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MODELAGEM E SIMULAÇÃO COMPUTACIONAL DA NÃO LINEARIEDADE DE FOLGA

EM UM ROBÔ GANTRY

Odair Menuzzi

1, Eduardo Padoin

2, Antonio Carlos Valdiero

3, Antonio Luis Rasia

4

1UNIJUÍ, Caixa Postal 121, Av. Rudi Franke, 540, CEP 98280-000, Panambi - RS, Brasil, odair.menuzzi@ibest.com.br. 2UNIJUÍ, Caixa Postal 121, Av. Rudi Franke, 540, CEP 98280-000, Panambi - RS, Brasil, eduardopadoin@bol.com.br.

3UNIJUÍ, Caixa Postal 121, Av. Rudi Franke, 540, CEP 98280-000, Panambi - RS, Brasil, valdiero@unijui.edu.br. 4UNIJUÍ, Caixa Postal 121, Av. Rudi Franke, 540, CEP 98280-000, Panambi - RS, Brasil, rasia@unijui.edu.br.

Resumo: Trata-se da modelagem matemática e da

simulação computacional dos efeitos da não linearidade de

folga no acionamento de uma transmissão tipo fuso de um

robô Gantry. A modelagem matemática da folga pode

contribuir para estratégias de controle preciso e para

melhoria do desempenho de robôs de baixo custo.

Palavras-chave: modelagem matemática, não-linearidade

de folga, manipulador robótico Gantry.

1. INTRODUÇÃO

Este trabalho trata do problema de modelagem

matemática e simulaçao computacional da não linearidade

de folga (backlash) em transmissões mecânicas do tipo fuso

(parafuso de potência), comuns no acionamento das juntas

prismáticas de robôs Gantry [1, 2, 3, 4]. Tais robôs têm

grande potencial de aplicação nas indústrias do setor metal

mecânico, principalmente devido à sua estrutura rígida, seu

amplo espaço de trabalho em mesas e a facilidade de

programação proveniente do desacoplamento dinâmico entre

o movimento de seus elos. Um dos problemas que

dificultam o controle preciso dos movimentos de um robô

Gantry é a não linearidade de folga no acionamento,

principalmente nas transmissões mais simples e baratas do

tipo fuso roscado.

Atualmente há duas formas de acionamento das juntas

de robôs industriais. Uma é o acionamento direto (direct-

drive), onde o motor é montado diretamente no eixo da junta

e que de acordo com Turner et al. [5] não é o ideal para

motores elétricos, pois a ausência de uma relação de redução

do movimento leva à necessidade de motores elétricos

especiais com menor rotação e maior torque, além de

sujeitá-lo aos efeitos dinâmicos do acoplamento. A outra

forma de acionamento, que é a mais tradicional e simples, é

a utilização de transmissões por engrenagens entre os

motores e as juntas, as quais possuem como vantagens a

menor carga no motor, maiores rotações no motor e a

facilidade de posicionamento deste no braço do robô. A

desvantagem deste tipo de acionamento é a presença de

atrito e a folga nas transmissões de engrenagem.

De acordo com Ross et al. [6], na seleção ótima de uma

transmissão por engrenagens para aplicações em

mecatrônica, a escolha do tipo depende de muitos fatores,

onde os mais importantes são velocidade de entrada, folga,

eficiência e custo. Em geral a transmissão de custo menor

tem a maior folga, então ou se aumenta o custo ou se

compensa a não linearidade de folga no esquema de

controle. O importante é se chegar a uma solução de

compromisso (trade-off), equilibrando os custos de

fabricação e os custos de implementação de controle com

compensação das não linearidades.

Valdiero [7] aponta a importância do estudo das não

linearidades dos sistemas mecânicos, os quais causam

limitações no desempenho do controle preciso, destacando-

se a zona morta, o atrito, histerese e a folga (backlash).

Dentro deste contexto, vários trabalhos [8, 9, 10, 11] têm

tratado da modelagem, da identificação e da compensação

da não linearidade de folga. Nordin e Gutman [8] comentam

que a folga é uma das mais importantes não linearidades que

limitam o desempenho do controle de posição e velocidade

em aplicações industriais e da robótica. A revisão

bibliográfica realizada por estes autores indica que ainda há

muita pesquisa a ser feita para síntese e análise da

compensação de folga no controle de sistemas mecânicos.

Vörös [10] apresenta uma nova forma analítica de

descrição do modelo matemático da não linearidade de folga

que utiliza funções de chaveamento e mostra os resultados

de simulação computacional da identificação dos

parâmetros.

