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Modelos ARCH e GARCH CE 731 – Econometria II Prof. Alexandre Gori Maia Instituto de Economia - UNICAMP Ementa Modelos ARCH - Univariado Modelos ARCH - Multivariado Modelos GARCH Bibliografia Pindyck, R. S.; Rubinfeld, D. L. Econometria, 2004, Pp. 327-341 (Cap. 10.3).. Gujarati, D. Econometria Básica, 2006, Pp. 688-697 (Cap. 22.10-22.11).

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ModelosARCHeGARCHCE731– EconometriaIIProf.AlexandreGoriMaiaInstitutodeEconomia- UNICAMP

EmentaModelosARCH- UnivariadoModelosARCH- MultivariadoModelosGARCH

Bibliografia

Pindyck,R.S.;Rubinfeld,D.L.Econometria,2004,Pp.327-341(Cap.10.3)..

Gujarati,D.EconometriaBásica,2006,Pp.688-697(Cap.22.10-22.11).

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MedindoVolatilidade- Exemplo

É comum séries temporais apresentarem o fenômenoda aglomeração de volatilidade, ou seja, períodosintercalando baixas e altas oscilações de seus valores.Conhecer o comportamento dessa volatilidade éfundamental, por exemplo, para viabilizar oplanejamento financeiro dos agentes ou mesmoconsiderar tal comportamento heterocedástico nosajustes dos modelos econométricos para a sérietemporal.

Porquemedirvolatilididade?

PrevendoopreçodobarrildepetróleoSeja a série mensal para o preço médio do barril depetróleo entre 01/1978 a 12/2008. Os logs do preçopermitem avaliar sua variação relativa e atenuar avariabilidade.Aparentemente, trata-se de uma série não estacionária,com picos de alta e baixa. Embora a primeiradiferença do log do preço do barril apresente,aparentemente, média constante, é ainda necessárioverificar se sua variabilidade é a mesma ao longo dotempo. Esse é um dos objetivos dos modelos ARCH(Autoregressive conditional heteroscedasticity)....

D

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ModelosARCH– ModelosUnivariadosModelos de Heterocedasticidade Condicional Auto-Regressiva (ARCH)

Um dos pressupostos da modelagem de séries temporais é que essa variabilidade sejaconstante e não autocorrelacionada. Tais pressupostos serão quebrados se, porexemplo, verificarmos que a volatilidade é dependente de seus valores defasados.Uma maneira simples de verificar tal comportamento seria a partir de um modeloautoregressivo de 1a ordem – ARCH (1) - para os erros quadráticos:

tYt uY += µ

Seja uma série temporal Yt, que pode ser simplificadamente representada pela somada média mais um erro aleatório:

åå -= 22 )( YtYu µUma medida de volatilidade total incondicional de Yt seria dada por:

ttt vuu ++= -2110

2 bbCaso o termo de erro quadrático defasado seja significativo, haverá indícios parasuspeitar que os erros sejam correlacionados, ou seja, existe um efeito ARCH. Emoutras palavras, caso a volatilidade seja, por exemplo, alta em um período, continuaráalta no período seguinte, indicando aglomeração de volatilidade.O modelo autoregressivo pode ainda ser generalizado para ordens superiores. UmARCH(p) será dado por:

tptpttt vuuuu +++++= ---22

222110

2 ... bbbb

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ModeloARCH- ExemploPrevendoavolatidadedobarrildepetróleoA partir da primeira diferença para o log do preçomensal do barril de petróleo, ajustou-se o seguintemodelo para obter os desvios em relação à média (ut):

D

tt uY +=D µ tt uY ˆ003,0 +=DAssim, ut é a variação proporcional no preço do barrilem relação à média e ut2 pode ser utilizado como umamedida de volatilidade da série.Como ut2 é uma quantidade ao quadrado, seu valor será alto em perídos de grandes variações nospreços relativos do petróleo e será baixo em periodo de baixas variações.

