Modelando com ED de 1ª ordem– alguns modelos simples
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Modelando com ED de 1ª ordem– alguns modelos simples
1. O crescimento populacional:População - pessoas, animais, plantas, bactérias, ...
• Quando não restritos à limitações especiais, tendem a crescer à taxas proporcionais ao tamanho da população.
• Quanto maior é a população, mais rapidamente ela cresce.
As notas de aula nestas doze transparências são baseadas em H. Anton: Cálculo - um novo horizonte. Vol. 2. 1999. p.20 a p27.
Objetivo: Encontrar uma função que forneça o tamanho da
população em um instante de tempo qualquer.
Assim, se y = y(t) é a função que fornece o tamanho da
população em um instante t qualquer e sendo
• A taxa de crescimento dessa população é:
a taxa de crescimento proporcional ao tamanho da
população e K a constante de proporcionalidade, então dtdy
A equação diferencial de 1ª ordemé linear e a solução é
Se no instante inicial t0 a população inicial é y0, temos o problema de valor inicial:
0 kydtdy
e y(o)=y0kydtdy
ktCey solução geral e
kteyy 0é a solução do problema de valor inicial
kydtdy
e y(o)=y0
Exemplo (Anton, p.24): De acordo com os dados das Nações Unidas, a população mundial no começo de 1990 era de 5,3
bilhões (aproximadamente) e crescendo a uma taxa em torno
de 2% ao ano. Supondo exponencial o modelo de crescimento
(e mantida essa taxa anual) estimar a população mundial em:
a) 2010; b) 2015;
Exemplo (Anton, p.34 (número 42):
Uma quantidade y tem modelo de crescimento exponencial
y = y0ekt. Sabe-se que y = y1 quando t = t1. Encontrar k em
termos de y0, y1 e t1.
2. Farmacologia:•Quando um indivíduo ingere um remédio, este entra
na corrente sanguínea e é absorvida pelo organismo no
decorrer do tempo. Pesquisas médicas indicam que a
quantidade da droga presente nessa corrente tende a
decrescer a uma taxa proporcional à quantidade de droga
presente (quanto mais droga estiver na corrente sanguínea,
mais rapidamente ela será absorvida pelo organismo.
• Problema: Encontrar a quantidade de medicamento presente
no organismo no instante t.
onde k é positivo e o sinal negativo ocorre
porque y decresce com o tempo
Objetivo: Encontrar uma função que forneça a quantidade de
medicamento presente no organismo no instante t
Assim, se y = y(t) é a função que fornece a quantidade de
medicamento no organismo em um instante t e sendo
a taxa de decrescimento proporcional à quantidade
presente no organismo e K a constante de proporcionalidade,
então a taxa de decrescimento dessa quantidade é
dtdy
• Assim,Se a dosagem inicial da droga é conhecida e igual a y0 temos um problema de valor inicial
e y0 = y(0)
Resolvendo esse problema, encontramos
ktCey solução geral e
kteyy 0é a solução do problema de valor inicial
e y0 = y(0)
Modelos de crescimento exponencial
Definição: Dizemos que uma quantidade y = y(t) tem um
modelo de crescimento exponencial se ela crescer a uma
taxa que é proporcional ao tamanho da quantidade presente.
Neste caso temos o problema de valor inicial
kydtdy
e sendo y(o) = y0
kteyy 0Com solução:
Modelos de decaimento exponencial
Definição: Dizemos que uma quantidade y = y(t) tem um
modelo de decaimento exponencial se ela decrescer a uma
taxa que é proporcional ao tamanho da quantidade presente.
Neste caso:
kydtdy
e sendo y(o) = y0
Com solução: kteyy 0
Ex: (Anton, p.25): Decaimento radioativo (desintegração
espontânea de elementos radioativos). Experimentos têm
mostrado que a taxa de desintegração é proporcional à
quantidade de elemento presente. Portanto, a quantidade
y = y(t) de elemento radioativo é função do tempo com um
modelo de decaimento exponencial. Se 100 gramas do
carbono-14, cuja constante de decaimento é aproximadamente
0,000121, forem armazenados em uma caverna, quanto restará
do carbono após 1000 anos? Em quanto tempo quantidade de
Carbono estará reduzida pela metade?
Tempo de duplicação e meia vida
Se uma quantidade y tem um modelo de crescimento
exponencial então o tempo necessário para
duplicar o tamanho inicial é kT 2ln
kteyy 0
Se uma quantidade y tem um modelo de decrescimento
exponencial então o tempo necessário para
que o tamanho inicial seja reduzido pela metade (meia vida)
é
kteyy 0
kT 2ln
T 2T 3T
ty02y0
4y0
8y0
kteyy 0
t
T 2T 3T
ykteyy 0
y0
y0/2
y0/4y0/8