MODELAGEM DE COLUNAS DE DESTILAÇÃO ATRAVÉS DE … · modelagem de colunas de destilaÇÃo...

MODELAGEM DE COLUNAS DE DESTILAÇÃO ATRAVÉS DE

MODELOS AUTO-REGRESSIVOS

ADELSON SIQUEIRA CARVALHO

UNIVERSIDADE ESTADUAL DO NORTE FLUMINENSE - UENF

CAMPOS DOS GOYTACAZES – RJ

MARÇO – 2008

iii



ADELSON SIQUEIRA CARVALHO

Tese apresentada ao Centro de Ciências e

Tecnologia, da Universidade Estadual do Norte

Fluminense, como parte das exigências para

obtenção do titulo de Mestre em Engenharia de

Produção.

Orientador: Luís Humberto Guillermo Felipe, D.Sc. UENF/LEPROD

CAMPOS DOS GOYTACAZES – RJ

MARÇO – 2008

iv



Autor: ADELSON SIQUEIRA CARVALHO

Tese apresentada ao Centro de Ciências e Tecnologia, da Universidade Estadual do

Norte Fluminense, como parte das exigências para obtenção do titulo de Mestre em

Engenharia de Produção.

Aprovado em ____ de ____________ de 2008

Comissão Examinadora:

_________________________________________ Prof. Geraldo Galdino de Paula Júnior (Doutor, Engenharia de Sistemas e Computação) – UENF/LEPROD

_________________________________________ Prof. José Ramón Arica Chávez (Doutor, Engenharia de Sistemas e Computação) – UENF/LEPROD

_________________________________________ Prof. Carlos Antonio Abanto Valle (Doutor, Ciências Estatísticas) – UFRJ/IM _________________________________________ Prof. Luis Humberto Guillermo Felipe (Doutor, Ciências da Engenharia) – UENF/LEPROD (orientador)

v

“Dedico este trabalho a meus

pais e entes queridos”

vi

AGRADECIMENTOS

Agradeço em primeiro lugar a Deus por encaminhar a minha vida e por me

permitir alcançar meus objetivos.

A minha família e amigos por compreenderem minhas falhas e apoiarem as

minhas escolhas.

A Aline por ser uma grande companheira e inspiração para minha trajetória.

Ao meu orientador, professor Luis Humberto Guillermo Felipe, por toda

atenção e apoio.

vii

RESUMO

Sistemas dinâmicos são em sua grande maioria não lineares e de dinâmica não

totalmente conhecida, desta forma existe certa distância entre o sistema real e o

gerado a partir da modelagem analítica. Modelos mais próximos da realidade podem

ser obtidos a partir de métodos que utilizem um conjunto de dados oriundo do

sistema real, dentre estes os modelos auto-regressivos merecem destaque. O

presente trabalho apresenta a modelagem de uma coluna de destilação piloto com

esta metodologia, destacando suas particularidades. Os modelos em questão são

capazes de fornecer representação linear discreta do sistema dinâmico. Os modelos

obtidos são validados com índices de desempenho e análise dos resíduos da

modelagem. Os resultados indicam o potencial da metodologia aplicada para

sistemas de porte industrial devido à fidelidade do sistema de aquisição de dados do

objeto de estudo. Como principal contribuição, a validação do modelo com dados de

outros quatro testes dinâmicos que não o utilizado para estimação dos parâmetros.

viii

ABSTRACT

The most of dynamic systems are non-linear and it has dynamic that is not fully

known, this way there is a distance between the real system and the generated from

analytical modeling. Models closer to reality can be obtained from methods that use a

set of data derived from real system, among these, auto-regressive can be

emphasized. This work presents a modeling of a pilot distillation column using this

methodology, highlighting its details. These models are able to provide linear discrete

representation of dynamic system. Models gotten are validated with performance

indexes and modeling residue analysis. Results indicate potential of the applied

methodology to industrial systems due to accuracy of data acquisition system of

object of research. Like main contribution, to validate the model with other four

dynamic tests different from the dynamic test used to parameters estimation.

ix

LISTA DE SIGLAS E ABREVIATURAS

AIC Akaike Information Criteria

CEFET- Campos Centro Federal de Educação Tecnológica de Campos o GL Grau Gay Lussac

DFI Device Fieldbus Interface

MIMO Multiple-Input and Multiple-Output

ARX Auto-Regressive with eXogenous input

ARIMA Auto-Regressive Integrated Moving Average

AR Auto-Regressive

OE Output Error

BJ Box-Jenkins

ARMAX Auto-Regressive Moving Average with eXogenous input

CC Continuous Current

MATLAB MATrix LABoratory

LABVIEW Laboratory Virtual Instrumentation Engineering Workbench

PRBS Pseudo Random Binary Signal

FF Foundation Fieldbus NARX Non linear Auto-Regressive with eXogenous input

NARMAX Non linear Auto-Regressive Moving Average with eXogenous

input

FPE Final Prediction Error

CCF Craquamento Catalítico em leito Fluidizado

MRSE Mean Regularizated Square Error

MSE Mean Square Error

MAE Mean Absolute Error

MAPE Mean Absolute Percentage Error

x

LISTA DE FIGURAS

Figura 1 - Esquemas com colunas A, B e C para os processos de destilação,

retificação e desidratação (Rasovsky, 1973)........................................................7

Figura 2 - Fracionador de pratos – coluna ou torre fracionadora (Rasovsky, 1973)...8

Figura 3 - Coluna de destilação piloto (Crespo, 2000). ..............................................9

Figura 4 - Coluna de destilação piloto instalada (Naegele, 2000). ...........................10

Figura 5 - Instrumentos interligados em rede fieldbus.............................................11

Figura 6 - Coluna de destilação piloto com a instrumentação atual. .......................12

Figura 7 - Trocadores de calor da coluna de destilação...........................................13

Figura 8 - Base da coluna de destilação. .................................................................13

Figura 9 - Ponto de alimentação da coluna de destilação........................................14

Figura 10 - Sistema de armazenamento da mistura binária. ....................................15

Figura 11 - Método dos mínimos quadrados. ...........................................................26

Figura 12 - Ciclo de identificação com auxílio computacional. Os retângulos são de

responsabilidade do computador e as elipses responsabilidade do usuário

(Adaptado de Ljung (1994)). ..............................................................................30

Figura 13 - Covariância cruzada das temperaturas nos estágios e a composição

(Zanata, 2005)....................................................................................................32

Figura 14 - Funções de correlação cruzada (a, b) entre a variável de saída e duas

variáveis candidatas a serem entradas, (c) entre (outras) duas variáveis

candidatas a serem entradas (Aguirre, 2000). ...................................................33

Figura 15 - Dados utilizados para a seleção das variáveis do modelo. ....................35

Figura 16 - Correlação cruzada entre a vazão e a temperatura no topo. .................36

Figura 17 - Correlação cruzada entre a temperatura na base e a temperatura no

topo. ...................................................................................................................36

Figura 18 - Correlação cruzada entre a pressão no topo e a temperatura no topo. .37

Figura 19 - Correlação cruzada entre o nível da base e a temperatura no topo. .....37

Figura 20 - Correlação cruzada entre a vazão e a temperatura da base. ................38

Figura 21 - Correlação cruzada entre a pressão e a vazão......................................39

Figura 22 - Correlação cruzada entre a temperatura da base e a pressão. .............39

Figura 23 - Sinal aplicado na entrada do sistema para realizar a identificação linear,

variável vazão de gás (Dallagnol, 2005). ...........................................................41

xi

Figura 24 - Estímulo na forma de degrau positivo na vazão de produto da coluna de

destilação, para o primeiro teste dinâmico. ........................................................42

Figura 25 - Resposta da variável de saída (composição) a uma perturbação na

variável de entrada do sistema. Resposta com menor constante de tempo

(Zanata, 2005)....................................................................................................44

Figura 26 - Dados adequados para a nova taxa de amostragem.............................50

Figura 27 - Conjunto de estimação. .........................................................................56

Figura 28 - Primeiro conjunto de validação. .............................................................56

Figura 29 - Dados do segundo teste dinâmico utilizado para validação...................57

Figura 30 - Dados do terceiro teste dinâmico utilizado para validação.....................58

Figura 31 - Dados do quarto teste dinâmico utilizado para validação. .....................58

Figura 32 - Dados do quinto teste dinâmico utilizado para validação.......................59

Figura 33 - Valores do AIC calculado através das iterações da rotina. (Carvalho e

Guillermo, 2007).................................................................................................60

Figura 34 - Curva do AIC calculado através das iterações da rotina atual. ..............61

Figura 35 - Saída do modelo comparada com a saída do sistema, para o primeiro

conjunto de validação.........................................................................................64

Figura 36 - Saída do modelo comparada com a saída do sistema, para o segundo


Figura 37 - Saída do modelo comparada com a saída do sistema, para o terceiro


Figura 38 - Saída do modelo comparada com a saída do sistema, para o quarto


Figura 39 - Saída do modelo comparada com a saída do sistema, para o quinto










xii













Figura 50 - MSE calculado para o erro de predição de k passos à frente para o

primeiro conjunto de validação...........................................................................79

Figura 51 - Comparação entre saída do modelo e saída do sistema para a predição

de 20 passos à frente para o primeiro conjunto de validação. ...........................79


segundo conjunto de validação..........................................................................80


de 20 passos à frente para o segundo conjunto de validação. ..........................80


terceiro conjunto de validação............................................................................81


de 20 passos à frente para o terceiro conjunto de validação. ............................81


quarto conjunto de validação. ............................................................................82


de 20 passos à frente para o quarto conjunto de validação. ..............................82


quinto conjunto de validação..............................................................................83


de 20 passos à frente para o quinto conjunto de validação. ..............................83

Figura 60 - Autocorrelação dos resíduos para o conjunto de estimação..................84

xiii

Figura 61 - Correlação cruzada entre os resíduos e a entrada para o conjunto de

estimação...........................................................................................................85

Figura 62 - Autocorrelação dos resíduos para o primeiro conjunto de validação. ....85

Figura 63 - Correlação cruzada entre os resíduos e a entrada para o primeiro


Figura 64 - Autocorrelação dos resíduos para o segundo conjunto de validação. ...86

Figura 65 - Correlação cruzada entre os resíduos e a entrada para o segundo


Figura 66 - Autocorrelação dos resíduos para o terceiro conjunto de validação. .....87

Figura 67 - Correlação cruzada entre os resíduos e a entrada para o terceiro


Figura 68 - Autocorrelação dos resíduos para o quarto conjunto de validação........88

Figura 69 - Correlação cruzada entre os resíduos e a entrada para o quarto conjunto

de validação. ......................................................................................................89

Figura 70 - Autocorrelação dos resíduos para o quinto conjunto de validação. .......89

Figura 71 - Correlação cruzada entre os resíduos e a entrada para o quinto conjunto

de validação. ......................................................................................................90

Figura 72 - Autocorrelação dos resíduos para o conjunto de estimação..................91

Figura 73 - Correlação cruzada entre os resíduos e a entrada para o conjunto de

estimação...........................................................................................................91

Figura 74 - Autocorrelação dos resíduos para o primeiro conjunto de validação. ....92

Figura 75 - Correlação cruzada entre os resíduos e a entrada para o primeiro


Figura 76 - Autocorrelação dos resíduos para o segundo conjunto de validação. ...93

Figura 77 - Correlação cruzada entre os resíduos e a entrada para o segundo


Figura 78 - Autocorrelação dos resíduos para o terceiro conjunto de validação. .....94

Figura 79 - Correlação cruzada entre os resíduos e a entrada para o terceiro


Figura 80 - Autocorrelação dos resíduos para o quarto conjunto de validação........95

Figura 81 - Correlação cruzada entre os resíduos e a entrada para o quarto conjunto

de validação. ......................................................................................................95

Figura 82 - Autocorrelação dos resíduos para o quinto conjunto de validação. .......96

xiv

Figura 83 - Correlação cruzada entre os resíduos e a entrada para o quinto conjunto

de validação. ......................................................................................................96

xv

LISTA DE TABELAS

Tabela 1 - Tabela de polinômios retirados do modelo geral......................................23

Tabela 2 - Tabela que relaciona os modelos ao tipo de situação a qual devem ser

utilizados. ...........................................................................................................46

Tabela 3 – Valores calculados do AIC para modelos ARX de diferentes ordens. .....62

Tabela 4 - Índices calculados para os cinco conjuntos de validação referente ao

modelo obtido com o AIC. ..................................................................................67


primeiro modelo obtido com a validação cruzada. .............................................71


segundo modelo obtido com a validação cruzada..............................................74

Tabela 7 - Coeficientes estimados para o modelo ARX [20 20 0]. ............................75

Tabela 8 - Coeficientes estimados para o modelo ARX [16 15 15]. ..........................76

Tabela 9- Coeficientes estimados para o modelo ARX [6 12 12]. .............................77

Tabela 10 - MSE calculado para o erro de predição de k passos à frente do modelo

ARX [6 12 12] para os cinco conjuntos de validação. ........................................78

xvi

SUMÁRIO

AGRADECIMENTOS.................................................................................................vi RESUMO...................................................................................................................vii ABSTRACT..............................................................................................................viii LISTA DE SIGLAS E ABREVIATURAS....................................................................ix

LISTA DE FIGURAS...................................................................................................x

LISTA DE TABELAS ................................................................................................xv

CAPÍTULO I ................................................................................................................1

INTRODUÇÃO ............................................................................................................1

1.1- APRESENTAÇÃO ............................................................................................1

1.2- MOTIVAÇÃO ....................................................................................................2

1.3- OBJETIVO........................................................................................................3

1.4- ORGANIZAÇÃO ...............................................................................................4

CAPÍTULO II ...............................................................................................................6

DESTILAÇÃO: UM BREVE HISTÓRICO ...................................................................6

2.1- COLUNAS DE DESTILAÇÃO...........................................................................6

2.2 – OBJETO DE ESTUDO....................................................................................9

2.3 – CARACTERÍSTICAS FÍSICAS .....................................................................11

2.4 – O PROCESSO DE OBTENÇÃO DE ÁLCOOL HIDRATADO NA COLUNA

PILOTO..................................................................................................................15

2.5 – ALGUNS PROBLEMAS DO SISTEMA.........................................................16

2.6 – MODELAGEM DE COLUNAS DE DESTILAÇÃO.........................................17

CAPÍTULO III ............................................................................................................21

FERRAMENTAL TEÓRICO......................................................................................21

3.1- MODELOS AUTO-REGRESSIVOS................................................................21

3.1.1- ESTADO DA ARTE DA APLICAÇÃO DE MODELOS AUTO-

REGRESSIVOS .................................................................................................24

3.2- ESTIMAÇÃO DE PARÂMETROS...................................................................25

3.2.1- MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS................................................26

CAPÍTULO IV............................................................................................................29

METODOLOGIA .......................................................................................................29

4.1- INTRODUÇÃO................................................................................................29

xvii

4.2 – ESCOLHA DAS VARIÁVEIS DO MODELO..................................................30

4.3 – ESCOLHA DOS ESTÍMULOS DE ENTRADA ..............................................40

4.4 – ESCOLHA DO PERÍODO DE AMOSTRAGEM ............................................42

4.5 – SELEÇÃO DA ESTRUTURA DO MODELO .................................................45

4.6 – SELEÇÃO DA ORDEM DO MODELO..........................................................46

4.7 – ESTIMAÇÃO E VALIDAÇÃO........................................................................47

4.8 – ÍNDICES DE DESEMPENHO.......................................................................51

4.9 – ANÁLISE DE RESÍDUOS .............................................................................53

CAPÍTULO V.............................................................................................................55

RESULTADOS..........................................................................................................55

5.1- DADOS UTILIZADOS.....................................................................................55

5.2- MÉTODOS DE SELEÇÃO DA ORDEM DO MODELO...................................59

5.3- RESULTADOS GRÁFICOS E NUMÉRICOS DOS MODELOS OBTIDOS.....63

5.4- COEFICIENTES ESTIMADOS DOS MODELOS OBTIDOS...........................74

5.5- RESULTADOS DOS MODELOS VARIANDO O HORIZONTE DE PREDIÇÃO

...............................................................................................................................77

5.6- RESULTADOS DA ANÁLISE DOS RESÍDUOS.............................................84

CAPÍTULO VI............................................................................................................98

CONCLUSÃO ...........................................................................................................98

REFERÊNCIAS.......................................................................................................100

1

CAPÍTULO I

INTRODUÇÃO

1.1- APRESENTAÇÃO

O problema abordado neste trabalho decorre da dificuldade ao se modelar

sistemas dinâmicos1 e não lineares para otimizá-los, haja vista que estes não

possuem explicitadas as relações entre suas variáveis e as não linearidades destas

relações.

Os sistemas dinâmicos encontrados na prática são, em última análise, não

lineares. É bem verdade que em alguns casos aproximações lineares são suficientes

para aplicações práticas (Aguirre, 2000).

Sistemas dinâmicos estão presentes na maioria dos processos de

transformação, onde as variáveis que influenciam na qualidade do produto final são

contínuas. Dentre as quais se destacam: temperatura, vazão, nível e pressão. As

indústrias petroquímicas, álcool, celulose e de cimento se enquadram nesta classe.

