Modelos de Capacidade e Carga

CAPTULO 1INTRODUO1.1. CONSIDERAES INICIAISM sistema eltrico de potncia tem por nica funo suprir os consumidores com energia eltrica da forma mais econmica e confivel possvel. Esses objetivos so

U

conflitantes, pois um melhor desempenho (maior confiabilidade) requer investimentos mais acentuados, o que implica em tarifas mais elevadas. Assim, em estudos de planejamento da expanso de sistemas eltricos, para que se possa decidir quando e onde investir necessrio o emprego de metodologias capazes de quantificar os custos e a confiabilidade das diversas alternativas e escolher dentre elas as mais adequadas [M86]. Nas ltimas dcadas, os ndices de confiabilidade da capacidade de gerao (GCR) tm sido parmetros muito teis para auxiliar engenheiros de planejamento em muitas decises. Diversos artigos e publicaes bibliogrficas tm surgido neste assunto; veja, por exemplo, [BFB01]. Quando a expanso de um sistema de potncia est sendo planejada necessrio avaliar se uma dada configurao de usinas geradoras atende adequadamente aos requisitos da demanda global do mercado consumidor. Este estudo denominado avaliao da confiabilidade de gerao. A metodologia bsica comum a todos os mtodos consiste em supor que no h problemas de transporte de energia, i.e. as linhas de transmisso so consideradas perfeitamente confiveis e sem restries de capacidade. Dentre os mtodos analticos, o mais popular conhecido como a abordagem da LOLE (Loss of Load Expectation), que uma tcnica amplamente utilizada devido a sua flexibilidade e simplicidade de aplicao [E78, A90, BA96, BAS94]. Esta tcnica combina o modelo de gerao do sistema, representada pela tabela de probabilidades das capacidades indisponveis (COPT), com as caractersticas ou modelo da carga do sistema para produzir ndices de confiabilidade como a LOLP (Loss of Load Probability), LOLE, EPNS (Expected Power Not Supplied) e EENS (Expected Energy Not Supplied). A eficincia computacional destes mtodos foi consideravelmente melhorada por meio da utilizao de tcnicas de convoluo discreta [ALAB81, LPC88].1

CAPTULO 1 INTRODUO

A anlise de frequncia e durao (F&D) certamente uma abordagem analtica mais completa que a LOLE, porque tambm fornece a frequncia de ocorrncia de uma condio de capacidade insuficiente e a durao pela qual se espera que perdure. Estas so indicadas pelos ndices LOLF (Loss of Load Frequency) e LOLD (Loss of Load Duration), respectivamente [BA96, SB77, CS86]. Basicamente, o mtodo de F&D combina, atravs de tcnicas de Markov, estados de capacidades e de carga para obter estados de reserva. Uma vez que todos os estados com margem negativa ou estados de falha sejam identificados, todos os ndices previamente mencionados so avaliados. A fim de tornar este mtodo vivel para grandes sistemas de gerao encontrados na prtica, as tcnicas de convoluo discreta foram estendidas para tratar com os conceitos de frequncia e durao [LMC91, LCM92]. Evitando uma abordagem combinatria em sistemas prticos de gerao, as tcnicas de convoluo discreta claramente aumentaram a eficincia computacional dos mtodos analticos. Estes mtodos, no entanto, permanecem restritos para certos tipos de condies do sistema [PB92]. Os mtodos baseados em Simulao Monte Carlo (SMC) [R91, BL94] possibilitam a avaliao da confiabilidade para as mais diversas condies do sistema, e podem ser divididos nas categorias no-cronolgicos e cronolgicos. A SMC no-cronolgica tem sido uma ferramenta extremamente til na avaliao da confiabilidade de gerao e/ou transmisso de grandes sistemas encontrados na prtica [PB92, MPL92, BL94, LRMB04, L05, SR08]. Mtodos baseados em SMC cronolgica so mais poderosos para avaliar sistemas eltricos de potncia mais complexos, porm o esforo computacional muito mais substancial em comparao com os mtodos no-cronolgicos. Para superar o problema do custo computacional das simulaes cronolgicas, ferramentas de SMC pseudo-cronolgicas foram propostas [LMMB00]. Mais recentemente, tcnicas inteligentes de busca baseadas em populao foram tambm utilizadas para resolver problemas de confiabilidade em sistemas de potncia [WS08, MCRLS09]. Estes so mtodos interessantes, porm, apresentam algumas dificuldades quando aplicados em sistemas de grande porte. Alm disso, o controle da convergncia do processo de otimizao , em geral, muito complicado.2

CAPTULO 1 INTRODUO

Sem dvida, ferramentas baseadas em tcnicas de SMC so extremamente robustas para resolver problemas de confiabilidade em sistemas de potncia, principalmente em sistemas de grande porte. Porm, eles podem encontrar algumas dificuldades no que diz respeito a eventos raros: e.g. para avaliar valores muito pequenos do ndice LOLP, i.e. 10-5. Embora se possa argumentar que uma configurao muito confivel para um sistema de gerao no um problema, e que a simulao deve ser parada aps se verificar tal condio, em estudos de planejamento da expanso estes valores devem ser calculados considerando que diversas configuraes de reforo esto sendo comparadas. Alm do mais, em problemas que envolvem critrios especficos de projeto, o planejador poderia ter que medir a probabilidade de certo evento, que poderia ser muito raro, mas, a priori, esta condio desconhecida. A fim de melhorar o desempenho das ferramentas de SMC, diversas tcnicas de reduo de varincia esto disponveis [RK07, PAK08]. Algumas delas j foram testadas na avaliao da confiabilidade de sistemas de potncia; veja, por exemplo, [LMMB00, AEPP90, BJ96, BJ97, ZX02]. Tendo em mente sistemas de potncia reais, as eficincias de alguns mtodos podem ser consideradas relevantes e outras marginais. Em relao raridade dos eventos de falha envolvidos, pouca discusso tem sido conduzida em confiabilidade de sistemas de potncia. Um dos mtodos que tem apresentado resultados interessantes baseado em amostragem por importncia (IS); uma tcnica que tem evoludo consideravelmente nos ltimos anos, com a utilizao de algoritmos de otimizao para selecionar os parmetros da funo densidade de probabilidade auxiliar de uma maneira tima. Estes novos algoritmos esto baseados nos conceitos de Entropia Cruzada e da divergncia de Kullback-Leibler, que so idias fundamentais da moderna teoria da informao [RK04, RK07, KHN07]. Este trabalho apresenta uma nova abordagem de SMC baseada no Mtodo da Entropia Cruzada (MEC) para avaliar ndices de confiabilidade em sistemas de gerao. A idia bsica utilizar uma funo massa de probabilidade auxiliar, cujos parmetros so obtidos de um processo de otimizao estocstico. Diversos aspectos como o tamanho do sistema, a raridade dos eventos de falha, o nmero de unidades diferentes e o perfil da curva de carga so considerados a fim de verificar o desempenho da metodologia proposta.3

CAPTULO 1 INTRODUO

O IEEE-RTS [IEEE79] utilizado para verificar a metodologia proposta. Diversos sistemas testes so criados a partir de modificaes no IEEE-RTS original. Estas modificaes tm como principal objetivo comparar o desempenho do mtodo proposto com uma SMC no-cronolgica e uma tcnica analtica muito eficiente baseada em convoluo discreta [LMC91]. Uma configurao do sistema Sul-Sudeste Brasileiro (SSB) de gerao, planejada para os anos 90, tambm utilizada para demonstrar a aplicao do mtodo proposto, denominado CE-ISMC, em sistemas de potncia encontrados na prtica.

1.2.

DESENVOLVIMENTO HISTRICO

No se pode determinar com preciso quando foi publicado o primeiro trabalho sobre a avaliao da confiabilidade de gerao utilizando mtodos probabilsticos, porm, aproximadamente em 1933 o interesse nesta rea tornou-se evidente. Os principais trabalhos publicados entre 1977 e 1982 esto bem documentados em [ABL84]. De maneira semelhante, os principais trabalhos publicados no perodo compreendido entre 1996 e 1999 esto referenciados em [BFB01]. Desde 1933, bons artigos foram surgindo a cada ano. Calabrese, Lyman, Loane e Watchorn [C47, L47, LW47] publicaram os trabalhos pioneiros que estruturam os mtodos usados at o presente. Estes artigos formam a base da avaliao da confiabilidade da capacidade de gerao por tcnicas probabilsticas, e servem como ponto de partida de outros bons trabalhos. Em 1958, Halperin e Adler [HA58] introduziram pela primeira vez um mtodo de frequncia e durao para a avaliao da confiabilidade de gerao. Todavia a metodologia apresentada foi um tanto complicada e os ndices no foram utilizados de fato at 1968-71. Nesse perodo novas publicaes estenderam a metodologia de frequncia e durao desenvolvendo tcnicas recursivas para a construo do modelo de gerao e para sua combinao com o modelo de carga, as quais facilitaram a implementao computacional. Em 1959, um segundo grupo de artigos foi publicado por Baldwin, Gaver, Hoffman, entre outros [BGH59, BBGH59, BGHR60]. Estas publicaes modificaram e estenderam os mtodos propostos por publicaes anteriores e introduziram uma metodologia mais sofisticada ao problema usando tcnicas de simulao baseadas em amostragem estatstica,4

CAPTULO 1 INTRODUO

surgindo desta maneira, as primeiras aplicaes da Simulao Monte Carlo em sistemas eltricos de potncia Em 1982, Billinton, Wee e Hamoud [BWH82] publicaram um resumo didtico sobre os mtodos bsicos para a avaliao da confiabilidade de gerao. Foi apresentado tambm um mtodo recursivo para a obteno da frequncia e probabilidade acumulada dos estados de capacidade. Este modelo de gerao no foi combinado com nenhum modelo de carga. Um sistema teste para comparar as diversas metodologias e utilizado at hoje o IEEERTS (i.e., IEEE Reliability Test System), publicado em 1979 pelo IEEE Subcommittee on Application of Probability Methods [IEEE79]. Em 1986 Allan, Billinton e Abdel-Gawad propuseram modificaes que poderiam ser aplicadas a este sistema para o estudo da confiabilidade da gerao [ABA86]. Tambm em 1986, Melo [M86] em sua Tese de Mestrado apresentou uma nova tcnica de frequncia e durao que permitiu modelar de forma precisa os diversos estados operativos das unidades geradoras, bem como os diversos estados de carga, a fim de se obter ndices de confiabilidade mais realsticos para sistemas de grande porte. Este mtodo foi baseado em tcnicas de convoluo discreta propostas por Allan, Leite da Silva, Abu-Nasser e Burchett [ALAB81] em 1981. Em 1991, Leite da Silva, Melo e Cunha [LMC91] apresentaram um mtodo analtico extremamente eficiente, onde no somente as probabilidades dos estados de reserva podiam ser avaliados recursivamente por convoluo discreta, mas tambm suas frequncias incrementais, o que possibilitou a aplicao de tcnicas de truncamento e arredondamento permitindo uma avaliao eficiente dos ndices de frequncia e durao para sistemas de grande porte. Os mtodos analticos tradicionais precisavam muitas vezes de aproximaes para contornar alguns problemas, principalmente no que diz respeito ao grande nmero de estados possveis do sistema. Novos mtodos baseados em tcnicas de simulao, semelhantes a aqueles propostos por Baldwin et alii em 1959 [BGH59, BBGH59, BGHR60] comearam a aparecer. Estes mtodos apresentavam vantagens competitivas com relao aos mtodos analticos em sistemas de grande porte (elevado nmero de estados) e com restries operativas complexas.

