Modelos Econômicos Lineares Entrada e Saída de Leontieff · tÓpicos abordados nesta aula...

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TÓPICOS ABORDADOS NESTA AULA INTRODUÇÃO DEFINIÇÃO BIBLIOGRAFIA MODELOS E CONÔMICOS L INEARES E NTRADA E S AÍDA DE L EONTIEFF Prof. Alexandre Lymberopoulos Instituto de Matemática e Estatística Universidade de São Paulo PROF.ALEXANDRE LYMBEROPOULOS MODELOS ECONÔMICOS LINEARES ENTRADA E SAÍDA DE LEONTIEFF

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TÓPICOS ABORDADOS NESTA AULAINTRODUÇÃO

DEFINIÇÃOBIBLIOGRAFIA

MODELOS ECONÔMICOS LINEARES

ENTRADA E SAÍDA DE LEONTIEFF

Prof. Alexandre Lymberopoulos

Instituto de Matemática e EstatísticaUniversidade de São Paulo

PROF. ALEXANDRE LYMBEROPOULOS MODELOS ECONÔMICOS LINEARES ENTRADA E SAÍDA DE LEONTIEFF

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DEFINIÇÃOBIBLIOGRAFIA

1 MODELOS ECONÔMICOS

2 O MODELO ECONÔMICO DE LEONTIEFFO Modelo Fechado de LeontieffO Modelo Aberto de Leontieff

3 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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DEFINIÇÃOBIBLIOGRAFIA

O QUE É MODELO ECONÔMICO?

Usar equações matemáticas (tipicamente de várias áreas aomesmo tempo) para entender a economia de uma certa região.

A partir das informações fornecidas pelo modelo decisões sãotomadas e elas influenciam toda a dinâmica do mercado.Vantagens: decisões sistemáticas e embasadas.Riscos: modelos ineficientes podem levar a decisõesinadequadas e gerar situações de difícil controle.Desvantagens: modelos matemáticos são incapazes de prevereventos que dependam de decisões subjetivas como decretosde moratória, por exemplo.

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DEFINIÇÃOBIBLIOGRAFIA

O QUE É MODELO ECONÔMICO?

Usar equações matemáticas (tipicamente de várias áreas aomesmo tempo) para entender a economia de uma certa região.A partir das informações fornecidas pelo modelo decisões sãotomadas e elas influenciam toda a dinâmica do mercado.

Vantagens: decisões sistemáticas e embasadas.Riscos: modelos ineficientes podem levar a decisõesinadequadas e gerar situações de difícil controle.Desvantagens: modelos matemáticos são incapazes de prevereventos que dependam de decisões subjetivas como decretosde moratória, por exemplo.

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DEFINIÇÃOBIBLIOGRAFIA

O QUE É MODELO ECONÔMICO?

Usar equações matemáticas (tipicamente de várias áreas aomesmo tempo) para entender a economia de uma certa região.A partir das informações fornecidas pelo modelo decisões sãotomadas e elas influenciam toda a dinâmica do mercado.Vantagens: decisões sistemáticas e embasadas.

Riscos: modelos ineficientes podem levar a decisõesinadequadas e gerar situações de difícil controle.Desvantagens: modelos matemáticos são incapazes de prevereventos que dependam de decisões subjetivas como decretosde moratória, por exemplo.

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DEFINIÇÃOBIBLIOGRAFIA

O QUE É MODELO ECONÔMICO?

Usar equações matemáticas (tipicamente de várias áreas aomesmo tempo) para entender a economia de uma certa região.A partir das informações fornecidas pelo modelo decisões sãotomadas e elas influenciam toda a dinâmica do mercado.Vantagens: decisões sistemáticas e embasadas.Riscos: modelos ineficientes podem levar a decisõesinadequadas e gerar situações de difícil controle.

Desvantagens: modelos matemáticos são incapazes de prevereventos que dependam de decisões subjetivas como decretosde moratória, por exemplo.

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DEFINIÇÃOBIBLIOGRAFIA

O QUE É MODELO ECONÔMICO?

Usar equações matemáticas (tipicamente de várias áreas aomesmo tempo) para entender a economia de uma certa região.A partir das informações fornecidas pelo modelo decisões sãotomadas e elas influenciam toda a dinâmica do mercado.Vantagens: decisões sistemáticas e embasadas.Riscos: modelos ineficientes podem levar a decisõesinadequadas e gerar situações de difícil controle.Desvantagens: modelos matemáticos são incapazes de prevereventos que dependam de decisões subjetivas como decretosde moratória, por exemplo.

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DEFINIÇÃOBIBLIOGRAFIA

O MODELO FECHADO DE LEONTIEFFO MODELO ABERTO DE LEONTIEFF

UM POUCO DE HISTÓRIA...

Wassily Leontieff desenvolveu seu modelo em torno de 1949.

Recebeu um prêmio Nobel por este trabalho em 1973.Em [2] ele aplicou este modelo para 170 setores da economiamundial.O modelo tornou-se uma ferramenta padrão para investigar aestrutura econômica de cidades, estados e países.Em 1982 a secretaria de agricultura do estado americano deDakota do Norte desenvolveu um modelo desse tipo usando 17setores de sua economia.Tal modelo foi adaptado para outros estados, como Minnesota,Montana e Wyoming em 1983.No caso de Minnesota a economia foi dividida em 20 setores, oque produziu uma matriz quadrada de ordem 20, vide [1].

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O MODELO FECHADO DE LEONTIEFFO MODELO ABERTO DE LEONTIEFF

UM POUCO DE HISTÓRIA...

Wassily Leontieff desenvolveu seu modelo em torno de 1949.Recebeu um prêmio Nobel por este trabalho em 1973.

