Faculdade de Ps-Graduao em Integridade de

Materiais da Engenharia (I) e Cincias Mecnicas (II) Universidade de Braslia - UnB

Viviane Cristina Rodrigues Feitoza 13/0151441 (I)

Gino Bertollucci Colherinhas 14/0174125 (II)

Modelagem do comportamento dinmico de um violo

clssico e otimizao do modelo de duas massas

Braslia DF

2015

2

Viviane Cristina Rodrigues Feitoza

Gino Bertollucci Colherinhas

Modelagem do comportamento dinmico de um violo

clssico e otimizao do modelo de duas massas

Relatrio Tcnico sobre as atividades

desenvolvidas na disciplina Tpicos Especiais em

Sistemas Dinmicas Interao Fluido-

Estrutura, no Curso de Engenharia Mecnica/

Cincias Mecnicas, na Universidade de Braslia.

Professor: Marcus Vinicius Giro de Morais

Braslia DF

2015

3

RESUMO

Este trabalho caracteriza-se pelo estudo cerca da dinmica vibroacstica de um violo clssico atravs de modelos analticos e de ensaios experimentais. Tais dados experimentais sero utilizados para aplicao em um modelo de quatro massas e, atravs de algoritmos evolutivos, buscar-se- a compatibilidade deste a um modelo de duas massas.

Palavras-chave: Comportamento dinmico de um violo clssico, modelo 2 massas, modelo 4 massas, algoritmos evolutivos.

4

SUMRIO

1. INTRODUO ................................................................................................ 6

1.1. OBJETIVOS ................................................................................................. 6

2. MODELOS ANALTICOS.................................................................................. 7

2.1. MODELO ANALTICO DE DUAS MASSAS ...................................................... 7

2.1.1. Derivao do modelo fsico ................................................................ 8

2.1.2. Resultados ......................................................................................... 9

2.2. MODELO ANALTICO DE QUATRO MASSAS ............................................... 11

2.2.1. Derivao do Modelo Fsico .............................................................. 11

2.2.2. Resultados ....................................................................................... 12

2.3. RESPOSTA DINMICA DE UMA CORDA DEDILHADA .................................. 14

3. OTIMIZAO ............................................................................................... 18

3.1. ALGORITMOS GENTICOS ........................................................................ 19

3.1.1. Populao inicial .............................................................................. 19

3.1.2. Funes Objetivos ............................................................................ 20

3.1.3. Resultados ....................................................................................... 20

4. BIBLIOGRAFIA ............................................................................................. 22

5. ANEXOS ....................................................................................................... 23

5.1. ALGORITMO PARA MODELO DUAS MASSAS ............................................. 23

5.2. ALGORITMO PARA MODELO QUATRO MASSAS ........................................ 24

5

FIGURAS

Figura 2.1 Modelo simplificado para funo de violo de baixa frequncia ............. 7

Figura 2.2 Resposta em frequncia para o modelo de duas massas ....................... 10

Figura 2.3 Fases para o modelo de duas massas (mesmas cores da Figura 2.2)...... 10

Figura 2.4 Modelo de um violo com quatro massas (Popp, 2011) adaptada ...... 11

Figura 2.5 Resposta em frequncia para o modelo de quatro massas .................... 13

Figura 2.6 Fases para o modelo de duas massas (mesmas cores da Figura 2.5)...... 13

Figura 2.7 Deflexo inicial da corda ....................................................................... 14

Figura 3.1 Resposta do mesmo experimento para duas e quatro massas. ............. 18

Figura 3.2 Fluxograma de um algoritmo gentico .................................................. 19

Figura 3.3 Melhores valores fitness de cada gerao ............................................. 21

Figura 3.4 Grfico de resposta em frequncia do melhor fitness do AG ................. 21

TABELAS

Tabela 2.1 Frequncias de Ressonncia para modelo de 2 massas ........................ 10

Tabela 2.2 Frequncias de Ressonncia para modelo de 4 massas ........................ 12

Tabela 3.1 Valores do melhor fitness do AG .......................................................... 21

6

1. INTRODUO

As duas primeiras frequncias de ressonncia mais baixas do violo ocorrem a

aproximadamente 100 e 200 Hz. Estas ressonncias so encontradas em todos os

violes e podem variar em frequncia no alcance tpico de 90 a 120 Hz, para a primeira

ressonncia e 170 a 250 Hz, para a segunda ressonncia. Estudos de interferometria do

holograma da parte superior do violo tm mostrado que a segunda ressonncia

corresponde ao mais baixo modo da placa superior. A primeira ressonncia

encontrada apenas em instrumentos completos, ou seja, quando um invlucro de

cavidade adicionado a placa superior. E portanto, relacionada com a ressonncia de

Helmholtz de cavidade do violo.