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CAPTULO 1 INTRODUO

Em 1982, Cunha, Ganes, Oliveira e Pereira [CGOP82] publicaram um dos primeiros trabalhos sobre a utilizao da simulao Monte Carlo na avaliao da confiabilidade de gerao. Trabalhos semelhantes comearam a ser publicados nos anos seguintes, sendo um dos mais importantes, o de Patton, Blackstone e Balu [PBB88] em 1988. Os mtodos de simulao Monte Carlo eram baseados em tcnicas de amostragem estatstica, onde os estados eram amostrados proporcionalmente a sua probabilidade de ocorrncia e possibilitaram a avaliao da confiabilidade para as mais diversas condies do sistema. Apareceram duas categorias bem definidas: a simulao Monte Carlo no-cronolgica e a cronolgica. A SMC no-cronolgica tem sido uma ferramenta extremamente til na avaliao da confiabilidade de gerao e/ou transmisso em sistemas reais. Exemplos de trabalhos relacionados so os de Pereira e Balu em 1992 e 1994 [PB92, BL94]. Os mtodos baseados em SMC cronolgica so mais poderosos para avaliar sistemas de potncia mais complexos, porm o esforo computacional muito maior em comparao com os mtodos no-cronolgicos, pois durante o processo de simulao toda a cronologia levada em considerao. Por este motivo, sua aplicao complexa, ainda hoje, na avaliao da confiabilidade composta de sistemas eltricos. Para superar o problema do custo computacional das simulaes cronolgicas, ferramentas de SMC pseudo-cronolgicas foram propostas por Leite da Silva, Manso, Mello e Billinton em 2000 [LMMB00]. Este mtodo manteve a flexibilidade e a preciso da SMC cronolgica reduzindo o esforo computacional a nveis similares da SMC nocronolgica. A principal desvantagem dos mtodos baseados em simulao Monte Carlo era a necessidade de um tempo de computao maior do que os mtodos analticos convencionais. Estes tempos de computao eram maiores quanto mais raros fossem os eventos envolvidos. O motivo era a necessidade de se ter um nmero elevado de amostras para se estimar um evento raro com relativa preciso. A raridade do evento passou a ser um problema. Vrios trabalhos surgiram com propostas sobre como tratar a raridade do evento, estes tinham como principal objetivo reduzir o esforo computacional. Apareceram assim as chamadas Tcnicas de Reduo de Varincia (VRT).

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CAPTULO 1 INTRODUO

Em 1996, Billinton e Jonnavithula [BJ96] utilizaram VRT baseadas em variveis de controle (CV) e variveis antitticas (AV) juntamente com a simulao Monte Carlo cronolgica para avaliar a confiabilidade de sistemas eltricos. Em 1999, Lieber, Nemirovskii e Rubinstein [LNR99] utilizaram uma VRT baseada em amostragem por importncia para acelerar a convergncia da simulao Monte Carlo. A idia central do IS era amostrar os estados do sistema com uma distribuio diferente da original, de tal maneira que o evento raro de interesse fosse encontrado com maior frequncia, porm o problema era justamente encontrar esta nova distribuio pois ela era inicialmente desconhecida. Uma escolha errada poderia ter o efeito contrario e aumentar ainda mais o tempo de computao. Estimar esta distribuio era um processo complicado, e isto levou os pesquisadores a procurarem um mtodo eficiente para resolver este problema. Em 2002, Zhaohong e Xifan [ZX02] apresentaram uma nova tcnica de reduo de varincia denominada Mtodo da Fisso e Roleta que foi aplicada na avaliao da confiabilidade composta de sistemas eltricos de potncia. Porm, a metodologia apresentada foi um tanto quanto complicada e seu desempenho no foi comparado com outras tcnicas de reduo de varincia presentes na literatura. Alm disso, este trabalho no apresentou aplicaes do mtodo proposto em sistemas de grande porte. Tambm em 2002, Homem-de-Mello e Rubinstein [HR02] publicaram um trabalho de grande importncia que apresentou um mtodo para estimar a probabilidade de ocorrncia de eventos raros. Neste trabalho, modelos de simulao baseados em amostragem por importncia e a entropia cruzada de Kullback-Leibler foram utilizados. Inicialmente, a distribuio tima de amostragem era estimada utilizando o CE, e a seguir, a probabilidade do evento raro era estimada utilizando a j conhecida tcnica da amostragem por importncia. Assim surgiu um novo e poderoso mtodo para a simulao de eventos raros e a otimizao contnua ou combinatria. Esta nova metodologia foi denominada Mtodo da Entropia Cruzada. Em 2004, Rubinstein e Kroese [RK04] publicaram um livro que resumia os fundamentos do MEC e suas diversas aplicaes. Nos anos seguintes, vrios trabalhos foram publicados sobre as aplicaes do MEC nas mais diversas reas. Exemplos recentes so os trabalhos de Hui, Bean, Kraetzl e Kroese em 2005 [HBKK05] sobre a aplicao do MEC na avaliao da confiabilidade de redes, os trabalhos de Kroese, Hui e Nariai em 2007 [KHN07] sobre otimizao da confiabilidade de7

CAPTULO 1 INTRODUO

redes atravs da aplicao do MEC, e os trabalhos de Ernst, Glavic, Stan, Mannor e Wehenkel em 2007 [EGSMW07] sobre a aplicao do MEC na soluo de problemas de otimizao combinatria em sistemas eltricos de potncia. Mais recentemente, outra metodologia para avaliar a confiabilidade de gerao que se afasta um pouco da linha das metodologias anteriores foi proposta por Wang e Singh em 2008 [WS08]. A proposta foi utilizar tcnicas metaheursticas de busca inteligente, baseadas em populao, para avaliar a confiabilidade da gerao. Nesta publicao, tcnicas metaheursticas como Algoritmos Genticos (GA), Otimizao por Enxame de Partculas (PSO), Otimizao por Colnia de Formigas (ACO), entre outros, foram utilizados primeiramente para selecionar os estados dominantes de falha, ou seja, aqueles que tm maior contribuio para os ndices de confiabilidade, e depois os ndices so calculados analiticamente considerando os estados encontrados na etapa anterior. De maneira semelhante a [WS08], Miranda, Carvalho, Rosa, Leite da Silva e Singh [MCRLS09] publicaram em 2009 um trabalho onde eram aplicadas variaes do EPSO em confiabilidade de sistemas de potncia. Ambos os mtodos so interessantes, mas tambm possuem algumas limitaes para controlar a convergncia do processo de otimizao e para tratar com sistemas de grande porte, pois muitas informaes pertinentes a cada estado dominante devem ser salvos e levados a etapa seguinte, o que representa um custo de memria elevado, podendo inclusive inviabilizar esta abordagem em sistemas de grande porte. O objetivo bsico deste trabalho a avaliao de ndices de confiabilidade da capacidade de gerao, atravs de uma nova abordagem que combina uma simulao Monte Carlo no-cronolgica e uma tcnica de amostragem por importncia baseada no Mtodo da Entropia Cruzada. Ser desenvolvido um mtodo que possa aproveitar as caractersticas positivas da simulao Monte Carlo, como a flexibilidade e a capacidade de trabalhar com sistemas de grande porte, mas sem as limitaes provocadas pela raridade do evento. Espera-se que a metodologia proposta possa ser competitiva com outros mtodos disponveis na literatura. O desempenho do mtodo proposto ser verificado em diversos sistemas testes sob as mais diversas condies operativas.

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CAPTULO 1 INTRODUO

1.3.

ESTRUTURA DA DISSERTAO

Este trabalho apresenta uma nova metodologia, baseada em tcnicas de simulao Monte Carlo e no mtodo da Entropia Cruzada, para avaliar a confiabilidade da capacidade de gerao. O principal objetivo avaliar os ndices de confiabilidade por meio da j conhecida tcnica da amostragem por importncia. Os parmetros da nova funo massa de probabilidade (pmf), que ser utilizada no processo de amostragem, so encontrados por meio de um processo de otimizao estocstico que minimiza a divergncia de KullbackLeibler entre a pmf tima (inicialmente desconhecida) e a pmf de amostragem a cada iterao. Uma vez posicionado o problema da avaliao da confiabilidade da capacidade de gerao, feito um desenvolvimento histrico da literatura existente e definido o objetivo bsico deste trabalho, cabe agora descrever em poucas linhas o contedo geral de cada captulo. A presente dissertao dividida em cinco captulos brevemente descritos a seguir. Este captulo apresentou as razes pelas quais o problema de avaliar a confiabilidade da capacidade de gerao vem sendo estudado na atualidade, bem como uma classificao e uma discusso geral sobre os trabalhos mais importantes relativos a este assunto, publicados na literatura especializada. O Captulo 2 apresenta a formulao matemtica do problema, assim como um resumo dos principais mtodos tradicionalmente utilizados na avaliao da confiabilidade de gerao com suas respectivas vantagens e desvantagens. O principal objetivo estabelecer fundamentos conceituais para permitir o desenvolvimento do mtodo proposto, baseado em Entropia Cruzada, que ser apresentado no captulo subsequente. O Captulo 3 destina-se apresentao do Mtodo da Entropia Cruzada. As principais tcnicas de reduo de varincia so brevemente discutidas com uma maior nfase na tcnica da amostragem por importncia. apresentada a formulao matemtica do MEC aplicado na simulao de eventos raros. O captulo apresenta tambm como este mtodo pode ser reformulado matematicamente para ser aplicado ao problema da avaliao da confiabilidade da capacidade de gerao. Com o objetivo de facilitar o entendimento do9

CAPTULO 1 INTRODUO

mtodo e tambm manter a formulao matemtica a mais genrica possvel, todo o desenvolvimento ilustrado com base em um sistema de NC estaes geradoras. No Captulo 4, realizam-se aplicaes numricas com o IEEE Reliability Test System (IEEE-RTS) [IEEE79] e tambm com diversas modificaes deste sistema. O desempenho do mtodo proposto baseado em Entropia Cruzada comparado com uma simulao Monte Carlo no-cronolgica e tambm com um mtodo analtico extremamente eficiente baseado em convoluo discreta. Uma configurao do sistema de gerao brasileiro da regio Sul-Sudeste tambm utilizada para demonstrar a aptido da metodologia proposta em aplicaes reais. Diversos testes de sensibilidade tambm so apresentados, principalmente no que diz respeito raridade dos eventos de falha envolvidos e ao tamanho do sistema. Finalmente, no Captulo 5 sero apresentadas as principais concluses decorrentes deste trabalho, alm de sugestes para possveis trabalhos futuros.

