Modelo ARCH

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MODELO ARCH E SUAS EXTENSÕES Profa. Vera Lucia Fava 1. INTRODUÇÃO Os modelos ARIMA, bem como os modelos de regressão linear aplicados a séries de tempo, procuram descrever ou explicar e também prever o comportamento do nível, ou seja, da média condicional da variável y t . Ocorre, porém, que em muitas situações é importante conhecer também o comportamento da variância condicional da série e obter previsões para ela. Isso acontece especialmente quando se trabalha com variáveis financeiras. Se, por exemplo, a série em estudo for o retorno de uma ação, interessa ter informação não só sobre a rentabilidade da aplicação (nível) mas também sobre o risco (variância) a ela associado. Buscando preencher essa lacuna, Engle (1982) propôs uma nova categoria de modelos denominada ARCH - Auto-Regressive Conditional Heteroscedastic models, ou seja, modelos com Heterocedasticidade Condicional Auto-Regressiva. Inspirados no trabalho pioneiro de Engle, outros autores sugeriram posteriormente inúmeros modelos para a variância condicional de uma série de tempo. A seguir, serão apresentados os principais deles, além, naturalmente, daquele proposto por Engle. 2. MODELO ARCH Como o próprio nome indica, o modelo para heterocedasticidade condicional auto- regressiva - modelo ARCH - tem por objetivo modelar e gerar previsões para a variância condicional de uma série de tempo.

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Econometria

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Page 1: Modelo ARCH

MODELO ARCH E SUAS EXTENSÕES

Profa. Vera Lucia Fava

1. INTRODUÇÃO

Os modelos ARIMA, bem como os modelos de regressão linear aplicados a séries de

tempo, procuram descrever ou explicar e também prever o comportamento do nível, ou seja, da

média condicional da variável yt.

Ocorre, porém, que em muitas situações é importante conhecer também o

comportamento da variância condicional da série e obter previsões para ela.

Isso acontece especialmente quando se trabalha com variáveis financeiras. Se, por

exemplo, a série em estudo for o retorno de uma ação, interessa ter informação não só sobre a

rentabilidade da aplicação (nível) mas também sobre o risco (variância) a ela associado.

Buscando preencher essa lacuna, Engle (1982) propôs uma nova categoria de modelos

denominada ARCH - Auto-Regressive Conditional Heteroscedastic models, ou seja, modelos

com Heterocedasticidade Condicional Auto-Regressiva.

Inspirados no trabalho pioneiro de Engle, outros autores sugeriram posteriormente

inúmeros modelos para a variância condicional de uma série de tempo.

A seguir, serão apresentados os principais deles, além, naturalmente, daquele proposto

por Engle.

2. MODELO ARCH

Como o próprio nome indica, o modelo para heterocedasticidade condicional auto-

regressiva - modelo ARCH - tem por objetivo modelar e gerar previsões para a variância

condicional de uma série de tempo.

Page 2: Modelo ARCH

2

Esse modelo se aplica tanto ao caso em que o nível da série yt é descrito por um modelo

ARIMA(p,d,q) - ( ) ( )B y Bd

t t - quanto à situação em que yt é explicado por um modelo

de Regressão Linear - yt t t x .

Em ambos os casos, t é, por hipótese, um ruído branco:

stpara

stparaE

E

st

t

0)(

0)(

2

Portanto, a variância não condicional de t continua sendo invariante no tempo. É

permitido, porém, que a variância de t, condicional às informações disponíveis até o instante t-

1 - It-1 - varie no tempo. Para tanto, Engle (1982) assume que

𝜀𝑡 = 𝑣𝑡 ℎ𝑡

onde 𝑣𝑡 ~ 𝑖𝑖𝑑 0,1 e 𝑣𝑡 e ℎ𝑡 são independentes.

O termo ht é a variância condicional de t:

h V I E I Et t t t tt

t

( / ) ( / ) ( ) 1

2

11

2 constante

Se a variância condicional de t for expressa pela equação a seguir, tem-se o modelo

ARCH(1) proposto por Engle (1982):

ht t 0 1 1

2

De acordo com esse modelo, a variância condicional de t depende do choque aleatório

ocorrido no instante t-1. Se t-1 for grande (pequeno), ht também será grande (pequena).

Portanto, os modelos ARCH acomodam séries com subperíodos de grande volatilidade e outros

de tranqüilidade.