As cordas abertas do violo esto sintonizadas em 2(82,4Hz) para o mais baixo em

4(329,6Hz) para a mais alta corda levantada. A resposta do instrumento na gama de

frequncia das duas primeiras ressonncias , por conseguinte importante para a

qualidade musical do instrumento. Para a famlia do violino, o autor, Hutchins mostrou

importncia as duas menores ressonncias, ar e madeira principal, na determinao das

propriedades musicais do instrumento completo, e ele usou as propriedades de escala

destas ressonncias com tamanho do instrumento para construir uma nova famlia de

violinos. Temos, portanto, achado que vale a pena estudar o violo na gama de

frequncia das duas mais baixas ressonncias.

Neste artigo, os autores consideraram a resposta de frequncia a presso do som e

da mobilidade da placa superior (admisso mecnica) do violo na gama das duas

primeiras frequncias de ressonncia. O acoplamento entre a ressonncia de Helmholtz

da placa superior investigada, e a relao entre as ressonncias e as duas primeiras

ressonncias do violo so dadas. Um modelo simples apresentado para este sistema

de osciladores acoplados sobre a base das equaes newtonianas de movimento.

Apesar de sua simplicidade, o modelo descreve corretamente a variao com frequncia

do nvel de presso sonora e o nvel de mobilidade da parte superior (Christensen &

Vistisen, 1980).

1.1. OBJETIVOS

O comportamento dinmico da caixa acstica do violo descrito pelo acoplamento

entre a vibrao da estrutura da caixa de ressonncia com o ar contido e atravs de

modelos simplicados de duas (Christensen & Vistisen, 1980) e quatro massas discretas

(Popp, 2011). Um estudo cerca do comportamento destes modelos ser feito e

descrito neste trabalho final da disciplina de Interao Fluido-Estrutura. Condies de

contorno sero atribudas a uma corda dedilhada determinando seu movimento

subsequente.

7

Sero utilizados para o desenvolvimento dos clculos, em um violo de quatro

massas, valores experimentais obtidos atravs de um trabalho parcial para obteno de

grau de engenheiro mecnico (Esashika, 2015) e, utilizando-se de algoritmos evolutivos,

dados sero buscados para a aproximao deste a um modelo de duas massas.

2. MODELOS ANALTICOS

A resposta da presso do som e a mobilidade da placa ou lmina superior

pesquisada ao redor das duas primeiras ressonncias do violo. Estas ressonncias so

mostradas para resultar de um acoplamento entre o modo da placa superior

fundamental e a ressonncia de Helmholtz da cavidade.

Um modelo simples proposto para a funo do violo de baixa frequncia com

duas massas no Captulo 2.1. O modelo prev a resposta de frequncia da presso de

som e mobilidade da placa superior que esto em concordncia quantitativa prxima

com respostas experimentais. O nvel de presso sonora absoluto e o nvel de

mobilidade so previstos para dentro de poucos decibis e a rea do pisto equivalente

da placa superior determinada. Todos os parmetros desse modelo podem ser

diretamente derivados de medies das frequncias das duas primeiras ressonncias e

da ressonncia de Helmholtz da cavidade. A ressonncia de Helmoltz encontrada como

antirressonncia no espectro de mobilidade da placa superior.

2.1. MODELO ANALTICO DE DUAS MASSAS

A placa superior substituda por um pisto de rea equivalente e massa ,

conectada a uma mola de rigidez . O ressonador Helmholtz modelado como um

pisto de ar de massa oscilando contra a rigidez do ar na cavidade.