Nestas indústrias, cuja produção é contínua, e que possuem como essência a

separação de componentes da matéria-prima, a destilação é um processo de

predominância. Sobretudo nas indústrias petroquímica e do álcool é o principal

processo de transformação de matéria prima em produto final.

Colunas de destilação ou torres de destilação estão presentes em grande

número nas usinas de produção de álcool e também em refinarias de petróleo, e

unidades de processamento de gás-natural. Estes processos industriais são

perfeitos exemplos de sistemas dinâmicos, multivariáveis e de comportamento não

linear.

Na indústria é comum que a matéria prima seja destilada inicialmente em uma

coluna A (fracionadora) obtendo assim uma gama de derivados. Alguns destes por

sua vez seguem para uma coluna B (retificadora) para a extração de derivados de

1 Sistemas dinâmicos são sistemas cujas variáveis possuem determinado comportamento que sofre influência do fator tempo.

2

maior valor agregado. Este procedimento está presente tanto na indústria do

petróleo quanto na do álcool.

As colunas de destilação industriais são sistemas dinâmicos, multivariáveis, e

não lineares; a coluna de destilação existente no CEFET-Campos é um exemplo.

Esses sistemas para serem otimizados primeiro devem ser modelados. O problema

está, então, em encontrar uma classe de modelos para representá-los.

Carvalho, et al. (2004) utilizaram redes neurais artificiais do tipo MLP (Multi

Layer Perceptron) para modelar a coluna de destilação do CEFET-Campos. Os

dados utilizados foram registrados por uma placa de aquisição de dados do tipo CIO-

DAS08/jr-AO, com resolução de 12 bits. As variáveis com dados disponíveis são a

vazão de alimentação e a temperatura de topo, únicas possíveis de mensuração. A

rede neural MLP contém três entradas: vazão no instante atual, vazão no instante

anterior, temperatura no instante anterior. A variável de saída selecionada foi a

temperatura de topo no instante atual. Os resultados do trabalho foram registrados

apenas de forma gráfica, comparando a saída do modelo com a saída observada do

sistema.

A proposta deste trabalho é utilizar modelos auto-regressivos para modelar a

relação entre as principais variáveis da coluna de destilação: vazão de alimentação,

temperatura da base, nível da base, temperatura de topo e pressão no topo, levando

em consideração as restrições construtivas do equipamento e do sistema de

medição.

Os modelos auto-regressivos possuem vasto histórico de aplicações na

modelagem de sistemas industriais e de séries temporais.

1.2- MOTIVAÇÃO

Pesquisa operacional é o nome dado a um conjunto de modelos e algoritmos

destinados a determinar o melhor curso das ações que visam garantir o

funcionamento ótimo de sistemas, sob restrições de recursos escassos (Paula

Junior, 1998).

Neste processo de busca pelo “ótimo”, a pesquisa operacional passa a ser um

método com duas etapas bem distintas, a modelagem do sistema como um

3

problema de otimização ou modelo de programação matemática, e a resolução

deste modelo através de algum algoritmo.

A modelagem dos sistemas ou processos que serão otimizados é um misto

de arte e ciência; sua fundamentação é matemática, mas a visão do sistema varia de

modelador para modelador, em suma, pode-se obter modelagens diferentes para o

mesmo problema, e ambas estarem corretas.

Modelagem caixa branca é também conhecida como modelagem pela física

ou modelagem conceitual. Contudo, devido ao conhecimento e tempo necessário

para modelar um sistema partindo do equacionamento dos fenômenos envolvidos,

nem sempre é viável seguir este procedimento (Aguirre, 2000).

Sistemas não lineares possuem descontinuidades, ou seja, diferentes

relações entre as mesmas variáveis tratadas, à medida que se caminha pelas

diferentes partes do domínio.

Os modelos auto-regressivos podem ser ajustados aos dados amostrados de

um sistema industrial, com o intuito de fornecer a representação matemática

necessária para o objetivo do pesquisador.

Tanto a otimização de colunas de destilação quanto o controle das variáveis

de processo são de grande interesse do ponto de vista da produtividade.

Considerando que as duas áreas trabalham em conjunto, os valores operacionais

ideais para as variáveis de processo podem ser obtidos por ferramentas de pesquisa

operacional e a garantia da manutenção destas variáveis nos valores ideais é

fornecido pela teoria de controle.

Nos dois casos a necessidade de modelagem do sistema em estudo é de

primeira necessidade. A técnica proposta constitui-se como ferramenta para

profissionais que necessitam modelar sistemas de natureza dinâmica, considerando

o fato de que para tanto, não necessitam de modelo fenomenológico, mas sim um

conjunto de dados representativos do comportamento deste.

1.3- OBJETIVO

O objetivo principal deste trabalho é a modelagem da coluna de destilação do

CEFET-Campos, suprindo a ausência de modelo matemático que reproduza seu

comportamento dinâmico.

Como objetivos intermediários podem-se destacar:

4

Domínio de ferramental teórico necessário, acerca dos modelos auto-

regressivos, estes selecionados para representar a coluna de destilação;

Documentação dos resultados dos modelos aplicados;

O objetivo do trabalho não é encontrar a solução ótima para o problema de

produção alcoólica da coluna de destilação, mas sim, obtenção de um modelo

matemático que possa ser utilizado adiante para este e outros fins.

1.4- ORGANIZAÇÃO

A dissertação está organizada da seguinte forma:

Capitulo I – Introdução

Esse capítulo fornece uma introdução a respeito dos assuntos que serão

abordados ao longo da monografia, descrevendo de forma sucinta os objetivos, a

motivação e como estão organizados os capítulos.

Capítulo II – Destilação

O segundo capítulo trata de questões relativas ao problema abordado, ou

seja, o processo de destilação e a modelagem de colunas de destilação. Um breve

histórico, técnicas utilizadas para a modelagem e descrição do objeto de estudo.

Capítulo III – Ferramental Teórico

No terceiro capítulo, são apresentados conceitos relativos aos modelos auto-

regressivos, classe de modelos escolhida para representar matematicamente o

sistema. Este capítulo contém explanação sobre os pontos mais importantes de tal

paradigma e também o estado-da-arte.

Neste capítulo, é apresentada também a fundamentação do método dos

estimadores mínimos quadrados. É também exposto o método quando aplicado ao

problema de estimação dos coeficientes do modelo auto-regressivo.

5

Capítulo IV – Metodologia

A partir do ferramental teórico apresentado nos capítulos anteriores,

desenvolve-se neste a metodologia utilizada para aplicação do ferramental teórico

aos dados do problema real. Os artifícios e detalhes técnicos são apresentados e os

critérios utilizados nas etapas da metodologia para obtenção do modelo.

Capítulo V – Resultados Obtidos

Neste capítulo são apresentados os resultados obtidos por meio da aplicação

da metodologia. O desempenho do modelo ajustado será verificado por índices de

desempenho e seus resultados serão sumariados em tabelas e a aderência da

predição do modelo aos dados observados do sistema será contemplada de forma

gráfica. Os resíduos do modelo serão analisados.

Capítulo VI – Conclusões e Recomendações

O último capítulo apresenta as conclusões em relação ao trabalho

desenvolvido. Sugestões de trabalhos futuros também são apresentadas.

6

CAPÍTULO II

DESTILAÇÃO: UM BREVE HISTÓRICO

2.1- COLUNAS DE DESTILAÇÃO

Os processos de separação de diversos líquidos tem origem no século II da

era cristã, quando, no Egito, Zozime e Hermes foram considerados os mestres na

arte da destilação. Dos séculos VII ao XII, os árabes dedicam-se ao processo de

destilação nos chamados alambiques. A partir do século XVI o avanço foi maior e no

século passado (XIX) conseguiram desenvolver o alambique e chegar ao ponto de

partida dos equipamentos de destilação (colunas) que produzem álcool de forma

contínua (Rasovsky, 1973).

Para prosseguir no entendimento do processo de destilação e suas

particularidades faz-se necessário definir a destilação.

O princípio da destilação consta do fenômeno de fracionamento dos líquidos,

onde os mais voláteis, com pontos de ebulição mais baixos separam-se em primeiro

lugar, seguidos pelos outros componentes em seqüência correspondente às suas

respectivas volatilidades (Rasovsky, 1973).

O processo de destilação tem por objetivo a separação de componentes de

uma fase líquida através de sua vaporização parcial. Estes vapores oriundos da

vaporização são ricos de componentes mais voláteis do que o líquido, o que permite

a separação (Gomide, 1988).

As colunas de destilação são os mais importantes equipamentos para a

separação de uma mistura de líquidos miscíveis em seus componentes na indústria

química e petroquímica. Esta separação é realizada aproveitando-se o fato de os

elementos constituintes da mistura terem diferentes temperaturas de ebulição. Assim

através do fornecimento de calor à mistura consegue-se preferencialmente vaporizar

as substâncias mais voláteis, que são condensadas no topo da coluna, enquanto as

menos voláteis tendem a permanecer na fase líquida do fundo da coluna (Campos e

Teixeira, 2006).

As operações de destilação em geral baseiam-se no mesmo princípio, porém,

difere entre si, principalmente pelo tipo de equipamento usado.

7

De todos os processos, é na destilação fracionada que se obtém um maior

enriquecimento do vapor produzido, isto acontece em um equipamento chamado de

coluna ou torre de fracionamento2. Esta coluna é composta por pratos ou bandejas

horizontais perfuradas.

Na Figura 1 podem ser visualizados os três tipos de colunas utilizadas na

destilação do álcool.

Figura 1 - Esquemas com colunas A, B e C para os processos de destilação, retificação e

desidratação (Rasovsky, 1973).

Ao ser aquecido no refervedor3 o vapor sobe pela coluna em contra-fluxo à

mistura que desce pela mesma, através da vazão de refluxo. O refluxo estabelece,

portanto uma corrente líquida que desce de prato em prato na coluna (Gomide,

1988).

Na Figura 2 é apresentada o fracionador de pratos, uma representação

gráfica para uma coluna de destilação contendo refluxo e refervedor.

2 Equipamento industrial capaz de separar por vaporização componentes de uma mistura. 3 Trocador de calor situado na base da torre com a finalidade aquecer a mistura.

8

Figura 2 - Fracionador de pratos – coluna ou torre fracionadora (Rasovsky, 1973).

O álcool produzido do vinho (oriundo do processo de fermentação do caldo da

cana de açúcar) considerado um sistema multicomponente, é obtido usando-se as

colunas de fracionamento. De acordo com sua graduação alcoólica dividem-se em

álcool bruto ou fraco ( 52 a 92 o GL), álcool retificado ou hidratado (94 a 96 o GL) e

álcool anidro ou absoluto (99,95 o GL).

O álcool fraco é produzido em uma primeira coluna de fracionamento (coluna

A); este é retificado em uma segunda coluna (coluna B) e finalmente para o

processo de obtenção do álcool anidro (coluna C), que usa um terceiro agente

chamado de arrastador4 ou outro elemento apropriado, eliminando-se do álcool

retificado a parcela d’água nele contida que não se consegue separar mais pelo

fracionamento (Rasovsky, 1973).

4 Tipo de equipamento utilizado para realizar destilação por arraste.

9

2.2 – OBJETO DE ESTUDO

A partir de um sistema real instalado no laboratório de pesquisa e automação

do CEFET-Campos, podem-se coletar dados das variáveis: temperatura, pressão

vazão e nível de uma coluna de destilação piloto, e a partir deles ajustar uma classe

de modelos paramétricos que reproduza de maneira satisfatória o comportamento do

sistema real.

Visando o desenvolvimento de pesquisa e aprimoramento no processo de

destilação, o professor Luiz Paulo Miranda Vaillant, do curso de Química da então

Escola Técnica Federal de Campos, hoje CEFET-Campos, projetou uma coluna de

destilação para fins didáticos. Em 1989, como resultado de um intercâmbio entre a

Refinaria Nacional de Sal – Sal Cisne – localizada em Cabo Frio – RJ e a instituição,

o curso técnico de Instrumentação recebeu como doação a coluna de destilação

(Crespo, 2000).

De um modo geral as destilações na prática industrial envolvem misturas

multicomponentes, porém a compreensão dos princípios da destilação de misturas

binárias é particularmente importante, pois ela constitui a base de operações mais

complexas (Gomide, 1988).

Para efeito didático usa-se neste trabalho uma mistura binária composta por

água e etanol comercial (álcool hidratado) a uma graduação em torno de 6 a 10o GL.

A coluna de destilação, em questão neste trabalho, é composta das colunas A

e B sobrepostas, diferenciando-a das destilarias industriais convencionais (Figura 3).

Figura 3 - Coluna de destilação piloto (Crespo, 2000).

10

Diferente dos sistemas industriais a coluna de destilação em questão não

apresenta subsistemas como referverdor e refluxo de topo5. A fonte térmica é uma

resistência elétrica de 1000W, alojada no interior da base da coluna. Todo o

destilado obtido se condensa e é coletado em uma proveta, portanto a temperatura

de topo é controlada totalmente através da vazão na entrada, uma vez que a

resistência elétrica não varia.

Na Figura 4 é apresentada a coluna de destilação piloto instalada e com a

sua instrumentação.

Figura 4 - Coluna de destilação piloto instalada (Naegele, 2000).

Como forma de reproduzir em laboratório o ambiente encontrado na indústria,

a coluna de destilação possui um sistema de aquisição de dados de porte industrial.

Os instrumentos de medição das variáveis do processo são interligados em uma

rede Foundation Fieldbus6 - vide Figura 5. Através de uma DFI (Device Fieldbus

Interface) a rede de instrumentos se integra a uma rede ponto-a-ponto com o

computador, onde são disponibilizadas as informações oriundas do processo e estas

podem ser monitoradas e modificadas através do Syscon®7.

5 Retorno de parte do produto destilado, para favorecer a produção de álcool e controlar a temperatura. 6 Sistema de comunicação de instrumentos em rede, aplicação industrial. 7 Software de configuração da rede fieldbus.

11

Figura 5 - Instrumentos interligados em rede fieldbus.

Através de uma integração entre os seguintes softwares: Syscon®, OPC link®

e InTouch 6.0®8, um programa foi criado para registrar os valores numéricos das

variáveis ao longo do tempo em arquivo texto. Este arquivo é manipulado

posteriormente para que seja montada a matriz de dados para formar os conjuntos

de estimação e validação utilizados na modelagem.

Existem duas diferenças importantes entre, a coluna didática e uma coluna

industria: a primeira está no sistema de aquecimento da mistura. Em colunas

industriais o aquecimento faz-se em um equipamento chamado de refervedor, cuja

função é vaporizar a mistura oriunda do fundo da coluna através de transferência de

calor, realizada por vapor de água que passa através dos tubos. O aquecimento da

mistura é realizado no interior da base, através de uma resistência elétrica de aço

inoxidável e potência máxima de 1000 W sob uma tensão de 127 V;

A segunda está no sistema de retorno do destilado à coluna, chamado de

refluxo, cuja finalidade é enriquecer a composição do destilado de forma a obter-se

um álcool entre 92 a 96º GL. A coluna didática também não dispõe deste sistema.

2.3 – CARACTERÍSTICAS FÍSICAS

A coluna de destilação é constituída de 5 gomos de 150 mm de altura e 150

mm de diâmetro cada e 10 pratos perfurados sem calotas, funcionando como

coluna de destilação e uma coluna de retificação, sobreposta à primeira, com 5 8 Software de supervisão de plantas de processo na indústria, propriedade da Invensys Systems, Inc.

12

gomos de 80 mm de altura e 150 mm de diâmetro cada e 10 pratos perfurados sem

calotas, funcionando como coluna de retificação e uma base, também chamada de

panela, com 200 mm de altura, perfazendo 1370 mm de altura total e 150 mm de

diâmetro, trocadores de calor, instrumentos industriais para a medição e atuação do

processo, tubulações, tanques de preparação e armazenamento da mistura binária e

sistema digital de aquisição de dados. O sistema de instrumentação atual, instalado

na coluna de destilação pode ser visto na Figura 6.

Figura 6 - Coluna de destilação piloto com a instrumentação atual.

Os trocadores de calor tipo “casco e tubo”, projetados e construídos em aço

inoxidável 316, possuem, cada um, 300 mm de comprimento e 60 mm de diâmetro

do casco e 6 mm de diâmetro do tubo, foram projetados para serem utilizados como

aquecedores da mistura que será destilada e como condensadores dos vapores

alcoólicos que saem do topo da torre e podem ser vistos na Figura 7.

13

Figura 7 - Trocadores de calor da coluna de destilação.

As conexões, tanto da torre quanto dos trocadores de calor, são de ¼ de

polegada. Por esse motivo, o diâmetro de ¼ de polegada foi adotado como medida

padrão de todas as tubulações metálicas. A base da coluna de destilação é onde ser

deposita a mistura a ser destilada – vide Figura 8.

Figura 8 - Base da coluna de destilação.

14

Na Figura 9 é mostrado o ponto de alimentação da coluna de destilação, e

sua válvula de controle de vazão.

Figura 9 - Ponto de alimentação da coluna de destilação.

O sistema de aquecimento da mistura é feito na base da coluna através de

uma resistência de 1000W de potência (2X500W) em 127V de tensão alternada. A

resistência foi fabricada em aço inoxidável para evitar a corrosão devido à presença

de álcool na mistura e da temperatura de uso.