Para garantir que a variância condicional seja positiva, é necessário impor as seguintes

restrições sobre os parâmetros do modelo: o 0 e 1 0 .

Como a variância não condicional de t é, nesse caso, dada por

2 0

11

Page 3: Modelo ARCH

3

deve-se impor, adicionalmente, a restrição 1 1 .

A relação entre a variância condicional e a variância não condicional de t é dada pela

seguinte equação:

ht t 2

1 1

2 2( )

De acordo com essa expressão, sempre que o quadrado do choque aleatório no instante

t-1 ( t1

2 ) - for maior do que sua esperança não condicional ( 2 ), a variância condicional de t

superará sua variância não condicional. Vale dizer, sempre que ocorrer algo muito

surpreendente, aumentará a volatilidade da série yt.

Genericamente, a variância condicional ht pode ser expressa como função dos choques

aleatórios ocorridos nos m instantes imediatamente anteriores. Tem-se, então, o modelo

ARCH(m):

ht t t m t m 0 1 1

2

2 2

2 2

A variância não condicional de t é agora dada por

2 0

1

1

i

i

m

Portanto, para que ambas as variâncias sejam positivas e finitas é necessário que

0 1 2

1

0 0 1

, , ,..., m i

i

m

e .

Page 4: Modelo ARCH

4

3. TESTES PARA ESTRUTURA ARCH

3.1 ANÁLISE DOS RESÍDUOS AO QUADRADO

Como a heterocedasticidade condicional auto-regressiva decorre da existência de

autocorrelação entre os resíduos ao quadrado, uma forma de testá-la é por meio do

coeficiente de autocorrelação dos quadrados dos resíduos que é dado por:

T

t

t

T

kt

ktt

kr

1

222

1

2222

)ˆˆ(

)ˆˆ)(ˆˆ(

)(2ˆ

onde / 2 2 t T .

Considerando que a distribuição desse coeficiente de autocorrelação é

assintoticamente Normal - )/1;0()(2ˆTNkr

- é possível realizar testes individuais e

testes conjuntos, de maneira análoga ao que é feito para testar se os resíduos não

elevados ao quadrado comportam-se aproximadamente como um ruído branco.

O teste individual é o seguinte:

Ho: 2 0( )k

Ha: 2 0( )k

Estatística do teste: )(2ˆkr

Regra de decisão: se T

kr2

)(2ˆ

Ho é rejeitada.

Page 5: Modelo ARCH

5

O teste conjunto é o teste de Ljung-Box que agora tem as seguintes

características:

H0: 2 0( )k para k K

Ha: 2 0( )k para pelo menos um k K

Estatística do teste:

K

k kT

krTTKQ

1

)()2()(

Regra de decisão: se 2)( mKKQ Ho é rejeitada.

3.2 TESTE ARCH - LM (LAGRANGE MULTIPLIER)

Esse teste foi proposto por Engle (1982) e consiste primeiramente em estimar

um modelo de regressão que tem como variável dependente o quadrado do resíduo do

instante t e como variáveis explicativas os resíduos ao quadrado dos m instantes

imediatamente anteriores:

t t t m t m t

2

0 1 1

2

2 2

2 2

Se houver heterocedasticidade condicional auto-regressiva, espera-se um valor

alto para o R2 dessa regressão. Tendo isso por base, o teste é o seguinte:

H0: 1 2 0 m os erros não têm estrutura ARCH

Page 6: Modelo ARCH

6

Ha: os erros têm estrutura ARCH

Estatística do teste: T.R2 m

2 , sob H0

Regra de decisão: se T.R2 > m

2 Ho é rejeitada.

3.3 TESTE DE NORMALIDADE

Quando a variância condicional não é invariante no tempo, o coeficiente de

curtose da distribuição não condicional de t é superior ao da Normal. Isso faz com que

as caudas da distribuição de t sejam pesadas ou gordas.

Portanto, o teste de Normalidade pode indicar a presença de estrutura ARCH no

processo gerador de uma série de tempo.

Esse teste é construído com base nos coeficientes de assimetria (3) e de curtose

(4) que, em uma distribuição Normal padronizada, são iguais a 0 e 3, respectivamente.