Figura 2.1 Modelo simplificado para funo de violo de baixa frequncia

Sendo:

= rea equivalente do Pisto;

8

= Massa equivalente da placa superior;

= Massa de pisto de ar na boca do violo;

= Deslocamento da placa superior;

= Deslocamento de pisto de ar na boca do violo;

= Volume da cavidade do violo;

= rea da boca do violo.

2.1.1. Derivao do modelo fsico

A posio da placa superior num dado momento em relao sua posio de

equilbrio e a posio do pisto de ar . Em ambos so atribudos valores positivos

para o movimento para fora. A alterao correspondente no volume da cavidade no

modelo da figura acima = + .

Para a compresso adiabtica, a alterao resultante na presso da cavidade

= , onde definimos = 2/. Esta presso exerce uma fora sobre os

dois osciladores de e . Assim, um acoplamento de um oscilador induz a uma

mudana na presso da cavidade que d origem a uma fora sobre o outro oscilador.

Isso explica basicamente, o acoplamento entre a ressonncia da primeira placa superior

e a ressonncia de Helmholtz. De modo a calcular a presso corretamente, o volume

de deslocamento deve igualar o deslocamento de volume real produzida pela placa

superior. Se deixarmos representar o deslocamento mximo no centro do brao do

violo, ser conformemente menor do que a rea atual no acesso inferior do violo.

Agora podemos escrever as equaes de movimento para os dois osciladores como:

= +

= .

Onde, e so as resistncias ao movimento da placa e o pisto de ar. Para o

violo real a rea equivalente no termo pode no igualar exatamente a rea dado

o deslocamento de volume correto. Por razes de simplicidade, vamos usar apenas

smbolo para a rea equivalente. Quando nas equaes acima inserimos

= ( + )

os seguintes resultados so obtidos:

= ( + 2)

= 2 .

9

O ltimo termo nessas equaes d o acoplamento entre os dois osciladores. O

acoplamento pode ser expresso em termos de uma constante de acoplamento da

mesma dimenso como uma constante de mola = .

Na forma matricial:

( 00

) [

] + ( 00

) [

] + ( +

2

2) [

] = [00

]

Ou ainda: + + =

Onde:

= ( 00

) , = ( 00

) , = ( +

2

2)

Podemos escrever da seguinte forma:

= 0

= 0

= ()20 = 20

Fazendo a substituio na representao matricial,

(20) + (0

) + (0) =

Colocando 0 em evidncia,

(2 + + )0 =

2.1.2. Resultados

Dados foram aplicados em rotina matlab disponibilizada nos anexos (Captulo 5.1)

para determinao das frequncias, modos e determinao da respostas e fases em funo

da frequncia. Neste primeiro passo utilizou-se os seguintes valores:

= 0.034 (Massa gerada pelo ar na regio do tampo do violo)

= 0.00051 (Massa gerada pelo ar na regio da boca do violo)

= 0.0312 (rea do tampo do violo)

= 0.005892 (rea da boca do violo)

= 40800/ (Rigidez do tampo do violo)

= 343.3/ (Velocidade do som)

= 1.205/3 (Massa especfica do ar)

= 0.01243 (Volume)

Deslocamento

Velocidade

Acelerao

10

As frequncias e modos naturais foram encontradas, ento. So as frequncias:

Tabela 2.1 Frequncias de Ressonncia para modelo de 2 massas

Modos de Vibrao (Hz) Frequncias de Ressonncia (Hz)

1 Modo 115,45

2 Modo 212,13

A resposta em frequncia dada pelo seguinte grfico:

Figura 2.2 Resposta em frequncia para o modelo de duas massas

E as fases:

Figura 2.3 Fases para o modelo de duas massas (mesmas cores da Figura 2.2)

11

2.2. MODELO ANALTICO DE QUATRO MASSAS

O modelo de quatro massas uma extenso do modelo de duas massas, proposto

pela bibliografia (Popp, 2011). Alm de considerar a oscilao do fundo do violo,

considera tambm o movimento das laterais da caixa de ressonncia do violo.

Figura 2.4 Modelo de um violo com quatro massas (Popp, 2011) adaptada

O artigo menciona a implementao do quarto grau de liberdade devido ao fato de

trs modos de vibrao estarem na faixa de frequncias entre 90 240, sendo um

desses relativo ao movimento lateral (Esashika, 2015).