Para a preparação e armazenamento de mistura foram utilizadas bombonas

plásticas de 50 litros cada – vide Figura 10. São interligadas duas a duas através de

tubos e conexões plásticas, e a graduação alcoólica desejada obtida através do

acréscimo de água ou álcool na mistura. Ao lado da parte inferior de uma delas foi

instalada uma bomba elétrica de corpo plástico, similar às utilizadas em máquinas de

lavar roupas, com a função de transferir toda a mistura para o tanque de

armazenamento da mistura, construído da mesma forma que o outro. Este tanque foi

instalado num suporte em madeira e com uma altura de 800 mm acima do ponto de

alimentação, de forma a permitir o fluxo da mistura por gravidade do tanque para

coluna.

15

Figura 10 - Sistema de armazenamento da mistura binária.

O processo de destilação possui dois circuitos líquidos distintos: um

constituído de mistura hidroalcoólica, tanto com graduação baixa (no caso da

mistura e do refugo) como graduação alta (no caso do destilado) e outro de água

para refrigeração. Desta forma, utilizou-se tubos e conexões em aço inoxidável para

o primeiro caso, principalmente devido ao alto poder de corrosão e da temperatura

do álcool, e tubos e conexões de cobre, para o segundo caso.

2.4 – O PROCESSO DE OBTENÇÃO DE ÁLCOOL HIDRATADO NA COLUNA PILOTO

O processo de obtenção de álcool hidratado na coluna de destilação pode ser

descrito da seguinte forma:

a) A mistura binária a ser destilada é produzida no tanque de preparo de

mistura, com percentual de álcool que se deseja obter. Tal percentual é medido

através de análise química da mistura;

b) A mistura é bombeada para os tanques de armazenamento de mistura

binária;

c) A mistura é então enviada para coluna através de uma tubulação. Os

tanques de armazenamento estão instalados numa plataforma 800 mm acima do

ponto de entrada na coluna. Portanto, a entrada da mistura é feita por gravidade.

16

Antes de ser admitida na coluna, porém, a mistura é aquecida nos tubos internos de

dois pré-aquecedores, que recebem o refugo que será descartado. Esse refugo, na

mesma temperatura da base, funciona como meio quente no processo. A mistura

passa pelo medidor magnético de vazão;

d) A mistura pré-aquecida entra na coluna através da entrada do prato

número 10, equivalente ao topo da coluna de destilação. Neste instante inicia-se o

processo da destilação, pois na base da torre está instalada a resistência elétrica

para gerar calor e permitir que a temperatura na base fique em torno de 99 ºC. Dois

fluxos internos são estabelecidos: um, partindo da base da coluna em forma de

vapores que vão sendo enriquecidos na medida em que ascendem até o topo e

outro em forma de líquido que, iniciado no topo, devido à temperatura do topo não

ser suficiente para a vaporização do componente água, desce tornando-se cada vez

mais pobre do componente álcool e aumentando o ponto de ebulição, até que chega

à base, praticamente isenta de álcool.

O álcool inicialmente destilado na coluna de destilação é desidratado na

coluna de retificação, saindo sob forma de vapor rico em álcool no topo, este é

enviado através da tubulação ao condensador. Esse condensador recebe no casco,

em contra-fluxo, água na temperatura ambiente. Dessa forma, o álcool é

condensado e enviado ao recipiente de destilado.

O nível desejado para a base da coluna é de 75% da faixa de medição, sendo

de grande importância este controle que objetiva evitar que a resistência elétrica

fique fora do meio líquido, o que provocaria seu rompimento. O valor desejado

descoberto empiricamente para a temperatura de topo é de 78 ºC.

2.5 – ALGUNS PROBLEMAS DO SISTEMA

Segundo Crespo (2000):

a) A pressão no topo da coluna foi extremamente crítica quanto à

regularidade.

Observou-se uma variação muito rápida, de uma pressão relativa positiva de

200 mm H2O a uma pressão relativa negativa em torno de 80 mm H2O. Este fato foi

resultante das interrupções da fonte térmica, que causaram a condensação do álcool

em forma de vapor no último prato (topo da torre, prato número 20), fazendo-o

descer para os pratos anteriores e conseqüentemente causando vácuo;

17

b) A vazão de entrada, por conseguinte, variou de acordo com a pressão

interna da coluna, visto que a alimentação foi feita por gravidade;

c) A temperatura na base da coluna manteve-se num valor abaixo de 99,5 ºC

durante a fase em que a temperatura da vazão de entrada equilibrou-se num valor

em torno de 55 ºC. Isso é explicável pela mistura ter entrado no processo já

aquecida.

Assim, o refervedor e o refluxo são de grande importância na destilação em

processos contínuos. O primeiro, responsável pela maior capacidade volumétrica da

mistura na base, permitindo um tempo maior de vaporização do álcool, resultando

em um rendimento maior e em um menor teor de álcool no refugo.

O segundo, responsável pelo aumento da concentração do álcool e pela

regularidade da temperatura no topo da coluna.

Os problemas acima mencionados foram solucionados durante a pesquisa de

Crespo (2000). Quanto ao item C, a injeção da mistura passou a ser feita em

temperatura ambiente.

2.6 – MODELAGEM DE COLUNAS DE DESTILAÇÃO

O modelo matemático de um sistema é definido como um conjunto de

equações usado para representar o sistema físico (Phillips e Harbor, 19969, apud

Crespo, 2000).

Do ponto de vista da Engenharia de Controle, define-se modelagem como:

A atividade de representação dos principais fenômenos que ocorrem no

processo, por equações e correlações entre suas variáveis mais significativas e que

tenham um papel importante nos projetos de suas malhas de controle (Valdman,

199910, apud Crespo, 2000).

A modelagem fenomenológica usa leis físicas e correlações para descrever o

sistema. Um processo pode ser caracterizado por suas variáveis de estado que

descrevem a quantidade de massa, energia e momento linear do sistema. As

variáveis típicas que são escolhidas são: posições e velocidades (sistemas

mecânicos), tensões e correntes (sistemas elétricos), níveis e vazões (sistemas 9 Phillips, C. L., Harbor, R. D. (1996) Sistemas de controle e Realimentação. São Paulo: Makron Books, 558p. 10 Valdman, B. (1999) Dinâmica e Controle de Processos. 1. ed. Santiago: Belkis valdman, 216p.

18

hidráulicos), e temperaturas, pressões e concentrações (sistemas químicos, térmicos

e de reações). A relação entre os estados é determinada usando-se balanços

(princípios de conservação) de momento linear, massa, energia e também outras

equações constitutivas (correlações) (Seborg e Mellichamp, 198911, apud Campos e

Teixeira, 2006).

Como alternativa para modelagem de sistemas sem a exigência da

modelagem analítica, surge a identificação de sistemas.

A identificação de sistemas se propõe a obter um modelo matemático que

explique, pelo menos em parte e de forma aproximada, a relação de causa e efeito

presente nos dados (Aguirre, 2000).

Em linhas gerais existem duas metodologias para a identificação de modelos

em sistemas físicos e químicos.

1-Metodologia Empírica Conhecida como identificação experimental de

processos, consiste em submeter à entrada do processo a uma perturbação de um

dos tipos:

a) degrau12

b) pulso13

c) senoidal14

analisar as respostas ao teste escolhido, determinando as equações e correlações

do modelo.

2-Metodologia Analítica É baseada no levantamento de equações

diferenciais e algébricas que compõem o modelo, é fundamentada nas leis da física,

química e físico-química. Esta metodologia analítica também é denominada de

modelo matemático ou fenomenológico do sistema.

Segundo Campos e Teixeira (2006), a identificação do processo inclui os

seguintes passos:

Planejamento e execução experimental;

Seleção da estrutura do modelo (linear ou não);

Estimação dos parâmetros do modelo e

Validação do modelo.

11 Seborg, Melichamp (1989) Process Dynamics and Control, Wiley. 12 Variação de amplitude de um sinal entre patamares e de forma abrupta. 13 Variação de amplitude de um sinal partindo de um patamar, alcançando outro e retornando de forma imediata. 14 Variação de amplitude de um sinal descrevendo trajetória semelhante a do gráfico da função seno.

19

Aguirre (2000) é mais completo e apresenta a identificação de sistemas com

mais uma etapa:

Testes dinâmicos e coleta de dados;

Escolha da representação matemática;

Determinação da estrutura do modelo;

Estimação dos parâmetros e

Validação do modelo.

Sistemas e colunas de destilação são foco de pesquisas na área de

modelagem e identificação de sistemas. A motivação vem do fato de serem sistemas

multivariáveis e não lineares, o que requisita do modelador capacidade técnica e

metodologia aprimorada.

Hovd, et al. (1997) projetam e desenvolvem uma estratégia de controle

preditivo baseada em modelo para uma coluna de destilação a vácuo. Para a

modelagem escolhem uma representação no espaço de estados, considerado semi-

rigoroso, pois as restrições do sistema real inviabilizam uma modelagem mais

rigorosa, sobretudo pela gama variável de produtos produzidos pela unidade de

refino.

Schneider, et al. (2001) realizam a modelagem dinâmica e simulação de uma

coluna de destilação reativa de lotes. As relações dinâmicas das equações de

transporte foram modeladas através de equações diferenciais, e incluem a

transferência de massa, calor e da reação química. Foram utilizados para validação

do modelo dados de uma coluna de destilação piloto.

Doma, et al. (2001) utilizam uma metodologia de modelagem em malha

fechada, ou seja, a dinâmica do sistema é modelada enquanto o mesmo é

controlado. As vantagens são significativas uma vez que a perturbação na forma de

degrau em malha aberta leva o sistema a condições operacionais improdutivas. O

modelo identificado é do tipo MIMO (Multiple-Input and Multiple-Output), e foi

utilizado como base para um controlador preditivo para controle de uma coluna de

destilação de uma refinaria de petróleo.

Belincanta (2004) realizou testes dinâmicos em uma coluna de destilação do

tipo etanol-água com o objetivo de modelar as relações existentes entre velocidade

superficial do vapor, a fração de área livre do escoamento e a concentração de

etanol nas condições hidrodinâmicas e de eficiência do prato. Seus resultados

demonstram que a velocidade superficial é muito influenciada pela fração de área

20

livre do escoamento e apresenta uma correlação empírica para a predição da altura

da dispersão em função das propriedades físicas e operacionais da planta.

Moraes (2004) apresenta uma abordagem com modelos auto-regressivos

lineares com variáveis exógenas (ARX) para modelar os diversos subsistemas de

uma unidade de fracionamento de Nafta, que grosso modo, nada mais é que uma

coluna de destilação.

Marangoni (2005) estudou o comportamento de uma coluna de destilação e

realizou testes dinâmicos para levantamento do modelo em regime estacionário da

planta. A partir de uma perturbação na composição da mistura de alimentação da

planta, foram calculados os parâmetros de funções de transferência contínuas para

sistema de primeira ordem com tempo morto. A partir destes modelos uma

estratégia de controle distribuída foi implementada e seus resultados expostos.

Zanata (2005) realizou testes dinâmicos em uma coluna de destilação de

petróleo para obtenção de um modelo dinâmico que relacionasse temperatura nos

pratos com a composição do produto de topo da coluna. O modelo utilizado para

ajuste aos dados foi uma rede neural artificial.

21

CAPÍTULO III

FERRAMENTAL TEÓRICO

3.1- MODELOS AUTO-REGRESSIVOS

A metodologia proposta neste trabalho faz uso de representações lineares,

para a modelagem de sistemas dinâmicos, através de equações de recorrência

conhecidas como modelos auto-regressivos.

Estes modelos foram utilizados inicialmente por pesquisadores da área de

modelagem de séries temporais tendo como principais divulgadores Box e Jenkins

(1994) que apresentaram o modelo ARIMA. Eles utilizaram os modelos ARIMA para

solução de problemas de previsão de séries temporais e controle.

Os pesquisadores da área de identificação de sistemas passaram a utilizar

variações dos modelos auto-regressivos para modelagem de sistemas dinâmicos da

indústria. Dando origem a novas configurações de modelos auto-regressivos que

incluíam no modelo séries temporais de diversas variáveis, componentes para

modelagem de não linearidades do sistema e outras variações. Estes modelos são

também conhecidos como modelos de predição de erro, devido ao critério de

seleção baseado no erro de predição do modelo obtido.

Estes modelos são aplicados sobre seqüências de observações de uma ou

mais variáveis do sistema em estudo. Este conjunto de observações da variável

pode ser representado por um sinal kttt yyyty ,,, 1 . Onde t é o instante

referente a um dado valor de y e k é o valor do atraso considerado para o sinal.

Os modelos auto-regressivos possuem diversas variações e formatos em que

podem ser apresentados. Abaixo são apresentadas algumas destas variações em

sua forma polinomial compacta e estendida.

O modelo auto-regressivo AR é o mais comum destes modelos paramétricos

e sua formulação é a seguinte:

)()()( 1 tetyqA

O operador anq toma o valor da função ty em um instante anterior

anty . Ao selecionar a ordem an do operador é determinado o número de valores

22

atrasados de ty serão utilizados para determinar o valor no instante atual. O erro

cometido ao se tentar modelar ty em função dos seus valores atrasados é dado

por te .

Desta forma:

11 tytyq

22 tytyq

an ntytyq a

O termo )( 1qA é um polinômio na variável q e possui a seguinte

representação: a

a

nn qaqaqA ...1)( 1

11

Sendo assim a versão expandida do modelo AR fica sendo:

)()(...)1()( 1 tentyatyaty ana

Se, ao modelo AR for acrescentado uma entrada externa )(tu , que nada mais

é que uma série temporal de uma variável tida como entrada que também deve ser

admitida como parte que explica o comportamento de )(ty , ou seja, o valor de )(ty

não pode ser explicado somente pelos seus valores atrasados, mas também pelos

valores atrasados de outra variável. Chega-se ao seguinte modelo ARX:

)()()()()( 11 tentuqBtyqA k , onde:

1121

1 ...)( b

b

nn qbqbbqB

O modelo ARX expandido seria:

)()1(...)1()()(...)1()( 211 tenntubntubntubntyatyaty bknkkan ba

onde an e bn são as ordens dos polinômios )( 1qA e )( 1qB , enquanto que kn é o

número de atrasos da saída para a entrada. Se acrescentada uma componente de

média móvel (MA) ao modelo passamos a um modelo ARMAX, descrito por:

)()()()()()( 111 teqCntuqBtyqA k , onde:

c

c

nn qcqcqC ...1)( 1

11 , é possível notar que o polinômio )( 1qC é similar

ao polinômio )( 1qA .

Aplicando os polinômios expandidos no modelo ARMAX, tem-se:

)(...)1()(

)1(...)1()()(...)1()(

1

211

cn

bknkkan

ntectectenntubntubntubntyatyaty

c

ba

23

Existem ainda outras variações dos modelos auto-regressivos que possuem

denominações próprias tais como os modelos OE (Output Error) e BJ (Box &

Jenkins).

A estrutura do modelo OE é a seguinte:

)()()()()( 1

1

tentuqFqBty k

, onde:

f

f

nn qfqfqF ...1)( 1

11 , similar ao polinômio )( 1qA ,

a estrutura do modelo BJ é a seguinte:

)()()()(

)()()( 1

1

1

1

teqDqCnktu

qFqBty

, onde:

d

d

nn qdqdqD ...1)( 1

11 , similar ao polinômio )( 1qA

De uma forma geral, existe um modelo que representa qualquer um dos

modelos auto-regressivos anteriormente mencionados, ou seja, qualquer modelo

linear e discreto no tempo.

)()()()(

)()()()( 1

1

1

11 te

qDqCnktu

qFqBtyqA

, podendo ser utilizado para todos os

casos anteriores, sendo que estes seriam casos especiais onde, as ordens dos

polinômios desnecessários seriam zeradas da seguinte forma:

Tabela 1 - Tabela de polinômios retirados do modelo geral.

Modelo Grau do polinômio a ser zero

AR )(),(),(),( 1111 qDqCqFqB ou seja, cfb nnn ,, e 0dn

ARX )(),(),( 111 qDqCqF ou seja, cf nn , e 0dn

ARMAX )(),( 11 qDqF ou seja, fn e 0dn

OE )(),(),( 111 qDqCqA ou seja, ca nn , e 0dn

BJ )( 1qA ou seja, 0an

Dependendo do sistema a ser modelado ele pode possuir mais de uma

entrada externa gerando a seguinte estrutura:

)()()()(

)()(

...)()()(

)()( 1

1

1

1

111

111

1te

qDqCnktu

qFqB

ntuqFqBtyqA

uu

u

unn

n

nk

Demais estruturas podem ser encontradas na literatura, mas para este

trabalho explanar sobre estas, é o suficiente.

24

3.1.1- ESTADO DA ARTE DA APLICAÇÃO DE MODELOS AUTO-REGRESSIVOS

A modelagem de colunas de destilação através de modelos auto-regressivos

é consolidada sobre pesquisas relacionadas a diversas áreas de conhecimento, tais

como: sistemas dinâmicos, engenharia de controle e processamento de sinais,

sempre com intuito de obtenção do modelo dinâmico do processo para fundamentar

análises e projetos que venham a melhorar seu desempenho em operação.

