MODELO GOL

Juan Carlos Olmedo

Noviembre 2001

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MODELO GOL

El Sistema Interconectado Central (SIC) dispone de con un embalse natural llamado lago Laja,cuyas aguas son aprovechadas en las centrales El Toro, Abanico, Antuco y Rucue. La magnitud entérminos relativos de este embalse frente al consumo es tal que permite realizar una regulación detipo interanual en el SIC. Por esta razón, la operación del lago Laja constituye un elementoimportante en estudios de operación del sistema eléctrico de corto, mediano y largo plazo en el SIC.

Con el propósito de efectuar estudios de mediano y largo plazo, la Comisión Nacional de Energíadesarrolló un modelo de operación de mediano plazo del SIC, que toma en cuenta en formadetallada la influencia del lago Laja, el cual se describe en este informe, que ha sido denominadoGestión Optima del Laja o GOL.

1.- Características del lago Laja.

El Sistema Interconectado Central dispone actualmente de cinco embalses con posibilidades decontribuir a la generación eléctrica: Colbún, La Invernada, Canutillar, Laguna del Maule y lagoLaja. Los tres primeros tienen una capacidad de regulación relativamente pequeña por lo que sólorealizan una regulación estacional1. Por otra parte, tienen características locales (filtracionesimportantes en la Invernada, restricciones de riego en Colbún) muy marcadas que hacen posibledeterminar políticas de operación practicamente independientes de la gestión de los otros embalsesdel Sistema sin cometer mayores errores de aproximación.

En cambio, el lago Laja es un embalse de gran capacidad que le permite realizar una regulacióninteranual. Así, la forma de utilizar el volumen de agua que el lago Laja puede almacenar tiene porconsecuencia:

- Atenuar los efectos provocados por la ocurrencia de hidrologías extremas en el sistemaeléctrico. Para que esto ocurra el embalse debe ser operado en forma tal que las centrales dellago Laja tengan un factor de planta alto en situaciones hidrológicas secas y que frente asituaciones muy húmedas, acumule agua sin que se produzcan vertimientos.

- Aminorar los efectos provocados por la estacionalidad de la demanda y de los aporteshidrológicos y el ingreso de nuevas instalaciones de generación al Sistema, alisando los costosmarginales esperados de operación del sistema eléctrico.

- Dar señales para la fecha óptima de puesta en servicio de nuevas obras de generación. Enefecto, la operación óptima del lago Laja es modificada por la incorporación de una nuevacentral al sistema y por lo tanto, la fecha de puesta en servicio de la central debe ser analizadatomando en cuenta la operación del lago Laja, que tiene influencia en el costo de operación yfalla del sistema, y consecuente con ello, en costos marginales de energía, afectando de esamanera los ingresos percibidos por la nueva central. Con esta información, el regulador puededeterminar el plan de expansión del sistema de generación o Plan de Obras indicativoestablecido en la Ley, de forma de minimizar el costo actualizado de operación, inversión yenergía no suministrada.

1 Sólo permite transferir agua dentro del año entre estaciones, por ejemplo: del verano al otoño.

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Si bien, en términos relativos, la capacidad de regulación del lago Laja en relación con el consumodel SIC ha disminuido con el transcurso del tiempo y con la incorporación de nuevas instalacionesde generación, el lago Laja mantiene su importancia en la operación del sistema.

El lago Laja esta ubicado a unos 90 Km. al oriente de la ciudad de Los Angeles y a 1.360 metrossobre el nivel del mar. Tuvo su origen en sucesivas erupciones de los volcanes Laja y Antuco,cuyas corrientes de lava formaron una barrera que bloqueó la hoya. En la parte superior del muroasí formado se construyó una barrera móvil de unos 8 metros de altura, que permite incrementar aúnmás la capacidad de regulación. El lago puede almacenar un volumen máximo cercano a los 7.500millones de m3. Sin embargo, con fines de generación eléctrica sólo es posible utilizar 4.000millones de m3, volumen que permite realizar transferencias interanuales de energía,independizando la generación del régimen de afluentes. El volumen útil para generación eléctrica,está almacenado entre las cotas 1.310 y 1.368 m.s.n.m., cotas mínima y máxima normales deoperación del embalse. En situaciones extremas, las autoridades han permitido su uso bajo la cota1.310 m.s.n.m., pero sólo en carácter de uso eventual.

Los afluentes totales al lago Laja alcanzan a un promedio anual de 65 m3/seg. El régimen de losaportes es de tipo glacial2, concentrándose el 41% de ellos en el trimestre Octubre-Noviembre-Diciembre.

Debido a la naturaleza permeable de las lavas volcánicas que formaron la barrera que dio origen allago, se producen a través de ella filtraciones que afloran en el lecho del río Laja unos 3,5 Km.aguas abajo del desagüe del lago. El nivel de filtraciones es directamente proporcional a la cota delembalse.

Las centrales que constituyen el complejo del lago Laja son: El Toro, Abanico, Antuco y Rucue.La central El Toro posee una potencia instalada de 400 MW y capta sus aguas directamente del lagomediante una bocatoma profunda, la cual permite extraer un caudal máximo de 97 m3/seg.Después de generada, el agua es restituida al río Polcura y es posteriormente utilizada por la CentralAntuco. Finalmente, la central Rucue con una potencia instalada de 180 MW, capta aguas abajo dela central Antuco hasta un caudal máximo de 130 m3/s.

La central Abanico, con una potencia instalada total de 136 MW, genera:

i) las filtraciones del Lago Lajaii) los aportes de la hoya intermedia comprendida entre el desagüe del lago y la bocatoma de

esta centraliii) los aportes proporcionados por los esteros Tribunleo y Cipreses.

Una vez generada, el agua es restituida al río Laja para ser utilizada posteriormente por la centralAntuco. Abanico puede además generar extracciones del Lago Laja realizadas a través de un túnelde vaciado. Sin embargo, en condiciones normales ello no es conveniente, ya que la altura de lacaída en El Toro es cuatro veces la de Abanico.

La central Antuco, de 320 MW de potencia instalada, recibe aportes de los ríos Laja, Polcura yPichipolcura. Los caudales de la rama Laja provienen de la generación de Abanico y de los esterosMalalcura y Él Toro, todos los cuales acceden a la aducción Laja (capacidad de 50 m3/seg ). 1Porsu parte, los caudales de la rama Polcura provenientes de la central El Toro y del río Polcura llegana la aducción Polcura (capacidad de 160 m3/seg.). Las aducciones Laja y Polcura se unen

2 Esto implica que sus afluentes están determinados por el derretimiento de nieves.

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formando la aducción común, cuya capacidad está limitada a 190 m3/seg. Finalmente, las aguas delrío Pichipolcura son captadas mediante la aducción Pichipolcura (capacidad de 11 m3/seg.) yllevadas a la aducción común.

2. Conceptos básicos en operación de embalses

La operación de un embalse en un sistema eléctrico plantea el problema de decisión del uso delagua en generación presente versus su uso en el futuro. El uso inmediato del agua en generación

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tiene como efecto una reducción de la generación térmica actual y por lo tanto, del costo presente.Como contraparte, implicará un aumento del costo futuro, al disminuir las reservas de aguaembalsada. Por otra parte, el almacenamiento de agua y su uso futuro reducirá el costo degeneración térmica y los riesgos de falla a futuro, pero implicará un aumento del costo presentedebido al mayor uso de generación térmica.

Una alternativa de operación consiste en utilizar al máximo el agua actualmente disponible,situación que conduce a que el embalse quede bastante deprimido y que en el futuro sea necesarioutilizar centrales termoeléctricas caras o eventualmente períodos de racionamiento delabastecimiento eléctrico. Por otra parte, es claro que si se decide almacenar toda el agua que esposible con el fin de disponer de ella en el futuro, se producirán costos presentes muy altos yposiblemente racionamiento en la operación actual. Existe por lo tanto una operación óptima queconsiste en generar una parte del agua disponible hoy y almacenar el resto para sustituir generacióntermoeléctrica cara y fallas de abastecimiento o racionamiento en el futuro.

De lo anterior se desprende que, aun cuando la generación en una central de embalse no signifiquedesembolso monetario, el agua sí tiene un valor económico o costo alternativo. El valor del aguautilizada en un instante cualquiera corresponde al costo de operación y energía no suministrada queella sustituye en ese momento. Se puede asociar a cada volumen de agua embalsada en un instantedeterminado, el valor presente de los costos de operación y energía no suministrada a futuro en elsistema, cuando el sistema eléctrico se opera en forma óptima a partir de ese nivel y de ese instante,lo que se denomina Valor Estratégico o Costo Futuro Actualizado. El valor presente o costo totalactualizado de operación del sistema disminuye al aumentar el volumen inicial disponible en elembalse. Podemos interpretar que se obtiene un beneficio por el agua acumulada, que es igual a ladiferencia entre el costo actualizado correspondiente al volumen inicial mínimo de operación delembalse y el correspondiente a cada nivel posible.

Una variación marginal en el volumen embalsado significa una variación del costo actualizado deoperación y energía no suministrada del sistema por disponer o no de esa cantidad de agua en elfuturo. Esta variación de costo es el valor marginal del agua o de la energía embalsada.

La operación óptima del embalse es aquella para la cual el costo total actualizado de operación yfalla del Sistema a lo largo de un horizonte de análisis es mínimo entre todas las operacionesfactibles del embalse.

En cada instante debe decidirse entre la utilización de un volumen de agua en el período actual o suuso futuro. La explotación resulta óptima cuando el beneficio marginal presente de utilizar unaunidad de energía embalsada es igual al beneficio marginal futuro asociado al embalse. En otraspalabras, en el óptimo, al incrementar en una pequeña cantidad la extracción del embalse, seproduce una disminución del costo presente que es igual al mayor costo futuro de operación.