Em [2] ele aplicou este modelo para 170 setores da economiamundial.O modelo tornou-se uma ferramenta padrão para investigar aestrutura econômica de cidades, estados e países.Em 1982 a secretaria de agricultura do estado americano deDakota do Norte desenvolveu um modelo desse tipo usando 17setores de sua economia.Tal modelo foi adaptado para outros estados, como Minnesota,Montana e Wyoming em 1983.No caso de Minnesota a economia foi dividida em 20 setores, oque produziu uma matriz quadrada de ordem 20, vide [1].

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O MODELO FECHADO DE LEONTIEFFO MODELO ABERTO DE LEONTIEFF

UM POUCO DE HISTÓRIA...

Wassily Leontieff desenvolveu seu modelo em torno de 1949.Recebeu um prêmio Nobel por este trabalho em 1973.Em [2] ele aplicou este modelo para 170 setores da economiamundial.

O modelo tornou-se uma ferramenta padrão para investigar aestrutura econômica de cidades, estados e países.Em 1982 a secretaria de agricultura do estado americano deDakota do Norte desenvolveu um modelo desse tipo usando 17setores de sua economia.Tal modelo foi adaptado para outros estados, como Minnesota,Montana e Wyoming em 1983.No caso de Minnesota a economia foi dividida em 20 setores, oque produziu uma matriz quadrada de ordem 20, vide [1].

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O MODELO FECHADO DE LEONTIEFFO MODELO ABERTO DE LEONTIEFF

UM POUCO DE HISTÓRIA...

Wassily Leontieff desenvolveu seu modelo em torno de 1949.Recebeu um prêmio Nobel por este trabalho em 1973.Em [2] ele aplicou este modelo para 170 setores da economiamundial.O modelo tornou-se uma ferramenta padrão para investigar aestrutura econômica de cidades, estados e países.

Em 1982 a secretaria de agricultura do estado americano deDakota do Norte desenvolveu um modelo desse tipo usando 17setores de sua economia.Tal modelo foi adaptado para outros estados, como Minnesota,Montana e Wyoming em 1983.No caso de Minnesota a economia foi dividida em 20 setores, oque produziu uma matriz quadrada de ordem 20, vide [1].

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O MODELO FECHADO DE LEONTIEFFO MODELO ABERTO DE LEONTIEFF

UM POUCO DE HISTÓRIA...

Wassily Leontieff desenvolveu seu modelo em torno de 1949.Recebeu um prêmio Nobel por este trabalho em 1973.Em [2] ele aplicou este modelo para 170 setores da economiamundial.O modelo tornou-se uma ferramenta padrão para investigar aestrutura econômica de cidades, estados e países.Em 1982 a secretaria de agricultura do estado americano deDakota do Norte desenvolveu um modelo desse tipo usando 17setores de sua economia.

Tal modelo foi adaptado para outros estados, como Minnesota,Montana e Wyoming em 1983.No caso de Minnesota a economia foi dividida em 20 setores, oque produziu uma matriz quadrada de ordem 20, vide [1].

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O MODELO FECHADO DE LEONTIEFFO MODELO ABERTO DE LEONTIEFF

UM POUCO DE HISTÓRIA...

Wassily Leontieff desenvolveu seu modelo em torno de 1949.Recebeu um prêmio Nobel por este trabalho em 1973.Em [2] ele aplicou este modelo para 170 setores da economiamundial.O modelo tornou-se uma ferramenta padrão para investigar aestrutura econômica de cidades, estados e países.Em 1982 a secretaria de agricultura do estado americano deDakota do Norte desenvolveu um modelo desse tipo usando 17setores de sua economia.Tal modelo foi adaptado para outros estados, como Minnesota,Montana e Wyoming em 1983.

No caso de Minnesota a economia foi dividida em 20 setores, oque produziu uma matriz quadrada de ordem 20, vide [1].

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UM POUCO DE HISTÓRIA...

Wassily Leontieff desenvolveu seu modelo em torno de 1949.Recebeu um prêmio Nobel por este trabalho em 1973.Em [2] ele aplicou este modelo para 170 setores da economiamundial.O modelo tornou-se uma ferramenta padrão para investigar aestrutura econômica de cidades, estados e países.Em 1982 a secretaria de agricultura do estado americano deDakota do Norte desenvolveu um modelo desse tipo usando 17setores de sua economia.Tal modelo foi adaptado para outros estados, como Minnesota,Montana e Wyoming em 1983.No caso de Minnesota a economia foi dividida em 20 setores, oque produziu uma matriz quadrada de ordem 20, vide [1].

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O MODELO FECHADO DE LEONTIEFFO MODELO ABERTO DE LEONTIEFF

UM EXEMPLO SIMPLES

Uma sociedade é constituída de três indivíduos: um fazendeiroque produz toda a comida, um carpinteiro que constrói todas ascasas e um alfaiate que confecciona todas as roupas.

Suponhamos que as unidades de produção são tais que cadaindivíduo produz uma unidade de seu produto por ano e que aporção de cada produto consumida pelos indivíduos é dada natabela abaixo

Bens produzidos porBens consumidos por Fazendeiro Carpinteiro Alfaiate

Fazendeiro 716

12

316

Carpinteiro 516

16

516

Alfaiate 14

13

12

Quais devem ser os preços p1,p2 e p3 da unidade de comida, decasa e de roupa para que haja equilíbrio (ninguém ganha nemperde dinheiro)?

