4] − |−0,15834| = 0,1218 𝑚 (E.1)

em que:

𝐿 - largura da onda estacionária oblíqua;

𝑙𝑐𝑎𝑛𝑎𝑙,4 - largura de metade do canal descarregador para a vertical 4.

Da Figura D.2 é também possível concluir que a simulação em que se adotam aproximações da

ECQM de 1ª ordem (designada por 1ª ordem) não é capaz de reproduzir o escoamento esperado

numa secção transversal de um descarregador com paredes convergentes, dado não

desenvolver uma onda estacionária oblíqua e, por conseguinte, sobrestimar o valor da altura do

escoamento no eixo. Como já mencionado anteriormente, este método de aproximação numérica

da equação de conservação da quantidade de movimento é incapaz de reproduzir corretamente

os efeitos de 2ª ordem, caraterísticos de escoamentos mais complexos.

Nos estudos de Cabrita (2007) conclui-se que, para o caso dos descarregadores com duas

paredes convergentes, a parede esquerda apresenta sempre (excetuando o caudal de 49 l/s no

descarregador com paramento convencional) valores de largura de onda superiores aos obtidos

na parede direita. Na Figura D.4 são apresentados os valores experimentais para ambas as

paredes do descarregador com θ=9,9⁰ e para o caudal de 35 l/s, conjuntamente com os obtidos

numericamente para a parede direita (que se admitem ser iguais aos da parede esquerda devido

à condição de simetria imposta nesta configuração do canal descarregador). Verifica-se que os

resultados numéricos se encontram mais próximos dos obtidos experimentalmente na parede

esquerda. Na comparação entre os resultados numéricos e os obtidos experimentalmente

(apresentada no capítulo 7.4) serão usados os valores experimentais obtidos na parede

esquerda, parede essa que apresenta a situação mais conservadora em relação à altura do

escoamento.

Figura D.4 - Comparação das larguras da onda estacionária oblíqua obtidas experimental e

numericamente ao longo do descarregador que adota a configuração A (Q=35 l/s; hd=5,0cm).

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.00 0.11 0.22 0.34 0.45 0.56 0.67 0.78 0.89 1.01

L' (m

)

L (m)

Presente estudo

Cabrita (2007), parede esq.

Cabrita (2007), parede dir.

Modelação computacional do escoamento deslizante sobre ... · Ao Daniel Valero pela completa...

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