Sob a ótica da pesquisa operacional, uma coluna de destilação pode ser

enxergada como um problema de otimização, dotado de função objetivo e restrições.

Encontrar as relações implícitas aos dados oriundos deste sistema é dar suporte

para a modelagem da função-objetivo do problema. A técnica se sustenta no

potencial dos modelos auto-regressivos propostos para a modelagem de sistemas

dinâmicos multivariáveis.

Aguirre et al. (1998) aplicam modelos NARMAX (Non linear Auto-Regressive

Moving Average with eXogenous inputs), para modelar um forno elétrico com

elemento de aquecimento interno de 200 watts.

Barroso et al. (2002) apresentam a identificação de um conversor CC-CC

BUCK15, que possuía faixa restrita para os valores de entrada.

Furtado et al. (2002) experimentam modelos NARMAX para identificação de

um forno a arco elétrico, modelados e gerados os dados através de simulação,

apenas para verificação da eficácia do método.

Jurado e Carpio (2003) aplicam os modelos NARX para identificação de uma

micro-turbina composta pelos demais subsistemas: combustível, controle de

velocidade e de temperatura.

Moraes (2004) apresenta uma abordagem com modelos auto-regressivos

lineares com variáveis exógenas (ARX) para modelar os diversos subsistemas de

uma unidade de fracionamento de Nafta, que grosso modo, nada mais é que uma

coluna de destilação.

Bravo (2006) utiliza modelos ARX para identificação da resposta dinâmica de

um motor DC, utilizando dois softwares distintos: MATLAB®16 e LABVIEW®17.

Júnior e Barbabela (2006) utilizam modelos auto-regressivos para predição de

valores futuros dos preços de derivados de petróleo, onde modelavam séries 15 Dispositivo eletrônico utilizado para reduzir a tensão aplicada na entrada. 16 MATrix LABoratory – software proprietário da THE MATWORKS INC. 17 Software de simulação computacional, propriedade da National Instruments.

25

temporais com histórico superior a dez anos e através de correlação cruzada,

definiram a ordem dos modelos auto-regressivos.

Carvalho e Guillermo (2007) ajustam um modelo auto-regressivo do tipo ARX

a partir de dados de uma coluna de destilação piloto do CEFET-Campos e validam o

modelo com dados de cinco testes dinâmicos realizados no sistema real.

3.2- ESTIMAÇÃO DE PARÂMETROS

Os modelos auto-regressivos devem ter seus coeficientes estimados a partir

de métodos específicos de estimação de parâmetros, pois somente depois de

estimados os coeficientes do modelo a partir dos dados é que se tem o modelo

capaz de representar o comportamento do sistema identificado.

Estimação pode ser definida como a forma de obtenção do provável valor de

determinado parâmetro, coeficiente ou variável. Todo valor estimado possui um erro

implícito.

A estimação de parâmetros é utilizada em diversas áreas de pesquisa, mas

em todas há necessidade de obtenção de modelos mais próximos do sistema real.

Para distribuição de probabilidades de variáveis aleatórias utiliza-se a estimação

para obtenção de seus coeficientes. Exemplos destas distribuições são a normal,

weibull, exponencial, etc.

Modelos baseados nas relações físicas que governam os sistemas podem ter

coeficientes estimados. No presente trabalho os coeficientes estimados pertencem a

uma classe de modelos pré-formatados e os valores destes coeficientes determinam

o quanto este modelo pode explicar o sistema modelado.

26

3.2.1- MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS

Figura 11 - Método dos mínimos quadrados.

O método dos mínimos quadrados baseia-se na estimação de parâmetros de

um modelo a partir da minimização da função de erro existente entre o valor da

saída do modelo ixf para um dado valor de entrada ix e o valor da saída

observada iy obtida por amostragem do sistema real. É aplicado tipicamente

quando se deseja aproximar um modelo padrão devido ao desconhecimento da

função real.

Trata-se de obter valores para a e b que façam com que ii yxf seja o

menor possível para todo ix . Isto é conseguido através da minimização da função

2ii yxf sendo que esta é uma função que depende de a e b ,

2, ii ybaxba .

Para minimizar a função , faz-se:

0

a e 0

b

É provável que a reta não consiga passar por todos os pontos, portanto o

método não garante que seja zero, mas que seja o menor possível.

Dos modelos auto-regressivos apresentados na seção anterior, o escolhido

para ajustar-se aos dados do sistema foi o ARX (auto-regressivo com entradas

externas).

27

O modelo ARX da seção anterior pode ser visto como um sistema de

equações e ter seus coeficientes estimados através do método dos mínimos

quadrados. O método pode ser resumido da seguinte forma.

)()()()()( 11 tentuqBtyqA k , onde:

nanaqaqaqA ...1)( 1

11

1121

1 ...)( b

b

nn qbqbbqB

O modelo ARX expandido seria:

)()1(...)1()()(...)1()( 211 tenntubntubntubntyatyaty bknkkan ba

Modificando sua forma para aplicação do método dos mínimos quadrados:

)()1()( tetty T

)1(,),1(),(,),1()1( baT ntutuntytyt

ba nn

T bbaa ,,,,, 01

Onde )1( tT é a matriz linha de valores coletados do processo para as

variáveis envolvidas no modelo, neste caso considera-se um modelo relacionando

uma variável de saída )(ty com uma variável de entrada )(tu . A matriz coluna de

coeficientes a serem estimados através do método dos mínimos quadrados . Um

erro obtido na modelagem é representado por )(te .

O método de mínimos quadrados é largamente utilizado para estimação de

parâmetros do modelo de sistemas lineares discretos no tempo.

De início será assumido que se conhece o valor estimado do vetor de

parâmetros, , e que é cometido um erro e ao se tentar explicar o valor observado

de y a partir do vetor de regressores T e de , ou seja,

ey T

A partir daí o que se tem a fazer é determinar o índice de desempenho do

método, sendo que MQJ é a função custo dependente de a ser minimizada:

N

i

TMQ iJ

1

22)(

MQJ quantifica a qualidade de ajuste de T ao vetor de dados y . Portanto é

tido como vantajoso que o valor estimado de minimize MQJ .

28

Determinando-se e em ey T e substituindo-se o resultado em

N

i

TMQ eeeieJ

1

22)( , tem-se:

TTTTTTTTMQ yyyyyyJ )()(

A fim de minimizar a função custo MQJ com respeito à , é necessário

resolver 0/ MQJ . Fazendo-se isso, tem-se:

TTTTTTTTMQ yyyyJ

2)()(

Igualando-se a última equação a zero tem-se:

yTT 1][

Para que seja o único ponto de mínimo, é necessário verificar que:

022

2

TMQJ

A inequação é verdadeira, pois T2 é positiva definida por construção

(Aguirre, 2000). Portanto, a equação yTT 1][ é o estimador que fornece o

valor de que minimiza o somatório dos quadrados dos erros. Resumindo:

yJ TTMQMQ

1][minarg

Caso o estimador de mínimos quadrados seja adequado, o vetor de erros e

será do tipo ruído branco, com média nula e variância 2e .

29

CAPÍTULO IV

METODOLOGIA

4.1- INTRODUÇÃO

Segundo Box e Jenkins (1994) a metodologia para a identificação de sistemas

através de modelos auto-regressivos passa pelas seguintes etapas:

Identificação: é a etapa de definição dos filtros mais adequados para a série

analisada. Utilizar filtros em excesso na descrição de uma série não promove

previsões melhores, além de complicar desnecessariamente seu processamento

matemático.

Estimação: escolhidos os filtros, estimam-se as ordens e os parâmetros que

compõem os modelos. Novamente, é importante manter o modelo em sua forma

mais simples, com a menor ordem em cada filtro. Elevar a ordem, ou seja, usar

dados referentes ao passado distante que não exercem influencia sobre o

comportamento presente não melhora o desempenho do modelo.

Diagnóstico: determinar a acurácia do modelo estimado através da

comparação dos dados previstos com os dados obtidos a partir da série real. Nessa

etapa é realizada avaliação para verificar se o modelo é capaz de prever de forma

segura o comportamento futuro do mercado. Caso não seja obtido sucesso no seu

uso como “preditor”, retornam-se as etapas anteriores para a busca de um novo

modelo.

Aplicação: após as etapas anteriores terem obtido êxito, a ferramenta é

colocada em uso.

Ljung (1994) sugere o ciclo necessário para realizar a identificação de

sistemas dinâmicos através de ready-made models, que são a classe à qual

pertencem os modelos auto-regressivos – vide Figura 12.

30

Figura 12 - Ciclo de identificação com auxílio computacional. Os retângulos são de responsabilidade

do computador e as elipses responsabilidade do usuário (Adaptado de Ljung (1994)).

Para aplicação desta metodologia a um sistema real faz-se necessário um

maior detalhamento, e explicitar as etapas seguidas por pesquisadores que

utilizaram-na para identificação de sistemas similares.

4.2 – ESCOLHA DAS VARIÁVEIS DO MODELO

Como primeiro passo para a modelagem da coluna de destilação, pode-se

considerar a escolha das variáveis do modelo. Existem diversos critérios utilizados

para esta etapa, mas em todos os casos por se tratar de um sistema real, deve-se

verificar a viabilidade da medição destas variáveis ao longo do tempo, ou seja, estes

valores devem ser amostrados, através de algum sistema de aquisição de dados.

Neste ponto surge a primeira forma de seleção das variáveis envolvidas no

modelo, pois se a modelagem será realizada a partir de dados obtidos do sistema,

só faz sentido selecionar as variáveis que podem ter seus valores amostrados pelo

sistema de aquisição de dados da planta. São elas: vazão de entrada, nível da base,

temperatura da base, pressão do topo e temperatura do topo. Portanto, o modelo a

31

ser ajustado deve conter no máximo estas cinco variáveis cujas medições estão

disponíveis.

Esta restrição do processo a ser modelado, é uma primeira seleção das

variáveis do modelo, porém é considerada mais como restrição do sistema do que

como critério de seleção.

Diversos métodos de seleção das variáveis a serem consideradas na

modelagem tem sido propostos em trabalhos científicos.

A fim de se reduzir o número de variáveis selecionadas para o treinamento da

rede, fez-se um estudo comparativo baseado na covariância das temperaturas de

cada prato com relação à variável de saída que se quer estimar (composição na

saída da torre) (Zanata, 2005).

Esta é uma outra forma de selecionar as variáveis para o modelo, chama-se

covariância cruzada e pode ser obtida através da equação:

N

tyx yktyxtx

NkCov

1,

1

onde: N é o número de elementos dos vetores;

x e y são respectivamente os vetores de entrada e saída;

x e y são os valores médios dos respectivos vetores;

k é o número de atrasos analisados para o sinal.

A figura 13 apresenta o gráfico da covariância cruzada entre as temperaturas

dos estágios (pratos) e a composição na saída da torre.

32

Figura 13 - Covariância cruzada das temperaturas nos estágios e a composição (Zanata, 2005).

Uma das formas mais difundidas é a utilização da função correlação cruzada.

A função de correlação cruzada apresenta-se como uma ferramenta capaz de

determinar se há correlação significativa entre duas variáveis candidatas a compor

um modelo (Aguirre, 2000).

Segundo Lara (2005) a função de correlação cruzada discreta entre dois

sinais tx e ty com a mesma propriedade é definida por:

N

tNxy ktytxN

kR1

1lim

onde: N é o número de elementos dos vetores;

x e y são respectivamente os vetores de entrada e saída;

k é o número de atrasos analisados para o sinal.

Sendo assim as variáveis possíveis de mensuração pelo sistema de aquisição

de dados do processo podem ser selecionadas pela significância da correlação que

exista entre elas. Um método bem prático da utilização deste critério de seleção é

visto em Aguirre (2000).

Neste exemplo foram utilizados dados reais coletados na unidade de águas

ácidas de uma refinaria de petróleo. Para a seleção das variáveis envolvidas na

modelagem, um primeiro critério foi utilizado para selecionar a variável de saída do

33

modelo. Este critério foi o objetivo da modelagem. Desejava-se obter um modelo

matemático que explicasse a temperatura no topo da torre de águas ácidas, portanto

ela foi selecionada para a modelagem como sendo a única variável de saída do

modelo.

Restavam então outras sete variáveis do processo as quais deveriam ser

selecionadas ou descartadas para integrar o modelo como variáveis de entrada.

Após a seleção da variável de saída as demais foram selecionadas como

variáveis de entrada de acordo com a significância da correlação que possuíam com

a variável de saída. Para medir esta significância foi utilizado o correlograma gerado

a partir da utilização da função correlação cruzada.

Além da investigação da correlação entre cada uma das candidatas a

variáveis de entrada e a variável de saída, também foi investigada a correlação entre

elas com o intuito de evitar a inclusão de variáveis redundantes no modelo, o que

aumentaria de maneira desnecessária a complexidade.

Na Figura 14 (a) (b) e (c) são apresentados os gráficos das funções de

correlação cruzada para os casos relatados.

Figura 14 - Funções de correlação cruzada (a, b) entre a variável de saída e duas variáveis

candidatas a serem entradas, (c) entre (outras) duas variáveis candidatas a serem entradas (Aguirre,

2000).

A utilização de procedimento puramente matemático para a seleção de

variáveis de um modelo sem sentido e de difícil interpretação (Silva, 2006).

34

No objeto de estudo deste trabalho existem restrições quanto ao número de

variáveis monitoradas e possíveis de amostragem, o que influencia na seleção das

variáveis do modelo. Além disto é comum nos sistemas industriais considerar como

variáveis de entrada aquelas que podem ser manipuladas, e que provocam

modificação no estado das demais variáveis e influem diretamente no

comportamento da variável de saída.

Também é comum serem consideradas como variáveis de saída do sistema,

as variáveis que se deseja controlar, com o objetivo da continuidade operacional e

produtiva do sistema. No caso específico deste trabalho estas considerações levam

a inclusão das variáveis: vazão de entrada e temperatura de topo,

respectivamente como entrada e saída do modelo.

Desta forma cabe salientar que restrições operacionais, o objetivo da

modelagem e heurística devem nortear a formulação de modelos matemáticos que

serão utilizados em sistemas de qualquer natureza inclusive os processos

industriais.

O método de utilização da correlação cruzada entre as variáveis mesuradas

foi utilizado para determinação das variáveis que devem fazer parte do modelo. Os

dados utilizados para o método são referentes ao primeiro teste dinâmico realizado

na planta e que será usado para a estimação de parâmetros do modelo, e podem

ser vistos na Figura 15.

35

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 40000

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Tempo em segundos

Val

ores

das

var

iáve

is

Comportamento das variáveis ao longo do tempo

temp topovazaotemp basepressaonivel base

Figura 15 - Dados utilizados para a seleção das variáveis do modelo.

Baseado no objetivo da modelagem, a temperatura de topo foi definida como

variável de saída do modelo, ou seja, ela será determinada em função das demais

variáveis consideradas como entradas do sistema.

Partindo desta prerrogativa, o método de seleção das variáveis para compor o

modelo segue o mesmo que em Aguirre (2000), verificação da correlação cruzada

entre as variáveis de entrada e a de saída e também entre as de entrada para

verificação de redundâncias.

Nas Figuras 16, 17, 18 e 19 são apresentados os gráficos para a correlação

cruzadas das variáveis de entrada (vazão, temperatura da base, pressão e nível

respectivamente) com a variável de saída temperatura de topo.

36

-400 -300 -200 -100 0 100 200 300 400-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

Atrasos

Val

or d

e co

rrela

ção

cruz

ada

Correlação cruzada entre vazão e temperatura de topo

Figura 16 - Correlação cruzada entre a vazão e a temperatura no topo.

-400 -300 -200 -100 0 100 200 300 400-0.5

0

0.5

1

Atrasos

Val

or d

e co

rrela

ção

cruz

ada

Correlação cruzada entre a temperatura da base e a temperatura de topo

Figura 17 - Correlação cruzada entre a temperatura na base e a temperatura no topo.

37

-400 -300 -200 -100 0 100 200 300 400-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

Atrasos

Val

or d

e co

rrela

ção

cruz

ada

Correlação cruzada entre pressão e temperatura de topo

Figura 18 - Correlação cruzada entre a pressão no topo e a temperatura no topo.

-400 -300 -200 -100 0 100 200 300 400-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

Atrasos

Val

or d

e co

rrela

ção

cruz

ada

Correlação cruzada entre nivel e temperatura de topo

Figura 19 - Correlação cruzada entre o nível da base e a temperatura no topo.

38

Através da contemplação das correlações existentes entre as variáveis

candidatas a entrada e a variável de saída pode-se perceber que a única que não

possui correlação significativa – valor de correlação acima de 0,3 – com a

temperatura de topo é o nível da base, portanto esta variável não compõe o modelo.

Nas Figuras 20, 21 e 22 têm-se os gráficos da função correlação cruzada

entre as variáveis de entrada restantes.

-400 -300 -200 -100 0 100 200 300 400-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

Atrasos

Val

or d

e co

rrela

ção

cruz

ada

Correlação cruzada entre vazão e temperatura da base

Figura 20 - Correlação cruzada entre a vazão e a temperatura da base.