Para saber se a volatilidade (ut2) varia ao longo do tempo,podemos verificar sua relação com seus valores defasadosatravés de umAR(1), ou ARCH(1):

ttt vuu ++= -2110

2 bb ttt vuu ˆ347,0008,0 21

******2 ++= -

Como a defasagem autoregressiva é significativa, há indíciosde aglomeração de volatilidade, ou seja, períodos comconcentração de alta e baixa volatilidade.Poder-se-ia ainda verificar modelos de ordem mais elevada. Ou seja, testar se a volatilidade atualdepende de p períodos anteriores:

tptpttt vuuuu ++++++= ---22

222110

2 ... bbbb

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ModelosARCH- Exemplo

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•SejamasinformaçõessobreademandademoedanoCanadá(m1, emmilhõesdeC$),PIB(gdp,emmilhõesdeC$)etaxadejuros(r,empercentuais);•Oprocedimento AUTOREGpermiteumasériedeanálisesparaajustescomsériestemporais.AopçãoARCHTEST,porexemplo,realizaotestedehetegoneidadedavariância.AopçãoGARCHajustaummodelodeheterocedasticidadecondicional;

Neste exemplo, ajustamos um modelo ARCH para a volatididade da variação trimestral nataxa de juros (dr = Drt).A opção ARCHTEST apresenta testes para diversas ordens de heterocedasticidadecondicional.A opção GARCH permite ajuste modelos ARCH e GARCH. A opção Q=1 define um ARCH(1).Nas estimativas apresentadas, o rótulo ARCH0 referir-se-á ao intercepto do modelo ARCH.O rótulo ARCH1 representa o coeficiente associado à primeira defasagem do resíduoquadrático.

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ModelosARCH– ModeloMultivariadoTestando efeito ARCH em modelos de regressão múltipla

tppt uXXXY +++++= bbbb ...22110

Seja uma modelo de regressão múltipla para a série temporal Yt com k variáveisindependentes:

Caso a variância de ut (s2) não seja uma constante, mas dependa dos valores de X,dizemos que os erros são heterocedásticos. Pode ainda haver motivos para acreditarque a variância dos resíduos não dependa dos valores de X, mas varie ao longo dotempo de uma maneira que dependa de quão elevados tenham sido os errospassados, exibindo um comportamento semelhante à correlação serial. Em outraspalavras, teríamos:

onde: ),0(~ 2sNut

tttt vuu ++== -2110

2)var( aas

Caso o efeito ARCH seja constatado, ou seja, a relação entre os valores defasadosdos erros quadráticos e a variância do modelo seja significativa, deveríamos corrigiro modelo aplicando a técnica de Mínimos Quadrados Generalizados.A estimação de (2) e (3) normalmente é feita por máxima verossimilhança, tendoem vista que os valores de (s2) não são diretamente observados. Pode-se aindaproceder com uma simplifação dada, de maneira análoga ao caso univariado, por:

(2)

(1)

tptptttt vuuuu +++++== ---22

222110

2 ...)var( aaaas (3)Genericamente, poderíamos ter umARCH(p):

tptpttt vuuuu +++++= ---22

222110

2 ... aaaa (4)

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ModeloARCHMultivariado- ExemploDetectandoheterocedasticidadecondicionalDeseja-se estudar a relação entre a renda pessoaldisponível (RPD) e a despesa de consumo pessoal (DCP)de uma economia a partir de seus valores relativos (logs).Como o log de ambas as séries são não estacionárias, oideal seria trabalharmos com suas diferenças. Ou seja:

ttt uRPDDCP +D+=D 10 bb

Entretanto, caso a variância dos resíduos desse ajuste (ut)seja heterocedástica ou autocorrelacionada haveria motivospara suspeitar da eficiência das estimativas. O modeloARCH(1) permite verificar a existência de heterocedasticiacondicional:

ttt vu ++= -2110

2 aasComo a estimativa de s2t não é trivial, uma simplificaçãopode ser dada por:

RPD

DCP

D

D RPD

D DCPttt uRPDDCP ˆ311,0005,0 ****** +D+=D

Aplicando MQO teríamos:

ttt vuu ++= -2110

2 aa ttt vuu +-= -21

2 17,00001,0Como a estimativa da defasagem não é significativa (valor p de 11,5%), não há evidênciasestatísticas para afirmar que a variância dos resíduos apresente heterocedasticidade condicional.Caso fosse o caso, o ajuste do modelo deveria ser refeito pelo MQG utilizando um programaestatístico apropriado.