Bajo una hipótesis de futuro conocido, el objetivo de explotación del embalse es obtener el máximobeneficio para el conjunto del sistema eléctrico, lo que es equivalente a minimizar el costo total deoperación y falla. En la hipótesis de futuro aleatorio o desconocido se debe minimizar el valoresperado del costo actualizado total de operación y energía no suministrada. Este valor esperado oesperanza matemática es, por definición, la suma de los costos correspondientes a todas laseventualidades posibles ponderados por la probabilidad de ocurrencia de estas eventualidades ocombinaciones de ellas.

Una consecuencia de esta situación en la hipótesis de futuro aleatorio, una regla de explotación esóptima solamente en términos esperados. Ella no garantiza optimalidad para todas las situaciones.

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Por el contrario, siempre es posible determinar, a posteriori, un comportamiento particular quehabría dado mejores resultados que la regla óptima.

Desde el punto de vista de las condiciones del óptimo, el valor estratégico y valor marginal del aguason ahora variables calculadas en esperanza. Por lo tanto, la operación óptima es aquella para lacual el valor marginal esperado de la energía embalsada es igual al valor esperado del costomarginal de producción en el instante de análisis.

La operación de un sistema de generación de electricidad, y por lo tanto su costo, está sometidoprincipalmente a tres fenómenos aleatorios:

- demanda- aportes hidrológicos- disponibilidad de unidades térmicas

En el caso particular del modelo de gestión óptima del lago Laja, sólo se ha tomado en cuenta laaleatoriedad hidrológica por ser la más relevante. La indisponibilidad de las centrales térmicas seha considerado a través de una reducción de su capacidad máxima de generación mediante el uso deun factor de disponibilidad.

3.- Metodología de solución para el problema de operación de embalse.

3.1 Aplicación de la programación dinámica.

Como se ha explicado hasta ahora, el problema de la operación óptima de un embalse implicaadoptar decisiones que están ligadas en el tiempo, es decir, las decisiones que se adopten en elpresente necesariamente afectarán las decisiones futuras. Existe una técnica que permite solucionareste tipo de problemas que se denomina programación dinámica. La técnica de la programacióndinámica se basa en la aplicación del principio de Bellman, el que requiere se cumplan doscondiciones:

- que el sistema sea no-hereditario, es decir, el estado del sistema resume toda la historia delmismo.

- que la función objetivo debe ser de naturaleza aditiva. Esto permite separar el problema globalen etapas que pueden ser analizadas en forma independiente, ligando cada una con el resto delproblema a través de los estados inicial y final de la etapa.

En este caso, se puede asociar a cada nivel de embalse el costo de la operación futura del sistema ovalor estratégico. En cada período, para un nivel del embalse dado, la decisión óptima será aquellaque minimiza el costo de operación en la etapa más el costo futuro representado por el valorestratégico asociado al nivel del embalse al final del período.

Conocida una función de valores estratégicos al final del último período del horizonte de análisis, sepuede determinar la decisión óptima correspondiente a cada nivel inicial de este último período y elvalor estratégico asociado a cada nivel inicial. Avanzando en sentido inverso del tiempo sedetermina para cada instante y nivel de embalse la decisión óptima y el valor estratégico asociado.Se forma así una malla de decisiones óptimas hasta llegar al primer período en que el nivel inicial esconocido. Recorriendo la malla de decisiones óptimas desde el punto inicial conocido, ahora en elsentido del tiempo, se encuentra la secuencia de decisiones óptimas y la trayectoria del embalse.

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3.2 Optimización de una etapa.

En una etapa cualquiera t y para cada nivel inicial del embalse se determina el caudal a extraer quehaga mínimo el costo total actualizado de operación y energía no suministrada de ese instante en elfuturo. Este costo total actualizado es igual al costo de operación durante esa etapa (C) más el costofuturo después de esa etapa, ambos valores actualizados a inicios de la etapa. Este costo futurocorresponde al valor estratégico Vt+1 asociado al nivel final del embalse S t+1.

At

St+1St

qt

Pt

El costo de operación C es sólo función del caudal extraído del embalse y del período t y, dado uncaudal afluente A, esta relación se puede escribir:

Donde:

C t(q t,t) : costo de operación y falla de la etapa t. El costo de operación corresponde alcosto de producción de la generación térmica requerida.

Ct

qt

V t+1 (S t+1) : valor estratégico asociado al nivel St+1.

[ ])(),()( 11 ++∗+= ttttqtt SVtqCMinSVt

α

ttttt pqASS −−+=+1

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Vt+1

qt

At : caudal afluente al embalse en la etapa t.Pt : pérdidas por vertimientos y filtraciones.α : factor de actualización o descuento.

De esta manera, la curva de costos totales a minimizar es la que se muestra en la figura siguiente.En ella, el punto mínimo corresponde a V t(S t):

Ct +Vt+1

qt

Vt

q*t

3.3 Aleatoriedad hidrológica.

Como se ha explicado, el caudal afluente a las centrales hidroeléctricas y por lo tanto, la energíagenerable por ellas, es una variable aleatoria. Esta aleatoriedad se trata en el modelo en la siguienteforma:

i) Se supone que existe independencia estadística entre los caudales afluentes de cada año.Es decir, la ocurrencia de una hidrología durante un año no determina ni condiciona lahidrología del año siguiente. Al no ser posible prever lo que ocurrirá en los años siguientes,el valor estratégico asociado a una cota a fines de cada año hidrológico (abril a marzo)corresponde al valor esperado respecto a las hidrologías futuras posibles.

ii) Para un año, la decisión de extracción del embalse supone conocida la hidrología del año(esquema azar-decisión). Para cada hidrología anual, supuesta conocida, el sistema seopera en forma óptima y el valor estratégico a comienzos del año, para cada cota, escalculado promediando los valores estratégicos de todas las hidrologías posibles.

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iii) El año se ha dividido en subetapas trimestrales con el fin de representar laestacionalidad de la demanda, los aportes hidrológicos y la disponibilidad de las centralesque varían a lo largo del año.. Los aportes hidraúlicos en cada trimestre se suponenperfectamente dependientes entre si, es decir, la operación óptima a través de los cuatrotrimestres se realiza como una programación dinámica determinística para cada hidrología.

Para un año cualquiera t, se conoce la función V t+1 (S t+1) de valor estratégico o valor del aguaembalsada en el lago a fines del año t (principios del año t+1) en función de la cota S t+1 delmismo. El cálculo del valor estratégico a comienzo del año t (fines del año t-1) se realiza en lasiguientes forma:

i) Se define una condición hidrológica Hht, para el año t y condición hidrológica h).

ii) Se define una cota inicial en el lago Laja a comienzos del 4° trimestre hidrológico.

iii) Se determina la operación óptima. El valor estratégico asociado a la cota inicial sedefine como la suma actualizada de costos de operación y energía no suministrada más elvalor estratégico en la cota final correspondiente a la operación óptima.

iv) El procedimiento indicado en (ii) y (iii) se repite para las distintas cotas iniciales,obteniéndose la función de valores estratégicos a fines del trimestre 3 para la condiciónhidrológica h.

v) Se define una cota inicial a comienzos del trimestre 3 y se determina, para la mismacondición hidrológica h, la operación óptima y el valor estratégico asociado a dicha cota.El proceso se repite para las distintas cotas iniciales del trimestre 3.

vi) En forma análoga a lo indicado en (ii) y (iv), se optimiza la operación de lostrimestres 2 y 1.

vii) La operación óptima anual para la hidrología h se obtiene agregando la informacióntrimestral. Para cada cota a comienzos del primer trimestre se realiza la operación óptimaentre los trimestres, de manera que la cota a fines del trimestre 1 corresponde a la cota acomienzos del trimestre 2, y así sucesivamente.

vii) El procedimiento descrito se repite para todas las situaciones hidrológicasconsideradas. Una vez completado el proceso, se calcula el valor estratégico asociado acada cota a fines del año (t-1) como el valor esperado de esa cota a comienzos del trimestre1 del año t:

En donde:

St : nivel del embalse a comienzos del año t

Vt (St/Hht) :Valor estratégico a comienzos del año t+1 para la condición hidrológica Hh

Vt (St) : Valor estratégico esperado a comienzo del año t, en función del nivel St

)()()(01

ht

tt

M

h

httt H

SVHPSV ∗∑=

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P (Hht) : Probabilidad de ocurrencia de la hidrología Hh

t

M : número de condiciones hidrológicas

Desde el punto de vista estadístico la situación descrita equivale a plantear que existe independenciaentre los años hidrológicos, en tanto que en trimestres de un mismo año existe una dependenciaperfecta.