10

CAPTULO 2AVALIAO DA CONFIABILIDADE DA CAPACIDADE DE GERAO2.1. INTRODUOESTE captulo sero descritos os principais mtodos utilizados para a avaliao da confiabilidade da capacidade de gerao. Sero brevemente discutidas as hipteses

N

em que eles se baseiam e suas respectivas vantagens e pontos deficientes. Antes, porm, sero feitas algumas consideraes bsicas sobre o problema da confiabilidade da capacidade de gerao. Uma tarefa importante no planejamento e operao de um sistema eltrico de potncia a determinao da capacidade de gerao necessria para o atendimento do mercado consumidor [M86]. Este problema pode ser dividido em duas partes: determinao da capacidade esttica e da capacidade operativa. A capacidade esttica est relacionada com a avaliao em longo prazo das necessidades do sistema em termos globais. A capacidade operativa est relacionada com a avaliao em curto prazo da capacidade real necessria para atender um dado nvel de carga. Na avaliao da confiabilidade de capacidade esttica de gerao se est interessado no clculo de ndices que meam a adequao do sistema no atendimento da carga em termos globais. Para tanto, considera-se que toda a gerao e toda a carga do sistema esto concentradas em um nico barramento. Isto significa supor que no existem restries de transporte de energia e que as linhas de transmisso so 100% confiveis. possvel admitir um nvel aproximado de perdas e inclu-las na carga total do sistema. A metodologia bsica para a obteno dos ndices de adequao consiste na construo de modelos matemticos que representem os comportamentos da gerao existente e da carga do sistema. Estes modelos so a seguir combinados para se obter um modelo de risco ou de11

CAPTULO 2 AVALIAO DA CONFIABILIDADE DA CAPACIDADE DE GERAO

reserva a qual expressa, em termos de probabilidades, a reserva de capacidade de gerao do sistema.

2.2.

FORMULAO DO PROBLEMA

Reserva, ou margem, definida como a diferena entre a capacidade disponvel e a carga. Deste modo, se os modelos de gerao e de carga possurem vrios estados discretos de capacidade e nveis de demanda, respectivamente, podem ser obtidas informaes sobre disponibilidade, frequncia e durao mdia para vrias condies de reserva [M86]. Um estado de reserva a combinao de um estado de carga e um estado de capacidade. Um estado de reserva negativa representa uma condio em que a carga do sistema excede a capacidade disponvel e descreve, portanto, um estado de falha do sistema. Diferentes estados individuais podem ser acumulados em um nico estado equivalente. Acumulando todos os estados de reserva negativa, temos um nico estado que representa as condies operativas onde o sistema se encontra em uma situao de falha. De maneira semelhante, todos os estados de reserva positiva podem ser acumulados em um nico estado equivalente que representa situaes de sucesso do sistema. Define-se assim, uma fronteira entre o que considerado como sucesso e o que considerado como falha. Estados de fronteira so todos aqueles estados que tem uma ligao direta com algum outro estado que no pertence ao seu grupo acumulado, ou seja, so aqueles estados que podem cruzar a fronteira em uma nica transio. Conforme exposto anteriormente, o principal objetivo determinar ndices que avaliem o risco do parque gerador existente no atender s necessidades do mercado consumidor. Estes ndices de confiabilidade so obtidos a partir das probabilidades e frequncias associadas ao estado acumulado de falha, ou seja, considerando todos os estados com reserva negativa. Os principais ndices so a LOLP, EPNS e LOLF. Outros ndices de confiabilidade como a LOLE, EENS e LOLD podem ser encontrados a partir dos anteriores. O ndice LOLP (Loss of Load Probability) a probabilidade de existir qualquer corte de carga independentemente da magnitude do corte. Matematicamente igual ao somatrio das probabilidades individuais dos estados de reserva negativa, ou seja, onde a capacidade12


de gerao disponvel inferior que a carga total do sistema. A LOLE (Loss of Load Expectation) o tempo esperado durante o qual o sistema reside em estados de margem negativa, considerando um perodo de anlise T. Matematicamente igual ao produto do ndice LOLP pelo valor do intervalo T, por exemplo, um ano. O ndice EPNS (Expected Power Not Supplied) representa a potncia esperada no suprida. O ndice calculado considerando estados de reserva negativa. Matematicamente, igual ao somatrio dos produtos das probabilidades individuais dos estados de margem negativa, pelas suas respectivas magnitudes de corte de carga. A EENS (Expected Energy Not Supplied), ou energia esperada no suprida, igual ao produto do ndice EPNS pelo perodo de anlise T. O ndice LOLF (Loss of Load Frequency), ou frequncia de perda de carga, o nmero de transies ou nmero de vezes que o sistema saiu do estado de sucesso e foi para o estado de falha (ou vice-versa) em um perodo de anlise T. Se o sistema for ergdico, um espao de estados dividido em dois grupos, por exemplo, A e B, ser balanceado em frequncia, pois o nmero de transies de A para B igual ao nmero de transies de B para A, considerando o mesmo intervalo T. No clculo da LOLF somente os estados de fronteira com margem negativa (ou positiva) so relevantes. A LOLD (Loss of Load Duration) a durao mdia de perda de carga. igual razo entre os ndices LOLP e LOLF.

2.3.

MTODOS ANALTICOS

2.3.1. Consideraes Iniciais Como exposto anteriormente, um sistema de potncia est operando satisfatoriamente enquanto houver gerao disponvel suficiente para atender a demanda imposta pela carga. Portanto, somente unidades geradoras so includas na avaliao e o resto do sistema assumido perfeitamente confivel, com capacidade de transporte de energia ilimitada e sem perdas. possvel tambm admitir um nvel aproximado de perdas e inclu-las na carga total do sistema. Ao longo dos anos, diversos mtodos analticos foram surgindo, cada um deles com suas respectivas vantagens e desvantagens. As principais diferenas entre eles se encontram no13


nvel de detalhamento com que as unidades geradoras e as cargas so modeladas, assim como nas diversas hipteses assumidas. Neste trabalho, o mtodo analtico utilizado nas comparaes e testes de sensibilidade aquele descrito em [LMC91]. A referncia [LMC91] apresenta um mtodo de Frequncia e Durao (F&D) em sua forma geral, i.e. as unidades geradoras so representadas por modelos de estados mltiplos e a carga representada por nveis discretos horrios. Portando, ambos os modelos so de estados mltiplos e no necessariamente balanceados em frequncia. Tambm foi demonstrado que no somente as probabilidades dos estados de reserva podem ser avaliadas recursivamente por tcnicas de convoluo discreta, mas tambm suas respectivas frequncias incrementais. Isto possibilitou a implementao de tcnicas de truncamento e arredondamento permitindo uma eficincia computacional excelente para os ndices de F&D em sistemas reais. Basicamente, o mtodo de F&D combina, por meio de tcnicas de Markov, estados de capacidade e de carga para obter estados de reserva. Uma vez que todos os estados de reserva so determinados, os principais ndices de confiabilidade, LOLP, LOLE, EPNS, EENS, LOLF e LOLD so avaliados. A avaliao de ndices de confiabilidade da capacidade de gerao envolve trs etapas bsicas: (i) desenvolver um modelo adequado de capacidade de gerao partindo dos parmetros de cada unidade geradora; (ii) desenvolver um modelo adequado de carga a partir de dados histricos disponveis em um perodo de anlise; (iii) finalmente combinar os modelos de capacidade e carga para se obter o modelo probabilstico da reserva. 2.3.2. Modelo da Capacidade de Gerao Tendo em mente a hiptese prvia, todas as unidades de gerao podem ser combinadas para produzir uma unidade equivalente G, que ento combinada com a carga total do sistema L. No mtodo da LOLE, a unidade equivalente G pode ser descrita pela tabela de probabilidades das capacidades indisponveis (COPT). No mtodo da F&D, a frequncia incremental um parmetro fundamental e deve ser includo nesta tabela. Portanto, neste caso, a unidade de gerao equivalente G descrita por uma tabela de probabilidades e frequncias das capacidades indisponveis (COPFT) [LMC91, LCM92].

14


A unidade de gerao equivalente G pode ser expressa pela soma de NG variveis aleatrias independentes Gk representando cada unidade geradora. Este somatrio pode ser efetuado pelo seguinte processo recursivo, com k = 1, , NG 1:

Gk' +1 = Gk' + Gk +1 , onde Gk' = Gi

(2.1)

' (com i = 1, k), e o processo para quando GNG = G . Para ilustrar o

processo de combinao, (2.1) ser simplificado para G = G1 + G2 . Embora a notao seja simplificada, o desenvolvimento matemtico permanece genrico, pois G, G1, e G2 podem representar Gk' +1 , Gk' , e Gk +1 , respectivamente. O modelo das capacidades de gerao no mtodo de F&D pode ser determinado como segue: dadas as capacidades dos estados c, probabilidades p (i.e. disponibilidades) e as frequncias incrementais q de G1 = {c1 ; p1 ; q1} e G2 = {c2 ; p2 ; q2}, determinar os mesmos parmetros para a unidade equivalente G = {cG ; pG ; qG}. Os parmetros p e q so sequncias de impulsos associados com as sequncias de capacidades dos estados c. Ambas sequncias de impulsos so igualmente espaadas por meio de uma capacidade de arredondamento (rounding increment) predefinida. Foi completamente demonstrado em [LMC91] que os parmetros p e q, que caracterizam a unidade equivalente G, podem ser avaliados pelas seguintes equaes de convoluo (*):

p = p1 * p2 ,

(2.2)

q = [ p1 * q2 ] + [q1 * p2 ] .

(2.3)

As equaes (2.2) e (2.3) so ento aplicadas para avaliar o processo recursivo (2.1), e no final deste procedimento, os parmetros da unidade G so expressos pela estrutura G = {cG ; pG ; qG}, onde, por exemplo, pG(gi) o i-simo termo de uma sequncia ou do vetor pG, com dimenso NG, e representa a probabilidade associada com o estado de gerao gi. O processo de convoluo discreta pode ser efetuado utilizando a transformada rpida de Fourier [ALAB81] para acelerar o processamento computacional.15


2.3.3. Modelo da Carga do SistemaO comportamento da carga total do sistema L pode ser expresso como uma sequncia de nveis discretos de carga definidos em um perodo de anlise, assim como ilustrado na Fig. 2.1. O step de discretizao pode ser qualquer unidade de tempo desejada ou disponvel. Tambm, os nveis de carga podem ser igualmente espaados ou no. Partindo desta sequncia de carga, possvel construir um modelo de carga descrito pelos mesmos parmetros utilizados no modelo de gerao, i.e. L = {cL ; pL ; qL}, onde, por exemplo, pL(lj) um termo de um vetor (ou sequncia) pL, com dimenso NL, e representa a probabilidade associada com o estado de carga lj.

Carga [MW]

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

Unidade de Tempo [T]Fig. 2.1: Modelo de Carga - Sequncia de Nveis Discretos de Carga

Note que, para manter a definio da frequncia incremental coerente para ambos os modelos de gerao e de carga, a sequncia de capacidades de L (i.e. cL) deve ser ordenada tal que o maior estado de capacidade seja associado com o nvel mnimo de carga e, consequentemente, o menor estado de capacidade seja aquele associado com a mxima carga do sistema [LMC91].

