Modelo Computacional Unidimensional do Transporte de solutos na Zona Não-saturada do Solo

Maria de Lourdes Pimentel Pizarro

Academia da Força Aérea 13643-000, Pirassununga, SP

E-mail: malu@viganova.com.br

Edson Wendland, Alessandro Firmiano Universidade de São Paulo - Departamento de Hidráulica e Saneamento

13566-590, Campus de São Carlos, SP

Resumo: Neste trabalho, é desenvolvido e validado um modelo computacional unidimensional para simulação de fluxo e transporte de solutos na zona não-saturada do solo. O modelo matemático é dado pela equação de Richards, pela equação de advecção-dispersão, acompanhadas das condições iniciais e de contorno. As equações são resolvidas numericamente pelo método de elementos finitos. Com a finalidade de obter simulações mais eficientes, a um custo computacional reduzido, é empregada a adaptatividade com refinamento h na malha de elementos finitos. Na equação de Richards, a derivada temporal é aproximada por um quociente de diferença finita e é aplicado o esquema de Euler explícito e na equação de advecção-dispersão, Euler implícito. A utilização da função interpolação polinomial de grau 2 ou maior e o refinamento h permitem uma boa concordância do modelo na comparação com soluções disponíveis na literatura. O sistema operacional é o Linux Ubuntu 32 bits, o ambiente de programação é o PZ, escrito em linguagem de programação C++ . In trodução Com o estudo do transporte de solutos no solo, é possível prever os riscos de poluição e contaminação e os impactos que determinado soluto pode causar no sistema solo-água, a partir do conhecimento de suas propriedades, da sua interação com o meio, de sua movimentação e persistência no solo. Os modelos matemáticos, aliados às técnicas numéricas, constituem uma ferramenta importante na prevenção de impactos ambientais, permitindo de maneira rápida e precisa a previsão do deslocamento de solutos. Daí a importância deste trabalho em apresentar um modelo computacional para simular o fluxo [10] e o transporte de solutos [2], na zona não-saturada do solo, através das soluções numéricas das equações diferenciais que regem estes processos. Material e Métodos

Considerando o escoamento unidimensional não-saturado e a coordenada vertical orientada positivamente para cima [4], a equação de Richards, que determina os valores do potencial matricial de água, é dada por

( ) ( )

+∂∂

∂∂=

∂∂

1z

Kzt

Cs

ψψψψ (1)

sendo: ψθψ

d

dCs =)( a capacidade hídrica específica do solo, [L-1];

θ a umidade volumétrica, L3L-3; ψ o potencial matricial, [L];

K(ψ) a condutividade hidráulica do solo não saturado, [LT-1];

t é o tempo, [T]; e z a coordenada vertical, [L].

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As condições iniciais e de contorno (condições de Dirichlet) utilizadas para a resolução da equação (1) são:

≤≤−=−==

0,),(

),0(

)()0,(

0

zLtL

t

zz

L

inicial

ψψψψψψ

.

Para resolver a equação de Richards, foram utilizadas a relação entre θ e ψ , dada pela equação de van GENUCHTEN (1980) [11], a relação entre K e θ, dada por MUALEN (1976) [9] e a capacidade hídrica específica do solo dada por

( ) ( )( )[ ] 1

1

.1

..+

−

+

−= mq

qsr

q

s

qmC

ψα

ψθθαψ (2)

sendo: θs a umidade volumétrica do solo saturado, [L3 L–3];

θr a umidade volumétrica residual do solo, [L3 L–3];

α o parâmetro que depende do solo, [L-1]; m e q os parâmetros que dependem do solo.

Para a solução numérica da equação de Richards (1), aplicou-se o método de elementos finitos [12], onde foram usados o princípio do método dos resíduos ponderados, Euler explícito [3] na derivada temporal e a aproximação de Galerkin [5]. Assim, o método de elementos finitos

foi aplicado para encontrar os coeficientes multiplicadores 1+nα que satisfazem o problema algébrico definido pela equação:

[ ] FK n =+1α (3)

sendo ∫ − ∆=

0 1L

ijn

sij dzCt

K ϕϕ (4) e ∫∫∫ −−− ∂∂+

∂∂−

∆=

000 1L

i

n

L

in

n

Li

nnsi dz

z

Kdz

dz

d

zKdzC

tF ϕϕψϕψ (5)

A solução desse problema algébrico é obtida pela decomposição de Cholesky [8]. Para simular o transporte de solutos, em uma dimensão, na zona não-saturada do solo,

será utilizada a equação linear de advecção-dispersão [2]:

( ) ( ) ( )S

z

CD

zCv

zCR

t zzz +−

∂∂

∂∂=

∂∂+

∂∂

CR θλθθθ (6)