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O MODELO FECHADO DE LEONTIEFFO MODELO ABERTO DE LEONTIEFF

UM EXEMPLO SIMPLES

Uma sociedade é constituída de três indivíduos: um fazendeiroque produz toda a comida, um carpinteiro que constrói todas ascasas e um alfaiate que confecciona todas as roupas.Suponhamos que as unidades de produção são tais que cadaindivíduo produz uma unidade de seu produto por ano e que aporção de cada produto consumida pelos indivíduos é dada natabela abaixo

Bens produzidos porBens consumidos por Fazendeiro Carpinteiro Alfaiate

Fazendeiro 716

12

316

Carpinteiro 516

16

516

Alfaiate 14

13

12

Quais devem ser os preços p1,p2 e p3 da unidade de comida, decasa e de roupa para que haja equilíbrio (ninguém ganha nemperde dinheiro)?

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UM EXEMPLO SIMPLES

Uma sociedade é constituída de três indivíduos: um fazendeiroque produz toda a comida, um carpinteiro que constrói todas ascasas e um alfaiate que confecciona todas as roupas.Suponhamos que as unidades de produção são tais que cadaindivíduo produz uma unidade de seu produto por ano e que aporção de cada produto consumida pelos indivíduos é dada natabela abaixo

Bens produzidos porBens consumidos por Fazendeiro Carpinteiro Alfaiate

Fazendeiro 716

12

316

Carpinteiro 516

16

516

Alfaiate 14

13

12

Quais devem ser os preços p1,p2 e p3 da unidade de comida, decasa e de roupa para que haja equilíbrio (ninguém ganha nemperde dinheiro)?

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UM EXEMPLO SIMPLES

Uma sociedade é constituída de três indivíduos: um fazendeiroque produz toda a comida, um carpinteiro que constrói todas ascasas e um alfaiate que confecciona todas as roupas.Suponhamos que as unidades de produção são tais que cadaindivíduo produz uma unidade de seu produto por ano e que aporção de cada produto consumida pelos indivíduos é dada natabela abaixo

Bens produzidos porBens consumidos por Fazendeiro Carpinteiro Alfaiate

Fazendeiro 716

12

316

Carpinteiro 516

16

516

Alfaiate 14

13

12

Quais devem ser os preços p1,p2 e p3 da unidade de comida, decasa e de roupa para que haja equilíbrio (ninguém ganha nemperde dinheiro)?

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O MODELO FECHADO DE LEONTIEFFO MODELO ABERTO DE LEONTIEFF

ÀS CONTAS!

Os gastos do fazendeiro são 716 p1 +

12 p2 +

316 p3 enquanto sua

receita é p1 (pois ele produz somente uma unidade de comidapor ano).

Deste modo uma equação para o sistema é

716

p1 +12

p2 +316

p3 = p1. (1)

Analogamente para o carpinteiro e para o alfaiate temos

516

p1 +16

p2 +5

16p3 = p2 (2)

14

p1 +13

p2 +12

p3 = p3 (3)

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O MODELO FECHADO DE LEONTIEFFO MODELO ABERTO DE LEONTIEFF

ÀS CONTAS!

Os gastos do fazendeiro são 716 p1 +

12 p2 +

316 p3 enquanto sua

receita é p1 (pois ele produz somente uma unidade de comidapor ano).Deste modo uma equação para o sistema é

716

p1 +12

p2 +316

p3 = p1. (1)

Analogamente para o carpinteiro e para o alfaiate temos

516

p1 +16

p2 +5

16p3 = p2 (2)

14

p1 +13

p2 +12

p3 = p3 (3)

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O MODELO FECHADO DE LEONTIEFFO MODELO ABERTO DE LEONTIEFF

ÀS CONTAS!

Os gastos do fazendeiro são 716 p1 +

12 p2 +

316 p3 enquanto sua

receita é p1 (pois ele produz somente uma unidade de comidapor ano).Deste modo uma equação para o sistema é

716

p1 +12

p2 +316

p3 = p1. (1)

Analogamente para o carpinteiro e para o alfaiate temos

516

p1 +16

p2 +5

16p3 = p2 (2)

14

p1 +13

p2 +12

p3 = p3 (3)

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DEFINIÇÃOBIBLIOGRAFIA

O MODELO FECHADO DE LEONTIEFFO MODELO ABERTO DE LEONTIEFF

UM POUCO MAIS...

As equações (1), (2) e (3) juntas formam um sistema linear quepode ser escrito matricialmente por

Ap = p, (4)

onde

A =

716

12

316

516

16

516

14

13

12

e p =

p1p2p3

.

O sistema (4) garante simplesmente que estamos procurandoum autovetor de coordenadas não negativas para o autovalor 1da matriz A.Tal autovetor sempre existe devido ao teorema de Perron(provado em 1907).

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O MODELO FECHADO DE LEONTIEFFO MODELO ABERTO DE LEONTIEFF

UM POUCO MAIS...

As equações (1), (2) e (3) juntas formam um sistema linear quepode ser escrito matricialmente por

Ap = p, (4)

onde

A =

716

12

316

516

16

516

14

13

12

e p =

p1p2p3

.

O sistema (4) garante simplesmente que estamos procurandoum autovetor de coordenadas não negativas para o autovalor 1da matriz A.Tal autovetor sempre existe devido ao teorema de Perron(provado em 1907).

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O MODELO FECHADO DE LEONTIEFFO MODELO ABERTO DE LEONTIEFF

UM POUCO MAIS...

As equações (1), (2) e (3) juntas formam um sistema linear quepode ser escrito matricialmente por

Ap = p, (4)

onde

A =

716

12

316

516

16

516

14

13

12

e p =

p1p2p3

.

O sistema (4) garante simplesmente que estamos procurandoum autovetor de coordenadas não negativas para o autovalor 1da matriz A.

Tal autovetor sempre existe devido ao teorema de Perron(provado em 1907).

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O MODELO FECHADO DE LEONTIEFFO MODELO ABERTO DE LEONTIEFF

UM POUCO MAIS...

