Modelagem Computacional Parte 1=1[Cap. 1] BURDEN, R. L ...M = 21023(2 +2 52) ˇ0;17977 10309....

Mestrado em Modelagem e Otimização - RC/UFG

Modelagem Computacional

Parte 12

Prof. Thiago Alves de Queiroz

2/2016

2[Cap. 1] BURDEN, R. L.; FAIRES, J. D. Numerical Analysis (9th ed). CengageLearning, 2010.

Thiago Queiroz (PPGMO) Parte 1 2/2016 1 / 34

Limite e ContinuidadeDefinição. Uma função f definida sobre um conjunto X denúmeros reais tem limite L em x0:

limx→x0

f (x) = L (1)

se para um dado ε > 0 existe um δ > 0 tal que |f (x)− L| < ε paraqualquer x ∈ X e 0 < |x − x0| < δ.

Figura: Ideia de limite de f (x).Thiago Queiroz (PPGMO) Parte 1 2/2016 2 / 34

Limite e Continuidade

Definição. Uma função f é contínua em x0 se:

limx→x0

f (x) = f (x0). (2)

A função é contínua em todo conjunto X se ela for contínua emcada elemento desse conjunto.Definição. A sequência infinita {xn}∞n=1 tem limite x (convergepara x) se para algum ε > 0 existe um inteiro positivo N tal que|xn − x | < ε qualquer que seja n > N. Assim:

limn→∞

xn = x . (3)

As funções a serem consideradas ao trabalhar com métodosnuméricos serão assumidas como contínuas.


DiferenciabilidadeDefinição. Uma função f é diferenciável em x0 se existe

f ′(x0) = limx→x0

f (x)− f (x0)

x − x0. (4)

O número f ′(x0) é a derivada de f em x0. Se a função temderivada em cada número de X , então ela é diferenciável nesteconjunto.

Figura: É a inclinação da reta tangente no ponto (x0, f (x0)).


Diferenciabilidade

Teorema de Rolle. Seja f contínua em [a,b] e diferenciável em(a,b). Se f (a) = f (b), então existe um número c ∈ (a,b) comf ′(c) = 0.

Figura: Exemplo do teorema de Rolle.


DiferenciabilidadeTeorema do Valor Médio. Seja f contínua em [a,b] ediferenciável em (a,b), então existe um número c ∈ (a,b) com

f ′(c) =f (b)− f (a)

b − a. (5)

Figura: A tangente ao gráfico de f no ponto c é paralela à secante quepassa pelos pontos a e b.


Diferenciabilidade

Teorema do Valor Extremo. Seja f contínua em [a,b], entãoexistem c1, c2 ∈ [a,b] com f (c1) ≤ f (x) ≤ f (c2) para todox ∈ [a,b]. Além disso, se f é diferenciável em (a,b), então c1 e c2ocorrem nos extremos de [a,b] ou quando f ′ é zero.

Figura: Exemplo do teorema de valor extremo.


Diferenciabilidade

Teorema do Valor Intermediário. Seja f contínua em [a,b] e Kqualquer número entre f (a) e f (b), então existe um númeroc ∈ (a,b) para o qual f (c) = K .

Figura: Há três valores para c que resultam em f (c) = K .


Exemplo

Exemplo. Mostre que x5 − 2x3 + 3x2 − 1 = 0 tem solução nointervalo [0,1].Resposta. Note que a função f (x) = x5 − 2x3 + 3x2 − 1 écontínua em [0,1]. Além disso:f (0) = −1 < 0 e f (1) = 1 > 0O teorema do valor intermediário então implica que existe umnúmero x satisfazendo 0 < x < 1 tal que f (x) = 0.


IntegraçãoDefinição. A integral de Riemann da função f sobre o intervalo[a,b] é o limite de, caso ele exista:∫ b

af (x)dx = lim

maxδxi→0

n∑i=1

f (zi)δxi . (6)

em que: a = x0 ≤ x1 ≤ . . . ≤ xn = b; δxi = xi − xi−1 para cadai = 1,2, . . . ,n; e zi ∈ [xi−1, xi ].Quando f é contínua em [a,b], ela também é integrável em [a,b]:∫ b

af (x)dx = lim

n→∞

b − an

n∑i=1

f (xi). (7)

Figura: Exemplo de integral de Riemann.Thiago Queiroz (PPGMO) Parte 1 2/2016 10 / 34

Polinômio de Taylor

Teorema de Taylor. Seja f e suas derivadas contínuas em [a,b],f (n+1) existe sobre [a,b] e x0 ∈ [a,b]. Para cada x ∈ [a,b] existeum número ξ(x) entre x0 e x com:

f (x) = Pn(x) + Rn(x). (8)

Pn(x) é o n-ésimo Polinômio de Taylor para f ao redor de x0:

Pn(x) = f (x0)+f ′(x0)(x−x0)+f ′′(x0)

2!(x−x0)

2+· · ·+ f (n)(x0)

n!(x−x0)

n. (9)

Rn(x) representa o erro de truncamento associado à Pn(x):

Rn(x) =f n+1(ξ(x))(n + 1)!