Considerando o fator de retardo R dado por R = 1 + θρbdK

(7)

tem-se ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) SCKCCKtz

CD

zCv

zC

t bdbdzzz ++−∂∂−

∂∂

∂∂=

∂∂+

∂∂ ρθλρθθθ (8)

sendo: C a concentração do soluto na solução do solo [ML-3];

vz a velocidade da água no poro, na direção z [LT -1];

zzD o coeficiente de dispersão mecânica desde que a contribuição da difusão molecular

para a dispersão seja desprezada [L2T-1]; λ o coeficiente de decaimento de primeira ordem [T-1]; S o termo fonte ou sumidouro; Kd o coeficiente de distribuição [L3M -1]; ρb a densidade aparente do solo [ML-3]; e θ a umidade volumétrica [ L3L-3].

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O fluxo de água em solo não-saturado, na direção z, é dado por

qz = z

KK∂∂−− ψθθ )()( (9)

A velocidade da água nos poros em solo não-saturado, na direção z, é dada por

vz = θ

ψθθ 11)()(

+∂∂−−

zKK (10)

O coeficiente de dispersão mecânica [1] pode ser expresso por

Dzz = αl vz (11)

sendo αl o coeficiente de dispersividade longitudinal [L].

O coeficiente de decaimento de primeira ordem [2] pode ser relacionado com o tempo de

meia vida, 2/1T , dado por 2/1

2lnT

=λ . (12)

Na resolução da equação (6), serão utilizadas as condições iniciais e de contorno:

>=>=

≤≤=

0 ,),(

0 ,),0(

0 ),()0,(

0

tCtLC

tCtC

LzzCzC

L

inicial

Método dos Resíduos Ponderados

Para a solução numérica da equação de advecção-dispersão (6), aplicou-se o método de elementos finitos, com fundamentação matemática descrita nesta seção. Considere o

domínio ( )L,0=Ω , o espaço funcional ( ) ( ) ( ) 1,; 221 ≤Ω∈∂Ω∈=Ω αϑϑ α LLH (13)

e o sub-espaço de funções teste dado por ( ) ( ) ( ) 0,00;1 ==Ω∈= LHV ϑϑϑ (14)

sendo ( )Ω2L o espaço das funções de quadrado integrável. Como o princípio do método dos resíduos ponderados consiste em minimizar o resíduo no domínio de estudo, para a obtenção da solução, basta multiplicar a equação (6) por uma função teste V∈ν e integrá-la sobre o

domínio Ω . Fazendo-se as integrações por partes e considerando ( ) ( ) ,00 == Lνν obtém-se:

( ) ( )∫∫∫∫∫ +Ω−

∂∂−=−

∂∂ LLL

zz

L

z

L

zdSdCRzddz

d

z

CDzd

dz

dCzd

t

CR00000

ννθλνθνθννθ (15)

A derivada temporal será aproximada por Euler implícito [3]:

( )∫∫∫∫∫ +−

∂∂−=−

∆− +

++

+ LLn

L n

zz

Ln

z

L nn

zdSzdCRzddz

d

z

CDzd

dz

dCzd

t

CRCR00

1

0

1

0

1

0

1

ννθλνθνθννθθ

(16)

e a solução consiste em encontrar ( )Ω∈+ 11 HCnθ que atenda às condições iniciais e de contorno:

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==

=

L

inicial

CtLC

CtC

zCzC

θθθθ

θθ

),(

),0(

)()0,(

0

0

e que satisfaça:

( )∫∫∫∫∫∫ +−

∂∂

−+∆

=∆

++

++ LL

nL n

zz

Ln

z

L nL n

zdSzdCRzddz

d

z

CDzd

dz

dCzd

t

CRzd

t

CR00

1

0

1

0

1

00

1

ννθλνθνθννθνθ

(17) para qualquer Vv∈ .

Ressalta-se que z∂

∂ψ e demais variáveis que dependem de ψ são obtidas da solução da

equação de Richards. A variável de estado da formulação integral apresentada é o produto Cθ entre a umidade volumétrica e a concentração, devido à suavidade da solução nesta variável.