4. Representación del abastecimiento del SIC.

El procedimiento de calculo requiere determinar para cada período trimestral y para todas las cotasiniciales del lago Laja la decisión óptima de operación del embalse asociada a cada hidrología. Acontinuación se señalan algunas de las características de la representación del modelo para la etapade optimización o trimestre:

i) Representación espacial. El modelo es uninodal. Tanto la oferta como la demanda deenergía se concentran en un único punto, por lo que se desprecian las variaciones deperdidas de transmisión ante distintas condiciones de operación del sistema.

ii) Variación estacional. La variación estacional dentro del año se considera analizando laoperación en forma trimestral.

iii) Demanda trimestral. La demanda trimestral se representa a través de una curva de duraciónque consta de dos bloques: uno de demanda máxima y un segundo bloque correspondientea la energía.

iv) Centrales hidroeléctricas. Las energías generables de centrales hidroeléctricas estánformadas por una serie basada en una estadística hidrológica de 40 años. En el caso de lascentrales no afectadas por la regulación del lago Laja, se utiliza una serie de energíasgenerables trimestrales ya regulada por la operación de sus propios embalses. En el caso delas centrales del Laja, la energía es calculada en el modelo, en función de la operación delembalse, en que los caudales afluentes corresponden a la misma serie de 40 años.

v) Centrales térmicas. Se representan en forma individual. Se supone que los consumosespecíficos de las centrales térmicas son constantes con el nivel de generación de la central.La falla de las unidades térmicas es un fenómeno aleatorio, sin embargo, en este modelo serepresenta solamente a través de una disponibilidad media aplicada a cada unidad, quelimita la energía generable trimestral. Adicionalmente se considera el efecto de lamantención programada en los trimestres en que esta corresponda.

vi) Costo de falla. Cuando el conjunto de instalaciones existentes es insuficiente para abastecerla demanda de energía y/o la demanda máxima del Sistema (demanda de potencia), seproducen fallas en el abastecimiento que significan perdidas para los usuarios. Estas sevalorizan mediante funciones de costo de falla de energía y de costo de falla deabastecimiento de potencia.

En el modelo, los costos totales de falla en el abastecimiento de energía se representanmediante una función lineal por tramos y que satisface las siguientes condiciones:

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- El costo de falla depende sólo de la magnitud de ésta.- Existen tres tramos de falla, cuyos extremos se expresan como porcentaje de lademanda total de energía. El costo unitario de falla (costo del kwh no servido) esconstante en cada tramo.- Los tramos correspondientes a situaciones de falla más profundas tienen costosunitarios iguales o superiores a los de los tramos menos profundos.

El costo de falla en el abastecimiento de potencia tiene un comportamiento similar al casode falla en el suministro de energía. Sin embargo, debido a que se ha estimado que loscostos de falla en el abastecimiento de potencia son sensiblemente menores que loscorrespondientes de energía y a que no existen antecedentes suficientes, se consideró que elcosto de falla en el abastecimiento de potencia es cero. Esto, sin embargo no significa queel modelo no tome en cuenta este aspecto, ya que al analizar la operación se verifica que lademanda de potencia quede abastecida, para lo cual eventualmente se obliga generacióntérmica durante las horas de punta.

vii) Abastecimiento de la demanda y cálculo del costo de operación. La curva de demandatrimestral se ha simplificado representándola a través de la demanda máxima y la energíatrimestral. En el modelo se analiza en primer termino el abastecimiento de la demanda depotencia, para lo cual se verifica si las centrales hidroeléctricas disponibles pueden enconjunto abastecer la demanda máxima. Si ello no sucede, se recurre a unidades térmicas,las que deben generar un mínimo de energía para entregar su potencia.

El análisis del abastecimiento de energía se realiza para cada trimestre, siendo conocidos: la cota dellago Laja a comienzos del trimestre, la condición hidrológica y la decisión del caudal extraído dellago, existe un costo asociado al abastecimiento de las demandas de energía y potencia durante elperíodo considerado. El costo relevante está constituido por los costos variables de operacióncuando las instalaciones son suficientes para abastecer la demanda y por los costos de falla cuandola demanda supera la capacidad de las instalaciones existentes. Se debe tener presente que loscostos fijos de operación son constantes y no inciden en la determinación de la operación óptima.

Una condición necesaria para asegurar que la operación sea óptima es que las instalacionesutilizadas para abastecer la demanda operen según costos variables crecientes. Acorde con loanterior, el abastecimiento de la demanda se realiza utilizando en primer lugar las centraleshidroeléctricas, luego las centrales termoeléctricas, ordenadas de menor a mayor costo variablemediante el programa, y finalmente, se consideran las situaciones de falla.

La determinación del costo de abastecimiento del trimestre se realiza según la siguiente secuencia:

i).- Determinación de la oferta térmica.

Tomando como variable independiente el valor acumulado de energía generable por un conjunto decentrales térmicas ordenadas según costos variables de operación, a las cuales se agregan los tramosde falla, se construyen las siguientes funciones lineales por tramos:

- Potencia disponible. A cada valor de energía acumulada que pueden entregar las centralestérmicas, ordenadas según costos variables de operación, se asocia el de potencia disponible total endichas centrales.

- Energía Mínima. Para cada nivel de energía acumulada, corresponde a la cantidad de energía quedeben generar las centrales térmicas para que puedan entregar su potencia disponible.

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- Costos de Operación. Para cada nivel de energía acumulada, corresponde al costo total degeneración y falla. Adicionalmente a la curva de costos totales, se calculan las curvas de costos degeneración de energía mínima cuando la central es requerida para abastecer la demanda máxima yla curva diferencial entre el costo de abastecimiento de energía máxima y energía mínima.

ii).- Abastecimiento de la demanda máxima:

La demanda máxima del trimestre se abastece recurriendo en primer lugar a las centraleshidroeléctricas. Si éstas no son suficientes se utilizan las unidades térmicas y, mediante las curvasindicadas en ii), se determina:

- Energía mínima generada para abastecer la demanda máxima.

- Costo de generación de la energía mínima requerida para abastecer la demanda máxima.

- Consumo de combustible asociado a la energía mínima generada para abastecer la demandamáxima.

iii).- Abastecimiento de la demanda de energía del trimestre.

Para una hidrología dada, el abastecimiento de energía se realiza recurriendo en primer término acentrales hidroeléctricas, excluida la componente regulable de las centrales del Lago Laja. El saldoes abastecido mediante centrales térmicas y extracciones del lago Laja, de manera que para undeterminado nivel de extracción se determina la cantidad total de energía que deberán generar lascentrales térmicas, incluidas eventuales fallas en el abastecimiento de energía.

Pueden producirse las siguientes situaciones:

- La generación en centrales térmicas es inferior a la energía mínima obligada por razonesde abastecimiento de la demanda máxima. En este caso las centrales térmicas generan elmínimo obligado y el costo de operación corresponde a dicho mínimo. El excedente deenergía, diferencia entre generación hidroeléctrica mas generación térmica obligada ydemanda trimestral de energía, constituye rebase y no se le asigna valor económico.

- La generación en centrales térmicas es superior a la energía mínima obligada pero inferioral total generable en centrales más eficientes que la marginal por razones de abastecimientode la demanda máxima. En este caso, los costos de operación se determinan sumando losvalores asociados a la generación de energía mínima con los correspondientes obtenidos delas curvas diferenciales.

- La generación en centrales térmicas supera al total de energía generable en centrales coneficiencia mayor o igual que la marginal por razones de abastecimiento de la demandamáxima. En este caso, las evaluaciones se realizan utilizando las correspondientes curvastotales.

5. Organización del modelo y resultados obtenidos

Desde el punto de vista funcional, es posible distinguir dos fases en el modelo. La primera es lafase de optimización, la que se desarrolla mediante el procedimiento de programación dinámica. El

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resultado de esta fase es una estrategia de operación, es decir, indica para cada año, cada nivel acomienzos del año y , cada condición hidrológica, la decisión óptima de operación del embalse.Esta información es muy útil para la toma de decisiones inmediata (pues se conoce el nivel actualdel embalse). Sin embargo, la operación futura del lago Laja, dependerá de la secuencia dehidrologías que se presente. Por lo tanto, el comportamiento de las distintas variables relacionadascon la operación del lago Laja sólo se puede conocer a través de sus respectivas distribuciones deprobabilidades y de estadígrafos asociados a dichas distribuciones (valor esperado, desviaciónestándar y otras).

La segunda fase del modelo tiene por objeto estudiar el comportamiento futuro de estas variables, laque corresponde a un proceso de simulación. Esto se realiza a través de dos procedimientosalternativos de simulación: Montecarlo y cadenas de Markov.

5.1. Fase de optimización

El resultado de la fase de optimización es una estrategia de operación del embalse. Esto significaque para cada año en estudio, cada nivel del embalse a comienzos del año y cada eventohidrológico, se determina la decisión óptima de operación y el valor que en ese caso adoptan lasdistintas variables que caracterizan al Sistema: costos de operación, costos de falla, costosmarginales, etc.

Durante esta fase se obtienen tres tipos de resultados:

a.- Para cada trimestre estudiado se determinan matrices que contienen los valores de las distintasvariables estudiadas que correspondan a la operación óptima para distintas cotas iniciales ycondiciones hidrológicas durante el año. Las matrices presentan la forma indicada a continuación:

Comportamiento de la variable A(según cota inicial Sj e hidrología Hi)

HidrologíaS1

Cota inicialSj Sm

H1 A11 A1j A1m

Hi Ai1 Aij Aim

Hn An1 Anj Anm

El elemento Aij de la matriz corresponde al valor de la variable A asociado a la condiciónhidrológica Hi y cota inicial Sj, considerando que para esas condiciones se ha optimizado laoperación del Sistema.

Las variables estudiadas por el modelo son: cota final en el lago Laja, consumos anuales de carbón,costos anuales de generación, costos anuales de falla, costos marginales trimestrales, generaciónanual en cada central térmica, generación anual total, generación anual en Abanico, El Toro yAntuco, energía anual fallada y rebases anuales.

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b) Para cada año del período de estudio se determinan los valores esperados trimestralescorrespondientes a distintas condiciones de cota inicial del embalse para cada trimestre. Losresultados se presentan en la forma indicada a continuación:

Variable B

Cota inicialAMJ

TrimestreJAS OND EFM

S1 B11 B12 B13 B14

Sj Bi1 Bi2 Bi3 Bi4

Sm Bm1 Bm2 Bm3 Bm4

Las variables presentadas de esta manera son: costos marginales, valores estratégicos, generación enEl Toro, generación en Antuco, generación térmica y cotas finales en el lago Laja.

c) Para el instante inicial, es decir, el 1° de abril del primer año en sentido cronológicocreciente, se determina el valor estratégico del agua asociado al nivel conocido del lago Laja paraesa fecha. Este valor es útil para determinar el costo total esperado de operación y falla en el SIC,de forma de ser utilizado, por ejemplo: para estudios de planes de obras.