As equações (1), (2) e (3) juntas formam um sistema linear quepode ser escrito matricialmente por

Ap = p, (4)

onde

A =

716

12

316

516

16

516

14

13

12

e p =

p1p2p3

.

O sistema (4) garante simplesmente que estamos procurandoum autovetor de coordenadas não negativas para o autovalor 1da matriz A.Tal autovetor sempre existe devido ao teorema de Perron(provado em 1907).

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O MODELO FECHADO DE LEONTIEFFO MODELO ABERTO DE LEONTIEFF

SITUAÇÃO GERAL - MODELO DE TROCA

Existem n fabricantes, F1, . . . ,Fn produzindo cada um deles umdos n produtos P1, . . . ,Pn a uma taxa de uma unidade porperíodo de tempo.

Para fabricar o produto Pi , o fabricante precisa de certaquantidade de cada um dos produtos Pj fabricados por Fj .Se aij é essa quantidade então 0 ≤ aij ≤ 1.Suponhamos um modelo fechado, ou seja, não entra nem sainenhum produto do nosso sistema.Ou seja, o consumo total de cada produto é igual à suaprodução total

a1j + . . .+ anj = 1.

Se o produto Pj custa pj então, como o lucro de Fi é igual à suadespesa temos

ai1p1 + . . .+ ainpn = pi ,1 ≤ i ≤ n.

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O MODELO FECHADO DE LEONTIEFFO MODELO ABERTO DE LEONTIEFF

SITUAÇÃO GERAL - MODELO DE TROCA

Existem n fabricantes, F1, . . . ,Fn produzindo cada um deles umdos n produtos P1, . . . ,Pn a uma taxa de uma unidade porperíodo de tempo.Para fabricar o produto Pi , o fabricante precisa de certaquantidade de cada um dos produtos Pj fabricados por Fj .

Se aij é essa quantidade então 0 ≤ aij ≤ 1.Suponhamos um modelo fechado, ou seja, não entra nem sainenhum produto do nosso sistema.Ou seja, o consumo total de cada produto é igual à suaprodução total

a1j + . . .+ anj = 1.

Se o produto Pj custa pj então, como o lucro de Fi é igual à suadespesa temos

ai1p1 + . . .+ ainpn = pi ,1 ≤ i ≤ n.

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DEFINIÇÃOBIBLIOGRAFIA

O MODELO FECHADO DE LEONTIEFFO MODELO ABERTO DE LEONTIEFF

SITUAÇÃO GERAL - MODELO DE TROCA

Existem n fabricantes, F1, . . . ,Fn produzindo cada um deles umdos n produtos P1, . . . ,Pn a uma taxa de uma unidade porperíodo de tempo.Para fabricar o produto Pi , o fabricante precisa de certaquantidade de cada um dos produtos Pj fabricados por Fj .Se aij é essa quantidade então 0 ≤ aij ≤ 1.

Suponhamos um modelo fechado, ou seja, não entra nem sainenhum produto do nosso sistema.Ou seja, o consumo total de cada produto é igual à suaprodução total

a1j + . . .+ anj = 1.

Se o produto Pj custa pj então, como o lucro de Fi é igual à suadespesa temos

ai1p1 + . . .+ ainpn = pi ,1 ≤ i ≤ n.

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TÓPICOS ABORDADOS NESTA AULAINTRODUÇÃO

DEFINIÇÃOBIBLIOGRAFIA

O MODELO FECHADO DE LEONTIEFFO MODELO ABERTO DE LEONTIEFF

SITUAÇÃO GERAL - MODELO DE TROCA

Existem n fabricantes, F1, . . . ,Fn produzindo cada um deles umdos n produtos P1, . . . ,Pn a uma taxa de uma unidade porperíodo de tempo.Para fabricar o produto Pi , o fabricante precisa de certaquantidade de cada um dos produtos Pj fabricados por Fj .Se aij é essa quantidade então 0 ≤ aij ≤ 1.Suponhamos um modelo fechado, ou seja, não entra nem sainenhum produto do nosso sistema.

Ou seja, o consumo total de cada produto é igual à suaprodução total

a1j + . . .+ anj = 1.

Se o produto Pj custa pj então, como o lucro de Fi é igual à suadespesa temos

ai1p1 + . . .+ ainpn = pi ,1 ≤ i ≤ n.

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TÓPICOS ABORDADOS NESTA AULAINTRODUÇÃO

DEFINIÇÃOBIBLIOGRAFIA

O MODELO FECHADO DE LEONTIEFFO MODELO ABERTO DE LEONTIEFF

SITUAÇÃO GERAL - MODELO DE TROCA

Existem n fabricantes, F1, . . . ,Fn produzindo cada um deles umdos n produtos P1, . . . ,Pn a uma taxa de uma unidade porperíodo de tempo.Para fabricar o produto Pi , o fabricante precisa de certaquantidade de cada um dos produtos Pj fabricados por Fj .Se aij é essa quantidade então 0 ≤ aij ≤ 1.Suponhamos um modelo fechado, ou seja, não entra nem sainenhum produto do nosso sistema.Ou seja, o consumo total de cada produto é igual à suaprodução total

a1j + . . .+ anj = 1.

Se o produto Pj custa pj então, como o lucro de Fi é igual à suadespesa temos

ai1p1 + . . .+ ainpn = pi ,1 ≤ i ≤ n.