2.3.4. Modelo da Reserva e ndices de ConfiabilidadeO modelo da capacidade da gerao, representado pela varivel aleatria G, pode ser combinado com o modelo da carga descrito pela varivel aleatria L para produzir o16


modelo da reserva (esttica) de potncia R, i.e.R=G-L, com R = {cR ; pR ; qR}, semelhante a G e L. Os ndices de confiabilidade da capacidade de gerao, LOLP, EPNS, e LOLF, podem agora ser avaliados a partir dos estados individuais de reserva de gerao e carga. Primeiro, as equaes (2.2) e (2.3) so utilizadas para se obterem as probabilidades e as frequncias incrementais que descrevem os estados da varivel R. Observe que somente aqueles parmetros do estado k de R, tal que cR(rk) = cG(gi) cL(lj) < 0, devem ser avaliados. Considerando que existam NR destes estados, ento, para k = 1, NR: (2.4)

LOLP = pR (rk ) ,k

(2.5)

LOLF = qR (rk ) ,k

(2.6)

EPNS = cR (rk ) pR (rk ) .k

(2.7)

Os outros trs ndices de confiabilidade podem ser obtidos a partir dos j previamente definidos, i.e.: LOLE = LOLP T; EENS = EPNS T; e LOLD = LOLP/LOLF, onde T representa o perodo de anlise, geralmente de 8736 ou 8760 horas (um ano).

2.4.

TCNICAS DE SIMULAO MONTE CARLO

Os mtodos baseados em tcnicas de Simulao Monte Carlo (SMC) so abordagens muito robustas para avaliar a confiabilidade de sistemas eltricos de potncia. Modelos de SMC tm sido utilizados em uma variedade de sistemas de gerao [CGOP82, PBB88]. Sem dvida, estes mtodos tm sido bastante teis na avaliao de ndices de confiabilidade, principalmente devido a sua flexibilidade e fcil implementao computacional. Outros motivos que incentivaram pesquisas nesta rea so as vantagens competitivas da SMC no17


tratamento de sistemas de grande porte e/ou com restries operativas complexas. Porm, sua principal desvantagem a necessidade (na maioria dos casos) de um tempo de processamento maior em comparao aos mtodos analticos. O principal problema dos mtodos baseados em SMC no a quantidade de estados possveis do sistema, mas a raridade dos eventos que se desejam capturar. Devido utilizao de um sistema de amostragem proporcional probabilidade de ocorrncia, eventos muito raros sero dificilmente amostrados, o que pode significar um problema grave, pois os esforos computacionais envolvidos nestas condies so muito expressivos. Isto quer dizer que um nmero muito elevado de amostras necessrio a fim de estimar as probabilidades dos eventos raros com relativa preciso, ou com intervalos de confiana estreitos. Os mtodos baseados em SMC podem ser classificados em mtodos cronolgicos (ou sequenciais) e mtodos no-cronolgicos (ou no-sequenciais). A SMC no-cronolgica tem sido uma ferramenta muito til na avaliao da confiabilidade de gerao e/ou transmisso de grandes sistemas encontrados na prtica [PB92, BL94, MPL92, LRMB04, SR08]. Mtodos baseados em SMC cronolgica so mais poderosos para avaliar a confiabilidade de sistemas de potncia mais complexos, porm o esforo computacional muito mais substancial quando comparado com os mtodos no-cronolgicos. Por este motivo, sua aplicao na avaliao da confiabilidade composta de sistemas de potncia ainda , em muitos casos, invivel. Para superar o problema do custo computacional das simulaes cronolgicas, ferramentas de SMC pseudo-cronolgicas foram propostas em [LMMB00]. A seguir, cada uma destas classificaes ser brevemente descrita.

2.4.1. SMC NO-CRONOLGICAMtodos como o da Enumerao de Estados e a Simulao Monte Carlo No-Cronolgica so exemplos de algoritmos baseados em espao de estados, onde modelos markovianos so utilizados para ambas as transies entre estados dos equipamentos e da carga. Portanto, os estados so selecionados e avaliados sem considerar nenhuma conexo cronolgica ou memria. Como nenhuma cronologia do sistema est sendo levada em considerao, estados no vizinhos, i.e. estados onde as taxas de transio entre eles so nulas, podem ser amostrados um depois do outro.18


Em geral, algoritmos baseados em espao de estados seguem trs passos principais: (i) selecionar um estado do sistema (i.e. disponibilidade dos equipamentos e nvel de carga); (ii) analisar o desempenho dos estados selecionados (i.e. verificar se a gerao total disponvel capaz de satisfazer a carga associada sem violar nenhum limite operativo; se necessrio, ativar medidas corretivas como, por exemplo, corte de carga); (iii) estimar ndices de confiabilidade (i.e. LOLP, EPNS, etc.); se as precises das estimativas so aceitveis, parar o processo; caso contrrio volte para o passo (i). O modelo analtico anterior um exemplo de representao com espao de estados, mas toda a avaliao efetuada por meio de tcnicas de convoluo discreta. Os ndices GCR podem ser estimados por meio de tcnicas de simulao Monte Carlo, como a mdia de N valores de uma funo teste H(Yi), considerando cada estado amostrado do sistema Yi (um vetor incluindo estados de gerao e de carga), i.e.:

1 ~ E[ H ] = N

H (Y ) .N i i =1

(2.8)

Todos os principais ndices GCR podem ser representados por (2.8) dependendo da definio da funo teste H. A incerteza da estimativa dada pela varincia do estimador, representado por,

~ V ( E[ H ]) = V ( H ) N ,

(2.9)

onde V(H) a varincia da funo teste. Esta incerteza geralmente representada como um coeficiente de variao denominado parmetro , muito utilizado como maneira de controlar a convergncia da simulao. O parmetro definido como,

~ ~ = V ( E[ H ]) E[ H ] .

(2.10)

A simulao no-cronolgica pode facilmente fornecer estimativas no tendenciosas para os ndices LOLP e EPNS. Neste caso, as funes testes HLOLP e HEPNS so dadas por [MPL92]:19


0 H LOLP (Yi ) = 1

se Yi Success se Yi Failure

(2.11)

0 H EPNS (Yi ) = Pi


(2.12)

onde = Success Failure o conjunto de todos os estados possveis Yi (i.e. o espao de estados), dividido em dois subespaos Success de estados de sucesso e Failure de estados de falha; Pi a quantidade de potncia cortada no estado de falha Yi . A simulao no-cronolgica pode tambm fornecer estimativas no tendenciosas para a LOLF. Neste caso, a funo teste HLOLF dada por [MPL92]:

0 H LOLF (Yi ) = i


(2.13)

onde i a soma das taxas de transio (incluindo estados de gerao e carga) entre Yi e todos os estados de sucesso, que podem ser alcanados desde Yi em uma nica transio. obvio que na avaliao de ndices GCR, para cada estado selecionado Yi Failure somente as unidades indisponveis devem ser consideradas na anlise. Outro estimador no tendencioso para o ndice LOLF proposto em [LRMB04]. Finalmente, os outros trs ndices de confiabilidade (i.e. LOLE, EENS e LOLD) podem ser facilmente avaliados.

2.4.2. SMC SEQUENCIAL OU CRONOLGICANa subseo anterior pde-se notar que as tcnicas baseadas na representao por espao de estados ignoram os aspectos relativos evoluo cronolgica do sistema. Devido a essa restrio, a aplicao das tcnicas que empregam a representao por espao de estados limita-se a sistemas onde a dependncia dos estados dos componentes com o tempo pequena, podendo ser desprezada sem ocasionar a perda de preciso dos ndices estimados. Em uma representao cronolgica, dois estados consecutivos diferem um do outro apenas pelo estado de um de seus componentes. Desta maneira, o esforo computacional requerido20


substancialmente maior que aquele apresentado pelas tcnicas baseadas em representao por espao de estados. Isso se torna mais agravante no caso da avaliao da confiabilidade composta de sistemas de potncia, pois neste caso as anlises de adequao dos estados envolvem a resoluo de um problema de fluxo de potncia timo, o que requer um esforo computacional elevado. A representao cronolgica permite, entretanto, uma abordagem com maior flexibilidade, pois possvel reproduzir aspectos temporais tais como diferentes padres cronolgicos de carga por rea ou barra do sistema, a operao dos reservatrios, entre outros aspectos dependentes do tempo. Alm disso, possvel obter as distribuies de probabilidade associadas aos ndices estimados. Essa caracterstica torna a simulao Monte Carlo sequencial a tcnica mais apropriada para lidar com sistemas nos quais a reproduo da cronologia de ocorrncia dos eventos de fundamental importncia para uma correta avaliao dos ndices de confiabilidade. Este o caso dos sistemas com elevada penetrao de energia elica, ou quando se deseja avaliar a reserva operativa.

2.4.3. SMC PSEUDO-CRONOLGICAA SMC cronolgica a ferramenta natural para simular os aspectos cronolgicos do sistema, porm, o esforo computacional muito elevado. A fim de superar estas dificuldades, uma tcnica de SMC pseudo-cronolgica foi proposta em [LMMB00]. A SMC pseudo-cronolgica retm a flexibilidade e a preciso da simulao cronolgica reduzindo o custo computacional. Nesta metodologia, os estados do sistema so amostrados de maneira semelhante SMC no-cronolgica. Quando um estado de falha encontrado, uma sequncia de interrupo obtida para este estado baseada em simulaes forward/backward conforme apresentado em [LMMB00]. A simulao forward se preocupa em identificar uma possvel sequncia cronolgica de estados de falha, partindo do estado de falha amostrado at encontrar um estado de sucesso. A simulao backward se preocupa em identificar uma possvel sequncia de estados de falha experimentados pelo sistema antes de encontrar o estado de falha amostrado, partindo deste estado at encontrar um estado de sucesso.21


2.5.

MTODOS BASEADOS EM METAHEURSTICAS

Mais recentemente, mtodos baseados em tcnicas metaheursticas tm sido utilizados na avaliao da confiabilidade da capacidade de gerao [WS08, MCRLS09]. Metaheursticas podem ser definidas como tcnicas iterativas de busca que auxiliam as heursticas combinando diferentes conceitos para explorar (exploring) e aproveitar (exploiting) o espao de solues (search space). Uma tcnica metaheurstica um mtodo informal de soluo de um problema baseado em alguma experincia prvia, ou simplesmente por bom senso, geralmente utilizado quando uma soluo formal do problema no existe, ou sua implementao no vivel. As metaheursticas, em geral, so aplicadas para resolver problemas de otimizao muito complexos, onde uma soluo tima no necessariamente o objetivo, mas sim um conjunto de boas solues. Exemplos de tcnicas metaheursticas que foram aplicadas na avaliao de ndices GCR so: Algoritmos Genticos (GA), Otimizao por Exame de Partculas (PSO), Sistemas Imunolgicos Artificiais (AIS), Otimizao por Colnia de Formigas (ACO) e combinaes e/ou variaes dos mtodos anteriormente citados. Independentemente das particularidades da metaheurstica utilizada, o algoritmo de avaliao de ndices GCR segue sempre, em geral, os mesmos passos. O objetivo principal utilizar uma metaheurstica para selecionar os estados dominantes de falha do sistema, ou seja, aqueles que tm maior contribuio nos ndices GCR. Diferentemente ao que ocorre na SMC, onde os estados so amostrados proporcionalmente a sua probabilidade de ocorrncia, nos mtodos baseados em metaheursticas os estados so selecionados medindo os seus respectivos graus de aptido avaliando-se uma funo denominada funo de fitness. As metaheursticas utilizadas so baseadas em populao. O processo comea com uma populao inicial aleatoriamente gerada, a seguir, o valor da funo de fitness de cada indivduo avaliado baseado em uma funo objetivo predefinida. Aqueles indivduos que tem os melhores valores de fitness so selecionados para gerar uma nova populao, seguindo um conjunto de regras definidas pela metaheurstica escolhida. Este processo continua at que algum critrio de parada seja atingido. Critrios de parada usualmente22


utilizados so: o nmero mximo de geraes ou iteraes, o tempo mximo de simulao, o conjunto de solues invariante aps certo nmero de geraes, etc. Uma vez que um conjunto de estados de falha sem repetio seja determinado, e este conjunto seja suficiente para ser considerado como representativo, os ndices GCR podem ser calculados analiticamente considerando somente os estados selecionados. Ao contrrio do que ocorre na SMC, somente os estados de falha do sistema so interessantes para o clculo de ndices e os estados de falha so mais provveis de serem amostrados, pois apresentam maior valor de fitness. Estes so mtodos interessantes, porm apresentam algumas deficincias. Como estes mtodos, em geral, so muito dependentes do problema em questo e da metaheurstica escolhida, um esforo considervel pode ser necessrio para especificar corretamente os parmetros inicias dos algoritmos, que sero diferentes para cada problema. O controle da convergncia do processo de otimizao tambm complicado, pois os critrios de convergncia so muito subjetivos e no estritamente definidos matematicamente. A necessidade de encontrar um vetor de resposta onde no existam estados repetidos pode ser um problema, pois um tempo considervel gasto para verificar se um estado j forma parte da soluo ou no. Finalmente, muitas informaes referentes aos estados selecionados precisam ser armazenadas para posteriormente calcular os ndices GCR, o que se traduz em um custo de memria muito elevado, podendo inclusive inviabilizar a aplicao destes mtodos em sistemas reais.