5.2.- Fase de simulación.

Dado que mediante el uso del modelo Gol, lo que se obtiene de su fase de optimización son tablasde decisión y resultados en función de la cota a inicios de cada trimestre, se requiere conocer laoperación que tendría el sistema eléctrico a partir de la cota a inicios del período de estudio otrimestre inicial. Este análisis de realiza mediante el método de simulación de Montecarlo ocadenas de Markov.

a. Método de Montecarlo

El método de Montecarlo consiste en generar series aleatoria de eventos, en este caso condicioneshidrológicas con las cuales se simula la operación del SIC durante un período de hasta 15 años.Cada serie cubre un período igual al del estudio y está compuesta por un conjunto de añoshidrológicos elegidos al azar de la estadística disponible de 40 años. Para cada una de ellas seconoce el comportamiento óptimo del SIC en función del nivel inicial del embalse, pues este fuedeterminado (y almacenado en matrices> durante la etapa de optimización.

Partiendo de una cota conocida a principios del primer año, es posible determinar el valor quetoman las siguientes variables en cada año del estudio: cota final del lago Laja, costo de generación,costo de falla, costos marginales trimestrales, consumo de combustible, generación de cada centraltérmica, generación de Abanico, El Toro y Antuco, energía fallada y rebases. La figura siguientemuestra gráficamente el proceso de simulación de Montecarlo:

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1325 EL*1H=4

Cota inicial m.s.n.m. A-M-J J-A-S O-N-D E-F-M A-M-J J-A-S O-N-D E-F-M

Año 2000/2001 Aaño 2001/2002

. . . .

. . . .

EL*2H=4 EL*3

H=4 EL*4H=4

EL*5H=9

EL*6H=9 EL*7

H=9

EL*8H=9

EL*1H=15

EL*2H=15 EL*3

H=15 EL*4H=15

EL*5H= 2

EL*6H= 2 EL*7

H= 2

EL*8H= 2

Con un numero de secuencias hidrológicas de simulación relativamente elevado (entre 1000 y2000), se obtiene la distribución de probabilidades de cada una de estas variables en cada ano. Elprograma entrega el valor esperado y la desviación estándar de todas estas variables para cada añoy la distribución de probabilidad de cotas finales y de una cualquiera de las otras seleccionadapreviamente.

b. Método de Markov

Una forma alternativa de estudiar el comportamiento de un sistema es el denominado método deCadenas de Markov. Mediante el es posible analizar el estado de un sistema que evoluciona en eltiempo y cuyo comportamiento depende de condiciones aleatorias. Como resultado se obtienen lasdistribuciones de probabilidad del estado del sistema en los distintos períodos considerados y, engeneral, distribuciones de probabilidad para variables que son función del estado del sistema.

Las condiciones en las cuales se utiliza este método son:

i) En cada período, el estado del sistema, y las variables que son función de el, deben ser discretas.

ii) La condición del sistema en un período cualquiera depende sólo del estado del sistema en unperíodo anterior y de la ocurrencia de eventos durante el período.

La actual versión del modelo utiliza el método de Markov sólo para estudiar el comportamiento delas cotas en el lago Laja y de los consumos de carbón.

El método de Markov constituye una alternativa al método de simulación de Montecarlo, por lo queambos deberían entregar resultados idénticos. Ello, sin embargo, puede no ocurrir debido a:

- El método de Montecarlo converge a los verdaderos valores de la distribución de probabilidadessólo si el número de tiradas tiende a infinito. En la medida que dicho valor no sea suficientementegrande, existirán errores en la estimación de probabilidades y de los estadígrafos asociados.

- En el método de Markov existe una pérdida de información, ya que para los efectos de cálculo,las variables continuas deben ser discretizadas, por lo cual todos los valores son asignados al centrode la clase a la cual pertenecen. Adicionalmente, la clase correspondiente al extremo superior deldominio de definición es semiabierta e incluye todos los valores superiores a su límite inferior.

15

En todo caso, ambos métodos entregarían resultados parecidos en la medida en que aumenten tantoel número de tiradas en el método de Montecarlo como el número de clases de equivalencia en elmétodo de Markov.

6.- Uso del modelo

El Modelo de Operación del lago Laja es un instrumento de apoyo en la toma de decisiones frente aproblemas de planificación de la operación o de selección de inversiones. Entre ellos, es posiblemencionar:

- Decisiones de operación: energía a generar en centrales del Laja y unidades térmicas. La decisiónse toma comparando el costo marginal esperado correspondiente al nivel conocido del lago Laja conlos costos variables de las centrales térmicas.

- Empleo del costo marginal en función del nivel del lago Laja para definir el precio detransferencia entre empresas generadoras.

- Determinación de costos marginales de operación y su evolución futura. Los costos marginales delos primeros años son usados en el cálculo de tarifas en alta tensión a empresas distribuidoras oprecios de nudo. Los costos marginales de períodos futuros son usados en estudios de diseño decentrales y líneas de transmisión.

- Análisis del abastecimiento futuro.

- Estudio de la operación futura del SIC determinando, valores esperados de energía generadapor centrales del Laja, centrales térmicas, rebases, falla, necesidades de carbón y petróleo, etc.

- Cálculo del costo de operación de un determinado programa de instalaciones de generación,el que puede ser usado en la definición de dichos programas.

- Determinación del valor económico de una central.

- Análisis de sensibilidad de todos los elementos antes mencionados frente a variaciones enla demanda, precio de los combustibles, etc.

7. Información necesaria para una corrida de largo plazo.

Un estudio de la operación del SIC requiere información de la demanda, características degeneración de las centrales generadoras, costos de operación, fecha de puesta en servicio de lasunidades de centrales futuras, etc.

Parte de esta información es constante para una serie de estudios (potencia de las centrales, serie deenergía generables y caudales afluentes trimestrales, niveles del lago para los cuales se calcula lafunción de valores estratégicos, consumo específico de centrales térmicas, etc.). Otros datos, encambio, se modifican de un estudio a otro: demanda, precio de los combustibles, fecha de puesta enservicio de algunas instalaciones, indicaciones del tipo de informe de resultado deseado, etc.

16

Anexo N°1

PROGRAMACION DINAMICA APLICADAA LA OPERACION OPTIMA DE UN EMBALSE

1. Planteamiento del problema

Un problema planteado en los términos siguientes, puede resolverse mediante la técnica deprogramación dinámica:

∑ +

=++

n

ttttttutu

SVtuXLMax1

11...1)(),,(

Sujeto a:

xt+1 - xt = f (xt, ut) t= 1 aT

gt (xt, ut) >= 0 t= 1 aT

gT+1 (xT+1) >= 0

x1 = a

En que:T : número de etapas

xt : variable que define el estado del sistema a comienzos del período t.

ut : variable de control o de decisión durante el período t.

L : función objetivo para el período t. Depende sólo del estado del sistema a comienzos delperíodo (xt), de la decisión tomada (ut) y de condiciones exógenas o ambientales válidas para eseperíodo(t).

VT+1 función que asigna valor económico al estado del sistema a fines del ultimo período.

ft función de evolución. Relaciona el estado del sistema a comienzos y fines del período conla decisión tomada en él.

gt : restricciones sobre los estados y decisiones del sistema, durante el período t.

g T+1 restricciones sobre el estado final del sistema.

a estado del sistema en el instante inicial.

La condición fundamental requerida para aplicar programación dinámica es que el estado delsistema en un período o etapa cualquiera resume toda la historia transcurrida hasta ese instante.Esto significa que en un período cualquiera, tanto la función objetivo como el estado final delsistema, dependen sólo del estado inicial y de la decisión tomada.

17

El problema de optimización de la operación del Lago laja puede plantearse de la siguiente manera:

∑ ∗+∗

=+++

n

ttttttttqTq

SVtqscMin1

111...1)(),,( αα

Sujeto a:

01

1

1 ,

1 ,

1 ),,(

sS

TatQqQ

TatsSs

TatqSfSS

ttt

ttt

ttttt

=

=≤≤

=≤≤

==−+

La ecuación de evolución del sistema se obtiene a partir de la ecuación de balance hidrológico en elembalse:en que:

At : caudal afluente al embalse durante el período t.

Et : evaporación durante el período t

Rt : rebase durante el período t.

F(St, St+1) : filtraciones, dependen del estado del embalse a comienzos y fines del período.

Suponiendo que la ley de filtraciones es lineal y de la forma:

DSSBSSF tttt += ++ ),(),( 11

Entonces:

[ ]DSBERqAB

SS ttttttt −∗∗−−−−+

=−+ 21

11

Definiendo:

[ ]DSBERqAB

qSf tttttttt −∗∗−−−−+

= 21

1),( , se obtiene la expresión deseada.

En que:

T : horizonte de evaluación (años)

αt : coeficiente de actualización del año t con respecto a comienzos del año 1.

Ct : costo de operación (y falla) durante el período t.

18

St : cota del embalse a comienzos del período t (variable de estado)

qt : caudal medio extraído durante el período t (variable de decisión).

t : simboliza las condiciones del período t que inciden en Ct. Incluye: demanda, demandamáxima, generación hidroeléctrica y potencia disponible en centrales hidroeléctricas, característicasdel parque térmico disponible (potencias, rendimientos, tasa de fallas, período de mantenimiento)costos de combustibles y lubricantes, etc.

st, st : cotas mínimas y máxima entre las cuales es posible operar el embalse durante el período t.

Qt : caudal mínimo que debe ser obligatoriamente extraído durante el período t.

