MODELAÇÃO NUMÉRICA DO COMPORTAMENTO NÃO ......mencionado o Autor e feita referência ao Programa...

MODELAÇÃO NUMÉRICA DO COMPORTAMENTO NÃO LINEAR DO

BETÃO ARMADO NAS ESTRUTURAS DE SUPORTE DE ESCAVAÇÕES URBANAS

JOSÉ CÂNDIDO GONÇALVES FREITAS

PROGRAMA DOUTORAL EM ENGENHARIA CIVIL (PRODEC)

MAIO DE 2019





ESPECIALIZAÇÃO EM GEOTECNIA

Dissertação apresentada na Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto para

obtenção do grau de Doutor em Engenharia Civil.

MAIO 2019

PROGRAMA DOUTORAL EM ENGENHARIA CIVIL

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL

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Editado por

FACULDADE DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE DO PORTO

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Reproduções parciais deste documento serão autorizadas na condição que seja

mencionado o Autor e feita referência ao Programa Doutoral em Engenharia Civil -

2009/2010 - Departamento de Engenharia Civil, Faculdade de Engenharia da

Universidade do Porto, Porto, Portugal, 2009.

As opiniões e informações incluídas neste documento representam unicamente o ponto

de vista do respectivo Autor, não podendo o Editor aceitar qualquer responsabilidade

legal ou outra em relação a erros ou omissões que possam existir.

Este documento foi produzido a partir de versão electrónica fornecida pelo respectivo

Autor.





ESPECIALIZAÇÃO EM GEOTECNIA

Orientador: Professor Doutor Manuel António de Matos Fernandes (FEUP)

Coorientador: Professor Doutor Miguel Ângelo Carvalho Ferraz (FEUP)

Coorientador: Professor Doutor Carlos Manuel da Silva Félix (ISEP)

MAIO DE 2019

Modelação numérica do comportamento não linear do betão armado nas estruturas de suporte de escavações urbanas

“A felicidade não está na ciência, mas sim na aquisição da ciência.”

Edgar Allan Poe

“O difícil, como todos sabem, não é fácil.”

Vicente Matheus


2


i

ÍNDICE GERAL

RESUMO iii

ABSTRACT v

AGRADECIMENTOS vii

ÍNDICE DE TEXTO ix

ÍNDICE DE FIGURAS xvii

ÍNDICE DE QUADROS xxv

SIMBOLOGIA xxvii

1. INTRODUÇÃO 1

2. COMPORTAMENTO DO BETÃO ARMADO EM FLEXÃO PLANA COMPOSTA 9

3. MODELAÇÃO NUMÉRICA 63

4. MODELAÇÃO DE ESCAVAÇÃO SUPORTADA POR UMA PAREDE MOLDADA

MONOESCORADA 153

5. MODELAÇÃO DE ESCAVAÇÃO SUPORTADA POR UMA CORTINA AUTOPORTANTE DE

ESTACAS DE BETÃO ARMADO 189

6. EXEMPLO DE UMA CORTINA DE CONTENÇÃO MULTIESCORADA 235

7. CONCLUSÕES E DESENVOLVIMENTOS 277

BIBLIOGRAFIA


ii


iii

RESUMO

A interação entre a cortina de contenção de uma escavação profunda em meio urbano e o solo

suportado obedece a complexas leis de comportamento, que dependem da própria cortina, das suas

condições de apoio, do faseamento construtivo, do estado de tensão inicial e das características do

solo envolvente e subjacente.

O betão armado assume um papel importante neste tipo de obras, na medida em que é o material

constituinte da cortina na grande maioria dos casos. Todavia, o comportamento do betão armado é

não linear devido especialmente à sua reduzida resistência à tração (betão) e à consequente

fissuração, mesmo em condições de serviço. Desta forma, o comportamento não linear da cortina

de contenção em betão armado condiciona o comportamento do solo suportado, como

consequência da sua interação, e vice-versa.

Para estudar a influência do comportamento não linear do betão armado neste tipo de estruturas de

suporte de terras, foi realizado o acoplamento de dois programas de cálculo automático: um

programa, baseado no método dos elementos finitos, para a análise geotécnica com modelos

elastoplásticos de comportamento do solo, e o outro, baseado no método das fibras, para análise de

secções de betão armado. O processo incremental utilizado permite, para as várias fases de

construção, a interação entre os dois programas. Assim, após a análise de uma fase construtiva no

programa geotécnico, o programa estrutural é informado dos esforços e deformações em cada uma

das secções transversais da cortina de contenção. Após análise do comportamento do betão armado,

o programa estrutural comunica ao programa geotécnico qual a rigidez efetiva em cada secção da

cortina a considerar na fase seguinte.

Este documento está organizado em sete capítulos, que se resumem em seguida.

No Capítulo 1 é feita a introdução ao tema, são referidos os principais objetivos e é apresentada

uma descrição do estado da arte.

No Capítulo 2 descrevem-se as principais características do betão e do aço para armaduras, assim

como as leis constitutivas correntemente utilizadas, descrevendo-se particularmente o modelo

tension stiffening para explicar o comportamento do betão tracionado fendilhado.

No Capítulo 3 descreve-se o processo e os dois programas de cálculo utilizados para a análise não

linear de escavações profundas suportadas por cortinas de betão armado.

Nos três capítulos seguintes são estudados casos de escavações profundas que permitem, não só,

validar o processo desenvolvido e comprovar a sua versatilidade, mas, principalmente, analisar a

influência do comportamento não linear do betão armado nas estruturas de suporte de escavações

profundas.

No Capítulo 4 é analisado um caso de uma escavação suportada por uma cortina monoescorada,

considerando várias hipóteses de rigidez da cortina, de modo a avaliar a sua influência nos esforços

e deslocamentos.


iv

No Capítulo 5 é realizado o estudo de uma cortina autoportante de estacas tangentes de betão

armado, onde se analisa a ductilidade da cortina quando levada até à rotura, ocorrida em

consequência da formação de uma rótula plástica.

No Capítulo 6 estuda-se o caso de uma parede moldada multiescorada para suporte de uma

escavação profunda em solo argiloso mole, admitindo as escoras com e sem pré-esforço, e o

possível melhoramento do solo abaixo do fundo de escavação por jet-grouting.

No Capítulo 7, último capítulo, apresentam-se as principais conclusões do estudo efetuado e

apontam-se as principais linhas para desenvolvimentos futuros.


v

ABSTRACT

The interaction between the retaining wall of a deep excavation in urban environment and the

supported soil obeys to complex behavioural laws, which depend on the wall itself, its supporting

conditions, the construction sequence, the initial stress state and the characteristics of the

surrounding and underlying soil.

Reinforced concrete plays an important role in this type of construction, insofar as it is the

constituent material of the retaining wall in the vast majority of cases. However, the behaviour of

reinforced concrete is non-linear because of its low tensile strength (concrete) and consequent

cracking, even under service conditions. In this way, the non-linear behaviour of the reinforced

concrete retaining wall conditions the behaviour of the supported soil, as consequence of its

interaction, and vice versa.

In order to study the influence of the nonlinear behaviour of reinforced concrete in this type of

problems, the coupling of two automatic calculation codes was performed. One code, based on the

finite element method, for the geotechnical analysis with elastoplastic constitutive models of the

soil, and the other, based on the fiber method, for the analysis of reinforced concrete sections. The

incremental process used allows, for the various construction phases, the interaction between the

two codes. Thus, after analysis of a construction phase by the geotechnical code, the structural code

is informed of the stresses and deformations in each of the cross sections of the wall. After analysis

of the behaviour of reinforced concrete, the structural code communicates to the geotechnical code

the effective stiffness in each section of the retaining wall to consider in the next phase.

This thesis is organized into seven chapters, which are summarized in the following.

In Chapter 1 the introduction to the theme is made, the main objectives are mentioned and a

description of the state of the art is presented.

In Chapter 2 the main characteristics of concrete and steel for reinforcement are described, as well

as the constitutive laws commonly used, and the tension stiffening model is described in particular

to explain the behaviour of cracked concrete.

Chapter 3 describes the process and the two codes used for the non-linear analysis of deep

excavations supported by reinforced concrete retaining walls.

In the next three chapters, three deep excavations cases are studied that allow, not only, to validate

the developed process and prove its versatility but, mostly, to analyze the influence of the nonlinear

behaviour of the reinforced concrete on the retaining structures of deep excavations.

In Chapter 4 a case of an excavation supported by a single-propped retaining wall is analyzed,

considering several hypotheses of wall stiffness in order to evaluate its influence on the stresses

and displacements.


vi

In Chapter 5 the study of a cantilever embedded retaining wall of tangent reinforced concrete piles

is carried out, in which the ductility of the wall is analyzed when it is brought to failure, as result of

the formation of a plastic hinge.

In Chapter 6 the case of a deep excavation in soft clay supported by a multi-strutted diaphragm

wall is studied, admitting the struts with and without prestress, and the possible improvement of the

soil below the bottom of excavation by jet-grouting.

In Chapter 7, last chapter, the main conclusions of the study are presented and the main lines for

future developments are pointed out.


vii

AGRADECIMENTOS

O autor guarda no seu dicionário um conjunto, quase infinito, de palavras que traduzem o elevado

apreço pelas pessoas que no dia-a-dia o incentivaram e ajudaram a concretizar o trabalho de

investigação.

Esse louvor é para:

- os orientadores deste trabalho de investigação;

- a Direção do Departamento de Eng. Civil do ISEP;

- os colegas e amigos do ISEP que sempre incentivaram e apoiaram esta “aventura”;

- os amigos, colegas e professores do DEC da FEUP, que sempre ajudaram e incentivaram

a realização deste trabalho;

- os colegas e amigos do DEC da FCTUC, com especial gratidão a J. Grazina pela sua

ajuda incondicional;

- a família.

A todos, um muito obrigado.


ix

ÍNDICE DE TEXTO

Cap. . Pag.

1 INTRODUÇÃO 1

1.1 GENERALIDADES 1

1.2 OBJETIVOS 3

1.3 ESTADO DA ARTE 4

1.4 ORGANIZAÇÃO DA TESE 7

2 COMPORTAMENTO DO BETÃO ARMADO EM FLEXÃO PLANA

COMPOSTA 9

2.1 INTRODUÇÃO 9

2.2 CONFIGURAÇÃO DA GEOMETRIA E DAS DEFORMAÇÕES 9

2.3 MATERIAIS ESTRUTURAIS 11

2.3.1 Considerações gerais 11

2.3.2 Betão 12

2.3.2.1 Resistência do betão 12

2.3.2.2 Deformação elástica 14

2.3.3 Aço para armaduras 14

2.4 LEIS CONSTITUTIVAS DE COMPORTAMENTO DOS MATERIAIS 15

2.4.1 Modelo de comportamento do betão 15

2.4.2 Modelo de comportamento do aço 16

2.5 DEFORMAÇÃO E CURVATURA 18

2.5.1 Generalidades 18

2.5.2 Centro de rigidez 18

2.5.3 Curvatura 21

2.6 COMPORTAMENTO DO BETÃO ARMADO FENDILHADO 27

2.6.1 Considerações iniciais 27

2.6.2 Comportamento elástico linear, sem fendilhação (Estado I) 32

2.6.3 Secção de betão fendilhada sem resistência à tração (Estado II) 37

2.6.4 Materiais em regime plástico (Estado III) 40

2.7 MODELO DE COMPORTAMENTO UNIAXIAL PARA BETÃO ARMADO

FENDILHADO COM RETENÇÃO DE TRAÇÕES (TENSION STIFFENING) 40

2.8 MÉTODOS APROXIMADOS DE ESTIMATIVA DA RIGIDEZ À FLEXÃO

COM FENDILHAÇÃO 48

2.8.1 Método de Branson 49

2.8.2 Método proposto pelo American Concrete Institute (ACI) 50


x

Cap. . Pag.

2.8.3 Método proposto pelo Comité Euro-International du Béton (CEB-FIP) 50

2.8.4 Método proposto pelo Eurocódigo de Estruturas de Betão (EC2) 50

2.9 ABERTURA DE FENDAS 51

2.10 ARMADURA MÍNIMA PARA CONTROLO DA FENDILHAÇÃO 57

2.11 CONSIDERAÇÕES FINAIS 59

ANEXO

A

APLICAÇÃO DO MÉTODO DE CARDANO NA OBTENÇÃO DA

SOLUÇÃO PARA O ESTADO II 61

3 MODELAÇÃO NUMÉRICA 63

3.1 INTRODUÇÃO 63

3.2 CÓDIGO GEO – MODELAÇÃO GEOTÉCNICA POR ELEMENTOS

FINITOS 65

3.2.1 Origem do Código GEO 65

3.2.2 Dados para execução do Código GEO 66

3.2.3 Tipos de elementos finitos 67

3.2.4 Condições de fronteira 74

3.2.5 Condições de drenagem, estado de tensão inicial e solicitações 76

3.2.6 Nota sobre o comportamento mecânico dos materiais 80

3.2.6.1 Solo 80

3.2.6.2 Interface solo-cortina 82

3.2.6.3 Apoios estruturais (escoras) 83

3.2.6.4 Cortina de betão armado 83

3.2.7 Equações de resolução do método dos elementos finitos 85

3.2.8 Algoritmos de resolução de problemas não lineares - processo incremental e

iterativo 96

3.2.9 Critério de convergência 100

3.2.10 Estrutura do programa FEMEP 101

3.3 CÓDIGO RC – MODELAÇÃO ESTRUTURAL DAS SECÇÕES DE BETÃO

ARMADO PELO MÉTODO DAS FIBRAS 102

3.3.1 Introdução 103

3.3.2 Método das fibras - Rigidez à flexão efetiva 103

3.3.3 Variação da deformação 112

3.3.4 Posição do eixo neutro e extensão das fibras 113

3.4 INTERFACE ENTRE O CÓDIGO GEO E O CÓDIGO RC 114

3.4.1 A ideia da comunicação entre códigos 114

3.4.2 O acoplamento entre os dois códigos 114

3.4.3 Output do Código GEO 119


xi

Cap. . Pag.

3.4.4 Output do Código RC 122

3.5 ABORDAGENS DO MODELO NUMÉRICO 123

3.5.1 Introdução 123

3.5.2 Abordagem MN 124

3.5.3 Abordagem CE 128

3.5.4 Abordagem CN 130

3.5.5 Considerações finais sobre as abordagens 135

3.5.5.1 Relação M-1/r para rigidezes conferidas por diferentes armaduras 135

3.5.5.2 Estado plano de deformação e estado plano de tensão 137

3.6 EXEMPLO DE APLICAÇÃO - CORTINA MONOESCORADA 140

3.6.1 Considerações iniciais 140

3.6.2 Geometria do problema e características mecânicas dos materiais 140

3.6.3 Casos analisados e resultados obtidos 145

3.6.4 Conclusões do exemplo 150

3.7 CONCLUSÕES DO CAPÍTULO 150

4 MODELAÇÃO DE ESCAVAÇÃO SUPORTADA POR UMA PAREDE

MOLDADA MONOESCORADA 153

4.1 INTRODUÇÃO 153

4.2 GEOMETRIA DO PROBLEMA E CARACTERÍSTICAS MECÂNICAS DOS

MATERIAIS 153

4.3 MODELAÇÃO GEOTÉCNICA 156

4.3.1 Malha de elementos finitos 156

4.3.2 Dimensionamento estrutural 157

4.4 MODELAÇÃO ESTRUTURAL 161

4.5 CASOS ANALISADOS 163

4.6 COMPARAÇÃO DOS RESULTADOS DOS CASOS A-D 164

4.7 RESULTADOS DOS CASOS E-F 174

4.8 ESTADO LIMITE ÚLTIMO POR SOBREESCAVAÇÃO (CASO S) 176

4.8.1 Considerações sobre o novo problema 176

4.8.2 Resultados da análise 176

4.8.2.1 Esforços e deslocamentos da cortina 176

4.8.2.2 Esforços nas escoras 178

4.8.2.3 Assentamentos da superfície do solo suportado 179

4.8.2.4 Pressões sobre a cortina 179

4.8.2.5 Variação da rigidez à flexão 182



xii

Cap. . Pag.

5 MODELAÇÃO DE ESCAVAÇÃO SUPORTADA POR UMA CORTINA

AUTOPORTANTE DE ESTACAS DE BETÃO ARMADO 189

5.1 INTRODUÇÃO 189

5.2 RIGIDEZ EQUIVALENTE 190

5.3 DESCRIÇÃO DO PROBLEMA 192

5.4 DIMENSIONAMENTO DA CORTINA DE CONTENÇÃO 193

5.5 MODELAÇÃO GEOTÉCNICA (CÓDIGO GEO) 196

5.6 MODELAÇÃO ESTRUTURAL 199

5.7 CASOS ANALISADOS 201

5.8 CASO H10 202

5.8.1 Análise paramétrica do comportamento elástico da cortina para diferentes

rigidezes 202

5.8.2 Comportamento elástico, Caso H10EL 205

5.8.3 Comportamento não linear, Caso H10NL 206

5.8.4 O efeito da consideração da dilatância do solo na lei de fluxo plástico 210

5.8.5 Sobreescavação no Caso H10 213

5.9 NÁLISE DE SITUAÇÃO DE COLAPSO INDUZIDO POR

SOBREESCAVAÇÃO CONTROLADA PELA RESISTÊNCIA

ESTRUTURAL DA CORTINA 219

5.9.1 Sobredimensionamento da profundidade enterrada da cortina de contenção 219

5.9.2 Caso H13NL e escavação prevista 220

5.9.3 Sobreescavação e análise comparativa entre os Casos H13NL e H13EL 221

5.10 CONCLUSÕES DO EXEMPLO 233

6 EXEMPLO DE UMA CORTINA DE CONTENÇÃO MULTIESCORADA 235

6.1 CONSIDERAÇÕES INICIAIS 235

6.2 GEOMETRIA DO PROBLEMA E CARACTERÍSTICAS MECÂNICAS DOS

MATERIAIS 235

6.2.1 Características gerais da escavação 235

6.2.2 Materiais 237

6.2.2.1 Solo 237

6.2.2.2 Jet-grout 238

6.2.2.3 Cortina de contenção 238

6.2.2.4 Escoras 239

6.3 MODELAÇÃO GEOTÉCNICA E ESTRUTURAL 239


xiii

Cap. . Pag.

6.3.1 Dimensionamento e rigidez das escoras 239

6.3.1.1 Estimativa dos esforços nas escoras 239

6.3.1.2 Dimensionamento das escoras 241

6.3.1.3 Rigidez e pré-esforço das escoras 242

6.3.2 Modelação geotécnica (Código GEO) 243

6.3.3 Dimensionamento estrutural 246

6.3.4 Modelação estrutural da cortina (Código RC) 251

6.4 RESULTADOS DAS ANÁLISES 253

6.4.1 Casos analisados 253

6.4.2 Análises sem melhoramento do solo e escoras passivas (Caso SM.P) 253

6.4.3 Análises sem melhoramento do solo e escoras ativas (Caso SM.A) 259

6.4.4 Análises com laje de jet-grout e escoras passivas (Caso LJ.P) 265

6.4.5 Análises com laje de jet-grout e escoras ativas (Caso LJ.A) 270

6.5 RIGIDEZ ELÁSTICA REDUZIDA DA CORTINA DO CASO SM.A 273


7 CONCLUSÕES E DESENVOLVIMENTOS 277

7.1 CONCLUSÕES 277

7.2 DESENVOLVIMENTOS 280


xiv


xv

ÍNDICE DE FIGURAS

Figura Pag.

2.1 Estado plano de deformação: eixos de referência. 10

2.2 Relação tensão-extensão do betão e modelo de comportamento proposto. 16

2.3 Relação tensão-extensão do aço corrente de armadura para betão armado (aço

laminado a quente) e modelo de comportamento adotado (válido para trações e

compressões). 17

2.4 Exemplo da posição do centro de rigidez (CR) para uma secção de

betão duplamente armada. 19

2.5 Definição da curvatura de um elemento estrutural linear: a) secção genérica S e

correspondente S’ após deformação estrutural; b) secção duplamente armada e

diagrama de extensões. 22

2.6 Deformação por flexão. 23

2.7 Modos de fratura fundamentais: a) abertura por tração (Modo I); b) abertura por

corte no plano de flexão (Modo II); c) abertura por corte (“rasgar”) no plano

perpendicular (Modo III). 28

2.8 Lei constitutiva correspondente ao Modo I de fratura: retenção de tensões após

fendilhação do betão armado (tension stiffening). 30

2.9 Fendilhação do betão tracionado: a) microfissuras isoladas; b) fissura contínua

de abertura w na face do elemento estrutural fletido. 31

2.10 Estado I: comportamento elástico linear (secção não fendilhada). 33

2.11 Estado II: secção fendilhada sem resistência à tração e armaduras em regime

elástico. 37

2.12 Lei constitutiva tensões-extensões com retensão de trações no betão

(armado) fendilhado, tension stiffening. 41

2.13 Curva característica momento-curvatura (M - N - 1/r). 44

2.14 Relação MCR - 1/r. 46

2.15 Variação da rigidez à flexão em função da curvatura: EI-1/r 47

2.16 Variação da posição do centro de rigidez (yCR), da posição do eixo neutro (yen) e

identificação da zona tracionada (elástica e de retenção de trações), em função

do momento fletor. 48


xvi

Figura Pag.

2.17 Desenvolvimento da fendilhação num elemento estrutural sujeito à flexão

composta: a) parte elementar da altura da cortina; b) secção transversal

fendilhada. 52

2.18 Repartição das tensões para os diferentes estados de fendilhação. 53

2.19 Relação entre as tensões e extensões no estado fendilhado. 54

2.20 Extensão na face exterior e na interior da área efetiva. 56

3.1 Interação entre o Código GEO e o Código RC. 64

3.2 Elemento finito bidimensional isoparamétrico de 8 nós da família Serendipity:

a) representação cartesiana (X, Y); b) representação paramétrica (ξ,η). 68

3.3 Elemento finito tipo barra isoparamétrico de 2 nós: a) representação cartesiana;

b) representação paramétrica. 72

3.4 Elemento finito de junta isoparamétrico de 6 nós: a) representação cartesiana; b)

representação paramétrica. 73

3.5 Exemplo de malha de elementos finitos com a indicação dos tipos de elementos

finitos utlizados. 74

3.6 Exemplo de uma escavação com alteração das condições de fronteira

(geometria), dependente do faseamento construtivo. 75

3.7 Exemplo de uma escavação com indicação das condições de fronteira da malha

de elementos finitos. 76

3.8 Simulação de uma escavação no MEF do Código GEO: a) cortina de contenção

e solo a escavar; b) estado de tensão antes da escavação; c) tensões equivalentes

ao efeito da escavação; d) estado final (Matos Fernandes, 1983). 79

3.9 Exemplo de um elemento finito bidimensional de 8 nós, com carga

distribuída no contorno e uma carga concentrada num nó. 79

3.10 Relações constitutivas dos elementos de junta. 83

3.11 Localização dos 4 pontos de Gauss no sistema de coordenadas locais, ξ e η, do

elemento finito bidimensional em representação paramétrica. 91

3.12 Processo puramente incremental do faseamento construtivo; influência do

número de incrementos no erro acumulado: menor (a) e maior (b) número de

incrementos. 97


xvii

Figura Pag.

3.13 Processo incremental do faseamento construtivo. 98

3.14 Processo iterativo dentro de uma fase incremental: a) método de

Newton-Raphson; b) método de Newton-Raphson modificado. 99

3.15 Organograma do programa FEMEP (adaptado de Owen e Hinton, 1980;

Cardoso (1987); Almeida e Sousa, 1998; Grazina, 2009). 101

3.16 Exemplo da discretização de uma secção de betão armado por fibras: a) secção

real; b) fibras de betão; c) fibras de aço. 104

3.17 Discretização da secção por fibras: dimensões e posição das fibras relativamente

ao eixo das abcissas. 105

3.18 Secção de betão duplamente armada sujeita a flexão plana composta: diagramas

de extensões e tensões para as fibras de betão e aço (comportamento elástico

linear e não linear de transição entre o Estado I e o Estado II). 105

3.19 Posição e extensão do centro de rigidez de uma secção. 110

3.20 Posição do centro de rigidez (CR) de uma secção sujeita à flexão plana

composta (com esforço axial de compressão) para Estado I, Estado I-II e

Estado II. 112

3.21 Variação da extensão em função de y e posição do eixo neutro (en). 114

3.22 Identificação das componentes do modelo: Código GEO e Código RC. 116

3.23 Interação entre o modelo geotécnico e o modelo estrutural. 117

3.24 Organograma do acoplamento da interação do programa geotécnico com o

programa estrutural. 118

3.25 Tensões e deformações numa secção transversal da cortina: a) esforços atuantes

b) extensões e tensões normais; c) distorções e tensões tangenciais. 121

3.26 Abordagem MN: a) relações Mel – (1/r)el e Nel – ε0el do Código GEO; b) relação

MCR – (1/r)nl do Código RC. 126

3.27 Abordagem MN: organograma descritivo do método das fibras do Código RC e

comunicação com o Código GEO. 127

3.28 Abordagem CE: a) relação MCR – (1/r)nl; b) relação NCR – εCR. 129

3.29 Incremento de curvatura elástica e ajuste não linear das extensões ε0nl e εCR. 131

3.30 Ciclo iterativo de ajuste das extensões da Abordagem CN: a) relação NCR – εCR;

b) relação Nnl – ε0nl. 132


xviii

Figura Pag.

3.31 Abordagem CN: a) relação Nel – ε0el; b) relação NCR – εCR. 133

3.32 Abordagem CN: a) relação MCR – (1/r)nl; b) relação Mel – (1/r)el 134

3.33 Abordagem CN: organograma descritivo do método das fibras do Código RC e

a comunicação com o Código GEO. 135

3.34 Exemplos da relação M-1/r em condições de serviço para a mesma secção de

betão mas diferentes percentagens de armadura de tração: a) ρ = 1,12%; b)

ρ = 1,77%. 136

3.35 Corte transversal da escavação, cortina de contenção e elementos de apoio. 141

3.36 Malha de elementos finitos para o Código GEO. 143

3.37 Modelação da cortina: a) corte vertical da cortina com a identificação das

secções; b) secção transversal tipo real e secção modelada no Código RC. 144

3.38 Momentos fletores (a), esforços axiais (b) e deslocamentos horizontais (c), na

última fase de escavação para os Casos A e B. 146

3.39 Análise não linear do Caso B: a) diagramas de momentos fletores; b) rigidez

efetiva; c) deformadas. 147

3.40 Secção 29: diagramas de extensões e tensões nas fibras de betão para as Fases 7

e 18. 147

3.41 Secção 29: a) relação σc - εc para duas fibras de betão e para todas as fases de

construção (compressões de sinal negativo); b) lei de comportamento do modelo

adotado para o betão. 148

3.42 Relação MCR - 1/r para a Secção 29: Fase 7 e Fase 18. 149

4.1 Cortina de contenção tipo parede moldada e elementos de apoio: a) perspetiva

isométrica da escavação; b) corte transversal. 154

4.2 Malha de elementos finitos do Código GEO: a) aspeto geral da malha de

elementos finitos; b) pormenor do pé da cortina e elementos de junta; c)

profundidades escavadas e apoio superior da cortina. 157

4.3 Esforços máximos na cortina de contenção: a) momentos fletores; b) esforços

axiais; c) esforços transversos. 158

4.4 Modelação estrutural da cortina: a) correspondência entre o Código GEO e o

Código RC; b) secção vertical da cortina (plano yz) com identificação de

secções transversais. 161


xix

Figura Pag.

4.5 Modelação da cortina no Código RC: a) corte da secção transversal da cortina;

b) secção de largura unitária modelada por fibras. 162


última fase de escavação para os Casos A, B, C e D. 165

4.7 Movimento da estrutura de suporte (flexível) e do maciço envolvente: forças

tangenciais desenvolvidas nas interfaces solo-estrutura (Matos Fernandes,

2004). 166

4.8 Rigidezes efetivas dos casos analisados: a) em toda a altura da cortina aquando o

início da fendilhação e no fim da escavação; b) variação da rigidez na Secção 29

em função das fases de escavação. 167

4.9 Diagramas momento-curvatura da Secção 29 para os Casos B, C e D. 169

4.10 Extensões e tensões nas fibras de betão da Secção 29 para os Casos B, C e D. 170

4.11 Comparação dos esforços axiais nas escoras para os Casos B, C e D, durante as

fases de escavação. 172

4.12 Perfis dos assentamentos na última fase de escavação para os Casos A, B, C e D. 173

4.13 Perfis dos movimentos do fundo da escavação (levantamentos) em função do

faseamento construtivo para o Casos A, B, C e D. 173

4.14 Momentos fletores (a), esforços axiais (b) e deslocamentos (c), na última fase de

escavação para os Casos B, E e F. 174

4.15 Diagramas momento-curvatura da Secção 29, para os Casos A, B, E e F. 175


Fase 18 (He = 9,00 m), Fase 31 (He = 15,50 m) e Fase 32 (He = 16,00 m) do

Caso S. 177

4.17 Esforço axial nas escoras (de compressão) em função do faseamento de

escavação. 178

4.18 Perfis dos assentamentos da superfície do solo suportado (Caso S): Fases 18, 31

e 32. 179

4.19 Diagramas das tensões horizontais sobre as duas faces da cortina para as Fases

18 e 32. 180

4.20 Tensões verticais no solo suportado à profundidade z = 10,39 m para várias

fases de escavação: Fases 7, 18 e 32. 181


xx

Figura Pag.

4.21 Diagramas de momentos fletores (a) e da rigidez à flexão (b), para as Fases 18,

31 e 32; representação das deformadas da cortina nas Fases 18 e 32 (c). 182

4.22 Relação MCR - 1/r da Secção 42 do Caso S. 183

4.23 Variação da rigidez à flexão da Secção 29 e Secção 42 para o faseamento do

Caso S. 185

4.24 Comportamento da Secção 42 (z = 10,39 m): a) perfil vertical da cortina, secção

transversal discretizada por fibras e relação tensão-extensão nas fibras de betão;

b) diagramas de extensões na secção (-0,40 m ≤ y ≤ 0,40 m); c) diagramas de

tensões no betão; d) tensões nas armaduras de aço. 186

5.1 Secção da cortina de contenção de estacas de betão armado, com referência à

espessura equivalente h’. 190

5.2 Corte transversal da escavação suportada por cortina autoportante. 192

5.3 Diagramas de esforços obtidos pelo método britânico simplificado de equilíbrio

limite: a) momentos fletores; b) esforços transversos; c) esforços axiais. 194

5.4 Secção transversal da cortina formada por estacas tangentes (s = 0) de betão

armado. 196

5.5 Malha de elementos finitos (Código GEO). 197

5.6 Pormenores das malhas de elementos finitos (Código GEO) para as duas

situações de altura total da cortina: a) H = 10,30 m; b) H = 13,00 m. 198

5.7 Modelação da secção da cortina no Código RC: a) estacas reais por metro de

desenvolvimento da cortina; b) modelação por fibras; c) estaca equivalente

(fibras). 200

5.8 Configuração da estaca equivalente (a) e dimensões das fibras (b). 200

5.9 Deslocamentos horizontais da cortina na última fase de escavação, para o

comportamento elástico linear e para diferentes rigidezes. 203

5.10 Deslocamentos máximos horizontais da cortina e verticais do solo suportado

para diferentes condições de rigidez elástica da cortina. 204

5.11 Relação entre os deslocamentos verticais máximos do solo suportado e os

correspondentes deslocamentos horizontais máximos da cortina, para o fim da

escavação (prevista) e diferentes rigidezes. 204


xxi

Figura Pag.

5.12 Resultados da análise do Caso H10EL nas 15 fases de escavação: a) momentos

fletores; b) esforços axiais; c) deslocamentos horizontais. 205

5.13 Resultados da análise do Caso H10NL: a) momentos fletores; b) esforços axiais;

c) deslocamentos horizontais. 207

5.14 Análise de resultados na cortina de contenção para o Caso H10NL (Fases 8 e

15): a) momentos fletores; b) rigidez à flexão; c) deformadas. 208

5.15 Diagramas das tensões horizontais sobre a cortina para as Fases 8 e 15 do Caso

H10NL (e Caso H10EL). 209

5.16 Deslocamentos horizontais da cortina na última fase de escavação, para

diferentes rigidezes. 510

5.17 Consideração da lei associada e não associada do fluxo plástico no

Caso H10NL: a) momentos fletores; b) esforços axiais; c) deslocamentos

laterais da cortina. 211

5.18 Perfis dos deslocamentos verticais do solo suportado para a lei associada e não

associada do fluxo plástico no Caso H10NL. 212

5.19 Corte transversal com indicação da sobreescavação: a) cortina real; b) malha de

elementos finitos do Código GEO na envolvente da cortina. 213

5.20 Relação entre os deslocamentos máximos da cortina (δhm) e a profundidade

escavada (He): comparação dos dois casos de comportamento da cortina, elástico

(EL) e não linear (NL). 215

5.21 Relação entre os momentos fletores máximos da cortina e a profundidade

escavada. 216

5.22 Diagramas de momentos fletores (a) e esforços axiais (b), para as Fases 15 e 24

do Caso H10NL (e H10EL). 217

5.23 Deslocamentos horizontais da cortina para várias fases de escavação

(sobreescavação) dos Casos H10EL e H10NL. 218

5.24 Diagrama M-1/r da Secção 84 (z = 8,06 m). 219

5.25 Análise das Fases 8 e 15 para o Caso H13NL: a) diagrama de momentos

fletores; b) rigidez à flexão efetiva; c) deslocamentos horizontais da cortina. 221

5.26 Relação entre os deslocamentos máximos horizontais da cortina e a

profundidade escavada: comparação dos Casos H13EL e H13NL. 222

5.27 Resultados do Caso H13 (elástico e não linear) nas Fases 15 e 31 de escavação:

a) momentos fletores; b) esforços axiais; c) deslocamentos horizontais. 223


xxii

Figura Pag.

5.28 Resultados para a Fase 31 da sobreescavação do Caso H13NL: a) momentos

fletores; b) rigidez à flexão efetiva; c) deformação da cortina. 225

5.29 Assentamentos do solo suportado para as Fases 15 e 31 do Caso H13NL com

sobreescavação. 226

5.30 Diagramas de pressões sobre a cortina, para as Fases 15 e 31 do Caso H13NL

com sobreescavação. 227

5.31 Variação da rigidez à flexão da Secção 91 (z = 8,86m) em função das fases de

escavação. 229

5.32 Diagramas M-1/r da Secção 91 (z = 8.47 m) do Caso H13NL. 229

5.33 Comportamento da Secção 91 (z = 8,47 m): a) isometria da cortina e secção tipo

de uma estaca; b) diagramas de extensões na secção (-0,30 m ≤ y ≤ 0,30 m); c)

diagramas de tensões no betão; d) tensões nos varões de aço. 232

5.34 Relação tensão-extensão do comportamento das fibras de betão mais afastadas

da Secção 91: ic = 1, fibra de máxima extensão de tração; ic = 30, fibra de

máxima extensão de compressão. 233

6.1 Corte transversal da escavação, cortinas de contenção e elementos de apoio. 236

6.2 Diagrama das tensões de repouso e diagrama de pressões aparentes (Peck, 1969)

para argila mole a média (Nb > 4). 240

6.3 Malha de elementos finitos. 244

6.4 Fases de ativação das escoras: a) sem pré-esforço, b) com pré-esforço. 245

6.5 Fases de colocação das escoras e escavação final: a) nível superior, b) nível

intermédio, c) nível inferior e d) fundo da escavação. 245

6.6 Diagramas envolventes dos momentos fletores de cálculo e dimensionamento

das armaduras do Caso SM. 247

6.7 Diagramas envolventes de momentos fletores de cálculo e dimensionamento das

armaduras do Caso LJ. 248

6.8 Diagramas de esforços nas escoras sem pré-esforço. 250

6.9 Diagramas de esforços nas escoras com pré-esforço. 250

6.10 Modelação da cortina no Código RC para o Caso SM: a) secção tipo real; b)

secção transformada em fibras. 252


xxiii

Figura Pag.

6.11 Modelação da cortina no Código RC para o Caso LJ: a) secção tipo real; b)

secção transformada em fibras. 252

6.12 Diagramas de momentos fletores (a) e de esforços axiais (b) para as Fases 5, 16,

26 e 36 do Caso SM.P. 254

6.13 Diagramas de deslocamentos horizontais da cortina de contenção do Caso SM.P:

a) deslocamentos para as Fases 5, 16, 20 e 36; b) deslocamentos da cortina

imediatamente antes e após a ativação das escoras (Caso SM.P.NL). 256

6.14 Diagramas de esforços das escoras sem pré-esforço (Caso SM.P). 257

6.15 Relação M-1/r para as Secções 29, 50, 71 e 101 do Caso SM.P.NL de análise

não linear da cortina de contenção. 258


46 e 72 do Caso SM.A. 260

6.17 Deslocamentos horizontais da cortina de contenção do Caso SM.A:

a) deslocamentos horizontais para as Fases 5, 20, 46 e 72; b) deslocamentos da

cortina antes (Fases 1-5), durante (Fases 6-9) e após (Fase 10) a aplicação do

pré-esforço das escoras superiores (Caso SM.A.NL). 261

6.18 Diagramas de esforços das escoras com pré-esforço (Caso SM.A). 262

6.19 Relação M-1/r para as Secções 29 e 76 do Caso SM.A.NL de análise não linear

da cortina de contenção. 263

6.20 Caso SM.A.NL: a) diagramas de rigidez à flexão para a Fase 8 (início da

fendilhação) e Fases 20, 46 e 72; b) deformadas da cortina para as Fases 8 e 72. 264


26 e 36 do Caso LJ.P. 265

6.22 Deslocamentos horizontais da cortina de contenção do Caso LJ.P: a)

deslocamentos para as Fases 5, 16, 20 e 36; b) deslocamentos da cortina

imediatamente antes e após a ativação das escoras (Caso LJ.P.NL). 266

6.23 Perfis dos assentamentos da superfície do solo suportado para as Fases 5, 16, 26

e 36 do Caso LJ.P.NL. 267

6.24 Diagramas de pressões sobre a cortina para a Fase 36 do Caso LJ.P.NL. 268

6.25 Diagramas de tensões horizontais de compressão na laje-escora. 269

6.26 Diagramas de esforços nas escoras pré-esforçadas (Caso LJ.P). 269


xxiv

Figura Pag.

6.27 Relação M-1/r para as Secções 29 e 75 do Caso LJ.P.NL de análise não linear da

cortina de contenção. 270


46 e 72 do Caso LJ.A. 271

6.29 Deslocamentos horizontais da cortina de contenção do Caso LJ.A:

a) deslocamentos para as Fases 5, 20, 46 e 72; b) deslocamentos da cortina antes

(Fases 1-5), durante (Fases 6-9) e após (Fase 10) a aplicação do pré-esforço das

escoras superiores (Caso JL.A.NL). 272

6.30 Diagramas envolventes da análise de comportamento elástico de rigidez

reduzida: a) momentos fletores; deslocamentos horizontais da cortina. 274


xxv

ÍNDICE DE QUADROS

Quadro . Pag.

3.1 Características do betão 142

3.2 Características do aço para armaduras. 142

3.3 Características do aço laminado em perfis. 142

3.4 Casos analisados. 145

3.5 Resumo dos resultados dos casos analisados (última fase). 149

4.1 Características dos solos. 155

4.2 Características do betão e do aço para armaduras. 155

4.3 Características do aço laminado em perfis. 156

4.4 Dimensionamento das armaduras principais da cortina. 159

4.5 Verificação da resistência ao esforço transverso. 160

4.6 Dimensionamento das escoras à compressão com encurvadura. 160

4.7 Principais características geométricas e mecânicas dos perfis HEB320. 160


4.9 Particularidades dos casos analisados. 164

4.10 Resultados dos Casos B, C e D. 168

4.11 Extensões e tensões na Secção 29 na Fase 18 dos Casos B, C e D. 171

4.12 Resumo dos resultados dos Casos B, E e F (última fase). 172

5.1 Características do solo. 193

5.2 Dimensionamento da armadura principal das estacas. 195

5.3 Características das malhas de elementos finitos para os casos a analisar. 199



xxvi

Quadro . Pag.

5.5 Comportamento elástico da cortina de contenção para diferentes rigidezes:

momento fletor máximo, e deslocamentos máximos da cortina e do solo

suportado. 202

5.6 Resultados da sobreescavação: momentos fletores máximos e deslocamentos

horizontais do topo da cortina de contenção. 214

6.1 Características mecânicas das argilas. 237

6.2 Características do betão. 238

6.3 Características do aço para armaduras. 238

6.4 Características do aço laminado das escoras. 239

6.5 Estimativa dos esforços axiais nas escoras. 241

6.6 Dimensionamento das escoras à compressão com encurvadura. 241

6.7 Rigidez das escoras e pré-esforço a aplicar. 243

6.8 Casos de comportamento elástico (EL) da cortina de contenção. 246

6.9 Dimensionamento das armaduras de flexão da cortina. 249

6.10 Esforços axiais das escoras (de compressão). 251

6.11 Casos de análise de comportamento da cortina. 253

6.12 Esforços axiais das escoras (de compressão) do Caso SM.P. 257

6.13 Verificação do estado limite de fendilhação na Secção 71 para o

Caso SM.P.NL. 259

6.14 Esforços axiais das escoras (de compressão) do Caso SM.A. 263

6.15 Comportamento elástico da cortina de contenção de rigidez deduzida e caso de

comportamento não linear (Caso SM.A). 273


xxvii

SIMBOLOGIA

Letras latinas minúsculas

a, a’ distância entre o centro da armadura e a face do elemento estrutural de betão armado

b largura total de uma secção transversal

c’ coesão efetiva do solo

ca adesão

cu resistência não drenada do solo

d distância à cortina de contenção; altura útil de uma secção transversal de betão

armado; profundidade enterrada efetiva

e excentricidade

es excentricidade em relação à armadura de tração

fcd valor de cálculo da tensão de rotura do betão à compressão

fck valor característico da tensão de rotura do betão à compressão aos 28 dias de idade

fcm resistência média do betão à compressão

fct resistência do betão à tração

fctm valor médio da tensão de rotura à tração do betão

fy tensão de cedência do aço

fyd valor de cálculo da tensão de cedência do aço

fyk valor característico da tensão de cedência à tração do aço das armaduras para betão

armado

ftk valor característico da tensão de rotura à tração do aço das armaduras para betão

armado

h espessura da cortina (parede)

he profundidade de escavação

hp altura enterrada da cortina

k coeficiente

m número de materiais

nc número de fibras de betão

ns número de fibras de aço

r raio de curvatura

1/r curvatura

sr,max distância máxima entre fendas

u vetor deslocamento

w abertura de uma fenda

x, y, z coordenadas


xxviii

Letras latinas maiúsculas:

A área

Ac área da secção transversal de betão

As área da secção de uma armadura de aço (tracionada)

A’s área da secção de uma armadura de aço (comprimida)

B largura da escavação; matriz de deformação; diâmetro das estacas

D lei constitutiva

E módulo de elasticidade

Eeq. módulo de elasticidade equivalente

Ec módulo de elasticidade do betão (Young)

Ecm módulo de elasticidade secante do betão

Es módulo de elasticidade do aço de uma armadura para betão (Young)

EA rigidez axial

EI rigidez à flexão

(EI)eq. rigidez à flexão equivalente

F força; ação

G módulo de distorção

H altura total da cortina

H0 Altura livre

I momento de inércia

Ia impulso ativo

Ip impulso passivo

K Rigidez; matriz de rigidez

Ka coeficiente de impulso ativo

Kp coeficiente de impulso passivo

K0 coeficiente de impulso em repouso

M momento fletor

L distância entre estacas

MEd valor de cálculo do momento fletor atuante

Mr momento de fendilhação

N esforço normal (axial)

Ni função de forma do nó i

NEd valor de cálculo do esforço normal atuante (tração ou compressão)

Nb número de estabilidade da base

R residuo

Srm distância média entre fendas

X posição do eixo neutro

V esforço transverso


xxix

Letras gregas minúsculas:

α posição relativa do eixo neutro

αe coeficiente de homogeneização

β ganho de rigidez

γ peso volúmico do solo; distorção

γ ’ peso volúmico submerso

γw peso volúmico da água

δh deslocamento horizontal

δhm deslocamento horizontal máximo

δv deslocamento vertical

δvm deslocamento vertical máximo

ε0 extensão no centro da secção de betão

εc extensão do betão

εcc extensão do betão à compressão

εct extensão do betão à tração

εs extensão do aço

εsc extensão do aço à compressão

εst extensão do aço à tração

εuk valor característico da extensão do aço (carga máxima)

εCR extensão do betão no CR

λ coeficiente

ζ coeficiente de distribuição

µ momento fletor reduzido

ν coeficiente de Poisson

ρ percentagem de armadura; incremento de resistência não drenada

σc tensão no betão

σh tensão horizontal

σs tensão no aço

σv tensão vertical

τ tensão tangencial

φ ângulo de atrito interno

φs diâmetro de um varão de aço


xxx

Abreviaturas:

ACI American Concrete Institute

CEB-FIP Comité Euro-International du Béton

CG Centro geométrico

CR Centro de rigidez

DSM Deep Soil Mixing

EC2 Eurocódigo 2

EC3 Eurocódigo 3

EC7 Eurocódigo 7

ELS (SLS) Estado limite de serviço ou utilização (Serviceability Limit States)

ELU (ULS) Estado limite último (Ultimate Limit States)

EPD Estado plano de deformação

EPT Estado plano de tensão

1 – Introdução

1

1. INTRODUÇÃO

1.1 GENERALIDADES

O mundo está cada vez mais pequeno e o homem mais urbano. Esta frase comum explica a

necessidade de, progressivamente, os centros urbanos se reorganizarem de modo a obterem um

melhor acondicionamento no espaço subterrâneo para infraestruturas indispensáveis à

modernidade. Assim, passou a ser indispensável a execução de escavações profundas para parques

de estacionamento automóvel, linhas de metropolitano, redes ferroviárias e rodoviárias,

equipamentos associados ao conforto dos edifícios, reforço e melhoramento das infraestruturas

existentes, etc.

Neste contexto, as escavações profundas, por vezes em espaços exíguos dado o reduzido

afastamento entre os edifícios e a proximidade (e complexidade) das infraestruturas existentes,

foram evoluindo nas décadas mais recentes, em termos tecnológicos e materiais utilizados.

Uma estrutura de suporte de terras tem como principal função garantir a estabilidade e minimizar

os movimentos do maciço suportado e do fundo da escavação. É fundamental que se controlem os

assentamentos da superfície do solo na envolvência da escavação. A ocorrência de deformações

não previstas pode comprometer a funcionalidade da estrutura de contenção e, em simultâneo, a

estabilidade das construções vizinhas. Assentamentos elevados (normalmente diferenciais) podem

originar patologias ou até rotura estrutural de edifícios vizinhos e implicar a necessidade imediata

de restauro com agravamento oneroso e temporal na execução da obra.

O’Rourke (1981), assim como outros investigadores, verificaram que os assentamentos da

superfície do solo estão diretamente relacionados com os movimentos horizontais da cortina de

contenção que o suporta. Verificou, no entanto, que as escavações profundas são correntemente

executadas em simultâneo com outras atividades que causam também elevadas deformações do

solo. As pequenas escavações para alteração das infraestruturas existentes, rebaixamento do nível

freático acima e abaixo do fundo da escavação, execução de fundações, execução da própria cortina

de contenção, etc., não despertam em geral um cuidado especial, apesar de provocarem danos tão

ou mais gravosos que os provocados pelas escavações profundas, onde, com a grande evolução nas

últimas décadas, se procura controlar e minimizar esses efeitos. O’Rourke (1981) estudou as causas

e o modo como variam os deslocamentos de cortinas de suporte de escavações profundas, com a

realização de medições em obra. Concluiu que os deslocamentos das cortinas e do solo dependem

muito do processo de construção, recomendando a aplicação de apoios e contraventamentos

rígidos, escavar pouco abaixo dos apoios a colocar (escoras e ancoragens) e usar bermas

(banquetas) para restringir os movimentos do solo.


2

Para além do necessário e importante controlo dos movimentos da cortina de contenção e do solo

suportado, as escavações profundas em solos finos moles ou solos arenosos soltos podem provocar

a mobilização da totalidade da resistência ao corte numa grande zona do maciço, provocando

também elevados esforços na estrutura de contenção e nos eventuais elementos de apoio.

Mesmo utilizando estruturas de grande rigidez, especialmente cortinas em betão armado do tipo

parede moldada ou cortinas constituídas por estacas, associadas a técnicas de melhoramento e

reforço do solo e (ou) aplicando ancoragens ou escoras pré-esforçadas para minimização dos

movimentos dos apoios, não deixa de ser necessário uma rigorosa previsão e controlo dos

movimentos globais e de uma avaliação cuidada dos esforços estruturais. As vantagens em se

utilizar este tipo de elementos estruturais para suporte de escavações profundas são: a prévia

instalação antes da escavação geral, com reduzida descompressão do terreno associado à sua

construção; a elevada rigidez à flexão; e a facilidade de se atingir grandes profundidades para apoio

em camadas duras competentes.

A forma e a grandeza dos assentamentos da superfície do solo podem ser estimadas em projeto,

prevendo-se as consequências nas construções vizinhas (edifícios, muros, pavimentos, etc.). A

previsão desses assentamentos pode ser feita recorrendo a métodos semi-empíricos ou utilizando

métodos mais atuais de análise mais rigorosa deste tipo de estruturas, como é exemplo o método

dos elementos finitos (MEF).

Relativamente aos esforços estruturais, existem também métodos clássicos simplificados para os

estimar. Contudo, os métodos numéricos, tipo MEF, permitem encontrar valores muito mais

rigorosos por propiciarem uma melhor modelação estrutural, geométrica, das características do

solo, do comportamento das interfaces solo-estrutura de suporte, assim como uma correta definição

do faseamento construtivo.

Refletindo agora sobre o comportamento do betão armado, existem também métodos que permitem

uma análise rigorosa do seu comportamento, seja instantâneo ou diferido no tempo. Os métodos

numéricos aplicados com recurso ao cálculo automático são diversos, destacando-se a aplicação do

MEF e do método das fibras.

Quando se realiza uma análise de um problema geotécnico, envolvendo várias fases de escavação e

de colocação de elementos estruturais de apoio, é necessário um planeamento rigoroso em projeto e

o seu cumprimento durante a execução. A análise realizada em projeto tem de ser objetiva,

maximizando a utilização de informação útil. Um outro aspeto importante é a necessidade de a

análise a realizar ser a mais adequada possível ao tipo de problema, evitando-se a utilização de

programas de cálculo automático com limitações que obrigam a realizar demasiadas simplificações.

Nas últimas décadas desenvolveram-se inúmeras ferramentas numéricas de cálculo automático, de

investigação ou comerciais, que utilizam diferentes modelos mais realistas de comportamento dos

materiais, e que permitem o estudo de casos complexos de obras geotécnicas com a interação

solo-estrutura. Todavia, são ainda aplicados processos mais ou menos simplificados para a

combinação dos diferentes comportamentos dos materiais. Verifica-se que esses métodos

1 – Introdução

3

simplificados conduzem, em muitos casos, a soluções bastante afastadas do comportamento “real”

da interação solo-cortina, consequência da complexidade comportamental desses materiais (solo e

betão armado). Como agravante dessa complexidade, estes materiais apresentam comportamentos

variáveis ao longo do tempo, sendo disso exemplo a fluência do betão e a consolidação das argilas

moles.

1.2 OBJETIVOS

No campo das superestruturas têm-se investigado de forma rigorosa o comportamento do betão

armado e os fenómenos que contribuem para as alterações comportamentais desse material

compósito. Um desses fatores comportamentais frequentemente estudado é o fenómeno de

fendilhação como consequência da baixa resistência à tração quando comparada com a resistência à

compressão. A combinação do material betão com as armaduras de aço, necessárias para resistirem

principalmente às trações, requer uma análise mecânica de elevada complexidade.

No contexto das escavações profundas, o betão armado assume um papel importante na medida em

que a sua aplicação é bastante versátil, principalmente por ser moldável, possuir elevada resistência

e rigidez, e ainda, se devidamente controlado, ser suficientemente durável para a vida útil da obra.

Todavia, como o betão é um material heterogéneo com fragilidades ambientais, o seu

comportamento requer uma atenção especial por estar em contacto e interagir com o solo que lhe

transmite as ações, normalmente húmido ou saturado. As designadas paredes moldadas e as

cortinas de estacas são soluções estruturais de grande aplicabilidade, podendo ser de carácter

definitivo.

Tradicionalmente, a análise geotécnica do problema contempla a cortina de contenção em betão

armado como sendo constituída por um material homogéneo de comportamento elástico linear,

eventualmente com uma rigidez à flexão reduzida para atender simplificadamente aos efeitos da

fendilhação, da fluência e retração do betão, ou seja, para refletir indiretamente e de forma empírica

o comportamento não linear material.

Por sua vez, a análise estrutural corrente deste tipo de elementos de suporte de terras pressupõe que

o comportamento do solo é elástico linear e que as tensões desenvolvidas no tardoz da cortina são

constantes e independentes dos deslocamentos ou, quanto muito, admite que as tensões são

linearmente dependentes dessas deformações. Muitos desses métodos simplificados melhoraram

quando passaram a basear-se em relações semi-empíricas resultantes da instrumentação e

monitorização de obras, e ainda da análise de modelos à escala reduzida.

Perante a existência das atuais e eficientes ferramentas de cálculo automático, Matos

Fernandes (2010) sugeriu estabelecer uma ligação entre dois modelos numéricos de ambas as áreas

de intervenção, com potencialidades reconhecidas por serem frequentemente utilizados e testados.


4

Assim, foi desenvolvida uma plataforma de ligação entre um programa “geotécnico”, onde estão

incorporados vários modelos constitutivos não lineares de comportamento dos solos, e um

programa “estrutural” para análise do comportamento não linear do betão armado. Os dois

programas interagem de modo a que, para cada fase de construção, comuniquem entre si a forma

como evoluem os esforços, as deformações e a rigidez à flexão da cortina. Como resultado,

obteve-se um modelo numérico que permite analisar o comportamento de escavações profundas

suportadas por cortinas de betão armado considerando o comportamento não linear originado pela

fendilhação do betão.

O referido modelo numérico final de análise das fases da execução da escavação, com a interação

entre o solo e a estrutura de suporte, combina o método de elementos finitos, para a análise

geotécnica, com um modelo baseado no método das fibras, para a análise do comportamento não

linear do betão armado. Nesta combinação entre os modelos numéricos procurou-se não se criar um

modelo final de agravada complexidade.

Perante a identificação de casos de cortinas de contenção que requerem uma atenção especial em

termos de comportamento estrutural, são realizadas análises do comportamento não linear do betão

armado por efeito da fendilhação e a identificação das consequentes implicações no

comportamento global da cortina e do solo. Para demonstração do sucesso alcançado,

apresentam-se vários exemplos de aplicação do modelo numérico desenvolvido, produzindo-se

importantes conclusões e abrindo-se um rumo para futuros desenvolvimentos.

1.3 ESTADO DA ARTE

As escavações profundas em áreas urbanas são geralmente suportadas por cortinas do tipo parede

moldada ou por cortinas de estacas, escoradas ou ancoradas, executadas em betão armado (Liu et

al., 2011; Ng et al., 2012; Finno et al., 2015). A interação entre estas estruturas e o solo suportado é

bastante complexa porque a configuração do problema evolui à medida que a escavação progride,

quer a geometria da escavação com a eventual colocação de apoios, quer a magnitude e distribuição

das pressões das terras e consequentes esforços estruturais, condicionados pelas deformações da

estrutura de suporte e do solo. Forma um sistema altamente hiperestático, como é corrente

designar-se na engenharia estrutural (Matos Fernandes et al., 1993).

A compreensão deste problema tem sido consideravelmente melhorada a partir da década de 1970,

pelo uso de modelos de elementos finitos (Clough e Tsui, 1974; Duncan e Chang, 1977; Matos

Fernandes et al., 1993; Finno e Calvello, 2005; Zdravkovic et al., 2005; Finno, 2009; Hashash et

al., 2011; Borges e Guerra, 2014; Dong et al., 2016).

1 – Introdução

5

Apesar do crescente progresso ao longo das últimas décadas e sofisticação dos modelos numéricos

com recurso ao cálculo automático, ainda é frequentemente admitido um comportamento

simplificado elástico linear para a parede de suporte de terras em betão armado.

No entanto, como o betão tem uma resistência à tração relativamente pequena, o seu

comportamento mecânico torna-se não linear para valores das tensões mobilizadas muito abaixo da

tensão limite em serviço (Bazant et al., 1977). A resposta não linear do betão armado, induzida pela

fendilhação, tem sido intensamente estudada na engenharia estrutural com modelos numéricos

avançados, apropriados para modelar esse comportamento (Crisfield, 1997; Mohr e Bairán, 2010).

Na Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto foram diversos os investigadores que se

dedicaram ao estudo do comportamento estrutural do betão armado, recorrendo ao método dos

elementos finitos e a modelos de comportamento não linear material. Figueiras (1983) estudou a

análise não linear de placas e cascas de betão armado com comportamento anisotrópico. Nessa

investigação, o autor incorporou o efeito da fendilhação do betão com modelos de tração com

endurecimento (tension stiffening) e analisou diversos tipos de solicitações com carregamento até à

rotura. Faria (1994) estudou o comportamento sísmico não linear de várias barragens de betão,

onde analisou hipotéticos colapsos das barragens, simulando a degradação da resistência e rigidez

do betão. Ferraz (2010) desenvolveu uma plataforma computacional com o objetivo de facilitar a

criação de novos modelos de análise estrutural para a avaliação do comportamento de obras de arte

ao longo de todo o seu ciclo de vida. Este autor considerou a análise do carácter evolutivo da

estrutura e das solicitações, o comportamento diferido dos materiais e a possibilidade de análises

material e geometricamente não lineares.

O comportamento não linear do betão armado não é relevante somente num contexto estrito do

projeto estrutural da parede. De facto, uma vez que a fendilhação afeta fortemente a rigidez da

parede, as deformações vão ser agravadas e induzir movimentos no solo envolvente. Além disso, a

parede é, na maioria dos casos, incorporada na estrutura permanente, e essa fendilhação pode afetar

a sua durabilidade. Na literatura geotécnica, as referências ao comportamento não linear das

cortinas de contenção de betão armado são relativamente escassas.

Poh et al. (1997) relatam o desempenho de duas cortinas de contenção do tipo parede moldada de

betão armado, em Singapura. Os momentos fletores efetivamente mobilizados foram obtidos com

base na curvatura observada da parede, utilizando para o efeito dois métodos:

i) a partir de registos de extensómetros nas armaduras de aço, em ambas as faces das paredes;

ii) a partir das deformações das paredes medidas por inclinómetros.

Os momentos fletores obtidos por estes meios foram comparados com os valores fornecidos por um

programa de elementos finitos designado por EXCAV (Duncan e Chang, 1977). Com o programa,

os autores simularam o efeito da fissuração do betão num elemento de viga admitindo a relação

entre a curvatura e o momento fletor proposta por Branson (1977). Os momentos fletores

calculados e os observados mostraram uma razoável concordância.


6

Bourne-Webb (2004) e Bourne-Webb et al. (2006) utilizaram o MEF e uma relação

momento-curvatura simplificada para caracterizar o comportamento da secção tipo de uma parede

de betão armado, definindo essa relação por um ramo elástico, um ramo de comportamento não

linear e o terceiro ramo perfeitamente plástico, ou seja, um modelo trilinear. Nesta metodologia,

essa relação é definida explicitamente como modelo de comportamento do material, em vez de ser

resultado da análise. Este modelo foi implementado em elementos de viga e foi utilizado para

investigar o efeito da fendilhação em secções de betão armado e a formação de rótulas plásticas. As

análises efetuadas pelos autores confirmaram que a fissuração origina uma redução da rigidez à

flexão das cortinas em betão armado, com uma associada redução do momento fletor e aumento da

deformação, comparativamente com análises efetuadas considerando a rigidez à flexão elástica.

Wong e Goh (2009) apresentaram um estudo sobre o desempenho de duas escavações profundas do

tipo top-down, suportadas por paredes moldadas. Os momentos fletores obtidos por meio do

método dos elementos finitos, considerando a fissuração do betão com a utilização do modelo

proposto por Branson (1977) para a relação momento-curvatura de uma secção de betão armado,

foram idênticos aos obtidos a partir de dados de inclinómetros e das deformações medidas nas

armaduras de aço. Os autores concluíram que a fissuração do betão originava uma redução

substancial dos momentos fletores e um pequeno aumento das deformações laterais das paredes.

Arboleda-Monsalve et al. (2014) relatam o caso de uma cortina de estacas de betão reforçadas com

perfis de aço, usada para suportar uma escavação em Chicago. Os autores apresentam os resultados

das análises efetuadas a uma parede autoportante em consola (cantilever) solicitada no topo e

encastrada numa base rígida. Para essas análises foram aplicados dois programas de cálculo

automático:

i) Response 2000 (Collins e Mitchell, 1991), programa de cálculo automático para análise

não linear de estruturas de betão armado, que admite uma resposta tensão-deformação

"exata" para o comportamento do betão;

ii) Plaxis 2D, com um modelo simplificado proposto pelos autores para o comportamento do

betão, constituído pelo modelo de Mohr-Coulomb com cut-off das tensões; para

comparação com o modelo proposto, foi realizada uma terceira análise com o Plaxis 2D

admitindo a parede com comportamento elástico linear.

O modelo não linear simplificado proposto por Arboleda-Monsalve et al. (2014) forneceu uma boa

aproximação aos deslocamentos obtidos pelo modelo estrutural "exato", e significativamente

maiores que os deslocamentos obtidos pela aplicação do modelo elástico linear, como seria de

esperar.

Freitas et al. (2016) apresentaram um modelo numérico para análise não linear de cortinas de

contenção de escavações profundas executadas em betão armado, nomeadamente paredes

moldadas e cortinas de estacas. Como exemplo de aplicação do modelo, os autores analisaram um

caso de uma parede moldada monoescorada, pressupondo diversas leis de comportamento para o

betão armado, lineares e não lineares, extraindo várias conclusões relativamente aos esforços e

1 – Introdução

7

deslocamentos da cortina e do solo em função da evolução da rigidez da cortina durante a

escavação, como consequência da fendilhação do betão.

Ferraz et al. (2016) verificaram que a variação da rigidez das cortinas de suporte de escavações

profundas, executadas em betão armado, não é adequadamente considerada ao longo do processo

de construção e carregamento. Assim, para análise da importância da fendilhação do betão armado

e consequente alteração da rigidez estrutural, com implicação nos deslocamentos da cortina e do

solo, os autores propuseram a ligação entre dois programas de cálculo automático, um de natureza

geotécnica baseado no método dos elementos finitos e o outro de carácter estrutural pela aplicação

do método das fibras com a incorporação do modelo tension stiffening. O modelo foi aplicado ao

caso de uma cortina autoportante em betão armado, tipo cantilever, admitindo diferentes

quantidades de armadura de forma a compreender a influência da mesma no comportamento

estrutural e geotécnico, assim como as consequências da rotura estrutural.

Freitas et al. (2018) mostraram como o comportamento não linear do betão armado influencia o

desempenho global das estruturas de contenção de escavações profundas. Para o efeito,

apresentaram uma metodologia para análise incremental das escavações profundas com a

modelação por elementos finitos combinada com um modelo de análise não linear de estruturas de

betão armado. A metodologia foi aplicada ao caso de uma parede moldada de suporte a uma

escavação em argila mole.

1.4 ORGANIZAÇÃO DA TESE

No presente Capítulo 1, para além da introdução, objetivos e descrição do modo como está

organizada a tese, é feita uma exposição dos principais desenvolvimentos da investigação sobre o

assunto aqui tratado.

No Capítulo 2 apresentam-se os modelos constitutivos que traduzem o comportamento instantâneo

do betão (armado) admitindo-se que resultam da aplicação de carregamentos de carácter

quase-estático. Aborda-se o fenómeno da fendilhação do betão (armado) contemplando o efeito de

endurecimento traduzido pela retenção de tensões de tração entre fendas, que na literatura inglesa é

designado por tension stiffening, para níveis de carregamento em serviço, afastados da rotura, e

para casos em que se pretende estudar o comportamento estrutural até à rotura estrutural por

formação de rótulas plásticas.

No Capítulo 3 faz-se uma descrição sumária da formulação do método dos elementos finitos do

programa de cálculo automático designado por “geotécnico” por contemplar várias leis

constitutivas de comportamento de solos; descreve-se o programa “estrutural” de análise de secções

de betão armado pelo método das fibras, com uma descrição da formulação matemática do método

que permite a avaliação da rigidez à flexão; é descrita a forma como os dois programas de cálculo


8

automático comunicam entre si e reproduzem os resultados; e é apresentado um exemplo de uma

escavação profunda suportada por uma cortina monoescorada tipo parede moldada, tendo como

objetivo demonstrar a aplicação do modelo numérico e comparar os resultados de análises em que

se considera o comportamento elástico linear e não linear do betão armado.

No Capítulo 4, apresenta-se o mesmo exemplo de cortina de contenção monoescorada do tipo

parede moldada em betão armado, fazendo-se uma análise mais exaustiva das consequências em

termos de esforços, movimentos da cortina e do solo, em função das sucessivas alterações da

rigidez estrutural por efeito da fendilhação do betão. Em simultâneo é avaliado o comportamento

global quando é realizada uma sobreescavação até à rotura estrutural por formação de rótula

plástica.

No Capítulo 5, mostra-se um exemplo de aplicação do modelo numérico ao caso de uma cortina de

contenção autoportante de estacas tangentes de betão armado. É também realizado um estudo

aprofundado do comportamento geotécnico e estrutural para várias condições de rigidez, é

realizada uma análise limite com rotura global por sobreescavação; é analisado o comportamento

estrutural para a mesma cortina em termos de rigidez à flexão, mas sobredimensionada em termos

de profundidade enterrada, e é levada à rotura como consequência dos esforços gerados por efeito

de uma sobreescavação.

No Capítulo 6, apresenta-se um exemplo de aplicação da metodologia ao caso de uma cortina de

contenção multiescorada do tipo parede moldada em betão armado, fazendo-se uma análise dos

esforços e movimentos em função das sucessivas alterações da rigidez estrutural por efeito da

fendilhação do betão. Os esforços desenvolvidos nas escoras são também alvo de análises para os

diferentes casos analisados, com e sem pré-esforço. Nas análises realizadas considerou-se a

possibilidade de o solo abaixo do fundo de escavação poder ser melhorado por jet-grouting com

criação de uma laje-escora.

Finalmente, no Capítulo 7 é apresentada uma síntese do trabalho realizado, salientando-se as

conclusões mais importantes aferidas neste contexto. Em função do já concluído, são definidas as

principais pretensões para o desenvolvimento do trabalho de investigação.

Capítulo 2 – Comportamento do betão armado em flexão plana composta

9

2. COMPORTAMENTO DO BETÃO ARMADO EM FLEXÃO PLANA COMPOSTA

2.1. INTRODUÇÃO

Dentro das designadas estruturas geotécnicas destacam-se as cortinas de contenção para suporte de

escavações profundas em meios urbanos que utilizam o betão armado como material estrutural. As

paredes moldadas, também designadas por paredes diafragma, e as cortinas realizadas com

estacas, secantes, tangentes ou afastadas, são as soluções estruturais mais utilizadas para as grandes

escavações.

O problema da fendilhação do betão armado neste tipo de estruturas, com a consequente perda de

rigidez, não tem merecido especial atenção por parte dos investigadores geotécnicos. As incertezas

na caracterização geotécnica do material escavado e as simplificações correntemente utilizadas que

têm por base os métodos empíricos baseados na análise de casos de obra, e que têm conduzido a

soluções satisfatórias, devem ter conduzido a esse aparente desinteresse.

O conhecimento sobre as estruturas executadas em betão armado, onde se destaca a análise do

fenómeno de fendilhação e as suas consequências no comportamento da estrutura, sofreu uma

grande evolução pela aplicação de métodos numéricos e respetiva validação experimental

(Figueiras, 1983; Póvoas, 1991; Faria, 1994; Ferraz, 2010).

Em função do atrás descrito, o que se procura alcançar com este trabalho é a transposição dos

conceitos e ferramentas utilizados na análise estrutural de elementos de betão armado para uma

combinação e interação com a análise geotécnica deste tipo de problemas.

2.2. CONFIGURAÇÃO DA GEOMETRIA E DAS DEFORMAÇÕES

A Figura 2.1 representa uma parte do desenvolvimento de uma escavação profunda e da respetiva

estrutura de suporte. Pode considerar-se que um determinado elemento de volume da cortina, e do

solo situado no tardoz da cortina ou abaixo da escavação, está sujeito a um estado plano de

deformação se:

- o desenvolvimento for praticamente infinito e se a secção da cortina for constante na

direção desse desenvolvimento;

- em todas as secções transversais ao eixo de desenvolvimento (eixo x, na figura) a

solicitação exterior for constante e normal a esse eixo;


10

- a cortina é suficientemente rígida para que não haja deformações no plano horizontal (eixo

x na figura) entre os elementos de apoio (escoras ou ancoragens), de tal modo que se possa

admitir que a rigidez desses apoios é contínua no desenvolvimento da escavação.

Nas condições atrás referidas, a deformação na direção do desenvolvimento (eixo x) é nula.

Na Figura 2.1 estão representadas as convenções, em termos de eixos e deslocamentos, a serem

utilizados na descrição do modelo numérico e nos exemplos de aplicação que se apresentam nos

capítulos seguintes.

Para o problema estrutural considera-se o seguinte sistema de eixos cartesiano:

- o eixo z corresponde à profundidade com origem na superfície inicial do terreno;

- o eixo y é positivo para o interior da escavação (correspondendo aos deslocamentos

horizontais positivos da cortina);

- o eixo x será o eixo paralelo ao eixo longitudinal da escavação.

Figura 2.1 – Estado plano de deformação: eixos de referência.

δ h

δ v

δ v

y

z

∆qs

δ h m

δ v m

h

δ v m

xo

b


11

Em relação aos deslocamentos, movimentos horizontais da cortina e verticais do solo, são

considerados como positivos quando estão de acordo com o indicado na Figura 2.1, ou seja:

- movimentos horizontais da cortina, δh, positivos para o interior da escavação, segundo o eixo

positivo de y;

- os assentamentos da superfície, definidos por δv, positivos para baixo, segundo o eixo

positivo de z;

- movimentos do fundo da escavação, definidos também por δv, são considerados positivos

quando no sentido ascendente (empolamento).

Os deslocamentos máximos, horizontais e verticais, são designados por δhm e δvm, respetivamente.

2.3. MATERIAIS ESTRUTURAIS

2.3.1. Considerações gerais

A combinação do betão com o aço deu origem ao material estrutural com maior sucesso na história

da construção civil, o betão armado. A designação betão armado surge então pela combinação dos

dois materiais que possuem características diferenciadas e, portanto, desempenham diferentes

funções: o betão é utilizado para absorver essencialmente as tensões de compressão e o aço para

resistir principalmente às tensões de tração. Assim, é fundamental conhecer com o máximo rigor o

comportamento mecânico destes dois materiais, separadamente e quando combinados (Figueiras,

1983; Póvoas, 1991).

O betão é um material que resulta da mistura de vários componentes: brita, areia e cimento. Para a

ligação destes materiais é necessário adicionar água em quantidade especificada de modo a

provocar a ligação química entre os agregados (brita e areia) pela presença do cimento. Assim, o

betão é um material com elevada variabilidade de propriedades, devendo ser definidas em projeto e

fabricado com o maior rigor possível.

O fabrico e o controlo da qualidade do betão requer um cuidado especial quando este é constituído

por componentes que se alteram ao longo do tempo e, consequentemente, também as suas

propriedades mecânicas. As condições ambientais em que a estrutura se enquadra são um fator

muito importante na alteração comportamental do betão e, por inerência, das armaduras.

Para além dos aspetos referidos, o fabrico do betão, a colocação em obra e a qualidade da

mão-de-obra são determinantes na excelência do produto final. A colocação do betão em obra

envolve aspetos muito importante: a garantia dos recobrimentos das armaduras e a sua perfeita

“compactação” e moldagem, por exemplo.

Relativamente ao aço correntemente utilizado neste tipo de estruturas, habitualmente designado

como aço em varões para armaduras de betão armado, ele é produzido com um controlo rigoroso,


12

garantindo-se uma elevada qualidade por certificação. Desde que devidamente dimensionado,

detalhado e bem posicionado em obra, ficam excluídas preocupações quanto ao seu funcionamento

e durabilidade.

Nos itens que se seguem far-se-á uma breve descrição das principais propriedades mecânicas destes

materiais, importantes para o dimensionamento do betão armado e para a previsão do seu

comportamento temporal em termos de resistência e deformabilidade. Estes aspetos são constantes

das normas NP EN 1992-1-1 2010 (Eurocódigo 2 - Projeto de Estruturas de Betão; EC2) e

NP EN 206-1 2007.

2.3.2. Betão

2.3.2.1. Resistência do betão

A classificação do betão é habitualmente feita com base na tensão resistente à compressão e

designada por classe de resistência do betão. A resistência do betão é definida pelo valor

característico da resistência à compressão, fck, referido a provetes cilíndricos ou a provetes

cúbicos, de acordo com a NP EN 206-1 (2007).

