Modelagem Matemática - Kelvin Pinheiro - 201102140098

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ

INSTITUTO DE TECNOLOGIA

FACULDADE DE ENGENHARIA MECÂNICA

Kelvin Alves Pinheiro

(201102140098)

INSTRUMENTAÇÃO E CONTROLE DE PROCESSOS INDUSTRIAIS.

Belém – Pará

Abril de 2015

2

Kelvin Alves Pinheiro

(201102140098)

SISTEMAS FÍSICOS LINEARES – MODELAGEM MATEMÁTICA

MODELAGEM DE CÍRCUITOS ELETRICOS

PROBLEMA 11 [OGATA].

Trabalho apresentado como requisito

para obtenção de nota da primeira

avaliação da disciplina

instrumentação e controle de

processos industriais do curso de

engenharia mecânica da

Universidade Federal do Pará,

orientado pelo professor Petronio

Vieira Jr.

Belém – Pará

Abril de 2015

3

Problema 11 [OGATA]: Obtenha as equações de estados para o circuito elétrico

mostrado abaixo, sendo 𝑒𝑖 a tensão de entrada e 𝑒0 a tensão de saída.

Figura 1. Circuito problema 11.

SOLUÇÃO

1. LEIS FÍSICAS DO SISTEMA

Para a solução do problema devemos conhecer as leis físicas que regem o sistema, nos

sistemas elétricos as equações do circuito obedecem a Lei de Kirchhoff que estabelecem

que:

1. A soma algébrica das diferenças de potencial ao longo da malha é igual a zero. Isto

e, percorrendo o circuito fechado, a soma das tensões aplicadas é igual a somadas quedas

de tensão.

2. A soma algébrica das correntes em um nó é igual a zero, em outras palavras, a soma

das correntes que chegam ao nó é igual a soma das correntes que saem dele.

2. LEIS DOS ELEMENTOS

As quedas de tensão aparecem nos terminais dos três elementos elétricos básicos, que

são eles, o resistor, o indutor e o capacitor.

2.1 Resistor

A queda de tensão sobre um resistor é dada pela Lei de Ohm que estabelece que a

queda de tensão sobre um resistor é igual ao produto da corrente que atravessa o resistor

pela resistência deste. Simbolicamente temos que

𝑒𝑅 = 𝑅𝑖 𝑜𝑢 𝑖𝑠𝑜𝑙𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑖, 𝑖 =𝑒𝑅𝑅

Figura 2. Elemento Resistor.

4

2.2 Indutor

A queda de tensão em um indutor é dada pela Lei de Faraday, que estabelece que a

queda de tensão é igual ao produto da indutância pela taxa de variação da corrente no

tempo. Um valor positivo de derivada implica um aumento de corrente,

consequentemente uma queda de tensão positiva; um valor negativo de derivada implica

em diminuição da corrente, logo uma queda de tensão negativa.

𝑒𝐿 = 𝐿𝑑𝑖

𝑑𝑡

Figura 3. Elemento Indutor.

2.3 Capacitor

Uma queda de tensão em um capacitor, orientada no sentido positivo, é definida em

magnitude pela relação entre a magnitude da carga positiva de sua placa positiva pelo

valor da capacitância. A carga da placa do capacitor é igual a integral da corrente entrando

na placa do instante inicial até um instante 𝑡 final.

𝑒𝐶 =𝑞

𝐶=1

𝐶∫ 𝑖 𝑑𝑡𝑡

0

𝑜𝑢 𝑖 = 𝐶𝑑𝑒𝐶𝑑𝑡

Figura 4. Elemento Capacitor.

5

Dado o circuito da Figura 5 mostrada abaixo.

Figura 5. Circuito elétrico problema 11.

Escrevendo a Lei de Kirchhoff para as malhas 𝑖1 e 𝑖2 temos que.

𝑒𝑖 − 𝑒𝑅1 − 𝑒𝐿 = 0 (1)

𝑒𝐿 − 𝑒𝑅2 − 𝑒𝐶 = 0 (2)

Onde 𝑒𝑅1 e 𝑒𝑅2 são as tensões no resistor 1 e 2 respectivamente, 𝑒𝐿 é a tensão do

indutor e 𝑒𝐶 a tensão no capacitor.

Escrevendo a Lei de Kirchhoff para os nós em 𝑎 e 𝑏 temos que.