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TÓPICOS ABORDADOS NESTA AULAINTRODUÇÃO

DEFINIÇÃOBIBLIOGRAFIA

O MODELO FECHADO DE LEONTIEFFO MODELO ABERTO DE LEONTIEFF

SITUAÇÃO GERAL - MODELO DE TROCA

Existem n fabricantes, F1, . . . ,Fn produzindo cada um deles umdos n produtos P1, . . . ,Pn a uma taxa de uma unidade porperíodo de tempo.Para fabricar o produto Pi , o fabricante precisa de certaquantidade de cada um dos produtos Pj fabricados por Fj .Se aij é essa quantidade então 0 ≤ aij ≤ 1.Suponhamos um modelo fechado, ou seja, não entra nem sainenhum produto do nosso sistema.Ou seja, o consumo total de cada produto é igual à suaprodução total

a1j + . . .+ anj = 1.

Se o produto Pj custa pj então, como o lucro de Fi é igual à suadespesa temos

ai1p1 + . . .+ ainpn = pi ,1 ≤ i ≤ n.

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TÓPICOS ABORDADOS NESTA AULAINTRODUÇÃO

DEFINIÇÃOBIBLIOGRAFIA

O MODELO FECHADO DE LEONTIEFFO MODELO ABERTO DE LEONTIEFF

SITUAÇÃO GERAL - MODELO DE TROCA

A matriz A = (aij) é chamada matriz de troca e nosso modelo édado pela equação

Ap = p,

onde procuramos um vetor p não nulo de coordenadas nãonegativas.Exemplo de modelo fechado:O mundo!Precisamos supor que a renda de cada país provémexclusivamente da venda dos bens que ele produz (tantointernamente quando externamente) e que cada país comprauma quantidade fixa dos bens dos outros países (pelo menos noperíodo em que vamos aplicar o modelo).

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TÓPICOS ABORDADOS NESTA AULAINTRODUÇÃO

DEFINIÇÃOBIBLIOGRAFIA

O MODELO FECHADO DE LEONTIEFFO MODELO ABERTO DE LEONTIEFF

SITUAÇÃO GERAL - MODELO DE TROCA

A matriz A = (aij) é chamada matriz de troca e nosso modelo édado pela equação

Ap = p,

onde procuramos um vetor p não nulo de coordenadas nãonegativas.

Exemplo de modelo fechado:O mundo!Precisamos supor que a renda de cada país provémexclusivamente da venda dos bens que ele produz (tantointernamente quando externamente) e que cada país comprauma quantidade fixa dos bens dos outros países (pelo menos noperíodo em que vamos aplicar o modelo).

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TÓPICOS ABORDADOS NESTA AULAINTRODUÇÃO

DEFINIÇÃOBIBLIOGRAFIA

O MODELO FECHADO DE LEONTIEFFO MODELO ABERTO DE LEONTIEFF

SITUAÇÃO GERAL - MODELO DE TROCA

A matriz A = (aij) é chamada matriz de troca e nosso modelo édado pela equação

Ap = p,

onde procuramos um vetor p não nulo de coordenadas nãonegativas.Exemplo de modelo fechado:

O mundo!Precisamos supor que a renda de cada país provémexclusivamente da venda dos bens que ele produz (tantointernamente quando externamente) e que cada país comprauma quantidade fixa dos bens dos outros países (pelo menos noperíodo em que vamos aplicar o modelo).

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DEFINIÇÃOBIBLIOGRAFIA

O MODELO FECHADO DE LEONTIEFFO MODELO ABERTO DE LEONTIEFF

SITUAÇÃO GERAL - MODELO DE TROCA

A matriz A = (aij) é chamada matriz de troca e nosso modelo édado pela equação

Ap = p,

onde procuramos um vetor p não nulo de coordenadas nãonegativas.Exemplo de modelo fechado:O mundo!

Precisamos supor que a renda de cada país provémexclusivamente da venda dos bens que ele produz (tantointernamente quando externamente) e que cada país comprauma quantidade fixa dos bens dos outros países (pelo menos noperíodo em que vamos aplicar o modelo).

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DEFINIÇÃOBIBLIOGRAFIA

O MODELO FECHADO DE LEONTIEFFO MODELO ABERTO DE LEONTIEFF

SITUAÇÃO GERAL - MODELO DE TROCA

A matriz A = (aij) é chamada matriz de troca e nosso modelo édado pela equação

Ap = p,

onde procuramos um vetor p não nulo de coordenadas nãonegativas.Exemplo de modelo fechado:O mundo!Precisamos supor que a renda de cada país provémexclusivamente da venda dos bens que ele produz (tantointernamente quando externamente) e que cada país comprauma quantidade fixa dos bens dos outros países (pelo menos noperíodo em que vamos aplicar o modelo).

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DEFINIÇÃOBIBLIOGRAFIA

O MODELO FECHADO DE LEONTIEFFO MODELO ABERTO DE LEONTIEFF

DESCRIÇÃO DO MODELO ABERTO

Suponhamos que nosso sistema produz n bens B1, . . . ,Bnproduzidos por n ramos de atividade A1, . . . ,An “comexclusividade”.

A equação básica para o modelo aberto é

PT = PI + D, (5)

onde PT é a produção total, PI é produção interna e D é ademanda externa.Observe que o modelo fechado é um caso particular deste,quando D = 0 e as colunas da matriz que modelará o problematêm soma 1 (são matrizes de troca).

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O MODELO FECHADO DE LEONTIEFFO MODELO ABERTO DE LEONTIEFF

DESCRIÇÃO DO MODELO ABERTO

Suponhamos que nosso sistema produz n bens B1, . . . ,Bnproduzidos por n ramos de atividade A1, . . . ,An “comexclusividade”.A equação básica para o modelo aberto é

PT = PI + D, (5)

onde PT é a produção total, PI é produção interna e D é ademanda externa.

Observe que o modelo fechado é um caso particular deste,quando D = 0 e as colunas da matriz que modelará o problematêm soma 1 (são matrizes de troca).