No EC2 (2010) é utilizada uma classificação do betão que envolve as duas resistências, por

exemplo C30/37, referindo-se a resistências de 30 e 37 MPa obtidas em provetes cilíndricos e

cúbicos, respetivamente. Caso a designação da classe do betão não seja a exemplificada, a classe de

resistência baseia-se normalmente no valor característico da resistência correspondente a provetes

cilíndricos, fck, determinado aos 28 dias de idade, por exemplo, C30.

O EC2 (2010) define o valor médio da resistência à compressão como:

fff ckcm Δ+= ( 2.1)

Em que ∆f = 8 MPa, pressupondo que o desvio padrão da resistência à compressão do betão é

independente da classe de resistência.

Poderá ser necessário avaliar a tensão de rotura do betão à compressão para uma determinada idade

t, fck(t). Essa necessidade ocorre, por exemplo, em fases como desmoldagem, transferência de

pré-esforço, escavação das terras adjacentes à cortina de contenção, etc.

A tensão característica de rotura do betão à compressão, para uma idade t, pode ser estimada por:

( ) ( )( ) dias28para

dias283paraΔ

≥=≤<−=

tftf

tftftf

ckck

cmck

( 2.2)

onde, fcm(t) é a tensão média de rotura do betão à compressão à idade t dias, e ∆f = 8 MPa para

todas as classes de betões.


13

A tensão de rotura do betão à compressão, numa idade t, depende do tipo de cimento, da

temperatura e das condições de cura. Para uma temperatura de 20 °C e uma cura de acordo com a

NP EN 12390, a tensão média de rotura do betão à compressão para uma idade t, em dias, fcm(t),

poderá ser estimada pela expressão seguinte:

( ) ( ) cmcccm fttf ⋅= β ( 2.3)

onde fcm é, como referido anteriormente, a tensão média de rotura do betão aos 28 dias e βcc(t) vale:

( )

−⋅

= ts

cc et

281

β ( 2.4)

sendo s um coeficiente dependente do tipo de cimento, com valores de 0,38, 0,25 e 0,20 para os

cimentos das classes S, N e R, respetivamente (NP EN 206-1, 2007).

O valor de cálculo da tensão de rotura à compressão é:

c

ckcccd

ff

γα ⋅= ( 2.5)

onde γc = 1,5 é o coeficiente parcial de segurança relativo ao betão e αcc é um coeficiente que tem

em conta a redução da resistência à compressão do betão quando sujeito a cargas prolongadas

(fluência) e deverá valer entre 0,8 e 1,0.

Relativamente à resistência à tração, esta refere-se à maior tensão atingida sob esforços de tração

simples. A tensão média de rotura à tração por flexão, fctm,fl, depende da tensão média de rotura à

tração simples, fctm, e da altura total da secção transversal do elemento fletido, h (em mm), e pode

ser obtida pela seguinte condição:

⋅

−= ctmctmfl,ctm f;fh

,máxf1000

61 ( 2.6)

Da condição anterior facilmente se conclui que para elementos de espessura maior ou igual a

600 mm fctm,fl é igual a fctm, e para valores inferiores à dimensão referida a resistência à tração pode

ser considerada superior a fctm.

A evolução da resistência à tração, por tração simples ou por flexão, em função do tempo, é

influenciada pelas condições de cura e de secagem. Essa evolução pode ser avaliada por:

( ) ( )[ ]( ) ( )[ ] fl,ctmccfl,ctm

ctmccctm

fttf

fttf

⋅=

⋅=α

α

β

β ( 2.7)

onde βcc(t) é dado pela expressão 2.4 e α = 1 para t < 28 ou α = 2/3 para t ≥ 28.


14

Para betões correntes (classes de resistência inferior a C50/60), a tensão média de rotura à tração,

fctm, pode ser estimada por (NP EN 1992-1-1 2010):

3 232

300100

401 ckck

ctm f,f

,f ⋅≅⋅= ( 2.8)

com fck expresso em MPa.

2.3.2.2. Deformação elástica

As deformações elásticas do betão dependem essencialmente da sua composição (especialmente

dos agregados). Assim, o módulo de elasticidade de um betão, Ec, depende dos módulos de

elasticidade dos seus componentes.

Admite-se habitualmente um comportamento linear do betão caracterizado pelo módulo de

elasticidade secante, Ec = Ecm, que é definido pelas tensões de compressão σc = 0 e σc = 0,4fcm,

para betão com agregados de quartzo (ver Figura 2.2). Para agregados de calcário e de grés, o valor

do módulo de elasticidade deverá ser reduzido de 10 e 30%, respetivamente. Para agregados de

basalto, o valor poderá ser aumentado de 20%.

Conforme definido no EC2 (NP EN 1992-1-1 2010), o módulo de elasticidade secante (em GPa)

pode ser obtido pela seguinte expressão:

30

1022

,cm

cm

fE

⋅= ( 2.9)

com fcm em MPa.

Poderá ainda ser considerada a variação do módulo de elasticidade secante com o tempo, da

seguinte forma:

( ) ( ) 30 ,

cm

cmcmcm

f

tfEtE

⋅= ( 2.10)

em que fcm e Ecm são determinados para a idade de 28 dias. A relação entre fctm(t) e fcm traduz o

coeficiente βcc(t) definido pela equação 2.4.

Por sua vez, o coeficiente de Poisson pode ser considerado igual a 0,2 para betão não fendilhado e

0 (zero) para o betão fendilhado.


15

2.3.3. Aço para armaduras

As principais propriedades que regem o comportamento do aço das armaduras para betão armado

são:

- o valor característico da tensão de cedência, fyk (ou a tensão limite convencional de

proporcionalidade a 0,2%, f0,2k);

- o valor da resistência à tração, ft;

- a ductilidade, definida pela extensão na carga máxima, εuk, e pela relação entre a resistência

à tração e a tensão de cedência, k = (ft / fy)k;

- o módulo de elasticidade, Es, normalmente considerado igual a 200 GPa.

Para o dimensionamento estrutural recorre-se ao valor de cálculo da tensão de cedência, fyd, obtido

pela expressão:

s

ykyd

ff

γ= ( 2.11)

onde γs = 1,15 é o coeficiente parcial de segurança relativo ao aço.

2.4. LEIS CONSTITUTIVAS DE COMPORTAMENTO DOS MATERIAIS

2.4.1. Modelo de comportamento do betão

A Figura 2.2 mostra a relação tensão-extensão de um ensaio uniaxial para o betão, com o modelo

proposto de comportamento elastoplástico (elástico-perfeitamente plástico) para as compressões, e

ainda o modelo de comportamento com retenção de tensões de tração para o betão (armado)

fendilhado. Na mesma figura está identificado o módulo de elasticidade secante, já definido, para

σc = 0,4⋅fcm, que delimita o intervalo onde normalmente se localizam as tensões de compressão no

betão, em serviço. O modelo adotado para exprimir o comportamento em compressão traduz,

dentro do mencionado intervalo das tensões em serviço, uma razoável aproximação ao

comportamento “real” do betão.

Relativamente ao comportamento do betão em tração, este merece uma particular atenção dada a

sua complexidade, por envolver a influência da armadura de tração e a distância entre fendas. Na

Figura 2.8 representa-se com mais pormenor a relação tensão-extensão em tração, com retenção de

tensões após fendilhação do betão, correntemente designado na literatura inglesa por tension

stiffening.

Na Figura 2.2 estão indicadas as extensões εck e εc1, correspondentes às tensões fck e fcm,

respetivamente. A extensão εcu é a extensão última do betão à compressão. As extensões εc1 e εcu

estão definidas no EC2 (2010).


16

As tensões assinaladas na figura, para além da referida tensão que define o módulo de elasticidade

secante, são: o valor médio da tensão de rotura do betão à compressão, fcm, o valor característico da

tensão de rotura do betão à compressão aos 28 dias de idade, fck, e o valor médio da tensão de rotura

do betão à tração simples, fctm, anteriormente definidas. As extensões do diagrama correspondente

às trações serão melhor definidas na secção 2.7.

Figura 2.2 – Relação tensão-extensão do betão e modelo de comportamento proposto.

O modelo de comportamento adotado para as compressões é relativamente simples, o mesmo não

se podendo afirmar do modelo que procura traduzir o comportamento do betão tracionado que

depende da armadura de aço de tração. O modelo para as trações abrange várias fases:

imediatamente antes do início da abertura das fendas, a evolução da fendilhação ainda com

existência de resistência à tração e a após-fendilhação do betão sem possuir resistência à tração.

Dada a sua complexidade, o modelo será detalhadamente explicado nas secções 2.6 e 2.7.

f ck

εc*

Zona de concentraçãodas tensões decompressão(em serviço)

εc1

(Compressões)

εc k

Ec

εc r m

Modelo de comportamento

(Trações)

0,4f cm

Redução das tensõesde tração no betãodevido à progressivafendilhação

εc r m

f cm

εcu

εc r

σ c

f ctm


17

2.4.2. Modelo de comportamento do aço

A Figura 2.3 mostra o diagrama da relação tensão-extensão do aço típico de armadura para betão

armado (aço laminado a quente) e o modelo adotado de comportamento elastoplástico bilinear com

endurecimento, válido para trações e compressões.

A relação entre o valor máximo de resistência à tração, ftk, e o valor da tensão de cedência, fyk, em

termos característicos, é dada por ftk = k· fyk. em que k depende da classe do aço e está indicado no

EC2 (2010), conjuntamente com o valor de εuk., que define a posição dessa tensão.

A tensão de cedência fyk, para aço laminado a quente (ou a tensão limite convencional de

proporcionalidade a 0,2%, f0,2k, para o aço endurecido a frio), e a resistência à tração, ftk, são

definidas no EC2 (2010) como o valor característico da força de cedência e o valor característico

da força máxima em tração simples, divididas pela área nominal da secção transversal,

respetivamente.

Figura 2.3 – Relação tensão-extensão do aço corrente de armadura para betão armado (aço

laminado a quente) e modelo de comportamento adotado (válido para trações e compressões).

Nos problemas que serão analisados no presente trabalho, e para uma análise em condições de

serviço, as tensões no aço deverão residir no ramo elástico. Em relação à ligação entre as

armaduras de aço e o betão, admite-se que as características da superfície dos varões de aço são de

alta aderência.

f tk=k.fyk

σ s

fyk

Modeloelastoplásticobilinear

εyk

ε s

Comportamento real

Es

εuk


18

2.5. DEFORMAÇÃO E CURVATURA

2.5.1. Generalidades

Neste capítulo é importante referir alguns conceitos importantes da Resistência dos Materiais,

necessários para uma melhor compreensão dos aspetos aqui focados e tratados no capítulo seguinte.

Esses conceitos são, por exemplo, a definição de flexão simples, flexão composta, curvatura, e

rigidez à flexão, entre outros.

A flexão simples é definida como a flexão sem esforço axial; a flexão composta refere-se ao facto

de existir também um esforço axial de tração ou compressão. Quando não existe esforço transverso,

a flexão diz-se pura ou circular.

Diz-se que uma peça está sujeita à flexão composta com grande excentricidade quando as secções

dessa peça estão parcialmente comprimidas, ou seja, o eixo neutro está dentro da secção. Essa

excentricidade é normalmente medida relativamente ao centro geométrico (CG) da secção de betão.

Designa-se por flexão plana quando a deformação do elemento estrutural por flexão ocorre

segundo o plano de solicitação, isto é, o vetor momento é perpendicular ao plano de deformação.

É corrente em estruturas com comportamento elástico, constituídas por mais do que um material,

homogeneizar a secção num único material, de modo a facilitar a sua análise. A técnica de

homogeneização de uma secção constituída por vários materiais consiste em os “transformar” num

único material de rigidez equivalente. No caso particular de dois materiais como o betão e o aço é

corrente converter a área de aço em área equivalente de betão. Para o efeito utiliza-se o coeficiente

de homogeneização que relaciona os módulos de elasticidade dos dois materiais, αe = Es /Ec. O

centro geométrico da área de aço homogeneizada em área de betão terá de corresponder

obrigatoriamente à mesma posição relativamente ao eixo de flexão (em flexão plana).

No presente capítulo, no sentido de se conseguir uma melhor exposição do comportamento

estrutural em flexão composta, pressupõe-se um elemento estrutural com secção retangular de

largura b =1,00 m e altura h, e que resulta da consideração de uma secção elementar de uma cortina

de contenção, e que obedece, por simplificação, aos requisitos do estado plano de tensão (ver

Figura 2.1). No Capítulo 3 serão apresentadas as diferenças entre o estado plano de tensão e o

estado plano de deformação, em termos do comportamento estrutural.

2.5.2. Centro de rigidez

Considere-se um barra constituída por um conjunto de materiais elásticos lineares cuja aderência se

admite perfeita. Considere-se também que a secção transversal do elemento estrutural é simétrica,

no sentido em que os diversos materiais se dispõem simetricamente em torno de um eixo.

Define-se como centro de rigidez (CR) o ponto da secção onde sendo aí aplicada uma força, de

compressão ou tração, paralela ao eixo do elemento estrutural (esforço axial), as extensões


19

longitudinais produzidas em toda a secção são uniformes, ou seja, esse esforço não gera qualquer

momento fletor e, portanto, não origina curvatura do elemento estrutural.

A Figura 2.4 mostra uma secção retangular de betão, duplamente armada assimetricamente, onde se

identifica a posição do centro de rigidez (CR). Na figura, b e h são as dimensões da secção (betão),

As e A’s são as áreas das armaduras, a e a’ são as posições dos centros geométricos das armaduras

relativamente às faces da secção, e yCR é a ordenada do centro de rigidez da secção simétrica

relativamente ao eixo y.

Figura 2.4 – Exemplo da posição do centro de rigidez (CR) para uma secção de

betão duplamente armada.

O esforço axial é a resultante das tensões normais em toda a secção transversal de área A,

constituída, genericamente, por m materiais:

=

⋅⋅=⋅=m

jA

jjj

A j

dAEdAN

1

εσ ( 2.12)

Se a força resultante, paralela ao eixo da peça, estiver aplicada no CR, as deformações axiais são

uniformes, ε = εj, e se para cada material o módulo de elasticidade é constante, obtém-se:

=

⋅⋅=m

jA

jj

j

dAEN

1

ε ( 2.13)

e

EA

N=ε ( 2.14)

onde, EA é a rigidez axial da secção:

x'

x

y

h

A's

CR

CG

b

a

a'

As

yCR


20

=

⋅=m

j

jj AEEA

1

( 2.15)

A tensão instalada em cada material e a força resultante são dadas por:

jjjjj

jjj

AEEA

NAEN

EEA

NE

⋅⋅=⋅⋅=

⋅=⋅=

ε

εσ ( 2.16)

O momento gerado relativamente ao eixo x vale:

=

⋅⋅⋅=⋅⋅==m

jA

jjj

A

x

j

dAyEEA

NdAyMM

1

σ ( 2.17)

ou

=

⋅=m

j

j

A

jj dAyEEA

NM

j1

( 2.18)

e, finalmente

=

⋅=m

j

jj SEEA

NM

1

( 2.19)

onde Sj é o momento estático (momento de primeira ordem) da área do material j relativamente ao

eixo x. A expressão anterior é equivalente a:

NEA

ESM ⋅= ( 2.20)

com

=

⋅=m

j

jj SEES

1

( 2.21)

Concluindo, a resultante das tensões gera um momento relativamente ao eixo x dado por:

CRx yNMM ⋅== ( 2.22)


21

sendo yCR a posição do ponto de aplicação de N (centro de rigidez):

=

=

⋅

⋅

==m

j

jj

m

j

jj

CR

AE

SE

EA

ESy

1

1 ( 2.23)

O momento fletor provocado pelo esforço axial é nulo se este estiver aplicado no CR, localizado no

eixo x’, como representado na Figura 2.4, não esquecendo que yCR é variável. Assim, a eventual

rotação da secção do elemento estrutural apenas depende do momento fletor transmitido como

solicitação.

No caso particular de uma secção homogénea e de comportamento elástico linear, o centro de

rigidez (CR) coincide com o centro geométrico da secção (CG). Caso contrário, sendo uma secção

constituída por vários materiais, o centro de rigidez estará deslocado para o material que lhe

confere mais rigidez.

No caso do betão armado, pode afirmar-se que a posição do centro de rigidez depende da forma

geométrica da secção de betão, das áreas das armaduras e respetivas posições, e das características

dos materiais (módulos de deformabilidade) que dependem da existência ou não de fendilhação do

betão. Assim, enquanto numa situação elástica de comportamento não fendilhado a posição do

centro de rigidez é fixa, para uma situação de comportamento não linear por fendilhação o centro

de rigidez varia de posição. Quando a abertura de uma fenda tende a estabilizar, a posição do

centro de rigidez pouco se altera.

2.5.3. Curvatura

Na Figura 2.5a está representada uma parte de uma cortina de suporte em betão armado e a

respetiva deformada. Nessa figura indica-se a secção genérica S que, após deformação, passa para

posição S ’ que se mantém reta e perpendicular ao eixo do elemento estrutural deformado,

conforme a hipótese de Bernoulli. Essa secção S ’ (em planta) assume uma posição relativa

(deslocamento na perpendicular ao eixo inicial) com deslocamento δh = y(z). Na mesma figura

estão também indicados o centro e o raio de curvatura do elemento estrutural deformado,

associados à secção S ’.

Como essa deformação resulta da flexão (composta), a extensão longitudinal já não é constante,

apresentando uma distribuição linear, como a representada na Figura 2.5b. A figura mostra a

secção S (em planta) e as correspondentes extensões que resultam da atuação dos esforços M e N

instalados nessa secção (compressão: N < 0, εcc < 0).


22

Admite-se que a flexão é composta pela atuação em simultâneo de M e N, e é flexão reta (ou plana)

pelo facto de o plano de solicitação coincidir com o plano de simetria e os deslocamentos

ocorrerem segundo esse mesmo plano.

(a) (b)

Figura 2.5 – Definição da curvatura de um elemento estrutural linear: a) secção

genérica S e correspondente S’ após deformação estrutural; b) secção duplamente

armada e diagrama de extensões.

Na Figura 2.6 mostra-se uma parte elementar da cortina de contenção de altura dz que, por ação de

um momento fletor, sofre uma rotação dθ correspondente a um raio de curvatura r. Por

simplificação admite-se que se trata de um único material de comportamento elástico linear.

O momento fletor aplicado origina extensões de tração na parte positiva do eixo y, e extensões de

compressão no eixo negativo de y, como está representado na Figura 2.5b.

Atendendo a que se está no campo das pequenas deformações, pode equacionar-se:

θdrdsdz ⋅=≅ ( 2.24)

ε s c

(Apoio)

b

x

y (z) εc t

y

A's

Deformada

e.n.

z

o

h

h

e.n.Secção S

d

ε s t

Fundo daescavação

1/r

(−)

y

εc c

z

N

Posiçãoinicial

r

As

Secção S'

M


23

Como está representado na Figura 2.6, a extensão normal à secção, em função da ordenada y, pode

ser obtida pela seguinte relação:

( ) ( )dz

dzdydz

pq

pqqpy

−⋅+=−′′= θε ( 2.25)

Simplificando a expressão anterior, e atendendo à igualdade 2.24, resulta que a extensão por flexão,

em função da ordenada y, é

( )r

ydz

dyy

1⋅=⋅= θε ( 2.26)

Figura 2.6 – Deformação por flexão.

Recorrendo à expressão 2.26, as extensões máximas de tração e de compressão, εt e εc,

respetivamente, valem:

r

hh

r

hh

c

t

1

22

1

22

⋅−=

−⋅=

⋅=

⋅=

εε

εε

( 2.27)

que permitem obter a seguinte relação:

hr

ct εε −=1 ( 2.28)

ds

q

z

dz

εc

p'

q'

ε( y )

y dθ

M

r

Mp

o

y

ε t

h

1/r


24

A extensão εt é considerada positiva por ser de tração, a extensão εc é negativa por ser de

compressão, como o representado na Figura 2.6.

No caso de flexão composta, as extensões na secção transversal resultam da adição de duas

parcelas:

- uma extensão uniforme, consequência da aplicação do esforço axial, e que será designada

por ε0;

- uma extensão linearmente variável, em função da posição na secção, e que resulta da ação do

momento fletor, como o indicado pela expressão 2.26.

É de referir que se admite que os esforços M e N são aplicados no centro geométrico (CG) da

secção e que o esforço axial só dá origem a extensões uniformes se a secção for homogénea. No

caso de secções de betão armado, o CG corresponde à secção de betão, como se não existissem

armaduras de aço, e o esforço axial só não provoca momentos fletores se a secção apresentar

simetria relativamente ao eixo x (que passa no CG), em termos de áreas e (ou) posições das

armaduras (ver Figura 2.4). Caso contrário, esse esforço axial origina um momento relativamente

ao eixo x’ que passa no CR e, consequentemente, um acréscimo de rotação da secção.

A soma das duas parcelas permite obter a seguinte igualdade:

( )r

yy1

0 ⋅+= εε ( 2.29)

onde, como já foi referido, r é o raio de curvatura. O seu inverso, que resulta da igualdade 2.24, é,

matematicamente, a relação entre a variação angular associada ao arco elementar descrito pelo eixo

da deformada, ds. Como se está no campo das pequenas deformações, pode dizer-se que ds ≅ dz,

resultando na seguinte igualdade:

dz

d

r

θ=1 ( 2.30)

As unidades correntes na definição da curvatura são: rad·m-1 (e rad·km-1), ou simplesmente m-1 (e

km-1).

Em flexão composta são estabelecidas duas equações, onde, para além das características

geométricas da secção e das propriedades mecânicas dos materiais, intervêm duas grandezas

estáticas, o momento fletor, M, e o esforço axial, N, e duas variáveis cinemáticas, a extensão

longitudinal, ε0, e a curvatura, 1/r.

O esforço axial pode ser obtido pela seguinte igualdade:

⋅

⋅+⋅=⋅=AA

dAr

yEdAN1

0εσ ( 2.31)


25

originando a seguinte expressão:

EA

N=0ε ( 2.32)

O momento fletor pode ser relacionado com:

⋅⋅

⋅+⋅=⋅⋅=AA

dAyr

yEdAyM1

0εσ ( 2.33)

permitindo obter a seguinte relação:

EI

M

r=1 ( 2.34)

onde, I é o momento de inércia (momento de segunda ordem) e EI é a rigidez à flexão da secção.

Atendendo às equações 2.32 e 2.34, a equação 2.29 pode reescrita do seguinte modo:

( )EI

My

EA

Ny ⋅+=ε ( 2.35)

e

( ) ( )I

My

A

NyEy ⋅+=⋅= εσ ( 2.36)

Nesta descrição, admite-se que as secções transversais podem deformar-se livremente nos seus

próprios planos (hipótese de Navier), que as fibras longitudinais permanecem paralelas após

deformação e perpendiculares às secções transversais, e ainda a hipótese dos pequenos

deslocamentos, bem como a de que as cargas são aplicadas de forma quase-estática. Para além do

referido, as expressões que relacionam a deformação com a rigidez estrutural são aproximadas

porque não se introduz o efeito do esforço transverso (Dias da Silva, 2013).

Matematicamente, a curvatura relaciona-se com a primeira derivada y’ e segunda derivada y’’ da

equação de uma curva y = y(z):

( )2

321

1

y

y

r′+

′′=

( 2.37)

Em termos estruturais, e em flexão simples, admitindo-se que o deslocamento normal ao eixo do

elemento estrutural é função da posição segundo esse eixo, a curvatura da linha formada pelo

“eixo” do elemento estrutural deformado, designada como linha elástica, é dada matematicamente

por:


26

( )zyyr

′′=′′≅1 ( 2.38)

que resulta do facto de se desprezar o valor do termo y’2 quando adicionado à unidade. Como a

primeira derivada da equação da deformada corresponde à rotação, e como é admitido que se está

no campo das pequenas deformações, as rotações são muito pequenas e, nestes termos, a parcela y’2

é um infinitésimo.

A formulação normalmente utilizada para a resolução dos problemas de deformação dentro da

teoria da elasticidade e no domínio da Resistência dos Materiais é:

( ) ( )EI

zMzy −=′′ ( 2.39)

que resulta da combinação da equação 2.34 com a igualdade 2.38.

A equação da linha elástica dada pela função δh = y (z) é a solução, por dupla integração, da

equação diferencial obtida pela expressão 2.39. O sinal negativo na expressão tem como finalidade

adequar a função ao referencial e convenção de sinais: eixo do elemento estrutural positivo da

esquerda para a direita (segundo o eixo z), ou seja, o observador está no interior da escavação

representada na Figura 2.5a e a “esquerda” corresponde ao topo da cortina, deformação positiva no

sentido positivo do eixo y, e a rotação positiva no sentido horário (ver também Figura 2.1).

Como se verá, para elementos estruturais constituídos por vários materiais, como é o caso do betão

armado, com o centro de rigidez deslocado relativamente ao centro geométrico, será necessário

fazer algumas considerações sobre a rigidez estrutural, assim como acerca do momento fletor a

considerar quando existam esforços axiais.

Para uma secção em betão armado com as armaduras dispostas em alinhamentos paralelos às faces

da parede, pode considerar-se a seguinte relação entre a curvatura e as extensões:

hr

ccct εε −=1 ( 2.40)

ou

dr

ccst εε −=1 ( 2.41)

Nas expressões anteriores, εct é a extensão na fibra de betão mais tracionada, εcc é a extensão na

fibra de betão mais comprimida (de sinal negativo) e εst é a extensão na armadura tracionada. Como

está indicado na Figura 2.5, d é a altura útil da secção, isto é, a distância entre a armadura

tracionada e a fibra de betão mais comprimida.


27

2.6. COMPORTAMENTO DO BETÃO ARMADO FENDILHADO

2.6.1. Considerações iniciais

O cálculo de elementos estruturais em serviço, ou seja, correspondentes aos estados limites de

utilização, poderá ser realizado com uma análise linear baseada na teoria da elasticidade. Para essa

análise são consideradas as hipóteses de que as secções não estão fendilhadas, as relações

tensão-extensão são lineares e é válida a aplicação do valor médio do módulo de elasticidade.

Contudo, no cálculo das tensões e deformações, as secções transversais só poderão ser

consideradas não fendilhadas desde que a tensão de tração não exceda fct,ef. O valor de fct,ef pode ser

admitido igual a fctm ou fctm,fl, nos casos de tração simples ou tração por flexão, respetivamente,

desde que este valor tenha sido adotado no cálculo da armadura mínima de tração, o que

geralmente acontece.

Os materiais como o betão, de cariz cimentícia e heterogéneos, são materiais frágeis que

apresentam reduzida resistência à tração. As estruturas constituídas por este tipo de material

fendilham com relativa facilidade quando submetidas a ações que tendem a provocar tensões de

tração superiores à que o material resiste, e que é uma das principais causas do comportamento não

linear do betão. A uma escala macroscópica, pode ser considerado como um material homogéneo; e

sendo reforçado por armaduras, é considerado como quase-frágil (Barros e Figueiras, 1996).

Para que não ocorra rotura frágil, o betão é reforçado com armaduras mínimas necessárias para

absorver as tensões de tração geradas pelos esforços. Quando o betão fendilha, as tensões no betão

decrescem acentuadamente na secção da fenda, forçando a que as armaduras que atravessam a

fenda absorvam quase integralmente as forças aí atuantes. Por outro lado, os elementos de aço

dimensionados para suportar essas trações vão, pela sua elevada aderência ao betão envolvente e

pela sua deformabilidade, transmitir as tensões de tração ao betão, e este vai fendilhar porque não

consegue acompanhar essas deformações sem esgotar a sua capacidade de resistência à tração.

No estudo de materiais frágeis homogéneos, com pequenos defeitos ou com descontinuidades,

surgiu a designada mecânica da fratura. A mecânica da fratura estuda os processos mecânicos que

levam à propagação de fendas, fissuras e outros "defeitos", diminuindo a resistência do material e

provocando a fratura (rotura) do mesmo, e consequente rotura estrutural.

Para melhor compreender o fenómeno da fendilhação, é importante referir os possíveis modos de

fratura, assim como a definição da energia de fratura associada (Bazant, 1983). Na Figura 2.7

estão indicados os principais modos de fratura que podem ocorrer em estruturas de materiais

frágeis.

A energia de fratura é a quantidade de energia necessária para propagar uma fenda de superfície

unitária, e é quantificada pela “área” definida pelo gráfico que relaciona as tensões com a abertura

da fenda. Essa energia depende de vários fatores, como a composição do betão, as condições de

cura, a idade, etc. (CEB-FIP 90; Faria, 1994). A energia de fratura é calculada em função do valor

médio da resistência à compressão do betão, fcm, e da dimensão máxima do agregado utilizado no


28

fabrico do betão. Resumindo, a maior ou menor facilidade com que o betão fendilha, em função

das tensões de tração mobilizadas e o modo como evolui a abertura das fendas, depende da classe

de resistência do betão e das máximas dimensões dos agregados.

Modo I Modo II Modo III

(a) (b) (c)

Figura 2.7 – Modos de fratura fundamentais: a) abertura por tração (Modo I); b) abertura por corte

no plano de flexão (Modo II); c) abertura por corte (“rasgar”) no plano perpendicular (Modo III).

Como está representado na Figura 2.7, o Modo I de fratura ocorre por tração como consequência do

efeito da flexão, e provoca uma separação das faces da fratura pela mobilização de tensões

normais; o Modo II ocorre por corte no plano de flexão (plano de solicitação) e provoca o

deslizamento das faces no sentido longitudinal da fratura, mobilizando tensões de corte; o Modo III

verifica-se por corte num plano normal ao plano de flexão (Barros et al., 1994; Barros e Figueiras,

1996).

Em estruturas submetidas a estado plano de tensão ou estruturas laminares de grande

desenvolvimento associadas ao estado plano de deformação, só se desenvolvem os Modos I e II de

fratura. Isto é, o Modo I corresponde à abertura relativa das faces da fenda no plano de flexão e o

Modo II resulta do deslizamento das faces da fenda por corte. Na maior parte dos casos, as fendas

surgem em Modo I e progridem sujeitas aos Modos I e II associados (modo misto).

No Modo II de fratura, correspondente ao efeito do corte no betão armado, desenvolvem-se

mecanismos que permitem a este material fendilhado resistir ainda a esforços de corte. Esse efeito é

resultado do imbricamento dos agregados, da força de atrito entre as faces da fenda (fratura), da

resistência ao corte da zona comprimida (e da zona tracionada não fendilhada), da resistência

conferida pelas eventuais armaduras dimensionadas para resistirem ao esforço transverso, e do

efeito de cavilha das armaduras longitudinais (dowel action) e da resistência que estas exercem à

abertura das fendas, aumentando a rigidez ao corte do betão armado. Naturalmente que, quanto

mais elevada for a abertura de uma fenda, menor será a resistência ao corte e maior será o


29

deslizamento entre as faces da fenda. No dimensionamento estrutural, na verificação do estado

limite último de resistência ao esforço transverso, a resistência atribuída à estrutura para resistir às

tensões de corte, em termos de secção de betão e armaduras, é suficiente para minimizar o efeito

traduzido pelo Modo II de fratura.

É corrente a análise do comportamento do material betão a uma escala macroscópica (modelo

macromecânico), tratando-o como um material homogéneo, contínuo e isotrópico, podendo-se

aplicar as leis constitutivas em termos de tensões e extensões médias. Os principais modelos

macromecânicos de fendilhação agrupam-se em duas classes (Bazant, 1983; Barros et al., 1994;

Barros e Figueiras, 1996):

- modelos de fendas discretas, em que se analisa a evolução de uma fenda, separando-a numa

análise tensão-extensão quando em comportamento elástico e numa outra análise que

relaciona as tensões com a abertura da fenda (modelo vocacionado para a simulação da

propagação de um pequeno número de fendas);

- modelos de fendas distribuídas, que consideram a deformação do betão fendilhado como

uma combinação da deformação do betão entre fendas e a deformação das próprias fendas,

considerando-as paralelas entre si e distribuídas no volume do material a elas associado.

O betão apresenta uma resistência à tração significativamente inferior à de compressão, pelo que,

mesmo para cargas muito inferiores à de rotura, é em regra observável acentuada não linearidade

de comportamento manifestada através de fissuração macroscópica (Figueiras, 1983). Segundo o

mesmo autor, os modelos de fendas distribuídas apresentam elevadas potencialidades, sendo a

preferência de muitos investigadores por os considerarem muito versáteis, capazes de traduzir o

comportamento do material no estado não fissurado, como ainda a possibilidade de simular a

gradual danificação do material pelo desenvolvimento da fendilhação.

Como se verá, a evolução do estado elástico até ao estado fendilhado sem resistência à tração

processa-se de uma forma única traduzida, por exemplo, pelo modelo de comportamento aqui

proposto e representado sumariamente na Figura 2.8, sem a necessidade de separação da análise,

como acontece com os modelos de fendas discretas, o que constitui uma grande vantagem (Faria,

1994).

A investigação experimental tem mostrado que a fenda ou zona fissurada tem ainda capacidade

para reter tensões de tração durante o processo de fendilhação do material. No betão simples essa

capacidade para reter tensões de tração designa-se por amolecimento (tension softening), por

diminuir durante o processo de fendilhação. No betão armado designa-se por endurecimento

(tension stiffening), por ser superior à do betão simples, pelo contributo da armadura de tração que

cria um mecanismo de transferência de tensões de tração entre os varões de aço e o betão entre

fendas. Este fenómeno condiciona grandemente a deformação de uma estrutura de betão armado,

sendo, portanto, fundamental a sua consideração nos modelos de comportamento (Figueiras, 1983;

Póvoas, 1991; Faria, 1994).

Como foi mencionado, os modelos macromecânicos mais utilizados são os que consideram o betão

fendilhado como um conjunto de fendas “paralelas” entre si e distribuídas numa determinada zona


30

da estrutura, ou seja, o material fissurado é associado a um meio contínuo equivalente com um

comportamento definido por uma relação entre as tensões e as extensões médias, em toda a análise

do processo de fendilhação. Nestes modelos, as variáveis normalmente utilizadas para definir o

início da fendilhação são a resistência à tração, fct, e (ou) a extensão correspondente à essa

resistência, εcr (Figura 2.8).

Figura 2.8 – Lei constitutiva correspondente ao Modo I de fratura: retenção de tensões

após fendilhação do betão armado (tension stiffening).

Na Figura 2.8 representa-se esquematicamente o comportamento do betão tracionado com retenção

de tensões entre fendas, e o modelo de aproximação utilizado no presente estudo. Esta

representação traduz a evolução do comportamento por aumento da extensão de tração e também

por diminuição dessa extensão (descarga), a desenvolver no item 2.7. Na descrição matemática do

modelo adotado, traduzido pela Figura 2.12, tecem-se várias considerações sobre os pontos

singulares deste modelo, assim como das alterações de comportamento para os casos de inversão

de deformação, isto é, quando os esforços se invertem e provocam um fecho das fendas.

É importante referir que nos problemas correntes de cortinas de contenção para suporte de

escavações profundas desenvolvem-se esforços muito variáveis em função do faseamento

construtivo. Particularmente, os momentos fletores podem atingir valores muito elevados e

variáveis em função do faseamento construtivo com ocorrência em diferentes zonas da cortina de

contenção, e até sofrerem inversão de sinal como resultado da ativação de elementos de apoio

pré-esforçados e, consequentemente, provocarem o fecho de fendas e a criação de novas fendas.

Os resultados experimentais demonstram que a não linearidade à tração antes do início da

fendilhação é relativamente pequena (0 ≤ εc ≤ εcr), e, assim, pode adotar-se uma relação linear com

o módulo de elasticidade (declive) igual ao utilizado para a compressão, como representado na

Figura 2.8.

As primeiras fissuras que surgem no betão sujeito a tensões de tração são aproximadamente

perpendiculares à direção da armadura aí existente, sendo a armadura (de tração) o material que

absorve a maior percentagem dessa tração. Pode afirmar-se que a direção da armadura longitudinal

Descarga-recargaf ct = f ctm

εc r εc r m

(Trações)

εc

Ec

σ c

Comportamento real

Modelo comtension stiffening


31

de tração é a direção da tensão principal máxima, por se tratar da zona tracionada mais afastada do

eixo neutro, onde as tensões de corte são praticamente nulas. Após início da fendilhação, devido à

redistribuição das tensões e ao novo equilíbrio com os esforços transmitidos, surgem

deslocamentos relativos e tensões tangenciais nas faces rugosas das microfissuras, dependendo

estas das dimensões dos agregados, da rugosidade, do diâmetro e do espaçamento dos varões da

armadura.

Como está representado na Figura 2.8, verifica-se que até níveis de tensão relativamente próximos

da tensão de pico, σcr ≅ fct, a resposta é aproximadamente linear. Imediatamente antes da tensão de

pico, as microfissuras existentes começam a aumentar entre a pasta de cimento e os agregados, ao

mesmo tempo que as extensões começam a localizar-se numa zona mais restrita e a não linearidade

no diagrama do comportamento do betão torna-se mais evidente. Com o evoluir da deformação, as

microfissuras dispersas (Figura 2.9a) juntam-se até originarem uma fenda macroscópica contínua

(Figura 2.9b). A fase de formação de fendas termina quando toda a energia de fratura se dissipa

(Bazant, 1983, Barros et al., 1994; Barros e Figueiras, 1996).

Na Figura 2.9a estão indicadas as microfissuras geradas pela ação da tensão σcr próxima da tensão

resistente de tração, fct, associada a uma tensão de corte relativamente baixa (τcr). Na Figura 2.9b a

fendilhação evoluiu até se formar uma fenda contínua de abertura w, e a tensão normal e a tensão

tangencial ao plano da fenda (σct,, τct ) são agora resultantes da capacidade resistente da “ligação”

entre as faces da fenda. A zona de fratura com abertura de fenda é constituída por um conjunto de

microfissuras aproximadamente paralelas, inicialmente descontínuas, que permitem ainda a

transmissão das tensões de tração.

(a) (b)

Figura 2.9 – Fendilhação do betão tracionado: a) microfissuras isoladas; b) fissura

contínua de abertura w na face do elemento estrutural fletido.

Para além do efeito estético em faces do elemento estrutural à vista, um dos problemas da

fendilhação é a abertura das fendas com a inevitável corrosão das armaduras. É sabido que a

abertura das fendas depende do seu espaçamento, do diâmetro e do afastamento dos varões de aço,

assim como da percentagem da armadura e do seu recobrimento (EC2, 2010).

τ c t

As

σ c r

τcr τ cr

σ c r σ ct

τ c t

σ ct

As

w


32

Um segundo aspeto de grande importância associado à fendilhação, como se verá, é a perda de

rigidez. A secção fendilhada perde inércia e o seu comportamento está em constante mutação em

função dos esforços a que está sujeita.

O betão armado pode ser considerado, por simplificação, como um material homogéneo quando

sujeito a pequenas solicitações em que se pode admitir um comportamento elástico linear. Basta,

contudo, que um dos dois materiais deixe de se comportar em regime elástico linear para que o

comportamento combinado dos materiais passe a ser considerado como não linear, como é o caso

do betão fendilhado.

Nos estados limites de serviço (ELS) as estruturas fletidas trabalham parcialmente no Estado I (não

fendilhado) e podem atingir o Estado II (betão fendilhado sem resistência à tração), dependendo o

comportamento estrutural da resistência à tração do betão, da geometria da secção de betão, das

percentagens das armaduras e do posicionamento dessas armaduras.

O Estado I é definido pelo comportamento elástico do betão até ao início da fendilhação, a partir do

qual o comportamento evolui num estado fendilhado com alguma resistência à tração até atingir a

condição de fendilhado sem resistência à tração (ou uma resistência residual). Assim, pode dizer-se

que o comportamento de uma secção de betão armado em flexão (simples ou composta) estará

balizado entre o Estado I e o Estado II, que podem ser representados pela relação entre o momento

fletor e a curvatura do elemento estrutural correspondente à secção em estudo. Esta relação poderá

ser afetada pela existência de esforço axial que gera um incremento (positivo ou negativo) de

momento fletor relativamente ao centro de rigidez da secção. A representação do momento fletor,

para um determinado esforço axial, em função da curvatura (1/r) passará a ser designada por

M-N-1/r quando correspondente aos esforços M e N no centro geométrico, e MCR-1/r quando os

esforços são reduzidos ao centro de rigidez (CR) da secção. Este assunto será melhor desenvolvido

no item 2.7.

Nas considerações que aqui são realizadas relativamente ao comportamento do betão armado

tracionado, pressupõe-se que existe uma elevada rugosidade entre os dois materiais, o que é

corrente. Admite-se também que existe uma quantidade de cimento (ou equivalente) que garante

uma eficiente ligação entre os agregados e entre estes e os varões de aço, e ainda que a betonagem

(com ou sem vibração) assegura uma perfeita continuidade dessa aderência entre os dois materiais.

Só nestas condições é que se verificam as leis constitutivas aqui descritas.

2.6.2. Comportamento elástico linear, sem fendilhação (Estado I)

Na Figura 2.10 está representada esquematicamente uma secção retangular de um elemento

estrutural em betão armado, de base b e altura h, com a indicação dos diagramas de extensões e

tensões no betão em regime elástico linear. As armaduras estão representadas esquematicamente

como áreas equivalentes ao somatório das áreas dos respetivos varões com alinhamentos paralelos

ao eixo neutro. Nesta fase de comportamento do betão armado admite-se que não há qualquer


33

fendilhação e que as extensões das armaduras, As e A’s, são iguais às extensões do betão

envolvente.

Na Figura 2.10 estão indicados os esforços a que a secção está sujeita, considerando-os aplicados

no centro geométrico da secção de betão (CG; origem do sistema de eixos): o momento fletor, M, é

considerado positivo quando provoca trações nas fibras inferiores da secção (sentido positivo do

eixo y), e o esforço axial, N, é positivo quando provoca trações na secção. Na mesma figura estão

indicados os referidos esforços transferidos para o centro de rigidez (CR), que, admitindo uma

armadura assimétrica, está “deslocado” para a zona de maior percentagem de armadura.

Na mencionada figura, Fcc é a força resultante das tensões de compressão no betão (de sinal

negativo), Fsc é a força resultante das tensões de compressão instaladas na armadura comprimida

(também negativa), Fct é a força resultante das tensões de tração no betão (positiva) e Fst é a força

resultante das tensões na armadura tracionada (positiva). As restantes notações indicadas na figura

estarão implícitas nas expressões que se apresentam na caracterização do Estado I.

Figura 2.10 – Estado I: comportamento elástico linear (secção não fendilhada).

As expressões que se seguem são válidas para uma secção retangular de dimensões b e h, sendo

que b é normalmente considerado como 1,0 m no sentido do desenvolvimento do elemento

estrutural laminar de contenção, e as armaduras estão dispostas segundo dois alinhamentos

paralelos ao eixo das abcissas.

A percentagem de armadura principal (tracionada), ρ , e a percentagem da armadura comprimida,

ρ ’, relativamente à área útil da secção fletida, são dadas pelas seguintes expressões:

db

As

⋅=ρ ( 2.42)

e

db

As

⋅′

=′ρ ( 2.43)

Fct

CGyCR

σ c t

a'

N

b

M

N

Fsc

a

Fst

σ c c

MCR

e.n.yen

As

εc c

ε sc

d

A's Fcc

CRh

x

yεc t

ε s t


34

para secções retangulares de dimensões b e altura útil d = h - a.

A posição (ordenada) do centro de rigidez é dada pela seguinte expressão:

( )d

d

h

d

h

d

a

d

a

d

h

y

e

e

CR ⋅′+⋅+

−′

⋅′+

−⋅⋅=

ρρα

ρρα2

1

2

1

( 2.44)

onde αe é o coeficiente de homogeneização já definido anteriormente (αe = Es /Ec); a ’ é, à

semelhança de a, a distância do centro da armadura relativamente à face mais próxima, como

indicado na Figura 2.10.

Por simplificação, na contabilização da resistência do betão, não se subtrai à área de betão o espaço

ocupado pelos varões das armaduras. Caso se pretenda considerar esse efeito basta entrar com o

coeficiente de homogeneização diminuído de uma unidade (αe - 1).

A área da secção homogeneizada em betão é dada pela seguinte igualdade:

( )

′+⋅+⋅⋅= ρρα ecd

hdbA ( 2.45)

O momento de inércia da secção homogeneizada em betão, relativamente ao eixo que contém o

centro de rigidez (CR) e é paralelo ao eixo neutro, é obtido pela expressão:

+′

−⋅⋅′+

−−⋅⋅⋅+

+

⋅+

⋅⋅=

22

233

2

1

2

1

12

1

d

y

d

a

d

h

d

y

d

a

d

h

d

y

d

h

d

hdbI

CRCRe

CRCR,c

ρρα

( 2.46)

A expressão 2.29 é equivalente a:

( )r

yy CRCR

1⋅−+= εε ( 2.47)

em que εCR é a extensão correspondente ao CR de ordenada yCR. A extensão no CR é obtida pela

igualdade:

ccCR

AE

N

⋅=ε ( 2.48)

e a curvatura relacionada com o momento fletor no CR, MCR, e o momento de inércia da secção

homogeneizada, dado pela expressão 2.46, é:


35

CR,cc

CR

IE

M

r ⋅=1 ( 2.49)

A equação 2.47 transforma-se na seguinte:

( )CR,cc

CRCR

cc IE

Myy

AE

N

⋅⋅−+

⋅=ε ( 2.50)

e, pretendendo-se calcular as tensões no betão:

( )CR,c

CRCR

ccc

I

Myy

A

NE ⋅−+=⋅= εσ ( 2.51)

O momento fletor que dá origem à fissuração da secção de betão, Mr, associado a um determinado

esforço axial, N, negativo se de compressão, é obtido pela seguinte expressão:

CRr,CRr yNMM ⋅+= ( 2.52)

onde, MCR,r é o momento fletor no centro de rigidez para o início da fendilhação, e é obtido pela

equação 2.51 fazendo σc = fct (resistência à tração do betão):

−⋅

−=

cct

CR

CR,cr,CR

A

Nf

yh

IM

2

( 2.53)

Na expressão 2.53, h/2 − yCR é a distância ao CR da fibra de betão mais tracionada.

O valor da tensão de tração a partir da qual ocorre a fendilhação é fct = λ1.fctm, em que fctm é o valor

médio da tensão de rotura do betão à tração e λ1 é um fator de eventual redução dessa resistência à

tração, associado ao modelo de comportamento do betão à tração (Figueiras, 1983; Póvoas, 1991).

A posição do eixo neutro (en), relativamente ao centro geométrico da secção de betão, é obtida

tomando ε = 0 na equação 2.50:

c

CR,c

CRCRen

A

I

M

Nyy ⋅−= ( 2.54)

No caso particular da assimetria conferida pelas armaduras ser nula ou relativamente pequena, obtem-se yCR ≅ 0 e

CR,cCG,cc III ≅≅ , resultando a seguinte expressão para determinação do

momento de fendilhação:

−⋅⋅=

cct

cr

A

Nf

h

IM 2 ( 2.55)


36

A posição do eixo neutro, também, para este caso particular (yCR ≅ 0), seria:

c

,cen

A

I

M

Ny ⋅−= ( 2.56)

No caso geral traduzido pela equação 2.54, facilmente se verifica que em flexão simples (N = 0) o

centro de rigidez coincide com o eixo neutro: yen = yCR.

Admitindo comportamento elástico linear (sem fendilhação), a curvatura do elemento estrutural,

para um binómio de esforços M-N atuante no centro geométrico de uma secção de betão,

facilmente relacionável com o binómio MCR-N, é dada por:

( )I

CR

EI

M

r=1

( 2.57)

Como foi indicado na expressão 2.49, a rigidez à flexão no Estado I, (EI)I, é constante e apenas

depende das percentagens de armaduras, das suas posições na secção e, naturalmente, do tipo de

aço e de betão:

( ) CR,ccCR

I IE

r

MEI ⋅=

∂

∂=1

( 2.58)

A partir da rigidez elástica definida pela igualdade 2.58, define-se como módulo de

deformabilidade equivalente, Eeq, a seguinte relação:

( )0I

EIE I

eq = ( 2.59)

onde I0 é a o momento de inércia da secção de betão, ou seja, como se não existissem armaduras de

aço. Para a secção retangular é I0 = b·h3/12.

Comparando o módulo de deformabilidade equivalente, considerando o efeito da existência das

armaduras de aço, com o módulo de deformabilidade do betão, obtém-se o fator ganho de rigidez:

%E

E

c

eq 1001 ⋅

−=β ( 2.60)

o que permite avaliar o contributo da área das armaduras de aço para a rigidez elástica inicial.

O conceito de módulo de deformabilidade equivalente vai ser utilizado no modelo numérico

descrito no Capítulo 3, na comunicação entre a análise geotécnica e a análise estrutural da cortina

de contenção em betão armado.


37

2.6.3. Secção de betão fendilhada sem resistência à tração (Estado II)

Na Figura 2.11 representa-se uma secção retangular de betão armado, fendilhada e sem resistência

à tração. Na mesma figura, para além das dimensões da secção e do posicionamento das armaduras,

está representado o eixo neutro (e.n.), de ordenada yen, e ainda a posição do centro de rigidez (CR),

de ordenada yCR. O eixo neutro permite identificar a zona comprimida da secção de betão com

altura X.

Como neste estado o betão está fendilhado sem qualquer resistência à tração e o aço não está

plastificado, o centro de rigidez encontra-se deslocado para a zona comprimida do betão,

dependendo, todavia, das áreas das duas armaduras (tração e compressão).

Na parte direita da Figura 2.11 estão indicadas as excentricidades do esforço axial reportado ao

centro de pressões (CP): es é a excentricidade relativamente à armadura de tração; e é a

excentricidade em relação ao centro geométrico da secção de betão. O centro de pressões de uma

secção transversal de um elemento estrutural submetido a flexão composta é o ponto do plano que

contém essa secção onde, se o esforço axial aí for aplicado, gera esforços equivalentes aos que

atuam no CG da secção (M e N), podendo esse ponto estar localizado no interior, no contorno ou no

exterior da secção (Dias da Silva, 2013).

Figura 2.11 – Estado II: secção fendilhada sem resistência à tração e armaduras em regime elástico.

Para facilitar o equacionamento do problema e a sua resolução é corrente a transferência dos

esforços para a posição da armadura tracionada, As. O momento fletor transferido, Ms, é dado pela

seguinte expressão:

−⋅−= ah

NMM s 2 ( 2.61)

Os esforços equilibrados pelas forças internas que resultam das tensões instaladas no betão e no aço

(tracionado e comprimido) dão origem às seguintes expressões:

CP

yen

CG

yCR

Fsc

x

Fst

y

N

CR

M s

εc c

h

ε sc

Fcc

εc t e

N

ε s tAs

es

X

e.n.

σ c c

a

a'

b

M

N

A's

d


38

( )adFX

dFM scccs ′−⋅−

−⋅−=3

( 2.62)

e

ccscst FFFN ++= ( 2.63)

onde Fst, Fsc e Fsc são as forças resultantes dos diagramas das tensões, como descrito a propósito da

Figura 2.10.

Para os diferentes materiais, relacionando as mencionadas forças com as tensões e áreas, e ainda as

tensões com as extensões, as expressões 2.62 e 2.63 dão origem às seguintes igualdades:

( )adAEX

dXb

EM sscscccs ′−⋅′⋅⋅−

−⋅⋅⋅⋅−= εε32

( 2.64)

e

2

XbEAEAEN cccsscsssts

⋅⋅⋅−′⋅⋅−⋅⋅= εεε ( 2.65)

Do diagrama de extensões, representado na Figura 2.11, podem obter-se várias relações entre a

curvatura e as extensões:

XdaXXr

stsccc

−=

′−−=−= εεε1 ( 2.66)

A excentricidade do esforço axial relativamente à posição da armadura de tração é:

N

Me s

s = ( 2.67)

e a posição relativa do eixo neutro vale:

d

X=α ( 2.68)

Com as relações definidas nas igualdades 2.66, a associação das expressões 2.64 e 2.65 dá origem a

um polinómio do 3º grau em α, podendo ser resolvido recorrendo ao método matemático de

Cardano (Anexo A), ou por um processo numérico iterativo. A expressão em forma de fração é a

seguinte:


39

( )

′−⋅

′−⋅′+

−⋅

′−⋅′−−⋅⋅+−

=⋅=

d

a

d

a.

d

a

M

dN

e

d

e

e

ss 13

12

12

2

2

αρααα

αραραα

( 2.69)

É importante realçar que a solução determinada pela expressão anterior depende da relação entre os

esforços (N e Ms) e não diretamente do valor de cada um (Félix, 2011). Para o caso particular de

flexão simples (N = 0), a expressão 2.69 converte-se numa equação do 2º grau em α, podendo este

ser facilmente determinado pela fórmula resolvente.

Depois de conhecido o valor de α, a posição do centro de rigidez pode ser obtida pela expressão:

( ) d.

d

h

d

a

d

a

d

h

d

h

ye

e

CR ⋅′++

⋅−′

⋅′+

−⋅⋅⋅+

−⋅=

ρραα

ρρααα2

1

2

1

2 ( 2.70)

O momento de inércia da secção homogeneizada em betão (betão comprimido e armaduras),

relativamente ao eixo que contém o centro de rigidez e é paralelo ao eixo neutro, é dado pela

expressão:

+′

−⋅⋅′+

−−⋅⋅⋅+

+

−+⋅⋅+⋅⋅=

22

233

,

2

1

2

1

2

1

2

1

12

d

y

d

a

d

h

d

y

d

a

d

h

d

y

d

hdbI

CRCRe

CRCRc

ρρα

ααα

( 2.71)

De modo semelhante à equação 2.58 para o Estado I, com o momento de inércia definido pela

expressão 2.71, a rigidez à flexão para o Estado II, ou seja, a rigidez da secção fendilhada sem

qualquer resistência à tração, pode ser obtida pela seguinte igualdade:

( ) CR,ccCR

II IE

r

MEI ⋅=

∂

∂=1

( 2.72)

Com o valor de α, obtém-se X pela equação 2.68, e a ordenada da posição do eixo neutro é:

dd

hhXyen ⋅

⋅−=−=2

1

2α ( 2.73)


40

2.6.4. Materiais em regime plástico (Estado III)

O Estado III corresponde à cedência do aço da armadura de tração e plastificação com eventual

endurecimento até se atingir o estado limite último. Havendo plastificação com endurecimento da

armadura tracionada, haverá ainda rigidez à flexão enquanto não se atingir a extensão limite do aço

ou a extensão limite do betão comprimido (rotura).

Este estado será novamente referido nos exemplos de aplicação do modelo numérico proposto, nos

casos em que se provoca a rotura estrutural da cortina de contenção, com formação de rótula

plástica, como consequência do aumento da profundidade escavada para além da prevista.

2.7. MODELO DE COMPORTAMENTO UNIAXIAL PARA BETÃO ARMADO

FENDILHADO COM RETENÇÃO DE TRAÇÕES (TENSION STIFFENING)

Após o surgimento das primeiras fissuras, para um determinado valor do momento fletor Mr (e

esforço axial associado), a abertura de uma fissura tende a estabilizar devido à existência de

armadura nessa zona que absorve o esforço de tração. Por sua vez, o betão (já fissurado) é capaz de

transferir as tensões de tração entre duas fissuras consecutivas pela existência da armadura de

tração, conferindo uma certa rigidez ou endurecimento adicional.

Na bibliografia onde se abordam os problemas da fissuração do betão é correntemente utilizada a

designação inglesa tension stiffening para caracterizar a contribuição do betão entre as fissuras,

estando este fenómeno relacionado com a percentagem de armadura, o diâmetro dos varões e o

espaçamento entre fissuras.

A lei constitutiva de comportamento uniaxial do betão (armado) com a consideração de

endurecimento por retenção de tensões de tração (tension stiffening) é adequada para a simulação

do comportamento do betão em elementos de betão armado onde se considera apenas o

comportamento uniaxial do betão, ou seja, considerando apenas as tensões e extensões normais à

secção transversal do elemento (Bazant e Oh, 1983; Figueiras, 1983; Póvoas, 1991; Faria, 1994;

Ferraz, 2010).

Na Figura 2.12 está representado o modelo macromecânico de fendas distribuídas, adotado para o

comportamento do betão (armado) em tração, sujeito a retenção de trações, conforme o já

referenciado a propósito da Figura 2.8 (Figueiras, 1983; Póvoas, 1991; Favre et al., 1997).

Enquanto as tensões de trações são inferiores ao limite de resistência à tração do betão, definido

pelo ponto A na Figura 2.12, admite-se que o betão possui um comportamento elástico linear e,

portanto, ainda não ocorreu qualquer fendilhação. Qualquer carga ou descarga ocorre segundo a

linha OA e pode passar para o ramo das compressões. A máxima tensão de tração considerada


41

neste modelo é fct = fctm. Neste ramo do comportamento à tração, onde se admite que não há

fendilhação, os incrementos de tensão no betão, ∆σct, são obtidos por:

ccct E ε∆σ ⋅=Δ ( 2.74)

Na equação anterior, ∆εc é o incremento de extensão de tração.

Figura 2.12 – Lei constitutiva tensão-extensão com retenção de trações no

betão (armado) fendilhado, tension stiffening.

Atingindo-se o valor máximo de trações, ponto A, há uma irreversível queda brusca da resistência

do betão por amolecimento até se atingir o ponto B. Essa perda de resistência ocorre pelo

surgimento de microfissuras devido à rotura das ligações cimentícias entre os agregados. Nestas

condições atinge-se uma resistência reduzida à tração de λ1.fctm. Vários autores indicam o valor

λ1 = 2/3 como representativo para este comportamento (Figueiras, 1983; Póvoas, 1991).

A extensão de tração correspondente aos pontos A e B, indicada na Figura 2.12, é definida por:

c

ctmcr

E

f=ε ( 2.75)

onde, como foi já mencionado, fctm é o valor médio da tensão de rotura do betão à tração e Ec é o

valor do módulo de elasticidade secante do betão (Ec = Ecm).

A mudança brusca entre o ponto A e o ponto B acarreta uma certa instabilidade numérica na

resolução dos problemas. Simplificadamente, esta instabilidade numérica é normalmente superada

pela não consideração da quebra brusca de resistência, ou seja, admitindo o ponto B (Figura 2.12)

coincidente com o ponto A ou, ainda, admitindo a resistência máxima à tração de apenas λ1· fctm,

correspondente ao ponto B’ (A ≡ B ≡ B’). Nestas condições, a evolução da resistência à tração com

* εc

D

εc r *εc r m εc r m

F

C

Ec λ3.Ec

(Trações)

f ctm

O

B'

(Compressões)

Linear não elásticoB

λ2.Ec

σ c

A

λ1.f ctm

εc r

Descarga-recarga

E

Elástico linear


42

o aumento da fendilhação passa a ser definida pelo alinhamento B’E, e a extensão correspondente à

resistência máxima à tração passa a ser definida por:

c

ctmcr

E

f⋅= 1λε ( 2.76)

A partir do ponto B (ou B’, na simplificação), qualquer aumento da extensão de tração implica uma

diminuição da tensão de tração resistente, dada pelo percurso até ao ponto E, com comportamento

linear mas não elástico.

Resultados experimentais mostram que a eliminação do mecanismo de aderência só ocorre com o

início da plastificação do aço da armadura (Goto, 1971). Assim, a extensão εcrm deve ser, em

serviço, inferior à extensão do limite elástico do aço (≤ fyk/Es), como sugerem Figueiras (1983) e

Póvoas (1991), ou seja, cerca de 2,0 e 2,5‰, para os aços com o valor característico da tensão de

cedência, fyk, de 400 e 500 MPa, respetivamente.

Se se definir o declive do ramo linear não elástico como λ2·Ec, a tensão de tração está relacionada

com a extensão, εc, pela seguinte expressão:

( ) crmccrcrccctmct Ef εεεεελλσ ≤≤−⋅⋅−⋅= 21 ( 2.77)

Neste ramo de comportamento do betão armado fendilhado, para um incremento de extensão

(positivo), ∆εc, irá corresponder um incremento negativo (redução) da tensão resistente de tração,

∆σct, de acordo com a seguinte expressão:

ccct E ελσ ΔΔ 2 ⋅⋅−= ( 2.78)

Se numa determinada fase deste comportamento (ponto C) ocorrer uma inversão, isto é, uma

tendência de fecho das fissuras, a descarga ocorre segundo o trajeto CD, com possível continuidade

até à origem. Mesmo que a descarga termine num ponto genérico D, a recarga ocorre de forma

elástica linear até atingir de novo o ponto de partida, C. A característica elástica desse

comportamento, λ3·Ec, com 0 ≤ λ3 < 1, dependerá da posição do ponto C (início da descarga), e é

obtida pela seguinte expressão:

crmcrcr

cr

crmcc EE εεε

εελλ ≤≤

−⋅⋅=⋅ ∗

∗ 123 ( 2.79)

em que ∗crε corresponde à extensão máxima atingida antes da descarga (ponto C), ou seja, quando

se inicia o fecho das fissuras. Como foi referido, esta extensão é de novo atingida quando o

processo se inverte (de D para C) por aumento da extensão de tração.

O valor λ3·Ec identifica o módulo de elasticidade fictício que modela, de forma aproximada, a

redução de rigidez causada pela progressiva deterioração da aderência entre a armadura e o betão


43

envolvente, consequência do aumento da extensão normal ao plano da fissura. A tensão resistente à

tração para o ramo CD (ou DC) é obtida por:

∗≤≤⋅⋅= crcccct E εεελσ 03 ( 2.80)

Neste ramo de comportamento do betão armado fendilhado, para um incremento de extensão

(positivo ou negativo), ∆εc, irá corresponder um incremento (aumento ou redução, respetivamente)

da tensão resistente de tração, ∆σct, de acordo com a seguinte expressão:

ccct E ελσ ΔΔ 3 ⋅⋅= ( 2.81)

Atingindo-se a extensão máxima em que há resistência à tração por retenção de tensões, εcrm, a

extensão de tração pode continuar a aumentar até um valor ��∗ , correspondente à extensão limite

do aço, sem que, contudo, haja qualquer resistência à tração. Para este caso, que corresponde ao

ramo EF do modelo de comportamento definido na Figura 2.12, ou para uma eventual descarga que

poderá ir até à origem, as condições estabelecidas são:

∗≤≤= crmcct εεσ 00 ( 2.82)

A utilização deste modelo de comportamento implica o recurso a métodos incrementais e iterativos

para se estabelecerem as condições de equilíbrio. Para cada iteração é necessário identificar se as

tensões na iteração anterior são de tração ou compressão, para que, em função do sinal, seja

identificada a lei do comportamento para essa nova iteração.

O comportamento global de uma secção de betão armado, sujeita a esforços que provocam a

fendilhação do betão, em flexão composta, é habitualmente representado pela relação entre o

momento fletor e a curvatura, como se mostra na Figura 2.13. Essa relação é designada por

M-N-1/r por depender também da evolução do esforço axial, e pode ser dividida em três zonas:

- pré-fendilhação, com comportamento elástico linear, dentro do designado Estado I;

- desenvolvimento da fendilhação, ou seja, estado intermédio evolutivo entre o Estado I e o

Estado II (comportamento da secção sem qualquer resistência à tração do betão, e sem

plastificação do aço), que se pode designar por Estado I-II, até atingir uma estabilização da

fendilhação;

- o estado de cedência pela plastificação da armadura de tração, e que converge para o

Estado III (cedência por plastificação da armadura de tração, sem qualquer resistência à

tração do betão) até atingir a rotura.

A representação da Figura 2.13 foi obtida da análise de uma secção retangular em betão armado,

duplamente armada, em que se admitiu instalado um esforço axial constante de N = -200 kN, a

resistência à tração máxima, fct = fctm (λ1 = 1), e a extensão limite de retenção de tensões

εcrm = 1,0 ‰ de modo a melhor evidenciar a transição entre o Estado I e o Estado II. No Quadro 2.1

indicam-se os parâmetros utilizados na análise da referida secção de betão armado.


44

Quadro 2.1 – Características da secção de betão armado do exemplo apresentado.

b h As A’s a a ’ fck fctm fyk Ec Es λ1 k εcrm (m) (m) (cm2) (cm2) (cm) (cm) (MPa) (MPa) (MPa) (GPa) (GPa) - (%) (‰)

1,00 0,80 64,3 25,1 8,6 8,0 30 2,9 400 33 200 1 5 1,0

Recorrendo às equações anteriormente apresentadas para definição da rigidez à flexão para o

Estado I, obtiveram-se os seguintes valores:

(EI)I = 1584 MNm2

YCR = 0,012 m

Eeq = 37,125 GPa

Mr = 386 kNm (com 1/r = 0,245 km-1)

yen = 0,042 m (para M = Mr)

β = 12,5 %

O valor do último parâmetro indicado, β, refere-se ao ganho de rigidez elástica obtido pela

consideração no cálculo das armaduras de tração e compressão, indicadas no Quadro 2.1. Para o

Estado II, pela aplicação das expressões anteriormente indicadas, obteve-se o valor da rigidez à

flexão: (EI)II = 434 MNm2.

Figura 2.13 – Curva característica momento-curvatura (M - N - 1/r).

Estado III

Plastificação do açocom endurecimento

E

(compressão) Mr

Estado ISecção não fendilhada

C

3

F

5

Cargas em serviço

Comportamentoelástico linear

1/r (km )O 4

Formação defendas

Estado IISecção fendilhada, semresistência à tração do betão

1500

N = 0

1000

500

B

N ≠ 0 (const.)

Fissuraçãoestabilizada

1

A

Μ(kNm)

-1

D

2000

2


45

Antes da fendilhação o betão é capaz de resistir a tensões de tração, próximas de 10% de fck, para

betões correntes. Na Figura 2.13 está representada, numa fase inicial, a relação linear da rigidez à

flexão correspondente ao comportamento elástico linear, até se atingir a resistência máxima à

tração (ponto A): Estado I, com a rigidez à flexão (EI)I.

Quando começam a surgir as primeiras fissuras, e no desenvolvimento das mesmas, o betão perde

progressivamente a sua capacidade de resistir às trações, sendo estas transferidas para a armadura,

com a inevitável diminuição da rigidez à flexão. Como se mostra na mencionada figura, a linha

característica do comportamento não linear M-N-1/r do modelo proposto tende para a respetiva

linha do Estado II quando a resistência à tração é praticamente nula.

Nesta representação M-N-1/r, a linha que caracteriza o Estado II pode apresentar uma variação

linear quando o esforço axial, N, é constante, ou uma variação curva (não representada) quando o

esforço axial é variável durante a solicitação a que a secção está sujeita. No caso particular da

flexão simples (N = 0), a reta que define o Estado II apresenta a ordenada na origem nula.

A evolução da relação M-N-1/r entre o Estado I e o Estado II (Estado I-II), assim como a evolução

após a cedência da armadura de tração, correspondente ao Estado III, foram obtidas pela aplicação

do método numérico descrito no Capítulo 3 para a análise não linear, designado por método das

fibras, como o proposto por Chen e Shoraka (1975). Por aplicação do referido método numérico

obteve-se a evolução da rigidez à flexão desde o estado inicial elástico até à cedência da armadura

de tração, correspondente ao Estado III com (EI)III ≅ 37 MNm2. Os valores de (EI)I e (EI)II obtidos

pelo método numérico foram semelhantes aos encontrados analiticamente.

Na Figura 2.14 representa-se a relação MCR-1/r associada à relação M-N-1/r da Figura 2.13,

identificando-se os diferentes estados e o modo como evolui a rigidez à flexão. Admitindo a

atuação de um momento fletor crescente e um esforço axial de compressão constante, a relação

M-N-1/r da Figura 2.13 evolui segundo OA, e na correspondente relação MCR-1/r da Figura 2.14,

evolui segundo OA’. O ponto A corresponde ao momento fletor de fendilhação, Mr, como ação, e o

ponto A’ corresponde ao mesmo estado mas com os esforços reportados ao CR.

Por analogia e correspondência com a da Figura 2.13, descreve-se a relação MCR-1/r representada

na Figura 2.14 e que traduz o comportamento da secção em análise:

- a partir do ponto A’ inicia-se o fenómeno de fendilhação com a consequente perda gradual

de rigidez (declive da tangente à curva); no ponto genérico B’ representa-se a tangente à

curva definindo a rigidez à flexão no estado correspondente a esse ponto;

- o ponto C’ representa o limite correspondente ao carregamento em serviço; a localização

deste ponto dependerá do valor limite da extensão em que se admite a existência de

resistência à tração pelo efeito tension stiffening, εcrm, e, naturalmente, do valor do

carregamento em serviço;

- o ponto D’ é um ponto genérico a partir do qual se poderá considerar que a fendilhação

estabilizou, apesar de poder ainda existir uma resistência à tração residual na zona junto ao

eixo neutro onde as extensões são relativamente pequenas; pode admitir-se que a tangente à


46

curva que traduz a relação MCR -1/r é, a partir desse ponto, praticamente paralela à reta

correspondente ao Estado II;

- entre o ponto C’ e o ponto D’ existe um ponto onde se verifica uma inflexão da concavidade

da linha que define a rigidez à flexão; este efeito é consequência de as fibras mais

tracionadas de betão perderem (anulação) a resistência à tração conferida pelo efeito tension

stiffening, ou seja, atingiram a extensão εcrm, e a fenda torna-se contínua para o interior da

secção; o braço das forças internas aumenta, conferindo um pequeno aumento da rigidez à

flexão com tendência para o valor definido pelo Estado II;

- o ponto E’ é alcançado quando se atinge o valor limite da extensão do aço em regime

elástico;

- entre os pontos E’ e F’ o aço encontra-se em regime plástico com eventual endurecimento; o

ponto F’ será o ponto correspondente ao estado limite último, por se atingir as extensões

limite do aço tracionado ou do betão comprimido.

Figura 2.14 – Relação MCR - 1/r.

Ainda a propósito da Figura 2.13 e da Figura 2.14, na verificação dos estados limites de utilização

(ELS) as tensões instaladas nos dois materiais são normalmente muito inferiores aos limites

plásticos. Nos exemplos demonstrativos, que se apresentam nos Capítulos 4, 5 e 6 ilustra-se este

facto.

Comportamentoelástico linear

1 3

C'

Estado III

5

500

O

MCR,r

A'

1/r (km )

D'

2

Cargas em serviço

(EI)III

2000

Formação defendas

Μ CR

(kNm)

Fissuraçãoestabilizada

F'

(EI)II

(EI)eq=

(EI)I

∂(1/r)

B'

Estado I ∂MCR

1000

E'

1500

-14

Estado II


47

Na Figura 2.15 mostra-se a variação da rigidez à flexão em função da curvatura da secção em betão

armado em análise, como exemplo. A rigidez inicial elástica do Estado I, (EI)I, rapidamente

diminui como consequência da fendilhação da secção. A rigidez atinge um valor mínimo

correspondente ao mencionado ponto de inflexão da curva da Figura 2.14, e evolui para uma

rigidez próxima da rigidez do Estado II, (EI)II. Imediatamente após a armadura de aço tracionado

entrar em cedência plástica, a rigidez reduz para um valor mínimo próximo da do Estado III, (EI)III.

Figura 2.15 – Variação da rigidez à flexão em função da curvatura: EI-1/r.

Na Figura 2.16 está representada a evolução da posição do centro de rigidez, CR, a variação da

posição do eixo neutro, yen, da secção em análise (com a altura h = 0,80 m no eixo das ordenadas),

em função do momento fletor (eixo das abcissas), correspondente à curva característica

momento-curvatura (M-N-1/r) indicada na Figura 2.13. A posição do eixo neutro mantém-se

constante até se iniciar a fendilhação (microfissuras), e, nesta fase, como já foi referido, as trações

no betão estão ainda em regime elástico (Estado I).

Iniciando-se a fendilhação, as fibras mais tracionadas perdem resistência e o eixo neutro sobe

reduzindo a zona comprimida. A partir de um determinado momento fletor, as fibras mais

tracionadas perdem resistência à tração, a altura das fendas aumenta, ao mesmo tempo que o eixo

neutro continua a subir de forma menos acentuada. Neste intervalo de variação do momento fletor,

a resistência à tração é, em grande parte, a que resulta da retenção de tensões de tração entre fendas

(tension stiffening).

A evolução deste comportamento tem uma nova configuração quando o aço da armadura

tracionada passa para o regime plástico com endurecimento. As tensões resistentes à tração

Estado II

Estado III

1/r (km )42

800

O 6

Estado I1600

ΕΙ(MNm2)

-1531

1200

400


48

(elásticas e por retenção) são agora relativamente pequenas e, como já foi referido, a condição de

equilíbrio interno é alterada pelas elevadas tensões de tração no aço e as de compressão no betão (e

no aço comprimido da face oposta), com a consequente subida do eixo neutro.

Figura 2.16 – Variação da posição do centro de rigidez (yCR), da posição do eixo neutro (yen) e

identificação da zona tracionada (elástica e de retenção de trações), em função do momento fletor.

2.8. MÉTODOS APROXIMADOS DE ESTIMATIVA DA RIGIDEZ À FLEXÃO COM

FENDILHAÇÃO

Neste item pretende-se fazer uma referência a métodos aproximados (empíricos) para estimativa da

rigidez à flexão de elementos estruturais em fendilhação. Estes métodos foram utilizados por vários

autores para a análise não linear de estruturas em betão armado, dada a sua simplicidade,

nomeadamente Kaklauskas e Ghaboussi (2001), Elbadry et al (2003), Ng et al. (2010), Barros et al.

(2016), entre outros.

No campo da Geotecnia, também vários autores utilizaram estes métodos aproximados na análise

não linear do comportamento de cortinas de contenção em betão armado para suporte de

b

σ c

CR

0,20

2000

yen

1000

-0,20

yCR

y

σ c

CR

h

σ c

x

Estado I

σ c

500

CR

1500

CGh

CR

0,40

y(m)

-0,40

M2500(kNm)

Estado I-II

Compressões

0,00

Aberturade fendas

Fendilhação comretenção de tensões

de tração

Traçãoelástica

(Estado III)


49

escavações profundas, especialmente Wong et al. (1996), Poh et al. (1997), Ooi e Ramsey (2003),

Wong e Goh (2009).