𝑖𝑅1 − 𝑖𝑅2 − 𝑖𝐿 = 0 (3)

𝑖𝑅2 − 𝑖𝐶 = 0 (4)

Onde 𝑖𝑅1 e 𝑖𝑅2 são as correntes nos resistores respectivamente, 𝑖𝐿 é a corrente que

passa através do indutor e 𝑖𝐶 é a corrente que passa pelo capacitor.

Escrevendo a lei de cada elemento, temos que.

𝑖𝐶 = 𝐶𝑑𝑒𝑐𝑑𝑡 (5)

𝑒𝐿 = 𝐿𝑑𝑖𝐿𝑑𝑡 (6)

𝑖𝑅1 =𝑒𝑅1𝑅1 (7)

𝑖𝑅2 =𝑒𝑅2𝑅2 (8)

3. SUBSTITUIÇÕES

Faremos agora as devidas substituições de maneira a formar as equações dinâmicas e

consequentemente as equações de estado, ambas em função da tensão de entrada, 𝑒𝑖, e

dos parâmetros do circuito.

Substituindo (5) em (4)

6

𝑖𝑅2 = 𝐶𝑑𝑒𝐶𝑑𝑡

(9)


𝑒𝑅2𝑅2

= 𝐶𝑑𝑒𝐶𝑑𝑡

(10)

De (3) temos que

𝑖𝑅2 = 𝑖𝑅1 − 𝑖𝐿 (11)

Substituindo (7) e (8) em (11)

𝑒𝑅2𝑅2

=𝑒𝑅1𝑅1 − 𝑖𝐿 (12)

Rearranjando (12)

𝑒𝑅2 =𝑅2𝑅1𝑒𝑅1 − 𝑅2𝑖𝐿 (13)

De (1)

𝑒𝑅1 = 𝑒𝑖 − 𝑒𝐿 (14)


𝑒𝑅1 = 𝑒𝑖 − [𝐿𝑑𝑖𝐿𝑑𝑡] (15)


𝑒𝑅2 =𝑅2𝑅1[𝑒𝑖 − 𝐿

𝑑𝑖𝐿𝑑𝑡] − 𝑅2𝑖𝐿 (16)

𝑒𝑅2 =𝑅2𝑅1𝑒𝑖 −

𝑅2𝑅1𝐿𝑑𝑖𝐿𝑑𝑡 − 𝑅2𝑖𝐿 (17)


[𝑅2𝑅1𝑒𝑖 −

𝑅2𝑅1𝐿𝑑𝑖𝐿𝑑𝑡 − 𝑅2𝑖𝐿 ]

1

𝑅2𝐶=𝑑𝑒𝐶𝑑𝑡

(18)

𝑑𝑒𝐶𝑑𝑡

=𝑒𝑖𝑅1𝐶

−1

𝑅1𝐶𝐿𝑑𝑖𝐿𝑑𝑡

−𝑖𝐿𝐶 (19)

Substituindo (6) e (17) em (2)

[𝐿𝑑𝑖𝐿𝑑𝑡] − [

𝑅2𝑅1𝑒𝑖 −

𝑅2𝑅1𝐿𝑑𝑖𝐿𝑑𝑡 − 𝑅2𝑖𝐿] − 𝑒𝐶 = 0 (20)

𝐿𝑑𝑖𝐿𝑑𝑡

−𝑅2𝑅1𝑒𝑖 +

𝑅2𝑅1𝐿𝑑𝑖𝐿𝑑𝑡

+ 𝑅2𝑖𝐿 − 𝑒𝐶 = 0 (21)

7

(1 +𝑅2𝑅1) 𝐿

𝑑𝑖𝐿𝑑𝑡

−𝑅2𝑅1𝑒𝑖 + 𝑅2𝑖𝐿 − 𝑒𝐶 = 0 (22)

(𝑅1 + 𝑅2𝑅1

)𝐿𝑑𝑖𝐿𝑑𝑡

= 𝑒𝐶 − 𝑅2𝑖𝐿 +𝑅2𝑅1𝑒𝑖 (23)


= (𝑅1

𝑅1 + 𝑅2)𝑒𝐶 − (

𝑅1𝑅1 + 𝑅2

)𝑅2𝑖𝐿 + (𝑅1

𝑅1 + 𝑅2)𝑅2𝑅1𝑒𝑖 (24)