39

-400 -300 -200 -100 0 100 200 300 400-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

Atrasos

Val

or d

e co

rrela

ção

cruz

ada

Correlação cruzada entre pressão e vazão

Figura 21 - Correlação cruzada entre a pressão e a vazão.

-400 -300 -200 -100 0 100 200 300 400-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Atrasos

Val

or d

e co

rrela

ção

cruz

ada

Correlação cruzada entre temperatura da base e pressão

Figura 22 - Correlação cruzada entre a temperatura da base e a pressão.

40

De acordo com as correlações cruzadas entre as candidatas a variáveis de

entrada do sistema, pode-se verificar que todas possuem correlação significativa

entre si, indicando redundância. Desta forma, foi escolhida a vazão como variável de

entrada do sistema, e as variáveis, temperatura da base, e pressão foram

descartadas do modelo.

Esta decisão tomou como base o fato de a vazão ser uma variável

diretamente manipulada pela abertura da válvula, e as demais serem conseqüência

de variações dela e de outras variáveis. Em diversos tipos de aplicações a que

possa ser submetido o modelo obtido neste trabalho, a possibilidade de intervenção

direta na variável de entrada do sistema é de grande valia.

4.3 – ESCOLHA DOS ESTÍMULOS DE ENTRADA

Uma parte importante da elaboração do experimento para coleta de dados é a

escolha dos sinais que serão utilizados para estimular as dinâmicas do sistema.

Trata-se de selecionar o tipo de variação realizada nas variáveis de entrada

do sistema de forma a produzir algum efeito na variável de saída. Através da

observação do comportamento da variável de saída às variações na entrada, é

possível subsidiar algumas decisões posteriores para a modelagem do sistema.

Na literatura sobre identificação de sistemas dinâmicos na indústria três testes

são muito utilizados como estímulos de entrada para o sistema: impulso, degrau,

rampa e PRBS (Pseudo Random Binary Signal).

Segundo Aguirre (2000) os sinais de entrada devem possuir as seguintes

características:

A persistência de excitação tem interpretações numéricas e dinâmicas;

Sinais aleatórios e pseudo-aleatórios são comuns;

No caso de sistemas com múltiplas entradas, além de tais entradas

precisarem ser persistentemente excitantes, não devem estar correlacionadas

entre si;

Na identificação de dinâmica linear o importante é a largura do

espectro do sinal de entrada;

Na identificação de sistemas não lineares o perfil de amplitude torna-se

importante também.

41

O sucesso do método de identificação depende do estímulo de entrada ser

persistentemente excitante (Ljung, 1994).

Um sinal PRBS é considerado persistentemente excitante, pelo fato de

levantar as dinâmicas ocultas do sistema.

Zanata (2005) utiliza estímulos do tipo degrau e rampa, de 10 e 20 % na

quantidade de calor fornecido à coluna de destilação. Para a seleção das variáveis

do modelo foram selecionados estímulos de entrada aleatórios com amplitude de

5% em cinco variáveis de entrada do sistema e manipuláveis.

Dallagnol (2005) utiliza um sinal PRBS constante como estímulo de entrada

para realizar a identificação linear. Ele comenta que o sinal deve ser suficientemente

pequeno para não excitar as dinâmicas não lineares presentes no sistema, conforme

o gráfico da Figura 23.

Figura 23 - Sinal aplicado na entrada do sistema para realizar a identificação linear, variável vazão de

gás (Dallagnol, 2005).

Neste trabalho a utilização de testes como rampa e PRBS foram inviáveis do

ponto de vista operacional. O sistema de manipulação da variável de entrada, vazão

de produto para a coluna, é realizado através de uma válvula de controle que recebe

o sinal de controle de um conversor de sinal FF (Foundation Fieldbus) para sinal de

corrente elétrica padronizado 4 a 20 mA. Devido a restrições técnicas do

equipamento com operação em manual os testes realizados foram do tipo degrau

(Figura 24), que corresponde a uma mudança entre dois patamares de vazão de

produto em função da abertura da válvula.

42

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 40004

5

6

7

8

9

10

11

12

13

Tempo em segundos

Val

or d

e va

zão

em li

tros

por h

ora

Vazão ao longo do tempo

Figura 24 - Estímulo na forma de degrau positivo na vazão de produto da coluna de destilação, para

o primeiro teste dinâmico.

Apesar de não ser um sinal tão persistentemente excitante quanto o PRBS, o

degrau é utilizado em identificação de sistemas por diversos trabalhos científicos,

vide Zanata (2005).

4.4 – ESCOLHA DO PERÍODO DE AMOSTRAGEM

A taxa de amostragem utilizada para o registro dos valores das variáveis do

sistema, é um importante parâmetro a ser definido para a execução dos testes

dinâmicos realizados.

Existem diversos métodos para definição da taxa de amostragem a partir do

período ou intervalo de amostragem e alguns deles estão relacionados com a

constante de tempo do sistema.

A constante de tempo é determinada a partir da reação da variável de saída a

uma perturbação na forma de degrau na variável de entrada. Considera-se o

instante em que a variável de saída começa a reagir ao estímulo até o instante em

que a mesma atinge 63% da amplitude de sua variação total.

43

Primeiro método

Aguirre (2000) propõe o seguinte método:

Assume-se que o sinal original ty* foi registrado utilizando-se um tempo de

amostragem muito pequeno, ou seja, muito menor do que necessário. A questão

passa a ser a definição de uma taxa pela qual o sinal observado ty* será

decimado de forma a gerar o sinal de trabalho ty , devidamente amostrado.

Deseja-se determinar de forma que tyty * .

Determinam-se as seguintes funções:

tyktytytyEkr

tyktytytyEkr

y

y

2*2*2*2*

****

2*

*

e seus primeiros mínimos, 2** yy kk , respectivamente. O menor desses mínimos

passará a ser o valor de trabalho, ou seja, 2**min* yym kkk . Deseja-se escolher

de forma que as funções de autocovariância do sinal decimado tyty *

satisfaçam

2010 mk (Aguirre, 2000).

Sendo que os limites, inferior e superior podem ser relaxados para 5 e 25,

respectivamente.

Zanata (2005) aplica o método e obtém um dos três períodos de amostragem

obtidos em seu trabalho, os outros dois períodos foram encontrados através de

outros dois métodos distintos.

Segundo método

Zanata (2005) apresenta um método para a escolha da taxa de amostragem

baseado em estimativa, realizando o período de amostragem como sendo um

décimo da menor constante de tempo do sistema.

Para tal, realiza estímulos na forma de degrau de +5% e -5% nas variáveis

selecionadas como entrada do sistema e observa o comportamento da variável de

saída a cada uma destas perturbações.

44

A menor constante de tempo do sistema é obtida na reação mais rápida da

variável de saída, ou seja, é aquela na qual a variável de saída se estabiliza mais

rapidamente. A resposta da variável de saída pode ser vista na Figura 25.

Figura 25 - Resposta da variável de saída (composição) a uma perturbação na variável de entrada do

sistema. Resposta com menor constante de tempo (Zanata, 2005).

Antes da aplicação do degrau: 98245,0500,02 x

Estabilização após o degrau: 98365,0515,02 x

0012,0500,0515,0 22 xx

Temos que 63% do 000756,0

No gráfico corresponde ao valor de 0,98321, o instante de tempo de 0,5035h.

Logo a menor constante de tempo é: 0035,0m h.

Finalmente, o período de amostragem escolhido é: 0004,0T h ou 1,5s

(Zanata, 2005).

Neste trabalho o período de amostragem foi escolhido de acordo com o

segundo método exposto – (Zanata, 2005). A constante de tempo utilizada para o

cálculo do período de amostragem foi escolhida a partir dos trabalhos realizados por

Naegele (2000), eles encontraram duas constantes de tempo diferentes, uma para a

reação da temperatura de todo a uma perturbação na forma de degrau negativo na

vazão. Outra constante foi encontrada a partir de uma perturbação na forma de

degrau positivo. Seus valores são respectivamente 436 e 475 segundos. Para evitar

que o período escolhido deixasse escapar alguma dinâmica importante do sistema,

45

foi escolhida uma constante de tempo de 400 segundos e aplicando o segundo

método, o período de amostragem escolhido foi 40 segundos.

Este passo foi utilizado em uma rotina elaborada no software MATLAB®, cujo

objetivo é montar o novo conjunto de dados a partir do original que possuía registros

das variáveis com período de amostragem de 1 segundo.

4.5 – SELEÇÃO DA ESTRUTURA DO MODELO

Identificação é a etapa de definição dos filtros mais adequados para a série

analisada. Utilizar filtros em excesso na descrição de uma série não promove

previsões melhores, além de complicar desnecessariamente seu processamento

matemático (Box e Jenkins, 1994).

Os filtros citados se referem às componentes do modelo auto-regressivo que

será utilizado para a modelagem das séries temporais referentes às variáveis do

sistema. A estrutura do modelo auto-regressivo a ser utilizado vai depender da

necessidade de inclusão destas componentes.

Por exemplo, se o objetivo da modelagem é identificar a relação existente

entre a variável de saída do modelo, e as demais variáveis tidas como entradas do

sistema, este modelo auto-regressivo selecionado deve conter a componente X que

se refere a entradas exógenas ou entradas externas. Série(s) temporal (ais) da(s)

variável (eis) de entrada que explica o comportamento da variável de saída, neste

caso temperatura de topo.

Outra componente a ser acrescentada no modelo é a MA que se refere à

média móvel. É utilizada quando existe dinâmica relevante no ruído presente na

série temporal, quando o ruído possuir as características de ruído branco gaussiano,

tais dinâmicas devem ser desconsideradas e a componentes MA é descartada, o

ruído será acrescido como erro na equação. A Tabela 2 resume para os principais

modelos as circunstâncias para a inclusão de componentes.

A principal característica do modelo ARX é utilizar a entrada do sistema para

modelar a saída do mesmo. Já, o modelo ARMAX utiliza a média móvel do erro para

predizer o estado futuro (Cruz, 2006).

46

Tabela 2 - Tabela que relaciona os modelos ao tipo de situação a qual devem ser utilizados.

Modelo Denominação Circunstância

AR Auto-Regressive Uma única variável

ARX Auto-Regressive with

eXogenous inputs

Outras variáveis devem

ser consideradas

ARMAX

Auto-Regressive Moving

Average with eXogenous

inputs

Dinâmicas relevantes no

ruído

NARX Non linear ARX Modelo não linear

NARMAX Non linear ARMAX Modelo não linear

4.6 – SELEÇÃO DA ORDEM DO MODELO

Além de selecionar a estrutura do modelo auto-regressivo faz-se necessário

determinar a ordem de tal modelo, ou seja, quantos e quais valores atrasados das

variáveis devem ser incluídos na modelagem.

A regra mais utilizada em séries temporais é o chamado critério de

informação de Akaike (Akaike, 1974), denotado por AIC. A definição mais

comumente utilizada é:

nnNnAIC erro 2ln 2 ,

sendo que N é o número de dados, nerro2 é a variância do erro de

modelagem (erro de predição de um passo a frente ou resíduos) e n é o número de

parâmetros do modelo (Aguirre, 2000).

O uso do AIC pressupõe que existe uma ordem predefinida para inclusão dos

termos candidatos seqüencialmente no modelo. Primeiramente, assume-se que o

número de termos do ruído é fixo, portanto, com os termos do ruído no modelo, uma

ordem de inclusão dos demais termos seria: ),2(),2(),1(),1( tutytuty e assim

por diante. Quando AIC passar por um mínimo o procedimento pode ser terminado e

a ordem terá sido determinada (Aguirre, 2000).

O índice nAIC normalmente atinge um mínimo para um determinado

número de parâmetros do modelo *n . Do ponto de vista do critério usado, esse

número é ótimo. Deve ser lembrado que tal critério é fundamentalmente estatístico e

47

não garante necessariamente que o modelo com o número “ótimo” de termos seja

um modelo válido (Aguirre, 2000).

Logo se pode inferir que apesar de utilizado o critério de informação de

Akaike, a etapa de validação do mesmo não deve ser descartada, sob pena de

utilização de um modelo que não possua uma boa resposta para novos dados.

Ljung (1994) apresenta não só o AIC como método estatístico seleção da

ordem do modelo, mas também o FPE (Final Prediction Error).

N

tdt

NNdNd

1

2

,,1

/1/1min

Onde N é o número de dados utilizados para a estimação, d é a dimensão

do vetor de parâmetros e 2 é a variância do erro de predição.

Os modelos resultantes de métodos estatísticos para seleção da ordem são

encontrados em diversos trabalhos científicos.

4.7 – ESTIMAÇÃO E VALIDAÇÃO

Segundo Souza e Camargo (1996), a análise de séries temporais – e

conseqüentemente os sistemas geradores – são realizadas normalmente com quatro

objetivos possíveis:

a) Descrição: inicia-se a análise de séries temporais com a construção de um

gráfico mostrando como o fenômeno evolui no tempo. Obtém-se também medidas

descritivas simples de suas principais características.

b) Explicação: tendo-se um conjunto de observações de duas ou mais

variáveis, pode ser possível explicar o comportamento de uma em função das

demais.

c) Previsão: a previsão do comportamento futuro da variável constitui um dos

principais objetivos da análise de séries temporais.

d) Controle: quando uma série temporal mede qualidade, o objetivo da análise

pode ser de controlar o processo gerador. Uma estratégia de controle sofisticada é

ajustar um modelo à série de dados, previsões e, então, tomar, medidas corretivas

nas séries de entrada para evitar que a qualidade se afaste de um nível

estabelecido.

48

A modelagem ou identificação de sistemas utilizando modelos auto-

regressivos se inspira na análise de séries temporais. Todavia, diferem nas

características das variáveis envolvidas.

Na maioria das vezes a modelagem das séries temporais se utiliza de apenas

uma série de valores de apenas uma variável, o modelo que utiliza observações

anteriores desta variável são aplicados à previsão do valor futuro desta para um

dado horizonte de predição k .

Já a identificação de sistemas não se restringe a modelagem de uma série

temporal, mas sim das relações entre as séries temporais das variáveis entrada e

variáveis de saída de um dado sistema. E nem sempre o objetivo da modelagem é a

previsão.

Sobretudo os modelos auto-regressivos são aplicados com sucesso nos dois

casos o que sugere que a mesma metodologia pode ser aplicada para ambos os

casos, considerando as devidas adequações.

É necessário saber como o modelo será utilizado de forma a poder julgar se

ele incorpora, ou não, as características requeridas. Essa necessidade advém do

fato que nenhum modelo, por definição, representará o sistema real em todos os

aspectos (Aguirre, 2000).

A validação do modelo está então associada ao objetivo do mesmo e as

características do sistema modelado que se deseja reproduzir. Em outras palavras, o

modelo é tão bom quanto for sua capacidade de reproduzir a característica mais

importante do sistema para o objetivo do mesmo.

Comparar a simulação do modelo obtido com dados medidos é

provavelmente a forma mais usual de se validar um modelo. Nesse caso, deseja-se

saber se o modelo reproduz ao longo do tempo os dados observados. Em outras

palavras, deseja-se saber se o modelo serve para explicar um outro conjunto de

dados observado do mesmo sistema. É comum, portanto, referir-se à capacidade de

generalização do modelo (Aguirre, 2000).

A característica em questão é a reconstrução dinâmica da saída do sistema

pelo modelo, com o intuito de utilizar o modelo para simulação do sistema real. A

simulação de um sistema real através de modelos é conveniente para diversas áreas

de pesquisa, tais como: controle, detecção de falhas, otimização, etc.

A vantagem destes modelos em sistemas complexos é que este pode ser o

método mais rápido e prático de se obter um modelo da dinâmica do processo, A

49

desvantagem é que este modelo tem uma validade apenas local, isto é em torno de

um ponto de operação, não permitindo grandes extrapolações. (Campos e Teixeira,

2006).

Como praticamente todos os sistemas reais são não-lineares, é importante

que os dois testes sejam efetuados com o sistema operando em condições

semelhantes, principalmente se os modelos identificados forem lineares. (Aguirre,

2000).

Portanto, modelos obtidos a partir de dados coincidem com o sistema na faixa

de valores utilizadas para se realizar a estimação de seus parâmetros. E caso seja

possível realizar-se dois testes dinâmicos no sistema, um deve ser utilizado para

estimação e outro para validação do modelo. Caso isso não seja possível o mesmo

lote de dados do teste realizado será dividido para a formação dos conjuntos de

estimação e validação.

Neste trabalho ambos as formas de validação foram utilizadas. O dados

coletados do primeiro teste dinâmico realizado foram separados em conjunto de

estimação e validação.

Em um segundo momento novos testes dinâmicos foram realizados, com

diferentes estímulos de entrada, mas na mesma faixa de operação e foram utilizados

também para validação do modelo.

Cruz (2006) realiza uma identificação dinâmica de uma microturbina a gás,

utilizando modelos auto-regressivos lineares e não lineares. Para validação dos

modelos utiliza dados de vários testes dinâmicos realizados no sistema. Os índices

de desempenho são calculados para predições de um passo a frente e também de

mais passos.

Dallagnol (2005) utiliza também modelos lineares e não lineares para a

modelagem de um sistema de injeção de gás em um poço de petróleo, realizam

testes dinâmicos em um simulador em diferentes pontos de operação do processo.

