Modelos 2D/3DModelos 2D/3DEstimativa por Técnicas de KrigagemEstimativa por Técnicas de Krigagem

Geoes t at ís t ica

Eng. de Minas João Felipe C.L. CostaEng. de Minas João Felipe C.L. CostaProf. Dr. do DEMIN/PPGEM, UFRGS

Eng. de Minas Luis Eduardo de SouzaEng. de Minas Luis Eduardo de SouzaDoutorando do PPGEM, UFRGS

• IntroduçãoIntrodução

• ObjetivosObjetivos

• Interpoladores clássicosInterpoladores clássicos

• Mecanismo de interpolaçãoMecanismo de interpolação

• Estimativas por combinação linear Estimativas por combinação linear ponderadaponderada

• KrigagemKrigagem

• Krigagem Simples (KS)Krigagem Simples (KS)

• Variância de Krigagem SimplesVariância de Krigagem Simples

• Krigagem Ordinária (KO)Krigagem Ordinária (KO)

Estrutura da ApresentaçãoEstrutura da Apresentação

G

G

Ao contrário dos últimos módulos apresentados, puramente descritivos, as técnicas que serão abordadas daqui em diante envolvem estimativas.

Nosso principal objetivo passa a ser não mais meramente descrever as características estatísticas ou de continuidade espacial de nosso banco de dados, mas utilizar a informação fornecida pelas amostras para prever valores em áreas não amostradas.

Dentre os vários tipos de estimadores disponíveis, será dada ênfase àqueles que fazem uso das medidas de continuidade espacial previamente obtidas, comumente conhecidas como técnicas de krigagem.

IntroduçãoIntrodução

G

Algumas das principais técnicas de krigagem são apresentadas, cada uma delas útil para um tipo particular de problema. Dessa forma, se torna importante compreender que tipo de método é aplicável para que tipo de problema.

Nesse sentido, algumas questões básicas precisam ser respondidas, antes de selecionar a técnica de estimativa mais apropriada:

i. Queremos uma estimativa global ou local?

ii. Nosso objetivo é estimar apenas a média ou a distribuição completa dos dados?

iii. Queremos estimar valores pontuais ou blocos?

G

• Determinar o valor do atributo z em posições u do espaço não amostradas z(u)?

ObjetivosObjetivos

G

InterpolaçãoInterpolação

• Atribuição de pesos para as amostras (weighted average interpolation algorithms);

• Pesos entre 0.0 e 1.0, sendo que o somatório dos pesos deve ser 1.0;

• Quanto mais “perto” um dado estiver de um nó do grid, maior seu peso.

G

Diferentes técnicas disponíveis:

• Polígonos: define zonas/áreas de influência, sendo o peso dado de acordo com a área que corresponde a cada amostra;

• Inverso da distância: valor estimado a partir de combinações lineares dos dados vizinhos, com o peso dado pela distância que separa as amostras;

• Spline: polinomiais de uma dada ordem que melhor se ajustam aos dados de forma suavizada.

Interpoladores clássicosInterpoladores clássicos

G

DesvantagensDesvantagens dos métodos clássicos:

• não consideram o suporte amostral;

• não consideram o padrão de variabilidade espacial;

• não fornecem medida do erro da estimativa.

VantagensVantagens dos métodos clássicos:

• simples;

• intuitivos;

• facilmente implementáveis em rotinas computacionais.

???

G

A idéia básica é estimarmos um atributo qualquer em uma posição usando:

onde u refere-se a uma localização qualquer Z*(u) é o valor estimado nessa localização u, onde existem n dados Z(ui), i = 1, ... , n na circunvizinhança de u e i refere-se aos pesos calculados.

Estimativas por combinação linear Estimativas por combinação linear ponderadaponderada

n

1iii )u(Z)u(*Z

G

Quais os fatores que devem ser considerados para calcular os pesos?

• Proximidade das amostras;

• Redundância entre dados amostrais;

• Anisotropia;

• Magnitude da continuidade.

G

A krigagem é um estimador linear a partir da informação disponível, onde temos z(u) posições desconhecidas e dados nas posições z(u) como realizações da variável regionalizada em estudo.

onde: Z*(u) = valor estimado;m(u) = média do atributo z(u);(u) = pesos a serem determinados.