(x − x0)n+1. (10)

A série infinita obtida ao calcular o limite de Pn(x) quando n→∞é chamada de Série de Taylor para f ao redor de x0.


Exemplo

Exemplo. Seja f (x) = cos(x) e x0 = 0. Determine a Polinômio deTaylor de ordem 2.Resposta. Como f e suas derivadas são contínuas em R(conjunto dos reais), então o Teorema de Taylor pode ser aplicadopara qualquer n ≥ 0. As derivadas são:f ′(x) = − sin(x); f ′′(x) = − cos(x); f ′′′(x) = sin(x).Ao substituir x0 = 0, tem-se:f (0) = 1; f ′(0) = 0; f ′′(0) = −1 e f ′′′(0) = 0.Logo para f (x) = Pn(x) + Rn(x), tem-se:cos(x) = f (0) + f ′(0)x + f ′′(0)

2! x2 + f ′′′(ξ(x))3! x3 =

= 1− 12x2 + 1

6x3 sin(ξ(x)).ξ(x) é algum número (geralmente desconhecido) entre 0 e x .


Exemplo

Figura: Aproximação de cos(x) por P2(x).


Erros de Arredondamento

A aritmética feita pelo computador é diferente daquela em cursosde cálculo ou álgebra;No computador não é tão simples obter (

√3)2 = 3, pois a

aritmética é finita;Na computação cada número é representado por um número fixoe finito de dígitos;Por isso, a representação de

√3 pode não ser precisa, originando

o chamado erro de truncamento;Este erro surge pela uso de um número finito de dígitos pararepresentar números reais.


Números de Máquina Binários

Os computadores apresentam hardware para lidar com númerosque segue o padrão IEEE 754-2008;A representação de um número real é feita usando 64 bits;O primeiro bit indica o sinal s;Os seguintes 11 bits são usados para representar o expoente c;Os restantes 52 bits são usados para representar a fração bináriaf ;Assim, o número é da forma: (−1)s2c−1023(1 + f ).


Exemplo

Exemplo. Identifique o número representado por:0 100000000111011100100010000000000000000000000000000000000000000Resposta. Note que s = 0, então o sinal positivo;Os próximos 11 bits representam:c = 1×210+0×29+· · ·+0×22+1×21+1×20 = 1024+2+1 = 1027.Assim, a parte exponencial do número é2c−1023 = 21027−1023 = 24.Os restantes 52 bits resultam na fração:f = 1× (1

2)1 +0× (1

2)2 + · · ·+1× (1

2)12 +0× (1

2)13 + · · ·+0× (1

2)52

O número decimal representado pela máquina é:(−1)s2c−1023(1 + f ) =(−1)0 × 24 × (1 + (1

2 + 18 + 1

16 + 132 + 1

256 + 14096)) = 27,56640625


Números de Máquina Binários

O menor número positivo pode ser representado por s = 0, c = 1e f = 0:m = 2−1022(1 + 0) ≈ 0,22251× 10−307.Qualquer número com magnitude menor do que m sãoarredondados para zero (underflow);O maior número positivo é representado por s = 0, c = 2046 ef = 1− 2−52:M = 21023(2 + 2−52) ≈ 0,17977× 10309.Qualquer número com magnitude maior do que M fazem acomputação finalizar (overflow);Note que é possível representar o número zero de duas formas:positivo (s = 0) e negativo (s = 1).


Números de Máquina Decimais

É possível usar uma notação de ponto-flutuante decimal ao invésda binária:±0,d1d2 . . . dk × 10n, com 1 ≤ d1 ≤ 9 e 0 ≤ di ≤ 9 parai = 2,3, . . . , k .Qualquer número real pode ser escrito na forma:y = 0,d1d2 . . . dkdk+1dk+2 . . .× 10n.Há duas formas para terminar um número real y , resultando naforma de ponto-flutuante fl(y).A primeira é ignorar os dígitos dk+1dk+2 . . ., resultando em:fl(y) = 0,d1d2 . . . dk × 10n.A outra forma é arredondar a partir de algum dígito dk+1,adicionando 5× 10n−(k+1) e ignorando o restante dos dígitos.