Hägglund [11] descreve um novo método para detecção

e estimativa da não linearidade de folga em válvulas de

controle que sofreram desgaste. Ele utiliza como modelo a

função descritiva da folga e comenta que a facilidade de

compensação desta não linearidade depende de sua inversa.

Selmic e Lewis [12] apresentam um esquema de

compensação para folgas com inversão da dinâmica

utilizando a técnica do backstepping com redes neurais. Um

modelo geral da folga é usado e permite assimetria.

Cazarez-Castro et al. [13] apresenta uma combinação de

lógica fuzzy e algoritmos genéticos na busca pela solução do

problema de regulação da saída de servomecanismos com

não linearidade de folga. Os dados para simulação foram

obtidos a partir de uma bancada experimental de testes que

envolve um motor DC ligado a uma carga mecânica por

MODELAGEM E SIMULAÇÃO COMPUTACIONAL DA NÃO LINEARIEDADE DE FOLGA EM UM ROBÔ GANTRY Odair Menuzzi, Eduardo Padoin, Antonio Carlos Valdiero, Antonio Luis Rasia

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meio de uma transmissão do tipo trem de engrenagens e

com folga.

Giri et al. [14] apresenta proposições para a

identificação de sistemas lineares com a presença da não

linearidade de folga a partir da parametrização apropriada

do sistema, a estimativa dos parâmetros pela técnica dos

mínimos quadrados e a especificação de padrões de sinais de

entrada.

Shahnazi et al. [15] propõe um controlador adaptativo

combinado com lógica fuzzy para melhorar a robustez do

controle feedback de sistemas com a presença de não

linearidades tais como sistemas mecânicos com folga no

acionamento.

Da mesma forma que Morales-Velazquez et al. [16]

propõe melhorias do controle de máquinas ferramenta com

controle numérico computadorizado (CNC) utilizando

plataformas de baixo custo e a identificação dos parâmetros

do modelo do servo sistema, o propósito deste trabalho é

apresentar uma proposta prática de modelagem matemática

e simulacão computacional dos parâmetros de folga em

transmissões mecânicas do tipo fuso (parafuso de potência)

para futura aplicação no controle e compensação de robôs

Gantry.

Este artigo se organiza de tal forma que na seção 2 é

apresentada a descrição do robô Gantry e do acionamento

tipo fuso de uma junta. A seção 3 apresenta a modelagem

matemática de uma junta robótica incluindo-se a não

linearidade de folga tal como proposta por Tao e Kokotovic

[17], na seção 5 é descrito a simulação computacional, que

contém alguns resultados numéricos obtidos no

Matlab/Simulink; e por fim apresentam-se as conclusões na

seção 6.

2. DESCRIÇÃO DO ROBÔ GANTRY E DO

ACIONAMENTO TIPO FUSO DE UMA JUNTA

Esta seção descreve de forma sucinta o manipulador

robótico de estrutura cinemática tipo Gantry, cujo desenho

característico é mostrado na Fig. 1. O robô Gantry é

considerado o tipo de manipulador mais robusto. Tem a

cinemática mais simples entre os tipos comuns de robôs

industriais por utilizar três juntas prismáticas (J1, J2 e J3) e,

em alguns casos, uma junta rotativa (J4) para a orientação

do efetuador final (garra robótica ou ferramenta).

Um tipo de transmissão muito utilizada em juntas

prismáticas é o conjunto de fuso e porca (ou parafuso

também chamado parafuso de potência), mostrado na Fig. 2.

Este tipo de transmissão apresenta alta capacidade de carga,

sendo comum em manipuladores robóticos do tipo Gantry e

é o objeto de estudo da não linearidade de folga neste

trabalho. As transmissões de um robô têm papel muito

importante na precisão de posicionamento do manipulador,

muitas vezes é preciso reduzir ou amplificar o movimento

nos atuadores, visando-se obter a resposta desejada e

requerida na realização das tarefas programadas.

Existem diversas características não lineares na

dinâmica desses sistemas de transmissão mecânica que

dificultam o controle preciso e prejudicam seu desempenho,

entre as quais destacam-se o atrito dinâmico e a folga.

Fig. 1 – Manipulador robótico Gantry [4].

Fig. 2 – Transmissão tipo fuso utilizada no acionamento de juntas

prismáticas em manipuladores robóticos.

A Figura 3 mostra um desenho esquemático do

acionamento de uma junta prismática. O motor elétrico (1)

aplica um torque Tm no fuso (2) resultando num

deslocamento angular θm, medido por um encoder (3). Ao

girar o fuso o movimento de rotação do mesmo se converte

no deslocamento linear y de uma massa M.

3

Fig. 3 – Acionamento tipo fuso de uma junta prismática do robô.

