MODELOS DE APOIO À DECISÃO · A determinação dos coeficientes de ponderação exige sempre a...

5/6/2009

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MODELOS DE APOIO À DECISÃOMODELOS DE APOIO À DECISÃO

Métodos para definição de pesos inter-critérios

Carlos Bana e CostaJoão LourençoMónica Oliveira

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OPÇÕESOPÇÕES

METODOLOGIA MULTICRITÉRIO: Estruturação vs. avaliação

ESTRUTURAÇÃO AVALIAÇÃO

Pontos de vista

Descritores de performances

plausíveis

OPÇÕESOPÇÕES

Perfis de performancedas opções

ValoresParciais

Pesos

Análises deSensibilidadee de Robustez

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Modelo de Avaliação Global

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Modelos de Apoio à Decisão 2008/9

)a(v.k)a(V j

n

1jj∑

=

=1j=

V(a) valor global da opção a

vj(a) valor parcial da opção ano PVF/critério j ⎪

⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

==

∀=

∀=

0)(100)(

,0)(

,100)(

tudoempiorVtudoemmelhorV

jpiorv

jmelhorv

jj

jjCom:

kj coeficiente de ponderação(peso relativo)do PVF/critério j

∑=

=n

1jj 1k e kj > 0 ( j = 1,…,n )

O que é que representam os coeficientesde ponderação?


4

• São factores de escala, constantes de escala, oupesos na linguagem comum

• Representam o contributo para a pontuação global de cada unidade de pontuação segundo o ponto de vista j

• Permitem transformar cada unidade de valor parcialvj em unidades de valor global V( )vj em unidades de valor global V(.)

• Têm em conta a natureza das taxas de substituiçãoentre PVF/critérios

operacionalizam a noção de compensação• Nao podem ser vistos como indicadores directos de

importância!

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Erro mais comum na ponderação: não determinar oscoeficientes de ponderação com referência aos níveis

de performance!

Os intervalos de variação dos níveis de performance dos pontos de vista são elementos determinantespara a obtenção dos valores dos coeficientes de

ponderação.

A determinação dos coeficientes de ponderação exigesempre a comparação das alternativas de referência:▫ Pior vs. Melhor▫ Neutro (nem bom nem mau) vs. Bom

Modelo Aditivo Hierárquico aplicado a uma árvore de pontos de vista

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O cálculodo valorglobal

faz-se de b i

(Lourenço, 2002)

baixoparacima

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Métodos para Ponderação de Pesos


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• Swing weights

• Trade-off procedure

• MACBETH

Método dos Swing Weights

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Swing Weighting Procedure: 3 etapas


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1. Estabelece-se uma ordenação dos coeficientes de ponderação dos pontos de vista.

2. Procede-se à sua quantificação.3. Normalizam-se os valores obtidos para que a

sua soma seja igual à unidade.j g

Nota: Nos exemplos usamos como referência os níveis pior e melhor em cada PVF, aos quais se fazem corresponder os

valores de 0 e 100, respectivamente.Poderiam ter sido adoptados quaisquer outros dois níveis

de referência suficientemente distintos (como por exemplo, os níveis “neutro” e “bom” ou “neutro” e “positivo”).

Primeira etapa: ordenação dos coeficientes de ponderação


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O facilitador pede ao decisor que considere

todos os pontos de vista fundamentais do

problema de decisão

melhor1 melhor2 melhor3 melhor4

problema de decisão (representados por PV1, PV2, PV3 e PV4) que se apresentam nos piores

níveis. PV1 PV2

pior2

PV3 PV4

pior1 pior3 pior4

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Posteriormente, pergunta-se ao decisor: “Se fosse

possível passar do pior nível para o melhor num único ponto de vista, qual era o ponto de vista que seleccionaria para essa

mudança?”


ç

Resposta do decisor: “Privilegiaria passar do

pior nível para o melhor no ponto de vista PV2”. PV1 PV2

pior2

PV3 PV4

pior1 pior3 pior4



12

Próxima pergunta: “Excluindo o PV2 que já foi por si seleccionado, qual seria o ponto de vista que escolheria de seguida para passar do pior nível para o melhor nível?”Resposta: “Escolheria o ponto de vista PV1”.