2.2.1. Derivao do Modelo Fsico

A partir da bibliografia (Popp, 2011), o modelo da Figura 2.4 nos d que:

= 0 ( ) +

= ( + ) +

= +( ) ( + )

= +

Sendo = , = 2/, = ( ) + ( + ) + ( ).

Onde = , , , , respectivamente para o tampo (top), fundo (back), lateral (ribs)

e boca (air piston) do violo.

Para este modelo, reescrevemos matricialmente:

[

0 0 00 0 00 0 00 0 0

] [

] + [

0 0 00 0 00 0 0 00 0 0

] [

]

+

[ +

2 +

+ 2 +

+ 0

2

]

[

] = [

0000

]

12

Introduzindo um amortecimento proporcional a este modelo, os coeficientes de

amortecimentos so descritos por:

1 =1

2(01

+ 11) , 2 =1

2(02

+ 21)

3 =1

2(03

+ 31) , 4 =1

2(04

+ 41)

2.2.2. Resultados

Os valores para este modelo de quatro massas foram utilizados a partir dos dados

experimentais coletados, sendo eles:

= 0.1277 (Massa gerada pelo ar na regio do tampo do violo)

= 0.1277 (Massa gerada pelo ar no pisto do violo)

= 0.4 (Massa gerada pelo ar na regio lateral do violo)

= 0.002007 (Massa gerada pelo ar na regio do fundo do violo)

= 0.0412 (rea do tampo do violo)

= 0.0412 (rea do fundo do violo)

= 0.022352 (rea da boca do violo)

= 33240/ (Rigidez do tampo do violo)

= 87010/ (Rigidez do fundo do violo)

= 343.3/ (Velocidade do som)

= 1.205/3 (Massa especfica do ar)

= 0.01243 (Volume)

Uma rotina MATLAB foi elaborada (Captulo 0), sendo capaz de descobrir as

frequncias naturais, modos e calcular as respostas e fases em funo frequncia desse

sistema.

Tabela 2.2 Frequncias de Ressonncia para modelo de 4 massas

Modos de Vibrao (Hz) Frequncias de Ressonncia (Hz)

1 Modo 369,74

2 Modo 0,00

3 Modo 94,36

4 Modo 161,09

A resposta em frequncia dada pelo seguinte grfico:

13

Figura 2.5 Resposta em frequncia para o modelo de quatro massas

E as fases:

Figura 2.6 Fases para o modelo de duas massas (mesmas cores da Figura 2.5)

14

2.3. RESPOSTA DINMICA DE UMA CORDA DEDILHADA

Se uma corda de comprimento , fixas em ambas as extremidades, puxada no seu

ponto mdio, como mostrado na figura e ento solta, liberada, podemos determinar seu

movimento subsequente (Rao, 2010).

Figura 2.7 Deflexo inicial da corda

Equao que descreve a posio inicial da corda no instante = 0.

0() = 00

, 0 0

0() = 0 ( 1 0 0

) , 0

(, ) =

=1

(, ) =

=1

(

) [ cos (

) + (

)]

Considerando a condio inicial da velocidade igual a zero 0() = 0.

=2

0()

0

= 0

=2

0

0

() (

)

=2

( 0

0

0

() (

) + 0

0

() (

))

Fazendo

1 = 0

0

0

() (

)

0

15

2 = 0()(

)

0

1 = 00

0

0

(

)

obtemos,

1 =00

{ (

) (

)cos (

)

2 ( )

2 } |0 0

1 =00

2 { (

0 ) (

0 ) (

0 )

22}

2 = 0 (1 ( 0)

( 0))

0

(

)

2 = 0 { (

)

( 0)

( 0)

0

0

(

)}

Fazendo,

3 = (

),

0

4 = ( 0)

( 0) (

)

0

3 = (

)

0

= (

)

|

4 =1

( 0)( 0

0

) (

)

4 = 1

( 0){

0

(

) 0

0

(

) }

16

4 =1

( 0){ (

) (

) cos (

) +

0 cos (

)

( )

2 } |

Para =

4 =

1

( 0)[

2

2 2 cos() +

0

cos()]

Para = 0

40 =

1

( 0){ (

0 ) (

0 ) cos (

0 )

( )