Validaram o modelo com um conjunto de dados de validação também gerado pelo

simulador.

Lara (2005) valida os modelos auto-regressivos através de dados de um

conjunto de validação em malha aberta. Também realiza a validação do modelo em

malha fechada comparando sua resposta com a do sistema ambos submetidos a

perturbações na entrada. Um controlador preditivo foi utilizado no sistema de

controle em malha fechada.

50

Carvalho e Guillermo (2007) utilizaram para validação do modelo, quatro

testes dinâmicos realizados no sistema (coluna de destilação), e também 33% do

número de amostras do primeiro teste dinâmico, os outros 66% foram utilizados para

estimação dos parâmetros do modelo.

Neste trabalho os dados utilizados para compor os conjuntos de estimação e

validação foram registrados com período de amostragem de 40 segundos entre

observações resultando em uma matriz de dados de dimensão 89x5, e podem ser

vistos na Figura 26.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 900

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Tempo em segundos

Val

ores

das

var

iáve

is

Valor das variáveis ao longo do tempo


Figura 26 - Dados adequados para a nova taxa de amostragem.

O conjunto de estimação foi montado com as primeiras 63 amostras da

matriz, e o conjunto de validação com as últimas 26 amostras. Resultando em uma

divisão de 70% dos dados para estimação e 30% para validação, uma divisão

sugerida em trabalhos científicos sobre modelos e validação.

51

4.8 – ÍNDICES DE DESEMPENHO

A validação dos modelos obtidos através da estimação de parâmetros de

modelos auto-regressivos possui um grande número de índices de desempenho

citados em trabalhos da área.

São índices que não possuem sua utilidade associada somente a modelos

auto-regressivos, mas sim a todos os tipos de modelos que visam realizar a

reconstrução dinâmica do sistema modelado.

Fazem parte desta classe não só os modelos auto-regressivos, mas também

as redes neurais artificiais, modelos de wiener, splines, e outros.

Os modelos mencionados possuem a característica de reproduzir a saída do

sistema a partir de dados de entrada sua validação através dos índices é obtida a

partir da comparação entre a saída calculada pelo modelo e a saída real observada

do sistema.

Durante a etapa de estimação dos parâmetros destes tipos de modelo, muitas

vezes, o desvio entre estas “duas saídas” é minimizado e serve de critério para

obtenção de parâmetros ótimos dos modelos.

É ideal, portanto que para a validação do modelo os índices sejam calculados

a partir da comparação entre a saída real do sistema e a obtida pelo modelo para os

dados de validação e não para os de estimação.

Os índices na sua maioria visam medir a capacidade preditiva dos modelos

para um horizonte de k passos adiante, onde ,,1 k .

Uma forma de fazer predição é, no instante 1t , montar um vetor de

regressores com observações obtidas do conjunto de dados e simplesmente

calcular ˆ)1()(ˆ tty T . O valor predito para o instante seguinte, ou seja, k , é )(ˆ ty .

Por esta razão, tal predição é denominada de predição de um passo à frente, sendo

que ˆ)1( tT é o preditor de um passo à frente. Uma outra forma de simular um

modelo é reutilizar predições passadas para compor o vetor de regressores a fim de

continuar fazendo predição. O sinal simulado desta maneira é chamado de

simulação livre ou predição de infinitos passos à frente (Aguirre, 2000).

A validação do modelo pode ser então determinada a partir da seqüência de

valores calculados com determinado índice de desempenho à medida que se faz

predições de mais passos à frente.

52

Neste trabalho a validade do modelo sob este critério será verificada, depois

de definida a ordem do modelo a partir de dois métodos de seleção: AIC e validação

cruzada. Os modelos resultantes serão submetidos à validação com os demais

testes dinâmicos e seu desempenho calculado variando o horizonte de predição.

Borjas e Garcia (2004) apresentam a modelagem de uma unidade de CCF

(Craquamento Catalítico em leito Fluidizado), sistema multivariável e não linear,

através de identificação por sub-espaços e o método de predição de erro. Os dados

utilizados para a identificação foram obtidos através da excitação com sinais pseudo-

aleatórios multinível, o desempenho dos modelos encontrados são verificados

através de dois índices: média relativa do erro quadrático (MRSE) e média da

variância relativa (MVAF).

n

kN

t

N

t

y

yy

nMRSE

1

1

2

1

2

100ˆ

1(%)

n

k yiânciayyiância

nMVAF

1100

varˆvar11(%)

Os índices calculados são o R2, MAE (mean absolute error), MSE (mean

square error). Todos são índices de desempenho de modelos citados em literatura.

O R2 é um índice que mede o quanto o modelo encontrado se ajusta aos dados

observados do sistema varia entre 0 e 1. O MAE retorna a média dos valores

absolutos dos erros encontrados quando se compara saída do modelo e saída do

sistema. O MSE é semelhante ao MAE, porém é mais preciso, pois não mascara a

variância, ao utilizar o quadrado dos erros, problema ocorrido no MAE por utilizar a

função modular.

N

t

N

t

tyty

tytyR

1

2

1

2

2

)()(

)(ˆ)(1

N

tytyMAE

N

t

1

)(ˆ)(

53

N

tytyMSE

N

t

1

2)(ˆ)(

Sendo )(ty os valores observados da saída do sistema, )(ˆ ty os valores

calculados na saída do modelo e N o número de amostras utilizadas (Carvalho e

Guillermo, 2007).

Trautwein (2004) utiliza redes neurais artificiais do tipo multicamadas para

previsão do consumo de água em curtíssimo prazo. Para verificação do

desempenho dos modelos obtidos são usados os seguintes índices: MSE, MAE,

MAPE, MRSE, VAR e R2.

Zanata (2005) desenvolve um sensor virtual para medição por inferência da

composição do produto de uma coluna de destilação, utiliza redes neurais artificiais,

e para medir o ajuste utiliza os índices: MSE, MAE e erro máximo.

Uma forma de validar a capacidade preditiva dos modelos preditores é utilizar

a relação que compara o desempenho do preditor de k-passos à frente com o

desempenho do preditor de 1 passo à frente, i.e., calculando os erros de predição

dos diferentes modelos com os dados medidos até o instante t :

N

t

N

tk

k

tytty

tykttyR

1

21

1

2

1/ˆ

/ˆ

Note que quando 1kR o erro de predição k passos à frente será menor que

o erro de predição um passo à frente, implicando que o modelo preditor possui

melhor precisão e que este pode ser considerado como um preditor candidato (Lara,

2005).

4.9 – ANÁLISE DE RESÍDUOS

Uma outra forma de validação de modelos bastante utilizada é a análise dos

resíduos do modelo sob critérios estatísticos.

Os testes de simulação não indicam se o modelo possui falhas corrigíveis. A

análise de resíduos designa um conjunto de testes que são efetuados para verificar

se os resíduos são aleatórios ou não (Aguirre, 2000).

54

Logo se faz necessário realizar a análise de resíduos nos modelos obtidos por

este trabalho, com o intuito de encontrar um modelo que seja válido sob dois

métodos: índices de desempenho e análise dos resíduos, e que ainda assim possua

baixa complexidade, ou seja, número reduzido de parâmetros. Esta última

característica é encontrada nos textos como parcimônia.

Ao se testar um vetor de resíduos for verificado que se trata de uma variável

aleatória branca, isso significa que não há informação útil nos resíduos, ou seja, o

modelo explicou tudo que era possível explicar. Infelizmente isso não quer dizer que

a simulação livre do modelo será boa, mas simplesmente que a simulação de um

passo a frente do modelo será boa. Um vetor de valores )(te é branco se a sua

função de autocorrelação for nula para todos os valores de atraso maiores ou iguais

a um (Aguirre, 2000).

Portanto, a metodologia utilizada para a validação dos modelos encontrados

caminhará no sentido de realizar testes que venham verificar se os resíduos da

modelagem se comportam como ruído branco.

Mesmo que a autocorrelação dos resíduos seja nula para todo 0t , este

resultado é obtido a partir de um conjunto de dados específico, e o que se deseja do

modelo é que seu desempenho seja o mesmo para outras situações. De forma a

verificar o quão geral é o modelo procede-se como a utilização da correlação

cruzada entre a entrada e o vetor de resíduos do modelo para diferentes conjuntos

de dados.

A implicação deste resultado é que as predições de um passo à frente do

modelo terão características semelhantes se calculadas para um outro conjunto de

dados (Aguirre, 2000).

Dallagnol (2005) utiliza a análise de resíduos através da autocorrelação, de

maneira intercalada com a estimação de parâmetros dos modelos. Desta forma ele

define a ordem da componente MA dos modelos ARMAX e NARMAX utilizados para

a modelagem do sistema.

Os resultados da validação pela análise dos resíduos são apresentados no

capítulo V.

55

CAPÍTULO V

RESULTADOS

Os resultados deste trabalho serão apresentados de forma numérica e gráfica

e seguirão uma seqüência de apresentação semelhante à seqüência das etapas da

metodologia aplicada. Em cada etapa da aplicação da metodologia, resultados

intermediários são obtidos, até que se alcance os resultados finais que estão

associados à etapa de validação dos modelos obtidos.

5.1- DADOS UTILIZADOS

Já foi mencionado no capítulo de metodologia que os dados utilizados para

formar o conjunto de estimação e o primeiro conjunto de validação foram originados

do primeiro teste dinâmico realizado na coluna de destilação. Os dados podem ser

vistos na sua forma original (período de amostragem de 1 segundo) na Figura 15 e

adequados ao novo período de amostragem na Figura 26.

Para a divisão dos dados em conjuntos de estimação e validação, foram

selecionadas as primeiras 63 amostras da matriz de dados adequada para compor o

conjunto de estimação e as 26 últimas para o conjunto de validação. Os valores

percentuais dos dois conjuntos são respectivamente 70% e 30%. Nas Figuras 27 e

28 são apresentados os dados referentes aos conjuntos de estimação e validação

respectivamente.

56

0 10 20 30 40 50 60 700

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Tempo em segundos

Val

ores

das

var

iáve

is

Valores das variáveis ao longo do tempo


Figura 27 - Conjunto de estimação.

0 5 10 15 20 25 300

10

20

30

40

50

60

70

80

90

Tempos em segundos

Val

ores

das

var

iáve

is



Figura 28 - Primeiro conjunto de validação.

57

Apesar de apresentadas nas figuras 27 e 28 todas as variáveis disponíveis

para a modelagem, através da correlação cruzada apenas a temperatura de topo e a

vazão foram selecionadas. Isto é válido para os demais conjuntos de dados

utilizados para validação do modelo.

Como praticamente todos os sistemas reais são não-lineares, é importante

que os dois testes sejam efetuados com o sistema operando em condições

semelhantes, principalmente se os modelos identificados forem lineares. (AGUIRRE,

2000).

Os demais conjuntos serão utilizados com a amostragem original para a

validação dos modelos obtidos, e originam-se de outros quatro testes dinâmicos

realizados na coluna de destilação, sob condições operacionais semelhantes às do

primeiro teste. Nas Figuras 29, 30, 31 e 32 são apresentados os dados do segundo,

terceiro, quarto e quinto testes dinâmicos.

0 500 1000 1500 2000 25000

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100Valores das variáveis ao longo do tempo

Tempo em segundos

Val

ores

das

var

iáve

is

temp topovazaotemp basepressaonivel topo

Figura 29 - Dados do segundo teste dinâmico utilizado para validação.

58

0 200 400 600 800 1000 1200 14000

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Tempo em segundos

Val

ores

das

var

iáve

is

Vaores das variáveis ao longo do tempo


Figura 30 - Dados do terceiro teste dinâmico utilizado para validação.

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 20000

20

40

60

80

100

120

Tempo em segundos

Val

ores

das

var

iáve

is



Figura 31 - Dados do quarto teste dinâmico utilizado para validação.

59

0 200 400 600 800 1000 1200 14000

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Tempo em segundos

Val

ores

das

var

iáve

is



Figura 32 - Dados do quinto teste dinâmico utilizado para validação.

5.2- MÉTODOS DE SELEÇÃO DA ORDEM DO MODELO

Os métodos utilizados para seleção da ordem do modelo, foram o AIC, e

validação cruzada (duas formas).

Em um primeiro instante foi elaborada uma rotina no MATLAB® que testasse

todas as possibilidades de combinações dos parâmetros an , bn e kn para estimação

dos coeficientes na e nb de um modelo ARX – vide capítulo 3 seção 3.1. Os

parâmetros mencionados representam respectivamente o número de atrasos na

saída, número de atrasos na entrada e número de atrasos da saída para a entrada,

que serão utilizados como sinais de entrada do modelo.

A rotina acima citada realiza um processo iterativo de estimação dos

coeficientes do modelo ARX tendo como argumento de entrada os valores de an , bn

e kn e também os dados do conjunto de estimação. Os valores dos parâmetros são

elevados gradualmente, na seguinte seqüência: primeiro an , depois bn e por último

kn , com isso todas as possibilidades de combinações destes parâmetros foram

60

percorridas e para comparar a eficiência dos modelos gerados foi utilizado o MSE

sobre o erro de predição do modelo quando comparado ao conjunto de estimação e

também o primeiro conjunto de validação ambos com amostragem de 40 segundos.

Este método de verificação do MSE tanto para o conjunto de estimação quanto para

o de validação é conhecido como validação cruzada e é utilizado para verificar em

que ponto o modelo deixa de ser geral para se tornar específico aos dados de

estimação. Os valores selecionados para as ordens estavam compreendidos nos

seguintes intervalos: 16,,1 an , 15,,0 bn e 15,,0 kn .

O segundo método, AIC, foi utilizado testando apenas modelos com ordem

0kn . E as demais ordens foram elevadas da mesma forma que no método anterior

da validação cruzada. A comparação entre os modelos gerados foi feita através do

AIC calculado para cada um deles.

Segundo Aguirre (2000) o critério de informação de Akaike possui um valor

mínimo que quando alcançado, indica que o aumento da ordem do modelo não mais

implica em melhoria significativa do ajuste.

Carvalho e Guillermo (2007) utilizaram o AIC seguindo este mesmo

procedimento e obtiveram para os mesmos conjuntos de dados aqui apresentados,

o gráfico apresentado na Figura 33:

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-4

-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

Ordem dos modelos

Val

ores

de

AIC

cal

cula

dos

Valores de AIC variando a ordem dos modelos

Figura 33 - Valores do AIC calculado através das iterações da rotina. (Carvalho e Guillermo, 2007).

61

Percebe-se que o ponto no qual o AIC passa por um mínimo é onde as

ordens an e bn eram iguais a quatro. A rotina utilizada elevava ambas as ordens ao

mesmo tempo.

Já a curva do AIC calculada neste trabalho, é apresentada na Figura 34.

0 5 10 15 20 25 30 35 40-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

Iterações da rotina

Val

ores

de

AIC

cal

cula

dos

Valores de AIC ao longo das iterações

Figura 34 - Curva do AIC calculado através das iterações da rotina atual.

É possível notar que diferente do gráfico da figura 33, o AIC atinge o mínimo

na última iteração de sua rotina, e sugere que seu decréscimo é possível com o

aumento da ordem do modelo que neste ponto é 20an e 20bn . A rotina atual

aumenta as ordens do modelo de forma separada, conforme mencionado.

Desta forma é percebido que o AIC sugere um modelo sobre-parametrizado

se comparado ao modelo sugerido no trabalho de Carvalho e Guillermo (2007).

62

Tabela 3 – Valores calculados do AIC para modelos ARX de diferentes ordens.

Ordem an Ordem bn AIC 1 0 0.418 1 1 0.4375 2 1 0.4684 2 2 -2.2217 3 2 -3.7464 3 3 -3.8239 4 3 -3.9802 4 4 -4.3563 5 4 -4.3692 5 5 -4.3582 6 5 -4.5619 6 6 -4.5455 7 6 -4.5337 7 7 -4.5432 8 7 -4.5659 8 8 -4.5497 9 8 -4.524 9 9 -4.4957 10 9 -4.6346 10 10 -4.6616 11 10 -4.646 11 11 -4.6265 12 11 -4.6706 12 12 -4.6476 13 12 -4.9032 13 13 -4.8753 14 13 -4.9984 14 14 -4.9687 15 14 -4.9811 15 15 -4.9761 16 15 -5.2085 16 16 -5.2723 17 16 -5.3663 17 17 -5.4002 18 17 -5.4755 18 18 -5.9752 19 18 -6.7593 19 19 -6.7823 20 19 -7.5572 20 20 -8.0313

No primeiro método que utiliza a validação cruzada o índice de desempenho

para comparação dos modelos foi o MSE, calculado para o erro de predição de um

passo a frente, sobre o conjunto de estimação e sobre o primeiro conjunto de

validação.

63

As variações testadas da ordem do modelo incluíam a variação de kn ,

portanto o número de combinações possíveis foi bem maior que no método que

utilizou o AIC, mesmo que o limite superior para as ordens tenha sido menor. Os

resultados conseguidos por este método sugerem um modelo também sobre-

parametrizado, em especial o modelo ARX com as seguintes ordens: 16an ,

15bn e 15kn , o que possui ordem mais elevada entre os testados, foi o modelo

que obteve menor MSE tanto para o conjunto de estimação quanto validação.

