MODELAGEM MATEMÁTICA DO ESCOAMENTO DE UM FLUIDO (ÁGUA) UTILIZANDO INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL

Rosana Travessini, Denilson Baumgartner

Secretaria de Bacharelado e Licenciatura, SEBLIC, UTFPR, 85884-000, Medianeira, PR

E-mail: rosana_travessini@hotmail.com, denilsonbaur@yahoo.com.br

Lucas da Silva Ribeiro

UTFPR – Secretaria de Bacharelado e Licenciatura (SEBLIC) Campus Medianeira

85884-000, Medianeira, PR E-mail: lribeiro@utfpr.edu.br

Palavras-chave: Polinômio de Lagrange, Polinômio por Diferenças Divididas, polinômio por Diferença Finita Ascendente. Cálculo Numérico. RESUMO: Este trabalho teve como objetivo utilizar o cálculo numérico na modelagem do escoamento de um fluido (água), aplicando a interpolação polinomial de 2º grau, com diferentes métodos de interpolação, para mostrar que este tipo de escoamento é modelado por uma função quadrática. Os modelos foram desenvolvidos a partir de uma série de dados coletados em um experimento de escala de bancada. Os métodos utilizados foram de Lagrange, de Diferenças Divididas e de Diferenças Finita Ascendente, todos de grau 2. Todos os métodos descreveram o escoamento do fluído com pequena margem de erro nos cálculos, confirmando a aplicação da função quadrática neste modelo. Portanto, pode-se afirmar que a modelagem matemática é uma ferramenta que aproxima e relaciona a teoria matemática com a realidade dos alunos. 1 INTRODUÇÃO

A Modelagem Matemática pode ser vista como um processo para a construção de modelos que representem situações da vida real, ou até mesmo teóricas. A interpolação é amplamente utilizada quando se deseja determinar uma função polinomial (ou não) que melhor se ajusta a uma série de pontos obtidos em uma pesquisa ou em um experimento científico. A classe de funções escolhida deve ser adequada às características que pretendemos que a função possua.

Há uma relação importante entre a pressão, a velocidade e a altura no escoamento de um fluido ideal chamada de equação de Bernoulli (P + ½v + gh = constante). Esta equação é uma ferramenta importante para analisar escoamentos em sistemas de encanamentos, em usinas hidrelétricas e no vôo de aeronaves (YOUNG e FREEDMAN, 2003).

O presente trabalho teve o objetivo de desenvolver uma experiência de modelagem matemática, verificar o escoamento de um líquido (água), comparando a altura em função do tempo. Além disso, ele teve a intenção de encontrar um polinômio interpolador de 2º grau com diferentes métodos que aproxime o escoamento de um líquido – água – relacionando o nível da altura da água em função do tempo com auxílio do Excel, obter uma função que aproxime a curva do escoamento e comparar as equações encontradas para verificar que de fato a curva que melhor descreve o referido escoamento é uma função quadrática. 2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

Interpolar uma função y = f(x) consiste, de acordo com RUGGIERO e LOPES (1996), em aproximar essa função por outra função y = g(x) escolhida entre uma classe de funções definida, a priori, e que satisfaça algumas propriedades.

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Tais métodos, segundo FRANCO (2006), são usados como uma aproximação para uma função y = f(x), principalmente, nas seguintes situações:

• Quando não se conhece a expressão analítica de y = f(x), ou seja, sabe-se seu valor em apenas alguns pontos (situação que ocorre muito, na prática, quando se trabalha com dados experimentais) e se necessita manipular a função;

• f(x) é extremamente complicada e de difícil manejo. Desta forma, muitas vezes, se sacrifica a precisão em beneficio da simplificação de cálculos.

3 DESCRIÇÃO E MÉTODOS

Para a realização da prática utilizou-se uma régua de 30 cm, um cronômetro, uma garrafa pet de 2 litros com um orifício na extremidade inferior de 3mm de diâmetro e uma caneta. Marcou-se a altura da garrafa com pontos de 1cm de distância entre si, partindo do 0 ao 20cm, sendo que o orifício se encontrava na altura 0. Com a água na altura de 20 cm cronometrou-se o tempo, destacando-o em cada altura. Os dados coletados estão descritos na Tabela 1:

Tempo (s)

0 10 22 34 46 59 71 87 100 115 129 145 160 177 197 218 245 274 308 345 416

Altura (cm)

20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0,5

Tabela 1: Dados coletados do experimento Foram escolhidos três pontos, sendo que os valores da variável independente (tempo) têm espaçamento igual. Na Tabela 1, estes pontos estão em negrito para fazer a interpolação polinomial que descreve o escoamento. Todos os polinômios têm altura em função do tempo. Pelo método de interpolação de Lagrange, o polinômio interpolador de grau 2 obtido foi:

))((

))(()(

))((

))(()(

))((

))(()()(

1202

102

2101

201

2010

2102 xxxx

xxxxxf

xxxx

xxxxxf

xxxx

xxxxxfxP

−−−−

+−−

−−+

−−−−

= (01)

22( ) 0,000085734 0,0865912 19,801783P x x x= − + (02)

Pelo método de Diferenças Divididas, o polinômio interpolador de grau 2 obtido foi: 2

2 0 0 0 0 0 1( ) ( ) ( ) ( )( )P x f x y x x y x x x x= + ∆ − + ∆ − − (03) 2

2( ) 0,000085734 0,0865913 19,8018P x x x= − + (04)

Pelo método de Diferença Finita Ascendente, o polinômio interpolador de grau 2 obtido foi: 2

02 0 0( ) ( ) ( 1)

2!

yP x f x y z z z

∆= + ∆ + − (05)

22( ) 0,25 4,25 16P z z z= − + (06)

01 0 2 1;

x xz h x x x x

h

−= = − = − (07)

22( ) 0,000085734 0,0865912 19,801783P x x x= − + (08)

O erro cometido numa interpolação polinomial é dado por:

E2(x) < |(x – x0) (x – x1) (x – x2) ... (x – xn)| ik y∆ (09)

Em que ik y∆ é uma aproximação do valor máximo do módulo das derivadas de ordem k = n

+ 1, também dita diferenças divididas de ordem k, para uma interpolação de um polinômio de grau n, com k = 1, 2, ..., n e i = 0, 1, 2, ..., n – k.

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4 RESULTADOS E DISCUSSÃO O tempo necessário para que o reservatório ficasse vazio (líquido na altura zero) foi obtido pelo conceito de ponto mínimo (altura mínima do reservatório), neste caso, o vértice da parábola.

• O tempo estimado pelos três polinômios interpoladores foi de 407 segundos. • O tempo registrado com cronômetro foi de aproximadamente 416 segundos.

Comparando os tempos nos três métodos utilizados observa-se pequenas diferenças entre seus valores, o que confirma que a interpolação polinomial de grau 2 descreve, com pequena margem de erro, o escoamento de um líquido.

Figura 1: Gráfico dos dados coletados (altura em função do tempo) e dos polinômios interpoladores

Por exemplo, deseja-se determinar o nível da água após 60s do início do escoamento, logo, pede-se o valor P(60). Para t = 60, tem-se que: Pelo polinômio de Lagrange P2(60) = 14,855956 Pelo polinômio de Diferenças Divididas P2(60) = 14,855955 O erro estimado por todos os polinômios foi de: E2(t) < |(60 – 46) (60 – 160) (60 – 274)| 0,0000000348 < 0,010426 5 CONCLUSÃO

A modelagem matemática é uma forma de instigar os alunos a relacionar os conhecimentos teóricos às situações práticas de uma forma dinâmica.

Neste trabalho constatou-se que de fato o modelo que melhor descreve o escoamento de um líquido, no caso a água, nas condições estabelecidas no experimento, foi o polinômio de 2º grau. E, que a interpolação polinomial é uma ferramenta importante do cálculo numérico para a modelagem matemática deste fenômeno físico, embora não tenham sido considerados todos os processos físicos envolvidos, tais como: pressão, tensão superficial da água, entre outros. 6 REFERÊNCIAS [3] FALCÃO, J. C. S.. “Análise de Escoamento de um Fluido Real: água”. 2006. 42 f. Monografia (Departamento de Engenharia Mecânica e Produção), Universidade Estadual do Maranhão, São Luis, 2006. [3] FERREIRA, H. H. M. E.. “Escoamento de fluidos newtonianos e viscoelásticos em torno de um cilindro: Estudo numérico de efeitos tridimensionais.” 2006. 178 f. (Mestrado em Fundamentos e Aplicações em Mecânica dos Fluidos) – Faculdade de Engenharia – FEUP, Universidade do Porto, 2006. [3] FRANCO, N. B.. “Cálculo Numérico.” São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2006. p.287-321 [3] RUGGIERO, M. A. G.; LOPES, V. L. R.. “Calculo numérico: Aspectos Teóricos e Computacionais.” 2. ed. São Paulo: Pearson Makron Books, 1996. 406 p. [3] YOUNG, D. H.; FREEDMAN, R. A.. “Física 2: Termodinâmica e ondas.” 10. ed. São Paulo: Pearson Addison Wesley, 2003. 328 p.

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