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DEFINIÇÃOBIBLIOGRAFIA

O MODELO FECHADO DE LEONTIEFFO MODELO ABERTO DE LEONTIEFF

DESCRIÇÃO DO MODELO ABERTO

Suponhamos que nosso sistema produz n bens B1, . . . ,Bnproduzidos por n ramos de atividade A1, . . . ,An “comexclusividade”.A equação básica para o modelo aberto é

PT = PI + D, (5)

onde PT é a produção total, PI é produção interna e D é ademanda externa.Observe que o modelo fechado é um caso particular deste,quando D = 0 e as colunas da matriz que modelará o problematêm soma 1 (são matrizes de troca).

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DEFINIÇÃOBIBLIOGRAFIA

O MODELO FECHADO DE LEONTIEFFO MODELO ABERTO DE LEONTIEFF

DESCRIÇÃO DO MODELO ABERTO

Denotemos por cij o valor gasto com Bj para produzir um dólardo bem Bi .

A matriz C = (cij) é chamada matriz de consumo.Denotemos por xi ≥ 0 o valor em dólares do bem Bi produzidonum dado intervalo de tempo fixo.

O vetor x =[x1 . . . xn

]t é chamado vetor de produção.Cada linha do produto Cx é da forma ci1x1 + . . .+ cinxn, erepresenta a quantidade consumida total do bem Bi .A expressão xi − (ci1x1 + . . .+ cinxn) é a produção líquida.Esta expressão é a i-ésima linha de x − Cx = (In − C)x .Denotaremos por di é a demanda externa do bem Bi .

O vetor d =[d1 . . . dn

]t é chamado vetor de demanda.

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DEFINIÇÃOBIBLIOGRAFIA

O MODELO FECHADO DE LEONTIEFFO MODELO ABERTO DE LEONTIEFF

DESCRIÇÃO DO MODELO ABERTO

Denotemos por cij o valor gasto com Bj para produzir um dólardo bem Bi .A matriz C = (cij) é chamada matriz de consumo.

Denotemos por xi ≥ 0 o valor em dólares do bem Bi produzidonum dado intervalo de tempo fixo.

O vetor x =[x1 . . . xn

]t é chamado vetor de produção.Cada linha do produto Cx é da forma ci1x1 + . . .+ cinxn, erepresenta a quantidade consumida total do bem Bi .A expressão xi − (ci1x1 + . . .+ cinxn) é a produção líquida.Esta expressão é a i-ésima linha de x − Cx = (In − C)x .Denotaremos por di é a demanda externa do bem Bi .

O vetor d =[d1 . . . dn

]t é chamado vetor de demanda.

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O MODELO FECHADO DE LEONTIEFFO MODELO ABERTO DE LEONTIEFF

DESCRIÇÃO DO MODELO ABERTO

Denotemos por cij o valor gasto com Bj para produzir um dólardo bem Bi .A matriz C = (cij) é chamada matriz de consumo.Denotemos por xi ≥ 0 o valor em dólares do bem Bi produzidonum dado intervalo de tempo fixo.

O vetor x =[x1 . . . xn

]t é chamado vetor de produção.Cada linha do produto Cx é da forma ci1x1 + . . .+ cinxn, erepresenta a quantidade consumida total do bem Bi .A expressão xi − (ci1x1 + . . .+ cinxn) é a produção líquida.Esta expressão é a i-ésima linha de x − Cx = (In − C)x .Denotaremos por di é a demanda externa do bem Bi .

O vetor d =[d1 . . . dn

]t é chamado vetor de demanda.

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O MODELO FECHADO DE LEONTIEFFO MODELO ABERTO DE LEONTIEFF

DESCRIÇÃO DO MODELO ABERTO

Denotemos por cij o valor gasto com Bj para produzir um dólardo bem Bi .A matriz C = (cij) é chamada matriz de consumo.Denotemos por xi ≥ 0 o valor em dólares do bem Bi produzidonum dado intervalo de tempo fixo.

O vetor x =[x1 . . . xn

]t é chamado vetor de produção.

Cada linha do produto Cx é da forma ci1x1 + . . .+ cinxn, erepresenta a quantidade consumida total do bem Bi .A expressão xi − (ci1x1 + . . .+ cinxn) é a produção líquida.Esta expressão é a i-ésima linha de x − Cx = (In − C)x .Denotaremos por di é a demanda externa do bem Bi .

O vetor d =[d1 . . . dn

]t é chamado vetor de demanda.

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O MODELO FECHADO DE LEONTIEFFO MODELO ABERTO DE LEONTIEFF

DESCRIÇÃO DO MODELO ABERTO

Denotemos por cij o valor gasto com Bj para produzir um dólardo bem Bi .A matriz C = (cij) é chamada matriz de consumo.Denotemos por xi ≥ 0 o valor em dólares do bem Bi produzidonum dado intervalo de tempo fixo.

O vetor x =[x1 . . . xn

]t é chamado vetor de produção.Cada linha do produto Cx é da forma ci1x1 + . . .+ cinxn, erepresenta a quantidade consumida total do bem Bi .

A expressão xi − (ci1x1 + . . .+ cinxn) é a produção líquida.Esta expressão é a i-ésima linha de x − Cx = (In − C)x .Denotaremos por di é a demanda externa do bem Bi .

O vetor d =[d1 . . . dn

]t é chamado vetor de demanda.

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O MODELO FECHADO DE LEONTIEFFO MODELO ABERTO DE LEONTIEFF

DESCRIÇÃO DO MODELO ABERTO

Denotemos por cij o valor gasto com Bj para produzir um dólardo bem Bi .A matriz C = (cij) é chamada matriz de consumo.Denotemos por xi ≥ 0 o valor em dólares do bem Bi produzidonum dado intervalo de tempo fixo.