2 +0

cos (

0

)}

Voltando a equao de ,

=2

(1 + 2) =

2

( 1 + 03 04)

=2

{1+03 0(4

40)}

= 2

{ 1 + 0(3 4

+ 40}

Resolvendo 3 4 + 4

0:

3 4 + 4

0 =

( (

0

) ()) 1

( 0){0

()

2

()}

+1

( ){ (

0 ) (

0 ) + (

0 )

( )

2 +0

(0

)}

=

(

0

)

()

1

( 0)

()

(0

2)

+1

( 0)(

)

2

(0

)

1

( 0)

0

2

()2 (

0

)

+1

( 0)

0

(

0

) =

17

cos()

{ +

(0 2)

( 0)} + (

0

) {(1

( 0)) (

)

2

} +

(0

)

(0

0) + (

0 0

)

( 3 4 + 4

0 ) =

cos (

0

) +

+1

( 0)(

)

2

(0

)

{1 (

0 0

) cos ()}

3 4 4

0 =

cos (

0

) +1

0(

)

2

(0

)

Voltando para

=2

{1 + 0 [

(

0

) + 1

( 0) (

)2

(0

)]}

=2

{00

(

)2

(0

)

00

(

)

2

(0

) cos (

0

) +

+0 (

) (

0

) + 0

( 0) (

)

2

(0

)}

Constante que depende das condies iniciais:

=2

{0 (

)

2

(0

) [

1

0+

1

0]}

Voltando a equao original para w(, )

w(, ) =

=1

(

) cos (

)

= (, ) = 2

0 (

)

2

(1

0+

1

0) (

0

) ((

) (

))

=1

Para verificar a soluo, 0 =

2

(, ) = 2

=1

0 (

)

2

( 2

+

2

) (

2) (

) cos (

)

18

(, ) = 80

()2 (

2) (

)

=1

(

)

Deslocamento transversal da corda para as condies de contorno que foram

atribudas.

3. OTIMIZAO

Como foi mencionado, um dos objetivos desse projeto a otimizao do modelo de

duas massas aproximando-o para um de quatro, pois este modelo mais prximo do

real. Para tal feito, partiremos do modelo experimental proposto pelo Captulo 2.2 onde

objetivar-se- o uso algoritmo gentico para se aproximar as curvas de resposta em

frequncia dos modelos utilizando mnimos quadrados.

Sobrepondo os valores do modelo de duas massas no de quatro massas, para os

mesmos dados obtidos experimentalmente, obtemos que:

Figura 3.1 Resposta do mesmo experimento para duas e quatro massas.

Na Figura 3.1 observa-se que o modelo de duas e quatro massas distoam

drasticamente. O objetivo dessa otimizao aproximar este modelo de 2GL ao de 4GL,

modificando os valores de massa, rigidez e res do sistema em um processo de busca.

Para esta finalidade ser proposto um algoritmo baseado em evoluo seletiva.

19

3.1. ALGORITMOS GENTICOS

Os Algoritmos Genticos (AG) so mecanismos de busca que se baseiam nos

processos de seleo natural para a sobrevivncia, atravs da gentica de populaes.

Os mecanismos que regem a evoluo so: a reproduo, o cruzamento e mutao,

onde, pelo princpio de Darwin, os mais aptos sobrevivem.

A seguinte figura esquematiza o funcionamento do algoritmo:

Figura 3.2 Fluxograma de um algoritmo gentico

Para esta otimizao ser utilizado o mesmo AG toolbox desenvolvido em

codificao real no MATLAB de outros projetos (Colherinhas, Dias, Diniz, & Rodrigues,

2014) (Colherinhas, Shzu, Avila, & Morais, 2015), com adaptaes.

3.1.1. Populao inicial

A populao inicial do algoritmo contm os valores de entrada dos quais se deseja

otimizar. Como ainda no existe uma noo clara da sensibilidade de cada fator sobre o

modelo de duas massas, cinco valores de entrada do sistemas foram colocados para

otimizao sob determinada faixa, so eles:

20

0,03 0,20

0,0005 0,008

0,03 0,05

0,01 0,04

20000 50000

3.1.2. Funes Objetivos

Para uma rpida busca inicial utilizando o AG, buscou-se como funo objetivo algo

muito simples: minimizar o valor entre as frequncias de ressonncia dos dois modelos

de duas e quatro massas. A ideia inicial era a de se utilizar a tcnica dos mnimos

quadrados, mas devido a um custo computacional muito elevado, por fazer uma busca

a cada gerao de milhares de combinaes, considerou-se primeiramente essa funo

objetivo mais simples. Qual seja, minimizar a seguinte funo fitness:

=1

|4 2|,

Esse valor deve ser verificado em ambos eixos e para isso foi feito uma combinao

entre duas funes fitness.