Sejam a3 e a4 os estimadores de 3 e 4. O teste de Normalidade tem as

seguintes características:

Ho: 3 40 3 e a variável tem distribuição Normal

Ha: a variável não tem distribuição Normal

Estatística do teste: 2

2

2

4

2

3

24

)3(

6

aaTN

Regra de decisão: se N > 2

2 Ho é rejeitada.

Page 7: Modelo ARCH

7

Se a hipótese de Normalidade for rejeitada, é necessário verificar se isso decorre

da assimetria ou do excesso de curtose. Testes individuais para os coeficientes de

assimetria e de curtose devem então ser aplicados . As estatísticas dos testes e suas

respectivas distribuições são:

Ta

63

2

1

2

Ta

2434

2

1

2( )

4. ESTIMAÇÃO DO MODELO ARCH

A estimação do modelo ARCH é feita por meio do método da máxima

verossimilhança, o qual permite que sejam simultaneamente estimados os parâmetros da

equação do nível da série yt e da equação de sua variância condicional ht.

Suponha que se deseje estimar o modelo composto pelas equações a seguir:

(i) yt t t x

(ii) ht t 0 1 1

2

Assumindo que t tem distribuição Normal condicional, o logaritmo da função

de verossimilhança a ser maximizada é:

T

t t

ttT

t

th

xyh

TxyL

1

2

1

)(

2

1ln

2

1)2ln(

2);/(ln

onde h yt t t 0 1 1 1

2( )x .

Page 8: Modelo ARCH

8

A estimação deveria ser feita incorporando as restrições sobre os parâmetros da

equação de ht vistas anteriormente, as quais são necessárias para garantir que as

variâncias condicional e não condicional de t sejam positivas e finitas.

5. MODELO GARCH - GENERALIZED ARCH

O modelo GARCH foi proposto por Bollerslev (1986) e é uma generalização do

modelo ARCH que se assemelha ao modelo ARMA:

h h h ht t t m t m t t s t s 0 1 1

2

2 2

2 2

1 1 2 2

Agora a variância condicional depende não só dos quadrados dos choques

aleatórios ocorridos nos m instantes de tempo imediatamente anteriores, mas também

das próprias variâncias condicionais dos s instantes de tempo imediatamente anteriores.

O modelo resultante é o GARCH(s,m).

O efeito realimentador proporcionado pela introdução das variâncias

condicionais defasadas faz com que o modelo GARCH tenha uma representação mais

parcimoniosa quando comparado ao modelo ARCH. Tal fato é considerado a grande

vantagem da generalização proposta por Bollerslev tendo em vista que a estimação

desses modelos deveria ser feita com restrição.

As restrições impostas aos parâmetros do modelo GARCH são as seguintes:

0 1 2 1 2

1 1

0 0 0 1

, , ,..., , , ,...,m s i

i

m

j

j

s

e .

Page 9: Modelo ARCH

9

6. MODELO ARCH-M - ARCH IN MEAN

O modelo ARCH-M, idealizado por Engle, Lilien e Robins (1987), tem por

objetivo contemplar o trade-off que existe entre retorno esperado e risco, presente em

inúmeros modelos de Finanças. A idéia subjacente é de que os agentes exigem uma

compensação maior para manter ativos de alto risco.

As equações que definem essa categoria de modelo são:

2

1

0 it

m

i

it

tttt

h

hxy

Note que agora a equação do nível ou da média condicional de yt tem como uma

de suas variáveis explicativas a própria variância condicional de t , ou seja, a

volatilidade também influenciará o nível da série. Pode-se também utilizar a raiz

quadrada ou outra transformação de ht na equação de yt.

7. MODELO EGARCH - EXPONENTIAL GARCH

De acordo com o modelo ARCH e suas extensões apresentados até aqui, as

variâncias condicionais dependem apenas da magnitude dos choques aleatórios e não de

seus sinais.

Existe, porém, certo consenso no mercado financeiro de que as surpresas

negativas têm sobre a volatilidade um impacto superior àquele provocado por uma

surpresa positiva de igual magnitude.

Para representar essa assimetria de efeito dos choques, Nelson (1991) propôs a

seguinte equação para a variância condicional:

jt

s

j

j

it

it

i

it

it

i

m

i

t hhh

h

loglog

11

Page 10: Modelo ARCH

10

O efeito assimétrico depende, portanto, dos parâmetros i .

O modelo EGARCH não requer a imposição de restrição sobre seus parâmetros

porque, como ele é formulado em termos do logaritmo da variância condicional, esta

será sempre positiva.