Qt : caudal máximo que es posible extraer durante el periodo t.

S0 : condición del embalse de comienzos del primer período

VT+1 : función que valoriza el estado del embalse a fines del último período de evaluación.

El costo de operación Ct corresponde al costo variable de generación térmica más el costo de falla.El está sujeto principalmente a tres fenómenos aleatorios: demanda, aportes hidrológicos ydisponibilidad de unidades. En el caso del modelo descrito en este Informe, sólo los aporteshidrológicos se han tratado como variable aleatoria, por ser la más significativa.

Con el fin de simplificar la presentación, en el punto 2 se desarrolla el planteamiento deprogramación dinámica correspondiente al caso de aportes determinísticos. Posteriormente, en elpunto 3 se analiza el caso en que la hidrología es tratada como variable aleatoria.

2. Resolución del problema con hidrologías determinísticas.

2.1 Principio de optimalidad

El algoritmo de solución de un problema mediante programación dinámica, se obtiene aplicando elPrincipio de Optimalidad propuesto por R. Bellman, el cual establece que: "Una política óptimasólo puede estar formada por subpolíticas óptimas. Se entiende por política óptima a la sucesión dedecisiones tomadas a lo largo de todo el período de análisis y que optimizan la función objetivo.Una subpolítica es un conjunto de decisiones asociadas a un subperíodo del periodo total.

La política óptima puede, por lo tanto, descomponerse en dos subpolíticas: una que comprendedesde el instante inicial hasta período k y otra que incluye desde el período k+1 hasta el final.

Así, el problema planteado (P2) puede separarse en (P3) y (P4) , según se indica a continuación:

∑ ∗+∗

=

+=++++

Tt

ktTTTttttqTqk

SVtqscMin1

111...1)(),,( αα

Sujeto a:

19

TatQqQ

TatsSs

TatqSfSS

ttt

ttt

ttttt

1k ,

1k ,

1k ),,(1

+=≤≤

+=≤≤

+==−+

La resolución de (P3) conduce a la determinación de una Política óptima para el período(k+1,T).Dado que Sk+1, estado del embalse a comienzos del período k+1, resume toda la historia pasada,es posible definir una función de valorización del agua para el período k+1, que depende sólo delestado del embalse a comienzos de dicho período y de la operación posterior:

∑ ∗+∗==

+=++

+

+

++++

Tt

ktTT

k

Tttt

k

t

qTqkkk SVtqscMinSV1

111

1

1...111 )(),,()(

αα

αα

La función de valor del agua o valor estratégico Vk+1(Sk+1) es el costo total actualizado de laoperación del sistema desde ese instante en adelante Ella permite medir la ventaja relativa de estaren un nivel Sk+1 a comienzos del período k+1 con respecto a otro nivel cualquiera.

La política óptima para el período (1, k) se expresa mediante las siguientes relaciones:

∑ ∗+∗

=

=+++

kt

tkkkttttqkq

SVtqscMin1

111...1)(),,( αα

Sujeto a:

k 1 ,

1k 1 ,

k 1 ),,(1

atQqQ

atsSs

atqSfSS

ttt

ttt

ttttt

=≤≤

+=≤≤

==−+

Es posible observar que:

i) La resolución de (P3) conduce a una valorización del estado Sk+1 a comienzos del períodok+1.

ii) En la optimización del período (1, k), la condición del embalse a fines del último período,Sk+1, es tomada en cuenta.

Supóngase que se ha resuelto el problema (P3) y que, por lo tanto, se conoce la funciónVk+1(Sk+1). La resolución de (P4) puede hacerse en forma recurrente, según se indica acontinuación:

Por el Principio de Optimalidad, la política que optimiza el período(1,k) puede descomponerse a suvez en una subpolítica que optimiza el período (1,k-1) y otra que optimiza el período k. Así (P4) sedescompone en (P5) y (P6).

∑ ∗+∗

−=

=−

1

11...1)(),,(

kt

tkkkttttqkq

SVtqscMin αα

20

Sujeto a:

1-k 1 ,

k 1 ,

1-k 1 ),,(1

atQqQ

atsSs

atqSfSS

ttt

ttt

ttttt

=≤≤

=≤≤

==−+

[ ])(),,( 111´ +++ ∗+∗ kkkkkkkqkSVtqscMin αα

Sujeto a:

kkk

kkk

kkkkk

QqQ

sSs

qSfSS

≤≤

≤≤

=−

+++

+

111

1 ),(

El problema (P6) corresponde a la optimización en una etapa. En su resolución inciden solamente:

- Los costos de operación y falla del SIC durante la etapa.

- Valor asociado al estado del embalse a fines de la etapa: Vk+1(Sk+1)

La resolución de esta etapa conduce a determinar (1)

i)Para cada cota inicial, 5k' la decisión óptima de caudal a extraer del lago Laja, (solución delproblema (P6).

ji) Para cada cota inicial, la cota final asociada a la decisión óptima:

),(1 kkkkk qSfSS +=+

iii) La función Vk(Sk), valor de la cota a fines del período k-1 (comienzo del periodo k)

∗+= ++

+ )(),,()( 111

kkk

kkkkqkkk SVkqscMinSV

αα

Una vez resuelta la etapa k y obtenido Vk(Sk) la optimización del período (1, k-1) planteada en (P5)puede hacerse descomponiendo el problema en la optimización de (1, k-2) y (k-1), con lo cual seobtiene Vk-1(Sk-1). Este procedimiento, repetido hasta el primer período, permite eliminar en cadaperíodo y para cada cota inicial:

i) Decisión óptima de caudal a extraer en el lago.ii) La cota final asociada a la decisión óptima.iii) Costo total, actualizado al instante inicial, de operar óptimamente el sistema de ese instanteen adelante.

21

De esta manera, a partir del estado inicial del lago Laja conocido, siguiendo las decisiones óptimas,ahora en el sentido del tiempo, se determina la política óptima a seguir. El valor que toma lafunción V1 en la cota Sj a comienzos del primer período constituye el costo total, actualizado al añoinicial, de operar óptimamente el sistema.

2.3 Función de evaluación del estado del Sistema al final del estudio.

El procedimiento iterativo descrito se inicia con el último año en estudio y avanza en sentidocronológico inverso. Con el fin de iniciar el cálculo, es necesario disponer de una estimación delvalor asignable a la condición del embalse a fines del último período, VT+1(ST+1).

Para ello, es posible optar por una de las siguientes opciones:

i) ST+1 es un valor dado. En este caso, todas las políticas conducen a un estado final único definidoarbitrariamente. Puede presentar el problema de que para algunas condiciones de cota inicial ehidrología, no sea posible alcanzar la cota final dada.

ii) Existe indiferencia respecto al estado del embalse a fines del horizonte de evaluación. En estecaso:

11111 0)( +++++ ≤≤= TTTTT sSsparaSV

iii) El estado ST+1 se valoriza estimando una función VT+1(ST+1) que refleje el costo de operación delSistema desde el instante T+1 hasta el infinito. Una cota más alta en el embalse será preferida a unacota menor, por lo tanto, está función cumple con:

0 )(

0 )(

1

11

11

⟨

⟨

+

++

++

TT

TT

TT

dSSdV

SV

En la optimización de la operación del lago Laja se ha considerado la alternativa iii). Unadescripción de la forma en que se calcula VT+1(ST+1) se incluye en el Anexo N°3.

3 Aleatoriedad de la hidrología

En este párrafo se analiza el planteamiento del problema de Programación Dinámica cuando losaportes hidrológicos se tratan como variable aleatoria.

3.1 Función de cuantía

Se acepta a continuación que los aportes hidrológicos presentan una distribución de probabilidadesconocida. Si el caudal afluente es tratado como una variable aleatoria discreta con N valores ydenotando:

P(Aht) : probabilidad de que el caudal afluente tome el valor Ah

t durante el período t (h=1,….,N)

22

Se cumple que:

T 1 t1)(

1 0 )(

1aAP

NahAPht

N

h

ht

==∑

=≥

=

y el valor esperado para una función cualquiera G(Aht) es:

)()(1

ht

ht

N

hAGAPG ∗∑=

=

3.2 Independencia interperiodos

Si existen independencia hidrológica entre períodos, la distribución de probabilidades de lahidrología en cada período no depende de la ocurrencia hidrológica en el período anterior. Es decir,

N a 1hi, T 2 t1)( )/( 1

====− aAPAAP h

tit

ht

En general, el supuesto de independencia hidrológica entre períodos se cumple entre añoshidrológicos en el SIC, razón por la cual se ha adoptado como período de análisis.

3.3 Independencia a lo largo del tiempo

Finalmente, se supone que la distribución de probabilidades es estacionario para aquellos períodosen que no hay instalación ni retiro de unidades hidroeléctricas (2). Es decir,

tAPAP hht ∀= )( )( con un parque hidroeléctrico dado.

3.4 Criterio decisión en futuro aleatorio

Considerando que los aportes hidrológicos son aleatorios, la toma de decisiones se verifica encondiciones de futuro incierto. A diferencia del caso determinístico, en que se obtiene una políticaque minimiza el costo de operación, en este caso el objetivo es determinar una estrategia queasegure que la decisión tomada en cada período sea la mejor en promedio (mínimo del valoresperado del costo de operación). A estos efectos es posible considerar dos alternativas para tratarla aleatoriedad hidrológica, las que se describen a continuación.

a.- Hidrología aleatoria, conocida durante el período de análisis (azar decisión).

Se supone en este caso que es posible prever la hidrología a comienzos de la etapa en que se toma ladecisión (o ajustar la operación perfectamente a la hidrología a medida que transcurre el período).Durante las etapas posteriores, la hidrología sólo se conoce a través de su distribución deprobabilidades.