Algumas diferenças existem em relação aos resultados obtidos no trabalho de

Carvalho e Guillermo (2007) e o presente trabalho, logo, serão relacionadas:

O número de amostras presentes nos conjuntos de estimação e validação

neste trabalho são inferiores devido à escolha de um novo período de amostragem.

A rotina utilizada neste trabalho eleva as ordens do modelo de forma

separada, conforme sugerido em Aguirre (2000).

O número de variáveis de entrada utilizadas na modelagem atual é menor.

Apenas a variável vazão foi selecionada como entrada do modelo, devido às

funções de correlação cruzada, calculadas durante a aplicação da metodologia,

enquanto que no trabalho anterior foram utilizadas todas as variáveis medidas como

entradas do sistema, com exceção da temperatura de topo que é saída do modelo

nos dois casos.

As diferenças pesam, sobretudo no modelo sugerido pelo AIC obtido que

neste trabalho encontra-se sobre-parametrizado.

Os modelos obtidos pelos dois métodos apresentaram um bom ajuste para o

conjunto de estimação e o primeiro conjunto de validação considerando o MSE e os

demais índices de desempenho, porém para os outros quatro conjuntos de validação

o desempenho não foi o mesmo.

5.3- RESULTADOS GRÁFICOS E NUMÉRICOS DOS MODELOS OBTIDOS

A seguir serão apresentados os resultados gráficos obtidos com o modelo

resultante do método que utiliza o AIC. Trata-se de um modelo ARX com as ordens

20an , 20bn e 0kn .

64

Os resultados do modelo ARX [20 20 0] para o primeiro, segundo, terceiro,

quarto e quinto conjuntos de validação são apresentados nas Figuras 35, 36, 37, 38

e 39 respectivamente.

0 5 10 15 20 25 3046

47

48

49

50

51

52

53

Tempo em segundos

Val

ores

da

tem

pera

tura

de

topo

Temperatura de topo ao longo do tempo

sistemamodelo

Figura 35 - Saída do modelo comparada com a saída do sistema, para o primeiro conjunto de

validação.

65

0 500 1000 1500 2000 250045

50

55

60

65

70

75

80

Tempo em segundos

Val

ores

da

tem

pera

tura

de

topo


sistemamodelo

Figura 36 - Saída do modelo comparada com a saída do sistema, para o segundo conjunto de

validação.

0 200 400 600 800 1000 1200 140062

64

66

68

70

72

74

76

78

80

Tempo em segundos

Val

ores

da

tem

pera

tura

de

topo


sistemamodelo

Figura 37 - Saída do modelo comparada com a saída do sistema, para o terceiro conjunto de

validação.

66

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 200072

73

74

75

76

77

78

79

80

81

Tempo em segundos

Val

ores

da

tem

pera

tura

de

topo


sistemamodelo

Figura 38 - Saída do modelo comparada com a saída do sistema, para o quarto conjunto de

validação.

0 200 400 600 800 1000 1200 140073

74

75

76

77

78

79

80

Tempo em segundos

Val

ores

da

tem

pera

tura

de

topo


sistemamodelo

Figura 39 - Saída do modelo comparada com a saída do sistema, para o quinto conjunto de

validação.

67

Tabela 4 - Índices calculados para os cinco conjuntos de validação referente ao modelo obtido com o

AIC.

Validação MSE MSE(%) MAE MAE(%) MSE(R) ERRO(%) AMPVAR DISCREP R2

1 0.0456 4.5635 0.0987 9.8657 0.0411 0.1997 0.1316 0.0022 0.9841 2 8.8615 886.1522 2.8710 287.0999 7.9754 -4.5629 0.1549 0.0240 0.8058 3 18.6094 1860.9 4.2364 423.6439 16.7485 -5.7198 0.2051 0.0299 -0.241 4 33.6543 3365.4 5.7669 576.6855 30.2888 -7.2510 1.3196 0.0378 -96.94 5 29.5411 2954.1 5.3887 538.8742 26.5870 -6.7709 46.6130 0.0353 -62.18

A Tabela 4 resume os resultados numéricos do modelo obtido através do

método que utiliza o AIC. Os valores dos índices foram calculados sobre o erro de

predição de um passo a frente do modelo para os cinco conjuntos de validação.

Os índices de desempenho anteriormente citados constam na tabela 4 bem

como outros índices: MSE percentual, MAE percentual, MSE regularizado ou

normalizado, erro percentual, amplitude da variância, coeficiente de discrepância.

100ˆ

%

ty

tytyerro

Onde ty é a média dos dados da saída do modelo e ty é a média dos

dados da saída observados no sistema.

ˆ

varAmp

Onde é a variância dos dados da saída do modelo e é a variância dos

dados da saída observados no sistema.

N

t

N

t

N

t

tyty

tytyDiscrep

1

2

1

2

1

2

)()(ˆ

)()(ˆ

Desta forma, os demais índices de desempenho são apenas variações dos

anteriormente explicados como os índices MSE e MAE percentuais e o MSE(R) ou

MSE normalizado apresentado na seção 4.8 como MRSE.

A partir de agora os resultados gráficos apresentados são referentes ao

modelo obtido com a primeira rotina de validação cruzada, que utilizava apenas o

conjunto de estimação e o primeiro conjunto de validação. O modelo obtido foi o

ARX com as ordens 16an , 15bn e 15kn .

68




0 5 10 15 20 25 3046

47

48

49

50

51

52

53

Tempo em segundos

Val

ores

da

tem

pera

tura

de

topo


sistemamodelo


validação.

69

0 500 1000 1500 2000 250050

55

60

65

70

75

80

85

Tempo em segundos

Val

ores

da

tem

pera

tura

de

topo


sistemamodelo


validação.

0 200 400 600 800 1000 1200 140066

68

70

72

74

76

78

80

Tempo em segundos

Val

ores

da

tem

pera

tura

de

topo


sistemamodelo


validação.

70

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 200076

76.5

77

77.5

78

78.5

79

79.5

80

80.5

Tempo em segundos

Val

ores

da

tem

pera

tura

de

topo


sistemamodelo


validação.

0 200 400 600 800 1000 1200 140076.5

77

77.5

78

78.5

79

79.5

80

Tempo em segundos

Val

ores

da

tem

pera

tura

de

topo


sistemamodelo


validação.

71

Na Tabela 5, são apresentados os resultados do modelo ARX [16 15 15] para

diversos índices de desempenho, considerando os cinco conjuntos de validação.

Tabela 5 - Índices calculados para os cinco conjuntos de validação referente ao primeiro modelo

obtido com a validação cruzada.


1 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 1.0000 2 0.8240 82.3957 0.8733 87.0 0.7416 -1.3720 0.0245 0.0072 0.9844 3 1.2488 124.8753 1.0936 109.0 1.1239 -1.4755 0.0301 0.0076 0.9317 4 1.7455 174.5510 1.3096 131.0 1.5710 -1.6467 0.0736 0.0084 -11.72 5 1.6535 165.3549 1.2701 13096.0 1.4882 -1.5958 3.4752 0.0081 -36.63

Visando a obtenção de um modelo mais parcimonioso – relação número de

parâmetros/ajuste razoável – e com melhores resultados para todos os conjuntos de

validação, foi elaborada uma nova rotina para a validação cruzada. Desta vez, o

critério para escolha do modelo foi a manutenção do MSE dentro de uma dada

tolerância para os cinco conjuntos de validação.

E por último são apresentados os resultados gráficos do segundo modelo

obtido pelo método que utiliza a validação cruzada, selecionado pelo MSE calculado

para os cinco conjuntos de validação. O modelo sugerido foi o ARX com as ordens

6an , 12bn e 12kn .




72

0 5 10 15 20 25 3046

47

48

49

50

51

52

53

Tempo em segundos

Val

ores

da

tem

pera

tura

de

topo


sistemamodelo


validação.

0 500 1000 1500 2000 250050

55

60

65

70

75

80

Tempo em segundos

Val

ores

da

tem

pera

tura

de

topo


sistemamodelo


validação.

73

0 200 400 600 800 1000 1200 140066

68

70

72

74

76

78

80

Tempo em segundos

Val

ores

da

tem

pera

tura

de

topo


sistemamodelo


validação.

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 200078.6

78.8

79

79.2

79.4

79.6

79.8

80

80.2

80.4

Tempo em segundos

Val

ores

da

tem

pera

tura

de

topo


sistemamodelo


validação.

74

0 200 400 600 800 1000 1200 140079.1

79.2

79.3

79.4

79.5

79.6

79.7

79.8

79.9

80

80.1

Tempo em segundos

Val

ores

da

tem

pera

tura

de

topo


sistemamodelo


validação.

Na Tabela 6, são apresentados os resultados do modelo ARX [6 12 12] para

diversos índices de desempenho, considerando os cinco conjuntos de validação.

Tabela 6 - Índices calculados para os cinco conjuntos de validação referente ao segundo modelo

obtido com a validação cruzada.


1 0.0002 0.0242 0.0042 0.4 0.0002 0.0085 0.0065 0.0002 0.9999 2 0.0252 2.5227 0.0418 4.2 0.0227 0.0143 0.0073 0.0013 0.9995 3 0.0130 1.2956 0.0799 8.0 0.0117 0.0944 0.0120 0.0008 0.9993 4 0.0243 2.4275 0.1540 15.4 0.0218 0.1933 0.0701 0.0010 0.8469 5 0.0171 1.7096 0.1285 540.4 0.0154 0.1610 0.3458 0.0008 -0.293

5.4- COEFICIENTES ESTIMADOS DOS MODELOS OBTIDOS

Os três modelos ARX comparados através de seus resultados gráficos e

numéricos são apresentados na sua forma compacta e os coeficientes dos

polinômios estimados através do método dos mínimos quadrados. Nas Tabelas 7, 8

e 9 são sumariados os valores dos coeficientes dos três modelos ARX obtidos.

75

)()()()()( 11 tetuqBtyqA

20

1

1 1)(n

nnqaqA

19

2

11

1)(1n

nnqbbqB

Tabela 7 - Coeficientes estimados para o modelo ARX [20 20 0].

1qA 1qB

1a - 0.6562 1b -0.1057

2a 0.06746 2b - 1.197

3a - 0.5522 3b 2.066

4a 0.07402 4b - 1.302

5a 0.3253 5b 1.233

6a - 0.2144 6b - 0.9118

7a 0.3787 7b 1.233

8a - 0.4303 8b - 2.201

9a 0.1074 9b 0.8053

10a 0.1076 10b 0.8458

11a 0.1171 11b - 0.1641

12a - 0.3068 12b - 0.1804

13a 0.6003 13b 0.4141

14a - 0.08385 14b - 0.7116

15a - 0.6896 15b - 0.06598

16a 0.303 16b 1.031

17a 0.1898 17b - 0.2554

18a - 0.3674 18b - 0.4943

19a 0.1941 19b 0.4668

20a - 0.082 20b - 0.175

76

)()15()()()( 11 tetuqBtyqA

16

1

1 1)(n

nnqaqA

15

1

11)(1n

nnqbqB

Tabela 8 - Coeficientes estimados para o modelo ARX [16 15 15].

1qA 1qB

1a - 1.173 1b 1.656

2a 0.9362 2b - 2.148

3a - 0.6055 3b 1.436

4a - 0.5531 4b - 0.4922

5a 0.7945 5b - 0.4431

6a - 0.5493 6b 0.005149

7a 0.4292 7b - 0.04209

8a - 0.4666 8b 0.03544

9a 0.5344 9b - 0.01602

10a - 0.3969 10b - 0.01787

11a 0.09228 11b 0.06666

12a 0.09135 12b - 0.0748

13a 0.0936 13b 0.06738

14a - 0.3927 14b - 0.03392

15a 0.4539 15b 0.03034

16a - 0.2713

77

)()12()()()( 11 tetuqBtyqA

6

1

1 1)(n

nnqaqA

12

1

11)(1n

nnqbqB

Tabela 9- Coeficientes estimados para o modelo ARX [6 12 12].

1qA 1qB

1a - 1.021 1b 0.4096

2a 0.003319 2b - 0.4365

3a - 0.2333 3b - 0.01006

4a 0.03998 4b 0.03309

5a 0.133 5b - 0.004944

6a 0.07535 6b - 0.02207

7b 0.003886

8b - 0.03118

9b 0.009069

10b - 0.02352

11b 0.03605

12b 0.01308

5.5- RESULTADOS DOS MODELOS VARIANDO O HORIZONTE DE PREDIÇÃO

Os modelos obtidos pelos métodos expostos, serão validados quanto ao sua

capacidade de predição de k passos à frente, para os cinco conjuntos de validação.

O MSE será calculado para 20,,1 k . O resumo dos valores de MSE calculados

são apresentados na Tabela 10.

78

Tabela 10 - MSE calculado para o erro de predição de k passos à frente do modelo ARX [6 12 12]

para os cinco conjuntos de validação.

k passos 1º conjunto 2º conjunto 3º conjunto 4º conjunto 5º conjunto

1 0.0002 0.0252 0.0130 0.0243 0.0171 2 0.0006 0.0539 0.0391 0.0988 0.0694 3 0.0010 0.0758 0.0773 0.2262 0.1589 4 0.0010 0.0973 0.1386 0.4568 0.3207 5 0.0010 0.1361 0.2318 0.8289 0.5817 6 0.0010 0.1876 0.3606 1.3452 0.9437 7 0.0010 0.2438 0.5279 2.0194 1.4163 8 0.0010 0.2920 0.7447 2.8905 2.0268 9 0.0010 0.3385 1.0154 3.9768 2.7878

10 0.0010 0.4157 1.3358 5.2811 3.7012 11 0.0010 0.5201 1.7097 6.8179 4.7770 12 0.0010 0.6367 2.1429 8.6056 6.0280 13 0.0010 0.7431 2.6410 10.6533 7.4606 14 0.0010 0.8700 3.2045 12.9665 9.0783 15 0.0010 1.0236 3.8367 15.5543 10.8878 16 0.0010 1.1874 4.5375 18.4258 12.8951 17 0.0010 1.3540 5.3043 21.5873 15.1042 18 0.0010 1.5233 6.1385 25.0440 17.5188 19 0.0010 1.7046 7.0448 28.8021 20.1431 20 0.0010 1.9154 8.0267 32.8676 22.9811

Nas Figuras 50, 52, 54, 56 e 58 são apresentados os gráficos do MSE para

um horizonte de predição variando de 0 a 20 passos à frente, para os cinco

conjuntos de validação.

Nas Figuras 51, 53, 55, 57 e 59 são apresentados os gráficos de comparação

da saída do modelo com a saída do sistema para um horizonte de predição de 20

passos à frente, para os cinco conjuntos de validação.

79

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 202

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12x 10-4

Horizonte de predição

MS

E c

alcu

lado

MSE calculado variando o horizonte de predição

MSE

Figura 50 - MSE calculado para o erro de predição de k passos à frente para o primeiro conjunto de

validação.

0 5 10 15 20 25 3046

47

48

49

50

51

52

53

Tempo em segundos

Val

ores

da

tem

pera

tura

de

topo


sistemamodelo

Figura 51 - Comparação entre saída do modelo e saída do sistema para a predição de 20 passos à

frente para o primeiro conjunto de validação.

80

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2


MS

E c

alcu

lado


MSE

Figura 52 - MSE calculado para o erro de predição de k passos à frente para o segundo conjunto de

validação.

0 500 1000 1500 2000 250050

55

60

65

70

75

80

85

Tempo em segundos

Val

ores

da

tem

pera

tura

de

topo


sistemamodelo


frente para o segundo conjunto de validação.

81

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

1

2

3

4

5

6

7

8

9


MS

E c

alcu

lado


MSE

Figura 54 - MSE calculado para o erro de predição de k passos à frente para o terceiro conjunto de

validação.

0 200 400 600 800 1000 1200 140066

68

70

72

74

76

78

80

82

84

Tempo em segundos

Val

ores

da

tem

pera

tura

de

topo


sistemamodelo


frente para o terceiro conjunto de validação.

82

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

5

10

15

20

25

30

35


MS

E c

alcu

lado


MSE

Figura 56 - MSE calculado para o erro de predição de k passos à frente para o quarto conjunto de

validação.

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 200078

79

80

81

82

83

84

85

86

87

Tempo em segundos

Val

ores

de

tem

pera

tura

de

topo


sistemamodelo


frente para o quarto conjunto de validação.

83

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

5

10

15

20

25


MS

E c

alcu

lado


MSE

Figura 58 - MSE calculado para o erro de predição de k passos à frente para o quinto conjunto de

validação.

0 200 400 600 800 1000 1200 140079

80

81

82

83

84

85

86

Tempo em segundos

Val

ores

da

tem

pera

tura

de

topo


sistemamodelo


frente para o quinto conjunto de validação.

84

5.6- RESULTADOS DA ANÁLISE DOS RESÍDUOS

Os modelos serão agora submetidos aos testes de análise de resíduos para

verificar se existe correlação significativa – duas vezes o desvio padrão – nos

resíduos e também entre os resíduos e a entrada. Serão comparados dois dos

modelos obtidos utilizando o conjunto de estimação e os cinco conjuntos de

validação.