Continuar-se-ia a questionar sucessivamente o agente de Continuar-se-ia a questionar sucessivamente o agente de decisão sobre qual o ponto de vista que seleccionaria para passar do pior nível para o melhor nível, excluindo os pontos de vista escolhidos anteriormente, até que restasse somente um ponto de vista por seleccionar.Resultado: uma sequência…

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melhor1 melhor2 melhor3 melhor4 O agente de decisão indicou que passar do nível pior para o nível melhor em PV2 era preferível a passar do nível pior para o nível melhor em PV1, que por sua vez era preferível a passar do nível pior para o nível melhor em PV4, que por sua vez…

PV1 PV2

pior2

PV3 PV4

pior1 pior3 pior4

( ) ( ) ( ) ( ) ( )jj3j34j41j12j2 ,piorpior,melhorpior,melhorpior,melhorpior,melhor ∀≠≠≠≠ ffff

Onde: “X fY” indica que X é preferível a Y.

Esta relação de preferência pode ser simbolicamente representada por:



14

Se forem atribuídos 100 pontos aos níveis melhores e zero pontos aos níveis piores, representando kj o coeficiente de ponderação do ponto de vista j, virá:

( ) ( ) ( ) ( ) 0k0-100k0-100k0-100k0-100 3412 >⋅>⋅>⋅>⋅

O que equivale a:

0kkkk 3412 >>>>

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Segunda etapa: quantificação dos valores a atribuir aos coeficientes de ponderação dos pontos de vista


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pontos de vista

• Etapa de quantificação dos factores de escala dos PV. • Comparam-se os incrementos (swings) do pior nível

para o melhor nível em cada um dos pontos de vista com o swing do pior nível para o melhor num ponto de vista de referência ao qual é atribuído 100 pontos.

• Nota:▫ Qualquer ponto de vista poderá servir de PV de referência.

Maioritariamente usa-se o ponto de vista que na primeira etapa foi escolhido em primeiro lugar.



16

pPergunta:

“Em quanto é que quantificaria uma passagem do pior nível para o melhor nível no ponto de vista PV1 sabendo que ao swing do pior nível para o

melhor nível em PV2 foram


80

melhor nível em PV2 foram atribuídos 1oo pontos?”

PV2 PV1

pior1

PV4 PV3

pior2 pior4 pior3

0

Resposta: “Para mim passar do pior nível para o melhor em PV1 é equivalente a 80% do

swing em PV2”.

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p

Repete-se o processo: o decisor compara a passagem do pior nível para o melhor nível do

ponto de vista PV4 com o incremento do pior nível para

o melhor nível de PV2, e


80

60

20repete-se a questão utilizando

na comparação PV3.

Supondo que o decisor responde respectivamente 60 e 20, corresponderia a dizer que atribuiu estes valores às constantes de escala dos pontos de

vista 4 e 3, ficando assim concluída a segunda etapa deste procedimento

PV2 PV1

pior1

PV4 PV3

pior2 pior4 pior3

0

Terceira etapa: normalização dos coeficientes de ponderação


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Normalização dos coeficientes de ponderação obtidos na etapa precedente, para que a sua soma seja igual a 1, utilizando a expressão seguinte:

∑= n

'

'j

j

k

kk , com (j =1,…, n)

∑=1j

jk

'jk

jk

onde: - é o coeficiente de ponderação não normalizado do ponto de vista j (obtido na segunda etapa);

- é o coeficiente de ponderação normalizado do ponto de vista j.

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Terceira etapa: normalização dos coeficientes de ponderação


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• Para o nosso exemplo, resultariam os seguintes coeficientes de ponderação normalizados:

0,31602010080

80k1 =+++

=

0,38100k 2 == 0,38602010080

k 2 +++

0,08602010080

20k 3 =+++

=

0,23602010080

60k 4 =+++

=

Swing Weights no modelo aditivo hierárquico


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• Foi descrita a situação mais simples!▫ A aplicação deste procedimento de ponderação a uma estrutura

arborescente de pontos de vista com mais do que um nível hierárquico é significativamente mais complexa.

• Deverá repetir-se o procedimento de ponderação tantas vezes quantas o número de sub-árvores existentes na árvore de pontos de vista.

• As questões a colocar ao agente de decisão terão de ser adaptadas à hierarquia de pontos de vista existenteadaptadas à hierarquia de pontos de vista existente.