Si se conoce la hidrología que ocurrirá durante el período la estrategia a determinar deberáestablecer, para cada condición inicial e hidrológica posibles, cual es la decisión óptima a tomar. El

23

problema es en este caso análogo al caso determinístico. Por lo tanto, su planteamiento es similar a(P2) , en que Ah

t y en consecuencia St+1 son aleatorios. El Principio de Optimalidad de Bellmansigue siendo aplicable, por lo que el problema (P2) puede ser también separado en (P3) y (P4). Eltérmino Vt(St) deberá en este caso reflejar el valor asignable al estado del embalse a comienzos delperíodo t, considerando la variabilidad hidrológica que afectará a las etapas posteriores a t.

La optimización del período (1, k) planteada en (P4) puede igualmente descomponerse en laoptimización de (1, k-1) y en la optimización del período k. Reescribiendo las ecuacionescorrespondientes a este ultimo problema (ver P6), se obtiene para cada condición hidrológica h.

[ ]))((),,,( 11hkkkk

hk

hkkkk

qASVAkqscMin

hk

++ ∗+∗ αα

Sujeto a:

kkk

khkkk

hk

hkkkk

hkk

QqQ

sASs

AqSfSAS

≤≤

≤≤

=−

+++

+

111

1

)(

),,()(

Conocida la hidrología durante el período k y suponiendo conocida la función Vk+1(Sk+1), laoptimización de (P7) es similar al caso determinístico. Así, dada la hidrología Ak

h se tiene:

∗+= ++

+ ))((),,,()/( 111 h

kkkk

khk

hkkk

q

hkk

hk ASVAkqscMinASV

hk α

α

Naturalmente, Akh solo es conocido durante el período k. Al existir independencia entre los

períodos k-1 y k el valor asociado a la cota del embalse a comienzos del período k, Vk(Sk) estádado por el valor esperado de )/( h

kkh

k ASV :

)/()()(1

hkk

hk

ht

Nh

hkk ASVAPSV ∗∑=

=

=

Una vez determinado )( kk SV , es posible continuar en forma iterativa, de manera análoga al casodeterminístico.

b.- Hidrología aleatoria, no conocida durante el período de análisis (decisión-azar).

Consideremos finalmente el caso en que tanto la ocurrencia hidrológica del período como la deperíodos posteriores sólo es conocida a través de su distribución de probabilidades, y no es posibleadecuar la operación a la hidrología.

La determinación de la estrategia optima considera en este caso los mismos pasos que en el casocon hidrología conocida durante el período de análisis, es decir, el planteamiento del problemacorresponde al sistema (P2) en que Ah y St+1 son aleatorios. El sistema (P2) puede descomponerse

24

en (P3) y (P4) y, finalmente, la optimización del período (1, k) planteada en (P4) puede igualmentedescomponerse en la optimización de (1, k-1) y en la optimización del periodo.

Considérese a continuación la optimización del problema para el período k. Si la hidrología nopuede ser prevista durante este período, la decisión deberá tomarse considerando simultáneamentela ocurrencia de las N posibles hidrologías. La función objetivo a optimizar consiste en el valoresperado del cesto de operación más el valor del agua a fines del período, según se indica en elsistema (P8) a continuación:

[ ]

∑ ∗+∗∗

=++

N

h

hkkkk

hkkkkk

hkq

ASVAkqscAPMink 1

11 ))((),,,()( αα

Sujeto a:

kkk

khkkk

hkkkkk

hkk

QqQ

NahsASs

NahAqSfSAS

≤≤

=≤≤

==−

+++

+

1 )(

1 ),,()(

111

1

El valor del agua en la ceta a comienzos del período k, )( kk SV queda dado por:

∑

∗+∗=

=++

+N

k

hkkk

k

khkkkk

hkqkk ASVAkqscAPMinSV

k 111

1 ))((),,,()()(α

α

Una vez determinado Vk(Sk), es posible continuar en forma iterativa de manera análoga al casodeterministico y al caso azar-decisión.

En el planteamiento realizado, cada etapa corresponde a un año (de abril a marzo). Se acepta queexiste independencia estadística entre los aportes en cada uno de los años.

En el modelo GOL, el año se ha dividido en subetapas trimestrales. Los aportes hidráulicos en cadatrimestre se han supuesto perfectamente dependientes entre si. Esto es, en cada año, cada hidrologíase ha tratado en forma determinística a través de los cuatro trimestres y calculado el valorestratégico esperado a principios de cada año como el promedio de los valores estratégicos paratodas las hidrologías.

Este procedimiento corresponde al caso azar-decisión para la etapa anual. Su empleo se justificapues el período trimestral es suficientemente largo como para que la operación se adapteóptimamente a la hidrología que se va produciendo.

La suposición de dependencia de afluentes hidrológicos entre trimestres de un mismo año sejustifica pues los aportes de los dos últimos (primavera-verano) provenientes del derretimiento denieve en la mayoría de las centrales está fuertemente condicionado por las condicionesmeteorológicas de los dos primeros (otoño-invierno).

25

ANEXO N°2ALGORITMO PARA LA DETERMINACION DEL OPTIMO EN UNA ETAPA

Como se indicó en el Anexo 1, en cada trimestre la función que es necesario minimizar es de laforma:

[ ])()( 11 ++∗+ ttttx

SVxCMint

α

Sujeto a:

ttt

ttt

sSs

xXx

≤≤

≤≤

+1

en que:

α : coeficiente de actualización

Ct (Xt) : costo de abastecimiento en el período t. Es igual a la suma de costos de generación térmicay falla en el sistema correspondiente a una extracción xt del embalse. Es función lineal por tramos,monótonamente creciente y no diferenciable.

Vt+1(S t+1) : valor estratégico a fines del período t asociado a la cota St+1.

Xt : extracción del Lago Laja expresado en m /seg-trim

Por su parte, Vt+1(St+1) es una función evaluada sobre un conjunto de valores discretos de St+1. Conel fin de obtener una función sobre un dominio continuo, se ajustan polinomios de interpolación detercer grado, con lo cual Vt+1(St+1) queda definida como una función continua, generalmentemonótona decreciente y no diferenciable.

Con estas características, la función )()( 11 ++∗+ tttt SVxC α es no diferenciable y convexa sobretodo su dominio, con lo cual se asegura que un mínimo local de esta función constituye a la vez unmínimo global.

La resolución del problema de minimización se ha hecho utilizando el algoritmo de la seccióndorada (1). Este se caracteriza porque la solución está siempre contenida en un intervalo deincertidumbre, subconjunto del espacio de soluciones factibles, el cual se reduce en cada iteraciónhasta satisfacer el criterio de convergencia.

El intervalo de incertidumbre está caracterizado por sus puntos extremos a y b. Las evaluacionesse realizan en puntos interiores c y d, los que se encuentran en relación áurea con los anteriores, estoes, cumplen con las siguientes relaciones:

i) Relación de Proporcionalidad

abad

adac

−−

=−−

26

ii) Relación de Simetría

bdac −=−

iii)Relación de Orden

bdca ⟨⟨⟨

Las soluciones para c y d en función de los puntos extremos son:

253

)()1()(

−=

−∗−+=−+=

T

abTadabTac

Los puntos a, c, d y b presentan la propiedad de que si se redefine el intervalo de incertidumbre demanera que uno de los puntos interiores pasa a ser punto extremo del intervalo, entonces el otropunto interior, es simétrico de éste con respecto al nuevo intervalo y los extremos de éste quedan enproporción áurea. Así, en cada iteración es necesario evaluar solo un nuevo punto.

Una vez evaluada la función en los puntos interiores, ellos se comparan y el punto en el cual lafunción es mayor se redefine como extremo del intervalo, se determina el nuevo punto interior enrelación áurea con el resto, se evalúa la función en el y se continúa el proceso en forma iterativa.En cada iteración el tamaño del intervalo se reduce a un 61% del original.

Se considera que el mínimo se ha alcanzado cuando el tamaño del intervalo de incertidumbre esinferior a 1 m3/seg-trim.

27

ANEXO N°3INTERPRETACION ECONOMICA DE LAS CONDICIONES DE OPTIMO

1.- Teorema de Kubn-Tucker

El teorema de Kuhn-Tucker es de gran utilidad en la interpretación económica de problemas deprogramación no lineal. Su planteamiento se resume a continuación y junto a su aplicación alproblema de operación de embalse.

1.1. Condiciones de Kuhn-Tucker

Consideremos el problema:

( )nxxfMax ,,......... 1

Sujeto a

( ) majxxg nj 1 0,,.........1 =≥

El teorema de Kuhn-Tucker, establece bajo hipótesis de “calificación de restricciones" o de "nodegeneración” y siendo las funciones f y gj continuamente diferenciables, las condiciones necesariaspara que (x1, .....,xn) sea solución de (P).

Si el conjunto de valores (x*1,….,x*n) es óptimo y verifica las restricciones gj(x1, xn)> 0,entonces existe un conjunto de n números λ1, .... λm asociado a estas restricciones(multiplicadores) que verifican las condiciones (todas las funciones evaluadas en x*1 ,x*2,…,x*n):j

m 1j 0

0),.....,(

1 0),.....,(),.....,(

11

1

11

a

xxg

naix

xxgx

xxf

j

m

jnjj

m

j i

njj

i

n

=≥

∑ =∗

∑ ==∂

∂∗+

∂∂

=

=

λ

λ

λ

Definiendo la función Lagrangiano:

∑ ∗+==

m

jnjjnn xxgxxfxxL

1111 ),.....,(),.....,(),.....,( λ

y haciendo uso que, λj>0 y gj(x1, xn)> 0 las condiciones de Kuhn-Tucker se pueden escribir:

0

1 0),.....,(

1 0),........,,,.....,(

1

11

≥

==∗

==∂

∂

j

njj

i

mn

majxxg

naix

xxL

λ

λ

λλ

28

Las condiciones indicadas son necesarias de primer orden. Si las funciones f y g. (j=1 a m) soncóncavas en la vecindad del óptimo (x*1,. . ,x*n) , las condiciones de Kuhn-Tucker son necesarias ysuficientes para un máximo local.