Números de Máquina Decimais

Para arredondar quando dk+1 ≥ 5, adiciona-se 1 ao dígito dk paraobter fl(y) (arredondar para cima);Quando dk+1 < 5, ignora-se os dígitos a partir do dk+1 inclusive(arredondar para baixo);Exemplo. Seja π = 3,14159265 . . .. Determine os cinco dígitosdecimais a partir dos métodos anteriores.Resposta. Na forma decimal tem-se π = 0,314159265 . . .× 101.Usando o método de ignorar a após a quinta casa decimal,tem-se:fl(π) = 0,31415× 101.Usando método de arredondar (observando a sexta casa decimalque é o 9), tem-se:fl(π) = (0,31415 + 0,00001)× 101 = 0,31416× 101.


Erros por Aproximação

Definição. Seja p∗ uma aproximação de p. O erro absoluto é:

|p − p ∗ | (11)

E o erro relativo, para p 6= 0, é:

|p − p ∗ ||p|

(12)

Exemplo. Determine os erros para p = 0,3000× 101 ep∗ = 0,3100× 101.Reposta. O erro absoluto é 0,1, enquanto o erro relativo é0,3333× 101.É importante destacar que o erro relativo é mais significativocomo medida de precisão.


Erros por Aproximação

Definição. Diz-se que o número p∗ aproxima p em t dígitossignificativos, se t é o maior inteiro não-negativo que:

|p − p ∗ ||p|

≤ 5× 10−t (13)

Exemplo. Determine para quatro dígitos significativos e p = 100uma aproximação que resulta no max(|p − p ∗ |).Reposta. Basta jogar na eq. (13) e resolvê-la, ou seja:|100−p∗||100| ≤ 5× 10−4, que resulta em |p − p ∗ | ≤ 0,05.

Logo, o máximo ocorre para |p − p ∗ | = 0,05.


Aritmética Aninhada

Perda de precisão devido aos erros de arredondamento podemser reduzidas ao rearranjar as operações.Exemplo. Avalie f (x) = x3 − 6,1x2 + 3,2x + 1,5 para x = 4,71 eusando três dígitos.Reposta. 3,2x = 3,2(4,71) = 15,072 que arredondado torna-se15,1;x2 = (4,71)2 = 22,1841 que arredondado torna-se 22,2;6,1x2 = 6,1(22,2) = 135,42 que arredondado torna-se 135;x3 = x2(x) = 22,2(4,71) = 104,562 que arredondado torna-se105;A avaliação com arredondamento é:f (4,71) = 105− 135 + 15,1 + 1,5 = −13,4.


Aritmética Aninhada

A avaliação exata é:f (4,71) = 104,487111− 135,32301 + 15,072 + 1,5 =−14,263899.O erro relativo é:|−14,263899+13,4||−14,263899| ≈ 0,06.

Exemplo. Agora avalie a seguinte escrita aninhada, em x = 4,71e usando três dígitos, para f (x) = ((x − 6,1)x + 3,2)x + 1,5.Reposta.f (4,71) = ((4,71− 6,1)4,71− 3,2)4,71 + 1,5 = −14,3.O erro relativo é:|−14,263899+14,3||−14,263899| ≈ 0,0025.

Realizar o aninhamento da expressão permitiu reduzir o errorelativo significativamente, em torno de 95%;Sempre procure diminuir o número de operações (computações)nas expressões.


Algoritmos

Definição. Um algoritmo é um procedimento que descreve, deuma maneira sem ambiguidades, uma sequência finita de passospara executar uma determinada tarefa;Será utilizado um pseudocódigo para descrever os algoritmos, oqual especifica a forma da entrada e a forma da saída;Para terminar uma passo (step), usa-se o ponto final;Parar terminar uma tarefa dentro de um passo, usa-se oponto-e-vírgula;Laços podem ser controlados por contadores: For i = 1,2, . . . ,n;Ou por condições internas, como: While i < N do Steps 3-6.


Algoritmos

Condições são expressas por: If .. then;Ou da seguinte forma: If ... then ... else ...;Os passos nos algoritmos seguem as regras de programasestruturados;Comentários nos algoritmos aparecem dentro de parênteses comtexto em itálico;

Figura: Algoritmo para calcular x1 + x2 + · · ·+ xN .