Nas Figuras 60, 62, 64, 66, 68 e 70 são apresentados os gráficos da função

de autocorrelação dos resíduos do modelo ARX [20 20 0], para o conjunto de

estimação e para os cinco conjuntos de validação.

Já nas Figuras 61, 63, 65, 67, 69 e 71 são apresentados os gráficos da

função correlação cruzada entre a entrada e os resíduos do modelo ARX [20 20 0],

para o conjunto de estimação e para os cinco conjuntos de validação.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.5

0

0.5

1

Atrasos

Val

or d

e au

toco

rrela

ção

calc

ulad

o

Autocorrelação dos resíduos do modelo

Figura 60 - Autocorrelação dos resíduos para o conjunto de estimação.

85

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

Atrasos

Val

or d

e co

rrela

ção

cruz

ada

calc

ulad

o

Correlação cruzada entre entrada e resíduos

Figura 61 - Correlação cruzada entre os resíduos e a entrada para o conjunto de estimação.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Atrasos

Val

or d

e au

toco

rrela

ção

calc

ulad

o


Figura 62 - Autocorrelação dos resíduos para o primeiro conjunto de validação.

86

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Atrasos

Val

or d

e co

rrela

ção

cruz

ada

calc

ulad

o


Figura 63 - Correlação cruzada entre os resíduos e a entrada para o primeiro conjunto de validação.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

Atrasos

Val

or d

e au

toco

rrela

ção

calc

ulad

o


Figura 64 - Autocorrelação dos resíduos para o segundo conjunto de validação.

87

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20-0.6

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

Atrasos

Val

or d

e co

rrela

ção

cruz

ada

calc

ulad

o


Figura 65 - Correlação cruzada entre os resíduos e a entrada para o segundo conjunto de validação.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

Atrasos

Val

or d

e au

toco

rrela

ção

calc

ulad

o


Figura 66 - Autocorrelação dos resíduos para o terceiro conjunto de validação.

88

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20-0.8

-0.7

-0.6

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

Atrasos

Val

or d

e co

rrela

ção

cruz

ada

calc

ulad

o


Figura 67 - Correlação cruzada entre os resíduos e a entrada para o terceiro conjunto de validação.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

Atrasos

Val

or d

e au

toco

rrela

ção

calc

ulad

o


Figura 68 - Autocorrelação dos resíduos para o quarto conjunto de validação.

89

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20-0.6

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

Atrasos

Val

or d

e co

rrela

ção

cruz

ada

calc

ulad

o


Figura 69 - Correlação cruzada entre os resíduos e a entrada para o quarto conjunto de validação.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

Atrasos

Val

or d

e au

toco

rrela

ção

calc

ulad

o


Figura 70 - Autocorrelação dos resíduos para o quinto conjunto de validação.

90

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

Atrasos

Val

or d

e co

rrela

ção

cruz

ada

calc

ulad

o


Figura 71 - Correlação cruzada entre os resíduos e a entrada para o quinto conjunto de validação.


de autocorrelação dos resíduos do modelo ARX [6 12 12], para o conjunto de

estimação e para os cinco conjuntos de validação.


correlação cruzada entre a entrada e os resíduos do modelo ARX [6 12 12], para o

conjunto de estimação e para os cinco conjuntos de validação.

91

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Atrasos

Val

or d

e au

toco

rrela

ção

calc

ulad

o


Figura 72 - Autocorrelação dos resíduos para o conjunto de estimação.

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

Atrasos

Val

or d

e co

rrela

ção

cruz

ada

calc

ulad

o


Figura 73 - Correlação cruzada entre os resíduos e a entrada para o conjunto de estimação.

92

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Atrasos

Val

or d

e au

toco

rrela

ção

calc

ulad

o


Figura 74 - Autocorrelação dos resíduos para o primeiro conjunto de validação.

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

Atrasos

Val

or d

e co

rrela

ção

cruz

ada

calc

ulad

o


Figura 75 - Correlação cruzada entre os resíduos e a entrada para o primeiro conjunto de validação.

93

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Atrasos

Val

or d

e au

toco

rrela

ção

calc

ulad

o


Figura 76 - Autocorrelação dos resíduos para o segundo conjunto de validação.

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

Atrasos

Val

or d

e co

rrela

ção

cruz

ada

calc

ulad

o


Figura 77 - Correlação cruzada entre os resíduos e a entrada para o segundo conjunto de validação.

94

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

Atrasos

Val

or d

e au

toco

rrela

ção

calc

ulad

o


Figura 78 - Autocorrelação dos resíduos para o terceiro conjunto de validação.

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

Atrasos

Val

or d

e co

rrela

ção

cruz

ada

calc

ulad

o


Figura 79 - Correlação cruzada entre os resíduos e a entrada para o terceiro conjunto de validação.

95

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

Atrasos

Val

or d

e au

toco

rrela

ção

calc

ulad

o


Figura 80 - Autocorrelação dos resíduos para o quarto conjunto de validação.

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Atrasos

Val

or d

e co

rrela

ção

cruz

ada

calc

ulad

o


Figura 81 - Correlação cruzada entre os resíduos e a entrada para o quarto conjunto de validação.

96

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

Atrasos

Val

or d

e au

toco

rrela

ção

calc

ulad

o


Figura 82 - Autocorrelação dos resíduos para o quinto conjunto de validação.

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Atrasos

Val

or d

e co

rrela

ção

cruz

ada

calc

ulad

o


Figura 83 - Correlação cruzada entre os resíduos e a entrada para o quinto conjunto de validação.

97

A partir dos gráficos obtidos, é possível perceber que na maioria dos casos as

funções de autocorrelação dos resíduos não apresentam o comportamento

desejado. Em contrapartida os resíduos gerados pelo modelo se distribuem

normalmente com média nula e variância 2e .

98

CAPÍTULO VI

CONCLUSÃO

A partir dos resultados expostos neste trabalho foi possível concluir que a

modelagem de colunas de destilação, bem como a de outros sistemas industriais,

pode ser efetuada a contento através de modelos auto-regressivos.

Os modelos aqui obtidos não utilizam os recursos e técnicas mais avançadas

dentro da teoria de identificação de sistemas, mas mesmo com modelos lineares

reproduz de forma bastante aproximada o comportamento dinâmico do sistema

pesquisado.

Estes modelos são representações discretas lineares do sistema dinâmico em

estudo. As amostras utilizadas para o ajuste destes modelos representam o

funcionamento do sistema em condições normais de operação. Portanto os modelos

aqui expostos visam representar de maneira fiel o sistema próximo a este ponto

operacional.

A metodologia utilizada segue passos comuns aos mencionados em trabalhos

científicos da área. A partir de sua aplicação foram obtidos três modelos através de

dois métodos distintos – o critério de informação de Akaike (AIC) e a validação

cruzada – sendo eles: ARX [20 20 0], ARX [16 15 15] e ARX [6 12 12], tendo este

último atingido melhor desempenho em termos de minimização do MSE para os

cinco conjuntos de validação.

Tanto o modelo ARX [20 20 0] como o ARX [16 15 15] coincidiram em ser os

modelos de ordem mais elevada nas possíveis combinações. Apesar de ambos

obterem bons resultados, em termos de ajuste, para os dados de estimação e um

primeiro conjunto de dados de validação, não obtiveram o mesmo desempenho para

os demais conjuntos de validação, além de irem contra o princípio da parcimônia,

que orienta a escolha do modelo não só na sua capacidade de ajuste, como também

na quantidade reduzida de parâmetros.

O modelo que se mostrou mais eficiente em minimizar o índice MSE para os

cinco conjuntos de validação, foi o ARX [6 12 12]. O desempenho deste modelo foi

superior aos outros dois e além de ser o que possuía um menor número de

parâmetros, atendendo o princípio da parcimônia.

99

Os modelos obtidos foram ainda analisados através do cálculo de outros

índices de desempenhos como o MAE, MAPE, R2, etc. O desempenho dos modelos

foi semelhante à comparação com o MSE.

O desempenho preditivo dos modelos foi avaliado com o índice MSE para um

horizonte de predição variável. A análise destes resultados mostra que, à medida

que o horizonte de predição aumenta o MSE também aumenta, e mais uma vez os

melhores resultados são conseguidos pelo segundo modelo obtido pela validação

cruzada.

Os resíduos do modelo foram analisados com o artifício das funções de

autocorrelação para os resíduos e correlação cruzada entre os resíduos e a variável

de entrada. É sabido que uma boa modelagem gera resíduos com comportamento

de ruído branco, ou seja, a autocorrelação é nula para os atrasos superiores ou

iguais a um. Apesar de na maioria dos casos as funções de autocorrelação dos

resíduos não apresentam o comportamento desejado, os resíduos gerados pelo

modelo se distribuem normalmente com média nula e variância 2e .

A contribuição deste trabalho foi a aplicação de uma metodologia já

consolidada para obtenção de um modelo matemático que represente de forma pelo

menos parcial o comportamento dinâmico do sistema estudado. E também a

utilização de cinco diferentes conjuntos de dados para a validação do modelo.

Colunas de destilação são equipamentos industriais que influenciam a

produção de diversos derivados necessários para a sociedade. Usinas de refino de

álcool combustível e álcool hidratado, usinas de refino de petróleo, ou seja, as

principais indústrias do setor energético e de combustíveis, indústrias que

fundamentam o processamento da matéria-prima em separação de seus

componentes e comercialização dos componentes de maior valor agregado.

Dentre as sugestões para trabalhos futuros fica a modelagem do sistema

utilizando modelos não lineares (NARX e NARMAX) e validação da capacidade

preditiva destes modelos para o mesmo horizonte utilizado neste trabalho.

Cabe destacar também a utilização dos modelos obtidos para subsidiar o

desenvolvimento de técnicas e métodos para a otimização e controle do sistema,

como por exemplo, desenvolvimento de controladores preditivos.

Modelos matemáticos dinâmicos, como os obtidos neste trabalho, podem ser

utilizados como base para outros estudos, que objetivem controle, estabilidade,

otimização e simulação de sistemas industriais.

100

REFERÊNCIAS

Aguirre, L. A. (2000) Introdução à identificação de sistemas: técnicas lineares e não

lineares aplicadas a sistemas reais. 1. ed. Belo Horizonte-MG: Editora UFMG, 554p.

Akaike, H. (1974) A new look at the statistical model identification. IEEE Transactions

on Automatic Control. 19:6 716-723.

Barroso, M. F. S., Saldanha R. R., Aguirre, L. A. (2002) Comparação de métodos

mono-objetivo em identificação caixa-cinza, TEMA – Tendências em Matemática

Aplicada e Computacional, publicação da Sociedade Brasileira de Matemática

Aplicada e Computacional. 3(2):43-52.

Belicanta, J. (2004) Coluna de para-destilação: análise das características

hidrodinâmicas e de eficiência de Murprhree. Dissertação (Mestrado em Engenharia

Química) – Campinas-SP - Universidade Estadual de Campinas – UNICAMP, 124p.

Borjas, S. D. M., Garcia, C. (2004) Modelagem de FCC usando métodos de

identificação por predição de erro e por sub-espaços. IEEE Latin America

Transactions. 2.

Box, G. E. P., Jenkins, G. M., Reinsel, G. C. (1994) Time Series Analysis:

Forecasting and Control. 3. ed. New Jersey: Prentice Hall, 592p.

Bravo, M. A. S. (2006) Métodos Matemáticos de Sistemas mediante Identificación

Paramétrica. III Seminario Internacional de Aplicaciones de la Matemática, Lima,

Peru.

Campos, M. C. M. M., Teixeira, H. C. G (2006) Controles típicos de equipamentos e

processos industriais. 1. ed. São Paulo-SP: Blücher, 416 p.

Carvalho, A. S., Guillermo, L. H. F. (2007) Modelagem de colunas de destilação

através de modelos auto-regressivos. IV Simpósio de Excelência em Gestão e

Tecnologia – SEGeT. Resende-RJ: AEDB.

101

Carvalho, A. S., Braga, A. G., Figueiredo, H. A. de (2004) Identificação por RNA da

relação vazão de alimentação por temperatura de topo de uma coluna de destilação

didática. Monografia (Graduação de Tecnologia em Automação Industrial) –

Campos-RJ – Centro Federal de Educação Tecnológica de Campos – CEFET-

Campos, 82p.

Crespo, L. S. (2000) Montagem, verificação de comportamento dinâmico e teste de

operacionalidade de uma torre de destilação piloto. Dissertação (Mestrado em

Engenharia Elétrica) – Vitória-ES – Universidade Federal do Espírito Santo – UFES,

120p.

Cruz, T. V. G. (2006) Identificação experimental de um modelo dinâmico de uma

microturbina a gás com câmara de combustão com baixa emissão de NOx.

Dissertação (Mestrado em Engenharia Mecânica) - Brasília-DF - Faculdade de

Tecnologia da Universidade de Brasília, 152p.

Dallagnol, V. A. F. (2005) Identificação de modelos ARMAX e NARMAX para um

poço de petróleo operando com por injeção contínua de gás. Dissertação (Mestrado

em Engenharia Elétrica) - Florianópolis-SC - Universidade Federal de Santa Catarina

- UFSC, 138p.

Doma, M. J., Taylor, P. A., Vermeer, P. J. (1996) Closed loop identification of MPC

models for MIMO processes using genetic algorithms and dithering one variable at a

time: application to an industrial distillation tower. Computers Chemical. Engineering.

20: SI035-SI040.

Furtado, E. C., Mendes, E. M. A. M., Nepomuceno, E. G., Silva, V. V. R. E. (2002)

Identificação de sistemas dinâmicos não-lineares contínuos utilizando modelos

NARMAX: estudo de caso de um forno a arco elétrico. Anais do XIV Congresso

Brasileiro de Automática, Natal-RN.

Gomide, R. (1988) Operações Unitárias Volume IV. 1. ed. São Paulo-SP: Edição do

Autor,187p.

102

Hovd, M., Michaelsen, R., Montin, T. (1997) Model Predictive Control of a Crude Oil

Distillation Column. Computers & Chemical Engineering. 21:S893-S897.

Júnior, C. A. V., Barbabela, B. A., (2006) Análise exploratória da aplicação de

modelos auto-regressivos na previsão do comportamento dos preços de derivados

de petróleo. Anais do IX SEMEAD – Seminários em Administração FEA-USP. São

Paulo:USP.

Jurado, F., Carpio, J. (2003) Modelado de la micro-turbina em el sistema de

distribución mediante estructuras NARX. Revista IEEE América Latina, 1(1).

Lara, J. M. V. (2005) Identificação de modelos para controle preditivo: aplicação a

uma planta de lodos ativados. Tese (Doutorado em Engenharia Elétrica) –

Campinas-SP - Universidade Estadual de Campinas - UNICAMP, 215p.

Ljung, L., Glad, T. (1994) Modeling of dynamic systems. 1. ed. New Jersey: Prentice

Hall, 368p.

Marangoni, C. (2005) Implementação de uma estratégia de controle com ação

distribuída em uma coluna de destilação. Tese (Doutorado em Engenharia Química)

– Florianópolis-SC – Universidade Federal de Santa Catarina - UFSC, 151p.

Moraes, C. A. S. (2004) Modelagem, controle e minimização do consumo de energia

de uma unidade de fracionamento de nafta. Dissertação (Mestrado em Engenharia

Elétrica) – Campinas-SP – Universidade Estadual de Campinas – UNICAMP, 193p.

Naegele, E. F. da S. (2000) Proposta para uma coluna de destilação didática:

mistura etanol-água. Dissertação (Mestrado em Engenharia Elétrica) – Vitória-ES –

Universidade Federal do Espírito Santo – UFES, 135p.

Rasovsky, E. M. (1973) Álcool: Destilarias. 1. ed. Rio de Janeiro-RJ: MIC, 384p.

Schneider, R., Noeres, C., Kreul, L.U., Górak, A. (2001) Dynamic modeling and

simulation of reactive batch distillation. Computers & Chemical Engineering. 25:169-

176.

103

Silva, C. A. M. (2006) Exploração de métodos de seleção de variáveis pela técnica

de regressão logística para análises de dados epidemiológicos. Dissertação

(Mestrado em Ciência Médicas) – Campinas-SP – Universidade Estadual de

Campinas – UNICAMP, 66p.

Souza, R. C., Camargo, M. E. (1996) Análise e previsão de séries temporais: os

modelos ARIMA. 1. ed. Santa Maria: Edição do autor, 242p.

Trautwein, B. J. (2004) Avaliação de métodos para previsão de consumo de água

para curtíssimo prazo: um estudo de caso em empresa de saneamento. Dissertação

(Mestrado em Engenharia de Produção e Sistemas) - Curitiba-PR - Universidade

Católica do Paraná, 123p.

Zanata, D. R. P. (2005) Desenvolvimento de um sensor virtual empregando redes

neurais para a medição da composição em uma coluna de destilação. Dissertação

(Mestrado em Engenharia) – São Paulo-SP - Escola Politécnica da Universidade de

São Paulo, 245p.

MODELAGEM DE COLUNAS DE DESTILAÇÃO ATRAVÉS DE … · modelagem de colunas de destilaÇÃo...

Documents

Transcript of MODELAGEM DE COLUNAS DE DESTILAÇÃO ATRAVÉS DE … · modelagem de colunas de destilaÇÃo...