Además si las funciones q.(j=1 a m) y la función cóncavas en todo el dominio X, las condiciones deprimer orden constituyen necesarias y suficientes de un máximo global.

Un caso particular de este teorema es aquel en el cual se exige a las variables x ser no negativas:

( )nxxfMax ,,......... 1

sujeto a:

( )n 1i 0

1 0,,.........1

ax

majxxg

i

nj

=≥

=≥

En este caso la aplicación del teorema de Kuhn-Tucker lleva a las condiciones (todas las funcionesevaluadas en x*):

00),.....,(

m 1j 0),.....,(0

),.....,(),.....,(

1 0),.....,(),.....,(

1

1

1

11

1

11

≥

=∗

=≥>

∗

∑

∂

∂∗

∂∂

∑ ==∂

∂∗+

∂∂

=

=

j

njj

nj

i

i

M

j i

njj

i

n

m

j i

njj

i

n

xxg

axxgx

xx

xxgx

xxf

naix

xxgx

xxf

λ

λ

λ

λ

1.2. Interpretación económica de las condiciones de Kuhn-Tucker

Consideremos el caso de una empresa que busca el programa de producción x=(x1, …….,xn) quehace máximo su beneficio f(x) . Supongamos que los volúmenes de factores de producción que laempresa puede utilizar están limitados, lo cual se traduce por restricciones del tipo:

( ) jj bxh ≤

Este problema puede ponerse en la forma económica:

( )xfMax

sujeto a

29

( ) m a 1j 0 =≥xg j

en que gj(x)=bj-hj (x) . Por lo tanto gj (x) representa la cantidad de factores no utilizados.

Las condiciones de Kuhn-Tucker indican que existen multiplicadores λ1, λm son positivos onulos tales que:

(2) m a 1j 0))((

(1)n a 1i 01

==−∗

==∑ =∂

∂∗−=

∂∂

∗

=

∗∗

xhb

xxxh

xxxf

jjj

m

j i

jj

i

λ

λ

La interpretación económica de las ecuaciones (1) puede ser la siguiente:

ixf

∂∂

: es el beneficio adicional que procurarla, en el óptimo, la producción de una unidad adicional

del bien i.

i

j

xh

∂

∂ : representa la cantidad adicional del factor de producción ~ necesaria para producir una

unidad adicional del bien <i), es decir, su rendimiento marginal.

ij b

f∂∂

=λ : es el valor marginal (en el sentido de la función objetivo) del factor de producción D~

es decir, el precio que la empresa estaría dispuesta a pagar para disponer de un suplemento de esefactor.

∑∂

∂∗

=

m

j i

jj x

h1λ : es el valor marginal del bien i

Las igualdades (1) significan que, en el Optimo, el valor marginal de un bien i es igual al beneficioadicional que significa para la empresa una producción adicional de ese bien. Las igualdades (2)indican que entre los factores de producción se debe hacer una distinción fundamental:

- Aquellos cuya limitación interviene en forma activa para caracterizar la solución en ese casoh.(x*)=bj el volumen disponible es totalmente utilizado. El multiplicador λj es positivo y mide laescasez relativa del factor: es el valor que se asigna al hecho de disponer una unidad suplementariadel recurso.

- Aquellos cuya limitación no interfiere para definir la solución x* y el beneficio que resulta. Eneste caso el volumen no se utiliza completamente y como este factor no es escaso, su valor marginalλj es nulo.

1.3 Utilización del teorema de Kuhn-Tucker

30

El teorema de Kuhn-Tucker indica las condiciones que caracterizan una solución, pero noproporciona un método constructivo para obtenerla. A continuación se aplica el teorema de Kuhn-Tucker al caso de operación de embalse para deducir las condiciones de operación óptima en unaetapa.

2. Condiciones de óptimo en el problema de operación de centrales de embalse

Nos interesa determinar las condiciones que caracterizan el óptimo de una etapa del problema deoperación de embalse.

Analicemos en primer lugar el caso en que no existen pérdidas por filtraciones o evaporación y enque la etapa es lo suficientemente breve como para no tomar en cuenta la actualización. Elproblema para una etapa t cualquiera, se escribe:

[ ])()( 11 ++∗+ ttttq

SVqCMint

α

sujeto a:

ttt

ttt

ttttt

QqQ

sSs

RqASS

≤≤

≤≤

−−+=

+++

+

111

1

donde:

St : nivel del embalse a comienzos del período t (expresado en volumen)

St+1 : nivel del embalse a fines del período t (expresado en volumen)

At : caudal afluente al embalse en el período t (expresado en volumen)

Qt : caudal extraído del embalse, generado por la central asociado a él (expresado en volumen).

Rt : rebases en el período t

Ct(qt) : costo de operación y falla en el período t, función del caudal extraído q (expresado en $ porunidad de volumen extraído o generado).

Vt+1(S t+1) : valor estratégico a fines del período t, función del nivel del embalse 5 (expresado en $por unidad de volumen embalsado)

Escribamos el problema en la siguiente forma:

[ ])()( 11 ++−− ttttq

SVqCMaxt

sujeto a:

31

00

0

0

1

1

≥−

≥−

≥++−−

≥−−−+

+

+

tt

tt

ttttt

ttttt

QqqQ

RqASs

sRqAS

y sean λ1, λ2, λ3, y λ4, los multiplicadores asociados a cada una de las restricciones. Ellagrangiano es:

)()(

)()()()(

43

121111

tttt

tttttttttttttt

qQQq

RqASSSRqASSVqCL

−∗+−∗+

++−−∗+−−−+∗+−−= ++++

λλ

λλ

y las condiciones de Kuhn-Tucker:

0,0,0,00)(

0)(0)(

0)(

0)()(

4321

4

3

12

11

432111

≥≥≥≥

=−∗

=−∗=++−−∗

=−−−+∗

=−++−∂

∂−

∂∂

−

+

+

++

λλλλλ

λλ

λ

λλλλ

tt

tt

ttttt

ttttt

t

tt

t

tt

qQ

QqRqASS

SRqASqSV

qqC

De ttttt RqASS −−+=+1 se tiene:

1

11

1

1111 )()(

+

++

+

++++

∂∂

−=∂

∂∗

∂∂

=∂

∂

t

t

t

t

t

tt

t

tt

SV

qS

SSV

qSV

Si no hay restricciones activas λj = 0 para j=1 a 4 y:

1

11 )()(

+

++

∂∂

=∂

∂

t

tt

t

tt

SSV

qqC

)( tt qC : es el costo de generación en el período t, en función de la extracción del lago(caudal generado) qt.

t

tt

qqC

∂∂ )(

: es la variación del costo de operación en el período t al variar el caudal extraído

del lago, es decir, el costo marginal de operación del Sistema.

)( 11 ++ tt SV : es el costo actualizado futuro de operación del sistema partiendo del nivel S t+1 delembalse.

32

1

11 )(

+

++

∂∂

t

tt

SSV

: es la variación de costo futuro de operación entre una variación del volumen

embalsado.

Por lo tanto, la condición dice que: la extracción qt es óptima cuando la disminución de costo deoperación en el período t por una extracción adicional del embalse (costo marginal del período) esigual al incremento de costo futuro correspondiente a dicha extracción (costo marginal asociado alnivel del embalse).

Cuando cualquiera de las restricciones es activa, entonces algún λj es distinto de cero:

432111 )()(

λλλλ −++−∂

∂=

∂∂ ++

t

tt

t

tt

qSV

qqC

El costo marginal de operación en el período t es menor que el costo marginal asociado al nivel delembalse cuando hay restricciones de nivel mínimo ( 01 ≠λ ) o caudal máximo ( 04 ≠λ ). Encambio el costo marginal de operación es mayor que el costo marginal asociado al nivel delembalse cuando las restricciones de nivel máximo ( 02 ≠λ ) o caudal mínimo ( 03 ≠λ ) son activas,es decir, convendría almacenar agua en el embalse pero no es posible por estar lleno o tener queentregar el mínimo exigido.

La existencia de filtraciones y la actualización introducen algunos coeficientes que multiplican losvalores marginales o multiplicadores de Legrange en la condición de óptimo, para tomar en cuentaesos efectos.

33

ANEXO 4METODO DE SIMULACION DE MONTECARLO

El método de Montecarlo es un método de simulación matemática que permite estudiar elcomportamiento de una variable aleatoria X y que resulta especialmente útil cuando el cálculomediante métodos analíticos es muy complicado.

En términos generales, el método de Montecarlo consiste en realizar un gran número de tiradas alazar (esto es, generar números aleatorios distribuidos uniformemente sobre un intervalo (a,b). Concada tirada se verifica un evento de la variable aleatoria X, de manera que después de repetir Mveces el proceso, se dispondrá de M ocurrencias. Puede demostrarse que dichas observacionesrespetan el comportamiento probabilístico de X siempre que M sea suficientemente grande.

La aplicación del método de Montecarlo a la determinación de las características de operación delLago Laja se realiza de acuerdo al siguiente orden:

1) Se genera una secuencia aleatoria de T hidrologías (T = número de años en estudio). Cadaelemento de la secuencia es generado de manera que se respeta la distribución deprobabilidades de ocurrencia de las hidrologías. Las hidrologías generadas provienen de lamuestra histórica de 40 años hidrológicos correspondientes a una ventana móvil que cubre losúltimos 40 años hidrológicos, hoy se trabaja con la muestra 1958/59 y 1998/99. Se consideraque los elementos de esta muestra son equiprobables, por lo que la distribución deprobabilidades dé las hidrologías es uniforme, con probabilidad 1/40 asociada a cadahidrología.