A não linearidade de folga acarreta fortes variações das

parcelas dinâmicas e resultam em efeitos de degradação do

desempenho do seguimento de trajetória. Na seção seguinte

apresenta-se a modelagem matemática para esta junta

robótica com a não linearidade de folga.

3. MODELAGEM MATEMÁTICA

A formulação do modelo matemático de uma junta

prismática do robô Gantry pode ser obtida pelo método

Newton-Euler [2] a partir do equilíbrio dinâmico nos

diagramas de corpo livre do eixo-fuso e da porca-massa

deslocada. A Figura 4 mostra o diagrama de corpo livre do

eixo-fuso.

Fig. 4 – Forças atuantes no fuso.

Pela aplicação das leis do equilíbrio dinâmico, obtem-se

as seguintes relações matemáticas:

(1)

(2)

(3)

onde é o torque motor, J é o momento de inércia de todo

conjunto em rotação (fuso e eixo motor), Bθ é o coeficiente

do atrito viscoso do eixo, p é o passo do fuso, Fu é a força de

reação da massa deslocada sobre o fuso, m é o ângulo de

giro do fuso. O torque devido à força de reação da massa

deslocada sobre o fuso é dado por:

(4)

Da mesma forma, pode-se deduzir as equações da

dinâmica do movimento linear da massa:

(5)

(6)

(7)

onde By é o coeficiente do atrito viscoso da massa, M é a

massa e y é o deslocamento linear da junta prismática.

Se não houvesse a imperfeição de folga no sistema

dinâmico, a relação entre o deslocamento linear da junta

prismática e o giro do eixo motor poderia ser escrita como:

(8)

Considerando o caso de não haver folga, poder-se-ia

substituir as derivadas da Eq. (8) em (7) e combinar este

resultado com a Eq. (3), resultando numa única equação

diferencial ordinária de segunda dada por:

(9)

(10)

Entretanto devido à existência da não linearidade de

folga, cada uma das equações diferenciais de segunda

ordem, Eq.s (3) e (7), não podem ser combinadas e

necessita-se de uma relação matemática que represente a

relação entre o deslocamento linear da junta, y, em função

do deslocamento angular do motor, θm , na presença da

folga. Uma revisão bibliográfica na literatura recente [8, 9,

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10, 11, 12, 13, 14, 15, 17, 18], que trata da não linearidade

de folga, permitiu a formulação desta relação matemática

para a transmissão tipo fuso. Adaptando-se o modelo

proposto por Tao e Kokotovic [17], descreve-se a folga a

partir das seguintes equações:

(11)

onde m é a relação de transmissão, cl e cr são constantes, e vl

e vr são funções de projeções dadas pela equação (12).

(12)

A Figura 5 mostra um desenho esquemático da não

linearidade de folga e a representação gráfica do modelo

matemático dado pela Eq. (11).

Fig. 5 – Não linearidade da folga: desenho esquemático e representação

gráfica do modelo proposto.

4. RESULTADOS DE SIMULAÇÃO

COMPUTACIONAL

Esta seção apresenta uma descrição detalhada da

metodologia utilizada na implementação da simulação

computacional do modelo matemático para uma junta

prismática de um robô Gantry com a presença da não

linearidade de folga, os parâmetros adotados para o sistema

e os resultados de simulação.

A simulação numérica do modelo proposto foi

implementada com o auxílio da ferramenta computacional

MatLab/Simulink, utilizando-se o método de integração

Runge-Kuta com passo de 0,0001 segundos..

Os parâmetros do modelo matemático da folga, descrito

pela Eq. (11), e utilizados nas simulações computacionais

foram determinados a partir de uma bancada experimental e

estão apresentados na Tab. 1.

Tabela 1- Parâmetros do modelo da folga obtidos de uma bancada

experimental.

Descrição dos Parâmetros Valores

Passo do fuso p 5 mm = 5 x 10-3

m

Relação de transmissão m 7,957 x 10-4

m/rad

Intervalo de folga à direita cr 1,57 rad

Intervalo de folga à esquerda cl -1,57 rad

Entrada posição angular θm variando

Posição inicial da carga y(t=0) 1,25 x 10-3

m

Inicialmente foi realizada apenas a simulação do modelo

de folga, dado pela Eq. (11) e implementado por meio do

diagrama de blocos apresentado na Fig. 6, com interesse de

observar as características da não linearidade de folga da

saída do movimento (y) em relação às posições de entrada

(θm).

Fig. 6 – Diagrama de Blocos do modelo matemático da não linearidade de folga para uma transmissão tipo fuso.