Caracterizando Algoritmos

Definição. Seja E0 o erro introduzido em algum estágio doalgoritmo e En representa a magnitude do erro após nsubsequente operações:

I Se En ≈ CnE0, em que C é uma constante independente de n,então o crescimento do erro é dito linear;

I Se En ≈ CnE0, para algum C > 1, então o crescimento do erro édito exponencial.

Crescimento linear do erro nem sempre é possível, todavia ocrescimento exponencial deve ser evitado;Um algoritmo com crescimento linear do erro é chamado deestável, pois pequenas mudanças na entrada ocasiona pequenasmudanças na saída.


Caracterizando AlgoritmosUm algoritmo com crescimento exponencial do erro é chamadode instável;Um algoritmo estável apenas para certos dados de entrada sãochamados de condicionalmente estável.

Figura: Diferenças entre crescimento linear e exponencial do erro.


Taxas de Convergência

Em geral, deseja-se que o algoritmo convirja tão logo quantopossível;Definição. Suponha que {βn}∞n=1 é uma sequência que convergepara zero, e {αn}∞n=1 converge para um número α. Se existe umaconstante positiva K , tal que para n suficientemente grande:

|αn − α| ≤ K |βn|, (14)

então {αn}∞n=1 converge para α com taxa, ou ordem, deconvergência O(βn). Assim, αn = α+ O(βn).É comum usar βn = 1

np , tal que se deseja o maior p > 0 comαn = α+ O( 1

np ).



Exemplo. Determine a taxa de convergência das sequênciasabaixo, sabendo que ambas tendem a zero quando n→∞:αn = n+1

n2 e α̂n = n+3n3

Reposta. Defina as sequências βn = 1n e β̂n = 1

n2 . Então:|αn − 0| = n+1

n2 ≤ n+nn2 = 21

n = 2βn,|α̂n − 0| = n+3

n3 ≤ n+3nn3 = 4 1

n2 = 2β̂n.Logo, a taxa de convergência das sequências é:αn = 0 + O(1

n ) e α̂n = 0 + O( 1n2 ).

Resultando em melhor convergência para a sequência α̂n.



Definição. Suponha que limh→0 G(h) = 0 e limh→0 F (h) = L. Seexiste uma constante positiva K , para um h suficientementepequeno, tal que:

|F (h)− L| ≤ K |G(h)|, (15)

então F (h) = L + O(G(h)).É comum ter G(h) = hp, tal que se deseja o maior p > 0 comF (h) = L + O(hp).Exemplo. Sabendo que o Polinômio de Taylor de ordem 3 paraf (h) = cos(h), em torno de h = 0, écos(h) = 1− 1

2h2 + 124h4 cos(ξ(h)) para algum número ξ(h) entre

0 e h, mostre que: cos(h) + 12h2 = 1 + O(h4):



Reposta. Arranja-se os termos como:cos(h) + 1

2h2 = 1 + 124h4 cos(ξ(h)).

Note que cos(h) + 12h2 converge para 1 quando h→ 0. Assim:

|(cos(h) + 12h2)− 1| = | 1

24 cos(ξ(h))|h4 ≤ 124h4

Seguindo a definição, faz-se F (h) = cos(h) + 12h2, L = 1 e

G(h) = h4, tal que:F (h) = L + O(G(h)) resulta em:cos(h) + 1

2h2 = 1 + O(h4).


Software Numérico

Existem vários softwares para resolver problemas numéricos,como Maple, Mathematica, MATLAB e GNU Octave;No decorrer da disciplina será utilizado o GNU Octave, que égratuito e está disponível para diferentes plataformas;O Octave pode ser baixado emhttps://www.gnu.org/software/octave/A linguagem do Octave é bem similar a linguagem do MATLAB;Os exercícios envolvendo algoritmos/programação devem serfeitos e entregue na linguagem do Octave;Exercícios NÃO serão aceitos em outras linguagens e/ousoftwares, como MATLAB por exemplo.Tutorial: https://www.gnu.org/software/octave/octave.pdf


GNU Octave

Figura: Interface do GNU Octave.Thiago Queiroz (PPGMO) Parte 1 2/2016 33 / 34

Octave OnlineExiste uma versão na Internet (não precisa instalar) disponívelem: http://octave-online.net/

Figura: Interface do Octave Online.


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