O vetor x =[x1 . . . xn

]t é chamado vetor de produção.Cada linha do produto Cx é da forma ci1x1 + . . .+ cinxn, erepresenta a quantidade consumida total do bem Bi .A expressão xi − (ci1x1 + . . .+ cinxn) é a produção líquida.

Esta expressão é a i-ésima linha de x − Cx = (In − C)x .Denotaremos por di é a demanda externa do bem Bi .

O vetor d =[d1 . . . dn

]t é chamado vetor de demanda.

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DEFINIÇÃOBIBLIOGRAFIA

O MODELO FECHADO DE LEONTIEFFO MODELO ABERTO DE LEONTIEFF

DESCRIÇÃO DO MODELO ABERTO

Denotemos por cij o valor gasto com Bj para produzir um dólardo bem Bi .A matriz C = (cij) é chamada matriz de consumo.Denotemos por xi ≥ 0 o valor em dólares do bem Bi produzidonum dado intervalo de tempo fixo.

O vetor x =[x1 . . . xn

]t é chamado vetor de produção.Cada linha do produto Cx é da forma ci1x1 + . . .+ cinxn, erepresenta a quantidade consumida total do bem Bi .A expressão xi − (ci1x1 + . . .+ cinxn) é a produção líquida.Esta expressão é a i-ésima linha de x − Cx = (In − C)x .

Denotaremos por di é a demanda externa do bem Bi .

O vetor d =[d1 . . . dn

]t é chamado vetor de demanda.

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O MODELO FECHADO DE LEONTIEFFO MODELO ABERTO DE LEONTIEFF

DESCRIÇÃO DO MODELO ABERTO

Denotemos por cij o valor gasto com Bj para produzir um dólardo bem Bi .A matriz C = (cij) é chamada matriz de consumo.Denotemos por xi ≥ 0 o valor em dólares do bem Bi produzidonum dado intervalo de tempo fixo.

O vetor x =[x1 . . . xn

]t é chamado vetor de produção.Cada linha do produto Cx é da forma ci1x1 + . . .+ cinxn, erepresenta a quantidade consumida total do bem Bi .A expressão xi − (ci1x1 + . . .+ cinxn) é a produção líquida.Esta expressão é a i-ésima linha de x − Cx = (In − C)x .Denotaremos por di é a demanda externa do bem Bi .

O vetor d =[d1 . . . dn

]t é chamado vetor de demanda.

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O MODELO FECHADO DE LEONTIEFFO MODELO ABERTO DE LEONTIEFF

DESCRIÇÃO DO MODELO ABERTO

Denotemos por cij o valor gasto com Bj para produzir um dólardo bem Bi .A matriz C = (cij) é chamada matriz de consumo.Denotemos por xi ≥ 0 o valor em dólares do bem Bi produzidonum dado intervalo de tempo fixo.

O vetor x =[x1 . . . xn

]t é chamado vetor de produção.Cada linha do produto Cx é da forma ci1x1 + . . .+ cinxn, erepresenta a quantidade consumida total do bem Bi .A expressão xi − (ci1x1 + . . .+ cinxn) é a produção líquida.Esta expressão é a i-ésima linha de x − Cx = (In − C)x .Denotaremos por di é a demanda externa do bem Bi .

O vetor d =[d1 . . . dn

]t é chamado vetor de demanda.

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O MODELO FECHADO DE LEONTIEFFO MODELO ABERTO DE LEONTIEFF

O PROBLEMA

Dado um vetor de demandas d , podemos encontrar um vetor deprodução x tal que a demanda externa seja satisfeita semexcedentes?

Ou seja, queremos um vetor x tal que (In − C)x = d .Para que isto seja possível a matriz In − C deve ser invertível, ouseja, o número 0 não é um autovalor dela.Só isso?Não! As entradas de (In − C)−1 devem ser não negativas paragarantir que x = (In − C)−1d tenha todas as coordenadas nãonegativas.Se C é tal que (In − C)−1 existe e tem entradas não negativasdizemos que C é produtiva ou que o sistema que ela representaé produtivo.

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O MODELO FECHADO DE LEONTIEFFO MODELO ABERTO DE LEONTIEFF

O PROBLEMA

Dado um vetor de demandas d , podemos encontrar um vetor deprodução x tal que a demanda externa seja satisfeita semexcedentes?Ou seja, queremos um vetor x tal que (In − C)x = d .

Para que isto seja possível a matriz In − C deve ser invertível, ouseja, o número 0 não é um autovalor dela.Só isso?Não! As entradas de (In − C)−1 devem ser não negativas paragarantir que x = (In − C)−1d tenha todas as coordenadas nãonegativas.Se C é tal que (In − C)−1 existe e tem entradas não negativasdizemos que C é produtiva ou que o sistema que ela representaé produtivo.

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O MODELO FECHADO DE LEONTIEFFO MODELO ABERTO DE LEONTIEFF

O PROBLEMA

Dado um vetor de demandas d , podemos encontrar um vetor deprodução x tal que a demanda externa seja satisfeita semexcedentes?Ou seja, queremos um vetor x tal que (In − C)x = d .Para que isto seja possível a matriz In − C deve ser invertível, ouseja, o número 0 não é um autovalor dela.

Só isso?Não! As entradas de (In − C)−1 devem ser não negativas paragarantir que x = (In − C)−1d tenha todas as coordenadas nãonegativas.Se C é tal que (In − C)−1 existe e tem entradas não negativasdizemos que C é produtiva ou que o sistema que ela representaé produtivo.

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O MODELO FECHADO DE LEONTIEFFO MODELO ABERTO DE LEONTIEFF

O PROBLEMA

Dado um vetor de demandas d , podemos encontrar um vetor deprodução x tal que a demanda externa seja satisfeita semexcedentes?Ou seja, queremos um vetor x tal que (In − C)x = d .Para que isto seja possível a matriz In − C deve ser invertível, ouseja, o número 0 não é um autovalor dela.Só isso?