• Para se determinar os coeficientes de ponderação dos vários pontos de vista dever-se-á utilizar uma abordagem de baixo para cima:A. Ponderar os PVFB. Depois passar à determinação dos coeficientes dos PV

hierarquicamente superiores a estes PVF e proceder assim sucessivamente até se chegar ao topo da hierarquia.

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Swing Weights no modelo aditivo hierárquico - Exemplo

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Global

PV1 PV2 PV3

PV1.1.1

PV1.1 PV1.2

PV1.1.2 PV1.1.3 PV1.2.1 PV1.2.2 PV1.2.3 PV1.2.4

PV3.1 PV3.2

100 4060 100 75 50 25

100 25

Swing Weights no modelo aditivo hierárquico - Exemplo


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Para a determinação dos coeficientes de ponderação de PV1.1 e de PV1.2 existem duas opções (ou combinações destas duas opções):

1ª Opção: Compara-se o swing dos níveis de referência inferiores para os níveis de referência superiores de todos os pontos de vista fundamentais de PV1.1 (em simultâneo) com o swing equivalente de todos os ) g qpontos de vista fundamentais de PV1.2 (em simultâneo);

2ª Opção: Compara-se o swing do nível de referência inferior para o nível de referência superior de um ponto de vista fundamental de PV1.1 com o swing equivalente de um ponto de vista fundamental de PV1.2.

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1ª opção: Swing Weights no modelo aditivo hierárquico


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• Questão inicial a colocar ao decisor: “Se todos os pontos de vista fundamentais (PVFs) de PV1.1 e de PV1.2 estivessem nos níveis de referência inferiores, qual desses dois conjuntos de pontos de vista seleccionaria para passar em primeiro lugar para os níveis de referência superiores?”.

• Resposta: “O conjunto dos pontos de vista de PV1.1”.• Questão seguinte: “Em quanto é que quantificaria o swing dos níveis de

f ê i i f i í i d f ê i i d referência inferiores para os níveis de referência superiores nos PVFs de PV1.2 sabendo que ao swing equivalente nos PVFs de PV1.1 foram atribuídos 100 pontos?”.

• Resposta : “Esse swing equivale a 60% do swing nos PVFs de PV1.1”.

Então os coeficientes de ponderação de PV1.1 e de PV1.2 seriam respectivamente 0,625 e 0,375

(obtidos respectivamente de 100/160 e 60/160).



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• Opção mais simples. • Primeiro são seleccionados dois PVFs, um de

PV1.1 e outro de PV1.2, para servirem de base de comparação. ▫ Supondo que se escolhiam para esse efeito os

PVF d i fi i d d ã d PVFs de maior coeficiente de ponderação em cada sub-árvore, ou seja, PV1.1.1 e PV1.2.1.

• Num primeiro passo, teria de se estabelecer uma ordenação de preferência entre esses dois PVFs.

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• Pergunta ao decisor: “Estando os dois PVFs nos níveis de referência inferiores, qual deles é que seleccionaria em primeiro lugar para passar para o nível de referência superior?”

• Resposta: “PV1.1.1”

• Questão seguinte: “Em quanto é que quantificaria passar • Questão seguinte: Em quanto é que quantificaria passar do nível de referência inferior para o nível de referência superior em PV1.2.1 sabendo que ao swing equivalente em PV1.1.1 foram atribuídos 100 pontos?”

• Resposta: “Quantifico esse swing em 48% do swing em PV1.1.1”



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Os coeficientes de ponderação de PV1.1 e de PV1.2 seriam então calculados através das seguintes

expressões:

625025048200100

200100

kkkk

kkk 4

1 2 j'

121

3

1 1 j'

111

3

1j

'1.1.j111

1.1 ,''''

''..

=×+×

×=

⋅+⋅

⋅=

∑∑

∑=

kkkk1j

1.2.j1211j

1.1.j111 .... + ∑∑==

375025048200100

25048

kkkk

kkk 4

1j1.2.j'

121

3

1j1.1.j'

111

4

1j

'1.2.j121

1.2 ,''

..''

..

''..