Aproximação de elementos finitos

A aproximação de elementos finitos ou aproximação de Galerkin consiste em aproximar

as funções variável de estado ( )Ω∈ 1HCθ e teste Vv∈ por funções aproximadas

( )Ω⊂Π∈ 11 HCθ e Vv ⊂Π∈ 10 , com 1Π um subespaço finito de 1H e

( ) ( ) ( ) 0,00;110 ==ΩΠ∈=Π Lϑϑϑ . O subespaço 1Π será construído por funções

polinomiais por partes com suporte compacto, com grau p, que é a ordem polinomial de

aproximação. Assim, tem-se que: ∑=

=nf

j

jjC1

ϕαθ e ∑=

=nf

i

iv1

ϕ . Substituindo-se em (17) e

agrupando os termos, obtém-se:

( ) ( ) +

+−

∆∑∑ ∫∫∫= =

+++nf

i

nf

j

Lijn

jzz

Li

jnjzi

L

jnj zd

dz

d

dz

dDzd

dz

dzd

t

R

1 10

1

0

1

0

1 ϕϕαϕϕανϕϕα

( ) ( )∑ ∫∫ ∑∫= =

+

+∆

=+

nf

i

L

i

L

i

nf

j

jnji

L

jnj zdSzd

t

RzdR

100

10

1 ϕϕϕαϕϕαλ (18)

A equação (18) deve ser satisfeita para qualquer 10Π∈v . Logo, tomando-se uma função

iϕ por vez, pode-se escrevê-la em forma matricial:

[ ] FK n =+1α (19)

sendo: zdRzddz

d

dz

dDzd

dz

dzd

t

RK i

L

j

Lij

zz

Li

jzi

L

jij ϕϕλϕϕϕϕνϕϕ ∫∫∫∫ ++−∆

=0000

(20)

( ) ∫∫ ∑ +∆

==

L

i

L

i

nf

j

jnji zdSzd

t

RF

001

ϕϕϕα (21)

Assim, o método de elementos finitos é aplicado para encontrar os coeficientes

multiplicadores 1+nα que satisfazem o problema algébrico definido pela equação (19).

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Parâmetros das aplicações

Para a simulação da equação de Richards, são considerados os parâmetros do trabalho de MIRANDA et al [6] dados por:

;0216,03

3

0cm

cm=θ

;0=rθ

;457,5 1−= hcmKS

;0216,03

3

cm

cmi =θ

;0449,0 1−= cmα

;443,03

3

cm

cms =θ

;6732,3=n

.727758,0=m

As condições iniciais e de contorno dadas em cm são:

>−=−>−=

≤≤−−=

0 ,6524,68),70(

0 ,2476,6),0(

007 ,6524,68)0,(

tt

tt

zz

ψψψ

Na simulação do potássio, são acrescidos os parâmetros de MIRANDA et al [6] dados por:

687,4=R

cml 61662,1=α

;0=λ 0=s e

12 7303,2 −= mincmDzz .

As condições iniciais e de contorno utilizadas são:

( )( )( )

>=×=××=

>=×=××=−

≤≤−=×=××=

−−

−−

−−

0 ,/5,221/105,221105443,0,0

0 ,/08,1/1008,11050216,0,70

007 ,/08,1/1008,11050216,00,

3364

3365

3365

tmkgcmkgtC

tmkgcmkgtC

zmkgcmkgzC

θθθ

Resultados e discussão

Com o objetivo de validar o código computacional desenvolvido, considera-se o

deslocamento do íon potássio, em colunas de solo não-saturado, obtido no trabalho de MIRANDA et al [6], com os parâmetros citados na seção anterior.

A simulação do transporte de potássio requer a solução da equação de Richards, no passo de tempo avaliado, para o cálculo da velocidade da água nos poros, além dos coeficientes elencados na equação de advecção-dispersão. Por isso, a simulação do transporte do soluto requer o cálculo anterior da simulação do problema de Richards.

Na resolução numérica do problema de movimento de água no solo, utiliza-se o esquema de Euler explícito [3]. O domínio Ω = [-70, 0] foi particionado, na malha uniforme, em 128 elementos de igual tamanho. O tempo total de simulação é t = 1,75 h, em 450.000 passos de tempo com ∆t = 1,75/450.000 horas = 0,014 segundos.

Foram realizadas duas simulações, uma com a malha uniforme de 128 elementos e outra com malha adaptada. O tamanho do menor elemento da malha adaptada é o mesmo dos elementos da malha uniforme, ou seja, 70/128 cm, e o tamanho do maior varia a cada passo de tempo.

Considere o parâmetro de adaptação 0 < ε < 1 tal que nEdu < ε dumax , sendo

nEdu a

norma do gradiente do elemento En e dumax o máximo dos gradientes sobre os elementos da

partição de Ω. Neste trabalho, adotou-se ε = 0,01 para obter o refinamento adaptativo.

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O processo de adaptação da malha é realizado a cada 1.000 passos de tempo. Para as duas simulações, adotou-se ordem de aproximação p = 2 constante para todos os elementos da malha [7].