2.8.1. Método de Branson

Branson (1965, 1977) propôs um método empírico para estimativa da rigidez à flexão de um

elemento estrutural sujeito à flexão simples. Segundo o autor, o momento de inércia efetivo (ou

equivalente) de uma secção retangular, após o início da fendilhação, ou seja, para M > Mr, varia em

função da evolução da fendilhação e pode ser estimado pela seguinte expressão:

III 1 IM

MI

M

MI

mr

mr

eq ⋅

−+⋅

= ( 2.83)

onde, II e III são os momentos de inércia da secção correspondentes ao Estado I e Estado II,

respetivamente, considerando apenas o contributo do betão comprimido; Mr é o momento de

fendilhação e M é o momento atuante em condições de carregamento em serviço. O expoente m foi

considerado igual a 4 para atender, segundo o autor, ao efeito tension stiffening. O momento de

inércia assim calculado não deve ser superior a II.

A expressão 2.83 é equivalente a:

( )m

req

M

MIIII

⋅−+= IIIII ( 2.84)

o que mostra que, quando M é muito elevado comparativamente com Mr, o momento de inércia

equivalente tende para o valor do momento de inércia correspondente ao Estado II.

O momento fletor de fendilhação, Mr, pode ser calculado pela seguinte expressão aproximada:

ctI

r fh

IM ⋅⋅= 2 ( 2.85)

semelhante à expressão 2.55, mas considerando N = 0 e sem o contributo das armaduras na

quantificação do momento de inércia no estado de comportamento elástico (II).

O incremento da curvatura associado a uma secção fendilhada é obtido por:

eqc IE

M

r ⋅= Δ1

Δ ( 2.86)


50

2.8.2. Método proposto pelo American Concrete Institute (ACI)

O ACI 318M-11 (2008) preconiza a aplicação da equação 2.83 (ou 2.84) proposta por Branson mas

com m = 3:

II

3

I

3

1 IM

MI

M

MI rr

eq ⋅

−+⋅

= ( 2.87)

2.8.3. Método proposto pelo Comité Euro-International du Béton (CEB-FIP)

O CEB-FIP Model Code 90 define a relação momento-curvatura para o estado de fendilhação com

o efeito tension stiffening pela seguinte expressão:

⋅⋅

−

−

=M

M

rrrr

rb

rr

βI,II,II

1111 ( 2.88)

com Mr obtido pela expressão 2.55 onde se considera o efeito das armaduras na determinação da

área e no momentos de inércia (homogeneização). As curvaturas (1/r)I,r e (1/r)II,r correspondem à

atuação dos esforços Mr e N para os respetivos estados. O coeficiente βb depende da aderência das

armaduras e da duração das ações:

21 βββ ⋅=b ( 2.89)

em que, β1 = 0,5 ou 1, para varões lisos ou de alta aderência, respetivamente; e β2 = 0,8 ou 0,5, para

ações de curta e longa duração, respetivamente.

2.8.4. Método proposto pelo Eurocódigo 2-Projeto de Estruturas de Betão (EC2)

O EC2 (NP EN 1992-1-1 2010) permite também a consideração de um comportamento fendilhado,

definido por um estado intermédio entre o Estado I e o Estado II, pela utilização da seguinte

expressão:

( )III

11

11

⋅−+

⋅=rrr

ζζ ( 2.90)

onde

2

1

⋅−=

s

sr

σσβζ ( 2.91)


51

é o coeficiente de distribuição (que atende à contribuição do betão tracionado entre fendas). Para a

secção não fendilhada ζ = 0; σs é a tensão na armadura de tração admitindo a secção fendilhada e

σsr é a tensão na armadura de tração calculada na hipótese de secção fendilhada sujeita às

condições de carregamento que provocam o início da fendilhação. O coeficiente β tem em conta a

influência na extensão média da duração do carregamento ou repetição do carregamento, e vale 0,5

para carregamentos de longa duração e 1 para os de curta duração.

No caso de se considerar apenas a flexão simples, o coeficiente de distribuição pode ser substituído

pela seguinte igualdade:

2

1

⋅−=M

M rβζ ( 2.92)

2.9. ABERTURA DE FENDAS

O aparecimento de fendas é quase inevitável em estruturas correntes de betão, sujeitas ou não a

esforços de flexão. São várias as razões para limitar a abertura de fendas a valores relativamente

pequenos:

- evitar a possível corrosão das armaduras devido à penetração de agentes agressivos;

- evitar ou limitar a permeabilidade através das fendas;

- evitar aparência desagradável em faces à vista.

Na Figura 2.17a representa-se uma altura elementar de uma cortina de contenção, ∆z, relativamente

pequena, onde se pode admitir que os esforços (flexão composta) são constantes, e que originam

fendas por tração do betão. Na mesma figura está indicada a altura tracionada, ht, correspondente à

zona de potencial fendilhação, assim como a indicação do espaçamento máximo entre fendas, sr,max.

Na Figura 2.17b representa-se a secção (em planta) correspondente a uma faixa longitudinal da

cortina com b = 1,00 m e altura h, e o diagrama das extensões no betão com a referência aos

valores máximos de tração e de compressão, εct e εcc, respetivamente. Nas condições indicadas na

Figura 2.17, Figueiras (1983) refere que o espaçamento máximo entre fendas é da ordem de uma a

duas vezes a altura tracionada.

Considerando constantes os esforços atuantes na parte elementar de um elemento estrutural

representada na Figura 2.17a, pode admitir-se, sem grande erro, que a referida altura ht é uniforme.

Todavia, tal não acontece nos casos correntes de cortinas de contenção onde os esforços variam

grandemente em profundidade e, assim, esta representação é uma mera simplificação do que

efetivamente ocorre. De facto, os momentos fletores e os esforços axiais são variáveis em função

da profundidade z, e são muito variáveis em função do faseamento construtivo. Dito isto,

conclui-se que a abertura das fendas, assim como o desenvolvimento e o espaçamento entre elas,

apenas poderão ser considerados parâmetros de valores médios dentro de determinado intervalo

elementar da profundidade, ∆z, e ainda para uma determinada fase de construção.


52

(a) (b)

Figura 2.17 – Desenvolvimento da fendilhação num elemento estrutural sujeito à flexão

composta: a) parte elementar da altura da cortina; b) secção transversal fendilhada.

As cortinas de contenção estão sujeitas a esforços axiais de compressão devido ao peso próprio,

devido a cargas transmitidas por eventuais ancoragens inclinadas, por superestruturas com ligação

à cortina e, ainda, resultado das tensões tangenciais geradas entre a cortina e o solo, e que variam

na progressão do faseamento construtivo. Assim, a variação dos momentos fletores e esforços

axiais tem como consequência uma permanente evolução das condições de fendilhação (Figura

2.18).

Do que foi referido convém destacar que a evolução crescente dos esforços axiais pode minimizar a

tendência de fendilhação. Por outro lado, os momentos fletores podem aumentar, diminuir ou até

inverterem o seu sinal, passando uma face de uma determinada secção de comprimida para

tracionada, ou vice-versa.

A Figura 2.18 mostra um caso genérico de uma parte de uma cortina de contenção em betão

armado onde se verifica a transição entre o Estado I e o e Estado II, ou seja, de uma secção não

fendilhada com comportamento elástico até uma secção fendilhada sem resistência à tração,

respetivamente.

CG

zy

(−)

he.

n.ht

(−)N

εc c

∆z

N

A's

ht

Sr,max = (1 a 2)⋅ht

As

b = 1,00 m

e.n.

x

εc t

h

M

M

y


53

Os esforços são variáveis em profundidade e, consequentemente, passa-se de uma zona sem

qualquer fendilhação para uma outra com a fendilhação em evolução, seguida de uma terceira zona

onde a fendilhação atingiu quase o seu máximo. Este efeito pode ocorrer em várias secções onde

atuam diferentes momentos fletores para a mesma fase, ou numa única secção pela variação do

momento fletor durante o faseamento construtivo. O eixo neutro varia em função dos mencionados

estados, assim como a profundidade da fendilhação e a respetiva distância entre fendas.

Figura 2.18 – Repartição das tensões para os diferentes estados de fendilhação.

O Estado I e o Estado II podem ser definidos analiticamente em termos de condições de equilíbrio

com os esforços transmitidos. Todavia, o caso de transição entre estes dois estados requer uma

análise incremental e iterativa de modo a se atingirem as condições de equilíbrio para o

comportamento não linear.

(−)

(−)

As

σ c c

Fcc

Fst

e.n.

Estado ISecção não fendilhada

N1

II

N2

Fst

M2

Fsc

I

I

Estado I-IIEstado intermédio daevolução da fendilhação

II

I

σ c c

I

σ c c

σ c t

σ c t

Fsc

Fsc

Estado IISecção fendilhação semresistência à tração

Fst

II

Fct

I-II

I

Fcc

I-II

I

A's

II

e.n.

Fcc

I-III-II

I-II

M1

I-IIFct


54

No Capítulo 3 descreve-se a metodologia utilizada para a análise numérica da interação entre o

problema geotécnico e o problema estrutural, onde se aplica o modelo das fibras para avaliação do

comportamento não linear das secções de betão armado.

O Estado II é muitas vezes designado por “puro” quando corresponde à situação de total

fendilhação com o equilíbrio estabelecido entre as tensões internas e os esforços externos, e a

secção de betão sem qualquer resistência a trações. Todavia, no modelo aqui considerado, tal

situação nunca chega a ser completamente atingida, uma vez que há sempre uma resistência à

tração para as pequenas deformações na vizinhança do eixo neutro. Essa resistência à tração,

mesmo que reduzida, é constituída por uma parcela elástica, para extensões que nunca atingiram

εcr, e não elásticas (com variação linear), para as extensões superiores.

A Figura 2.19 mostra a relação entre as tensões e extensões no estado fendilhado, Estado I-II, com

abertura de fenda numa extensão ht, resultado do exemplo utilizado na exposição anterior. Na

mesma figura estão representadas as tensões de compressão, assim como as tensões de tração

elásticas e as que resultam do efeito tension stiffening.

Figura 2.19 – Relação entre as tensões e extensões no estado fendilhado.

σ c = fct

ht

ε s c

ε = εc r m

ε0ε s t

As

ε = εc r

A's

y

εc t

CG

εc c

σ c c

h


55

Após a fendilhação de um elemento de betão armado, deixa de existir compatibilidade de

deformações entre a armadura e o betão envolvente (Figueiras, 1983). A acumulação das extensões

diferenciais entre os dois materiais dá origem a um deslizamento relativo. O valor da abertura da

fenda é obtido pela soma dos deslizamentos de ambos os lados da fenda.

De acordo com o EC2 (NP EN 1992-1-1 2010), a abertura (largura) de uma fenda, designada como

característica, wk, pode ser calculada pela seguinte expressão:

srmrk sw ε⋅= max, ( 2.93)

onde, sr,max é a distância máxima entre fendas e εsrm é a extensão média relativa entre o aço e o

betão, obtida pela igualdade:

cmsmsrm εεε −= ( 2.94)

em que, εsm é a extensão média da armadura para a combinação de ações considerada, atendendo à

contribuição do betão tracionado, e εcm é a extensão média no betão entre fendas.

A extensão média relativa entre os dois materiais, εsrm, pode ser determinada pela expressão:

( )s

sefe

ef

efctts

ssrm

E

fk

E

σραρ

σε ⋅≥

⋅+⋅⋅−= 6,01

1 , ( 2.95)

em que, σs é a tensão na armadura de tração admitindo a secção fendilhada; kt é um coeficiente que

depende da duração do carregamento (0,6 e 0,4, para ações de curta e longa duração,

respetivamente); fct,ef é o valor médio da resistência do betão à tração à data em que se prevê que se

possam formar as primeiras fendas, isto é, fct,ef = fctm ou um valor inferior quando se prevê uma

fendilhação antes dos 28 dias: fct,ef = fctm(t); αe é o coeficiente de homogeneização definido no

item 2.5.1.

A percentagem efetiva de armadura de tração é dada pela seguinte relação:

ef,c

sef

A

A=ρ ( 2.96)

em que Ac,ef é a área da secção efetiva de betão tracionado que envolve a armadura (tracionada),

definida pela altura hc,ef:

( ) ( )

−⋅−⋅=

2;

3

1;5,2Min,

hXhdhh efc ( 2.97)

A distância máxima entre fendas pode ser calculada pela expressão:


56

ef

smax,r kkkcks

ρφ⋅⋅⋅+⋅= 4213 ( 2.98)

onde: c é o recobrimento da armadura de tração; k1 é um coeficiente que atende à aderência da

armadura que vale 0,8 para varões de alta aderência e 1,6 para varões lisos; k3 e k4 são coeficientes

que valem, respetivamente, 3,4 e 0,425.

O coeficiente k2 é um coeficiente relacionado com a distribuição das extensões e vale 0,5 para a

flexão e 1,0 para a tração simples. Nos casos de tração excêntrica ou para zonas localizadas, deverá

utilizar-se um valor intermédio calculado pela expressão:

1

212 2 ε

εε⋅+=k ( 2.99)

em que, como representado na Figura 2.20, ε1 é a maior e ε2 a menor extensão de tração nas fibras

extremas da secção considerada fendilhada, na delimitação da área efetiva.

Figura 2.20 – Extensão na face exterior e na interior da área efetiva.

No caso de existirem varões de diferentes diâmetros numa secção, deverá utilizar-se um diâmetro

equivalente obtido pela seguinte expressão:

=

=

⋅

⋅

=φ

φ

φ

φ

φn

i

i,si

n

i

i,si

eq,s

n

n

1

1

2

( 2.100)

onde ni é o números de varões φs,i presentes na secção, de um total de nφ varões.

CGe.n.

ε1

A's

M

b

ε2

N

σ c c

hc,ef

y

hx

As


57

Podem ser agrupados varões de diferentes diâmetros desde que a relação entre diâmetros não

exceda 1,7. O agrupamento de varões é considerado como um varão equivalente com área de

secção e centro de gravidade iguais aos do agrupamento. O diâmetro equivalente desse varão é:

mm55

1

2,, ≤=

=

φ

φφn

i

iseqs ( 2.101)

onde nφ é o número de varões do agrupamento limitado a, no máximo, 4 para varões verticais

comprimidos e 2 varões numa emenda por sobreposição, e 3 nos restantes casos (armaduras

tracionadas). Caso seja considerado o agrupamento de varões, a distância livre entre os

agrupamentos, assim como a distância de recobrimento, são medidas a partir do contorno exterior

dos mesmos. O EC2 (2010) preconiza que quando dois varões em contacto entre si estão dispostos

um sobre o outro, e para boas condições de aderência, não é necessário considerar esses varões

como um agrupamento.

2.10. ARMADURA MÍNIMA PARA CONTROLO DA FENDILHAÇÃO

Neste tipo de estruturas, é frequente o surgimento de dois tipos principais de fissuras: as

longitudinais segundo o plano de flexão, e que resultam de compressões excessivas nesse plano; e

as fendas transversais que resultam das trações por flexão. As fendas longitudinais poderão ser

consequência dos elevados níveis de tensões, para a combinação característica de ações, que

excedem um determinado valor crítico. A durabilidade estrutural será afetada severamente se não

se tomarem medidas de controlo.

A tensão de compressão no betão, principalmente nas faces em contacto com meio agressivo

(NP EN 206-1), deve ser limitada de modo a evitar o surgimento de fendas longitudinais,

microfissuras ou níveis de fluência elevados, que podem provocar efeitos adversos no

comportamento estrutural (EC2, 2010). Da mesma forma, é aconselhável limitar as trações nas

armaduras de modo a evitar deformações não elásticas, assim como níveis de deformação e (ou)

fendilhação inaceitáveis.

Os varões das armaduras devem ser cintados de modo a garantir uma perfeita transferência para o

betão das forças de aderência, evitando-se assim a fendilhação longitudinal. Em casos de grande

recobrimento poderá ser necessário utilizar armaduras de pele para controlar a fendilhação ou para

garantir uma resistência adequada ao destacamento desse betão de recobrimento.

Por razões de corrosão das armaduras, a abertura de fendas deve ser limitada em função da classe

de exposição do meio. O EC2 (2010) fornece indicações sobre os valores recomendados de wmax em

função das diferentes classes de exposição ambiental.


58

No controlo da fendilhação, para além da necessidade em se atender ao diâmetro mínimo dos

varões e ao espaçamento dos mesmos, é obrigatória uma quantidade mínima de armadura aderente

para limitar a fendilhação nas zonas sujeitas a tensões de tração (EC2, 2010). Esta quantidade pode

ser estimada com base no equilíbrio da força de tração no betão, imediatamente antes da

fendilhação, e a força de tração nas armaduras.

A percentagem de armadura mínima de tração é:

c

min,smin

A

A=ρ ( 2.102)

onde Ac é a área útil da secção de betão, contabilizado como Ac = b·d nas secções retangulares.

A área mínima da armadura de tração é:

cts

ef,ctcmin,s A

fkkA ⋅⋅⋅=

σ ( 2.103)

Na expressão anterior, Act é a área de betão tracionado imediatamente antes da formação da

primeira fenda; σs é a tensão admissível na armadura que pode ser considerada igual a fyk ou a um

valor inferior caso seja necessário restringir a largura máxima de fendas em função do diâmetro

máximo dos varões de aço ou do espaçamento entre eles; fct,ef já foi definido a propósito da

equação 2.95; o coeficiente k considera o efeito das tensões não uniformes auto-equilibradas e vale

1,0 para secções com h ≤ 0,30 m e 0,65 para h ≥ 0,80 m, e é o resultado de uma interpolação para

valores intermédios de h.

O coeficiente kc tem em conta a distribuição de tensões na secção, imediatamente antes da

fendilhação, e da variação do braço do binário. Para a flexão (composta) e para secções

retangulares, é obtido por:

1140

1

≤

⋅⋅−⋅=

ef,ct*

cc

fh

hk

,kσ

( 2.104)

em que

c

Edc

A

N=σ ( 2.105)

é a tensão média do betão existente na parte da secção em análise, sendo NEd o esforço normal no

estado limite de utilização que atua na secção (positivo para compressões), e determinado

considerando os valores característicos dos esforços normais. Para valores reduzidos do esforço

axial, a flexão composta “aproxima-se” da flexão simples e o coeficiente kc vale 0,4. O coeficiente


59

k1 considera os efeitos dos esforços normais na distribuição de tensões e vale 1,5 para as

compressões. Relativamente a h*: h* = h para h < 1,0 m; h* = 1,0 m para h≥ 1,0 m.

Para casos correntes de flexão simples (ou que se aproximam) pode considerar-se:

cyk

ctmmin,s A

f

f,A ⋅⋅= 260 ( 2.106)

Com a condição:

%13,0min,min ≥=

c

s

A

Aρ ( 2.107)

As percentagens das armaduras, de tração ou de compressão, não devem ser superiores a 4%

(incluindo as zonas de sobreposição de varões).

2.11. CONSIDERAÇÕES FINAIS

Como ficou vincado, mesmo em estado fendilhado o betão continua a oferecer alguma resistência à

tração, resultante do facto de os agregados do betão apresentarem um imbricamento que permanece

após o início da fendilhação. Esse imbricamento faz aumentar, numa escala mais global, a

resistência à tração. Ou seja, mesmo no estado fendilhado, o betão na zona de cada fenda retém

ainda tensões de tração, devido principalmente aos mecanismos de engrenagem mecânica associada

à rugosidade existente entre as faces das fendas e ao imbricamento dos elementos constituintes.

Para além deste facto, a aderência entre os varões da armadura tracionada e o betão envolvente, na

zona entre fendas, permite que se desenvolvam tensões resistentes à tração, que assim aumentam o

valor médio da resistência à tração. Este efeito traduz-se num aumento de rigidez, designado na

língua inglesa por tension stiffening. Um modo de avaliar este efeito é pela integração da interação

entre o betão e a armadura tracionada ao longo do elemento estrutural, simulando a relação

tensão-deformação dos materiais em função da maior ou menor fendilhação. Este fenómeno de

“endurecimento” local foi já tratado numericamente pelo método dos elementos finitos e

comprovado experimentalmente por diversos investigadores. Nesses casos, os investigadores

controlaram e mediram a variação das tensões ao longo dos varões de aço, em função do

carregamento, antes, durante e depois da formação das fendas.

Foi abordado o conceito de tension stiffening por traduzir uma maior aproximação ao

comportamento real do betão armado fendilhado. No Capítulo 3, este conceito será novamente

abordado aquando a descrição do método numérico incremental e iterativo necessário para a

determinação da não linearidade do comportamento do betão armado fendilhado.


60


61

ANEXO A

APLICAÇÃO DO MÉTODO DE CARDANO NA OBTENÇÃO DA SOLUÇÃO PARA O ESTADO II

O método de Cardano, também conhecido pela aplicação das fórmulas de Cardano, é um método

analítico para resolução de equações cúbicas reduzidas. As equações para a obtenção da solução de

equações cúbicas reduzidas foram descobertas por Niccolò Tartaglia. A contribuição de Cardano

foi a publicação em 1545 do método de redução da equação geral do terceiro grau para o caso

especial (Nickalls, 1993).

A equação 2.69 é equivalente à seguinte:

023 =+⋅+⋅+ CBA ααα ( 2.108)

em que

( )

′⋅′+⋅+

′−⋅

′⋅′⋅=

′+⋅+

′−⋅′⋅−=

+−=

d

a

d

e

d

a

d

aC

d

e

d

aB

d

eA

se

se

s

ρρρα

ρρρα

16

16

13

( 2.109)

Fazendo uma mudança de variável α = ϕ – A/3, resulta:

03 =+⋅+ qp ϕϕ ( 2.110)

onde

CBA

Aq

ABp

+⋅−=

−=

327

23

3

2

( 2.111)

E define-se ainda:

274

32pq +=∆ ( 2.112)

Se ∆ ≥ 0, a solução do problema é diretamente obtida pela seguinte expressão:


62

3322

∆∆ϕ −−++−= qq ( 2.113)

Caso contrário, se ∆ < 0, considera-se:

22

4∆+= q

r ( 2.114)

e

−=r

qarccost

2 ( 2.115)

e a solução do problema matemático é dada por um conjunto de três possibilidades:

33

4

32

33

2

32

332

33

32

31

Atcosr

Atcosr

Atcosr

−

+⋅=

−

+⋅=

−

⋅=

πα

πα

α

( 2.116)

O valor de α será um dos valores obtidos pelas equações anteriores, de modo a que 0 < α ≤ 1.

Capítulo 3 – Modelação numérica

63

3. MODELAÇÃO NUMÉRICA

3.1. INTRODUÇÃO

No âmbito das estruturas geotécnicas, o betão armado assume um papel muito importante,

nomeadamente na execução de paredes moldadas e cortinas de estacas para suporte de escavações

profundas em meios urbanos O estudo deste tipo de estruturas de suporte é muito complexo porque

o seu comportamento depende das características do solo, do faseamento construtivo, das

condições de apoio e da rigidez da cortina de contenção. Normalmente, no seu dimensionamento,

recorre-se a ferramentas numéricas baseadas no método dos elementos finitos, que admitem

modelos rigorosos de comportamento não linear para os solos, mas que, geralmente, admitem um

comportamento linear elástico para a cortina de contenção.

No entanto, fenómenos como a fendilhação, a fluência e a retração do betão, provocam nas

estruturas de betão armado comportamentos não lineares complexos e, normalmente,

interdependentes, pelo que a sua modelação numérica não é simples e a análise dos resultados não

é trivial. O problema do comportamento não linear das estruturas de betão armado, induzido

especialmente pela fendilhação, tem sido estudado na engenharia de estruturas recorrendo a

modelos numéricos de elevado rigor (Figueiras, 1983; Póvoas, 1991; Faria, 1994; Ferraz, 2010).

A fendilhação do betão surge porque o betão apresenta uma resistência à tração relativamente baixa

quando comparada com a sua resistência à compressão. Mesmo reforçado por elementos de aço

para absorverem os esforços de tração, o comportamento do betão armado só é elástico numa fase

inicial do carregamento, passando para um comportamento não linear mesmo para os esforços

geradas pelas condições de serviço. Desta forma, a variação da rigidez da cortina como

consequência da fendilhação, ao longo do processo de construção e carregamento, não tem sido

adequadamente considerada. Nesse sentido, e pretendendo-se uma análise global mais realista deste

tipo de estruturas de contenção, Matos Fernandes (2010, 2015) sugeriu estabelecer uma interação

entre dois programas de cálculo automático já desenvolvidos e testados dentro do seu campo de

aplicação: um para a análise geotécnica e outro para a análise estrutural.

Assim, sendo pertinente o melhoramento dos métodos de análise destas estruturas, foram acoplados

dois programas de cálculo automático de elevada fiabilidade, por terem sido amplamente utilizados

e testados, um de natureza geotécnica com modelação por elementos finitos, que será designado

por Código GEO, onde estão incorporados vários modelos de comportamento dos solos, e outro de

cariz estrutural para análise não linear de secções de betão armado pelo método da discretização em

fibras, e que será designado por Código RC.

Na Figura 3.1 representa-se sinteticamente a interação entre o Código GEO e o Código RC para a

análise do comportamento não linear de cortinas de contenção de escavações profundas.

Modelação numérica do comportamento não linear de estruturas de betão armado para suporte de escavações urbanas

64

Figura 3.1 – Interação entre o Código GEO e o Código RC.

Pretendendo-se estudar a variação da rigidez à flexão, como consequência da fendilhação do betão

armado, e a sua influência no comportamento de cortinas de contenção de escavações profundas,

foi considerado no Código RC um modelo macromecânico de fendas distribuídas com a retenção

de tensões de tração do fenómeno de fendilhação (tension stiffening), descrito no capítulo anterior.

Neste capítulo é feita a descrição da aplicação corrente do método dos elementos finitos aos

problemas geotécnicos (Código GEO), nomeadamente às escavações profundas suportadas por

estruturas flexíveis, particularizando as opções consideradas na utilização do programa FEMEP

para o estado plano de deformação. A descrição matemática, sumária, da metodologia serve

unicamente como orientação das opções tomadas e de elo de ligação ao Código RC.

O Código RC traduz a análise não linear das secções de betão armado em flexão composta, pela

aplicação do método de análise por fibras, do programa FIBRAS, e é descrito de forma mais

pormenorizada de modo a permitir uma melhor interpretação do comportamento não linear do

betão armado em fendilhação e as consequências no comportamento global deste tipo de estruturas

de contenção, do tipo paredes moldadas ou cortinas de estacas.

É descrito o modelo que resulta do acoplamento dos dois códigos para análise não linear de

cortinas de contenção de escavações profundas executadas em betão armado, e a forma como os

dois programas de cálculo automático comunicam entre si e efetuam a análise conjunta. Como

ambos os códigos envolvem análises não lineares materiais que compreendem processos

incrementais e iterativos, são apresentados os métodos numéricos correntemente utilizados na

resolução deste tipo de problemas, para uma melhor interpretação das metodologias e dos

resultados alcançados.

É exposto o procedimento de acoplagem entre os dois códigos, assim como as diferentes

possibilidades de comunicação entre eles, aqui designadas por abordagens, com indicação das

vantagens e inconvenientes encontradas na aplicação das mesmas.

No sentido de demonstrar as potencialidades do modelo numérico resultante, apresenta-se um

exemplo de uma escavação profunda suportada por uma parede de betão armado tipo parede

ESTADO PLANO DE DEFORMAÇÃO

MÉTODO DAS FIBRAS (FIBRAS)

Esforços e deformações

Rigidez efetiva

FLEXÃO PLANA COMPOSTA

MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS (FEMEP)

CÓDIGO RCCÓDIGO GEO


65

moldada. Pretendendo-se evidenciar algumas particularidades da aplicação do modelo ao caso da

cortina monoescorada, consideram-se dois casos idênticos, sendo que no primeiro se admite um

comportamento elástico linear, e no segundo um comportamento não linear da cortina de

contenção. No fim da análise do problema, tecem-se algumas considerações julgadas pertinentes

sobre os resultados obtidos.

No fim do capítulo apresentam-se conclusões mais generalizadas sobre a interpretação desses

resultados, onde se destacam as vantagens deste procedimento relativamente aos métodos

habitualmente utilizados.

3.2. CÓDIGO GEO – MODELAÇÃO GEOTÉCNICA POR ELEMENTOS FINITOS

3.2.1. Origem do Código GEO

As teorias clássicas para o estudo deste tipo de problemas deixaram de ser muito utilizadas,

passando-se a recorrer ao método dos elementos finitos (MEF), na medida em que se consegue

simular com elevado rigor o faseamento construtivo e determinar, para além das tensões e esforços,

os movimentos da cortina e do solo envolvente.

O MEF é um método numérico que permite a resolução de um conjunto de equações diferenciais

que traduzem o equilíbrio de um meio (Delgado, 1990). Essas equações representam as condições

de equilíbrio indefinido, as compatibilidades, as leis constitutivas dos materiais e as condições de

fronteira. No âmbito da geotecnia, o MEF permite simular de forma adequada a análise da

interação solo-cortina para um faseamento construtivo, ou seja, permite avaliar a interdependência

entre as pressões das terras e os esforços estruturais mobilizados, com as respetivas deformações.

Para além do referido, o MEF fornece informações sobre o estado de tensão e deformação no

maciço envolvente à escavação, o que é indispensável para a aferição do comportamento das

estruturas e infraestruturas vizinhas, típicas das zonas urbanas.

O modelo de comportamento geotécnico de escavações profundas suportadas por cortinas de

contenção será designado por Código GEO. Nos itens que se seguem faz-se uma breve descrição

do programa de elementos finitos utilizado, indicando-se os passos mais importantes da sua

formulação, as suas potencialidades e as opções assumidas na sua aplicação.

O Código GEO está codificado em FORTRAN e é designado por FEMEP. Foi inicialmente

desenvolvido na Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto, por Cardoso (1987), com

utilização e desenvolvimentos posteriores de Almeida e Sousa (1998), Venda Oliveira (2000) e

Grazina (2009), na Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra. No

programa FEMEP foram incorporados modelos geotécnicos de comportamento elastoplástico para

vários tipos de solos, permitindo a análise de problemas de estados planos de deformação ou de

tensão, estados axissimétricos, e ainda em 3D, sendo a sua formulação semelhante à proposta por

Owen e Hinton (1980).


66

O programa foi desenvolvido para o estudo de problemas evolutivos, em termos de geometria do

solo, da estrutura e do carregamento, pelo que se baseia em métodos incrementais que permitem

identificar as fases em que cada um dos elementos finitos, do solo ou estruturais, estão ativos ou

não. Para resolver o problema introduzido pela não linearidade do comportamento dos materiais, o

programa recorre a processos iterativos, nomeadamente o método de Newton-Raphson original ou

modificado.

No Código GEO, quando aplicado na análise de escavações, utilizam-se elementos finitos

bidimensionais isoparamétricos para modelar o terreno e a cortina de contenção, elementos de junta

para modelar a interface terreno-cortina de contenção, e elementos do tipo barra para modelar

eventuais apoios estruturais como escoras e ancoragens.

De um modo geral, o MEF envolve os seguintes passos:

- discretização do domínio contínuo em elementos finitos definidos pelos seus nós;

- definição de um conjunto de equações que traduzem o comportamento individual desses

elementos, atendendo às condições de fronteira e solicitações, sendo corrente a utilização dos

deslocamentos dos nós como principais incógnitas; são definidas as relações entre

deslocamentos e deformações, as relações entre as deformações e as tensões (relações

constitutivas), e calculada a matriz de rigidez e o vetor de solicitação de cada elemento

finito;

- agrupamento e resolução do sistema de equações que traduz o comportamento global;

- determinação das deformações, deslocamentos e tensões nos pontos pretendidos.

3.2.2. Dados para execução do Código GEO

Os dados a introduzir para execução do Código GEO podem ser agrupados do seguinte modo:

- dados gerais;

- características dos materiais;

- coordenadas dos pontos nodais definidores da geometria;

- ligações ao exterior;

- características dos elementos;

- definição do estado de tensão inicial;

- características das solicitações.

Nos dados gerais estão incluídos, para além de indicações sobre o formato do output do programa,

o número total de pontos nodais da malha, o número de elementos finitos, o número de diferentes

materiais, o número de fases, a ordem de integração numérica (pontos de Gauss), indicação do tipo

de convergência numérica, e ainda indicação do tipo de análise (estado plano de tensão, estado

plano de deformação, estado axissimétrico).

Relativamente às características dos materiais, e para cada material, é definido o tipo de análise, em

tensões totais ou em tensões efetivas, o peso volúmico, o coeficiente de impulso em repouso

correspondente ao tipo de análise pretendida, o módulo de elasticidade (ou outras características


67

mecânicas, dependendo do modelo constitutivo considerado), com eventual variação em função da

tensão de confinamento para os elementos bidimensionais e de junta, o coeficiente de Poisson, a

resistência à tração e compressão de elementos tipo barra, parâmetros definidores da rigidez axial,

indicação do critério de cedência dos materiais definidos pelos elementos bidimensionais e

respetivos parâmetros, e ainda o critério de cedência e respetivos parâmetros dos elementos de

junta. Para o material que define a cortina de contenção, é definida uma rigidez elástica inicial

caracterizada por um determinado módulo de elasticidade equivalente do material, correspondendo

ao material betão, ou resultante da homogeneização da secção pela associação de vários materiais,

betão e aço, por exemplo.

A geometria do problema é definida pelos pontos nodais que representam os diferentes tipos de

elementos finitos utilizados. São indicadas as coordenadas desses pontos, numerados de forma

sequencial e obedecendo a critérios correntemente utilizados no MEF, e indicada a eventual

pressão neutra inicial sob a forma de altura equivalente de água.

As características dos vários tipos de elementos utilizados envolvem a sua definição em termos de

numeração dos seus nós, o tipo de elemento finito, a identificação do material, a identificação do

número da fase em que o elemento é ativado pela primeira vez, assim como a indicação da última

fase dessa ativação, e ainda um código definidor de eventual substituição de um elemento finito por

outro (alteração de propriedades), e ainda se é escavado ou simplesmente retirado (por exemplo, os

elementos de apoio).

Depois da definição geral da malha de elementos finitos pelas coordenadas dos pontos nodais,

seguem-se as ligações ao exterior, identificando os nós ligados e quais os tipos de ligações (fixos

na vertical, fixos na horizontal, e totalmente fixos). No caso de haver elementos estruturais de

apoio da cortina, como escoras e (ou) ancoragens, são definidas, de modo semelhante à cortina de

contenção, todas as características de resistência e de rigidez desses elementos.

O estado de tensão inicial, de grande importância nos problemas geotécnicos, é definido em função

do número de estratos existentes, respetivas profundidades e pesos volúmicos, e ainda pelos

coeficientes de impulso em repouso definidos aquando da introdução das características dos

materiais.

No que respeita às solicitações e alterações de estado, e para cada fase, é necessário indicar se são

ativados novos elementos ou retirados, se é executada uma escavação, se são aplicadas cargas

concentradas e (ou) cargas distribuídas, se existem deslocamentos impostos, e se são retirados

apoios. Nesse mesmo campo de opções, por cada fase é necessário indicar o número máximo de

iterações e qual o algoritmo de resolução da análise não linear, assim como a tolerância da

convergência a considerar.

3.2.3. Tipos de elementos finitos

Como a aplicação do programa de elementos finitos (Código GEO) tem um objetivo muito preciso

neste contexto das escavações profundas, restringindo-se à análise geotécnica de um determinado


68

problema sem a pretensão de se encontrar uma solução otimizada por alterações da malha que

define o maciço terroso, ou pela consideração de elementos infinitos no contorno indefinido da

mesma, a descrição do MEF será apenas a necessária e suficiente para o objetivo pretendido.

A escolha do tipo de elementos finitos a utilizar depende da geometria do problema a modelar e do

tipo de análise pretendida. Para a análise de problemas geotécnicos, o principal requisito é que os

tipos de elementos sejam adequados para quase todas as situações geométricas que possam ocorrer,

por exemplo, nos casos em que as estruturas têm configuração curva (caso de túneis), estratificação

do solo com configuração curvilínea, ou mesmo a forma irregular da superfície do solo.

Na prática corrente, os elementos finitos que apresentam uma boa relação entre o número de nós e

a qualidade dos resultados obtidos são os da família Serendipity com 8 nós (Owen e Hinton, 1980;

Delgado, 1990; Potts e Zdravkovic, 1999). A formulação de malhas formadas por elementos finitos

isoparamétricos da família dos quadriláteros conduz a um conjunto de equações relativamente

simples. A existência de um nó no meio de cada lado dos elementos permite, para além do referido,

a possibilidade de um melhor posicionamento de um apoio no caso da estrutura de suporte, ou uma

melhor definição do ponto de aplicação de uma carga, ou até uma melhor definição dos graus de

liberdade de um ponto.

A Figura 3.2 mostra um elemento quadrilátero isoparamétrico de 8 nós da família Serendipity, com

representação cartesiana, ou seja, com as dimensões reais representadas no sistema de coordenadas

globais (X,Y), e ainda a representação em coordenadas paramétricas ou locais (ξ,η), Figura 3.2a e

Figura 3.2b, respetivamente. Este tipo de elemento finito é muito comum em modelos de análise

geotécnica porque pode ser utilizado como um elemento de forma geral quadrangular mas também

de fácil adaptação a fronteiras curvas.

(a) (b)

Figura 3.2 – Elemento finito bidimensional isoparamétrico de 8 nós da família Serendipity: a) representação cartesiana (X, Y); b) representação paramétrica (ξ,η).

ξ

Nó

η

X

Y

1 2 3

4

567

8ξ

Nóη

1 23

4

5

6

7

8

1 1

1

1

P (X ,Y ) P (ξ ,η)

u

v


69

Como nota, um elemento finito diz-se isoparamétrico quando as funções interpoladoras utilizadas

para definir a geometria de um elemento são também as utilizadas para a definição do campo de

deslocamentos; e a designação família Serendipity refere-se ao facto de as funções interpoladoras

terem sido originalmente obtidas por tentativas e os elementos finitos (bidimensionais) não

possuírem nós internos, com exceção dos elementos quárticos, isto é, com 5 nós por lado e um

central, ao contrário do que se considera nos elementos da família de Lagrange, não previstos no

Código GEO.

Como será melhor explicado neste capítulo, interessa utilizar elementos bidimensionais

quadrilaterais de modo a que aqueles que representam a cortina de contenção possuam os pontos de

integração de Gauss em alinhamentos horizontais. Por esses pontos são definidos planos normais

ao eixo da cortina de contenção que vão conter as secções transversais a serem analisadas.

No Código GEO estão implementados vários tipos de elementos finitos (e infinitos), possibilitando

a simulação de uma escavação profunda suportada por cortina de contenção, nomeadamente o

maciço terroso, a cortina de contenção, as eventuais escoras e (ou) as ancoragens, e ainda a

interface entre os diversos materiais. Em cada fase do processo, um elemento finito pode ser

ativado ou desativado, ou simplesmente substituído, simulando uma escavação ou a aplicação de

elementos de apoio da cortina (escoras ou ancoragens), conforme o referido a propósito da

introdução de dados.

Os elementos finitos e infinitos bidimensionais (elementos 2D) previstos no Código GEO são:

- finitos de 4 nós;

- finitos de 5 nós (4+1);


- infinitos unidireccionalmente de 2 nós;

- infinitos unidireccionalmente de 5 nós;

- duplamente infinito de um nó;

- duplamente infinito de 3 nós.

Os elementos finitos e infinitos tipo barra previstos no Código GEO são:



- infinito de um nó;

- infinito de 2 nós.

Em relação aos elementos finitos e infinitos de junta, estão previstos os seguintes elementos:



- infinitos de 2 nós

- infinitos de 4 nós.


70

A propósito da representação dos elementos finitos num sistema de eixos global cartesiano, como o

indicado na Figura 3.2a, assim como de toda a malha, é importante referir que se optou por utilizar

a nomenclatura corrente na descrição do método dos elementos finitos, em termos de designação

dos eixos, mas em maiúsculas, ao contrário do que é corrente: X para o eixo horizontal e Y para o

vertical. Esta representação em maiúsculas servirá unicamente para diferenciar do sistema de eixos

(x,y) que será usado para as secções transversais da cortina, e que pertence ao sistema de eixos

global (x,y,z) que inclui o plano vertical (y,z) com a coordenada z descendente, indicando a

profundidade do problema geotécnico e, simultaneamente, o eixo vertical de uma faixa de

desenvolvimento unitário da cortina de contenção.

A vantagem da formulação com elementos finitos isoparamétricos é a facilidade com que o

domínio inicial é transformado num domínio mais simples (mapping), como o representado na

Figura 3.2. As equações que regem o comportamento de cada elemento apenas têm de ser avaliadas

no sistema de coordenadas locais, ξ e η, do elemento paramétrico. Assim, para cada elemento

finito com coordenadas globais da malha que define o problema em estudo, a matriz de rigidez

pode ser determinada pelo procedimento corrente mas com a vantagem de que as integrações só

precisam ser realizadas ao longo de um quadrado com as coordenadas ξ e η a variarem entre -1 e

+1, como está representado na Figura 3.2b. A utilização de elementos retangulares da família

Serendipity cujas funções de forma ou funções de interpolação são dependentes dos 8 nós (3 nós de

cada lado do contorno) é muito eficiente, como é referido por vários autores (Owen e Hinton, 1980;

Delgado, 1990; Potts e Zdravkovic, 1999).

De acordo com a Figura 3.2b, as funções de forma para os nós dos cantos são:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ηξηξηξηξ

ηξηξηξηξ

+−−⋅+⋅−=++−⋅+⋅+=

−+−⋅−⋅+=−−−⋅−⋅−=

1114

1111

4

1

1114

1111

4

1

75

31

NN

NN

( 3.1)

e para os nós dos meios dos lados:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )2

82

6

24

22

112

111

2

1

112

111

2

1

ηξηξ

ηξηξ

−⋅−=+⋅−=

−⋅+=−⋅−=

NN

NN

( 3.2)

Como está representado na mesma figura, as coordenadas globais de um determinado ponto P(X,Y)

de um elemento finito podem ser expressas em função das coordenadas cartesianas dos nós e pelas

coordenadas paramétricas do ponto, P(ξ,η):


71

i

i

i

i

i

i

YNY

XNX

⋅=

⋅=

=

=8

1

8

1 ( 3.3)

onde Xi e Yi são as coordenadas globais dos 8 nós do elemento e Ni são as funções de forma para

cada nó i, com:

18

1

==i

iN ( 3.4)

Como já foi referido, sendo o elemento finito isoparamétrico, os deslocamentos dentro do elemento

são interpolados do mesmo modo que a sua geometria. As funções de interpolação acima indicadas,

N1, N2,..., N8, são também utilizadas nas equações 3.5, e permitem relacionar o deslocamento do

ponto P do interior do elemento, indicado na Figura 3.2, com os deslocamentos dos pontos nodais.

Deste modo, os deslocamentos u e v no interior do elemento isoparamétrico de 8 nós, assumem

também uma variação quadrática em função de ξ e η:

Yi

i

i

Xi

i

i

Nv

Nu

δ

δ

⋅=

⋅=

=

=8

1

8

1 ( 3.5)

onde, δXi e δYi são as componentes do deslocamento do nó i, segundo as duas direções ortogonais:

{ }

=Yi

Xi

iδ

δδ ( 3.6)

sendo que cada elemento possui 8 deslocamentos dos nós:

{ } { } { } { }{ }T821 δδδδ L= ( 3.7)

O vetor dos deslocamentos internos do elemento pode ser representado por:

{ } [ ] { }=

⋅=

=8

1i

iiNv

uu δ ( 3.8)

onde


72

[ ]

⋅=

10

01ii NN ( 3.9)

Relativamente aos elementos unidimensionais tipo barra (ou tipo mola), que são utilizados neste

contexto para simularem as escoras e ancoragens, são utilizados elementos finitos isoparamétricos

de 2 nós. Na Figura 3.3a está representado um elemento tipo barra nas coordenadas cartesianas

com a indicação dos deslocamentos dos nós segundo os eixos cartesianos e o deslocamento u(s)

segundo o eixo do elemento, e na Figura 3.3b a correspondente representação paramétrica. A

inclinação α do elemento finito é determinada pelas coordenadas dos nós que definem a malha de

elementos finitos.

As funções de forma são dadas pelas seguintes equações:

( ) ( )ξξ +=−= 12

11

2

121 NN ( 3.10)

onde ξ é a variável paramétrica que define a variação linear axial da coordenada e do campo de

deslocamentos, u(ξ), com intervalo de variação entre -1 e +1.

(a) (b)

Figura 3.3 – Elemento finito tipo barra isoparamétrico de 2 nós: a) representação

cartesiana; b) representação paramétrica.

Na modelação geotécnica deste tipo de problemas é necessária, na maior parte das vezes, a

utilização dos chamados elementos de junta para modelação de superfícies de descontinuidade,

como é o caso das interfaces entre o maciço terroso e a cortina de contenção. No Código GEO

estão implementados elementos de junta de 4 e de 6 nós de espessura nula (Grazina, 2009). No

presente trabalho foram utilizados os elementos de 6 nós (2 pares de 3 nós), como representado na

ξ

1

2

α

X

Y

1 2

1 1

ξ = −1 ξ = 0 ξ = +1

δ X1

δY1 u (ξ)u

vδ X2

δY2s u (s)


73

Figura 3.4, para se adequarem aos elementos finitos contíguos bidimensionais de 8 nós, com 3 nós

em cada lado.

Estes elementos, para além de simularem as interfaces entre o maciço terroso e a cortina de

contenção, podem ser utilizados, também, para simularem o deslizamento que tende a ocorrer nas

interfaces entre materiais de características mecânicas contrastantes. Sendo necessário, são também

utilizados dentro de um mesmo material para dar continuidade da superfície criada por outros

elementos de junta até à fronteira do problema.

Como os elementos de junta são de espessura nula, as coordenadas cartesianas são determinadas

para 3 pontos e as funções de forma são definidas unidimensionalmente ao longo do eixo de

variável paramétrica ξ. O duplo conjunto de 3 nós permite que as funções de forma sejam de ordem

quadrática, como indicam as equações 3.11, e de acordo com a representação da Figura 3.4:

( )

( )2

52

43

61

1

12

1

12

1

ξ

ξξ

ξξ

−==

+⋅==

−⋅==

NN

NN

NN

( 3.11)

Na Figura 3.4a está representado em coordenadas cartesianas um elemento de junta isoparamétrico

de 6 nós, de espessura nula (h = 0), com indicação, como exemplo, dos deslocamentos do nó 4. Na

Figura 3.4b está representada a transformação para coordenadas paramétricas do elemento, com a

indicação dos deslocamentos genéricos u e v, em função das respetivas coordenadas.

(a) (b)

Figura 3.4 – Elemento finito de junta isoparamétrico de 6 nós: a) representação

cartesiana; b) representação paramétrica.

α

X

Y

1 1

6

5

4

3

2

1

ξη

Faceinferior (inf)

Facesuperior(sup)

u (ξ)ξ

η

1 2 3

6 5 4

h = 0

h = 0

v (η)δ X4

δY4


74

A Figura 3.5 mostra uma parte de uma malha de elementos finitos correspondendo a uma

escavação profunda suportada por uma cortina de contenção monoescorada, exemplificando-se os

diferentes tipos de elementos utilizados.

Figura 3.5 – Exemplo de malha de elementos finitos com a indicação dos

tipos de elementos utlizados.

3.2.4. Condições de fronteira

A formulação do problema pelo método dos elementos finitos dá origem a um sistema de equações

que traduzem a relação entre as solicitações e os deslocamentos que daí resultam, satisfazendo

certas condições impostas a um conjunto de pontos pertencentes a uma região que é definida por

uma fronteira fechada. Assim, o problema só fica completamente definido depois da identificação

da fronteira.

Como se exemplifica na Figura 3.6, o domínio a analisar é definido pela superfície do solo a

escavar, pelo estrato subjacente a uma determinada profundidade onde se admite que a influência

da escavação é pouco significativa, ou no caso de se tratar do leito rochoso de grande rigidez.

Lateralmente, como é indefinido, há a necessidade de considerar um limite a partir do qual deixa

também de ser percetível a influência da escavação.

Ainda relativamente à Figura 3.6, o facto de a escavação ser realizada por fases, correspondentes a

escavações parciais e colocação de elementos de apoio, a fronteira inicial vai ser sucessivamente

alterada. Ou seja, o Código GEO é ativado em cada fase do processo construtivo, partindo das

Elemento bidimensional de 8 nós

Nó

Elemento de junta semespessura de 6 nós

Elemento tipo barra de 2 nós


75

condições de equilíbrio entre as forças externas e as internas que resultaram da fase anterior,

resolvendo um “novo” problema, com novas condições em termos de solicitações e de condições

de fronteira.

Figura 3.6 – Exemplo de uma escavação com alteração das condições de

fronteira (geometria), dependente do faseamento construtivo.

As condições de fronteira são definidas pela anulação de deslocamentos ao longo de determinadas

linhas da malha de elementos finitos: a linha que representa o eventual plano de simetria e linhas

que representam as superfícies em que supõe serem muito reduzidos os deslocamentos, como zonas

muito afastadas da obra ou na transição para um material muito rígido (maciço rochoso, por

exemplo). Se eventualmente existir um eixo de simetria, o contorno da mencionada fronteira pode

ser reduzido a metade, como está representado na Figura 3.7.

No exemplo representado na Figura 3.6, a alteração da fronteira, de fase para fase, resulta da

retirada de elementos que definem a massa de solo escavada e da eventual adição de elementos

finitos que simulam apoios estruturais (escoras, por exemplo).

A malha de elementos finitos representada na Figura 3.7 corresponde a metade do problema

representado na Figura 3.6, agora delimitado pelo eixo de simetria onde os nós dos elementos

finitos bidimensionais são impedidos de se deslocarem na direção horizontal. A escora é definida

por um elemento finito tipo barra de dois nós, com o nó localizado no eixo de simetria considerado

fixo. O outro limite lateral é definido a uma distância já pouco influenciada pela escavação onde se

Zona escavada

Zona a escavar

Escoras Fundo da escavação

EscorasEscoras Zona a escavar

Zona a escavar

Zona a escavar


76

admite que os pontos nodais que definem essa fronteira ainda se podem deslocar na vertical,

impedindo-se unicamente o movimento horizontal. A fronteira inferior, como foi já referido, pode

ser materializada pela interface com um estrato de maior rigidez, considerando os nós dos

elementos finitos fixos ao longo dessa fronteira. Superiormente, a fronteira é definida pela

superfície do solo suportado e, na zona da escavação, pelas faces dos elementos finitos

bidimensionais subjacentes aos retirados na simulação da escavação da fase anterior.

Figura 3.7 – Exemplo de uma escavação com indicação das condições de

fronteira da malha de elementos finitos.

No sentido de otimizar o esforço computacional e uma melhor interpretação dos resultados, para

cada caso em estudo, é necessário identificar se há simetria da geometria da escavação e das

solicitações, se é possível delimitar a malha de elementos finitos a uma zona relativamente

reduzida, e avaliar os graus de liberdade dos nós dos elementos que caracterizam a fronteira.

3.2.5. Condições de drenagem, estado de tensão inicial e solicitações

O programa de análise geotécnica (Código GEO) permite o estudo de dois tipos de situações de

comportamento em termos de drenagem:

- a análise não drenada corresponde à situação em que as pressões neutras associadas às

solicitações e fases construtivas ainda não se dissiparam, e neste caso a análise é efetuada

em tensões totais;

- a análise drenada é realizada em tensões efetivas no caso em que as pressões neutras são

apenas o resultado da presença de uma toalha freática hidrostática e os eventuais excessos

Escoras


77

de pressão neutra gerados pelas alterações do estado de tensão, como consequência da

construção, já se dissiparam.

No caso de análise drenada, a obtenção das tensões efetivas é conseguida considerando a posição

do nível freático, ou seja, para cada nó dos elementos finitos que definem o solo submerso é

introduzida a correspondente profundidade abaixo do nível freático que permite o cálculo das

pressões neutras.

O Código GEO inicia o cálculo pela avaliação do estado de tensão inicial, pressupondo que a

cortina está já construída e sem que tenha alterado o estado de tensão em repouso. São calculadas

as forças nodais e definidas as características elásticas dos modelos de comportamento dos

materiais (Almeida e Sousa, 1998; Grazina, 2009). O estado de tensão inicial pode ser obtido de

três modos:

- é executado o programa de elementos finitos considerando como única solicitação o peso

próprio dos elementos, sendo-lhes atribuída uma elevada rigidez; após o cálculo dos

deslocamentos estes são anulados, assim como do campo de tensões são anuladas as tensões

horizontais e de corte, mantendo-se unicamente as tensões verticais a partir das quais se

determinam as horizontais pelo conhecimento do coeficiente de impulso em repouso dos

diferentes materiais (Matos Fernandes, 1983; Cardoso, 1987);

- o programa calcula as tensões verticais nos pontos de Gauss a partir da profundidade a que

se encontram, atendendo ao peso volúmico e à espessura das camadas sobrejacentes; de

seguida, é calculada a correspondente tensão horizontal a partir do produto daquela tensão

vertical pelo respetivo coeficiente de impulso em repouso;

- admitindo um estado de tensão uniforme em toda a malha, ou seja, em todos os pontos de

integração de Gauss, pela atribuição de uma tensão vertical, sendo, de seguida, avaliada a

tensão horizontal.

O primeiro modo de cálculo das tensões iniciais é vantajoso para os casos em que a superfície do

terreno é inclinada, ou os estratos são também inclinados, ou ainda de espessura variável. Deste

modo não é necessário fornecer qualquer informação adicional.

O segundo modo de cálculo só é aconselhável para malhas com geometria simples, ou seja,

superfície do solo horizontal e estratificação horizontal. A informação necessária para este cálculo

diz respeito às espessuras dos estratos e respetivos pesos volúmicos.

O terceiro modo pode ser aplicado a casos em que a zona de análise é profunda, em que a variação

do estado de tensão inicial é irrelevante quando comparada com o estado de tensão que é imposto

pela solicitação, como é o exemplo de uma escavação para um túnel. A informação adicional a

fornecer é o valor da tensão vertical uniforme.

Em qualquer dos modos descritos, as tensões normais iniciais nos elementos de junta são obtidas a

partir das tensões verticais e horizontais existentes nos elementos adjacentes. Uma vez calculadas

as tensões iniciais, são calculadas para cada elemento as forças nodais equivalentes.

As solicitações previstas na utilização do FEMEP são do tipo:


78

- escavação (retirada de elementos bidimensionais);

- cargas concentradas;

- cargas distribuídas;

- deslocamentos impostos;

- instalação de apoios (escoras, ancoragens, lajes de pavimentos, etc.);

- pré-esforço de apoios (escoras ou ancoragens);

- retirada de apoios (escoras ou ancoragens);

- alteração de materiais.

Procura-se que a escavação a realizar seja simulada por fases adequadas à evolução pretendida para

a sua execução, com a geração de esforços e deslocamentos previsíveis. Assim, como facilmente se

compreende, escavar 1,0 m abaixo da superfície inicial do solo não tem as mesmas consequências

que escavar essa mesma profundidade perto da cota pretendida para o fundo de escavação. A

simulação da escavação deve ser compatível com o comportamento geotécnico e estrutural deste

tipo de obras, e o faseamento construtivo deve ser bem definido em projeto.

A simulação da escavação de uma determinada massa de solo baseia-se no facto de as tensões

resultantes na nova superfície livre serem nulas após a retirada do solo. No MEF esta situação é

satisfeita aplicando forças equivalentes de sentido oposto às forças que resultam da existência dessa

massa de solo nos nós dos elementos finitos que definem a nova superfície (Matos Fernandes,

1983; Cardoso, 1987).

Na Figura 3.8 representa-se a forma como se simula uma escavação no MEF do Código GEO. Na

Figura 3.8a está representada a cortina de contenção previamente executada e que se admite não ter

perturbado o estado de repouso do solo. Na Figura 3.8b estão representas as tensões geostáticas

verticais que atuam numa superfície horizontal a uma determinada profundidade, assim com as

tensões horizontais atuantes na face vertical da cortina. Na Figura 3.8c estão indicadas as tensões

equivalentes que resultam do efeito da escavação e na Figura 3.8d representa-se o resultado final da

escavação. O estado correspondente à Figura 3.8c implica uma fase do processo incremental, em

que a solicitação aplicada é a que resulta da escavação e que tem necessariamente de ser

equilibrada pelas forças internas, recorrendo-se a um ciclo iterativo até se atingir esse equilíbrio.

Este modo de proceder, que consiste na alteração da malha de elementos finitos por remoção dos

elementos que simulam a massa de solo a escavar, é o implementado no Código GEO. Para tal, a

discretização em elementos finitos tem de prever a possibilidade de se desativar os elementos

correspondentes à massa de solo a escavar.

No caso em que uma determinada massa de solo não é escavada mas sofre uma alteração das suas

características, a simulação por elementos finitos permite a substituição desses elementos,

mantendo-se a mesma configuração geométrica. Para o efeito, são introduzidos códigos que

identificam cada um dos casos.


79

(a) (b) (c) (d)

Figura 3.8 – Simulação de uma escavação no MEF do Código GEO: a) cortina de contenção e solo

a escavar; b) estado de tensão antes da escavação; c) tensões equivalentes ao efeito da escavação;

d) estado final (Matos Fernandes, 1983).

O processo construtivo deste tipo de obras obriga a uma análise incremental, atendendo ao facto de

a sua execução ser faseada, correspondendo cada fase a uma determinada geometria que resulta de

uma escavação ou da aplicação de cargas externas à superfície, ou mesmo da instalação de

pré-esforço em escoras ou ancoragens. Em cada fase gera-se um ciclo iterativo na procura do

equilíbrio entre as forças internas e as externas. Quanto mais pequenos forem os incrementos que

resultam dessas solicitações, a convergência é mais rápida e o cálculo mais rigoroso.

As solicitações externas (cargas) podem ter diversas configurações: concentradas, distribuídas

uniformes, trapezoidais, etc. Na Figura 3.9 exemplifica-se o caso de uma carga distribuída com

componente normal, pn, e componente tangencial, pt, aplicadas no contorno de um elemento finito

bidimensional com 8 nós (numerados no sentido direto) e representado no sistema de eixos

cartesiano. Na mesma figura está também exemplificada a aplicação de uma força concentrada num

nó, representada pelas suas componentes segundo os eixos cartesianos, FX e FY.

Figura 3.9 – Exemplo de um elemento finito bidimensional de 8 nós, com carga

distribuída no contorno e uma carga concentrada num nó.

Solo aescavar

FY

Numeraçãodos nós

FX

X

3

ptNó

7

ξ

2

η6

1

5

Y

4

pn

8


80

Para além das solicitações que resultam do efeito das escavações, ou da aplicação de cargas

diretamente ao solo ou à estrutura de suporte, podem ser impostos deslocamentos a um ou mais nós

da malha de elementos finitos, por exemplo, a nós que definem a cortina de contenção ou escoras.

São ainda consideradas solicitações os efeitos da ativação e desativação de escoras e de

ancoragens.

3.2.6. Nota sobre o comportamento mecânico dos materiais

3.2.6.1. Solo

A lei constitutiva mais simples e a mais utilizada em engenharia é a elástica linear, conhecida por

lei de Hooke. No estudo do comportamento dos solos, a aplicação da lei de Hooke é muito limitada

porque existem vários fatores a influenciar esse comportamento para além das características

elásticas dos materiais. Os fatores condicionantes desse comportamento são, por exemplo, as

tensões iniciais, a trajetória de tensões, a dilatância, a influência da história das tensões, a

anisotropia e a eventual dependência do tempo.

Verifica-se que os solos quando sujeitos a tensões de corte exibem geralmente um comportamento

mecânico do tipo elastoplástico, e daí a necessidade de se utilizarem modelos adequados (modelos

elastoplásticos) para uma análise mais rigorosa do comportamento dos solos.

Durante o efeito de corte nos solos, as deformações totais são constituídas por uma deformação

elástica, devido às deformações das partículas, e uma deformação plástica, irrecuperável aquando

do descarregamento, esta originada pelo movimento relativo entre partículas (Almeida e Sousa,

1998; Yu, 2006). A deformação plástica pode originar um endurecimento material, um

amolecimento, ou ser apenas uma deformação a tensão constante.

Os modelos elastoplásticos associam a teoria da elasticidade com a teoria da plasticidade de modo

a estabelecerem a relação tensão-deformação de forma unívoca. É corrente admitir que a

deformação total (elastoplástica) é composta por uma componente elástica, relacionada pela lei de

Hooke generalizada, e a outra componente de natureza plástica, definida pela teoria da

plasticidade:

peep εεεε +== ( 3.12)

A deformação que resulta de uma determinada solicitação é elástica até um determinado limite,

após se atingir esse limite elástico, a tensão pode ou não manter-se constante para um aumento da

deformação. Se essa tensão não depender do aumento da extensão plástica, diz-se que o material

tem um comportamento perfeitamente plástico. Se o valor da tensão de cedência aumenta com o

aumento da extensão plástica, diz-se que o material sofre endurecimento, e caso contrário, diz-se

que sofre amolecimento.


81

Os modelos elastoplásticos disponíveis no Código GEO são os seguintes:

- Tresca;

- Von Mises;

- Mohr-Coulomb;

- Drucker-Prager;

- Hoek-Brown;

- Hoek-Brown simplificado;

- Lade ou Kim-Lade.

O modelo de Tresca admite que a deformação plástica de um ponto ocorre sempre que a tensão

tangencial máxima atinge um determinado valor limite. Graficamente, numa representação

tridimensional do estado de tensão (em tensões principais), o critério de cedência de Tresca dá

origem a um prisma hexagonal regular infinito e de eixo “hidrostático”.

O modelo de von Mises admite que a cedência ocorre quando o segundo invariante das tensões de

desvio atinge um valor crítico. Na representação em tensões principais, o critério de cedência de

von Mises dá origem a um cilindro infinito de secção circular no plano desviatório e de eixo

“hidrostático”.

Estes dois modelos só traduzem o comportamento de materiais cuja resistência seja independente

da tensão normal média e não exibam variações volumétricas permanentes, como é o caso das

argilas saturadas em condições não drenadas. Ao contrário do modelo de Tresca, o modelo de von

Mises não apresenta uma superfície de cedência com vértices, o que facilita a resolução da análise

numérica.

O modelo de Mohr-Coulomb estabelece que a rotura ocorre para os estados de tensão em que a

maior circunferência de Mohr tangencia a curva intrínseca do material. Por simplificação,

admite-se não a curva intrinseca mas a reta de Coulomb, definida pelo ângulo de resistência ao

corte (ângulo de atrito) e pela coesão. Este modelo é vantajoso para materiais granulares, solo ou

rocha, com comportamento frágil à tração, em que os limites de elasticidade e de resistência

dependem da tensão normal média e existe expansão volumétrica plástica no escoamento, dando

origem a uma superfície de rotura aberta na direção positiva do eixo “hidrostático” (Almeida e

Sousa, 1998). A superfície de cedência no espaço das tensões principais origina uma pirâmide

hexagonal irregular. Na aplicação deste modelo há a possibilidade de se considerar a dilatância do

solo em deformação até atingir volume constante.

De forma análoga ao modelo de von Mises relativamente ao modelo de Tresca, também o modelo

de Drucker-Prager elimina os vértices da superfície de cedência de Mohr-Coulomb, o que facilita o

cálculo numérico na aplicação do MEF, e aplica-se também a materiais granulares com atrito

interno. No espaço de tensões principais, a superfície de cedência de Drucker-Prager é representada

pela superfície de um cone de secção circular no plano desviatório (plano octaédrico) e de eixo

“hidrostático” (Potts e Zdravkovic, 1999).


82

O modelo de Hoek-Brown e o modelo de Hoek-Brown simplificado foram desenvolvidos para o

estudo de maciços rochosos de elevada qualidade e maciços de rocha alterada (rocha branda).

Assim como o modelo de Mohr-Coulomb, a superfície de cedência do modelo de Hoek-Brown

apresenta vértices que dificultam a resolução numérica, daí ter surgido o modelo simplificado para

rochas brandas em que a superfície de cedência passou a ser a superfície de um paraboloide de

secção transversal circular.

O modelo de Lade, também implementado no Código GEO, é baseado na Mecânica dos Solos do

Estado Crítico. Este modelo considera que a deformação total incremental é composta por duas

parcela, uma elástica e a outra plástica. A parcela plástica da deformação é subdividida numa

parcela associada à contração por carregamento isotrópico e numa outra de expansão resultante da

tensão de desvio, sendo esta última a que controla a rotura e o comportamento dilatante do solo. O

modelo de Kim-Lade é apenas uma simplificação relativamente à superfície de plastificação

unificada do modelo de Lade.

3.2.6.2. Interface solo-cortina

Na interface solo-cortina, representada por elementos de junta, a relação entre as tensões

tangenciais e a deformação tangencial é considerada como elástica-perfeitamente plástica, baseada

no critério de cedência de Mohr-Coulomb:

φστ tgcy ⋅+= ( 3.13)

Na equação anterior, τy é a tensão de corte na cedência, c é a coesão e φ é o ângulo de resistência ao

corte.

Em função do tipo de solo envolvido na definição da interface, o critério de cedência anterior é,

habitualmente, substituído por dois critérios do tipo:

-coesivo:

ay c=τ ( 3.14)

-atritivo: δστ tgy ⋅′= ( 3.15)

A expressão 3.14 é utilizada quando o material solo possui uma resistência coesiva do tipo

resistência não drenada, numa análise em tensões totais, sendo ca a adesão entre as faces que

caracterizam a interface solo-cortina. Na expressão 3.15, δ é o ângulo de atrito da interface quando

está envolvido um material puramente friccional (atritivo), numa análise em tensões efetivas.

Na Figura 3.10a indica-se esquematicamente um elemento de junta em que os pares de pontos

nodais estão ligados por molas que simulam a rigidez normal e tangencial, Kn e Kt, respetivamente

(Matos Fernandes, 1983). A relação tensão-deformação normal aos elementos de junta pode ser

ilustrada pelo modelo representado na Figura 3.10b. Utiliza-se uma rigidez normal nula quando

ocorre separação das faces do elemento de junta, e uma rigidez muito elevada enquanto esse


83

contacto é permanente (Grazina, 2009). A utilização de uma rigidez normal muito elevada, Kn,

pretende evitar uma sobreposição acentuada das faces dos elementos de junta quando comprimidas,

incompatível com a geometria do problema (Goodman, 1976; Potts e Zdravkovic, 1999; Senol e

Aytekin, 2008).

Como está representado na Figura 3.10c, a relação tensão-deformação tangencial (distorção) é

regida pela rigidez tangencial, Kt, até ao limite de resistência estabelecido de acordo com os

critérios representados pela equação 3.13. Dentro do intervalo |τ | < τy não ocorre cedência e o

material da junta possui um comportamento elástico. Atingindo-se |τ | = τy dá-se a cedência e as

deformações por distorção variam para tensões tangenciais constantes.

(a) (b) (c)

Figura 3.10 – Relações constitutivas dos elementos de junta.

3.2.6.3. Apoios estruturais (escoras)

Para as escoras, representadas por elementos tipo barra (ou mola), o critério de cedência é o da

máxima resistência à compressão ou de máxima resistência à tração. O modelo constitutivo é

elástico-perfeitamente plástico do tipo:

0=− yσσ ( 3.16)

Onde σ é a tensão axial atuante e σy é a tensão de cedência do material (compressão ou tração).

3.2.6.4. Cortina de betão armado

Para a cortina de contenção, o programa base de aplicação do método de elementos finitos,

FEMEP, prevê um comportamento elástico linear em todo o processo de cálculo. Na presente

aplicação (Código GEO), o referido programa foi alterado de modo a manter um comportamento

Deformaçõesnormais

γDeformaçõestangenciais

Kt

σ n

Tração

Sobreposição

1

τ Tensõestangenciais

Kn

Compressão

Separação

Kn

Ktτ y

Tensõesnormais

1

ε

τ y


84

elástico linear da cortina, constante dentro de uma determinada fase do processo construtivo, mas

variável de fase para fase e, além disso, com diferentes valores da rigidez nas diferentes secções,

como será descrito posteriormente.

Se a cortina de contenção de suporte da escavação é do tipo parede moldada, a modelação por

elementos finitos é direta dado o formato laminar do seu desenvolvimento. Os elementos finitos a

utilizar são do tipo bidimensionais e as propriedades dos materiais são as “reais”. Todavia, no caso

de cortinas de estacas afastadas, tangentes ou secantes, colunas de betão reforçadas com perfis de

aço, ou ainda outros casos aqui não contemplados, como por exemplo as cortinas de estacas-prancha, o FEMEP (e a generalidade dos programas de elementos finitos para análise deste

tipo de problemas) não permite a modelação da geometria real e das propriedades materiais que

podem variar no seu desenvolvimento longitudinal, sem se recorrer a programas de análise

tridimensionais. Assim, a aproximação normalmente utilizada para resolver este tipo de casos é

considerar uma cortina com uma espessura constante fictícia, h′, e um módulo de elasticidade

equivalente, Eeq, de modo a que a rigidez axial e a rigidez à flexão sejam equivalentes às reais, EA e

EI, respetivamente.

A rigidez axial é definida pela seguinte igualdade, para um desenvolvimento unitário (b = 1,00 m):

EAhEeq =′⋅ ( 3.17)

De modo idêntico, a rigidez à flexão é dada pela seguinte expressão:

EIhEeq =

′⋅12

3

( 3.18)

Das duas equações anteriores facilmente se obtém uma espessura fictícia, h′, e um módulo de

elasticidade equivalente, Eeq, a atribuir à cortina como se apresentasse um desenvolvimento

longitudinal perfeitamente laminar.

Estas considerações são frequentemente utilizadas admitindo que o material é homogéneo, e desta

forma o centro de rigidez das secções coincide com o centro geométrico da secção de betão. Ou

seja, enquanto que o exemplo das cortinas de estacas-prancha envolve apenas um material, no

caso do betão armado das paredes moldadas ou das cortinas de estacas é corrente, por

simplificação, contabilizar-se a rigidez axial e a rigidez à flexão considerando apenas a secção de

betão. Este assunto será melhor desenvolvido no presente capítulo, na descrição do modelo

proposto para a análise estrutural.

É importante referir que as armaduras de aço nem sempre são simétricas relativamente ao eixo dos

xis que passa no centro geométrico da secção em análise. Dito de outro modo, o eixo de menor

momento de inércia da secção pode não ser o eixo que passa no centro geométrico da secção de

betão. No caso corrente de estacas de betão armado pode afirmar-se, sem grande erro, que existe

simetria; contudo, nas paredes moldadas, em regra, tal não acontece.


85

Para o caso das paredes moldadas com armaduras assimétricas, de áreas ou de posição, pode

facilmente determinar-se o centro de rigidez da secção heterogénea homogeneizada (e elástica)

utilizando o princípio dos momentos estáticos (ou de primeira ordem). Assim, pode contabilizar-se

a rigidez axial e a rigidez à flexão, elásticas, de modo rigoroso, considerando a rigidez conferida

pelo betão e pelas armaduras de aço.

De forma genérica, para m materiais, a rigidez axial elástica é obtida pela expressão:

j

m

j

j A.EEA =

=1

( 3.19)

e, do mesmo modo, a rigidez elástica à flexão é obtida por:

j

m

j

j I.EEI =

=1

( 3.20)

No caso corrente de m = 2 materiais, betão e aço, vem:

sscc AEAEEA .. += ( 3.21)

e

sscc I.EI.EEI += ( 3.22)

Nas equações anteriores Ec e Es são os módulos de elasticidade, Ac e As são as áreas das secções, Ic

o momento de inércia (ou de segunda ordem) da secção de betão e Is o momento de inércia das

armaduras de aço, ambos calculados relativamente ao eixo que passa no centro de rigidez da secção

e é paralelo ao eixo neutro, numa fase elástica inicial, como foi descrito no Capítulo 2.

3.2.7. Equações de resolução do método dos elementos finitos

Para os elementos finitos bidimensionais que definem o solo e a cortina de contenção, no estado

plano de deformação, a interpretação física da compatibilidade em termos de deformações pode ser

expressa matematicamente pela definição das extensões em função dos deslocamentos u e v,

segundo os eixos globais X e Y. Para o efeito, admitindo a teoria das pequenas deformações

(Timoshenko e Goodier, 1951), tem-se o vetor das componentes da deformação:


86

{ } [ ] { }uL

v

u

XY

Y

X

Y

u

X

v

Y

v

X

u

XY

Y

X

⋅=

⋅

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

∂∂+

∂∂

∂∂∂∂

=

= 0

0

γ

ε

ε

ε ( 3.23)

em que [L] é o operador diferencial (matricial) que permite relacionar as deformações (extensões)

com os deslocamentos, ou seja:

{ } [ ] { } [ ] [ ] { }δε ⋅⋅=⋅= NLuL ( 3.24)

Não esquecendo que no estado plano de deformação (EPD):

000 =∂∂+

∂∂==

∂∂+

∂∂==

∂∂=

Z

u

X

w;

Z

v

Y

w;

Z

wXZYZZ γγε ( 3.25)

Onde o eixo Z é normal ao plano definido pela malha de elementos finitos do problema geotécnico

e w representa os deslocamentos impedidos segundo esse eixo, atendendo ao admitido

desenvolvimento infinito.