5

A Figura 7 é resultado da simulação computacional do

modelo matemático implementado no diagrama de blocos da

Fig. 6 sob às condições iniciais e parâmetros da Tab. 1.

Fig. 7 – Resultado de simulação computacional do modelo da folga.

Em seguida foram realizadas as simulações

computacionais do diagrama de blocos da Fig. 8 que

representa o acionamento de uma junta prismática tipo fuso

de um robô Gantry. Neste diagrama de blocos foram

implementadas as equações (9), (10) e (11). Na simulação

computacional foram utilizados os parâmetros da folga,

dados pela Tab. 1, e do braço robótico, dados pela Tab. 2.

Tabela 2- Parâmetros do Robô Gantry considerando o movimento de

uma junta prismática.

Descrição dos Parâmetros Valores

Momento de Inércia do eixo

motor J

9,331 x 10-5

kg.m2

Massa da carga M 0,5 kg

Coeficiente de amortecimento

viscoso do eixo motor Bo

1 N.m.s

Coeficiente de amortecimento

viscoso da massa By

1 N.s/m

Torque do motor Tm Variando linearmente

e de forma alternada

Fig. 8 – Diagrama de Blocos do modelo dinâmico de uma junta prismática de um robô Grantry com a não linaeridade de folga.

0 2 4 6 8 10 12 14 16-15

-10

-5

0

5

10

15

Tempo (s)

teta(rad)

y(m)*1e3: sem folga

y(m)*1e3: com folga

erro(m)*1e3

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Os resultados numéricos da simulação dos movimentos

da junta robótica são apresentados na forma do gráfico da

Fig. 9.

Fig. 9– Resultado de simulação computacional do modelo matemático

da junta prismática do robô Gantry incluindo-se a não linearidade da

folga.

Os resultados mostrados nas figuras 7 e 9 permitem a

observação de algumas características importantes da não

linearidade de folga. Note que diante da periocidade da

entrada (θm), a saída do movimento (y) apresenta as

características fundamentais de atraso de fase e de perda de

movimento nos trechos de pico da entrada.

Diante dos resultados destas simulações do sistema

dinâmico em malha aberta, percebe-se a importância da

modelagem matemática e da identificação da folga em

transmissões mecânicas. O conhecimento das características

desta não linearidade nos sistemas mecânicos permite a

elaboração de esquemas de compensação nas estratégias de

controle e consequentemente a melhoria do desempenho nas

tarefas industriais que exigem precisão e repetibilidade.

5. CONCLUSÃO

Neste trabalho foram apresentadas a modelagem

matemática e as simulações computacionais do acionamento

de uma junta prismática de um robô tipo Gantry, onde

ocorre a presença da não linearidade de folga. Desenvolveu-

se o modelo matemático da junta robótica incluindo-se a não

linearidade de folga.

Os testes e simulações computacionais mostrados neste

trabalho ilustram o comportamento da não linearidade de

folga e suas principais características, tais como o erro de

seguimento de posição, o atraso de fase e a perda de

movimento nas inversões de velocidade. Os resultados

demonstram a importância da compensação da folga,

ressaltando os aspectos de desempenho do posicionamento.

Como perspectivas futuras, pretende-se realizar os testes

experimentais do protótipo de uma junta prismática tipo

fuso na bancada disponível na UNIJUÍ Campus Panambi e

estudar um procedimento de identificação desta não

linearidade com base nos trabalhos apresentados na

literatura internacional recente [9, 10, 11, 13, 14, 17, 18].

Entretanto estes trabalhos apresentam apenas resultados

teóricos a partir de modelos ideais, havendo uma lacuna

para pesquisa a partir da observação e validação

experimental com compensação da folga e minimização de

seus efeitos.

AGRADECIMENTOS

Os autores são agradecidos à UNIJUÍ pela estrutura

laboratorial disponível e às diversas agências que tem

apoiado finaceiramente a pesquisa, tais como a FAPERGS,

FINEP/MCT, SEBRAE, CNPq e CAPES.

REREFÊNCIAS

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[15] R. Shahnazi, N. Pariz and A. V. Kamyad, “Adaptive

fuzzy output feedback control for a class of uncertain

0 2 4 6 8 10 12 14 16

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

Tempo (s)

teta(rad)

y(m)*1e3: sem folga

y(m)*1e3: com folga

erro(m)*1e3

7

nonlinear systems with unknown backlash-like

hysteresis”, Commun Nonlinear Sci Numer Simulat, p.

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[18] R. Dong, Y. Yonghong, 2009, “A Gradient Based

Recursive Identification of Mechanical Systems with

Backlash-like Hysteresis”; 18th IEEE International

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Multi-conference on Systems and Control Saint

Petersburg, Russia.