3.1.3. Resultados

Foi utilizado para a otimizao:

= 150, o nmero de geraes;

= 150, o nmero de indivduos por geraes;

= 0,08, a probabilidade de elistismo;

= 0,07, a probabilidade de mutao.

Aps diversas adaptaes para o algoritmo rodar de acordo com o pretendido, esses

valores foram selecionados no algoritmo para um mximo local bom. Apesar de ser

desnecessrio rodar tantas geraes, pois o algoritmo converge com 25 geraes,

sempre bom deixar uma margem a mais para tentar encontrar um valor fitness maior.

A Figura 3.3 mostra os melhores indivduos de cada gerao para esta otimizao e

a Figura 3.4 a de resposta em frequncia.

21

Figura 3.3 Melhores valores fitness de cada gerao

Figura 3.4 Grfico de resposta em frequncia do melhor fitness do AG

Os valores encontrados na otimizao que adaptam a curva do modelo de duas

massas ao de quatro massas foram:

Tabela 3.1 Valores do melhor fitness do AG

0,0890

0,0021

0,0320 2

0,3154 2

3213,8 /

22

4. BIBLIOGRAFIA

Christensen, O., & Vistisen, B. B. (25 de May de 1980). Simple model for low-frequency

guitar function.

Colherinhas, G. B., Dias, P. H., Diniz, A. C., & Rodrigues, A. P. (2014). Automotive

powertrain optimization by genetic algorithm analysing. EngOpt, 5.

Colherinhas, G. B., Shzu, M. A., Avila, S. M., & Morais, M. V. (2015). Genetic Optimization

of tower vibrations with pendulum TMD. Crete Island: COMPDYN 2015.

Cuzzucoli, G., & Lombardo, V. (2014). A Physical Model of the Classical Guitar, Including

the Player's Touch. Computer Music Journal.

Esashika, R. I. (2015). Modelagem e Identificao do comportamento dinmico de um

violo clssico. Braslia: Universidade de Braslia.

Popp, J. E. (2011, September 27). Four mass coupled oscillator guitar model. Acoustical

Society of America, pp. 829-836.

Rao, S. S. (2010). Mechanical Vibrations fifth edition. Hardcover.

23

5. ANEXOS

5.1. ALGORITMO PARA MODELO DUAS MASSAS

%% MODELO ANALTICO DE DUAS MASSAS

clc; clf; clear all; close all

%% Dados de entrada

mp = 0.034; % Massa gerada pelo ar no tampo do violo ma = 0.00051; % Massa gerada pelo ar na boca do violo At = 0.031; % rea do tampo do violo S = 0.00589; % rea da boca do violo kt = 40800; % Rigidez do tampo do violo c = 343.3; % Velocidade do som rho = 1.205; % Massa especfica do ar V = 0.0124; % Volume Rt = 0; Ra = 0;

mi = rho*c^2/V; alfa = mi*S*At;

K = [kt+mi*At^2 alfa; alfa mi*S^2]; R = [Rt 0; 0 Ra]; M = [mp 0; 0 ma]; F = [1; 0];

[u,lamb] = eig(K,M); omg_n = sqrt(lamb); f1=1;

i=1; j=1;

t0 = 0; delta = 0.1; tf = 3141;

for w = t0:delta:tf det = K-M*w^2+1i*w.*R; A = inv(det); X(i,:) = [abs(A(1)) angle(A(1)) abs(A(2)) angle(A(2))]; i=i+1; end j=j+1;

figure(1) semilogy((t0:delta:tf)/(2*pi),X(:,1),'--r') hold on semilogy((t0:delta:tf)/(2*pi),X(:,3),'b') title('Resposta x Frequncia'); xlabel('\Omega'); ylabel('X(\Omega)') legend('Tampo','Massa de ar')

figure(2)