Considerando:

[ ] [ ] [ ]NLB ⋅= ( 3.26)

vem:

{ } [ ] { }δε ⋅= B ( 3.27)

e desta forma, [B] é a matriz de deformação constituída por, neste caso, 8 submatrizes, para os 8

pontos nodais:

[ ]

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

X

N

Y

N

X

N

Y

NY

N

Y

NX

N

X

N

B

8811

81

81

00

00

L ( 3.28)

Aplicando o Teorema dos Trabalhos Virtuais, para uma determinada deformação (virtual), o

trabalho das forças externas é igual ao trabalho das forças internas, resultando, após simplificações,

na seguinte equação aplicada a cada elemento finito (e):

[ ] { } { }ee FK =⋅ δ ( 3.29)


87

onde [ ]eK é a matriz de rigidez do elemento e, dada pela integração estendida ao volume V e:

[ ] [ ] [ ] [ ] dVBDBKeV

Te ⋅⋅⋅= ( 3.30)

e { }eF é o vetor solicitação ao elemento:

{ } { } { } { } { } { }eeep

eb

ec

eoo FFFFFF σε ++++= ( 3.31)

onde { }ecF é o vetor das forças concentradas aplicadas diretamente nos nós do elemento; { }e

bF é o

vetor das forças nodais equivalentes às forças volúmicas; { }epF é o vetor das forças nodais

equivalentes às cargas distribuídas no contorno do elemento, S e; { }e

oFε é o vetor das forças nodais

que resultam de deformações iniciais; e { }eoFσ é o vetor das forças nodais resultantes das tensões

iniciais. Estes vetores podem ser obtidos através de:

{ } [ ] { } ⋅⋅=eV

Teb dVbNF ( 3.32)

{ } [ ] { } ⋅⋅=eS

Tep dSpNF ( 3.33)

{ } [ ] [ ] { } ⋅⋅⋅=e

o

V

oTe dVDF εε B ( 3.34)

{ } [ ] { } ⋅⋅−=e

o

V

oTe dVBF σσ ( 3.35)

O vetor das forças de volume da equação 3.32 é { } { }TYX bbb = , sendo bX e bY as forças por

unidade de volume segundo as direções indicadas.

Se são aplicadas cargas distribuídas na fronteira, as forças nodais equivalentes são determinadas a

partir da integração ao longo do contorno. Neste caso, a integração pode ser realizada com integrais

de linha ao longo dos lados do elemento paramétrico (Potts e Zdravkovic, 1999). O vetor das forças

de contorno da equação 3.33 é { } { }TYX ppp = , onde pX e pY são as componentes da carga p por

unidade de comprimento (ver Figura 3.9).

Os dois últimos termos da igualdade 3.31, obtidos pelas expressões 3.34 e 3.35, resultam da

aplicação da lei constitutiva:


88

{ } [ ] { } { }( ) { }ooD σεεσ +−⋅= ( 3.36)

equivalente a:

{ } [ ] { } { } [ ] { }εσεσ ⋅=−⋅+ DD oo ( 3.37)

onde, para o estado plano de deformação e material isotrópico, a matriz de elasticidade (lei de

Hooke generalizada) é:

[ ] ( )( ) ( )

( )

−−

−

−

−⋅+−⋅=

νν

νν

νν

ννν

12

2100

011

01

1

211

1ED ( 3.38)

que depende do módulo de deformabilidade, E, e do coeficiente de Poisson, ν.

Em termos incrementais, a expressão 3.36 é apresentada do seguinte modo:

{ } [ ] { }εσ ∆⋅=∆ D ( 3.39)

Quando não existe linearidade do comportamento material, deixa de ser válida a lei de Hooke. A

matriz elástica é substituída pela matriz tensão-deformação tangente, elastoplástica, dependente do

modelo constitutivo do material:

[ ] [ ] [ ]

∂∂===

εσept DDD ( 3.40)

Como as coordenadas globais X e Y, assim como as funções de forma Ni, são expressas em função

das coordenadas locais do elemento paramétrico, ξ e η, pode estabelecer-se a seguinte relação

(derivação em cadeia):

∂∂∂∂

⋅

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

∂∂∂∂

Y

N

X

N

YX

YX

N

N

i

i

i

i

ηη

ξξ

η

ξ ( 3.41)

Na equação anterior, a matriz das derivadas parciais de X e Y em ordem a ξ e η é designada por

matriz Jacobiana:


89

{ }

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

ηη

ξξYX

YX

J ( 3.42)

A sua inversão permite estabelecer a seguinte relação:

[ ]

∂∂∂∂

⋅=

∂∂∂∂

−

η

ξ

i

i

i

i

N

N

J

Y

N

X

N

1 ( 3.43)

onde

[ ]

∂∂

∂∂−

∂∂−

∂∂

⋅=−

ξη

ξηXX

YY

JJ

11 ( 3.44)

em que J é o valor do determinante da matriz Jacobiana:

ηξηξ ∂∂⋅

∂∂−

∂∂⋅

∂∂= XYYX

J ( 3.45)

Determinadas as derivadas parciais ∂Ni/∂X e ∂Ni/∂Y para cada nó i, facilmente se constrói a matriz

[ ]B definida pela igualdade 3.28 (Owen e Hinton, 1980; Delgado, 1990; Potts e Zdravkovic, 1999).

Nas equações anteriores, dV é o volume elementar no sistema de eixos cartesiano 0XY, e pode ser

relacionado com o correspondente volume elementar em coordenadas paramétricas, do seguinte

modo:

ηξ ddJtdYdXtdV ⋅⋅⋅=⋅⋅= ( 3.46)

em que t é a espessura do elemento finito.

Finalmente, a matriz de rigidez de cada elemento finito bidimensional, como definido pela equação

3.30, pode ser obtida por intermédio do elemento paramétrico em coordenadas locais ξ e η:

[ ] [ ] [ ] [ ]− −

⋅⋅⋅⋅⋅⋅=1

1

1

1

ηξ ddtJBDBK Te ( 3.47)


90

Em problemas de estado plano de deformação (EPD), com a análise por metro de

desenvolvimento, t = 1,0 m.

Uma das vantagens da utilização dos elementos isoparamétricos é a de permitir que a integração

não seja efetuada nos elementos finitos originais, onde, geralmente, seria muito mais difícil definir

os limites de integração e, ainda, computacionalmente pouco eficaz. Desta forma, a integração é

realizada no elemento paramétrico com geometria muito simples e de fácil definição dos limites de

integração.

O método corrente para a integração numérica representada pela equação 3.47 é a integração de

Gauss-Legendre que recorre aos chamados pontos de integração de Gauss do respetivo elemento

finito (também designada por quadratura de Gauss-Legendre). Neste método de integração

numérica de funções polinomiais, a ordem de integração a utilizar depende do tipo de elemento e

da sua forma. A experiência de vários autores mostra que na utilização de elementos

isoparamétrico de 8 nós a integração com 2x2 (dois alinhamentos de 2 pontos) ou 3x3 (três

alinhamentos de 3 pontos) pontos de Gauss é satisfatória. A integração de 2x2 pontos de Gauss é

designada como integração reduzida e a utilização de 3x3 pontos é a integração completa.

O método de Gauss-Legendre permite a integração dupla no domínio definido por intervalos

entre -1 e +1 das duas variáveis de posição local, ξ e η. A expressão que define essa integração

numérica bidimensional é:

( ) ( )jij

n

i

n

j

i fWWddf ηξηξηξ ,,

1 1

1

1

1

1

⋅⋅≅⋅⋅ = =− −

( 3.48)

definida como um duplo somatório do produto de pesos (W) atribuídos aos valores da função

f(ξi, ηj) em pontos específicos dentro do domínio de integração (pontos de integração de Gauss).

Na expressão 3.48 admite-se que o número de pontos de Gauss, n, é o mesmo em ambas as

direções, como é corrente. Na presente aplicação do programa de elementos finitos utilizou-se a

integração reduzida (n = 2) por se verificar que os resultados numéricos apresentam elevado rigor e

exigir um menor esforço computacional.

Para 2x2 pontos de Gauss (n = 2) os pesos Wi e Wj são unitários e a função f(ξi, ηj) é calculada nos

pontos com as seguintes coordenadas (Figura 3.11):

( ) ( )

( ) ( )

−+=

−−=

++=

+−=

3

1

3

1

3

1

3

1

3

1

3

1

3

1

3

1

2221

1211

,,,,

,,,,

ηξηξ

ηξηξ ( 3.49)


91

Figura 3.11 – Localização dos 4 pontos de Gauss no sistema de coordenadas locais,

ξ e η, do elemento finito bidimensional em representação paramétrica.

A função a integrar, f(ξi,ηj), é um produto de matrizes de funções cujo resultado é multiplicado por

funções escalares. Atendendo às características da quadratura de Gauss, é possível avaliar todos os

termos de cada matriz em cada ponto de Gauss e só depois fazer o produto matricial, assim como o

produto pelas funções escalares avaliadas também nesses pontos de Gauss. Deste modo, os

produtos matriciais são efetuados com valores numéricos em vez de funções, facilitando assim a

programação e o seu cálculo:

( ) [ ] [ ] [ ] tJBDB,f T ⋅⋅⋅⋅=ηξ ( 3.50)

Depois de calculadas as matrizes de rigidez dos elementos bidimensionais, estas são agrupadas na

matriz de rigidez global (assemblagem) conjuntamente com as matrizes de rigidez de outros

elementos finitos unidimensionais, para posterior resolução do sistema de equações e determinação

dos deslocamentos dos pontos nodais.

O sistema de equações a resolver é do tipo:

[ ] { } { }FK =⋅ δ ( 3.51)

onde [ ]K é agora a matriz de rigidez global, { }δ é o vetor dos deslocamentos dos pontos nodais e

{ }F o vetor solicitação que resulta também de um agrupamento dos vetores de solicitação dos

elementos finitos.

O sistema de equações 3.51 em termos incrementais é:

[ ] { } { }FK ∆=∆⋅ δ ( 3.52)

√ 31

√ 31

√ 31

√ 31

ξ

Nó

Ponto deGauss

11

1

11 2

3 4

η


92

Este sistema de equações é resolvido em cada fase recorrendo a um processo iterativo de

convergência até atingir as condições de equilíbrio entre as forças incrementais internas e as

externas. Depois de obtidos os deslocamentos dos nós dos elementos finitos é possível calcular o

estado de tensão e deformação de qualquer ponto de um elemento finito. Se o ponto corresponder a

um dos pontos de Gauss usados na integração numérica, obter-se-á uma elevada precisão, sendo

esta a razão pela qual a maioria dos programas tem como output as tensões e deformações para

esses pontos de integração.

Selecionado o elemento finito e o correspondente ponto de Gauss onde se pretende calcular as

tensões e deformações, utiliza-se a matriz [B] e do vetor global dos deslocamentos incrementais

extrai-se os correspondentes ao elemento em análise; recorrendo à equação 3.27 obtém-se os

incrementos de deformação que permitem, pela utilização da relação constitutiva do material

(equação 3.39 ou 3.40), determinar as tensões incrementais no ponto:

{ } { }TXYYX τ∆σ∆σ∆σ∆ = ( 3.53)

No estado plano de deformação, a deformação εZ é nula, implicando a existência da tensão σZ que

atua na direção longitudinal da escavação (desenvolvimento). Para além das componentes

incrementais da tensão indicadas no vetor 3.53 há ainda a considerar a componente ∆σZ dada por:

( )YXZ σσνσ ∆+∆⋅=∆ ( 3.54)

onde ν é o coeficiente de Poisson do material.

Determinados os valores das deformações e tensões nos pontos de Gauss de um elemento é

possível interpolar ou extrapolar para outros pontos dentro do elemento, nomeadamente para os

seus nós.

Uma vez efetuada a última iteração de convergência da fase incremental j, os correspondentes

acréscimos de tensão e deslocamentos são adicionados aos valores que resultaram do incremento

anterior, obtendo-se deste modo as tensões e deslocamentos no fim do incremento analisado:

{ } { } { }jjj σσσ ∆+= −1 ( 3.55)

e

{ } { } { }jjj δδδ ∆+= −1 ( 3.56)

Em relação aos elementos finitos isoparamétrico tipo barra de dois nós, utilizados para simular as

escoras e tirantes de pré-esforço, o deslocamento local u(s) pode ser definido em função dos

deslocamentos globais dos nós do elemento:


93

( ) ( ) ( )αδαδαδαδ senNsenNsu YXYX ⋅+⋅⋅+⋅+⋅⋅= 222111 coscos ( 3.57)

em que, como se mostra na Figura 3.3, α é a inclinação que o elemento tipo barra faz com a

horizontal, e os nós sofrem deslocamentos (δX1, δY1) e (δX2, δY2).

Atendendo às funções de forma definidas anteriormente, a matriz [B] é unidimensional (vetor):

[ ] [ ]αααα sensenL

B coscos1 −−= ( 3.58)

e a matriz de rigidez deste tipo de elementos é:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] dsABEBdVBDBKL

T

V

Te

e⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅= 0

( 3.59)

onde L é o comprimento do elemento tipo barra e A é a área da secção transversal homogénea. O

volume elementar, dV, é dado pelo produto da área transversal, A, pelo comprimento elementar

axial, ds. A matriz constitutiva elástica, [D], resume-se a um termo que define o módulo de

deformabilidade do material com comportamento elástico linear, E.

Transformando a coordenada axial local cartesiana, s, em coordenada local paramétrica, ξ, resulta a

seguinte equação:

[ ] [ ] [ ] ξdBBLEA

K Te ⋅⋅⋅= −

1

12

( 3.60)

e a matriz de rigidez do elemento transforma-se em:

[ ]

−−

−−

−−

−−

=

αααααα

αααααα

αααααα

αααααα

22

22

22

22

sensen.cossensen.cos

sen.coscossen.coscos

sensen.cossensen.cos

sen.coscossen.coscos

L

EAK e ( 3.61)

No caso particular de α = 0 (elemento tipo barra horizontal), são apenas os deslocamentos

horizontais dos pontos nodais que mobilizam a rigidez axial do elemento, e neste caso a matriz

anterior simplifica-se:

[ ]

−

−=

11

11

L

EAK e ( 3.62)


94

Para a modelação das descontinuidades, o Código GEO prevê a utilização de elementos de junta

com comportamento elástico-perfeitamente plástico para a relação tensão−deformação tangencial,

definido com critérios puramente friccionais (atritivos) ou puramente coesivos, anteriormente

referidos.

A implementação dos elementos de interface é baseada na proposta inicial de Goodman (1967),

originalmente aplicada na análise de juntas em maciços rochosas, e com desenvolvimentos e

aplicação por autores como Day e Potts (1998), Potts e Zdravković (1999).

As tensões que atuam na interface têm duas componentes, a normal e a tangencial. Essas

componentes estão relacionadas com a deformação normal (extensão) e com a deformação

tangencial (distorção), pela lei constitutiva do material. Na forma incremental, essa relação é:

{ } [ ]

∆

∆⋅=

∆

∆=∆

ε

γ

σ

τσ D ( 3.63)

Para um comportamento elástico linear e isotrópico, a lei constitutiva é:

[ ]

=

n

t

K

K

D

0

0

( 3.64)

em que Kt é a rigidez tangencial e Kn a rigidez normal à superfície definida pela interface, como

indicado na Figura 3.10.

Atendendo à definição de elemento de junta de espessura nula, as deformações do elemento são

definidas em termos de deslocamentos relativos entre a face inferior (inf) e a face superior (sup) do

elemento de junta (Figura 3.4):

supl

infll

supl

infll

vvv

uuu

−==

−==

∆ε∆

∆γ∆ ( 3.65)

Nas equações anteriores, ul e vl são os deslocamentos locais, tangencial e normal à superfície da

junta, respetivamente.

Atendendo à orientação da junta relativamente aos eixos cartesianos (ver Figura 3.4), tem-se:

αα

αα

senucosvv

cosusenvu

l

l

⋅−⋅=

⋅+⋅= ( 3.66)

sendo u e v os deslocamentos no sistema de eixos global, na direção horizontal e vertical,

respetivamente.


95

Na forma matricial, as relações anteriores dão origem a:

−

−⋅

−=

supinf

supinf

vv

uu

cossen

sencos

αα

αα

ε∆

γ∆ ( 3.67)

Os deslocamentos globais de um ponto do elemento de junta podem ser obtidos em função dos

deslocamentos dos nós, usando as seis funções de forma definidas anteriormente para o

correspondente número de nós:

665544

332211

XXXsup

XXXinf

NNNu

NNNu

δδδ

δδδ

⋅+⋅+⋅=

⋅+⋅+⋅= ( 3.68)

e

665544

332211

YYYsup

YYYinf

NNNv

NNNv

δδδ

δδδ

⋅+⋅+⋅=

⋅+⋅+⋅= ( 3.69)

Substituindo as equações 3.68 e 3.69 na equação matricial 3.67 obtém-se:

[ ] { }δε∆

γ∆⋅=

B ( 3.70)

onde

{ } { }TYXYXYXYXYXYX 665544332211 δδδδδδδδδδδδδ = ( 3.71)

e

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ]654321 NNNNNNcossen

sencosB −−−⋅

−=

αα

αα ( 3.72)

e ainda:

[ ]

⋅=

10

01ii NN ( 3.73)

em que i=1, 2…6 nós.

A matriz de rigidez do elemento de junta de espessura nula é:


96

[ ] [ ] [ ] dsBDBKL

Te⋅⋅⋅=

( 3.74)

onde L é o comprimento do elemento.

Utilizando as coordenadas paramétricas, a matriz de rigidez é dada por:

[ ] [ ] [ ] ξdJBDBK Te⋅⋅⋅⋅=

+

−

1

1 ( 3.75)

em que |J| é, à semelhança dos elementos finitos bidimensionais e unidimensionais do tipo barra, o

valor do determinante da matriz Jacobiana da transformação das coordenadas cartesianas para as

coordenadas paramétricas (Day e Potts,1998; Potts e Zdravković, 1999).

As funções trigonométricas da equação 3.72 podem ser obtidas derivando as coordenadas globais

em função da coordenada local, obtendo-se as seguintes igualdades:

ξα

ξα

d

dY

Jsen

d

dX

Jcos

⋅=

⋅=

1

1

( 3.76)

3.2.8. Algoritmos de resolução de problemas não lineares - processo incremental e iterativo

Um dos métodos correntemente utilizados na resolução deste género de problemas consiste em

transformar o comportamento global não linear numa sucessão de comportamentos linearizados

(Desai e Christian, 1977; Almeida e Sousa, 1998; Grazina, 2009).

O método implementado no Código GEO é equivalente ao método de Euler para a resolução de

equações diferenciais de primeira ordem. Como se representa na Figura 3.12a, o método consiste

em partir de uma condição inicial do problema (ponto A), sendo a trajetória definida pelos

sucessivos declives determinados no arranque de cada incremento, ou seja, são executadas

extrapolações com passo-simples (incremento e ponto de partida desse incremento). Este método

extremamente simples obriga a que o número de incrementos seja muito elevado para que a linha

poligonal originada pelo método se aproxime o mais possível da curva que traduz o comportamento

“real” do problema, e o erro de fecho (acumulado) seja mínimo. A Figura 3.12b mostra que se

consegue melhor aproximação aumentando o número de fases incrementais, pela redução do

incremento ∆FAB.

Para um determinado incremento da solicitação, ∆FAB, o incremento do deslocamento é:

ABAAB FK ∆δ∆ ⋅= −1 ( 3.77)


97

onde 1−AK é a inversa da rigidez no início da fase incremental.

O novo deslocamento será:

ABAB δδδ ∆+= ( 3.78)

Para o novo deslocamento, δB, o erro cometido resulta da diferença entre os pontos B (real) e B’

(aproximado). Para a fase seguinte, a nova rigidez é calculada para o novo deslocamento

encontrado, ou seja, será a tangente ao comportamento real no ponto B’’.

(a) (b)

Figura 3.12 – Processo puramente incremental do faseamento construtivo; influência do número

de incrementos no erro acumulado: menor (a) e maior (b) número de incrementos.

Esta técnica, embora seja pouco exigente em termos de esforço de cálculo, não é a mais utilizada

por poder conduzir a soluções que se afastam muito da resposta “real”. A utilização no

Código GEO deste método, em que cada passo corresponde a um incremento da respetiva fase, é

útil para encontrar uma solução rápida, apesar de grosseira, isto é, para uma primeira aproximação

da solução do problema. No desenvolvimento deste capítulo serão feitas mais referências a este

método e possíveis modificações do mesmo.

Uma outra técnica prevista no Código GEO, e a mais utilizada na resolução deste tipo de

problemas, é um processo misto que permite em cada incremento, recorrendo a um ciclo iterativo,

ajustar os parâmetros que caracterizam as relações constitutivas adotadas no cálculo. Ou seja, o

processo incremental simula o faseamento e o processo iterativo dentro de uma fase simula o

comportamento não linear dos materiais O processo iterativo é controlado através de critérios de

convergência, onde se inclui um número máximo de iterações (Grazina, 2009).

δ

F

∆FAB

A

C

∆δ AB

FB

FA

δ A δ B

KA

KC''

B KB''

B'

F

A

KA

C'

B'

Comportamentoreal

Comportamentoaproximado

D'

B''

C'

C''

BB''

C

C''

D

D''

Comportamentoaproximado

Comportamentoreal

E'

E''

E

δ C

FB

FA

∆FAB

δ A δ B∆δ AB δ


98

Para uma determinada Fase j, o problema inicia-se com uma rigidez tangente KA determinada na

fase anterior (ponto A da Figura 3.13). Dentro da fase, por um processo iterativo, o método

determina o vetor das forças residuais não equilibradas que passa a ser a solicitação na iteração

seguinte. O processo iterativo termina quando a solução atinge a precisão indicada como aceitável

no critério de convergência definido em termos de deslocamentos ou de forças, e assim é possível

determinar uma nova rigidez tangente, KB, necessária para a fase seguinte, Fase j+1.

Figura 3.13 – Processo incremental do faseamento construtivo.

O objetivo é determinar, para um dado incremento da solicitação da Fase j, ∆FAB, o incremento de

deslocamento, ∆δAB, e assim encontrar as coordenadas do novo estado (ponto B) correspondente ao

início da Fase j+1:

ABAB FFF ∆+= ( 3.79)

ABAB δδδ ∆+= ( 3.80)

O rigor que se obtém na determinação no ponto B depende do ciclo iterativo dentro da fase.

A Figura 3.14a ilustra o método de Newton-Raphson na versão em que a rigidez tangente é

atualizada em cada iteração do ciclo iterativo, com um possível esforço computacional elevado.

Para além deste facto, esta versão do método pode conduzir a problemas de instabilidade numérica

em casos em que se verifica amolecimento do material e a matriz de rigidez deixa de ser positiva e

definida (Almeida e Sousa, 1998).

Em alternativa, existe o método de Newton-Raphson modificado representado na Figura 3.14b, em

que se mantém a mesma rigidez dentro de cada ciclo iterativo, sendo unicamente atualizada no

A

B

KA

C

δ

KBFase j

Fase j+1

Fase j+2

KC

FB

FA

∆FAB

δ Bδ A ∆δ AB

F


99

início da fase incremental seguinte, podendo reduzir assim o esforço de cálculo e o risco de não

convergir dentro da fase incremental. Esta segunda versão do método é a mais utilizada em

programas de elementos finitos onde a tarefa de inversão da matriz de rigidez exige um grande

esforço computacional. Como se representa na Figura 3.14b, comparativamente com o indicado na

Figura 3.14a, o método tem como desvantagem a necessidade de mais iterações para atingir a

convergência.

(a) (b)

Figura 3.14 – Processo iterativo dentro de uma fase incremental: a) método de

Newton-Raphson; b) método de Newton-Raphson modificado.

Os sucessivos deslocamentos são calculados por acumulação dos incrementos obtidos nas

diferentes iterações:

=

−

∆+=

⋅⋅⋅∆+=

⋅⋅⋅∆+=∆+=

n

i

iAB

iii

A

1

1

212

11

δδδ

δδδ

δδδδδδ

( 3.81)

δ 4

4

δ δ

F2

∆F1B

F3

B

∆F2B

F2

∆F1B

δ A

F1

∆F2B

δ1 δ 2 δ3

F

FB

F1

2

K1

δ1

KB

δ3

F

FA

1

KA

δ B

A

3

∆δ 2

δ 2

KA

δ A δ B

1

∆FAB

FB

FA

KB

2

∆FAB

∆δ1

3

∆δ 2

B

∆δ1

A


100

Em cada passo do processo iterativo de uma fase incremental o método determina as forças

residuais (forças não equilibradas), isto é, a diferença entre as forças externas e as internas, Ri, que

serão utilizadas como solicitação na iteração seguinte.

0

222

111

0

≅−=∆=⋅⋅⋅

−=∆=⋅⋅⋅

−=∆=−=∆=−=∆=

nBnBn

iBiBi

BB

BB

ABAB

FFFR

FFFR

FFFR

FFFR

FFFR

( 3.82)

O processo iterativo termina quando a solução atinge a precisão pretendida definida pelo critério de

convergência, normalmente formulado em termos de forças ou deslocamentos. Em cada iteração, o

incremento de deslocamento é obtido por:

iii RK ⋅= −1δ∆ ( 3.83)

onde 1−

iK é a inversa da rigidez na iteração i, atualizada ou constante, em conformidade com a

versão do método de Newton-Raphson.

3.2.9. Critério de convergência

De acordo com o representado na Figura 3.14, ainda a propósito da descrição do método de

Newton-Raphson, o erro de convergência é, normalmente, avaliado pela determinação das forças

residuais que resultam da diferença entre as forças externas aplicadas e as forças internas. O critério

adotado no Código GEO corresponde ao da norma dos resíduos das forças, em que a convergência

ocorre quando a norma das forças residuais é menor do que uma determinada percentagem, TOL,

da norma das forças externas aplicadas. A sua tradução matemática corresponde a:

TOL%FF

FF%

F

R

AB

nB

AB

n ≤×−−

=×∆

100100 ( 3.84)

onde nR é o norma dos resíduos na iteração n, e

ABF∆ é a norma dos incrementos dos forças

externas. Para além da tolerância TOL apontada para a obtenção da solução admissível, é definido

também o número máximo de iterações, nmáx, de modo a que n ≤ nmáx.

Se o critério de convergência for satisfeito, os resultados obtidos são registados e passa-se à fase de

cálculo seguinte. Caso contrário, como já foi mencionado, torna-se necessário efetuar nova

iteração, sendo as últimas forças residuais calculadas utilizadas como vetor solicitação para essa

nova iteração.


101

3.2.10. Estrutura do programa FEMEP

A resolução do sistema de equações permite a obtenção dos deslocamentos associados à iteração, a

partir dos quais é possível atualizar os deslocamentos nos pontos nodais e as deformações e tensões

nos pontos de Gauss. Na Figura 3.15 representa-se o organograma do Código GEO que traduz a

aplicação do método dos elementos finitos (FEMEP) com uma configuração semelhante à proposta

por Owen e Hinton (1980), desenvolvido por Cardoso (1987) e com alterações mais recentemente

realizadas por Almeida e Sousa (1998) e Grazina (2009).

Figura 3.15 – Organograma do programa FEMEP (adaptado de Owen e Hinton, 1980;

Cardoso (1987); Almeida e Sousa, 1998; Grazina, 2009).

Formação da matriz de deformação.Cálculo das forças nodais equivalentesao peso dos elementos e cargas externas.

Leitura dos dados gerais:- geometria- condições de fronteira- propriedades dos materiais

Cálculo da matriz derigidez de cada elemento.

Assemblagem dos elementos paraobtenção das equações globais:

- matriz de rigidez;- vetor solicitação.

S

(FEMEP)

Ciclo incremental (Fases)

N

Leitura dos dados do incremento.Formação do vetor de solicitaçãoincremental.

Resultados da fase

Fim

Ciclo iterativo

Definição das condições iniciais.

Cic

lo it

erat

ivo

Cic

lo in

crem

enta

l

Verificação daconvergência.

CÓDIGO G

Cálculo das tensões e deformaçõesnos pontos de Gauss.

Resolução do sistema deequações.


102

3.3. CÓDIGO RC – MODELAÇÃO ESTRUTURAL DAS SECÇÕES DE BETÃO ARMADO

PELO MÉTODO DAS FIBRAS

3.3.1. Introdução

Ferraz (2010) criou uma plataforma computacional em Visual C# designada por Evolution, com o

principal objetivo de facilitar o desenvolvimento de modelos de análise estrutural, especialmente de

obras de arte, desde o seu faseamento construtivo até à fase de exploração.

A plataforma Evolution permite a criação de modelos de análise estrutural capazes de integrar

alterações e novas funcionalidades passíveis de serem desenvolvidas por equipas multidisciplinares

de programadores. Assente nessa plataforma, o autor desenvolveu um modelo de análise estrutural

que permite alterações do sistema estático ao longo do tempo, utilizando métodos incrementais e

iterativos, de modo a resolver os problemas originados por análises material e geometricamente não

lineares.

O modelo desenvolvido por Ferraz (2010) incorpora diversas leis constitutivas que incluem a

análise não linear material, nomeadamente o comportamento elastoplástico do aço com

endurecimento, o comportamento elastoplástico à compressão do betão, e ainda o comportamento

não linear traduzido pela fissuração do betão com retenção de tensões de tração (tension stiffening).

É ainda possível considerar o comportamento diferido no tempo, nomeadamente a maturação, a

retração e a fluência do betão. Para o efeito, o autor utilizou, entre outros, elementos finitos lineares

baseados na formulação de Viga de Timoshenko, com a discretização das secções transversais por

fibras. O modelo desenvolvido foi amplamente utilizado e testado, e tem sofrido uma permanente

evolução.

O método das fibras, referido como sendo a técnica utilizada para a discretização das secções

transversais dos elementos estruturais, desenvolvido pelo autor supracitado, consiste na aplicação

da proposta de Chen e Shoraka (1975), em que as secções de betão armado são discretizadas em

pequenos elementos designados como fibras por serem de pequenas dimensões, sendo

compatibilizados através de um campo de deslocamentos contínuo, pressupondo a permanência da

secção plana após deformação (Ferraz, 2001, 2010, 2016). As divisões (fibras) de uma secção

podem ter diferentes dimensões e serem constituídas por diferentes materiais como betão e aço, por

exemplo.

Assente na plataforma Evolution, e utilizando o método das fibras desenvolvido, foi criado um

módulo para análise de secções de betão armado (FIBRAS), capaz de trabalhar de forma autónoma

e interagir diretamente com o Código GEO, doravante designado por Código RC.

Assim, o Código RC possui a capacidade de modelar secções transversais de qualquer geometria,

constituídas por vários materiais, como por exemplo o betão armado, discretizando-as por fibras e

recorrendo às diversas leis materiais disponíveis, lineares e não-lineares. No presente trabalho, para

o caso de estruturas de suporte de terras em betão armado, no Código RC o betão à compressão é

modelado, como já foi mencionado, pela utilização de uma lei de comportamento


103

elástico-perfeitamente plástico, e para a tração por um modelo macromecânico de fendas

distribuídas com retenção de tensões (tension stiffening) (Figueiras, 1983; Faria, 1994).

Relativamente ao aço das armaduras, a modelação é realizada através de um comportamento

elastoplástico bilinear com endurecimento, válido para trações e compressões, como descrito no

capítulo anterior.

O Código RC tem como finalidade analisar as diferentes secções do elemento estrutural de suporte

de terras durante o faseamento construtivo, especialmente para os casos da não linearidade

material. Isto é possível porque o modelo foi desenvolvido para o estudo de problemas evolutivos,

recorrendo a métodos incrementais para lidar com o carácter evolutivo da geometria e solicitação, e

métodos iterativos, do tipo Newton-Raphson original ou modificado, para resolver o problema

introduzido pela não linearidade do comportamento dos materiais.

Para execução do Código RC, os dados inseridos são os relativos à geometria da secção tipo ou das

diferentes secções em termos de discretização por fibras, assim como as características mecânicas

do material de cada uma destas.

3.3.2. Método das fibras - Rigidez à flexão efetiva

A grande vantagem do método das fibras é a possibilidade de se poder simular diferentes

comportamentos para os vários materiais de cada uma das secções do elemento estrutural. Como

nos problemas aqui estudados se admite que os elementos de suporte de terras (cortinas de

contenção) estão sujeitos à flexão composta plana, as fibras de betão apresentam desenvolvimento

longitudinal paralelo ao eixo neutro, sem a necessidade de qualquer divisão na direção

perpendicular. Nestas condições, essas fibras podem ser designadas como camadas.

A Figura 3.16 mostra a discretização em fibras de uma secção corrente de betão armado (m = 2

materias), com configuração retangular de base b = 1,0 m e espessura h, correspondente a uma

secção elementar de uma cortina de contenção do tipo parede moldada. A secção real (Figura 3.16a) desdobra-se num conjunto de fibras de betão geometricamente iguais (Figura 3.16b), e num

outro conjunto de fibras de aço que representam os varões nas respetivas posições da secção real

(Figura 3.16c). Na mesma figura estão indicadas as nc fibras de betão (ic = 1,…, nc) e as ns fibras de

aço (is = 1,…, ns). A secção é dividida em fibras de betão com módulo de elasticidade Ec, e os

varões de aço das armaduras transformados em fibras com módulo de elasticidade Es. Numa fase

inicial elástica os módulos de elasticidade são constantes, mas podem variar em função do estado

de deformação da secção em análise, passando-se a utilizar os módulos de deformabilidade que

resultam das relações tensão-extensão dos materiais.

Relativamente aos varões das armaduras, se estes estiverem dispostos em alinhamentos paralelos

ao eixo de flexão, podem ser agrupados originando fibras equivalentes, tantas quantas as armaduras

definidas para a secção. No caso da secção transversal representada na Figura 3.16a, seriam duas

fibras equivalentes às armaduras definidas na secção, com a mesma distância relativamente ao eixo

das abcissas.


104

(a) (b) (c)

Figura 3.16 – Exemplo da discretização de uma secção de betão armado por

fibras: a) secção real; b) fibras de betão; c) fibras de aço.

O ponto médio de cada fibra é o ponto representativo do seu comportamento, admitindo-se

constante a distribuição das tensões e deformações no interior da mesma. Naturalmente que, quanto

mais finas forem as fibras, ou seja, um maior número de fibras, mais o comportamento da secção

transformada se aproxima do comportamento da secção real.

Na Figura 3.17 representa-se a mesma secção da figura anterior mas agora com as dimensões das

fibras e a referência a duas fibras genéricas, uma de betão, ic, e a outra de aço, is, com indicação das respetivas ordenadas dos centros geométricos,

ciy e

siy , respetivamente. As dimensões de cada

fibra são ci

b e ci

h para as fibras de betão, e si

b e si

h para as fibras de aço.

No caso das fibras de betão, para este tipo de cortinas de contenção de grande desenvolvimento

longitudinal de secção constante (em flexão plana composta), a largura é constante e igual à base b da secção. No caso de varões de aço de diâmetro

siφ , pode considerar-se que as dimensões da fibra

genérica is são 2/.sss iii hb φπ== . Na Figura 3.17, para além da espessura (ou altura) da secção,

h, indica-se a altura útil, d, admitindo que as fibras de aço localizadas na face inferior

correspondem aos varões tracionados, assim como as distâncias a e a’ que definem as posições dos

alinhamentos das armaduras relativamente às faces da secção.

Em problemas correntes de flexão plana, simples ou composta, e secções retangulares com as

armaduras posicionadas perto das faces opostas, Ferraz (2001) concluiu que a discretização da

secção de betão em cerca de 20 fibras (camadas) é suficiente para se obter uma razoável

aproximação numérica. Aumentando o número de fibras de betão, consequentemente de menores espessura,

cih , alcançam-se, naturalmente, melhores resultados mas aumenta o esforço

computacional. A tolerância requerida para a convergência do processo iterativo deve ser escolhida

de modo a obter uma precisão eficaz e ao mesmo tempo não exigir um esforço computacional

demasiado elevado.

b = 1,00 mb = 1,00 m

m = 2

x

y

is = ns

ic = 1

ic = nc

b = 1,00 m

y

xh

is = 1

y

x

As

A's


105

Figura 3.17 – Discretização da secção por fibras: dimensões e posição das

fibras relativamente ao eixo das abcissas.

A Figura 3.18 mostra uma perspetiva da secção de betão duplamente armada discretizada por

fibras, como representado na Figura 3.16 e Figura 3.17, sujeita a um momento fletor positivo e um

esforço axial, assim como os diagramas de tensões e extensões para o Estado I e Estado I-II,

elástico e não linear, respetivamente.

Figura 3.18 – Secção de betão duplamente armada sujeita a flexão plana composta: diagramas de

extensões e tensões para as fibras de betão e aço (comportamento elástico linear e não linear de

transição entre o Estado I e o Estado II).

c

c

c

s

x

ic

y

yi

is

yi

hi

a

a'

hd

bi = b

σ s t

σ s c

ε c t

b

TENSÕES

ε sc

σ c c

ESTADO I-II (NÃO LINEAR)

σ c t

ε s c

N

εc t

(−)

σ s c

εc c

σ s t

e.n.

e.n.

ε s t

σ c c

ε s t

e.n.

ESTADO I (LINEAR)

e.n.

EXTENSÕES

M

σ c t

εc c

h


106

Admitindo um modelo de comportamento em flexão plana composta, os esforços internos,

momento fletor e o esforço axial, M e N, resultam da integração das tensões normais instalados na

secção transversal de área A:

⋅=

⋅⋅=

A

A

dAN

dAyM

σ

σ ( 3.85)

sendo y a ordenada medida relativamente ao centro geométrico da secção de betão, onde se

admitem estarem instalados os esforços M e N.

Se a secção tipo do elemento estrutural for heterogénea, constituída por m materiais, as expressões

anteriores transformam-se nas seguintes:

⋅=

⋅⋅=

=

=m

jA

j

m

jA

j

j

j

dAN

dAyM

1

1

σ

σ

( 3.86)

em que Aj é a área de cada material j.

Para o caso de dois materiais (m = 2), betão e aço, por exemplo, admitindo uma perfeita aderência

entre eles, as equações 3.86 transformam-se nas seguintes expressões aproximadas:

⋅+⋅=

⋅⋅+⋅⋅=

==

==s

s

ss

c

c

cc

s

s

sss

c

c

ccc

n

i

ii

n

i

ii

n

i

iii

n

i

iii

AAN

AyAyM

11

11

σσ

σσ

( 3.87)

Por sua vez, as expressões 3.87 dão origem às expressões 3.88 substituindo as áreas das fibras pelas

suas dimensões (Figura 3.17):

⋅⋅+⋅⋅=

⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=

==

==

s

s

s

ssc

c

c

cc

s

s

s

sssc

c

c

ccc

i

n

i

iii

n

i

ii

i

n

i

iiii

n

i

iii

hbhbN

hbyhbyM

11

11

σσ

σσ

( 3.88)

Como o betão armado, em flexão, assume um comportamento elástico linear apenas para pequenas

deformações, muito longe de se atingirem as tensões máximas em condições de serviço, facilmente


107

passa para um comportamento não linear resultante da fendilhação. Assim, a análise não linear

implica a existência de um processo incremental, em função do faseamento construtivo, e iterativo

para se atingir em cada incremento o equilíbrio entre os esforços internos e os externos. As

equações 3.88 passam então a ser representadas pela forma incremental:

⋅⋅∆+⋅⋅∆=∆

⋅⋅∆⋅+⋅⋅∆⋅=∆

==

==

s

s

s

ssc

c

c

cc

s

s

s

sssc

c

c

ccc

i

n

i

iii

n

i

ii

i

n

i

iiii

n

i

iii

hbhbN

hbyhbyM

11

11

σσ

σσ

( 3.89)

Os incrementos de tensão no betão e no aço, ∆σc e ∆σs, são função dos módulos de elasticidade

(tangentes), de acordo com as leis constitutivas dos materiais, correspondentes às extensões

acumuladas, e função dos incrementos de extensão das fibras:

∆⋅=∆

∆⋅=∆

stss

ctcc

E

E

εσ

εσ ( 3.90)

As igualdades 3.89 transformam-se nas seguintes:

⋅⋅∆⋅+⋅⋅∆⋅=∆

⋅⋅∆⋅⋅+⋅⋅∆⋅⋅=∆

==

==

s

s

s

sssc

c

c

ccc

s

s

s

ssssc

c

c

cccc

i

n

i

iitii

n

i

iiti

i

n

i

iitiii

n

i

iitii

hbEhbEN

hbEyhbEyM

11

11

εε

εε

( 3.91)

Nas equações que relacionam as duas grandezas estáticas, M e N, com os dados geométricos da

secção e com as propriedades mecânicas dos materiais, intervêm duas variáveis cinemáticas: a

extensão longitudinal no centro geométrico da secção de betão, ε0, e a curvatura, 1/r. Como é

admitido que a extensão varia linearmente dentro da secção em função da posição y do seu centro

geométrico (lei da compatibilidade de deformações), a extensão da fibra genérica i, εi, é dada pela


ryii

10 ⋅+=εε ( 3.92)

Os incrementos de extensão das fibras de betão e de aço são definidos pelas equações 3.93 e

resultam da igualdade 3.92:


108

∆+∆=∆

∆+∆=∆

r.y

r.y

ss

cc

ii

ii

1

1

0

0

εε

εε ( 3.93)

Das equações 3.91, substituindo os incrementos de extensão das fibras de betão e de aço, definidas

pelas igualdades 3.93 em função das variáveis cinemáticas e das respetivas ordenadas, e agrupando

os termos associados às variáveis cinemáticas, obtém-se:

∆⋅

⋅⋅+⋅⋅+

+∆⋅

⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=∆

∆⋅

⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+

+∆⋅

⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=∆

==

==

==

==

0

11

11

0

11

2

1

2

1

1

1

ε

ε

s

s

s

ssc

c

c

cc

ss

s

s

sscc

c

c

cc

ss

s

s

sscc

c

c

cc

ss

s

s

sscc

c

c

cc

i

n

i

itii

n

i

iti

ii

n

i

itiii

n

i

iti

ii

n

i

itiii

n

i

iti

ii

n

i

itiii

n

i

iti

hbEhbE

ryhbEyhbEN

yhbEyhbE

ryhbEyhbEM

( 3.94)

De uma forma matricial, as equações anteriores dão origem a:

∆

∆⋅

=

∆

∆

02221

12111

εr

KK

KK

N

M (3.95)

em que:

2

1

2

1

11 ss

s

s

sscc

c

c

cc ii

n

i

itiii

n

i

iti yhbEyhbEK ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=

==

( 3.96)

ss

s

s

sscc

c

c

cc ii

n

i

itiii

n

i

iti yhbEyhbEKK ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅==

== 11

2112 ( 3.97)


109

s

s

s

ssc

c

c

cc i

n

i

itii

n

i

iti hbEhbEK ⋅⋅+⋅⋅=

== 11

22 ( 3.98)

Os termos K11, K12 e K22 dependem das deformações acumuladas (1/r, ε0) que definem o respetivo

módulo de elasticidade tangente dos materiais, de acordo com as leis constitutivas.

O termo K11 corresponde a uma rigidez à flexão porque resulta dos produtos dos módulos de

elasticidades pelos momentos de inércia gerados por cada fibra relativamente ao eixo que passa no

centro geométrico da secção. O termo K22 corresponde a uma rigidez axial que resulta dos produtos

dos módulos de elasticidades pelas áreas de cada fibra. O termo K12 é equivalente a um momento

estático homogeneizado, e resulta do facto de a secção ser assimétrica e (ou) os materiais não

possuírem sempre um comportamento elástico linear.

A relação entre o termo K12 (ou K21) e K22 permite determinar o Centro de Rigidez (CR) da secção:

22

12

K

KyCR = ( 3.99)

Como foi referido no Capítulo 2, a posição do centro de rigidez depende da forma geométrica da

secção de betão, das áreas das armaduras e respetivas posições, assim como das leis constitutivas

dos materiais, onde está implícito o efeito da fendilhação do betão.

Como se verá, o valor de yCR é relativamente pequeno quando, numa fase inicial elástica, a

assimetria das armaduras é relativamente pequena; e é elevado quando o comportamento passa a

ser não linear em função do estado de fendilhação e (ou) a assimetria conferida pelas armaduras é

elevada.

A segunda equação do sistema 3.95 pode ser apresentada do seguinte modo:

022211 ε∆⋅+∆⋅=∆ Kr

KN ( 3.100)

e transformada em:

022

21

22

1 ε∆+∆⋅=∆rK

K

K

N ( 3.101)

ou, atendendo a 3.99:

022

1 ε∆+∆⋅=∆r

yK

NCR ( 3.102)


110

Como está representado na Figura 3.19, a extensão axial no CR, função de yCR, vale:

ryCRCR

10 ⋅+= εε ( 3.103)

e assim, a equação 3.102 transforma-se em:

CRK

N ε∆=∆

22

( 3.104)

ou

CRKN ε∆⋅=∆ 22 ( 3.105)

A equação 3.104 mostra que a variação da extensão do centro de rigidez, ∆εCR, é obtida pela

relação entre a variação do esforço axial, ∆N, e a rigidez axial, K22.

Figura 3.19 – Posição e extensão do centro de rigidez de uma secção.

Explicitando ∆ε0 na segunda equação do sistema 3.95 e substituindo na primeira equação, vem:

22211211

111

KrKNK

rKM ⋅

∆⋅−∆⋅+∆⋅=∆ ( 3.106)

ou

rK

KKK

K

KNM

1222

212

221122

12 ∆⋅

⋅−=⋅∆−∆ ( 3.107)

CG

∆M

h

y

CR

εC R ε0

∆ε0

yCR

∆(1/r)

∆N∆εCR


111

Atendendo à relação 3.99 vem:

( )r

yKKyNM CRCR12

2211 ∆⋅⋅−=⋅∆−∆ ( 3.108)

Sabendo que MCR = M - N·yCR, o incremento de momento fletor no centro de rigidez é:

CRCR yNMM ⋅∆−∆=∆ ( 3.109)

Pelo que a equação 3.108 se transforma em:

( )r

yKKM CRCR

122211 ∆⋅⋅−=∆ ( 3.110)

A relação incremental entre o momento fletor no CR e a curvatura dá origem à seguinte relação:

222111 CR

CR yKK

r

M ⋅−=∆

∆

( 3.111)

Representando por K11CR a rigidez à flexão efetiva, correspondente ao momento de inércia

(homogeneizado) relativamente ao eixo que passa no CR e é paralelo ao eixo neutro, obtém-se,

como esperado, a seguinte relação (equivalente ao teorema dos eixos paralelos de Steiner):

2221111 CRCR yKKK ⋅−= ( 3.112)

A rigidez à flexão efetiva (ou equivalente), correspondente à tangente à curva que traduz a relação

MCR - 1/r, é dada pela seguinte igualdade:

( ) CRCRCR

eq K

r

M

r

MEI 1111

=∆

∆≅∂

∂= ( 3.113)

Designando por eixo x’x’ o eixo que passa pelo centro de rigidez e é paralelo ao eixo neutro,

verifica-se que a sua posição é variável em função do processo incremental e iterativo. Depois de

identificada a posição desse eixo pela determinação de yCR, a rigidez à flexão efetiva da secção

pode ser determinada diretamente em relação a esse eixo pela relação 3.112.

A Figura 3.20 mostra a posição relativa do eixo x’ que passa pelo CR, assim como a posição do

eixo neutro (en), para os diferentes estados de fendilhação, pressupondo que 'ss AA > .


112

Figura 3.20 – Posição do centro de rigidez (CR) de uma secção sujeita à flexão plana

composta (com esforço axial de compressão) para Estado I, Estado I-II e Estado II.

3.3.3. Variação da deformação

Da equação 3.108 obtém-se a variação da curvatura em função da variação dos esforços M e N:

22211

2122211

12221

CR

CR

yKK

yNM

KKK

KNKM

r ⋅−⋅∆−∆=

−⋅⋅∆−⋅∆=∆ ( 3.114)

Substituindo na equação 3.102 e explicitando ∆ε0 fica:

2221122

2122211

12110

CR

CRCR

yKK

yNMy

K

N

KKK

KMKN

⋅−⋅∆−∆⋅−∆=

−⋅⋅∆−⋅∆=∆ε ( 3.115)

As deformações acumuladas no fim de um processo iterativo são:

CG

CG

CG

A's

en

N

N

As

ESTADO II

yen

CR

N

A'sMCR

M

x'

x

M

x'

y

As

CR

h

As

A's

yCR

en

yen

ESTADO I-II

b

MCR

y

N

ESTADO I

x

y

MCR

x

CR

N

M

Nx'en yen

yCR

yCR


113

∆=rr

11 ( 3.116)

∆= 00 εε ( 3.117)

ou, para a iteração i+1:

11

111

++

∆+

=

iii rrr ( 3.118)

e

( ) ( ) ( ) 10010 ++ += iii ε∆εε ( 3.119)

3.3.4. Posição do eixo neutro e extensão das fibras

A posição do eixo neutro (yen) corresponde à posição da fibra de extensão nula:

ryen

10 0 ⋅+== εε ( 3.120)

o que equivale a:

r

yen 10ε−=

( 3.121)

A extensão de uma fibra pode ser obtida pela equação 3.92 ou, atendendo à equação 3.103, pela

expressão:

( ) ( )r

yyy CRCR1⋅−+== εεε ( 3.122)

Conjugando as expressões 3.104 e 3.113 com a igualdade anterior, e sob a forma incremental,

resulta:

( ) ( )CR

CRCR K

Myy

K

Ny

1122

∆⋅−+∆=∆ε ( 3.123)

Equação que permite, por acumulação, obter as extensões nas diferentes fibras de uma secção.

A Figura 3.21 mostra a variação das extensões em função de y, assim como a posição do eixo

neutro (yen). Para y = h/2 e y = - h/2, as extensões no betão são εct e εcc, a extensão máxima de

tração e a máxima de compressão, respetivamente.


114

Figura 3.21 – Variação da extensão em função de y e posição do eixo neutro (en).

3.4. INTERFACE ENTRE O CÓDIGO GEO E O CÓDIGO RC

3.4.1. A ideia da comunicação entre códigos

Como foi referido, é corrente a utilização de programas de cálculo automático baseados no método

dos elementos finitos para o estudo de problemas geotécnicos com rigorosos modelos de

comportamento dos solos mas com modelos de comportamento simplificados para as estruturas de

betão armado, normalmente elásticos lineares.

Como existem vários programas de cálculo automático, de uso corrente, para resolver

separadamente cada uma das partes do problema global da interação solo-estrutura de contenção,

Matos Fernandes (2010, 2015) sugeriu estabelecer a ligação entre duas dessas ferramentas,

minimizando-se, contudo, as alterações necessárias a efetuar aos códigos para que seja possível

essa comunicação. Assim, associou-se um programa de cariz geotécnica designado por Código

GEO, baseado no método dos elementos finitos (FEMEP), a um outro de cariz estrutural,

designado por Código RC, baseado no método das fibras (FIBRAS), de modo a interagirem na

pesquisa de uma solução mais realista do comportamento das estruturas de contenção de

escavações profundas executadas, principalmente, em betão armado.

Nos próximos itens é feita a descrição do modo como é realizada a comunicação entre os dois

códigos, quais os dados a fornecer e quais os resultados obtidos, assim como algumas

particularidades do processo julgadas pertinentes.

3.4.2. O acoplamento entre os dois códigos

O modelo numérico de análise de problemas de escavações profundas suportadas por paredes de

betão armado resulta, como foi já referido, da associação de um programa de elementos finitos para

ε0

CR

yen

y

1/rεC R

h

yCR

ε = ε( y )

εct

εcc

CG


115

análise geotécnica (Código GEO) e de um programa baseado no método das fibras para análise de

secções de betão armado (Código RC). Na Figura 3.22 faz-se uma representação com a definição

dos dois códigos:

- no Código GEO, com uma representação num sistema de eixos cartesiano de coordenadas

(X,Y), está indicada uma malha de elementos finitos para modelação do solo e da cortina de

contenção; para cada elemento finito bidimensional que modela a cortina são definidos dois

conjuntos de pontos de Gauss de alinhamento horizontal que vão originar duas secções a

serem analisadas pelo Código RC; no total, o número de secções é igual ao dobro de

elementos finitos bidimensionais que definem a cortina;

- o Código RC está representado num outro sistema de eixos cartesiano tridimensional (x,y,z),

onde o eixo z representa a profundidade e as secções da cortina estão contidas em planos

horizontais definidos pelas coordenadas (x,y);

Na Figura 3.23 está resumido o modo como se estabelece a comunicação entre os dois códigos,

indicando-se a informação transmitida pelo modelo geotécnico ao modelo estrutural, e qual a

resposta deste ao primeiro para utilização na fase seguinte. Para cada conjunto de dois pontos de

Gauss de alinhamento horizontal de um elemento finito bidimensional que modela a cortina do

Código GEO, pontos 1 e 2 que definem a Secção S, por exemplo, são identificados os incrementos

de esforços e deformações, gerados numa Fase j. Esta operação repete-se para todos os conjuntos

de pontos de gauss, ou seja, para todas as secções da cortina de contenção. Na Figura 3.22 e na

Figura 3.23 estão representados esses pontos, assim como os incrementos de esforços e

deformações da fase. Como se verá, os resultados do Código GEO, que servem como dados para o

Código RC, podem conter os incrementos de esforços, os incrementos de deformação, ou ainda

uma combinação dos dois tipos.

Ambos os modelos numéricos são incrementais e iterativos, e a sua interação é efetuada apenas

entre fases incrementais e não durante o processo iterativo. Em cada fase há um ciclo iterativo, quer

no Código GEO, quer no Código RC, de modo a minimizar as forças residuais que resultam do

equilíbrio entre as forças externas e as internas. Assim, pretendendo-se uma análise de elevado

rigor, torna-se necessário que as fases de escavação sejam relativamente pequenas de modo a

reduzir o valor dos incrementos de esforços e deformações, aliás, como em qualquer análise não

linear, obrigando, naturalmente, a que a malha de elementos finitos no Código GEO na zona a

escavar seja mais refinada.

Numa primeira fase (Fase 0), o Código GEO gera o estado de tensão em repouso e o Código RC

avalia a rigidez inicial elástica, (EI)I, para todas as secções da cortina.


116

Figura 3.22 – Identificação das componentes do modelo: Código GEO e Código RC.

Como se viu, após um comportamento inicial elástico da cortina, o Código RC analisa o

comportamento não linear do betão armado gerado pela fendilhação, conforme o diagrama

momento-curvatura (MCR - 1/r) representado na Figura 3.23. Para cada fase do processo

construtivo, e para cada secção, são identificados os valores elásticos de esforços e das

deformações (ou respetivos incrementos) e comunicados ao Código RC. O Código RC, para cada

secção, estabelece o equilíbrio interno atendendo às leis de comportamento de cada material,

calculando o estado de tensão e extensão em cada fibra, e determina uma rigidez à flexão

equivalente, (EI)eq, que é comunicada ao Código GEO para utilização na análise da fase seguinte.

Y

xy

X

z

Código GEO

Código RC

z

M

y

ε

x

N

z

( )

1/r

xy

∆M (z)∆N (z) ∆1/r (z)

∆ε0 (z)


117

Os programas FEMEP (Código GEO) e o programa FIBRAS (Código RC) foram modificados para

comunicarem através de ficheiros do tipo “*.txt”, onde, para cada fase do processo construtivo,

geram ficheiros com informação que permitem um fácil controlo do processo, avaliação do

desempenho computacional, e análise da evolução de várias grandezas relevantes do problema.

Figura 3.23 – Interação entre o modelo geotécnico e o modelo estrutural.

Inicialmente são criados dois ficheiros de dados: um para leitura do Código GEO e outro para

leitura do Código RC, Geo.txt e Section.txt, respetivamente. O ficheiro Geo.txt contém os dados

relativos à malha de elementos finitos, características e comportamento dos materiais, faseamento

construtivo, características dos elementos estruturais de apoio da escavação, etc.

Os dados gerais inseridos no ficheiro Section.txt para a análise estrutural são os referentes à

geometria da secção tipo (ou de todas as secções que representam o elemento estrutural) e

características mecânicas dos materiais. Igualmente são definidas as dimensões das fibras de cada

material (betão e aço, neste caso) e as coordenadas do centro geométrico de cada uma dessas fibras.

Para cada material são indicadas as tensões e extensões que definem os modelos constitutivos de

comportamento, assim como os respetivos módulos de elasticidade.

O Código GEO, para cada fase, gera um ficheiro de resultados com os esforços instalados em cada

secção transversal da cortina e as correspondentes deformações elásticas (Fase j; Fibrin-j.txt). Esse

ficheiro é lido pelo Código RC na correspondente fase e determina qual o estado de comportamento

de cada secção, isto é, aferindo se o comportamento estrutural se mantém no estado elástico ou no

estado fendilhado em evolução. Em função desta avaliação é determinada uma rigidez equivalente

para cada secção em análise que é comunicada ao Código GEO sob a forma de um módulo de

elasticidade equivalente. Para cada fase é criado um ficheiro que contém, para todas as secções da

Fibras

1/r

(EI)II

2

2

Ponto de1/r (z)

(EI)eq

(EI)eq=

Μ CR

M

3

ε

Fase j+1

Nó

Gauss

Estado II

N

ε0

∂MCR

Código GEO

( )

1E

stad

o I

M N

∂(1/r)

1/r

4

(EI)I

ε0 1/r x

Código RC

Estado III

Real

ε0 (z)

Fase j1

y

δ h (z)As

z

b

Secção S

N(z)A's

M(z)Secção S

h

x

y

h

b


118

cortina em análise, o respetivo módulo de elasticidade equivalente para ser comunicado ao Código

GEO para a análise da fase seguinte (Fibrout-j.txt). A Figura 3.23 e a Figura 3.24 complementam

o exposto na descrição da comunicação entre os dois códigos.

Figura 3.24 – Organograma do acoplamento da interação do programa

geotécnico com o programa estrutural.

Na Figura 3.24 representa-se um organograma simplificado do acoplamento e interação entre os

programas utilizados. O algoritmo de interação termina com a possibilidade de um tratamento

numérico dos resultados de cada uma das fases, recorrendo a um terceiro programa codificado em

FORTRAN, designado por INTERPRET dos autores Almeida e Sousa (1998), Venda Oliveira

(2000) e Grazina (2009). Neste último programa para tratamento de resultados, INTERPRET, há a

possibilidade de se gerarem ficheiros com informação específica, como por exemplo, tensões em

determinados pontos de Gauss, deslocamentos de nós, esforços nos elementos estruturais, etc.

Para além do tratamento numérico permitido pelo programa INTERPRET, é possível gerar ficheiros

de resultados compatíveis com um programa de processamento gráfico, tipo ”*.msh”, que contém

as informações sobre a malha de elementos finitos, e um outro do tipo “*.res” com toda a

informação sobre os deslocamentos, tensões e deformações para todos os pontos de integração e

para todos os nós, e por cada fase construtiva. Para o efeito recorre-se ao programa GID

(desenvolvido no International Center for Numerical Methods in Engineering – CIMNE,

Barcelona, Espanha) que permite um pré e pós-processamento de modelos de elementos finitos

CÓDIGO GEO

INTERPRETGID

EXCEL-VBA

Section.txt(Dados geotécnicos)

j = 0

Fibrin-0.txt

Fibrout-0.txt

Fibrin-j.txt Faseamento construtivo: -Evolução do estado de tensão e deformação -Rigidez equivalente da cortina -Evolução dos deslocamentos e esforços

CÓDIGO RC

Fase

Fibrout-j.txt

FEMEP FIBRAS

(Dados estruturais)

Fase

TRATAMENTO NUMÉRICOE GRÁFICO DOS RESULTADOS

Geo.txt

Condições iniciais: -Estado de tensão de repouso -Rigidez estrutural elástica

1 ≤ j ≤ N


119

(Grazina, 2009). Como complemento do tratamento gráfico recorre-se ao Excel da Microsoft com

a criação de Macros em Visual Basic para leitura e tratamento de resultados, com o traçado de

gráficos.

3.4.3. Output do Código GEO

No Código GEO, depois de obtidos os deslocamentos dos nós de um elemento finito que modela a

cortina, facilmente se determinam as deformações que ocorrem no interior do mesmo. Verificou-se

que, na descrição do método dos elementos finitos do Código GEO, as extensões variam

linearmente dentro de um elemento finito, como resultado das derivadas parciais das funções de

forma segundo as direções consideradas. Partindo do pressuposto de comportamento elástico da

cortina de contenção, as tensões normais são proporcionais às referidas extensões e variam

linearmente em função da distância y (ordenada dentro de uma secção transversal). Conhecidas as

extensões nos pontos de Gauss, facilmente se obtém as tensões aí instaladas.

O momento fletor elástico é obtido pela integração do produto das tensões normais à secção pela

ordenada y, estendido a toda a área A:

−

⋅⋅=

2/

2/

h

h

dAyM σ ( 3.124)

Como a área elementar vale dA = b.dy, ou simplesmente dA = dy (m2/m) atendendo a que a análise

é realizada por metro de desenvolvimento (b = 1,0 m), a expressão final que permite obter o

momento fletor elástico, M (kN.m/m), é:

( )212

12

3 σσ −⋅⋅= hM ( 3.125)

onde h é a espessura da parede e 1σ e 2σ são as tensões normais nos dois pontos de Gauss que

definem uma secção.

Do mesmo modo, o esforço axial elástico, N (kN/m), é dado pela expressão:

−

⋅=

2/

2/

h

h

dAN σ ( 3.126)

resultando na seguinte igualdade:

( )212σσ +⋅= h

N ( 3.127)


120

Embora neste trabalho se tenha concebido um modelo de comportamento em flexão plana

composta, o mesmo poderá, em trabalhos futuros, ser reformulado contemplando o efeito das

tensões de corte nas deformações das secções na cortina. Assim, as considerações aqui

apresentadas servirão como referência para esse eventual desenvolvimento.

O dimensionamento estrutural da cortina implica a verificação da resistência ao efeito do esforço

transverso, ou seja, é necessário verificar se a resistência conferida pelo betão e armaduras de

flexão é suficiente ou se há a necessidade de colocação de armaduras para esse efeito. Neste

sentido, embora não se dê muita relevância neste trabalho à evolução dos esforços transversos, em

termos de representação gráfica, é realizado sempre um controlo para verificação do

dimensionamento estrutural e função do faseamento construtivo, assim como a correspondência

entre os momentos fletores e esforços transversos, e entre estes e as reações nos apoios estruturais.

A Figura 3.25a mostra uma secção sujeita aos três esforços necessários ao dimensionamento

estrutural: momento fletor, M, esforço axial, N, e esforço transverso, V. Na Figura 3.25b está

representado o diagrama das extensões normais à secção (em perspetiva) e o correspondente

diagrama linear das tensões normais com a indicação das obtidas nos dois pontos de Gauss.

Enquanto que as derivadas parciais dos deslocamentos em ordem a X e em ordem a Y (coordenadas

cartesianas da malha de elementos finitos) apresentam variação linear segundo essas direções (εX e

εY), o mesmo não acontece com a adição das derivadas cruzadas, ou seja, na obtenção da distorção,

γXY ≡ γyz :

Y

u

X

vXY ∂

∂+∂∂=γ ( 3.128)

A expressão 3.128 apresenta uma variação quadrática nas duas direções do plano vertical da malha

de elementos finitos, e as secções transversais da cortina estão inseridas em planos horizontais. As

tensões de corte que atuam na secção variam de forma quadrática em função de y, como resultado

das distorções representadas em perspetiva na Figura 3.25c:

XYXY G γττ ⋅== ( 3.129)

sendo G o módulo de distorção ou módulo de elasticidade transversal, dado por:

( )ν+⋅=

12

EG ( 3.130)

O esforço transverso por metro de desenvolvimento (V/b) é determinado pela integração das

tensões tangenciais que resultam da expressão 3.129. Ou seja, conhecidas a tensões de corte nos

dois pontos de Gauss, τ1 e τ2, pela integração numérica resulta a seguinte igualdade:

( )212ττ +⋅= h

b

V ( 3.131)


121

Como se mostra na Figura 3.25c, o diagrama das tensões de corte, como consequência do diagrama

das distorções, com uma variação quadrática, pode apresentar valores não nulos nas faces opostas

da secção, isto é, para y = ± h/2. Tal facto deve-se ao princípio da reciprocidade das tensões

tangenciais, sendo estas tensões as geradas nas faces da cortina em contacto com o solo, ou seja, as

tensões tangenciais geradas por atrito ou adesão.

(a) (b) (c)

Figura 3.25 – Tensões e deformações numa secção transversal da cortina: a) esforços

atuantes b) extensões e tensões normais; c) distorções e tensões tangenciais.

Se as tensões tangenciais nas interfaces entre a cortina e o solo forem relativamente pequenas,

quando comparadas com as que se desenvolvem no interior da cortina, e até nulas para a face

escavada da cortina, a expressão da teoria da elasticidade, correntemente utilizada, que relaciona as

tensões de corte com o esforço transverso é:

−⋅

⋅= 2

2

42y

h

I

Vτ ( 3.132)

e o seu valor é máximo no eixo que passa pelo centro geométrico da secção (fórmula de Jouravski):

I

S

b

V ⋅=maxτ ( 3.133)

τx

τ1

Ponto de

N

1

1/r

V

h

1

x

Gauss

2

σ1

ε

Ponto de

h

y

( )

N

σ τ2

σ 2Gauss

2

M

M

( )

h

b

hγ yz

V

y

z


122

em que V/b, como foi referido, é o valor do esforço transverso por unidade de desenvolvimento da

cortina, S é o momento estático e I o momento de inércia, ambos obtidos em relação ao

mencionado eixo longitudinal que passa no CG.

No que respeita às deformações elásticas, a extensão no centro geométrico da secção, ε0, e a

curvatura, 1/r, são obtidas do seguinte modo:

( )210 2

1 εεε +⋅= ( 3.134)

e

( )2131 εε −⋅=

hr ( 3.135)

sendo ε1 e ε2 as extensões correspondentes aos pontos de Gauss referenciados por 1 e 2 na

definição da secção, como indicado na Figura 3.23 e na Figura 3.25.

3.4.4. Output do Código RC

No decorrer de uma análise, não é possível alterar a geometria da malha de elementos finitos

definida no Código GEO para modelação do problema geotécnico. Assim, a rigidez efetiva da

cortina de contenção avaliada no Código RC, para cada secção e em cada fase, é comunicada

indiretamente ao Código GEO sob a forma de um módulo de elasticidade equivalente, obtido pela


( )0I

EIE eq

eq = ( 3.136)

onde (EI)eq é a rigidez à flexão equivalente obtida pela expressão 3.113, e I0 é o momento de

inércia da secção transversal da cortina para a espessura definida na malha de elementos finitos do

Código GEO.

É importante referir que a rigidez axial efetiva não está emparelhada com a rigidez à flexão. Isto é,

na análise efetuada pelo Código GEO é atribuida indiretamente à cortina uma rigidez axial efetiva

calculada com o mesmo módulo de elasticidade obtido pela equivalência da rigidez à flexão. Essa

rigidez axial elástica é:

( ) 0AEEA eqel ⋅= ( 3.137)

em que A0 é a área da secção transversal correspondente à espessura da cortina, h, definida na

malha de elementos finitos.


123

Atendendo às expressões 3.112 e 3.113, a igualdade 3.137 pode ser definida como:

( ) ( )2

2221121122

1212

hyKK

hKKEA CRCRel ⋅⋅−=⋅== ( 3.138)

3.5. ABORDAGENS DO MODELO NUMÉRICO

3.5.1. Introdução

No desenvolvimento do presente trabalho foi necessário realizar vários estudos acerca da forma

como os dois códigos poderiam e deveriam comunicar. A necessidade destas análises resultou da

procura de soluções para casos mais complexos do que aqueles que inicialmente se previa estudar

e, ao mesmo tempo, a necessidade de conseguir encontrar um modelo que melhor traduz o

comportamento “real” deste tipo de estruturas de suporte, tendo-se para o efeito simulados vários

casos de escavações para diversas condições de solicitação da cortina. No acoplamento dos dois

códigos teve-se em atenção a ideia original de minimizar as alterações aos mesmos, ou seja,

procurar manter a integridade dos dois programas de cálculo automático.

Para um melhor entendimento do exposto, os esforços e deformações da cortina de contenção,

resultantes da análise efetuada pelo Código GEO são designados como elásticos (el), pelo facto de

a cortina nessa análise possuir um comportamento elástico linear. Por sua vez, os resultados da

execução do Código RC, esforços e deformações, são designados como não lineares (nl), por

resultarem justamente de uma análise não linear do comportamento das secções de betão armado.

Como foi referido, o Código GEO corresponde ao programa de elementos finitos, FEMEP, para

análise do problema geotécnico, e tem como output, em cada fase, incrementos de esforços, ∆Mel e

∆Nel (e ainda ∆Vel), e incrementos de deformação, ∆(1/r)el e ∆ε0el, para todas as secções que

definem a cortina de contenção.

A análise estrutural das secções de betão armado, realizada pelo Código RC através do programa

FIBRAS, pode efetuar-se considerando como ação (input) os incrementos de esforços elásticos

provenientes do Código GEO, ou pela imposição dos incrementos de deformação elástica, ou ainda

por uma combinação dos dois conjuntos de grandezas. Após a convergência dessa análise, o output

do Código RC é uma rigidez efetiva, sob a forma de um módulo de elasticidade equivalente, para

cada secção da cortina, a ser comunicada ao Código GEO para a fase seguinte.

As abordagens possíveis são designadas por:

- Abordagem MN, por serem os incrementos dos esforços elásticos, ∆Mel e ∆Nel (momento

fletor e esforço axial), as ações sobre as secções de betão armado;


124

- Abordagem CE, por serem os incrementos das deformações elásticas, ∆(1/r)el e ∆ε0el

(curvatura e extensão no centro geométrico), as ações impostas sobre as secções de betão

armado;

- Abordagem CN, pelo facto de se considerar como ações os incrementos da curvatura,

∆(1/r)el, e do esforço axial, ∆Nel.

Nos itens que se seguem resumem-se as abordagens efetuadas, indicando-se os aspetos

considerados mais importantes e os que poderão servir para reflexão em futuros desenvolvimentos.

3.5.2. Abordagem MN

A primeira abordagem foi pensada para que a comunicação entre o Código GEO e o Código RC

fosse realizada em termos de incrementos de esforços, ∆Mel e ∆Nel. Em cada fase, o modelo

geotécnico avalia os incrementos dos esforços na cortina de contenção e comunica ao modelo

estrutural como ação para a análise não linear das diferentes secções de betão armado.

A equação matricial 3.95 pode ser reescrita na seguinte forma:

∆

∆⋅

=

∆

∆

nl

nlnl

nlr

KK

KK

N

M

02221

12111

ε ( 3.139)

ou ainda, simplificadamente:

{ } [ ] { }nlnl dKF ∆⋅=∆ ( 3.140)

em que {∆Fnl}T={∆Mnl ∆Nnl} é o vetor dos incrementos de esforços internos (variáveis estáticas),

que resultam da evolução das deformações não lineares (variáveis cinemáticas),

{∆dnl}T={∆(1/r)nl ∆ε0nl}.

A equação 3.140 é designada como a relação constitutiva de uma secção transversal (Dias da

Silva, 2013). Na referida equação, [K] é a matriz de rigidez cujos termos dependem das extensões

das diferentes fibras, ou seja, dependem das variáveis cinemáticas utilizadas na análise não linear

do Código RC.

Dentro de cada fase incremental, o processo iterativo termina quando os esforços internos

resultantes da análise não linear do Código RC igualam (aproximadamente) os esforços externos

fornecidos pelo Código GEO, ou seja, quando o vetor dos esforços residuais {R} se anula

(aproximadamente):

{ } { } { }

≅

∆

∆−

∆

∆=∆−∆=

0

0

nl

nl

el

el

nlelN

M

N

MFFR ( 3.141)


125

Na igualdade anterior, {∆Fel}T={∆Mel ∆Nel} é o vetor dos incrementos de esforços elásticos

provenientes do Código GEO, consequência de uma fase de escavação ou da aplicação de um

determinado carregamento. A precisão dos resultados é controlada por uma tolerância admissível,

de forma semelhante ao considerado no Código GEO.

A Figura 3.26 mostra o modo como é realizada a comunicação entre os dois códigos. Para uma

determinada Fase j, o Código GEO determina os incrementos de esforços elásticos, ∆Mel e ∆Nel,

utilizando a rigidez à flexão e a rigidez axial conferidas pelo módulo de elasticidade equivalente

calculado pelo Código RC no fim da fase anterior, (EI)j-1 e (EA)el,j-1, respetivamente. As

deformações elásticas que daí resultam são uma consequência do comportamento da cortina de

contenção em reciprocidade com o comportamento não linear do solo com o qual interage (Figura 3.26a). Esses novos incrementos de esforços elásticos fornecidos pelo Código GEO ao Código RC

implicam um novo ciclo iterativo com recurso ao método de Newton-Raphson, ajustando as

deformações internas de modo a encontrar um equilíbrio de esforços, como descrito anteriormente.

Como consequência, há uma deslocação do centro de rigidez (yCR) e um novo momento fletor aí

concentrado, MCR. Naturalmente que, no fim do ciclo iterativo, a curvatura e a extensão do centro

geométrico da secção são também diferentes das correspondentes elásticas e, como indicado pela

equação 3.113, isso implica uma nova rigidez à flexão para cada secção, (EI)j, a ser comunicada de

novo ao Código GEO para a análise da fase seguinte, j+1.