O gráfico da umidade versus profundidade é equivalente aos resultados apresentados em [6] (Figuras 1a, 1b), que resolveu a equação de Richards, formulada em termos da umidade θ.

a) b)

Figura 1 a) Comparação do perfil de umidade obtido por MIRANDA et al (2005) e a solução obtida com malha uniforme (27 elementos e p = 2).

b) Comparação do perfil de umidade obtido por MIRANDA et al (2005) e a solução obtida com malha adaptada (p = 2 e ε = 0,01).

Para o problema do transporte de potássio, foi possível utilizar o esquema de Euler implícito [3], devido à linearidade da equação. O uso do esquema implícito é muito vantajoso, pois não implica em restrição ao tamanho do passo de tempo. Desta maneira, foi utilizado um passo de tempo para o transporte do potássio 1000 vezes maior do que para a equação de Richards, isto é, ∆t = 14 segundos. O número de passos de tempo executado é de 450 com um instante final de simulação de 1,75 horas. O domínio Ω = [-70, 0] foi particionado, na malha uniforme, em 64 elementos de mesmo tamanho. Foram realizadas duas simulações: uma com a malha uniforme de 64 elementos e outra com malha adaptada (Figuras 2a, 2b). O tamanho do menor elemento da malha adaptada é o mesmo dos elementos da malha uniforme, ou seja, 70/64 cm, e, o maior varia a cada passo de tempo [7]. Adotou-se ordem de aproximação p = 3.

a) b)

Figura 2 a) Comparação do perfil de concentração do íon potássio obtido por MIRANDA et al (2005) e a solução obtida, no presente trabalho, com malha uniforme (26 elementos e p = 3).

b) Comparação do perfil de concentração do íon potássio obtido por MIRANDA et al (2005) e a solução obtida, no presente trabalho, com malha adaptada (p = 3 e ε = 0,01).

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Conclusão

A estratégia de se usar malha adaptada, através do refinamento h, onde é adotado um maior nível de refinamento nas regiões em que a solução varia mais fortemente e um menor refinamento nas regiões em que a solução é suave, fez com que se obtivessem soluções tão eficientes quanto às com malhas uniformes, diminuindo os graus de liberdade, com um custo computacional reduzido.

O modelo computacional deste trabalho aplicado à solução da equação de Richards e do transporte de potássio, com os dados do trabalho de M IRANDA et al [6], mostrou a redução de aproximadamente 84 % no tempo de processamento, usando-se malhas adaptadas em relação ao tempo de processamento em malhas uniformes. Observou-se que a diferença de consumo de memória não foi tão significativa em relação às duas malhas empregadas. Com a solução da equação de Richards, obtém-se a velocidade da água nos poros não-saturado que é necessária para a resolução da equação de transporte de solutos que descreve o deslocamento destes no solo, contribuindo para a prevenção e realização de previsões de poluição e contaminação do meio ambiente. Referências [1] Anderson, Using models in simulates the movement of contaminants through groundwater systems. Critical Rev. in Envir. Control, New Jersey, vol. 9, n. 2, pp. 97-156, (1979).

[2] J. Bear, “Dynamics of fluids in porous media”, Elsevier, New York, 1972.

[3] J. Bear, “Hydraulics of groundwater”, Dover publications, inc. Mineola, New York, 2007.

[4] Bunsri, Numerical modelling of tracer transport in unsaturated porous media, Journal of Applied Fluid Mechanics, vol. 1, n. 1, pp. 62-70, (2008 (a)).

[5] Bunsri, Influence of dispersion on transport of tracer through unsaturated porous media, Journal of Applied Fluid Mechanics, vol.1, n. 2, pp. 37-44, (2008 (b)).

[6] Miranda, Simulação do deslocamento de potássio em colunas verticais de solo não-saturado, Engenharia Agrícola, Jaboticabal, vol. 25, n. 3, pp. 677-685, (2005).

[7] M. L. P. Pizarro, “Simulação de Fluxo e Transporte de Solutos na Zona Não-Saturada do Solo”, Tese de Doutorado em Ciências da Engenharia Ambiental, EESC-USP, 2009.

[8] W. H. Press, “Numerical Recipes: the art of Scientific Computing”. Cambridge University Press, Cambridge, 2007.

[9] Reichardt, Dinâmica do material e da energia em ecossistemas, Escola Superior de Agricultura Luiz de Queiroz, Universidade de São Paulo, Piracicaba, pp. 21-25, (1996).

[10] Richards, Capillary conduction of liquids through porous medium, Physics, vol. 1, pp. 318-333, (1931).

[11] van Genuchten, A closed-form equation for predicting the hydraulic conductivity of unsatured soils, Soil Science Society of America Journal, vol. 44, n. 3, pp. 892-898, (1980).

[12] O. C. Zienkiewicz, “The Finite Element Method”, McGraw-Hill, New York, 1977.

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