24

subplot(211) plot((t0:delta:tf)/(2*pi),X(:,2),'--r') subplot(212) plot((t0:delta:tf)/(2*pi),X(:,4),'b')

fprintf('A primeira freq. de ressonncia : %0.2f Hz.\n',omg_n(1,1)/(2*pi)) fprintf('A segunda freq. de ressonncia : %0.2f Hz.\n',omg_n(2,2)/(2*pi))

5.2. ALGORITMO PARA MODELO QUATRO MASSAS

%% MODELO ANALTICO DE QUATRO MASSAS

clc; clf; clear all; close all

%% Dados de entrada

mt = 0.1277; % Tampo mb = 0.1277; % Fundo (back) mr = 0.4; % Laterais (ribs) ma = 0.002007; % Massa de ar na boca do violo

V = 0.0124; % Volume

c = 343.3; % Velocidade do som rho = 1.205; % Massa especfica do ar

At = 0.041; % rea do tampo Ab = 0.041; % rea do Fundo Aa = 0.02235; % rea da boca do violo

A = Ab-At-Aa;

Kt = 33240; % Rigidez do tampo do violo Kb = 87010; % Rigidez do fundo f1 = 1;

g = rho*c^2/V;

M = [mt 0 0 0; 0 mb 0 0; 0 0 mr 0; 0 0 0 ma];

K = [Kt+At^2*g At*Ab*g -Kt+A*At*g At*Aa*g; At*Ab*g Kb+Ab^2*g Kb+A*Ab*g Ab*Aa*g; -Kt Kb Kt+Kb 0 ; At*Ab*g Ab^2*At*g A*Ab*g Ab*Aa*g];

F = [f1; 0; 0; 0];

[u,lamb] = eig(K,M); omgn_4M = sqrt(lamb);

% Amortecedor proporcional epslon1 = 0.01; epslon2 = 0.001;

25

alpha1 = (2*epslon2*omgn_4M(2,2)-2*epslon1)/(omgn_4M(2,2)^2-

omgn_4M(1,1)^2); alpha0 = (2*epslon1-omgn_4M(1,1)*alpha1)*omgn_4M(1,1); R = alpha0*M+alpha1*K;

i=1; t0 = 10*2*pi; delta = 0.1; tf = 500*2*pi;

for w = t0:delta:tf det = K-M*w^2+1i*w.*R; A = inv(det); X4M(i,:) = [abs(A(1)) angle(A(1)) ... abs(A(2)) angle(A(2)) ... abs(A(3)) angle(A(3)) ... abs(A(4)) angle(A(4))]; i=i+1; end

[pks,loc]=findpeaks(X4M(:,1)); wt = t0:delta:tf; wt(1,loc)/(2*pi);

figure(1) semilogy((t0:delta:tf)/(2*pi),X4M(:,1),'r') hold on semilogy((t0:delta:tf)/(2*pi),X4M(:,3),'g') hold on semilogy((t0:delta:tf)/(2*pi),X4M(:,5),'m') hold on semilogy((t0:delta:tf)/(2*pi),X4M(:,7),'b') title('Resposta x Frequncia'); xlabel('\Omega'); ylabel('X(\Omega)') legend('Tampo','Fundo','Laterais','Massa de ar')

figure(2) subplot(411) plot((t0:delta:tf)/(2*pi),X4M(:,2),'r') subplot(412) plot((t0:delta:tf)/(2*pi),X4M(:,4),'g') subplot(413) plot((t0:delta:tf)/(2*pi),X4M(:,6),'m') subplot(414) plot((t0:delta:tf)/(2*pi),X4M(:,8),'b')

fprintf('A 1 freq. de ressonncia : %0.2f Hz.\n',omgn_4M(1,1)/(2*pi)) fprintf('A 2 freq. de ressonncia : %0.2f Hz.\n',omgn_4M(2,2)/(2*pi)) fprintf('A 3 freq. de ressonncia : %0.2f Hz.\n',omgn_4M(3,3)/(2*pi)) fprintf('A 4 freq. de ressonncia : %0.2f Hz.\n',omgn_4M(4,4)/(2*pi))