Modelos de Redes Complexas

Ricardo Prudêncio

Como as redes se formam?

Redes AleatóriasErdõs e Rényi (50-60)

Redes Aleatórias

• Erdõs e Rényi - Random Graph Model• Conjunto fixo de n nós• links se formam de maneira puramente aleatória

• G(N,p)

Número de nós do grafo

Probabilidade de ocorrência de uma aresta entre dois nós

Suposição básica: Arestas são criadas de forma aleatória com igual probabilidade independente dos nós

Redes Aleatórias• G(N,p) tem propriedades que pode ser

definidas de forma analítica

• Tamanho médio <L>

• Grau médio

L LP(L)pN(N 1)2L0

N(N 1)2

k 2L /N p(N 1)

Redes Aleatórias

• G(N,p) não define uma única rede – i.e., Pode levar a diferentes realizações (conjunto

de redes possíveis com diferentes probabilidades)

N=10 p=1/6

O que fazer com esse modelo?!

Simulações!!!

Redes Aleatórias - Evolução

• Redes complexas evoluem a partir da conexão de nós inicialmente isolados

• Qual o tamanho esperado do maior componente da rede???

Redes Aleatórias - Evolução

• Na maioria das redes, é crucial existir um componente gigante com alta fração dos nós– E.g., Estruturas de comunicação não são úteis sem um

componente gigante

– E.g., Em redes sociais, um componente gigante é condição para observar uma divulgação

• Quando a rede emerge a partir de um conjunto desordenado de indivíduos pouco conectados?

Redes Aleatórias - Evolução

• Tamanho médio do componente gigante sobre diferentes realizações do modelo aleatório

Grau médio <k>

Componente Gigante (Fração em relação a N - %)

1

100%

Transição de fase

Transição de fase = tamanho do componente gigante começa a crescer exponencialmente

Redes Aleatórias - Evolução

• A medida que a rede cresce:– Um componente gigante emerge quando o grau

médio ultrapassar um limiar (baixo)– O restante dos nós compõem um número de

componentes pequenos sem conexão

Redes Aleatórias

• Outras características importantes– Distância entre nós– Distribuição do grau dos nós– Transitividade (coeficiente de clustering)

Redes Aleatórias – Distância dos Nós

• Distância entre nós é pequena (fenômeno de mundo pequeno)

• Distância cresce apenas de forma logaritmica com o tamanho da rede

Redes Aleatórias – Grau do Nós

• Distribuição do Grau

Seleciona k nós de N-1

Probabilidade de ter k arestas

Probabilidade de não observar N-1-k arestas

P(k) N 1k

pk (1 p)(N 1) k

Crítica- Existe uma quantidade razoável de nós com grau próximo à média- Existe uma quantidade pequena de nós cujo grau difere muito da médiaIsso não acontece comumente em redes reais

Redes Aleatórias - Transitividade

• Coeficiente de Clustering – Qual a probabilidade de dois nós com um vizinho

em comum serem conectados?

– Em um modelo G(N,p), temos simplesmente:

?

A B

C

1

N

kpC

Transitividade

Crítica: - C tende a zero para N grande e um

grau médio fixoIsso também não ocorre com frequência em redes reais

Redes Aleatórias

• Crítica: modelo inadequado para descrição de fenômenos reais– E.g. coeficiente de clustering e distribuição de grau não

refletem o que se observa em redes reais

• Entretanto: – (1) bastante usado para simulações e comparações com

redes reais– (2) fácil de analisar fenômenos que ocorrem no mundo

real• E.g. evolução para redes altamente conectadas

Redes de Mundo PequenoWatts and Strogatz, Nature, (1998).

Fenômeno de Mundo Pequeno

• Distância entre nós de uma rede é tipicamente pequena

• Independente do tamanho da rede

• Experimento de Milgram (1960)– Seis graus de separação

Modelo de Mundo Pequeno

• Meio termo entre redes regulares e redes aleatórias

Modelo de Mundo Pequeno

APPLET http://ccl.northwestern.edu/netlogo/models/run.cgi?SmallWorlds.839.533

Modelo de Mundo Pequeno

• Distância típica pequena e transitividade alta

• Mas... distribuição de grau é uniforme assim como no modelo aleatório– I.e. nós são relativamente igualitários na rede

Redes Sem EscalaR. Albert, H. Jeong, A-L Barabasi, Nature, 401 130 (1999).

World Wide WebNodes: Documentos WWW Links: URLs

3 bilhões de documentos

ROBOT: coletava todas as URL’s em um documento e as seguia recursivamente

Modelo Aleatório

(Esperado)

P(k) ~ k-

Observado

R. Albert, H. Jeong, A-L Barabasi, Nature, 401 130 (1999).

World Wide Web

• Distribuição dos nós não é igualitária como no modelo aleatório– Poucos nós com muitos links (Hubs)

• Existência de Hubs acontece em muitas redes complexas reais

Distribuição – Lei de Potência

Malha Viária Malha Aérea

Redes Sem Escala

• Redes cuja distribuição dos graus dos nós seguem uma lei de potência– Scale-free Networks =

• Diversas redes reais têm a característica básica de redes sem escala– E.g., Internet, redes de proteínas, redes de

colaboração, redes de citação,...

P(k) ~ k-

Nós: usuários onlineLinks: contatos

ONLINE COMMUNITIES

Twitter:

Jake Hoffman, Yahoo, Alan Mislove, Measurement and Analysis of Online Social Networks

Nós: atoresLinks: atuaram juntos

N = 212,250 actors k = 28.78P(k) ~k-

Days of Thunder (1990) Far and Away (1992) Eyes Wide Shut (1999)

=2.3

ACTOR NETWORK

)exp()(~)( 00

k

kkkkkP

H. Jeong, S.P. Mason, A.-L. Barabasi, Z.N. Oltvai, Nature 411, 41-42 (2001)

Nós: proteínas Links: interações físicas (binding)

TOPOLOGY OF THE PROTEIN NETWORK

( = 3)

(S. Redner, 1998)

P(k) ~k-1736 PRL papers (1988)

Network Science: Scale-Free Property February 7, 2011

SCIENCE CITATION INDEX

Nós: papersLinks: citações

Redes Sem Escala - Formação

• Redes sem escala se forma seguindo o princípio da conexão preferencial

• Conexão preferencial = nós bem conectados tendem a receber mais links no futuro

– Plausível em muitos contextos (e.g. páginas Web)

• Princípio “Rich Get Richer” – Herbert Simon

Redes Sem Escala - Formação

Simulação:(A)Crescimento: a cada momento adicione um

novo nó à rede

(B) Conexão Preferencial: conecte o novo nó a dois nós existentes. A probabilidade de escolha de um nó para ligação é proporcional ao grau do nó

Redes Sem Escala - Formação

Redes Sem Escala - Formação

Redes Sem Escala - Implicações• Existência de um pequeno número hubs com papel estrutural de conectar a rede

– Em muitos casos, observa-se uma hierarquia de hubs – Alta resiliência a falhas aleatórias e baixa tolerância a ataques direcionados– Papel importante em processos de difusão

Considerações Finais

• Vimos modelos de redes bastante conhecidos

• Entretanto existem outros modelos importantes–E.g., Hierarquical Random Graphs

Considerações Finais

• Alguns contextos requerem modelos bem específicos

– E.g. Chains of Affection: Bearman et al. (2004)

Material de Estudo• Networks: An Introduction (M. Newman)

• Linked: A Nova Ciência das Redes(A-L. Barabási)

Material de Estudo

• Parte da aula gerada a partir dos slides de Barabási em:– http://barabasilab.neu.edu/courses/phys5116/