Não! As entradas de (In − C)−1 devem ser não negativas paragarantir que x = (In − C)−1d tenha todas as coordenadas nãonegativas.Se C é tal que (In − C)−1 existe e tem entradas não negativasdizemos que C é produtiva ou que o sistema que ela representaé produtivo.

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O MODELO FECHADO DE LEONTIEFFO MODELO ABERTO DE LEONTIEFF

O PROBLEMA

Dado um vetor de demandas d , podemos encontrar um vetor deprodução x tal que a demanda externa seja satisfeita semexcedentes?Ou seja, queremos um vetor x tal que (In − C)x = d .Para que isto seja possível a matriz In − C deve ser invertível, ouseja, o número 0 não é um autovalor dela.Só isso?Não! As entradas de (In − C)−1 devem ser não negativas paragarantir que x = (In − C)−1d tenha todas as coordenadas nãonegativas.

Se C é tal que (In − C)−1 existe e tem entradas não negativasdizemos que C é produtiva ou que o sistema que ela representaé produtivo.

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O MODELO FECHADO DE LEONTIEFFO MODELO ABERTO DE LEONTIEFF

O PROBLEMA

Dado um vetor de demandas d , podemos encontrar um vetor deprodução x tal que a demanda externa seja satisfeita semexcedentes?Ou seja, queremos um vetor x tal que (In − C)x = d .Para que isto seja possível a matriz In − C deve ser invertível, ouseja, o número 0 não é um autovalor dela.Só isso?Não! As entradas de (In − C)−1 devem ser não negativas paragarantir que x = (In − C)−1d tenha todas as coordenadas nãonegativas.Se C é tal que (In − C)−1 existe e tem entradas não negativasdizemos que C é produtiva ou que o sistema que ela representaé produtivo.

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O MODELO FECHADO DE LEONTIEFFO MODELO ABERTO DE LEONTIEFF

EXEMPLOS

Decida se as matrizes de consumo abaixo são de sistemasprodutivos:

C1 =[ 1

412

23

13

],C2 =

[ 12

12

12

34

]e C3 =

[ 12

13

14

13

].

Qual o único vetor de demandas d para o qual x = (I2 −C)−1d énão negativo? O que isso significa?Considere um sistema que atua em 5 ramos: automobilístico,aço, eletrônicos, carvão e química com a matriz de consumosdada por

C =

[ 0.15 0.10 0.05 0.05 0.100.40 0.20 0.10 0.10 0.100.10 0.25 0.20 0.10 0.200.10 0.20 0.30 0.15 0.100.05 0.10 0.05 0.02 0.05

].

Determine o vetor de produção desse sistema para asdemandas d = [ 2 1 0 0.5 0.2 ]t .

PROF. ALEXANDRE LYMBEROPOULOS MODELOS ECONÔMICOS LINEARES ENTRADA E SAÍDA DE LEONTIEFF

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TÓPICOS ABORDADOS NESTA AULAINTRODUÇÃO

DEFINIÇÃOBIBLIOGRAFIA

O MODELO FECHADO DE LEONTIEFFO MODELO ABERTO DE LEONTIEFF

EXEMPLOS

Decida se as matrizes de consumo abaixo são de sistemasprodutivos:

C1 =[ 1

412

23

13

],C2 =

[ 12

12

12

34

]e C3 =

[ 12

13

14

13

].

Qual o único vetor de demandas d para o qual x = (I2 −C)−1d énão negativo? O que isso significa?

Considere um sistema que atua em 5 ramos: automobilístico,aço, eletrônicos, carvão e química com a matriz de consumosdada por

C =

[ 0.15 0.10 0.05 0.05 0.100.40 0.20 0.10 0.10 0.100.10 0.25 0.20 0.10 0.200.10 0.20 0.30 0.15 0.100.05 0.10 0.05 0.02 0.05

].

Determine o vetor de produção desse sistema para asdemandas d = [ 2 1 0 0.5 0.2 ]t .

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TÓPICOS ABORDADOS NESTA AULAINTRODUÇÃO

DEFINIÇÃOBIBLIOGRAFIA

O MODELO FECHADO DE LEONTIEFFO MODELO ABERTO DE LEONTIEFF

EXEMPLOS

Decida se as matrizes de consumo abaixo são de sistemasprodutivos:

C1 =[ 1

412

23

13

],C2 =

[ 12

12

12

34

]e C3 =

[ 12

13

14

13

].

Qual o único vetor de demandas d para o qual x = (I2 −C)−1d énão negativo? O que isso significa?Considere um sistema que atua em 5 ramos: automobilístico,aço, eletrônicos, carvão e química com a matriz de consumosdada por

C =

[ 0.15 0.10 0.05 0.05 0.100.40 0.20 0.10 0.10 0.100.10 0.25 0.20 0.10 0.200.10 0.20 0.30 0.15 0.100.05 0.10 0.05 0.02 0.05

].

Determine o vetor de produção desse sistema para asdemandas d = [ 2 1 0 0.5 0.2 ]t .

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TÓPICOS ABORDADOS NESTA AULAINTRODUÇÃO

DEFINIÇÃOBIBLIOGRAFIA

Randal C. Coon, Carlena F. Vocke, and F. Larry Leistritz.Expansion and adaptation of the north dakotaeconomic-demographic assessment model (nedam) forminnesota: Technical description.Agricultural Economics Miscellaneous Reports 120749, NorthDakota State University, Department of Agribusiness and AppliedEconomics, 1984.

Wassily Leontieff.The world economy of the year 2000.Scientific American, Sept.:166, 1980.

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