KrigagemKrigagem

)u(n

1

* )u(m)u(Z)u()u(m)u(Z

G

Dessa forma, nosso objetivo é determinar os pesos de krigagem (u), tal que:

Essa variância deve ser minimizada sob a condição de não-tendenciosidade:

)u(Z)u(*ZVar)u(2K

0)u(Z)u(*ZE

G

Média local m(u) conhecida e constante dentro da área de estudo A.

• Estimador não-tendencioso;

• Minimiza a variância de krigagem;

• Gera um sistema de n(u) equações com n(u) incógnitas.

Krigagem simplesKrigagem simples

m)u()u(Z)u()u(*Z SKm

)u(n

1

SKSK

)u(n

1

SKSKm )u(1)u(

G

Notação de matrizes do sistema de krigagem simples:

50

40

30

20

10

5

4

3

2

1

5554535251

4544434241

3534333231

2524232221

1514131211

C

C

C

C

C

CCCCC

CCCCC

CCCCC

CCCCC

CCCCC

00.0

00.0

42.0

43.0

43.0

.

00.100.000.000.000.0

00.000.100.000.000.0

00.000.000.185.005.0

00.000.085.000.106.0

00.000.005.006.000.1

5

4

3

2

1

408.01

264.02

170.03

0.054

G

Dessa forma, é possível:

• obter-se um parâmetro de variabilidade espacial, onde amostras além do alcance do variograma irão receber pesos nulos;

• considerar proximidade dos dados em relação ao ponto a estimar u0, onde amostras mais distantes irão receber menos peso;

• considerar redundância de dados, onde dados aninhados terão o peso filtrado (ex.: u2 e u3).

G

A variância de krigagem é dada por:

• A variância de krigagem é dependente do modelo de covariância escolhido um aumento da covariância reflete em diminuição da variância de krigagem.

• A variância de krigagem é dependente da configuração dos dados diminuição da covariância acarreta aumento na variância de krigagem.

Variância de krigagem simplesVariância de krigagem simples

)uu(C)u()0(C)u()u(n

1

SK2SK

G

• Independente dos valores dos dados:

duas configurações de dados idênticas geram a mesma variância de krigagem quaisquer que sejam os dados.

índice da configuração dos dados.

parâmetro inadequado para medir a precisão da estimativa?

Definições preliminares:Definições preliminares:

Consideremos os resíduos:

Y( ui ) = Z( ui ) - m( ui ) , i = 1,.....,n

onde m(u) pode ser constante, variar localmente ou ser considerado constante, porém desconhecido.

• O variograma é definido como:

2(h) = E {[Y (u) - Y(u+h)]2}

• A covariância é definida como:

C(h) = E {Y(u) . Y(u+h)}

G

• A relação entre variograma e covariância é dada por:

2(h) = [E{Y2(u)}] + [E{Y2(u+h)}] -2 . [E{Y(u) . Y(u+h)}]

2(h) = Var{Y(u)} + Var{Y(u+h)} - 2.C(h)

2(h) = 2[C(0) - C(h)]

então:

C(h) = C(0) - (h)

G

Krigagem simplesKrigagem simples

Considere um estimador linear:

onde:

Y(ui) = resíduos dos dados (dados menos a média);

Y*(u) = resíduo (ao qual a média será re-adicionada).

n

1iii )u(Y.)u(*Y

G

A variância do erro é definida como:

22 )()(* uYuYE

22 )u(Y E)u(Y).u(*YE.2)u(*Y E

)0(C)u(Y).u(YE.2)u(Y).u(YE i

n

1ii

n

1jjiji

n

1i

n

1j

n

1iiijiji

n

1i

)0(C)u,u(C.2)u,u(C

G

Pesos ótimos i, i = 1,....,n podem ser determinados tomando as derivadas parciais da variância do erro em relação aos pesos:

Igualando as derivadas a zero, temos:

Este sistema de n equações com n pesos como incógnitas é conhecido como sistema de krigagem simples (KS)krigagem simples (KS).