A rigidez à flexão da Fase j corresponde à tangente à curva da relação MCR - (1/r)nl do Código RC

no fim do ciclo iterativo, representado pelo ponto B da Figura 3.26b. O procedimento repete-se

para todo o faseamento construtivo, sendo o primeiro passo dado pelo Código GEO para

quantificação dos esforços, seguido do Código RC para atualização da rigidez.

Como no final de cada ciclo iterativo (e fim da fase incremental) ∆Mnl ≅ ∆Mel e ∆Nnl ≅ ∆Nel, então

∆MCR ≅ ∆Mel – yCR.∆Nel, como indicado na ligação dos incrementos de esforços estabelecida entre a

Figura 3.26a e Figura 3.26b.

Nos problemas correntes em que apenas se pretende avaliar as condições de equilíbrio em serviço,

isto é, para as cargas previstas de projeto, esta abordagem é eficiente, visto que a rigidez

equivalente, fase a fase, atinge valores sucessivamente reduzidos que se aproximam da rigidez

correspondente à do Estado II (sem resistência à tração). Todavia, quando se pretende estudar o

comportamento deste tipo de problemas com carregamento para além das cargas de serviço, com

possibilidade de aproximação à rotura, a interação entre os dois códigos que definem o presente

modelo deixa de ser possível por problemas de convergência. Isto deve-se ao facto de a rigidez à

flexão poder passar de um valor próximo do correspondente ao Estado II para um valor nulo ou

quase nulo, correspondente ao Estado III.

Para um comportamento próximo da plastificação estrutural, um incremento dos esforços elásticos

proveniente do Código GEO pode não ter correspondência no modelo de análise estrutural pelo

Código RC, isto é, o valor de ∆MCR que resulta de ∆Mel e ∆Nel pode não ser alcançado no processo

iterativo (Figura 3.26b). Ou seja, o ponto B da Fase j ou o ponto C da Fase j+1, por exemplo,

podem estar situados acima da assíntota que define o limite de convergência. Assim, como o


126

algoritmo do Código RC (e do Código GEO) foi projetado para trabalhar com o método de

Newton-Raphson, para os casos de plastificação estrutural deixa de haver convergência numérica.

(a) (b)

Figura 3.26 – Abordagem MN: a) relações Mel – (1/r)el e Nel – ε0el do Código

GEO; b) relação MCR – (1/r)nl do Código RC.

Na Figura 3.27 representa-se o organograma do Código RC para a Abordagem MN com a indicação

da interligação com o Código GEO. Como se mostra na figura, da linha de cálculo do método há a

comunicação com um bloco onde é calculada a matriz de rigidez de cada secção em análise, que

por sua vez, comunica com ouro bloco onde estão definidas as leis constitutivas dos materiais.

Limite de convergencia

ε0el

CÓDIGO GEO

CÓDIGO GEO

CÓDIGO RC

(1/r)nl

(EI)j

Mel

Fase j

Fase j+1

A

∆Mel

C

C

A

∆MCR

Fase j

+1

B

(EI) j-1

∆(1/r)el

(EA)el jB

C

∆Nel

(1/r)el

∆ε0el

B

∆(1/r)nl

(EA)el j-1

Fas

e j

(EI) j-1

A

Nel

Fase j

(EI)j

Fase j+1

MCR


127

Figura 3.27 – Abordagem MN: organograma descritivo do método das fibras do

Código RC e comunicação com o Código GEO.

yCR = K12 / K222

RM,i = Μ nl,B − Μ nl,i

(∆1/r)i = [RM,i − RN,i.yCR]K11CR

RN,i = Ν nl,B − Ν nl,i

yCR = K12 / K222

K11CR = K11 − K22.yCR

(1/r)i = (1/r)i-1 + ∆(1/r)i

1

(EI)eq = K11 − K22.yCR

(1/r)i-1 = (1/r)A

ε0nl,A = ε0,j-1[Κ A] = [Κ j-1]

≤ TOL

Ν nl,B = Ν nl,j = Ν nl,A + ∆Ν el

Α

Α

Μ nl,B = Μ nl,j = Μ nl,A + ∆Μ el

{

Fase j+1

(1/r)A = (1/r)j-1

1/r = (1/r)i

S

RN,i = ∆Ν el

i = i+1

RM,i

y

N

is

Ν nl,A = Ν j-1

ic

is

Μ nl,i = K11.1/r + K12.ε0

Iteração

{

∆Μ el

Μ nl,A = Μ j-1

is

is

is

ε0nl,i-1 = ε0nl,A

x

CÓDIGO GEO

K11

σ c

K21

[K] =

is

b

∆Ν el

Ε

Fase j

y

[Κ ] = [Κ A]

ic

CÓDIGO RC

t

εc

h

∆Μ el

ΕK12

K22

ic

ε0 = ε0nl,i

MATERIAISic

SECÇÃO

y

{

is = 1, 2...ns

y

y

Ν nl,i = K21.1/r + K22.ε0

ic

∆ε0nl,i = [RN,i − K21.∆(1/r)i]

σ s

ic

o

Iteração i = 1

ε = ε0 + y .1/r

t

ε0nl,i = ε0nl,i-1

+ ∆ε 0nl,i

RM,i = ∆Μ el

K22

ic = 1, 2...nc

1

ε s

ε = ε0 + y .1/r


128

3.5.3. Abordagem CE

Pretendendo-se estudar eventuais casos de uma plastificação do material da cortina de contenção

(Estado III), originando-se rótulas plásticas numa ou mais zonas da cortina, o processo numérico

anterior deixa de convergir por se atingir, em determinadas secções, uma rigidez à flexão muito

reduzida ou mesmo nula (módulo de elasticidade equivalente nulo). Assim, uma segunda

abordagem foi equacionada em termos de deformações, isto é, a comunicação entre o Código GEO

e o Código RC é efetuada em termos de curvatura e extensão no centro geométrico da secção:

∆(1/r)el e ∆ε0el.

Com esta metodologia, perante os incrementos de deformação elástica da cortina provenientes do

Código GEO, o Código RC avalia o “estado de fendilhação”, calcula os correspondentes esforços,

Mnl e Nnl, e determina uma rigidez equivalente para ser comunicada ao Código GEO para a análise

da fase seguinte.

À semelhança do indicado na descrição da Abordagem MN com referência à igualdade 3.140, a

relação constitutiva de uma secção passa a ter o seguinte aspeto:

{ } [ ] { }elnl dKF ∆⋅=∆ ( 3.142)

em que {∆Fnl}T={∆Mnl ∆Nnl} é o vetor dos incrementos de esforços que resulta da análise não

linear do Código RC e {∆del}T={∆(1/r)el ∆ε0el} é o vetor das deformações elásticas determinadas

pelo Código GEO. Os elementos da matriz de rigidez dependem das deformações acumuladas e

dos respetivos incrementos da fase em análise e, nesta abordagem, não estão sujeitos ao ciclo

iterativo de ajuste, isto é, a rigidez é conferida diretamente pelas deformações impostas

provenientes do Código GEO.

O incremento do momento fletor no centro de rigidez pode ser obtido por:

elCRCR r

KM

∆⋅=∆ 111 ( 3.143)

sendo K11CR = (EI)j-1 a rigidez à flexão relativamente ao eixo que passa no CR e é paralelo ao eixo

neutro, obtida no fim do incremento anterior.

No mesmo ponto, o incremento da extensão é:

elCRelCR r

y

∆⋅+∆=∆ 10εε ( 3.144)

e o correspondente incremento do esforço axial (não linear) é dado por:

CRCRnl KNN ε∆⋅=∆=∆ 22 ( 3.145)


129

Finalmente, o incremento não linear do momento fletor reportado ao centro geométrico da secção

é:

CRnlCRnl yNMM ⋅∆+∆=∆ ( 3.146)

A Figura 3.28a mostra a evolução do momento fletor e do esforço axial reduzidos ao CR.

Admitindo que o processo incremental tem início no ponto A, na Fase j a rigidez à flexão, (EI)j-1, é

a tangente à curva que traduz o comportamento real nesse mesmo ponto, e obtida no fim da fase

anterior. Na Fase j, para um incremento de curvatura igual ao elástico, ∆(1/r)nl = ∆(1/r)el, gera-se

um incremento de momento fletor dado pela expressão 3.143, e o momento fletor acumulado passa

a corresponder ao ponto B′.

Relativamente à Figura 3.28b, à semelhança da Figura 3.28a, o incremento de esforço axial é

obtido pela relação 3.145 depois de calculado o incremento de extensão no CR relacionado com o

incremento de extensão elástica do centro da secção, dado pela relação 3.144.

(a) (b)

Figura 3.28 – Abordagem CE: a) relação MCR – (1/r)nl; b) relação NCR – εCR.

Nesta abordagem, o incremento de curvatura e o incremento de extensão no centro geométrico da

secção, para a análise não lineares, são iguais aos obtidos no cálculo do Código GEO. Os

incrementos dos esforços resultantes da análise não linear do Código RC são, naturalmente,

diferentes dos obtidos pelo Código GEO, conforme a equação matricial 3.142 ou equações 3.145 e

3.146.

A

Fase j+1

Fase j B

CComportamentoreal

Comportamentoaproximado NCR

∆NCR

A

Fase j

(EA)j-1

∆εCR

B

εCR

Fase j+1

(EA)j

CB'

C'

∆MCR

MCR

∆(1/r)nl

(EI)j-1

(EI)j

B'

C'

(1/r)nl


130

Os esforços nas várias secções são os acumulados da análise não linear em função do faseamento

construtivo:

∆= nlnl MM ( 3.147)

∆= nlnl NN ( 3.148)

O erro cometido, BB′, CC′, etc., vai depender do passo, ou seja dos incrementos de deformação

elástica (output do Código GEO). Como se pode concluir pela Figura 3.28, quanto maior for o

número de fases incrementais, menor o passo e menor será o erro acumulado. Este método

corresponde ao método de Euler descrito no item 3.2.8.

Como foi referido no item 3.2.8, para que o método seja relativamente rigoroso é necessário que o

número de incrementos seja muito elevado, para que a linha poligonal originada pelo método, em

termos de MCR – (1/r)nl, representada na Figura 3.28a, se aproxime o mais possível da curva que

traduz o comportamento “real” do problema e o erro acumulado seja mínimo.

Como nota, para eventual desenvolvimento deste assunto, convém referir que existem métodos

para reduzir o erro cometido em cada fase: por consideração de um valor médio da rigidez

(tangente) calculada com a obtida no início da fase (fim do incremento anterior) e a obtida no fim

do incremento da fase, A e B, respetivamente, designado como método de Euler melhorado; ou

considerando uma rigidez igual à rigidez (tangente) correspondente ao ponto médio do incremento

de deformação, designado por método de Euler modificado. Estas técnicas implicariam alterações

significativas do Código RC, pelo que não foram implementadas.

3.5.4. Abordagem CN

A terceira abordagem implementada resulta de um procedimento misto em termos de input para o

Código RC, em que o Código GEO fornece os valores incrementais da curvatura e do esforço axial

resultantes de uma fase. Isto é, admite-se que a curvatura e o esforço axial obtidos na análise

geotécnica, elásticos, são realistas, e as outras duas grandezas, o momento fletor e a extensão no

centro geométrico da secção são ajustados na análise não linear do Código RC.

Como resultado do Código GEO, uma secção sofre um incremento de curvatura elástica. Para a

nova curvatura, no Código RC as extensões são ajustadas até que a extensão no CR gere um

incremento do esforço axial que equilibre o incremento de esforço axial elástico fornecido pelo

Código GEO. Em função da variação da extensão no CR, também a extensão no centro geométrico

é ajustada, como representado na Figura 3.29.

Como nesta abordagem ∆(1/r)nl = ∆(1/r)el, as equações 3.95 podem ser reescritas do seguinte modo:


131

∆

∆⋅

=

∆

∆

nl

elnl

nlr

KK

KK

N

M

02221

12111

ε ( 3.149)

Esta formulação obriga a que seja realizado um processo iterativo onde intervém o incremento de

esforço axial, designado por não linear em virtude de ser resultante do Código RC, ou seja, no

processo iterativo do Código RC o equilíbrio é atingido quando o incremento do esforço axial

gerado na análise não linear, ∆Nnl, iguala (aproximadamente) o incremento elástico proveniente do

Código GEO, ∆Nel.

Figura 3.29 – Incremento de curvatura elástica e ajuste não linear das extensões ε0nl e εCR.

Na equação matricial 3.149, os termos da matriz de rigidez dependem do incremento de curvatura

elástica, ∆(1/r)el, e do incremento de extensão no centro geométrico, ∆ε0nl, que é variável dentro do

processo iterativo. É de referir que o incremento de momento fletor não linear, ∆Mnl, será

consequência do mencionado ajuste de extensões pelo processo iterativo, ou seja, resultado da

análise não linear.

Da segunda equação do sistema 3.149 retira-se a seguinte igualdade:

nlel

nl NKrK

K ∆⋅+

∆⋅−=∆2222

210

11ε ( 3.150)

e

CRCRnl KNN ε∆⋅=∆=∆ 22 ( 3.151)

εC R ε0nl

∆ε0nl

Fim da Fase j-1

Ajuste da Fase j

∆εCR

h

∆Mnl

∆(1/r)el

CR

y

yCR

∆Nel


132

Atendendo ao representado na Figura 3.30, admitindo o início do ciclo iterativo no ponto A

(estado A), em que se conhecem as extensões no CR e no centro geométrico da secção, assim como

o esforço axial, NA = Nnl,A = NCR,A, na iteração i = 1 o incremento de extensão gerado no CR resulta

do incremento de esforço axial elástico ainda não equilibrado:

221 K

Nel,CR

∆=∆ε ( 3.152)

onde K22 é a rigidez axial correspondente ao início do ciclo iterativo, (EA)A.

O novo estado de deformação em termos de extensão no CR é (Figura 3.30a):

11 ,CRA,CR,CR εεε ∆+= ( 3.153)

e, no centro geométrico da secção (Figura 3.30b), a extensão vale:

elCR,CR,nl r

y

⋅−= 1110 εε ( 3.154)

Utilizando ∆εCR,1, ou ∆ε0nl,1, e a curvatura da fase, facilmente se determinam os novos termos da

matriz de rigidez tangente (K11, K12, K22). A nova rigidez axial é (EA)1 = K22, e o novo esforço axial,

Nnl,1 = NCR,1, é obtido por integração das tensões normais à secção para as diferentes fibras.

(a) (b)

Figura 3.30 – Ciclo iterativo de ajuste das extensões da Abordagem CN: a) relação

NCR – εCR; b) relação Nnl – ε0nl.

εCR,1 ε0nl,1

1

2

A

Nnl,A

∆NCR,2B

B B

2

εCR,A

NCR,11

∆ε0nl,1

3

Nnl

∆Nnl

ε0nlεCR

(EA)1

Nnl,B

∆ε0nl,2

NCR,2

∆εCR,3

NCR,A

∆NCR,1B

∆NCR

∆ε0nl,3

A

ε0nl,Bε0nl,A

NCR

∆εCR,2

3

(EA)A

NCR,B

εCR,B

∆εCR,1


133

O ponto 1 da Figura 3.30a corresponde a um estado não equilibrado, ou seja, existe ainda um

elevado valor residual do esforço axial, ∆NCR,1B = NCR,B - NCR,1. Com este valor e com a nova rigidez

axial (EA)1 facilmente se obtém o ponto correspondente à iteração seguinte (i = 2):

( )11

2 EA

N B,CR,CR

∆=∆ε ( 3.155)

e

212 ,CR,CR,CR εεε ∆+= ( 3.156)

O ciclo iterativo prossegue (método de Newton-Raphson) até que o valor residual de N seja

mínimo, isto é, até se atingir o valor admissível do erro.

Na Figura 3.31a representa-se a relação linear Nel – ε0el em cada fase, como resultado do

Código GEO, e na Figura 3.31b a relações não linear NCR – εCR como resultado do Código RC.

Durante o processo iterativo e até se atingir o limite do incremento da Fase j (estado B) a matriz de

rigidez tangente vai sendo atualizada, assim como o vetor das deformações.

Como se indica na Figura 3.31b e na Figura 3.32a, ao se atingir o estado B, no Código RC fica

definida uma nova rigidez axial (EA)j e uma nova rigidez à flexão (EI)j. Esta nova rigidez à flexão

passa diretamente para o Código GEO sob a forma de um módulo de elasticidade equivalente.

Todavia, como foi exposto no item 3.4.4, a rigidez axial no Código GEO é definida pelo mesmo

módulo de elasticidade equivalente associado à flexão: (EA)el,j = (Eeq·A0)j.

(a) (b)

Figura 3.31 – Abordagem CN: a) relação Nel – ε0el; b) relação NCR – εCR.

BFase

j+1

A

CÓDIGO RC

Fase j

Fase j+1

∆NCR

εCR

Fase j

CÓDIGO GEO C

ε0el

C

(EA)j-1

B(EA)j

NCR

∆ε0el ∆εCR

(EA)el j-1

(EA)el j

A

∆Nel

Nel


134

O momento fletor reportado ao centro geométrico da secção vale:

AB,nlA,nlB,nl MMM ∆+= ( 3.157)

onde ∆Mnl,AB é o incremento do momento fletor na última iteração e determinado pela primeira

equação do sistema 3.149.

a)

b)

Figura 3.32 – Abordagem CN: a) relação MCR – (1/r)nl; b) relação Mel – (1/r)el

Na Figura 3.33 representa-se o organograma do Código RC para a Abordagem CN, com a

indicação da comunicação com o Código GEO. De modo semelhante ao descrito a propósito da

Abordagem MN, a matriz de rigidez de cada secção é calculada para cada iteração em módulo de

cálculo independente com ligação ao módulo onde se definem as leis de comportamento dos

materiais.

Mel

(1/r)nl

MCR

B (EI)j

(EI) j-1

Fase j

CÓDIGO RC

(EI) j-1

(EI)j

Fase j+1CÓDIGO GEO

Fase j

C

(1/r)el

A

∆MCR

∆(1/r)el

B

∆Mel

∆(1/r)nl

C

Fase j+1

A


135

Figura 3.33 – Abordagem CN: organograma descritivo do método das fibras do

Código RC e a comunicação com o Código GEO.

3.5.5. Considerações finais sobre as abordagens

3.5.5.1. Relação M-1/r para rigidezes conferidas por diferentes armaduras

Na Figura 3.34 exemplifica-se a evolução dos momentos fletores em função da curvatura associada

a uma determinada secção, resultante de um faseamento construtivo e em condições de serviço.

σ c

MATERIAIS

is

εc

σ s

tΕt ε sΕic

CÓDIGO RC

[Κ ] = [Κ A]

Fase j+1

∆(1/r)el

∆Ν el

[K] =

y

≤ TOL

Ri = Ν nl,B − Ν nl,i

ε = ε0 + y .1/r

(EI)eq = K11 − K22.yCR

∆(1/r)i = 0

N

x

{

Ν nl,B = Ν nl,j = Ν nl,A + ∆Ν el

K21

Ν nl,A = Ν j-1

∆Ν el

K12

[Κ A] = [Κ j-1]

1/r = (1/r)B

Ri

2

∆ε0nl,i = [Ri − K21.∆(1/r)i]

o

Iteração

b

is

i = i+1

(1/r)A = (1/r)j-1

is

S

ε = ε0 + y .1/r

ic

is

ic

ic

ε0nl,A = ε0,j-1

h

Iteração i = 1

ic

is

ε0nl,i = ε0nl,i-1

+ ∆ε0nl,i {

is

{

Ri = ∆Ν el

Α

yCR = K12 / K22

CÓDIGO GEO

Ν nl,i = K21.1/r + K22.ε0

yy

Μ nl,i = K11.1/r + K12.ε0

K22

Fase j

is = 1, 2...ns

(1/r)B = (1/r)j = (1/r)A + ∆(1/r)el

yK22

ε0 = ε0nl,i

1

SECÇÃO

ic

y

K11

ic = 1, 2...nc

Α

ε0nl,i-1 = ε0nl,A

∆(1/r)i = ∆(1/r)el


136

Na referida figura está representada a evolução do momento fletor elástico, Mel, que resulta do

comportamento da cortina na análise pelo Código GEO; o momento fletor que resulta da análise

não linear da secção de betão armado, Mnl, e o correspondente momento fletor no CR, MCR.

Os gráficos comparativos apresentados na Figura 3.34 resultam da análise de uma cortina de

contenção monoescorada em betão armado de suporte de uma escavação em solo mole, com uma

evolução crescente dos momentos fletores positivos. Este caso é descrito em pormenor no final do

presente capítulo, servindo como demonstração da aplicabilidade do modelo numérico proposto.

As principais diferenças entre Mnl e Mel devem-se aos incrementos que ocorrem imediatamente

após o início da fendilhação, em que a redução de EI é mais acentuada, e a comunicação entre os

códigos ser por fases e não dentro dos ciclos iterativos da análise não linear.

(a) (b)

Figura 3.34 – Exemplos da relação M-1/r em condições de serviço para a mesma secção de

betão mas diferentes percentagens de armadura de tração: a) ρ = 1,12%; b) ρ = 1,77%.

Para casos correntes em que os esforços axiais na cortina de contenção são gerados apenas pelo

peso próprio e pela resultante das tensões tangenciais mobilizadas nas interfaces solo-cortina,

verifica-se que o acréscimo de momento fletor no centro geométrico da secção, gerado pela

excentricidade do esforço axial, é relativamente pequeno. Como se pode ver na Figura 3.34, o valor

acumulado desses acréscimos é identificado pela diferença entre o momento não linear Mnl e o

momento reportado ao centro de rigidez, MCR. Designando por ∆MN o acréscimo de momento fletor

ρ = 1,77%ρ = 1,12%

1200

Mel

0,8

800

-1

Estado I

400

1200

0,8

MCR

Μ (kN.m/m)

-1

Estado II

400

0,4 1,21,2 0,4

800

Mnl

1/r (km )

Μ (kN.m/m)

1/r (km )


137

gerado pelo esforço axial reduzido ao centro de rigidez, relativamente ao centro geométrico da

secção, tem-se:

CRCRnlN yNMMM ⋅∆=∆−∆=∆ ( 3.158)

Nas análises efetuadas verificou-se que, nas fases iniciais em que a cortina de contenção assume

um comportamento elástico linear, yCR é relativamente baixo, ou mesmo nulo para os casos de

secções simétricas. Em simultâneo, é nessa parte inicial do processo que, como se verá, os esforços

axiais mais variam, principalmente como consequência da escavação do solo adjacente. Nas fases

seguintes em que uma secção entra em estado de fendilhação, o valor de yCR atinge valores

relativamente elevados mas, em contrapartida, os incrementos do esforço axial são pequenos.

Concluindo, seja no início do processo para as primeiras fases, ou nas fases mais avançadas após o

início da fendilhação, os valores de ∆MN são relativamente baixos nos casos em que não se aplicam

cargas concentradas com elevada componente axial.

No caso da Figura 3.34a, a diferença entre os momentos fletores Mnl e MCR é mais evidente que no

caso da Figura 3.34b, devendo-se ao facto de uma maior percentagem de armadura de tração

limitar o fenómeno de fendilhação e assim yCR ser menor. No primeiro caso o valor de ∆MN é cerca

de 3,0%, e no segundo caso cerca de 1,7%, relativamente ao valor final de Mnl.

3.5.5.2. Estado plano de deformação e estado plano de tensão

Um outro aspeto importante nesta análise é o facto da cortina de contenção ser modelada no

Código GEO por elementos finitos bidimensionais no estado plano de deformação (EPD), e no

Código RC modelada admitindo o estado plano de tensão (EPT).

No Código RC, a análise das secções pelo método das fibras pressupõe que apenas se geram nas

secções transversais tensões normais como resultado da flexão composta, e o elemento estrutural

tem um comportamento correspondente ao estado plano de tensão (EPT). No presente modelo, para

que esta hipótese se possa considerar aceitável, a cortina de contenção elementar, isto é, com uma

secção delimitada por um desenvolvimento unitário (b = 1,00 m) e pelas faces em contacto com o

solo, não teria qualquer impedimento a deformações transversais. Para além deste aspeto, No

Código RC não são consideradas as tensões geradas no Código GEO segundo os eixos horizontais,

ou seja, segundo os eixos normais ao eixo do elemento estrutural a analisar. É de referir que essas

tensões são relativamente pequenas quando comparadas com as tensões geradas pela flexão,

segundo o eixo do elemento estrutural (vertical).

Considerando o sistema de eixos em que as secções são definidas pelas coordenadas x e y, e onde z

representa o eixo vertical da cortina e também a profundidade abaixo da superfície do solo, o EPD

é caracterizado por se admitir que as extensões no desenvolvimento da cortina (e da escavação) são

nulas, ou seja, εx = 0.


138

Para o comportamento elástico da cortina e o EPD, a Lei de Hooke generalizada pode ser descrita

pelas equações onde se explicitam as extensões em função das tensões:

⋅

−−

−−

−−

=

z

y

x

z

y

x

Eσ

σ

σ

νν

νν

νν

ε

ε

ε

1

1

1

1 ( 3.159)

Como εx = 0, obtém-se a seguinte relação:

( )zyx σσνσ +⋅= ( 3.160)

e a equação matricial 3.159 pode ser reescrita do seguinte modo:

⋅

−−

−−−=

z

y

z

y

E σ

σ

νν

νν

νε

ε

11

111 2

( 3.161)

Da equação matricial anterior retira-se a extensão vertical normal às secções, εz:

⋅−

−−= yzz Eσ

ννσνε

1

1 2

( 3.162)

Na cortina de contenção, as tensões principais máximas ocorrem, regra geral, segundo o eixo

vertical (σz), ou seja, normais às secções transversais, e resultam da flexão (composta). Nas faces

verticais da cortina, as tensões normais instaladas (σy) são nulas, na face da escavação, ou são

consequência da ação transmitida pelo solo, e são, normalmente, muito inferiores às mencionadas

tensões verticais instaladas nas secções. Por outro lado, considerado o coeficiente de Poisson do

betão ν = 0,20, a relação ν/(1+ν) é igual a 0,25. Deste modo, pretende-se concluir que o segundo

termo da equação anterior pode ser desprezado quando comparado com o primeiro, obtendo-se:

zz Eσνε ⋅−≅

21 ( 3.163)

ou

zzE εν

σ ⋅−

≅21

( 3.164)

Como foi indicado pela expressão 3.124, o momento fletor elástico para o EPD, MEPD, é obtido

pela integração do produto das forças internas normais a uma secção pela ordenada y, estendido a

toda a área A:


139

−−

⋅⋅=⋅⋅=

2/

2/

2/

2/

h

h

z

h

h

EPD dAydAyM σσ ( 3.165)

Substituindo dA = b.dy e σz pela expressão 3.164, vem:

−

⋅⋅⋅⋅−

=

2/

2/

21

h

h

zEPD dyybE

M εν

( 3.166)

Como se admite uma variação linear das extensões em função de y, εz = ε = ε0 + y.(1/r), a

expressão anterior, após integração, resulta na seguinte:

r

hbEM EPD

1

121

3

2⋅⋅⋅

−=

ν ( 3.167)

ou ainda:

rEIM EPD

1

1

12

⋅⋅−

=ν

( 3.168)

De acordo com os pressupostos mencionados, facilmente se encontra a expressão que permite obter

o esforço axial na cortina de contenção para o EPD:

021ε

ν⋅

−= EA

N EPD ( 3.169)

Nas expressões anteriores, EI é a rigidez à flexão e EA a rigidez axial, para uma secção retangular

de material homogéneo e elástico.

No EPT, para um comportamento elástico e material homogéneo, o momento fletor e o esforço

axial são obtidos por:

rEIM EPT

1⋅= ( 3.170)

e

0ε⋅= EANEPT ( 3.171)

Estabelecendo uma relação entre os dois estados, obtém-se:

( ) EPDEPT MM ⋅−= 21 ν ( 3.172)

e


140

( ) EPDEPT NN ⋅−= 21 ν ( 3.173)

Nas abordagens do modelo, os momentos fletores e os esforços axiais provenientes do

Código GEO, e comunicados ao Código RC como ações para análise das secções, devem ser

afetados por 1-ν 2, para que haja uma perfeita correspondência entre o EPD e o EPT.

Das expressões 3.172 e 3.173, facilmente se conclui que admitindo-se um coeficiente de Poisson

nulo (ν = 0) para o material elástico da cortina na aplicação do Código GEO, há uma

correspondência, matemática, de esforços entres os dois estados (EPD e EPT).

Foram realizadas análises de vários casos onde se variou o coeficiente de Poisson do material da

cortina de contenção, encontrando-se diferenças máximas de 1,5% nos esforços e de apenas 0,4%

no máximo para os valores da rigidez à flexão efetiva.

3.6. EXEMPLO DE APLICAÇÃO − CORTINA MONOESCORADA

3.6.1. Considerações iniciais

Pretendendo-se exemplificar a aplicação do modelo numérico desenvolvido, realçando algumas das

virtudes da sua utilização e inerentes particularidades, apresenta-se um caso corrente de “estrutura

geotécnica” em que a cortina de contenção é executada em betão armado, do tipo parede moldada,

monoescorada por perfis metálicos, sem pré-esforço, e colocados próximo do seu coroamento.

Pretende-se mostrar como se modela uma cortina de contenção em betão armado, com uma secção

tipo de configuração retangular e com armaduras colocadas nas faces opostas relativamente ao eixo

de flexão.

Uma das particularidades deste exemplo é o facto de o momento fletor máximo positivo apresentar

uma evolução crescente durante o processo construtivo e o momento fletor negativo ser

relativamente pequeno e quase constante.

São realizadas duas análises do problema considerando a cortina de contenção em regime elástico e

em regime não linear. Para além da comparação dos esforços e deslocamentos da cortina, é também

analisado o modo como, em função do faseamento construtivo, e para uma análise não linear,

variam as tensões e extensões no betão armado e qual a alteração da rigidez ao longo do processo.

3.6.2. Geometria do problema e características mecânicas dos materiais

Na Figura 3.35 representa-se o corte transversal de uma escavação suportada por uma cortina de

contenção tipo parede moldada. A escavação é simétrica com 40,0 m de largura e 9,0 m de

profundidade num maciço de argila com resistência variável em profundidade, sobrejacente a uma

outra camada de argila dura que assenta sobre formação rochosa à profundidade de 25,0 m.


141

A cortina de contenção está apoiada no seu coroamento por um nível de escoras sem pré-esforço,

instaladas a 0,5 m de profundidade relativamente à superfície, e o seu pé penetra 1,0 m na camada

de argila dura. Como se mostra na Figura 3.35, as escoras são contraventadas no plano vertical por

pilares que penetram no fundo da escavação até atingirem a argila dura e, no plano horizontal, são

contraventadas por vigas longitudinais apoiados nos mencionados pilares.

Figura 3.35 – Corte transversal da escavação, cortina de contenção e elementos de apoio.

Admite-se que as argilas estão saturadas e que o comportamento é não drenado, correspondendo a

uma análise em tensões totais. Os coeficientes de impulso em repouso, K0, valem 0,60 e 0,70, e os

pesos volúmicos valem 17,8 e 19,6 kN/m3, para a argila mole e argila dura, respetivamente. Na

camada de argila escavada a resistência não drenada é variável em profundidade,

cu = 5+3,43·z kPa, e na camada de argila dura vale cu = 200 kPa. Relativamente ao módulo de

deformabilidade não drenado, Eu, é admitido valer quatrocentas vezes a correspondente resistência

não drenada; o coeficiente de Poisson vale 0,49 dada a quase nula variação volumétrica das argilas

saturadas e não drenadas.

A cortina de contenção é modelada admitindo o betão da classe de resistência C30/37, com valor

característico da tensão de rotura do betão à compressão fck = 30 MPa, com valor médio da

resistência à tração fctm = 2,9 MPa, e módulo de elasticidade (secante) Ec = 33 GPa. O aço para

armaduras é da classe de resistência S400, com o valor característico da tensão de cedência

fyk = 400 MPa, e módulo de elasticidade Es = 200 GPa.

9,00

Argila mole

Rocha

cu = 5+3,43⋅z (kPa)

Argila dura

1,00

z

20,00

0,50

6,00

γ = 17,8 kN/m³

cu = 200 kPa

10,00

γ = 19,6 kN/m³

40,00

[Distâncias em metros]

Escoras //3,00

Fundo daescavação


142

As escoras são materializadas por perfis metálicos de classe de resistência S275 JR, com o valor

nominal da tensão de cedência fy = 275 MPa, e módulo de elasticidade de 210 GPa.

No Quadro 3.1, Quadro 3.2 e Quadro 3.3 estão resumidas as principais características dos materiais

estruturais.

Quadro 3.1 – Características do betão

Classe de resistência (cilindro/cubo) C30/37

Módulo de elasticidade, Ecm 33 GPa

Valor característico da tensão de rotura do betão à compressão (28 dias), fck 30 MPa

Valor de cálculo da tensão de rotura do betão à compressão (28 dias), fcd 20 MPa

Valor médio da resistência à tração, fctm 2,9 MPa

Quadro 3.2 – Características do aço para armaduras.

Classe de resistência S400

Módulo de elasticidade, Es 200 GPa

Valor característico da tensão de cedência, fyk 400 MPa

Valor de cálculo da tensão de cedência, fyd 348 MPa

Quadro 3.3 – Características do aço laminado em perfis.

Classe de resistência S275 JR


Valor nominal da tensão de cedência, fy 275 MPa

Valor nominal da tensão de rotura, fu 430 MPa

No Código GEO, para o solo e para a interface solo-cortina, considera-se o comportamento

elástico-perfeitamente plástico e o critério de cedência de Tresca. Para a cortina de contenção em

betão armado estabelece-se um comportamento elástico linear constante ou um comportamento não

linear simulado por uma rigidez à flexão equivalente (EIeq) que pode variar de fase para fase. Por

simplificação, para as escoras, considera-se um comportamento elástico linear mas com a sua

rigidez axial efetiva correspondente a 50% da rigidez teórica, para atender às perdas por ajuste das

folgas nos apoios.

Na Figura 3.36 está indicada a malha de elementos finitos utilizada para o estudo do

comportamento geotécnico, constituída por 1008 elementos bidimensionais isoparamétricos de 8

nós para a discretização do maciço e da cortina, 80 elementos de junta de 6 nós para caracterizar a

interface solo-cortina, 4 elementos de junta auxiliares na argila dura, e um elemento tipo barra de 2


143

nós para simular o escoramento, originando no total 3328 pontos nodais. A parede moldada é

definida por 40 dos 1008 elementos bidimensionais isoparamétricos de 8 nós.

A fronteira lateral esquerda da malha foi considerada no plano de simetria da escavação, enquanto

a fronteira à direita foi admitida a uma distância de 49,0 m da face não escavada da cortina. A

fronteira inferior foi modelada pela interface entre a camada de argila dura e a formação rochosa.

Foram consideradas 18 fases de escavação de 0,50 m, das quais, as duas primeiras correspondem à

escavação até 1,0 m de profundidade para permitir a instalação das escoras; e as restantes 16 fases

para escavações também com espessuras de 0,50 m até se atingir a cota pretendida para o fundo da

escavação. A partir da Fase 3 (inclusive) o nível de escoramento está ativo.

Figura 3.36 – Malha de elementos finitos para o Código GEO.

A resistência ao corte da interface solo-cortina foi considerada igual a 2/3 da correspondente

resistência não drenada do solo à mesma profundidade, sendo mobilizada para um deslocamento

tangencial relativo de 1 mm (Matos Fernandes, 1983). Por sua vez, a rigidez normal dos elementos

de junta foi admitida igual a 106 kN/m para evitar movimentos de sobreposição (Grazina, 2009).

Atendendo à profundidade da escavação, à altura total da cortina, às características do maciço e às

condições de apoio, foi atribuída uma espessura de h = 0,80 m para a secção de betão. Recorrendo

a um modelo elástico linear com uma rigidez resultante apenas da secção transversal de betão,

obtiveram-se os momentos fletores máximos e os correspondentes esforços axiais, que permitiram

o dimensionamento das armaduras passivas.

De modo a satisfazer a segurança relativamente ao estado limite último por flexão composta da

cortina, para um coeficiente de segurança de 1,35 associado às ações permanentes, quantificou-se

uma armadura As = 80,4 cm2/m (10φ32/m) para absorver as trações geradas pelo momento fletor

máximo positivo, e uma armadura As’ = 25,1 cm2/m (8φ20/m) para o máximo momento fletor

negativo. Para o efeito recorreu-se ao Eurocódigo 2 - Projeto de Estruturas de Betão (NP EN

Zona a escavar


144

1992-1-1 2010) e a Tabelas e Ábacos de Dimensionamento de Secções de Betão Solicitadas à

Flexão e a Esforços Axiais Segundo o Eurocódigo 2 (Barros e Figueiras, 2010). Admite-se que as

armaduras determinadas nas secções de momentos fletores máximos vão ser estendidas a toda a

altura da parede, ou seja, sem qualquer dispensa de varões.

Da mesma análise, foi quantificado o valor máximo da reação no apoio superior da cortina,

correspondente ao esforço axial do escoramento horizontal. De modo a verificar a segurança

relativamente à capacidade resistente à compressão com encurvadura, foram considerados perfis

metálicos do tipo HEB320 para materialização desse apoio, afastados longitudinalmente de 3,0 m.

Na Figura 3.37 representa-se a modelação da cortina: a Figura 3.37a mostra o corte vertical da

cortina com a identificação das secções, e a Figura 3.37b mostra a secção transversal tipo real e a

secção modelada no Código RC.

(a) (b)

Figura 3.37 – Modelação da cortina: a) corte vertical da cortina com a identificação das

secções; b) secção transversal tipo real e secção modelada no Código RC.

Na cortina de contenção foram consideradas 80 secções transversais correspondentes aos 80

conjuntos de dois pontos de Gauss dos 40 elementos finitos bidimensionais que a definem no

h = 0,80 m

Fibra is = 1

Fibra is = 18

y

Secção 80

z = 7,11 m

Secção 30

Secção 29

Elemento 2DSecção 29

x

Secção 1

y

x

b = 1,00 m

Fibra ic = 40

As= 10φ32

Fibra ic = 1

A's = 8φ20


145

Código GEO. Para uma posterior análise estrutural em termos de tensões e deformações, na Figura 3.37a está referenciada a Secção 29 com a indicação da profundidade z da mesma.

No Código RC, a secção transversal tipo do elemento estrutural foi discretizada em 40 fibras de

betão paralelas ao eixo neutro, de igual espessura, e fibras de secção quadrada de áreas

equivalentes às áreas dos varões de aço das armaduras, e na mesma posição relativa da secção real,

como está representado na Figura 3.37b.

3.6.3. Casos analisados e resultados obtidos

No sentido de avaliar a importância do comportamento não linear do betão armado no

comportamento estrutural e geotécnico, foram analisados dois casos de comportamento a curto

prazo, resumidos no Quadro 3.4:

- o Caso A, onde na modelação da cortina se considera um modelo elástico linear com uma

rigidez que resulta do contributo do betão e das armaduras, e que permanece constante;

- o Caso B, onde na modelação da cortina se considera o contributo do betão através de um

modelo elastoplástico com tension stiffening e o contributo da armadura com um modelo

elastoplástico bilinear;

Na análise deste problema utilizou-se a Abordagem CN, onde se considera como ações para o

Código RC os incrementos da curvatura, ∆(1/r)el, e o esforço axial, ∆Nel.

Quadro 3.4 – Casos analisados.

Casos Comportamento

da cortina Contributo

para a rigidez Rigidez elástica inicial à flexão

EI0 (MNm2/m)

A Elástico linear Ec “+” Es 1614

B Não linear Ec “+” Es 1614

Na Figura 3.38 estão representados os diagramas de momentos fletores, de esforços axiais e de

deslocamentos horizontais da cortina, na última fase de escavação e para os Casos A e B. Na

mesma figura está referenciada a posição da Secção 29, à profundidade z = 7,11 m, por ser a secção

onde se desenvolve, na sua vizinhança, o maior momento fletor positivo na última fase de

escavação, e que será alvo de uma análise mais detalhada.

Na Figura 3.38a estão evidenciadas as diferenças entre os diagramas de momentos fletores para os

dois casos de comportamento. Apesar de a rigidez inicial do Caso B ser igual à do Caso A,

conforme indicado no Quadro 3.4, a análise não linear conduz, devido à fendilhação, a uma

condição de maior flexibilidade da cortina e, consequentemente, a menores momentos fletores

positivos e a maiores deslocamentos da cortina. É de referir que, em ambos os casos, os diagramas

de momentos fletores para a última fase correspondem aos diagramas envolventes.


146

Da observação da Figura 3.38b, constata-se que a evolução dos esforços axiais é muito semelhante

para os dois casos de rigidez à flexão, dependendo, para além do peso próprio da cortina, das

tensões tangenciais geradas na interface com o solo confinante. Na Figura 3.38c representam-se os

diagramas dos deslocamentos horizontais da cortina para os dois casos analisados, onde se pode

verificar que os deslocamentos para o Caso B são superiores aos do Caso A.

(a) (b) (c)

Figura 3.38 – Momentos fletores (a), esforços axiais (b) e deslocamentos

horizontais (c), na última fase de escavação para os Casos A e B.

Para o caso da análise não linear da cortina de contenção, Caso B, representam-se na Figura 3.39 os

diagramas de momentos fletores e da variação da rigidez à flexão da cortina (expressa em

percentagem da rigidez elástica inicial) para as Fases 7 e 18 (última). O início da fendilhação

ocorre na Fase 7 e evolui até atingir cerca de 12,0 m da altura da cortina, na última fase, desde a

profundidade z = 2,0 m até z = 14,0 m, aproximadamente.

Na última fase de construção a rigidez à flexão, conforme ilustra a Figura 3.39b, tem uma redução

significativa de, grosso modo, 70%, em cerca de 30% da altura fendilhada da cortina. É importante

verificar que, na última fase da análise não linear, aproximadamente 60% da altura da cortina sofre

uma redução significativa de rigidez à flexão. Esquematicamente, na Figura 3.39c estão indicadas

as deformadas da cortina fendilhada para as referidas fases.

B

Secção 29

δ h (mm)N (kN/m)1200 60200 400400

Peso próprioda cortina

20

10,00

A

z (m

)

0,00

18,00

Secção 29

0 0

A

800 40

B

100

B

300

Secção 29

0M (kNm/m)

20,00

16,00

2,00

A

Caso A

Caso B

4,00

12,00

14,00

8,00

6,00


147

(a) (b) (c)

Figura 3.39 – Análise não linear do Caso B: a) diagramas de momentos fletores; b) rigidez

efetiva; c) deformadas.

Na sequência da análise não linear, mostra-se na Figura 3.40 a evolução das extensões, εc, e das

correspondentes tensões, σc, para as fibras de betão da Secção 29, para as Fases 7 e 18.

Figura 3.40 – Secção 29: diagramas de extensões e tensões nas fibras de betão para as Fases 7 e 18.

100

Fase 74,00

800

0

50

Fase 7

z = 7,11 m

2,00

(EI)eq (MNm /m)

16,00

8,00

20,00

Secção 29Fase 18

-400

Fase 18(última)

2

Fase 7

(última)

(EI)eq (%)1200

M (kNm/m)

(última)Fase 7

Fase 18

400 0

z (m

)

Secção 29

0

1614

25

Fase 18

807

75

Secção 296,00

14,00

0,00

18,00

12,00

10,00

Fibra ic = 1Fibra ic = 40 x

-8

0,8

-0,40

Fase 18

y

εc (‰)

0

4

0,000,40

h

0,4

σ c (MPa)

-12

Fase 7

-0,4

0,20

Fase 70,0

-4

-0,20

Fase 18


148

Pela análise da Figura 3.39b, verifica-se que na Fase 7 a Secção 29 apresenta já uma perda de

rigidez que, embora muito pequena, é consequência de o betão da Fibra 40 ter entrado no ramo de

comportamento linear mas não elástico do modelo tension stiffening, com perda de resistência à

tração, como representado na Figura 3.41a.

(a) (b)

Figura 3.41 – Secção 29: a) relação σc - εc para duas fibras de betão e para todas as

fases de construção (compressões de sinal negativo); b) lei de comportamento do

modelo adotado para o betão.

Verifica-se que a tensão máxima de compressão (de sinal negativo) vale aproximadamente

10,8 MPa (Fibra 1), correspondendo a 36% de fck e a 28% de fcm (fcm = fck + 8 MPa). A tensão de

tração na Fibra 40 aumenta até atingir o valor de fctm, iniciando-se o processo de fendilhação sem

retrocesso, com uma diminuição gradual da resistência de acordo com o modelo tension stiffening

(Figura 3.41a e Figura 3.41b). Embora não seja feita qualquer referência na mencionada figura, as

armaduras apresentam extensões iguais às do betão envolvente e as tensões são, naturalmente,

diferentes das do betão. Tratando-se de uma análise em condições de serviço, as tensões no aço

residem no ramo elástico, assim como as tensões de compressão do betão (Figura 3.41b).

A Secção 29 foi identificada como sendo, genericamente, a secção onde se desenvolve o momento

fletor máximo positivo para a última fase de execução (Fase 18). Essa secção, nas primeiras 6 fases

está sujeita a um momento fletor (associado a determinado esforço axial) que não gera qualquer

fendilhação, ou seja, as tensões desenvolvidas nas diferentes fibras tracionadas ainda não atingiram

o valor limite da resistência à tração, o que equivale a dizer que a secção apresenta um

comportamento no Estado I. Como já se descreveu, e é mostrado na Figura 3.42, a partir da Fase 7

surgem gradualmente fendas que originam uma redução da rigidez e a secção em causa passa a ter

um comportamento não linear.

f ctm

εc (‰)

f cm

Fase 18

σ c

f ck

Fase 18

-3,5

0,4f cm

Fase 7

Fase 7

2,0

εc (‰)0,40,2

-12

-10

-8

-6

-4

-2

2

Fibra 40Fibra 1

4

-14

σ c (MPa)

-0,4 -0,2 0,6


149

Conforme está representado no diagrama MCR - 1/r da Figura 3.42, o fenómeno de fendilhação

evolui de tal modo que a rigidez à flexão atinge valores sucessivamente mais reduzidos entre a

Fase 7 e a Fase 18 (última). A curva que traduz essa evolução afasta-se do comportamento não

fendilhado (Estado I) e aproxima-se do comportamento com fendilhação sem resistência à tração

(Estado II). Como se pode verificar, o momento fletor máximo obtido em condições de serviço é

inferior a 50% do valor correspondente ao estado limite último por rotura em flexão (composta). O

facto de o Estado II não ser atingido deve-se, como descrito anteriormente, ao efeito da retenção de

tensões de tração (tension stiffening).

Figura 3.42 – Relação MCR - 1/r para a Secção 29: Fase 7 e Fase 18.

No Quadro 3.5 apresentam-se alguns dos resultados obtidos nos casos analisados, evidenciando-se

as diferenças de valores dos momentos fletores positivos.

Quadro 3.5 – Resumo dos resultados dos casos analisados (última fase).

Casos Mom. máx. positivo, M+

(kNm/m) Mom. máx. negativo, M-

(kNm/m) Desl. máx. horiz., δhm

(mm)

A 1239 172 43

B 967 (-22%) 190 (+11%) 47 (+9%)

Μ CR

2500

1000

4,0

Estado III

10,0

500

2,0

Fase 7

1/r (km )

2000

8,0

Estado II

-1

1500

6,0

Estado I

Fase 18

Cargasemserviço


150

3.6.4. Conclusões do exemplo

As hipóteses de rigidez atribuídas ao comportamento da cortina de contenção em betão armado

condicionam de forma significativa os valores dos momentos fletores máximos (neste exemplo, os

positivos), assim como os deslocamentos máximos horizontais, fatores importantes no seu

dimensionamento. Verificou-se que, numa análise não linear originada pela fendilhação, ocorre

uma alteração da rigidez em mais de 60% da altura da cortina, obtendo-se, consequentemente,

momentos fletores e deslocamentos distintos dos obtidos caso se opte por uma análise elástica

simplificada da cortina de contenção, para o momento fletor positivo menos 22%, e o deslocamento

horizontal máximo de mais 9%, aproximadamente.

Relativamente aos esforços axiais da cortina, verificou-se serem dependentes essencialmente do

peso próprio e das tensões geradas na interface solo/cortina, e pouco dependentes das análises com

diferentes rigidezes.

Embora não se faça qualquer referência aos assentamentos na superfície do solo suportado, assim

como ao levantamento do fundo da escavação, estes revelam uma evolução similar à dos

deslocamentos laterais da cortina. Neste caso de cortina de suporte de escavação profunda realizada

em argila mole saturada e não drenada, numa análise a curto prazo, há uma compensação dos

volumes que resultam das deformações do solo.

3.7. CONCLUSÕES DO CAPÍTULO

Neste capítulo descreveu-se o modo como foram acoplados dois programas de cálculo automático,

um de natureza geotécnica com modelação por elementos finitos (Código GEO) e outro de cariz

estrutural para análise não linear de secções de betão armado pelo método da discretização em

fibras (Código RC).

Foi efetuada a descrição da aplicação corrente do método dos elementos finitos aos problemas

geotécnicos, nomeadamente às escavações profundas suportadas por estruturas flexíveis,

distinguindo as opções na utilização para o estado plano de deformação. De forma mais

pormenorizada, é descrito o método de análise de secções de betão armado através da sua

discretização por fibras. Foram apresentados os métodos numéricos correntemente utilizados na

resolução dos processos incrementais e iterativos inerentes às análises não lineares materiais de

ambos os códigos. Foi descrito o procedimento de acoplagem entre os dois códigos e indicadas as

diferentes possibilidades de comunicação entre os dois códigos (abordagens) e referência às

vantagens e inconvenientes na aplicação das mesmas.

No sentido de demonstrar as potencialidades do modelo numérico, apresentou-se um exemplo de

uma escavação profunda suportada por uma cortina monoescorada em betão armado,

formulando-se algumas considerações sobre os resultados obtidos. Verificou-se que, numa análise


151

em que se considera a fendilhação como principal fator da não linearidade do comportamento

estrutural, ocorre uma diminuição significativa da rigidez em grande parte da altura da cortina.


152

Capítulo 4 – Modelação de escavação suportada por uma parede moldada monoescorada

153

4. MODELAÇÃO DE ESCAVAÇÃO SUPORTADA POR UMA PAREDE MOLDADA MONOESCORADA

4.1. INTRODUÇÃO

As cortinas monoapoiadas são elementos estruturais de suporte de terras cujo equilíbrio é

assegurado pelas pressões do tipo passivo, geradas abaixo do fundo da escavação, e por um apoio

na sua zona superior da cortina, normalmente perto do seu coroamento.

No sentido de demonstrar as potencialidades do modelo numérico proposto, foi já apresentada

sumariamente no Capítulo 3 a aplicação do modelo numérico a este exemplo, comparando-se

apenas o comportamento não linear com o comportamento elástico da cortina de contenção.

Mostrou-se o procedimento na modelação geotécnica do problema, assim como a modelação

estrutural da cortina. No final das análises foram feitas algumas considerações sobre os resultados

obtidos, destacando-se as potencialidades da aplicação do modelo numérico.

Particularmente, neste exemplo, o facto de o momento fletor máximo positivo apresentar uma

evolução crescente durante as fases de escavação e o momento fletor negativo ser relativamente

pequeno, torna possível fazer uma melhor previsão do comportamento estrutural. Assim, neste

capítulo, pretende-se desenvolver outras análises para este exemplo, comparando os novos

resultados com os já obtidos, nomeadamente para novas condições de rigidez da cortina e ainda

para uma potencial sobreescavação.

As primeiras análises serão efetuadas considerando a cortina de contenção subdimensionada e

sobredimensionada, comparando os resultados com os anteriormente obtidos. Serão analisados

casos de rigidez elástica reduzida da cortina, como simplificação do comportamento “real”, e na

parte final do capítulo será realizada uma análise do problema considerando a possibilidade de uma

sobreescavação até se atingir a rotura estrutural ou global. Serão comparados os esforços e

deslocamentos da cortina, e analisado o modo como, em função da escavação, e para uma análise

não linear, variam as tensões e extensões na secção considerada crítica, e ainda qual a variação da

rigidez da cortina durante a escavação.

No fim do capítulo são extraídas algumas conclusões sobre as análises efetuadas.

4.2. GEOMETRIA DO PROBLEMA E CARACTERÍSTICAS MECÂNICAS DOS

MATERIAIS

Na Figura 4.1 representa-se a cortina de contenção do tipo parede moldada monoescorada, onde a

Figura 4.1a mostra uma perspetiva isométrica de parte da escavação suportada pela parede


154

moldada e respetivos elementos metálicos de apoio. A Figura 4.1b mostra o corte transversal da

escavação.

A escavação é simétrica com 40,0 m de largura e 9,0 m de profundidade numa argila mole com

resistência não drenada variável em profundidade, sobrejacente a uma outra camada de argila dura

que assenta sobre formação rochosa à profundidade de 25,0 m. Na Figura 4.1b está indicada a

possível sobreescavação, referenciada por He - H0.

O pé da cortina de contenção penetra 1,0 m de profundidade na camada de argila dura. No seu

coroamento, o apoio é materializado por um nível de escoras sem pré-esforço, instaladas a 0,5 m de

profundidade relativamente à superfície.

(a) (b)

Figura 4.1 – Cortina de contenção tipo parede moldada e elementos de apoio: a) perspetiva

isométrica da escavação; b) corte transversal.

As análises são efetuadas em estado plano de deformação e em tensões totais, por se admitir as

argilas saturadas e um comportamento não drenado. Os coeficientes de impulso em repouso para a

análise em tensões totais, K0TT, função dos coeficientes de impulso em repouso em tensões efetivas,

são obtidos pela expressão:

19,00

He - H0

Rocha

z


6,00

γ = 17,8 kN/m³

cu = 200 kPa

1,00

Escoras //3,00

He

Fundo daescavação

H0 = 9,00

Sobreescavaçãocu = 5+3,43⋅z (kPa)

γ = 19,6 kN/m³

0,50

Argila dura

Argila mole


155

γγγ wTT K

K+′⋅

= 00 ( 4.1)

sendo os valores de K0TT para as duas argilas indicados no Quadro 4.1

Na expressão 4.1, γ ’ é o peso volúmico submerso, γw é o peso volúmico da água considerado igual

a 9,8 kN/m3, e γ é o peso volúmico total (saturado).

No Quadro 4.1 resumem-se as principais características mecânicas e do estado de tensão das

camadas de argila. No quadro, z representa a profundidade medida abaixo da superfície do solo

suportado, cu é a resistência não drenada variável em profundidade dentro da camada de argila

mole, Eu é o módulo de deformabilidade não drenado, K0 é o coeficiente de impulso em repouso em

tensões efetivas e ν é o coeficiente de Poisson.

Quadro 4.1 – Características dos solos.

Tipo de argila z (m) γ (kN/m3) cu (kPa) Eu (kPa) K0 K0TT ν

Argila mole 0,00 – 19,00 17,8 cu=5+3,43·z 400·cu 0,60 0,82 0,49

Argila dura 19,00 – 25,00 19,6 200 400·cu 0,70 0,85 0,49

No Quadro 4.2 indicam-se as principais características do betão, de classe de resistência C30/37, e

do aço para armaduras, de classe de resistência S400, utilizadas no dimensionamento e na

modelação do comportamento da cortina de contenção no Código RC.

Quadro 4.2 – Características do betão e do aço para armaduras.

Betão:


Módulo de elasticidade, Ec 33 GPa




Aço:





Relativamente às escoras, no Quadro 4.3 estão resumidas as principais características do aço

laminado de classe de resistência S275 JR utilizado na fabricação dos perfis HEB.


156

Quadro 4.3 – Características do aço laminado em perfis.





4.3. MODELAÇÃO GEOTÉCNICA

4.3.1. Malha de elementos finitos

Na modelação no Código GEO considera-se o comportamento elástico-perfeitamente plástico e o

critério de cedência de Tresca para o solo e para a interface solo-cortina. Relativamente à cortina de

contenção em betão armado, o seu comportamento é elástico linear em cada fase de execução,

podendo, contudo, a rigidez à flexão variar de fase para fase.

Para as escoras admite-se um comportamento elástico linear, com a sua rigidez axial efetiva

correspondente a 50% da rigidez teórica, para atender ao facto de, não havendo aplicação de

pré-esforço e eliminação prévia das folgas nos apoios, a sua rigidez em serviço ser

substancialmente menor (Matos Fernandes, 1983).

Na Figura 4.2a está representada a malha de elementos finitos utilizada no Código GEO,

constituída por 1008 elementos bidimensionais isoparamétricos de 8 nós para a discretização do

maciço e da cortina. Como mostra a figura, a fronteira lateral esquerda da malha foi considerada no

plano de simetria da escavação, enquanto a fronteira à direita foi admitida a uma distância de

49,0 m da face não escavada da cortina. A fronteira inferior foi modelada pela interface entre a

camada de argila dura e a formação rochosa representada na Figura 4.1b.

A Figura 4.2b representa a zona envolvente do pé da cortina com a indicação dos elementos de

junta solo-cortina e elementos de junta solo-solo. No total são definidos 80 elementos de junta de 6

nós para caracterizar a interface solo-cortina e 4 elementos de junta auxiliares na argila dura para

continuidade dos anteriores até à fronteira inferior.

A Figura 4.2c mostra parte da malha de elementos finitos com a indicação da escavação prevista de

H0 = 9,00 m, assim como a indicação da eventual sobreescavação (He - H0). Na mesma figura está

representado o elemento barra de dois nós que define o escoramento. Na Figura 4.2c mostra-se com

mais pormenor a cortina de contenção formada por 40 dos 1008 elementos bidimensionais

isoparamétricos de 8 nós. O número total de elementos finitos é igual a 1093, correspondendo a

3328 pontos nodais.

A escavação total prevista de 9,00 m de profundidade, indicada na Figura 4.2c, corresponde a 18

fases de 0,50 m de espessura. As duas primeiras correspondem à escavação até 1,00 m de

profundidade para permitir a instalação das escoras, e as restantes 16 fases, também de escavação


157

de espessuras de 0,50 m, até se atingir a cota pretendida para o fundo da escavação. Na Fase 3 é

ativado o elemento barra que define o nível de escoramento.

(a)

(b)

(c) Figura 4.2 – Malha de elementos finitos do Código GEO: a) aspeto geral da malha de

elementos finitos; b) pormenor do pé da cortina e elementos junta; c) profundidades

escavadas e apoio superior da cortina.

Admite-se que a resistência ao corte da interface solo-cortina é igual a 2/3 da correspondente


tangencial relativo de 1 mm. Relativamente à rigidez normal dos elementos de junta, considera-se o

valor de 106 kN/m para evitar movimentos de sobreposição, como foi descrito no item 3.2.6 do

Capítulo 3.

4.3.2. Dimensionamento estrutural

Embora se designe como “dimensionamento estrutural”, por se considerar que os esforços obtidos

por uma análise simplificada do comportamento da cortina são aceitáveis para o seu

dimensionamento, o que efetivamente se está a fazer é um pré-dimensionamento, requerendo que,

após um segunda análise mais rigorosa desse comportamento, se façam eventuais alterações na

espessura da cortina e (ou) nas áreas das armaduras, assim como nas características das escoras e

20,00 m 49,00 m

Elem. junta solo-cortina

Elem. junta solo-solo

Elem. barra (Escoras)

Argiladura

Argilamole

Escavação

He

H0 = 9,00 m

Arg

ila d

ura

Esc

avaç

ão

0,50 m

Sob

rees

cava

ção


158

na profundidade enterrada. A análise mais realista do comportamento estrutural pode ser iterativa

com o propósito de se encontrar uma solução otimizada, melhorando também as disposições

construtivas.

Tendo como referência outros casos de cortinas de contenção em betão armado em contextos

similares de profundidade escavada, de condições de apoio e características do solo suportado, foi

atribuída uma espessura de h = 0,80 m para a secção de betão. Nos desenhos da Figura 4.1 e Figura 4.2 atendeu-se já a esta dimensão da cortina.

Considerando a cortina de contenção com comportamento elástico e a rigidez à flexão conferida

apenas pela secção de betão, ou seja, com um módulo de elasticidade equivalente igual ao definido

para a classe de betão, Eeq = Ec = 33 GPa, recorreu-se ao Código GEO para determinação dos

esforços necessários ao pré-dimensionamento, nomeadamente os momentos fletores, os esforços

axiais e esforços transversos, representados na Figura 4.3.

(a) (b) (c)

Figura 4.3 – Esforços máximos na cortina de contenção: a) momentos fletores; b) esforços

axiais; c) esforços transversos.

A Figura 4.3a mostra a evolução do momento fletor em profundidade, na última fase da escavação

prevista (Fase 18), e na Figura 4.3b representa-se o diagrama dos esforços axiais para a mesma

fase. Não se representam aos diagramas envolventes destes esforços pelo facto de serem

aproximadamente iguais aos obtidos nesta última fase de escavação e a verificação da resistência à

flexão composta requerer a correspondência entre os dois esforços.

Secção 29

2,00

4,00

20,00

M (kNm/m)-100

Secção 29

-200 -400N (kN/m)

-2000


200800

Fase 18

0,00

H0 = 9,00

10,00

V (kN/m)

z (m

)

14,00

6,00

-100 100-300

Secção 29

300

Fase 18

0 04001200

12,00

18,00

16,00

8,00


159

Na Figura 4.3c está representada a envolvente dos esforços transversos, necessária para a

verificação da resistência ao esforço transverso da cortina de contenção.

No Quadro 4.4 indicam-se os valores de cálculo do momento fletor e correspondente esforço axial,

considerando um coeficiente de segurança de 1,35 associado às ações permanentes. No quadro

estão também indicadas as áreas das armaduras dimensionadas e as correspondentes percentagens

dessas armaduras calculadas com base na área útil da secção de betão, para a face externa da

escavação (momento máximo positivo) e para a face interna em contacto com o solo suportado

(momento máximo negativo).

Quadro 4.4 – Dimensionamento das armaduras principais da cortina.

Face da cortina MEd (kNm/m) NEd (kN/m) As (cm2/m) Armaduras ρ (%)

Externa 1570 -176 80,4 10φ32/m 1,13

Interna -246 -373 25,1 8φ20/m 0,35

Na determinação das secções das armaduras foi admitida uma relação aproximada de a/d = 0,1, em

que d é a altura útil da secção de betão e a (ou a’) é a distância do centro geométrico da armadura

tracionada à face da cortina. Em simultâneo, considerou-se uma relação A’/A de 0,30, em que A’ é

a área da armadura comprimida e A (= As) é a armadura tracionada, para uma secção em análise.

No dimensionamento do betão armado recorreu-se aos princípios constantes no Eurocódigo 2 -

Projeto de Estruturas de Betão (EC2, 2010) e à utilização das Tabelas e Ábacos de

Dimensionamento de Secções de Betão Solicitadas à Flexão e a Esforços Axiais Segundo o

Eurocódigo 2 (Barros e Figueiras, 2010).

Como já foi referido, admite-se, por simplificação, que as armaduras determinadas nas secções de

momentos fletores máximos são estendidas a toda a altura da parede, ou seja, sem qualquer

dispensa de varões.

Como é corrente para este tipo de estruturas de suporte de escavações profundas, verifica-se a

existência de elevados esforços transversos na zona do apoio superior, correspondendo à reação das

escoras. Recorrendo aos princípios constantes no EC2 (2010), e atendendo às percentagens de

armadura longitudinal, já dimensionadas, conclui-se que a cortina de contenção do tipo parede

moldada, em betão armado, apresenta suficiente resistência ao esforço transverso, não necessitando

de armaduras adicionais para resistir a esse efeito.

No Quadro 4.5 faz-se um resumo da verificação da segurança relativamente à resistência ao esforço

transverso, em conformidade com a nomenclatura e regras preconizadas no EC2 (2010). No

quadro, VEd é o valor de cálculo do esforço transverso atuante, adotando-se o mesmo coeficiente

de segurança de 1,35, k é um coeficiente dependente da altura útil da secção transversal da cortina,

e VRd,c é o valor de cálculo do esforço transverso resistente do elemento sem armadura de esforço

transverso.


160

Quadro 4.5 – Verificação da resistência ao esforço transverso.

VEd (kN/m) k VRd,c (kN/m)

374 1,53 424

No Quadro 4.6 resume-se a verificação da segurança relativamente à capacidade resistente à

compressão com encurvadura das escoras, desprezando o efeito do peso próprio. Para o efeito, foi

considerado o valor de cálculo do esforço axial (com um coeficiente de segurança de 1,35) e os

principais parâmetros de dimensionamento para a situação mais desfavorável de compressão com

encurvadura, utilizando-se perfis laminados normalizados HEB320 de aço S275 JR (dispostos na

posição de maior inércia vertical), e afastados longitudinalmente de 3,00 m.

Quadro 4.6 – Dimensionamento das escoras à compressão com encurvadura.

NEd (kN) Ncr (kN) �� Φ χ Nb,Rd (kN) Nb,Rd (kN/m)

1145 4675 0.974 1,164 0,555 2461 820

As disposições aqui utilizadas são as constantes no Eurocódigo 3 (EC3) – Projeto de estruturas de

aço (Parte 1-1: Regras gerais e regras para edifícios), NP EN 1993-1-1 (2010). No Quadro 4.6,

NEd é o valor de cálculo do esforço normal atuante na barra comprimida, Ncr é valor crítico para o

esforço normal e para o modo de encurvadura considerado (carga crítica de Euler), �� é a esbelteza

normalizada, Φ é um coeficiente associado às imperfeições, χ é o coeficiente de redução associado

ao modo de encurvadura e Nb,Rd é o valor de cálculo do esforço normal resistente à encurvadura.

Como foi já referido, as escoras são contraventadas no plano vertical por colunas metálicas que

penetram no fundo da escavação (até à argila dura), e no plano horizontal são contraventadas por

perfis longitudinais apoiados nas mencionadas colunas metálicas. Estes apoios considerados fixos,

espaçados de 8,00 m no sentido transversal da escavação, permitem considerar um comprimento

crítico de encurvadura, Lcr, de aproximadamente 6,40 m.

No Quadro 4.7 indicam-se as principais características geométricas e mecânicas dos perfis HEB320

utilizados como escoras.

Quadro 4.7 – Principais características geométricas e mecânicas dos perfis HEB320.

Área da secção transversal, As (cm2): 161,3

Momento de inércia máximo, Imax (cm4): 30820

Momento de inércia mínimo, Imin (cm4): 9239

Raio de giração mínimo, imin (cm): 7,57

Espessura da alma, tw (cm): 1,15

Espessura dos banzos, tf (cm): 2,05


161

4.4. MODELAÇÃO ESTRUTURAL

Correspondendo aos 80 conjuntos de dois pontos de Gauss dos 40 elementos finitos bidimensionais

que definem a cortina no Código GEO, representada na Figura 4.4a, são definidas 80 secções

transversais da cortina na modelação pelo Código RC (Figura 4.4b).

(a) (b)

Figura 4.4 – Modelação estrutural da cortina: a) correspondência entre o Código GEO e o

Código RC; b) secção vertical da cortina (plano yz) com identificação de secções transversais.

A Figura 4.4b mostra o corte vertical da cortina no plano yz, com a identificação das secções de

referência (1 e 80). Na mesma figura estão identificadas as Secções 29 e 42, com a indicação das

respetivas profundidades: a Secção 29 já anteriormente identificada como crítica para a escavação

prevista (He = H0 = 9,00 m) no exemplo de aplicação do Capítulo 3, e a Secção 42 que se verá ser a

crítica para a situação limite de sobreescavação.

y

z

Secção 1

z = 10,39

Secção 29

Y

H = 20,00

Secção 42


z = 7,11

Código RC

Secção 80

0,80

X

y

Código RC

Secção S

x

z

Código GEO


162

Na Figura 4.5a representa-se uma parte da secção transversal da cortina de contenção. Na Figura 4.5a estão representadas as armaduras verticais (principais) dimensionadas, assim como a

indicação do recobrimento dessas armaduras, c = 0,07 m, e a espessura da cortina, h = 0,80 m.

Uma faixa de desenvolvimento unitário é convertida numa secção de um elemento estrutural

isolado para modelação no Código RC. Essa nova secção é discretizada em 40 fibras de betão,

paralelas ao eixo neutro e de igual espessura. Os varões de aço das armaduras longitudinais

(verticais) dão origem a fibras de secção quadrada de áreas equivalentes e na mesma posição

relativa da secção real, como está representado na Figura 4.5b.

Na Figura 4.5b estão identificadas algumas fibras de betão e de aço (primeiras e últimas, na

numeração convencionada).

(a)

(b)

Figura 4.5 – Modelação da cortina no Código RC: a) corte da secção transversal da cortina;

b) secção de largura unitária modelada por fibras.

a'

a

a

a'

c

Fibra is = 18

h = 0,80 m

y

A's = 8φ20/m

c

b = 1,00 m

x

Fibra is = 1

h = 0,80 m

Fibra ic = 40

As= 10φ32/m

Fibra ic = 1


163

4.5. CASOS ANALISADOS

Na análise de cortinas de contenção em betão armado é corrente considerar que, por simplificação,

apresentam um comportamento elástico linear mas com uma rigidez à flexão diminuída para

atender à não linearidade material decorrente de fenómenos como a fendilhação e a fluência do

betão. Essa redução da rigidez à flexão é empírica e admitida constante em toda a altura da cortina.

Para além das referidas simplificações, essa rigidez à flexão elástica é contabilizada sem atender ao

contributo das armaduras.

Todavia, e como já se constatou na análise do exemplo apresentado no Capítulo 3, numa análise

não linear em que se considera a fendilhação do betão, a rigidez efetiva à flexão é muito variável

em amplitude e ao longo da altura da cortina, pelo que as simplificações mencionadas podem

induzir em erro na previsão do comportamento deste tipo de estruturas geotécnicas.

No sentido de avaliar a importância da variação da rigidez à flexão da cortina de contenção e das

mencionadas simplificações no comportamento estrutural e geotécnico, são analisados sete casos:

- o Caso A, onde na modelação da cortina se considera um comportamento elástico linear,

com a rigidez que resulta do contributo do betão e das armaduras, e que permanece

constante;

- o Caso B, onde na modelação da cortina se considera o contributo do betão através de um

modelo elastoplástico com tension stiffening e o contributo da armadura com um modelo

elastoplástico bilinear;

- o Caso C, idêntico ao Caso B mas com uma armadura inferior (subdimensionada);

- o Caso D, idêntico ao Caso B mas com uma armadura superior (sobredimensionada);

- o Caso E, considerando um modelo elástico linear na modelação da cortina com apenas 1/2

da rigidez conferida pela secção de betão e sem o contributo das armaduras;

- o Caso F, idêntico ao caso anterior, mas com 2/3 da rigidez conferida pela secção de betão;

- o Caso S, idêntico ao Caso B, mas pressupondo uma sobreescavação.

As principais particularidades dos casos a estudar estão resumidas no Quadro 4.8, destacando-se a

reduzida rigidez dos casos de análise elástica considerando apenas uma parte da rigidez conferida

pela secção do betão (Casos E e F), e ainda o Caso S correspondente a uma sobreescavação até se

atingir a rotura global ou estrutural, na sequência do concluído da análise do Caso B.

É de referir que os Casos A e B foram já objeto de uma análise sumária no Capítulo 3, como

exemplo de aplicação do modelo numérico desenvolvido. Pretende-se agora comparar os resultados

já obtidos com os dos restantes casos acima indicados, analisando as singularidades deste problema

e as potencialidades da aplicação do modelo numérico.


164


Casos Comportamento



EI0 (MNm2/m) Profundidade

escavada, He (m)

A Elástico linear Ec “+” Es 1614 9,00

B Não linear Ec “+” Es 1614 9,00

C Não linear Ec “+” Es 1557 9,00

D Não linear Ec “+” Es 1688 9,00

E Elástico linear 1/2Ec 704 9,00

F Elástico linear 2/3Ec 939 9,00

S Não linear Ec “+” Es 1614 Variável (> 9,00)

4.6. COMPARAÇÃO DOS RESULTADOS DOS CASOS A-D

No Quadro 4.9 indicam-se particularidades do Caso C e do Caso D, nomeadamente as

percentagens das áreas das armaduras (ρ e ρ’), a rigidez à flexão inicial elástica e o ganho de

rigidez (β) devido ao contributo das armaduras. No quadro estão indicados os mesmos parâmetros

para o Caso B, correspondendo ao dimensionamento “corrente” das armaduras, servindo para

comparação com os restantes casos mencionados.

Quadro 4.9 – Particularidades dos casos analisados.

Casos Comportamento

da cortina ρ (%) ρ’ (%)

Rigidez elástica inicial à flexão EI0 (MNm2/m)

β (%)

B Não linear 1,13 0,35 1614 14,6

C Não linear 0,68 0,35 1557 10,6

D Não linear 1,77 0,35 1688 19,9


deslocamentos horizontais da cortina, na última fase de escavação, para os Casos A, B, C e D. Na

mesma figura está referenciada a posição da Secção 29, à profundidade z = 7,11 m, que será sujeita

a uma análise mais detalhada por ser a secção onde se desenvolve, na sua vizinhança, o maior

momento fletor positivo na última fase de escavação.

Na Figura 4.6a estão evidenciadas as diferenças entre os diagramas de momentos fletores para os

quatro casos de comportamento da cortina de contenção. Como já foi exposto, apesar de a rigidez à

flexão inicial do Caso B ser igual à do Caso A, conforme indicado no Quadro 4.8, a análise não

linear conduz, como consequência da fendilhação, a uma condição de maior flexibilidade da

cortina e, naturalmente, a menores momentos fletores positivos e ainda, como mostra a Figura 4.6c, a maiores deslocamentos. Os diagramas de momentos fletores apresentados, correspondentes


165

à última fase de escavação, são também os diagramas envolventes, porque resultam de uma

evolução crescente dos momentos fletores de fase para fase em quase toda a altura da cortina.

