Modelos Discretos

Modelos DiscretosConsidere a sequência do número de peças de dominó apresentada na figura seguinte:

A regra de construção desta sequência pode ser definida a partir da seguinte tabela.

Modelos Discretos

Estamos perante uma sequência de números que obedece a uma determinada lei.

Portanto, existe uma correspondência entre o número da fila e o número de peças de dominó.

n Nº de peças

1º Fila 1 1

2º Fila 2 3

3º Fila 3 5

Modelos Discretos

d3 = 5 = 1+2x2

d4 = 7 = 1+2x3

dn = 1+ 2(n-1)

 

d2 = 3 = 1+2

d1 = 1

……........ ……..

Modelos Discretos

A expressão que melhor modela a situação dada é:

y = 1+2(n-1).

O exemplo dado é uma função de domínio IN , ou seja, é uma função real de variável natural, que designamos por (dn) e que definimos do seguinte modo:

dn : IN IR

dn = 2n - 1

2n -1é o termo gerador da sequência ou termo geral.

Sucessão em IR é uma função real de variável natural.

Modelos Discretos

Visto que existe uma ordem natural pela qual são apresentados os objetos, estes designam-se por ordens e as suas respetivas imagens por termos da sucessão.

O seu gráfico não é uma linha, mas sim um conjunto de pontos isolados de coordenadas (n, dn ).

Modelos Discretos

1

3

n

nvn

22

4

11

311

v

5

7

14

344

v

2

3

4

6

13

333

v

3

5

12

322

v

Considere a sucessão de termo geral

Calcule os quatro primeiros termos:

Modelos Discretos

1

3

n

nvnVerifique se é termo da sucessão

7

8

0)1(7

)1(8)3(70

7

8

1

3

7

8

1

3

7

8

n

nn

n

n

n

nvn

7n+21-8n+8=0 7(n+1) 0 n = 13 n -1

Como 13 IN então é termo da sucessão.

É o décimo terceiro termo.

7

8

Uma sucessão (dn ) é crescente (em sentido estrito) se e só se,

para todo o n IN :

Simbolicamente:

(dn ) é crescente em sentido estrito ⇔ , n IN

Modelos Discretos

2

1

2 4 6

dn

dn+1

n n+1

1 nn dd

1 nn dd

Modelos DiscretosUma sucessão (dn) é decrescente (em sentido estrito) se e só se,

para todo o n IN :

Simbolicamente:

(dn ) é decrescente em sentido estrito ⇔ , n IN

2

1

2 4 6

dn

dn+1

n n+1

1 nn dd

1 nn dd

Modelos Discretos

)1)(2(

)2)(3()1)(4(

1

3

1)1(

3)1(1

nn

nnnn

n

n

n

nvv nn

porque o numerador é negativo e o denominador é sempre positivo.

Estude quanto à monotonia a sucessão

0)1)(2(

2

)1)(2(

62344 22

nnnn

nnnnnn

1

3

n

nvn

Uma sucessão (un ) é monótona (em sentido estrito) se e só se,

para todo o n IN, a sucessão for crescente ou decrescente (em sentido estrito).

Modelos Discretos

Uma sucessão (dn) diz-se minorada se e só se:

∃ m IR , n IN : m < dn

Modelos Discretos

2

1

2 4 6

m=1/2

Modelos Discretos

11

31

n

nvn

01

20

1

1301

1

3

nn

nn

n

n

como 2 é positivo e o denominador é sempre positivo então a condição anterior é universal.

Prove que vn > 1 n IN 

Logo vn > 1 n IN 

Uma sucessão (dn) diz-se majorada se e só se:

M IR , n IN : dn < M

Modelos Discretos

2

1

2 4 6

M =3

Uma sucessão (dn) é limitada se e só se for majorada e

minorada, ou seja:

∃ m, M IR , n IN : m < dn < M

Modelos Discretos

3

2

1

-1

2 4 6 8

Prove que vn é limitada

Modelos Discretos

Como vn > 1 n IN então 1 é minorante da sucessão.

A sucessão é decrescente e v1 = 2 , logo 2 é majorante da sucessão.

Podemos então afirmar que 1 < vn < 2 n IN.

Ou seja a sucessão é limitada.