2.6.

COMENTRIOS FINAIS

Cada mtodo de avaliao de ndices GCR descrito neste captulo tem suas respectivas vantagens e desvantagens. Os mtodos analticos so praticamente imbatveis do ponto de vista computacional em sistemas pequenos, onde o nmero de estados possveis no muito elevado, porm apresentam problemas srios quando este nmero aumenta mesmo com a utilizao de algoritmos extremamente eficientes, como o caso da metodologia proposta em [LMC91]. Devido a este problema, a aplicao de mtodos analticos para a avaliao da confiabilidade composta de sistemas reais impraticvel. Outra vantagem dos mtodos analticos que, em geral, a COPT ou mesmo a COPFT do sistema obtida como

23


um subproduto do algoritmo. O desempenho dos mtodos analticos no muito sensvel raridade dos eventos de falha. Tcnicas baseadas em SMC so muito mais flexveis que os mtodos analticos podendo simular restries operativas complexas. Tambm, so muito robustos e tm grande aplicao em sistemas prticos assim como na avaliao da confiabilidade composta. O grande nmero de estados possveis de um sistema no representa um problema significativo. So, em geral, de fcil programao e fornecem estimativas no tendenciosas para os ndices GCR. O principal problema dos mtodos baseados em SMC o tempo de computao necessrio, principalmente em simulaes cronolgicas. Os tempos de simulao para uma mesma preciso pr-especificada crescem exponencialmente com a raridade dos eventos envolvidos, ou seja, neste caso, a raridade do evento torna-se o principal problema. Mtodos baseados em tcnicas metaheursticas so interessantes como uma alternativa para resolver o problema, porm, tm difcil aplicao em sistemas reais devido ao grande custo de memria e tempo necessrio para verificar a no repetio dos estados no vetor de respostas. No entanto, estes mtodos poderiam apresentar resultados interessantes se aplicados em problemas de planejamento da expanso de sistemas eltricos de potncia. Considerando as vantagem e deficincias dos mtodos anteriores, pode se concluir que os principais problemas encontrados so: o nmero de estados possveis do sistema, a raridade dos eventos de falha envolvidos, a definio de um critrio de convergncia adequado, o custo de memria, o tempo de simulao, entre outros. Especificamente no caso dos mtodos baseados em SMC, o principal problema a raridade dos eventos envolvidos. A fim de melhorar o desempenho destes mtodos, diversas tcnicas de reduo de varincia foram propostas, das quais, algumas delas sero tratadas no captulo seguinte. Um novo mtodo de avaliao de ndices GCR ser tambm apresentado que retm os pontos fortes da SMC, mas imune a problemas decorrentes da raridade dos eventos de falha.

24

CAPTULO 3APLICAO DO MTODO DA ENTROPIA CRUZADA NA CONFIABILIDADE DE GERAO3.1. INTRODUOONFORME foi discutido no captulo anterior, as tcnicas baseadas em SMC so ferramentas extremamente robustas para avaliar a confiabilidade de sistemas de

C

potncia e podem ser aplicadas para as mais diversas condies operativas. Os mtodos baseados em SMC apresentam como principais vantagens a flexibilidade e a facilidade de trabalhar com sistemas de grande porte, onde o nmero de estados possveis muito elevado. Porm, em sistemas muito confiveis, o esforo computacional necessrio para estimar os ndices com relativa preciso pode ser expressivo. O principal motivo a raridade dos eventos de falha, pois em sistemas muito confiveis estes eventos tm baixssima probabilidade de ocorrncia. A raridade dos eventos envolvidos passa a ser um problema devido prpria metodologia de amostragem na qual se baseiam os mtodos de SMC. A fim de melhorar a eficincia computacional destas ferramentas, diversas tcnicas de reduo de varincia (VRT) esto disponveis e algumas delas sero brevemente comentadas no incio deste captulo. Dentre as principais VRT, maior ateno ser conferida denominada amostragem por importncia (IS), uma tcnica que tem evoludo consideravelmente nos ltimos anos com a utilizao de algoritmos de otimizao para selecionar os elementos do vetor de parmetros de referncia. Este captulo tem como principal objetivo apresentar os conceitos fundamentais do Mtodo da Entropia Cruzada (MEC) para simulao de eventos raros; um mtodo que auxilia a IS na escolha do vetor de parmetros de referncia, e tambm apresentar como este mtodo25

CAPTULO 3 APLICAO DO MEC NA CONFIABILIDADE DE GERAO

pode ser reformulado matematicamente, partindo da sua formulao genrica, para ser aplicado no problema especfico de avaliar ndices de confiabilidade da capacidade de gerao. Ser apresentado como o MEC pode ser utilizado em conjunto com a j conhecida tcnica de IS e uma SMC no-cronolgica para estimar os principais ndices GCR.

3.2.

TCNICAS DE REDUO DE VARINCIA

Uma tcnica de reduo de varincia um procedimento utilizado em conjunto com uma SMC para aumentar a preciso das estimativas que podem ser obtidas para um nmero definido de amostras. Cada varivel aleatria obtida como resposta de uma simulao (varivel aleatria de sada), tem associada uma respectiva varincia que limita a preciso dos resultados obtidos. Por meio da utilizao de VRT, o desempenho computacional da SMC pode ser consideravelmente melhorado, pois seu principal objetivo fazer com que a simulao se torne estatisticamente eficiente, e assim, os intervalos de confiana das estimativas sejam os mais estreitos possveis. Algumas das VRT mais utilizadas so brevemente comentadas a seguir.

3.2.1. Variveis AntitticasA idia central por trs das Variveis Antitticas baseia-se na intuio de que valores extremos amostrados podem ser menos impactantes nas estimativas, se outros valores extremos so utilizados para contrabalancear os efeitos provocados por eles [F09]. No caso mais simples, considere um vetor de comprimento N/2 de amostras X que seguem uma distribuio normal, e tambm o vetor X a fim de completar as N amostras. Note que, se as amostras de X seguem uma distribuio normal com mdia e varincia 2, as amostras de X seguiram uma distribuio normal com os mesmos parmetros e 2. Mesmo que X no seja independente de X, possvel obter melhores estimativas para mdia e varincia da distribuio por esta abordagem considerando um N predefinido. Essencialmente, possvel gerar um conjunto de amostras, e complementar este conjunto com outro que segue a mesma distribuio de probabilidade. Por exemplo, uma amostra X de x que segue U(0,1), pode ser complementada por (1X), que tambm segue U(0,1). Algumas aplicaes desta VRT em sistemas de potncia podem ser encontradas em [BJ96, BJ97].26


3.2.2. Variveis de ControleA tcnica conhecida como Variveis de Controle procura utilizar a correlao entre duas variveis aleatrias para se obter uma reduo na varincia [BJ97]. Se y uma varivel aleatria que tem uma correlao positiva ou negativa com x e tem um valor esperado conhecido v = E[y], ento a varivel aleatria xc = x a(y v) um estimador no tendencioso de para qualquer nmero real a, onde a conhecido como coeficiente de controle e o valor desconhecido da mdia da varivel aleatria x. O caso especial onde a = 1 tem sido utilizado em muitas aplicaes desta tcnica na avaliao da confiabilidade de sistemas de potncia. A utilizao de +1 ou -1 para a varivel a implica que o sucesso desta tcnica dependa de y, que a varivel de controle. A utilizao de outros valores para o coeficiente a pode fazer a varincia reduzir mais rapidamente. Os limites para o coeficiente de controle e seu valor timo dependem da correlao entre a sada x e a entrada y. Um mtodo para estimar o coeficiente de controle timo pode ser encontrado em [BJ97]. Uma formulao matemtica formal do mtodo pode ser encontrada em [F09]. Exemplos de aplicaes desta tcnica em sistemas de potncia podem ser encontrados em [PAK08, BJ96, BJ97].

3.2.3. Nmeros Aleatrios em ComumA tcnica de Nmeros Aleatrios em Comum, tambm conhecida como amostragem correlacionada, uma VRT utilizada muito conhecida e til quando duas ou mais configuraes diferentes para um mesmo sistema esto sendo comparadas como, por exemplo, na teoria das filas. Esta VRT requer uma sincronizao dos vetores de nmeros aleatrios para garantir que os mesmos nmeros aleatrios sejam utilizados para simular todas as configuraes. Alm disso, tambm necessrio que cada nmero aleatrio seja utilizado sempre para o mesmo objetivo especfico independentemente da configurao simulada. Este mtodo muito simples e produz redues na varincia, porm, estes ganhos na maioria dos casos no so significativos. Outras tcnicas de reduo de varincia citadas27


nesta dissertao provaram ser muito mais poderosas. Um exemplo de aplicao desta VRT pode ser encontrado em [C90].

3.2.4. Amostragem EstratificadaEstratificao o processo de agrupar membros de uma populao em subgrupos relativamente homogneos, ou seja, que apresentem aproximadamente as mesmas caractersticas. Os estratos devem ser mutuamente exclusivos e coletivamente exaustivos, i.e. cada amostra deve pertencer unicamente a um estrato e os estratos em conjunto devem representar toda a populao. A seguir uma amostragem aleatria ou sistemtica aplicada em cada estrato. Esta VRT, em geral, melhora a representatividade da amostra e pode produzir uma mdia ponderada que tenha menor varincia que a mdia aritmtica de uma amostragem aleatria da populao. As principais vantagens deste mtodo so a possibilidade de concentrar os esforos nos estratos importantes e a possibilidade de utilizar diferentes tcnicas de amostragem para cada estrato, porm, o mtodo requer um bom conhecimento do comportamento do sistema, no til se todo o sistema relativamente homogneo e a definio dos estratos muitas vezes complicada. Uma aplicao desta tcnica em sistemas de potncia pode ser encontrada em [PAK08].