O Caso C corresponde a uma armadura de momentos positivos insuficiente para a verificação do

estado limite último de rotura por flexão e representa uma situação de maior fragilidade; o Caso D

é, em oposição, uma situação de sobredimensionamento da referida armadura, conduzindo a uma

situação de maior rigidez.

É de notar que os momentos fletores máximos negativos são muito semelhantes para todos os casos

analisados de diferentes valores de rigidez. Tal, deve-se ao facto de se situarem numa zona de

maciço terroso envolvente bastante rígido e ao mesmo tempo ser uma zona “afastada” da zona

onde se perde grande parte da rigidez estrutural por fendilhação.

(a) (b) (c)

Figura 4.6 – Momentos fletores (a), esforços axiais (b) e deslocamentos horizontais (c), na

última fase de escavação para os Casos A, B, C e D.

Pela observação da Figura 4.6b, constata-se que a evolução dos esforços axiais para os três casos de

variação não linear da rigidez à flexão é aproximadamente a mesma e muito semelhante à do caso

de análise elástica do comportamento da cortina, dependendo, para além do seu peso próprio, das

tensões tangenciais geradas na interface com o solo confinante.

O movimento da cortina de contenção para o lado da escavação provoca assentamentos no solo

suportado. Essa massa de solo, no seu movimento descendente, origina tensões tangenciais também

Caso ACaso BCaso CCaso D

D

60

B

C

40

A

B

A

A

400


20400N (kN/m)

Secção 29

δ h (mm)

C

300

Secção 29

0

B/C/D

800 0 0

18,00

0,00

10,00

2,00

4,00

200100-2001200

D

z (m

)

20,00

16,00

14,00

12,00

M (kNm/m)

8,00

6,00


166

descendentes na interface solo-cortina. Em contrapartida, do lado da escavação, o movimento da

cortina contra o solo, associado ao efeito de descompressão das tensões como resultado da

escavação, origina um movimento do solo no sentido ascendente e, consequentemente, a indução

de tensões tangenciais nesse sentido, como se mostra na Figura 4.7 (Matos Fernandes, 2004). Este

efeito está patente nos diagramas da Figura 4.6b, constatando-se que os esforços axiais, até à

profundidade do fundo de escavação, resultam do peso próprio e do agravamento provocado pelas

tensões tangenciais descendentes geradas na interface do tardoz da cortina. Do lado oposto, abaixo

do fundo da escavação, as tensões tangenciais ascendentes na interface solo-cortina provocam a

redução dos esforços axiais nessa zona, os quais se aproximam em profundidade dos

correspondentes ao peso próprio da parede, como é visível na Figura 4.6b.

Figura 4.7 – Movimento da estrutura de suporte (flexível) e do maciço envolvente: forças

tangenciais desenvolvidas nas interfaces solo-estrutura (Matos Fernandes, 2004).

Importa ainda referir que, mesmo com elevada perda de rigidez à flexão por fendilhação, em

determinada zona da altura da cortina, a rigidez axial continua elevada, e a consequente

deformação por efeito do esforço axial é insignificante face à deformação do solo envolvente.

Na Figura 4.6c representam-se os diagramas dos deslocamentos horizontais da cortina, onde se

verifica que os deslocamentos são maiores para os casos onde se observam menores momentos

fletores, que nesta análise correspondem a menores rigidezes à flexão no fim da escavação prevista.

Conforme ilustra a figura, os deslocamentos horizontais máximos da cortina são relativamente

próximos, em valor e em posição, porque são muito dependentes da rigidez estrutural da zona

menos fendilhada e confinada pelos solos, impedindo maiores deformações. Para o Caso B, o

deslocamento horizontal máximo que ocorre na Fase 18 corresponde a cerca de 0,5% da

profundidade escavada, isto é, δhm/H0=0,5%.


167

Ainda em relação à Figura 4.6c, verifica-se que as rotações da cortina na zona mais profunda, ou

seja, na zona de apoio na argila dura, são muito semelhantes, demonstrando que são dependentes

das características do solo envolvente nessa zona da cortina e menos da sua rigidez.

Assim, apesar de se considerar um comportamento elástico da cortina, ou mesmo um

comportamento não linear com diferentes rigidezes, obtendo-se diferentes momentos fletores

máximos, verifica-se que os deslocamentos laterais são relativamente próximos, demonstrando que

a rigidez da cortina, neste tipo de problema, é apenas um fator, entre vários, que afetam tais

deslocamentos. As características mecânicas (resistência ao corte e rigidez do solo), o estado de

tensão inicial do maciço escavado, tipos de apoio e o faseamento construtivo, justificam o modo

como a cortina de contenção se deforma, demonstrando a elevada complexidade deste tipo de

estruturas.

Na Figura 4.8a representam-se os diagramas da variação da rigidez à flexão para as Fases 7 e

18 (última) dos casos de análise não linear da cortina (Casos B, C e D). O início da fendilhação

ocorre na Fase 7 e evolui até atingir cerca de 12,0 m da altura da cortina, na última fase, desde a

profundidade z = 2,00 m até z = 14,0 m, aproximadamente. Como é notório na análise da figura, a

perda de rigidez por fendilhação é menos pronunciada no caso sobredimensionado (Caso D),

comparativamente aos outros casos.

(a) (b)

Figura 4.8 – Rigidezes efetivas dos casos analisados: a) em toda a altura da cortina

aquando o início da fendilhação e no fim da escavação; b) variação da rigidez na

Secção 29 em função das fases de escavação.

A

800 F

1000 E

E F A

C

D

BC D

B

(EI)

c =

1408

1800

0

(EI)c = 1408

Fase 18

Fases de escavação

(última)

16,00

1620,00

400

(EI)eq (MNm2 /m)

8,00

1400

8

4,00

4

12,00

12

0,00

Secção 29

02

18,00

600

18

1200

6,00

6

10,00

10

14,00

14

200

1600

Fase 7

Secção 29z = 7,11 m

z (m

)

2,00

Caso ACaso BCaso CCaso DCaso ECaso F

160012008004000

(EI)eq (MNm2 /m)


168

O início da diminuição da rigidez à flexão (Fase 7) está indicado na Figura 4.8a, e ocorre acima da

Secção 29. Para essa secção, na Figura 4.8b representa-se a variação da rigidez à flexão durante a

escavação, para os três casos analisados.

Para um melhor enquadramento das análises efetuadas, na Figura 4.8 estão indicadas as rigidezes

elásticas com valores reduzidos. Para referência, está também indicada na Figura 4.8b a rigidez

elástica da cortina contabilizada apenas com a secção de betão, (EI)c.

O Quadro 4.10 mostra alguns dos resultados obtidos no estudo dos três casos, nomeadamente o

momento fletor que dá origem à fendilhação, o valor inicial e final de variação da rigidez até à

última fase de escavação prevista (Fase 18), e a redução relativa dessa rigidez. Como neste

exemplo se está a admitir que a cortina possui armaduras contínuas em toda a sua altura, a rigidez

inicial é única para todas as secções do mesmo caso analisado.

Como mostra a Figura 4.8, na última fase de escavação, os três casos de comportamento não linear

apresentam uma redução significativa da rigidez à flexão em aproximadamente 60% da altura da

cortina. No Caso B, e na última fase de escavação, a rigidez à flexão tem uma redução máxima de

aproximadamente 70%. Como está indicado no Quadro 4.10, o caso em que a armadura

dimensionada para momentos fletores positivos é insuficiente apresenta, naturalmente, uma maior

redução da rigidez à flexão.

Quadro 4.10 – Resultados dos Casos B, C e D.

Casos Momento de fendilhação Rigidez à flexão (MNm2/m) Perda de rigidez

Mr (kNm/m) EI0 = (EI)eq (Fase 0) (EI)eq (Fase 18) (%)

B 386 1614 484 70

C 367 1557 294 81

D 411 1688 701 58

A Secção 29 foi identificada como sendo a secção onde se desenvolve, na sua vizinhança, o

momento fletor máximo positivo para a última fase de execução (Fase 18). Essa secção, nas

primeiras 6 fases, está sujeita a um momento fletor (associado a determinado esforço axial) que não

gera qualquer fendilhação, ou seja, as tensões desenvolvidas nas diferentes fibras tracionadas ainda

não atingiram o valor limite da resistência à tração, o que equivale a dizer que a secção apresenta

um comportamento elástico linear do Estado I. Como já se descreveu, e é mostrado em termos de

rigidez à flexão na Figura 4.8a e na Figura 4.8b, a partir da Fase 7 surgem gradualmente fissuras

que originam uma redução da rigidez e a secção em causa passa a ter um comportamento não

linear.

A Figura 4.9 mostra a relação momento-curvatura para os Casos B, C e D. A evolução para cada

caso, consequência da fendilhação, está balizada entre duas linhas que representam o Estado I e o

Estado II. Os comportamentos dos três casos referidos mostram uma rigidez inicial elástica muito

próxima, correspondentes ao Estado I. A pequena divergência deve-se à diferença das áreas das


169

armaduras dimensionadas para os momentos fletores positivos instalados na Secção 29, sendo a

secção de betão (não fendilhada) o maior contributo para a rigidez inicial.

Figura 4.9 – Diagramas momento-curvatura da Secção 29 para os Casos B, C e D.

O Caso C, o de insuficiente armadura para satisfazer o estado limite último de rotura em flexão

composta, é o que apresenta uma maior amplitude de variação da rigidez à flexão entre o Estado I e

o Estado II. O Caso D, o de armadura sobredimensionada, é o que apresenta uma menor amplitude

entre os referidos estados.

Para melhor interpretação e comparação dos casos em estudo de comportamento não linear,

mostra-se na Figura 4.10 a variação das extensões e tensões nas fibras de betão da Secção 29.

A parte superior da Figura 4.10 mostra, para referência, parte do perfil vertical da cortina com

representação das armaduras verticais As e A’s, parte da secção transversal modelada por fibras,

com a indicação das fibras de betão 1 e 40, a mais comprimida e a mais tracionada, respetivamente,

e também o diagrama esquemático da relação tensão-extensão, σc - εc, para balizar o

comportamento das mencionadas fibras de betão.

Para os três casos (B, C e D), estão representados na Figura 4.10 os diagramas das extensões, εc, e

das correspondentes tensões, σc, para todas as fibras de betão da Secção 29, para as Fases 7 e 18.

Para cada caso analisado, representa-se também a relação tensão-extensão das fibras opostas de

betão, a mais comprimida (Fibra 1) e a mais tracionada (Fibra 40) em termos de extensões, para

todas as fases.

M (kNm/m)

386

Caso C

1000


600

200

367

Μ r = 411

Estado I

800

400

Caso D: ρ = 1,77%

Estado II

Caso B

Caso D

Caso C: ρ = 0,68%

Caso B: ρ = 1,13%

1200

2,0 1/r (km-1)1,0


170

Figura 4.10 – Extensões e tensões nas fibras de betão da Secção 29 para os Casos B, C e D.

4

-2

Fase 7

-4

0,6

-0,400,40

-0,4

-0,20

ε c (

‰)

0

Fase 18

Fase 18

(Fibra 40)

(Fibra 1)

yFase 18

-12

Fase 18

2

-0,4

Fase 18y

Fase 7

-8

0

0,4

-0,20

4

-0,4

Caso D

4

0,8

0,00

Fase 18

0,8

σc (

MP

a)

-6

-120,00

0,2

Fase 18

0,0

Fase 7

-8

0,0

0,40

0,4

-4

-8

-0,2

Fase 7

ε c (

‰)

Caso C

0,20

-12

Fase 18

-0,40

-4

Fase 7

2,0M

εc (‰)

N

Fase 7

-3,5

Caso B

f ck

f ctm

y

Fase 18

σ c

(−)

Fibra ic = 1

σ c (MPa)

0,4f cm

As

εc (‰)

A's

Fibra ic = 40

εc (‰)

-8

-6

Fase 7-2

2

Fase 18

Fibra 40Fibra 1

Fase 7

σ c (MPa)

4

Fibra 40

-0,4

Fase 18

-0,2

Fibra 1

0,6 εc (‰)0,40,2

σ c (MPa)

4

-12

-10

-0,4

-8

-6

-0,2

-4

0,6

-2

0,4

2

0,2

-12

-10

-4

Fase 7

0,4

Fibra 1

Fase 7

y

-10

0,20

Fibra 40

σc

(MP

a)

Fase 18

x

σc (

MP

a)

Fase 18

Fase 7

-0,40-0,20

Fase 18

0,000,20

h

0,4

-0,4

0,8

0,0ε c (

‰)

0,40

4

-12

-8

-4

0

Fase 7


171

Como se mostra na Figura 4.10 e está resumido no Quadro 4.11, as tensões máximas de

compressão (de sinal negativo), para os casos considerados, variam, aproximadamente, entre 10,6 e

11,2 MPa (Fibra 1), correspondendo a um intervalo de variação de 35 a 37% de fck e a um intervalo

de variação de 28 a 29% de fcm (fcm = fck + 8 MPa). Os valores da tensão de compressão no betão,

σcc, são inferiores a 0,4·fcm, valor da tensão que define o módulo de elasticidade secante

considerado na modelação do seu comportamento (ver Capítulo 1).

Como já foi mencionado, a tensão de tração na Fibra 40 aumenta até atingir o valor de fctm. Na

Fase 7 a Secção 29 apresenta já uma perda de rigidez que, embora pequena, é consequência de a

Fibra 40 ter entrado no ramo de comportamento não linear de trações do modelo tension stiffening,

com diminuição da resistência, como se mostra na Figura 4.10 para os três casos.

Embora não seja feita qualquer referência na mencionada figura às tensões nas armaduras,

admite-se que apresentam extensões iguais às do betão envolvente e as tensões são, naturalmente,

diferentes das do betão. Tratando-se de uma análise em condições de serviço, as tensões de

compressão no betão residem no ramo elástico e as tensões no aço localizam-se também no ramo

elástico do modelo que define o seu comportamento.

Quadro 4.11 – Extensões e tensões na Secção 29 na Fase 18 dos Casos B, C e D.

Casos Fibra 1 (compressão) Fibra 40 (tração)

εcc (‰) σcc (MPa) σcc /fck (%) σcc /fcm (%) εct (‰) σct (MPa) σct /fctm (%)

B -0,33 -10,8 36 28 0,52 2,2 76

C -0,34 -11,2 37 29 0,63 2,1 72

D -0,32 -10,6 35 28 0,43 2,4 83

Um aspeto relativamente importante, por ser referente ao único elemento estrutural de apoio da

cortina, é o comportamento do apoio superior, modelado por um elemento finito tipo barra que

representa as escoras. Na Figura 4.11 mostra-se a evolução dos esforços axiais no escoramento,

para os casos de comportamento não linear da cortina de contenção e para as várias fases.

Verifica-se que os diagramas dos três casos são quase coincidentes nas primeiras fases de

escavação, passando a divergir após o início da fendilhação que ocorre na Fase 7. Os resultados

obtidos demonstram que, neste problema em estudo, a reação no apoio superior não é muito

dependente da rigidez efetiva da cortina, mas sim da profundidade escavada. Tal deve-se ao facto

de este tipo de estruturas de suporte de terras apresentar, mesmo que fendilhadas, ainda uma

elevada rigidez à flexão, e a redistribuição das pressões transmitidas pelo solo suportado ser

limitada (efeito de arco relativamente reduzido).


172

Figura 4.11 – Comparação dos esforços axiais nas escoras para os Casos B, C e

D, durante as fases de escavação.

O Caso D origina uma maior reação nas escoras pelo facto de a cortina ser mais rígida e mobilizar

valores mais elevados de tensões horizontais do lado do solo suportado, apesar de a redistribuição

das tensões no solo ser menos pronunciada. Os esforços axiais, na última fase de escavação, valem

267, 257 e 276 kN/m, para os Casos B, C e D, respetivamente.

Relativamente aos movimentos do solo, a Figura 4.12 mostra o comportamento da superfície do

solo suportado, e a Figura 4.13 mostra o comportamento do fundo da escavação prevista, para a

Fase 18.

Na Figura 4.12 estão representados os perfis de assentamentos correspondentes à última fase de

escavação prevista para os casos de análise não linear do comportamento da cortina (Casos B, C e

D), comparados com o caso de análise elástica linear (Caso A). Os perfis representativos desses

movimentos verticais evidenciam uma configuração côncava, típica para este tipo de solo e

estrutura de suporte, e são muito semelhantes para os casos analisados. Na mencionada figura, δv

representa os assentamentos da superfície e d a distância horizontal à face não escavada da cortina.

Os assentamentos máximos verificados, para a última fase de escavação, são muito semelhantes,

variando entre 21 e 23 mm, a uma distância da cortina d = 8,90 m, valor semelhante à profundidade

total escavada.

É de reparar que os perfis de assentamentos apresentam configurações que demonstram um

desenvolvimento para além do limite definido pela malha de elementos finitos concebida para este

estudo. Nesse limite, o assentamento verificado é ainda aproximadamente 7 mm (para todos os

casos), reafirmando o facto de as escavações profundas em solos argilosos provocarem

deformações numa grande área de influência, apesar de se saber que estas análises tendem a

sobreestimar a distância para trás da face da escavação até à qual os assentamentos se processam

(Burland e Hancock, 1977; Burland et al., 1979; Hsieh e Ou, 1998), sendo um dos motivos o facto

Caso B

Caso C

Caso D

300

N (

kN/m

)

200

4

50

08 12 166 10 14Fases de escavação

18

150

100

153 7

250

13 175 9 11


173

de se considerar ainda válida a hipótese de estado plano de deformação em zonas muito afastadas

da escavação (Simpson, 1981).

Como se mostra na Figura 4.12, os assentamentos máximos não surgem junto à face da cortina,

pelo facto de as tensões tangenciais aí geradas entre os dois materiais impedirem maiores

deslocamentos do solo.

Figura 4.12 – Perfis dos assentamentos na última fase de escavação para os Casos A, B, C e D.

Na Figura 4.13 estão representados os diagramas dos levantamentos do fundo da escavação na

última fase, para os quatro casos. Os valores máximos obtidos são muito semelhantes e próximos

de 25 mm, a uma distância inferior a 5,00 m da face escavada da cortina.

Figura 4.13 –Perfis dos movimentos do fundo da escavação (levantamentos) em função do

faseamento construtivo para o Casos A, B, C e D.

Para os casos analisados de comportamento não linear da cortina de contenção, incluindo também o

Caso A de comportamento elástico linear, os valores máximos dos assentamentos da superfície do

solo suportado, assim como os valores máximos dos levantamentos do fundo de escavação,

correspondem a aproximadamente 0,3% da profundidade escavada, isto é, δvm/H0=0,3%.

d20

20,00

δ v (

mm

)

50,00


25

δ vH0

Caso B

15

30,000

5

Caso D

40,00

10

10,00

Caso C

Caso A

d (m)0,00

d


30

d (m)

10,00

20

δ v (

mm

)

20,00 5,00

δ v H0

15,000

0,00

10


174

4.7. RESULTADOS DOS CASOS E-F

Na Figura 4.14 são comparados os Casos E e F com o Caso B, isto é, os casos de análise elástica

com rigidez à flexão reduzida com o caso da análise não linear com a rigidez à flexão inicial total.

As diferenças mais pronunciadas, em termos de momentos fletores, ocorrem na zona inferior da

cortina, abaixo do fundo da escavação, onde os valores obtidos na análise não linear são superiores

aos obtidos nos restantes casos, consequência de nessa zona a rigidez efetiva da cortina ser, em

média, bastante superior aos valores considerados nessas análises de comportamento elástico (ver

Figura 4.8a).

Assim, como se verificou na comparação entre o Caso A, B, C e D (Figura 4.6b), também entre os

Casos E e F existe uma grande semelhança na evolução dos esforços axiais em profundidade, como

mostra a Figura 4.14b, tomando-se o Caso B de comportamento não linear da cortina de contenção

como referência.

Na Figura 4.14c representam-se os diagramas dos deslocamentos horizontais da cortina para os três

casos em análise. Nos Casos E e F os deslocamentos da cortina são superiores aos obtidos na

análise não linear do Caso B, porque, apesar da suposta rigidez elástica reduzida na zona central da

cortina ser superior à obtida na análise não linear, nas restantes zonas ocorre o inverso, como foi

referido a propósito da Figura 4.14a com base na Figura 4.8. Verifica-se uma grande aproximação

aos deslocamentos obtidos na análise do Caso B (não linear) com os obtidos no Caso F, para o qual

foi considerada uma rigidez elástica reduzida de 2/3 da conferida pela secção de betão.

(a) (b) (c)

Figura 4.14 – Momentos fletores (a), esforços axiais (b) e deslocamentos (c), na

última fase de escavação para os Casos B, E e F.

800 40100

E/F

E

300

Secção 29

00 0

F

B

2,00

Caso B

Caso E

Caso F

8,00

Secção 29

12,00

B

M (kNm/m)

4,00

16,00

1200 60200

E

400N (kN/m)


δ h (mm)

Secção 29

B

400 20

z (m

)

-400

6,00

10,00

18,00

0,00

F

20,00

14,00


175

No Quadro 4.12 apresentam-se alguns dos resultados obtidos nos casos analisados, evidenciando-se

as diferenças de valores dos momentos fletores máximos positivos.

Quadro 4.12 – Resumo dos resultados dos Casos B, E e F (última fase).

Casos Mom. máx. positivo, M +

(kNm/m) Mom. máx. negativo, M -

(kNm/m) Desl. máx. horiz., δhm

(mm)

B 967 190 47

E 831 207 50

F 956 202 48

A Figura 4.15 mostra a relação momento-curvatura para os casos de comportamento elástico da

cortina de contenção com rigidezes reduzidas (Casos E e F), comparados com o Casos A de

comportamento elástico e o Caso B de comportamento não linear, em que se considerou o

contributo da armadura na quantificação da respetiva rigidez inicial. Na mencionada figura, assim

como está representado na Figura 4.14a e indicado no Quadro 4.12, os momentos fletores máximos

positivos (e as correspondentes curvaturas) obtidos no Caso B e no Caso F são muito semelhantes.

O mesmo já não ocorre para o Caso E, definido por uma rigidez à flexão correspondente a 50% da

rigidez conferida pela secção de betão, em que o momento fletor para a última fase é

manifestamente inferior e a curvatura maior.

Figura 4.15 – Diagramas momento-curvatura da Secção 29, para os Casos A, B, E e F.

M (kNm/m)

Caso A

Caso F

Caso B

Caso E

Caso F


1,6

1000

1,2 1/r (km-1)

Caso E

600

Caso A

200

1200

0,80,4

Fase 18

800

400Caso B


176

A conclusão imediata que se obtém desta análise é que o estudo deste tipo de obras geotécnicas em

que se considera, por simplificação, um comportamento elástico linear mas com uma rigidez à

flexão diminuída para atender à não linearidade material resultante de fenómenos como a

fendilhação, retração e a fluência do betão, pode induzir em erro. O fator empírico de redução da

rigidez à flexão pode, apenas por casualidade, conduzir a um resultado semelhante ao

comportamento “real” em termos de esforços e deformações, como está demonstrado na Figura 4.14 e na Figura 4.15. O eventual dimensionamento estrutural da cortina de contenção

considerando uma rigidez elástica à flexão reduzida, mesmo que constante em todo o faseamento,

conduziria a menores momentos fletores, menor espessura da cortina e menores armaduras para

resistir à flexão, consequentemente menor rigidez e, provavelmente, maiores deslocamentos e

fissuração agravada.

4.8. ESTADO LIMITE ÚLTIMO POR SOBREESCAVAÇÃO (CASO S)

4.8.1. Considerações sobre o novo problema

Uma sobreescavação é definida como a escavação realizada para além do previsto em projeto, e

pode ser um erro de execução ou necessária para a execução de uma tarefa não prevista. A rotura

ocorre quando:

- o apoio materializado pelas escoras perde a capacidade resistente à compressão com

encurvadura;

- a resistência passiva do solo em frente da cortina é insuficiente;

- a cortina atinge a sua resistência estrutural e entra em cedência plástica originando um

“quase” mecanismo pela criação de uma rótula plástica, com deslocamentos laterais muito

elevados, provocando assentamentos da superfície do solo suportado também muito

elevados.

Na Figura 4.1b representou-se o corte transversal da escavação prevista, H0 = 9,00 m, e indicou-se

a sobreescavação que se pretende simular até se atingir a rotura global ou a rotura estrutural da

cortina. Como foi ilustrado na Figura 4.2c, a sobreescavação prossegue em intervalos de 0,50 m, na

sequência do faseamento inicial, como definida pela malha de elementos finitos.

4.8.2. Resultados da análise

4.8.2.1. Esforços e deslocamentos da cortina

Com a aplicação do modelo desenvolvido, simulando uma continuidade da escavação depois de se

ter atingido a profundidade prevista H0 = 9,00 m (Fase 18), e com a mesma sequência de 0, 50 m,

verifica-se que na Fase 31 é atingido o máximo momento fletor na Secção 42, e na Fase 32 a zona

envolvente da cortina entra em cedência plástica (o modelo deixa de convergir).


177


deslocamentos horizontais da cortina, para a Fase 18 e para as Fases 31 e 32. Na mesma figura

estão indicadas as posições das Secções 29 e 42, a 7,11 e 10,39 m de profundidade, respetivamente.

Na Figura 4.16a estão representados os diagramas de momentos fletores para as referidas fases: a

Fase 18 correspondente à escavação prevista; a Fase 31 em que se atinge o momento fletor

resistente na zona da Secção 42; e o diagrama de momentos fletores para a Fase 32 com a cedência

plástica da cortina ao longo de cerca de 5,00 m de altura.

(a) (b) (c)

Figura 4.16 – Momentos fletores (a), esforços axiais (b) e deslocamentos horizontais (c), na

Fase 18 (He = 9,00 m), Fase 31 (He = 15,50 m) e Fase 32 (He = 16,00 m) do Caso S.

Os diagramas de esforços axiais para as Fases 31 e 32 estão representados na Figura 4.16b. Para

referência, na figura está representada também a Fase 18 e a variação linear em profundidade do

efeito do peso próprio da cortina. Com o aumento da profundidade escavada é mais evidente o

contributo das tensões tangenciais geradas nas interfaces solo-cortina na variação dos esforços

axiais. Para um aumento da escavação os esforços axiais afastam-se substancialmente da linha que

define o peso próprio, pelo facto de diminuir o contributo das tensões tangenciais na cortina do

lado da escavação e aumentar as do lado do solo suportado. A mudança da configuração do gráfico

de esforços axiais, para a Fase 32 (He = 16,00 m), por exemplo, ocorre abaixo da superfície

N (kN/m)200

10,00

600

Fase 32

Fase 18

0,00

Secção 29

(última)

80

6,00

z (m

)

Fase 32

18002400

(última)

1200

Fase 18

Fase 32

Fase 32

20,00

2,00

(última)

Fase 31

4,00

Fase 18

Secção 42

Fase 31

160

Secção 42

Fase 31

0

Fase 31

Secção 42

M (kNm/m)

Fase 18

18,00

16,00

14,00

12,00

8,00

200

Secção 29


0 120 40

Secção 29

0400δ h (mm)

600


178

escavada, onde existem ainda tensões tangenciais ascendentes mobilizadas pelo solo (do lado

escavado).

Os diagramas de deslocamentos horizontais da cortina nas fases próximas da cedência por

plastificação estrutural e a comparação com o diagrama de deslocamentos obtidos na Fase 18

(He = 9,00 m) estão representados na Figura 4.16c. O deslocamento máximo horizontal na Fase 32

é de aproximadamente δhm = 184 mm, próximo da Secção 42, correspondendo a δhm/He=1,2%.

4.8.2.2. Esforços nas escoras

A Figura 4.17 mostra a evolução da reação no apoio superior (esforços nas escoras) em função das

fases de escavação. Verifica-se que o valor do esforço axial nas escoras passa, grosso modo, para o

dobro do valor alcançado na Fase 18, correspondente a 9,00 m de profundidade de escavação.

Figura 4.17 – Esforço axial nas escoras (de compressão) em função do faseamento de escavação.

Como se pode verificar pela Figura 4.16c, os deslocamentos horizontais da cortina na zona do

apoio superior são relativamente pequenos comparativamente com os valores máximos obtidos,

mesmo para as últimas fases da sobreescavação, e as escoras continuam ativas por não se esgotar a

capacidade resistente para a qual foram dimensionadas. Na Fase 32, como se pode ver pela Figura

4.17, o esforço axial das escoras vale N = 487 kN/m (de compressão), ainda muito abaixo do valor

resistente indicado no Quadro 4.6.

5 9 13 17 21 25 297 11 15 19 23 27 313 6 10 14

500

400

300

200

He =

16,

00 m

100

N (

kN/m

)

He

= H

0 =

9,0

0 m

18 22 26 304 8 12

Sobreescavação

16 20 24 28 32Fases de escavação

0


179

4.8.2.3. Assentamentos da superfície do solo suportado

Na Figura 4.18 estão representados os perfis de assentamentos para as Fases 18, 31 e 32. Os perfis

das últimas fases apresentam também uma configuração côncava típica, e muito evidenciada até a

uma distância da mesma ordem de grandeza da altura da cortina. O assentamento máximo

verificado para a Fase 32 vale δvm = 130 mm, a uma distância da cortina de 8,40 m,

correspondendo à relação δvm/He=0,8%.

Figura 4.18 – Perfis dos assentamentos da superfície do solo suportado (Caso S): Fases 18, 31 e 32.

4.8.2.4. Pressões sobre a cortina

A Figura 4.19 mostra os resultados das tensões normais (horizontais) que atuam sobre ambos os

lados da cortina de contenção, para as Fases 18 e 32. Para referência, indicam-se também na figura

os diagramas de tensões ativas e passivas teóricas de Rankine, e ainda, atrás da parede, as pressões

de repouso.

As situações relevantes representadas na citada figura são as seguintes:

- abaixo da zona escavada estão representados os diagramas das tensões horizontais para as

mencionadas fases, que resultam da aplicação do modelo numérico;

- ainda abaixo da zona escavada, mostra-se os diagramas de pressões passivas teóricas

(Rankine), para a escavação prevista (Fase 18), assim como para a escavação correspondente

à profundidade de sobreescavação limite (Fase 32), identificados por Kp18 e Kp

32,

respetivamente;

- abaixo da superfície do solo suportado estão representadas as tensões horizontais obtidas

pelo modelo numérico para as Fases 18 e 32, assim como o diagrama das pressões de

repouso obtido com os valores de K0TT definidos anteriormente para as duas argilas e o

diagrama das tensões horizontais teóricas de Rankine (Ka).

Como está representado na Figura 4.19, verifica-se que na Fase 18 as tensões horizontais abaixo do

fundo da escavação, obtidas pelo método numérico, são inferiores às correspondentes do estado

passivo de Rankine. O mesmo não acontece na Fase 32, em que as tensões obtidas pelos dois

(última)

Fase 31

Fase 18

Fase 32

δ v (

mm

)

150

10,00

25

125

20,00

d100

0,00d (m)

50,0030,00

δ vHe

75

040,00

50


180

métodos são muito semelhantes. Ou seja, na Fase 32 “esgota-se” a capacidade resistente do solo

abaixo da escavação, ao contrário do que acontece ainda na Fase 18.

Relativamente às tensões atrás da parede, na Fase 18 verifica-se uma redistribuição das tensões da

zona central da cortina para uma maior concentração na vizinhança do apoio superior. Na Fase 32,

a redistribuição de tensões é ainda mais acentuada, tornando-se mais evidente a concentração de

tensões nessa zona próxima do apoio superior.

Figura 4.19 – Diagramas das tensões horizontais sobre as duas faces da cortina

para as Fases 18 e 32.

Esta redistribuição de pressões, por efeito de arco (Rowe, 1952; Bjerrum, 1972) leva a que ao

longo de uma certa altura da parede, as tensões horizontais sejam menores do que as ativas teóricas.

Isto só é possível porque, às profundidades correspondentes e imediatamente atrás da parede, as

tensões verticais são inferiores às tensões de repouso, pois elas próprias experimentam

redistribuição por efeito de arco, quer para a cortina, quer para o solo mais afastado. É isto que se

pode ver na Figura 4.20, onde se representa a distribuição das tensões verticais num plano

horizontal à mesma profundidade da Secção 42 (z = 10.39 m), para as Fases 7, 18 e 32. A tensão

vertical inicial (de repouso) à profundidade indicada vale aproximadamente 185 kPa.

(última)

100

K p18

Fase 32

KaHe = 16,00 m

Fase 18

K0TT

K p32

Sobr

eesc

avaç

ão

200

Escoras

K p32

Ka

Fase 18

K p18

K0TT

Fundo da escavação

0

H0 = 9,00 m

K p18 (última)

Fase 32

Fase 18

Fase 32

300 kPa

Fase 18

Fase 32

Esc

avaç

ão p

revi

sta


181

Como se pode verificar pela figura, a tensão vertical de repouso é alterada significativamente como

consequência da escavação, especialmente na vizinhança da cortina. Nas fases iniciais, verifica-se

apenas uma diminuição dessas tensões na proximidade da cortina, ou seja, o efeito de arco é ainda

pouco significativo. Todavia, para fases mais avançadas, dá-se uma transferência mais acentuada

das tensões verticais da zona próxima da cortina para uma zona mais afastada, como mostra o

diagrama das tensões verticais para a Fase 32, verificando-se que a uma distância de

aproximadamente 16,0 m da cortina há uma concentração significativa das tensões verticais.

Figura 4.20 – Tensões verticais no solo suportado à profundidade z = 10,39 m para

várias fases de escavação: Fases 7, 18 e 32.

Este efeito foi estudado por Fortunato et al. (1996) em vários casos de escavações profundas e

admitindo uma análise elástica das cortinas de contenção, tendo chegado a conclusões semelhantes.

O autor concluiu que o efeito de arco responsável pelas redistribuição das tensões horizontais,

representadas na Figura 4.19, é inseparável do efeito de arco referente às tensões verticais,

representadas na Figura 4.20. Esse efeito está dependente das deformações da cortina, que por

conseguinte dependem de vários fatores já aqui referidos, como o tipo de solo suportado e das

condições de apoio da cortina, por exemplo, e neste contexto, também do modo como a rigidez à

flexão varia em função da profundidade escavada.

Verifica-se que, quando a tensão horizontal no tardoz da parede decresce, decrescem também as

tensões verticais para valores inferiores aos teóricos (Figura 4.20), registando-se uma maior

diferença com as tensões teóricas quando as tensões horizontais apresentam também uma maior

diferença com os respetivos valores teóricos. As variações de tensões horizontais e verticais

implicam a mobilização de tensões tangenciais, originando uma rotação das tensões principais

(especialmente junto da parede) deixando estas de coincidir com as direções iniciais vertical e

horizontal.

(Fase 0)

d ≅ He = 16,00 m

Fase 32

40,00

100

Secção 42

Fase 18

50,00

200

d (m)

σ v (kPa)

20,00 30,00

Fase 7

Fase 32

σ v0 = 185 kPa150

Fase 18

0,00 10,00

Escoras

Fase 7


182

4.8.2.5. Variação da rigidez à flexão

Na análise preliminar deste problema no Capítulo 3, concluiu-se que o início da fendilhação ocorre

na Fase 7 e que na última fase da escavação prevista (Fase 18) a cortina está fendilhada numa

altura de 12,0 m, desde a profundidade z = 2,0 m até z = 14,0 m, aproximadamente. No seguimento

dessa análise anterior, pretende-se verificar qual o comportamento da cortina de contenção em

termos de variação da rigidez à flexão no prosseguimento da escavação. Os resultados obtidos

estão representados na Figura 4.21, indicando-se a correspondência entre os momentos fletores, a

variação da rigidez à flexão e os deslocamentos da cortina, para as Fases 18, 31 e 32.

Na Figura 4.21a repetem-se os diagramas de momentos fletores para evidenciar as diferenças entre

a Fase 18 e a Fase 31 que ocorre imediatamente antes da formação de uma rótula plástica. A

formação da rótula plástica ocorre na Fase 32 a partir da qual o Código GEO deixa de convergir.

Para referência, representa-se o valor aproximado do momento fletor que dá origem à fendilhação,

já indicado no Quadro 4.10. Na figura estão também referenciadas as duas secções em análise: a

Secção 29 (z = 7,11 m) e a Secção 42 (z = 10,39 m).

(a) (b) (c)

Figura 4.21 – Diagramas de momentos fletores (a) e da rigidez à flexão (b), para as Fases

18, 31 e 32; representação das deformadas da cortina nas Fases 18 e 32 (c).

Estado II

Secção 42

Secção 42

z =

10,

39 m

Secção 42

Fase 32

Fase 18

M r

1200

Fase 32(última)

Fase 32 Fase 32

Fase 31

386

Fase 31

(última) (última)

519

6,00Secção 29

0,00

M (kNm/m)2400

Secção 29

Fase 18

75

(EI)eq (MNm2/m)

100

020,00

1614

18,00

Fase 18

4,00

1800

Fase 18

Secção 29

0 0 50

16,00

14,00

600(EI)eq (%)

25

z (m

)

12,00

10,00

8,00

2,00

z =

7,1

1 m


183

Os diagramas de variação da rigidez à flexão da cortina, percentagem da rigidez elástica inicial e

rigidez efetiva, para as Fases 18, 31 e 32, estão representados na Figura 4.21b, onde facilmente se

identifica a zona da cortina, na vizinhança da Secção 42, que entra em cedência plástica. Na mesma

figura está indicada a rigidez à flexão correspondente ao Estado II.

A Secção 29 foi anteriormente analisada a propósito do início da fendilhação na Fase 7 e do

momento máximo no fim da escavação prevista (Fase 18). A Secção 42 é agora referenciada por

ser uma das secções localizadas na zona de cedência plástica quando se atinge a Fase 32. Quando

se atinge a Fase 18 (H0 = 9,00 m), a maior diminuição da rigidez está localizada numa zona

imediatamente acima do fundo dessa escavação. Para a escavação correspondente à Fase 31, a

diminuição da rigidez é quase constante em cerca de 60% da altura da cortina e vale

aproximadamente 25% da rigidez inicial, como é visível na Figura 4.21b. Para a Secção 42, a

fendilhação tem início na Fase 8.

Na Figura 4.21c estão representadas as deformadas da cortina para as Fases 18 e 32, com indicação

esquemática das zonas fendilhadas.

Conforme está representado no diagrama MCR - 1/r da Figura 4.22, correspondente à Secção 42 da

cortina, localizada a 10,39 m de profundidade, o fenómeno de fendilhação progride de tal modo

que a rigidez à flexão atinge valores sucessivamente mais reduzidos em função da sobreescavação.

A curva que traduz essa variação afasta-se do comportamento não fendilhado (Estado I) a partir da

Fase 8, e aproxima-se do comportamento com fendilhação sem resistência à tração (Estado II).

Figura 4.22 – Relação MCR - 1/r da Secção 42 do Caso S.

Escavação prevista(cargas em serviço)

(EI)I


6,0

Estado I

(EI)II

Fase 32

1500

4,0

Estado III

2500

1000

Fase 18

2,0

Μ CR(kNm/m)

Mr

1/r (km-1)10,0

500

Fase 31

Estado II

Fase 8

Sobreescavação

2000

8,0


184

O valor máximo do momento fletor no centro de rigidez da secção, para a Fase 31, é de

aproximadamente MCR = 2266 kNm/m, e o correspondente momento fletor no centro geométrico da

secção de betão vale aproximadamente M = 2316 kNm/m. Dando-se a plastificação da armadura de

tração, e para os incrementos de curvatura e de esforço axial provenientes do Código GEO da

Fase 32, o momento fletor no CR sofre um decréscimo.

O momento fletor máximo obtido em condições de serviço, ou seja, correspondente à Secção 29 e

na Fase 18, M = 967 kNm/m, é cerca de 42% do valor máximo obtido, agora na Secção 42, para a

situação de sobreescavação que conduz ao estado limite último por rotura em flexão composta.

O facto de o Estado II não ser atingido deve-se, tal como foi descrito anteriormente, ao efeito da

retenção de tensões de tração (tension stiffening) nas fibras de betão próximas do eixo neutro.

A plastificação da armadura de tração, sem qualquer resistência por endurecimento, implica a

transferência do Código RC (resultado da Fase 32) para o Código GEO (para execução da

hipotética Fase 33) de um valor nulo da rigidez à flexão, pelo facto de, na análise pelo Código RC,

a rigidez tangente corresponder a um patamar de cedência plástica. Essa rigidez nula dá origem a

uma instabilidade numérica no Código GEO, como consequência das novas condições de

funcionamento estrutural da cortina. Isto é, a cortina de contenção, na hipotética Fase 33, funciona

como tendo uma rótula plástica na zona central da sua altura.

O prolongamento da relação MCR - 1/r representado na Figura 4.22, para além da Fase 32, reproduz

o comportamento típico de uma secção da cortina para um aumento da curvatura, tendendo para a

linha que representa o Estado III. A linha que representa este estado possui um ligeiro declive em

virtude de ainda existirem fibras de betão, na vizinhança do eixo neutro, em regime elástico de

tração e de compressão.

Na Figura 4.23 representa-se a variação da rigidez à flexão durante a escavação prevista e para a

sobreescavação, para a Secção 29, anteriormente analisada, e para a Secção 42 por ser a primeira a

entrar em cedência.

É de reparar que, para as fases imediatamente anteriores à Fase 31, o declive da tangente à curva

MCR - 1/r da Figura 4.22, que representa a rigidez à flexão, apresenta um valor quase constante,

demonstrando que a fissuração estabilizou (ver Capítulo 2, Figura 2.14). Essa constância de declive

é visível também na Figura 4.23 para as últimas fases da sobreescavação.


185

Figura 4.23 – Variação da rigidez à flexão da Secção 29 e Secção 42 para o faseamento do Caso S.

Para complementar o descrito, na Figura 4.24 mostra-se a variação das extensões e tensões da

Secção 42, para as fases anteriormente referidas. A Figura 4.24a mostra uma parte do perfil vertical

da cortina com representação das armaduras verticais As e A’s, assim como parte da secção

transversal modelada por fibras com a indicação das fibras de betão 1 e 40, a mais comprimida e a

mais tracionada. Na mesma figura está representada a relação tensão-extensão, σc - εc, do

comportamento das mencionadas fibras de betão.

As extensões na secção transversal da cortina estão representadas na Figura 4.24b, em função da

distância ao eixo que passa no centro geométrico (-0,40 m ≤ y ≤ 0,40 m).

As tensões instaladas na secção de betão, correspondentes às referidas extensões, estão

representadas na Figura 4.24c. Para as Fases 31 e 32, parte do betão comprimido atinge a tensão

máxima fck. A tensão de tração na Fibra 40 aumenta até atingir o valor de fctm, e, imediatamente à

Fase 8, a Secção 42 apresenta já uma perda de rigidez que, embora pequena, é consequência de a

Fibra 40 ter entrado no ramo de comportamento não linear de trações do modelo tension stiffening,

com diminuição da resistência.

As tensões nas armaduras em cada fase, e em cada face da secção transversal, estão representadas

por barras na Figura 4.24d.

1800

800

1000


0

1200

24

600

164 328 12

(EI)eq (MNm2 /m)

20

Secção 42

28

Secção 29

1600

200

(EI)eq = 598 MNm2/m

0(EI)eq = 484 MNm2/m

400

1400

6Fases de escavação

2 3010

Sobreescavação

14 18 22 26

He

= 1

6,00

m

He

= H

0 =

9,0

0 m



186

(a)

(b)

(c)

(d)

Figura 4.24 – Comportamento da Secção 42 (z = 10,39 m): a) perfil vertical da cortina, secção

transversal discretizada por fibras e relação tensão-extensão nas fibras de betão; b) diagramas de

extensões na secção (-0,40 m ≤ y ≤ 0,40 m); c) diagramas de tensões no betão; d) tensões nas

armaduras de aço.

(Trações)

(Fibra 40)

N

0,4f cm

-3,5

(Fibra 40)

(Compressões)

(−)

f ck

A's

Fase 18

Fase 32

As

M

2,0

(Fibra 1)

εc (‰)

Fase 32

Fase 18

f ctm

(Fibra 1)

-10

-400

x

(Trações)

0,40

3,0

Fase 31

0

-15

-1,0

Fase 8

-20

h

0,0

Fase 18

-25

200

2,0

5

y

-0,40y

ε c (

‰)

(Compressões)

-5

0

-200

1,0

-30

Fase 32

0,00

Fibra ic = 40

σ c

Fibra ic = 1

σs (

MP

a)

-0,200,20

σc

(MPa

)

400


187


As várias hipóteses de rigidez atribuídas ao comportamento da cortina de contenção em betão

armado condicionam, de forma significativa, os valores dos momentos fletores máximos (neste

exemplo, os positivos) e, embora em menor grau, os deslocamentos máximos horizontais.

Neste exemplo, e para a escavação inicialmente prevista de He = 9,00 m, verificou-se que, numa

análise não linear originada pela fendilhação, ocorre uma alteração da rigidez em mais de 60% da

altura total da cortina, obtendo-se, consequentemente, momentos fletores e deslocamentos distintos

dos obtidos caso se opte por uma análise elástica simplificada da cortina de contenção.

A habitual consideração de um comportamento elástico da cortina com rigidez à flexão reduzida,

dependendo dessa redução, poderá originar um momento fletor máximo positivo também reduzido,

comparativamente com uma análise mais rigorosa do comportamento estrutural. Se o

dimensionamento estrutural se basear nesta hipótese, a cortina de contenção poderá ficar

subdimensionada, originando uma maior perda de rigidez à flexão, maior abertura de fendas e

maiores deslocamentos.

Apesar de os momentos fletores obtidos por uma análise elástica e pela análise não linear da cortina

de contenção, com rigidez elástica inicial iguais, serem bastante distintos, os deslocamentos

apresentam uma grande semelhança. Como também já se mencionou, este efeito justifica-se pelo

facto de a rigidez da cortina, neste tipo de problema, ser apenas um fator, entre vários, que afetam

tais deslocamentos. Efetivamente, as características mecânicas (resistência ao corte e rigidez do

solo), o estado de tensão inicial do maciço escavado, o faseamento construtivo, a rigidez do

escoramento, condicionam também, e de maneira muito significativa, o modo como a cortina de

contenção se deforma, o que reflete a complexidade do comportamento deste tipo de estruturas.

No caso de a escavação progredir até se atingir a rotura estrutural por formação de rótula plástica

(He = 16,00 m), ocorre uma alteração da rigidez em cerca de 85% da altura da cortina, e em cerca

de 65% dessa altura a rigidez efetiva atinge um valor muito reduzido, próximo da rigidez

correspondente ao Estado II.


188

Capítulo 5 – Modelação de escavação suportada por uma cortina autoportante de estacas de betão armado

189

5. MODELAÇÃO DE ESCAVAÇÃO SUPORTADA POR UMA CORTINA AUTOPORTANTE DE ESTACAS DE BETÃO ARMADO

5.1. INTRODUÇÃO

Pretendendo-se realçar as potencialidades do modelo numérico desenvolvido, assim como as suas

particularidades na aplicação a casos mais complexos, não totalmente demonstradas no capítulo

anterior, exemplifica-se a análise de uma escavação suportada por uma cortina autoportante

(designada por cantilever) de estacas de betão armado, isto é, uma cortina de geometria não

laminar.

O dimensionamento geotécnico da cortina autoportante é realizado recorrendo ao método britânico

simplificado de equilíbrio limite, considerando a teoria de Caquot-Kérisel na avaliação dos

coeficientes de impulso ativo e passivo para a quantificação das pressões das terras atuantes sobre a

cortina. Com a aplicação do método, determinou-se a altura enterrada da cortina necessária para

garantir a sua estabilidade, assim como a obtenção dos esforços necessários para o

dimensionamento do betão armado.

Com a secção dimensionada da cortina de estacas de betão armado, determinou-se, a partir do

conceito de rigidez equivalente, uma espessura fictícia e um módulo de elasticidade equivalente

para a modelação no Código GEO. Por sua vez, foi determinada a estaca equivalente

correspondente a um desenvolvimento unitário da cortina e realizada a sua discretização por fibras

para modelação no Código RC.

Através da aplicação do modelo numérico desenvolvido são simuladas quatro situações:

- a cortina apresenta uma altura total semelhante à encontrada pelo método de equilíbrio

limite, para a escavação prevista de 5,00 m;

- situação idêntica à anterior mas com sobreescavação até ocorrer a rotura global por perda

de equilíbrio;

- a cortina com uma altura total superior à encontrada pelo método de equilíbrio limite e com

a mesma escavação prevista de 5,00 m;

- situação idêntica à anterior, mas com sobreescavação até ocorrer a rotura por cedência

plástica da cortina.

Estas quatro análises são efetuadas pressupondo dois comportamentos distintos para o material da

cortina de contenção: o comportamento elástico e o comportamento não linear como consequência

da fendilhação do betão. Para cada análise são determinados os esforços e deslocamentos da

cortina. Para os casos de comportamento não linear, é avaliada a evolução da fendilhação e

consequente perda de rigidez em função da profundidade escavada. No fim do estudo deste


190

problema, apresentam-se algumas considerações julgadas interessantes relativamente aos

resultados obtidos com a aplicação da presente metodologia.

Apesar de a modelação da secção das estacas pelo método das fibras exigir um cuidado especial,

mostra-se que a aplicação deste método de análise estrutural, conjugado com o cálculo geotécnico,

apresenta elevadas potencialidades, quer em condições de serviço, quer na simulação do estado

limite último de resistência.

As singularidades mais importantes deste exemplo são as seguintes:

- durante a escavação, os momentos fletores evoluem de forma crescente e em diferentes

zonas da cortina sucessivamente mais profundas e abaixo da superfície escavada;

- a determinação da rigidez elástica equivalente considerando o contributo da secção de betão

e da armadura previamente determinada, para a modelação da cortina no Código GEO;

- a criação da estaca equivalente para a modelação no Código RC, com as dimensões das

fibras ajustadas ao número de estacas por metro de desenvolvimento da cortina, e a sua

discretização por fibras.

5.2. RIGIDEZ EQUIVALENTE

Considerando o caso genérico em que as estacas apresentam um afastamento s entre faces, o

número de estacas por metro de desenvolvimento longitudinal da cortina é:

LsBn

11 =+

= ( 5.1)

onde B é o diâmetro das estacas, e L = B + s é o afastamento entre eixos, em metros, como

representado esquematicamente na Figura 5.1.

Figura 5.1 – Secção da cortina de contenção de estacas de betão armado, com

referência à espessura equivalente h’.

L

Bs

h'

B


191

A rigidez à flexão equivalente, por metro de desenvolvimento da cortina, é dada por:

( )sscc IEIE.nEI ⋅+⋅= ( 5.2)

e a rigidez axial é:

( )sscc AEAE.nEA ⋅+⋅= ( 5.3)

onde, para cada estaca:

64

4B

Ic

⋅= π

4

2B

Ac

⋅= π

( 5.4)

e

2

1

s

s

s

s i

n

i

is yAI ⋅≅=

=

=s

s

s

n

i

is AA

1

( 5.5)

em que si

A é a área da secção transversal de cada varão de aço e si

y a ordenada dos ns varões da

armadura de uma estaca.

A partir das expressões 5.2 e 5.3 é possível determinar uma espessura, h’,indicada na Figura 5.1, e

um módulo de elasticidade, E’, equivalentes, a atribuir à cortina, “transformando-a” em elemento

laminar do tipo parede, condição necessária para a modelação no Código GEO.

Igualando a razão entre a rigidez à flexão e a rigidez axial da parede de espessura fictícia com a

mesma relação da cortina real, obtém-se a espessura equivalente:

sscc

sscc

AEAE

IEIE

EA

EI'h

⋅+⋅⋅+⋅⋅=⋅= 1212 ( 5.6)

Por outro lado, através da igualdade de rigidez axial, obtém-se o módulo de elasticidade

equivalente, para um desenvolvimento unitário da cortina (b = 1,00 m):

'h

EA'E = ( 5.7)


192

ou, pela igualdade de rigidez à flexão:

312

'h

EI'E ⋅= ( 5.8)

5.3. DESCRIÇÃO DO PROBLEMA

O problema proposto corresponde a uma escavação de 5,00 m de profundidade e 30,00 m de

largura, num solo arenoso emerso, sobrejacente à formação rochosa que se encontra à profundidade

de 20,00 m, conforme o corte transversal representado na Figura 5.2.

Figura 5.2 – Corte transversal da escavação suportada por cortina autoportante.

Numa segunda parte do estudo deste problema, e após a escavação de 5,00 m de profundidade, é

realizada uma sobreescavação até se atingir a rotura por perda de equilíbrio da cortina. Para essa

análise são feitas novas representações para melhor explicação do pretendido.

15,00

Areia

Rocha

H0 = 5,00 m

Fundo da escavaçãoγ = 20 kN/m³

δ = 2/3 φ '

Zona aescavar

φ ' = 30°

15,00 m


193

As principais características do solo estão indicadas no Quadro 5.1.

Quadro 5.1 – Características do solo.

Ângulo de resistência ao corte: φ’ = 30°

Peso volúmico: γ = 20,0 kN/m3

Módulo de deformabilidade: E = 30 MPa

Coeficiente de Poisson: ν = 0,3

Coeficiente de impulso de repouso: K0 = 0,50

Ângulo de atrito terras-cortina: δ = 2/3φ’

5.4. DIMENSIONAMENTO DA CORTINA DE CONTENÇÃO

O método britânico de equilíbrio limite admite que existe um ponto de rotação na parte enterrada

da cortina, abaixo do qual há uma inversão do tipo de pressões do solo: na frente da cortina passa a

haver pressões ativas e pressões do tipo passivo atrás desta (Vieira et al., 2002). A profundidade

enterrada até esse ponto é designada por profundidade enterrada teórica (f ’).

O chamado método britânico simplificado (de equilíbrio limite) admite que a soma algébrica das

pressões abaixo do ponto de rotação da cortina pode ser substituída por uma força, Rd, designada

por contra-impulso. O método admite que a majoração em 20% da profundidade enterrada teórica é

suficiente para mobilizar o referido contra-impulso, obtendo-se a profundidade enterrada

efetiva (f ).

Para quantificação das pressões das terras admitiu-se que a cortina apresenta uma geometria

laminar. Recorrendo-se à teoria de Caquot-Kérisel, utilizando os parâmetros de resistência ao corte

indicados no Quadro 5.1, obtiveram-se os valores de 0,30 e 5,5 para os coeficientes de impulso

ativo e passivo, respetivamente.

Pela aplicação do método britânico simplificado de equilíbrio limite, com a introdução de um

coeficiente de segurança de 2,0 proposto por Burland et al. (1981) para a redução da soma

algébrica das pressões passivas e ativas geradas abaixo do fundo da escavação, obteve-se a

profundidade enterrada que garante o equilíbrio da cortina de contenção. Para o efeito é

estabelecida uma equação de equilíbrio de momentos em relação ao ponto de rotação. O valor do

contra-impulso (Rd), gerado abaixo do mencionado ponto de rotação, é determinado pelo equilíbrio

das forças horizontais.

Depois de definida a geometria da cortina e as correspondentes pressões do solo, obtêm-se os

diagramas de momentos fletores e de esforços transversos, identificando-se os valores máximos

necessários ao dimensionamento estrutural. Os esforços normais podem ser também quantificados


194

pela integração em profundidade das tensões tangenciais mobilizadas nas interfaces solo-cortina,

assim como o correspondente peso próprio da cortina de contenção.

Pela aplicação do método, obtiveram-se as seguintes grandezas:

- profundidade enterrada teórica, f ’ = 4,42 m;

- profundidade enterrada efetiva, f = 1,2· f’ = 5,30 m;

- contra-impulso, Rd = 283 kN/m.

O momento fletor máximo vale aproximadamente |Mmax| = 255 kNm/m, para a profundidade

z = 7,37 m. O esforço transverso máximo é igual ao valor do contra-impulso.

Na Figura 5.3 representam-se os diagramas de esforços até ao ponto de rotação da cortina. Na

Figura 5.3a representa-se o diagrama de momentos fletores, evidenciando o seu valor máximo

muito abaixo do fundo de escavação. O diagrama de esforços transversos está representado na

Figura 5.3b, mostrando o seu valor máximo no ponto de rotação da cortina e correspondente, como

foi referido, ao contra-impulso.

Figura 5.3 – Diagramas de esforços obtidos pelo método britânico simplificado de

equilíbrio limite: a) momentos fletores; b) esforços transversos; c) esforços axiais.

Na Figura 5.3c está representado o diagrama de esforços axiais obtidos, pela integração em

profundidade das tensões tangenciais geradas nas interfaces da cortina em contacto com o solo,

assim como o peso próprio da cortina em betão armado.

0,00 100

z (m

)

9,00

-100 -100

5,00

Rd


0 -50

6,00

-100

f ' = 4,42

N (kN/m)

2,00

00 -150

8,00

-200

10,00

300

3,00

-300V (kN/m)M (kNm/m)

7,00

1,00

H0 = 5,00

200

4,00


195

Para o presente estudo considerou-se uma cortina de estacas tangentes (s = 0) com diâmetro

B = 0,60 m, solução corrente para casos similares ao aqui apresentado. Admitindo betão da classe

de resistência C25/30, com fcd = 16,7 MPa, e aço para armaduras da classe de resistência S400,

com fyd = 348 MPa, dimensionou-se uma armadura por estaca com área As = 31,4 cm2 (10φ20), de

modo a satisfazer a segurança relativamente ao estado limite último por flexão composta, para um

coeficiente de segurança de 1,35 associado às ações permanentes. O valor admitido para o

recobrimento da armadura de flexão foi de 7 cm.

Com o peso próprio das estacas e a integração das tensões tangenciais do contacto entre o solo e a

cortina, admitindo-a de faces planas, é possível avaliar o esforço axial correspondente à secção

onde atua o momento máximo, e vale aproximadamente 92 kN/m (compressão), como mostra a

Figura 5.3c. Este valor do esforço axial é favorável em relação à segurança relativamente ao estado

limite último por flexão composta da cortina.

No Quadro 5.2 indica-se o valor de cálculo do momento fletor por metro de desenvolvimento da

cortina e o correspondente momento fletor por estaca. No referido quadro indica-se também a área

da armadura necessária para cada estaca e a respetiva percentagem relativamente à área total da

secção transversal de betão (ρ = As/Ac = 1.11 %), assim como o correspondente momento fletor

resistente por metro de desenvolvimento da cortina.

Quadro 5.2 – Dimensionamento da armadura principal das estacas.

|MEd| (kNm/m) |MEd| (kNm) As (cm2) Armadura ρ (%) |MRd| (kNm/m)

345 207 31.4 10φ20 1,11 379

Na determinação da área da armadura de aço foram aplicadas as disposições do

Eurocódigo 2 (EC2, 2010), com cálculo à rotura obtido pela aplicação das Tabelas e Ábacos de

Dimensionamento de Secções de Betão Solicitadas à Flexão e a Esforços Axiais Segundo o

Eurocódigo 2 (Barros e Figueiras, 2010). No dimensionamento foram utilizadas as expressões

correntes para elementos estruturais de secção circular sujeitos à flexão composta.

Com a área da secção de betão e correspondente armadura (principal), e ainda a armadura de

cintagem, normalmente helicoidal, facilmente se verifica a segurança em relação ao esforço

transverso.

A Figura 5.4 mostra a secção transversal da cortina constituída por estacas tangentes de betão

armado, admitindo-se que a armadura determinada na secção de máximo momento fletor é

estendida a toda a altura das estacas.


196

Figura 5.4 – Secção transversal da cortina formada por estacas tangentes (s = 0) de betão armado.

5.5. MODELAÇÃO GEOTÉCNICA (CÓDIGO GEO)

Como já foi exposto, na modelação geotécnica para a análise por elementos finitos do Código GEO

é necessário introduzir uma espessura da cortina como elemento laminar, assim como um módulo

de deformabilidade para o comportamento elástico inicial, valores equivalentes aos da secção real

da cortina.

Recorrendo às expressões anteriores, para o módulo de elasticidade Ec = 31 GPa do betão e o

módulo de elasticidade Es = 200 GPa do aço, assim como a consideração de estacas tangentes

(s = 0) com diâmetro e a armadura representada na Figura 5.4, obtiveram-se os seguintes valores

aproximados:

- número de estacas por metro de desenvolvimento da cortina, n = 1,67;

- rigidez à flexão, EI = 354 MNm2/m;

- rigidez axial, EA = 15656 MN/m;

e, finalmente, a consideração dos seguintes parâmetros necessários para a modelação da cortina no

Código GEO:

- espessura equivalente, h’ = 0,50 m;

- módulo de elasticidade equivalente, E’ = 34 GPa.

O valor de h’ acima indicado resultou do arredondamento do valor obtido de 0,52 m. Por sua vez, o

valor de E’ foi obtido pela equivalência de rigidez à flexão considerando o valor de h’ arredondado.

Na Figura 5.5 está representada a malha de elementos finitos utilizada no Código GEO, constituída

por um total de 1575 elementos, dos quais 1449 são bidimensionais isoparamétricos de 8 nós para a

discretização do maciço e da cortina, e 126 são elementos de junta para simulação das interfaces

solo-cortina e a continuidade destes até à fronteira inferior, originando no total 4774 pontos nodais.

Solo suportado

Zona escavada

As = 10φ20

B = 0,60 m


197

Figura 5.5 – Malha de elementos finitos (Código GEO).

A fronteira lateral esquerda da malha foi considerada no plano de simetria da escavação, a 15,00 m

da face escavada da cortina, enquanto que a fronteira à direita foi admitida a uma distância de

25,00 m da face não escavada da cortina (5 vezes a profundidade escavada). A fronteira inferior foi

modelada pela interface entre a camada de areia e a formação rochosa.

A escavação é modelada por 15 fases até se atingir o fundo da escavação (profundidade de 5,00 m),

correspondendo às 15 primeiras camadas de elementos finitos representadas na Figura 5.5.

A configuração da malha de elementos finitos representada na Figura 5.5 é o resultado de uma

otimização na forma como se modelou a zona a ser escavada, assim como a zona um pouco abaixo

do fundo da escavação prevista. Assim, procurou-se que os intervalos de escavação fossem

sucessivamente menores de modo a gerar incrementos de esforços equitativos na cortina,

especialmente o momento fletor. Em segundo lugar, refinou-se a malha na zona correspondente à

escavação que gera um momento fletor que origina a fendilhação do betão da cortina. Estes aspetos

foram previamente estimados recorrendo a uma malha de elementos finitos mais esparsa,

ajustando-se sucessivamente a posição dos elementos finitos nessas zonas singulares. O

refinamento da malha (final), principalmente na profundidade referida (crítica), conduz a um

processo numérico incremental no Código GEO mais ajustado ao comportamento não linear da

cortina.

Abaixo do fundo de escavação previsto, o solo foi modelado por elementos finitos de reduzida

espessura de modo a melhor configurar uma sobreescavação e os seus efeitos.

15,00Zona a escavar

0,5025,00


198

Como está representado na Figura 5.6, serão analisadas duas situações em termos de altura total da

cortina:

- cortina com altura total igual à encontrada pelo método de equilíbrio limite, H = 10,30 m;

- a mesma solução estrutural em termos de resistência e rigidez, mas com maior profundidade

enterrada, H = 13,00 m.

A Figura 5.6 mostra, em pormenor, as zonas envolventes da malha de elementos finitos

(Código GEO) para as duas situações de altura total da cortina, com a indicação dos elementos que

definem a cortina e os correspondentes elementos de junta das interfaces.

(a) (b)

Figura 5.6 – Pormenores das malhas de elementos finitos (Código GEO) para as duas

situações de altura total da cortina: a) H = 10,30 m; b) H = 13,00 m.

No Quadro 5.3 resumem-se as principais características das malhas de elementos finitos para os

dois casos a analisar em termos de altura total da cortina. No mesmo quadro, e para cada caso,

indica-se o número total de elementos bidimensionais isoparamétricos de 8 nós para a discretização

do maciço e da cortina, o número total de pontos nodais, o número de elementos de junta de 6 nós

para caracterizar a interface solo-cortina e o número de elementos de junta auxiliares na areia para

definir a continuidade até à fronteira inferior.

Para o solo e para a interface solo-cortina considera-se o comportamento elástico-perfeitamente

plástico e o critério de rotura de Mohr-Coulomb. Para a interface entre a cortina de contenção e o

solo é admitido um comportamento puramente friccional cujo ângulo de atrito, δ, é uma fração do

ângulo de resistência ao corte do solo, φ’, como foi indicado no Quadro 5.1.

H0 = 5,00

8,00

H = 10,30

H0 = 5,00

5,30

H = 13,00


199

Quadro 5.3 – Características das malhas de elementos finitos para os casos a analisar.

H = 10,30 m H = 13,00 m

Número total de elementos bidimensionais: 1449 1449

Número de pontos nodais: 4774 4774

Número de elementos bidimensionais da cortina: 50 57

Número de elementos junta solo-cortina: 100 114

Número de elementos junta solo-solo: 26 12

Nas análises a efetuar, será admitido um comportamento da cortina de contenção elástico linear

(EL) com rigidez constante em todo o faseamento e uma análise não linear (NL) com a rigidez

variável de fase para fase.

5.6. MODELAÇÃO ESTRUTURAL

A modelação estrutural da cortina de estacas é realizada pela criação da estaca equivalente definida

como um elemento cuja secção resulta da equivalência à secção da cortina de estacas num

desenvolvimento unitário. As larguras equivalentes das fibras de betão e de aço da estaca

equivalente, ci

b′ e si

b′ , são obtidas afetando as correspondentes dimensões das fibras de uma estaca

pelo valor de n (número de estacas por metro de desenvolvimento da cortina).

Para cada fibra de betão de uma estaca, identificada por ic, as dimensões na estaca equivalente são:

cc

cc

ii

ii

hh

bnb

=′

⋅=′ ( 5.9)

e para as fibras de aço (varões):

ss

ss

ii

ii

hh

bnb

=′

⋅=′ ( 5.10)

A Figura 5.7 mostra a transformação entre a secção real da cortina, por metro de desenvolvimento,

e a estaca equivalente, necessária para modelação no Código RC. Na Figura 5.7a estão

representadas as estacas reais, e na Figura 5.7b a modelação por fibras dessas estacas. Na Figura

5.7c está representada a estaca equivalente que resulta da “soma” longitudinal das partes das

estacas existentes num metro de desenvolvimento longitudinal da cortina, também discretizada em

fibras.


200

(a) (b) (c)

Figura 5.7 – Modelação da secção da cortina no Código RC: a) estacas reais por metro

de desenvolvimento da cortina; b) modelação por fibras; c) estaca equivalente (fibras).

A Figura 5.8 mostra, em pormenor, a geometria da estaca equivalente. Na Figura 5.8a representa-

se a configuração elipsoidal da estaca equivalente que resulta da transformação das fibras de betão

pela aplicação das expressões 5.9. Na mesma representação estão as fibras de aço nas suas posições

relativas com dimensões que sofrem também uma transformação em função das equações 5.10. As

fibras genéricas de betão e de aço, com indicação das suas novas dimensões, estão representadas na

Figura 5.8b.

(a) (b)

Figura 5.8 – Configuração da estaca equivalente (a) e dimensões das fibras (b).

Para além das já referidas características do betão e do aço utilizadas no dimensionamento

estrutural, de classes de resistência C25/30 e S400, respetivamente, acrescentam-se as seguintes

necessárias para a modelação no Código RC:

fck = 25 MPa;

fctm = 2,6 MPa;

fyk = 400 MPa.

y

x

b = 1,00 mb = 1,00 m b = 1,00 m

is

y

b = 1,00 m

x

ich'

is

Fibra is = 10

ic

0,60 m

Fibra is = 1

b'

Fibra ic = 30b'

Fibra ic = 1Fibra ic

h'

Fibra is


201

Na aplicação do modelo tension stiffening no Código RC, considera-se um valor reduzido da

resistência à tração: fct = 2/3· fctm (λ1 = 2/3).

Para a cortina de contenção com altura total de 10,30 m, o Código RC analisa 100 secções

transversais, correspondentes aos 100 conjuntos de dois pontos de Gauss dos 50 elementos finitos

bidimensionais que a definem no Código GEO. Para a cortina com altura total de 13,00 m, o

número de secções transversais é de 114 correspondentes aos 57 elementos finitos que a definem,

como está indicado no Quadro 5.3.

Como está representado na Figura 5.8, cada secção transversal da estaca equivalente apresenta 30

fibras de betão, paralelas ao eixo neutro, com 0,02 m de espessura e largura variável, e tantas fibras

de aço quantos os varões de aço da armadura, de secção também modificada. É de referir que as 10

fibras de aço poderiam ser transformadas em 5 fibras equivalentes, por se admitir que estão

agrupadas duas a duas com a mesma ordenada por cada alinhamento.

5.7. CASOS ANALISADOS

Como foi mencionado na introdução do presente capítulo, serão realizadas quatro principais

análises, correspondentes a duas situações em termos de altura total da cortina e para o

comportamento estrutural elástico e não linear. A solução estrutural, em termos de resistência e

rigidez conferidas pela secção transversal de betão e armadura, será a mesma para as quatro

análises. Nesas análises, a rigidez à flexão poderá ser constante em todo o faseamento ou variável

de fase para fase de modo a simular um comportamento não linear da cortina.

Quanto ao Código GEO, e como foi já descrito, as características das malhas de elementos finitos

serão apenas diferentes na modelação da parede de modo a contemplar as duas alturas: a

correspondente à obtida pelo método de equilíbrio limite (H = 10,30 m) e a outra para a cortina

com maior profundidade enterrada (H = 13,00 m).

No Quadro 5.4 estão indicados os casos analisados que, como foi mencionado, são formulados com

a mesma rigidez elástica inicial à flexão. A nomenclatura H10 e H13 estabelecem a

correspondência às alturas das cortinas, isto é, para as alturas totais de H =10,30 m e H = 13,00 m,

respetivamente. Uma análise elástica ou não linear da cortina de contenção é identificada por “EL”

ou “NL”, respetivamente.

Nos itens que se seguem serão apresentados e discutidos os resultados das análises efetuadas para o

faseamento previsto de escavação até se atingir a profundidade de 5,00 m. As consequências da

sobreescavação serão também analisadas em pormenor, comparando-se os valores limite de

escavação obtidos pela aplicação do modelo numérico com os que resultam da aplicação do método

de equilíbrio limite, a ambos os casos de altura total da cortina.


202


Casos H

(m) Comportamento



EI0 (MNm2/m)

H10EL 10,30

Elástico linear Ec “+” Es 355

H10NL Não linear

H13EL 13,00

Elástico linear Ec “+” Es 355

H13NL Não linear

5.8. CASO H10

5.8.1. Análise paramétrica do comportamento elástico da cortina para diferentes rigidezes.

Pretende-se com esta análise paramétrica avaliar o comportamento da cortina de contenção para

diferentes rigidezes elásticas, mantendo esse comportamento elástico constante durante todo o

faseamento de escavação. Assim, são realizadas 12 análises de comportamento da cortina: em dez

das análises considera-se um módulo de deformabilidade equivalente a variar entre 10% e 100% do

módulo de deformabilidade do betão; nas restantes duas análises considera-se a rigidez equivalente

igual à rigidez conferida pelo betão e armadura, e a consideração de uma rigidez infinita.

No Quadro 5.5 estão indicados os casos analisados e as correspondentes rigidezes relativas

(EI)eq/(EI)c, os momentos fletores máximos em valor absoluto (M), os deslocamento horizontais

máximos da cortina (δhm) e os valores dos assentamentos máximos do solo suportado (δvm). A

mencionada rigidez equivalente relativa está definida como o inverso do parâmetro ξ, que será

usado como variável nas correlações com os referidos deslocamentos.

Quadro 5.5 – Comportamento elástico da cortina de contenção para diferentes rigidezes: momento

fletor máximo, e deslocamentos máximos da cortina e do solo suportado.

Eeq (GPa) ( )( )c

eq

EI

EI=

ξ1

M (kNm/m) δhm (mm) δvm (mm)

3,1 0,1 181,0 133 58 6,2 0,2 180,9 77 31 9,3 0,3 180,8 58 21

12,4 0,4 180,9 48 16 15,5 0,5 180,9 43 13 18,6 0,6 181,0 39 11 21,7 0,7 181,1 36 10 24,8 0,8 181,1 34 9 27,9 0,9 181,2 32 8 31,0 1,0 181,3 31 7

34,0 1,1 181,4 29 7

∞ ∞ 182,0 18 1


203

A Figura 5.9 mostra os diagramas de deslocamentos horizontais da cortina na última fase de

escavação (Fase 15), para o comportamento elástico linear e para diferentes rigidezes, como o

indicado no Quadro 5.5. Na mesma figura está também representada a posição da cortina que

resulta apenas de um movimento de translação e rotação, consequência única do movimento do

solo, por se considerar a rigidez à flexão infinita (1/ξ = ∞).

Como se pode verificar pelas representações das deformadas da cortina de contenção, as suas

configurações são típicas de uma estrutura de contenção do tipo cantilever, para diferentes

rigidezes.

Figura 5.9 – Deslocamentos horizontais da cortina na última fase de escavação, para o

comportamento elástico linear e para diferentes rigidezes.

Relacionando os deslocamentos máximos horizontais da cortina (δhm), assim como os

assentamentos máximos do terreno suportado (δvm), com as diferentes rigidezes relativas definidas

pelo parâmetro ξ, obtêm-se razoáveis aproximações lineares de comportamento. Ou seja, neste

contexto, o deslocamento máximo da cortina e o assentamento máximo do solo suportado

dependem unicamente da rigidez elástica à flexão. A Figura 5.10 mostra os referidos

deslocamentos em função do parâmetro ξ, assim como as regressões lineares ajustadas aos

conjuntos de resultados, para os casos indicados no Quadro 5.5.

