Modelagem Matemática no Estudo do Problema de Ligas Metálicas

O que é uma Liga Metálica?Uma liga metálica consiste num sólido ou líquido metálico formado por mistura de dois ou mais elementos.Na formação de ligas também se podem utilizar pequenas quantidades de elementos não metálicos (por exemplo, silício, carbono).As características da liga metálica resultante são geralmente melhoradas em relação às características dos metais puros..

Objetivo da AulaApresentar uma proposta de estudo do assunto programação linear para alunos do ensino médio, mostrandosua aplicação em um problema sobre ligas metálicas, desde a modelagem matemática do problema à solução.Pretende-se de maneira mais contextualizada e mais aplicada, despertar o interesse dos alunos, tornando-os mais participativos, e desenvolvendo sua autonomia e criatividade na resolução de problemas.

Pré-requisitos

O aluno para solucionar os problemas dever conhecer proporções, regiões geradas por inequações no R², deve conhecer a teoria da programação linear, incluindo seu principal teorema e elementos

Problema Motivacional

Pretende-se com esse problema, trabalhar um problema de PPL sobre ligas metálicas com 2 variáveis, apresentando a solução geométrica e o Solver (Excel)Uma metalúrgica deseja maximizar sua receita bruta. A tabela a seguir ilustra a proporção de cada material na mistura para a obtenção das ligas passíveis de fabricação, assim como a disponibilidade de cada matéria prima (em toneladas) e os preços de venda por tonelada de cada liga. Qual deve ser a quantidade produzida de cada liga?

Solução:Função Objetivo: Maximizar F(x,y)= 3000x+5000yVariáveis de decisão:x- quantidade da liga 1 (em toneladas)y- quantidade da liga 2 (em toneladas)As variáveis de decisão representam quantidades contínuas.

Restrições0,5x+0,2y ≤16COBRE0,25 x+ 0,3y ≤ 11 ZINCO0,25 x+ 0,5 y≤ 15 CHUMBOx, y ≥0

Solução por Software

Analisando os resultados

PROBLEMA PRINCIPAL – LIGA METÁLICA

Uma companhia deseja fabricar uma nova liga metálica com 30% de chumbo, 20% de zinco e 50% de estanho, a partir de minérios procedentes de 5 minas diferentes, M1, M2, M3, M4, M5. O minério M1 tem 30% de chumbo, 60% de zinco e 10% de estanho e custa 8,5 reais o quilo. M2 tem 10% de chumbo, 20% de chumbo e 70% de estanho, custando 6 reais o quilo. O minério M3 tem 50% de chumbo, 20% de zinco e 30% de estanho, custando 8,0 reais o quilo. O minério M4 tem 10% de chumbo, 10% de zinco e 80% de estanho, custando 5,7 reais/kg e M5 tem 50% de chumbo, 10% de zinco e 40% de estanho, custando 8,8 reais/kg. Quais as proporções dos 5 minérios que devem ser misturadas para produzir a nova liga, com o menor custo possível?

Modelagem

Restrições

Solução por Software

Dúvidas

Como fazer o gráfico?O que é o ?

5R

5R

Ideias a serem discutidas

Modelagem matemática Número de variáveis A impossibilidade da solução geométrica Utilização do software Solver (Excel).

ConclusãoAcreditamos que a utilização da programação linear como aprofundamento dos assuntos Matrizes e Sistemas Lineares no Ensino Médio, através da resolução de problemas, pode contribuir de forma positiva para a formação dos nossos alunos, não somente sob os aspecto matemático, pois ela contextualiza e aproxima a matemática da realidade, mas também como ferramenta motivadora de descoberta, investigação, autonomia, criatividade e superação.