3.2.5. Amostragem por ImportnciaA tcnica de amostragem por importncia uma VRT que pode ser utilizada em conjunto com a SMC. A idia central por trs desta tcnica que certos valores da varivel aleatria de entrada tm maior impacto, em comparao a outros, no parmetro que se deseja estimar via SMC. Se estes valores ditos importantes so enfatizados amostrando-os com maior frequncia, ento a varincia do estimador ser reduzida. Portanto, a metodologia bsica da IS escolher uma distribuio que estimule o aparecimento destes valores significativos. A aplicao direta desta nova distribuio na SMC resultaria em um estimador tendencioso, porm os resultados da simulao so ponderados para compensar este efeito e desta maneira garantir que o estimador final, denominado estimador de IS, seja no28


tendencioso. A ponderao definida pela utilizao da razo de verossimilhana, que ser apresentada mais adiante. O problema fundamental encontrado durante a implementao da IS, conforme ser visto na seo seguinte, a escolha correta desta nova distribuio de amostragem. Escolher, estimar, ou determinar esta nova distribuio considerada como a arte da IS. Uma escolha correta trar como recompensa uma enorme economia em esforo computacional, porm, uma escolha equivocada ser penalizada com tempos de simulao maiores aos que seriam necessrios se uma SMC convencional fosse diretamente utilizada. Vrias maneiras de resolver este problema foram propostas em [LNR99, ZX02, PAK08, QZW08]. Dos mtodos apresentados nestas referncias, a maioria deles recai em resolver algum tipo de problema de otimizao, tal que a varincia do estimador de IS seja minimizada. Outra maneira de estimar a nova distribuio de amostragem foi proposta por Homem-deMello e Rubinstein em 2002 [HR02]. Neste trabalho, um procedimento rpido de dois estgios bem definidos foi utilizado para estimar probabilidades de eventos raros. Este procedimento era baseado em IS e a divergncia de Kullback-Leibler. Os conceitos apresentados neste trabalho, mais algumas outras contribuies, foram posteriormente organizados por Rubinstein dando origem ao denominado Mtodo da Entropia Cruzada. A formulao matemtica formal deste poderoso mtodo ser sintetizada na seguinte seo.

3.3.

O MTODO DA ENTROPIA CRUZADA

O Mtodo da Entropia Cruzada, atribudo a Reuven Y. Rubinstein, uma abordagem genrica da simulao Monte Carlo para problemas de otimizao combinatria e amostragem por importncia. O mtodo teve suas origens na rea de simulao de eventos raros, onde probabilidades muito pequenas precisam ser estimadas com preciso, por exemplo, na anlise da confiabilidade de redes, na teoria das filas, ou na anlise de desempenho de sistemas de telecomunicao. Conforme exposto na seo anterior, a tcnica de amostragem por importncia baseada na idia de fazer com que a ocorrncia de eventos significativos seja mais frequente, ou em outras palavras, acelerar o processo de convergncia da simulao. Estes eventos29


significativos so aqueles que tm maior contribuio nos parmetros sendo estimados pela SMC. Tecnicamente, a IS procura selecionar uma distribuio de probabilidade diferente da original tal que a varincia do seu estimador seja minimizada. A eficincia desta tcnica depende da obteno desta nova distribuio ou, pelo menos, uma prxima a ela. O principal problema que esta nova distribuio inicialmente desconhecida e geralmente difcil de ser encontrada. Em geral, til escolher a distribuio de IS dentro da mesma famlia de funes densidade de probabilidade (pdf) da distribuio original. Neste caso, ambas as funes tm a mesma distribuio de probabilidade e pertencem mesma famlia de pdf, sendo o conjunto de parmetros que as descrevem a nica diferena entre elas. Assim, o problema se resume em encontrar o melhor conjunto de parmetros para esta nova pdf, denominado vetor de parmetros de referncia timo. O Mtodo da Entropia Cruzada fornece um processo iterativo para estimar os parmetros de referncia timos, sendo esta sua principal vantagem. Isto possvel minimizando a distncia entre a pdf tima de amostragem e a pdf de IS [BKMR05]. A seguir, os fundamentos bsicos do MEC aplicado na simulao de eventos raros sero apresentados.

3.3.1. Formulao Matemtica BsicaSeja X = [ x1 , x 2 ,..., x n ] um vetor aleatrio que assume valores em certo espao { f ( ; ) } uma famlia de funes de densidade de probabilidade no espao

. Seja

, onde

um vetor real de parmetros. Para qualquer funo mensurvel H temos,

E [ H ( X)] = H ( x) f ( x ; )dx . Seja S (X) uma funo real no espao

(3.1)

denominada funo desempenho e

um

nmero real. Considere que o objetivo seja estimar a probabilidade sob f ( ; u) . Esta probabilidade pode ser expressa como,

l

tal que S ( X) ,

l = P {S (X) } = E [ Iu u

{ S ( X ) }

].

(3.2)30


Neste caso, H ( X) = I{expresso lgica} uma funo teste, cujo valor igual a um se {expresso lgica} tem valor booleano verdadeiro e zero caso contrrio. Se esta probabilidade

l

for

muito pequena, por exemplo, menor que 10-5 , o evento {S ( X) } pode ser considerado como um evento raro.

Uma maneira de estimar diretamente o valor de

l

utilizar a simulao Monte Carlo

convencional, i.e. retirar uma amostra aleatria X1 , X 2 ,..., X N considerando f ( ; u) e, a seguir, utilizar o estimador no tendencioso (3.3) de

l,. (3.3)

i =1

Entretanto, isto implica problemas srios quando {S ( X) } um evento raro. Se este for o caso, um grande esforo computacional ser necessrio a fim de se estimar estreito. Isto devido ao grande nmero de amostras necessrias. Uma alternativa para contornar este problema a tcnica da amostragem por importncia, i.e. retirar uma amostra aleatria X1 , X 2 ,..., X N de uma funo densidade de probabilidadeg , diferente de f, em verossimilhana (3.4),

relativa preciso, i.e. com um erro relativo pequeno ou com um intervalo de confiana

,

e avaliando

l

utilizando o estimador da razo de

i =1

conhecido que a melhor maneira de estimar uma densidade dada por,

g opt ( x) =

I{ S ( x )

= 1 I l NN

{ S ( X i ) }

f ( X i ; u) . g (X i )

l

utilizar uma mudana de medida com

}

f ( x ; u)

l

= 1 I l NN

{ S ( X i ) }

l

com

(3.4)

.

(3.5)

31


De fato, se utilizando esta mudana de medida em (3.4),

g opt ( Xi )

para todo i . Em outras palavras, o estimador (3.4) teria varincia zero, ento seria necessrio gerar N = 1 amostra. A dificuldade evidente que esta nova funo densidade de probabilidade g opt depende do valor desconhecido de se deseja estimar. Obter esta mudana de medida tima, ou pelo menos uma quase tima, partindo da pdf de amostragem original f , at encontrar a nova pdf g opt , o principal desafio. A eficincia da amostragem por importncia dependente da escolha correta desta nova pdf. Uma escolha inadequada de g poderia ter o efeito contrrio e causar com que a varincia do estimador (3.4) sob g seja maior do que seria sob a pdf original f [QZW07]. A idia agora escolher g dentro de { f ( ; u) }, i.e. g pertence mesma famlia de funes densidade de probabilidade de f . Em outras palavras, preciso encontrar um novo vetor de parmetros de referncia tal que a distncia entre as funes de densidade de probabilidade g opt e f ( ; ) seja mnima.

Na teoria de probabilidades e na teoria da informao, a divergncia de Kullback-Leibler (tambm conhecida como divergncia da informao, ganho de informao ou entropia relativa) uma medida no comutativa do afastamento ou da divergncia entre duas funes densidade f1 e f2. A divergncia de Kullback-Leibler definida como,f1 ( X) ] = f1 ( x) ln f1 ( x)dx - f1 ( x) ln f 2 ( x)dx , f 2 ( X)

D KL ( f1 || f 2 ) = E f1 [ln

onde o primeiro termo denominado de entropia de f1 e o segundo termo denominado de entropia cruzada de f1 e f 2 . Uma definio semelhante pode ser obtida no caso de variveis aleatrias discretas, trocando as funes densidade por funes de massa (pmf) e as integrais por somatrios [HR02]. Mesmo sendo usualmente entendida como uma32

I{ S ( Xi )

}

f ( X i ; u)

=l,

(3.6)

l , que justamente o valor que

(3.7)


mtrica de distncia, a divergncia de Kullback-Leibler no uma verdadeira medida de distncia, pois ela no simtrica (por isso utiliza-se o termo divergncia em vez de distncia). Minimizar a divergncia de Kullback-Leibler entre g opt e f ( ; ) em (3.5) equivalente a escolher tal que a entropia cruzada de g opt e f ( ; ) seja mnima [BKMR05]. Isto equivalente a encontrar o mximo da entropia cruzada com sinal invertido, resultando no problema de maximizao (3.8),

max g opt ( x) ln f ( x ; )dx .

(3.8)

Substituindo g opt (x) de (3.5) em (3.8), o seguinte problema de otimizaao obtido, I{ S ( x ) max

}

f ( x ; u)

l

ln f ( x ; )dx ,

(3.9)

que equivalente ao problema,

onde D() est implicitamente definido em (3.10). Utilizando amostragem por importncia novamente, com uma mudana de medida f ( ; ) , possvel escrever (3.10) como, max D() = max E [ I{S ( X )

}

W ( X ; u , ) ln f ( X ; )] ,

para qualquer vetor de parmetros , onde, f ( x ; u) f ( x ; )

W ( x ; u , ) =

max D() = max E u[ I{S ( X )

}

ln f ( X ; )] ,

(3.10)

(3.11)

(3.12)

33


a razo de verossimilhana em x , entre f ( ; u) e f ( ; ) . A soluo tima de (3.11) pode ser escrita como,* = argmax E [ I{ S ( X )

}

W ( X ; u, ) ln f ( X ; )] .