(EI)eq

0,00

2,00

4,00

40

= 0,1

9,00

δ h (mm)

z (m

) Fase 15

7,00

1,1

ξ1 =

1,00

3,00

5,00

10,00

10,50

6,00

∞

8,00

20100 60

0,3

120 80

(EI)c

1,0

140

0,2

0


204

Figura 5.10 – Deslocamentos máximos horizontais da cortina e verticais do solo suportado para

diferentes condições de rigidez elástica da cortina.

Na Figura 5.11 mostra-se a relação direta entre os assentamentos máximos da superfície do solo

suportado e o deslocamento horizontal máximo da cortina, na última fase de escavação (prevista).

Figura 5.11 – Relação entre os deslocamentos verticais máximos do solo suportado e os

correspondentes deslocamentos horizontais máximos da cortina, para o fim da escavação (prevista)

e diferentes rigidezes.

Estes resultados merecem desde já um comentário. Eles revelam uma acentuada sensibilidade dos

deslocamentos da cortina em relação à sua rigidez à flexão, aliás muito mais acentuada do que a da

01 10

(EI)c

2

ξ=

4 6

80

δ hm (mm) = 11,5⋅ξ + 19

8

60

140

0 3

40

5 7 9

120

δ vm (mm) = 5,7⋅ξ + 2

20

100

δ vm(mm)

δ hm (mm)

(EI)eq

20 120 140

10

50δ vm = 0,5⋅δ hm − 8

60δ hm (mm)

δ vm(mm)

20

60

40 100

40

800

30

0


205

cortina monoapoioada. Isso pode explicar-se porque no caso da cortina autoportante a rigidez à

flexão é o único parâmetro estrutural com influência nos movimentos. Acresce que neste tipo de

cortinas o faseamento construtivo se resume à escavação.

Por outro lado, verifica-se que o momento máximo é praticamente independente da rigidez da

cortina. Isso explica-se porque a cortina autoportante se aproxima de uma estrutura isostática. Este

aspeto será analisado com mais detalhe em seguida.

5.8.2. Comportamento elástico, Caso H10EL

Neste item pretende-se analisar em pormenor o caso de comportamento elástico da cortina de

contenção, verificando como variam os esforços M e N, e os deslocamentos laterais da cortina, em

função do faseamento, considerando-se constante a rigidez à flexão total, isto é, com o contributo

do betão e da armadura de aço (caso estudado no item anterior com 1/ξ = 1,1).


deslocamentos horizontais da cortina, obtidos na análise do faseamento da escavação do

Caso H10EL, isto é, cortina de contenção com altura “normal” e uma análise considerando o

comportamento elástico linear para o betão armado.

(a) (b) (c)

Figura 5.12 – Resultados da análise do Caso H10EL nas 15 fases de escavação: a) momentos

fletores; b) esforços axiais; c) deslocamentos horizontais.

-200

Fase 1

6,00

9,00

Fase 1

-150

4,00

Fase 15

Fase 15

8,00

0

Fase 15

Fase 15

N (kN/m)0

z (m

)

10

3,00

-50

7,00

20δ h (mm)

-100

H0 = 5,00

0

2,00

M (kNm/m)


Fase 15

50

5,00

-150

Fase 1

1,00

0,00 30-100

10,00

-50

10,50


206

A Figura 5.12a mostra a forma como evoluem os momentos fletores em função da progressão da

escavação, destacando-se o resultado da Fase 15 que representa o fim da escavação prevista. Como

seria de esperar, os momentos máximos encontram-se sempre abaixo do fundo da escavação de

cada fase, sendo que, na última fase, o momento máximo vale aproximadamente 181,4 kNm/m e

está localizado a 6,48 m abaixo da superfície do terreno suportado (Secção 54), o que corresponde

a cerca de 1,5 m abaixo do fundo da escavação.

Na Figura 5.12b representa-se a evolução dos esforços axiais em profundidade para as várias fases

de escavação, onde se pode observar que, para as primeiras fases, o efeito do peso próprio é

diminuído pela resultante das tensões tangenciais geradas por atrito nas interfaces entre a cortina e

o solo. À medida que a escavação progride e a cortina se desloca para a escavação, o terreno

suportado assenta e passa a ser relevante a resultante das tensões tangenciais descendentes que

aplica no tardoz da parede. Isso explica que o esforço axial seja superior ao peso próprio até à base

da escavação. A partir deste nível o esforço axial experimenta uma pronunciada redução, fruto das

tensões aplicadas pelo solo subjacente à escavação na face da frente da cortina. Na região mais

perto da base da parede, este efeito conduz a esforços axiais bastante inferiores aos correspondentes

ao peso próprio

Na Figura 5.12c apresentam-se os diagramas dos deslocamentos horizontais da cortina, também

para as 15 fases de progressão da escavação. Para a última fase da escavação prevista, H0 = 5,00 m

(Fase 15), o deslocamento máximo que ocorre no topo da cortina atinge cerca de 29 mm. A

remoção do solo por escavação, nas primeiras fases, é equivalente a uma descarga elástica que

provoca deformações do terreno, horizontais e verticais ascendentes. A parte enterrada da cortina

afasta-se do solo suportado e o seu coroamento desloca-se no sentido contrário, isto é, contra o

solo, como mostra a Figura 5.12c.

5.8.3. Comportamento não linear, Caso H10NL

Na Figura 5.13 estão representados os resultados da análise não linear do comportamento estrutural

da cortina do Caso H10NL, para a escavação prevista. Para não sobrecarregar a informação que se

pretende transmitir, apenas estão representados os diagramas para as fases mais importante: para a

Fase 8, correspondente ao início da fendilhação do betão, e para a Fase 15, que conduz ao fim da

escavação prevista. A Fase 1 está representada para referência e melhor compreensão do exposto a

propósito do levantamento e rotação da cortina que se inicia na primeira fase de escavação, já

referido na análise do Caso H10EL.

Na Figura 5.13a estão representados os diagramas de momentos fletores para as Fases 8 e 15. O

momento fletor máximo determinado pelo Código GEO vale 181,4 kNm/m, exatamente igual ao

obtido na anterior análise em que se admitia um comportamento elástico constante da cortina de

contenção para todas as fases. A localização da secção onde ocorre o momento máximo está à

profundidade z = 6,48 m (Secção 54), isto é, na mesma secção do Caso H10EL.


207

No que respeita aos esforços axiais, representados na Figura 5.13b, constata-se que não há

diferenças significativas comparativamente ao caso anterior, por dependerem do peso próprio da

cortina e das tensões tangenciais mobilizadas nas interfaces de contacto com o solo.

(a) (b) (c)

Figura 5.13 – Resultados da análise do Caso H10NL: a) momentos fletores; b) esforços

axiais; c) deslocamentos horizontais.

Os diagramas de deslocamentos horizontais da cortina obtidos nesta análise, representados na

Figura 5.13c, são também muito semelhantes aos encontrados na análise anterior. O deslocamento

máximo ocorre no topo da cortina e atinge cerca de 32 mm para a última fase de escavação,

ligeiramente superior ao obtido no caso anterior.

Na Figura 5.14 representam-se os diagramas de momentos fletores, os diagramas da variação

relativa da rigidez à flexão da cortina, e ainda a configuração das deformadas da cortina fendilhada

para a Fase 8 e Fase 15. Para referência, na Figura 5.14a estão repetidos os diagramas dos

momentos fletores e está assinalado o valor do momento fletor que provoca o início da fendilhação

(Mr = 72 kNm/m), sendo atingido imediatamente antes da Fase 8. Na última fase de escavação,

Fase 15, aquele momento é ultrapassado entre as profundidades z = 4,3 m e z = 9,0 m,

aproximadamente.

Até à Fase 8 o comportamento da cortina é elástico. Depois desta fase há uma gradual diminuição

da rigidez à flexão restringida a uma zona da cortina abaixo do fundo da escavação pretendida.

Fase 15

4,00

10

H0 = 5,00

Fase 8

Fase 15

-200

6,00

9,00

-150

Fase 15

-150

Fase 8

δ h (mm)0

z (m

)

Fase 8

3,00

Fase 1

0

8,00

N (kN/m)

Fase 15

0

10,50

He = 3,70

-50

7,00


2,00

M (kNm/m)30 20

5,00

-5050

Fase 1

Fase 8

10,00

Fase 15

0,00

1,00

Fase 1

-100 -100


208

(a) (b) (c)

Figura 5.14 – Análise de resultados na cortina de contenção para o Caso H10NL

(Fases 8 e 15): a) momentos fletores; b) rigidez à flexão; c) deformadas.

Na Figura 5.14c estão indicadas as deformadas fendilhadas para as referidas fases. Após o final da

escavação, existe uma altura de cerca de 4,7 m, 46% da altura total da cortina, que se encontra

fendilhada. A redução da rigidez à flexão, representada na Figura 5.14b, atinge um valor máximo

de 74% relativamente ao valor da rigidez inicial elástica, numa zona próxima da Secção 54

(z = 6,48 m) onde ocorre o momento máximo na última fase de escavação.

Na Figura 5.15 estão representadas as tensões horizontais que atuam sobre ambas as faces da

cortina de contenção, para a Fase 8, correspondente ao início da fendilhação, e para a fase da

escavação prevista (Fase 15). Para referência, estão também representados os diagramas das

componentes normais das tensões teóricas passivas, em frente da parede, e das tensões teóricas

ativas e de repouso, atrás da cortina.

Como se pode ver na Figura 5.15, para a Fase 8 e Fase 15, as tensões horizontais abaixo da base

(corrente) da escavação, são semelhantes às teóricas passivas até às profundidades aproximadas de

4,5 m e 6,2 m, respetivamente, ou seja, 0,8 m e 1,2 m imediatamente abaixo da base da escavação.

Para profundidades maiores, as tensões horizontais passam a ser muito inferiores às passivas

teóricas.

(última)Fase 15

(EI)eq (%)

Fase 8

75

H0 = 5,00

Fase 8

-150-100-72

Fase 8

Fase 15

0

2

10,50

He = 3,70

-200 25

Fase 8

(EI)eq (MNm /m)

(última)

-50

Fase 15

z (m

) Fase 15

Mr

0

Fase 8

3,00

8,00

0

4,00

z = 6,48 m

100

9,00

5,00

10,00

0,00

7,00

2,00

1,00

6,00

Secção 54

M (kNm/m)

Fase 15

355

50


209

Embora não se faça qualquer referência na Figura 5.15, as pressões do solo sobre a cortina, que

resultam da análise não linear (H10NL), são muito semelhantes às que resultam da análise em que

se considera o comportamento elástico linear constante (H10EL).

Figura 5.15 – Diagramas das tensões horizontais sobre a cortina para as Fases 8 e 15 do

Caso H10NL (e Caso H10EL).

Relativamente às tensões horizontais atrás da cortina, verifica-se também uma grande semelhança

entre as obtidas pelo modelo numérico e as correspondentes ao estado ativo, até às mesmas

profundidades indicadas para as pressões passivas. Abaixo dessas profundidades, as pressões

horizontais obtidas são superiores às ativas teóricas, ultrapassando mesmo, na Fase 15, no pé da

cortina, as tensões do estado de repouso.

Ainda em relação aos deslocamentos da cortina de contenção, é importante comparar os resultados

obtidos nesta análise não linear com os obtidos nos casos em que se consideraram várias rigidezes

elásticas e que conduziram a deslocamentos máximos semelhantes. De entre os vários casos de

rigidez total ou reduzida analisados no item 5.8.1, representados na Figura 5.9 e indicados no

Quadro 5.5, verifica-se que é o caso de rigidez reduzida correspondente a Eeq = 0,9·Ec que conduz a

um deslocamento máximo semelhante ao obtido pela presente análise não linear (H10NL). Na

Figura 5.16 estão representados os diagramas de deslocamentos horizontais da cortina de

contenção, para as várias condições de rigidez mencionadas.

Fase 15

K0

K p

K0

Fase 15

K p

Fase 15 150 kPa

Ka

Fase 8

He = 3,70 m

0

Fase 15

K p

50

Fase 8

Ka

Fase 8

100

Fase 8

H0 = 5,00 m


210

Figura 5.16 – Deslocamentos horizontais da cortina na última fase de escavação, para

diferentes rigidezes.

Este conjunto de resultados permite explicar por que razão os momentos fletores são coincidentes

nas duas análises, linear e não linear. A diferença de deslocamentos é reduzida e não afeta de modo

minimamente significativo as tensões normais à parede mobilizadas de ambos os lados da mesma.

Acima do nível de encastramento da parede, as tensões coincidem com as passivas e ativas

teóricas. Logo, nos dois tipos de análise estão envolvidas duas estruturas com igual geometria

submetidas ao mesmo diagrama de carga. Os momentos fletores têm que ser praticamente

coincidentes.

5.8.4. O efeito da consideração da dilatância do solo na lei de fluxo plástico

Nas análises deste exemplo de cortina de contenção autoportante, assim como nos restantes casos

de aplicação do presente método numérico, considerou-se a lei associativa de fluxo plástico, ou

seja, a função de potencial plástico coincide com a função de cedência.

Como o comportamento real dos solos implica um comportamento retrátil e dilatante, é

conveniente fazer uma pequena análise comparativa dos resultados obtidos anteriormente com os

que resultam da consideração de uma lei constitutiva, também elástica-perfeitamente plástica, mas

com fluxo plástico não associado. Na presente análise será considerado um ângulo de dilatância

com o valor ψ = 2°.

EL: Eeq = 0,9⋅EcEL: Eeq = 0,8⋅Ec

35

EL: Eeq = Ec

NL: Eeq = 34 GPa

EL: Eeq = 34 GPa

15

10,00

6,00

3,00

40

10,50

1,00

5

5,00

25

8,00

20

9,00

z (m

) Fase 15

0,00

4,00

30

7,00

2,00

0δ h (mm)

10


211

Na Figura 5.17 estão representados os diagramas de momentos fletores, os diagramas de esforços

axiais, assim como as deformadas da cortina, que resultam da análise do Caso H10NL para duas

situações de comportamento plástico do solo.

Pela análise da Figura 5.17a, verifica-se que os diagramas de momentos fletores para as duas

situações de fluxo plástico são muito semelhantes. O valor máximo do momento fletor para o caso

de lei de fluxo plástico não associada é de 189,5 kNm/m, ou seja, 4,6% superior ao obtido no caso

de fluxo plástico associado.

(a) (b) (c)

Figura 5.17 – Consideração da lei associada e não associada do fluxo plástico no

Caso H10NL: a) momentos fletores; b) esforços axiais; c) deslocamentos laterais da cortina.

Relativamente aos esforços axiais representados pelos diagramas da Figura 5.17b, verifica-se

também uma grande semelhança entre os dois resultados.

Os deslocamentos da cortina estão representados na Figura 5.17c, verificando-se uma relativa

proximidade entre os dois diagramas, sendo o deslocamento máximo para o caso da lei não

associada de 34 mm, valor muito próximo de 32 mm para a outra situação.

Na Figura 5.18 estão representados os perfis dos deslocamentos verticais (assentamentos e

levantamentos) da superfície do solo suportado, em função da distância d à face da cortina

Lei associada

Lei não associada

0

Fase 15

Lei associada

8,00

30 20

3,00

0 -50

7,00

-150

Lei não associada

2,00

M (kNm/m)

H0 = 5,00

1,00Lei não associada

-100N (kN/m)

10

10,50

10,00

Fase 155,00


0,00

4,00

δ h (mm)0

Lei associada

9,00

-200 -100-50 -150

z (m

)

6,00


212

(Fase 15). Para a análise em que se considera o fluxo plástico não associado, o assentamento

máximo da superfície do solo suportado é δvm = 25 mm, isto é, cerca de 3 vezes maior que o obtido

considerando a lei associada de fluxo plástico.

Como foi constatado por Vieira et al. (2002) numa análise semelhante à presente, mas

considerando a cortina de contenção com comportamento elástico, também aqui se verifica que a

influência da hipótese respeitante à lei de fluxo plástico é muito pequena para os deslocamentos

laterais da cortina, mas é elevada para os assentamentos na superfície, como demonstrado pela

Figura 5.17c e Figura 5.18.

Figura 5.18 – Perfis dos deslocamentos verticais do solo suportado para a lei

associada e não associada do fluxo plástico no Caso H10NL.

A utilização de superfícies de cedência do modelo de Mohr-Coulomb, com a aplicação de uma lei

de fluxo associada, conduz a deformações volumétricas pouco realistas pelo facto de impor

incrementos de deformações plásticas segundo vetores perpendiculares à superfície de cedência,

originando expansões volumétricas condicionadas (Grazina, 2009).

Adotando um comportamento de fluxo não associado, estas deformações podem ser mais realistas.

Todavia, o comportamento real dos solos implica uma progressiva redução da dilatância a partir de

determinada fase de corte (Grazina, 2009). Ou seja, ao contrário do implementado no Código GEO,

a dilatância teria de ser ajustada em função das grandes deformações do solo, até atingir o valor

nulo quando o índice de vazios tende para o índice de vazios crítico. Como foi referido por Vieira

et al. (2002), o facto de a resposta plástica de expansão do solo para o caso de fluxo plástico não

associado condicionar uma maior zona plastificada, torna mais evidente as consequências das

diferentes leis constitutivas elastoplásticas.

O que se pode concluir em função dos resultados aqui descritos, e das análises realizadas pelos referidos autores, é que as variações volumétricas que resultam da utilização do modelo de Mohr-Coulomb devem ter algumas reservas por serem demasiado baixas ou demasiado altas quando se utilizam leis de fluxo plástico, associada e não associada, resultando em divergentes

Lei associada

Lei não associada

25

15

20

0,00

0

d (m)10,00

δ v

10

5,00 25,00

δ v (

mm

)

20,00-5

H0

15,00

5


213

deformações volumétricas com consequências mais evidenciadas para os deslocamentos verticais do solo suportado, como se mostra na Figura 5.18.

5.8.5. Sobreescavação no Caso H10

Como se considerou para a cortina de contenção uma altura igual à obtida aplicando o método de

equilíbrio limite, pretende-se com a sobreescavação atingir a rotura condicionada pelo solo, isto é,

a rotura global por perda de equilíbrio, antes de se atingir a rotura estrutural.

Na Figura 5.19a representa-se o corte transversal da escavação com indicação da sobreescavação a

efetuar. A Figura 5.19b mostra parte da malha de elementos finitos na zona envolvente da cortina,

onde se assinalam os elementos finitos a serem retirados para simulação da sobreescavação.

A sobreescavação foi analisada aplicando o modelo numérico desenvolvido aos dois casos de

análise, H10EL e H10NL, progredindo a escavação para além da inicialmente prevista, à qual

correspondia uma profundidade enterrada da cortina de 5,30 m. No Quadro 5.6 apresentam-se os

momentos fletores máximos e deslocamentos do topo da cortina de contenção para as várias fases

da sobreescavação. Como referência, são indicados os valores já obtidos para a Fase 15

correspondente à escavação prevista de H0 = 5,00 m.

(a) (b)

Figura 5.19 – Corte transversal com indicação da sobreescavação: a) cortina real; b) malha

de elementos finitos do Código GEO na envolvente da cortina.

H0 = 5,00

Sobreescavação

h' = 0,50

Sobreescavação

He

B = 0,60

H = 10,30

He

{


214

Quadro 5.6 – Resultados da sobreescavação: momentos fletores máximos e

deslocamentos horizontais do topo da cortina de contenção.

Fase He

(m)

H10EL H10NL

|Mmax| (kNm/m)

δhm (mm)

|Mmax| (kNm/m)

δhm (mm)

15 5,00 181 29 181 32

16 5,20 205 37 205 42

17 5,40 230 48 230 56

18 5,60 258 65 258 79

19 5,70 272 77 272 94

20 5,80 288 93 287 114

21 5,90 303 114 303 140

22 6,00 319 144 319 175

23 6,10 336 189 336 227

24 6,20 353 264 353 308

25 6,30 366 388 365 437

26 6,40 370 612 370 662

27 6,50 363 1031 363 1081

Como se vê pelo Quadro 5.6, os momento fletores obtido na análise não linear, H10NL, são

semelhantes aos obtidos pela análise elástica da cortina de contenção do Caso H10EL,

demonstrando que a cortina de contenção se aproxima de uma estrutura isostática, cujos momentos

fletores dependem unicamente do diagrama de carga e do vão, e não da rigidez. Os momentos

fletores atingem um valor máximo, para ambos os casos, quando a escavação alcança a

profundidade He = 6,40 m, para a Fase 26. Todavia, é na Fase 24, correspondente à profundidade

escavada de He = 6,20 m, que o limite do critério de convergência imposto no Código GEO, de

6000 iterações e uma tolerância máxima de 0,01%, é atingido. Nas fases 25, 26 e 27 atingiu-se as

tolerâncias de 0,04, 0,09 e 0,18%, respetivamente, para o número máximo de iterações permitido.

Relativamente aos deslocamentos máximos horizontais da cortina, como se pode verificar pelos

valores apresentados no Quadro 5.6 para as duas análises, estes crescem muito acentuadamente

com o aumento da profundidade escavada. O cálculo não linear fornece deslocamentos superiores,

como seria de esperar, embora a diferença seja reduzida.

Recorrendo ao método britânico “exato”, fixando a altura total da cortina e simulando a progressão

da escavação para além da inicialmente prevista, encontra-se o valor máximo de He = 6,26 m para o

qual a cortina de contenção deixa de estar em equilíbrio, ou seja, a resultante dos momentos

gerados pelos impulsos ativo e passivo anula-se. Nestas condições, a sobreescavação máxima é de

1,26 m.


215

Na Figura 5.20 representa-se a evolução do deslocamento do topo da cortina com a profundidade

escavada, para as duas análises. Na figura representa-se também o valor da escavação máxima

admissível obtido pelo mencionado método de equilíbrio limite.

Na aplicação do Código GEO, as tensões tangenciais geradas nas interfaces entre a cortina e o solo

envolvente geram um incremento de momento fletor positivo e uma redução das deformações da

cortina, originando, normalmente, um valor da profundidade limite de sobreescavação ligeiramente

superior ao obtido pelo método de equilíbrio limite (Matos Fernandes, 2004). Neste caso, e para as

condições impostas de convergência do modelo numérico, pode verificar-se que os valores

encontrados em ambos os métodos são semelhantes.

Figura 5.20 – Relação entre os deslocamentos máximos da cortina (δhm) e a profundidade escavada

(He): comparação dos dois casos de comportamento da cortina, elástico (EL) e não linear (NL).

A Figura 5.21 mostra a relação entre os momentos fletores máximos da cortina e a profundidade

escavada. Na figura está indicada a equação ajustada aos resultados até à Fase 24, a partir da qual

os resultados não cumprem o critério de convergência. Para além dessa fase, são representados os

momentos fletores correspondentes às fases 25, 26 e 27, já referidos nos comentários a propósito

dos valores indicados no Quadro 5.6.

600

Fase 26

500

Fase 25

H10NL

100

Fase 1

Profundidade escavada: He (m)

H0

2,00

He = 6,20

4,00 6,00 7,00

6,26

Fase 15

1,00 3,00 5,000,00

Fase 24

Eq. Lim. (He = 6,26 m)

H10EL

δ hm

(mm

)

0

400

300

200

700


216

Como teste, simulou-se a aplicação do modelo numérico impondo um critério de convergência

menos exigente, considerando 5000 o número máximo de iterações e uma tolerância máxima de

0,1% na convergência. Nesta nova análise, para a Fase 26 correspondente a uma escavação de

6.40 m, obteve-se 5620 iterações para a tolerância máxima imposta, e na fase seguinte o modelo

numérico já não converge. O momento fletor máximo para esta fase é de |Mmax| = 367 kNm/m,

aproximadamente, valor muito próximo do obtido anteriormente. Na Figura 5.20 foram indicados

os resultados das Fases 25 e 26 para esta hipótese de critério de convergência. Estes resultados vêm

validar o que foi referido a propósito do valor limite da profundidade de escavação.

Figura 5.21 – Relação entre os momentos fletores máximos da cortina e a profundidade escavada.

Na Figura 5.22 representam-se os diagramas dos momentos fletores e esforços axiais para a

Fase 15 e Fase 24 da análise não linear da cortina, H10NL. Na Figura 5.22a mostra-se os

diagramas de momentos fletores para a Fase 15 e Fase 24, identificando-se a posição do valor

máximo que ocorre na Secção 84 a uma profundidade z = 8,06 m, identificada na figura.

Os correspondentes esforços axiais, indicados na Figura 5.22b, são quase coincidentes até à

profundidade de escavação prevista. Para a Fase 24 há um aumento dos esforços axiais até a uma

profundidade um pouco abaixo da profundidade escavada, diminuindo a partir daí devido ao efeito

das elevadas tensões tangenciais ascendentes mobilizadas na frente da cortina. Para a análise

elástica H10EL, os diagramas são coincidentes com os representados nas mencionadas figuras.

Fase 27

H0

|M | = He⋅(1,609⋅He2 - 0,84⋅He + 0,3)

Fase 24

Escavação prevista

He = 6,20

Sobreescavação

Fase 1

| Mm

ax|

(kN

m/m

)

400

350

300

250

200

150

100

6,005,004,003,002,00

50

01,00 7,000,00



217

(a) (b)

Figura 5.22 – Diagramas de momentos fletores (a) e esforços axiais (b), para as

Fases 15 e 24 do Caso H10NL (e H10EL).

A Figura 5.23 mostra os deslocamentos horizontais da cortina para as fases correspondentes à

sobreescavação, isto é, entre a Fase 15 e a Fase 24, como o referenciado no Quadro 5.6 para as

duas análises de comportamento estrutural da cortina. Como se pode verificar pela figura, é a

rotação da cortina em torno de um ponto localizado um pouco acima da sua base a principal razão

para os grandes deslocamentos durante as fases de sobreescavação.

Secção 84Secção 84

5,00

-200

Fase 15

0,00 -50

1,00

M (kNm/m)

Fase 15

-100


H0 = 5,00

Fase 24

0

8,00

6,00

N (kN/m)-150

3,00

-100

z (m

)

7,00

-300

Fase 15

10,00

2,00

He = 6,20

0

Fase 24

Fase 24

-400

9,00

4,00

10,50


218

Figura 5.23 – Deslocamentos horizontais da cortina para várias fases de

escavação (sobreescavação) dos Casos H10EL e H10NL.

Como foi referido anteriormente a propósito do indicado no Quadro 5.6, depois da Fase 24 o

momento máximo ainda aumenta mas deixa de haver convergência do modelo numérico do

Código GEO. Mesmo nessa fase de momento fletor máximo, não se atinge a capacidade resistente

última estrutural, como se pode verificar pelo diagrama M-1/r representado na Figura 5.24. Nessa

figura, representa-se o comportamento da Secção 84 localizada à profundidade z = 8,06 m,

identificada por ser a secção de máximo momento fletor para a Fase 24.

Na Figura 5.24 estão identificados as principais fases que caracterizam o comportamento da

mencionada secção da cortina:

A - início da fendilhação (Fase 8);

B - escavação prevista, H0 = 5,00 m (Fase 15);

C - fim da convergência do Código GEO (Fase 24);

D, E - aumento do momento fletor fora do limite de convergência (Fases 25 e 26).

A sobreescavação corresponde à evolução do diagrama M-1/r entre os pontos B e C da Figura 5.24.

À semelhança do que acontece com o momento fletor máximo para as hipotéticas escavações para

além da Fase 24, como o representado na Figura 5.21, também o momento fletor na Secção 84

apresenta um aumento do ponto C até ao ponto E, mas sem o cumprimento do critério de

convergência estabelecido.

He

Fase 24

Elástico

Não linear

(Fase 15)

He = 6,20 m(Fase 24)

He = 5,00 m

9,00

150

z (m

)

100

10,00

50

8,00

0

7,00

5,00

δ h (mm)

4,00

3,00

2,00

1,00

0,00 -50

10,50

6,00

350 300 250 200


219

Figura 5.24 – Diagrama M-1/r da Secção 84 (z = 8,06 m).

5.9. ANÁLISE DE SITUAÇÃO DE COLAPSO INDUZIDO POR SOBREESCAVAÇÃO

CONTROLADA PELA RESISTÊNCIA ESTRUTURAL DA CORTINA

5.9.1. Sobredimensionamento da profundidade enterrada da cortina de contenção

Com a sobreescavação do caso H10NL pretendeu-se provocar a rotura por instabilidade da cortina

por perda de resistência do solo e não por razões estruturais. Nessa análise, a cortina possuía uma

profundidade enterrada obtida pela aplicação do método britânico simplificado com a consideração

do coeficiente de segurança proposto por Burland et al. (1981).

Com a presente análise pretende-se o oposto, ou seja, encontrar uma situação de rotura por perda de

resistência estrutural antes de se atingir a rotura por cedência do solo. Para o efeito, a profundidade

enterrada da cortina passou para 8,00 m, ou seja, cerca de 50% maior que a profundidade

inicialmente dimensionada, originando uma altura total de H = 13,00 m.

Aplicou-se também a este casos o método britânico “exato” de equilíbrio limite, fixando a altura

total da cortina, H = 13,00 m, e simulando a progressão da escavação para além da inicialmente

prevista, encontrando-se o valor máximo de He = 7,90 m para o qual deixa de haver equilíbrio.

Nestas condições, a sobreescavação máxima é de 2,90 m e o momento fletor máximo de

|Mmax| = 790 kNm/m.

Secção 84

(z = 8,06 m)

B

C

(EI)II

E D

-1,0

-100

-128

-5,0

-353

1/r (km )

Sob

rees

cava

ção

-4,0

A

(EI)I

-3,0

-300

Μ(kNm/m)

Esc

avaç

ãopr

evis

ta

-1

-400

Estado I

-2,0

-200

Estado II

Mr


220

A nova altura total da cortina foi escolhida de modo a garantir um momento fletor máximo, para

condições de equilíbrio limite, muito superior ao momento resistente da cortina, isto é, numa

análise não linear do seu comportamento a sobreescavação vai condicionar necessariamente à

rotura estrutural.

Nesta análise pretende-se manter a mesma resistência e a mesma rigidez à flexão, isto é, a mesma

secção de betão e a mesma armadura que resultaram do dimensionamento do problema inicial.

5.9.2. Caso H13NL e escavação prevista

Para o caso da análise não linear, e para as Fases 8 e 15, estão representados na Figura 5.25 os

diagramas de momentos fletores, os diagramas da variação relativa da rigidez à flexão da cortina, e

ainda as deformadas da cortina com a indicação esquemática das zonas fendilhadas.

Na Figura 5.25a representam-se os diagramas de momentos fletores para a Fase 8 e Fase 15:

imediatamente após o início da fendilhação e no fim da escavação prevista, respetivamente. De

igual modo ao descrito para o caso H10NL, está indicado na figura o valor aproximado do

momento fletor que provoca o início da fendilhação (Mr = 72 kNm/m) e que é atingido

imediatamente antes da Fase 8. Na última fase de escavação prevista, Fase 15, aquele momento é

ultrapassado entre as profundidades z = 4,3 m e z = 9,8 m, aproximadamente.

O momento fletor máximo na última fase de escavação ocorre próximo da Secção 54 (z = 6,48 m) e

tem o mesmo valor Mmax| = 181,4 kNm/m obtido para o Caso H10NL, para a mesma profundidade

de escavação. Em contrapartida, neste caso, o deslocamento máximo da cortina é ligeiramente

menor (cerca de 9%), como resultado de um maior impedimento à sua rotação que resulta das

maiores pressões geradas abaixo do fundo da escavação para uma maior profundidade enterrada da

cortina.

Na Fase 15 existe uma zona com cerca de 5,5 m de altura da cortina que se encontra fendilhada, ou

seja, cerca de 42% da altura total. A redução da rigidez à flexão, representada na Figura 5.25b,

atinge um valor máximo de cerca de 74% relativamente ao valor da rigidez inicial elástica, na zona

próxima da Secção 54 (z = 6,48 m) onde ocorre o momento máximo na última fase de escavação.


221

(a) (b) (c)

Figura 5.25 – Análise das Fases 8 e 15 para o Caso H13NL: a) diagrama de momentos

fletores; b) rigidez à flexão efetiva; c) deformadas da cortina.

Na Figura 5.25c estão representadas as deformadas da cortina com indicação das zonas

fendilhadas, imediatamente após o início da fendilhação e para a fase correspondente ao fim da

escavação prevista. O deslocamento máximo do topo da cortina atinge cerca de 29 mm para a

última fase de escavação. É na zona da Secção 54 onde ocorre uma maior curvatura da deformada

da cortina na Fase 15, identificável por ser a zona de maior diminuição da rigidez à flexão.

5.9.3. Sobreescavação e análise comparativa entre os Casos H13NL e H13EL

No sentido de avaliar a capacidade última resistente da cortina de contenção e analisar o modo

como evolui a rigidez à flexão, foi admitida uma sobreescavação até se formar uma rótula plástica.

Na Figura 5.26 representam-se as relações entre os deslocamentos máximos da cortina e a

profundidade escavada para os dois casos em estudo. Pela referida figura, verifica-se que, à medida

que a profundidade de escavação aumenta, o deslocamento máximo obtido pela análise não linear

da cortina é bastante superior ao obtido considerando um comportamento elástico da mesma. Na

8,00

5,00

z (m

)

(EI)eq (MNm /m)

Secção 54Secção 54

9,00

355

3,70

-72

Fase 8

13,00

Fase 8

11,00

0 2

M r

Secção 54

50

z = 6,48 m

100

Fase 15

12,00

Fase 8

(EI)eq (%)

Fase 8

(última)Fase 15

75

(última)Fase 15

25

4,00

Fase 15

3,00

0 0

2,00

Fase 15

Fase 8

6,00

-200

7,00

M (kNm/m)

1,00

0,00

5,00

-10050

10,00


222

figura está também indicado o valor máximo admissível da profundidade da escavação

condicionada pela resistência do terreno, obtido pelo método britânico “exato”.

Para a análise de comportamento não linear da cortina de contenção, H13NL, e para o critério de

convergência adotado, verifica-se que para a Fase 31 ocorre a rotura estrutural pela formação de

uma rótula plástica ao se atingir a máxima resistência estrutural. A representação na Figura 5.26 da

evolução da relação entre o deslocamento máximo horizontal da cortina em função da

profundidade escavada para além da Fase 31 é hipotética, por não se verificarem as condições do

critério de convergência.

Figura 5.26 – Relação entre os deslocamentos máximos horizontais da cortina e a profundidade

escavada: comparação dos Casos H13EL e H13NL.

No Caso H13EL representado na Figura 5.26, o modelo numérico deixa de convergir a partir da

Fase 39, atingindo-se uma profundidade de escavação de 7,70 m. Convém referir que se utilizou o

mesmo critério de convergência estipulado no início da análise deste exemplo de cortina de

contenção.

No sentido de se verificar a influência do critério de convergência adotado nos resultados, também

para este caso se aplicou o modelo numérico impondo um critério de convergência menos exigente.

Para o efeito foram realizados dois cálculos com diferentes limites de convergência, nomeadamente

0,05% e 0,1%, e o limite de 5000 iterações, obtendo-se os seguintes resultados:

41

Fase jj

40

H13NL

Eq. lim. (He = 7,90 m)

600

H13EL

Menor precisão (H13EL)

3,00 5,00

31

0,00 2,00 4,00 6,00

39

300

7,70

6,901

7,90

400

δ hm

(mm

)

200

1,00

15

100

8,000

500

700

H0

7,00



223

- última convergência na Fase 40, correspondente à escavação He = 7,80 m, com 3789

iterações para uma precisão de 0.05%, originando um deslocamento do topo da cortina de

443 mm;

- última convergência na Fase 41, correspondente à escavação He = 7,90 m, com 3462

iterações para uma precisão de 0.1%, com deslocamento máximo da cortina de 606 mm.

Na Figura 5.26 estão indicados os resultados das Fases 39, 40 e 41 para a hipótese do critério de

convergência menos exigente da análise elástica da cortina, isto é, considerando a análise com a

precisão de 0,1%.

Do mesmo modo que o apresentado na análise do Caso H10, na Figura 5.27 estão representados e

comparados os resultados da análise do faseamento de escavação do Caso H13NL e Caso H13EL,

para as Fases 15 e 31. A Fase 15 corresponde à escavação prevista de 5,00 m de profundidade, e a

Fase 31 é a fase a partir da qual há a formação de uma rótula plástica na cortina de contenção.

(a) (b) (c)

Figura 5.27 – Resultados do Caso H13 (elástico e não linear) nas Fases 15 e 31 de

escavação: a) momentos fletores; b) esforços axiais; c) deslocamentos horizontais.

100


Fase 31

Fase 31

10,00

0-200

H0 = 5,00

-200M (kNm/m)

z (m

)

Fase 15

-400

Fase 15

200

Fase 31

Fase 15

He = 6,90

-600

13,00

12,00

Fase 31

Fase 15

300N (kN/m)

H13NL

H13EL

0

Fase 15

0

11,00

Fase 31

-50 -150

H13EL

H13NL

-100δ h (mm)

6,00

9,00

8,00

7,00

5,00

4,00

3,00

2,00

1,00

0,00


224

Como se pode verificar na Figura 5.27a, o diagrama de momentos fletores da análise não linear do

comportamento da cortina de contenção (H13NL) é muito semelhante ao obtido pela análise em

que se considera um comportamento linear elástico da mesma (H13EL). Mais uma vez, e para este

tipo de estruturas de suporte, se demonstra que os momentos fletores são dependentes das

condições externas e menos da rigidez efetiva, apesar da perda de rigidez que ocorre em zona

abaixo da superfície escavada, como se pode verificar para a Fase 15, e mesmo para a Fase 31.

Relativamente aos esforços axiais, representados na Figura 5.27b, não há diferenças significativas

(para as mesmas fases de escavação), por dependerem do peso próprio da cortina e das tensões

tangenciais mobilizadas nas interfaces de contacto com o solo.

Para a Fase 15 os deslocamentos horizontais da cortina são muito semelhantes para as duas

análises, 29 e 26 mm, para o Caso H13NL e Caso H13EL, respetivamente, Em contrapartida, para a

Fase 31 o deslocamento máximo obtido pela análise não linear de comportamento da cortina vale

aproximadamente 265 mm e o correspondente obtido por uma análise elástica vale 120 mm. Ou

seja, para momentos fletores semelhantes mas rigidezes muito diferentes em determinada zona do

apoio da cortina, as curvaturas e consequentes deslocamentos são também muito diferentes, como

se mostra na Figura 5.27c.

Para esta nova profundidade enterrada da cortina, e para uma escavação próxima da correspondente

à Fase 31, o deslocamento máximo está muito dependente da deformação por flexão da cortina, ou

seja, muito dependente da rigidez à flexão da zona mais fendilhada.

Para a Fase 31 do Caso H13NL, representa-se na Figura 5.28 o diagrama de momentos fletores, o

diagrama de variação da rigidez à flexão, e ainda a configuração da deformada. O diagrama de

momentos fletores representado na Figura 5.28a corresponde à fase que provoca a total cedência

dos varões de aço tracionados da armadura das estacas.

Na zona envolvente à Secção 91, profundidade z = 8,86 m, a rigidez à flexão atinge um valor muito

baixo, quase nulo, como o indicado na Figura 5.28b. A mencionada zona onde ocorre a formação

da rótula plástica está assinalada na Figura 5.28c. O deslocamento final no coroamento da cortina,

para a referida fase, corresponde a um valor cerca de 9 vezes o obtido no fim da escavação prevista,

representado na Figura 5.27c.


225

(a) (b) (c)

Figura 5.28 – Resultados para a Fase 31 da sobreescavação do Caso H13NL: a) momentos

fletores; b) rigidez à flexão efetiva; c) deformação da cortina.

A Figura 5.29 mostra os perfis dos assentamentos do solo suportado correspondentes às

profundidades escavadas para as respetivas fases, identificando-se claramente as zonas mais

afetadas pelos movimentos da cortina.

Os assentamentos atingem os valores máximos de δvm = 7 mm e δvm = 131 mm, para a Fase 15 e

Fase 31, respetivamente, ambos localizados muito próximos da face interior da cortina de

contenção. Verifica-se que as zonas de maiores assentamentos estão localizadas dentro de

distâncias à face da cortina semelhantes às profundidades escavadas.

He = 6,90

13,00

4,00

12,00

Fase 31

6,00

9,00Secção 91

0

z (m

)

-200

5,00

0,00

10,00

1,00

3,00

-400

8,00

M (kNm/m)

7,00

2,00

11,00

Secção 91

δ hm = 265 mm

He = 6,90 m

z = 8,86 m

25

Rótula plástica

355

Fase 31

0

2

(EI)eq (%)10050

Secção 91

Fase 31

0

75

(EI)eq (MNm /m)


226

Figura 5.29 – Assentamentos do solo suportado para as Fases 15 e 31 do Caso H13NL

com sobreescavação.

Na Figura 5.30 estão representadas as tensões horizontais nas duas faces da cortina de contenção. A

figura mostra os diagramas de pressões obtidas pela análise não linear, para a escavação prevista

(Fase 15) e para a fase que conduz a uma instabilidade por cedência do material estrutural com

formação de uma rótula plástica (Fase 31). Na mesma figura estão também indicados os diagramas

de tensões ativas e passivas teóricas. Como referência, está também representado o diagrama das

pressões de repouso atrás da cortina.

À semelhança do que se verificou na análise da Figura 5.15 referente ao Caso H10NL (e Caso

H10EL), as tensões horizontais abaixo do fundo da escavação (passivas) obtidas pelo método

numérico são semelhantes às pressões passivas teóricas, até à profundidade aproximada de 6,2 m

para a Fase 15 e até à profundidade 9,2 m para a Fase 31, ou seja, 1,2 e 2,3 m abaixo das

correspondentes superfícies da escavação, respetivamente.

Relativamente às tensões horizontais no tardoz da cortina, verifica-se também uma grande

semelhança entre as obtidas pelo modelo numérico e as correspondentes ao estado ativo até às

mesmas profundidades indicadas para as pressões passivas. Abaixo dessas profundidades, as

pressões atrás da parede são superiores às ativas teóricas, ultrapassando mesmo, na Fase 31, no pé

da cortina, as tensões do estado de repouso, evoluindo para um estado passivo.

≅ He = 6,90 m

Fase 31

= H0

Fase 15

100

d (m)

150

10,00

H0

5,00

50

δ v (

mm

)

25,00

0

-2520,00

δ v

15,000,00


227

Figura 5.30 – Diagramas de pressões sobre a cortina, para as Fases 15 e 31 do Caso H13NL

com sobreescavação.

A Figura 5.31 mostra a variação da rigidez à flexão efetiva para a Secção 91 localizada a 8,86 m de

profundidade, onde ocorre o momento máximo, na Fase 31, e que provoca a quase anulação da

rigidez à flexão. Na figura está indicado o ponto 1 correspondente ao início da fendilhação da

Secção 91 (Fase 14); o ponto 2 identifica o fim da escavação prevista (Fase 15); o ponto 3

representa a rigidez à flexão imediatamente antes da cedência dos dois varões de aço mais

tracionados; os pontos 4 e 5 representam a rigidez imediatamente antes da cedência de outros dois

conjuntos de varões tracionados (representação simbólica imediatamente acima do gráfico;

passagem da Fase 28 para a Fase 29, da Fase 30 para a Fase 31, e da Fase 31 para a hipotética

Fase 32).

0

H0 = 5,00 m

Ka

Fase 31

Fase 31

K p

He = 6,90 m

Fase 31

Ka

50

Fase 31

K p

Fase 15

Fase 15

Fase 15

K p

K0

K0

150 kPaFase 15 100


228

Figura 5.31 – Variação da rigidez à flexão da Secção 91 (z = 8,86m) em

função das fases de escavação.

Na Figura 5.32 estão representados os diagramas M-1/r correspondentes ao comportamento da

Secção 91 para a fase elástica inicial, fase não linear de evolução da fendilhação e rotura estrutural

por plastificação. Na mesma figura está representada a relação M-1/r para o Estado I, elástico

linear, e para o Estado II sem qualquer resistência à tração do betão. Na figura representa-se

também o diagrama que relaciona o momento fletor no centro de rigidez, MCR, com a curvatura.

Como se pode verificar pela Figura 5.32, o comportamento não linear da secção está balizado pelo

Estado I, elástico linear, com representação muito simples, e o Estado II com uma configuração

mais complexa comparativamente aos casos em que a armadura de tração está disposta num único

alinhamento (caso corrente das paredes moldadas).

O Estado II inicia com um alinhamento correspondente a uma rigidez ( )0IIEI , com os varões da

armadura em regime elástico, e passa para um novo alinhamento correspondente à rigidez ( )1IIEI

depois da plastificação do primeiro conjunto de varões de aço. Após a plastificação do segundo

conjunto de varões, a rigidez passa a ser ( )2IIEI e o diagrama assume um novo alinhamento. Com a

plastificação do terceiro conjunto de varões, a rigidez é ( )3IIEI e o diagrama assume uma

configuração quase horizontal, como se tivesse atingido uma plastificação total. Todavia, tal não se

verifica, por existir ainda uma rigidez residual conferida pela existência de varões de aço, assim

como fibras de betão, ainda em regime elástico, na vizinhança do eixo neutro.

Concluindo, esta evolução em que se admite o betão sem resistência à tração, transforma-se num

misto entre o Estado II e o Estado III, na medida em que passa a ter fibras de betão e varões

plastificados e ainda varões em regime elástico. O verdadeiro Estado III, com todos os varões

2φ20

2φ20

2φ20

4

50

(EI)eq = 47 MNm2/m

70

90

5

12 18 24 30


6

1

60


80

100

15 21 27

3

9 33

(EI)0 = 355 MNm2/m

40

2

(EI)

eq (

%)

30

30

10

(EI)eq = 216 MNm2/m

0

20


229

tracionados em regime plástico dificilmente é atingido sem que ocorra, antes disso, a rotura por

perda de equilíbrio da cortina. Neste contexto, pode dizer-se que o estado correspondente à rigidez

( )3IIEI é já a rigidez ( )IIIEI do Estado III, em que existe apenas um endurecimento residual

desprezável.

Figura 5.32 – Diagramas M-1/r da Secção 91 (z = 8.47 m) do Caso H13NL.

Como os esforços axiais são relativamente pequenos, a diferença entre os dois diagramas

representativos de M e MCR é relativamente reduzida nas fases iniciais. O afastamento entre os dois

diagramas é mais notório quando os varões de aço da armadura entram em cedência plástica (ponto

3 e seguintes, representados no gráfico da Figura 5.32).

No diagrama que relaciona o momento fletor com a curvatura (M-1/r) estão indicados os principais

pontos (numerados de 1 a 7) de alteração de comportamento estrutural da Secção 91,

designadamente:

-20,0-25,0-30,0

-1

1

5

Eixo neutro

ε st = 10,0 ‰

M (Est. II)

εcc = 3,5 ‰

2

6

Mel (Est. I)

Zona tracionada

(EI)II

-1

(EI)II

1

M

4

MCR

ε st = 11,3 ‰1/r = 26.1 km

2

(EI)II

3

7

1/r = 29.5 km

3

εcc < 3,5 ‰0

M r

1/r (km )

-500

Estado II

-400

Μ(kNm/m)

-300

-200

(EI)I

-100

Esc

avaç

ãopr

evis

ta

Estado I

(EI)II

Sob

rees

cava

ção

Rotura por plastificação(He = 6,90 m)

-15,0 -1-10,0 -5,0


230

1 – é atingido o momento de fendilhação da secção, Mr = 72 kNm/m, até ao qual o

comportamento é elástico linear definido pelo Estado I; a tensão de tração da fibra

(tracionada) mais afastada do eixo neutro atinge o valor limite, fct (Fase 8, He = 3,70 m);

2 – são atingidos os esforços correspondentes ao fim da escavação prevista (Fase 15,

He = 5,00 m); cerca de 50% da secção está tracionada, mas os varões da armadura

apresentam ainda comportamento elástico;

3 – os dois varões de aço mais tracionados atingiram o limite elástico (representados a

vermelho na secção da estaca), com redução significativa da rigidez à flexão da secção

(Fase 28, He = 6,60 m);

4 – plastificação dos varões do alinhamento seguinte, com mais uma significativa redução da

rigidez à flexão (Fase 30, He = 6,80 m);

5 – nova plastificação de dois varões de um alinhamento mais próximo do eixo neutro,

passando a rigidez à flexão a ser quase nula (Fase 31, He = 6,90 m);

6 – os varões de aço mais tracionados (os primeiros a atingirem o limite elástico; os mais

afastados do eixo neutro) alcançaram a extensão εst = 10 ‰;

7 – a fibra de betão mais comprimida atingiu o limite admissível de extensão

(εcc = εcu = 3,5 ‰).

Dada a configuração do diagrama M-1/r da Figura 5.32, pode admitir-se que a plastificação da

secção ocorre no estado correspondente ao ponto 5, para uma escavação máxima de 6,90 m

(Fase 31), que conduz a um momento fletor M = 482 kNm/m, a partir do qual ocorre a rotura

estrutural com deslocamentos incontroláveis da parede e do solo suportado, com a rigidez à flexão

e a formação de uma rótula plástica.

Como os varões de aço estão distribuídos equitativamente pelo “perímetro” de cada estaca (Figura 5.4), admitindo-se, por simplificação, que formam conjuntos de dois varões com alinhamentos

paralelos ao eixo de flexão e a diferentes distâncias do mesmo, a plastificação desses conjuntos

ocorrerá para diferentes situações de carregamento. Como se admitiu a plastificação do aço sem

endurecimento, a ruína estrutural, com deslocamentos tendencialmente elevados da parte superior

da mesma, só ocorrerá quando todos os conjuntos de varões tracionados entrarem em cedência.

Este aumento de rigidez correspondente ao Estado III é residual e resulta dos seguintes aspetos:

- do comportamento ainda elástico dos dois varões tracionados e dos outros dois comprimidos,

ambos os conjuntos localizados perto do eixo neutro;

- da resistência residual das fibras de betão à tração (fibras tracionadas com pequena extensão)

e resistência residual das fibras de betão comprimido ainda em regime elástico.

Os pontos 6 e 7 não fazem parte do comportamento estrutural da cortina, por se admitir que a

formação da rótula plástica, representada pelo ponto 5 do referido gráfico, condiciona o

comportamento do solo originando muito elevados deslocamentos. Os mencionados pontos servem

apenas de referência, traduzindo limites de extensão do aço tracionado e do betão comprimido,

atingidos unicamente se a cortina continuasse a ceder por flexão com centro de rotação na zona da

rótula plástica. A extensão do aço εst = 10 ‰, indicada no ponto 6 da Figura 5.32, como referência


231

para a ductilidade do aço (capacidade de se deformar sem perda de resistência), é a extensão última

convencional de dimensionamento, εud, preconizada no REBAP (Regulamento de Estruturas de

Betão Armado e Pré-esforçado, Dec-Lei 349/83 de 30 de julho). De acordo com o EC2 (2010),

essa extensão pode atingir um valor limite igual a 90% do valor característico da extensão última,

εuk , para cada classe de ductilidade de um tipo de aço, e pode alcançar um valor compreendido

entre 25 a 75‰. O ponto 7, como referido, corresponde à extensão última do betão à compressão

(EC2, 2010).

Para os pontos singulares do comportamento M-1/r da Secção 91 (z = 8,47 m), identificados na

Figura 5.32, são representados na Figura 5.33 os diagramas de tensões e extensões no betão e nos

varões de aço da armadura.

A Figura 5.33a mostra uma representação isométrica da cortina de contenção com a indicação dos

esforços, momento fletor e esforço axial. Na mesma figura está representada a secção tipo de uma

estaca com o eixo dos yy na mesma posição dos diagramas de tensões e extensões das restantes

figuras.

As extensões na secção transversal da cortina estão representadas na Figura 5.33b, em função da

distância ao eixo que passa no centro geométrico (-0.30 m ≤ y ≤ 0.30 m). É de notar que, a partir do

ponto 3, isto é, quando se inicia a cedência plástica de dois varões da armadura, o eixo neutro

mantém-se em posições relativamente próximas.

As tensões instaladas na secção de betão, correspondentes às referidas extensões, estão

representadas na Figura 5.33c. Para os pontos 3 e seguintes (do comportamento M-1/r), o betão

comprimido atinge em parte a tensão máxima σc = fck = -25kPa. As tensões no betão para os pontos

6 e 7, já no “patamar” de cedência, são, naturalmente, muito semelhantes, sendo o comportamento

da secção dependente muito dos varões ainda em regime elástico, tracionados e comprimidos.

Na Figura 5.33d, cada barra representa a tensão instalada nos dois varões de aço localizados no

mesmo alinhamento paralelo ao eixo neutro (e.n.), e para as situações correspondentes aos pontos

singulares considerados no gráfico da Figura 5.32.


232

a)

b)

c)

d)

Figura 5.33 – Comportamento da Secção 91 (z = 8,47 m): a) isometria da cortina e secção tipo

de uma estaca; b) diagramas de extensões na secção (-0,30 m ≤ y ≤ 0,30 m); c) diagramas de

tensões no betão; d) tensões nos varões de aço.

2

14,0

0

0,15

-200

y

(trações)

5

-0,15

200

4

(Compressões)

5-20

CG

0,00

-3,5

CG

2 1

-15

σs (

MP

a)

6

10,57

ε c (

‰)

-400

400

43

x

7

y

65

2

x

1Pontos do diagrama M-1/r

e.n.

B

y

M (-)

N (-)

0,30

0,0

7,0

-5

3,5

7-25

-10

0

6

4

-0,30

1

5

σc

(MP

a)

3

3


233

Na Figura 5.34 está representada a relação tensão-extensão do comportamento do betão da

Secção 91. Na figura indicam-se os pontos correspondentes ao comportamento M-1/r mostrado na

Figura 5.32, e representam as tensões nas duas fibras mais afastadas da secção de betão: a de

máxima extensão de tração e a de máxima extensão de compressão, ic = 1 e ic = 30, respetivamente

(ver Figura 5.8).

Figura 5.34 – Relação tensão-extensão do comportamento das fibras de betão mais

afastadas da Secção 91: ic = 1, fibra de máxima extensão de tração; ic = 30, fibra de

máxima extensão de compressão.

5.10. CONCLUSÕES DO EXEMPLO

Com o exemplo apresentado neste capítulo ficou comprovada a versatilidade do modelo numérico

desenvolvido para considerar secções de betão armado não retangulares. Considerou-se uma

cortina autoportante de estacas tangentes em betão armado, logo formada por elementos estruturais

de secção circular em betão, e armadura com os varões dispostos em várias posições relativamente

aos eixos coordenados.

Verificou-se igualmente a capacidade do modelo numérico desenvolvido para simular situações em

que, devido a sobreescavação, se esgota, numa dada secção, a resistência à flexão, formando-se

uma rótula plástica.

Como ficou demonstrado, esta solução estrutural, em termos de secção transversal da parede,

condiciona o comportamento, especialmente para condições de carregamento para além das

σ c (MPa)

7

2,0

(Compressões)

3

12,0

4

14,08,0

Pontos do diagrama M-1/r

5

(Trações)

2

1

10,0

-25

4,0

2

εc (‰)

6

6,0

-3,5


234

condições de serviço até à cedência e à rotura estrutural. Viu-se que, como a plastificação dos

varões de aço das estacas ocorre por fases, o comportamento global da estrutura de contenção

assume um comportamento mais dúctil do que aquele que assumiria, por exemplo, com uma

parede moldada com as armaduras principais em alinhamentos únicos paralelos ao eixo de flexão.

Um aspeto interessante revelado por este estudo é que os esforços estruturais são praticamente

coincidentes nas análises linear e não linear da cortina de betão armado. A explicação para o facto é

que se trata de uma cortina cantilever, que se aproxima de uma estrutura isostática. As figuras das

pressões de terras são particularmente úteis para explicar o facto: nos dois tipos de análises as

tensões horizontais sobre a cortina são praticamente coincidentes entre si, e iguais às tensões

teóricas ativas (atrás da parede) e passivas (em frente da parede). Sendo a geometria igual nas duas

análises, e o diagrama de carga coincidente acima do nível de encastramento, os esforços devem

ser coincidentes também. Naturalmente, a análise não linear conduz a maiores deslocamentos, mas

mesmo estes não são substancialmente divergentes para condições normais de funcionamento da

estrutura.

Em resumo, ficou demonstrada a possibilidade em modelar geometrias mais complexas de secções

heterogéneas de cortinas de contenção, pela aplicação do método das fibras, assim como se

reforçaram as potencialidades do modelo numérico desenvolvido. A aplicação a outros casos de

estacas afastadas, tangentes ou secantes, com ou sem inclusão de perfis de aço para reforço, por

exemplo, podem igualmente ser analisados aplicando a mesma metodologia numérica.

Capítulo 6 – Exemplo de uma cortina de contenção multiescorada

235

6. EXEMPLO DE UMA CORTINA DE CONTENÇÃO MULTIESCORADA

6.1. CONSIDERAÇÕES INICIAIS

No presente capítulo descreve-se um exemplo de uma cortina de contenção tipo parede moldada

para suporte de uma escavação profunda realizada num solo argiloso mole, suportada por três

níveis de escoras. O problema a analisar é semelhante a um caso de obra descrito por Matos

Fernandes et al. (2008).

As variantes do problema (designadas por casos) serão analisadas considerando as escoras passivas

ou ativas, sem e com pré-esforço, respetivamente. Os mesmos casos serão também analisados

considerando a hipótese de um melhoramento do solo abaixo da cota prevista para o fundo de

escavação, com a criação de uma laje-escora a executar antes da escavação pela técnica de

jet-grouting. É descrita a geometria do problema, indicadas as características físicas e mecânicas

dos materiais, e faz-se o dimensionamento da cortina para as situações mais desfavoráveis (com e

sem pré-esforço; com e sem a laje-escora de jet-grout), admitindo-a com comportamento elástico

linear. Seguidamente são realizadas análises de vários casos com a rigidez à flexão conferida pela

área da secção transversal de betão e pelas áreas das armaduras de aço dimensionadas, comparando

o comportamento não linear com o comportamento elástico da cortina.

6.2. GEOMETRIA DO PROBLEMA E CARACTERÍSTICAS MECÂNICAS DOS

MATERIAIS

6.2.1. Características gerais da escavação

Como está representado na Figura 6.1, pretende-se executar uma escavação simétrica com 24,0 m

de largura e 18,0 m de profundidade, num maciço de argila mole com espessura de 30,0 m e

resistência não drenada variável em profundidade, sobrejacente a uma camada de argila dura sobre

formação rochosa à profundidade de 50,00 m.

A escavação será suportada por cortinas em betão armado do tipo parede moldada, com altura total

de 31,0 m e espessura de 1,00 m, apoiadas em três níveis de escoras com eventual pré-esforço a

instalar durante o faseamento construtivo. O pé de cada cortina penetra 1,00 m na camada de argila

dura de modo a impedir os movimentos verticais e reduzir os movimentos horizontais dessa zona

da cortina.

As escoras serão materializadas por perfis metálicos tubulares, com espaçamento uniforme de

3.50 m, contraventadas horizontal e verticalmente (conforme indicado na Figura 6.1) de modo a


236

minimizar o fenómeno de encurvadura. Os pilares de apoio e contraventamento vertical das escoras

penetram abaixo do fundo da escavação até à argila dura. Admite-se que estes elementos não

interferem no comportamento do solo e que as deformações do solo não provocam esforços e

deslocamentos significativos nestes elementos estruturais.

Para a espessura da cortina foi considerado o valor h = 1,00 m, por comparação com situação

semelhante relatada por Matos Fernandes et al. (2008), quer em termos de solução estrutural para

suporte da escavação, parede e escoras, assim como as relativas às características mecânicas do

maciço.

Atendendo à simetria da escavação representada na Figura 6.1, as análises incidirão sobre uma

metade, considerando as simplificações necessárias para o efeito em termos de fronteira do novo

problema.

Figura 6.1 – Corte transversal da escavação, cortinas de contenção e elementos de apoio.

1,00

Eventual melhoramentopor jet-grouting

2,00

Fundo daescavação

8,00

30,00

Escoras //3,50

Argila dura

Argila mole

1,00

24,00

5,50

5,5018,00

1,75


Escoras //3,50

20,00

5,25

cu = f (z)γ = 18,0 kN/m³

Rocha

Escoras //3,50

cu = 400 kPa

z

γ = 21,5 kN/m³


237

Para este exemplo de cortina de contenção, vão ser analisados dois tipos de problemas, designados

como:

- Caso SM, correspondente à situação em que o solo não sofre qualquer melhoramento;

- Caso LJ, correspondente à situação em que o solo abaixo do fundo da escavação é

melhorado previamente à escavação, com a criação de uma laje de jet-grout.

O solo melhorado pela tecnologia jet-grouting abaixo do fundo da escavação dá origem a uma

camada de pequena espessura quando comparada com a largura da escavação (laje). Pelo facto de

essa camada de jet-grout receber importantes esforços horizontais de compressão provenientes das

paredes moldadas, como reação, é correntemente designada por laje-escora.

Como foi referido, para além da hipótese do solo ser melhorado por jet-grouting, as escoras serão

consideradas passivas (P) ou ativas (A), isto é, sem ou com pré-esforço, respetivamente. A malha

de elementos finitos a considerar na análise do Código GEO será a mesma para os dois tipos de

problemas, variando unicamente as características do material correspondente aos elementos finitos

que definem o maciço abaixo do fundo da escavação na zona da eventual laje-escora de jet-grout.

6.2.2. Materiais

6.2.2.1. Solo

Na camada de argila escavada a resistência não drenada varia em profundidade de acordo com o

indicado no Quadro 6.1, e para a camada de argila dura admite-se um valor constante, cu = 400 kPa.

Relativamente ao módulo de deformabilidade não drenado, Eu, é admitido valer quatrocentas vezes

a correspondente resistência não drenada para a camada de argila mole (argila escavada) e

Eu = 500 MPa para a camada de argila dura; o coeficiente de Poisson vale 0,49 dada a quase nula

variação volumétrica das argilas saturadas e não drenadas.

As principais características mecânicas e do estado de tensão das camadas de argila resumem-se no

Quadro 6.1.

Quadro 6.1 – Características mecânicas das argilas.

Tipo de argila z (m) γ (kN/m3) cu (kPa) Eu (MPa) K0 K0TT

Argila mole

0,00 – 5,00

18,0

40 16,0

0,67 0,85

5,00 – 10,00 25 10,0

10,00 – 15,00 36 14,4

15,00 – 20,00 46 18,4

20,00 – 25,00 58 23,2

25,00 – 30,00 69 27,6

Argila dura 30,00 – 50,00 21,5 400 500 0,63 0,80


238

No Código GEO, as análises serão efetuadas em estado plano de deformação e tensões totais por se

admitir um comportamento não drenado do maciço saturado com o nível freático à superfície.

Como indicado no Quadro 6.1, os coeficientes de impulso em repouso para a análise em tensões

totais, K0TT, relacionados com os correspondentes coeficientes de impulso em tensões efetivas, K0,

valem 0,85 e 0,80, para a camada de argila mole e camada de argila dura, respetivamente.

6.2.2.2. Jet-grout

Para os casos em que se admite um melhoramento do solo abaixo do fundo de escavação,

considera-se para a resistência à compressão do jet-grout o valor de 3,5 MPa, e para o módulo de

deformabilidade o valor de 1 GPa. Admite-se que a resistência não drenada vale metade da

resistência à compressão, cu = 1,75 MPa. O valor do peso volúmico do solo tratado é mantido igual

ao do solo que lhe deu origem.

6.2.2.3. Cortina de contenção

A cortina de contenção é modelada admitindo o betão da classe de resistência C30/37, com valor

característico da tensão de rotura do betão à compressão fck = 30 MPa, com valor médio da

resistência à tração fctm = 2,9 MPa, e módulo de elasticidade Ec = 33 GPa.

O aço para armaduras é da classe de resistência S400, com o valor característico da tensão de

cedência fyk = 400 MPa, e módulo de elasticidade Es = 200 GPa.

No Quadro 6.2 resumem-se as principais características do betão e no Quadro 6.3 as do aço para

armaduras.

Quadro 6.2 – Características do betão.


Módulo de elasticidade, Ec 33 GPa




Valor médio da resistência à compressão, fcm 38 MPa

Quadro 6.3 – Características do aço para armaduras.






239

6.2.2.4. Escoras

Em função do cenário geotécnico descrito e representado na Figura 6.1, não é tecnicamente

conveniente adotar para apoio da cortina um sistema de ancoragens, atendendo à necessidade de

alojar os bolbos de selagem a grandes profundidades, o que exigiria muito grandes comprimentos e

muito elevadas inclinações. Assim, a solução para apoio da cortina é a que prevê a instalação de

escoras em vários níveis, podendo ser pré-esforçadas ou não.

Foram previstos três níveis de escoramento às profundidades indicadas na Figura 6.1, com

afastamento longitudinal de 3,50 m, como o representado na mencionada figura. As escoras são

materializadas por tubos metálicos de aço de classe de resistência S275 JR, com o valor nominal da

tensão de cedência fy = 275 MPa, e módulo de elasticidade de 210 GPa. No Quadro 6.4 estão

resumidas as principais características do aço laminado utilizado na fabricação dos perfis tubulares.

Na avaliação da resistência de secções transversais de elementos comprimidos sujeitos a fenómeno

de encurvadura, o valor da tensão de cedência, fy, é afetado por um coeficiente parcial de segurança

minorativo, γM1. O valor nominal da tensão de rotura, fu, indicado no quadro, serve apenas como

referência para caracterização do aço das escoras.

Quadro 6.4 – Características do aço laminado das escoras.





6.3. MODELAÇÃO GEOTÉCNICA E ESTRUTURAL

6.3.1. Dimensionamento e rigidez das escoras

Foram definidos três níveis de escoramento às profundidades de 1,75, 7,25 e 12,50 m, constituídos

por perfis metálicos do tipo tubular de secção circular com afastamento longitudinal de 3,50 m.

Para o pré-dimensionamento das escoras é corrente utilizarem-se métodos simplificados para se

estimar o valor dos esforços nesses elementos de apoio durante a escavação. Para o

dimensionamento final recorre-se a uma análise mais rigorosa do problema, por exemplo, pela

aplicação do método dos elementos finitos, tomando como referência a solução obtida pelo método

simplificado utilizado no pré-dimensionamento.

6.3.1.1. Estimativa dos esforços nas escoras

Na Figura 6.2 está representado o diagrama das tensões totais horizontais de repouso até à

profundidade do fundo da escavação, assim como o diagrama de pressões aparentes proposto


240

inicialmente por Terzaghi e Peck (1967) e modificado por Peck (1969). O diagrama das pressões

aparentes representado na figura é o indicado para casos de argilas moles a médias e é função do

número de estabilidade do fundo da escavação, Nb, que relaciona a tensão total vertical ao nível do

fundo da escavação, γ ·H0, com a resistência não drenada do maciço subjacente:

ub

c

HN 0⋅= γ

( 6.1)

Para os valores correntes da resistência não drenada de uma argila mole a média, na zona

subjacente ao fundo da escavação, Nb assume valores compreendidos entre 4 e 6. Quanto maior é

Nb, mais elevada é a possibilidade de ocorrerem grandes deformações.

Figura 6.2 – Diagrama das tensões de repouso e diagrama de pressões aparentes (Peck, 1969)

para argila mole a média (Nb > 4).

Para este caso, Peck (1969) sugeriu que se considere para a pressão aparente, σa, o maior dos

valores obtidos por:

⋅⋅

⋅⋅⋅−⋅⋅

=

0

00

30

41

H,

H

cmH

máx

u

a

γ

γγ

σ ( 6.2)

onde m é um coeficiente empírico que traduz a potencial instabilidade do fundo da escavação e é

unitário para valores de Nb entre 4 e 6.

Os esforços nas escoras são estimados pelas resultantes das pressões que atuam nas respetivas áreas

de influência. Para o primeiro nível de escoras é comum considerar-se um valor próximo da média

das resultantes dos dois diagramas indicados na Figura 6.2, correspondendo a uma situação mista

entre o estado de repouso e o proposto por Peck (1969). Esta consideração é para atender ao facto

de a escavação ser relativamente pequena até a instalação desse nível de apoio, e as pressões

13,50 m

4,50 m

γ ⋅H0

z

H0 = 18,00 m

68,85 kPa

Fundo daescavação

K0TT

σ a = 116,00 kPa

Escoras


241

horizontais estarem compreendidas entre os dois estados. Para os restantes níveis de apoio,

considera-se que as forças mobilizadas nas escoras resultam unicamente do diagrama de pressões

aparentes que atuam nas respetivas áreas de influência.

Para este problema em análise, e para um valor ponderado de cu = 52 kPa da argila subjacente ao

fundo da escavação, recorrendo às expressões 6.2 obtém-se σa = 116 kPa. Relativamente ao

diagrama de tensões de repouso, o valor da tensão horizontal para a profundidade de 4,50 m é de

68.85 kPa.

Os valores obtidos para os esforços nas escoras, em função das áreas de influência, são os

indicados no Quadro 6.5.

Quadro 6.5 – Estimativa dos esforços axiais nas escoras.

Nível de apoio Profundidade Esforço axial

z (m) N (kN/m)

Superior 1,75 208

Intermédio 7,25 624

Inferior 12,50 943

6.3.1.2. Dimensionamento das escoras

No Quadro 6.6 resume-se a verificação da segurança das escoras relativamente à capacidade

resistente à compressão com encurvadura, de acordo com as disposições constantes no EC3 (2010).

Na determinação dos valores de cálculo dos esforços axiais considerou-se um coeficiente de

segurança de 1,35 associado ao efeito das ações permanentes, tendo-se desprezado o efeito do peso

próprio.

Quadro 6.6 – Dimensionamento das escoras à compressão com encurvadura.

Apoio Perfil D

(mm) t

(mm) EA

(MN) NEd

(kN) �� Φ χ

Nb,Rd (kN)

Nb,Rd (kN/m)

Superior T600.14 609,6 14,2 5578 983 0.438 0,621 0,943 6885 1967

Intermédio T700.16 711,2 16,0 7338 2948 0.375 0,589 0,959 9219 2634

Inferior T700.17 711.2 17,2 7875 4456 0.375 0,589 0,959 9891 2826

No Quadro 6.6, D e t são, respetivamente, o diâmetro externo e a espessura das paredes dos perfis

tubulares; EA é a rigidez axial com o módulo de elasticidade do aço E = Es e a área da secção

transversal A = As; NEd é o valor de cálculo do esforço normal atuante; �� é a esbelteza normalizada,

Φ é um coeficiente associado às imperfeições; χ é um coeficiente de redução associado ao modo de

encurvadura considerado; Nb,Rd é o valor de cálculo do esforço normal resistente à encurvadura.


242

Atendendo ao facto de se considerar as escoras contraventadas, vertical e horizontalmente, ficam

definidos três vãos de 8,00 m, e a condição de simetria das suas deformadas permite considerar um

comprimento crítico de encurvadura, Lcr, de aproximadamente 8,00 m.

Os casos de escavações profundas multiescoradas, com ou sem pré-esforço, são problemáticos em

termos de comportamentos desses apoios. Verifica-se que, durante o faseamento, os esforços nas

escoras podem atingir valores muito díspares dos admitidos no pré-dimensionamento (Matos

Fernandes et al., 2008). Assim, prevendo esta situação, as escoras foram dimensionadas

(sobredimensionadas) de modo a garantirem a estabilidade prevendo um alargado intervalo de

variação dos esforços axiais e, ao mesmo tempo, de modo a minimizar as deformações axiais e,

consequentemente, menores movimentos da cortina.

6.3.1.3. Rigidez e pré-esforço das escoras

Um dos principais fatores de influência dos deslocamentos de uma cortina de suporte é a rigidez do

sistema de escoramento. A rigidez das escoras quando solicitadas, ou seja, a rigidez efetiva, é

inferior ao valor teórico. Este facto justifica-se pelas folgas existentes na ligação entre as escoras e

a cortina de contenção, ou entre a escora e a eventual viga longitudinal de repartição, e entre esta e

a cortina. Naturalmente que este efeito depende da qualidade da mão-de-obra e de outros fatores,

como por exemplo, a rigidez de elementos estruturais secundários das ligações.

O’ Rourke (1981) analisou vários casos de escavações profundas multiescoradas e verificou que a

rigidez efetiva das escoras variava entre 44 e 75% da rigidez teórica. No caso de escoras

pré-esforçadas, o autor constatou que a rigidez efetiva dependia do valor do pré-esforço aplicado. O

mesmo autor, assim como Matos Fernandes (1981, 1983, 2015), confirmou que o pré-esforço

representa um papel importante na redução dos deslocamentos por melhoria das ligações entre as

escoras e a cortina de contenção, aumentando assim a rigidez do sistema de escoramento.

Para além da questão da rigidez das escoras, destacam-se outros aspetos muito favoráveis

associados ao pré-esforço (Matos Fernandes, 1981, 1983, 2015; Matos Fernandes et al., 2008):

- ao ser aplicado pré-esforço nas escoras, é recuperada parte dos deslocamentos horizontais da

cortina que ocorreram nas fases anteriores de escavação;

- a aplicação de pré-esforço nas escoras vai induzir um aumento das tensões horizontais no

solo suportado, reduzindo as tensões de corte neste maciço, logo permitindo que este

responda com maior rigidez nas fases de escavação seguintes;

- o movimento da cortina contra o solo suportado, consequência da aplicação de pré-esforço,

faz com que sejam menores as pressões do tipo “passivo” que o maciço subjacente à base

corrente da escavação exerce sobre a cortina em cada fase; logo, serão menores as forças

estabilizadoras que serão retiradas nas fases posteriores de escavação.