=×+×

×=

⋅+⋅

⋅=

∑∑

∑

==

=

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Duas abordagens possíveis para o SwingWeights no modelo aditivo hierárquico

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Opção de comparação porníveis

Opção de comparação entre níveis

Teria de comparar-se os swings dos níveis de referência inferiores para os níveis de referência superiores dos pontos de vista hierarquicamente inferiores a

Poder-se-ia comparar swingsde pontos de vista em quaisquer níveis hierárquicos, oferecendo-se essa escolha ao agente de decisão, ficando o q

PV1 (os quais por sua vez correspondem aos mesmos swings em todos os PVFs de PV1.1 e de PV1.2) com os swings em PV2 e em PV3 (correspondendo este aos swings nos seus PVFs).

ónus da complexidade dos cálculos por conta do facilitador.

Método Trade-Off

A ideia chave deste procedimento de ponderação consiste p p çem comparar 2 alternativas fictícias de cada vez, alternativas estas cuja performance difere apenas em 2 PVF (consequentemente, as 2 alternativas têm a mesma performance nos restantes PV).

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Introdução

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C1 C2A l i A

SUP1

A BSUP2

A alternativa A tem uma performance ao nível de referência superior no PV C1 e uma performance ao nível de referência inferior no PV C2; a alternativa Btem uma performance ao

INF1 INF2

tem uma performance ao nível de referência inferior no PV C1 e uma performance ao nível de referência superior no C2.

Introdução


30

A escolha da alternativa preferida pelo agente de decisão indica que PV, de entre os dois considerados, tem a maior importância relativa, ou seja, qual é o que tem maior coeficiente de ponderação (neste caso terá sido escolhida a alternativa A, portanto o C1 terá maior peso que o C2). O PV com maior peso serve tipicamente de PV de referência, embora possa ser seleccionado outro PV para esse efeito. p

O trade-off deste procedimento consiste em ajustar o nível de impacte de uma das alternativas no PV de referência para se conseguir obter uma relação de indiferença entre as duas alternativas.

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Introdução

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P i i

C1=Referência C2

Para isso, ou se piora o impacte da alternativa que está ao nível de referência superior no PV de referência, ou se melhora o impacte da

l i á

Referência

SUP1

2

A BSUP2

alternativa que está ao nível de referência inferior no PV de referência.

INF1 INF2

Introdução


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Estes ajustamentos terão de repetir-se para n–1 pares de alternativas fictícias significativas!

Se as funções de valor associadas aos PV forem conhecidas, os coeficientes de ponderação dos PV podem ser determinados pela resolução de um sistema de equações que incorpore a restrição de normalização e as n–1 relações de indiferença obtidas anteriormente.

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Exemplo


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Supondo que existe um problema que envolve a decisão de aquisição de um novo escritório onde se vão utilizar os três PV apresentados na tabela seguinte (onde também se mostram as melhores e piores performances das alternativas que se analisaram):

PV/Critério Descrição Melhor PiorPV/Critério Descrição Melhor Pior1 Preço (Mio €) 1 2

2 Centralidade (distância ao centro em km) 0 50

3 Estacionamento (n.º de lugares) 15 5

Exemplo

34


100 100o)

0

2040

6080

100

1 1,2 1,4 1,6 1,8 2

Preço (106 €)

V(pr

eço)

0

20

40

60

80

100

0 10 20 30 40 50

Distância ao centro (km)

V(di

stân

cia

ao c

entr

o

Considere-se que os gráficos representam as funções de valor dos PV (critérios). 0

20

40

60

80

100

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15N.º lugares de estacionamento

V(n.

º lu

gare

s de

es

taci

onam

ento

)

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Método Trade-Off: Exemplo


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1ª Etapa:Estabelecer uma ordenação de preferência entre os vários PV considerados (etapa idêntica à primeira etapa do método de ponderação Swing Weighting).

2ª Etapa:Selecciona-se o PV que irá servir de referência nas comparações entre alternativas fictícias. Para esse fim, seleccionou-se o PV “preço” embora qualquer um dos restantes PV pudesse ser utilizado.(cf., Keeney, 1980, pp. 67-71 e Keeney et al.,1977, pp. 310-312)

Exemplo


36

Questiona-se o decisor:Considere um escritório A situado no centro da cidade com um preço igual a 2 Mio €. Quanto é que deveria ser o preço de um escritório B, situado a 50 km do centro da cidade, para que A e B fossem indiferentes (sabendo que ambos os escritórios têm o mesmo n.º de lugares de estacionamento)?