=𝑅1

𝑅1 + 𝑅2𝑒𝐶 −

𝑅1 𝑅2𝑅1 + 𝑅2

𝑖𝐿 +𝑅2

𝑅1 + 𝑅2𝑒𝑖 (25)


=𝑅1

𝐿(𝑅1 + 𝑅2)𝑒𝐶 −

𝑅1 𝑅2𝐿(𝑅1 + 𝑅2)

𝑖𝐿 +𝑅2

𝐿(𝑅1 + 𝑅2)𝑒𝑖 (26)



=𝑒𝑖𝑅1𝐶

−1

𝑅1𝐶[

𝑅1𝑅1 + 𝑅2

𝑒𝐶 −𝑅1 𝑅2𝑅1 + 𝑅2

𝑖𝐿 +𝑅2

𝑅1 + 𝑅2𝑒𝑖] −

𝑖𝐿𝐶 (27)


=𝑒𝑖𝑅1𝐶

−1

𝐶(𝑅1 + 𝑅2)𝑒𝐶 +

𝑅2𝐶(𝑅1 + 𝑅2)

𝑖𝐿 −𝑅2

𝐶𝑅1(𝑅1 + 𝑅2)𝑒𝑖 −

𝑖𝐿𝐶 (28)


= −1

𝐶(𝑅1 + 𝑅2)𝑒𝐶 + (

𝑅2𝐶(𝑅1 + 𝑅2)

−1

𝐶) 𝑖𝐿 + (

1

𝑅1𝐶−

𝑅2𝐶𝑅1(𝑅1 + 𝑅2)

) 𝑒𝑖 (29)


= −1

𝐶(𝑅1 + 𝑅2)𝑒𝐶 + (

𝐶𝑅2 − 𝐶(𝑅1 + 𝑅2)

𝐶2(𝑅1 + 𝑅2)) 𝑖𝐿 + (

𝐶𝑅1(𝑅1 + 𝑅2) − 𝑅1𝑅2𝐶

𝐶2 𝑅12(𝑅1 + 𝑅2)

) 𝑒𝑖 30


= −1

𝐶(𝑅1 + 𝑅2)𝑒𝐶 +

𝐶[𝑅2 − (𝑅1 + 𝑅2)]

𝐶2(𝑅1 + 𝑅2)𝑖𝐿 +

𝐶𝑅1[(𝑅1 + 𝑅2) − 𝑅2]

𝐶𝑅1𝐶𝑅1(𝑅1 + 𝑅2)𝑒𝑖 (31)


= −1

𝐶(𝑅1 + 𝑅2)𝑒𝐶 −

𝑅1𝐶(𝑅1 + 𝑅2)

𝑖𝐿 +𝐶𝑅1[(𝑅1 + 𝑅2) − 𝑅2]

𝐶𝑅1𝐶𝑅1(𝑅1 + 𝑅2)𝑒𝑖 (32)


= −1

𝐶(𝑅1 + 𝑅2)𝑒𝐶 −

𝑅1𝐶(𝑅1 + 𝑅2)

𝑖𝐿 +1

𝐶(𝑅1 + 𝑅2)𝑒𝑖 (33)

4. EQUAÇÕES DINÂMICAS

Portando as Equações dinâmicas são:

{


= −1

𝐶(𝑅1 + 𝑅2)𝑒𝐶 −

𝑅1𝐶(𝑅1 + 𝑅2)

𝑖𝐿 +1

𝐶(𝑅1 + 𝑅2)𝑒𝑖


=𝑅1

𝐿(𝑅1 + 𝑅2)𝑒𝐶 −

𝑅1 𝑅2𝐿(𝑅1 + 𝑅2)

𝑖𝐿 +𝑅2

𝐿(𝑅1 + 𝑅2)𝑒𝑖

8

5. EQUAÇÕES DE ESTADO

As Equações de estado são:

[

𝑒�̇�

𝑖�̇�

] =

[ −

1

𝐶(𝑅1 + 𝑅2)−

𝑅1𝐶(𝑅1 + 𝑅2)

𝑅1𝐿(𝑅1 + 𝑅2)

−𝑅1 𝑅2

𝐿(𝑅1 + 𝑅2)]