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ModelosARCHMultivariado- Exemplo

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•Noexemplo emquestão,comparamosdoisajustedologaritmodem1comfunçãodologaritmodegdper:comesemcorreçãoparaaaglomeraçãodevolatilidade.•Considerou-se, apenasparafinsilustrativos,ummodeloARCH(1)paraoquadradodosresíduos;

Embora o teste de heterocedasticidade tenha indicado relação entre os resíduosquadrados e seus valores defasados, o ajuste de um modelo ARCH(1) não mostrou-sesignificativo a 10%. Outras especificações podem ser testadas, assim como uma novaforma de relacionamento da volatilidade, sugerida pelo modelo GARCH...

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ModelosGARCH- DefiniçãoModelo de heterocedasticidade condicional auto-reressiva generalizadaSe pressupomos que a variância dos resíduos seja dada por umARCH(p):

tptptttt vuuuu +++++== ---22

222110

2 ...)var( aaaasPode ser muito difícil estimar todos os coeficiente com precisão. Uma solução éassumir que (1) seja um modelo de defasagens distribuídas (verifique que é a mesmadefinição) com decaimento geométrico. Em outras palavras, estaríamos assumindoque a variância irá depender dos resíduos defasados, e essa relação égeometricamente menor à menida que aumenta-se o número de defasagens. Assim,para estimar p defasagens, bastaria pressupormos:

(1)

tptp

ttt vuuu +++++= --

--21

1221

2110

2 ... lalaaas (2)Como sugere a transformação de Koyck, os valores de l e a poderão ser dados pelomodelo:

tttt vu +++= --21

211

2 lsads (3)

Poderíamos ainda considerar quantas defasagens forem necessáriais para u2 e s2através de um GARCH (p, q):

tqtqtptptt vuu +++++++= ----22

1122

112 ...... slslaads (5)

Que é um modelo GARCH (1,1), pois inclui uma defasagem de u2 e outra de s2.A equação orignal (2) seria então igual a:

211

221

211

2 ...1 pt

pttt uuu -

--- ++++

-= lalaa

lds (4)

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ModelosARCHMultivariado- Exemplo

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•Porexemplo,paraajustarmosummodeloGARCH(1,2)àvariabilidadedoajustedadologaritmodem1comofunçãodologaritmodogdper:

Neste modelo, estamos considerando duas defasagens para o quadrado dos erros e umadefasagem para a estimativa da variância. As estimativas não foram significativas,sugerindo, por exemplo, que a especificação do modelo não é apropriada, a amostra émuito pequena para identificar ajustes significativos ou que a volatilidade sejainsignificante.

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Exercício

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1) OaquivoDados_StandardPoor.XLScontémdadosmensaissobreoindicedeprecosdeaçõesdaStandard&Poor500.a) Transforme,apartirdediferenças,asérieINDICEemuma

sérieestacionária;b) Analiseagoraavolatilidadedasérieobtidaapartirdeum

modeloARCH;c) Analiseagoraavolatilidade dasérieobtidaapartirdeum

modeloGARCH;

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Exercício

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1) OaquivoDados_ProducaoAutosAcoXLScontéminformaçõesmensaissobreaproduçãodeautomóveiseaçonoBrasil.a) Analisearelaçãoparaologaritmodaproduçãodeaçocomo

funçãodasvendasdeautomóveis;b) Analiseagoraavariabilidadedasérieobtidaapartirdeum

modeloARCH.CompareasestimativascomasdeMQO;c) Analiseagoraavolatilidade dasérieobtidaapartirdeum

modeloGARCH.CompareasestimativascomasdeMQO;