(3.13)

possvel estimar * solucionando o seguinte problema de otimizao estocstico, tambm conhecido como correspondente estocstico de (3.11),

i =1

onde X1 , X 2 ,..., X N uma amostra aleatria considerando f ( ; ) . Em aplicaes tpicas a funo D() em (3.14) convexa e diferencivel em relao a e, portanto, a soluo pode ser diretamente obtida resolvendo (em relao a ) o seguinte sistema de equaes, 1 N I N i =1 { S ( X i ) onde o gradiente em relao a . A principal vantagem do MEC que a soluo de (3.15) pode ser frequentemente calculada analiticamente. Em particular, isto acontece se as distribuies das variveis aleatrias envolvidas pertencem famlia natural de exponenciais (NEF) ou no caso de distribuies com domnio finito. Demonstraes matemticas formais podem ser encontradas em [HR02]. Minimizar a varincia do estimador (3.4) equivalente a minimizar o valor esperado da razo de verossimilhana condicionado ocorrncia do evento raro [QZW08]. Note que minimizar a entropia cruzada equivalente a minimizar o valor esperado do logaritmo natural da razo de verossimilhana, condicionado ocorrncia do evento raro. Isto em certa maneira prximo mas no idntico a minimizar a varincia do estimador. Ou seja, em termos da varincia do estimador, o MEC no busca a soluo tima. Porm, buscar34

}

W ( Xi ; u, ) ln f ( Xi ; ) = 0 ,

1 * = max D() = max N

IN

{ S ( Xi ) }

W ( Xi ; u, ) ln f ( Xi ; ) ,

(3.14)

(3.15)


minimizar a varincia do estimador leva a tentar resolver um problema de otimizao estocstico complicado e que, na maioria dos casos, no tem convexidade podendo levar a timos locais. Contrariamente, o MEC recai em problemas que na maioria dos casos so convexos facilitando o encontro da soluo, e em muitas aplicaes a soluo pode ser encontrada analiticamente [HR02]. 3.3.2. Abordagem de Nveis Mltiplos para Eventos Raros importante notar que a soluo via (3.14) til somente quando P u {S ( X) } no representa um valor muito pequeno, i.e. eventos raros (quando, por exemplo,

l 10-5

-5

. Entretanto, para probabilidades de

l < 10

), a abordagem descrita por (3.14) difcil de}

i =1,2,,N, sero iguais a zero, para um N moderado [BKMR05]. Um algoritmo de nveis mltiplos pode ser utilizado para superar esta dificuldade. A idia construir uma sequncia de parmetros de referncia {k , k 0} e uma sequncia de nveis { k , k 1} , e iterativamente achar os valores de k e

k

. Para isto, inicializada

uma varivel denominada parmetro de nveis mltiplos com um valor, por exemplo, de = 10-2 sendo definido 0 = u . A seguir, se faz

< tal que, sob a funo de densidade1

. O vetor 1 ser igual ao vetor de parmetros de referncia timo para estimar

estes dois ltimos passos so repetidos iterativamente com o objetivo de se estimar o par {l, *} . Em outras palavras, cada iterao do algoritmo consiste em duas fases principais. Na primeira fase, com 0

atualizado, e na segunda = u , encontrado como segue.k k

k atualizado. Especificamente, comeando

Para um dado k -1 , seja

k

igual ao (1 - ) quantil de S (X) sob k -1 . Ou seja,

de probabilidade original f ( ; u) , a probabilidade de

l

1

= E u [ I{ S ( Xi )

1 }

] seja pelo menos

l

1

k

satisfaz,

ser efetuada. De fato, devido raridade dos eventos, a maior parte dos valores de I{ S ( X i )

,

,e

35


P k -1 {S ( X) k } , P k -1 {S ( X) k } (1 - ) ,

(3.16a)

(3.16b)

onde X ~ f ( ; k -1 ) . Uma estimativa simples

k

de

k

pode ser obtida retirando-se uma

amostra X1 , X 2 ,..., X N aleatoriamente de f ( ; k -1 ) , calculando-se os desempenhos S ( Xi ) para todo i, ordenando estes valores do menor ao maior, tal que S[1] S[2] ... S[N] e finalmente avaliando o (1 - ) quantil amostral como,

k

= S[(1- ) N ] .

(3.17)

Portanto, na primeira iterao e comeando com 0 = u , para se obter uma boa estimativa

de 1 , a raridade do evento objetivo artificialmente diminuda (temporariamente)utilizando-se um nvel

1

que escolhido menor que

. O valor de

1 obtido desta

maneira far o evento {S ( X) } ser menos raro na prxima iterao, de tal maneira que na prxima iterao, um valor

2

mais prximo de

poder ser utilizado. O algoritmo

termina quando, para alguma iterao k, um nvel consequentemente, o valor original de poucas amostras de elite.

k

atingido que seja pelo menos

e,

pode ser utilizado sem a preocupao de se obter

3.3.3. Algoritmo do MEC para Simulao de Eventos Raros

At aqui, um algoritmo bem genrico do mtodo da entropia cruzada para simulao de eventos raros pode ser resumido como segue. Definir 0 := u . Fazer k := 1 (contador de iteraes). Gerar uma amostra aleatria X1 , X 2 ,..., X N de acordo com a pdf f ( ; k -1 ) .

Passo 1.

Passo 2.

Calcular os desempenhos S ( Xi ) para todo i, e ordenar os valores do menor ao maior tal

36


que, S[1] S[2] ... S[N] . Fazer seja,

k

igual ao (1 - ) quantil amostral de desempenhos, ou

k

:= S[(1- ) N ] , caso este valor seja menor que

. Caso contrrio,

k

:= .

Passo 3.

Utilizar a mesma amostra para calcular o vetor de parmetros da iterao k.

Para cada j, com j=1,2,,J, utilizar a expresso (3.18), onde J o nmero de variveis aleatrias envolvidas.

k , j =

i =1 N

i =1

Passo 4.

Se

k

= , ento ir para o Passo 5; caso contrrio, fazer k := k + 1 e voltar

para o Passo 2. Seja T a ltima iterao. Gerar uma amostra X1 , X 2 ,..., X N1 de acordo com

Passo 5.

f ( ; T ) e estimar

l utilizando o estimador de amostragem por importncia, = 1 I l NN11 i =1

{ S ( X i ) }

Note que nos Passos 2-4 o vetor de parmetros de referncia timo a ser utilizado na amostragem por importncia estimado. No passo final, este vetor de parmetros de referncia utilizado para estimar a probabilidade do evento objetivo. preciso fornecer o valor de (usualmente entre 0,01 e 0,1) e os parmetros N e N1 a priori. Tambm, possvel demonstrar que se as funes de densidade de probabilidade das variveis aleatrias envolvidas pertencem famlia natural de exponenciais, a soluo do sistema de equaes apresentado em (3.15) sempre se torna semelhante a (3.18) [BKMR05, RK04].

I

{S ( X i )

IN

{S ( X i ) k }

W ( X i ; u, k -1 )X ij (3.18)

k } W ( X i ; u, k -1 )

W ( X i ; u, T ) .

(3.19)

37


3.3.4. Parmetro de Suavizao

Em problemas envolvendo variveis aleatrias discretas frequentemente vantajoso a utilizao de um parmetro de suavizao , que tem por objetivo acrescentar um efeito inercial no processo de atualizao dado por (3.18). O desempenho em certos casos melhor, principalmente quando se deseja estimar a probabilidade de eventos extremamente raros. Utilizando-se o parmetro se evita o aparecimento de zeros e uns no vetor de parmetros de referncia, o que pode trazer complicaes, pois sempre que isso acontece o sistema, ou o problema em questo, essencialmente modificado. Este processo de atualizao com efeito inercial pode ser escrito como, k , j = k , j + k -1, j (1 - ) ,

(3.20)

onde k , j o valor resultante da expresso (3.18) na iterao k, k -1, j o valor resultante da expresso (3.20) na iterao k-1 e o denominado parmetro de suavizao que usualmente assume valores reais entre 0,5 e 0,95. Claramente, para = 1 , se tem a regra de atualizao (3.18) original.

3.4.

APLICAO DO MEC NA AVALIAO DE NDICES DE CONFIABILIDADE

Nesta seo ser apresentada uma nova metodologia para avaliar os ndices de confiabilidade da capacidade de gerao utilizando o MEC. Os principais conceitos do MEC aplicado na simulao de eventos raros foram apresentados na seo 3.3. A idia da metodologia proposta utilizar o algoritmo apresentado na seo anterior e adapt-lo para o problema especfico de estimar os ndices de confiabilidade em um sistema de gerao de barra nica. As estaes geradoras seguem distribuies binomiais e so compostas por diversas unidades independentes com caractersticas idnticas. O modelo da carga pode ser representado por um nvel constante ao longo do perodo de anlise ou por nveis discretos diferentes que variam a cada T, por exemplo, de uma hora. Dependendo do grau de confiabilidade do sistema, uma tentativa de se estimar os ndices diretamente por SMC no-cronolgica pode ser invivel. Em sistemas muito confiveis38


seria necessrio um nmero muito elevado de amostras para se estimar os eventos raros envolvidos, o que se traduz em um grande esforo computacional. Utilizando amostragem por importncia, possvel selecionar uma funo densidade de probabilidade diferente da original, e amostrar os estados do sistema considerando esta nova distribuio. A idia encontrar uma nova pdf tal que os estados de falha sejam encontrados com maior frequncia e, desta maneira, acelerar o processo de convergncia dos principais ndices de confiabilidade. O mtodo proposto apresenta duas etapas bem diferenciadas. Em um primeiro momento, o algoritmo do MEC para simulao de eventos raros ser utilizado para se estimar um vetor de parmetros de referncia timo ou, pelo menos, quase timo. Nesta etapa, as disponibilidades das mquinas individuais sero distorcidas de tal maneira a aumentar a frequncia com que os estados de falha so encontrados. Uma vez determinada esta distoro tima para o sistema, i.e. uma regra de amostragem tima, os ndices LOLP, LOLE, EPNS, EENS, LOLF e LOLD so estimados utilizando-se a j conhecida tcnica da amostragem por importncia. A convergncia dos ndices ser controlada pelo valor do parmetro especificado. O mtodo proposto denominado CE-ISMC (Cross-Entropy-Importance Sampling Monte Carlo), ser aplicado em diversos sistemas testes padres, e seu desempenho ser discutido e comparado com outros mtodos tradicionalmente utilizados na avaliao da confiabilidade de gerao. Os principais resultados destas comparaes, dos testes de sensibilidade e das diversas simulaes sero apresentados no captulo seguinte.3.4.1. Reformulao do Problema

Considere um sistema de gerao composto por NC estaes geradoras conforme ilustrado na Fig. 3.1. Tambm, considere que a j-sima estao (GSj) est composta por n j unidades idnticas e independentes, cada uma com capacidade C j . O comportamento de cada unidade individual segue uma distribuio de Bernoulli com indisponibilidades u j .

Sob estas consideraes, cada estao geradora uma varivel aleatria binomial com uma funo massa de probabilidade f ( ; n j , u j ) . Note que, na definio da funo massa,39


indisponibilidades so utilizadas em vez de disponibilidades. Considere tambm que a carga do sistema igual a L com um nvel constante ao longo do perodo de anlise.

Fig. 3.1: Sistema de Gerao - Barra nica

O problema analtico de avaliar o ndice LOLP pode ser descrito por,

LOLP = Eu [ H LOLP ( X)] =

HXk

LOLP

( X k ) f ( X k ; n, u ) ,

(3.21)

onde:X k um possvel resultado do vetor aleatrio X = [ x1 , x2 , ... , x j , ... , xNC ] que pertence ao

espao de estados

, cujo elemento genrico x j representa o nmero de unidades

disponveis na estao geradora GSj , com x j Z e 0 x j n j ; LOLP (Loss of Load Probability) o somatrio das probabilidades de todos os estados de onde a capacidade de gerao insuficiente para atender L; H LOLP ( X k ) = I{ S ( X k ) < L} , conhecida como funo teste para o ndice LOLP. H LOLP ( X k ) = 1 , se { S ( X k ) < L } verdadeiro e H LOLP ( X k ) = 0 , caso contrrio. Esta funo teste similar definida em (2.11), mas foi adaptada conforme a notao utilizada em [RK04] e [RK07]; f ( X k ; n, u) a probabilidade ou proporo do tempo que o sistema reside em X k considerando a funo massa de probabilidade associada a X, f ( ; n, u) ;

40


u = [u1 , u2 , ... , u j , ... , u NC ] ,

um

vetor

que

contm

os

parmetros

originais

(indisponibilidades) do sistema com u j R e 0 < u j < 1 ;n = [n1 , n2 , ... , n j , ... , nNC ] um vetor constante com o nmero de unidades existentes em

cada estao geradora GSj , com n j Z e n j > 0 .