Esta questão pode ser representada pela seguinte expressão (em que o símbolo ~ significa indiferença):

(2 Mio €, 0 km, x lugares) ~ (? €, 50 km, x lugares)

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ExemploR t d d i


37

Resposta do decisor:Os dois escritórios seriam indiferentes se o preço do escritório B fosse igual a 1,55 Mio€.

Resposta simbolicamente representada pela expressão:

(2 Mio € 0 km x lugares) ~ (1 55 Mio € 50 km x lugares)(2 Mio €, 0 km, x lugares) ~ (1,55 Mio €, 50 km, x lugares)

Este trade-off significa que para o decisor, uma variação de preço entre 2 Mio e 1,55 Mio € equivale à diferença entre um escritório estar localizado a 50 km do centro da cidade e um escritório estar localizado no centro.

Exemplo

38


stân

cia

aoo

(km

)

0

No modelo aditivo, estal ã d i dif

PVF 2

≡D

ice

ntro

50

PVF1 ≡ Preço (106 €)

12 1,55

Indiferenterelação de indiferençapode ser equacionadacomo:

Aplicando as funções de valor obtém-se:

lugares)(x km) (50€) (1.550.000lugares)(x km)(0€) (2.000.000

332211

332211

vkvkvkvkvkvk++=

++

12 kk 53,75 100 =

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ExemploQ ti t d i ( bt


39

Questiona-se novamente o decisor (para obter a segunda relação de indiferença):

Considere um escritório A que tem 15 lugares de estacionamento e um preço igual a 2 Mio €. Quanto é que deveria ser o preço de um escritório B com 5 lugares de estacionamento, para que A e B fossem indiferentes (sabendo que ambos os escritórios se encontram à mesma distância do centro da cidade)?

Esta questão pode ser representada pela seguinte expressão (em que o símbolo ~ significa indiferença):

(2.000.000 €, y km, 15 lugares) ~ (? €, y km, 5 lugares)

ExemploR t d d i


40

Resposta do decisor:Os dois escritórios seriam indiferentes se o preço do escritório B fosse igual a 1,7 Mio €.

Resposta simbolicamente representada pela expressão:

(2.000.000 €, y km, 15 lugares) ~ (1.700.000 €, y km, 5 ( , y , g ) ( , y ,lugares)

Este trade-off significa que para o decisor uma variação de preço entre 2 Mio e 1,7 Mio € equivale à diferença entre um escritório ter 15 ou 5 lugares de estacionamento.

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Exemplo

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No modelo aditivo, estal ã d i dif d

e lu

gare

s de

nam

ento

15

relação de indiferençapode ser equacionadacomo: PV

F 3≡

N.º

es

taci

o

5

PV1 ≡ Preço(106 €)

12 1,7

Indiferente

lugares) (15km)(y €) (2.000.000 332211 vkvkvk ++

Aplicando as funções de valor obtém-se: 13 kk 27,5 100 =

lugares) (5km)(y €) (1.700.000 332211 vkvkvk ++=

Exemplo


42

Como a soma dos pesos tem de ser igual à unidade, adiciona-se uma terceira equação às anteriormente obtidas. Os pesos serão então obtidos resolvendo o seguinte sistema de equações:

⎧ =⎧ = 0 5553 75100 kkk

⎪⎩

⎪⎨

⎧

===

⇔⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++==

0,150,300,55

1 27,5100

53,75 100

3

2

1

321

13

12

kkk

kkkkk kk

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E se o decisor não quer elicitar números?

Metodologia MACBETH, a leccionar nas próximasl !aulas!

Referências


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• Keeney, R. L.; 1980. Sitting Energy Facilities, Academic Press.

• Keeney, R. L.; Nair, K.; 1977; Selecting Nuclear Power Plant Sites in the Pacific Northwest Using Decision Analysis, in D. E. Bell, R.L. Keeney, H. Raiffa (eds ) Conflicting Objectives in Decisions Raiffa (eds.), Conflicting Objectives in Decisions, John Wiley, 298-322.

• Lourenço, J. C. (2002) Modelo aditivo hierárquico: exemplos de métodos de ponderação e problemas associados, Working Paper 13-2002, CEG-IST.

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