n

1jijij

i

n ,..., 1i),u,u(C.2)u,u(C.2

n

1jijij n,....,1i),u,u(C)u,u(C

G

Comentários sobre krigagemComentários sobre krigagem

Todas as versões de krigagem são modificações do algorítmo básico de regressão e do estimador correspondente:

Os pesos da KS [KS [(u)](u)] são dados pelas equações normais gerais não estacionárias:

Os pesos (u)(u) levam em conta:

proximidade dos dados à localização a ser estimada.

n

1SK )u(m)u(Z)u()u(m)u(*Z

n,...,1),u,u(C)u,u(C)u(n

1

G

G

Krigagem ordináriaKrigagem ordinária

Estacionaridade da média limitada à vizinhança local, invariante nesta vizinhança, porém desconhecida:

Estacionaridade:

• Estimador não tendencioso se:

)u(n

1

)u(m)u(Z)u()u(m)u(*Z

)u(m)u(1)u(Z)u()u(*Z)u(n

1

)u(n

1

1)u()u(n

1

• Minimiza a variância de krigagem sob a condição da construção de um sistema de (n+1) equações.

G

Prova da ausência de viésProva da ausência de viés

)}({)}({)}({ 00

^

0 xVExVExRE

)}({})(.{)}({ 01

0 xVExVwExREn

iii

)}({})({.)}({ 01

0 xVExVEwxREn

iii

para a função aleatória estacionária,

}{)}({)}({ 0 VExVExVE i então,

n

iiwVExRE

10 1}{)}({

gerando assim a condição para que o método de estimativa não apresente viés:

11

n

iiw

Parâmetros para KT3DParâmetros para KT3D

START OF PARAMETERS:../data/cluster.dat -file with data0 1 2 0 3 0 - columns for DH,X,Y,Z,var,sec var-1.0e21 1.0e21 - trimming limits0 -option: 0=grid, 1=cross, 2=jackknifexvk.dat -file with jackknife data1 2 0 3 0 - columns for X,Y,Z,vr and sec var3 -debugging level: 0,1,2,3kt3d.dbg -file for debugging outputkt3d.out -file for kriged output50 0.5 1.0 -nx,xmn,xsiz50 0.5 1.0 -ny,ymn,ysiz1 0.5 1.0 -nz,zmn,zsiz1 1 1 -x,y and z block discretization4 8 -min, max data for kriging0 -max per octant (0-> not used)20.0 20.0 20.0 -maximum search radii 0.0 0.0 0.0 -angles for search ellipsoid0 2.302 -0=SK,1=OK,2=non-st SK,3=exdrift0 0 0 0 0 0 0 0 0 -drift: x,y,z,xx,yy,zz,xy,xz,zy0 -0, variable; 1, estimate trendextdrift.dat -gridded file with drift/mean4 - column number in gridded file1 0.2 -nst, nugget effect1 0.8 0.0 0.0 0.0 -it,cc,ang1,ang2,ang3 10.0 10.0 10.0 -a_hmax, a_hmin, a_vert G

Krigagem ordinária versus krigagem simplesKrigagem ordinária versus krigagem simples

• OKOK é usualmente preferida em relação a SKSK porque esta não pressupõe o conhecimento da média nem estacionaridade da média no campo amostral.

• OKOK permite estimar a média local m*OK(u), dentro da vizinhança de busca

• Aplicando SKSK usando a estimativa da média ao invés da média estacionária m, isto é:

)u(n

1

*O K

SKm

SKO K )u(m)u()u(Z)u()u(*Z

G

Onde a média local é dada por:

e os pesos do sistema de OKOK são dados por:

)u(n

1

O Km

O Km

)u(n

1

O Km

1)u(

0)u()uu(C)u(

)(,...,1 un

)u(n

1

O Km

*O K )u(Z)u()u(m

;

G

• Ambos estimadores são exatos

• A discrepância entre as duas estimativas aumenta conforme a posição a ser estimada se distancia dos dados amostrais (extrapolação)

)u(*Z)u(*Zm)u(m SKO K*O K

)u(*Z)u(*Zm)u(m SKO K*O K

)u(*Z)u(*Z)u( SKO KSKm

G