A expresso S ( X k ) representa uma funo desempenho no espao de estados

. Neste

caso S ( X k ) basicamente o somatrio de todas as capacidades de gerao disponveis associadas com o estado X k dado por,

S ( X k ) = X k C T = [ x1 , x 2 , ... , x j , ... , x N C ][C1 , C 2 , ... , C j , ... , C N C ]T .

(3.22)

Como todas as variveis aleatrias envolvidas seguem uma distribuio binomial, o valor da funo massa de probabilidade definida em X k sob f ( ; n, u) da forma,

f ( X k ; n , u) = NC j =1

n j! x j !(n j - x j )!

(1 - u j ) x j (u j ) n j - x j .

(3.23)

Considere que o objetivo seja estimar o valor do ndice LOLP por simulao, tal que, LOLP = P u {S ( X) < L} = E u [ I{ S ( X ) < L} ] , (3.24)

i.e. a probabilidade da capacidade de gerao disponvel ser insuficiente para atender L. A fim de estimar o ndice LOLP em (3.24), uma simulao Monte Carlo no-cronolgica pode ser utilizada, i.e. retirar uma amostra X1 , X 2 ,..., X N onde X ~ f ( ; n, u) , e em seguida utilizar o estimador no tendencioso para o ndice LOLP,

^ 1 LOLP = N

IN i =1

{ S ( X i ) < L}

.

(3.25)

41


No entanto, se o nvel de carga L e/ou as indisponibilidades u j so pequenas, o ndice LOLP ter um valor muito baixo, pois o evento {S ( X) < L} ser extremamente raro. Em consequncia, o estimador (3.25) requer um grande esforo computacional, i.e. N precisa ser muito grande para poder estimar o ndice LOLP com um baixo nvel de incerteza . A fim de acelerar o processo de convergncia, tcnicas de IS devem ser utilizadas, e outro estimador no tendencioso para o ndice LOLP dado por,

^ 1 LOLP = N

IN i =1

{ S ( X i ) < L}

W ( X i ; n, u, v ) ,

(3.26)

onde W ( X i ; n, u, v ) a denominada razo de verossimilhana, e representa uma correo que deve ser realizada no processo de amostragem devido utilizao da funo massa de probabilidade (pmf) f ( ; n, v ) , que diferente da pmf f ( ; n, u) original. No caso das variveis aleatrias binomiais, o valor da razo de verossimilhana definido para um estado X k e dado por,

W ( X k ; n , , ) =

f ( X k ; n, ) = f ( X k ; n, )

x !( nj =1 j

x !(nJ j =1 J j

n j!j

- x j )! n j!j

p j j (1 - p j )xj

x

n j -x j

. p ' j (1 - p ' j )n j -x j

(3.27)

- x j )!

No caso especfico do problema apresentado nesta seo, a expresso (3.27) finalmente resulta em,

W ( X i ; n , u, v ) =

f ( X i ; n, u ) = f ( X i ; n, v )

(1 - u )NC j

xj

(u j ) n j - x j.(3.28)

(1 - v )j j =1

j =1 NC

xj

(v j )

nj -x j

Uma distoro das probabilidades do espao de estados

determinada pelo vetor de

parmetros v = [v1 , v2 , ... , v j , ... , vN C ] . O problema agora consiste em escolher o melhor

42


conjunto de parmetros de referncia v tal que o esforo computacional da simulao seja reduzido o mximo possvel.3.4.2. Algoritmo da Abordagem Baseada no MEC

Utilizando os conceitos do MEC apresentados na seo anterior, a idia estimar o vetor de parmetros de referncia timo v opt tal que a divergncia de Kullback-Leibler seja mnima entre f ( ; n, v opt ) e f ( ; n, v ) . Isto atingido pelo subsequente algoritmo de dez passos, onde o Passo 1 o processo de inicializao, Passos 2-6, representam a abordagem de otimizao do MEC, e os Passos 7-10 so a SMC no-cronolgica otimizada com IS. Alm disso, todo o desenvolvimento ser baseado no ndice LOLP e os outros ndices GCR sero discutidos na subseo seguinte. As caractersticas das estaes geradoras, o nvel de carga L e todos os

Passo 1.

parmetros iniciais so especificados. Devem ser especificadas as capacidades das unidades ( C j ), taxas de falha e reparo ( j e j ), nmero de unidades por estao geradora ( n j ) e o nvel de carga (L). As disponibilidades e indisponibilidades so calculadas para o regime permanente a partir das taxas de falha e reparo em (3.29a) e (3.29b), respectivamente.

1- uj =

j j + j

(3.29a)

uj =

j j + j

(3.29b)

O parmetro de suavizao , em geral, igual a um. Valores diferentes de um (tipicamente entre 0,80 e 0,99) so utilizados somente nos casos onde a distoro tima do espao de estados crtica. Uma distoro exagerada pode levar apario de zeros ou uns no vetor de parmetros v , modificando desta maneira o problema original. O parmetro de nveis mltiplos (com valores tpicos entre 0,01 e 0,1) e o nmero de amostras N (por exemplo, 20000 amostras) devem ser especificados para os Passos 2-6 do algoritmo. O43


coeficiente de variao LOLP (e.g. entre 1% e 5%) deve ser especificado para os Passos 710. Para estes mesmos passos possvel definir um nmero mximo de iteraes NMAX. Definir v 0 := u , ou seja, v 0 ser igual ao vetor de indisponibilidades originais

Passo 2.

do sistema de gerao; logo fazer k := 1 (contador de iteraes do processo de otimizao do MEC). Gerar N amostras aleatrias X1 , X 2 ,..., X N de estados de gerao, de acordo

Passo 3.

com a funo massa de probabilidade f ( ; n, v k -1 ) . Avaliar a funo desempenho S ( Xi ) para todo Xi de acordo com (3.22) e ordenar os resultados em ordem decrescente tal queS=[ S[1] , S[ 2 ] , ... , S[ N ] ] e S[1] S[ 2 ] ... S[ N ] .

Passo 4.

O prximo passo encontrar o valor de Lk , ou seja, o nvel de carga que ser

considerado na iterao k. O valor de Lk ser uma aproximao do ( ) quantil amostral tal que Lk := S[(1- ) N ] . Em outras palavras, calcular o valor de (1 - ) N, e utilizar esse valor

como um ponteiro r. Lk ser igual ao valor da r-sima posio do vetor S caso S[(1- ) N ] > L . Se S[(1- ) N ] L , fazer Lk := L . Avaliar a funo teste H ( Xi ) = I{ S ( Xi

) < Lk }

para

todo Xi . Avalie tambm a razo de verossimilhana W ( Xi ; n, u, v k -1 ) para todo Xi de acordo com (3.28). O vetor de parmetros de referncia v k ser agora encontrado resolvendo o

Passo 5.

problema de otimizao estocstico (3.30),

v k = max vk

1 N

IN i =1

{ S ( Xi )< Lk }

W ( X i ; n, u, v k -1 ) ln f ( X i ; n, v k ) .

(3.30)

Considerando que a distribuio binomial pertence famlia natural de exponenciais, a soluo de (3.30) pode ser encontrada analiticamente resolvendo o sistema de equaes (3.31),

44


1 N I W ( X i ; n, u, v k -1 ) ln f ( X i ; n, v k ) = 0 . N i =1 { S ( X i ) < L k } No caso da distribuio binomial, a soluo de (3.31) finalmente resulta em, N I{ S ( X i ) < Lk }W ( Xi ; n, u, v k -1 )X ij 1 i =1 , = nj N I{S ( X i ) < Lk } W( Xi ; n, u, v k -1 ) i =1

(3.31)

vk , j

(3.32)

com j = 1,2, ... , N C . Caso 1, corrigir vk , j de maneira semelhante a (3.20). Note que no processo de estimao do vetor v k , definido em (3.32), somente amostras de elite so significativas, i.e. Xi tal que I{ S ( X ) < L } = 1 . i k

Passo 6.

Caso Lk = L , ento o fim do processo de otimizao baseado no MEC (em

k = K ) e continuar no Passo 7; caso contrario incrementar o contador de iteraes k := k + 1 e recomear o processo iterativo desde o Passo 3. O vetor de referncia timo v opt foi estimado utilizando o MEC nos Passos 1-6.

Passo 7.

Seja K a ltima iterao da primeira etapa do algoritmo. Considere que v opt seja

aproximadamente igual a v K . Agora, uma SMC no-cronolgica e a VRT de IS seroutilizadas para estimar o ndice de confiabilidade LOLP. Fazer o novo contador de iteraes N1 := 0 .

Passo 8.

Gerar uma amostra X N1 de acordo com a pmf f ( ; n, v K ) , fazer N1 := N1 + 1 .Avaliar H LOLP ( X N1 ) = I{S ( X N , W ( X N1 ; n, u, v K ) e tambm o estimador no

Passo 9.

1

) < L}

tendencioso para o ndice LOLP na iterao i como segue:N ^ 1 1 LOLP = W ( X i ; n, u, v K ) . I N 1 i =1 {S ( Xi ) < L}

(3.33)

45


Passo 10. Calcule o coeficiente de variao N1 . Se N1 LOLP ou N1 NMAX, pare o algoritmo, caso contrrio, volte ao Passo 8. A fim de tornar o processo da SMC mais eficiente, a convergncia pode ser verificada em blocos de, por exemplo, 1000 amostras.

3.4.3. Distoro do Espao de Estados e ndices de ConfiabilidadeAt aqui, o mtodo de avaliao da confiabilidade da capacidade de gerao via o MEC tem mencionado somente o ndice LOLP. Alm disso, a carga foi fixada somente em um nvel. Note que a distoro do espao de estados estimada para o pico de carga L. A distoro poderia ser baseada em um nvel L diferente de L, porm, no caso da carga ser constante no perodo de anlise, o melhor desempenho em termos de tempo de simulao sempre obtido ajustando o algoritmo para L. Suponha que a distoro do espao de estados ajustada para um nvel de carga L. Basicamente aumentado L, partindo do nvel timo L, a distoro do espao de estados

ser cada vez menor, pois v K vai se aproximando cada vez mais de u . De fato, no limiteonde L igual capacidade instalada do sistema mais um acrscimo infinitesimal (neste caso todas as amostras sero elite), quando N

, temos v K u e W( Xi ; n, u, v K ) 1

para todo Xi , o que implica trabalhar com a simulao Monte Carlo no-cronolgica convencional. Alm disso, diferentes estados de falha no contribuem na mesma proporo para os ndices de confiabilidade. Diminuindo L, partindo do nvel timo L, far com que estados

Xi

extremamente raros sejam amostrados, porm, uma vez compensados com

W ( X i ; n, u, v K ) ser verificado que estes estados em quase nada contribuem para os ndices de confiabilidade, pois W ( X i ; n, u, v K ) ser prximo de zero. Em concluso, em um sistema de gerao com carga constante L, o melhor desempenho sempre obtido fazendo L=L, ou seja, ajustando a distoro do espao de estados para o pico de carga. A Fig. 3.2 apresenta os tempos de simulao necessrios para avaliar o ndice LOLP quando L assume valores acima e abaixo da carga pico L

Modelos de Capacidade e Carga

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