. [

𝑒𝐶

𝑖𝐿

] +

[

1

𝐶(𝑅1 + 𝑅2)

𝑅2𝐿(𝑅1 + 𝑅2)]

. 𝑒𝑖

6. SISTEMA COMO SENDO REAL

Este sistema elétrico poderia ser representado por um painel solar de corrente contínua

que está ligado a duas lâmpada onde as resistências são representadas pelas lâmpadas 𝐿1

e 𝐿2 respectivamente. O sistema durante o dia está ligado ao painel solar que fornece uma

tensão de entrada 𝑒𝑖 fazendo acender 𝐿1, já que passado um tempo 𝑡 o indutor terá

equivalência a um curto circuito, agindo como um fio de ligação normal. A lâmpada 𝐿2

também é acesa porém por um período menor de tempo, tempo esse até o capacitor

carregar completamente e a corrente deixar de fluir tornando-o equivalente a um circuito

aberto. A noite o painel sem energia solar deixa de fornecer a tensão de entrada 𝑒𝑖, fazendo

que 𝐿1 apague. A carga acumulada no capacitor e no indutor começam a descarregar

fazendo 𝐿2 acender.

𝑒𝑖 = 30,4 𝑉

De

𝑃 =𝑒2

𝑅

Onde 𝑃 é a potência da lâmpada e vale 40 𝑊, temos que

𝑅1 = 𝑅2 = 𝑅 = 23,1 Ω

𝐿 = 50 𝜇𝐻

𝐶 = 45 𝜇𝐹

Substituindo os valores

[

𝑒�̇�

𝑖�̇�

] =

[ −

1

𝐶(2𝑅)−

𝑅

𝐶(2𝑅)

𝑅

𝐿(2𝑅)−

𝑅2

𝐿(2𝑅)]

. [

𝑒𝐶

𝑖𝐿

] +

[

1

𝐶(2𝑅)𝑅

𝐿(2𝑅)]

. 𝑒𝑖

[

𝑒�̇�

𝑖�̇�

] = [−

1

2𝐶𝑅−1

2𝐶1

2𝐿−𝑅

2𝐿

] . [

𝑒𝐶

𝑖𝐿

] + [

1

2𝐶𝑅1

2𝐿

] . 𝑒𝑖

9

[

𝑒�̇�

𝑖�̇�

] = [−

1

2. 45.10−6𝐹. 23,1Ω−

1

2. 45.10−6𝐹1

2.50. 10−6 𝐻−

23,1Ω

2.50. 10−6 𝐻

] . [

𝑒𝐶

𝑖𝐿

] + [

1

2. 45.10−6𝐹. 23,1Ω1

2.50.10−6 𝐻

] . 𝑒𝑖

[

𝑒�̇�

𝑖�̇�

] =

[ −

1

2079.10−6[𝐹Ω]−

1

90.10−6𝐹1

100. 10−6 𝐻−

23,1Ω

100.10−6 𝐻] . [

𝑒𝐶

𝑖𝐿

] +

[

1

2079.10−6[𝐹Ω]1

100. 10−6 𝐻 ] . 𝑒𝑖

[

𝑒�̇�

𝑖�̇�

] = [

−481 [𝐹Ω] −11111 [𝐹]

10000 [𝐻] −231000 [Ω

𝐻]] . [

𝑒𝐶

𝑖𝐿

] + [481 [𝐹Ω]

10000 [𝐻]] . 𝑒𝑖

7. BIBLIOGRAFIA

D’AZZO, J. J.; HOUPIS, C. H. Análise e Projeto de Sistemas de Controle Lineares.

Rio de Janeiro: Guanabara Dois, 1984.

NISE, Norman S., Engenharia de Sistemas de Controle, LTC – Livros Técnicos

Editora AS, 2011, 5 Ed.

http://macao.communications.museum/por/exhibition/secondfloor/moreinfo/2_3_6_

ResistanceInductance.html <Acessado em 05 de Abril de 2015>

http://macao.communications.museum/por/exhibition/secondfloor/MoreInfo/2_3_5_

ChargingCapacitor.html <Acessado em 05 de Abril de 2015>

https://www.neosolar.com.br/loja/fileuploader/download/download/?d=0&file=cust

om%2Fupload%2FFile-1404153588.pdf <Acessado em 03 de Abril de 2015>

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