Modelos de Programacao Linear

Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais (PUC/MG)Instituto de Informática – Sistemas de Informação – BarreiroDisciplina: Matemática Computacional - NoiteProfessor: João Fernando M. Sarubbi

MODELOS DE PROGRAMAÇÃO LINEAR

Uma companhia de mineração possui duas diferentes minas que produzem um minério que, depois de ser triturado, é classificado em três classes: qualidade superior (A), média(B) e baixa (C). A companhia tem um contrato para abastecer uma fundição com 12 toneladas de minério de classe A, 8 toneladas de minério de classe B e 24 toneladas de classe C, por semana. As duas minas possuem diferentes características de operação, definidas a seguir:

Mina Custo por dia ($) Produção (tons/dia) A B CX 180 6 3 4Y 160 1 1 6

Quantos dias por semana cada mina deve operar para satisfazer o contrato da planta de fundição ?[Embora este seja um exemplo muito simplificado, este é o primeiro passo para progredir até problemas mais complicados e realísticos]

Sugestões intuitivas: - um dia por semana de trabalho na mina X e um dia na mina Y.Esta sugestão não é muito boa, pois resulta em somente 7 toneladas de minério tipo A por semana, insuficiente para cumprir a exigência de 12 toneladas por semana. Tal solução é denominada não-factível.

- 4 dias de trabalho por semana para a mina X e 3 dias/semana para a mina Y.Esta parece ser uma sugestão melhor, pois proporciona suficiente minério para atender o contrato (27 ton. min. A, 15 ton. min. B, 34 ton. min. B) . Tal solução é dita factível, embora muito custosa (portanto não necessariamente adequada.

Solução otimizada do problemaO que temos até agora é uma descrição verbal do Problema da Duas Minas. O que necessitamos agora é traduzir a descrição verbal em uma equivalente descrição matemática. Ao lidar com problemas desse tipo devemos considerar as seguintes partes:1. Variáveis,2. Restrições,3. Objetivo.

1. Variáveis


Elas representam "as decisões a serem tomadas", ou as "incógnitas". Sejamx = o número de dias/semana de operação da mina X,y = o número de dias/semana de operação da mina Y,Notemos que x>=0, y>=0. 2. Vínculos ou restrições2.1 Expressão matemática das condições exigidas pelo contrato:

Minério A 6x + 1y >= 12 B 3x + 1y >= 8 C 4x + 6y >= 24

Notemos aqui o sistema acima envolve desigualdades, de modo que podemos produzir mais minério do que necessário. De fato, temos a seguinte regra: dada uma escolha entre igualdade e uma desiguladade, devemos escolher a desigualdade. Por exemplo, se escolhemos uma igualdade para as condições de fornecimento de minério, temos três equações, 6x+y=12, 3x+y=8 e 4x+6y=24. O correspondente sistema não possui solução (o sistema é super-determinado). 2.2 Restrição dos dias por semanaTemos um número máximo dias de trabalho por semana em cada mina, por exemplo, 5. Ou seja,x<=5y<=5

Restrições deste tipo são chamadas implícitas, pois são implícitas na definição das variáveis.

3. ObjetivoNosso objetivo é minimizar o custo de produção, ou seja, devemos minimizar 180x+160y.

Temos agora uma completa representação matemática do problema, dada porMinimizar:180x+160y sujeito a6x+y>=123x+y>=84x+6y>=24x<=5y<=5x,y >=0

Representação Gráfica do Problema


Exemplo 2:

Certa empresa fabrica dois produtos P1 e P2. O lucro unitário do produto P1 é de R$ 1.000 e o lucro unitário de P2 é de R$ 1.800. A empresa precisa de 20 horas para fabricar uma unidade de P1 e de 30 horas para fabricar uma unidade de P2. O tempo anual de produção disponível para isso é de 1.200 horas. A demanda esperada para cada produto é de 40 unidades anuais de P1 e 30 unidades de anuais de P2. Qual é o plano de produção para que a empresa maximize o seu lucro nesses itens? Construa o modelo de programação linear para esse caso.

Variáveis de decisão:

X1 – Unidades a serem produzidas do produto 1.X2 – Unidades a serem produzidas do produto 2.

Função objetiva:

Maximizar : 1000X1 + 1800X2

Restrições:

20X1 + 30X2 <= 1200

X1 <= 40X2 <= 30

Exemplo 3:


Um sapateiro faz 6 sapatos por hora, se fizer somente sapatos, e 5 cintos por hora, se fizer somente cintos. Ele gasta 2 unidades de couro para fabricar uma unidade sapato e 1 unidade de couro para fabricar uma unidade de cinto. Sabendo-se que o total disponível de couro é de 6 unidades e que o lucro unitário por sapato é de R$ 5 e o do cinto é de R$ 2, pede-se: o modelo do sistema de produção do sapateiro, se o objetivo é maximizar o seu lucro por hora.


X1 – Unidades de sapato por hora.X2 – Unidades de cinto por hora.

Função objetiva:

Maximizar : 5X1 + 2X2

Restrições:

2X1 + 1X2 <= 6 (couro)

5X1 + 6X2 <= 30 (tempo)

X1 >= 0

X2 >= 0

Exemplo 4:

Para uma boa alimentação, o corpo necessita de vitaminas e proteínas. A necessidade mínima de vitaminas é de 32 unidades por dia e de proteínas é de 36 unidades por dia. Uma pessoa tem disponível carne e ovos para se alimentar. Cada unidade de carne contém 4 unidades de vitaminas e 6 unidades de proteína. Cada unidade de ovo contém 8 unidades de vitaminas e 6 de proteínas. Qual a quantidade diária de carne e ovos que deve ser consumida para suprir as necessidades de vitaminas e proteínas com o menor custo possível? Cada unidade de carne custa R$ 3 e cada unidade de ovo custa R$ 2,5.


X1 – Unidades de carne ingerida por dia.X2 – Unidades de ovo ingerida por dia.


Função objetiva:

Minimizar : 3X1 + 2,5X2

Restrições:

4X1 + 8X2 >= 32 (vitaminas)

6X1 + 6X2 >= 36 (proteínas)

X1 >= 0

X2 >= 0

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