2) Conocida la cota a comienzos del primer año y generada una condición hidrológica, se obtienea partir de la matriz la cota a fines del primer año que corresponde a la operación óptima. Lasmatrices, generadas en la fase de optimización del modelo indican para todos los años y cadacota inicial del embalse y condición hidrológica el valor óptimo de las variables de operacióndel sistema en ese año: cota final, generación en centrales del Laja, generación térmica y otros.

Esta cota constituye la condición inicial del segundo año y, generada una condición hidrológicapara este año, se determina la cota a fines del segundo año. Este procedimiento, repetido hastael último año define la trayectoria óptima asociada a la secuencia hidrológica generada.

Análogamente, utilizando las matrices de decisión del resto de las variables, se determina elvalor que cada una de ellas toma para la secuencia hidrológica generada.

3) Si el procedimiento anterior se repite N veces, con N suficientemente grande, es posibledeterminar valores medios, desviaciones standard y distribuciones de probabilidad.

Sea ant el valor que toma la variable A durante el t-ésimo año para la n-ésima secuencia. Entonces,

el valor esperado de la variable A durante el año t es:

∑∗==

N

n

tn

ta

Na

1

1

La desviación standard de la variable A se calcula mediante la expresión:

34

2/12

1)(

11)(

−∑∗

−=

=

tN

n

tn aa

Naσ

La determinación de las distribuciones de probabilidad requiere de la definición de clases deequivalencia.

Sea { }Kk

kt AC 1)( = el conjunto de clases en que se subdivide el rango de valores posibles de la variable

A durante el año t. En cada secuencia la variable A quedará asignada al intervalo de clasecorrespondiente. Luego de las M secuencias, en cada clase existirá un cierto número de casos. Laprobabilidad de ocurrencia de la clase )(AC k

t será:

kt

kt r

NACP ∗=

1))(( en que:

ktr número de casos en el intervalo )(AC k

t .

35

ANEXO N°5CADENAS DE MARKOV

Como se indicó previamente, este método permite estudiar el comportamiento de un sistema queevoluciona con el tiempo.

1. Características de una Cadena de Markov

Entre los elementos que caracterizan a una Cadena de Markov, es posible destacar:

i) El sistema se representa mediante una variable que describe el estado que él se encuentra.

Notación: Xt : estado del sistema en el instante t

ii) En cada instante, el número de estados es finito, es decir, la variable que representa elestado es discreta. Así, para un sistema con J estados posibles:

J1,....,j == jtt xX

representa el hecho de que el sistema se encuentra en el estado xtj en el instante t.

iii) El sistema evoluciona, es decir, a medida que transcurre el tiempo pueden producirsecambios en su estado.

iv) La variable tiempo es discreta, esto es, existe un número finito de períodos en los cuales esposible estudiar el estado en que se encuentra el sistema.

El vector (X1 = x1; X2 = x2,...; XT = xT ) representa la evolución del sistema que pasaconsecutivamente por los estados x1, x2..., xT.

v) La condición futura del sistema depende sólo del estado presente y no de la evoluciónanterior. Es decir,

T a 1 t)/()X,.....,;/X( 1111t11 ==== ++−++ tttttt XxXPXxXP

vi) La evolución del sistema entre dos o más períodos depende de la acción de una variablealeatoria. Denominando ω a dicha variable, se cumple que:

T a 1 t ),(1 ==+ ttt XfX ω

vii) Conocida la condición del sistema en un instante el estado de dicho sistema en el futurosólo podrá ser determinado a través de una función de probabilidades, debido al efecto aleatorio ωt.

viii) Matriz de transición entre estados, p(t,t+1)

Sea:

36

p(t,t+1) =

iiii

i

ppp

ppp

21

11211

p(t,t+1) es una matriz de transición de estados si el elemento Pij representa la probabilidad de pasardesde el estado Xi en el instante t al estado Xj en el instante t+1.

)/( 1 itjtij XxXXPP === +

p(t,t+1) debe cumplir con el par de condiciones:

I a 1 i 1

I a 1 ji, 0

1==∑

=≥=

=

Ij

jij

ij

P

P

ix) Conocida la distribución de probabilidades para un período cualquiera y las matrices detransición para los períodos posteriores, es posible determinar la distribución de probabilidades delestado del sistema en cada uno de los períodos siguientes:

Sea P(Xt) el vector de distribución de probabilidades del estado del sistema en el instante t:

rtrtrt ppXP +−++++

+ ∗∗∗∗= ,12t1,t1tt,t ............pp)X()(

En particular, para t =0

rrr ppXP ,121,´0,1

0 ............pp)X()( −∗∗∗∗=

x) Matriz de probabilidades condicionales, P(Gt /Xt). Con el fin de analizar el comportamientofuturo de cualquiera función del estado del sistema, Gt(Xt), se construye la matriz de probabilidadescondicionales, P(Gt /Xt).

Sea

=

IkI

k

t

cc

cc

XGP

1

111

t )/(

P(Gt/Xt) : es la matriz de probabilidades condicionales de Gt dado Xt. Si el elemento Cikrepresenta la probabilidad de que la variable Gt tome el valor gk dado que el sistema se encuentra enel estado xi a comienzos del periodo t, es decir:

37

)/( itttik xXgGPC ===

Debe cumplirse que:

I a 1 i 1

K a 1 k 0

1==

=≥

∑=

K

kik

ik

C

C

xi).- La distribución de probabilidades de G(xt) en un periodo futuro t se obtiene a partir de ladistribuci6n de probabilidades del estado del sistema a comienzos del período t, P(Xt ) y de lamatriz P(Gt/xt):

T a 1 t)/()()( =∗= tttt XGPXPGP

Si se conoce la distribución de probabilidades del sistema en el instante t = 0 y las matrices detransici6n pt,t+1, se tendrá:

T a 1 t)/(......)()( ,12,01,00 =∗∗∗∗= −

tttt

t XGPpppXPGP

2. Aplicación al Modelo de Operaci6n del Lago Laja

Como se indico, mediante este procedimiento se determinan distribuciones de probabilidad para lascotas finales en el lago Laja y el consumo de combustible. Se considera que tanto el consumo decombustible, como el nivel del lago Laja a comienzos y fines de cada etapa son variables aleatoriasdiscretas.

Sean:

itS :clase i del estado de lago Laja a comienzos del período t. (i = 1 I) en que I es el número de

clases.

jtS 1+ : clase j del estado de lago Laja a fines de periodo t (j=1 a I).

ktT : clase k de consumo de combustible durante el periodo t. (k=1 a K)

)/( 1it

jt SSP + : probabilidad de pasar del estado inicial i

tS al estado final jtS 1+ .

)/( it

kt STP : probabilidad de tener un consumo de carbón k

tT durante t dado que el estado inicial

es itS .

Con el fin de aplicar este método es necesario conocer:

38

- Matriz de transición de estados. Contiene las probabilidades de pasar desde cada estado inicialposible a cada estado final. La matriz de transición de estados se obtiene a partir de la matriz decotas finales dada la cota inicial e hidrología, determinada en la fase de optimización.

Consideremos la columna de la matriz correspondiente al estado inicial itS y sean:

P(Ah) : probabilidad de ocurrencia de la hidrología Ah

ihtS ,

1+ : cotas a fines del período t (inicial del periodo t+1 asociada a la cota inicial itS y a la

ocurrencia de la hidrología Ah.

{ }jtS 1+ : intervalo de la clase con centro en j

tS 1+ .

El elemento i,j de la matriz de transición vale:

)()()/(1

1 hAPSSPH

hh

it

jt δ∗= ∑

=+

en que:

{ }

caso otroen 0 )(

si 1 1,1

=∈ ++

hSS i

tih

t

δ

- Matriz de probabilidades condicionales de consumos de carbón dado el estado del lago Laja acomienzos del período. La matriz de probabilidades condicionales de consumos de carbón seobtiene en forma similar a la matriz de transición.

- Condición del embalse a comienzos del primer año del estudio. Una vez calculadas las matrices)/( 1 tt SSP + y )/( tt STP y conocida la condición del lago Laja a comienzos del primer período, es

posible determinar las distribuciones de probabilidad.

Sean:

iS1 intervalo de clase al cual pertenece la cota a comienzos del primer año.)( j

tSP : probabilidad de estar en el intervalo de clase itS a comienzos del año t.

El vector de probabilidad de estados en el período 1 vale:

[ ] [ ]0,,.........1,...,0,0)(),....,(),......,(),()( 112

1111 == Ii SPSPSPSPSP

El vector de probabilidades para el consumo de carbón durante el primer período se obtienemultiplicando:

39

)/()()( 1111 STPSPTP ∗=

P(T1) : es la función de probabilidades de consumos de combustible durante el periodo 1. Con el finde calcular P(T2) se requiere conocer previamente P(S2), vector de probabilidades del estado delembalse a comienzos del periodo 2. P(S2) puede calcularse a partir de P(S2/ S1) y P(S1):

)/()()( 1212 SSPSPSP ∗=

Conocido P(S2) , se determina P(T2):

)/()()( 2222 STPSPTP ∗=

El procedimiento señalado puede repetirse en forma iterativa hasta completar todos los períodos.En general,

)/()()( 11 −− ∗= tttt SSPSPSP

)/()()( tttt STPSPTP ∗=

De esta forma, es posible determinar las funciones de distribución de probabilidades de consumosde carbón y condición del lago Laja en cada año del estudio.