Relativamente ao segundo aspeto apontado, importa referir que, no interior do maciço suportado,

durante as fases de escavação, ocorre um decréscimo da tensão horizontal, sendo a alteração da

tensão vertical pouco expressiva. Deste modo, as tensões de desvio tendem a aumentar evoluindo o

estado de tensão no sentido do estado limite ativo. Com a aplicação de pré-esforço no nível de

escoramento instalado repõe-se parte da alteração ao estado de tensão, diminuindo as tensões de


243

corte mobilizadas e, consequentemente, menores deformações. Assim, a aplicação de pré-esforço

garante que se conservem no maciço suportado níveis de tensão moderados, apresentando uma

deformabilidade mais baixa (Matos Fernandes, 1983).

Em função do descrito, nas análises em que as escoras não são pré-esforçadas (escoras passivas), a

rigidez atribuída na modelação por elementos finitos (rigidez efetiva) corresponde a 50% da rigidez

teórica. Nos casos em que é aplicado pré-esforço (escoras ativas), admite-se, por simplificação, que

o comportamento é elástico linear mas com a sua rigidez axial efetiva correspondente a 80% da

rigidez teórica. No Quadro 6.7 são mostrados os valores da rigidez efetiva das escoras a considerar

para as duas situações descritas. No mesmo quadro estão também indicados os valores das forças a

aplicar como ação de pré-esforço, F (Fsup., Fint, Finf.).

Quadro 6.7 – Rigidez das escoras e pré-esforço a aplicar.

Nível de apoio Profundidade Rigidez axial efetiva das escoras (MN) F

z (m) 50%EA 80%EA (kN/m)

Superior 1,75 2789 4462 200

Intermédio 7,25 3669 5870 800

Inferior 12,50 3938 6300 800

6.3.2. Modelação geotécnica (Código GEO)

Na Figura 6.3 está indicada a malha de elementos finitos utilizada para o estudo do comportamento

geotécnico, constituída por 1134 elementos bidimensionais isoparamétricos de 8 nós para a

discretização do maciço e da cortina, 102 elementos de junta de 6 nós para caracterizar a interface

solo-cortina, 24 elementos de junta auxiliares na argila dura, e 3 elemento barra de 2 nós para

simular o escoramento, originando no total 3322 pontos nodais. A parede moldada é definida por

51 dos 1134 elementos bidimensionais isoparamétricos de 8 nós.

A fronteira lateral esquerda da malha foi considerada no plano de simetria da escavação, enquanto

a fronteira à direita foi admitida a uma distância de 49,0 m da face não escavada da cortina. A

fronteira inferior foi modelada pela interface entre a camada de argila dura e a formação rochosa.


244

Figura 6.3 – Malha de elementos finitos.

Na Figura 6.3 não estão indicados os elementos tipo barra que representam os três níveis de

escoras, por se sobreporem às linhas que definem os elementos bidimensionais representativos do

solo escavado.

As três fases de ativação das escoras estão representadas na Figura 6.4. Como se mostra na Figura

6.4a, no caso em que não se aplica pré-esforço às escoras, a escavação é executada até uma

profundidade imediatamente abaixo do “ponto” de instalação das escoras desse nível, e na fase

seguinte de escavação estas entram em serviço.

Nos casos em que é aplicado pré-esforço, as escoras passam a ativas após a aplicação do primeiro

escalão de pré-esforço, ou seja, quando se passa para a fase seguinte de escavação, já se aplicou

toda a carga desse nível de apoio.

A escavação, com profundidade He = H0 = 18,00 m, é simulada por 36 fases de 0,50 m cada uma.

Quando é aplicado pré-esforço às escoras, são definidas no Código GEO 72 fases, das quais 36

fases são de escavação e 36 fases correspondentes ao escalonamento das cargas de 50 kN/m de

pré-esforço, para as cargas totais definidas no Quadro 6.7, isto é, 4 fases para a carga do nível

superior e 16 fases para cada um dos restantes níveis. Na Figura 6.4b mostra-se o modo como são

definidas as fases de escavação e de aplicação de pré-esforço: no nível superior, por exemplo,

realiza-se a escavação até à Fase 5, da Fase 6 à Fase 9 aplica-se o pré-esforço (Fsup.) e na fase

seguinte as escoras desse nível são ativadas ao mesmo tempo que é realizada uma nova escavação

de 0,50 m (Fase 10).

Zona a escavar


245

(a) (b)

Figura 6.4 – Fases de ativação das escoras: a) sem pré-esforço, b) com pré-esforço.

Na Figura 6.5 mostram-se as três fases de colocação das escoras, imediatamente antes de entrarem

em serviço, e ainda a fase final de escavação.

(a) (b) (c) (d)

Figura 6.5 – Fases de colocação das escoras e escavação final: a) nível superior, b) nível intermédio, c) nível inferior e d) fundo da escavação.

6

27

17

36

10

63

27

37

26

6

Escoras

16

Escoras

17

5

Escoras

47-62 Finf.

21-36 Fint.

6-9 Fsup.

Escoras

72

5

6346

3720

Escoras

10

Escoras

EscorasHe = H0 = 18,00 mHe = 8,00 mHe = 2,50 m He = 13,00 m


246

No Código GEO, para o solo e para a interface solo-cortina, considera-se o comportamento

elástico-perfeitamente plástico e o critério de Tresca. Para a cortina de contenção em betão armado,

o comportamento é linear ou não linear consoante os cálculos que vão ser apresentados.

A resistência ao corte das interfaces solo-cortina será considerada igual a 2/3 da correspondente


tangencial relativo de 1 mm, como sugerido por Matos Fernandes (1983). Por sua vez, a rigidez

normal dos elementos de junta foi admitida igual a 106 kN/m para evitar movimentos de

sobreposição, como já admitido nas aplicações dos capítulos anteriores.

Importa referir que o primeiro nível de escoras é considerado do tipo escora-tirante, de modo a que

possa suportar esforços de compressão e de tração. As eventuais trações podem resultar da

aplicação das elevadas cargas de pré-esforços dos níveis subsequentes.

6.3.3. Dimensionamento estrutural

Tendo como referência a espessura da cortina considerada na definição da malha de elementos

finitos, recorreu-se ao Código GEO para determinação dos esforços necessários ao seu

dimensionamento, nomeadamente os momentos fletores máximos e os correspondentes esforços

axiais, assim como os valores máximos do esforço transverso. Para o efeito, foi admitindo um

modelo elástico linear para o comportamento da cortina com a rigidez à flexão conferida apenas pela

secção transversal de betão, ou seja, Eeq = Ec, dando origem à rigidez à flexão EI = 2750 MNm2/m.

No dimensionamento estrutural, são contemplados os dois casos de condições do solo, sem e com

melhoramento por jet-grouting, assim como, em termos de comportamento das escoras, sem e com

pré-esforço, isto é, escoras passivas e ativas. No Quadro 6.8 estão agrupados os quatro casos

utilizados na análise elástica do comportamento da cortina de contenção, para obtenção dos

esforços de flexão composta necessários ao seu dimensionamento.

Quadro 6.8 – Casos de comportamento elástico (EL) da cortina de contenção.

Melhoramento do solo Escoras Casos

Sem melhoramento (Caso SM)

Sem pré-esforço (Passivas, P)

SM.P.EL

Com pré-esforço (Ativas, A)

SM.A.EL

Com jet-grout (Caso LJ)

Sem pré-esforço (Passivas, P)

LJ.P.EL

Com pré-esforço (Ativas, A)

LJ.A.EL

Na Figura 6.6 estão representados os diagramas envolventes dos momentos fletores de cálculo para

o Caso SM (sem melhoramento do solo) e para as duas situações de atuação das escoras, sem e com

pré-esforço. Na mesma figura está representado o perfil vertical da cortina de contenção com


247

indicação das secções (29 e 71) onde ocorrem os maiores momentos fletores que condicionam o

dimensionamento, e, para referência, estão também indicadas as Secções 1 e 102. Sobre as

envolventes dos momentos fletores de cálculo estão representadas as armaduras dimensionadas

para ambas as faces da parede, conforme o indicado no Quadro 6.9.

Figura 6.6 – Diagramas envolventes dos momentos fletores de cálculo e

dimensionamento das armaduras do Caso SM.

Do mesmo modo, na Figura 6.7 estão representados os diagramas envolventes dos momentos

fletores de cálculo para o Caso LJ (melhoramento do solo com formação de uma laje-escora de

jet-grout) e para as duas situações já referidas de funcionamento das escoras. As secções (75 e 90)

onde ocorrem os maiores momentos fletores, que condicionam o dimensionamento, estão também

representadas no perfil vertical da cortina de contenção. É de relembrar que a laje-escora é formada

imediatamente abaixo do fundo da escavação entre as profundidades 18,00 m e 20,00 m,

evidenciando-se, como mostra a mencionada figura, os elevados momentos fletores negativos

formados nessa zona, principalmente para o caso em que as escoras têm um comportamento

passivo.

102

29

71

Secções

1

8 φ32

Sem pré-esforço

Com pré-esforço

18,00

M Ed (kNm/m)

2,00

1000

26,00

2000 -1000

10,00

16,00

8 φ32

24,00

8,00

0,00

12,00

20,00

4,00

28,00

14,00

0

22,00

6,00

3000

30,00

z (m

)

8 φ32


248

Figura 6.7 – Diagramas envolventes de momentos fletores de cálculo e

dimensionamento das armaduras do Caso LJ.

No Quadro 6.9 indicam-se os valores mais desfavoráveis do momento fletor de cálculo e do

correspondente esforço axial, para os casos analisados. Indicam-se também as áreas efetivas das

armaduras, assim como as correspondentes percentagens dessas armaduras, calculadas com base na

área útil da secção de betão, para a face externa da escavação (momento máximo positivo) e para a

face interna em contacto com o solo suportado (momento máximo negativo). Na Figura 6.6, assim

como na Figura 6.7, foram já indicadas as armaduras dimensionadas para ambas as faces da parede.

É importante referir que, no caso do escoramento sem pré-esforço, os diagramas envolventes dos

momentos fletores são definidos pelos diagramas correspondentes às Fases 5, 16 e 26, que ocorrem

imediatamente antes da ativação das escoras, e pela Fase 36 em que se atinge o fundo da

escavação. Nos casos das escoras serem pré-esforçadas, os diagramas envolventes correspondem às

Fases 5, 20 e 46, que ocorrem antes do início da aplicação do pré-esforço, e também pela última

fase de escavação (Fase 72).

Na determinação das armaduras foram aplicados os princípios constantes no EC2 (2010) e

utilizadas as Tabelas e Ábacos de Dimensionamento de Secções de Betão Solicitadas à Flexão e a

Esforços Axiais Segundo o Eurocódigo 2 (Barros e Figueiras, 2010). Na utilização das referidas

tabelas e ábacos foi considerada uma relação aproximada de a/d = 0,1, em que d é a altura útil da

Jet-grout

102

90

Secções

1

75

Sem pré-esforço

Com pré-esforço28,00

-30000,00

20,00

2,00

z (m

)

8 φ32

MEd (kNm/m)

18,00

1000

10,00

22,00

-1000

30,00

2000 -2000

8,00

8 φ32

10φ3

2

26,00

4,00

24,00

14,00

0

6,00

16,00

12,00


249

secção de betão e a é a distância do centro geométrico da armadura tracionada à face da cortina.

Em simultâneo, considerou-se uma relação A’/A de 0,50 e de 1,00, em que A’ é a área da armadura

comprimida e A (= As) é a armadura tracionada.

Quadro 6.9 – Dimensionamento das armaduras de flexão da cortina.

Caso Face da cortina MEd (kNm/m) NEd (kN/m) As (cm2/m) Armaduras ρ (%)

SM Externa 3854 -641 128,6 16φ32/m 1,43

Interna -1845 -143 64,3 8φ32/m 0,70

LJ Externa 2294 -254 80,4 10φ32/m 0,88

Interna -3582 -505 128,6 16φ32/m 1,43

Assim como já foi admitido no exemplo apresentado no Capítulo 4, respeitante a uma parede

moldada monoescorada, considerou-se um recobrimento das armaduras c = 0,07 m, para atender a

um incerto posicionamento das armaduras no interior da vala escavada e de modo a contemplar a

agressividade do meio (NP EN 206-1, 2007).

Para determinação dos valores de cálculos dos momentos fletores, de modo a satisfazer a segurança

relativamente ao estado limite último por flexão composta da cortina, foi admitido um coeficiente

de segurança de 1,35 associado às ações permanentes. Já para os esforços axiais, não se aplicou

qualquer majoração por ser a situação mais desfavorável no dimensionamento das armaduras.

Também nesta análise se admite que as armaduras determinadas nas secções de momentos fletores

máximos são estendidas a toda a altura da parede, ou seja, sem qualquer dispensa de varões.

Recorrendo aos princípios constantes no EC2 (2010), e atendendo à percentagem de armadura

longitudinal, conclui-se que a secção de betão armado é suficiente para resistir aos esforços

transversos, em ambos os casos.

Na Figura 6.8 mostra-se o modo como variam os esforços (axiais) nos três níveis de escoramento

sem pré-esforço e para as duas condições do solo abaixo do fundo da escavação: sem

melhoramento e com laje-escora de jet-grout. Os esforços no nível superior de escoramento

atingem valores máximos na Fase 16, imediatamente antes da ativação do nível intermédio de

apoio, ocorrendo uma redução pouco significativa desses esforços nas restantes fases de escavação.

Para os outros níveis de escoramento, verifica-se que a situação de melhoramento do solo por

jet-grouting reduz substancialmente os esforços nas escoras desses níveis, comparativamente com o

outro caso.

Relativamente aos casos de escoras pré-esforçadas, com ou sem laje-escora, cujos resultados estão

representados na Figura 6.9, os esforços no nível superior de escoramento atingem valores

máximos na Fase 20, imediatamente antes da aplicação do pré-esforço do nível intermédio de

apoio. A partir daí, há uma redução muito significativa desses esforços atingindo valores mínimos

na Fase 46, quase nulos, imediatamente antes da aplicação do pré-esforço do nível inferior de

escoramento.


250

Figura 6.8 – Diagramas de esforços nas escoras sem pré-esforço.

Figura 6.9 – Diagramas de esforços nas escoras com pré-esforço.

É de notar que o nível superior de escoras é pouco influenciado pela existência da laje-escora de

jet-grout. O mesmo não acontece para o nível intermédio que já está mais próximo da laje. Como

seria de esperar, os esforços no nível inferior de escoras dependem consideravelmente da existência

ou não da laje de jet-grout.

Nível sup.

-1000

6

Sem melhoramento

Com laje de jet-grout

Escavação de 5,00 m

016

Escavação de 5,50 m Escavação de 5,00 m

36

Escavaçãode 2,50 m

Nível inf.

0 27

Ativação das escoras

5

Nível int.


-500


17 26

N (

kN/m

)


-750

-250

-250

-750

-1250

Nível inf.

72


62


9

21 47

Nível int.

5

6

20

Ativaçãodas escoras

Fases

0


Nível sup.

46

Sem melhoramento

Com laje de jet-grout

Pré-esforço

0



10 37 63

36

N (

kN/m

)

-1500

-1000

-500


251

Para os quatro casos analisados, são indicados no Quadro 6.10 os valores máximos e finais dos

esforços axiais das escoras, assim como a indicação dos valores estimados para comparação com os

casos sem pré-esforço.

Quadro 6.10 – Esforços axiais das escoras (de compressão).

Caso Nível de

escoramento Nmáx

(kNm/m) Nfinal

(kN/m) Nestimado (kN/m)

SM.P.EL

Superior 443 196 208

Intermédio 751 733 624

Inferior 942 942 943

SM.A.EL

Superior 572 81

Intermédio 1430 780

Inferior 1493 1493

LJ.P.EL




LJ.A.EL

Superior 512 144


Inferior 904 904

6.3.4. Modelação estrutural da cortina (Código RC)

Para modelação da cortina no Código RC foram consideradas 102 secções transversais

correspondentes aos 102 conjuntos de dois pontos de Gauss dos 51 elementos finitos

bidimensionais que a definem no Código GEO.

Para os dois casos em estudo, sem e com melhoramento do solo abaixo do fundo da escavação,

apresenta-se na Figura 6.10 e na Figura 6.11 as secções modeladas por fibras no Código RC, de

acordo com os respetivos dimensionamentos estruturais da cortina resumidos no Quadro 6.9.

A Figura 6.10a mostra a secção transversal da cortina para um metro de desenvolvimento, de

acordo com o dimensionamento efetuado para o Caso SM. Na Figura 6.10b está representada essa

secção discretizada em 50 fibras de betão, paralelas ao eixo neutro e de igual espessura, e 24 fibras

de secção quadrada de áreas equivalentes às áreas dos varões de aço das armaduras, na mesma

posição relativa da secção real.


252

(a) (b)

Figura 6.10 – Modelação da cortina no Código RC para o Caso SM: a) secção tipo

real; b) secção transformada em fibras.

Do mesmo modo, na Figura 6.11 mostra-se a secção transversal da cortina para o caso da existência

da laje-escora (Caso LJ). Na Figura 6.11a representa-se a secção real da cortina e na Figura 6.11b

essa secção discretizada em 50 fibras de betão e 26 fibras de aço.

(a) (b)

Figura 6.11 – Modelação da cortina no Código RC para o Caso LJ: a) secção tipo real;

b) secção transformada em fibras.

0,07 mis = 24

0,07 m is = 1

ic = 50As = 16φ32

ic = 1

y y

h = 1,00 m x

A's = 8φ32

b = 1,00 m

x

is = 26

As = 16φ32 is = 1

b = 1,00 m

x

0,07 m

x

ic = 50

y

0,07 m ic = 1

As = 10φ32

y

h = 1,00 m


253

6.4. RESULTADOS DAS ANÁLISES

6.4.1. Casos analisados

Para cada um dos quatro casos anteriores é realizada uma análise considerando a cortina com

comportamento não linear e, para comparação, outra análise com comportamento elástico

considerando igual rigidez inicial conferida pela secção de betão e pelas armaduras de aço (ver

Quadro 6.11).

Quadro 6.11 – Casos de análise de comportamento da cortina.

Estado do solo Comportamento

das escoras Comportamento


para a rigidez

Rigidez elástica inicial à flexão EI0 (MNm2/m)

Casos

Sem melhoramento

Sem pré-esforço (passivas)

Elástico linear

Ec “+” Es 3371

SM.P.EL

Não linear SM.P.NL

Com pré-esforço (ativas)

Elástico linear SM.A.EL

Não linear SM.A.NL

Com melhoramento (laje de jet-grout)

Sem pré-esforço (passivas)

Elástico linear

Ec “+” Es 3429

LJ.P.EL

Não linear LJ.P.NL

Com pré-esforço (ativas)

Elástico linear LJ.A.EL

Não linear LJ.A.NL Notas: SM - solo sem melhoramento;

LJ - solo do fundo da escavação melhorado por jet-grouting; P - escoras passivas; A - escoras ativas; EL - comportamento elástico da cortina; NL - comportamento não linear da cortina.

Na análise não linear (NL), à semelhança dos exemplos apresentados nos capítulos anteriores, é

admitido para o betão um modelo elastoplástico com tension stiffening e para o aço das armaduras

um modelo elastoplástico bilinear.

6.4.2. Análises sem melhoramento do solo e escoras passivas (Caso SM.P)

Nesta primeira análise do exemplo de uma escavação profunda suportada por parede moldada

multiescorada, admite-se que as escoras não são pré-esforçadas e que não há qualquer

melhoramento do solo (Caso SM.P). Para comparação com a análise não linear (NL), é realizada

uma análise considerando que a cortina possui comportamento elástico linear (EL), de acordo com

o descrito no Quadro 6.11.

Na Figura 6.12 estão representados os diagramas de momentos fletores e de esforços axiais para as

Fases 5, 16, 26 e 36, para os dois casos de comportamento material da cortina.


254

Na mencionada figura estão indicadas as secções com comportamento mais singular por

corresponderem às vizinhanças dos apoios materializados pelos diferentes níveis de escoramento e

(ou) por serem zonas onde ocorrem os momentos fletores máximos. Nesta análise, as secções

singulares são as seguintes:

- Secção 7, imediatamente acima do apoio superior materializado aquando da ativação do

correspondente nível de escoramento;

- Secção 29, imediatamente acima do apoio intermédio materializado aquando da ativação do


- Secção 50, imediatamente acima do apoio inferior materializado aquando da ativação do


- Secção 71, na vizinhança da zona onde se desenvolve o momento fletor máximo positivo na

última fase de escavação;

- Secção 101, na vizinhança da zona onde se desenvolve o momento fletor negativo e próximo

do apoio do pé da cortina na argila dura.

(a) (b)

Figura 6.12 – Diagramas de momentos fletores (a) e de esforços axiais (b)

para as Fases 5, 16, 26 e 36 do Caso SM.P.

71

Fase 5

4,00 Fase 26

28,00

29

0,00

20,00

-200

18,00

Fase 5

Secções

10,00

z (m

)

2,00

Fase 26

-1000

Fase 16

26,00

Fase 16

0 -600

50

3000 0

30,00

-400

Fase 36

14,00

M (kNm/m)-800

EL

6,00

1000N (kN/m)

22,00

2000

7


31,00

16,00

NL

8,00

Fase 36

Fase 3624,00

101

12,00


255

Na Figura 6.12a estão representados os diagramas de momentos fletores para os dois casos de

comportamento da cortina de contenção. Apesar de a rigidez inicial do Caso SM.P.NL ser igual à

do Caso SM.P.EL, conforme o indicado no Quadro 6.11, a análise não linear conduz, devido à

fendilhação, a uma condição de maior flexibilidade da cortina e, consequentemente, a menores

momentos fletores positivos. O momento fletor máximo positivo, que ocorre próximo do fundo da

escavação e na última fase de escavação, vale 2241 kNm/m no caso de comportamento não linear

(SM.P.NL), ou seja, cerca de 70% do valor 3180 kNm/m obtido para o caso de comportamento

elástico da cortina (SM.P.EL).

Na Fase 5, verifica-se que os diagramas de momentos fletores das duas análises são coincidentes,

pelo facto de ainda não se ter iniciado a fendilhação do betão e a cortina possuir ainda um

comportamento elástico linear no Estado I.

É importante verificar que nas Secções 29 e 50 (e suas vizinhanças) se desenvolvem momentos

fletores positivos durante as fases de escavação acima dessas secções, que atingem valores

máximos nas Fases 16 e 26, respetivamente, e que após a ativação dos correspondentes níveis de

escoramento junto dessas secções esses momentos sofrem uma inversão em valor e até de sinal,

como é o caso do momento fletor na vizinhança da Secção 29.

Da observação da Figura 6.12b constata-se, à semelhança dos outros exemplos de escavações

profundas já analisados, que a evolução dos esforços axiais é idêntica para os dois casos de rigidez

à flexão, dependendo do peso próprio da cortina e das tensões tangenciais geradas na interface com

o solo confinante durante a escavação.

Na Figura 6.13 representam-se os diagramas dos deslocamentos horizontais da cortina. Na Figura

6.13a mostra-se os diagramas de deslocamentos horizontais da cortina para as fases imediatamente

anteriores à ativação dos três níveis de escoramento (Fases 5, 16 e 26) e para a última fase de

escavação (Fase 36). Para a Fase 5, fase anterior à fase de ativação do nível superior de

escoramento e da Fase 6 de escavação, a deformada da cortina assume uma configuração

semelhante a uma rotação em torno do seu pé com, naturalmente, uma reduzida deformação por

flexão. Como se mostra na mesma figura, nas Fases 16, 26 e 36 o deslocamento da zona onde já

está instalado o apoio superior pouco se altera. Esse facto está visível também na Figura 6.13b onde

se representa, para além da Fase 1 como referência, as fases imediatamente antes e após a ativação

dos três níveis de escoramento. Como se pode verificar pela Figura 6.13b, os deslocamentos

laterais da cortina obtidos imediatamente antes e após a ativação dos diferentes níveis de escoras

são muito próximos. Os grandes deslocamentos (acumulados) ocorrem durante as fases de

escavação entre a colocação/ativação dos referidos apoios.

Verifica-se que o deslocamento máximo, que ocorre na última fase de escavação, é de 86 mm para

o Caso SM.P.NL, valor superior em 18% ao valor de 73 mm obtido para o Caso SM.P.EL de

comportamento elástico da cortina


256

(a) (b)

Figura 6.13 – Diagramas de deslocamentos horizontais da cortina de contenção do Caso SM.P:

a) deslocamentos para as Fases 5, 16, 20 e 36; b) deslocamentos da cortina imediatamente antes

e após a ativação das escoras (Caso SM.P.NL).

Os deslocamentos horizontais da cortina estão em conformidade com o modo como variam os

esforços (axiais) nos três níveis de escoramento, representados na Figura 6.14. Como mostra a

figura, os esforços no nível superior de escoramento atingem valores máximos na Fase 16,

imediatamente antes da ativação do nível intermédio de apoio. A partir daí, há uma redução

significativa desses esforços, como se mostra no Quadro 6.12 para as duas análises de

comportamentos da cortina de contenção.

Os esforços instalados no nível de escoramento intermédio aumentam até se atingir a fase

imediatamente anterior à ativação do nível inferior de apoio, a partir da qual a variação é pouco

significativa. Relativamente ao nível inferior de escoramento, verifica-se que os esforços

aumentam progressivamente em função da escavação, como se mostra na Figura 6.14 e se indica

no Quadro 6.12.

101

5

27

Fase j

6

26

j

17

1

60Secções

16

28,00

50

0,00 40

Fase 26

δ h (mm)

Fase 36

2,00

20

30,00

0

Fase 5

29

7

31,00

12,00

14,00

20,00

8,00

10,00

26,00

71

16,00

0

4,00

24,00

18,00

z (m

)

6,00

Fase 16

Fase 36

Fase 36

80 60 40 20δ h (mm)

NL

22,00

EL


257

Figura 6.14 – Diagramas de esforços das escoras sem pré-esforço (Caso SM.P).

Quadro 6.12 – Esforços axiais das escoras (de compressão) do Caso SM.P.

Casos Nível de

escoramento Nmáx

(kNm/m) Nfinal

(kN/m) Nestimado (kN/m)

SM.P.EL




SM.P.NL



Inferior 1015 1015 943

Na Figura 6.15 apresentam-se os diagramas de comportamento M-1/r das Secções 29, 50, 71 e 101

da cortina, para a evolução do faseamento construtivo. Os gráficos que traduzem o comportamento

das mencionadas secções mostram, depois de uma fase inicial de comportamento elástico do

Estado I, o comportamento não linear após o início da fendilhação. No caso das Secções 29 e 50,

esse comportamento evolui até atingir um valor máximo de momento fletor positivo,

imediatamente antes da ativação dos apoios por escoramento, e, nas fases seguintes, uma

diminuição de valor e até inversão de sinal, como é o caso do apoio intermédio (Secção 29).

-500

Nível inf.



17

-1250

0

-250

EL

5

N (

kN/m

)


16 26


36

Nível int.


0 27


6

Nível sup.

NL

-750


-1000



258

Figura 6.15 – Relação M-1/r para as Secções 29, 50, 71 e 101 do Caso SM.P.NL de análise

não linear da cortina de contenção.

Uma parede moldada é uma estrutura em betão armado sujeita à flexão e em permanente contacto

com solo húmido ou saturado, o controlo da fissuração do betão é um aspeto muito importante na

sua vida útil. A verificação do estado limite de fendilhação é necessária para garantir que nas zonas

da parede em contacto com o solo não há o aparecimento de fissuras com abertura suficiente para

que as armaduras de aço estejam suscetíveis ao efeito da corrosão, com consequentes danos

estruturais. No Quadro 6.13 apresenta-se o resumo da verificação do estado limite de fendilhação

para a Secção 71, onde se desenvolve o maior momento fletor máximo positivo.

Estado I

+

1,5

1500

-(EI)II

Fase 26

(EI)II

(EI)I

Estado II

Fase 36

Estado II

1000

2000

-1000

-0,5

Secção 101z = 30,21 m

(EI)II

(EI)I

-500

(EI)II

1,5

Estado II

0,5


Μ(kNm/m)

1500

2500

1/r (km-1)

+

1,0

500

(EI)I

Fase 36

+

Estado I

1500

-0,5 1,50,5

2500

-1000

-500

500

2000

Μ(kNm/m)

1,0

1000

1/r (km-1)

-0,5

Estado II

(EI)I

+(EI)II

Estado I

Fase 26

Fase 36


-0,5 1,50,5

2500

-1000

-500

1500

500

2000

Μ(kNm/m)

1,0

1000

1/r (km-1)

Estado I

Fase 16

Fase 36


0,5

500

2000

2500

Μ(kNm/m)

1,0

-1000

-500

1000

1/r (km-1)


259

Quadro 6.13 – Verificação do estado limite de fendilhação na Secção 71 para o Caso SM.P.NL.

M

(kNm/m) N

(kN/m) σs

(MPa) εs

(‰)

X

(m) hc,ef

(m) ρef (%)

εsrm (‰)

sr,máx (m)

wk

(mm)

2241 -654 150,6 0,753 0,364 0,212 6,1 0,666 0,449 0,30

No Quadro 6.13, de acordo com o preconizado no EC2 (2010) e apresentado no Capítulo 2,

σs (=σst) é a tensão na armadura de tração admitindo a secção fendilhada, εs (=εst) é a extensão na

armadura tracionada, X é a altura da área de betão comprimida, hc,ef é a altura da envolvente da

armadura tracionada que define a área efetiva Ac,ef, ρef é a percentagem efetiva de armadura de

tração correspondente à referida área, εsrm é a extensão média relativa entre o aço e o betão, sr,max é

a distância máxima entre fendas e wk é a abertura (largura) característica das fendas.

Como nota, refere-se que os limites considerados no EC2 (2010) para a máxima abertura de fendas

são superiores aos adotados no REBAP. Os valores indicados no REBAP para armaduras correntes

são 0,1, 0,2 e 0,3 mm, para condições muito agressivas, moderadamente agressivas e pouco

agressivas, respetivamente. No EC2 (2010), para a classe de exposição correspondente a este tipo

de estruturas de suporte de terras, o valor limite de abertura de fendas é de 0,3 mm, definido para

condições moderadamente agressivas a muito agressivas. Para condições ambientes consideradas

pouco agressivas, o EC2 (2010) considera o valor limite de 0,4 mm para a abertura máxima de

fendas.

6.4.3. Análises sem melhoramento do solo e escoras ativas (Caso SM.A)

O Caso SM.A é semelhante ao caso anterior mas as escoras são pré-esforçadas. A análise é também

realizada considerando que a cortina possui um comportamento elástica linear (EL) e não linear

(NL).

Na Figura 6.16 são representados os diagramas de momentos fletores e de esforços axiais para as

Fases 5, 20, 46 e 72, para os dois casos mencionados de comportamento da cortina. As Fases 20,

46 e 72 correspondem às Fases 16, 26 e 36 do caso anterior em que as escoras não são

pré-esforçadas, como está indicado em legenda da referida figura. Admite-se que o pré-esforço é

aplicado por escalões de 50 kN/m, nas Fases 6 a 9, 21 a 36 e 47 a 62, para os níveis superior,

intermédio e inferior de escoramento, respetivamente.

Do mesmo modo que no Caso SM.P, na Figura 6.16 estão indicadas as secções com

comportamento singular por corresponderem às vizinhanças dos apoios materializados pelos

diferentes níveis de escoramento, ou por serem zonas onde ocorrem os momentos fletores máximos

relativos, nomeadamente a Secção 7, a Secção 29, a Secção 50, a Secção 76 e a Secção 101.


comportamento da cortina de contenção. O momento máximo positivo da análise não linear da

parede (SM.A.NL) ocorre na Secção 76 e o obtido pela análise elástica (SM.A.EL) surge na

Secção 79 indicada na figura.


260

O momento fletor máximo positivo que ocorre imediatamente abaixo do fundo da escavação, e na

última fase de escavação, vale 1953 kNm/m no caso de comportamento não linear (SM.A.NL), ou

seja, cerca de 66% do valor 2954 kNm/m obtido para o caso de comportamento elástico da cortina

(SM.A.EL).

Nas Secções 29 e 50 (e suas vizinhanças) desenvolvem-se nas primeiras fases de construção

momentos fletores positivos que atingem valores máximos nas Fases 20 e 46, respetivamente.

Após a aplicação dos respetivos pré-esforços e ativação das escoras, os momentos fletores nesses

apoios sofrem uma inversão em valor e em sinal.

(a) (b)


para as Fases 5, 20, 46 e 72 do Caso SM.A.

Relativamente à evolução dos esforços axiais, como se pode observar pela Figura 6.16b, são muito

semelhantes para as duas análises de comportamento da cortina de contenção e a configuração em

função da profundidade resulta dos factos já apontados para a análise anterior.

Na Figura 6.17 mostram-se os diagramas dos deslocamentos horizontais da cortina para as já

referidas fases importantes desta análise e para as duas análises em termos de comportamento da

parede. Na Figura 6.17a representam-se os diagramas de deslocamentos horizontais da cortina para

-1000

Fase 5

1000

NL

30,00

M (kNm/m)2000

Fase 72

2,00

31,00

76

-6000

Fase 5

Fase 20

16,00

Fase 20 (16)

18,00

101

Fase 46 (26)

79

0

4,00

20,00

Fase 72 (36)

50

6,00

22,00

z (m

)

10,00

26,00

Fase 72

12,00

28,00

Secções

7

29

Fase 46

-400 -800N (kN/m)

EL

0,00


-2003000

8,00

24,00

14,00


261

as fases imediatamente anteriores à aplicação do pré-esforço dos três níveis de escoramento, assim

como para a última fase de escavação (Fase 72).

À semelhança do Caso SM.P, para a Fase 5, fase anterior às fases de aplicação de pré-esforço ao

nível superior de escoramento, a deformada da cortina assume uma configuração semelhante a uma

rotação em torno do seu pé com uma reduzida deformação por flexão, como se vê pela Figura

6.17a. Como se mostra na mesma figura, nas restantes fases indicadas, a cortina assume no topo

uma posição muito próxima da posição inicial.

(a) (b)

Figura 6.17 – Deslocamentos horizontais da cortina de contenção do Caso SM.A: a) deslocamentos

horizontais para as Fases 5, 20, 46 e 72; b) deslocamentos da cortina antes (Fases 1-5), durante

(Fases 6-9) e após (Fase 10) a aplicação do pré-esforço das escoras superiores (Caso SM.A.NL).

Os deslocamentos máximos que resultam das análises dos Casos SM.A.NL e SM.A.EL ocorrem na

última fase de escavação em zonas próximas das secções onde se verificam os momentos fletores

máximos positivos e valem 59 e 51 mm, respetivamente.

Como se pode verificar pela Figura 6.17b, as primeiras fases de escavação originam deslocamentos

laterais da cortina crescentes (Fases 1 a 5). As fases seguintes de pré-esforço (Fases 6 a 9)

31,00

60

20,00

20

79

2,00

101

10

4,00

20

12,00

δ h (mm)

50

Fase 72

28,00

26,00

10,00

30,00

7

z (m

)

29

EL

8,00

80

24,00

40δ h (mm)

Fase 72

16,00

6,00

Fase 46 (26)Fase 72 (36)

22,00

Fase 5

Fase 10

NL

Fase 20 (16)

Secções

Fases 1-5

0,00

76

Fases 6-9

0

14,00

0

18,00


262

provocam alguma recuperação dos deslocamentos anteriores, conduzindo a um valor reduzido na

zona do mencionado apoio e a um valor quase nulo no topo da cortina. Na mesma figura, a Fase 10

corresponde à fase de escavação imediatamente seguinte à ativação das escoras desse nível

superior.

A Figura 6.18 mostra o modo como variam os esforços (axiais) nos três níveis de escoramento para

o Caso SM.A, para as duas análises de comportamentos da cortina de contenção. Os esforços no

nível superior de escoramento atingem valores máximos na Fase 20, imediatamente antes da

aplicação do pré-esforço do nível intermédio de apoio. A partir daí, há uma redução significativa

desses esforços atingindo valores mínimos na Fase 46 (quase nulos), imediatamente antes da

aplicação do pré-esforço do nível inferior de escoramento.

Figura 6.18 – Diagramas de esforços das escoras com pré-esforço (Caso SM.A).

Os esforços instalados no nível de escoramento intermédio aumentam até se atingir a Fase 46 de

início do pré-esforço do nível inferior de apoio, a partir da qual decrescem acentuadamente.

Relativamente ao nível inferior de escoramento, verifica-se que os esforços aumentam

progressivamente em função da escavação, para além do pré-esforço instalado, como se mostra na

Figura 6.18 e os valores máximos indicados no Quadro 6.14.


63


20 46


Fases

10

-1250

37


7236 62

-250

Nível int.

21 47


Nível sup.

-750

NL

EL

Pré-esforço

9

N (

kN/m

)


Nível inf.

5

-1500

-1000

-500

6

0


263

Quadro 6.14 – Esforços axiais das escoras (de compressão) do Caso SM.A.

Casos Nível de

escoramento Nmáx

(kNm/m) Nfinal

(kN/m)

SM.A.EL

Superior 588 67


Inferior 1493 1493

SM.A.NL

Superior 548 104


Inferior 1498 1498

Na Figura 6.19 representam-se os diagramas de comportamento M-1/r das Secções 29 e 76 da

cortina de contenção, para a evolução do faseamento construtivo.

O gráfico que traduz o comportamento da Secção 29 mostra uma fase inicial de comportamento

elástico do Estado I seguido do comportamento não linear após o início da fendilhação, para

momentos fletores positivos. Esse comportamento evolui até atingir um valor máximo de momento

fletor positivo na Fase 20, imediatamente antes da aplicação do pré-esforço no escoramento do

nível intermédio, a partir do qual há uma diminuição de valor até à inversão de sinal, passando a ter

um comportamento equivalente mas agora para momentos fletores negativos. Relativamente ao

diagrama que caracteriza o comportamento da Secção 76, o processo evolutivo é crescente até

atingir um momento fletor máximo positivo para a Fase 72 no fim da escavação.

Figura 6.19 – Relação M-1/r para as Secções 29 e 76 do Caso SM.A.NL de análise não linear

da cortina de contenção.

Estado I

Fase 72

2,0

(EI)II

-1500

-1,0

-1500

-


Fase 20

1000

2000

(EI)II

-1000

(EI)I

(EI)I

-500

Fase 72

1,5

Estado II

(EI)II

Estado I Μ(kNm/m)

1500

+

0,5

Fase 46

Estado II

1/r (km-1)1,0

500

+

1/r (km-1)


-0,5 0,5

-1000

-500

1500

500

2000

Μ(kNm/m)

1,0

1000


264

A Figura 6.20a mostra o modo como varia a rigidez ao longo da cortina para as Fases 20, 46 e 72.

Na figura está também indicada a Fase 8 em que ocorre o início da fendilhação durante a aplicação

do pré-esforço nas escoras do nível superior, gerando-se momentos fletores positivos (M +).

A redução da rigidez à flexão atinge um valor máximo de 81% em relação ao valor da rigidez

elástica inicial, numa zona próxima do nível intermédio de escoramento referenciada pela

Secção 29 (z = 7,11 m), para os momentos fletores negativos (M −) desenvolvidos na Fase 46. Na

zona do apoio inferior por escoramento, também para momentos fletores negativos, a redução de

rigidez é também elevada, com valor aproximado de 78% para a última fase de escavação

(Fase 72).

(a) (b)

Figura 6.20 – Caso SM.A.NL: a) diagramas de rigidez à flexão para a Fase 8 (início da

fendilhação) e Fases 20, 46 e 72; b) deformadas da cortina para as Fases 8 e 72.

Relativamente à redução da rigidez como consequência dos momentos fletores positivos, é curioso

verificar que para as Fases 20, 46 e 72 ocorre uma redução máxima muito semelhante em

diferentes zonas da cortina, cerca de 65%, como se representa na Figura 6.20a, aproximando-se da

rigidez à flexão correspondente ao Estado II do comportamento M-1/r para momentos fletores

positivos. Na Figura 6.20b representa-se as deformadas da cortina para a Fase 8 e para a última

fase de escavação (Fase 72). Para a representação correspondente a esta última fase, é notória a

16,00

Fase 20 (16)

Fase 7275

24,00

8,00

0,00

Fase 8

14,00

25

6,00

M

75

22,00

Secções50 100

79

(EI)eq (MNm /m)

z (m

)

Fase 8

50

18,00

0

3371

075

28,00

7

Fase 8

0

10,00

30,00Fase 72

29

25

0

Fase 46 (26)

(EI)eq (%)

26,00

20,00

101

4,00

Fase 72

Fase 72

12,0050

2

31,00

M+2,00

Fase 72 (36)


265

importância da posição do apoio superior e do pré-esforço a ele aplicado na minimização dos

deslocamentos horizontais.

6.4.4. Análises com laje de jet-grout e escoras passivas (Caso LJ.P)

Esta segunda hipótese de apoio estrutural da cortina de contenção com recurso a uma laje-escora

de jet-grout abaixo do fundo de escavação tem como objetivo a redução dos deslocamento

horizontais da cortina e, consequentemente, obter menores assentamentos da superfície do solo

suportado.

Na Figura 6.21 são representados os diagramas de momentos fletores e de esforços axiais para as

Fases 5, 16, 26 e 36, para os dois casos mencionados de comportamento da cortina. Do mesmo

modo que nos casos anteriores, na figura são indicadas as secções com comportamento singular.

(a) (b)


para as Fases 5, 16, 26 e 36 do Caso LJ.P.


comportamento da cortina de contenção. O momento fletor máximo positivo ocorre na vizinhança

Jet-grout

-2000

43

2000

92

-3000 -600

29

Fase 26

75

-200

NL

7

Fase 36

1000

EL

-1000

50

6,00

22,00

Fase 5

Fase 5

10,00

26,00

z (m

)

Fase 36

16,00

0

18,00

4,00

20,00

12,00

14,00

101

Fase 16

N (kN/m)

Fase 16

28,00

-400 -800

31,00

2,00

Secções

Fase 36


Fase 26

0,00

8,00

24,00

0M (kNm/m)

30,00


266

da Secção 43 e imediatamente antes da ativação do apoio inferior (Fase 26), e vale 1460 kNm/m no

caso de comportamento não linear (LJ.P.NL), ou seja, cerca de 81% do valor 1798 kNm/m obtido

para o caso de comportamento elástico da cortina (LJ.P.EL). O momento fletor máximo negativo

surge na vizinhança da Secção 75 (zona de apoio na laje-escora) e na última fases de escavação

(Fase 36), e vale 2412 kNm/m no caso de comportamento não linear, ou seja, cerca de 89% do

valor 2697 kNm/m obtido para o caso de comportamento elástico da cortina. Consequência das

novas condições de apoio pela existência da laje-escora, verifica-se uma grande concentração de

momentos fletores nessa zona.

Relativamente à evolução dos esforços axiais representados na Figura 6.21b, não há nenhum

comentário especial para além dos já efetuados para os casos anteriores, mantendo-se a semelhança

entre os resultados das duas análises de comportamento da cortina de contenção.

Na Figura 6.22 representam-se os diagramas dos deslocamentos horizontais da cortina. Para as

fases imediatamente anteriores à ativação dos três níveis de escoramento (Fases 5, 16 e 26) e para a

última fase de escavação (Fase 36), estão representados na Figura 6.22a os diagramas dos

deslocamentos horizontais.

(a) (b)

Figura 6.22 – Deslocamentos horizontais da cortina de contenção do Caso LJ.P: a) deslocamentos

para as Fases 5, 16, 20 e 36; b) deslocamentos da cortina imediatamente antes e após a ativação das

escoras (Caso LJ.P.NL).

Jet-grout

12,00

30,00

30

Fase 5

5

z (m

)

Fase 16

0

Fase 26

20,00

Fase 36

27

22,00

28,00

30

26,00

4010

4,00

24,00

43

6

Jet-grout

10,00

18,00

50

26

0,00

Fase 36

2,00

75

Secções

17

δ h (mm)10

8,00

δ h (mm)

Fase j

16,00

29

20

EL

101

j

14,00

16

31,00

1

NL

6,00

92

20 040

7


267

Para a Fase 5, a deformada da cortina assume uma configuração semelhante a uma rotação, mas

agora acima do fundo da escavação como consequência da restrição oferecida pelo apoio

materializado pela laje-escora. Como se mostra na Figura 6.22a, e na Figura 6.22b onde se

representa a Fase 1 e as fases imediatamente antes e após a ativação dos três níveis de

escoramento, nas Fases 16 e 26 o deslocamento da zona onde já está instalado o apoio superior

pouco se altera. Os deslocamentos máximos valem aproximadamente 35 e 29 mm para as análises

dos Casos LJ.P.NL e LJ.P.EL, respetivamente, e ocorrem na última fase de escavação.

Na Figura 6.23 estão representados os perfis de assentamentos da superfície do solo suportado para

as Fases 5, 16, 26 e 36 do Caso LJ.P.NL. O assentamento máximo na Fase 36 ocorre a uma

distância da face da cortina de 12,00 m e vale δvm = 16 mm, e corresponde a um valor inferior a

0,1% da profundidade escavada.

Figura 6.23 – Perfis dos assentamentos da superfície do solo suportado para as Fases 5, 16,

26 e 36 do Caso LJ.P.NL.

Na Figura 6.24 estão representadas as tensões horizontais nas duas faces da cortina de contenção,

para a última fase de escavação (Fase 36) do Caso LJ.P.NL. Na mesma figura estão também

indicados os diagramas de tensões ativas e passivas teóricas, assim como o diagrama das pressões

de repouso atrás da cortina. As tensões horizontais no tardoz da cortina obtidas pelo modelo

numérico são muito próximas das ativas teóricas, com exceção da zona próxima do nível superior

de escoramento e da zona de apoio da cortina na laje-escora, onde há uma concentração de tensões

próximas das tensões de repouso.

As tensões horizontais abaixo do fundo da escavação são inferiores às pressões passivas teóricas.

No contacto entre a parede e a laje-escora, as tensões horizontais são muito elevadas fruto do

grande contraste de rigidez entre o solo e o jet-grout. As tensões máximas mobilizadas na laje de

jet-grout são inferiores aos valores resistentes e decrescem acentuadamente entre o topo e a base da

laje-escora. Esta distribuição de tensões pode ser compreendida por meio da observação da

Fase 5Fase 16Fase 26

20 Fase 36

0

15

30,00

δ v

H0

40,00

5

10,00

10

50,00 60,0020,000,00

d

25

d (m)

δ v (

mm

)


268

Figura 6.22a. Como a zona onde a cortina mais se desloca está acima da laje de jet-grout, as

tensões de compressão máximas ocorrem na zona superior da mesma.

Figura 6.24 – Diagramas de pressões sobre a cortina para a Fase 36 do Caso LJ.P.NL.

A Figura 6.25 mostra ainda os diagramas de tensões horizontais de compressão no contacto entre a

laje-escora com a parede, no eixo de simetria da escavação e numa zona intermédia. Pode

observar-se que com o aumento da distância à cortina a distribuição de tensões se torna mais

uniforme ao longo da espessura da laje de jet-grout. As maiores tensões de compressão no eixo de

simetria da escavação ocorrem na base. Isso pode ser explicado porque, na base da escavação a

distribuição típica dos deslocamentos verticais corresponde a uma convexidade da superfície do

terreno, logo o mesmo ocorre com a própria laje.

0600

Fase 36

K p

Fundo da escavação

100900 kPa

K0TT

3536 kPa

K0TT

Fase 36

2000

H0 = 18,00 m

Jet-grout

300

3500 2556 kPa

Escoras

Ka

K p

300 kPa

Ka


269

Figura 6.25 – Diagramas de tensões horizontais de compressão na laje-escora.

Na Figura 6.26 mostra-se o modo como variam os esforços (axiais) nos três níveis de escoramento

para o Caso LJ.P, para as duas análises de comportamentos da cortina de contenção. Os esforços

no nível superior de escoramento atingem valores máximos na Fase 16, imediatamente antes da

ativação do nível intermédio de apoio, a partir da qual há uma pequena redução.

Figura 6.26 – Diagramas de esforços nas escoras pré-esforçadas (Caso LJ.P).

Relativamente aos esforços instalados no nível intermédio de escoramento, a situação é idêntica à

anterior. Como abaixo do fundo de escavação existe um apoio materializado pela laje-escora,

ocorre uma maior redistribuição das pressões das terras para essa zona, aliviando as reações nos

restantes apoios, ou seja, os esforços transferidos para o nível inferior de escoramento é muito

reduzido, como mostra a evolução dos diagramas da Figura 6.26.

445 kPa

2,00

1631 kPa

Laje-escora de jet-grout

1303 kPa

6.42

2556 kPa

12.00

1303 kPa

1610 kPa

27

Ativação das escorasEscavaçãode 2,50 m

Nível sup.

0

-400


Nível inf.

17

Nível int.


-600


EL

Escavação de 5,00 mEscavação de 5,50 m

0

NL

-200

6 265

N (

kN/m

)

Fases de escavação16 36


270

Na Figura 6.27 representam-se os comportamentos M-1/r das Secções 29 e 75 da cortina de

contenção, para a evolução do faseamento construtivo do Caso LJ.P.NL. Os gráficos que traduzem

o comportamento das mencionadas secções mostram, depois de uma fase inicial de comportamento

elástico do Estado I, o comportamento não linear após o início da fendilhação. No caso da

Secção 29, esse comportamento evolui até atingir um valor máximo de momento fletor positivo

imediatamente antes da ativação do apoio, com uma diminuição nas fases seguintes até se atingir o

fundo da escavação. Em relação ao diagrama que caracteriza o comportamento da Secção 75, o

momento fletor atinge o valor máximo negativo para a Fase 36, correspondente ao fim da

escavação, depois de passar pelo comportamento elástico linear e entrar no comportamento não

linear com aproximação ao Estado II.

Figura 6.27 – Relação M-1/r para as Secções 29 e 75 do Caso LJ.P.NL de análise não linear

da cortina de contenção.

6.4.5. Análises com laje de jet-grout e escoras ativas (Caso LJ.A)

Na Figura 6.28 estão representados os diagramas de momentos fletores e de esforços axiais para as

Fases 5, 20, 46 e 72, para os dois casos de comportamento da cortina. As Fases 20, 46 e 72

correspondem às Fases 16, 26 e 36 do caso anterior em que as escoras não são pré-esforçadas. O

pré-esforço é aplicado também por escalões de 50 kN/m nas Fases 6 a 9, 21 a 36 e 47 a 62, para os

três níveis de escoramento. Na figura estão também indicadas as secções com comportamento

singular.

Fase 36

(EI)I

(EI)II

Estado I

-

Estado II


1000

(EI)II

-1000

(EI)I

-2500

Estado II

-500

Μ(kNm/m)

1500

-2000

1/r (km-1)

500Fase 36

-0,5

-2500

-1,5 -1,0-2,01,5

-2000

-1500-1500

+

-0,5

Estado I

0,5

Fase 16

1/r (km-1)


-1000

-500

1500

500

Μ(kNm/m)

1,0

1000


271


comportamento da cortina de contenção, verificando-se que o momento fletor máximo positivo, no

caso de comportamento não linear (LJ.A.NL), ocorre com valores semelhantes na Secção 35 para a

Fase 20 e na Secção 90 para a Fase 72, com valor de 1386 kNm/m. Para a análise de

comportamento elástico (LJ.A.EL), encontra-se o valor máximo na Secção 90 para a Fase 72, com

valor de 1910 kNm/m. O momento máximo negativo da análise não linear ocorre na Secção 75

com valor de 1558 kNm/m para a Fase 20, relativamente próximo do valor de 1591 kNm/m para a

análise de comportamento elástico da cortina (LJ.A.EL), para mesma secção e para a mesma fase.

(a) (b)


para as Fases 5, 20, 46 e 72 do Caso LJ.A.

Em relação ao modo como os esforços axiais evoluem, como se pode observar pela Figura 6.28a,

são também muito semelhantes para as duas análises de comportamento da cortina de contenção.

Na Figura 6.29 representam-se os diagramas dos deslocamentos horizontais da cortina para as fases

mais importantes e para as duas análises em termos de comportamento estrutural da parede. Na

Figura 6.29a mostra-se os diagramas de deslocamentos horizontais da cortina para as fases

-400N (kN/m)

Fase 46

2,00

NL

7

-800

4,00

20,00

8,00

Fase 5

Fase 5

14,00

Fase 36

16,00

-1000

18,00

10,00

Fase 20

0

Fase 20 (16)

31,00

-200 -600

101

Fase 72

EL

26,00

0 -3000

29

90

Jet-grout

50

35

75

30,00

-2000M (kNm/m)

2000

28,00

Secções0,00

Fase 72 (36)


Fase 46 (26)

12,00

6,00

22,00

z (m

)

1000

24,00


272

imediatamente anteriores à aplicação do pré-esforço dos três níveis de escoramento, assim como

para a última fase de escavação (Fase 72).

Para a Fase 5, anterior à colocação do primeiro apoio por escoramento, a deformada da cortina

assume uma configuração semelhante à obtida no caso anterior. É importante também verificar que

na última fase de escavação (Fase 72), acima da laje-escora até ao topo da cortina, a deformada

possui uma configuração de alinhamento “reto”, ao contrário da deformação gerada abaixo do

fundo da escavação.

(a) (b)

Figura 6.29 – Deslocamentos horizontais da cortina de contenção do Caso LJ.A: a) deslocamentos

para as Fases 5, 20, 46 e 72; b) deslocamentos da cortina antes (Fases 1-5), durante (Fases 6-9) e

após (Fase 10) a aplicação do pré-esforço das escoras superiores (Caso JL.A.NL).

Como se pode verificar pela Figura 6.29b, as primeiras fases de escavação originam deslocamentos

laterais da cortina crescentes (Fases 1 a 5). As fases seguintes de pré-esforço (Fases 6 a 9)

provocam a recuperação dos deslocamentos conduzindo a um valor reduzido no topo da cortina. A

Fase 10 corresponde a uma fase de escavação e à ativação das escoras desse nível superior,

verificando-se a quase manutenção dos deslocamentos nessa zona do apoio e topo da cortina.

Jet-grout

35

90

22,00

Secções

20,00

z (m

)

75

4,00

NL

24,00

12,00

26,00

10

Fases 6-928,00

Fase 72

30,00

50

6,00

EL

Fase 5

30

Fase 20 (16)

Fase 72 (36)

δ h (mm)10

14,00

Fase 46 (26)

Fase 1031,00

8,00

0

16,00

101

δ h (mm)

0,00

Jet-grout

20

2,00

10,00

20

Fases 1-5

40

7

29

0

18,00


273

É curioso observar que os deslocamentos máximos que resultam das análises dos Casos JL.A.NL e

JL.A.EL não ocorrem na última fase de escavação mas sim na fase imediatamente anterior à da

aplicação do pré-esforço do nível intermédio de escoramento, e valem 25 e 19 mm, respetivamente.

6.5. RIGIDEZ ELÁSTICA REDUZIDA DA CORTINA DO CASO SM.A

Pretendendo-se comparar o comportamento não linear da cortina de contenção com o

comportamento elástico linear para diferentes valores da rigidez à flexão, apresenta-se os

resultados de quatro análises do Caso SM.A:

- Caso SM.A.EL16.5, em que a rigidez elástica à flexão é igual a 50% da rigidez conferida pela

secção de betão;

- Caso SM.A.EL22.0, em que a rigidez elástica à flexão corresponde a cerca de 67% da rigidez

conferida pela secção de betão;

- Caso SM.A.EL33.0, já estudado aquando do dimensionamento estrutural da cortina, em que a

rigidez elástica à flexão corresponde à secção de betão;

- Caso SM.A.NL40.5, de comportamento não linear em que se considera a rigidez à flexão com

o contributo da secção de betão e a secção das armaduras de aço (Caso SM.A.NL já analisado

em detalhe).

Os valores numéricos nas designações dos casos indicam os módulos de deformabilidade

equivalentes considerados, em GPa. No Quadro 6.15 resume-se a descrição dos casos comparados

e na Figura 6.30 mostram-se os resultados em termos de diagramas envolventes dos momentos

fletores e dos deslocamentos da cortina.

Quadro 6.15 – Comportamento elástico da cortina de contenção de rigidez deduzida e caso de comportamento não linear (Caso SM.A).

Casos Comportamento

da cortina

Contributo para a rigidez

Rigidez elástica inicial à flexão

EI0 (MNm2/m)

SM.A.EL16.5 Elástico linear 1/2Ec 1375

SM.A.EL22.0 Elástico linear 2/3Ec 1833

SM.A.EL33.0 Elástico linear Ec 2750

SM.A.NL40.5 Não linear Ec “+” Es 3371

Como se pode verificar pela Figura 6.30a, os momentos fletores positivos apresentam um alargado

intervalo de variação. Ao contrário, os momentos fletores negativos são muito semelhantes. O caso

de comportamento elástico de rigidez reduzida que mais se aproxima do caso de comportamento

não linear é o Caso SM.A.EL22.0, quer em termos de momentos fletores, quer em termos de

deslocamentos.


274

Relativamente aos deslocamentos representados na Figura 6.30b, verifica-se que os valores

máximos ocorrem abaixo do fundo de escavação e com um intervalo de variação de cerca de

10 mm.

(a) (b)

Figura 6.30 – Diagramas envolventes da análise de comportamento elástico de rigidez reduzida: a)

momentos fletores; deslocamentos horizontais da cortina.


No presente capítulo descreveu-se um exemplo de uma cortina de contenção do tipo parede

moldada para suporte de uma escavação profunda em solo argiloso mole, suportada por três níveis

de escoramento com e sem pré-esforço. O mesmo problema foi analisado considerando um

possível melhoramento do solo abaixo do fundo de escavação por jet-grouting.

Verificou-se que, neste tipo de estruturas de suporte, os momentos fletores atingem valores muito

elevados, e que podem, durante o faseamento construtivo e em determinadas zonas da cortina,

EL33.0

EL16.5EL22.0

NL40.5

31,00

Fase 72

402000

30,00

1000 60

28,00

δ h (mm)200,00

18,00

0

10,00

26,00

12,00

8,00

24,00

4,00

20,00

3000

6,00

22,00

z (m

)

2,00

M (kNm/m)Secções

-1000

16,00

0

14,00


275

sofrer inversão de valor e até de sinal, demonstrando ainda mais a elevada complexidade deste tipo

de estruturas.

A aplicação do modelo numérico aos casos analisados com diferentes condições de apoio permitiu

demonstrar a sua eficácia e evidenciar novas potencialidades, por contemplar a possível inversão de

valor e de sinal dos momentos fletores. Como consequência deste comportamento estrutural,

também os movimentos da cortina de contenção assumem configurações muito variadas durante o

faseamento, sendo possível, fase a fase, estudar o modo como se processa essa evolução com

frequente inversão de sentido desses movimentos.

Os casos analisados permitiram verificar uma substancial diferença de valores dos momentos

fletores positivos entre as análises com comportamento não linear e com o comportamento elástico

da parede, considerando a mesma rigidez à flexão inicial. A maior diferença encontrada foi obtida

para o caso do escoramento com pré-esforço e sem melhoramento do solo (Caso SM.A), com o

resultado para a análise não linear inferior a 34% relativamente ao da análise elástica da cortina.

Como justificação, importa referir a elevada complexidade estrutural comparativamente com os

outros tipos de estruturas de suporte analisados nos capítulos anteriores.

Em relação aos deslocamentos, também se encontraram diferenças significativas entre os dois tipos

de análise. Em termos relativos, foi na análise do Caso LJ.A que se encontrou a maior diferença,

sendo o deslocamento máximo horizontal cerca de 32% mais elevado na análise não linear da

cortina. Em termos absolutos, a maior diferença de deslocamentos ocorre no caso em que não se

considera o melhoramento do solo por jet-grouting e as escoras sem pré-esforço, naturalmente

porque nesses casos os deslocamentos são maiores e a cortina desempenha um papel ainda mais

importante na contenção. Quando se “adiciona” à estrutura o pré-esforço dos apoios e a laje de

jet-grout os deslocamentos reduzem-se muito, sendo evidente a reduzida diferença entre as análises

elástica e a não linear.

Os esforços axiais nas escoras sofrem grandes variações durante o faseamento construtivo e podem

atingir valores muito superiores aos estimados, seja feita uma análise não linear ou elástica do

comportamento da cortina de contenção.

A habitual consideração de um comportamento elástico da cortina com rigidez à flexão reduzida

poderá originar momentos fletores inferiores comparativamente com uma análise mais rigorosa do

comportamento estrutural. Mas só para um determinado valor da redução da rigidez elástica é que

os momentos fletores e (ou) os deslocamentos se aproximam dos obtidos considerando uma análise

não linear da cortina de contenção.


276

Capítulo 7 – Conclusões e desenvolvimentos

277

7. CONCLUSÕES E DESENVOLVIMENTOS

7.1 CONCLUSÕES

O trabalho desenvolvido pretendeu contribuir para, no campo de conhecimento sobre escavações

profundas, um melhor entendimento relativamente ao comportamento não linear das estruturas de

contenção em betão armado. Como é sabido, a interação entre as cortinas de contenção e o solo

suportado obedece a complexas leis de comportamento, que dependem das características do solo,

da rigidez da cortina, dos apoios e eventual aplicação de pré-esforço, e do faseamento construtivo,

como ficou demonstrado nos capítulos dos exemplos de aplicação.

O estudo da fendilhação tem-se concentrado em elementos estruturais das superestruturas e pouco

nos elementos estruturais que interagem com os solos, que apresentam um comportamento

agravado por se enquadrarem em condições ambientais adversas. Assim, apesar de um contributo

modesto nesta fase inicial da investigação, ficou demonstrado que o fenómeno da fendilhação no

betão armado é extremamente complexo e condiciona de forma marcante o comportamento das

cortinas de contenção de escavações profundas.

Para a análise faseada do processo construtivo, quer da escavação, quer de aplicação de elementos

de apoio à cortina de contenção (escoras ou ancoragens), com eventuais carregamentos à

superfície, foi desenvolvido na Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto e na Faculdade

de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra um programa de cálculo automático baseado

no método dos elementos finitos, com modelos geotécnicos de comportamento elastoplástico.

Relativamente às estruturas de betão armado, foi desenvolvido na Faculdade de Engenharia da

Universidade do Porto um programa de cálculo automático para análise não linear de estruturas,

permitindo a análise não linear das secções transversais de um elemento de betão armado

recorrendo ao método das fibras.

Para a análise não linear das escavações profundas suportadas por cortinas de betão armado,

criou-se um modelo numérico que resultou da combinação dos dois modelos referidos, assente

numa plataforma criada para comunicação entre as partes de modo a fornecer resultados das fases

de execução para tratamento numérico e gráfico.

No Capítulo 2 descreveram-se as principais características do betão e do aço para armaduras, as

leis constitutivas correntemente utilizadas, e foi descrito o comportamento do betão armado quando

fendilhado, introduzindo-se o conceito de tension stiffening.


278

No Capítulo 3 descreveu-se o modo como foram acoplados os dois programas de cálculo

automático para obtenção de uma ferramenta combinada de análise de escavações profundas

suportadas por cortinas de betão armado. Fez-se uma descrição sumária do método dos elementos

finitos para a análise geotécnica (Código GEO), assim como uma descrição do método de análise

de secções de betão armado através da sua discretização por fibras (Código RC). Para uma

completa explicação do funcionamento dos modelos numéricos, foram apresentados os métodos

numéricos correntemente utilizados na resolução dos processos incrementais e iterativos inerentes

às análises não lineares. Como exemplo demonstrativo, fez-se a análise de uma escavação profunda

suportada por uma cortina monoescorada de betão armado, tendo-se concluído que a fendilhação é

um fator muito importante na não linearidade do comportamento estrutural, provocando uma

diminuição significativa dos momentos fletores e da rigidez à flexão em grande parte da altura da

cortina.

No Capítulo 4 foi analisado de modo mais exaustivo o exemplo anterior, considerando várias

hipóteses de rigidez da cortina de contenção com diferentes armaduras de aço e com a consideração

de rigidez elástica reduzida. Obtiveram-se diferenças significativas dos momentos fletores, e menos

significativas em relação aos valores dos deslocamentos laterais. Constatou-se que numa análise

não linear originada pela fendilhação, ocorria uma redução significativa da rigidez à flexão em

mais de 60% da altura total da cortina. Verificou-se também que a consideração de uma rigidez

elástica reduzida como simplificação do comportamento não linear material, pode conduzir a

diferentes momentos fletores e deslocamentos, só coincidentes com os resultados de uma análise

não linear rigorosa por mero acaso, para um determinado fator de redução da mencionada rigidez.

Relativamente aos deslocamentos laterais da cortina, notou-se serem relativamente próximos,

independentemente da rigidez considerada para a cortina, e a justificação apontada para o facto foi

que, neste tipo de problema, a rigidez da cortina é apenas um dos fatores que condicionam esses

deslocamentos. Simulou-se também a rotura estrutural por formação de uma rótula plástica, ao

aumentar-se a profundidade escavada (sobreescavação) em cerca de 78%.

No Capítulo 5 apresentou-se o estudo de uma cortina autoportante de estacas tangentes de betão

armado, pretendendo-se comprovar a versatilidade do modelo numérico para considerar secções de

betão armado de configuração não retangular. Particularmente, e como seria de esperar, verificou-

se que a solução por estacas de betão armado apresenta um comportamento dúctil para condições

de carregamento até à rotura estrutural, pois a plastificação dos varões de aço das estacas ocorre em

diferentes fases. Um outro aspeto interessante, mesmo que previsível, foi o facto de os esforços

estruturais serem coincidentes para as análises linear e não linear da cortina, por se tratar, neste

contexto, de uma estrutura com comportamento muito próximo do de uma estrutura isostática.

No Capítulo 6 descreveu-se um caso de uma cortina de contenção do tipo parede moldada para

suporte de uma escavação profunda em solo argiloso mole, apoiada em três níveis de escoras, com

e sem pré-esforço. O mesmo problema foi analisado considerando um possível melhoramento do

solo abaixo do fundo de escavação por jet-grouting. Neste exemplo, de maior complexidade e de

maior grau de hiperestaticidade, verificou-se que os momentos fletores atingem valores muito


279

elevados com a possibilidade de, durante o faseamento construtivo e em determinadas zonas da

cortina, sofrerem inversão de valor e até de sinal. Em simultâneo, também os movimentos da

cortina de contenção assumem configurações muito variadas durante o faseamento. Nas análises

comparativas do comportamento elástico e não linear da parede, verificou-se que pode ocorrer uma

diferença substancial dos momentos fletores, podendo atingir um valor próximo de 34%.

Ainda relativamente à cortina multiescorada, verificou-se que os maiores movimentos da cortina

ocorrem no caso em que não se considera o melhoramento do solo por jet-grouting e as escoras são

passivas, pela simples razão de a cortina desempenhar um papel de maior relevo na contenção.

Quando se aplica pré-esforço às escoras e existe a laje-escora de jet-grout, os deslocamentos

reduzem-se bastante, sendo mais reduzida a diferença de comportamento entre a análise elástica e a

não linear da cortina. Relativamente às escoras, viu-se que os esforços podem sofrer grandes

variações durante o faseamento construtivo, podendo atingir valores muito superiores aos

estimados, seja na análise não linear ou na análise elástica do comportamento da cortina de

contenção.

Na cortina de contenção autoportante, os momentos fletores são praticamente independentes da

rigidez à flexão e, por sua vez, os deslocamentos laterais são mais dependentes dessa rigidez,

apesar de existir um certo impedimento por parte do solo onde se garante o encastramento. Os

momentos fletores máximos ocorrem muito abaixo da superfície escavada, e a perda de rigidez à

flexão acontece nessa zona que, pelo facto de estar confinada pelo solo, impede maiores

deformações.

Em relação à cortina monoescorada, o seu grau de hiperestaticidade é já mais elevado e o seu

comportamento mais complexo, na medida em que os máximos momentos fletores em cada fase

ocorrem numa zona acima da superfície escavada, ou seja, a máxima flexão ocorre em zona

“desprotegida” da parede. Como os deslocamentos da cortina não estão unicamente dependentes da

rigidez à flexão, mas dependem também da rigidez do apoio materializado pelas escoras, do apoio

do pé da cortina num estrato mais competente e da profundidade enterrada da cortina, os

deslocamentos laterais são relativamente pequenos e relativamente próximos para os casos

analisados.

Para a cortina de contenção multiescorada concluiu-se que o comportamento da cortina é muito

complexo e que os momentos fletores são muito dependentes do seu comportamento não linear.

Verificou-se que quanto mais hiperestática é a cortina de contenção, mais dependentes são os

esforços da rigidez estrutural. Claro que as condições de apoio também apresentam um papel

importante, nomeadamente nos deslocamentos laterais.

Para os casos analisados, recorrendo a esta nova ferramenta de cálculo automático, verificou-se que

a fendilhação do betão armado induz uma elevada redução da rigidez estrutural localizada,

provocando uma alteração dos momentos fletores e dos deslocamentos. Para além da segurança

estrutural, o controlo dos movimentos da cortina e da superfície do terreno são aspetos de vital

importância neste tipo de obras. Com a metodologia apresentada neste trabalho de investigação,

conclui-se que é possível prever e controlar a variação da rigidez estrutural em toda a altura da


280

cortina para as diferentes fases de construção, podendo-se ajustar a solução estrutural

redimensionado localmente as armaduras e (ou) alterando a posição e a rigidez dos apoios.

7.2 DESENVOLVIMENTOS

Para o trabalho desenvolvido, o modelo global baseado na interligação entre o modelo geotécnico e

o modelo estrutural mostrou-se eficiente e permitiu realizar todas as análises pretendidas.

Ainda na sequência do que foi feito no presente trabalho, pretende-se, utilizando a mesma

ferramenta numérica desenvolvida, realizar as seguintes tarefas consideradas importantes:

- para as cortinas de contenção realizadas com estacas de betão armado, efetuar um estudo

mais rigoroso contemplando o facto de a superfície que define o contacto solo-cortina não

ser planar;

- modelar cortinas de estacas secantes, com estacas resistentes em betão armado e estacas

plásticas executadas com diferente tipo de betão;

- modelar cortinas de CSM (cutter soil mixing) ou DSM (deep soil mixing) reforçadas com

perfis metálicos;

- estudar cortinas autoportantes com apoio provisório no seu coroamento durante as fases de

escavação, situação em que ocorre franca inversão do sinal dos momentos fletores ao longo

de grande parte da cortina;

- considerar a perda de resistência do betão por efeito da fendilhação;

- considerar diferentes leis constitutivas dos materiais, como por exemplo o modelo

parabólico para o comportamento do betão à compressão, e modelos que considerem as

tensões tangenciais por efeito do esforço transverso, de modo a aprimorar o estudo da

fendilhação do betão armado.

Para o efeito, serão realizadas análise paramétricas para se retirarem conclusões no sentido de

otimizar as soluções estruturais e melhor contribuir para o conhecimento científico sobre este

domínio.

As conclusões obtidas neste trabalho permitiram identificar diversos aspetos cuja consideração

seria pertinente, mas difícil de integrar neste modelo. Assim, para um desenvolvimento mais

arrojado desta investigação, propõe-se introduzir a possibilidade de consideração da não

linearidade geométrica na formulação implementada no modelo geotécnico; este ponto é

extremamente importante para a hipótese de se atingir a rotura estrutural localizada por formação

de rótula plástica associada a grandes deslocamentos, e este facto ainda não corresponder à rotura

global da cortina, até surgirem novas rótulas plásticas originando um mecanismo estrutural.

A não linearidade geométrica é ainda, previsivelmente, muito relevante em análises em que a

cortina sofre grandes deslocamentos e está sujeita a elevados esforços axiais, como é o caso das


281

cortinas ancoradas, podendo provocar efeitos de segunda ordem desfavoráveis no comportamento

da parede.

Outro desenvolvimento com elevado potencial será integrar os modelos geotécnico e estrutural

num modelo único, permitindo a consideração de:

i) leis constitutivas não lineares que considerem o efeito do tempo sobre as propriedades do

betão (maturação), possibilitando a análise de casos em que a escavação tem início antes

de o betão da cortina ter alcançado os 28 dias de maturação;

ii) efeitos diferidos do betão como a fluência e a retração, e a sua relação com a fendilhação.

A implementação de leis constitutivas não lineares que considerem o efeito do tempo sobre as

características do material torna-se pertinente na análise de estruturas evolutivas, nomeadamente de

betão armado. De facto, nas aplicações realizadas no âmbito deste trabalho, a utilização de modelos

de comportamento não linear para o betão não previu, por exemplo, o fenómeno da maturação, para

betões de idades muito inferiores a 28 dias. Por outro lado, a consideração da retração e fluência do

betão permitiria uma análise mais realista, não só das deformações e deslocamentos, mas também

da distribuição de esforços e consequentes efeitos no estado de tensão.

A interligação das previsões obtidas pelo programa de cálculo com os resultados obtidos através de

sistemas de monitorização permitiria a implementação de modelos de aferição da segurança. Desta

forma, um processo integrado e eficiente da análise deste tipo de obras seria uma ferramenta útil e

inovadora, permitindo a qualquer instante controlar o comportamento estrutural, emitindo alertas

sempre que exista uma divergência acentuada entre os valores medidos e os estimados

numericamente para os vários parâmetros monitorizados.


282


283

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MODELAÇÃO NUMÉRICA DO COMPORTAMENTO NÃO ......mencionado o Autor e feita referência ao Programa...

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