8. MODELO TARCH – THRESHOLD ARCH

Outra forma de representação do efeito assimétrico dos choques é dada pelo

modelo TARCH, proposto de forma independente por Zakoïan (1994) e Glosten,

Jaganathan e Runkle (1993).

A equação da variância condicional é a seguinte:

s

i

iti

q

i

ititi

q

i

itit hdh11

2

1

2

0 onde 0se0

0se1{

t

t

td

Portanto, os choques têm efeito assimétrico se 0i .

9. PREVISÃO DA VARIÂNCIA CONDICIONAL

A previsão da variância condicional no instante T será dada pela esperança

de T

h condicional às informações disponíveis no instante T , no caso da previsão

dinâmica, e pela esperança de T

h condicional às informações disponíveis no

instante 1 T , no caso da previsão estática (um passo à frente).

Page 11: Modelo ARCH

11

10. EXEMPLO

Apresenta-se, a seguir, um exemplo de aplicação de modelos ARCH e suas

extensões. A série considerada é composta por observações diárias sobre o valor de um

título britânico.

O modelo inicialmente selecionado para descrever o nível da primeira diferença

do logaritmo da série é um AR(8) degenerado, sem as defasagens 2, 4, 5 e 6.

Esse modelo apresenta resíduos com heterocedasticidade condicional auto-

regressiva, conforme indicam o correlograma dos quadrados dos resíduos, o teste

ARCH-LM e o teste de Normalidade.

Esse problema econométrico é contornado com a estimação de um modelo

AR(8) - ARCH(4), sendo que agora também a defasagem 3 é excluída da parte AR por

não ser estatisticamente significante.

Outra alternativa é o modelo AR(8) - GARCH(1,1) que capta a

heterocedasticidade condicional auto-regressiva de forma mais parcimoniosa, ou seja,

requer a estimação de dois parâmetros a menos do que o modelo anterior. O gráfico da

variância condicional estimada por esse modelo é apresentado a seguir.

O modelo ARCH-M não se mostrou adequado para a série em questão: o

coeficiente da variância condicional na equação da média da série não é significante.

Finalmente, estimou-se o modelo AR(8) - EGARCH(1,1). O coeficiente do valor

absoluto dos resíduos é significante ao nível de 15%, o que indica que a hipótese de

efeito assimétrico dos choques deve ser considerada com cautela neste caso.

Page 12: Modelo ARCH

12

GRÁFICO DA SÉRIE

MODELO AR(8) - RESULTADOS DA ESTIMAÇÃO

Dependent Variable: D(LBOND)

Sample (adjusted): 10 950

Included observations: 941 after adjustments

Convergence achieved after 2 iterations

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

AR(1) 0.080617 0.032435 2.485520 0.0131

AR(3) 0.066699 0.032288 2.065773 0.0391

AR(7) 0.073842 0.032066 2.302828 0.0215

AR(8) 0.053181 0.032163 1.653475 0.0986

S.E. of regression 0.009595 Akaike info criterion -6.450899

Sum squared resid 0.086265 Schwarz criterion -6.430296

2.1

2.2

2.3

2.4

2.5

2.6

4/01/86 1/06/87 10/13/87 7/19/88 4/25/89

LBOND

Page 13: Modelo ARCH

13

MODELO AR(8) - CORRELOGRAMA DOS RESÍDUOS

Page 14: Modelo ARCH

14

MODELO AR(8) - CORRELOGRAMA DOS RESÍDUOS AO

QUADRADO

MODELO AR(8) - TESTES ARCH-LM

ARCH Test:

F-statistic 7.635104 Probability 0.005836

Obs*R-squared 7.589606 Probability 0.005871

Test Equation:

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

C 8.34E-05 7.64E-06 10.91713 0.0000

RESID^2(-1) 0.089864 0.032522 2.763169 0.0058

Page 15: Modelo ARCH

15

ARCH Test:

F-statistic 13.98362 Probability 0.000000

Obs*R-squared 40.31955 Probability 0.000000

Test Equation:

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

C 6.40E-05 8.24E-06 7.765833 0.0000

RESID^2(-1) 0.062428 0.032433 1.924844 0.0546

RESID^2(-2) 0.175578 0.031996 5.487447 0.0000

RESID^2(-3) 0.052813 0.032433 1.628374 0.1038

MODELO AR(8) - TESTE DE NORMALIDADE

Page 16: Modelo ARCH

16

MODELO AR(8)-ARCH(3) - RESULTADOS DA ESTIMAÇÃO Dependent Variable: D(LBOND)

Method: ML - ARCH (Marquardt) - Normal distribution

Sample (adjusted): 10 950

Included observations: 941 after adjustments

Convergence achieved after 12 iterations

Variance backcast: OFF

GARCH = C(4) + C(5)*RESID(-1)^2 + C(6)*RESID(-2)^2 + C(7)*RESID(

-3)^2 Coefficient Std. Error z-Statistic Prob.

AR(1) 0.096142 0.035354 2.719420 0.0065

AR(7) 0.052936 0.027256 1.942193 0.0521

AR(8) 0.062143 0.028147 2.207834 0.0273 Variance Equation

C 6.98E-05 2.90E-06 24.04355 0.0000

RESID(-1)^2 0.052871 0.020251 2.610869 0.0090

RESID(-2)^2 0.106176 0.023583 4.502298 0.0000

RESID(-3)^2 0.069527 0.022131 3.141690 0.0017

MODELO AR(8)-ARCH(3) - TESTES ARCH-LM

ARCH Test:

F-statistic 0.029261 Probability 0.993257

Obs*R-squared 0.088151 Probability 0.993220

Test Equation:

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

C 1.005177 0.092578 10.85767 0.0000

STD_RESID^2(-1) -0.004912 0.032474 -0.151244 0.8798

STD_RESID^2(-2) -0.003474 0.032467 -0.107004 0.9148

STD_RESID^2(-3) -0.007538 0.032470 -0.232167 0.8165

Page 17: Modelo ARCH

17

ARCH Test:

F-statistic 0.607206 Probability 0.772363

Obs*R-squared 4.879310 Probability 0.770394

Test Equation:

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

C 0.882161 0.115810 7.617281 0.0000

STD_RESID^2(-1) -0.002852 0.032898 -0.086697 0.9309

STD_RESID^2(-2) -0.001896 0.032771 -0.057865 0.9539

STD_RESID^2(-3) -0.007001 0.032764 -0.213671 0.8309

STD_RESID^2(-4) 0.044308 0.032763 1.352399 0.1766

STD_RESID^2(-5) 0.008290 0.032747 0.253146 0.8002

STD_RESID^2(-6) 0.019605 0.032515 0.602946 0.5467

STD_RESID^2(-7) 0.052354 0.032514 1.610210 0.1077

STD_RESID^2(-8) -0.007937 0.032562 -0.243764 0.8075

MODELO AR(8)-ARCH(3) - CORRELOGRAMA DOS RESÍDUOS AO

QUADRADO

Page 18: Modelo ARCH

18

MODELO AR(7)-GARCH(1,1) - RESULTADOS DA ESTIMAÇÃO

Dependent Variable: D(LBOND)

Method: ML - ARCH (Marquardt) - Normal distribution

Sample (adjusted): 9 950

Included observations: 942 after adjustments

Convergence achieved after 15 iterations

Variance backcast: OFF

GARCH = C(3) + C(4)*RESID(-1)^2 + C(5)*GARCH(-1) Coefficient Std. Error z-Statistic Prob.

AR(1) 0.100346 0.036801 2.726726 0.0064

AR(7) 0.062621 0.031504 1.987714 0.0468 Variance Equation

C 1.13E-05 3.49E-06 3.221565 0.0013

RESID(-1)^2 0.067706 0.016894 4.007765 0.0001

GARCH(-1) 0.805475 0.052856 15.23913 0.0000

MODELO AR(7)-GARCH(1,1) - TESTES ARCH-LM

ARCH Test:

F-statistic 0.114033 Probability 0.951902

Obs*R-squared 0.343437 Probability 0.951663

Test Equation:

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

C 1.010748 0.093710 10.78590 0.0000

STD_RESID^2(-1) -0.014448 0.032697 -0.441877 0.6587

STD_RESID^2(-2) -0.004740 0.032702 -0.144941 0.8848

STD_RESID^2(-3) 0.011537 0.032698 0.352832 0.7243

Page 19: Modelo ARCH

19

ARCH Test:

F-statistic 0.225676 Probability 0.986306

Obs*R-squared 1.819421 Probability 0.986056

Test Equation:

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

C 0.997988 0.118415 8.427869 0.0000

STD_RESID^2(-1) -0.015214 0.032843 -0.463229 0.6433

STD_RESID^2(-2) -0.001961 0.032841 -0.059720 0.9524

STD_RESID^2(-3) 0.016136 0.032840 0.491348 0.6233

STD_RESID^2(-4) 0.013777 0.032844 0.419488 0.6750

STD_RESID^2(-5) -0.003127 0.032565 -0.096017 0.9235

STD_RESID^2(-6) -0.000518 0.032557 -0.015909 0.9873

STD_RESID^2(-7) 0.016859 0.032559 0.517805 0.6047

STD_RESID^2(-8) -0.030219 0.032559 -0.928128 0.3536

MODELO AR(8)-GARCH(1,1) - CORRELOGRAMA DOS RESÍDUOS AO

QUADRADO

Page 20: Modelo ARCH

20

MODELO AR(7)-GARCH(1,1) - VARIÂNCIA CONDICIONAL

MODELO AR(8)-EGARCH(1,1) - RESULTADOS DA ESTIMAÇÃO

Dependent Variable: D(LBOND)

Method: ML - ARCH (Marquardt) - Normal distribution

Sample (adjusted): 10 950

Included observations: 941 after adjustments

Convergence achieved after 19 iterations

Variance backcast: OFF

LOG(GARCH) = C(3) + C(4)*ABS(RESID(-1)/@SQRT(GARCH(-1))) +

C(5)*RESID(-1)/@SQRT(GARCH(-1)) + C(6)*LOG(GARCH(-1)) Coefficient Std. Error z-Statistic Prob.

AR(1) 0.095149 0.037535 2.534949 0.0112

AR(8) 0.062182 0.033664 1.847138 0.0647 Variance Equation

C(3) -0.953771 0.286411 -3.330076 0.0009

C(4) 0.152768 0.030282 5.044807 0.0000

C(5) 0.013856 0.013839 1.001189 0.3167

C(6) 0.909629 0.028844 31.53588 0.0000

Page 21: Modelo ARCH

21

MODELO AR(1)-TARCH(1,1) - RESULTADOS DA ESTIMAÇÃO

Dependent Variable: D(LBOND)

Method: ML - ARCH (Marquardt) - Normal distribution

Sample (adjusted): 3 960

Included observations: 958 after adjustments

Convergence achieved after 17 iterations

Variance backcast: ON

GARCH = C(2) + C(3)*RESID(-1)^2 + C(4)*RESID(-1)^2*(RESID(-1)<0)

+ C(5)*GARCH(-1) Coefficient Std. Error z-Statistic Prob.

AR(1) 0.101470 0.038770 2.617222 0.0089 Variance Equation

C 9.54E-06 2.62E-06 3.644944 0.0003

RESID(-1)^2 0.066746 0.017792 3.751456 0.0002

RESID(-1)^2*(RESID(-1)<0) -0.004103 0.017867 -0.229645 0.8184

GARCH(-1) 0.826150 0.040348 20.47580 0.0000

MODELO AR(7)-GARCH(1,1)-M - RESULTADOS DA ESTIMAÇÃO

Dependent Variable: D(LBOND)

Method: ML - ARCH (Marquardt) - Normal distribution

Sample (adjusted): 9 950

Included observations: 942 after adjustments

Convergence not achieved after 500 iterations

Variance backcast: OFF

GARCH = C(4) + C(5)*RESID(-1)^2 + C(6)*GARCH(-1) Coefficient Std. Error z-Statistic Prob.

GARCH 3.111585 4.286429 0.725916 0.4679

AR(1) 0.099083 0.037201 2.663456 0.0077

AR(7) 0.061229 0.031463 1.946076 0.0516 Variance Equation

C 1.12E-05 3.54E-06 3.170222 0.0015

RESID(-1)^2 0.066808 0.016795 3.977792 0.0001

GARCH(-1) 0.806458 0.053505 15.07267 0.0000

Page 22: Modelo ARCH

22

MODELO AR(7)-GARCH(1,1)

PREVISÃO DINÂMICA (EXTRAPOLAÇÃO)

PREVISÃO ESTÁTICA (‘UM PASSO À FRENTE’)

Page 23: Modelo ARCH

23

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